Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica - 1 · 2019. 12. 19. · 2 Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 Figura1.1: Strutturadiuncircuitoelettrico

Appunti delle Lezionidi Elettrotecnica

Parte 1

A. A. 2001–2002

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Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica — Parte 1

Versione del 15 aprile 2002

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Indice

1 Generalita sui circuiti elettrici 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Modello elettromagnetico e modello circuitale . . . . . . 11.1.2 Struttura di un circuito elettrico . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Limiti di validita del modello circuitale . . . . . . . . . . 41.1.4 Rappresentazione schematica dei circuiti . . . . . . . . . 61.1.5 Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.6 Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI) . . . . . . . . . 141.2.2 Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV) . . . . . . . . . 15

1.3 Generalita sui componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Correnti descrittive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Tensioni descrittive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Convenzioni per i bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.5 Potenza assorbita ed erogata da un bipolo . . . . . . . . 221.3.6 Convenzioni e potenze per gli N -poli . . . . . . . . . . . 231.3.7 Componenti a N -porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.8 Componenti attivi e passivi . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Analisi di un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Componenti equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1 Equivalenza tra componenti . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2 Equivalenza tra aggregati di componenti . . . . . . . . . 29

2 Bipoli privi di memoria 312.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Generatori indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Generatore (indipendente) di tensione . . . . . . . . . . . 332.2.2 Generatore (indipendente) di corrente . . . . . . . . . . . 34

2.3 Resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Circuito aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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2.6 Equivalenze tra bipoli privi di memoria . . . . . . . . . . . . . . 382.6.1 Bipoli in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.2 Bipoli in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.3 Resistori in serie e parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.3.1 Resistori in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.3.2 Resistori in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . 422.6.3.3 Partitore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.3.4 Partitore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.4 Collegamenti tra resistori e generatori . . . . . . . . . . . 442.6.4.1 Serie generatore di tensione - resistore . . . . . 442.6.4.2 Rappresentazione di un generatore reale di ten-

sione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.4.3 Parallelo generatore di corrente - resistore . . . 492.6.4.4 Rappresentazione di un generatore di reale cor-

rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6.4.5 Trasformazioni dei generatori . . . . . . . . . . 522.6.4.6 Parallelo generatore di tensione - resistore . . . 532.6.4.7 Serie generatore di corrente - resistore . . . . . 54

2.6.5 Generatori in serie e in parallelo . . . . . . . . . . . . . . 552.6.5.1 Generatori di tensione in serie . . . . . . . . . . 552.6.5.2 Generatori di corrente in parallelo . . . . . . . 552.6.5.3 Generatori di tensione in parallelo . . . . . . . 562.6.5.4 Generatori di corrente in serie . . . . . . . . . . 562.6.5.5 Generatore di tensione e di corrente in parallelo 572.6.5.6 Generatore di tensione e di corrente in serie . . 58

2.6.6 Collegamenti con cortocircuiti e circuiti aperti . . . . . . 582.6.7 Formule di Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.7.1 Teorema di Millman . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.7.2 Soluzione di un circuito con due nodi . . . . . . 622.6.7.3 Versione duale del teorema di Millman . . . . . 632.6.7.4 Soluzione di un circuito con una sola maglia . . 65

3 Doppi bipoli e N-porte resistivi 673.1 Doppi bipoli privi di memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Doppi bipoli resistivi lineari e tempo-invarianti . . . . . . . . . . 68

3.2.1 Matrice di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Matrice di conduttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.3 Matrice ibrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.4 Matrice ibrida inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.5 Matrice di trasmissione (matrice catena) . . . . . . . . . 743.2.6 Matrice di trasmissione inversa . . . . . . . . . . . . . . 753.2.7 Relazioni tra le rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Proprieta dei doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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INDICE iii

3.3.1 Reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.2 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.3 Passivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Generatori dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.1 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.2 Trasformazione dei generatori . . . . . . . . . . . . . . . 893.4.3 Nota sull’analisi di circuiti con generatori dipendenti . . 90

3.5 Trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.5.1 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.5.2 Trasformazione della resistenza di carico . . . . . . . . . 94

3.6 Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari . . . . . . . . . . . . . 953.7 Collegamenti tra doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.7.1 Collegamento in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7.2 Collegamento in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.7.3 Collegamento serie-parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.7.4 Collegamento parallelo-serie . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.7.5 Collegamento in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.8 Componenti N -porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.9 Resistori collegati a stella e a poligono . . . . . . . . . . . . . . 109

3.9.1 Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo . . . . . 1093.9.2 Trasformazione stella-poligono . . . . . . . . . . . . . . . 112

4 Grafi ed equazioni topologiche 1154.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.1.1 Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.1.2 Sottografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.1.3 Cammino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.1.4 Grafi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.1.5 Maglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1.6 Taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2 Applicazione delle leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2.1 Maglie e legge di Kirchhoff per le tensioni . . . . . . . . 1204.2.2 Tagli e legge di Kirchhoff per le correnti . . . . . . . . . 122

4.3 Maglie e tagli fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3.1 Insiemi completi di maglie e di tagli . . . . . . . . . . . . 1234.3.2 Albero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3.3 Coalbero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.3.4 Maglie fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.3.5 Tagli fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3.6 Relazione tra maglie e tagli fondamentali . . . . . . . . . 1294.3.7 Insiemi completi di tensioni e di correnti . . . . . . . . . 1304.3.8 Correnti di maglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.3.9 Tensioni di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

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4.4 Nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.4.1 Equazioni dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.4.2 Tensioni di nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5 Grafi planari e anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.5.1 Grafi planari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.5.2 Anelli (o maglie elementari) . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.5.3 Equazioni degli anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5.4 Correnti di anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.6 Equazioni topologiche in forma matriciale . . . . . . . . . . . . 1384.6.1 Matrice di incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.6.2 Matrice delle maglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6.3 Matrice dei tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6.4 Relazione tra le matrici delle maglie e dei tagli . . . . . . 1414.6.5 Matrice di incidenza ed equazioni dei nodi . . . . . . . . 1424.6.6 Matrice degli anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.6.7 Espressioni delle matrici delle maglie e dei tagli in funzione

della matrice di incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.7 Forma generale delle equazioni di un circuito . . . . . . . . . . . 1444.8 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5 Metodi generali per l’analisi di circuiti lineari resistivi 1595.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2 Ipotesi sui componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.3 Schema generale dei metodi abbreviati . . . . . . . . . . . . . . 1615.4 Metodo delle maglie fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.5 Metodo degli anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.6 Metodo dei tagli fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.7 Metodo dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.8 Analisi di circuiti con generatori dipendenti . . . . . . . . . . . 1745.9 Analisi di circuiti con generatori di tensione e di corrente . . . . 175

5.9.1 Spostamento dei generatori . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.9.2 Metodi di analisi modificati . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.9.2.1 Schema generale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.9.2.2 Metodo delle maglie modificato . . . . . . . . . 1805.9.2.3 Metodo degli anelli modificato . . . . . . . . . . 1815.9.2.4 Metodo dei tagli modificato . . . . . . . . . . . 1825.9.2.5 Metodo dei nodi modificato . . . . . . . . . . . 183

5.10 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6 Teoremi dei circuiti elettrici 2076.1 Teorema di Tellegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2 Teoremi di non amplificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.2.1 Teorema di non amplificazione delle tensioni . . . . . . . 209

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INDICE v

6.2.2 Teorema di non amplificazione delle correnti . . . . . . . 2106.3 Teorema di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.4 Teoremi dei circuiti lineari resistivi . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.4.1 Teorema di sovrapposizione(Principio di sovrapposizione degli effetti) . . . . . . . . 214

6.4.2 Coefficienti di rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.4.3 Teorema di reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.4.3.1 Reti reciproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.4.3.2 Teorema di reciprocita . . . . . . . . . . . . . . 221

6.4.4 Teoremi di Thevenin e Norton . . . . . . . . . . . . . . . 2236.4.4.1 Teorema di Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . 2236.4.4.2 Teorema di Norton . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.4.4.3 Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.4.5 Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli . . . . . . . 227

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Capitolo 1

Generalita sui circuiti elettrici

1.1 Introduzione

1.1.1 Modello elettromagnetico e modello circuitale

Lo studio dei circuiti elettrici, come avviene per lo studio quantitativo di qualun-que sistema fisico, si basa sull’impiego di modelli.

Per modello si intende una descrizione idealizzata del sistema in esame checonsente di riprodurre, entro una certa approssimazione, le relazioni tra le gran-dezze fisiche che ne caratterizzano il comportamento.

Normalmente a un particolare sistema si possono associare vari modelli, piuo meno complessi, in grado di rappresentare il sistema stesso con diversi livelli diaccuratezza. In genere la scelta del modello da impiegare e dettata dalla ricercadel miglior compromesso tra la complessita del modello e la precisione dei risultatiche esso e in grado di fornire.

I circuiti elettrici sono casi particolari di sistemi elettromagnetici, quindi, al-meno in linea di principio, il loro studio potrebbe essere condotto mediante il mo-dello matematico costituito dalle leggi generali dell’elettromagnetismo, espressedalle equazioni di Maxwell.

Secondo questa impostazione, il comportamento di un sistema elettromagne-tico e descritto per mezzo di un insieme di grandezze fisiche (alcune vettorialicome il campo elettrico, il campo magnetico, la densita di corrente ecc., altrescalari come la densita di carica elettrica) che in genere sono funzione sia del-le coordinate spaziali che del tempo. Le relazioni tra queste grandezze sonoespresse mediante equazioni differenziali alle derivate parziali la cui risoluzionegeneralmente rappresenta un problema matematico piuttosto complesso.

D’altra parte, per alcune categorie di sistemi elettromagnetici, e possibilesviluppare modelli piu semplici mediante l’introduzione di opportune ipotesi dilavoro e di approssimazioni. Cio vale in particolare nel caso dei circuiti elettrici,per i quali, sotto opportune ipotesi, e possibile definire un modello semplificato,detto modello circuitale, nel quale si fa uso solo di grandezze scalari (correnti

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Figura 1.1: Struttura di un circuito elettrico

e tensioni), che in generale sono funzioni del tempo ma non dipendono dallecoordinate spaziali.

1.1.2 Struttura di un circuito elettrico

I sistemi elettromagnetici descrivibili mediante il modello circuitale, anche sepossono avere caratteristiche fisiche notevolmente diverse, possono essere ricon-dotti ad una struttura comune del tipo rappresentato nella fig. 1.1, nella quale sidistinguono regioni di tre tipi:

• i componenti, indicati con 1;

• un certo numero di conduttori, indicati con 2;

• una regione esterna, indicata con 3.

Componenti Un componente e un oggetto delimitato, almeno idealmente, dauna superficie chiusa detta superficie limite. Su questa superficie si possonoindividuare alcune regioni, denominate poli o terminali, attraverso le quali puofluire corrente elettrica. Tali regioni corrispondono generalmente a sezioni diconduttori che penetrano entro la superfice limite del componente. Si assumeche la superficie limite possa essere attraversata da corrente esclusivamente incorrispondenza dei terminali.

Un componente con N terminali e indicato col nome di N -polo (si parla dibipoli nel caso di componenti a due terminali, tripoli nel caso di tre terminali,

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e cosı via). Come si vedra in seguito, non ha senso considerare componenti conmeno di due terminali.

Il modello circuitale si basa sulle seguenti ipotesi:

• Il comportamento del circuito e completamente definito dalle interazionielettromagnetiche, e in particolare dagli scambi di energia elettromagnetica,tra i componenti.

• Le interazioni tra i componenti sono completamente definite dai valori delleintensita delle correnti (v. paragrafo 1.1.5) che fluiscono attraverso i loroterminali e dai valori assunti da un’altra grandezza scalare detta tensione(v. paragrafo 1.1.6) che puo essere associata a ciascuna coppia di terminalidi ogni componente.

La prima ipotesi richiede, in particolare, che nelle regioni esterne ai compo-nenti (2 e 3), non avvengano fenomeni che diano luogo dissipazione o ad accumulodi energia elettromagnetica.

Collegamenti I conduttori stabiliscono dei collegamenti i tra i terminali di com-ponenti diversi. L’insieme di piu terminali collegati tra loro viene chiamato nodo.Assieme ai componenti i conduttori formano dei percorsi chiusi attraverso i qualipuo circolare corrente elettrica1.

Le ipotesi su cui si basa il modello circuitale richiedono, in particolare, che iconduttori possano essere considerati ideali, cioe che si possano ritenere trascu-rabili i fenomeni dissipativi che nei conduttori reali accompagnano il passaggiodella corrente elettrica. Cio implica che la tensione tra due sezioni di un con-duttore risulti sempre uguale a zero indipendentemente dall’intensita della cor-rente che attraversa il conduttore stesso. Inoltre, in queste condizioni la formae la lunghezza dei conduttori non hanno nessun effetto sul comportamento delcircuito.

Regione esterna Nella regione esterna non devono aver luogo fenomeni talida determinare scambi di energia elettromagnetica con il resto del sistema. Inparticolare tale regione non deve essere attraversata da correnti elettriche anchese essa e a contatto con conduttori tra i quali la tensione e diversa da zero. Quindii materiali da cui e occupata la regione esterna devono poter essere consideratidegli isolanti ideali.

Osservazioni

• Il termine circuito elettrico e impiegato comunemente sia per indicare unsistema elettromagnetico rappresentabile mediante un modello circuitale,

1Da cio deriva il termine circuito, il cui primo significato e appunto percorso chiuso.

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sia per indicare il modello stesso. Per distinguere tra sistema fisico e mo-dello si dovrebbe parlare, piu propriamente, di circuiti fisici e circuiti ideali(e analogamente di componenti fisici e componenti ideali). In seguito ci sioccupera prevalentemente dei modelli, pertanto l’aggettivo ideale sara sot-tinteso, mentre si usera sempre l’aggettivo fisico o reale per indicare che siintende fare riferimento al sistema.

• La rappresentazione di un circuito fisico con un modello circuitale comportal’introduzione di approssimazioni. Di conseguenza ad uno stesso circuitofisico possono essere associati piu modelli caratterizzati da diversi gradi dicomplessita e di accuratezza.

Ad esempio un conduttore puo essere trattato come un componente se intro-duce effetti dissipativi tali da influire in modo apprezzabile, relativamenteal grado di precisione richiesto, sul comportamento del circuito, oppure puoessere trattato come ideale se tali effetti possono essere ritenuti trascurabili.In modo analogo e possibile che una parte del sistema, a seconda dell’impor-tanza che si ritiene di attribuire ai fenomeni di cui e sede, sia rappresentatamediante un componente oppure sia trascurata e considerata parte dellaregione esterna.

1.1.3 Limiti di validita del modello circuitale

La derivazione del modello circuitale dalle equazioni generali dell’elettromagne-tismo va oltre gli scopi di questa trattazione, pertanto le leggi su cui si basa laTeoria dei Circuiti saranno introdotte come postulati. Si ritiene opportuno, pero,cercare di illustrare la relazione tra il modello circuitale e quello elettromagneticomediante alcune considerazioni di carattere intuitivo, con le quali, in particolare,si vogliono evidenziare i limiti di validita dell’approssimazione circuitale.

Una conseguenza delle equazioni di Maxwell e che l’effetto della variazione diuna generica grandezza elettromagnetica in un determinato punto dello spazio sipropaga con velocita finita e quindi viene avvertito in tempi diversi a distanzediverse dal punto considerato.

La velocita di propagazione e detta velocita della luce ed e indicata col simboloc. Il suo valore dipende dal mezzo in cui ha sede il campo elettromagnetico e, inparticolare, nel vuoto e circa 3× 108 m/sec2.

Il fatto che nella descrizione circuitale si prescinda dalle coordinate spa-ziali deve essere riconducibile, quindi, alla possibilita di trascurare i ritardi dipropagazione.

Evidentemente non si hanno effetti di propagazione se tutte le grandezze elet-tromagnetiche sono costanti nel tempo, cioe se il sistema e in condizioni stazio-

2Il valore esatto e: 299792458 m/sec. Infatti il metro e definito come 1299792458 della distanza

percorsa dalla luce nel vuoto in un secondo.

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narie. In tali condizioni si puo dimostrare che il modello circuitale equivale inmodo rigoroso al modello elettromagnetico.

D’altra parte si puo dimostrare che e possibile descrivere in modo approssi-mato un sistema elettromagnetico mediante un modello circuitale se le variazio-ni delle grandezze elettromagnetiche sono sufficientemente lente da permetteredi considerare ogni grandezza costante nell’intervallo corrispondente al massimoritardo di propagazione, τmax, che si puo avere nel sistema in esame.

Tale ritardo e dato dal rapporto tra la distanza massima tra due punti appar-tenenti al sistema, dmax, e la velocita della luce c

τmax =dmax

c(1.1)

Se per semplicita si fa riferimento a grandezze variabili con legge sinusoidale3 econ frequenza f , cioe con periodo T = 1/f , deve essere verificata la condizione

T τmax (1.2)

Tale relazione puo essere posta in un’altra forma introducendo la lunghezza d’on-da4 λ corrispondente alla frequenza f

λ = cT =c

f(1.3)

Tenendo conto della (1.3), la condizione (1.2) diviene

λ dmax (1.4)

Quindi si puo concludere che ha senso rappresentare come circuito un sistemaelettromagnetico nel quale la frequenza massima che ha interesse considerare etale che:

• il periodo corrispondente e molto grande rispetto ai tempi di ritardo massimiche si hanno nel sistema;

• la corrispondente lunghezza d’onda e molto grande rispetto alla dimensionemaggiore del sistema.

Quando tali ipotesi sono verificate si dice che il sistema elettromagnetico e incondizioni quasi stazionarie.

3Tale ipotesi non e riduttiva in quanto variazioni piu complesse possono essere ricondotte acombinazioni di funzioni sinusoidali mediante serie o integrali di Fourier. Nei casi di interessepratico, inoltre, e possibile definire la frequenza massima delle componenti sinusoidali che dannocontributo significativo a queste combinazioni.

4La lunghezza d’onda rappresenta, in pratica, la distanza entro cui si propaga l’effetto dellavariazione in un tempo pari al periodo.

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Figura 1.2: Simboli di componenti generici

E opportuno precisare che i circuiti che costituiscono l’oggetto di questa trat-tazione sono detti piu propriamente circuiti a parametri concentrati per distin-guerli dai cosiddetti circuiti a parametri distribuiti. Un circuito a parametridistribuiti e un sistema elettromagnetico, nel quale i ritardi di propagazione nonsono trascurabili, che puo essere rappresentato come una successione di elementiinfinitesimi ognuno dei quali si comporta come un circuito concentrato. Il com-portamento di un sistema di questo genere puo essere ancora descritto in terminidi tensioni e correnti, queste pero risultano funzione, oltre che del tempo, anchedi una coordinata spaziale. In seguito si considereranno unicamente i circuiti aparametri concentrati.

1.1.4 Rappresentazione schematica dei circuiti

Un componente generico e indicato per mezzo di simboli del tipo mostrato infig. 1.2, cioe con un cerchio o rettangolo che rappresenta la superficie limite e condei segmenti che rappresentano i terminali. Come si vedra in seguito, esistonoanche simboli specifici per indicare i vari tipi di componente.

In genere i collegamenti sono rappresentati facendo toccare i terminali o unen-doli mediante segmenti o archi. La forma e la disposizione di questi segmenti eirrilevante. Infatti il loro scopo non e quello di riprodurre la forma dei conduttori

1 1

1

2 2

23 3

3

4 4

4

5 5

5

6 66

7 7

7

8 8

8

Figura 1.3: Rappresentazioni di collegamenti

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che, come si e detto, non ha effetto sul comportamento del circuito, ma solo quellodi indicare quali terminali sono collegati tra loro. Quindi un gruppo di terminaliuniti da questi segmenti costituisce un nodo.

Ad esempio in fig. 1.3 sono riportate tre possibili rappresentazioni dello stessocollegamento fra quattro bipoli. In tutti e tre i casi si distinguono due nodi: unoin cui confluiscono i terminali 1, 3, 5, 7 e uno i cui confluiscono i terminali 2, 4,6, 8.

1.1.5 Corrente

Una corrente elettrica e costituita da un flusso di cariche. La grandezza fisicache la descrive e detta intensita di corrente (o anche semplicemente corrente) erappresenta la quantita di carica che attraversa nell’unita di tempo una superficieassegnata.

Per definire l’intensita di corrente attraverso una superficie S in primo luogosi fissa, in modo arbitrario, il verso della normale n alla superficie stessa. Quindisi determina la quantita di carica totale ∆Q che transita attraverso S in sensoconcorde con la normale durante un intervallo di tempo ∆t centrato su un genericoistante t.

In generale a ∆Q possono contribuire sia cariche positive che cariche negative,inoltre il moto delle cariche puo avvenire in senso concorde o discorde con il versodella normale.

• Le cariche positive danno contributo positivo a ∆Q quando attraversano S

in senso concorde con n e contributo negativo quando la attraversano insenso discorde.

• Per le cariche negative vale il contrario, cioe i contributi sono positivi quan-do l’attraversamento avviene in senso discorde e negativi quando avvienein senso concorde. Quindi una carica negativa −q equivale, ai fini dellavalutazione di ∆Q, ad una carica positiva q che si muove nella direzioneopposta, come e indicato anche in fig. 1.4.

Sn

Q

Q

q

q

q

q

Figura 1.4: Definizione dell’intensita di corrente

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Di conseguenza ∆Q puo essere rappresentato come differenza di due termini

∆Q = ∆Q+ −∆Q− (1.5)

con ∆Q+ ≥ 0 e ∆Q− ≥ 0.

• Il primo termine, ∆Q+, e dato dalla somma dei valori delle cariche positivedirette in senso concorde con n e dei valori assoluti delle cariche negativedirette in senso discorde.

• Il secondo termine, ∆Q−, e dato dalla somma dei valori delle cariche positivedirette in senso discorde con n e dei valori assoluti delle cariche negativedirette in senso concorde.

∆Q puo essere interpretato come variazione nell’intervallo ∆t di una funzioneQ(t) che rappresenta la quantita di carica transitata attraverso la superficie S daquando ha avuto origine la corrente5 fino all’istante t. E importante sottolinearecheQ(t) non rappresenta necessariamente la quantita di carica presente in qualcheregione dello spazio all’istante t. Infatti e possibile, ad esempio, che le stessecariche, muovendosi lungo percorsi chiusi, forniscano piu contributi al valore diQ(t).

La velocita media di variazione della funzione Q(t) nell’intervallo di tempo∆t, data dal rapporto tra la quantita di carica ∆Q e la durata dall’intervallostesso, e detta valore medio dell’intensita di corrente nell’intervallo ∆t

imedia=

∆Q

∆t(1.6)

Facendo tendere a zero la durata dell’intervallo si ottiene il valore dell’intensitadi corrente all’istante t, indicato con il simbolo i(t), che rappresenta la velocitaistantanea di variazione di Q(t)

i(t)= lim

∆t→0

∆Q

∆t=dQ

dt(1.7)

L’unita di misura dell’intensita di corrente e l’ampere, indicato con il simboloA. L’ampere e (assieme al metro, al chilogrammo e al secondo) una delle unitafondamentali del Sistema Internazionale6.

La corrente puo assumere valori sia positivi che negativi, a seconda che pre-valga il termine ∆Q+ o il termine ∆Q−. Il significato del segno va interpretatoin relazione al verso di riferimento prescelto:

5Al limite, idealmente, dall’istante t = −∞.6L’ampere e definito come l’intensita di corrente che percorrendo in senso concorde due

conduttori filiformi paralleli, rettilinei, infinitamente lunghi, posti nel vuoto alla distanza di unmetro, provoca tra essi una forza attrattiva per unita di lunghezza pari a 2 · 10−7 N/m.

L’equazione (1.7) e impiegata per definire l’unita di carica, detta coulomb (simbolo C). Uncoulomb e la carica trasportata in un secondo da una corrente di un ampere.

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• un valore positivo indica che l’effetto complessivo del moto delle caricheequivale al trasferimento di una quantita positiva di carica in senso concordecon il verso di riferimento;

• un valore negativo indica che equivale al trasferimento di una quantitapositiva di carica in senso discorde con il verso di riferimento.

Una stessa corrente puo essere ottenuta come risultato di infinite combinazionidiverse di moti di cariche positive e negative. In particolare e sempre possibileottenere una data corrente mediante un flusso di cariche positive che si muovonotutte nello stesso verso. In questo caso si ha

∆Q = ∆Q+ (1.8)

e quindi la corrente risulta positiva, se le cariche si muovono in senso concordecon n, mentre si ha

∆Q = −∆Q− (1.9)

e quindi la corrente risulta negativa, se le cariche si muovono in senso discordecon n.

Il verso in cui si devono muovere delle cariche positive per produrre una cor-rente data e detto verso fisico della corrente. Di conseguenza la corrente assumevalori positivi quando il verso fisico e il verso di riferimento sono coincidenti,mentre risulta negativa quando sono discordi.

I versi di riferimento delle correnti sono rappresentati nello schema di un cir-cuito collocando delle frecce sui terminali dei componenti come e mostrato infig. 1.5. E importante sottolineare tali versi sono fissati a priori e in modo asso-lutamente arbitrario e che, quindi, non rappresentano i versi fisici delle correnti.La scelta dei versi di riferimento corrisponde alla scelta del verso della normalen alla superficie costituita dalla sezione di ciascun terminale del componente epertanto non ha alcuna relazione con il moto delle cariche. Come si e visto so-pra, il verso fisico puo essere determinato in base al segno assunto dalla correnterelativamente al verso di riferimento.

2

3

1i1 i2

i3

Figura 1.5: Rappresentazione dei versi di riferimento delle correnti

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i t( )

IM

IM

A

B

0

i t( )

t

Figura 1.6: Esempio

Ad esempio, nella fig. 1.6 e rappresentato un bipolo per il quale e stato scelto,come verso di riferimento della corrente i(t), quello diretto da A a B. Si assumache l’andamento della corrente sia rappresentato da

i(t) = IM cos(ωt)

dove IM e ω indicano due costanti positive assegnate. In questo caso il versofisico della corrente coincide con il verso di riferimento negli intervalli di temporappresentati con sfondo bianco nel grafico di fig. 1.6, durante i quali i(t) > 0,mentre risulta diretto in senso opposto durante gli intervalli rappresentati consfondo grigio, durante i quali i(t) < 0. Se il verso di riferimento viene fissatonell’altro senso, come indicato in fig. 1.7, nelle stesse condizioni dell’esempioprecedente la corrente e rappresentata dalla funzione

i(t) = −IM cos(ωt) = IM cos(ωt+ π)

In questo caso il verso fisico risulta coincidente con quello di riferimento negliintervalli di tempo nei quali nell’esempio precedente era discorde.

Questo esempio mostra come nel caso generale non sia possibile rappresentaresullo schema i versi fisici delle correnti, dato che questi possono variare nel tempo.

i t( )i t( )

IM

IM

A

B

0 t

Figura 1.7: Esempio

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Ai i

Figura 1.8: Inserimento di un amperometro

Inoltre si deve considerare il fatto che, nello studio dei circuiti elettrici, le correntidi solito rappresentano delle quantita incognite, quindi anche i loro versi fisiciin genere non sono noti a priori, se si esclude il caso di circuiti con strutturaelementare.

La corrente e misurata per mezzo di uno strumento dotato di due terminalidetto amperometro. L’amperometro viene collegato come indicato in fig. 1.8,interrompendo il conduttore in cui circola la corrente da misurare.

I terminali dello strumento sono marcati in modo da poterli distinguere inquanto la loro disposizione definisce il verso di riferimento attribuito alla corrente(in genere i terminali sono distinti con i simboli + e − e il verso di riferimento siintende diretto dal terminale + al terminale −).

Per non perturbare il circuito in cui viene inserito, occorre che la tensione frai terminali dell’amperometro sia praticamente sempre nulla, indipendentementedal valore della corrente che lo attraversa.

1.1.6 Tensione

Come e noto dalla Fisica, si dice che una regione dello spazio e sede di un campoelettrico E(P) se una carica q posta in quiete in un generico punto P di taleregione e soggetta ad una forza

F (P) = q E(P) (1.10)

Se la carica q viene spostata da un punto A ad un punto B lungo un percorso (fig. 1.9), le forze agenti sulla carica compiono il lavoro

L =

∫

F · dl = q

∫

E · dl (1.11)

Si definisce tensione lungo la linea il lavoro per unita di carica compiutodalle forze del campo elettrico

T=L

q=

∫

E · dl (1.12)

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A

B

dl

E

q

Figura 1.9: Definizione della tensione

La tensione si misura in volt (simbolo V), si ha una tensione di 1 V quando illavoro per unita di carica e di 1 joule/coulomb.

In generale il valore della tensione dipende, oltre che dai punti A e B, anchedal percorso lungo il quale si muove la carica. In condizioni particolari, come adesempio nel caso del campo elettrostatico, il valore dell’integrale dipende solo daipunti estremi. In questo caso la tensione tra i punti A e B e indicata generalmentecon il simbolo VAB.

In queste condizioni, se si sceglie arbitrariamente un punto di riferimento O,si puo associare ad ogni punto P una funzione scalare V (P) detta potenziale edefinita dalla relazione

V (P)=

∫ O

P

E · dl (1.13)

in cui l’integrale si intende valutato lungo un qualunque percorso che collega ipunti P e O.

Si puo verificare che la tensione tra ogni coppia di punti A e B puo essereespressa come differenza tra i valori del potenziale in tali punti. Infatti si ottiene

VAB =

∫ B

A

E · dl =∫ O

A

E · dl +∫ B

O

E · dl =

=

∫ O

A

E · dl −∫ O

B

E · dl = V (A)− V (B)

(1.14)

Si noti che la scelta del punto di riferimento non ha effetto sul risultato della(1.14). Infatti, se si considera un altro punto O′, il potenziale V ′ relativo a talepunto e legato al potenziale V , definito dalla (1.13), dalla relazione

V ′(P) =∫ O′

P

E · dl =∫ O

P

E · dl +∫ O′

O

E · dl = V (P)− V (O′) (1.15)

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e quindi risulta

V ′(A)− V ′(B) = V (A)− V (O′)− V (B) + V (O′) =

= V (A)− V (B)(1.16)

Le ipotesi su cui si basa il modello circuitale richiedono che sia possibile as-sociare in modo univoco una tensione ad ogni coppia di terminali di ciascuncomponente. Si puo dimostrare che, affinche il modello circuitale sia applicabile,occorre che la tensione risulti indipendente dal percorso impiegato per valutarlaalmeno fino a che si considerano linee che non entrano all’interno delle superficilimite dei componenti. Quindi si assume che nelle regioni indicate con 2 e 3 infig. 1.1 sia possibile definire il potenziale. In particolare si osserva che i conduttori(2) devono essere equipotenziali e che di conseguenza tutti i terminali collegatida un conduttore devono essere allo stesso potenziale.

Il valore della tensione ha un segno che dipende dall’ordine in cui sono conside-rati i terminali. Quindi anche per descrivere completamente una tensione occorreprecisare un verso di riferimento. A tale scopo si attribuisce arbitrariamente adun terminale il nome di terminale positivo e all’altro il nome di terminale negativo.Con questo si intende che la tensione rappresenta la differenza tra il potenzialedel terminale positivo e quello del terminale negativo. Quindi la tensione assume

• valori positivi se il terminale positivo ha potenziale maggiore rispetto aquello negativo;

• valori negativi se il terminale positivo ha potenziale minore.

Anche per la tensione e possibile definire un verso fisico, che corrisponde adassumere come terminale positivo quello a potenziale maggiore. D’altra parte,come avviene per i versi fisici delle correnti, i versi fisici delle tensioni in generalenon sono noti a priori e possono essere variabili nel tempo. Per questo nellostudio dei circuiti fa uso di versi di riferimento fissati a priori in modo arbitrario.Il segno della tensione in relazione al verso di riferimento consente di determinareil verso fisico.

2

3

1

v12

v31 v23

Figura 1.10: Rappresentazione dei versi di riferimento delle tensioni

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V

v

Figura 1.11: Inserimento di un voltmetro

Il verso di riferimento e indicato ponendo i simboli + e − vicino ai terminali,oppure con una freccia diretta dal terminale negativo a quello positivo7, comeindicato in fig. 1.10.

La tensione e misurata per mezzo di uno strumento detto voltmetro, dotato didue terminali che vengono collegati ai nodi tra cui si vuole misurare la tensionecome indicato in fig. 1.11. Anche nel caso del voltmetro i terminali dello strumentosono marcati (in genere con i simboli + e −) in modo da poterli distinguere datoche la loro disposizione definisce il verso di riferimento attribuito alla tensione.

Per non perturbare il circuito in cui viene inserito, occorre che la correnteattraverso lo strumento sia praticamente sempre nulla, indipendentemente dalvalore della tensione tra i suoi terminali.

1.2 Leggi di Kirchhoff

Il collegamento tra i componenti di un circuito impone dei vincoli alle loro tensionie alle loro correnti. Questi vincoli sono espressi dalle leggi di Kirchhoff, checostituiscono le leggi fondamentali della Teoria dei Circuiti.

1.2.1 Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI)

E nulla la somma algebrica delle correnti che attraversano ogni su-perficie chiusa orientata esterna alle superfici limite dei componenti.

In questa somma algebrica alle correnti va attribuito segno diverso a seconda che illoro verso di riferimento sia entrante o uscente rispetto alla superficie considerata.Ovviamente e del tutto arbitrario scegliere di considerare positivo il contributodelle correnti uscenti o di quelle entranti. In seguito generalmente si attribuirasegno positivo alle correnti uscenti.

7Questa freccia quindi e orientata in senso opposto al verso di percorrenza impiegato pervalutare l’integrale nelle (1.12) e (1.14).

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Come caso particolare, la LKI puo essere applicata ad una superficie cheracchiude un solo nodo e quindi consente di affermare che e nulla la sommaalgebrica delle correnti afferenti a ciascun nodo.

Esempio 1.1 Applicare la legge di Kirchhoff per le correnti alle superfici S1 e S2

rappresentate in fig. 1.12.

i2

i3

i5

i6

i7

i4

i1

S1

S2

Figura 1.12: Esempi di applicazione della LKI

Risoluzione Con la convenzione di attribuire segno + alle correnti uscenti e −a quelle entranti si ha:

• per la superficie S1

−i1 + i2 + i3 − i4 = 0

• per la superficie S2

−i5 + i6 + i7 = 0

1.2.2 Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV)

E nulla la somma algebrica delle tensioni lungo ogni linea chiusaorientata passante per i nodi ed esterna alle superfici limite dei com-ponenti.

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In questa somma algebrica alle tensioni va attribuito segno diverso a secon-da che i loro versi di riferimento siano concordi o discordi con quello (sceltoarbitrariamente) del percorso considerato.

Si noti che la forma della linea e irrilevante, cio che conta ai fini dell’applica-zione della LKV e solo la sequenza dei nodi attraversati dalla linea stessa.

Esempio 1.2 Applicare la legge di Kirchhoff per le tensioni ai percorsi definitidalle linee chiuse 1 e 2 rappresentate in fig. 1.13.

vBA

vBC

vCD

vAD

vEC

vED

BC

D

E

A

1

2

Figura 1.13: Esempi di applicazione della LKV

Risoluzione Entrambe le linee sono state orientate in senso orario. Con laconvenzione di attribuire segno + alle tensioni concordi con i versi di percorrenzae segno − a quelle discordi si ottiene:

• per la linea 1

vAD + vBA − vBC − vCD = 0

• per la linea 2

vCD + vEC − vED = 0

Esempio 1.3 Con riferimento alla fig. 1.14, esprimere le tensioni vDA, vAE evGA in funzione delle tensioni dei componenti.

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vAB

vDA vAE

vGA

vAH

vCB vGH

vDC vGF

vFEvDE

A

HB

GC

FD

E

Figura 1.14: Esempi di applicazione della LKV

Risoluzione Si consideri la sequenza di nodi A-D-C-B-A. Per la LKV le tensionitra questi nodi devono soddisfare la relazione

vDA − vDC − vCB + vAB = 0

Quindi, se sono note le tensioni dei componenti, la tensione vDA puo esserevalutata mediante la relazione

vDA = vDC + vCB − vAB

In alternativa si puo considerare la sequenza A-D-E-F-G-H-A. Procedendo inmodo analogo, in questo caso si ottiene

vDA = vDE − vFE − vGF + vGH − vAH

Si noti che le due espressioni di vDA sono equivalenti dato che la LKV richiedeanche che sia

−vAB + vCB + vDC − vDE + vFE + vGF − vGH + vAH = 0

Con un procedimento simile, per le altre tensioni si ottiene

vAE = vAB − vCB − vDC + vDE = vAH − vGH − vGF + vFE

vGA = vGH − vAH = vGF + vFE − vDE + vDC + vCB − vAB

Osservazioni

• Le leggi di Kirchhoff impongono alle correnti e alle tensioni dei componentidei vincoli rappresentati da equazioni lineari, algebriche, omogenee.

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• Queste equazioni possono essere poste nella forma∑k

akik(t) = 0 (1.17a)

∑k

bkvk(t) = 0 (1.17b)

in cui le somme si intendono estese a tutte le correnti e tutte le tensioni deicomponenti e i coefficienti ak e bk possono assumere i valori +1, −1 e 0.

• I vincoli imposti dalle leggi di Kirchhoff non dipendono dal tipo di compo-nenti presenti nel circuito, ma solo dal modo in cui questi sono collegati traloro.

1.3 Generalita sui componenti

1.3.1 Correnti descrittive

Ad un N -polo possono essere associate N correnti (una per terminale). Questecorrenti non sono pero tutte indipendenti tra loro. Infatti applicando la LKIad una superficie che racchiude il solo componente si ottiene che la loro sommaalgebrica deve essere nulla. Di conseguenza, se si conoscono N − 1 correnti, laLKI consente di determinare l’N -esima, come e mostrato dall’esempio di fig. 1.15.

Quindi per rappresentare il comportamento del componente sono sufficientiN − 1 correnti, dette correnti descrittive, che possono essere scelte in modo arbi-trario escludendo la corrente di uno dei terminali, che viene chiamato terminalecomune.

Da tutto cio si ricava anche che il componente piu semplice che ha sensoconsiderare e il bipolo, infatti la LKI richiede che per un componente con un soloterminale la corrente sia identicamente nulla. Un bipolo e caratterizzato da unasola corrente descrittiva, infatti per la LKI la corrente entrante in un terminaledeve essere uguale a quella uscente dall’altro.

3

2

0

1i1 i3

i2

i0

i0 = i1 − i2 + i3

Figura 1.15: Vincolo imposto dalla LKI alle correnti di un componente

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3

2

0

1

v1 v3

v2

v12 v23

v31

v12 = v1 − v2

v23 = v2 − v3

v31 = v3 − v1

Figura 1.16: Vincoli imposti dalla LKV alle tensioni di un componente

1.3.2 Tensioni descrittive

Ad un N -polo si possono associare tante tensioni quante sono le possibili coppiedi terminali, cioe N(N − 1)/2. Queste tensioni non sono pero tutte indipenden-ti. Infatti la LKV richiede che sia nulla la somma algebrica delle tensioni lungoun qualunque percorso chiuso passante per i terminali del componente, di con-seguenza alcune tensioni possono essere espresse in funzione di altre. Quindi ilcomportamento del componente puo essere rappresentato mediante un opportunoinsieme di tensioni descrittive scelte in modo che:

• non formino percorsi chiusi (e quindi non siano vincolate dalla LKV);

• per mezzo di esse (applicando la LKV) si possano determinare tutte le altretensioni tra le possibili coppie di terminali.

Un metodo per scegliere un insieme di tensioni aventi queste caratteristiche con-siste nel fissare arbitrariamente uno dei terminali come riferimento e considerarele N − 1 tensioni degli altri terminali rispetto ad esso. Tutte le altre tensionipossono essere espresse come differenza tre due tensioni descrittive.

Nella fig. 1.16 e mostrato un esempio relativo ad un quadripolo. In questocaso e stato scelto come riferimento il terminale 0, quindi le tensioni descrittivesono: v1, v2 e v3.

3

2

0

1

v12 v23

v10

Figura 1.17: Scelta alternativa delle tensioni descrittive

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In seguito le tensioni saranno definite prevalentemente in questo modo. Sinoti, comunque, che sono possibili anche scelte diverse. Un esempio e mostratonella fig. 1.17. E semplice verificare che anche mediante le tre tensioni indicatein figura e possibile esprimere tutte le tensioni tra le coppie di terminali.

In ogni caso per un N -polo si devono considerare N − 1 tensioni. Infatticon un numero maggiore di tensioni si formerebbero necessariamente dei percorsichiusi, mentre, con un numero inferiore, non sarebbe possibile raggiungere tuttii terminali.

Come caso particolare, per i bipoli si ha una sola coppia di terminali e quindiuna sola tensione descrittiva.

1.3.3 Relazioni costitutive

Ciascun componente, in dipendenza dalla sua struttura interna e dai fenomenifisici che avvengono entro la sua superficie limite, impone dei vincoli tra le tensionie le correnti ai suoi terminali. Questi vincoli sono espressi mediante equazionidette relazioni costitutive del componente.

Si e visto che un componente a N terminali e caratterizzato mediante N − 1tensioni e N − 1 correnti. Di regola il componente impone a queste grandezzeN − 1 vincoli. Come caso particolare, per un bipolo si ha una sola equazione chelega la tensione e la corrente descrittiva.

Le equazioni dei componenti possono essere di vario genere. In seguito sarannoesaminate le equazioni di alcuni componenti fondamentali. Per il momento sifornisce una classificazione dei componenti in base ad alcune proprieta delle lororelazioni costitutive.

• Componenti lineari e non lineari

Un componente e detto lineare se i vincoli tra le tensioni e le correnti sonoespressi da relazioni lineari, si dice non lineare negli altri casi.

• Componenti privi di memoria e dotati di memoria

Un componente si dice privo di memoria se le sue equazioni mettono inrelazione tra loro solo i valori delle tensioni e delle correnti ad uno stessoistante, si dice dotato di memoria o dinamico se le sue equazioni coinvolgonovalori delle tensioni e delle correnti relativi ad istanti diversi.

• Componenti tempo-varianti e tempo-invarianti

Un componente si dice tempo-variante se le sue equazioni dipendono espli-citamente dal tempo. Si dice tempo-invariante se il tempo compare nel-la relazione costitutiva solo in forma implicita attraverso le tensioni e lecorrenti.

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Esempio Si considerino le seguenti relazioni costitutive di bipoli:

a) v(t) = Ri(t)

b) i(t) = a(t)v(t) + b(t)v3(t)

c) i(t) = I0[eαv(t) − 1

]d) v(t) = [R0 +R1 cos(ωt)] i(t)

e) v(t) =1

C

∫ t

−∞i(t′)dt′

f) v(t) = Ldi

dt

g) i(t) =K√

V0 − v(t)dv

dt

Si assuma che in queste equazioni R, I0, α, R0, R1, ω, C, L, K e V0 rappresentinodelle costanti note, e che a(t) e b(t) siano funzioni note del tempo.

• per quanto riguarda la linearita

– sono lineari i bipoli a), d), e), f)

– sono non lineari i bipoli b), c), g)

• per quanto riguarda la memoria

– sono dinamici i bipoli e), f), g)

– sono privi di memoria i bipoli a), b), c), d)

• per quanto la dipendenza dal tempo

– sono tempo-varianti i bipoli b), d)

– sono tempo-invarianti i bipoli a), c), e), f), g)

1.3.4 Convenzioni per i bipoli

Per un bipolo sia la tensione che la corrente possono essere scelte con due orien-tamenti diversi. Si hanno quindi le quattro possibili scelte rappresentate infig. 1.18.

• Nei casi a) e b) l’orientamento relativo della tensione e della corrente etale che la corrente risulti entrante nel terminale positivo. In questi casi sidice che tensione e corrente sono definite secondo la convenzione normaleo convenzione dell’utilizzatore.

• Nei casi c) e d) la corrente e uscente dal terminale positivo. In questo casosi parla di convenzione del generatore.

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v v v v

ii i i

a) b) c) d)

Figura 1.18: Convenzione dell’utilizzatore e del generatore

La convenzione dell’utilizzatore e quella adottata piu comunemente. Spesso,quando si impiega tale convenzione, uno dei versi di riferimento e sottinteso(in genere si indica solo il verso della corrente). Se invece si adotta la conven-zione del generatore i versi della tensione e della corrente sono sempre indicatiesplicitamente.

