Appunti Definitivi Corso Elettrotecnica

7/30/2019 Appunti Definitivi Corso Elettrotecnica

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Elettrotecnica A

Appunti

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Politecnico di Milano

A.A. 2010/2011

Appunti del corso di

ELETTROTECNICA A

Prof. L. CodecasaA cura di

Gargano Eric

Macchi Matteo


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Elettrotecnica A

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1. Topologia circuitaleLElettrotecnica

LElettrotecnica una materia molto vasta. In particolare, noi ci occuperemo solo di una brancadellElettrotecnica, rappresentata dallo studio dei circuiti elettrici e della teoria che ne sta alla base.

I circuiti elettriciSignificato di circuito elettrico

Definiamo circuito elettrico un oggetto costruito dalluomo, il cui funzionamento basato su fenomeni dinatura elettromagnetica. In base a questa definizione, i circuiti elettrici possono avere dimensioni ecaratteristiche molto varie. Sono esempi di circuiti elettrici gli impianti di illuminazione, i personalcomputer, i telefoni cellulari, ma anche gli impianti di comunicazione transoceanici.Un circuito elettrico costituito dalla connessione di diversi componenti elettrici, che possono perciessere considerati delle parti di un circuito elettrico. I componenti elettrici sono dotati di terminali che ci

consentono di connettere componenti diversi. I terminali sono detti anche poli o morsetti.I modelli circuitaliA seguito della grande variet di possibili circuiti opportuno utilizzare dei modelli circuitali per la lororappresentazione. Un modello circuitale unastrazione di un circuito reale, ovvero una rappresentazioneastratta, simbolica, di un oggetto fisico (in particolare, un circuito elettrico).I modelli circuitali che adotteremo utilizzano particolari simboli per la rappresentazione dei componentielettrici del circuito stesso. Un componente elettrico rappresentato da una regione di spazio, dalla qualeescono dei terminali, i quali sono rappresentati tramite dei segmenti:

figura 1: modello di componente elettrico

Pi componenti elettrici sono connessi tra loro mediante dei nodi. Un nodo quindi rappresentato da unpallino che unisce i terminali di due o pi componenti, come in figura:

figura 2: modello di circuito elettrico

Naturalmente, come gi messo in evidenza, quelli appena introdotti sono solo dei modelli: nella realt ilfunzionamento del circuito governato da campi elettromagnetici pi o meno complessi. Allinterno delcircuito si avranno determinate grandezze fisiche, come la densit di corrente, il campo elettrico, e cos via: i

circuiti elettrici, naturalmente, rispettano i principi fisici dellelettromagnetismo.


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Esempio di circuito elettrico: la pila di Volta

Uno dei primi circuiti elettrici inventati fu la pila di Volta. Tale circuito era costituito da due componenti:1. La pila vera e propria, a sua volta costituita da dischi di rame sovrapposti a dischi di zinco e separati tra

loro tramite panni imbevuti di acqua salata, con due terminali agli estremi della pila.

figura 3: struttura della pila

2. Lo stesso Volta, il quale, toccando con una mano uno dei due terminali della pila e con laltra ilterminale restante, sentiva la scossa. I due terminali di questo componente erano dunquerappresentati dalle mani di una persona fisica, anche se pu apparire molto strano.

figura 4: la pila di Volta

Classificazione dei componenti elettriciI componenti elettrici sono classificati in base al numero dei terminali elettrici che essi possiedono.- Bipolo

Un bipolo un componente che possiede due terminali.- TripoloUn tripolo un componente che possiede tre terminali.

- QuadripoloUn quadripolo un componente che possiede quattro terminali.

- n-poloUn n-polo un componente che possiede n terminali.

Simboli dei componenti elettriciQuando abbiamo introdotto i modelli dei componenti elettrici abbiamo detto che essi sono rappresentaticome delle regioni di spazio. In realt per ogni specifico tipo di componente elettrico possiede un

simbolo diverso, che ci consente di distinguerlo da tutti gli altri. Le forme prima utilizzate (e che useremoancora in questa parte introduttiva) sono dei simboli usati per indicare generici componenti elettrici.A semplice scopo esemplificativo riportiamo alcuni simboli di componenti elettrici, che verranno in seguitoanalizzati nel dettaglio.

Figura 5: esempi di simboli di componenti

a) resistore; b) generatore di tensione; c) generatore di corrente; d) Mosfet; e) amplificatore operazionle


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Il voltmetro e lampermetroIl voltmetro e lampermetro sono particolari componenti, che consentono la rilevazione di grandezzeelettriche. Di seguito analizzeremo in dettaglio le loro caratteristiche e le relative regole di inserzione, ovverole regole da seguire per collegare in un circuito tali componenti. Se si sbagliano le regole di inserzione, ilfunzionamento del circuito risulta alterato.

Il voltmetroModello del componente

Il voltmetro comunemente rappresentato attraverso un disegno del tipo di quello sotto riportato:

Figura 6: simbolo del Voltmetro

Regola di inserzione

Linserimento del voltmetro allinterno di un circuito pu avvenire scegliendo arbitrariamente una coppia dinodi (ad esempio, A e B) e connettendo uno dei terminali del voltmetro ad uno dei due nodi (ad esempio,A), e il restante terminale al nodo rimanente (nel caso, B).

Figura 7: esempio di inserzione di un voltmetro in un circuito elettrico

Significato

Naturalmente possibile inserire il voltmetro allinterno di un circuito in moltissime maniere diverse, aseconda dei nodi che si scelgono. Inoltre, una volta fissata una coppia di nodi, possibile collegare ilvoltmetro in due diversi modi, a seconda del nodo al quale viene collegato il terminale con il segno +.Il voltmetro restituir un valore numerico, il quale rappresenta la tensione elettrica tra i due nodi collegati,espressa in u.m. del S.I. (il Volt, V).Si osserva inoltre che, siccome si tratta di strumenti ideali, linserimento di altri voltmetri allinterno delcircuito non altera la lettura degli altri strumenti di misura eventualmente introdotti.Rappresentazione semplificata

Al fine di semplificare la rappresentazione dellinserimento di un voltmetro nel circuito possibile utilizzare

una simbologia pi semplice e snella, equivalente a quella prima introdotta. infatti possibile rappresentarelinserimento del voltmetro anche solo attraverso una freccia:

Figura 8: rappresentazione semplificata dellinserzione di un voltmetro


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LampermetroModello del componente

Lampermetro comunemente rappresentato attraverso un disegno del tipo di quello sotto riportato:

Figura 9: simbolo del Voltmetro

Regola di inserzione

Per inserire un ampermetro allinterno di un circuito occorre seguire i seguenti passi fondamentali:1. Si sceglie un nodo del circuito (ad esempio, A).2. Si dividono in due gruppi i terminali che si incontrano nel nodo scelto e si lasciano collegati al nodo

selezionato tutti i terminali appartenenti ad uno dei due gruppi.3. Si introduce un nodo ausiliario (ad esempio A) al quale si collegano tutti i terminali del secondo

gruppo.

4.

Si collegano i terminali dellampermetro luno al nodo A, laltro al nodo A.

Figura 10: inserzione di un ampermetro in un circuito elettrico

Significato

Anche in questo caso possibile ripetere la procedura di inserimento dellampermetro in un circuito inmoltissimo modi diversi, a seconda del nodo scelto e del verso nel quale lampermetro viene inserito. Inogni caso, lampermetro restituisce un valore numerico, che indica una corrente elettrica. Lunit di misuradel valore letto sar lAmpre (A).Rappresentazione semplificata

Anche in questo caso possibile semplificare la rappresentazione dellinserimento di un ampermetroattraverso una freccia, che per viene disegnata sul terminale, nel modo seguente:

Figura 11: rappresentazione semplificata dellinserzione di un ampermetro


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Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL, o LKV)Enunciato

Sia dato un circuito elettrico. Si consideri una qualsiasi linea chiusa orientata che non entri mai neicomponenti del circuito e che sia costituita da linee che uniscono tra loro coppie di nodi. La somma algebricadelle tensioni lungo la linea sempre nulla.