1.3.5 Potenza assorbita ed erogata da un bipolo

Se v(t) e i(t) sono la tensione e la corrente di un bipolo, mediante considerazionidi tipo elettromagnetico si puo dimostrare che il loro prodotto rappresenta lapotenza che il bipolo scambia con l’esterno8.

In particolare se i versi di riferimento sono definiti secondo la convenzionedell’utilizzatore, la quantita

pa(t) = v(t)i(t) (1.18)

risulta positiva se il bipolo assorbe potenza dall’esterno e negativa se il bipolocede potenza. Per questo pa(t) e detta potenza assorbita dal bipolo. La potenzaassorbita assume valore positivo quando la tensione e la corrente sono entrambepositive o entrambe negative, e negativa quando la tensione e la corrente hannosegni opposti. Si noti che le scelte a) e b) di fig. 1.13 sono pertanto equivalentiai fini del calcolo di pa(t).

Quando il bipolo cede potenza, e positiva la quantita:

pe(t) = −pa(t) (1.19)

che prende il nome di potenza erogata.Se la tensione e la corrente sono definite secondo la convenzione del generatore

il loro prodotto rappresenta la potenza erogata

pe(t) = v(t)i(t) (1.20)

8La potenza e misurata in watt (simbolo W). La potenza scambiata da un bipolo e 1 Wquando la tensione fra i terminali e 1 V e la corrente e 1 A.

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3

2

0

1i1 i3

i2

v1 v3

v2

Figura 1.19: Convenzione normale per un N -polo

infatti rispetto ai casi a) e b) cambia il segno della tensione o della corrente, equindi cambia il segno del prodotto. (Si noti che le scelte c) e d) sono comunqueequivalenti tra loro ai fini del calcolo di pe(t)).

1.3.6 Convenzioni e potenze per gli N-poli

Per un N -polo si dice che tensioni e correnti sono orientate secondo la convenzionenormale se:

• per tutte le correnti descrittive si assume verso di riferimento entrante (lacorrente del terminale di riferimento, che non fa parte dell’insieme dellecorrenti descrittive, di solito si considera uscente);

• si impiegano come tensioni descrittive le tensioni rispetto al terminale co-mune degli altri terminali;

• per tutte le tensioni descrittive si considera negativo il terminale comune.

Quindi i versi di riferimento indicati in fig. 1.19 corrispondono alla convenzionenormale.

Quando si adotta la convenzione normale la quantita

pa(t) =N−1∑k=1

vk(t)ik(t) (1.21)

rappresenta la potenza assorbita dall’N -polo. In questa espressione la sommatoriae estesa a tutti i terminali diversi da quello di riferimento. Con ik(t) si indica lacorrente del k-esimo terminale e con vk(t) la sua tensione rispetto al riferimento.

1.3.7 Componenti a N-porte

Si consideri un componente con un numero pari di terminali, 2N , e si assuma chequesti terminali possano essere raggruppati in coppie tali che la corrente entrante

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1

1’

3’

3

2’ 2

i1

i1’ i3

i3’

i2i2’

i1′ = −i1i2′ = −i2i3′ = −i3

Figura 1.20: N -porte

in uno dei due terminali sia uguale a quella uscente dall’altro (fig. 1.20). Ciascunacoppia di terminali per cui e verificata questa condizione prende il nome di portae il componente e detto N -porte.

Un componente a N -porte puo essere visto come un insieme di N bipoliinteragenti tra loro, per questo come sinonimo di N -porte si usa anche in nomediN -plo bipolo. Si noti che, in genere, un componente multipolare puo funzionarecome N -porte se collegato opportunamente ad altri componenti, ad esempio se isuoi terminali sono collegati a dei bipoli come indicato in fig. 1.21.

Per alcuni componenti l’uguaglianza tra le correnti ai terminali di ciascunaporta e imposta, invece, dalla struttura interna. In questo caso si parla diN -porteintrinseci.

Per un N -porte si impiegano come correnti descrittive le N correnti associatealle porte e come tensioni descrittive le N tensioni tra le coppie di terminali ditutte le porte. Queste tensioni e correnti sono definite secondo la convenzionenormale se, per ciascuna porta, si assume per la corrente il verso entrante nelterminale positivo (fig. 1.22).

Le relazioni costitutive di un N -porte, di regola, sono espresse da N equazioninelle N correnti e N tensioni di porta.

Si noti che, mentre le correnti descrittive consentono di esprimere la corrente

1

1’

3’

3

2’ 2

i1

i3

i2

Figura 1.21: N -porte estrinseco

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1

1’

3’

3

2’ 2

v1 v3

v2

i1

i3

i2

Figura 1.22: Convenzione normale per un N -porte

a tutti i terminali del componente, le tensioni descrittive non permettono diricavare le tensioni tra tutte le possibili coppie di terminali. In generale pero,per i componenti rappresentabili come N -porte, non interessa conoscere tutte lepossibili tensioni tra i terminali. In particolare si puo verificare che la potenzaassorbita da un N -porte e determinata dalle sole tensioni e correnti di porta, ecioe che e data da

pa(t) =N∑

k=1

vk(t)ik(t) (1.22)

in cui ik(t) indica la corrente della k-esima porta e vk(t) la sua tensione.Per dimostrarlo si puo trattare inizialmente il componente come un 2N -polo

generico. Quindi si fissa un terminale di riferimento e si scrive l’espressione dellapotenza in funzione delle correnti dei 2N − 1 terminali diversi dal riferimento edelle 2N−1 tensioni di tutti gli altri terminali rispetto al riferimento. Dato che lecorrenti ai terminali di una porta sono uguali e opposte, si osserva che la potenzapuo essere espressa come somma di termini dati dal prodotto di una corrente diporta per la differenza tra le tensioni dei terminali della porta stessa rispetto alriferimento. Questa differenza rappresenta la tensione di porta, quindi la potenzapuo essere calcolata facendo uso delle sole tensioni e correnti di porta.

Ad esempio, per il componente a sei terminali di fig. 1.22, assumendo comeriferimento il terminale 1′ si ha

pa = v11′i1 + v21′i2 + v2′1′i2′ + v31′i3 + v3′1′i3′ (1.23)

Dato che i2 = −i2′ e i3 = −i3′ , sostituendo nella relazione precedente si ottiene

pa = v11′i1 + (v21′ − v2′1′)i2 + (v31′ − v3′1′)i3 (1.24)

Per la LKV, le tensioni di porta sono date da

v1 = v11′

v2 = v21′ − v2′1′

v3 = v31′ − v3′1′

(1.25)

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11

1’

03’

3

3

22’ 2

0

v1

v1

v3

v3

v2

v2

i1

i1

i3

i3

i2 i2

Figura 1.23: N+1-polo e N -porte

quindi si ottiene

pa = v1i1 + v2i2 + v3i3 (1.26)

Si osserva, infine, che un componente con N + 1 terminali puo essere rappre-sentato come un N -porte avente tutti i terminali negativi collegati tra loro comeindicato in fig. 1.23. Cio consente di trattare in modo unitario gli N+1-poli e gliN -porte.

1.3.8 Componenti attivi e passivi

La potenza assorbita da un componente rappresenta l’energia assorbita nell’unitadi tempo. Quindi la quantita9

wa(t) =

∫ t

−∞pa(t

′)dt′ (1.27)

rappresenta l’energia assorbita da un componente fino all’istante t. Analogamentela quantita

we(t) = −wa(t) =

∫ t

−∞pe(t

′)dt′ (1.28)

rappresenta l’energia erogata da un componente fino all’istante t.Per alcuni componenti, per tutti i possibili andamenti delle tensioni e delle

correnti descrittive compatibili con le relazioni costitutive, risulta

wa(t) ≥ 0 ∀ t (1.29)

9L’integrale e esteso idealmente fino a −∞ per indicare che si deve tenere conto del com-portamento del componente in tutti gli istanti precedenti l’istante t. Ovviamente nei casi realile tensioni e le correnti, e quindi la potenza assorbita, saranno diverse da zero solo a partire daun certo istante t0 > −∞.

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Un componente per cui e sempre verificata tale condizione e detto passivo. Se, alcontrario, almeno per alcuni valori di t e per particolari andamenti delle tensionie delle correnti puo essere

wa(t) < 0 (1.30)

e quindi

we(t) > 0 (1.31)

il componente e detto attivo. Un componente attivo e quindi un componente ingrado di generare energia elettrica10.

Il fatto che un componente sia passivo non implica che esso assorba energiain ogni istante. Se si considerano due istanti t1 e t2 (con t2 > t1), l’espressionedell’energia assorbita fino a t2 puo essere posta nella forma

wa(t2) =

∫ t2

−∞pa(t)dt =

∫ t1

−∞pa(t)dt+

∫ t2

t1

pa(t)dt =

= wa(t1) + wa(t1, t2)

(1.32)

in cui

wa(t1, t2) =

∫ t2

t1

pa(t)dt (1.33)

rappresenta l’energia assorbita nell’intervallo [t1, t2]. Per un componente passivo,dovendo essere soddisfatta la condizione

wa(t2) ≥ 0 (1.34)

deve essere anche

wa(t1, t2) ≥ −wa(t1) (1.35)

Tale relazione puo essere soddisfatta anche se wa(t1, t2) e negativa, cioe puo ac-cadere che in particolari intervalli di tempo il componente ceda energia al restodel circuito. La (1.35) implica pero che l’energia ceduta dal componente nell’in-tervallo [t1, t2], we(t1, t2) non puo essere maggiore di quella che il componente haassorbito in precedenza

we(t1, t2) = −wa(t1, t2) ≤ wa(t1) (1.36)

Quindi e possibile che un componente passivo accumuli l’energia assorbita e inseguito la restituisca al resto del circuito. Per un componente che ha questo tipodi comportamento, le tensioni e le correnti ad un certo istante (che definiscono la

10Cioe di convertire in energia elettrica energia disponibile sotto altre forme.

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potenza erogata in quell’istante) devono essere, in qualche modo, in relazione coni valori assunti dalle tensioni e correnti in istanti precedenti (dai quali dipendel’energia precedentemente assorbita), pertanto il componente deve essere dotatodi memoria.

Al contrario, per un componente resistivo passivo, dato che i valori istantaneidelle tensioni e delle correnti non dipendono da cio che e avvenuto negli istantiprecedenti, la potenza assorbita deve risultare positiva in ogni istante. L’ener-gia assorbita dal componente, quindi, e sottratta definitivamente al circuito. Inquesto caso si parla di energia dissipata11.

1.4 Analisi di un circuito

A questo punto e possibile specificare che cosa significa analizzare o risolvere uncircuito.

Incognite Il comportamento del circuito e definito dall’evoluzione nel tempo del-le tensioni e delle correnti descrittive di tutti i componenti. Analizzare un circuitosignifica quindi determinare le funzioni del tempo che rappresentano l’evoluzionedi tutte queste tensioni e correnti12.

Le tensioni e le correnti descrittive rappresentano quindi le incognite delproblema (si sottolinea il fatto che nel caso piu generale si tratta di funzioniincognite).

Dati I dati del problema sono costituiti:

• dalle caratteristiche dei componenti,

• dalla struttura dei collegamenti.

Equazioni La determinazione delle tensioni e delle correnti descrittive richiedela soluzione di un sistema (equazioni del circuito) formato da due gruppi distintidi equazioni:

• le equazioni dei componenti,

• le equazioni dei collegamenti.

Come si e visto, mentre le equazioni dei collegamenti sono sempre lineari al-gebriche, le equazioni dei componenti possono essere di vario genere (lineari onon lineari, algebriche o differenziali). Il tipo di problema che si deve risolveredipende, quindi, dal tipo di componenti presenti nel circuito.

11Questa energia viene convertita in altre forme, ad esempio in calore.12Spesso si usa l’espressione forma d’onda per indicare la funzione che descrive l’andamento

di una tensione o di una corrente.

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1.5 Componenti equivalenti

1.5.1 Equivalenza tra componenti

Due componenti si dicono equivalenti se le loro relazioni costitutive sono uguali,cioe se i componenti impongono gli stessi vincoli alle tensioni e alle correnti ai loroterminali. Due componenti equivalenti tra loro possono avere struttura internadiversa ed essere sede di fenomeni fisici diversi. Il concetto di equivalenza siriferisce unicamente al comportamento ai terminali.

Se un componente di un circuito e sostituito con un altro ad esso equivalente,le equazioni del circuito non cambiano e di conseguenza non cambiano tutte letensioni e le correnti.

1.5.2 Equivalenza tra aggregati di componenti

Un oggetto formato da piu componenti collegati tra loro ed unito mediante uncerto numero di terminali al resto del circuito puo essere considerato a sua voltacome un componente. Si usera quindi il nome di componente elementare perindicare un componente che non puo essere suddiviso in componenti piu semplici.

Come si vedra in seguito, le equazioni caratteristiche di un componente nonelementare ad N terminali possono essere determinate a partire da un sistema diequazioni comprendente

• le equazioni dei componenti da cui e formato;

• i vincoli imposti dalle leggi di Kirchhoff alle tensioni e correnti di questicomponenti (tensioni e correnti interne) e a quelle relative ai terminali delcomponente risultante (tensioni e correnti esterne).

Il problema e simile a quello della risoluzione di un circuito, ma in questo casoil numero delle incognite e maggiore rispetto al numero delle equazioni. Infattihanno tante variabili in eccesso quanti sono i terminali del componente risultan-te meno uno. Cio deriva dal fatto che in questo caso non si considerano altricomponenti collegati ai terminali esterni, quindi rispetto al caso dell’analisi diun circuito completo il numero di equazioni di componenti contenuto nel sistemarisulta inferiore.

Eliminando da questo sistema le tensioni e le correnti interne, in generale sipossono ottenere N −1 equazioni che legano le tensioni e le correnti esterne e cherappresentano le relazioni costitutive del componente risultante.

E possibile che aggregati di componenti aventi struttura diversa siano luogoalle stesse relazioni costitutive, oppure che un componente non elementare abbiarelazioni costitutive coincidenti quelle di un componente elementare. Anche inquesto caso si parla di componenti equivalenti. In seguito si esamineranno al-cuni casi notevoli di equivalenze che possono essere utili nell’analisi dei circuiti.

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E importante sottolineare, comunque, che tali equivalenze riguardano esclusiva-mente le relazioni tra le tensioni e le correnti esterne. Quindi, se un insieme dicomponenti viene sostituito con un altro aggregato ad esso equivalente, l’equiva-lenza garantisce solo che le tensioni e le correnti esterne non cambiano, mentre letensioni e correnti interne in generale sono diverse.

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Capitolo 2

Bipoli privi di memoria

2.1 Introduzione

Un bipolo privo di memoria e un componente a due terminali la cui equazionemette in relazione i valori assunti nello stesso istante dalla tensione e dalla correntedescrittiva. La relazione costitutiva di bipolo di questo tipo e quindi un casoparticolare dell’equazione

f [v(t), i(t),t] = 0 (2.1)

dove f indica una funzione generica. Se il tempo compare esplicitamente comeargomento di f il componente e detto tempo-variante, altrimenti, se la relazionecostitutiva e del tipo

f [v(t), i(t)] = 0 (2.2)

il componente e detto tempo-invariante.L’equazione di un bipolo privo di memoria puo essere rappresentata grafi-

camente mediante una curva nel piano v-i detta curva caratteristica. I puntidi tale curva rappresentano l’insieme delle coppie di valori di tensione e corren-te compatibili con la relazione costitutiva del componente. Se il componente etempo-variante la curva cambia forma al variare di t.

Se e possibile scrivere l’equazione nella forma

i(t) = g [v(t)] (2.3)

cioe se la funzione f e tale da consentire di esplicitare la corrente come funzionedella tensione, si dice che il bipolo e comandato in tensione. Analogamente sel’equazione puo essere poste nella forma

v(t) = h [i(t)] (2.4)

si dice che il bipolo e comandato in corrente. In fig. 2.1 sono riportati alcuniesempi di caratteristiche.

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0 0

0

0

i i

ii

v

v v

v

a)

c)

b)

d)

Figura 2.1: Esempi di caratteristiche di bipoli privi di memoria

• Il bipolo descritto dalla caratteristica a) e comandato sia in corrente che intensione;

• il bipolo b) e comandato solo in corrente;

• il bipolo c) e comandato solo in tensione;

• il bipolo d) non e comandato ne in corrente ne in tensione.

Se la caratteristica del componente comprende l’origine, cioe se e possibile chela tensione e la corrente siano entrambe nulle, il componente e detto inerte.

Se la relazione costitutiva e tale che

f [v(t), i(t)] = 0 ⇔ f [−v(t),−i(t)] = 0 (2.5)

cioe la curva caratteristica e simmetrica rispetto all’origine il bipolo e detto bila-terale. I terminali di un componente bilaterale possono essere scambiati tra lorosenza che cio alteri il comportamento del componente e quindi quello del circuitoin cui e inserito.

Se tensione e corrente sono orientate secondo la convenzione normale, la po-tenza assorbita dal bipolo e positiva per i punti della curva caratteristica che si

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Bipoli privi di memoria 33

0

i

v

pa 0

pa 0 pa 0

pa 0

Figura 2.2: Segno della potenza assorbita (convenzione dell’utilizzatore)

trovano nel primo e nel terzo quadrante del piano v-i, e negativa per i punti chesi trovano nel secondo e nel quarto quadrante (fig. 2.2). Quindi, un bipolo privodi memoria e passivo se e solo se la sua caratteristica e interamente contenuta nelprimo e nel terzo quadrante. In questo caso, infatti, per tutti i possibili valori ditensione e corrente compatibili con l’equazione del componente, la potenza assor-bita e sempre positiva o al piu nulla e, di conseguenza, anche l’energia assorbitawa(t) risulta positiva o nulla1 per ogni t. Se invece la caratteristica comprendepunti del secondo o del quarto quadrante, facendo funzionare il dispositivo in talipunti si puo avere pa(t) < 0 e quindi wa(t) < 0, pertanto il componente e attivo.

2.2 Generatori indipendenti

2.2.1 Generatore (indipendente) di tensione

Il generatore (indipendente) di tensione e un bipolo avente equazione caratteri-stica

v(t) = vG(t) (2.6)

dove vG(t) e una funzione nota del tempo.Quindi il generatore di tensione impone il valore della tensione ai suoi ter-

minali mentre non stabilisce nessun vincolo per quanto riguarda la corrente, chepuo assumere un valore qualunque, dipendente solo dagli altri componenti delcircuito in cui il generatore e inserito.

Il simbolo utilizzato per rappresentare il generatore di tensione e indicato infig. 2.3a. In questo caso i versi di riferimento sono stati definiti seguendo la

1Piu precisamente si parla di componenti strettamente passivi se la caratteristica intersecagli assi solo in corrispondenza dell’origine e, quindi, se la potenza assorbita e nulla solo quandotensione e corrente sono entrambe nulle, mentre quando si usa semplicemente il termine passivonon si esclude la possibilita che la caratteristica abbia anche altri punti in comune con gli assi.

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0

i

i ii

vvG vG

vGVG

a) c) d)b)

Figura 2.3: Simboli e caratteristica del generatore indipendente di tensione

convenzione del generatore. A volte, nel caso particolare in cui vG(t) e costantenel tempo, il generatore e indicato anche con il simbolo di fig. 2.3b. In alcunitesti, e in particolare in quelli americani, il generatore di tensione e rappresentatocon il simbolo di fig. 2.3c.

La curva caratteristica del generatore nel piano i-v, rappresentata in fig. 2.3d,e una retta parallela all’asse delle ordinate avente ascissa variabile nel tempo conlegge definita da vG(t).

Dato che la corrente puo assumere sia valori positivi che negativi, il gene-ratore puo, erogare o assorbire potenza2. Il generatore di tensione e quindi uncomponente attivo.

2.2.2 Generatore (indipendente) di corrente

Il generatore (indipendente) di corrente e un bipolo avente equazione caratteri-stica

i(t) = iG(t) (2.7)

dove iG(t) e una funzione nota del tempo.Quindi il generatore di corrente impone il valore della corrente ai suoi terminali

mentre non stabilisce nessun vincolo per quanto riguarda la tensione, che puoassumere un valore qualunque, dipendente solo dai componenti del circuito in cuiil generatore e inserito.

Il simbolo utilizzato per rappresentare il generatore di corrente e indicato infig. 2.4a. Anche in questo caso i versi di riferimento sono stati definiti seguendola convenzione del generatore. In alcuni testi, e in particolare in quelli americani,il generatore di corrente e rappresentato con il simbolo di fig. 2.4b.

2Se vG(t) non e identicamente nulla per ogni t, altrimenti la potenza risulta sempre ugualea zero.

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0

i

vv v

a) b) c)

v v

iG

iG iG

Figura 2.4: Simboli e caratteristica del generatore indipendente di corrente

La curva caratteristica del generatore nel piano i-v, rappresentata in fig. 2.4c,e una retta parallela all’asse delle ascisse avente ordinata variabile nel tempo conlegge definita da iG(t).

Dato che la tensione puo assumere sia valori positivi che negativi, il generatorepuo erogare o assorbire potenza3. Quindi anche il generatore di corrente e uncomponente attivo.

Il generatore di tensione e il generatore di corrente hanno caratteristiche ana-loghe a parte lo scambio di ruoli tra la tensione e la corrente. Questo fatto siesprime dicendo che i due generatori sono componenti duali.

2.3 Resistore

Nel senso piu generale il termine resistore e impiegato per indicare un componenteprivo di memoria e inerte. Nell’uso comune per resistore si intende, pero, ilsolo componente lineare e tempo-invariante, mentre negli altri casi si impieganoesplicitamente le espressioni resistore non lineare o resistore tempo-variante. Inseguito ci si atterra a tale consuetudine, quindi gli aggettivi lineare e tempo-invariante saranno sottintesi mentre quando si intendera considerare componentinon lineari o tempo-varianti lo si indichera esplicitamente.

Quindi per resistore (lineare tempo-invariante) si intende un bipolo la cuiequazione caratteristica e del tipo

v(t) = Ri(t) (2.8)

o, equivalentemente

i(t) = Gv(t) (2.9)

3Se iG(t) non e identicamente nulla

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0

i

i

vv R

a) b)

Figura 2.5: Simbolo e caratteristica del resistore

in cui v e i sono orientate secondo la convenzione normale. Il parametro R e dettoresistenza e si misura in ohm (simbolo Ω), il parametro G e detto conduttanzae si misura in siemens4 (simbolo S). La resistenza e la conduttanza sono legate,evidentemente, dalla relazione

G =1

R(2.10)

Per un resistore fisico la resistenza, e quindi la conduttanza, assumono semprevalori positivi. In alcuni casi, ad esempio nell’ambito di particolari circuiti equiva-lenti, puo comunque essere necessario considerare anche resistori aventi resistenzanegativa.

Il resistore e rappresentato mediante il simbolo indicato in fig. 2.5a. In fig. 2.5be riportata la caratteristica del componente nel piano v-i, che consiste in unaretta passante per l’origine e avente pendenza 1/R. Il resistore e evidentementeun bipolo comandato sia in corrente che in tensione, inoltre e un componentebilaterale.

La potenza assorbita da un resistore e data da

pa(t) = v(t)i(t) = Ri2(t) = Gv2(t) (2.11)

Tali espressioni mostrano che se R e positiva risulta sempre pa(t) ≥ 0 pertantoil resistore e un componente passivo. Se viceversa si ha R < 0 risulta semprepa(t) ≤ 0. Quindi un resistore con resistenza negativa e attivo ed eroga potenzain qualunque condizione di funzionamento5.

4L’unita di misura della conduttanza e anche indicata con il nome mho (simbolo ).5A parte il caso in cui v e i sono nulle.

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2.4 Cortocircuito

Si dice cortocircuito un bipolo avente equazione caratteristica

v(t) = 0 (2.12)

cioe che impone un valore nullo alla tensione ai suoi terminali indipendentementedal valore della corrente che lo attraversa.

Un cortocircuito e indicato con il simbolo di fig. 2.6a o con quello di fig. 2.6b,che rappresenta un interruttore chiuso. La sua curva caratteristica nel piano i-ve una retta coincidente con l’asse delle ordinate (fig. 2.6a).

Il cortocircuito puo essere visto come un caso limite di generatore di tensioneper il quale vG(t) e nulla in ogni istante, oppure come un caso limite di resistoreavente resistenza nulla (e quindi conduttanza infinita).

La potenza assorbita da un cortocircuito e in ogni caso nulla, quindi il corto-circuito e un componente passivo6.

0

i

vi

i

a) b) c)

v 0 v 0

Figura 2.6: Simboli e caratteristica del cortocircuito

2.5 Circuito aperto

Si dice circuito aperto un bipolo avente equazione caratteristica

i(t) = 0 (2.13)

cioe che impone un valore nullo alla corrente ai suoi terminali indipendentementedal valore della tensione a cui e sottoposto.

6si dice anche che il cortocircuito e un componente non energetico per mettere in evidenzache il valore della potenza assorbita e sempre uguale a zero

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0

i

vv v

a) b) c)

i 0 i 0

Figura 2.7: Simbolo e caratteristica del circuito aperto

Un circuito aperto e indicato con il simbolo di fig. 2.7a o con quello di fig. 2.7b,che rappresenta un interruttore aperto. La sua curva caratteristica nel piano i-ve una retta coincidente con l’asse delle ascisse (fig. 2.7b).

Il circuito aperto costituisce il componente duale del cortocircuito e puo esserevisto come un caso limite di generatore di corrente per il quale iG(t) e nulla inogni istante, oppure come un caso limite di resistore avente conduttanza nulla (equindi resistenza infinita).

La potenza assorbita da un circuito aperto e in ogni caso nulla, pertantoanch’esso e un componente passivo (e non energetico).

2.6 Equivalenze tra bipoli privi di memoria

2.6.1 Bipoli in serie

Due bipoli si dicono collegati in serie quando un terminale del primo bipolo euno del secondo sono uniti in un nodo a cui non sono collegati altri componenti(fig. 2.8).

In queste condizioni, applicando la LKI al nodo comune, si ricava che le cor-renti nei due bipoli devono essere uguali tra loro e coincidono con la corrente del

vii1

v1 v2

i2

Figura 2.8: 2 bipoli in serie

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vii1

v1 v2 vN

i2 iN

Figura 2.9: N bipoli in serie

bipolo complessivo (eventualmente a meno del segno se i versi di riferimento nonsono concordi)

i1 = i2 = i (2.14)

Inoltre, dalla LKV si ricava che la tensione del bipolo risultante e uguale allasomma delle tensioni ai capi dei due bipoli (eventualmente alla somma algebricase i versi di riferimento non sono tutti concordi)

v = v1 + v2 (2.15)

Piu in generale, si puo considerare il collegamento in serie di N bipoli (fig. 2.9).In questo caso dalle leggi di Kirchhoff si ottiene

i = ik per k = 1, 2, . . . , N (2.16)

v =N∑

k=1

vk (2.17)

2.6.2 Bipoli in parallelo

Due bipoli si dicono collegati in parallelo quando ciascuno dei terminali del primobipolo e collegato ad un terminale (distinto) del secondo componente (fig. 2.10).

Nel caso del collegamento in parallelo si possono fare considerazioni analoghea quelle fatte per il collegamento in serie, a parte uno scambio di ruoli tra la

v

i

i1

v1 v2

i2

Figura 2.10: 2 bipoli in parallelo

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tensione e la corrente. Questo fatto si esprime dicendo che il collegamento inserie e il collegamento in parallelo sono duali.

Per il collegamento in parallelo, dalla LKV si ricava che le tensioni dei bipolidevono essere uguali tra loro e coincidono con la tensione del bipolo complessivo(eventualmente a meno del segno se i versi di riferimento non sono concordi)

v1 = v2 = v (2.18)

Applicando la LKI ad uno dei due nodi, si ricava che la corrente del bipolorisultante e uguale alla somma delle correnti nei due bipoli (eventualmente allasomma algebrica se i versi di riferimento non sono tutti concordi).

i = i1 + i2 (2.19)

Piu in generale, si possono considerare N bipoli collegati in parallelo (fig. 2.11).In questo caso dalle leggi di Kirchhoff si ottiene

v = vk per k = 1, 2, . . . , N (2.20)

i =N∑

k=1

ik (2.21)

v

i

i1

v1 v2 vN

i2 iN

Figura 2.11: N bipoli in parallelo

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2.6.3 Resistori in serie e parallelo

2.6.3.1 Resistori in serie

Si considerino N resistori collegati in serie (fig. 2.12). Si vuole determinare larelazione tra la tensione v e la corrente i ai terminali del bipolo risultante.

Come si e visto, nel caso del collegamento in serie le tensioni e le correntisono soggette ai vincoli espressi dalle (2.16)-(2.17). A tali equazioni si devonoaggiungere le relazioni costitutive dei resistori

vk = Rkik per k = 1, 2, . . . , N (2.22)

Dato che le correnti sono tutte uguali a i, si puo scrivere

vk = Rki per k = 1, 2, . . . , N (2.23)

Sostituendo la (2.23) nella (2.17), si ottiene

v =

(N∑

k=1

Rk

)i (2.24)

quindi, se si introduce la quantita:

Rs=

N∑k=1

Rk (2.25)

detta resistenza equivalente serie, l’equazione del bipolo complessivo diviene

v = Rsi (2.26)

Tale relazione mostra che N resistori collegati in serie equivalgono ad un resistoredi valore Rs dato dalla somma delle resistenze di tutti i resistori.

vii1

v1

R1

v2

R2 RN

vN

i2 iN

Figura 2.12: Resistori in serie

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2.6.3.2 Resistori in parallelo

Si considerinoN resistori collegati in parallelo (fig. 2.13). Questo caso rappresentail duale del collegamento in serie di resistori, rispetto al quale si scambiano i ruolidelle tensioni e delle correnti e quindi quelli delle resistenze e delle conduttanze.Anche in questo caso ai vincoli derivanti da LKI e LKV espressi dalle equazioni(2.20)-(2.21) si devono aggiungere le relazioni costitutive dei resistori che convieneesprimere nella forma

ik = Gkvk per k = 1, 2, . . . , N (2.27)

dove Gk = 1/Rk. Dato che le tensioni sono tutte uguali a v, si ha

ik = Gkv per k = 1, 2, . . . , N (2.28)

Sostituendo la (2.28) nella (2.21), si ottiene

i =

(N∑

k=1

Gk

)v (2.29)

quindi, se si introduce la quantita

Gp=

N∑k=1

Gk (2.30)

detta conduttanza equivalente parallelo, l’equazione del bipolo complessivo diviene

i = Gpv (2.31)

Tale relazione mostra che N resistori collegati in parallelo equivalgono ad unresistore la cui conduttanza Gp e pari alla somma delle conduttanze di tutti iresistori. La resistenza equivalente parallelo Rp e data da

Rp=

1

Gp

=1

N∑k=1

1

Rk

(2.32)

v

i

i1

v1 v2 vN

i2 iN

R1 R2 RN

Figura 2.13: Resistori in parallelo

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Nel caso particolare in cui N = 2, quest’ultima relazione diviene

Rp =1

1

R1

+1

R2

=R1R2

R1 +R2

(2.33)

(Nel caso di due resistori collegati in serie, e possibile derivare espressioni analoghe

alle (2.32) e (2.33) per la conduttanza equivalente serie Gs= 1/Rs).

2.6.3.3 Partitore di tensione

Si considerino N resistori in serie, si assuma di conoscere la tensione complessiva,v, e i valori delle resistenze. Si vogliono determinare le tensioni ai capi dei singoliresistori.

Per risolvere questo problema si puo calcolare, in primo luogo, la correntecomune ai resistori, data da

i =v

Rs

=v

N∑k=1

Rk

(2.34)

Nota i, la tensione ai capi del generico j-esimo resistore della serie si ottienemoltiplicando i per la resistenza Rj

vj = Rji =Rj

N∑k=1

Rk

v (2.35)

Quindi, la tensione ai capi di ciascun resistore si ottiene moltiplicando la tensionecomplessiva per un coefficiente, chiamato fattore di partizione, dato dal rapportotra la resistenza del resistore in questione e la resistenza equivalente serie degliN resistori.

Cio mostra anche che la tensione complessiva si suddivide in parti diretta-mente proporzionali alle resistenze.

2.6.3.4 Partitore di corrente

Si considerino N resistori in parallelo, si assuma di conoscere la corrente comples-siva, i, e i valori delle resistenze. Si vogliono determinare le correnti nei singoliresistori.

Per risolvere questo problema si puo calcolare, in primo luogo, la tensionecomune ai resistori, data da

v =i

Gp

=i

N∑k=1

Gk

(2.36)

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Nota v, la corrente del generico j-esimo resistore del parallelo si ottiene moltipli-cando v per la conduttanza Gj

ij = Gjv =Gj

N∑k=1

Gk

i (2.37)

Quindi la corrente di ciascun resistore si ottiene moltiplicando la corrente com-plessiva per un fattore di partizione dato dal rapporto tra la conduttanza delresistore in questione e la conduttanza equivalente parallelo degli N resistori.

Cio mostra anche che la corrente complessiva si suddivide in parti direttamen-te proporzionali alle conduttanze (cioe inversamente proporzionali alle resistenze).

Nel caso particolare N = 2, se si esprime la (2.37) in funzione delle resistenzesi ottiene

i1 =G1

G1 +G2

i =

1

R1

1

R1

+1

R2

i =R2

R1 +R2

i (2.38)

e analogamente

i2 =R1

R1 +R2

i (2.39)

quindi la corrente in ciascun resistore si ottiene moltiplicando la corrente com-plessiva per un fattore di partizione dato dal rapporto fra al resistenza dell’altroresistore e la somma delle resistenze.

2.6.4 Collegamenti tra resistori e generatori

2.6.4.1 Serie generatore di tensione - resistore

Si consideri un bipolo costituito da un resistore e un generatore di tensione col-legati in serie. A seconda della scelta dell’orientamento relativo tra la tensionecomplessiva v e la tensione del generatore vG e della scelta della convenzione delgeneratore o dell’utilizzatore per l’orientamento relativo tra la tensione comples-siva v e la corrente comune i, si possono avere i quattro casi riportati in fig. 2.14.Se si indica con vR la tensione ai capi del resistore data da

vR = Ri (2.40)

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v v v v

i i i i

vR vR vR vR

vG vG vG vG

a) b) c) d)

R R R R

Figura 2.14: Serie generatore di tensione - resistore

0 0

0

0

i i

ii

v

vGvG

vG vG

v v

v

a)

c)

b)

d)

vG

R

vG

R

vG

R

vG

R

Figura 2.15: Caratteristiche dei bipoli di fig. 2.14

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(quindi sempre diretta secondo la convenzione normale relativamente alla correntecomune) si ottengono, nei quattro casi, le seguenti relazioni tra v ed i

v = vG + vR = vG +Ri (2.41a)

v = vG − vR = vG −Ri (2.41b)

v = −vG + vR = −vG +Ri (2.41c)

v = −vG − vR = −vG −Ri (2.41d)

Nel piano v-i queste equazioni sono rappresentate da rette del tipo indicatonella fig. 2.15 (nella quale si e assunto che vG sia positiva).

L’intersezione della retta con l’asse delle ascisse rappresenta il valore dellatensione corrispondente a corrente nulla (cioe la tensione v che si ha ai terminalidel bipolo quando questi non sono collegati ad altri componenti). Questo valoredi v e detto tensione a vuoto del bipolo e coincide, eventualmente a meno delsegno, con la tensione del generatore.

L’intersezione della retta con l’asse delle ordinate rappresenta il valore dellacorrente corrispondente a tensione nulla (cioe la corrente i che si ha se i terminalidel bipolo sono collegati in cortocircuito). Questo valore di i e detto, quindi,corrente di cortocircuito del bipolo. Il suo valore e vG/R nei casi b) e c), −vG/Rnei casi a) e d).

La pendenza della retta e 1/R se si impiega la convenzione normale, −1/R sesi impiega la convenzione del generatore.

2.6.4.2 Rappresentazione di un generatore reale di tensione

Come si e visto nel paragrafo 2.2.1, il generatore di tensione e un bipolo peril quale il valore della tensione e indipendente da quello della corrente. Per idispositivi fisici modellabili come generatori di tensione cio e vero solo in primaapprossimazione. Per un generatore fisico la tensione tende a ridursi al crescere

0

i

vG v

vG

R

R0

Figura 2.16: Dipendenza da R della caratteristica del bipolo di fig. 2.14b

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della corrente erogata e quindi puo essere considerata praticamente indipendentedalla corrente solo fino a quando questa assume valori sufficientemente piccoli.

Il comportamento di un generatore di tensione fisico puo essere rappresentatoin modo piu accurato impiegando un bipolo equivalente formato dalla serie di ungeneratore e di un resistore. La caratteristica di questo bipolo (fig. 2.16) e tantopiu vicina a quella di un generatore ideale quanto piu piccola e la resistenza R.Quindi al diminuire di R aumenta l’ampiezza dell’intervallo di valori di correnteper i quali possono essere considerati trascurabili gli scostamenti della tensionerispetto al valore della tensione a vuoto.

Se si impiegano, ad esempio, i versi di riferimento della fig. 2.14b, la potenzaerogata dal bipolo e espressa dalla relazione

pe = vi = vGi−Ri2 (2.42)

Questa potenza non puo assumere valore arbitrariamente grande, come avvie-ne per il generatore ideale, ma ha un massimo, al variare della corrente erogata,quando e verificata la condizione

dpe

di= 0 ⇒ vG − 2Ri = 0 (2.43)

cioe per

i =vG

2R=icc2

(2.44)

dove icc indica la corrente di cortocircuito (fig. 2.17). In queste condizioni dalla(2.41b) si ottiene il seguente valore della tensione

v = vG −RvG

2R=vG

2(2.45)

0

pe

i

icc

2

icc

pe max

Figura 2.17: Potenza erogata dal bipolo di fig. 2.14b al variare della corrente

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v

i

vG

R

RC

Figura 2.18: Circuito equivalente di un generatore reale di tensione collegato auna resistenza di carico

mentre il valore massimo della potenza (detto anche potenza disponibile delbipolo) risulta

pe max =vG

2

vG

2R=v2

G

4R(2.46)

Se si collega al bipolo un resistore di carico RC , come indicato in fig. 2.18, lapotenza erogata al carico vale

pe = vi = vGRC

R +RC

vG

R +RC

= v2G

RC

(R +RC)2(2.47)

Al variare di RC , la potenza erogata ha un andamento del tipo rappresentatoqualitativamente in fig. 2.19. Confrontando la (2.47) con la (2.46) e immediatoriconoscere che potenza ceduta al carico assume il valore massimo, pe max, se everificata la condizione

RC = R (2.48)

0

pe

RC

pe max

R

Figura 2.19: Dipendenza della potenza erogata dalla resistenza di carico

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2.6.4.3 Parallelo generatore di corrente - resistore

Questo caso rappresenta il duale di quello considerato nel paragrafo 2.6.4.1. Aseconda della scelta dell’orientamento relativo tra la corrente complessiva i e lacorrente del generatore iG e della scelta della convenzione del generatore o dell’u-tilizzatore per l’orientamento relativo tra la corrente complessiva i e la tensionecomune v, si possono avere i quattro casi riportati in fig. 2.20. Se si indica coniR la corrente nel resistore data da

iR =v

R(2.49)

(quindi sempre diretta secondo la convenzione normale relativamente alla tensionecomune) si ottengono, nei quattro casi, le seguenti relazioni tra v ed i

i = −iG + iR = −iG + v/R (2.50a)

i = iG − iR = iG − v/R (2.50b)

i = iG + iR = iG + v/R (2.50c)

i = −iG − iR = −iG − v/R (2.50d)

Nel piano v-i, queste equazioni sono rappresentate da rette del tipo indicatonella fig. 2.21 (nella quale si e assunto che iG sia positiva).

iG iG

iG iG

v v

v v

i i

i i

iR iR

iR iR

R R

R R

c)

a) b)

d)

Figura 2.20: Parallelo resistore - generatore di corrente

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0 0

0

0

i i

ii

v

RiG

iG

iG

iG

iG

RiG

RiG RiG

v v

v

a)

c)

b)

d)

Figura 2.21: Caratteristiche dei bipoli di fig. 2.20

2.6.4.4 Rappresentazione di un generatore di reale corrente

Anche per i dispositivi fisici modellabili come generatori di corrente e vero solo inprima approssimazione che la corrente e indipendente dal valore della tensione.Per un generatore di corrente fisico la corrente tende a ridursi al crescere dellatensione ai terminali e, quindi, puo essere considerata praticamente indipendentedalla tensione solo fino a quando questa assume valori sufficientemente piccoli.

Il comportamento di un generatore fisico puo essere rappresentato in modo piuaccurato impiegando un bipolo equivalente formato dal parallelo di un generatoredi corrente e di un resistore. La caratteristica di questo bipolo (fig. 2.22) e tantopiu vicina a quella di un generatore ideale quanto piu grande e la resistenza R.Quindi al crescere di R aumenta l’ampiezza dell’intervallo di valori di tensioneper i quali possono essere considerati trascurabili gli scostamenti della correnterispetto al valore della corrente di cortocircuito.

Se si impiegano, ad esempio, i versi di riferimento della fig. 2.20b, la potenzaerogata dal bipolo e espressa dalla relazione

pe = vi = viG − v2

R(2.51)

Questa potenza, quindi, non puo assumere valore arbitrariamente grande come

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0

i

iG

RiG

v

R

Figura 2.22: Dipendenza da R della caratteristica del bipolo di fig. 2.20b

avviene per il generatore ideale ma ha un massimo, al variare della tensione aicapi del bipolo quando e verificata la condizione

dpe

dv= 0 ⇒ iG − 2v

R= 0 (2.52)

cioe per

v =RiG2

=vca

2(2.53)

dove vca indica la tensione a vuoto (fig. 2.23). In queste condizioni la correntevale

i = iG −GiG2G

=iG2

(2.54)

Quindi la potenza disponibile e

pe max =iG2

iG2G

=i2G4G

(2.55)

0

pe

vca

2

vca

pe max

v

Figura 2.23: Potenza erogata dal bipolo di fig. 2.20b al variare della tensione

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iG v

iiR

R RC

Figura 2.24: Circuito equivalente di un generatore reale di corrente collegato auna resistenza di carico

Se si collega al bipolo un resistore di carico RC come indicato in fig. 2.24 lapotenza erogata al carico risulta

pe = vi = iGRRC

R +RC

iGR

R +RC

= (RiG)2 RC

(R +RC)2(2.56)

L’andamento qualitativo di pe al variare della resistenza di carico e, anche inquesto caso, del tipo rappresentato in fig. 2.19. Quindi la potenza ceduta alcarico e massima se e verificata la condizione

RC = R (2.57)

2.6.4.5 Trasformazioni dei generatori

Si considerino un bipolo formato da un generatore di tensione vG collegato in seriead un resistore RV e uno formato da un generatore di corrente iG in parallelocon un resistore RI (fig. 2.25). Si e visto che questi bipoli hanno caratteristicheespresse da equazioni dello stesso tipo. Ora si vuole determinare sotto qualicondizioni le equazioni coincidono e quindi i bipoli sono equivalenti.

Se si adottano i versi di riferimento indicati in figura le equazioni dei duebipoli sono

v = vG +RV i (2.58)

e

i = −iG +v

RI

(2.59)

Quest’ultima relazione puo essere riscritta nella forma

v = RIiG +RIi (2.60)

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iG v

i

RIv

i

vG

RV

Figura 2.25: Equivalenza tra bipoli con generatore di corrente e di tensione

Questa equazione coincide con la (2.58) se sono verificate le condizioni

RI = RV (2.61a)

vG = RiG (2.61b)

Quindi i due bipoli di fig. 2.25 sono equivalenti se

• i resistori sono uguali

• la tensione del generatore di tensione e uguale al prodotto della resistenzaper la corrente del generatore di corrente.

Si noti che la (2.61b) vale se i versi di riferimento di vG e iG sono orientati comeindicato in figura (frecce dirette nello stesso senso). Ovviamente nel caso in cuioccorra considerare versi di riferimento differenti si dovranno introdurre in talerelazione opportuni cambiamenti di segno.

E importante sottolineare che l’equivalenza tra i bipoli di fig. 2.25 si riferisceesclusivamente alla relazione tra la tensione v e la corrente i, non a cio che avvieneall’interno dei bipoli. Quindi, ad esempio, anche se i due bipoli contengonoresistori uguali, le tensioni e le correnti di questi resistori, a parita di v e i, ingenerale sono diverse. Analogamente, a parita di v e i, in generale sono diversele potenze erogate dai due generatori.

2.6.4.6 Parallelo generatore di tensione - resistore

In questo caso (fig. 2.26) il valore della tensione comune v coincide con quellodella tensione del generatore vG, mentre la corrente complessiva i puo assumerevalore arbitrario. Infatti, per qualunque valore di i, il generatore e comunque ingrado di erogare la corrente iG richiesta per soddisfare il vincolo imposto dallaLKI

i = iG − iR (2.62)

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vGv

i iR

R

Figura 2.26: Generatore di tensione con resistore in parallelo

Pertanto il collegamento in parallelo di un generatore di tensione vG con unresistore R equivale al solo generatore vG. Cio significa che un resistore collegatoin parallelo ad un generatore di tensione puo essere eliminato senza che cio alterii valori delle tensioni e correnti negli altri componenti del circuito, esclusa lacorrente erogata dal generatore.

2.6.4.7 Serie generatore di corrente - resistore

Questo caso (fig. 2.27) rappresenta il duale del precedente. Il valore della correntecomune i coincide con quello della corrente del generatore iG, mentre la tensionecomplessiva v puo assumere valore arbitrario. Infatti, per qualunque valore di v,la tensione ai capi del generatore vG puo assumere il valore richiesto per soddisfareil vincolo imposto dalla LKV

v = vG + vR (2.63)

Pertanto il collegamento in serie di un generatore di corrente iG con un resi-store R equivale al solo generatore iG. Cio significa che un resistore collegato inserie ad un generatore di corrente puo essere eliminato senza che cio alteri i valoridelle tensioni e correnti negli altri componenti del circuito, esclusa la tensione aiterminali del generatore.

iG

v

vG vR i

R

Figura 2.27: Generatore di corrente con resistore in serie

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2.6.5 Generatori in serie e in parallelo

2.6.5.1 Generatori di tensione in serie

Si considerino N generatori di tensione collegati in serie come indicato in fig. 2.28.In questo caso applicando la LKV si ottiene

v =N∑

k=1

vGk (2.64)

Quindi il bipolo risultante impone il valore della tensione ai suoi terminali, mentrela corrente comune i puo assumere un valore arbitrario. Pertanto si conclude essoequivale ad un generatore di tensione pari alla somma delle tensioni dei generatoricollegati.

La (2.64) e stata ricavata nell’ipotesi che tutti i versi di riferimento delle ten-sioni dei generatori siano concordi tra loro e con la tensione complessiva. Nel casoin cui si abbiano generatori diretti in senso discorde le tensioni corrispondenti,ovviamente, devono comparire nella sommatoria con segno negativo.

vGNvG1 vG2

v

i

Figura 2.28: Generatori di tensione in serie

2.6.5.2 Generatori di corrente in parallelo

Si considerino N generatori di corrente collegati in parallelo come indicato infig. 2.29. In questo caso applicando la LKI si ottiene

i =N∑

k=1

iGk (2.65)

iG1 iG2 iGNv

i

Figura 2.29: Generatori di corrente in parallelo

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Quindi il bipolo risultante impone il valore della corrente ai suoi terminali,mentre la tensione comune v puo assumere un valore arbitrario. Pertanto siconclude esso equivale ad un generatore di corrente pari alla somma delle correntidei generatori collegati.

La (2.65) e stata ricavata nell’ipotesi che tutti i versi di riferimento delle cor-renti dei generatori siano concordi tra loro e con la corrente complessiva. Nel casoin cui si abbiano generatori diretti in senso discorde le correnti corrispondenti,ovviamente, devono comparire nella sommatoria con segno negativo.

2.6.5.3 Generatori di tensione in parallelo

Il collegamento in parallelo di generatori di tensione (fig. 2.30a) non e ammessoin quanto conduce a circuiti impossibili o indeterminati7.

Infatti, se le tensioni vG1 e vG2 sono diverse, il vincolo imposto dalla LKV ele relazioni costitutive dei generatori sono in contraddizione tra loro.

Se invece le tensioni sono uguali risultano indeterminati i valori delle correntinei generatori, iG1 e iG2. Infatti tali tensioni sono soggette all’unico vincoloimposto dalla LKI

i = iG1 + iG2 (2.66)

Quindi un particolare valore della corrente complessiva puo essere ottenuto me-diante una qualunque dalle infinite coppie di valori di iG1 e iG2 che soddisfanotale condizione.

Il collegamento rappresentato in fig. 2.30a in realta non e fisicamente rea-lizzabile. Come si e visto nel paragrafo 2.6.4.2, un generatore reale puo essererappresentato mediante un circuito equivalente costituito da un generatore diideale collegato in serie a un resistore. Si hanno casi in cui la presenza di questoresistore in serie produce effetti trascurabili sul comportamento del circuito. Inquesti casi e accettabile rappresentare il generatore come ideale e l’eliminazionedel resistore in serie puo consentire di semplificare lo studio del circuito. Nel casoin esame la presenza delle resistenze in serie ai generatori e essenziale. Infattisono proprio le tensioni che si stabiliscono su queste resistenze che consentono disoddisfare la LKV.

2.6.5.4 Generatori di corrente in serie

Analogamente al collegamento in parallelo di generatori di tensione, anche ilcollegamento in serie di generatori di corrente (fig. 2.30b) non e ammesso inquanto conduce a circuiti impossibili o indeterminati.

7Con il termine impossibile si intende che le equazioni del circuito non ammettono soluzione,con il termine indeterminato che le equazioni ammettono piu di una soluzione. Entrambe lecondizioni, dal punto di vista fisico, sono inaccettabili

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vG2vG1

iG1

iG2

v v

i i

a) b)

Figura 2.30: Collegamenti non ammessi

Infatti, se le tensioni iG1 e iG2 sono diverse, il vincolo imposto dalla LKI e lerelazioni costitutive dei generatori sono in contraddizione tra loro.

Se invece le correnti sono uguali, risultano indeterminati i valori delle tensionivG1 e vG2 ai capi dei generatori. Infatti tali tensioni sono soggette all’unico vincoloimposto dalla LKV

v = vG1 + vG2 (2.67)

Quindi un particolare valore della tensione complessiva puo essere ottenuto me-diante una qualunque dalle infinite coppie di valori di vG1 e vG2 che soddisfanotale condizione.

Anche questa situazione non e fisicamente realizzabile. La condizione assurdaderiva dall’aver trascurato i resistori in parallelo che fanno parte dei circuiti equi-valenti dei generatori reali di corrente, mentre tali resistori in questo caso sonoessenziali. Infatti sono proprio le loro correnti a consentire il rispetto della LKI.

2.6.5.5 Generatore di tensione e di corrente in parallelo

Il collegamento in parallelo di un generatore di tensione vG e di un generatore dicorrente iG (fig. 2.31a) equivale al solo generatore di tensione. Infatti la tensionecomune e fissata al valore vG, mentre la corrente complessiva i puo assumerevalore arbitrario.

vG

vG

iG

iG

v v

i i

a) b)

Figura 2.31: Collegamenti tra generatori di tensione e di corrente

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2.6.5.6 Generatore di tensione e di corrente in serie

Analogamente, il collegamento in serie di un generatore di tensione vG e di ungeneratore di corrente iG (fig. 2.31b) equivale al solo generatore di corrente. In-fatti, in questo caso, la corrente comune e fissata al valore iG, mentre la tensionecomplessiva v puo assumere valore arbitrario.

2.6.6 Collegamenti con cortocircuiti e circuiti aperti

Tenendo conto del fatto che un cortocircuito puo essere considerato un resistorecon resistenza nulla o un generatore di tensione nulla e che un circuito apertopuo essere considerato un resistore con conduttanza nulla oppure un generatoredi corrente nulla, le seguenti equivalenze (fig. 2.32) possono essere ricavate comecasi particolari di quelle illustrate nei paragrafi precedenti:

• un resistore R in serie con un cortocircuito equivale al solo resistore;

• un resistore R in serie con un circuito aperto equivale a un circuito aperto;

• un resistore R in parallelo con un cortocircuito equivale ad un cortocircuito;

• un resistore R in parallelo con un circuito aperto equivale al solo resistore;

• un generatore di tensione vG in serie con un cortocircuito equivale al sologeneratore;

• un generatore di tensione vG in serie con un circuito aperto equivale a uncircuito aperto;

• un generatore di tensione vG in parallelo con un circuito aperto equivale alsolo generatore;

• un generatore di corrente iG in serie con un cortocircuito equivale al sologeneratore;

• un generatore di corrente iG in parallelo con un cortocircuito equivale adun cortocircuito;

• un generatore di corrente iG in parallelo con un circuito aperto equivale alsolo generatore.

I seguenti collegamenti, invece, non sono ammessi perche violano le leggi diKirchhoff (fig. 2.33):

• collegamento in parallelo di un generatore di tensione e di un cortocircuito;

• collegamento in serie di un generatore di corrente e di un circuito aperto.

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R

R R

R R

R

vG vG

vG

vGvG

iG

iG

iG iG

iG

Figura 2.32: Collegamenti con cortocircuiti e circuiti aperti

iG

vG

Figura 2.33: Collegamenti non ammessi

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2.6.7 Formule di Millman

2.6.7.1 Teorema di Millman

Si consideri il bipolo ottenuto collegando in parallelo N bipoli ognuno costituitoda un generatore di tensione con un resistore in serie (fig. 2.34a).

La caratteristica di questo bipolo puo essere ricavata rapidamente facendo usodelle equivalenze considerate nei paragrafi precedenti (fig. 2.34). Infatti si pos-sono sostituire i generatori di tensione vGk con dei generatori di corrente vGk/Rk

collegati in parallelo ai resistori. Quindi gli N resistori, che a questo punto sonoin parallelo tra loro, possono essere sostituiti con un resistore il cui valore e

Req =1

N∑k=1

Gk

(2.68)

mentre gliN generatori di corrente, anch’essi in parallelo, possono essere sostituitida un generatore equivalente di corrente

ieq =N∑

k=1

GkvGk (2.69)

Infine si puo sostituire il generatore di corrente ieq con un generatore di tensioneveq posto in serie ad Req

veq =

N∑k=1

GkvGk

N∑k=1

Gk

(2.70)

In questo modo si e dimostrato il cosiddetto teorema di Millman, secondo il qualeil bipolo rappresentato in fig. 2.34a equivale ad un bipolo formato collegando inserie

• un generatore di tensione il cui valore e la media pesata delle tensioni deisingoli generatori valutata impiegando come pesi le conduttanze dei resistoriin serie ad essi (2.70);

• un resistore che rappresenta l’equivalente parallelo degli N resistori (2.68).

Questo risultato puo essere facilmente esteso al caso di un bipolo costituito dalcollegamento in parallelo di bipoli dei tre tipi indicati in fig. 2.35.

Infatti se si trasformano i generatori di tensione come nel caso precedente siottiene un circuito con la stessa struttura di quello di fig. 2.35b.

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v

v

i

i

vG1 vG2 vGN

R1

R1

Req

Req

ieq

veq

R2

R2

RN

RNv

v

i

i

vG1

R1

vG2

R2

vGN

RN

a)

b)

c)

d)

Figura 2.34: teorema di Millman

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Rk

RkiGk

vGk

a) b) c)

Figura 2.35: Bipoli considerati nelle formule (2.71)

Quindi, se si indicano con A, B e C gli insiemi dei valori di k per i qualiil k-esimo bipolo e, rispettivamente, di tipo a), b) e c), seguendo un procedi-mento analogo a quello appena illustrato, si ricava che i valori della tensione delgeneratore equivalente e della resistenza equivalente sono dati da

veq =

∑k∈A

GkvGk +∑k∈C

iGk

∑k∈A∪B

Gk

(2.71a)

Req =1∑

k∈A∪B

Gk

(2.71b)

2.6.7.2 Soluzione di un circuito con due nodi

Si consideri un circuito costituito da N bipoli collegati in due soli nodi A e B(fig. 2.36a). Si assuma inoltre che i bipoli appartengano ai tre tipi indicati infig. 2.35.

AA

BB

vAB

iAB 0

1 12 2N N

a) b)

Figura 2.36: Applicazione del teorema di Millman alla risoluzione di un circuitocon 2 nodi

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Il circuito puo essere visto come un bipolo del tipo considerato al paragra-fo 2.6.7.1 in condizioni di funzionamento a vuoto, cioe con iAB = 0 (fig. 2.36b),pertanto la tensione tra i nodi A e B coincide con la tensione veq data dalla(2.71a).

Nota tale tensione e immediato completare il calcolo delle tensioni e correntidel circuito.

2.6.7.3 Versione duale del teorema di Millman

Si consideri un bipolo ottenuto collegando in serie di N bipoli ciascuno dei qualie formato da un generatore di corrente con un resistore in parallelo (fig. 2.37a).

In questo caso, seguendo il procedimento schematizzato in fig. 2.37, si ricavaun bipolo equivalente costituito dal parallelo di

• un generatore di corrente ieq il cui valore e la media pesata delle correnti deisingoli generatori calcolata impiegando come pesi i valori delle conduttanzein parallelo ai generatori stessi

ieq =

N∑k=1

RkiGk

N∑k=1

Rk

(2.72)

• un resistore Req che rappresenta l’equivalente serie dei singoli resistori

Req =N∑

k=1

Rk (2.73)

Queste formule possono essere generalizzate al caso del collegamento in pa-rallelo di bipoli del tipo indicato in fig. 2.38.

In questo caso per la corrente del generatore equivalente e per la resistenzaequivalente valgono le relazioni

ieq =

∑k∈A

RkiGk +∑k∈C

vGk

∑k∈A∪B

Rk

(2.74a)

Req =∑

k∈A∪B

Rk (2.74b)

nelle quali i simboli A, B e C hanno significato analogo a quello illustrato nelparagrafo precedente.

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v

i

R1

R1

Req

Req

ieq

veq

R2

R2

RN

RN

v

v

v

i

i

i

iG1

R i1 G1 R i2 G1 R iN G1

iG2 iGN

b)

a)

d)c)

Figura 2.37: Versione duale del teorema di Millman

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Rk RkiGk vGk

a) b) c)

Figura 2.38: Bipoli considerati nelle formule (2.74)

2.6.7.4 Soluzione di un circuito con una sola maglia

Si consideri un circuito costituito da N bipoli collegati in modo da formare ununico percorso chiuso, come indicato in fig. 2.39a. Un percorso chiuso i cui laticoincidono con bipoli, o piu in generale con porte di componenti, e detto maglia8,quindi il circuito considerato contiene una sola maglia.

Si assuma che i bipoli appartengano ai tre tipi indicati in fig. 2.38. In questocaso, il circuito puo essere visto come un bipolo del tipo considerato al para-grafo 2.6.7.3 con i terminali collegati in cortocircuito, cioe con vAB = 0, comeindicato in fig. 2.39b. Pertanto la corrente comune agli N bipoli coincide con lacorrente ieq data dalla (2.74a).

Nota tale corrente e immediato completare il calcolo delle tensioni e correntidel circuito.

vAB 0

a) b)

1 1

N

N

2

2A B

iAB

A B

Figura 2.39: Applicazione del teorema di Millman alla risoluzione di un circuitocon una sola maglia

8Una definizione piu rigorosa di maglia e fornita al paragrafo 4.1.5.

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Capitolo 3

Doppi bipoli e N-porte resistivi

3.1 Doppi bipoli privi di memoria

Un doppio bipolo (o 2-porte) e un componente dotato di due coppie di terminalitali che, per ciascuna coppia, la corrente entrante in uno dei terminali e identica-mente uguale a quella uscente dall’altro terminale. Il componente e caratterizzatoda due correnti e due tensioni descrittive, come indicato in fig. 3.1, alle quali lerelazioni costitutive impongono due vincoli.

Nel caso di un doppio bipolo privo di memoria le equazioni del componentemettono in relazione i valori delle tensioni e delle correnti allo stesso istante,quindi nel caso generale possono essere espresse nella forma

f1 [v1(t), v2(t), i1(t), i2(t), t] = 0

f2 [v1(t), v2(t), i1(t), i2(t), t] = 0(3.1)

dove f1 e f2 indicano due generiche funzioni non lineari. Se nelle equazionicompare esplicitamente la variable tempo, come nelle (3.1), il componente e dettotempo-variante altrimenti e detto tempo-invariante.

Come si e visto nel paragrafo 1.3.7 un componente a tre terminali puo essererappresentato come un doppio bipolo avente i terminali negativi delle due portecollegati tra loro, cioe coincidenti con il terminale comune. Anche un tripolo privodi memoria e descritto da equazioni del tipo (3.1), nelle quali le tensioni v1 e v2 e

v2v1

i1

i1

i2

i2

Figura 3.1: Doppio bipolo

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i1 Bi i1 Ai i1 Ai

v1 BAv v1 ABv v1 ACvv2 CAv v2 BCv v2 BCv

i2 Ci i2 Ci i2 BiB A AC C B

A B C

Figura 3.2: Rappresentazioni di un tripolo come doppio bipolo

le correnti i1 e i2 assumono significato diverso a seconda della scelta del terminalecomune, come indicato in fig. 3.2 (ovviamente nei tre casi le funzioni f1 e f2 ingenerale sono diverse). Quindi per un tripolo sono possibili tre rappresentazionicome doppio bipolo, relative alle tre possibili scelte del terminale comune.

Le equazioni (3.1) possono essere poste in forma diversa se le funzioni f1

e f2 consentono di esplicitare due variabili descrittive (variabili dipendenti) infunzione delle altre (variabili indipendenti).

Se, ad esempio, e possibile esplicitare v1 e v2, dalle (3.1) si possono otteneredelle equazioni del tipo

v1(t) = ϕ1 [i1(t), i2(t), t]

v2(t) = ϕ2 [i1(t), i2(t), t](3.2)

Questa rappresentazione, nella quale le correnti svolgono il ruolo di variabiliindipendenti e detta comandata in corrente.

Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo, corrispondenti alle possibili sceltedelle variabili indipendenti, sono elencate nella tabella 3.1. L’esistenza di questerappresentazioni per un doppio bipolo dato dipende dalle funzioni f1 e f2.

Rappresentazione Variabili indipendenti Variabili dipendentiComandata in corrente i1, i2 v1, v2

Comandata in tensione v1, v2 i1, i2Ibrida diretta i1, v2 v1, i2Ibrida inversa v1, i2 i1, v2

Trasmissione diretta v2, i2 v1, i1Trasmissione inversa v1, i1 v2, i2

Tabella 3.1: Rappresentazioni di un doppio bipolo

3.2 Doppi bipoli resistivi lineari e tempo-invarianti

Nel caso di un doppio bipolo resistivo lineare e tempo-invariante le (3.1) assumonola forma di equazioni lineari omogenee con coefficienti indipendenti dal tempo,

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Doppi bipoli e N -porte resistivi 69

cioe sono del tipo

p11v1(t) + p12v2(t) + q11i1(t) + q12i2(t) = 0

p21v1(t) + p22v2(t) + q21i1(t) + q22i2(t) = 0(3.3)

in cui i coefficienti pij e qij rappresentano delle costanti assegnate. Questeequazioni possono essere espresse piu sinteticamente nella forma

Pv + Qi = 0 (3.4)

se si riuniscono le tensioni e le correnti nei vettori

v=

[v1

v2

]i

=

[i1i2

](3.5)

e i coefficienti pij e qij nelle matrici

P=

[p11 p12

p21 p22

]Q

=

[q11 q12q21 q22

](3.6)

Dalla forma generale (3.3) e si possono ottenere le sei rappresentazioni ditabella 3.1 quando i valori dei coefficienti pij e qij sono tali da consentire di espli-citare le relative variabili dipendenti. Queste rappresentazioni saranno esaminatenei paragrafi seguenti.

3.2.1 Matrice di resistenza

Se il doppio bipolo e comandato in corrente, le sue equazioni possono essere scrittenella forma

v1 = r11i1 + r12i2

v2 = r21i1 + r22i2(3.7)

o, piu sinteticamente, nella forma

v = Ri (3.8)

se si introduce la matrice

R=

[r11 r12r21 r22

](3.9)

I coefficienti rij hanno la dimensione di resistenze. Il loro significato puo esseremesso in evidenza ponendo uguale a zero una alla volta nelle (3.7) le variabiliindipendenti.

Ad esempio se si pone i2 = 0, cioe se si considera la condizione di funzio-namento in cui la porta 2 e a vuoto, si riconosce che, in tale condizione, r11

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v2v2i1 v1

r11

r21

r12

r22

v1 i2

Figura 3.3: Definizione operativa dei coefficienti della matrice R

rappresenta il rapporto tra la tensione v1 e la corrente i1, mentre r21 rappresentail rapporto tra la tensione v2 e la corrente i1. In modo analogo, ponendo i1 = 0,si puo interpretare il significato di r12 e r22.

r11 =v1

i1

∣∣∣∣i2=0

r12 =v1

i2

∣∣∣∣i1=0

r21 =v2

i1

∣∣∣∣i2=0

r22 =v2

i2

∣∣∣∣i1=0

(3.10)

Questo mostra anche che e possibile misurare o calcolare (quando si hannoinformazioni sulla struttura interna dal doppio bipolo) i coefficienti rij facendoriferimento ai circuiti di fig. 3.3. Nei due casi ad una porta viene collegato ungeneratore di corrente di valore noto, mentre l’altra porta e lasciata a vuoto.Ciascuno dei coefficienti rij rappresenta il rapporto tra una delle tensioni che sipresentano alle porte in queste condizioni e la corrente applicata.

Per il loro significato, i coefficienti rij sono detti coefficienti di resistenza (avuoto), mentre a R si da il nome di matrice di resistenza (a vuoto).

In particolare i coefficienti r11 e r22, che mettono in relazione la tensione e lacorrente alla stessa porta, sono detti resistenze proprie o resistenze di ingresso avuoto1, mentre r12 e r21 sono detti resistenze mutue o resistenze di trasferimentoa vuoto.

3.2.2 Matrice di conduttanza

Se il doppio bipolo e comandato in tensione, e possibile esprimere le sue equazioninella forma

i1 = g11v1 + g12v2

i2 = g21v1 + g22v2

(3.11)

o, piu sinteticamente, nella forma

i = Gv (3.12)

1In molti casi, considerazioni relative all’impiego del circuito possono portare ad attribuire auna delle porte il ruolo di ingresso e all’altra il ruolo di uscita, in questi casi a uno dei parametrisi attribuisce il nome di resistenza di ingresso e all’altro quello di resistenza di uscita.

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i1 i1

v1 v2

i2 i2

g11

g21

g12

g22

Figura 3.4: Definizione operativa dei coefficienti della matrice G

in cui

G=

[g11 g12g21 g22

](3.13)

Come nel caso precedente, il significato dei coefficienti puo essere messo inevidenza azzerando una alla volta le variabili indipendenti, che in questo casosono rappresentate le tensioni. Cio corrisponde a considerare le due condizioni difunzionamento rappresentate in fig. 3.4, nelle quali una delle due porte e postain cortocircuito.

g11 =i1v1

∣∣∣∣v2=0

g12 =i1v2

∣∣∣∣v1=0

g21 =i2v1

∣∣∣∣v2=0

g22 =i2v2

∣∣∣∣v1=0

(3.14)

I coefficienti gij hanno la dimensione di conduttanze e sono detti coefficienti diconduttanza (in cortocircuito), di conseguenza a G si da il nome di matrice diconduttanza (in cortocircuito). In particolare g11 e g22 sono detti conduttanzeproprie o conduttanze di ingresso in cortocircuito, mentre g12 e g21 sono detticonduttanze mutue o conduttanze di trasferimento in cortocircuito.

3.2.3 Matrice ibrida

Se il doppio bipolo ammette la rappresentazione ibrida diretta, le sue equazionipossono essere scritte nella forma

v1 = h11i1 + h12v2

i2 = h21i1 + h22v2

(3.15)

cioe [v1

i2

]= H ·

[i1v2

](3.16)

dove

H=

[h11 h12

h21 h22

](3.17)

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v2i1 v1 v1

i2 i2

h11

h21

h12

h22

Figura 3.5: Definizione operativa dei coefficienti della matrice H

La rappresentazione e detta ibrida perche le due coppie di variabili dipenden-ti e indipendenti sono formate da grandezze dimensionalmente non omogenee.Di conseguenza anche i coefficienti hij non hanno dimensioni omogenee. A talicoefficienti si da il nome di parametri ibridi (diretti) e H e detta matrice ibrida(diretta).

Anche in questo caso, per mettere in evidenza il significato dei coefficientihij si considerano le condizioni di funzionamento del doppio bipolo nelle qualiuna delle variabili indipendenti e posta a zero. Tali condizioni di funzionamentopossono essere interpretate mediante i circuiti di fig. 3.5

h11 =v1

i1

∣∣∣∣v2=0

h12 =v1

v2

∣∣∣∣i1=0

h21 =i2i1

∣∣∣∣v2=0

h22 =i2v2

∣∣∣∣i1=0

(3.18)

Quindi si riconosce che

• h11 ha le dimensioni di una resistenza e rappresenta il rapporto tra la ten-sione e la corrente alla porta 1 quando la porta 2 e in cortocircuito. Perquesto e detto resistenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1.

• h12 e adimensionale e rappresenta il rapporto tra la tensione alla porta 1 ela tensione alla porta 2 quando la porta 1 e a vuoto. Questo parametro edetto rapporto di trasferimento di tensione o guadagno di tensione a vuotodalla porta 2 alla porta 1.

• h21 e adimensionale e rappresenta il rapporto tra la corrente alla porta 2 ela corrente alla porta 1 quando la porta 2 e in cortocircuito. Quindi e dettorapporto di trasferimento di corrente o guadagno di corrente in cortocircuitodalla porta 1 alla porta 2.

• h22 ha le dimensioni di una conduttanza e rappresenta il rapporto tra lacorrente e la tensione alla porta 2 quando la porta 1 e a vuoto. Quindi edetto conduttanza di ingresso a vuoto alla porta 2.

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3.2.4 Matrice ibrida inversa

Questa rappresentazione e analoga alla precedente, dalla quale si differenzia perlo scambio dei ruoli delle due porte. Le equazioni sono

i1 = h′11v1 + h′12i2

v2 = h′21v1 + h′22i2

(3.19)

cioe [i1v2

]= H ′ ·

[v1

i2

](3.20)

nella quale si e introdotta la matrice ibrida inversa

H ′ =

[h′11 h′12h′21 h′22

](3.21)

I coefficienti h′ij sono definiti dalle relazioni

h′11 =i1v1

∣∣∣∣i2=0

h′12 =i1i2

∣∣∣∣v1=0

h′21 =v2

v1

∣∣∣∣i2=0

h′22 =v2

i2

∣∣∣∣v1=0

(3.22)

che possono essere interpretate mediante i circuiti di fig. 3.6. In questo caso siriconosce che

• h′11 ha le dimensioni di una conduttanza e rappresenta il rapporto tra lacorrente e la tensione alla porta 1 quando la porta 2 e a vuoto. Per questoe detto conduttanza di ingresso a vuoto alla porta 1.

• h′12 e adimensionale e rappresenta il rapporto tra la corrente alla porta 1 e lacorrente alla porta 2 quando la porta 1 e in cortocircuito. Questo parametroe detto rapporto di trasferimento di corrente o guadagno di corrente incortocircuito dalla porta 2 alla porta 1.

v2 i2

i1

h12

h22

i1

v1 v2

h11

h21

Figura 3.6: Definizione operativa dei coefficienti della matrice H ′

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• h′21 e adimensionale e rappresenta il rapporto tra la tensione alla porta 2e la tensione alla porta 1 quando la porta 2 e a vuoto. Quindi e dettorapporto di trasferimento di tensione o guadagno di tensione a vuoto dallaporta 1 alla porta 2.

• h′22 ha le dimensioni di una resistenza e rappresenta il rapporto tra la ten-sione e la corrente alla porta 2 quando la porta 1 e in cortocircuito. Quindie detto conduttanza di ingresso in cortocircuito alla porta 2.

3.2.5 Matrice di trasmissione (matrice catena)

Nella rappresentazione in trasmissione diretta le grandezze relative alla porta 2svolgono il ruolo di variabili indipendenti e quelle relative alla porta 1 il ruolo divariabili dipendenti. In questo caso, per motivi che saranno chiariti al paragra-fo 3.7.5, e consuetudine attribuire alla corrente alla porta 2 verso di riferimentoopposto a quello previsto dalla convenzione normale, e quindi considerare comeseconda variabile indipendente la corrente i′2 = −i2. Pertanto le equazioni deldoppio bipolo assumono la forma

v1 = Av2 −Bi2i1 = Cv2 −Di2

(3.23)

cioe [v1

i1

]= T ·

[v2

−i2]

(3.24)

nella quale si e introdotta la matrice

T=

[A BC D

](3.25)

detta matrice di trasmissione (diretta) o matrice catena.I parametri di trasmissione sono definiti dalle relazioni

A =v1

v2

∣∣∣∣i2=0

B =v1

−i2

∣∣∣∣v2=0

C =i1v2

∣∣∣∣i2=0

D =i1−i2

∣∣∣∣v2=0

(3.26)

A differenza dei casi precedenti, non e conveniente fare riferimento alle (3.26)per definire dei circuiti da impiegare per la misura o per il calcolo dei parametridi trasmissione, dato che in questo caso sarebbe necessario fissare i valori dientrambe le variabili relative ad una stessa porta. Evidentemente cio non puo

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v1 v2A

DC

Bv1

i2

v2i1 i1

i2

Figura 3.7: Definizione operativa dei coefficienti della matrice T

essere ottenuto solo collegando dei generatori alle porte, ma richiede di fare usodi configurazioni circuitali piu complicate.

In questo caso risulta conveniente considerare i reciproci dei parametri ditrasmissione, definiti dalle relazioni

1

A=v2

v1

∣∣∣∣i2=0

1

B=

−i2v1

∣∣∣∣v2=0

1

C=v2

i1

∣∣∣∣i2=0

1

D=

−i2i1

∣∣∣∣v2=0

(3.27)

che possono essere interpretate mediante i circuiti di fig. 3.7.

3.2.6 Matrice di trasmissione inversa

Questa rappresentazione e analoga alla precedente dalla quale si differenzia per loscambio di ruoli tra le porte. In questo caso e consuetudine attribuire alla correntealla porta 1 il verso di riferimento opposto a quello previsto dalla convenzionenormale, cioe considerare come seconda variabile indipendente la corrente i′1 =−i1 Le equazioni hanno la forma

v2 = A′v1 −B′i1i2 = C ′v1 −D′i1

(3.28)

cioe [v2

i2

]= T ′ ·

[v1

−i1]

(3.29)

dove T ′ rappresenta la matrice di trasmissione inversa.

T ′ =

[A′ B′

C ′ D′

](3.30)

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v1 v2v2A

DC

B

v1

i1

i1

i2i2

Figura 3.8: Definizione operativa dei coefficienti della matrice T ′

I parametri di trasmissione sono definiti dalle relazioni

A′ =v2

v1

∣∣∣∣i1=0

B′ =v2

−i1

∣∣∣∣v1=0

C ′ =i2v1

∣∣∣∣i1=0

D′ =i2−i1

∣∣∣∣v1=0

(3.31)

Come nel caso precedente a queste relazioni non si puo attribuire una sempliceinterpretazione circuitale, mentre cio e possibile per i reciproci dei parametri,definiti dalle relazioni

1

A′ =v1

v2

∣∣∣∣i1=0

1

B′ =−i1v2

∣∣∣∣v1=0

1

C ′ =v1

i2

∣∣∣∣i1=0

1

D′ =−i1i2

∣∣∣∣v1=0

(3.32)

che possono essere interpretate mediante i circuiti di fig. 3.8.

3.2.7 Relazioni tra le rappresentazioni

Confrontando la (3.8) con la (3.12) si riconosce che, se un doppio bipolo ammettesia la rappresentazione comandata in corrente che quella comandata in tensione,le matrici R e G devono soddisfare le relazioni

R = G−1 G = R−1 (3.33)

Quindi, affinche un doppio bipolo ammetta entrambe le rappresentazioni, occorreche R e G non siano singolari.

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i1 i2

v2v1 R

Figura 3.9: Doppio bipolo per il quale non esiste la matrice G

In fig. 3.9 e mostrato un esempio di doppio bipolo per il quale esiste la matriceR ma non la matrice G. In questo caso infatti la matrice di resistenza e

R =

[R RR R

](3.34)

e quindi e evidentemente singolare. In fig. 3.10 e mostrato un esempio di doppiobipolo per il quale esiste la matrice G ma non la matrice R. In questo caso infattila matrice di conduttanza e

G =

[G −G−G G

](3.35)

Confrontando la (3.16) con la (3.20) si riconosce che, se un doppio bipoloammette sia la rappresentazione ibrida diretta che quella inversa, le matrici H eH ’ devono soddisfare le relazioni

H = H ′−1H ′ = H−1 (3.36)

Per quanto riguarda la matrici di trasmissione diretta e inversa il confrontotra la (3.24) e la (3.29) mostra che le matrici non sono l’una l’inversa dell’altraa causa delle diverse convenzioni per i segni delle correnti. Si puo riconoscere

i1 i2

v2v1

R

Figura 3.10: Doppio bipolo per il quale non esiste la matrice R

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infatti che la relazione tra le matrici e

T ′ =[1 00 −1

]· T−1 ·

[1 00 −1

](3.37)

Tale relazione in pratica comporta che, per passare da una matrice all’altra,dopo aver invertito la prima matrice occorre cambiare i segni degli elementi sulladiagonale secondaria.

Piu in generale e possibile ricavare le relazioni tra i coefficienti delle variematrici facendo uso delle definizioni dei coefficienti stessi fornite dalle (3.10),(3.14), (3.18), (3.20), (3.26), (3.31).

Le relazioni tra le diverse rappresentazioni sono elencate nella tabella 3.2.A titolo di esempio, per illustrare il procedimento, si mostrera come ricavare leespressioni dei parametri ibridi in funzione dei parametri di resistenza. Per glialtri casi valgono considerazioni analoghe.

Per determinare l’espressione di h11, in accordo con la prima delle (3.18), sipone v2 = 0 nelle equazioni del doppio bipolo scritte in termini di parametri diresistenza

v1 = r11i1 + r12i2

0 = r21i1 + r22i2(3.38)

A questo punto si puo eliminare la variabile i2. Nell’ipotesi che sia r22 = 0, sidalla seconda equazione si ottiene

i2 = −r21r22i1 (3.39)

Sostituendo questa espressione nella prima equazione si ricava

v1 =

(r11 − r12r21

r22

)i1 (3.40)

e quindi

h11 =v1

i1=

detR

r22(3.41)

Dalla (3.39) si ricava, inoltre

h21 =i2i1

= −r21r22

(3.42)

Per determinare gli altri due parametri si pone i1 = 0

v1 = r12i2

v2 = r22i2(3.43)

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R G H H ′ T T ′

R

r11 r12g22∆G

− g12∆G

∆H

h22

h12

h22

1

h′11−h

′12

h′11

A

C

∆T

C

D′

C ′1

C ′

r21 r22 − g21∆G

g11∆G

−h21

h22

1

h22

h′21h′11

∆H′

h′11

1

C

D

C

∆T ′

C ′A′

C ′

G

r22∆R

− r12∆R

g11 g121

h11

−h12

h11

∆H′

h′22

h′12h′22

D

B−∆T

B

A′

B′ − 1

B′

− r21∆R

r11∆R

g21 g22h21

h11

∆H

h11

−h′21

h′22

1

h′22− 1

B

A

B−∆T ′

B′D′

B′

H

∆R

r22

r12r22

1

g11−g12g11

h11 h12h′22∆H′

− h′12∆H′

B

D

∆T

D

B′

A′1

A′

−r21r22

1

r22

g21g11

∆G

g11h21 h22 − h′21

∆H′

h′11∆H′

− 1

D

C

D−∆T ′

A′C ′

A′

H ′

1

r11−r12r11

∆G

g22

g12g22

h22

∆H

− h12

∆H

h′11 h′12C

A−∆T

A

C ′

D′ − 1

D′

r21r11

∆R

r11−g21g22

1

g22− h21

∆H

h11

∆H

h′21 h′221

A

B

A

∆T ′

D′B′

D′

T

r11r21

∆R

r21−g22g21

− 1

g21−∆H

h21

−h11

h21

1

h′21

h′22h′21

A BD′

∆T ′

B′

∆T ′

1

r21

r22r21

−∆G

g21−g11g21

−h22

h21

− 1

h21

h′11h′21

∆H′

h′21C D

C ′

∆T ′

A′

∆T ′

T ′

r22r12

∆R

r12−g11g12

− 1

g12

1

h12

h11

h12

−∆H′

h′12−h

′22

h′12

D

∆T

B

∆T

A′ B′

1

r12

r11r12

−∆G

g12−g22g12

h22

h12

∆H

h12

−h′11

h′12− 1

h′12

C

∆T

A

∆T

C ′ D′

∆M = det(M )

Tabella 3.2: Tabella di conversione tra le matrici di un due-porte resistivo lineare.In ciascuna riga sono riportate le espressioni dei coefficienti della matrice indicataall’inizio della riga stessa in funzione dei coefficienti delle matrici indicate nelleintestazioni delle colonne.

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Per calcolare h12 si deve eliminare i2. In questo caso dividendo membro a membrola prima equazione per la seconda si ottiene

h12 =v1

v2

=r12r22

(3.44)

Infine dalla seconda equazione si ricava

h22 =i2v2

=1

r22(3.45)

Le espressioni ottenute mostrano anche che per un doppio bipolo descrivibile intermini di parametri di resistenza la matrice ibrida esiste solo se r22 = 0.

3.3 Proprieta dei doppi bipoli

3.3.1 Reciprocita

Si dice che un doppio bipolo e reciproco se due per insiemi arbitrari di tensioni ecorrenti, che soddisfano le sue equazioni costitutive, v′1, v′2, i′1, i′2 e v′′1 , v′′2 , i′′1, i′′2e verificata la relazione

v′1i′′1 + v

′2i

′′2 = v′′1 i

′1 + v

′′2 i

′2 (3.46)

Per interpretare il significato della (3.46) e ricavare le relazioni che devono sod-disfare i coefficienti delle matrici descrittive di un doppio bipolo resistivo linearereciproco, conviene fare riferimento a particolari condizioni di funzionamento,come illustrato di seguito.

Matrice di resistenza Per un doppio bipolo che ammette la rappresentazione intermini di coefficienti di resistenza, e quindi che consente di fissare i valori dellecorrenti alle porte, si possono considerare le due condizioni di funzionamentodefinite da

i′1 = ı

i′2 = 0(3.47)

e

i′′1 = 0

i′′2 = ı(3.48)

nelle quali una delle porte e collegata a un generatore di corrente ı mentre l’altrae lasciata a vuoto, come indicato infig. 3.11. In queste condizioni, dalla (3.46) siottiene

v′1 · 0 + v′2ı = v′′1 ı+ v′′2 · 0 (3.49)

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v2 v

v1 v

Figura 3.11: Verifica della condizione di reciprocita per un doppio bipolocomandato in corrente

Quindi, se il doppio bipolo e reciproco, le tensioni v′2 e v′′1 assumono lo stessovalore, v

v′2 = v′′1 = v (3.50)

D’altra parte dalle equazioni del doppio bipolo (3.7) si ottiene anche

v′2 = r21ı

v′′1 = r12ı(3.51)

Quindi, affinche le tensioni siano uguali, occorre che siano uguali tra loro leresistenze di trasferimento

r12 = r21 (3.52)

Cio mostra che la (3.52) e condizione necessaria affinche il doppio bipolo siareciproco. E semplice verificare che tale condizione e anche sufficiente, infattise nella (3.46) si esprimono le tensioni in funzione correnti, nell’ipotesi che leresistenze di trasferimento siano uguali si ottiene l’identita

(r11i′1 + r12i

′2)i

′′1 +(r12i

′1 + r22i

′2)i

′′2 = (r11i

′′1 + r12i

′′2)i

′1 +(r12i

′′1 + r22i

′′2)i

′2 (3.53)

Matrice di conduttanza Nel caso di un doppio bipolo descrivibile in termini diparametri di conduttanza, si ottengonno risultati analoghi considerando le duecondizioni di funzionamento definite da

v′1 = v

v′2 = 0(3.54)

e

v′′1 = 0

v′′2 = v(3.55)

nelle quali una delle porte e collegata a un generatore di tensione v mentre l’altrae chiusa in cortocircuito, come indicato in fig. 3.12. In questo caso si ricava che

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v v

i2 i1

Figura 3.12: Verifica della condizione di reciprocita per un doppio bipolocomandato in tensione

per un doppio bipolo reciproco le correnti di cortocircuito devono essere uguali.Di conseguenza devono essere uguali tra loro le conduttanze di trasferimento.

g12 = g21 (3.56)

Ragionando come nel caso precedente si riconosce che tale condizione oltre chenecessaria e anche sufficiente.

Nei casi esaminati la tensione che si manifesta alla porta a vuoto o la correntealla porta in cortocircuito costituisce l’effetto prodotto dal generatore collegatoall’altra porta (che rappresenta quindi la causa). Per questo si dice anche chela reciprocita corrisponde al fatto che l’effetto non cambia se le posizioni dellacausa e dell’effetto vengono scambiate.

Matrici ibride Nel caso di un doppio bipolo descritto mediante parametri ibridi,si possono considerare le due condizioni di funzionamento definite da

i′1 = ı

v′2 = 0(3.57)

e

i′′1 = 0

v′′2 = v(3.58)

In questo caso si ottiene

v′1 · 0 + 0 · i′2 = v′′1 ı+ vi′2 (3.59)

cioe, facendo uso delle equazioni del componente (3.15),

h12v · ı+ v · h21ı = 0 (3.60)

Quindi se il componente e reciproco deve essere

h12 = −h21 (3.61)

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Anche in questo caso la condizione oltre che necessaria e sufficiente. In modoanalogo, scambiando i ruoli delle due porte, si riconosce che condizione necessariae sufficiente affinche un doppio bipolo descritto in termini di parametri ibridiinversi sia reciproco e che risulti

h′12 = −h′21 (3.62)

Matrici di trasmissione Nel caso dei parametri di trasmissione la condizionedi reciprocita puo essere ricavata esaminando le espressioni delle altre matrici infunzione dei coefficienti di T , nella tabella 3.2. In questo modo si riconosce chele relazioni (3.52), (3.56), (3.61) e (3.62), sono soddisfatte se

det(T ) = 1 (3.63)

In modo analogo si riconosce che anche per la matrice di trasmissione inversadeve valere la relazione

det(T ′) = 1 (3.64)

3.3.2 Simmetria

Si dice che un doppio bipolo e simmetrico se per ogni insieme di tensioni e cor-renti che soddisfano le sue equazioni caratteristiche, anche l’insieme ottenutoscambiando la tensione alla porta 1 con quella alla porta 2 e la corrente alla por-ta 1 con quella alla porta 2 soddisfa le equazioni caratteristiche. Quindi le portedi un doppio bipolo simmetrico possono essere scambiate senza che cio alteri ilcomportamento del circuito in cui esso e inserito.

Si puo osservare che un doppio bipolo simmetrico e necessariamente anchereciproco.

Per un doppio bipolo resistivo che ammette la descrizione in comandata in cor-rente, la condizione di simmetria richiede che i coefficienti di resistenza soddisfinole condizioni

r11 = r22

r12 = r21(3.65)

e quindi la matrice di resistenza deve essere simmetrica. Analogamente, perun doppio bipolo simmetrico comandato in tensione deve essere simmetrica lamatrice di resistenza.

g11 = g22

g12 = g21(3.66)

Per un doppio bipolo che ammette la rappresentazione ibrida la condizione disimmetria richiede che nelle (3.18) sia possibile scambiare i1 con i2 e v1 con v2,

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cioe che valgano le relazioni

v2 = h11i2 + h12v1

i1 = h21i2 + h22v1

(3.67)

D’altra parte dalle (3.18) per i1 e v2 si ricavano le espressioni

i1 =h22

det(H)v1 − h12

det(H)i2

v2 = − h21

det(H)v1 +

h11

det(H)i2

(3.68)

Le (3.67) coincidono con le (3.68) se sono verificate le condizioni

h12 = −h21

det(H) = 1(3.69)

Procedendo in modo simile si possono esprimere le condizioni di simmetria me-diante i coefficienti della matrice di ibrida inversa

h′12 = −h′21det(H ′) = 1

(3.70)

i coefficienti della matrice di trasmissione diretta

A = D

det(T ) = 1(3.71)

e i coefficienti della matrice di trasmissione inversa.