Per somma algebrica si considera la somma delle tensioni, considerate con il segno positivo se misuratecon freccia concorde con lorientamento della linea , mentre sono considerate con segno negativo se hannoverso opposto.Esempi di applicazione

Consideriamo il circuito seguente e prendiamo la linea orientata indicata in colore verde in figura 12:

Figura 12: esempio di applicazione della KVL

Dallapplicazione della KVL possiamo dedurre le seguenti relazioni:V1 V3 + V4 = 0V1 + V2 + V4 = 0Dallesempio si deduce che la legge di Kirchhoff pu essere applicata pi volte, ottenendo moltissimerelazioni tra le tensioni di un circuito.Inoltre, applicando la legge di Kirchhoff ad un solo nodo (ad esempio, il nodo B), si ottiene che la tensionemisurata collegando allo stesso nodo entrambi i terminali del voltmetro nulla:V5 = 0Con riferimento allo stesso circuito appena analizzato, consideriamo ora la linea orientata indicata in rossonella figura 13:

Figura 13: esempio di applicazione della KVL

Dallapplicazione della KVL deduciamo la relazione:V2 + V3 = 0 V2 = V3Da questa applicazione possiamo ricavare una regola generale: se misuriamo due tensioni tra gli stessi nodima con frecce tra loro opposte, otteniamo due valori opposti.


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Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL, o LKC)Enunciato

Sia dato un circuito elettrico. Si consideri una qualsiasi superficie chiusa orientata che non tagli mai icomponenti del circuito. La somma algebrica delle correnti misurate nei terminali che tagliano il bordo dellasuperficie sempre nulla.

Per somma algebrica si intende che le correnti misurate con frecce che attraversano la superficie nel verso incui questultima orientata sono considerate con il segno positivo, mentre le altre sono considerate consegno negativo.Esempi di applicazione

Figura 14: esempio di applicazione della KCL

Consideriamo il circuito in figura 14 e prendiamo lasuperficie indicata in rosso.Dallapplicazione della KCL possiamo dedurre la seguenterelazione: I1 I6 I3 I5 = 0Analogamente possiamo applicare la KCL alla superficie ottenendo:

I6 I6'= 0 I6 = I6'Dallultimo esempio possiamo ricavare una regola generale: se misuriamo due correnti sullo stessoterminale, ma con frecce tra loro opposte, otteniamo due valori opposti.I potenziali di nodoPotenziali di nodo

Si fissi un nodo arbitrario tra quelli del circuito, che prende il nome di nodo di riferimento (nel caso sottorappresentato, il nodo D, rappresentato con il simbolo in figura 15).

Figura 15: simbolo del nodo di riferimento

Si introducono inoltre tutte le possibili tensioni tra un generico nodo del circuito (escluso quello diriferimento) ed il nodo di riferimento, che prendono il nome di potenziali di nodo.Equazioni di Kirchhoff mediante potenziali di nodo

Le equazioni di Kirchhoff mediante potenziali di nodosono un sottoinsieme delle KVL, che ci permette diesprimere qualunque tensione del circuito come differenzatra potenziali di nodo. Si osserva perci che esiste un set digrandezze elettriche che ci permette di determinare tutte lealtre.Inoltre tutte le relazioni tra tensioni previste dalle KVL

discendono dalle equazioni di Kirchhoff mediantepotenziali di nodo.Per dimostrare quanto detto, consideriamo il circuito infigura 16. Dalle KVL discendono:1) VAC = EA EC2) VCB = EC EB

3) VAB = EA EBFigura 16: esempio di scelta del nodo di riferimento e fissazione dei potenziali di nodo

Si consideri ora una KVL:

VAC

+ VCB

VAB

= 0Possiamo facilmente verificare che tale relazione pu anche essere ricavata dalla relazioni 1), 2) e 3),sommando membro a membro la 1) e la 2) e sottraendo la 3):VAC + VCB VAB = EA EC + EC EB (EA EB) = 0Allo stesso modo, ogni KVL discende dalle KVL mediante potenziali di nodo.


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KCL al nodo e al componenteIntroduzione

Nel paragrafo precedente abbiamo individuato un sottoinsieme di KVL dalle quali discendono tutte le altre.Vogliamo a questo punto fare una cosa analoga per le correnti. Per fare ci, ci occorrer introdurre dueparticolari tipologie di KCL: le KCL al nodo e al componente.

KCL al nodoPer ottenere una KCL ad un nodo occorre:1. Scegliere un nodo del circuito (ad esempio, il nodo A).2. Considerare una superficie orientata chiusa che contenga solo il nodo scelto. Per convenzione, si

sceglie solitamente di orientare la superficie verso lesterno.3. Scrivere la legge di Kirchhoff delle correnti relativa alla superficie considerata.Quella cos ottenuta la KCL al nodo A. Naturalmente, potremo scrivere tante KCL ai nodi quanti sono inodi del circuito in analisi.KCL al componente

Per ottenere una KCL ad un componente occorre:1. Scegliere un componente del circuito (ad esempio, il componente C4 in figura 17).

2.

Considerare una superficie orientata chiusa che contenga solo il componente scelto. Anche in questocaso, per convenzione, si sceglie solitamente di orientare la superficie verso lesterno.

3. Scrivere la legge di Kirchhoff delle correnti relativa alla superficie considerata.Abbiamo cos ottenuto la KCL al componente C4. Potremo ripetere questo procedimento per tutti icomponenti del circuito. Otterremo cos tante KCL ai componenti quanti sono i componenti del circuitoanalizzato.Importanza della KCL al nodo e al componente

Si osserva che se si scrivono tutte le KCL ai nodi e ai componenti relative ad un certo circuito si ottiene uninsieme di equazioni dalle quali discendono tutte le altre KCL che riguardano il circuito stesso.Possiamo verificare facilmente quanto appena detto in un caso particolare. Consideriamo il circuito gi pivolte analizzato, e riportato in figura 17.

Figura 17: esempio di generica KCL ricavata tramite KCL ai nodi e ai componenti

Se consideriamo superficie rappresentata, otteniamo la KCL seguente:I1 I2 I3 + I4 = 0

Consideriamo a questo punto le KCL ai nodi e ai componenti contenuti nella superficie , e otteniamo le 3equazioni seguenti:

KCL al nodo B) I3 I4 + I8 = 0KCL al nodo C) I1 + I2 + I9 = 0KCL al componente C4) I8 I9 = 0

Sommando le 3 equazioni otteniamo: I1 + I2 + I3 I4 = 0

E, cambiando di segno a tale equazione, otteniamo la KCL cercata, ovvero:I1 I2 I3 + I4 = 0.


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Minimo numero di KCL dalle quali ricavare tutte le altre KCL del circuito

Come abbiamo gi visto, se scriviamo tutte le KCL ai nodi e ai componenti di un circuito, da esse possiamoricavare tutte le KCL che possibile scrivere per il circuito in analisi. A questo punto per opportunochiedersi se possibile ridurre ulteriormente tale numero. In altri termini: le equazioni cos ottenute, sonotutte linearmente indipendenti? La risposta no.

Se infatti scriviamo tutte le KCL ai nodi e ai componenti di un circuito, orientando le superfici sempre converso uscente, ogni corrente appare in due diverse equazioni (unequazione al nodo e unequazione alcomponente), una volta con segno positivo ed una con segno negativo. Sommando membro a membro tuttele equazioni cos ottenute si otterr perci lidentit 0 = 0. Come noto dallAlgebra Lineare, ci implica che leequazioni considerate sono linearmente dipendenti. dimostrato che, nellipotesi che il circuito sia connesso, e cio che non sia composto da sottoparti che sianoesse stesse circuiti, se si toglie una qualsiasi equazione tra quelle in analisi, si ottiene un insieme di equazioniindipendenti. Nel caso di circuito non connesso, sufficiente togliere una equazione per ciascunsottocircuito.In genere lequazione che viene scartata nel caso di circuito connesso lequazione al nodo di riferimentoscelto per fissare i potenziali di nodo.

Possiamo cos concludere che, dato un qualsiasi circuito, possibile ottenere tutte le Leggi di Kirchhoff chelo riguardano scrivendo:- Tutte le KVL mediante potenziali di nodo.- Tutte le KCL ai nodi e ai componenti, escludendo une KCL al nodo o al componente per ciascun

sottocircuito.


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Potenza assorbita e potenza generata da un componenteIntroduzione

Finora abbiamo considerato dei modelli ingegneristici dei circuiti elettrici. Tuttavia da sottolineare che icircuiti elettrici sono strettamente legati alla fisica, perci sono legati anche ai concetti di potenza e dienergia.

Al fine di introdurre le definizioni di queste grandezze, consideriamo ora un generico circuito e, allinternodi tale circuito, fissiamo lattenzione su un particolare componente. Negli esempi proposti si far riferimentoad un tripolo, ma quanto vedremo potr essere esteso ad un generico n-polo.Definizione di potenza elettrica assorbita da un componente

Consideriamo un singolo componente. Introduciamo le correnti misurate in ciascuno dei terminali delcomponente, tutte con verso entrante nel componente. Fissiamo inoltre un nodo di riferimento qualsiasi eintroduciamo i potenziali di nodo relativi a tutti i nodi ai quali sono collegati i terminali del componente.

Figura 18: premessa per la definizione di potenza elettrica assorbita

Si dice potenza elettrica assorbita dal componente considerato la somma dei prodotti tra i potenziali di nodoe le corrispondenti correnti. Pa= (EiIii Nel caso della figura 18 avremo perci:

PaE

1I1E

2I E

3I3. Come noto dalla Fisica, lunit di misura

della potenza il Watt [W].Definizione di potenza elettrica generata da un componenteCome nel caso precedente, consideriamo un singolo componente, fissiamo un nodo di riferimento qualsiasi eintroduciamo i potenziali di nodo relativi a tutti i nodi ai quali sono collegati i terminali del componente.Introduciamo inoltre le correnti misurate su ciascuno dei terminali del componente in analisi, fissandole inquesto caso tutte con verso uscente dal componente.

Figura 19: premessa per la definizione di potenza elettrica assorbita

Si dice potenza elettrica generata dal componente considerato la somma dei prodotti tra i potenziali di nodoe le corrispondenti correnti. PgEiIii Nel caso della figura 19 avremo perci: PgE1I1 E2I E3I3. Anche in questo caso, lunit di misura il watt [W].


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Relazione tra potenza generata e potenza assorbita

Come abbiamo dimostrato attraverso la KCL applicata ad una superficie che contiene solo una porzione diun terminale, e non contiene n nodi, n componenti, vale, per ogni indice i = 1, ..., 3:Ii IiNe consegue che vale, per il componente, la relazione:

Pg PaOsservazione sulla terminologiaSpesso vengono utilizzate frasi del tipo c una potenza assorbita o, viceversa si ha una potenzagenerata. Tuttavia, come evidente dalle definizioni appena introdotte, la potenza assorbita e la potenzagenerata sono numeri reali, che, come tali, possono essere sia positivi, sia negativi. Sarebbe quindiopportuno dire la potenza assorbita positiva, anzich c una potenza assorbita.Indipendenza della potenza dal nodo di riferimento

Nelle definizioni date i potenziali di nodo assumono un peso determinante. Si osserva per che essidipendono dal nodo di riferimento scelto. Possiamo quindi domandarci: la potenza varia se si cambia ilnodo di riferimento scelto? Naturalmente la risposta no, perch altrimenti le definizioni date sarebbero malposte. Possiamo ora dimostrarlo, considerando il componente in figura 20.

Figura 20: dimostrazione dellindipendenza della potenza dal nodo di riferimento sceltoConsideriamo dapprima come nodo di riferimento il nodo 5. La potenza assorbita quindi, da definizione:PaE1I1 E2I E3I3Scegliamo ora come nodo di riferimento il 4 e indichiamo con lapice i potenziali di nodo riferiti a tale nodo.Valgono le seguenti relazioni, per la KVL:E E V 0 E E VE E V 0 E E VE E V 0 E E VSe calcoliamo la potenza utilizzando tali potenziali di nodo, abbiamo:

P E I1 E I E I3 E VI1 E VI E VI3 I1 I I3V EI1 EI EI3 EI1 EI EI3 PaSi osserva che vale la relazioneI1 I I3 0 in virt della KCL relativa al componente 1.Ovviamente una dimostrazione analoga vale anche per la potenza generata.Bipoli passivi

Un componente nel quale la potenza assorbita pu essere positiva o al pi nulla (e, viceversa, la potenzagenerata non positiva), viene detto passivo.I bipoli passivi sono caratterizzati da una curva caratteristica interamente appartenente al I-III quadrante delpiano cartesiano.


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Potenza elettrica assorbita e generata da un bipoloCalcolo della potenza elettrica assorbita e generata da un bipolo

Figura 21: dipolo del quale calcolare la potenza assorbita

Consideriamo un bipolo come quello in figura 21.Secondo la definizione di potenza assorbita, avremo:

Pa=E1I1 E2I

Se scriviamo la KCL al componente 1, abbiamo:I1I2=0 I1=I2Sostituendo nella precedente equazione, otteniamo:Pa=E1I E2I = IE2E1

Inoltre, per KVL applicata alla linea chiusa che passa per i nodi 1, 2 e per il nodo di massa:V12E1E2=0 V12=E1E2

Otteniamo cos:Pa=IV12

In maniera del tutta analoga, possiamo ripetere questo procedimentocambiando le tensioni e le correnti prese in considerazione. A talescopo, riassumiamo in figura 22 le possibili correnti e tensioni da

indicare sul bipolo in analisi.Per la KCL relativa al componente 1 abbiamo:

I1=I2=I1=I2Figura 22: bipolo del quale calcolare la potenza assorbita, con lindicazione di tutte le correnti e le tensioni

Ovvero: in un bipolo, la corrente entrante in un terminale uguale alla corrente uscente dallaltro terminale.Per la KVL abbiamo inoltre:

V12=V21Otterremo cos anche le relazioni:

Pa = IV21 = I'V12Pa=I'V12 = I'V21

Pa=IV12 = IV21

Pa=I'V12 = I'V21

Analogamente, otteniamo, per la potenza generata:P = IV12 = IV21

Pg= I'V12 = I'V21

Pg=IV12 = IV21

Pg=I'V12 = I'V21La convenzione degli utilizzatori

Si dice che una corrente ed una tensione relative ad un bipolo sono misurate con la convenzione degliutilizzatori se indico la loro misura con frecce aventi versi discordi. In sostanza quindi, per rilevare talimisure, si pu fissare una tensione arbitraria. In seguito, si sceglie la corrente in modo tale che la freccia cheindichi la corrente misurata sia opposta a quella della tensione.Naturalmente, le possibilit sono molte: in primo luogo, possiamo orientare come preferiamo la tensione.Una volta fissata la tensione, possiamo poi scegliere se indicare la corrente su un terminale oppure sullaltro:come dimostrato, ci ininfluente, perch tali correnti sono sempre uguali per la KCL al componente stesso.La convenzione dei generatori