A′ = D′

det(T ′) = 1(3.72)

3.3.3 Passivita

Se le tensioni e le correnti sono orientate secondo la convenzione normale, comein fig. 3.1, la potenza assorbita da un doppio bipolo e

pa = v1i1 + v2i2 (3.73)

Un doppio bipolo privo di memoria e passivo se per ogni insieme di tensioni ecorrenti che soddisfano le relazioni costitutive risulta

pa ≥ 0 (3.74)

Per un doppio bipolo resistivo lineare tempo-invariante descrivibile in termini dimatrice di resistenza, la potenza puo essere espressa nella forma

pa = r11i21 + (r12 + r21)i1i2 + r22i

22 (3.75)

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Si puo dimostrare per doppio bipolo passivo i coefficienti della matrice di resi-stenza devono soddisfare le condizioni

r11 ≥ 0 (3.76a)

r22 ≥ 0 (3.76b)(r12 + r21

2

)2

≤ r11r22 (3.76c)

Dimostrazione Se il doppio bipolo e passivo, la potenza pa, data dalla (3.75),deve essere maggiore o uguale a zero per ogni insieme di valori di i1 e i2. Comecaso particolare pa deve essere maggiore o uguale a zero anche quando i1 = 0 equando i2 = 0. Nei due casi dalla (3.75) si ottiene rispettivamente

pa = r11i21 (3.77)

pa = r22i22 (3.78)

Quindi, affinche sia pa sia non negativa, devono essere verificate le condizioni(3.76a) e (3.76b).

Inoltre, quando i2 = 0, si possono dividere primo e secondo membro della(3.75) per i2

pa

i22= r11

i21i22

+ (r12 + r21)i1i2

+ r22 (3.79)

Se pa deve essere non negativa, anche il rapporto a primo membro della (3.79)deve essere non negativo.

Se r11 > 0 il secondo membro e una funzione parabolica del rapporto tra lecorrenti e tende a +∞ quando tale rapporto tende a +∞ o a −∞. Affinche talefunzione non assuma valori negativi occorre che l’equazione

r11x2 + (r12 + r21)x+ r22 = 0 (3.80)

dove x indica il rapporto tra le correnti, non abbia due soluzioni reali distinte,quindi deve essere soddisfatta la condizione

(r12 + r21)2 − 4r11r22 ≤ 0 (3.81)

che equivale alla (3.76c)Se r11 = 0 affinche il secondo membro della (3.79) sia non negativo occorre

che sia

r12 + r21 = 0 (3.82)

altrimenti la potenza tenderebbe ad assumere valori negativi al tendere a −∞del rapporto delle correnti. D’altra parte si puo notare che per r11 = 0 la (3.76c)si riduce proprio alla (3.82).

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In modo analogo si possono ricavare le condizioni che devono essere soddisfattedai parametri delle altre rappresentazioni affinche un doppio bipolo sia passivo.

Nel caso dei parametri di conduttanza, l’espressione della potenza assorbitadal doppio bipolo assume la forma

pa = g11v21 + (g12 + g21)v1v2 + g22v

22 (3.83)

Tale potenza risulta non negativa per ogni valore delle tensioni se valgono lecondizioni

g11 ≥ 0 (3.84a)

g22 ≥ 0 (3.84b)(g12 + g21

2

)2

≤ g11g22 (3.84c)

Nel caso dei parametri di ibridi la potenza assorbita dal doppio bipolo e

pa = h11i21 + (h12 + h21)i1v2 + h22v

22 (3.85)

e quindi, in questo caso, le condizioni di passivita sono

h11 ≥ 0 (3.86a)

h22 ≥ 0 (3.86b)(h12 + h21

2

)2

≤ h11h22 (3.86c)

Nel caso dei parametri ibridi inversi, si ottengono relazioni analoghe alle (3.85)e (3.86), nelle quali i ruoli delle porte sono scambiati.

3.4 Generatori dipendenti

3.4.1 Caratteristiche

I generatori dipendenti o generatori pilotati doppi bipoli definiti dalle seguentirelazioni costitutive:

• generatore di tensione controllato in tensione (GVV)

i1(t) = 0

v2(t) = µv1(t)(3.87)

• generatore di tensione controllato in corrente (GVI)

v1(t) = 0

v2(t) = ri1(t)(3.88)

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• generatore di corrente controllato in tensione (GIV)

i1(t) = 0

i2(t) = gv1(t)(3.89)

• generatore di corrente controllato in corrente (GII)

v1(t) = 0

i2(t) = αi1(t)(3.90)

I simboli dei generatori dipendenti sono riportati nella fig. 3.13.I parametri µ, r, g, α, sono chiamati parametri di trasferimento; µ e α sono

adimensionali, r ha le dimensioni di una resistenza, g ha le dimensioni di una con-duttanza. Le (3.87) e (3.90) sono due casi particolari di rappresentazioni ibride,rispettivamente inversa e diretta, mentre le (3.88) costituiscono una rappresen-tazione in termini di parametri di resistenza e le (3.89) una rappresentazione intermini di parametri di conduttanza.

Per tutti e quattro i componenti una delle grandezze associate alla porta 1 puoassumere valori arbitrari mentre l’altra e identicamente nulla. Quindi la porta 1si comporta, a seconda dei casi, come un cortocircuito o come un circuito aperto.

Per quanto riguarda la porta 2, una delle grandezze associate non e soggettaa vincoli mentre l’altra e legata al valore della grandezza libera alla porta 1 (alla

GVV GVI

GIIGIV

i1 i1

i1 i1

i2 i2

i2 i2

v2 v2

v2 v2

v1 v1

v1 v1

v1 ri1

gv1 i1

Figura 3.13: Simboli dei generatori dipendenti

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quale si da, a seconda del caso, il nome di tensione pilota o corrente pilota).Il comportamento della porta 2 e, quindi, simile a quello di un generatore (dicorrente o di tensione a seconda del componente considerato), dato che le rela-zioni costitutive fissano il valore di una delle grandezze e lasciano libera l’altradi assumere qualunque valore. A differenza di quanto avviene per i generatoriindipendenti, la forma d’onda della grandezza fissata non e una funzione nota deltempo, ma dipende dalla forma d’onda della grandezza pilota. Da cio deriva ilnome di generatore dipendente o generatore pilotato.

Per tutti e quattro i tipi di generatori dipendenti, la potenza assorbita edeterminata dalla tensione e dalla corrente alla porta 2 dato che alla porta 1 o latensione o la corrente e identicamente nulla. Quindi, con le convenzioni indicatein figura,

pa(t) = v2(t)i2(t) (3.91)

Dal momento che, a seconda del tipo di generatore, o v2 o i2 puo assumerevalore arbitrario, la potenza assorbita puo assumere qualunque valore positivo onegativo. Pertanto i generatori dipendenti sono componenti attivi.

Inoltre i generatori dipendenti costituiscono un esempio di componenti nonreciproci, dato che, evidentemente, le loro equazioni non soddisfano le condizioniprecisate nel paragrafo 3.3.1.

Osservazione In genere negli schemi di circuiti con generatori dipendenti laporta 1 del componente viene sottintesa, quindi, ad esempio, un circuito comequello di fig. 3.14a normalmente e rappresentato come e indicato in fig. 3.14b.

v1

v1

R1 R1

R2 R2R3 R3vG vG

v1

v1

a) b)

Figura 3.14: Rappresentazioni di un circuito con un generatore dipendente

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ri1 i1

i1 i1i2 i2

v2 v2R

R

Figura 3.15: Trasformazione di generatori dipendenti

3.4.2 Trasformazione dei generatori

Si considerino i doppi bipoli di fig. 3.15 costituiti da un generatore dipendente ditensione con un resistore collegato in serie alla porta 2 e un generatore di correntecon un resistore collegato in parallelo alla porta 2. Le equazioni del primo doppiobipolo sono

v1 = 0

v2 = ri1 +Ri2(3.92)

mentre per il secondo si ha

v1 = 0

v2 = αRi1 +Ri2(3.93)

Quindi i due doppi bipoli sono equivalenti se vale la relazione

r = αR (3.94)

Analogamente, nel caso di generatori controllati in corrente, rappresentato infig. 3.16, le equazioni dei doppi bipoli sono rispettivamente

i1 = 0

v2 = µv1 +Ri2(3.95)

v1 gv1

i2 i2

v2v1 v1 v2R

R

Figura 3.16: Trasformazione di generatori dipendenti

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e

i1 = 0

v2 = gRv1 +Ri2(3.96)

Quindi i doppi bipoli sono equivalenti se

µ = gR (3.97)

3.4.3 Nota sull’analisi di circuiti con generatori dipendenti

In questo paragrafo si illustrera un procedimento che generalmente consente disemplificare la risoluzione di circuiti con generatori dipendenti.

Secondo tale metodo l’analisi del circuito e suddivisa in due fasi, ciascunadella quali puo essere ricondotta alla risoluzione di un problema riguardante uncircuito con solo generatori indipendenti

• nella prima fase si determinano le tensioni o le correnti che pilotano igeneratori, (tensioni e correnti pilota);

• nella seconda fase si completa lo studio del circuito determinando le altretensioni e correnti (eventualmente) richieste.

La prima fase puo sempre messa in corrispondenza un problema riguardanteil dimensionamento di generatori indipendenti. Per fissare le idee si consideri ilseguente esempio:

Esempio 3.1 Determinare il valore da attribuire alla tensione VG2 nel circuito difig. 3.17 affinche sia soddisfatta la relazione

VG2 = 2V3

R1 R2

R3 V3VG1 VG2

R1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩVG1 = 10 V

Figura 3.17: Esempio

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Risoluzione Per risolvere il problema, in primo luogo si determina l’espressionedi V3 in funzione di una VG2 generica. In questo caso, ad esempio, si puo impiegarela formula di Millman come indicato nel paragrafo 2.6.7.2. Quindi si ottiene

V3 =G1VG1 +G2VG2

G1 +G2 +G3

=30 + VG2

7

A questo punto si inserisce al posto di VG2 la sua espressione in funzione di V3

V3 =30 + 2V3

7

In questo modo si ottiene un’equazione nell’incognita V3

5V3 = 30

Quindi si ricava

V3 = 6 V

VG2 = 12 V

Si consideri ora il seguente problema:

Esempio 3.2 Determinare la tensione V3 nel circuito di fig. 3.18.

R1 R2

R3 V3VG1 V3

R1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩVG1 = 10 Vµ = 2


Risoluzione Si puo notare che il problema, in pratica, coincide con il precedente.L’unica differenza e rappresentata dal fatto che in questo caso la condizione

VG2 = 2V3

non viene imposta dall’esterno dimensionando opportunamente il secondo gene-ratore, ma deriva dalla relazione costitutiva del generatore dipendente.

Di conseguenza, per risolvere il problema, si puo pensare di trattare il ge-neratore dipendente come un generatore indipendente con tensione incognita

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VG2 = µV3 e utilizzare lo stesso procedimento impiegato nell’esempio precedente.Anche in questo caso si ricava un’espressione della tensione V3 in funzione dellatensione incognita VG2. Dato che VG2, a sua volta e funzione di V3, questo con-duce ad un’equazione nella quale compare come incognita la sola tensione pilotaV3

V3 =G1VG1 +G2µV3

G1 +G2 +G3

=30 + 2V3

7

cioe

5V3 = 30

dalla quale si ottiene

V3 = 6 V

L’esempio precedente mostra che in generale il problema della determinazionedelle variabili pilota puo essere risolto mediante il seguente procedimento:

• Si sostituisce ad ogni generatore dipendente di tensione o di corrente ungeneratore indipendente con tensione o corrente impressa incognita.

• Studiando il circuito con soli generatori indipendenti cosı ottenuto, si rica-vano le espressioni delle variabili pilota in funzione della tensioni o correntiincognite dei generatori che sostituiscono i generatori indipendenti.

• Esprimendo, a loro volta, le tensioni e le correnti dei generatori incogniti infunzione delle variabili pilota, si ottiene un sistema di equazioni nel qualecompaiono come incognite le sole variabili pilota. Si noti che la dimensionedi questo sistema non dipende dal numero di generatori dipendenti presentinel circuito, ma solo dal numero di variabili pilota.

Determinate le variabili pilota, anche le tensioni e le correnti impresse dei ge-neratori dipendenti sono quantita note. Quindi nella seconda fase della risoluzioneogni generatore dipendente puo essere sostituito da un generatore indipendente(questa volta noto) e, di conseguenza, anche la seconda fase puo essere ricondottaalla risoluzione di un circuito con solo generatori indipendenti.

3.5 Trasformatore ideale

3.5.1 Caratteristiche

Il trasformatore ideale e un 2-porte avente le seguenti equazioni caratteristiche

v1(t) = Kv2(t)

i1(t) = − 1

Ki2(t)

(3.98)

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in cui il parametro K e detto rapporto di trasformazione ed e adimensionale.Il trasformatore ideale e indicato con i simboli riportati in fig. 3.19. In seguito,

si utilizzera sempre il primo dei simboli riportati in tale figura, dato che il secondoe simile a quello che rappresenta gli induttori accoppiati (che saranno introdottinel capitolo 7).

Le (3.98) costituiscono una rappresentazione in termini di parametri di tra-smissione. E immediato verificare che nel caso del trasformatore ideale esistonoanche le matrici H , H ′ e T ′, mentre non esistono le matrici di resistenza e diconduttanza. In particolare la rappresentazione ibrida e

v1(t) = Kv2(t)

i2(t) = −Ki1(t)(3.99)

Si puo notare, inoltre, che il trasformatore ideale e un componente reciprocoma non simmetrico, se si esclude il caso particolare in cui K = 1.

La potenza assorbita dal trasformatore ideale e data da

pa(t) = v1(t)i1(t)+ v2(t)i2(t) = [Kv2(t)] ·[− 1

Ki2(t)

]+ v2(t)i2(t) = 0 (3.100)

Tale relazione mostra che la potenza assorbita attraverso una delle porte e sem-pre uguale a quella erogata all’altra porta, quindi il trasformatore ideale e uncomponente passivo (e anche non energetico).

Il trasformatore ideale rappresenta una descrizione fortemente idealizzata diun dispositivo fisico costituito da due bobine avvolte su un nucleo di materialeferromagnetico, come indicato in fig. 3.20. Se n1 e n2 rappresentano i numeri dispire dei due avvolgimenti, il rapporto di trasformazione coincide con il rapportotra il numero di spire dell’avvolgimento 1 (in genere chiamato avvolgimento pri-mario) e il numero di spire dell’avvolgimento 2 (detto avvolgimento secondario)

K =n1

n2

(3.101)

a) b)

i1 i1i2i2

v2v2v1 v1

Figura 3.19: Simboli del trasformatore ideale

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v1

i1

n1 n2

i2

v2

Figura 3.20: Schema di principio di un trasformatore fisico

E opportuno precisare che, per un trasformatore fisico, valgono con buona ap-prossimazione relazioni del tipo (3.98)-(3.99) solo se le variazioni nel tempo delletensioni e delle correnti soddisfano opportuni vincoli. Ad esempio, nel caso in cuile tensioni le correnti sono sinusoidali, le relazioni valgono solo se la frequenza simantiene all’interno di un particolare intervallo dipendente dalla caratteristichefisiche del dispositivo. In particolare, per un trasformatore fisico le (3.98)-(3.99)non valgono se le tensioni e le correnti sono costanti nel tempo.

Il fatto che il comportamento del trasformatore fisico non dipenda solo daivalori istantanei delle tensioni e delle correnti, ma anche dal modo in cui essevariano nel tempo, indica che il trasformatore fisico e un componente dinamico.In effetti, come si vedra in seguito, il trasformatore fisico puo essere descritto inmodo piu accurato mediante un circuito equivalente comprendente, oltre ad untrasformatore ideale, anche alcuni componenti dinamici.

3.5.2 Trasformazione della resistenza di carico

Si consideri un trasformatore ideale con la porta 2 collegata a un resistore dicarico RC , come indicato in fig. 3.21. Si vuole determinare la caratteristica delbipolo risultante, cioe la relazione tra v1 e i1.

Dato che per il resistore RC v2 e i2 sono orientate secondo la convenzione delgeneratore risulta

v2 = −RCi2 (3.102)

Inserendo nella (3.102) le espressioni di v2 e i2 ottenute tramite le (3.98) si ottiene

v1

K= −RC(−Ki1) ⇒ v1 = K2RCi1 (3.103)

La (3.103) mostra che un trasformatore ideale con la porta 2 chiusa su un resistoreRC , equivale ad un resistore il cui valore e dato da RC per il quadrato del rapportodi trasformazione.

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i1 i2

v2v1 RC

Figura 3.21: Trasformatore ideale collegato a un resistore di carico

3.6 Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari

Le equazioni dei doppi bipoli resistivi lineari tempo-invarianti relative alle varierappresentazioni esaminate nel paragrafo 3.2 possono essere interpretate mediantecircuiti equivalenti contenenti resistori e generatori dipendenti.

Questo indica che l’analisi di un circuito lineare resistivo tempo-invariantecomprendente doppi bipoli puo essere sempre ricondotta a quella di un circuitoformato solo da resistori, generatori indipendenti e generatori dipendenti.

Di seguito verranno illustrati alcuni circuiti equivalenti corrispondenti allevarie rappresentazioni.

Parametri di resistenza Un doppio bipolo descrivibile in termini di matrice diresistenza puo essere rappresentato mediante il circuito equivalente di fig. 3.22,costituito da due resistori di valore uguale alle resistenze proprie e da due genera-tori di tensione controllati in corrente i cui parametri di trasferimento coincidonocon le resistenze mutue.

Un altro possibile circuito equivalente, utilizzabile solo nel caso in cui i dueterminali negativi delle porte siano collegati tra loro (e quindi, in particolare, nelcaso dei tripoli), e rappresentato in fig. 3.23. Tale circuito, che per la sua strut-tura e detto circuito equivalente a T, comprende tre resistori e un generatore ditensione comandato in corrente. Nella figura sono indicati i valori dei componentiin funzione dei coefficienti della matrice R. In particolare si puo notare che ilparametro di trasferimento del generatore dipendente e rappresentato dalla dif-ferenza delle resistenze mutue. Di conseguenza tale parametro si annulla quandoil doppio bipolo e reciproco. In queste condizioni il circuito equivalente si riducea quello di fig. 3.24, formato solo da resistori.

Parametri di conduttanza Un doppio bipolo descrivibile in termini di matri-ce di conduttanza puo essere rappresentato mediante il circuito equivalente difig. 3.25, costituito da due resistori aventi conduttanza uguale alle conduttanzaproprie e da due generatori di corrente controllati in tensione i cui parametri ditrasferimento coincidono con le conduttanze mutue.

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v2

i1

v1

r11

r12 2i r21 1i

r22 i2

Figura 3.22: Interpretazione dei parametri di resistenza

v2

i1

v1

r11r12 r22r12

r12(r21 1ir12)

i2

Figura 3.23: Circuito equivalente a T

v2

i1

v1

r11r12 r22r12

r12

i2

Figura 3.24: Circuito equivalente a T di un doppio bipolo reciproco

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v2

i1

v1 g11 g12 2v g21 1v g22

i2

Figura 3.25: Interpretazione dei parametri di conduttanza

v2

i1

v1 g11g12 (g21 1 vg21) g22g12

g12 i2

Figura 3.26: Circuito equivalente a Π

v2

i1

v1 g11g12 g22g12

g12 i2

Figura 3.27: Circuito equivalente a Π di un doppio bipolo reciproco

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Se i terminale negativi delle due porte sono collegati tra loro, si puo utiliz-zare anche il circuito di fig. 3.26 detto circuito equivalente a Π. Tale circuitocomprende tre resistori e un generatore di corrente comandato in tensione. Nellafigura sono indicati i valori delle conduttanze dei resistori e della conduttanza ditrasferimento del generatore dipendente in funzione dei coefficienti della matriceG. Anche in questo caso il parametro di trasferimento del generatore si annul-la quando il doppio bipolo e reciproco. Quindi, in queste condizioni, il circuitoequivalente si riduce a quello di fig. 3.27, formato solo da resistori.

Parametri ibridi Un doppio bipolo descritto in termini di matrice ibrida puo es-sere rappresentato mediante il circuito equivalente di fig. 3.28, comprendente dueresistori aventi resistenza e conduttanza coincidenti con h11 e h22 e due generatoridipendenti, i cui parametri di trasferimento coincidono con h12 e h21.

Nel caso della matrice di trasmissione inversa, si puo utilizzare un circuitoanalogo al precedente, nel quale i ruoli delle due porte e quindi gli indici 1 e 2,sono scambiati.

i1

v1

R h 11

h12 2v v2h21 1i G h 22

i2

Figura 3.28: Interpretazione dei parametri ibridi

Parametri di trasmissione Un doppio bipolo descritto in termini di matrice ditrasmissione puo essere rappresentato mediante il circuito equivalente di fig. 3.29.

i1

v1 Bi2

Av2

v2i1 R

i2

1D

DC

Figura 3.29: Interpretazione dei parametri di trasmissione

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Anche in questo caso, alla rappresentazione in termini di matrice di trasmis-sione inversa corrisponde un circuito analogo, nel quale i ruoli delle porte 1 e 2sono scambiati.

3.7 Collegamenti tra doppi bipoli

3.7.1 Collegamento in serie

Due doppi bipoli si dicono collegati in serie quando ciascuna delle porte del primocomponente e collegata in serie ad una del secondo, come indicato in fig. 3.30. Eimportante precisare che, affinche si possa parlare di collegamento in serie, i duecomponenti devono continuare a comportarsi come doppi bipoli anche quandosono collegati nel modo indicato.

Tale condizione e assicurata nel caso di doppi bipoli intrinseci (paragrafo 1.3.7),mentre in presenza di doppi bipoli non intrinseci possono verificarsi situazioni co-me quella illustrata in fig. 3.31. In questo caso la corrente in R3a, che vale i1a+i2a,si suddivide tra R1b e R2b secondo la formula del partitore di corrente. Quindi i′1a

e i′2a assumono valori dipendenti da R1b e R2b e, di conseguenza, in generale nonpossono essere soddisfatte le condizioni i1a = i′1a e i2a = i′2a. In modo analogo sipuo verificare che in generale risulta i1b = i′1b e i2b = i′2b. In queste condizioni idue componenti a e b non si comportano come doppi bipoli.

Due doppi bipoli a e b collegati in serie formano un nuovo doppio bipolo lecui correnti e tensioni sono legate a quelle dei componenti a e b dalle relazioni

i1 = i1a = i1b

i2 = i2a = i2b

(3.104)

i2a

i2a

i2

i2b

i2b

v2b

v2a

v2

v1a

v1

v1b

i1a

i1a

i1

i1b

i1b

a

b

Figura 3.30: Doppi bipoli in serie

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i2a

i2a

i2b

i2b

i1a

i1a

i1b

i1b

R1a

R1b

R3a

R3b

R2a

R2b

Figura 3.31: Collegamento in serie non corretto

e

v1 = v1a + v1b

v2 = v2a + v2b

(3.105)

Si assuma che i due doppi bipoli siano descritti mediante le matrici di resistenza

Ra =

[r(a)11 r

(a)12

r(a)21 r

(a)22

]Rb =

[r(b)11 r

(b)12

r(b)21 r

(b)22

](3.106)

Le loro equazioni quindi sono

v1a = r(a)11 i1a + r

(a)12 i1a

v2a = r(a)21 i1a + r

(a)22 i2a

(3.107)

e

v1b = r(b)11 i1b + r

(b)12 i1b

v2b = r(b)21 i1b + r

(b)22 i2b

(3.108)

Sostituendo nella (3.105) le espressioni delle tensioni e tenendo conto del fattoche le correnti delle porte in serie sono uguali, si ottiene

v1 = (r(a)11 + r

(b)11 )i1 + (r

(a)12 + r

(b)12 )i1

v2 = (r(a)21 + r

(b)21 )i1 + (r

(a)22 + r

(b)22 )i2

(3.109)

cioe

R = Ra + Rb (3.110)

Quindi due i doppi bipoli collegati in serie equivalgono ad un doppio bipolo lacui matrice di resistenza e data dalla somma delle loro matrici di resistenza.

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Esempio 3.3 Determinare la matrice di resistenza del doppio bipolo rappresen-tato in fig. 3.32a, formato da un tripolo con matrice di resistenza

Ra =

[ra11 ra

12

ra21 ra

22

]

collegato ad un resistore Rb.

i2a i2i2

i2b

v2b

v2a

v2v2

v1a

v1v1

v1b

i1ai1i1

i1b

RbRb

Ra

Ra

a) b)


Risoluzione Il doppio bipolo puo essere visto come il risultato del collegamentoin serie dei due doppi bipoli evidenziati in fig. 3.32b. La matrice di resistenza delcomponente b e

Rb =

[Rb Rb

Rb Rb

]

quindi la matrice di resistenza del doppio bipolo complessivo e

R = Ra + Rb =

[ra11 +Rb ra

12 +Rb

ra21 +Rb ra

22 +Rb

]

3.7.2 Collegamento in parallelo

Due doppi bipoli si dicono collegati in parallelo quando ciascuna delle porte delprimo componente e collegata in parallelo ad una porta del secondo, come indicatoin fig. 3.33. Anche in questo caso occorre precisare che i due componenti devono

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i2a

i2ai2i1

i2b

i2b

v2b

v2a

v2v1

v1a

v1b

i1a

i1a

i1b

i1b

a

b

Figura 3.33: Doppi bipoli in parallelo

continuare a comportarsi come doppi bipoli quando vengono collegati nel modoindicato.

In tali condizioni le tensioni e correnti del doppio bipolo complessivo sonolegate a quelle dei componenti a e b dalle relazioni

v1 = v1a = v1b

v2 = v2a = v2b

(3.111)

e

i1 = i1a + i1b

i2 = i2a + i2b

(3.112)

Se i due componenti a e b sono descritti dalle matrici di conduttanza Ga eGb, con un procedimento simile a quello visto nel caso del collegamento in serie,si ottiene che la matrice di conduttanza del doppio bipolo risultante e

G = Ga + Gb (3.113)

Esempio 3.4 Determinare la matrice di conduttanza del doppio bipolo rappre-sentato in fig. 3.34a, formato da un tripolo con matrice di conduttanza

Ga =

[ga11 ga

12

ga21 ga

22

]

collegato ad un resistore Rb.

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i2a

i2i1i1 i2

i2b

v2b

v2a

v2v1v1 v2

v1a

v1b

i1a

i1bGa

Ga

Rb

Rb


Risoluzione Il doppio bipolo puo essere visto come il risultato del collegamen-to in parallelo dei due doppi bipoli evidenziati in fig. 3.34b. La matrice diconduttanza del componente b e

Gb =

[Gb −Gb

−Gb Gb

]

dove Gb = 1/Rb. Quindi la matrice di conduttanza del doppio bipolo complessivoe

G = Ga + Gb =

[ga11 +Gb ga

12 −Gb

ga21 −Gb ga

22 +Gb

]

3.7.3 Collegamento serie-parallelo

Due doppi bipoli si dicono collegati in serie-parallelo quando le loro porte 1 sonocollegate in serie e le loro porte 2 sono collegate in parallelo. Anche in questocaso occorre precisare che il collegamento non deve alterare il funzionamentocome doppi bipoli dei componenti a e b.

Le tensioni e le correnti del doppi bipolo complessivo sono legate a quelle deicomponenti a e b dalle relazioni

v1 = v1a + v1b

v2 = v2a = v2b

(3.114)

e

i1 = i1a = i1b

i2 = i2a + i2b

(3.115)

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i2a

i2ai2

i2b

i2b

v2b

v2a

v2

v1a

v1b

i1a

i1a

i1b

i1b

v1a

v1

v1b

i1

a

b

Figura 3.35: Collegamento serie-parallelo

Se i due componenti a e b sono descritti dalle matrici ibride Ha e Hb, proce-dendo come nei casi precedenti, si ottiene che la matrice ibrida del doppio bipolorisultante e

H = Ha + Hb (3.116)

3.7.4 Collegamento parallelo-serie

Il collegamento parallelo-serie e analogo al precedente. In questo caso si scam-biano i ruoli delle porte 1 e delle porte 2. Le relazioni tre le tensioni e le correntiin queste condizioni sono

v1 = v1a = v1b

v2 = v2a + v2b

(3.117)

e

i1 = i1a + i1b

i2 = i2a = i2b

(3.118)

Se i due componenti a e b sono descritti dalle matrici ibride inverse H ′a e H ′

b, lamatrice ibrida inversa del doppio bipolo risultante e

H ′ = H ′a + H ′

b (3.119)

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i2a

i2ai1

i2b

i2b

v2b

v2a

v1

v1a

v1b

i1a

i1a

i1b

i1b

i2

v2

a

b

Figura 3.36: Collegamento parallelo-serie

3.7.5 Collegamento in cascata

Due doppi bipoli si dicono collegati in cascata quando la porta 2 del primo bipoloe collegata alla porta 2 del secondo, come indicato in fig. 3.37.

Il collegamento da luogo ad un doppio bipolo la cui porta 1 coincide con laporta 1 del componente a e la cui porta 2 coincide con la porta 2 del componenteb. Quindi valgono le relazioni[

v1

i1

]=

[v1a

i1a

] [v2

i2

]=

[v2b

i2b

](3.120)

Inoltre, le tensioni e le correnti alle porte di collegamento tra i componenti ae b devono soddisfare le relazioni[

v1b

i1b

]=

[v2a

−i2a

](3.121)

Si assume che i componenti a e b possano essere descritti in termini di matricedi trasmissione, e che pertanto le loro equazioni possano essere scritte nella forma

[v1a

i1a

]= T a ·

[v2a

−i2a

](3.122)

e [v1b

i1b

]= T b ·

[v2b

−i2b

](3.123)

Per la (3.121) il vettore a secondo membro nella (3.122) e uguale a quello aprimo membro della (3.123). Quindi, combinando le (3.122) e (3.123) si ricava la

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i2a i2b i2

v2b v2v2av1av1 v1b

i1ai1 i1b

a b

Figura 3.37: Doppi bipoli collegati in cascata

seguente relazione tra le tensioni e correnti del due porte risultante[v1

i1

]= T a · T b ·

[v2

−i2]

(3.124)

Cio mostra che la matrice di trasmissione del due porte risultante e data dalprodotto delle matrici di trasmissione dei componenti a e b.

T = T a · T b (3.125)

L’analisi del collegamento in cascata mostra anche la ragione per cui nellarappresentazione in trasmissione si considera la corrente −i2 invece della i2. In-fatti nel caso di due doppi bipoli collegati in cascata, la corrente alla porta 1del secondo componente coincide con l’opposto della corrente alla porta 2 delprimo componente. Quindi, con la convenzione adottata risulta piu semplice ladeterminazione della matrice di trasmissione del due porte risultante.

Procedendo in modo simile si ricava che, nel caso di due doppi bipoli collegatiin cascata, la matrice di trasmissione inversa del doppio bipolo risultante e datadal prodotto delle matrici di trasmissione inversa dei due componenti

T ′ = T ′b · T ′

a (3.126)

3.8 Componenti N-porte

Come si e visto nel paragrafo 1.3.7, un N porte e un componente con 2N cop-pie di terminali a ciascuna delle quali e associata una tensione ed una correntedescrittiva. Tali variabili descrittive sono soggette ad N vincoli che, nel caso ge-nerale, per un componente privo di memoria possono essere espressi nella forma

f1 [v1(t), . . . , vN(t), i1(t), . . . , iN(t), t] = 0

f2 [v1(t), . . . , vN(t), i1(t), . . . , iN(t), t] = 0

...

fN [v1(t), . . . , vN(t), i1(t), . . . , iN(t), t] = 0

(3.127)

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dove f1, f2, . . . , fN rappresentano delle generiche funzioni non lineari.Nel paragrafo paragrafo 1.3.7 si e visto anche che un N+1-polo puo essere

considerato come un N -porte avente tutti i terminali negativi delle porte unitinel terminale comune. Quindi le equazioni di un componente di questo tipocoincidono con quelle di un N -porte.

In seguito si fara riferimento esclusivamente agli N -porte (o N+1-poli) resi-stivi lineari tempo-invarianti, per i quali le (3.127) sono relazioni del tipo

p11v1(t) + · · ·+ p1NvN(t) + q11i1(t) + · · ·+ q1N iN(t) = 0

...

pN1v1(t) + · · ·+ pNNvN(t) + qN1i1(t) + · · ·+ qNN iN(t) = 0

(3.128)

cioe, in termini matriciali,

Pv + Qi = 0 (3.129)

dove

v=

v1...vN

i

=

i1...iN

(3.130)

e

P=

p11 . . . p1N...

. . ....

pN1 . . . pNN

Q

=

p11 . . . p1N...

. . ....

pN1 . . . pNN

(3.131)

Oltre alla forma generale (3.128), per le equazioni di un N -porte si posso-no introdurre varie rappresentazioni nelle quali N variabili svolgono il ruolo divariabili indipendenti e N quello di variabili dipendenti2.

In particolare si possono generalizzare le rappresentazioni in termini di para-metri di resistenza e di conduttanza introdotte per i doppi bipoli.

Se l’N -porte e comandato in corrente le equazioni possono essere scritte nellaforma

v1(t) = r11i1(t) + · · ·+ r1N iN(t)

...

vN(t) = rN1i1(t) + · · ·+ rNN iN(t)

(3.132)


v = Ri (3.133)

2Complessivamente sono possibili (2N)!(N !)2 rappresentazioni

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con

R=

r11 . . . r1N...

. . ....

rN1 . . . rNN

(3.134)

Il coefficiente rij rappresenta il rapporto tra la tensione vi e la corrente ij quandotutte le altre correnti sono nulle, cioe quando tutte le porte diverse dalla porta jsono a vuoto.

rij =vi

ij

∣∣∣∣ik=0 ∀ k =j

(3.135)

Se l’N -porte e comandato in tensione le equazioni possono essere scritte nellaforma

i1(t) = g11v1(t) + · · ·+ g1NvN(t)

...

iN(t) = gN1v1(t) + · · ·+ gNNvN(t)

(3.136)


i = Gv (3.137)

con

G=

g11 . . . g1N...

. . ....

gN1 . . . gNN

(3.138)

Il coefficiente gij rappresenta il rapporto tra la tensione ii e la corrente vj quandotutte le altre tensioni sono nulle, cioe quando tutte le porte diverse dalla porta jsono in cortocircuito.

gij =iivj

∣∣∣∣vk=0 ∀ k =j

(3.139)

Le altre possibili rappresentazioni, nelle quali sia le variabili indipendentiche quelle dipendenti sono in parte tensioni e in parte correnti, sono chiamategenericamente rappresentazioni ibride.

Anche il concetto di reciprocita introdotto nel paragrafo 3.3.1 puo essere este-so al caso di componenti N -porte. In questo caso si dice che il componente ereciproco se, dati due arbitrari insiemi di tensioni e di correnti tali da soddisfa-re le sue relazioni costitutive v′k, i

′k e v′′k , i

′′k con k = 1, 2, . . . , N , e verificata la

relazione

N∑k=1

v′ki′′k =

N∑k=1

v′′ki′k (3.140)

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Procedendo come nel caso dei doppi bipoli, si puo dimostrare che per un N -portereciproco i coefficienti delle matrici di resistenza e di conduttanza soddisfanorispettivamente le condizioni

rij = rji (3.141)

e

gij = gji (3.142)

3.9 Resistori collegati a stella e a poligono

Un collegamento a stella con N vertici e costituito da N resistori collegati adun nodo comune al quale non sono collegati altri componenti, come indicato infig. 3.38a. Un collegamento a poligono con N vertici di resistori e costituito daN(N−1)/2 resistori collegati tra tutte le possibili coppie di vertici, come indicatoin fig. 3.38b. In entrambi i casi il collegamento dei resistori costituisce un N -polo.Nei paragrafi seguenti si esamineranno le condizioni sotto le quali un N -polo astella e uno a poligono sono equivalenti.

3.9.1 Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo

Per N = 3 il collegamento a stella (in questo caso detto anche collegamento aT o collegamento a Y ) puo essere rappresentato come un doppio bipolo, come

AA

BB

E E

DD

C C

O

a) b)

Figura 3.38: Resistori collegati a stella e a poligono

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A B

C

OO

RA RARB RB

RC

RC

A B

C

i1 i2

v1v2

Figura 3.39: 3 resistori collegati a stella

indicato in fig. 3.39. Per il questo doppio bipolo, i coefficienti di resistenza valgono

r11 = RA +RC

r12 = r

21 = RC

r22 = RB +RC

(3.143)

e quindi i coefficienti di conduttanza sono

g11 =

RB +RC

RARB +RARC +RBRC

=GAGC +GAGB

GA +GB +GC

g12 = g

21 = − RC

RARB +RARC +RBRC

= − GAGB

GA +GB +GC

g22 =

RA +RC

RARB +RARC +RBRC

=GBGC +GAGB

GA +GB +GC

(3.144)

Il collegamento a triangolo (detto anche collegamento a Π o collegamento a∆) puo essere rappresentato, a sua volta, dal doppio bipolo di fig. 3.40. Per ilquesto doppio bipolo i coefficienti di conduttanza valgono

g11 = GAB +GAC =1

RAB

+1

RAC

g12 = g21 = −GAC = − 1

RAC

g22 = GBC +GAC =1

RBC

+1

RAC

(3.145)

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AA

BB

CC

i1 i2

v1v2

RAC

RAC

RAB

RAB

RBC

RBC

Figura 3.40: 3 resistori collegati a triangolo

e quindi i coefficienti di resistenza sono

r11 =GBC +GAC

GABGAC +GABGBC +GACGBC

=RABRAC +RACRBC

RAB +RAC +RBC

r12 = r21 =GAC


=RACRBC

RAB +RAC +RBC

r22 =GAB +GAC


=RABRBC +RACRBC

RAB +RAC +RBC

(3.146)

Confrontando le (3.143) con le (3.146) si riconosce che, affinche i coefficienti diresistenza coincidano, e quindi i due doppi bipoli siano equivalenti, le resistenzedella stella devono essere legate a quelle del triangolo dalle relazioni

RA =RABRAC

RAB +RAC +RBC

RB =RABRBC

RAB +RAC +RBC

RC =RACRBC

RAB +RAC +RBC

(3.147)

Queste relazioni, che consentono di ricavare i valori delle resistenze di una stel-la equivalente ad un triangolo dato, sono chiamate formule di trasformazionetriangolo-stella. Da queste relazioni si ricava anche che, nel caso particolare incui le resistenze del triangolo hanno uguale valore R, le resistenze della stellaequivalente sono

RA = RB = RC =R

3(3.148)

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Le formule che consentono la trasformazione inversa (cioe le formule di trasfor-mazione stella-triangolo) possono essere ricavate, oltre che invertendo le (3.147),dal confronto tra i parametri di conduttanza dati dalle (3.121) e (3.145). Affinchetali parametri coincidano deve essere

GAB =GAGB

GA +GB +GC

GAC =GAGC

GA +GB +GC

GBC =GBGC

GA +GB +GC

(3.149)

cioe, in termini di resistenze,

RAB =RARB +RARC +RBRC

RC

= RA +RB +RARB

RC

RAC =RARB +RARC +RBRC

RB

= RA +RC +RARC

RB

RBC =RARB +RARC +RBRC

RA

= RB +RC +RBRC

RA

(3.150)

Da tali relazioni si ricava anche che, nel caso particolare in cui le resistenze dellastella hanno uguale valore R, le resistenze del triangolo equivalente valgono

RAB = RAC = RBC = 3R (3.151)

3.9.2 Trasformazione stella-poligono

Se N > 3, confrontando le matrici di conduttanza dell’N−1-porte costituitodai resistori collegati a stella con quella dell’N−1-porte costituito dai resistoricollegati a poligono, si riconosce che una stella formata da N resistori di condut-tanza G1, G2 . . . GN equivale ad un poligono di resistori con N vertici in cui laconduttanza del resistore collegato tra il nodo i e il nodo j e (fig. 3.41)

Gij =GiGj

N∑k=1

Gk

(3.152)

La relazione precedente e chiamata formula di trasformazione stella-poligono ecostituisce una generalizzazione delle (3.149).

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Per N > 3, non e invece possibile definire delle formule generali di trasforma-zione poligono-stella. Cio dipende dal fatto che per N > 3 il numero di resistoridi un poligono con N vertici e maggiore del numero di resistori di una stella conN vertici e quindi le equazioni del poligono contengono un numero di parametrimaggiore di quelle della stella.

G12

G14

G13

G24

G34

G23G4

G3

G2

G1

1 12 2

3 34 4

0

Figura 3.41: Trasformazione stella-poligono

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Capitolo 4

Grafi ed equazioni topologiche

4.1 Definizioni

4.1.1 Grafo

Come si e visto nel capitolo 1, i vincoli imposti dalle leggi di Kirchhoff alle ten-sioni e alle correnti di un circuito sono espressi da equazioni che non dipendonodalle caratteristiche dei componenti, ma solo dal modo in cui essi sono collegati.Per studiare le proprieta di queste equazioni e conveniente fare uso di una rap-presentazione del circuito, detta grafo, che mette in evidenza la sola struttura deicollegamenti.

Un grafo e costituito da un insieme di punti, detti nodi, e da un insieme diarchi, detti lati o rami, che collegano i nodi. I nodi del grafo corrispondono ai nodidel circuito mentre ogni lato del grafo corrisponde a una porta di un componente.Quindi il grafo di un circuito si ottiene, come indicato in fig. 4.1, sostituendo:

• ad ogni bipolo un lato che collega i suoi terminali;

• ad ogni N -porte N lati ciascuno dei quali collega la coppia di terminali diuna porta;

• ad ogni N+1-polo N lati che collegano il terminale di riferimento a ciascunodegli altri terminali.

E possibile che un grafo contenga anche nodi su cui non incide nessun lato (nodiisolati), si esclude invece che il grafo possa contenere lati i cui estremi non sonocollegati a dei nodi. Inoltre si esclude che un lato possa avere entrambi gli estremicollegati allo stesso nodo.

Ciascuno dei lati del grafo puo essere messo in corrispondenza con una correntee una tensione descrittiva del circuito. Se si adotta la convenzione normale pertutti i componenti, i versi di riferimento delle tensioni e delle correnti possonoessere rappresentati orientando i lati come indicato in fig. 4.1. Si assume come

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A

B C

D

O

A

C C’

B

A’ B’

A

B

A

C C’

B

A’ B’

A

BA

B C

D

O

Figura 4.1: Grafi dei componenti

verso di riferimento del lato quello della corrente corrispondente. Avendo adottatola convenzione normale, tale verso definisce implicitamente anche il verso dellatensione.

A titolo di esempio in fig. 4.2 sono rappresentati un circuito e il grafo corri-spondente.

E importante sottolineare che la forma dei lati di un grafo e la disposizionedei nodi non sono significative, infatti lo scopo del grafo e solo quello di indi-care a quali nodi sono collegati i lati. Quindi un grafo puo essere disegnato indiversi modi equivalenti, ad esempio in fig. 4.3 sono riportate altre due possibilirappresentazioni del grafo di fig. 4.2.

Infine si osserva che la struttura del grafo e determinata in modo univoco solose il circuito e formato esclusivamente da bipoli, mentre in presenza di componenticon piu terminali il grafo puo avere struttura diversa a seconda di come sono sceltii loro terminali comuni. Ad esempio, in fig. 4.4 sono rappresentati i tre grafi chepossono essere associati ad un tripolo.