Si dice che una corrente ed una tensione relative ad un bipolo sono misurate con la convenzione deigeneratori se le frecce con cui indico la loro misura hanno versi concordi. In sostanza quindi occorre fissaredapprima una tensione arbitraria. In seguito, si sceglie la corrente in modo che la freccia che indichi lacorrente misurata sia dello stesso verso di quella della tensione.Semplificazione per il calcolo della potenza assorbita e generata da un bipolo

Se si misurano la corrente e la tensione su un bipolo rispettando la convenzione degli utilizzatori, la potenzaassorbita dal bipolo stesso il prodotto tra la corrente e la tensione misurate.Se si rilevano la corrente e la tensione di un bipolo utilizzando la convenzione dei generatori, la potenzagenerata dal bipolo in analisi il prodotto tra la corrente e la tensione misurate.Si osserva che il nome convenzione degli utilizzatori dovuto al fatto che spesso si misura la potenzaassorbita da un utilizzatore, in quanto positiva, e non la potenza generata, perci si utilizza su questa

tipologia di componenti la convenzione detta appunto degli utilizzatori. Viceversa, la convenzione deigeneratori si usa per il calcolo della potenza generata, come dice il nome stesso, viene calcolata soprattuttoper i generatori, e da qui deriva il nome della convenzione. Naturalmente per si pu calcolare in entrambi icasi sia la potenza assorbita, sia quella generata: cambier solo il segno.


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Equivalenza ed equivalenza topologica tra due circuitiDefinizione di circuiti topologicamente equivalenti

Due circuiti si dicono topologicamente equivalenti se:1. possibile associare a ciascun componente del primo circuito uno ed un solo componente del secondo

circuito.

2.

possibile associare a ogni nodo del primo circuito uno ed uno solo nodo del secondo circuito.3. possibile associare a ciascun terminale di qualsiasi componente del primo circuito uno ed un solo

terminale del corrispondente componente dellaltro circuito.4. Se su un nodo del primo circuito incidono n terminali, sul corrispondente nodo del secondo circuito

devono incidere tutti e soli gli n terminali ad essi corrispondenti.Possiamo comprendere meglio con un esempio questo concetto. Osserviamo la figura 24.

Figura 24: esempio di circuiti topologicamente equivalenti

I due circuiti, che sembrerebbero essere uguali, in realt potrebbero avere funzionamenti completamentediversi: non sappiamo infatti quali siano i componenti, e potrebbero essere completamente diversi nelluno enellaltro circuito.Significato

Se due circuiti sono topologicamente equivalenti, allora i due circuiti sono governati dalle stesse Leggi diKirchhoff delle tensioni e delle correnti.Per verificarlo, sufficiente dimostrare che le KVL mediante potenziali di nodo, le KCL ai nodi e le KCL aicomponenti sono uguali nei due circuiti topologicamente equivalenti, perch tutte le altre KVL e KCL

deriveranno da esse.Possiamo intuire con molta semplicit, a seguito della definizione di circuiti topologicamente equivalenti,che se fissiamo come nodi di riferimento nei due circuiti due nodi tra loro corrispondenti, otteniamo le stesseKVL mediante potenziali di nodo.Inoltre, siccome sui nodi corrispondenti incidono i terminali corrispondenti, fissando con lo stesso nome lecorrenti sui terminali tra i quali viene creata corrispondenza, si ottengono le stesse KCL ai nodi. Unragionamento analogo pu essere effettuato per le KCL ai componenti.

Figura 25: esempio di circuiti topologicamente equivalenti

Possiamo considerare anche un secondo esempio,rappresentato in figura 25. Se associamo al nodo A delprimo il circuito il nodo A del secondo, al terminale 1 nelprimo circuito il terminale 1 del secondo, al componente 1

del primo circuito il componente 1 del secondo, e cos via,possiamo osservare che tali circuiti sono topologicamenteequivalenti.

Circuiti equivalenti

Figura 26: esempio di circuiti equivalenti

Due circuiti si dicono equivalenti se sono topologicamenteequivalenti e se i componenti tra loro corrispondenti sonouguali.Due circuiti equivalenti saranno perci interessati dalle stessetensioni e dalle stesse correnti. Due circuiti equivalenti sonoindistinguibili ai fini del loro studio.

Da questo consegue che il modello circuitale che abbiamo adottato non fornisce informazioni sullacollocazione fisica nello spazio dei componenti.


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Il teorema della conservazione della potenza elettrica (o di Tellegen)Introduzione

Si dice che la potenza fluisce in un circuito. Ci significa che i componenti hanno delle tensioni e dellecorrenti, le quali danno origine ad una potenza elettrica che si trasmetta da un componente allaltro. Ci sonoperci dei componenti che generano potenza e altri che assorbono potenza, ovvero componenti con

potenza generata positiva (e potenza assorbita negativa), e altri con potenza assorbita positiva (e potenzagenerata negativa).I concetti appena introdotti richiamano ad un concetto di bilancio. A tal proposito, si osserva che, come infisica, vale il principio di conservazione della potenza. In particolare, tale principio prende inElettrotecnica il nome di Teorema della conservazione della potenza elettrica.Il nome di teorema dovuto al fatto che questa relazione una conseguenza delle leggi di Kirchhoff: essopu essere dimostrato a partire dalla KVL e dalla KCL. Tuttavia, a livello teorico avremmo anche potutoassumere come principi il teorema della conservazione della potenza elettrica e una delle leggi di Kirchhoffe considerare come teorema la restante legge di Kirchhoff.Enunciato del teorema della conservazione della potenza elettrica

Il teorema della conservazione della potenza elettrica afferma che la somma delle potenze assorbite da

ciascun componente di un circuito sempre uguale a zero.Naturalmente, da quanto appena detto consegue anche che la somma delle potenze generate da ciascuncomponente di un circuito sempre uguale a zero.Il teorema della conservazione della potenza elettrica pu anche essere enunciato in maniera leggermentediversa: dato un circuito qualsiasi, la potenza assorbita da un certo numero di componenti del circuito uguale alla potenza generata dai restanti componenti.Consideriamo ad esempio il circuito in figura 27.Valgono, ad esempio, le relazioni:

Pa1Pa2Pa30Pg1

Pg2

Pg3

0

Pa1Pa2 Pg30Pg1 Pa2Pa30Pa2 Pg1Pg30Figura 27: circuito elettrico al quale applicare il teorema di Tellegen

Dimostrazione del teorema della conservazione della potenza elettrica

Dimostreremo ora, sulla base delle leggi di Kirchhoff, il teorema della conservazione della potenza elettrica.Par facilitare tale dimostrazione adotteremo, solo in questo contesto, una particolare notazione per lecorrenti: indicheremo con I la corrente uscente dal nodo i-esimo ed entrante nel componente j-esimo.

Figura 28: circuito usato nella dimostrazione

Con riferimento al circuito in figura 28, possiamo scrivere:Pa1EI EI EIPa2EI

EI

EI

Pa3EI EI EISi osserva che alcune delle correnti che compaiono nelleformule sopra riportate non compaiono nel circuito, mapossiamo tranquillamente inserirle nella formula,considerandole poi nulle ai fini dei successivi calcoli.Vogliamo ora dimostrare che la somma delle potenze assorbite nulla.

Abbiamo: Pa2Pa2Pa3EI EI EI EI EI EI EI EI EIOvvero, raccogliendo, ove possibile, i potenziali ai nodo:

Pa2Pa2Pa3EI

I

I

EI

I

I

EI

I

I

Ma, rispettivamente, le KCL ai nodi 1, 2 e 3 sono: I I I 0, I I I 0 e I I I 0. Neconsegue, in conclusione, che vale: Pa2Pa2Pa30.


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Osservazione

Lenunciato del teorema della conservazione della potenza elettrica in realt pi generale rispetto a quelloche abbiamo prima riportato. Tuttavia, il Teorema verr nel seguito utilizzato solo nella forma gi vista. Percompletezza, vediamo per anche lenunciato completo del Teorema. Prima per opportuno dare ladefinizione di potenza virtuale.

La potenza virtualeConsideriamo due circuiti topologicamente equivalenti, come quelli in figura.

Figura 29: calcolo della potenza virtuale

Fissiamo come nodi di riferimento nei due circuiti due nodi tra loro corrispondenti nellequivalenzatopologica. Introduciamo quindi nel primo dei due circuiti i potenziali di nodo. Calcoliamo poi, nel secondocircuito, tutte le correnti entranti nei vari componenti.Si dicepotenzavirtuale assorbita da una coppia di componenti C e C, luno appartenente al primo circuito,laltro appartenente al secondo, la somma dei prodotti tra i potenziali di nodo relativi ai nodi collegati aiterminali di C, e le relative correnti entranti nel componente C.Analogamente possibile introdurre la definizione di potenza virtuale generata da una coppia dicomponenti, considerando le correnti uscenti da C anzich quelle entranti in C.Ad esempio:

Pa1 = E1I1 E2I2 E3I3

Lenunciato completo del teorema della conservazione della potenza elettricaDati due circuiti elettrici topologicamente equivalenti, la somma delle potenze virtuali assorbite da tutte lecoppie di componenti corrispondenti (appartenenti luno al primo circuito e laltro al secondo), semprenulla.Inoltre: dati due circuiti elettrici topologicamente equivalenti, la somma delle potenze virtuali generate datutte le coppie di componenti corrispondenti, sempre nulla. Oppure ancora: dati due circuiti elettricitopologicamente equivalenti, la somma delle potenze virtuali assorbite da un certo gruppo di coppie dicomponenti tra loro corrispondenti sempre uguale alla somma delle potenze virtuali generate dalle restanticoppie di componenti corrispondenti.


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2. Bipoli adinamiciI componenti

IntroduzioneIniziamo ora a descrivere le principali tipologie di componenti. Prima di fare questo per occorre fareunimportante osservazione riguardante il concetto di componente.I componenti compositi

La definizione che abbiamo dato di componente di fatto molto vaga. Da ci consegue che il concetto dicomponente risulta in realt molto generale. Diviene cos possibile introdurre un nuovo concetto, ovveroquello di componente composito.Consideriamo un generico circuito e prendiamo poi una superficie chiusa che contenga un certo numero dicomponenti e simile a quelle utilizzate per la definizione di KCL. Se supponiamo di non essere pi in gradodi riconoscere ci che c allinterno della superficie, possiamo considerare la superficie stessa, con il suocontenuto, come un nuovo ed unico componente composito, dotato di tanti terminali quanti sono quelli

tagliati dalla superficie in analisi.

Figura 30: componenti composti

Viceversa, anche possibile considerare un componente ed immaginarlo come se fosse costituito da pi

componenti: di fatto ci equivale a ripetere il procedimento che abbiamo appena descritto, ma in direzioneopposta.In conclusione, non necessariamente ad un componente nel nostro modello circuitale corrisponde un solocomponente fisico.

I bipoli resistivi (o adinamici)Descrizione

Come dice il nome stesso, i bipoli resistivi o adinamici sono dei componenti a due terminali. Il termineresistivi ci indica invece che tali bipoli intervengono nel funzionamento del circuito imponendo unarelazione definita tra la corrente e la tensione, del tipo:

f(V1, I1) = 0In altri termini, possibile tracciare un grafico corrente-tensione (o, viceversa, tensione-corrente),rappresentato dalla linea dequazione f(V1, I1) = 0. Questa linea detta linea caratteristica del componente.

Figura 31: generico bipolo resistivo

Principali bipoli resistivi

Vedremo ora i seguenti bipoli resistivi:1. Resistori (lineari).2. Generatori indipendenti di tensione e di corrente.3. Diodi (ideali).


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Resistori (lineari)Definizione

Si dice resistore un bipolo resistivo avente come relazione costitutiva tra la tensione e la correnteunequazione di tipo lineare:

V = R I(legge di Ohm)

Oppure: I = G VIl resistore molto frequentemente utilizzato, tanto che il nome della categoria dei bipoli resistivi dovutoproprio al nome di questo specifico componente ad essa appartenente.Simbolo e curva caratteristica

Figura 32: simbolo del resistore e relativa curva caratteristica

Nota: si osserva che le curve caratteristiche indicate, cos come le relazioni V = R I e I = G V, valgono solo secorrente e tensione vengono rilevate secondo la convenzione degli utilizzatori. Utilizzando invece laconvenzione dei generatori e indicando con V e I le grandezze cos rilevate, dovremmo scrivere V = R I eI = G V.Resistenza e conduttanza

Il coefficiente angolare R detto resistenza, o resistenza elettrica, ed ha come unit di misura lOhm[ = V/A]. Il coefficiente G invece detto conduttanza. Come evidente, la conduttanza il reciprocodella resistenza:

G =1R

Nel Sistema Internazionale, la conduttanza ha come unit di misura il Siemens [S = A/V = -1].Per individuare completamente la linea caratteristica di un conduttore, sufficiente indicare uno dei dueparametri R oppure G.Cortocircuito (c.c.)

Un cortocircuito un resistore avente resistenza nulla R = 0 . Nel caso del cortocircuito, non possibiledefinire la conduttanza G. Ai capi di un cortocircuito, qualunque sia il valore di una corrente, si ha sempreuna tensione nulla.

Figura 33: curva caratteristica e simbolo del cortocircuito

Circuito aperto (c.a.)

Un circuito aperto un resistore avente conduttanza nulla G = 0 S. In un circuito aperto, non possibiledefinire la resistenza R. La corrente in un circuito aperto sempre nulla, qualunque sia il valore di tensione.

Figura 34: curva caratteristica e simbolo del circuito aperto

Il resistore, bipolo simmetricoSi dice che il resistore un bipolo simmetrico perch se si scambiano i due terminali del resistore stesso, ilcomportamento del componente allinterno del circuito risulta inalterato. Non si ha perci distinzione, ai finidel funzionamento, tra un terminale e laltro.


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Generatori indipendentiGeneratori indipendenti di tensione

I generatori indipendenti di tensione sono bipoli resistivi governati da unequazione del tipoV = EI generatori indipendenti di tensione perci fissano la tensione ad un certo valore E, misurato in Volt.

Figura 35: curva caratteristica e simbolo del generatore indipendente di tensione

Il generatore indipendente di tensione, a differenza del resistore, non un componente simmetrico: se siscambiano tra loro i due terminali del componente, il generatore indipendente di tensione ha effetti diversisul circuito.Si osserva che la caratteristica sopra riportata effettivamente corretta solo se la freccia della tensione

rivolta verso il + del generatore. Altrimenti il grafico dovrebbe essere il simmetrico a quello sopra riportatorispetto allasse delle correnti (ovvero V = E).Si osserva inoltre che E pu essere sia un valore positivo, sia un valore negativo.Generatori indipendenti di corrente

I generatori indipendenti di corrente sono bipoli resistivi governati da unequazione del tipoI = AI generatori indipendenti di corrente dunque fissano la corrente ad un certo valore A.