4.1.2 Sottografo

Se G e un grafo, si dice sottografo di G un grafo G’ formato da un sottoinsieme deilati e da un sottoinsieme dei nodi di G (ovviamente in tale sottoinsieme devonoessere compresi tutti i nodi terminali dei lati inclusi in G’). Come caso particolareun sottografo puo essere costituito da un solo nodo di G (in questo caso e dettosottografo degenere).

Talora, in seguito, si parlera di sottografi definiti da particolari sottoinsiemi

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Grafi ed equazioni topologiche 117

7

7

8

8

1 1

2

2

4 4

3 3

5 5

6 6

B

E

C AA C

B

E

DD

Figura 4.2: Circuito e grafo

7

7

88

1

12

24

43

355

6

6

A

ACC

BB

E ED

D

Figura 4.3: Altre rappresentazioni del grafo di fig. 4.2

B

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

A

A

A

A

A

A

Figura 4.4: Grafi associati a un tripolo

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di lati di un dato grafo. In questi casi si sottintende che l’insieme di nodi delsottografo e costituito da tutti i nodi terminali dei lati considerati.

4.1.3 Cammino

Si considerino due nodi A e B di un grafo G. Si dice cammino da A a B unsottografo di G formato da una successione di lati di G tali che:

• ogni lato ha un nodo in comune con il successivo;

• sul nodo A incide solo il primo lato della successione;

• sul nodo B incide solo l’ultimo lato della successione;

• su tutti gli altri nodi incidono due lati.

Quindi un cammino e un percorso lungo i lati del grafo che unisce i nodi estremie che non passa piu di una volta per uno stesso nodo. Un esempio di cammino erappresentato in fig. 4.5.

A

B

Figura 4.5: Cammino da A a B

4.1.4 Grafi connessi

Un grafo G si dice connesso se tra ogni coppia di nodi di G esiste almeno uncammino contenuto in G. In fig. 4.6 e riportato un esempio di grafo non connesso.Generalmente i grafi non connessi derivano da circuiti che contengono elementimultiporta. I nodi di un grafo G non connesso possono essere divisi in un certonumero di gruppi tali che:

• tra i nodi di uno stesso gruppo esiste sempre almeno un cammino;

• tra i nodi di due gruppi diversi non esiste nessun cammino.

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Figura 4.6: Circuito con grafo non connesso

Ciascun sottografo di G formato dai nodi di uno di questi gruppi e dai lati che licollegano e connesso e viene chiamato parte separata di G. Ad esempio il grafodi fig. 4.6 ha due parti separate.

D’ora in avanti (a meno di indicazioni esplicite) si considereranno sempregrafi connessi. Le affermazioni che saranno fatte relativamente ai grafi connes-si possono essere estese ai grafi non connessi riferendole a ciascuna delle partiseparate.

4.1.5 Maglia

Dato un grafo G, si dice maglia un sottografo M tale che:

• M e connesso;

• su ogni nodo di M incidono esattamente due lati.

Una maglia e quindi un percorso chiuso lungo i lati del grafo che non passa piudi una volta per lo stesso nodo. Due esempi di maglie sono riportati in fig. 4.7.

Maglia

Maglia

Figura 4.7: Maglie

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4.1.6 Taglio

Dato un grafo G, si dice taglio un sottografo T formato da un insieme di lati di G

tali che:

• eliminando tutti i lati di T il grafo G diviene non connesso;

• eliminando tutti i lati di T meno uno il grafo G rimane connesso.

Un taglio puo essere visto come il sottografo formato dai lati che attraversanouna superficie chiusa che divide il grafo in due parti separate. Un esempio ditaglio e rappresentato in fig. 4.8.

Taglio

Figura 4.8: Taglio

4.2 Applicazione delle leggi di Kirchhoff

4.2.1 Maglie e legge di Kirchhoff per le tensioni

Le tensioni dei lati di una maglia, essendo disposte lungo un percorso chiuso, de-vono soddisfare la legge di Kirchhoff per le tensioni. Quindi e possibile riformularela LKV nel modo seguente:

E nulla la somma algebrica delle tensioni dei lati di ogni maglia.

Per applicare la LKV si fissa arbitrariamente un verso di riferimento per la magliae si attribuisce segno positivo alle tensioni dei lati che hanno verso concorde conquello della maglia, segno negativo alle tensioni dei lati discordi1.

1I versi dei lati coincidono con quelli delle correnti e sono opposti a quelli delle tensioni.Quindi seguendo la convenzione indicata si attribuisce segno negativo alle tensioni il cui versoe concorde con quello della maglia.

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1

3

24

Figura 4.9: Esempio di applicazione della LKV

Ad esempio, per la maglia rappresentata in fig. 4.9, con il verso di riferimentoindicato risulta

v1 − v2 + v3 − v4 = 0

Le equazioni che si ottengono applicando la LKV a tutte le maglie di un grafonon sono indipendenti tra loro. Si considerino, ad esempio, due maglie M1 e M2

tali che l’insieme dei lati non comuni ad esse formi a sua volta una maglia. Si puoverificare che l’equazione di questa maglia puo essere ottenuta come combinazione(somma o differenza a seconda di come sono stati scelti i versi di riferimento) delleequazioni di M1 e M2 e quindi non aggiunge nessuna informazione a quelle giacontenute in tali equazioni.

Un esempio e mostrato in fig. 4.10. Applicando la LKV alle maglie M1 e M2

si ottengono rispettivamente le equazioni

v1 + v4 − v6 − v3 = 0

11

33

66 77

55

22

4

M2 M3M1

Figura 4.10: Tre maglie non indipendenti

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e

v2 + v5 − v7 − v4 = 0

L’equazione della maglia M3, formata dai lati non comuni a M1 e M2, e

v1 + v2 + v5 − v7 − v6 − v3 = 0

Tale equazione puo essere ottenuta sommando membro a membro le equazioni diM1 e M2, cioe eliminando tra le due equazioni la tensione del lato comune alledue maglie (lato 4).

4.2.2 Tagli e legge di Kirchhoff per le correnti

Dato che i lati di un taglio costituiscono l’insieme dei lati che attraversano unasuperficie chiusa, le loro correnti devono soddisfare la legge di Kirchhoff per lecorrenti. Pertanto la LKI puo essere riformulata nel modo seguente:

E nulla la somma algebrica delle correnti dei lati di ogni taglio.

Per applicare la LKI si fissa arbitrariamente un verso di riferimento per il taglio esi attribuisce segno positivo alle correnti dei lati concordi con il verso del taglio,segno negativo alle correnti dei lati discordi.

Ad esempio, per il taglio di fig. 4.11, con i versi indicati in figura, si ottiene

i1 − i2 + i3 = 0

Le equazioni che si ottengono applicando la LKI ai tagli di un grafo non sonotutte indipendenti tra loro. Si considerino, ad esempio, due tagli T1 e T2 taliche l’insieme dei lati non comuni ad essi definisca a sua volta un taglio. Si puoverificare che l’equazione di questo taglio puo essere ottenuta come combinazione(somma o differenza a seconda di come sono stati scelti i versi di riferimento)

1 32

Figura 4.11: Esempio di applicazione della LKI

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1 1

6 6

3 3

8 8

11 1112 12

5 5

10 10

2 2

7 7

4 4

9 9

T2 T3

T1

Figura 4.12: Tre tagli non indipendenti

delle equazioni di T1 e T2 e quindi non aggiunge nessuna informazione a quellegia contenute in tali equazioni.

Un esempio e mostrato in fig. 4.12. Applicando la LKI ai tagli T1 e T2 siottengono rispettivamente le equazioni

−i5 − i4 − i6 + i9 + i10 = 0

e

−i1 + i4 + i5 = 0

L’equazione del taglio T3, formato dai lati non comuni a T1 e T2, e

−i1 − i6 + i9 + i10 = 0

Tale equazione puo essere ottenuta sommando membro a membro le equazioni diT1 e T2, cioe eliminando tra le due equazioni le correnti dei lati comuni ai duetagli (lati 4 e 5).

4.3 Maglie e tagli fondamentali

4.3.1 Insiemi completi di maglie e di tagli

Con l’espressione insieme completo di maglie (o di tagli) si indica un insieme dimaglie (o un insieme di tagli) tali che le loro equazioni

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• sono indipendenti;

• esprimono tutti i vincoli imposti dalla LKV (o LKI) alle tensioni (o allecorrenti) descrittive del circuito;

Per essere in grado di formulare tutte le equazioni topologiche indipendenti diun generico circuito e quindi necessario definire opportuni criteri per individuaredegli insiemi completi di maglie e di tagli.

A tal fine risulta utile la suddivisione dei lati del grafo in due sottografi dettialbero e coalbero.

4.3.2 Albero

Si dice albero di un grafo G un sottografo A di G tale che:

• A e connesso;

• A comprende tutti i nodi di G;

• A non contiene nessuna maglia.

In genere a un grafo si possono associare piu alberi. Alcuni esempi sono mostratiin fig. 4.13.

Proprieta

• Ogni albero A di un grafo G con n nodi ha n− 1 lati.

Infatti occorre un lato per collegare i primi due nodi, piu un altro lato percollegare ogni ulteriore nodo.

• Sia G un grafo e A un albero di G. Tra ogni coppia di nodi di G esiste unoe un solo cammino appartenente ad A.

L’esistenza deriva dal fatto che l’albero, per definizione, e connesso e con-tiene tutti i nodi.

L’unicita deriva dal fatto che, se esistessero due cammini appartenenti adA tra i nodi considerati, questi formerebbero almeno una maglia, mentrel’albero, per definizione, non contiene maglie.

• Se A e un albero di un grafo G, allora ogni taglio di G contiene almeno unlato appartenente ad A.

Questa proprieta e diretta conseguenza della precedente. Dato che tra duenodi di un grafo G esiste sempre un cammino formato da lati dell’albero,non e possibile dividere G in due parti separate eliminando solo lati nonappartenenti all’albero.

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E E EF

B B BA

D

C

F

A

D

C

F

A

D

C

Albero Coalbero

Figura 4.13: Alberi e coalberi

4.3.3 Coalbero

Si consideri un grafo G e sia A un suo albero. Il sottografo C definito dall’insiemedi lati di G non contenuti in A prende il nome di coalbero2. I lati del coalberosono detti anche corde.

Proprieta

• Ogni coalbero C di un grafo G con l lati e n nodi ha l − n+ 1 lati.

Questa proprieta deriva dal fatto che i lati dell’albero sono sempre n− 1.

• Se C e un coalbero di un grafo G, allora ogni maglia di G contiene almenoun lato appartenente a C.

Questa proprieta deriva dal fatto che l’albero, per definizione, non contienemaglie.

• Non esistono tagli formati da soli lati di un coalbero.

Infatti, come si e visto, ogni taglio deve contenere almeno un lato dell’albero.

Osservazioni

• A seconda della struttura del grafo G e della scelta dell’albero e possibileche un coalbero sia connesso o non connesso. Nell’esempio di fig. 4.13 icoalberi non sono connessi.

• Possono esistere tagli formati esclusivamente da lati dell’albero. Questasituazione si verifica in tutti e tre gli esempi di fig. 4.13.

• In modo analogo, possono esistere maglie formate esclusivamente da lati dicoalbero, come avviene nel primo esempio di fig. 4.13.

2Il nome deriva dal fatto che i lati del coalbero costituiscono l’insieme complementare in G

rispetto all’insieme dei lati dell’albero.

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cMc

Figura 4.14: Maglia associata a un lato del coalbero

4.3.4 Maglie fondamentali

Si consideri un grafo G con l lati e n nodi. Sia A un albero di G e C il coalberocorrispondente.

• Per ogni lato, c, del coalbero esiste una e una sola maglia, Mc, formata dac stesso e da lati appartenenti all’albero.

Infatti tra gli estremi lato c esiste uno e un solo cammino formato da latidell’albero. I lati di questo cammino, assieme al lato c del coalbero, defini-scono una maglia (fig. 4.14). Questa maglia e chiamata maglia associata allato c e il lato c e detto lato caratteristico della maglia.

Complessivamente le maglie associate ai lati di un coalbero sono dettemaglie fondamentali.

• Le equazioni delle maglie fondamentali sono indipendenti.

Infatti ogni lato del coalbero appartiene ad una sola maglia fondamentale,quindi la sua tensione compare in una sola equazione. Di conseguenza ogniequazione contiene una tensione che non e presente in nessuna delle altre equindi non puo essere espressa come combinazione delle altre.

• Le equazioni delle maglie fondamentali esprimono tutti i vincoli impostidalla LKV alle tensioni dei lati.

Infatti ogni maglia diversa da quelle fondamentali contiene due o piu lati dicoalbero ed e formata dai lati non comuni alle maglie associate a tali lati delcoalbero. Quindi la sua equazione puo essere ottenuta come combinazionedelle equazioni delle maglie fondamentali associate a tutti i lati di coalberoin essa contenuti.

Pertanto si conclude che:

• le maglie fondamentali costituiscono un insieme completo

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• il numero delle equazioni indipendenti che si possono scrivere applicandola LKV alle maglie di un grafo e pari al numero dei lati del coalbero, cioel − n+ 1.

In generale gli insiemi di maglie fondamentali di un grafo non rappresentanotutti i possibili insiemi completi, cioe possono esistere anche insiemi completia cui non e possibile associare un albero3. In ogni caso il numero di maglieindipendenti risulta sempre pari a l−n+1, dato che le equazioni delle maglie di unqualunque altro insieme completo possono essere espresse mediante combinazionidelle equazioni di un insieme di maglie fondamentali.

Di regola ogni maglia fondamentale viene orientata in senso concorde conquello del suo lato caratteristico come indicato in fig. 4.14.

Per un grafo con l lati e n nodi, se si assume di numerare da 1 a n− 1 i latidell’albero e da n a l quelli del coalbero4 le equazioni delle maglie fondamentalipossono essere poste nella forma

l∑k=1

mjkvk = 0 (4.1)

con j = n, n+1, . . . , l (cioe per tutti i valori di j corrispondenti ai lati di coalbero).In queste equazioni i coefficienti mjk hanno valore:

• +1 se il lato k appartiene alla maglia associata al lato j ed e concorde conil verso della maglia stessa;

• −1 se il lato k appartiene alla maglia associata al lato j ed e discorde;

• 0 se il lato k non appartiene alla maglia associata al lato j.

4.3.5 Tagli fondamentali

Si consideri un grafo G con l lati e n nodi. Sia A un albero di G e C il coalberocorrispondente.

• Per ogni lato, a, dell’albero esiste uno e un solo taglio, Ta, formato da astesso e da lati appartenenti al coalbero.

Infatti eliminando un lato a dell’albero si dividono i nodi di G in due gruppi(fig. 4.15) tra i quali non possono essere collegati altri lati dell’albero, datoche altrimenti questi lati formerebbero delle maglie. I lati del coalbero checollegano i due gruppi, assieme al lato a dell’albero, costituiscono un taglio.Questo taglio e chiamato taglio associato al lato a e il lato a e detto latocaratteristico del taglio.

3Un esempio notevole sara presentato nel paragrafo 4.5.4Questa numerazione viene introdotta al solo fine di rendere piu semplici le espressioni

delle equazioni riferite ad un circuito generico. Nelle applicazioni pratiche non e indispensabilenumerare i lati in questo modo.

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aTa

Figura 4.15: Taglio associato a un lato dell’albero

Complessivamente i tagli associati ai lati di un albero sono detti taglifondamentali.

• Le equazioni dei tagli fondamentali sono indipendenti.

Infatti ogni lato dell’albero appartiene ad un solo taglio fondamentale, quin-di la sua corrente compare in una sola equazione. Di conseguenza ogniequazione contiene una corrente che non e presente in nessuna delle altre equindi non puo essere espressa come combinazione delle altre.

• Le equazioni dei tagli fondamentali esprimono tutti i vincoli imposti dallaLKI alle correnti dei lati.

Infatti ogni altro taglio contiene due o piu lati dell’albero ed e formato dailati non comuni ai tagli associati a tali lati dell’albero, quindi l’equazionedi ogni altro taglio si ottiene eliminando i termini comuni alle equazioni deitagli associati ai lati dell’albero in esso contenuti.

Pertanto si conclude che:

• i tagli fondamentali costituiscono un insieme completo;

• il numero delle equazioni indipendenti che si possono scrivere applicando laLKI ai tagli di un grafo e pari al numero dei lati dell’albero, cioe n− 1.

In generale gli insiemi di tagli fondamentali di un grafo non rappresentanotutti i possibili insiemi completi, cioe possono esistere anche insiemi completi a cuinon e possibile associare un albero5. In ogni caso il numero di tagli indipendentideve essere sempre n − 1 dato che le equazioni dei tagli di un qualunque altroinsieme completo possono essere dedotte a partire dalle equazioni di un insiemedi tagli fondamentali.

Di regola ogni taglio fondamentale viene orientato in senso concorde con quellodel suo lato caratteristico, come indicato in fig. 4.15.

5Un esempio notevole sara presentato nel paragrafo 4.4.

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Per un grafo con l lati e n nodi, se si numerano da 1 a n− 1 i lati dell’alberoe da n a l quelli del coalbero, le equazioni dei tagli fondamentali possono essereposte nella forma

l∑k=1

tjkik = 0 (4.2)

con j = 1, 2, . . . n − 1 (cioe per tutti i j corrispondenti ai lati del’albero). Inqueste equazioni i coefficienti tjk hanno valore:

• +1 se il lato k appartiene al taglio associato al lato j ed e concorde con ilverso del taglio stesso;

• −1 se il lato k appartiene al taglio associato al lato j ed e discorde;

• 0 se il lato k non appartiene al taglio associato al lato j.

4.3.6 Relazione tra maglie e tagli fondamentali

Si consideri un grafo G e si scelga in G un albero A. Si indichi con a un genericolato dell’albero e con c un generico lato del coalbero. Inoltre si indichino con Ta

e Mc rispettivamente il taglio associato al lato a e la maglia associata al lato c.Valgono le seguenti affermazioni:

• Il lato a appartiene alla maglia associata a c se e solo se il lato c appartieneal taglio associato ad a. Cio significa che:

– I lati dell’albero che fanno parte della maglia Mc sono tutti e soloquelli che definiscono tagli fondamentali a cui appartiene anche c.

– I lati del coalbero che fanno parte del taglio Ta sono tutti e solo quelliche definiscono maglie fondamentali a cui appartiene anche a.

• Il segno della tensione di a nell’equazione della maglia Mc e quello dellacorrente di c nell’equazione del taglio Ta sono opposti.

Dimostrazione In primo luogo conviene osservare che se una maglia e un ta-glio qualunque hanno dei lati in comune, questi devono essere in numero pari.Infatti seguendo i lati di una maglia si descrive un percorso chiuso, quindi adogni attraversamento del taglio in un senso ne deve corrispondere uno in sensoopposto.

A questo punto si considerino la maglia Mc e il taglio Ta. L’unico lato dicoalbero che Mc e Ta possono avere in comune e il lato c, infatti Mc non contienealtri lati di coalbero. Analogamente, l’unico lato dell’albero che Mc e Ta possonoavere in comune e il lato a, dato che Ta non contiene altri lati dell’albero.

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c ca a

Ta TaTa Ta

Mc

Mc

Figura 4.16: Relazione tra maglie e tagli fondamentali

Quindi gli unici lati che una maglia fondamentale e un taglio fondamentalepossono avere in comune sono i rispettivi lati caratteristici. Dato che il numero dilati comuni deve essere pari, si hanno due sole possibilita: o Mc e Ta non hannolati in comune, o Mc e Ta hanno in comune entrambi i lati caratteristici a e c.Pertanto e dimostrata la prima affermazione.

Per quanto riguarda i segni si osserva che, nel caso in cui i lati a e c sonoin comune, seguendo il verso di percorrenza della maglia Mc il taglio Ta vieneattraversato due volte con direzioni opposte.

Quindi se i lati sono entrambi concordi con il verso della maglia (fig. 4.16),non possono esserlo anche relativamente al verso del taglio. In questo caso c deveessere discorde dato che il verso del taglio e definito in modo da coincidere conquello di a. Analogamente se i lati sono entrambi concordi con il taglio occorreche a sia discorde con il verso della maglia.

La relazione appena illustrata tra le maglie e i tagli fondamentali si traducenella seguente relazione tra i coefficienti mjk e tkj che compaiono nelle espressioni(4.1) e (4.2) delle equazioni delle maglie e dei tagli fondamentali

mjk = −tkj (4.3)

con j = n, n+1, . . . l (cioe variabile sui lati del coalbero) e k = 1, 2, . . . n−1 (cioevariabile sui lati dell’albero).

La dimostrazione della (4.3) e immediata se si tiene conto delle definizioni deicoefficienti mjk e tkj date nei paragrafi 4.3.4 e 4.3.5.

4.3.7 Insiemi completi di tensioni e di correnti

Si e visto che, per un grafo con l lati e n nodi, la LKV impone l − n + 1 vincolialle l tensioni dei lati. Di conseguenza le tensioni dei lati hanno n − 1 gradi di

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liberta, cioe e possibile individuare n− 1 tensioni tali che

• la LKV non impone ad esse nessun vincolo;

• ogni altra tensione puo essere determinata in funzione di queste tensionimediante la LKV.

In seguito un insieme di tensioni che gode di tali proprieta sara indicato con ilnome di insieme completo di tensioni.

Analogamente la LKI impone n − 1 vincoli alle l correnti dei lati. Di con-seguenza le correnti dei lati hanno l − n + 1 gradi di liberta, cioe e possibileindividuare l − n+ 1 correnti tali che

• la LKI non impone ad esse nessun vincolo;

• ogni altra corrente puo essere determinata in funzione di queste correntimediante la LKI.

Un insieme di correnti che gode di tali proprieta sara indicato con il nome diinsieme completo di correnti.

4.3.8 Correnti di maglia

Le correnti dei lati di coalbero costituiscono un insieme completo. Infatti nonsono soggette a vincoli derivanti dalla LKI, dato che non esistono tagli formatisolo da lati di coalbero.

Inoltre, per mezzo delle equazioni dei tagli fondamentali, e possibile esprimerela corrente di ciascun lato dell’albero come combinazione delle correnti dei latidi coalbero. Infatti ognuna di queste equazioni coinvolge un solo lato dell’albe-ro. Quindi la corrente di questo lato puo essere determinata se si conoscono lealtre correnti che compaiono nell’equazione, cioe le correnti dei lati di coalberocontenuti nel taglio.

Se le equazioni dei tagli sono espresse dalle (4.2), le correnti dei lati dell’alberosono date da

ij = −l∑

k=n

tjkik (4.4)

per j = 1, 2, . . . , n− 1. Tenendo conto della (4.3), dalla (4.4) si ottiene anche

ij =l∑

k=n

mkjik (4.5)

con j = 1, 2, . . . , n − 1. Secondo questa relazione la corrente di ciascun latodell’albero risulta espressa come combinazione delle correnti dei lati caratteristicidella maglie di cui tale lato fa parte.

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Questo fatto puo essere meglio visualizzato se si immagina che ciascuna dellecorrenti dei lati di coalbero si richiuda nella maglia fondamentale associata allato stesso e quindi percorra tutti i lati dell’albero che fanno parte della maglia.Ad ogni maglia fondamentale viene cosı associata una corrente, detta corrente dimaglia o corrente ciclica.

Un lato dell’albero in genere appartiene a piu maglie, quindi la sua corren-te risulta dalla sovrapposizione delle correnti di maglia che lo percorrono. Inparticolare le correnti delle maglie con cui il lato dell’albero e concorde dannocontributo positivo alla corrente totale del lato, mentre le correnti delle magliecon cui e discorde danno contributi negativi.

Si noti che le correnti di maglia, per costruzione, rispettano la LKI. Infat-ti, dato che seguono un percorso chiuso, se attraversano un taglio devono farlonecessariamente due volte, una in senso concorde e una in senso discorde e, diconseguenza, danno contributo complessivamente nullo alla sua equazione. Quin-di esprimere le correnti dei lati come combinazione di correnti di maglia equivalead imporre che esse soddisfino i vincoli derivanti dalla LKI.

4.3.9 Tensioni di taglio

In analogia con quanto affermato nel paragrafo precedente, si puo riconoscereche le tensioni dei lati dell’albero costituiscono un insieme completo. Infatti nonsono soggette a vincoli derivanti dalla LKV, dato che non esistono maglie formateda lati dell’albero. Inoltre per mezzo delle equazioni delle maglie fondamentalie possibile esprimere la tensione di ciascun lato del coalbero come combinazionedelle tensioni dei lati dell’albero. Infatti dalla (4.1) si ricava

vj = −n−1∑k=1

mjkvk (4.6)

con j = n, n + 1, . . . , l. Tenendo conto della relazione (4.3), la (4.6) puo essereposta anche nella forma

vj =n−1∑k=1

tkjvk (4.7)

con j = n, n + 1, . . . , l, secondo la quale la tensione di un lato di coalbero eespressa come combinazione delle tensioni dei lati caratteristici dei tagli di cuitale lato fa parte.

Questo fatto puo essere meglio visualizzato immaginando che la tensione diciascun lato dell’albero sia localizzata sul taglio fondamentale associato al latostesso. In questo modo ogni taglio fondamentale viene messo in corrispondenzacon una tensione, detta tensione di taglio. Di conseguenza, la tensione ai capi di

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ogni lato del coalbero risulta dalla somma algebrica delle tensioni di tutti i tagliche tale lato attraversa.

Le tensioni di taglio, per costruzione, rispettano la LKV. Infatti, se una magliaattraversa un taglio deve farlo necessariamente due volte, una in senso concordee una in senso discorde e, di conseguenza, la tensione del taglio da contributocomplessivamente nullo alla sua equazione. Quindi imporre che le tensioni dellati siano espresse da combinazioni di tensioni di taglio equivale a imporre cheesse rispettino i vincoli derivanti dalla LKV.

4.4 Nodi

4.4.1 Equazioni dei nodi

Dato un grafo con n nodi e l lati, un altro possibile metodo per individuare n− 1equazioni di taglio indipendenti consiste nell’utilizzare le equazioni di n− 1 nodiscelti in modo arbitrario.

L’insieme dei lati che afferiscono ad un nodo costituisce un taglio, infattieliminando questi lati si ottiene un grafo formato da due parti separate, una dellequali coincide con il nodo stesso6. La LKI impone che la somma algebrica dellecorrenti dei lati afferenti a un nodo sia nulla. In seguito le equazioni dei nodisaranno formulate considerando positivi i contributi delle correnti dei lati il cuiverso e uscente dal nodo e negativi contributi dei lati entranti.

Le equazioni che si ottengono applicando la LKI a n−1 nodi sono indipendentitra loro, mentre l’equazione dell’ultimo nodo e conseguenza delle precedenti.

Infatti, se si considerano le equazioni di un certo numero n di nodi, conn ≤ n − 1, le correnti dei lati che afferiscono a uno di tali nodi e hanno l’altroterminale in uno dei nodi esclusi compaiono in una sola equazione. Quindi eimpossibile individuare un insieme di nodi tali che le equazioni di uno di essisia esprimibile come combinazione delle rimanenti. Se invece si considerano leequazioni di tutti i nodi, ogni corrente compare in due equazioni, una volta consegno − e l’altra con segno +, quindi sommando membro a membro tali equazionisi ottiene l’identita 0 = 0. Cio indica anche che sommando membro a membrole equazioni di n − 1 nodi si ottiene quella dell’ultimo nodo con tutti i terminicambiati di segno.

Se si indica con il numero 0 il nodo di riferimento e si numerano da 1 a n− 1gli altri nodi, le equazioni dei nodi possono essere scritte nel modo seguente

l∑k=1

ajkik = 0 (4.8)

con j = 1, 2, . . . , n− 1. I coefficienti ajk hanno valore:

6Cioe e un sottografo degenere.

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• +1 se il lato k esce dal nodo j;

• −1 se il lato k entra nel nodo j;

• 0 se il lato k non tocca il nodo j.

4.4.2 Tensioni di nodo

Come avviene nel caso dei tagli fondamentali, la scelta di un insieme di nodiindipendenti consente anche di definire un insieme completo di tensioni. A talescopo si considerino le tensioni v1, . . . , vn−1 (dette tensioni di nodo) degli n − 1nodi prescelti rispetto a quello di riferimento, la cui tensione, v0, e quindi nullaper definizione. Per la LKV le tensioni di nodo sono definite in modo univoco, in

B

A

E

DC

12 3

4 5

7 86

vA

vB

vC

vD

Figura 4.17: Tensioni di nodo

quanto ciascuna di esse deve essere pari alla somma algebrica delle tensioni dei latidi un qualunque cammino che collega il nodo considerato al nodo di riferimento.

E semplice verificare che le tensioni di nodo costituiscono un insieme completodi tensioni.

Infatti le tensioni di nodo sono indipendenti tra loro dato che, per come sonodefinite, non possono essere disposte lungo percorsi chiusi. Inoltre, mediantela LKV, la tensione di ciascun lato puo essere espressa come differenza tra latensione del nodo da cui il lato esce e la tensione del nodo in cui entra7. Quindi,tenendo conto della definizione dei coefficienti ajk della (4.8), le espressioni delletensioni di lato in funzione delle tensioni di nodo possono essere poste nella forma

vk =n−1∑j=1

ajkvj (4.9)

7Se un lato e collegato al nodo di riferimento la sua tensione coincide, eventualmente a menodel segno, con la tensione dell’altro nodo.

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con k = 1, 2, . . . , l.Imporre che le tensioni dei lati siano esprimibili come differenze tra le tensioni

di nodo equivale a imporre che esse rispettino tutti i vincoli imposti dalla LKV.Infatti, dato che in una maglia su ogni nodo incidono esattamente due lati, senell’equazione della maglia stessa si esprimono le tensioni dei lati in funzione delletensioni di nodo, ogni tensione di nodo compare due volte, una volta con segno− e una con segno +. Quindi la somma delle tensioni lungo la maglia risultanecessariamente nulla.

4.5 Grafi planari e anelli

4.5.1 Grafi planari

Un grafo G si dice planare quando e possibile disegnarlo in modo che i suoi latinon si intersechino. In fig. 4.18 sono riportati due esempi di grafi non planari.

Si puo dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinche un grafo nonsia planare e che almeno un suo sottografo coincida con uno di questi grafi. Dacio deriva anche che tutti i grafi con un numero di nodi minore o uguale a 4 sonoplanari.

Figura 4.18: Grafi non planari

4.5.2 Anelli (o maglie elementari)

Disegnando un grafo planare in modo che i suoi lati non si intersechino, si sud-divide il piano in un certo numero di regioni delimitate da lati del grafo stessofig. 4.19. Ciascun sottografo definito dai lati che costituiscono il bordo di una diqueste regioni e indicato con il nome di anello o maglia elementare. Si noti chein questa definizione rientra il bordo della regione esterna al grafo. Quest’ultimoe detto anello esterno, mentre gli altri anelli sono detti anelli interni.

In generale, il fatto che un certo insieme di lati costituisca un anello dipendedal modo in cui e disegnato il grafo. Ad esempio l’insieme di lati evidenziato infig. 4.20, e un anello se si considera la rappresentazione a) mentre non e un anellonella rappresentazione b).

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Anelloesterno

Anellointerno

Figura 4.19: Anelli

Proprieta In grafo con l lati e n nodi il numero degli anelli interni e dato da

na = l − n+ 1 (4.10)

Dimostrazione Questa proprieta puo essere dimostrata per induzione.Si consideri, in primo luogo, un grafo con un solo anello interno. Tale grafo

e in pratica un poligono con n vertici, quindi il numero dei suoi lati e uguale alnumero dei nodi. Pertanto in queste condizioni e verificata la (4.10).

Un grafo con due anelli interni puo essere ottenuto a partire da un grafo conun solo anello aggiungendo un insieme di lati e di nodi che formino un camminotra due dei suoi nodi. E evidente che, in questo modo, il numero dei lati chesi devono aggiungere al grafo supera di uno il numero dei nodi. Pertanto restaverificata la (4.10).

In modo simile, continuando ad aggiungere lati e nodi, si possono otteneregrafi con un numero crescente di anelli. Per ogni anello aggiunto al grafo ladifferenza tra il numero di lati e il numero di nodi aumenta di uno e quindi la(4.10) resta verificata per ogni valore di na.

A C

DE

B

A

E D

CB

a) b)

Figura 4.20: Rappresentazioni di un grafo planare

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4.5.3 Equazioni degli anelli

Dato un grafo planare con n nodi e l lati, un altro possibile metodo per individuarel−n+1 equazioni di maglia indipendenti consiste nell’utilizzare le equazioni deglianelli interni.

E semplice verificare che le equazioni di questi anelli sono indipendenti, mentrel’equazione dell’anello esterno puo essere ottenuta come combinazione di quelledegli anelli interni.

Si noti infatti che, considerando anche l’anello esterno, ciascun lato del grafoappartiene a due anelli. Se si orientano tutti gli anelli interni nello stesso sensoe quello esterno in senso opposto a tutti gli altri8, come indicato in fig. 4.19,ciascun lato e concorde con il verso di uno degli anelli a cui appartiene ed ediscorde con il verso dell’altro. Di conseguenza, se si considerano le equazioni din ≤ l − n + 1 anelli, i lati che questi anelli hanno in comune con quelli esclusicompaiono in una sola equazione. Quindi non e possibile che una delle equazionisia esprimibile come combinazione delle rimanenti. Se invece si considerano leequazioni di tutti gli anelli, ogni tensione compare in due equazioni, una voltacon segno − e l’altra con segno +, quindi sommando membro a membro taliequazioni si ottiene l’identita 0 = 0. Cio indica anche che sommando membroa membro le equazioni degli na anelli interni si ottiene quella dell’anello esternocon tutti i termini cambiati di segno.

Se si numerano gli anelli interni del grafo da 1 a l − n + 1, le loro equazionihanno la forma

l∑k=1

bjkvk = 0 (4.11)

con j = 1, 2, . . . , l − n+ 1, in cui i coefficienti bjk hanno valore:

• +1 se il lato k appartiene all’anello j ed ha verso concorde;

• −1 se il lato k appartiene all’anello j ed ha verso discorde;

• 0 se il lato k non appartiene all’anello j.

4.5.4 Correnti di anello

Come avviene nel caso delle maglie fondamentali, anche agli anelli si puo associareun insieme completo di correnti. A tale scopo per ogni anello, escluso quelloesterno, si introduce una corrente fittizia, detta corrente di anello, che percorretutti i suoi lati in senso concorde con il verso di riferimento dell’anello stesso. Tali

8L’apparente asimmetria tra gli orientamenti degli anelli interni e quello dell’anello esternoscompare se si immagina il grafo disegnato su una sfera, invece che su un piano.

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correnti si indicheranno con i simboli: ı1, . . . , ıl−n+1. E semplice verificare che lecorrenti di anello costituiscono un insieme completo.

Queste correnti, per come sono definite, soddisfano la LKI. Infatti se per-correndo un anello si attraversa un taglio, si deve necessariamente attraversarloanche in senso opposto, quindi una corrente di anello da all’equazione del tagliodue contributi uguali in modulo ed opposti. Inoltre la corrente di ciascun latopuo essere espressa come combinazione delle correnti di anello che lo percorrono.Poiche ogni lato appartiene a due anelli ed e concorde con uno di essi e discordecon l’altro, le correnti di lato risultano espresse dalla differenza tra due correntidi anello. Fanno eccezione i lati esterni del grafo per i quali la corrente coinci-de, eventualmente a meno del segno, con la corrente dell’unico anello interno acui appartengono9. Quindi le espressioni delle correnti dei lati in funzione dellecorrenti di anello possono essere scritte nella forma

ik =l∑

j=n

bjk ıj (4.12)

con k = 1, 2, . . . , l, in cui i bjk hanno il significato gia illustrato.

4.6 Equazioni topologiche in forma matriciale

4.6.1 Matrice di incidenza

La struttura di grafo G con l lati e n nodi puo essere rappresentata mediante unamatrice Ac detta matrice di incidenza completa, avente n righe, corrispondentiai nodi del grafo, e l colonne, corrispondenti ai lati del grafo. All’elemento akj ditale matrice si attribuisce valore:

• +1 se il lato j esce dal nodo k;

• −1 se il lato j entra nel nodo k;

• 0 se il lato j non tocca il nodo k.

Quindi, ogni colonna della matrice, che come si e detto si riferisce a un lato delgrafo, contiene sempre

• un elemento uguale a +1 in corrispondenza della riga relativa al nodo dacui esce il lato in questione;

• un solo elemento uguale a −1 in corrispondenza del nodo in cui entra illato;

9Comunque si puo sempre assumere che all’anello esterno sia associata una corrente ı0identicamente nulla

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A

D

B C

4

2

1

65

3

Lati1 2 3 4 5 6

A −1 −1 0 1 0 0B 0 1 1 0 1 0

NodiC 1 0 −1 0 0 −1D 0 0 0 −1 −1 1

Figura 4.21: Grafo e relativa matrice di incidenza completa.

• elementi nulli in tutte le altre righe.

Da cio segue che le righe della matrice Ac non sono indipendenti, infatti la lorosomma da come risultato un vettore riga con tutti gli elementi nulli, quindi unadelle righe puo essere ottenuta come combinazione delle altre.

Proprieta Per un grafo G connesso con n nodi, n − 1 righe della matrice Ac

scelte in modo arbitrario sono sempre indipendenti tra loro10.

Dimostrazione Si consideri un numero qualsiasi n ≤ n−1 di righe di Ac. Datoche il grafo e connesso, deve esistere almeno un lato che collega uno dei nodicorrispondenti a queste righe con uno di quelli associati alle righe escluse. Aquesto lato corrisponde un elemento diverso da zero in una sola delle righe scelte.Di conseguenza tale riga non puo essere espressa come combinazione delle altren− 1. Poiche cio si verifica per ogni n ≤ n− 1 si deduce che Ac ha n− 1 righeindipendenti.

Piu in generale, con considerazioni analoghe, si puo dimostrare che per ungrafo non connesso il numero delle righe indipendenti di Ac e pari a n− p, dovep e il numero delle parti separate del grafo.

Per un grafo connesso le informazioni contenute in Ac possono essere rappre-sentate in modo non ridondante da una matrice A, di dimensione (n − 1) × l,ottenuta eliminando una riga di Ac. Questa matrice e chiamata matrice di inci-denza ridotta o semplicemente matrice di incidenza e il nodo corrispondente allariga eliminata e detto nodo di riferimento del grafo.

10Quindi, dato che per un grafo connesso deve essere l ≥ n − 1, altrimenti non sarebbepossibile collegare tutti i nodi, la matrice Ac ha rango n − 1.

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4.6.2 Matrice delle maglie

Le equazioni delle maglie fondamentali (4.1) possono essere scritte in modo piusintetico introducendo una matrice M di dimensione (l− n+1)× l, formata daicoefficienti mjk, detta matrice delle maglie. Ogni riga di M e associata ad unamaglia fondamentale, mentre ogni colonna corrisponde ad un lato del grafo. Se siintroduce un vettore colonna v di dimensione l avente come elementi le tensionidei lati, le equazioni di maglia (4.1) assumono quindi la forma

Mv = 0 (4.13)

Se i lati sono numerati in modo che quelli dell’albero precedano quelli del coalbero,la matrice M puo essere partizionata in due sottomatrici MA e MC , formaterispettivamente dalle colonne relative all’albero e da quelle relative al coalbero.Dato che ogni lato di coalbero appartiene ad una sola maglia fondamentale e,per costruzione, e concorde con il verso di tale maglia, la matrice MC ha glielementi della diagonale principale uguali a 1 e gli altri elementi nulli, cioe e unamatrice identita11. Se anche il vettore v viene suddiviso in due sottovettori vA evC , contenenti rispettivamente le tensioni dei lati dell’albero e quelle dei lati delcoalbero, il sistema (4.13) puo essere scritto nella forma

[MA MC

] · [vA

vC

]=

[MA I l−n+1

] · [vA

vC

]= 0 (4.14)

dove con I l−n+1 si e indicata la matrice identita di dimensione l − n + 1. Daquesta equazione si ricava inoltre la relazione

vC = −MAvA (4.15)

che coincide con la (4.6) e mostra come le tensioni di lati di coalbero possonoessere espresse mediante combinazioni lineari delle tensioni dei lati dell’albero.

4.6.3 Matrice dei tagli

Le equazioni dei tagli fondamentali (4.2) possono essere scritte in modo piu sinte-tico introducendo una matrice T di dimensione (n−1)×l, formata dai coefficientitjk e detta matrice dei tagli. Ogni riga di T e associata ad un taglio fondamentale,mentre ogni colonna corrisponde ad un lato del grafo. Se si introduce un vettorecolonna i di dimensione l avente come elementi le correnti dei lati, le equazionidei tagli (4.2) assumono quindi la forma

T i = 0 (4.16)

11Cio mostra anche che la matrice M ha rango l − n + 1.

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Se i lati sono numerati in modo che quelli dell’albero precedano quelli del coalbero,la matrice T puo essere partizionata nel modo seguente

[In−1 T C

] · [iA

iC

]= 0 (4.17)

dove In−1 indica la matrice identita di dimensione n− 1, mentre iA e iC rappre-sentano i sottovettori di i contenenti le correnti dei lati dell’albero e del coalbero.La presenza della matrice identita deriva dal fatto che ogni lato dell’albero ap-partiene ad un solo taglio fondamentale e, per costruzione, ha verso concorde conquello del taglio12. Inoltre, dalla (4.17) si ottiene la relazione

iA = −T CiC (4.18)

che coincide con la (4.4) e mostra come le correnti dei lati dell’albero possonoessere ottenute mediante combinazioni lineari delle correnti dei lati di coalbero.

4.6.4 Relazione tra le matrici delle maglie e dei tagli

La relazione (4.3) tra i coefficienti mkj e i coefficienti tjk comporta che le sotto-matrici MA e T C devono essere legate dalle relazioni

MA = −T TC e T C = −MT

A (4.19)

dove il simbolo T indica la trasposizione. Le (4.19) mostrano che le matrici Me T relative ad uno stesso albero contengono informazioni equivalenti e possonoessere ricavate direttamente l’una dall’altra.

Tenendo conto delle (4.19), le (4.15) e (4.18) possono essere scritte nel modoseguente

vC = T TCvA (4.20)

iA = MTAiC (4.21)

che corrisponde alle (4.5) e (4.7).

Dato che le matrici M e T si ottengono affiancando a MA e T C delle matriciidentita, dalle (4.20) e (4.21) si ricava inoltre

v = T TvA (4.22)

i = MTiC (4.23)

12Ponendo in questa forma la matrice T risulta anche evidente che essa ha rango n − 1

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4.6.5 Matrice di incidenza ed equazioni dei nodi

E immediato riconoscere che i coefficienti ajk introdotti nel paragrafo 4.4.1 coin-cidono con gli elementi della matrice di incidenza A definita nel paragrafo 4.6.1.Pertanto le equazioni (4.8) e (4.9) possono essere riscritte nel modo seguente

Ai = 0 (4.24)

v = ATv (4.25)

dove v indica un vettore di dimensione n− 1 avente come elementi le tensioni dinodo.

4.6.6 Matrice degli anelli

Si definisce matrice degli anelli la matrice B di dimensione (l−n+1)× l aventecome elementi i coefficienti bjk introdotti nel paragrafo 4.5.3. Ogni riga di talematrice corrisponde ad un anello mentre ogni colonna corrisponde ad un lato.Dato che ogni lato appartiene a due anelli, in ogni colonna della matrice ci sonosolo uno o due elementi diversi da zero13. Inoltre nelle colonne con due elementinon nulli, uno di questi vale 1 e l’altro −1. La matrice degli anelli ha quindi unastruttura analoga a quella della matrice di incidenza.

Facendo uso della matrice B e possibile esprimere sinteticamente le (4.11) e(4.12) nel modo seguente

Bv = 0 (4.26)

i = BTı (4.27)

dove ı indica un vettore di dimensione l− n+1 avente come elementi le correntidi anello.

4.6.7 Espressioni delle matrici delle maglie e dei tagli in fun-zione della matrice di incidenza

Se i lati sono ordinati in modo che quelli dell’albero precedano quelli del coalbero,la matrice di incidenza puo essere partizionata nel modo seguente

A =[AA AC

](4.28)

Quindi si puo riscrivere la (4.24) nella forma

AAiA + ACiC = 0 (4.29)

13A seconda che il lato considerato faccia parte o no dell’anello esterno.