Figura 36: curva caratteristica e simbolo del generatore indipendente di corrente

Anche il generatore indipendente di corrente non un componente simmetrico.Perch la caratteristica sopra riportata sia effettivamente corretta necessario che la freccia della correnteabbia verso concorde con quella riportata allinterno del simbolo del componente stesso. Altrimenti il graficodovrebbe essere il simmetrico a quello sopra riportato rispetto allasse delle tensioni (ovvero I = A).Cortocircuito e circuito aperto

Gli unici casi in cui i generatori indipendenti risultano essere simmetrici si hanno:- Per i generatori di tensione, quando E = 0. In tal caso la curva caratteristica del generatore coincide con

quella del cortocircuito: di fatto si tratta appunto di un cortocircuito. Si osserva infatti che si ha unatensione nulla fissa, quindi la curva coincide con lasse delle correnti, come visto per il cortocircuito.- Per i generatori di corrente, quando A = 0. Il componente risulta perci essere un circuito aperto. Si

osserva infatti che si ha una corrente nulla fissa, quindi la curva coincide con lasse delle tensioni, comevisto per il circuito aperto.

Bipoli affini e lineari

Sia i resistori, sia i generatori indipendenti risultano essere dei bipoli affini. Infatti vengono definitiaffini tutti i bipoli la cui linea caratteristica rettilinea. Si osserva che la distinzione tra i resistori e igeneratori indipendenti che la caratteristica dei resistori una retta passante per lorigine (sono infatticaratterizzati da unequazione lineare), mentre quella dei generatori indipendenti (salvo i casi particolarivisti sopra) non passa per lorigine.

Un bipolo affine la cui linea caratteristica passa per lorigine in particolare un bipolo lineare.


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Diodo (ideale)Caratteristiche del diodo

Il diodo un bipolo resistivo nel quale la relazione tra tensione e corrente (a patto che vengano indicatecome in figura) la seguente:

Se V 0 I 0;Se I 0 V 0.

Figura 37: curva caratteristica e simbolo del diodo (ideale)

Si osserva che nella realt la curva caratteristica di un diodo risulta diversa da quella riportata. La curvarappresentata nel grafico unapprossimazione di quella che realmente si ha. Ci dovuta al fatto che noiconsideriamo dei diodi ideali, e non reali.Se scambiamo lasse delle ascisse con lasse delle ordinate o invertiamo le frecce con cui misuriamo lacorrente e la tensione, il grafico non sar pi valido, e, pi precisamente, avremo i seguenti casi:a. Se invertiamo la tensione, il grafico ottenuto sar il simmetrico del grafico sopra riportato rispetto

allasse delle correnti.b. Se invertiamo la corrente, il grafico ottenuto sar il simmetrico del grafico sopra riportato rispetto

allasse delle tensioni.c. Se invertiamo sia la tensione, sia la corrente, il grafico ottenuto sar il simmetrico del grafico sopra

riportato rispetto allorigine.d. Se scambiamo gli assi, il grafico ottenuto sar il simmetrico del grafico sopra riportato rispetto alla

bisettrice del I e III quadrante.

Figura 38: varianti della curva caratteristica del diodo in base alle indicazioni di I e di V


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Cortocircuito e circuito apertoIntroduzione di cortocircuiti e circuiti aperti in un circuito

Abbiamo gi definito i componenti cortocircuito e circuito aperto. Vogliamo ora analizzare la loroinfluenza in un circuito.Se consideriamo un qualsiasi circuito, possibile introdurre un numero qualunque di cortocircuiti e/o

circuiti aperti, lasciando inalterate tutte le leggi del circuito. In altri termini, possibile introdurrecortocircuiti e circuiti aperti lasciando inalterato il funzionamento del circuito.Affinch ci accada necessario che i circuiti aperti vengano inseriti nel circuito seguendo le stesse regole diinserzione che valgono per il voltmetro.

Figura 39: inserzione di due circuiti aperti (il circuito di riferimento lo stesso degli esercizi precedenti)

Si osserva infatti che:1. Le KVL mediante potenziali di nodo risulteranno essere le stesse, perch i nodi sono gli stessi.2. Le KCL ai componenti preesistenti saranno invariate.3. Le KCL ai nodi ai quali non sono collegati i terminali dei circuiti aperti inseriti risultano invariate.4. Le KCL ai nodi ai quali sono collegati i terminali dei circuiti aperti inseriti presenteranno un termine in

pi, rappresentato dalla corrente relativa al terminale del circuito aperto. Tale corrente per nulla,perci ci si riconduce ancora alle KCL ai nodi che si avevano prima di inserire i circuiti aperti.

Siccome le Leggi di Kirchhoff sono le stesse e i componenti sono gli stessi, il circuito che si ottiene inserendoun numero arbitrario di circuiti aperti equivalente se la regola di inserzione utilizzata la stessa delvoltmetro.Se si vogliono inserire dei cortocircuiti senza alterare il funzionamento del circuito, occorre invece seguire leregole di inserzione relative allampermetro.

Figura 40: inserzione di due cortocircuiti (il circuito di riferimento lo stesso degli esercizi precedenti)

Si osserva infatti che:1. Le KVL mediante potenziali di nodo risulteranno essere le stesse. Consideriamo ad esempio linserzionedel cortocircuito CC. Nel circuito originario abbiamo VCB = EB EC.Nel nostro circuito abbiamo invece: VCB = EB EC; VCC = EC EC; VCC = 0 (perch un cortocircuito).Da queste relazioni ricaviamo: VCB = EB EC = VCB.

2. Le KCL ai componenti sono le stesse, perch i componenti sono gli stessi.3. Le KCL ai nodi in cui non incidono i terminali del cortocircuito sono invariate.4. La KCL al nodo C non la stessa. Tuttavia, scrivendo la KCL al componente cortocircuito si ottiene

lequazione corrispondente alla KCL (relativa al circuito iniziale) al nodo sul quale stato inserito ilcortocircuito.

Siccome le Leggi di Kirchhoff sono le stesse e i componenti sono gli stessi, il circuito che si ottiene inserendo

un numero arbitrario di cortocircuiti equivalente se la regola di inserzione utilizzata la stessadellampermetro.


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Il metodo della caratteristicaIl metodo della caratteristica ci consente di risolvere circuiti composti da bipoli adinamici connessi tra loro inmodo tale che i componenti siano tra loro collegati in una combinazione di connessioni serie e/o parallelo.

Definizione di circuito elementare

Si dice circuito elementare il pi semplice circuito che abbia un sensoconsiderare. Tale circuito costituito da 2 bipoli resistivi collegati come infigura.Il circuito elementare in figura mostra due componenti C1 e C2 che sono siain parallelo sia in serie.

Figura 41: circuito elementare

Risoluzione di un circuito elementareI dati del problema

Se vogliamo risolvere il circuito dato, naturalmente, dovremo conoscere come dati del problema le lineecaratteristiche dei due componenti che costituiscono il circuito stesso. Potremo avere, ad esempio:

Figura 42: esempio di curve caratteristiche dei bipoli del circuito elementare

Utilizzo delle Leggi di Kircchhoff

La domanda che ci vogliamo porre : possiamo, con questi dati, individuare tutte le tensioni e le correnti delcircuito? La risposta s, perch, attraverso le leggi di Kirchhoff ricaviamo:

1. Dalla KCL al nodo A:

I1 + I2 = 0Ricaviamo perci la relazione: I1 = I22. Dalla KVL: V1 V2 = 0Ricaviamo perci la relazione: V1 = V2

Possiamo perci attribuire alle correnti e alle tensioni un unico simbolo:I1 = I2 = I3 V1 = V2 = V3Individuazione del punto di lavoro

Possiamo cos pensare di sovrapporre le due linee caratteristiche dei componenti dati. Esse siintersecheranno in un punto Q, che chiameremo punto di lavoro.La corrente e la tensione che corrispondono a tale punto saranno, rispettivamente, i valori di V3 e di I3.

Figura 43: esempio di individuazione del punto di lavoro

In tal modo abbiamo determinato un metodo risolutivo applicabile per qualsiasi circuito elementare.Osservazioni

Se anzich indicare le correnti come in figura 41 le avessimo, ad esempio, rappresentate con frecce discordi,avremmo dovuto prima di tutto ricondurci al caso analizzato, e solo in seguito avremmo dovuto procedereindividuando lintersezione tra le due curve caratteristiche.


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Definizioni di bipoli in serie e in paralleloBipoli in parallelo

Due bipoli sono in parallelo se, in virt della KVL, ai loro capisi misura la stessa tensione.Bipoli in serie

Due bipoli sono in serie se, in virt della KCL, sonoattraversati dalla stessa corrente.Esempio

Consideriamo il circuito in figura 44. Scrivendo la KCL allasuperficie possiamo semplicemente dimostrare che icomponenti 3 e 4 sono in serie (I3 = I4). Scrivendo invece laKVL alla linea otteniamo che i componenti 5 e 8 sono inparallelo (V5 = V8).

Figura 44: circuito di esempio contenente bipoli in serie e in paralleloBipoli in serie

Trasformazione serieConsideriamo due bipoli resistivi in un circuito, connessi tra loro in serie come in figura 45. Possiamosemplificare questi due bipoli sostituendo ad essi un nuovo componente composito, che possiamo chiamareC3, che abbia un comportamento equivalente ai due che va a sostituire. Per ottenere tale componente(trasformazione serie) possiamo considerare una superficie che contenga solamente i due componenti inserie.

Figura 45: trasformazione serie

Per la KCL, abbiamo: I1 = I2 = I3Per la KVL, abbiamo: V1 + V2 = V3Il componente equivalente ai due bipoli resistivi in serie dunque un terzo bipolo resistivo, nel quale latensione data dalla somma dei valori delle tensioni ai capi dei due bipoli di partenza, a parit di corrente.Se vogliamo ottenere la caratteristica del componente C3 dobbiamo eseguire quindi unoperazione disomma, che possiamo meglio rappresentare con lesempio in figura 46.

Figura 46: caratteristica del componente equivalente serie

Utilit della trasformazione serie

Per risolvere con maggiore facilit un circuito talvolta possibile considerarlo come la connessione di unresistore e un bipolo complementare, ossia una parte di circuitorisolvibile in una componente composita a due poli.Questa procedura ci permette di semplificare circuiti complessi,

riconducendoli ad un circuito elementare, per il quale conosciamo unmetodo risolutivo.

Figura 47: trasformazione serie per la riduzione di un circuito al circuito elementare


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Bipoli in paralleloTrasformazione parallelo

Consideriamo ora due bipoli resistivi connessi tra loro in parallelo, come in figura 48, ed inseriti in uncircuito. Anche in questo caso possiamo considerare i due componenti come un unico componentecomposito C3. Per farlo (trasformazione parallelo) occorre per per prima cosa introdurre due cortocircuiti,

come messo in evidenza nella figura.

Figura 48: trasformazione parallelo

Lintroduzione dei due cortocircuiti indispensabile, perch altrimenti non potremmo individuare alcunasuperficie chiusa contenente entrambi i componenti che ci consenta di ottenere un componente equivalentecon due soli terminali. In tal modo invece, se consideriamo una superficie contenente solo i due componentie i due nodi aggiuntivi inseriti, possiamo ottenere un come circuito equivalente un bipolo C3, come in figura48.Per la KCL, abbiamo: I1 + I2 = I3Per la KVL, abbiamo: V1 = V2 = V3Il componente equivalente ai due bipoli resistivi in parallelo dunque un terzo bipolo resistivo, nel quale lacorrente data dalla somma dei valori delle correnti nei dei due bipoli di partenza, a parit di tensione.

In maniera analoga a quanto visto per la trasformazione serie, se vogliamo ottenere la caratteristica delcomponente C3 dobbiamo eseguire quindi unoperazione di somma, che possiamo meglio rappresentare conlesempio in figura 49.

Figura 49: caratteristica del componente equivalente parallelo

Utilit della trasformazione paralleloCome visto per la trasformazione serie, attraverso la trasformazione parallelo possiamo semplificare deicircuiti per ricondurli al circuito elementare, in modo tale da essere in grado di risolverli. Naturalmente, possibile combinare le due trasformazioni, in modo da semplificare circuiti anche molto complessi.

Figura 50: trasformazione serie per la riduzione di un circuito al circuito elementare


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Serie e parallelo di bipoli affiniResistori in serie

Consideriamo due resistori in serie, come in figura. Le loro curve caratteristiche saranno quellerappresentate in figura 51. Seguendo il procedimento descritto al paragrafo precedente otteniamo che lacurva caratteristica della trasformazione serie dei due resistori la curva caratteristica di un terzo resistore,

che ha per come coefficiente angolare la somma dei coefficienti angolari delle due caratteristiche dipartenza. In altri termini, un resistore la cui resistenza la somma delle resistenze dei resistori dati.

Figura 51: equivalente serie di due resistori

I passaggi algebrici che ci portano a tale conclusione sono i seguenti:

Legge di Ohm per il resistore R1: V1 = I1 R1Legge di Ohm per il resistore R2: V2 = I2 R2Siccome i resistori sono in serie: I1 = I2 = I3V3 = V1 + V2 = I1 R1 + I2 R2 = I3 R1 + I3 R2 = I3 (R1 + R2)In termini di conduttanze:

V3=I3(G 1+G2/G1G2)Osservazione: se uno dei due resistori un cortocircuito (resistenza nulla), allora lequivalente serie dei dueresistori il secondo dei resistori dati (ovvero, quello che non un cortocircuito).Resistori in parallelo

Consideriamo due resistori in parallelo, come in figura. Le loro curve caratteristiche saranno quellerappresentate in figura 52 (in questo caso abbiamo rappresentato sullasse delle ascisse le tensioni, e non le

correnti). Seguendo anche in questo caso il procedimento descritto al paragrafo precedente otteniamo che lacurva caratteristica della trasformazione parallelo dei due resistori la curva caratteristica di un terzoresistore, che ha per come coefficiente angolare la somma dei coefficienti angolari delle duecaratteristiche di partenza. In altri termini, un resistore la cui conduttanza la somma delle conduttanzedei resistori dati.

Figura 52: equivalente parallelo di due resistori

I passaggi algebrici che ci portano a tale conclusione sono i seguenti:Legge di Ohm per il resistore R1: I1 = V1 G1Legge di Ohm per il resistore R2: I2 = V2 G2Siccome i resistori sono in parallelo: V1 = V2 = V3

I3 = I1 + I2 = V1 G1 + V2 G2 = V3 G1 + V3 G2 = V3 (G1 + G2)In termini di resistenze:I3=V3(R1+R2/R1R2)

La resistenza dellequivalente parallelo sar perci:

R = 1G =1

G + G =1

1R +

1R

= RRR + R

Osservazione: se uno dei due resistori un circuito aperto (conduttanza nulla), allora lequivalente parallelodei due resistori il secondo dei resistori dati (ovvero, quello che non un circuito aperto).


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Generatori indipendenti di tensione in serie

Consideriamo a questo punto due generatori di tensione in serie, come in figura 53.Siccome sono generatori indipendenti di tensione: V1 = E1V2 = E2Siccome i generatori sono in serie:

I1

= I2

= I3

V3 = V1 + V2 = E1 + E2Perci, lequivalente serie di due generatori indipendenti di tensione E1 ed E2 un generatore indipendentedi tensione che forza la tensione ad un valore pari alla somma tra E1 ed E2.Si osserva che questo vale se i generatori sono collegati con i versi concordi. Se i due generatori fosserorivolti con versi tra loro opposti (fig. 53 b), la trasformazione serie dei due generatori di tensione sarebbe ungeneratore di tensione che forza il valore di V alla differenza tra E1 ed E2, perch in tal caso avremmo:V3 = V1 + V2 = E1 + ( E2) = E1 E2

a) b)Figura 53: equivalente serie di due generatori indipendenti di tensione

Generatori indipendenti di tensione in parallelo

Proviamo ora a considerare due generatori di tensione collegati tra loro in parallelo.Avremmo:Siccome sono generatori indip. di tensione: V1 = E1 V2 = E2Siccome i generatori sono in parallelo: I3= I1 + I2V3 = V1 = V2 = E1 = E2 ???