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Dato che le correnti dei lati dell’albero possono essere espresse come combinazionedelle correnti dei lati di coalbero, deve essere possibile risolvere la (4.29) rispettoa iA

iA = −A−1A ACiC (4.30)

quindi la matrice AA (di dimensione (n− 1)× (n− 1)) deve essere invertibile.In effetti si puo dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinche una

sottomatrice (n− 1)× (n− 1) della matrice di incidenza non sia singolare e chei lati corrispondenti alle colonne di tale matrice formino un albero.

Confrontando la (4.30) con la (4.18) si riconosce che vale la relazione

T C = A−1A AC (4.31)

mediante la quale e possibile costruire la matrice T a partire dalla matrice A.

Con il partizionamento della matrice A, dalla (4.25) si ottengono relazioni

vA = AATv (4.32)

vC = ACTv (4.33)

La prima di queste equazioni fornisce le espressioni delle tensioni dei lati dell’al-bero in funzione delle tensioni di nodo. A ulteriore conferma del fatto che AA

deve essere invertibile, si puo osservare che le tensioni dei lati dell’albero con-sentono di esprimere tutte le tensioni di nodo. Infatti, per qualunque nodo delgrafo, esiste sempre un (unico) cammino formato da lati dell’albero che collega ilnodo considerato al nodo di riferimento. Quindi la tensione del nodo puo essereespressa come somma algebrica delle tensioni dei lati dell’albero che fanno partedi questo cammino. Di conseguenza, dalla (4.32) si puo ricavare

v = (AAT)−1vA = (A−1

A )TvA (4.34)

Inserendo questa espressione nella (4.33) si ottiene

vC = ACT(A−1

A )TvA = (A−1

A AC)TvA (4.35)

Confrontando la (4.35) con la (4.15) si riconosce che vale la relazione

MA = −(A−1A AC)

T(4.36)

mediante la quale e possibile costruire la matrice M a partire dalla matrice A.Si puo notare che le (4.31) e (4.36) sono in accordo con le (4.19), delle quali

costituiscono un’ulteriore dimostrazione.

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4.7 Forma generale delle equazioni di un circuito

Nei paragrafi precedenti sono stati illustrati vari criteri per la formulazione delleequazioni dei collegamenti di un circuito. Le espressioni ricavate per i vincoliderivanti dalle leggi di Kirchhoff sono riassunte nella tabella 4.1.

Maglie Tagli Nodi Anelli

LKI i = MTiC T i = 0 Ai = 0 i = BTı

LKV Mv = 0 v = T TvA v = ATv Bv = 0

Tabella 4.1: Espressioni delle equazioni topologiche

• Nel caso delle maglie fondamentali e dei tagli fondamentali, si hanno quindin− 1 equazioni nelle l correnti dei lati e l− n+ 1 equazioni nelle l tensionidei lati.

• Nel caso dei nodi i vincoli derivanti dalla LKV sono espressi da l equazioni incui compaiono le l tensioni dei lati e n−1 variabili aggiuntive rappresentatedalle tensioni di nodo. L’incremento del numero delle equazioni rispetto aicasi precedenti e quindi pari all’incremento del numero delle variabili.

• Nel caso degli anelli i vincoli derivanti dalla LKI sono espressi da l equazioniin cui compaiono le l tensioni dei lati e l−n+1 variabili aggiuntive rappre-sentate dalle correnti di anello. Quindi anche in questo caso l’incrementodel numero delle equazioni e pari all’incremento del numero delle variabili.

Per determinare le tensioni e le correnti dei circuito, alle equazioni dei collega-menti occorre aggiungere le relazioni costitutive dei componenti, che sono semprein numero pari ai lati del circuito. La dimensione del sistema complessivo dipendequindi dal metodo scelto per la scrittura delle equazioni topologiche e risulta:

• 2l nel caso delle maglie fondamentali o dei tagli fondamentali

• 2l + n− 1 nel caso dei nodi

• 3l − n+ 1 nel caso degli anelli.

Il metodo di analisi basato sulla soluzione diretta di questo sistema ha il pregiodi essere del tutto generale, ma di solito richiede la soluzione di sistemi con unnumero elevato di equazioni anche se applicato a circuiti relativamente semplici.Nel capitolo 5 si vedra come a partire da queste equazioni sia possibile definiremetodi di analisi piu efficienti.

Le equazioni scritte in questa forma hanno comunque importanza dal punto divista teorico, in quanto costituiscono un punto di riferimento per definire alcuneproprieta generali dei circuiti.

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Inoltre queste equazioni trovano applicazione in alcuni programmi di analisiautomatica di circuiti basati su algoritmi che sfruttano la particolare strutturadelle matrici circuitali, cioe il fatto che tali matrici normalmente contengono soloun numero molto limitato di elementi diversi da zero14.

14Una matrice avente questa caratteristica e detta matrice sparsa.

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4.8 Esempi

A

D

B C

4

2

1

65

3

Figura 4.22: Grafo considerato negli esempi 4.1-4.3

Esempio 4.1 Applicare la LKV a tutte le maglie del grafo di fig. 4.22.

Risoluzione Le maglie che possono essere estratte dal grafo di fig. 4.22 sonorappresentate (indicate con tratto continuo) in fig. 4.23. Se per tutte le magliesi fissa un verso di percorrenza diretto in senso antiorario, applicando la LKV siottengono le seguenti equazioni

a) v1 − v2 + v3 = 0

b) v2 + v4 − v5 = 0

c) −v3 + v5 + v6 = 0

d) v1 + v4 − v5 + v3 = 0

e) v2 + v4 + v6 − v3 = 0

f) v1 − v2 + v5 + v6 = 0

g) v1 + v4 + v6 = 0

Si puo notare che queste equazioni non sono tutte indipendenti tra loro, ma chealcune possono essere ottenute combinando opportunamente altre equazioni. Adesempio si puo osservare che sono indipendenti le equazioni delle maglie a), b)e c), dato che ciascuna di esse contiene una tensione non contenuta nelle altredue. A partire da queste equazioni, le equazioni delle altre maglie possono esserericavate mediante le seguenti combinazioni:

d) = a) + b)

e) = b) + c)

f) = a) + c)

g) = a) + b) + c)

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A

A

A

A

A

A

A

D

D

D

D

D

D

D

B

B

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

C

4

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

6

5

5

5

5

5

5

5

3

3

3

3

3

3

3

a) b) c)

e)

g)

d) f)

Figura 4.23: Maglie del grafo di fig. 4.22

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Con questi simboli si intende che l’equazione della maglia d) puo essere ottenutasommando membro a membro quelle delle maglie a) e b), l’equazione della magliae) puo essere ottenuta dalla somma membro a membro delle equazioni delle maglieb) e c) e cosı via.

Un’altra possibile scelta di equazioni indipendenti e rappresentata da c), e),g). In questo caso le equazioni delle altre maglie si ottengono mediante le seguenticombinazioni:

a) = g)− e)

b) = e)− c)

d) = g)− c)

f) = g)− e) + c)

Esempio 4.2 Applicare la LKI a tutti i tagli del grafo di fig. 4.22.

Risoluzione I tagli del grafo di fig. 4.22 sono rappresentati (indicati con trattocontinuo) in fig. 4.23. Se si fissano i versi di riferimento come indicato in figura,applicando la LKI si ottengono le seguenti equazioni

a) −i1 − i2 + i4 = 0

b) i2 + i3 + i5 = 0

c) i1 − i3 − i6 = 0

d) −i4 − i5 + i6 = 0

e) −i1 + i3 + i5 + i4 = 0

f) i1 + i2 + i5 − i6 = 0

g) i2 − i4 − i6 + i3 = 0

Anche in questo caso le equazioni non sono indipendenti tra loro. Un esempiodi insieme di equazioni indipendenti e costituito dalle equazioni dei tagli a), b) ec), infatti ciascuno di questi tagli contiene un lato che non e contenuto negli altridue. A partire da queste equazioni, le equazioni degli altri tagli possono essereottenute mediante le seguenti combinazioni:

d) = −a)− b)− c)

e) = a) + b)

f) = b) + c)

g) = −a)− c)

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A

A

A

A

A

A

A

D

D

D

D

D

D

D

B

B

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

C

4

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

6

5

5

5

5

5

5

5

3

3

3

3

3

3

3

a) b) c)

e)

g)

d) f)

Figura 4.24: Tagli del grafo di fig. 4.22

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Un altro esempio di insieme di equazioni indipendenti e rappresentato dalle equa-zioni dei tagli c), d) e g). In questo caso le equazioni degli altri tagli si possonoricavare mediante le seguenti combinazioni:

a) = −c)− g)

b) = g)− d)

e) = −c)− d)

f) = c)− d) + g)

Esempio 4.3 Elencare gli alberi del grafo di fig. 4.22.

Risoluzione Gli alberi del grafo in esame sono rappresentati a tratto continuoin fig. 4.25

Esempio 4.4 Scrivere la matrice di incidenza completa del grafo rappresentatoin fig. 4.26

B C

E FD

A

6

2

4

3

57 8

1

9 10

Figura 4.26: Esempio 4.4

Risoluzione La matrice di incidenza completa del grafo di fig. 4.26 e

Lati1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0B 0 1 1 −1 0 0 1 0 0 0C −1 0 −1 0 1 0 0 −1 0 0

NodiD 0 0 0 1 0 −1 0 0 −1 0E 0 0 0 0 −1 0 −1 0 1 1F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1

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3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

Figura 4.25: Alberi del grafo di fig. 4.22

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B

A F E

DC

1 2 3

4 5

7

6

8

9

Figura 4.27: Grafo considerato negli esempi 4.5-4.8

Esempio 4.5 Per il grafo rappresentato in fig. 4.27, scrivere

• le equazioni delle maglie fondamentali,

• le espressioni delle correnti dei lati in funzione delle correnti di maglia,

• l’espressione della matrice delle maglie.

Risoluzione Si considera, ad esempio, l’albero formato dai lati 1, 2, 3, 4 e 5. Lemaglie fondamentali sono quelle associate ai lati 6, 7, 8 e 9.

B

A F E

DC

1

2

3

4 5

7

6

8

9

i6

i7 i8

i9

Figura 4.28: Maglie

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Applicando la LKV alle maglie fondamentali si ottengono le seguenti equazioni

Maglia 6: v6 + v1 + v4 − v5 − v3 = 0

Maglia 7: v7 + v2 − v4 − v1 = 0

Maglia 8: v8 + v3 + v5 − v2 = 0

Maglia 9: v9 + v5 − v4 = 0

Le espressioni delle correnti dei lati dell’albero, in funzione delle correnti di magliasono

i1 = i6 − i7i2 = i7 − i8i3 = −i6 + i8i4 = i6 − i7 − i9i5 = −i6 + i8 + i9

La matrice delle maglie ha la seguente struttura

LatiAlbero Coalbero

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 1 0 −1 1 −1 1 0 0 07 −1 1 0 −1 0 0 1 0 0

Maglie8 0 −1 1 0 1 0 0 1 09 0 0 0 −1 1 0 0 0 1


• le equazioni dei tagli fondamentali,

• le espressioni delle tensioni dei lati in funzione delle tensioni di taglio,

• l’espressione della matrice dei tagli.

Risoluzione Si considera anche in questo caso l’albero formato dai lati 1, 2, 3,4 e 5. I tagli fondamentali sono quelli associati ai lati dell’albero.Applicando la LKI ai tagli fondamentali si ottengono le seguenti equazioni

Taglio 1: i1 − i6 + i7 = 0

Taglio 2: i2 − i7 + i8 = 0

Taglio 3: i3 + i6 − i8 = 0

Taglio 4: i4 − i6 + i7 + i9 = 0

Taglio 5: i5 + i6 − i8 − i9 = 0

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B

A F E

DC

1 2 3

4 5

7

6

8

9

31

54

2

Figura 4.29: Tagli

Le espressioni delle tensioni dei lati di coalbero, in funzione delle tensioni di tagliosono

v6 = −v1 − v4 + v5 + v3

v7 = v1 + v4 − v2

v8 = v2 − v5 − v3

v9 = v4 − v5

La matrice dei tagli ha la seguente struttura

LatiAlbero Coalbero

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 0 0 0 0 −1 1 0 02 0 1 0 0 0 0 −1 1 0

Tagli 3 0 0 1 0 0 1 0 −1 04 0 0 0 1 0 −1 1 0 15 0 0 0 0 1 1 0 −1 −1


• le equazioni dei nodi,

• le espressioni delle tensioni dei lati in funzione delle tensioni di nodo,

• l’espressione della matrice dei nodi.

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Risoluzione Si sceglie come nodo di riferimento, ad esempio, il nodo F.

Applicando la LKI agli altri nodi si ottengono le seguenti equazioni

Nodo A: − i1 + i4 + i9 = 0

Nodo B: i1 − i6 + i7 = 0

Nodo C: i2 − i7 + i8 = 0

Nodo D: i3 + i6 − i8 = 0

Nodo E: − i3 + i5 − i9 = 0

Le espressioni delle tensioni dei lati in funzione delle tensioni di nodo sono

v1 = vB − vA

v2 = vC

v3 = vD − vE

v4 = vA

v5 = vE

v6 = vD − vB

v7 = vB − vC

v8 = vC − vD

v9 = vA − vE

La matrice dei nodi, coincidente con la matrice di incidenza ridotta, ha la seguente

B

A F E

DC

1 2 3

4 5

7

6

8

9

vA

vB

vC

vD

vE

Figura 4.30: Nodi

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struttura

Lati1 2 3 4 5 6 7 8 9

A −1 0 0 1 0 0 0 0 1B 1 0 0 0 0 −1 1 0 0

Nodi C 0 1 0 0 0 0 −1 1 0D 0 0 1 0 0 1 0 −1 0E 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1


• le equazioni degli anelli,

• le espressioni delle correnti dei lati in funzione delle correnti di anello,

• l’espressione della matrice degli anelli.

Risoluzione Gli anelli interni del grafo sono quelli indicati in fig. 4.31Applicando la LKV agli anelli interni si ottengono le seguenti equazioni

Anello 1: v6 + v7 + v8 = 0

Anello 2: v1 + v4 − v2 − v7 = 0

Anello 3: v2 − v5 − v3 − v8 = 0

Anello 4: − v4 + v9 + v5 = 0

B

A

F

E

D

C

12

3

4 5

7

6

8

9

2

3

1

4

Figura 4.31: Anelli

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Le espressioni delle correnti dei lati in funzione delle correnti di anello sono

i1 = ı2

i2 = ı3 − ı2

i3 = −ı3i4 = ı2 − ı4

i5 = ı4 − ı3

i6 = ı1

i7 = ı1 − ı2

i8 = ı1 − ı3

i9 = ı4

La matrice degli anelli ha la seguente struttura

Lati1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 0 0 0 0 1 1 1 02 1 −1 0 1 0 0 −1 0 0

Anelli3 0 1 −1 0 −1 0 0 −1 04 0 0 0 −1 1 0 0 0 1

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Capitolo 5

Metodi generali per l’analisi dicircuiti lineari resistivi

5.1 Introduzione

Nel caso piu generale la soluzione di un circuito puo essere determinata risolvendoun sistema costituito dalle equazioni topologiche e dalle relazioni costitutive deicomponenti.

Come si e visto nel paragrafo 4.7, questo metodo presenta lo svantaggio dirichiedere la risoluzione di sistemi di equazioni di dimensioni relativamente grandianche nel caso di circuiti semplici. D’altra parte, se le equazioni dei collegamen-ti sono formulate seguendo i procedimenti esposti nel paragrafo 4.7 e possibiletrarre vantaggio dalla loro particolare struttura e ricavare dei sistemi risolventidi dimensione minore mediante opportune eliminazioni di variabili.

In questo capitolo si illustreranno quattro metodi di analisi, detti metodi ab-breviati, che si basano su procedimenti generali per eseguire queste eliminazionidi variabili e si mostrera che e possibile dedurre delle regole che consentono dicostruire direttamente i sistemi in forma ridotta.

I metodi abbreviati saranno presentati, inizialmente, con riferimento al casopiu semplice di circuiti formati da resistori e generatori indipendenti e succes-sivamente si mostrera come estenderli al caso di circuiti resistivi piu generali.Inoltre, in capitoli successivi, si vedra come applicare questi metodi anche ai cir-cuiti dinamici. Si osserva, infine, che e possibile estendere i metodi abbreviatianche al caso dei circuiti non lineari, tuttavia questo aspetto va oltre gli scopidella presente trattazione.

5.2 Ipotesi sui componenti

In un primo tempo si considereranno circuiti di resistori e generatori indipendentiche rientrano in uno dei casi seguenti.

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Caso n. 1 Si assume che tutti i componenti possano essere rappresentati comecasi particolari del bipolo di fig. 5.1a. Quindi ogni lato e costituito da un resistore(se Rk = 0 e vGk = 0) o da un generatore di tensione (se Rk = 0 e vGk = 0) o daun generatore di tensione con un resistore in serie (se Rk = 0 e vGk = 0).

In questo caso le equazioni dei componenti consentono di esprimere le tensioniin funzione delle correnti e possono essere scritte globalmente nella forma

v = Ri + vG (5.1)

dove R e una matrice l× l che ha sulla diagonale principale le resistenze dei lati(o degli zeri per i lati che non contengono resistori) e ha tutti gli altri elementiuguali a zero, mentre vG e un vettore di dimensione l che contiene le tensioni deigeneratori (o degli zeri per i lati in cui non e presente un generatore).

A questo caso possono essere ricondotti anche i circuiti contenenti generatoridi corrente, purche ogni generatore di corrente abbia un resistore in parallelo equindi sia trasformabile in un bipolo del tipo di fig. 5.1a.

vGk

vk vk

Rk

GkiGk

ikik

a) b)

Figura 5.1: Componenti considerati

Caso n. 2 Si assume che tutti i componenti possano essere rappresentati comecasi particolari del bipolo di fig. 5.1b. Quindi ogni lato e costituito da un resistore(se Gk = 0 e iGk = 0) o da un generatore di corrente (se Gk = 0 e iGk = 0) o daun generatore di corrente con un resistore in parallelo (se Gk = 0 e iGk = 0).

In questo caso le equazioni dei componenti consentono di esprimere le correntiin funzione delle tensioni e possono essere scritte globalmente nella forma

i = Gv + iG (5.2)

dove G e una matrice l × l che ha sulla diagonale principale le conduttanze deilati (o degli zeri per i lati che non contengono resistori) e ha tutti gli altri elementiuguali a zero, mentre iG e un vettore di dimensione l che contiene le correnti deigeneratori (o degli zeri per i lati in cui non e presente un generatore).

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Metodi generali per l’analisi di circuiti lineari resistivi 161

A questo caso possono essere ricondotti anche i circuiti contenenti generatoridi tensione, purche ogni generatore di tensione abbia un resistore in serie e quindisia trasformabile in un bipolo del tipo di fig. 5.1b.

Se ogni generatore di tensione ha un resistore in serie e ogni generatore dicorrente ha un resistore in parallelo, allora e possibile esprimere le equazioni deicomponenti sia nella forma di fig. 5.1a che nella forma di fig. 5.1b.

5.3 Schema generale dei metodi abbreviati

Si consideri un circuito i cui componenti rientrano nel caso n. 1 definito nelparagrafo precedente.

Se alle equazioni dei componenti (5.1) si associano le equazioni dei collega-menti basate sulle maglie fondamentali o, nell’ipotesi che il circuito sia planare,sugli anelli, si ottengono i sistemi riportati nelle colonne 1 e 2 della tabella 5.1.

Analogamente, per un circuito i cui componenti rientrano nel caso n. 2, asso-ciando alle (5.2) le equazioni dei collegamenti basate sui tagli fondamentali o suinodi si ottengono i sistemi riportate nelle colonne 3 e 4.

Caso n. 1 Caso n. 2

Maglie Anelli Tagli Nodi

LKV Mv = 0 Bv = 0 v = T TvA v = ATv

LKI i = MTiC i = BTı T i = 0 Ai = 0

Componenti v = Ri + vG v = Ri + vG i = Gv + iG i = Gv + iG

Tabella 5.1: Espressioni delle equazioni del circuito

Si puo notare che le equazioni riportate nella tabella hanno tutte la stessastruttura, che puo essere rappresentata sinteticamente nel modo seguente

Ky = 0 (5.3)

x = KTx (5.4)

y = Hx + yG (5.5)

dove

• i simboli x e y indicano a seconda dei casi, le tensioni o le correnti dei lati

• x indica le tensioni o le correnti indipendenti (quindi a seconda del caso lecorrenti di maglia, le correnti di anello, le tensioni di taglio o le tensioni dinodo)

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• K rappresenta una matrice topologica (M , B, T , A)

• H rappresenta la matrice R o la matrice G

• yG e il vettore vG o iG.

Dalle equazioni (5.3), (5.4) e (5.5) si puo ottenere un sistema di dimensioni piupiccole mediante le seguenti eliminazioni di variabili:

1. Nelle (5.5) si sostituiscono le x con le loro espressioni in funzione delle xdate dalle (5.4).

y = HKTx + yG (5.6)

2. Si sostituiscono le espressioni cosı ottenute nelle equazioni (5.3).

KHKTx = −KyG (5.7)

In questo modo si ottiene un sistema in cui compaiono come incognite solo le x,e che quindi ha dimensione

• l − n + 1 se le x corrispondono alle correnti di maglia o alle correnti deglianelli

• n− 1 se le x corrispondono alle tensioni di taglio o alle tensioni di nodo.

La soluzione del circuito avviene quindi in tre fasi:

1. Si ricavano le x risolvendo il sistema (5.7).

2. Si calcolano le x dei lati mediante le equazioni (5.4).

3. Si calcolano le y mediante le equazioni dei componenti (5.5).

I metodi di analisi rappresentati da questo schema prendono il nome di metododelle maglie, metodo degli anelli, metodo dei tagli o metodo dei nodi, a secondadel significato della matrice K e quindi del significato delle equazioni del sistemarisolvente (5.7).

Il metodo delle maglie e quello degli anelli richiedono che le equazioni deicomponenti siano del tipo (5.1), quindi tali metodi possono essere applicati acircuiti contenenti generatori di corrente solo se ogni generatore di corrente haun resistore in parallelo. Il metodo dei tagli e quello dei nodi richiedono che icomponenti siano del tipo (5.2), quindi tali metodi possono essere applicati acircuiti contenenti generatori di tensione solo se ogni generatore di tensione haun resistore in parallelo.

L’impiego pratico dei metodi abbreviati non richiede di eseguire esplicitamentele eliminazioni di variabili o i prodotti tra matrici che compaiono nelle (5.6), (5.7).

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Infatti e possibile dedurre delle regole che consentono di scrivere direttamente ilsistema risolvente esaminando la struttura del circuito. Nei paragrafi seguentitali regole verranno esplicitate nei quattro casi di tabella 5.1. In particolare sicerchera di mettere in evidenza come tali regole siano collegate al significato fisicodelle equazioni del sistema risolvente.

E importante notare che per tutti i metodi il meccanismo su cui si basa laformulazione del sistema risolvente e sostanzialmente lo stesso. Quindi i quattrometodi di analisi possono essere visti come varianti di uno stesso procedimentogenerale.

5.4 Metodo delle maglie fondamentali

In questo caso le equazioni del sistema risolvente hanno la forma

MRMTiC = −MvG (5.8)

Il sistema ha dimensione l−n+1 e le incognite sono rappresentate dalle correntidi maglia, cioe dalle correnti dei lati del coalbero, iC .

Le equazioni del sistema risolvente derivano dalle equazioni delle maglie fon-damentali. In tali equazioni le tensioni dei lati sono espresse, mediante le equa-zioni dei componenti, in funzione delle correnti di maglia. In ciascuna equazioneil primo membro e costituito dalla somma algebrica delle tensioni dei resistoricontenuti in una maglia espresse in funzione delle correnti di maglia, mentre iltermine noto a secondo membro e la somma algebrica delle tensioni dei generatoriindipendenti contenuti nella maglia stessa.

Quindi ciascuna delle equazioni del sistema risolvente esprime il fatto che lasomma algebrica delle tensioni dei resistori di una maglia e uguale alla som-ma algebrica delle tensioni dei generatori indipendenti che agiscono nella magliastessa.

Per quanto riguarda i segni, secondo le convenzioni introdotte nel capitolo 4,alle tensioni a primo membro si attribuisce segno + quando il verso del lato(coincidente con il verso della corrente) e concorde con quello della maglia. Datoche per ogni lato si assume la convenzione normale le tensioni a primo membrosono prese con segno + quando il loro verso e discorde con il verso della maglia.Per i termini a secondo membro vale la convenzione opposta e di conseguenza letensioni dei generatori entrano nella somma algebrica con segno + quando il loroverso e concorde con quello della maglia.

A primo membro le tensioni dei resistori sono espresse come somma algebricadi contributi dovuti alle correnti di maglia. Se si considera l’equazione di unagenerica maglia k, si puo verificare che il primo membro ha la seguente struttura:

• Il contributo della corrente della maglia k, ik, e positivo ed e dato dalprodotto di ik per la somma delle resistenze dei lati della maglia. Infatti ikcompare nell’espressione delle correnti di tutti i lati della maglia k.

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– Se si considera un lato j concorde con la maglia k, la corrente ik hasegno + nell’espressione di ij, e quindi nell’espressione di vj compareil termine +Rjik. D’altra parte vj ha segno + nell’equazione dellamaglia k. Quindi nel sistema risolvente compare il termine +Rjik.

– Se al contrario il lato j e discorde con la maglia k, nell’espressione divj compare il termine −Rjik, ma vj ha segno − nell’equazione dellamaglia k. Quindi, anche in questo caso, nel sistema risolvente compareil termine +Rjik.

• Il contributo della corrente di una maglia h (h = k), ih, e dato dal prodottodi ih per la somma delle resistenze dei lati comuni alle maglie h e k ed hasegno + o − a seconda che i versi delle maglie siano concordi o discordi traloro. Infatti, ih compare nell’espressione delle correnti di tutti i lati dellamaglia k che fanno parte anche della maglia h. Si consideri un generico latoj appartenente alle maglie k e h.

– Se i versi delle maglie k e h sono concordi tra loro, il lato j e concordecon entrambe le maglie o discorde con entrambe. Quindi il segno delcontributo di ih alla tensione vj e il segno con cui vj entra nell’equa-zione della maglia k sono entrambi + o entrambi −. Di conseguenzanel sistema risolvente compare il termine +Rjih.

– Se al contrario le maglie k e h sono discordi, il lato j e concorde conuna di esse e discorde con l’altra. Quindi il segno del contributo di ihalla tensione vj e il segno con cui vj entra nell’equazione della maglia ksono opposti. Di conseguenza nel sistema risolvente compare il termine−Rjih.

Esempio Tutto cio e illustrato anche dall’esempio di fig. 5.2, nel quale e rappre-sentata una maglia fondamentale (maglia 1) e sono indicati i versi di riferimentodelle altre maglie che hanno lati in comune con tale maglia (maglie 2, 3 e 4).

Applicando la LKV alla maglia 1 si ottiene

v1 + v5 − v6 − v7 = 0 (5.9)

Le correnti dei lati hanno le seguenti espressioni in funzione delle correnti dimaglia

i5 = i1 − i2 + i3i6 = −i1 − i3i7 = −i1 − i4

(5.10)

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vG5

vG6

R5

R7

R6

R1

1

2

3

4

Figura 5.2: Metodo delle maglie fondamentali

Quindi, facendo uso delle equazioni dei componenti si ottengono le seguentiespressioni per le tensioni dei lati

v1 = R1i1

v5 = R5(i1 − i2 + i3) + vG5

v6 = R6(−i1 − i3) + vG6

v7 = R7(−i1 − i4)

(5.11)

Sostituendo tali espressioni nell’equazione della maglia si ottiene

(R1 +R5 +R6 +R7)i1 −R5i2 + (R5 +R6)i3 +R7i4 = −vG5 + vG6 (5.12)

In questo caso la corrente di maglia i1 da contributi positivi alle tensionidei lati 1 e 5, e contributi negativi alle tensioni dei lati 6 e 7. D’altra partenell’equazione della maglia 1 le tensioni dei lati 1 e 5 hanno segno + mentele tensioni dei lati 6 e 7 hanno segno −. Quindi nell’equazione della maglia 1tutti i contributi della corrente i1 risultano positivi e il coefficiente di i1 valeR1 +R5 +R6 +R7.

La corrente i2 da un contributo negativo alla tensione del lato 5 che comparecon segno + nell’equazione della maglia. Il coefficiente di i2 e quindi −R5 e quindie negativo, in accordo con il fatto che le correnti di maglia i1 e i2, percorrono illato 5 in senso opposto.

La corrente i3 da un contributo positivo alla tensione del lato 5 e un contributonegativo alla tensione del lato 6. Nell’equazione della maglia la tensione v5 hasegno + mentre la tensione v6 ha segno −. Di conseguenza il coefficiente di i3 e

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positivo e vale R5 + R6, in accordo con il fatto che le correnti di maglia i1 e i3percorrono i lati comuni nello stesso senso.

Infine anche il coefficiente di i4 risulta positivo e vale R7, dato che le maglie1 e 4 hanno in comune il lato 7 e hanno versi concordi.

A secondo membro, la tensione del generatore vG5, discorde con il verso dellamaglia, compare con segno −, mentre quella del generatore vG6, concorde, hasegno +.

In conclusione si possono enunciare le seguenti regole per la scrittura delsistema risolvente (5.8):

• Nell’equazione della maglia k, il coefficiente della corrente ik (cioe l’elementosulla diagonale principale della matrice dei coefficienti) e dato dalla sommadelle resistenze dei lati della maglia k presa con segno +.

• Nell’equazione della maglia k, il coefficiente della corrente ih con h = k (cioeciascuno degli elementi al di fuori della diagonale principale della matricedei coefficienti) e dato dalla somma delle resistenze dei lati comuni allamaglia k e alla maglia h, presa

– con segno + se i versi delle due maglie nei lati comuni sono concordi

– con segno − se sono discordi.

• Il secondo membro, per ciascuna equazione, e dato dalla somma algebricadelle tensioni dei generatori contenuti nella maglia prese:

– con segno + se il verso della tensione del generatore e concorde conquello della maglia

– con segno − se e discorde.

Risolto il sistema (5.8), e quindi note le correnti di maglia, la soluzione delcircuito si completa calcolando le correnti dei lati dell’albero mediante le relazioni

iA = MTAiC (5.13)

e le tensioni mediante le equazioni dei componenti (5.1).

5.5 Metodo degli anelli

Il metodo degli anelli (noto anche comemetodo di Maxwell), puo essere visto comeuna versione semplificata del metodo delle maglie fondamentali. La limitazione

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vG5

vG6

R5

R7

R6

R1

1

2

3

4

Figura 5.3: Metodo degli anelli

maggiore di questo metodo e rappresentata dal fatto che puo essere impiegatosolo per circuiti con grafo planare.

Le equazioni del sistema risolvente hanno la forma seguente

BRBTı = −BvG (5.14)

ed esprimono la LKV per gli anelli interni del circuito. La dimensione del sistemarisolvente e l−n+1, come nel caso delle maglie fondamentali, mentre le incognitesono rappresentate dalle correnti di anello ı.

Le regole per la scrittura del sistema risolvente sono simili a quelle del metododelle maglie. Dato che (come illustrato dall’esempio di fig. 5.3), per costruzionenei lati comuni due anelli hanno sempre versi discordi tra loro, i coefficienti fuoridalla diagonale principale della matrice del sistema in questo caso sono tuttinegativi.

Di conseguenza, si possono enunciare le seguenti regole per la scrittura delsistema risolvente (5.14):

• Nell’equazione dell’anello k, il coefficiente della corrente ık (cioe l’elementosulla diagonale principale della matrice dei coefficienti) e dato dalla sommadelle resistenze dei lati dell’anello k presa con segno +

• Nell’equazione dell’anello k, il coefficiente della corrente ıh con h = k (cioeciascuno degli elementi al di fuori della diagonale principale della matricedei coefficienti) e dato dalla somma delle resistenze dei lati comuni aglianelli h e k, presa con segno −.

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• I termini noti si costruiscono esattamente come nel caso del metodo dellemaglie e quindi ciascuno di essi e rappresentato dalla somma algebrica delletensioni dei generatori presenti nell’anello prese

– con segno + se il verso della tensione del generatore e concorde conquello dell’anello

– con segno − se e discorde.

Risolto il sistema (5.14), e quindi note le correnti di anello, la soluzione del circuitosi completa calcolando le correnti dei lati mediante le relazioni

i = BTı (5.15)

e le tensioni mediante le equazioni dei componenti (5.1).

5.6 Metodo dei tagli fondamentali

In questo caso le equazioni del sistema risolvente hanno la forma

TGT TvA = −T iG (5.16)

Il sistema ha dimensione n− 1 e le incognite sono rappresentate dalle tensioni ditaglio, cioe dalle tensioni dei lati dell’albero, vA.

Le equazioni del sistema risolvente derivano dalle equazioni dei tagli fonda-mentali. In tali equazioni le correnti dei lati sono espresse, mediante le equazionidei componenti, in funzione delle tensioni di taglio. In ciascuna equazione il primomembro e costituito dalla somma algebrica delle correnti dei resistori contenutiin un taglio, mentre il termine noto a secondo membro e la somma algebrica dellecorrenti dei generatori indipendenti contenuti nel taglio stesso.

Per quanto riguarda i segni, secondo le convenzioni introdotte nel capitolo 4,alle correnti a primo membro si attribuisce segno + quando il verso del lato econcorde con quello del taglio (cioe e uscente dal taglio). Per i termini a secondomembro vale la convenzione opposta e di conseguenza le correnti dei generatorientrano nella somma algebrica con segno + quando il loro verso e discorde conquello del taglio (cioe e entrante).

Quindi ciascuna delle equazioni del sistema risolvente esprime il fatto che lacorrente che complessivamente esce da un taglio attraverso i resistori e ugualealla corrente che complessivamente entra attraverso i generatori indipendenti.

A primo membro le correnti dei resistori sono espresse come somma algebricadi contributi dovuti alle tensioni di taglio. Se si considera l’equazione del genericotaglio k si puo verificare che il primo membro ha la seguente struttura:

• Il contributo della tensione del taglio k, vk, e positivo ed e dato dal prodottodi vk per la somma delle conduttanze dei resistori contenuti nel taglio.Infatti, vk compare nell’espressione delle tensioni di tutti i lati del taglio k.

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– Se si considera un lato j concorde con il taglio k, la tensione vk hasegno + nell’espressione di vj, e quindi nell’espressione di ij compareil termine +Gjvk. D’altra parte ij ha segno + nell’equazione del tagliok. Quindi nel sistema risolvente compare il termine +Gjvk.

– Se, al contrario, il lato j e discorde con il taglio k, nell’espressionedi ij compare il termine −Gjvk, ma ij ha segno − nell’equazione deltaglio k. Quindi, anche in questo caso, nel sistema risolvente compareil termine +Gjvk.

• Il contributo della tensione di un taglio h (h = k), vh, e dato dal prodottodi vh per la somma delle conduttanze dei lati comuni ai tagli h e k ed hasegno + o − a seconda che i versi dei tagli siano concordi o discordi traloro. Infatti vh compare nell’espressione delle tensioni di tutti i lati deltaglio k che fanno parte anche del taglio h. Si consideri un generico lato jappartenente ai tagli k e h.

– Se i versi dei tagli k e h sono concordi tra loro, il lato j e concorde conentrambi i tagli o discorde con entrambi. Quindi il segno del contributodi vh alla corrente ij e il segno con cui ij entra nell’equazione del tagliok sono entrambi + o entrambi−. Di conseguenza nel sistema risolventecompare il termine +Gjvh.

– Se, al contrario, i tagli k e h sono discordi, il lato j e concorde conuno di essi e discorde con l’altro. Quindi il segno del contributo di vh

alla corrente ij e il segno con cui ij entra nell’equazione del taglio ksono opposti. Di conseguenza nel sistema risolvente compare il termine−Gjvh.

Esempio Tutto cio e illustrato anche dall’esempio di fig. 5.4, nel quale e rap-presentato un taglio fondamentale (taglio 1) e sono indicati i versi di riferimentodegli altri tagli che hanno lati in comune con il taglio in questione (tagli 2 e 3).

Applicando la LKI al taglio 1 si ottiene

i1 − i4 − i5 + i6 = 0 (5.17)

Le tensioni dei lati hanno le seguenti espressioni in funzione delle tensioni di taglio

v4 = −v1 + v2

v5 = −v1 + v2 − v3

v6 = v1 + v3

(5.18)

Quindi, facendo uso delle equazioni dei componenti si ottengono le seguenti

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iG6 iG4R5 R1R6 R4

1

2

3

Figura 5.4: Metodo dei tagli fondamentali

espressioni per le correnti dei lati

i1 = G1v1

i4 = G4(−v1 + v2) + iG4

i5 = G5(−v1 + v2 − v3)

i6 = G6(v1 + v3) + iG6

(5.19)

Sostituendo queste espressioni nell’equazione del taglio si ottiene

(G1 +G4 +G5 +G6)v1 − (G4 +G5)v2 + (G5 +G6)v3 = iG4 − iG6 (5.20)

In questo caso la tensione di taglio v1 da contributi positivi alle correnti dei lati1 e 6, e contributi negativi alle correnti dei lati 4 e 5. D’altra parte nell’equazionedel taglio 1 le correnti dei lati 1 e 6 hanno segno + mente le correnti dei lati 4 e5 hanno segno −. Quindi nell’equazione del taglio 1 contributi della tensione v1

risultano tutti positivi e il coefficiente di v1 vale G1 +G5 +G6 +G7.La tensione v2 da un contributo positivo alle correnti dei lati 4 e 5 che compa-

iono con segno − nell’equazione del taglio. Il coefficiente di v2 e quindi −(G4+G5)e quindi e negativo, in accordo con il fatto che le tensioni di taglio v1 e v2, sonoapplicate ai lati 4 e 5 con versi opposti.

La tensione v3 da un contributo negativo alla corrente del lato 5 e un contri-buto positivo alla corrente del lato 6. Nell’equazione del taglio 1 la corrente i5ha segno − mentre la corrente i6 ha segno +. Di conseguenza il coefficiente di v3

e positivo e vale G5 +G6, in accordo con il fatto che le tensioni di taglio v1 e v3

sono applicate ai lati comuni con lo stesso verso.A secondo membro, la corrente del generatore iG4, entrante nel taglio, compare

con segno −, mentre quella del generatore iG6, uscente, ha segno +.

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In conclusione si possono enunciare le seguenti regole per la scrittura delsistema risolvente (5.16):

• Nell’equazione del taglio k, il coefficiente della tensione vk (cioe l’elementosulla diagonale principale della matrice dei coefficienti) e dato dalla sommadelle conduttanze dei lati del taglio k presa con segno +.

• Nell’equazione del taglio k, il coefficiente della tensione vh con h = k (cioeciascuno degli elementi al di fuori della diagonale principale della matricedei coefficienti) e dato dalla somma delle conduttanze dei lati comuni altaglio k e al taglio h, presa

– con segno + se i versi dei due tagli nei lati comuni sono concordi

– con segno − se sono discordi.

• Il secondo membro, per ciascuna equazione, e dato dalla somma algebricadelle correnti dei generatori contenuti nel taglio prese:

– con segno + se il verso della corrente del generatore e discorde conquello del taglio (cioe e entrante)

– con segno − se e concorde (cioe e uscente).

Risolto il sistema (5.16), e quindi note le tensioni di taglio, la soluzione del cir-cuito si completa calcolando le correnti dei lati del coalbero mediante le relazioni

vC = T TvA (5.21)

e le correnti mediante le equazioni dei componenti (5.2).

5.7 Metodo dei nodi

Il metodo dei nodi puo essere visto come una versione semplificata del metodo deitagli fondamentali. Le equazioni del sistema risolvente hanno la forma seguente

AGATv = −AiG (5.22)

Come per il metodo dei tagli fondamentali, il sistema risolvente ha dimensionen− 1. Le incognite del sistema sono rappresentate dalle tensioni di nodo v.

In questo caso le equazioni del sistema risolvente esprimono la LKI per inodi dei circuito diversi dal nodo di riferimento. In ciascuna equazione il primomembro e costituito dalla somma algebrica delle correnti dei resistori collegatial nodo, mentre il termine noto a secondo membro e la somma algebrica dellecorrenti dei generatori indipendenti collegati al nodo stesso.

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Per quanto riguarda i segni, secondo le convenzioni introdotte nel capitolo 4alle correnti a primo membro si attribuisce segno + quando il verso del lato euscente dal nodo. Per i termini a secondo membro vale la convenzione opposta edi conseguenza le correnti dei generatori entrano nella somma algebrica con segno+ quando il loro verso e entrante.

Quindi ciascuna delle equazioni del sistema risolvente esprime il fatto che lacorrente complessivamente entrante in un nodo attraverso i generatori e ugualea quella che complessivamente esce attraverso i resistori.

A primo membro le correnti dei resistori sono espresse come differenza dicontributi dovuti alle tensioni di nodo. Se si considera l’equazione del genericonodo k si puo verificare che il primo membro ha la seguente struttura:

• Il contributo della tensione del nodo k, vk, e positivo ed e dato dal prodottodi vk per la somma delle conduttanze dei resistori collegati al nodo. Infattivk compare nell’espressione delle tensioni di tutti i lati collegati al nodo k.

– Se si considera un lato j uscente dal nodo k, la tensione vk ha segno +nell’espressione di vj, e quindi nell’espressione di ij compare il termine+Gj vk. D’altra parte ij ha segno + nell’equazione del nodo k. Quindinel sistema risolvente compare il termine +Gj vk.

– Se, al contrario, il lato j e entrante nel nodo k, nell’espressione di ijcompare il termine −Gj vk, ma ij ha segno − nell’equazione del nodo k.Quindi anche in questo caso nel sistema risolvente compare il termine+Gj vk.

• Il contributo della tensione di un nodo h (h = k), vh, e dato dal prodottodi vh per la somma delle conduttanze dei lati che collegano i nodi h e kpresa con segno −. Infatti un generico lato j che collega i nodi h e k haverso entrante relativamente a un nodo e uscente relativamente all’altro.Quindi il segno del contributo di vh alla corrente ij e il segno con cui ijentra nell’equazione del taglio k sono sempre opposti. Di conseguenza nelsistema risolvente compare il termine −Gj vh.

Esempio Tutto cio e illustrato anche dall’esempio della fig. 5.5, nella quale sonorappresentati i lati afferenti ad un nodo, indicato con A, e il nodo di riferimentoO (in figura non sono rappresentati i lati collegati al nodo O poiche, in questoesempio, non contribuiscono all’equazione del nodo A). Applicando la LKI alnodo A si ottiene

i1 − i2 + i3 − i4 = 0 (5.23)

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iG1

iG4

R1

R2

R3

R4A

B

CD

E

O

vA

~

vE

~

vD

~

vB

~

vC

~

Figura 5.5: Metodo dei nodi

Le tensioni dei lati hanno le seguenti espressioni in funzione delle tensioni di nodo(valutate rispetto a O)

v1 = vA − vB

v2 = vC − vA

v3 = vA − vE

v4 = vD − vA

(5.24)

Quindi facendo uso delle equazioni dei componenti si ottengono le seguenti espres-sioni per le correnti dei lati

i1 = G1(vA − vB) + iG1

i2 = G2(vC − vA)

i3 = G3(vA − vE)

i4 = G4(vD − vA) + iG4

(5.25)

Sostituendo queste espressioni nell’equazione del nodo si ottiene

(G1 +G2 +G3 +G4)vA −G1vB −G2vB −G4vD −G3vE = −iG1 + iG4 (5.26)

In questo caso la tensione di nodo vA da contributi positivi alle correnti dei lati1 e 3, e contributi negativi alle correnti dei lati 2 e 4. D’altra parte nell’equazionedel nodo A le correnti dei lati 1 e 3 hanno segno + mente le correnti dei lati 2 e 4

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hanno segno −. Quindi nell’equazione del nodo A il coefficiente di vA e positivoe vale G1 +G2 +G3 +G4, cioe e la somma delle conduttanze dei lati collegati alnodo A presa con segno +.

La tensione vB da un contributo negativo alla corrente del lato 1, che comparecon segno + nell’equazione del nodo. Il coefficiente di vB e quindi −G1.

La tensione vC da un contributo positivo alla corrente del lato 1, che comparecon segno − nell’equazione del nodo. Il coefficiente di vC e quindi −G2.

In modo analogo si giustificano i coefficienti delle tensioni vD e vE, rappresen-tati, rispettivamente da −G4 e −G3.

A secondo membro la corrente del generatore iG1, uscente dal nodo, comparecon segno +, mentre quella del generatore iG4, entrante, ha segno −.

In conclusione, si possono enunciare le seguenti regole per la formulazione delsistema risolvente (5.22):

• Nell’equazione del nodo k, il coefficiente della tensione vk (cioe l’elementosulla diagonale principale della matrice dei coefficienti) e dato dalla sommadelle conduttanze dei lati afferenti al nodo k presa con segno +.

• Nell’equazione del nodo k, il coefficiente della tensione vh con h = k (cioeciascuno degli elementi al di fuori della diagonale principale della matricedei coefficienti) e dato dalla somma delle conduttanze dei lati che colleganoil nodo k al nodo h, presa con segno −

• Il secondo membro, per ciascuna equazione e dato dalla somma algebricadelle correnti dei generatori afferenti al nodo prese:

– con segno + se il verso della corrente del generatore e entrante nelnodo

– con segno − se e uscente.

Risolto il sistema (5.22), e quindi note le tensioni di nodo, la soluzione del circuitosi completa calcolando le tensioni mediante le relazioni

v = ATv (5.27)

le correnti mediante le equazioni dei componenti (5.2).

5.8 Analisi di circuiti con generatori dipendenti

I metodi di analisi esaminati possono essere estesi ai circuiti contenenti generatoridipendenti. Come avviene per i generatori indipendenti, per i metodi delle maglie

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e degli anelli occorre che i anche i generatori dipendenti siano tutti di tensione,o che comunque possano essere trasformati in generatori di tensione. Analoga-mente, per i metodi dei tagli o dei nodi occorre che i generatori siano tutti dicorrente, o comunque possano essere trasformati in generatori di corrente.

Per scrivere il sistema risolvente in presenza di generatori dipendenti si puoseguire il seguente procedimento:

• Inizialmente si scrivono le equazioni del circuito trattando le tensioni o lecorrenti, incognite, dei generatori dipendenti come se fossero quantita note,cioe come se i generatori presenti nel circuito fossero tutti indipendenti.

• Si determinano le espressioni delle grandezze pilota in funzione delle inco-gnite del sistema risolvente.

Se la grandezza pilota e dello stesso tipo (tensione o corrente) delle incogni-te, e sempre possibile esprimerla mediante una somma algebrica di questeultime, altrimenti occorre fare uso anche delle equazioni dei componenti.

• Si sostituisce l’espressione ottenuta per la grandezza pilota nell’espressionedella tensione o della corrente del generatore dipendente e si inserisce taleespressione nel sistema risolvente.

Eseguite queste sostituzioni, nel sistema risolvente compaiono come incognitele sole tensioni o correnti fondamentali, quindi la soluzione del circuito puoproseguire nel solito modo.

5.9 Analisi di circuiti con generatori di tensione edi corrente

Come si e visto, il metodo delle maglie e il metodo degli anelli richiedono chetutti i generatori presenti nel circuito siano di tensione, o comunque possanoessere trasformati in generatori di tensione, quindi sono utilizzabili in presenza digeneratori di corrente solo se questi hanno un resistore in parallelo. Analogamenteil metodo dei nodi e il metodo dei tagli richiedono che tutti i generatori siano dicorrente, o comunque possano essere trasformati in generatori di corrente, quindiper potere impiegare questi metodi occorre che tutti i generatori di tensioneabbiano un resistore in serie.

In questo paragrafo si illustreranno due procedimenti che consentono di appli-care i metodi esaminati nei paragrafi precedenti a circuiti contenenti generatoridei due tipi.

Il primo procedimento si basa su particolari trasformazioni circuitali che con-sentono di ricondurre tutti i lati alla forma di fig. 5.1a o di fig. 5.1b.

Il secondo procedimento si basa su una modifica dei metodi abbreviati me-diante introduzione di variabili e di equazioni ausiliarie.

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5.9.1 Spostamento dei generatori

Proprieta di spostamento dei generatori di corrente Si consideri un circuitocontenente un lato A-B costituito da un generatore di corrente. Le tensioni e lecorrenti degli altri lati del circuito non cambiano se al circuito viene applicata latrasformazione illustrata in fig. 5.6.

Tale trasformazione consiste nell’eliminare (cioe sostituire con un circuitoaperto) il generatore di corrente e di inserire dei generatori uguali a quello elimi-nato in parallelo a tutti gli altri lati di una qualunque delle maglie di cui il latoA-B fa parte.

Si puo verificare che la trasformazione non modifica i vincoli a cui sono sogget-te le tensioni e le correnti degli altri componenti del circuito. In particolare noncambiano le equazioni dei nodi coinvolti nella trasformazione. Infatti nel circuitomodificato ai nodi A e B sono collegati due generatori identici a quello eliminato,mentre a gli altri nodi sono collegati due generatori uguali e orientati i sensoopposto che, complessivamente, forniscono un contributo nullo all’equazione delnodo.

Quindi, nell’ipotesi che il circuito abbia soluzione unica, la trasformazione nonmodifica le tensioni e le correnti.

In generale, sfruttando la proprieta di spostamento dei generatori di correnteassieme alle equivalenze illustrate nel capitolo 2, e possibile ricondurre un circuitocon generatori di corrente ad uno nel quale tutti i componenti sono casi particolaridel bipolo di fig. 5.1a e, quindi, che puo essere risolto con il metodo delle maglieo con quello degli anelli (se e planare).

iG

iG

iG

iG

iG

a) b)

A

A

B

B

Figura 5.6: Spostamento dei generatori di corrente

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vG

vG

vG

vG

1

A

A BB

a) b)

1

2

2

Figura 5.7: Spostamento dei generatori di tensione

Proprieta di spostamento dei generatori di tensione Si consideri un circuitocontenente un lato A-B costituito da un generatore di tensione. Le tensioni ele correnti degli altri lati del circuito non cambiano se il al circuito si applica latrasformazione illustrata in fig. 5.7.

Tale trasformazione consiste nell’eliminare il generatore di tensione, unendo inodi A e B, e nell’inserire un generatore di tensione uguale a quello soppresso inserie a tutti i lati collegati ad uno degli estremi del lato eliminato (nell’esempiodi fig. 5.7 i generatori sono stati collegati in serie ai lati afferenti al nodo A).

Anche in questo caso la trasformazione non modifica i vincoli a cui sono sog-gette le tensioni e le correnti degli altri componenti del circuito. In particolare noncambiano le equazioni delle maglie che contengono lati modificati, cioe delle ma-glie passanti per il nodo A. Infatti nelle maglie contenti il lato A-B, come la maglia1 di fig. 5.7, viene inserito un generatore di tensione identico a quello eliminato,mentre nelle maglie che non contengono il lato A-B, come la maglia 2, vengonoinseriti due generatori uguali e orientati in modo da fornire complessivamente uncontributo nullo.

Quindi, nell’ipotesi che il circuito abbia soluzione unica, la trasformazione nonmodifica le tensioni e le correnti.

In generale, sfruttando la proprieta di spostamento dei generatori di tensioneassieme alle equivalenze illustrate nel capitolo 2 e possibile ricondurre un circuitocon generatori di corrente ad uno nel quale tutti i componenti sono casi particolaridel bipolo di fig. 5.1b e, quindi, che puo essere risolto con il metodo dei tagli ocon quello dei nodi.

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5.9.2 Metodi di analisi modificati

5.9.2.1 Schema generale

I metodi di analisi introdotti nel paragrafo 5.3 si basano sull’ipotesi che le equazio-ni dei componenti possano essere scritte nella forma (5.5). Se in queste equazioniy indica la tensione, questa ipotesi comporta l’esclusione di lati formati da gene-ratori di corrente, se y indica la corrente comporta l’esclusione di lati formati dageneratori di tensione.

Si consideri ora il caso in cui solo l1 lati sono descritti da equazioni del tipo(5.5), mentre i rimanenti l2 = l − l1 sono generatori del tipo non compatibilecon la (5.5). Si assuma, inoltre, che i lati siano numerati in modo che quelli delprimo tipo precedano quelli del secondo tipo1. In questo caso i vettori x e yconsiderati nel paragrafo 5.3 possono essere divisi in sottovettori (di dimensionel1 e l2) relativi ai lati dei due tipi.

y =

[y(1)

y(2)

]x =

[x(1)

x(2)

](5.28)

Per i componenti del primo tipo le equazioni possono essere scritte nella forma

y(1) = H(1)x(1) + y(1)G (5.29)

analoga alla (5.5), mentre per quelli del secondo tipo le equazioni hanno la forma

x(2) = x(2)G (5.30)

dove x(2)G indica a seconda del caso il vettore delle tensioni o delle correnti dei

generatori di tipo non compatibile con la rappresentazione (5.5).A questo punto e opportuno mettere in evidenza i termini relativi ai lati del

primo e del secondo tipo nelle equazioni dei collegamenti (5.3) e (5.4). Se sisuddivide la matrice K in due sottomatrici, le cui colonne corrispondono ai latidei due tipi, le equazioni dei collegamenti divengono

[K(1) K(2)

] · [y(1)

y(2)

]= 0 (5.31)

e

x(1) = K(1)Tx (5.32)

x(2) = K(2)Tx (5.33)

1Questa scelta ha solo lo scopo di rendere piu semplice la scrittura delle equazioni in formagenerale.

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Seguendo un procedimento simile a quello impiegato nel paragrafo 5.3, si inse-riscono le espressioni delle x(1) date dalla (5.32), nelle equazioni dei componentidel primo tipo (5.29)

y(1) = H(1)K(1)Tx + K(1)y(1)G (5.34)

quindi si sostituiscono le queste espressioni delle y(1) nelle (5.31)

K(1)H(1)K(1)Tx + K(2)y(2) = −K(1)y(1)G (5.35)

Per quanto riguarda i lati del secondo tipo e possibile sostituire, nelle equazionidei componenti (5.30), le x(2) con le loro espressioni in funzione delle x date dalle(5.33)

K(2)Tx = x(2)G (5.36)

In questo modo, pero, si ottiene un equazione che non contiene le y(2). Quindinon e possibile combinare le (5.35) con le (5.36) per eliminare le y(2).

Di conseguenza, in questo caso il sistema risolvente ridotto e formato dall’in-sieme delle equazioni (5.35) e (5.36) e contiene, rispetto al caso in cui tutti i latisono del tipo 1, l2 variabili ausiliarie (cioe le y(2)) e l2 equazioni ausiliarie (cioele (5.36). La dimensione del sistema risolvente e pertanto

• l + l2 − n+ 1 nel caso del metodo delle maglie e del metodo degli anelli,

• l2 + n− 1 nel caso del metodo dei tagli e del metodo dei nodi.

Per scrivere direttamente le (5.35) si puo adottare un semplice artificio. Siconsideri il circuito ottenuto sostituendo tutti i lati di tipo 2 con lati aventi leequazioni

y(2) = y(2)G (5.37)

Questo circuito ha solo lati di tipo 1, quindi il suo sistema risolvente puo es-sere scritto seguendo le regole enunciate nei paragrafi 5.4–5.7. D’alta parte eimmediato riconoscere che per il circuito modificato, il sistema risolvente e

K(1)H(1)K(1)Tx = −K(1)y(1)G − K(2)y

(2)G (5.38)

e ha la stessa struttura delle (5.35), a parte la sostituzione di y(2) con y(2)G .

Quindi per scrivere le (5.35) e sufficiente sostituire i generatori di tipo 2 congeneratori di tipo complementare e scrivere il sistema risolvente trattando levariabili ausiliarie (cioe le y dei generatori) come quantita note.

Anche la scrittura delle le (5.36) non presenta particolari problemi in quantorichiede solo di esprimere le x dei lati di tipo 2 in funzione delle x.

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Il procedimento illustrato in questo paragrafo conduce ad un sistema risol-vente di dimensione maggiore rispetto al caso in cui tutti i lati sono di tipo 1.In generale, comunque, e possibile ridurre la dimensione del sistema scegliendoin modo opportuno le x, cioe facendo in modo che alcuni degli elementi di xcoincidano con le x di alcuni dei generatori. Questi elementi di x diventano cosıdelle quantita note, quindi il numero delle incognite si riduce. Inoltre le equazionidel gruppo (5.36) che contengono gli elementi di x in questione, si riducono allaforma

xk = xGk (5.39)

e quindi possono essere eliminate al sistema. Nei paragrafi seguenti si esamine-ranno piu in dettaglio i casi relativi ai vari metodi.

5.9.2.2 Metodo delle maglie modificato

Nella soluzione col metodo delle maglie i lati di tipo 1 sono casi particolari delbipolo di fig. 5.1a e quelli di tipo 2 sono generatori di corrente. Le tensioni diquesti generatori rappresentano le variabili ausiliarie, mentre le equazioni ausi-liarie si ottengono esprimendo le loro correnti mediante le correnti di maglia. Ilsistema risolvente, in questo caso, ha la forma

M (1)R(1)M (1)TiC + M (2)v(2) = −M (1)v(1)G (5.40)

M (2)TiC = i(2)G (5.41)

La dimensione del sistema puo essere ridotta notevolmente mediante una op-portuna scelta delle variabili ausiliarie. Se si esclude il caso in cui i generatori dicorrente formano un taglio, caso che peraltro e di scarso interesse pratico, datoche corrisponde a circuiti impossibili o indeterminati, si puo scegliere un alberodel circuito che non contiene generatori di corrente, cioe si possono collocare tuttii generatori di corrente nel coalbero.

In questo modo l2 correnti di maglia diventano quantita note e le l2 equazioni(5.41) possono essere eliminate.

Le (5.40) in questa condizione diventano un sistema di l− n+ 1 equazioni inaltrettante incognite:

• l − l2 − n+ 1 correnti di maglia

• l2 variabili ausiliarie

Il problema puo essere ulteriormente semplificato se si tiene conto della strut-tura delle (5.40). Infatti se i generatori di corrente sono nel coalbero, ciascunadelle variabili ausiliarie compare in una sola delle equazioni.

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Complessivamente, quindi, si hanno l2 equazioni che contengono variabili au-siliarie e l− l2 − n+ 1 equazioni che contengono solo le l− l2 − n+ 1 correnti dimaglia incognite.

Queste ultime equazioni costituiscono un sistema che puo essere risolto sepa-ratamente. Una volta determinate le correnti di maglia incognite, sostituendo iloro valori nelle altre equazioni si ricavano direttamente le variabili ausiliarie.

A questo punto restano da calcolare le correnti dei lati dell’albero e le tensionidei lati di tipo 1, che si possono determinare come nel caso del metodo delle maglieordinario.

5.9.2.3 Metodo degli anelli modificato

Come avviene per il metodo delle maglie, anche nella soluzione col metodo deglianelli i lati di tipo 1 sono casi particolari del bipolo di fig. 5.1a e quelli di tipo 2sono generatori di corrente. Le variabili ausiliarie sono le tensioni dei generatoridi corrente e le equazioni ausiliarie si ottengono esprimendo correnti di questigeneratori mediante le correnti di anello. Il sistema risolvente, in questo caso, hala forma

B(1)R(1)B(1)Tı + B(2)v(2) = −B(1)v(1)G (5.42)

B(2)Tı = i(2)G (5.43)

Per quanto riguarda la scelta delle correnti indipendenti, il metodo degli anellie meno flessibile del metodo delle maglie. Di conseguenza, in generale non epossibile eliminare dal sistema tutte le equazioni e le incognite ausiliarie. Infat-ti, affinche la corrente di un generatore coincida con una delle correnti di anello(eventualmente a meno del segno), occorre che il generatore faccia parte del-l’anello esterno. E possibile scegliere in vari modi l’anello esterno, ridisegnandoopportunamente il circuito, ma in generale non e possibile fare in modo che questocomprenda tutti i generatori di corrente.

Ogni generatore disposto nell’anello esterno consente di eliminare dal sistemarisolvente 2 equazioni e 2 incognite.

Si consideri il caso in cui un lato k, appartenente all’anello esterno, e ungeneratore di corrente e si indichi con h l’altro anello di cui il lato k parte2. Inqueste condizioni la corrente ık si identifica (eventualmente a meno del segno)con la corrente del generatore e, di conseguenza, e una quantita nota, mentre unadelle equazioni (5.43) si riduce ad una relazione del tipo

ıh = ±iGk (5.44)

e quindi puo essere eliminata dal sistema.

2Includendo l’anello esterno ogni lato appartiene a due anelli.

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Per quanto riguarda le equazioni (5.42), si puo notare che la tensione del latok compare solo nell’equazione dell’anello h, quindi si puo eliminare anche questaequazione dal sistema risolvente.

In questo modo le (5.42) e (5.43) si riducono ad un sistema con 2 equazioni inmeno e 2 variabili in meno: ıh, nota a priori, e vk, che puo essere ricavata, dopoaver risolto il sistema, dall’equazione del gruppo (5.43) esclusa.

Se l’anello esterno contiene piu generatori di corrente, per ciascuno di essi sipuo ripetere il procedimento descritto.

5.9.2.4 Metodo dei tagli modificato

Nella soluzione col metodo delle tagli i lati di tipo 1 sono casi particolari del bipolodi fig. 5.1b e quelli di tipo 2 sono generatori di tensione. Le correnti di questigeneratori rappresentano le variabili ausiliarie, mentre le equazioni ausiliarie siottengono esprimendo le loro tensioni mediante le tensioni di taglio. Il sistemarisolvente, in questo caso, ha la forma

T (1)G(1)T (1)TvA + T (2)i(2) = −T (1)i(1)G (5.45)

T (2)TvA = v(2)G (5.46)

Se si esclude il caso in cui i generatori di tensione formano una maglia, caso cheperaltro e di scarso interesse pratico, dato che corrisponde a circuiti impossibilio indeterminati, e sempre possibile scegliere un albero del circuito che contengatutti i generatori di tensione.

In questo modo l2 tensioni di taglio diventano quantita note e le l2 equazioni(5.46) possono essere eliminate.

Le (5.45) in questa condizione diventano un sistema di n − 1 equazioni inaltrettante incognite:

• n− l2 − 1 tensioni di taglio

• l2 variabili ausiliarie

Il problema puo essere ulteriormente semplificato se si tiene conto della strut-tura delle (5.45). Infatti se i generatori di tensione sono nell’albero, ciascuna dellevariabili ausiliarie compare in una sola delle equazioni.

Complessivamente, quindi, si hanno l2 equazioni che contengono variabili au-siliarie e n − l2 − 1 equazioni che contengono solo le l − n − 1 tensioni di taglioincognite.

Queste ultime equazioni costituiscono un sistema che puo essere risolto se-paratamente. Una volta determinate le tensioni di taglio incognite, sostituendoi loro valori nelle altre equazioni si ricavano direttamente le variabili ausiliarie.Quindi si calcolano le rimanenti tensioni e correnti procedendo come nel caso delmetodo dei tagli ordinario.

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5.9.2.5 Metodo dei nodi modificato

Nella soluzione col metodo degli anelli, come in quella con il metodo dei tagli,i lati di tipo 1 sono casi particolari del bipolo di fig. 5.1b e quelli di tipo 2sono generatori di tensione. Le variabili ausiliarie sono le correnti dei generatoridi tensione e le equazioni ausiliarie si ottengono esprimendo tensioni di questigeneratori mediante le tensioni di nodo. Il sistema risolvente, in questo caso, hala forma

A(1)G(1)A(1)Tv + A(2)i(2) = −A(1)i(1)G (5.47)

A(2)Tv = v(2)G (5.48)

Il metodo dei nodi, a differenza di quello dei tagli, nel caso generale non consentedi eliminare tutte le equazioni e le variabili ausiliarie. Infatti, affinche la tensionedi un generatore coincida con una delle tensioni di nodo (eventualmente a menodel segno), occorre che il generatore abbia un terminale coincidente con il nododi riferimento. Quindi, se i generatori di tensione non hanno tutti un nodo incomune, non e possibile fare in modo che le tutte loro tensioni si identifichino contensioni di nodo.

Ogni generatore di tensione collegato al nodo di riferimento consente di eli-minare dal sistema risolvente 2 equazioni e 2 incognite.

Si indichi con O il nodo di riferimento e si consideri il caso in cui il lato k,collegato ai nodi P e O e un generatore di tensione.

In queste condizioni la tensione vP si identifica (eventualmente a meno delsegno) con la tensione del generatore e, di conseguenza, e una quantita nota,mentre una delle equazioni (5.47) si riduce ad una relazione del tipo

vP = ±vGk (5.49)

e quindi puo essere eliminata dal sistema.Per quanto riguarda le equazioni (5.48), si puo notare che la corrente del lato

k compare solo nell’equazione del nodo P, quindi si puo eliminare anche questaequazione dal sistema risolvente.

In questo modo le (5.47) e (5.48) si riducono ad un sistema con 2 equazioni inmeno e 2 variabili in meno: vP , nota a priori, e ik, che puo essere ricavata, dopoaver risolto il sistema, dall’equazione del gruppo (5.48) esclusa.

Se al nodo di riferimento sono collegati piu generatori di tensione per ciascunodi essi si puo ripetere il procedimento descritto.

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5.10 Esempi

Esempio 5.1 Risolvere il circuito di fig. 5.8 (per i lati contenenti generatori sicalcolino le correnti e le tensioni complessive).

R1

R2

R6

VG6

VG5

IG1

IG3 R3 R4

R5

AB

C

D

R1 = 2 Ω R2 = 4 Ω R3 = 2 Ω R4 = 4 Ω R5 = 3 Ω R6 = 4 ΩIG1 = 3 A IG3 = 5 A VG5 = 24 V VG6 = 8 V


Risoluzione con il metodo delle maglie fondamentali Per applicare il meto-do delle maglie fondamentali occorre trasformare i generatori di corrente comeindicato in fig. 5.9. Le tensioni dei generatori equivalenti sono

VG1 = R1IG1 = 6 V

VG3 = R3IG3 = 10 V(5.50)

Per individuare un insieme di maglie fondamentali si sceglie un albero del circuito.Se si considera l’albero formato dai lati 1, 2 e 3, come indicato in fig. 5.10, lemaglie fondamentali sono quelle associate con i lati 4, 5 e 6. Le correnti di tali latirappresentano le incognite del sistema risolvente, che ha la seguente espressione

(R1 +R3 +R4)I4 − (R1 +R3)I5 −R1I6 = VG1 − VG3

−(R1 +R3)I4 + (R1 +R2 +R3 +R5)I5 + (R1 +R2)I6 = −VG1 + VG3 + VG5

−R1I4 + (R1 +R2)I5 + (R1 +R2 +R6)I6 = −VG1 + VG6

(5.51)

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R1 R2

R6

VG6

VG5

VG1

VG3

R3

R4

R5

AB

C

D

Figura 5.9: Trasformazione dei generatori

A

D

CB

3 4 5

1

6

2

6

54

Figura 5.10: Maglie fondamentali

Sostituendo i valori dei parametri si ottiene

8I4 − 4I5 − 2I6 = −4

−4I4 + 11I5 + 6I6 = 28

−2I4 + 6I5 + 10I6 = 2

(5.52)

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La soluzione di questo sistema e

I4 = 1 A

I5 = 4 A

I6 = −2 A

(5.53)

Note le correnti di maglia e possibile esprimere le altre correnti mediante lerelazioni

I1 = −I4 + I5 + I6 = 1 A

I2 = I5 + I6 = 2 A

I3 = I4 − I5 = −3 A

(5.54)

Infine, note le correnti del lati, le tensioni possono essere calcolate mediante leequazioni dei componenti

V1 = R1(I1 + IG1) = 8 V

V2 = R2I2 = 8 V

V3 = R3(I3 + IG3) = 4 V

V4 = R4I4 = 4 V

V5 = R5I5 − VG5 = −12 V

V6 = R6I6 − VG6 = −16 V

(5.55)

Risoluzione con il metodo dei tagli fondamentali In questo caso occorretrasformare i generatori di tensione in generatori di corrente come indicato infig. 5.11. Le correnti dei generatori equivalenti sono

IG5 =VG5

R5

= 8 A

IG6 =VG6

R6

= 2 A

(5.56)

Se si considera, come nella soluzione con il metodo delle maglie, l’albero formatodai lati 1, 2, e 3, le tensioni di tali lati rappresentano le incognite del sistemarisolvente, che ha l’espressione

(G1 +G4 +G5 +G6)V1 + (G5 +G6)V2 − (G4 +G5)V3 = IG1 + IG5 + IG6

(G5 +G6)V1 + (G2 +G5 +G6)V2 −G5V3 = IG5 + IG6

−(G4 +G5)V1 −G5V2 + (G3 +G4 +G5)V3 = IG3 − IG5

(5.57)

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R1

R6

R2

IG5

IG1

IG6

IG3 R3 R4 R5

AB

C

D


A

D

CB

3 4 5

1

6

2

3

2

1

Figura 5.12: Tagli fondamentali

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cioe, inserendo i valori dei parametri

4

3V1 +

7

12V2 − 7

12V3 = 13

7

12V1 +

5

6V2 − 1

3V3 = 10

− 7

12V1 − 1

3V2 +

13

12V3 = −3

(5.58)

Risolvendo il sistema si ottiene

V1 = 8 V

V2 = 8 V

V3 = 4 V

(5.59)

Note le tensioni dei lati dell’albero, quelle dei lati di coalbero si ricavano dellerelazioni

V4 = V1 − V3 = 4 V

V5 = −V1 − V2 + V3 = −12 V

V3 = −V1 − V2 = −16 V

(5.60)

Infine, mediante le equazioni dei componenti si determinano le correnti dei lati.

I1 = G1V1 − IG1 = 1 A

I2 = G2V2 = 2 A

I3 = G3V3 − IG3 = −3 A

I4 = G4V4 = 1 A

I5 = G5(V5 + VG5) = 4 A

I6 = G6(V6 + VG6) = −2 A

(5.61)

Risoluzione con il metodo dei nodi Il metodo dei nodi, come il metodo dei taglifondamentali, richiede che tutti i generatori siano di corrente. Quindi, anche inquesto caso occorre trasformare il circuito come indicato i fig. 5.11. Le correntiIG5 e IG6 sono date dalle (5.56). Se si sceglie come riferimento il nodo D, leincognite del sistema risolvente sono le tensioni VA, VB e VC , degli altri nodirispetto valutate rispetto a D. Il sistema risolvente ha la seguente espressione

(G1 +G3 +G6)VA −G1VB −G6VC = −IG1 − IG3 − IG6

−G1VA + (G1 +G2 +G4)VB −G2VC = +IG1

−G6VA −G2VB + (G2 +G5 +G6)VC = +IG5 + IG6

(5.62)

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A

D

CB

3 4 5

1

6

2

Figura 5.13: Nodi

Introducendo i valori dei parametri si ha

5

4VA − 1

2VB − 1

4VC = −10

− 1

12VA + VB − 1

4VC = 3

− 1

14VA − 1

4VB +

5

6VC = 10

(5.63)


VA = −4 V

VB = 4 V

VC = 12 V

(5.64)

Note le tensioni di nodo, le tensioni dei lati si ricavano mediante le relazioni

V1 = VB − VA = 8 V

V2 = VC − VB = 8 V

V3 = −VA = 4 V

V4 = VB = 4 V

V5 = −VC = −12 V

V6 = VA − VC = −16 V

(5.65)

Infine le correnti si determinano, come nella soluzione con il metodo dei tagli, permezzo delle (5.61).

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Risoluzione con il metodo degli anelli In questo caso occorre trasformare igeneratori di corrente come si e visto nella soluzione con il metodo delle magliefondamentali (fig. 5.9). I valori di VG1 e VG2 sono quelli forniti dalle (5.50). Seil grafo del circuito viene disegnato come in fig. 5.14 gli anelli interni sono quelliindicati con 1, 2, e 3.

Le incognite del sistema risolvente sono le correnti di anello I1, I2 e I3. Ilsistema ha la seguente espressione

(R1 +R3 +R4)I1 −R4I2 −R1I3 = −VG1 + VG3

−R4I1 + (R2 +R4 +R5)I2 −R2I3 = VG5

−R1I1 −R2I2 + (R1 +R2 +R6)I3 = VG1 − VG6

(5.66)

cioe,inserendo i valori dei componenti

8I1 − 4I2 − 2I3 = 4

−4I1 + 11I2 − 4I3 = 24

−2I1 − 4I2 + 10I3 = −2

(5.67)


I1 = 3 A

I2 = 4 A

I3 = 2 A

(5.68)

A

D

CB

3 4 5

1

6

2

1 2

3

Figura 5.14: Anelli

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A questo punto, note le correnti di anello si possono calcolare le correnti di lato.

I1 = I1 − I3 = 1 A

I2 = I2 − I3 = 2 A

I3 = −I1 = −3 A

I4 = I2 − I1 = 1 A

I5 = I2 = 4 A

I6 = −I3 = −2 A

(5.69)

Infine le tensioni dei lati possono essere calcolate, come nella soluzione con ilmetodo delle maglie, mediante le (5.55).

Esempio 5.2 Risolvere il circuito di fig. 5.15 (per i lati contenenti generatori sicalcolino le correnti e le tensioni complessive).

R5

I5

R6

VG2

g1V4

r6I5

IG3R1 R3

R4

V4

R2

AB

C

D

R1 = 2 Ω R2 = 1 Ω R3 = 2 Ω R4 = 4 Ω R5 = 4 Ω R6 = 5 Ωg1 = 0.25 S r6 = 6 Ω VG2 = 24 V IG3 = 3 A


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R5

R6

VG21V4

r6I5

VG3

R1 R3

R4

V4

R2

AB

C

D

I5


Risoluzione con il metodo delle maglie fondamentali Per applicare il meto-do delle maglie fondamentali occorre trasformare i generatori di corrente comeindicato in fig. 5.16. Per quanto riguarda il generatore indipendente, la tensionedel generatore equivalente vale

VG3 = R3IG3 = 6 V (5.70)

mentre per il generatore dipendente il parametro di trasferimento del generatoreequivalente e

µ1 = R1g1 = 0.5 (5.71)

Per individuare un insieme di maglie fondamentali si sceglie un albero delcircuito. Se si considera l’albero formato dai lati 2, 4 e 5, come indicato infig. 5.17, le maglie fondamentali sono quelle associate con i lati 1, 3 e 6. Lecorrenti di questi lati rappresentano le incognite del sistema risolvente.

Per scrivere il sistema risolvente si seguono le tre fasi indicate nel paragrafo 5.8.In primo luogo si scrivono le equazioni del circuito trattando le tensioni incognitedei generatori indipendenti come quantita note, cioe procedendo come nel casodi un circuito con solo generatori indipendenti

(R1 +R2 +R4)I1 +R2I3 +R4I6 = µ1V4 + VG2

R2I1 + (R2 +R3 +R5)I3 −R5I6 = VG2 + VG3

R4I1 −R5I3 + (R4 +R5 +R6)I6 = r6I5

(5.72)

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A

D

CB

1 2 3

4

6

5

6

31


Quindi si determinano le espressioni delle variabili pilota dei generatori dipendentiin funzione delle incognite del sistema risolvente. I5 e la corrente di un latodell’albero, quindi puo essere espressa mediante combinazione delle correnti dimaglia

I5 = I3 − I6 (5.73)

Per quanto riguarda V4, occorre prima esprimere la corrente del lato 4 in funzionedelle correnti di maglia

I4 = I1 + I6 (5.74)

e quindi fare uso dell’equazione del lato 4

V4 = R4(I1 + I6) (5.75)

Infine, inserendo le espressioni di V4 e I5 nel sistema (5.72) si ottiene

(R1 +R2 +R4 − µR4)I1 +R2I3 + (R4 − µR4)I6 = VG2

R2I1 + (R2 +R3 +R5)I3 −R5I6 = VG2 + VG3

R4I1 − (R5 + r6)I3 + (R4 +R5 +R6 + r6)I6 = 0

(5.76)

Sostituendo i valori dei parametri si ha

5I1 + I3 + 2I6 = 24

I1 + 7I3 − 4I6 = 30

4I1 − 10I3 + 19I6 = 0

(5.77)


I1 = 3 A

I3 = 5 A

I6 = 2 A

(5.78)

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Note le correnti di maglia e possibile esprimere le altre correnti mediante lerelazioni

I2 = I1 + I3 = 8 A

I4 = I1 + I6 = 5 A

I5 = I3 − I6 = 3 A

(5.79)

Infine, note le correnti del lati, le tensioni possono essere calcolate mediante leequazioni dei componenti

V2 = VG2 −R2I2 = −16 V

V3 = R3(I3 − IG3) = 4 V

V4 = R4I4 = 20 V

V5 = R5I5 = 12 V

V6 = R6I6 − r6I5 = −18 V

V1 = R1(I1 − g1V4) = −4 V

(5.80)

Risoluzione con il metodo dei tagli fondamentali In questo caso occorretrasformare i generatori di tensione in generatori di corrente come indicato in

R5

R6

g1V4

6I5

IG3IG2R1 R3R2

R4

V4

AB

C

D

I5


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A

D

CB

1 2 3

4

4

6

5

2

5


fig. 5.18. Per il generatore indipendente la corrente del generatore equivalente e

IG2 =VG2

R2

= 24 A (5.81)

Per il generatore dipendente il parametro di trasferimento del generatore equiva-lente e

α6 =r6R6

= 1.2 (5.82)

Si considera, come nella soluzione con il metodo delle maglie, l’albero formatodai lati 2, 4, e 5. I tagli fondamentali sono quelli evidenziati in fig. 5.19

Per scrivere il sistema risolvente, inizialmente si trattano i generatori dipen-denti come indipendenti

(G1 +G2 +G3)V2 +G1V4 +G3V5 = g1V4 − IG2 + IG3

G1V2 + (G1 +G4 +G6)V4 −G6V5 = g1V4 + α6I5

G3V2 −G6V4 + (G3 +G5 +G6)V5 = −α6I5 + IG3

(5.83)

Quindi si ricavano le espressioni delle variabili pilota in funzione delle tensioni ditaglio. In questo caso una delle variabili pilota, V4, coincide con una tensione ditaglio, mentre per I5 si ha

I5 = G5V5 (5.84)

Si sostituisce questa espressione nelle (5.83)

(G1 +G2 +G3)V2 + (G1 − g1)V4 +G3V5 = −IG2 + IG3

G1V2 + (G1 +G4 +G6 − g1)V4 − (G6 + α6G5)V5 = 0

G3V2 −G6V4 + (G3 +G5 +G6 + α6G5)V5 = IG3

(5.85)

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e si inseriscono i dati numerici

2V2 +1

4V4 +

1

2V5 = −21

1

2V2 +

7

10V4 − 1

2V5 = 0

−1

2V2 − 1

5V4 +

5

4V3 = 3

(5.86)


V2 = −16 V

V4 = 20 V

V5 = 12 V

(5.87)

Note le tensioni dei lati dell’albero, quelle dei lati di coalbero si ricavano dellerelazioni

V1 = −V2 − V4 = −4 V

V3 = −V2 − V5 = 4 V

V6 = V5 − V4 = −8 V

(5.88)

Infine, mediante le equazioni dei componenti si determinano le correnti dei lati.

I1 = G1V1 − g1V4 = 3 A

I2 = G2(V2 + VG2) = 8 A

I3 = G3V3 + IG3 = 5 A

I4 = G4V4 = 5 A

I5 = G5V5 = 3 A

I6 = G6(V6 + r6I5) = 2 A

(5.89)

Risoluzione con il metodo dei nodi Il metodo dei nodi, come il metodo dei taglifondamentali, richiede che tutti i generatori siano di corrente. Quindi anche inquesto caso occorre trasformare il circuito come indicato in fig. 5.18. La correnteIG2 e il coefficiente di trasferimento α6 sono dati, rispettivamente, dalla (5.81)e dalla (5.82). Se si sceglie come riferimento il nodo D, le incognite del sistemarisolvente sono le tensioni VA, VB e VC .

Si scrive il sistema delle equazioni di nodo trattando le correnti incognite deigeneratori indipendenti come quantita note

(G1 +G4 +G6)VA −G4VB −G6VC = −g1V4 − α6I5

−G4VA + (G2 +G4 +G5)VB −G5VC = IG2

−G6VA −G5VB + (G3 +G5 +G6)VC = α6I5 + IG3

(5.90)

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A

D

CB

1 2 3

4

6

5

Figura 5.20: Nodi

Quindi si ricavano le espressioni delle variabili pilota in funzione delle tensioni dinodo

V4 = VB − VA (5.91)

I5 = G5(VB − VC) (5.92)

Sostituendo queste espressioni nelle (5.90) si ottiene il sistema risolvente

(G1 +G4 +G6 − g1)VA − (G4 − g1 − α6G5)VB − (G6 + α6G5)VC = 0

−G4VA + (G2 +G4 +G5)VB −G5VC = IG2

−G6VA − (G5 + α6G5)VB + (G3 +G5 +G6 + α6G5)VC = IG3

(5.93)

Introducendo i valori dei parametri si ha

7

10VA − 3

10VB − 1

2VC = 0

−1

4VA +

3

2VB − 1

4VC = 24

−1

5VA − 11

20VB +

5

4VC = −3

(5.94)


VA = −4 V

VB = 16 V

VC = 4 V

(5.95)

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Note le tensioni di nodo, le tensioni dei lati si ricavano mediante le relazioni

V1 = VA = −4 V

V2 = −VB = −16 V

V3 = VC = 4 V

V4 = VB − VA = 20 V

V5 = VB − VC = 12 V

V6 = VA − VC = −8 V

(5.96)

Infine le correnti si determinano, come nella soluzione con il metodo dei tagli, permezzo delle (5.89).

Risoluzione con il metodo degli anelli In questo caso occorre trasformare igeneratori di corrente come si e visto nella soluzione con il metodo delle magliefondamentali (fig. 5.16). I valori di VG3 e µ1 sono quelli forniti dalle (5.70) e(5.72). Se il grafo del circuito viene disegnato come in fig. 5.21 gli anelli internisono quelli indicati con 1, 2, e 3, e le incognite del sistema risolvente sono lecorrenti I1, I2 e I3.

Si scrivono le equazioni del sistema risolvente trattando le correnti dei gene-ratori dipendenti come quantita note.

(R1 +R2 +R4)I1 −R2I2 −R4I3 = −VG2 − µ1V4

−R2I1 + (R2 +R3 +R5)I2 −R5I3 = VG2 + VG3

−R4I1 −R5I2 + (R4 +R5 +R6)I3 = r6I5

(5.97)

Quindi si ricavano le espressioni delle variabili pilota in funzione delle correnti di

A

D

CB

1 2 3

4

6

5

1 2

3

Figura 5.21: Anelli

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anello

V4 = R4(I3 − I1) (5.98)

I5 = I2 − I3 (5.99)

e si sostituiscono queste espressioni nelle (5.97)

(R1 +R2 +R4 − µ1R4)I1 −R2I2 − (R4 − µ1R4)I3 = −VG2

−R2I1 + (R2 +R3 +R5)I2 −R5I3 = VG2 + VG3

−R4I1 − (R5 + r6)I2 + (R4 +R5 +R6 + r6)I3 = 0

(5.100)

quindi, inserendo i valori dei componenti, si ottiene

5I1 − I2 − 2I3 = −24

−I1 + 7I2 − 4I3 = 30

−4I1 − 10I2 + 19I3 = 0

(5.101)


I1 = −3 A

I2 = 5 A

I3 = 2 A

(5.102)

A questo punto, note le correnti di anello, si possono calcolare le correnti di lato.

I1 = −I1 = 3 A

I2 = I2 − I1 = 8 A

I3 = −I2 = 5 A

I4 = I3 − I1 = 5 A

I5 = I2 − I3 = 3 A

I6 = I3 = 2 A

(5.103)

Infine le tensioni dei lati possono essere calcolate, come nella soluzione con ilmetodo delle maglie, mediante le (5.80).

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Esempio 5.3 Risolvere il circuito di fig. 5.22.

R3

VG5

VG1

IG6

IG2

R4

AB

C

D

VG1 = 10 V IG2 = 4 A R3 = 2 Ω R4 = 2 Ω VG5 = 12 V IG6 = 3 A


Risoluzione con il metodo delle maglie modificato Si sceglie un albero chenon contenga generatori di corrente, come, ad esempio, quello formato dai lati3, 4 e 5. Le maglie fondamentali sono quelle associate ai lati 1, 2 e 6, come eindicato in fig. 5.23.

Si sostituiscono i generatori di corrente IG2 e IG6 con due generatori di tensioneV2 e V6, quindi si scrivono le equazioni delle maglie fondamentali, trattando le

A

D

CB

4 5 6

2

1

31

62


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tensioni V2 e V6 come quantita note

(R3 +R4)I1 −R4I2 +R3I6 = −VG1 − VG5

−R4I1 +R4I2 = VG5 − V2

R3I1 +R3I6 = VG5 + V6

(5.104)

Con questa scelta delle maglie fondamentali, due delle correnti di maglia coin-cidono con le correnti dei generatori IG2 e IG6 e quindi sono quantita note

I2 = IG2

I6 = IG6

(5.105)

Si sostituiscono i valori delle correnti di maglia note nelle (5.104). In questomodo il sistema risolvente si riduce ad una sola equazione, dalla quale si ottienela corrente di maglia incognita I1

I1 =R4IG2 −R3IG6 − VG1 − VG5

R3 +R4

= 5 A (5.106)

Note tutte le correnti di maglia, la seconda e la terza equazione del sistema (5.104)possono essere utilizzate per calcolare le tensioni dei generatori di corrente.

V2 = R4I1 −R4IG2 + VG5 = −6 V

V6 = −R3I1 −R3IG6 − VG5 = −8 V(5.107)

Per completare la risoluzione del circuito si calcolano le correnti dei lati dell’alberomediante combinazione delle correnti di maglia

I3 = −IG6 − I1 = 2 A

I4 = −I1 + IG2 = 9 A

I5 = I1 − IG2 + IG6 = −6 A

(5.108)

e infine si calcolano le tensioni mancanti mediante le equazioni dei componenti.

V3 = R3I3 = 4 V

V4 = R4I4 = 18 V(5.109)

Risoluzione con il metodo dei tagli modificato Si sceglie un albero che con-tiene tutti i generatori di tensione, come, ad esempio, quello formato dai lati 1,3 e 5. I tagli fondamentali sono quelli evidenziati in fig. 5.24.

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A

D

C

B

4 5 6

2

1

3

5 3

1


Si sostituiscono i generatori di tensione VG1 e VG5 con due generatori di cor-rente I1 e I5, quindi si scrivono le equazioni dei tagli fondamentali trattando I1 eI5 come quantita note

G4V1 −G4V3 +G4V5 = −I1 + IG2

−G4V1 + (G3 +G4)V3 −G4V5 = IG2 − IG6

G4V1 −G4V3 +G4V5 = −I5 + IG6

(5.110)

Con questa scelta dei tagli fondamentali, due delle tensioni di taglio coincidonocon le tensioni dei generatori VG1 e VG5 e quindi sono quantita note

V1 = VG1

V5 = VG5

(5.111)

Si sostituiscono le tensioni note nelle (5.110). In questo modo il sistema risolventedi riduce ad una sola equazione, dalla quale si ricava l’ultima tensione di taglioincognita, cioe V3

V3 =G4VG1 +G4VG5 − IG2 − IG6

G3 +G4

= 4 V (5.112)

Note le tensioni di taglio, mediante le altre equazioni del sistema (5.110) sipossono calcolare le correnti dei generatori di tensione

I1 = IG2 −G4(VG1 − V3 + VG5) = −5 A

I5 = IG6 −G4(VG1 − V3 + VG5) = −6 A(5.113)

Quindi si completa la risoluzione del circuito calcolando le tensioni dei lati del

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coalbero come combinazione delle tensioni di taglio

V2 = −VG1 + V3 = −6 V

V4 = VG1 − V3 + VG5 = 18 V

V6 = V3 − VG5 = −8 V

(5.114)

e, infine, le correnti mancanti mediante le equazioni dei componenti

I3 = G3V3 = 2 A

I4 = G4V4 = 9 A(5.115)

Risoluzione con il metodo dei nodi modificato Si sceglie come nodo di riferi-mento, ad esempio, il nodo D. Quindi si sostituiscono i generatori VG1 e VG5 condue generatori di corrente I1 e I5, e si scrivono le equazioni dei nodi A, B e Ctrattando I1 e I5, che rappresentano le variabili ausiliarie, come quantita note.

G4VA = IG2 − I1G3VB −G3VC = −IG2 − I5

−G3VB +G3VC = IG6 + I1

(5.116)

Quindi si scrivono le equazioni ausiliarie, esprimendo le tensioni dei generatori infunzione delle tensioni di nodo.

VB = VG5

VA − VC = VG1

(5.117)

Dato che una delle tensioni di nodo coincide con la tensione di un generatoredi tensione, si puo ridurre il sistema risolvente costituito dalle (5.116) e (5.117).

A

D

CB

4 5 6

2

1

3

Figura 5.25: Nodi

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Quindi si eliminano le due equazioni che contengono variabili relative al lato 5,cioe la seconda delle (5.126) e la prima delle (5.117) e si sostituisce in tutte leequazioni VB con VG5. In questo modo si ottiene il sistema

G4VA + I1 = IG2

G3VC − I1 = IG6 +G3VG5

VA − VC = VG1

(5.118)

cioe, inserendo i valori dei componenti

1

2VA + I1 = 4

1

2VC − I1 = 9

VA − VC = 10

(5.119)


VA = 18 V

VC = 8 V

I1 = −5 A

(5.120)

A questo punto si puo utilizzare la seconda delle (5.120) per calcolare la variabileausiliaria I5

I5 = −IG2 −G3VG5 +G3VC = −6 A (5.121)

Quindi, dato che tutte le tensioni di nodo sono note, si possono calcolare letensioni dei lati

V2 = VB − VA = VG5 − VA = −8 V

V3 = VB − VC = VG5 − VC = 4 V

V4 = VA = 18 V

V6 = −VC = −8 V

(5.122)

Infine si calcolano le correnti mancanti mediante le equazioni dei componenti

I3 = G3V3 = 2 A

I4 = G4V4 = 9 A(5.123)

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Risoluzione con il metodo degli anelli modificato Si considerano gli anelliindicati i fig. 5.26 e si sostituiscono i generatori IG2 e IG6 con due generatori ditensione V2 e V6. Quindi si scrivono le equazioni degli anelli trattando le tensioniV2 e V6, che rappresentano le variabili ausiliarie, come quantita note.

R3I1 −R3I3 = −VG1 − V2

R4I2 = −VG5 + V2

−R3I1 +R3I3 = VG5 + V6

(5.124)

Le equazioni ausiliarie si scrivono esprimendo le correnti dei generatori di correntein funzione delle correnti di anello.

I1 − I2 = IG2

I3 = −IG6

(5.125)

Dato che la corrente di anello I3 e uguale all’opposto della tensione del generatoreIG6, si puo ridurre il sistema formato dalle (5.124) e (5.125). Si eliminano leequazioni che contengono variabili relative al lato 6 e si sostituisce I3 con −IG6

nelle rimanenti equazioni. In questo modo si ottiene il sistema

R3I1 + V2 = −VG1 −R3IG6

R4I2 − V2 = −VG5

I1 − I2 = IG2

(5.126)

cioe, inserendo i dati numerici

2I1 + V2 = −16

2I2 − V2 = −12

I1 − I2 = 4

(5.127)

A

D

CB

4 5 6

2

1

3

2 3

1

Figura 5.26: Anelli

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I1 = −5 A

I2 = −9 A

V2 = −6 V

(5.128)

A questo punto si puo utilizzare la terza delle (5.124) per calcolare V6

V6 = VG5 +R3IG6 −R3I1 = −8 V (5.129)

Essendo note tutte le correnti di anello, si possono calcolare le correnti dei lati.

I1 = I1 = −5 A

I3 = I3 − I1 = −IG6 − I1 = 2 A

I4 = −I2 = 9 A

I5 = I2 − I3 = I2 + IG6 = −6 A

(5.130)

Infine si calcolano le tensioni mancanti mediante le equazioni dei componenti

V3 = R3I3 = 4 V

V4 = R4I4 = 18 V(5.131)

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Capitolo 6

Teoremi dei circuiti elettrici

6.1 Teorema di Tellegen

Si consideri un circuito con l lati e si assuma che v1, v2, . . . , vl e i1, i2, . . . , il siano,rispettivamente, un insieme di tensioni e un insieme di correnti tali da soddisfarei vincoli imposti dalle leggi di Kirchhoff1. Si assuma inoltre che i versi di questetensioni e correnti siano definiti secondo la convenzione normale per tutti i lati.In queste condizioni risulta

l∑k=1

vkik = 0 (6.1)

Dimostrazione Sia n il numero dei nodi del circuito considerato. Si fissi unnodo di riferimento, che sara indicato con il numero 0, e si indichi con vM (perM = 0, 1, . . . , n− 1) la tensione del M -esimo nodo rispetto al riferimento (quindiin particolare v0 = 0).

Dato che, per ipotesi, le tensioni v1, v2, . . . , vl soddisfano la LKV, la genericatensione vk puo essere espressa come differenza tra le tensioni dei nodi terminalidel lato k. Se si indicano con P e Q tali nodi e se il k-esimo lato e orientato daP verso Q, si ha quindi

vk = vP − vQ (6.2)

A questo punto, conviene introdurre il simbolo iPQ per indicare la corrente to-tale che fluisce dal generico nodo P al generico nodo Q attraverso i lati che hannotali nodi come estremi (come caso particolare, se non c’e nessun lato collegato ainodi P e Q risulta iPQ = 0).

1Si noti che non si fanno ipotesi sul fatto che tali tensioni e correnti soddisfino anche leequazioni dei componenti e quindi che rappresentino la soluzione del circuito.

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Se nel circuito non ci sono lati in parallelo, la corrente di un lato k avente inodi P e Q come estremi e orientato da P a Q puo essere espressa come

ik = iPQ = −iQP (6.3)

Quindi, mediante la (6.2) e la (6.3), il generico termine della sommatoria (6.1)puo essere posto nella forma

vkik = (vP − vQ)iPQ = (vQ − vP )iQP (6.4)

e di conseguenza, la (6.1) assume l’espressione

l∑k=1

vkik =1

2

n−1∑P=0

n−1∑Q=0

(vP − vQ)iPQ (6.5)

nella quale il coefficiente 1/2 deriva dal fatto che nella doppia sommatoria asecondo membro ogni coppia di nodi del grafo viene considerata due volte.

Se tra il nodo P e il nodo Q sono collegati piu lati in parallelo, il prodot-to (vP − vQ)iPQ rappresenta la somma dei prodotti vkik estesa a tutti i lati inparallelo, quindi la (6.5) e valida anche nel caso generale.

Il secondo membro della (6.5) puo essere suddiviso nel modo seguente

l∑k=1

vkik =1

2

n−1∑P=0

vP

(n−1∑Q=0

iPQ

)+

1

2

n−1∑Q=0

vQ

(n−1∑P=0

iQP

)(6.6)

In questa espressione il termine∑n−1

Q=0 iPQ rappresenta la somma delle correntiche escono dal nodo P attraverso i lati che lo collegano a tutti gli altri nodi delcircuito. Dato che, per ipotesi, le correnti dei lati soddisfano la LKI, tale sommae nulla. Per lo stesso motivo e nullo il termine

∑n−1P=0 iQP e quindi il secondo

membro della (6.6) e uguale a 0, come richiede l’enunciato del teorema.

Osservazioni

• Il teorema di Tellegen deriva unicamente dalle leggi di Kirchhoff, quindi evalido per circuiti formati da componenti di qualunque tipo.

• Il teorema richiede solo che i due insiemi di tensioni e correnti consideratisiano compatibili con i vincoli imposti dalle leggi di Kirchhoff, non che essirappresentino la soluzione del circuito. Si noti, in particolare, che se si con-siderano due circuiti formati da componenti diversi, ma collegati in modoche i rispettivi grafi siano uguali, la (6.1) vale anche se le vk rappresentanole tensioni di uno dei circuiti e le ik le correnti dell’altro.

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Teoremi dei circuiti elettrici 209

• Se le vk e le ik sono effettivamente la soluzione del circuito (cioe se soddisfanoanche le equazioni dei componenti), i prodotti vkik rappresentano le potenzeassorbite dai componenti stessi. Quindi il teorema di Tellegen mostra chela somma delle potenze assorbite complessivamente da tutti i componentidel circuito e nulla, come richiede il principio di conservazione dell’energia.

• In particolare, per un circuito che contiene generatori indipendenti, se siindica con KG l’insieme dei valori di k per i quali il lato k-esimo e ungeneratore indipendente, dalla (6.1) si ottiene

−∑

k∈KG

vkik =∑

k ∈KG

vkik (6.7)

Questa relazione mostra che la potenza totale erogata dai generatori in-dipendenti e uguale alla potenza complessivamente assorbita dagli altricomponenti.

6.2 Teoremi di non amplificazione

Si consideri un circuito con l lati e si indichino con v1, v2, . . . , vl e i1, i2, . . . , il letensioni e le correnti dei lati, che si suppongono orientate secondo la convenzionenormale. Si assuma che ad un certo istante t sia

vkik < 0 per k = h

vkik > 0 ∀ k = h(6.8)

cioe il prodotto sia negativo per uno solo dei lati (indicato con h) e positivo pertutti gli altri (si esclude che ci siano lati per i quali il prodotto e nullo).

6.2.1 Teorema di non amplificazione delle tensioni

Se sono verificate le (6.8) all’istante t, per ogni k risulta

|vh| ≥ |vk| (6.9)

cioe la tensione del lato h non e superata, in modulo, da quella di nessun altrolato.

Dimostrazione Si consideri un generico nodo P diverso da quelli a cui e collegatoil lato h e si indichi con vP la sua tensione rispetto ad un nodo di riferimento sceltoarbitrariamente. Si assuma, per semplicita, che i versi di riferimento di tutte lecorrenti dei lati collegati al nodo P siano diretti in senso uscente, come mostratoin fig. 6.1. In ogni caso e possibile ricondursi a questa situazione modificando iversi delle correnti e delle tensioni di alcuni lati2.

2Cio non altera il segno dei prodotti vkik e quindi rimangono verificate le (6.8).

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P

Q

O

MvQ

vP

vM

~

~

~

Figura 6.1: Teorema di non amplificazione delle tensioni

Per la LKI la somma delle correnti dei lati afferenti al nodo P deve esserenulla, quindi le correnti non possono essere tutte positive o tutte negative.

Se il nodo non e un terminale del lato h, dalle (6.8) deriva che anche letensioni non possono avere tutte lo stesso segno, ma almeno una di esse deveessere positiva e almeno una deve essere negativa. Di conseguenza, tra i nodicollegati al nodo P c’e almeno un nodo Q tale che vP > vQ e almeno un nodo Mtale che vP < vM . Quindi la tensione del nodo P non puo essere ne maggiore neminore di tutte le tensioni degli altri nodi a cui esso e collegato.

Pertanto la tensione di nodo maggiore e la tensione di nodo minore devonoessere quelle dei terminali di h e, di conseguenza, la tensione di lato maggiore (inmodulo) e quella di h.

6.2.2 Teorema di non amplificazione delle correnti

Se sono verificate le (6.8) all’istante t, per ogni k risulta

|ih| ≥ |ik| (6.10)

cioe la corrente del lato h non e superata, in modulo, da quella di nessun altrolato.

Dimostrazione Si consideri un lato j diverso da h e si indichino con P e Q isuoi terminali. Si indichino inoltre con vP e vQ le tensioni dei nodi P e Q rispettoad un nodo di riferimento (scelto arbitrariamente) e si assuma che sia vP > vQ.

A questo punto i nodi del circuito possono essere divisi in due gruppi, il primocomprendente i nodi la cui tensione e maggiore di vQ e il secondo contenente inodi con tensione minore o uguale a vQ.

Per il teorema di non amplificazione delle tensioni ciascuno dei gruppi di nodideve contenere uno dei terminali del lato h. L’insieme dei lati che collegano i due

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P RM

N SQ

v v> Q

~ ~

v v Q

~ ~

h kj

Figura 6.2: Teorema di non amplificazione delle correnti

gruppi di nodi e che comprende, quindi, almeno il lato e j il lato h definisce untaglio, che si assume di orientare come indicato in fig. 6.2. Modificando i versi diriferimento di alcuni lati e possibile fare i modo che i tutti i lati siano concordicon il taglio3.

Si indichino con v′k e i′k la tensione e la corrente, con il verso eventualmentemodificato, del generico lato del taglio. Per come sono stati definiti i due gruppidi nodi le tensioni v′k sono tutte positive.

Per i lati diversi dal lato h dalle condizioni (6.8) deriva che anche le correntii′k devono essere tutte positive. Si conclude quindi che valori di queste correntirappresentano i valori assoluti delle correnti con i versi originali, cioe che risulta

i′k = |ik| (6.11)

Per il lato h dalle condizioni (6.8) deriva che la corrente deve essere negativa.Quindi si ha

i′h = − |ih| (6.12)

A questo punto, applicando la LKI al taglio e tenendo conto delle (6.11) e (6.12)si ottiene∑

k

i′k = 0 ⇒ |ih| =∑k =h

|ik| (6.13)

in cui la prima sommatoria si intende estesa a tutti i lati del taglio e la secondaai lati del taglio diversi dal lato h.

Dalla (6.13) risulta evidente che il valore assoluto della corrente di ciascunlato del taglio, e quindi in particolare quella del lato j, non puo superare il valoreassoluto della corrente dal lato h. Data l’arbitrarieta della scelta del lato j, ciodimostra che la corrente di nessun lato puo superare, in modulo, quella del latoh e quindi e dimostrato l’enunciato del teorema.

3Cio non altera i segni dei prodotti, quindi le (6.8) restano valide.

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Osservazioni

• I teoremi di non amplificazione non contengono nessun’ipotesi sulla naturadei componenti, quindi sono validi per qualunque circuito (lineare o nonlineare, resistivo o dinamico).

• Nel caso di un circuito di bipoli, dato che ciascuno dei i prodotti vkik rappre-senta la potenza assorbita da un componente, i teoremi si possono enunciarenel modo seguente:

In un circuito di bipoli, se all’istante t uno solo dei bipoli erogapotenza mentre tutti gli altri la assorbono (e per nessun bipolola potenza assorbita e nulla), allora la tensione e la corrente delbipolo che eroga potenza non sono superate, in modulo, da quelledi nessun altro componente.

• Per un circuito formato da resistori (lineari o non lineari) strettamente pas-sivi e con un solo generatore i teoremi di non amplificazione consentono diaffermare che la corrente e la tensione massime in modulo devono esserequelle del generatore. Infatti le potenze assorbite dai resistori sono sem-pre tutte positive4. Dal teorema di Tellegen si ricava che la potenza delassorbita dal generatore deve essere negativa. Quindi il generatore e l’uni-co componente che eroga potenza e pertanto sono verificate le ipotesi deiteoremi di non amplificazione.

• In un circuito formato da un solo generatore e da componenti resistivi passi-vi, se sono presenti dei componenti multiporta, le ipotesi dei teoremi di nonamplificazione non sono necessariamente verificate. Infatti per un N -portel’ipotesi di passivita non implica che il prodotto vkik sia nullo per tutte leporte, ma solo che sia nulla la sommatoria dei prodotti estesa a tutte leporte del componente.

• In un circuito dinamico formato da componenti passivi e con un solo gene-ratore, il generatore non e l’unico componente in grado di erogare potenza.Quindi, in generale, per un circuito di questo tipo non e detto che sianoverificate le ipotesi dei teoremi di non amplificazione e pertanto non si puoaffermare che la corrente e la tensione massime in modulo devono esserequelle del generatore.

4A meno che la tensione e la corrente del resistore non siano entrambe nulle, ma in questocaso il resistore puo essere rimosso senza che cio alteri il comportamento del circuito.

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6.3 Teorema di sostituzione

Si consideri un circuito con l lati dotato di un’unica soluzione, che sara indicatacon

vk = vk ik = ık per k = 1, 2, . . . , l (6.14)

Si consideri inoltre un lato j che non sia accoppiato con altri lati, cioe che siacostituito da un bipolo.

• Se il circuito che si ottiene sostituendo il lato j con un generatore indipen-dente di tensione vj ammette un’unica soluzione, tale soluzione coincide conquella del circuito dato.

• Se il circuito che si ottiene sostituendo il lato j con un generatore indipen-dente di corrente ıj ammette un’unica soluzione, tale soluzione coincide conquella del circuito dato.

Dimostrazione Si considera il caso in cui il lato j e sostituito con un generatoredi tensione. Il circuito originale e il circuito modificato hanno le stesse equazionidei collegamenti, quindi le tensioni vk e le correnti ık soddisfano le equazioni deicollegamenti anche per il circuito modificato. Tutte le equazioni dei componentidiversi dal bipolo j sono uguali per il circuito originale e per il circuito modificato.D’altra parte il generatore che sostituisce il bipolo j impone una tensione ugualea vj mentre un qualunque andamento della corrente, e quindi in particolare ıj,e compatibile con la sua relazione costitutiva. Quindi le tensioni e le correntisoddisfano anche le equazioni dei componenti del circuito modificato. Poiche,per ipotesi, tale circuito ammette un’unica soluzione, queste tensioni e correntirappresentano anche la soluzione del circuito modificato.

In modo analogo si dimostra la validita del teorema nel caso in cui il lato j esostituito da un generatore di corrente ıj.

Osservazioni

• Il teorema e valido per circuiti formati da componenti di qualunque tipo,purche dotati di soluzione unica.

Figura 6.3: Caso in cui il teorema di sostituzione non puo essere applicato

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• E importante specificare che il circuito deve avere soluzione unica anchedopo la sostituzione del lato j con un generatore. Infatti l’introduzione diun generatore indipendente in alcuni casi potrebbe dar luogo ad un circuitoindeterminato, come illustrato nell’esempio di fig. 6.3.

6.4 Teoremi dei circuiti lineari resistivi

In questo paragrafo saranno presentati alcuni teoremi, validi in generale per icircuiti lineari, limitandosi a considerare la loro versione relativa ai circuiti resi-stivi. L’estensione di questi teoremi ai circuiti dinamici sara trattata in capitolisuccessivi.

6.4.1 Teorema di sovrapposizione(Principio di sovrapposizione degli effetti)

Si consideri un circuito lineare resistivo, cioe un circuito formato da componentilineari privi di memoria e generatori indipendenti. La tensione e la corrente delj-esimo lato del circuito sono legate alle tensioni e alle correnti dei generatoriindipendenti da relazioni del tipo

vj =

NV∑k=1

αjkvGk +

NI∑k=1

rjkiGk

ij =

NV∑k=1

gjkvGk +

NI∑k=1

βjkiGk

(6.15)

dove

• NV indica il numero di generatori indipendenti di tensione;

• NI indica il numero di generatori indipendenti di corrente;

• le vGk (con k = 1, 2, . . . , NV ) sono le tensioni dei generatori indipendenti ditensione;

• le iGk (con k = 1, 2, . . . , NI) sono le correnti dei generatori indipendenti dicorrente;

• il generico coefficiente αjk (adimensionale) rappresenta il rapporto tra latensione del lato j e la tensione del generatore vGk quando tutti gli altrigeneratori sono azzerati

αjk =vj

vGk

∣∣∣∣vGh=0 ∀ h=kiGl=0 ∀ l

(6.16)

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• il generico coefficiente rjk (che ha le dimensioni di una resistenza) rappre-senta il rapporto tra la tensione del lato j e la corrente del generatore iGk

quando tutti gli altri generatori sono azzerati

rjk =vj

iGk

∣∣∣∣vGh=0 ∀ hiGl=0 ∀ l =k

(6.17)

• il generico coefficiente gjk (che ha le dimensioni di una conduttanza) rap-presenta il rapporto tra la corrente del lato j e la tensione del generatorevGk quando tutti gli altri generatori sono azzerati

gjk =ijvGk

∣∣∣∣vGh=0 ∀ h=kiGl=0 ∀ l

(6.18)

• il generico coefficiente βjk (adimensionale) rappresenta il rapporto tra latensione del lato j e la corrente del generatore iGk quando tutti gli altrigeneratori sono azzerati

βjk =ijiGk

∣∣∣∣vGh=0 ∀ hiGl=0 ∀ l =k

(6.19)

Dimostrazione La dimostrazione del teorema di sovrapposizione e immediatase si osserva che per un circuito lineare resistivo le tensioni e le correnti dei laticostituiscono la soluzione di un sistema di equazioni lineari algebriche, formatodalle equazioni dei collegamenti e dalle equazioni dei componenti, nel quale itermini noti diversi da zero sono rappresentati dalle tensioni e correnti impostedai generatori indipendenti. Infatti le equazioni dei collegamenti sono omogenee,cosı come sono omogenee le equazioni di tutti i componenti diversi dai generatoriindipendenti.

Di conseguenza le (6.15) derivano dal fatto che per un generico sistema diequazioni lineari algebriche gli elementi del vettore delle soluzioni sono combi-nazioni lineari degli elementi del vettore dei termini noti (cioe il vettore dellesoluzioni e una funzione lineare del vettore dei termini noti).

Osservazioni

• Le (6.15) mettono in evidenza che le tensioni o le correnti di un circuito li-neare resistivo possono essere espresse come somma delle tensioni o correntiche si hanno nel circuito stesso facendo agire singolarmente i generatori (valea dire come sovrapposizione degli effetti prodotti dai singoli generatori).

• Si noti che azzerare un generatore di tensione significa sostituirlo con uncortocircuito, mentre azzerare un generatore di corrente significa sostituirlocon un circuito aperto.

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• L’azzeramento dei generatori in alcuni casi puo semplificare la strutturadel circuito e quindi rendere applicabili metodi di soluzione basati sulleequivalenze illustrate nei paragrafi precedenti.

• Per circuiti contenenti generatori variabili nel tempo puo essere convenientedeterminare i parametri (6.16)–(6.19) facendo agire, a seconda del caso, unsolo generatore di tensione o di corrente di valore unitario.

Noti tali parametri, gli andamenti nel tempo delle tensioni e delle cor-renti possono essere determinati combinando come indicato dalle (6.15) leespressioni delle tensioni e delle correnti dei generatori.

• Il principio di sovrapposizione degli effetti non vale per le potenze, dato chequeste non sono legate da relazioni lineari alle tensioni e correnti.

6.4.2 Coefficienti di rete

I coefficienti αjk, rjk, gjk, e βjk introdotti nel paragrafo precedente sono indicaticon il nome di coefficienti di rete. I loro valori dipendono dai coefficienti mol-tiplicativi delle incognite nelle equazioni del circuito, pertanto dipendono dallastruttura di collegamenti e dai parametri dei componenti diversi dai generatoriindipendenti.

DI conseguenza i coefficienti sono una proprieta del circuito che si ottieneazzerando nel circuito dato tutti i generatori indipendenti, cioe della cosiddettarete inerte associata al circuito dato.

E possibile fornire una definizione piu generale dei coefficienti di rete, a talfine occorre premettere alcune considerazioni.

In primo luogo si puo osservare che tutti i circuiti associati alla stessa reteinerte possono essere ottenuti inserendo generatori di tensione e di corrente nellarete inerte stessa nel modo indicato in fig. 6.45

• ciascun generatore di tensione viene inserito in serie ad un lato, quindi perintrodurlo nella rete occorre tagliare il lato stesso;

• ciascun generatore di corrente viene inserito in parallelo ad un lato.

Si puo notare, infatti, che l’azzeramento dei generatori introdotti in questo modoriporta la rete nella configurazione iniziale iniziale.

In particolare, con questo procedimento, a partire da una rete inerte con llati si possono ottenere l circuiti contenenti un solo generatore di tensione e lcircuiti contenenti un solo generatore di corrente. Se la rete inerte e formata da

5Nella fig. 6.4 e rappresentato il caso in cui il lato in cui viene inserito un generatore coincidecon un bipolo, il discorso comunque resta valido se, piu in generale, il lato costituisce una delleporte di un componente N -porte.

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ik ik

iGk vkvk

vGk

a) b)

Figura 6.4: Inserimento dei generatori

componenti lineari, in ciascuno di questi circuiti tutte le tensioni e le correntirisultano proporzionali alla tensione o alla corrente impressa del generatore.

In particolare, se si considera il caso in cui e presente un solo generatore ditensione vGk nel lato k, le tensioni e le correnti dei lati possono essere espressenella forma

vj = αjkvGk (6.20)

ij = gjkvGk (6.21)

con k, j = 1, 2, . . . , l.In modo analogo, se si considera il caso in cui e presente un solo generatore

di corrente iGk nel lato k, le tensioni e le correnti possono essere espresse nellaforma

vj = rjkiGk (6.22)

ij = βjkiGk (6.23)

con k, j = 1, 2, . . . , l.Quindi e possibile generalizzare le definizioni introdotte nel paragrafo prece-

dente e associare i quattro tipi di coefficienti di rete a ciascuna coppia di lati delcircuito.

I coefficienti gkk e rkk che mettono in relazione la tensione e la corrente aiterminali del generatore inserito nel lato k sono chiamati anche coefficienti diingresso.

Se i versi di riferimento sono scelti come indicato in fig. 6.4 si puo riconoscereche gkk e rkk rappresentano rispettivamente la conduttanza equivalente del bipolovisto dal generatore iGk e la resistenza equivalente del bipolo visto dal generatorevGk (fig. 6.5). Per questo tali coefficienti sono indicati anche con i nome diconduttanza di ingresso e resistenza di ingresso.

Si noti che in generale risulta rkk = 1/gkk, dato che i terminali a cui i taliparametri si riferiscono non sono gli stessi e quindi i due bipoli di fig. 6.5a efig. 6.5b sono diversi.

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iGkvGk vk

ikrkkgkk

a) b)

Figura 6.5: Definizione operativa dei coefficienti di ingresso

Gli altri coefficienti mettono in relazione tensioni e correnti relative a terminalidiversi, quindi sono chiamati coefficienti di trasferimento. E possibile interpreta-re tali coefficienti come i parametri di trasferimento di un doppio bipolo, comeindicato in fig. 6.6. Nei quattro casi rappresentati la prima porta ha i termi-nali coincidenti con quelli del generatore. La seconda porta nei casi a) e b) eintrodotta collegando due terminali agli estremi del lato j, mentre nei casi c) ed) e introdotta tagliando il lato j. Per i coefficienti di trasferimento si usano leseguenti denominazioni, coerenti con quelle introdotte per i parametri dei doppibipoli

• αjk: rapporto di trasferimento di tensione o guadagno di tensione dal latoj a lato k;

• rjk: resistenza mutua o resistenza di trasferimento dal lato j a lato k;

• gjk: conduttanza mutua o conduttanza di trasferimento dal lato j a lato k;

• βjk: rapporto di trasferimento di corrente o guadagno di corrente dal latoj a lato k.

Facendo uso della definizione dei coefficienti di rete data in questo paragrafo,le (6.15) possono essere riscritte nella forma generalizzata

vj =l∑

k=1

αjkvGk +l∑

k=1

rjkiGk

ij =l∑

k=1

gjkvGk +l∑

k=1

βjkiGk

(6.24)

nella quale il limite superiore delle sommatorie e rappresentato dal numero dilati l del circuito. Tali relazioni forniscono un’espressione delle tensioni e dellecorrenti dei lati valida per tutti i circuiti associati alla stessa rete inerte.

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a)

c)

d)

b)

vGk

vGk

vjjk

ijgjk

iGk ijjk

iGk vjrjk

Figura 6.6: Definizione operativa dei coefficienti di trasferimento

6.4.3 Teorema di reciprocita

6.4.3.1 Reti reciproche

Si consideri una rete inerte lineare con l lati nella quale sono inseriti, secondoil procedimento indicato al paragrafo precedente, un certo numero di genera-tori indipendenti di tensione di corrente. Dopo l’inserimento dei generatori laconfigurazione di ciascun lato dalla rete puo essere rappresentata come un casoparticolare di quella indicata in fig. 6.7. In particolare se il lato k con contie-ne un generatore di tensione risulta vGk = 0, mentre se il lato non contiene ungeneratore di corrente risulta iGk = 0.

Per le tensioni e le correnti dei lati valgono le relazioni

vk = vk0 − vGk (6.25)

ik = ik0 − iGk (6.26)

dove con vk0 e ik0 sono indicate la tensione e la corrente dal bipolo (o piu ingenerale della porta) a cui corrisponde il lato della rete inerte.

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ik

ik0

iGk

vk0vk

vGk

Figura 6.7: Rappresentazione generalizzata di un lato del circuito

La corrente erogata dal generatore di tensione coincide con ik0, mentre latensione ai terminali del generatore di corrente coincide con la tensione di latovk.

Si considerino ora due condizioni di funzionamento della rete corrispondentiall’inserimento di due insiemi di generatori v′Gk, i

′Gk e v′′Gk, i

′′Gk, con k = 1, 2, . . . l.

Si dice che la rete e reciproca se per qualunque scelta dei generatori, le tensionie le correnti ai terminali dei generatori stessi soddisfano la condizione

l∑k=1

(v′Gki′′k0 + v

′ki

′′Gk) =

l∑k=1

(v′′Gki′k0 + v

′′ki

′Gk) (6.27)

Le conseguenze dalla reciprocita sui coefficienti di rete possono essere messein evidenza considerando condizioni di funzionamento nelle quali agisce un sologeneratore.

• Se si considera una prima condizione in cui agisce solo un generatore dicorrente i′Gi nel lato i, ed una seconda condizione in cui agisce solo ungeneratore i′′Gj nel lato j, dalla (6.27) si ottiene

v′ji′′Gj = v′′i i

′Gi (6.28)

Dato che in queste condizioni si ha

v′j = rjii′Gi (6.29)

v′′i = riji′′Gj (6.30)

le resistenze di trasferimento devono soddisfare la condizione

rij = rji (6.31)

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• In modo analogo, se si considera una prima condizione in cui agisce soloun generatore di corrente v′Gi nel lato i, ed una seconda condizione in cuiagisce solo un generatore v′′Gj nel lato j, dalla (6.27) si ottiene

v′Gii′′i = v′′Gji

′j (6.32)

Nella (6.32) si e tenuto conto del fatto che, in assenza di generatori dicorrente, le correnti i′j0 e i′′i0 coincidono, rispettivamente con i′j e i′′i . Poichevalgono le relazioni

i′j = gjiv′Gi (6.33)

i′′i = gijv′′Gj (6.34)

in questo caso si ricava che le conduttanze di trasferimento devono soddi-sfare la condizione

gji = gij (6.35)

• Infine, considerando una prima condizione in cui agisce solo un generatoredi tensione v′Gi nel lato i, ed una seconda condizione in cui agisce solo ungeneratore di corrente i′′Gj nel lato j, dalla (6.27) si ottiene

v′Gii′′i + v

′ji

′′Gj = 0 (6.36)

Quindi, tenendo conto delle relazioni

v′j = αjiv′Gi (6.37)

i′′i = βiji′′Gj (6.38)

si ricava che i coefficienti di trasferimento αji e βij devono soddisfare lacondizione

αji = −βij (6.39)

6.4.3.2 Teorema di reciprocita

Una rete formata da resistori e N -porte resistivi reciproci e reciproca.

Dimostrazione Si considerino le due condizioni di funzionamento della rete nellequali agiscono, rispettivamente, i generatori v′Gk, i

′Gk e v′′Gk, i

′′Gk, con k = 1, 2, . . . l,

dove l indica, al solito, il numero di lati della rete.Dato che le tensioni dei lati v′k relative alla prima condizione di funzionamen-

to soddisfano la LKV, le correnti dei lati i′′k relative alla seconda condizione difunzionamento soddisfano la LKI, dal teorema di Tellegen discende che

l∑k=1

v′ki′′k = 0 (6.40)

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Da questa relazione, tenendo conto della (6.26) si ricava

l∑k=1

(v′ki′′k0 − v′ki

′′Gk) = 0 (6.41)

Infine sostituendo a v′k nel primo addendo la sua espressione fornita dalla (6.25)si ottiene

l∑k=1

v′k0i′′k0 =

l∑k=1

(v′Gki′′k0 + v

′ki

′′Gk) (6.42)

Considerando le tensioni v′′k e le correnti i′k, con un procedimento analogo siottiene

l∑k=1

v′′k0i′k0 =

l∑k=1

(v′′Gki′k0 + v

′′ki

′Gk) (6.43)

Se i componenti della rete inerte sono resistori lineari e N -porte reciproci, lesommatorie a primo membro nelle (6.42) e (6.43) sono uguali. Infatti se il lato ke un resistore si ha

v′k0 = Rki′k0

v′′k0 = Rki′′k0

(6.44)

e di conseguenza risulta

v′k0i′′k0 = Rki

′k0i

′′k0 = v′′k0i

′k0 (6.45)

mentre nel caso di un N -porte reciproco, la somma estesa a tutti i lati appar-tenenti all’N -porte dei prodotti v′k0i

′′k0 deve essere uguale (per definizione) alla

somma estesa agli stessi lati dei prodotti v′′k0i′k0.

Quindi devono essere uguali i secondi membri delle (6.42), e (6.43), cioe deveessere soddisfatta la relazione (6.27). Cio dimostra che la rete e reciproca.

Osservazioni

• Il teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria. Infatti epossibile che una rete contenente componenti non reciproci sia reciproca.

• La proprieta espressa dalla (6.35) puo essere enunciata anche nel modoseguente: e possibile scambiare le posizioni di un generatore di tensionee di un amperometro inseriti in una rete reciproca senza che l’indicazionedell’amperometro cambi.

• Analogamente, la proprieta espressa dalla (6.31) puo essere enunciata affer-mando che: e possibile scambiare le posizioni di un generatore di correntee di un voltmetro inseriti in una rete reciproca senza che l’indicazione delvoltmetro cambi.

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6.4.4 Teoremi di Thevenin e Norton

6.4.4.1 Teorema di Thevenin

Si consideri un bipolo A-B costituito dal collegamento di componenti lineari re-sistivi e generatori indipendenti. Se il bipolo A-B ha struttura tale da consentiredi fissare il valore della corrente ai suoi terminali, cioe se il circuito che si ottienechiudendo i terminali del bipolo su un generatore di corrente ammette una solu-zione unica, il bipolo A-B e equivalente a un bipolo formato da un generatore ditensione veq in serie con un resistore Req (fig. 6.8).

• La tensione veq e la tensione a vuoto del bipolo A-B.

• La resistenza Req e la resistenza equivalente (cioe il rapporto tra la tensionee la corrente ai terminali) di un bipolo ottenuto azzerando i generatoriindipendenti contenuti nel bipolo A-B.

Req

veq

vAB

iAB

A

B

Figura 6.8: Bipolo equivalente di Thevenin

6.4.4.2 Teorema di Norton

Si consideri un bipolo A-B costituito dal collegamento di componenti lineari re-sistivi e generatori indipendenti. Se il bipolo A-B ha struttura tale da consentiredi fissare il valore della tensione ai suoi terminali, cioe se il circuito che si ottienechiudendo i terminali del bipolo su un generatore di tensione ammette una solu-zione unica, il bipolo A-B e equivalente a un bipolo formato da un generatore dicorrente ieq in parallelo con un resistore avente conduttanza Geq (fig. 6.9).

Geqieq vAB

iAB

A

B

Figura 6.9: Bipolo equivalente di Norton

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ieq

A

B

Figura 6.10: Significato di ieq

• La corrente ieq e la corrente di cortocircuito del bipolo A-B definita secondola convenzione indicata in fig. 6.10.

• La conduttanza Geq e la conduttanza equivalente (cioe il rapporto tra la cor-rente e la tensione ai terminali) di un bipolo ottenuto azzerando i generatoriindipendenti contenuti nel bipolo A-B (quindi Geq = 1/Req).

6.4.4.3 Dimostrazioni

Dimostrazione del teorema di Thevenin Si deve mostrare che la caratteristicadel bipolo A-B coincide con quella del bipolo di fig. 6.8.

Poiche il bipolo, per ipotesi, e comandato in corrente, per determinare la suacaratteristica si puo collegare ai suoi terminali un generatore di corrente di valore

vAB

vAB vAB

iAB

iAB

iAB

iAB 0iAB

A

A A

B

B B

Figura 6.11: Teorema di Thevenin

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generico iAB e ricavare l’espressione di vAB in funzione di iAB (fig. 6.11). Datoche il circuito di fig. 6.11 e lineare, si puo calcolare la tensione vAB usando lasovrapposizione degli effetti. La tensione vAB puo essere ottenuta come sommadi due contributi:

• la tensione v′AB che si ha quando agiscono i generatori indipendenti internial bipolo mentre il generatore di corrente iAB e azzerato;

• la tensione v′′AB che si ha quando agisce il generatore di corrente iAB mentrei generatori indipendenti interni sono azzerati.

Quindi il primo contributo rappresenta la tensione a vuoto del bipolo A-B ed euna funzione nota se sono noti i parametri dei componenti che formano il bipolostesso

v′AB = veq (6.46)

Il secondo contributo e proporzionale a iAB. La costante di proporzionalita ha ledimensioni di una resistenza e pertanto rappresenta la resistenza equivalente delbipolo A-B quando i generatori indipendenti interni sono azzerati

v′′AB = ReqiAB (6.47)

La relazione tra la tensione e la corrente ai terminali del bipolo A-B e quindi

vAB = veq +ReqiAB (6.48)

e coincide con quella del bipolo di fig. 6.8.

Dimostrazione del teorema di Norton Il teorema di Norton si puo dimostrarein modo analogo. In questo caso, per ipotesi, il bipolo e comandato in tensione,quindi per determinare la sua caratteristica si puo collegare ai suoi terminaliun generatore di tensione di valore generico vAB e ricavare l’espressione di iAB

in funzione di vAB (fig. 6.12). Applicando il principio di sovrapposizione deglieffetti, come nel caso del teorema di Thevenin, si ottiene

iAB = −ieq +GeqvAB (6.49)

dove ieq rappresenta la corrente di cortocircuito del bipolo A-B e Geq la condut-tanza equivalente del bipolo ottenuto azzerando i generatori indipendenti. La(6.49) coincide con la caratteristica del bipolo di fig. 6.9.

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vAB

vAB 0

vAB

vAB

vAB

iAB

iAB

ieq

iAB

A

A A

B

B B

Figura 6.12: Teorema di Norton

Osservazioni

• Un bipolo equivalente a un generatore di tensione ammette la rappresenta-zione equivalente di Thevenin (con Req = 0), ma non quella di Norton.

• Un bipolo equivalente a un generatore di corrente ammette la rappresenta-zione equivalente di Norton (con Geq = 0), ma non quella di Thevenin.

• E possibile che un bipolo non ammetta ne la rappresentazione equivalentedi Thevenin ne quella di Norton, un esempio e riportato in fig. 6.13.

• Se un bipolo non ammette la rappresentazione equivalente di Thevenin oquella di Norton, i circuiti per mezzo dei quali si calcolano i parametricorrispondenti risultano indeterminati o privi di soluzione.

i i vAB

iAB

A

B

Figura 6.13: Bipolo che non ammette i circuiti equivalenti di Thevenin e di Norton

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• Se un bipolo ammette sia la rappresentazione equivalente di Thevenin chequella di Norton, dato che queste devono essere equivalenti tra loro, risulta

veq = Reqieq (6.50)

• Per un bipolo che non contiene generatori indipendenti, i bipoli equivalentidi Thevenin e Norton, se esistono, sono costituiti da un solo resistore.

6.4.5 Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli

Si consideri un doppio bipolo formato dal collegamento di componenti resistivilineari e generatori indipendenti. Valgono le seguenti proposizioni, che costitui-scono una generalizzazione dei teoremi di Thevenin e Norton:

Rappresentazione comandata in corrente Se il doppio bipolo e comandato incorrente, cioe se il circuito che si ottiene collegando due generatori di correntearbitrari iG1 e iG2 alle sue porte ammette soluzione unica, il doppio bipolo equivalead un doppio bipolo resistivo caratterizzato dalla matrice di resistenza R condue generatori di tensione vG1 e vG2 collegati in serie alle porte, come indicato infig. 6.14.

• R coincide con la matrice di resistenza del doppio bipolo ottenuto azzerandotutti i generatori indipendenti presenti nel doppio bipolo dato;

• vG1 e vG2 coincidono con le tensioni a vuoto alle porte del bipolo dato.

vG1 vG2v1 v2

i2i1

R

Figura 6.14: Rappresentazione comandata in corrente

Rappresentazione comandata in tensione Se il doppio bipolo e comandato intensione, cioe se il circuito che si ottiene collegando due generatori di tensione ar-bitrari vG1 e vG2 alle sue porte ammette soluzione unica, il doppio bipolo equivalead un doppio bipolo resistivo caratterizzato dalla matrice di conduttanza G condue generatori di tensione iG1 e iG2 collegati in parallelo alle porte, come indicatoin fig. 6.15.

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v1 v2

i2i1

iG2iG1 G

Figura 6.15: Rappresentazione comandata in tensione

• G coincide con la matrice di conduttanza del doppio bipolo ottenuto azze-rando tutti i generatori indipendenti presenti nel doppio bipolo dato;

• iG1 e iG2 coincidono con le correnti di cortocircuito del doppio bipolo,valutate con le convenzioni indicate in fig. 6.16.

icc1 icc2

Figura 6.16: Significato delle correnti dei generatori nel circuito equivalente difig. 6.15

Rappresentazione ibrida Se il doppio bipolo consente di fissare la tensione allaporta 1 e la corrente alla porta 2, cioe se il circuito che si ottiene collegando duegeneratori arbitrari vG1 e iG2 alle sue porte ammette soluzione unica, il doppiobipolo equivale ad un doppio bipolo resistivo caratterizzato dalla matrice di con-duttanza H con due generatori di vG1 e iG2 collegati rispettivamente, in serie allaporta 1 e in parallelo alla porta 2, come indicato in fig. 6.17.

vG1v1 v2

i2i1

iG2H

Figura 6.17: Rappresentazione ibrida

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vca1 icc2

Figura 6.18: Significato della tensione vG1 e dalla corrente iG2 nel circuitoequivalente di fig. 6.17

• H coincide con la matrice di ibrida del doppio bipolo ottenuto azzerandotutti i generatori indipendenti presenti nel doppio bipolo dato;

• vG1 coincide con la tensione a vuoto alla porta 1 valutata nella condizionerappresentata in fig. 6.18;

• iG2 coincidono con la corrente di cortocircuito alla porta 2 valutata nellacondizione rappresentata in fig. 6.18.

Rappresentazione ibrida inversa Se il doppio bipolo consente di fissare la cor-rente alla porta 1 e la tensione alla porta 2, equivale ad un doppio bipolo resistivocaratterizzato dalla matrice ibrida inversa H ′ con due generatori di iG1 e vG2 col-legati rispettivamente, in parallelo alla porta 1 e in serie alla porta 2. Il significatodella matrice H ′ e dei generatori e analogo a quello illustrato nel caso precedente,a parte lo scambio dei ruoli delle due porte.

Traccia delle dimostrazioni I teoremi di rappresentazione dei doppi bipolopossono essere dimostrati facendo uso del teorema di sovrapposizione, in modoanalogo a quanto si e fatto per dimostrare i teoremi di Thevenin e Norton.

Ad esempio la validita della rappresentazione comandata in corrente puo es-sere dimostrata applicando il principio di sovrapposizione al circuito attenutocollegando due generatori di corrente alle porte del doppio bipolo, come indicatoschematicamente in fig. 6.19.

Osservazione Sono possibili ulteriori generalizzazioni dei teoremi di Thevenine Norton per gli N -porte costituiti da componenti lineari resistivi e generatoriindipendenti, in particolare un N -porte comandato in corrente, puo essere rap-presentato da circuito equivalente analogo a quello di fig. 6.14 e un N -portecomandato in tensione da un circuito equivalente analogo a quello di fig. 6.15.

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v1

v1

v1

i1 i2

v2

v2

v2 iG2

iG2

iG1

iG1

Figura 6.19: Derivazione della rappresentazione comandata in corrente

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Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica - 1 · 2019. 12. 19. · 2 Appunti delle Lezioni di Elettrotecnica 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 Figura1.1: Strutturadiuncircuitoelettrico