Figura 54: generatori indipendenti di tensione in parallelo

Tale operazione non ha senso! In generale, le tensioni di uscita dei due generatori non saranno uguali. Si ha

perci una contraddizione. Questo modello infatti non in grado di rappresentare ci che succederebbenella realt connettendo i due generatori in parallelo, come in figura 54.Parallelo tra un generatore indipendente di tensione ed un componente di altro tipo

Se consideriamo il parallelo tra un generatore di tensione ed un generico bipolo, purch esso non sia ungeneratore indipendente di tensione, avremo:

V3 = V2 = V1 = E1Il parallelo di un generatore di tensione e un altro generico componente ha senso solo se tale componente haalmeno un punto della linea caratteristica in corrispondenza della tensione forzata dal generatore di tensionePerci il parallelo di un generatore di tensione con un bipolo che non sia un generatore indipendente ditensione un generatore di tensione che eroga la stessa tensione del generatore dato. Ma attenzione! Lacorrente che attraversa tale componente diversa da quella che attraversa il generatore E 1, e pi

precisamente vale la relazione: I3 = I1 + I2.

Figura 55: parallelo tra un generatore di tensione ed un diverso componente

Generatori indipendenti di corrente in serie

Come nel caso di generatori indipendenti di corrente in parallelo, questo collegamento non pu nella realtesser costituito, perch si avrebbe:

Relazioni costitutive dei generatori di corrente: I1 = A1I2 = A2Siccome i generatori sono in serie: I3 = I1 = I2 = A1 = A2 ???V3 = V1 + V2


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Ma, naturalmente, ci non ha senso.Figura 56: equivalente di due generatori indipendenti di corrente in serie

Generatori indipendenti di corrente in parallelo

Passiamo ora ad analizzare due generatori indipendenti di corrente collegati in parallelo (fig. 58).Siccome sono generatori indipendenti di corrente:

I1

= A1

I2 = A2

Siccome i generatori sono in parallelo: I3 = I1 + I2 = A1 + A2V3 = V1 = V2Perci, lequivalente parallelo di due generatori indipendenti di corrente A1 ed A2 un generatoreindipendente di corrente A1 + A2.Anche in questo caso, se i versi fossero opposti dovremmo eseguire in realt la differenza.

Figura 58: equivalente di due generatori indipendenti di corrente in parallelo

Serie tra un generatore indipendente di corrente ed un diverso componente

Se consideriamo la serie tra un generatore di corrente ed un generico bipolo, purch esso non sia ungeneratore indipendente di corrente, avremo: I3 = I2 = I1 = A1La serie di un generatore di corrente e un altro generico componente ha senso solo se tale componente haalmeno un punto della linea caratteristica in corrispondenza della corrente forzata dal generatore dicorrente.Perci la serie di un generatore di corrente con un bipolo che non sia un generatore indipendente di corrente un generatore di corrente con la stessa corrente del generatore dato. Anche in questo caso per bisogna

prestare attenzione: la tensione ai capi di tale componente diversa da quella del generatore A1, e piprecisamente vale la relazione: A3 = A1 + A2

Figura 57: serie tra un generatore di corrente ed un diverso componente


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Bipoli affini visti come componenti compositiEquivalenza con la serie tra un resistore ed un generatore indipendente di tensione

Consideriamo ora un generico bipolo affine C3, come in figura. Essendo un bipolo affine, esso avr unarelazione costitutiva del tipo:

V3 = E2 + R1 I1

Figura 59: bipolo affine come serie tra un resistore ed un generatore indipendente di tensione

La sua linea caratteristica dunque la stessa che si ottiene dalla serie di un generatore di tensione E2 con un

resistore di resistenza R1.Di conseguenza, se abbiamo un bipolo affine, possiamo sempre sostituirlo con la serie di due componentinoti: un resistore ed un generatore indipendente di tensione, tra loro in serie.Equivalenza con il parallelo tra un resistore ed un generatore indipendente di corrente

Osserviamo che possibile anche rappresentare la curva caratteristica di figura 59 come in figura 60,semplicemente scambiando gli assi.

Figura 60: bipolo affine come parallelo tra un resistore ed un generatore indipendente di corrente

Si osserva perci che la linea caratteristica di un generico bipolo affine la stessa di un generatore dicorrente in parallelo ad un resistore di resistenza G1.Di conseguenza, se abbiamo un bipolo affine, possiamo sempre sostituirlo con il parallelo di duecomponenti noti: un resistore ed un generatore indipendente di corrente, tra loro in parallelo.

I3 = A2 + G1 V3


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Trasformazione di generatori indipendenti

Un generatore di tensione collegato in serie ad un resistore equivalente ad un generatore di correntecollegato in parallelo allo stesso resistore.Ci consegue naturalmente da quanto abbiamo appena visto. Naturalmente, occorrer per scegliereopportuni generatori di corrente e di tensione. Consideriamo la figura 61.

61) 62) Figura 61 e 62: trasformazione da un generatore di tensione (61) ad un generatore di corrente (62)

Come noto, per il circuito in figura 61 vale la relazione:

V3 = E + R I3Per il circuito in figura 62 abbiamo invece: I3 = A+ G V3Confrontando le due equazioni, si ottiene: A = ERe: G = 1RE di conseguenza:

E AG

Possiamo cos sostituire alla porzione di circuito in figura 61 quella rappresentata in figura 62, purchvengano rispettate le due condizioni sopra riportate.


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Leggi di partitore di tensione e di correnteLegge del partitore di corrente relativo al parallelo di resistori

Supponiamo di avere due resistori in parallelo, rispettivamente di conduttanza G1 e G2.

Figura 63: partitore di corrente relativo al parallelo di resistori

Per la relazione costitutiva dei resistori, abbiamo:I1 G1V1 I2 G2V1Inoltre, per la KLC, abbiamo:

I3 I1 I2 G1V1 G2V1 V1G1 G2Da ci possiamo ricavare che: V1 I3G1 G2Sostituendo questa relazione nelle precedenti, otteniamo:

I1 G1V1 G1G1 G2 I3 I2 G2V1 G2G1 G2 I3Ovvero, considerando le resistenze anzich le conduttanze:

I1 R2R1 R2 I3 I2 R1R1 R2 I3Legge del partitore di tensione relativo alla serie di resistori

Supponiamo ora di avere due resistori in serie, rispettivamente di resistenza R1 e R2.

Figura 64: partitore di tensione relativo alla serie di resistori

Per la relazione costitutiva dei resistori, abbiamo:V1 R1I1 V2 R2I1Inoltre, per la KLV, abbiamo: V3 V1 V2 R1I1 R2I1 I1R1 R2Da ci possiamo ricavare che:

I1 V3R1 R2Sostituendo questa relazione nelle precedenti, otteniamo:

V1 R1I1 R1R1 R2 V3 V2 R2I1 R2R1 R2 V3Si osserva che in questo caso non scriviamo lanaloga relazione in funzione delle conduttanze, anche se

naturalmente potremmo farlo. Ci dovuto al fatto che la resistenza una grandezza largamente piutilizzata: sui componenti in commercio infatti riportato il valore di resistenza, non quello di conduttanza.


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Teorema massimo trasferimento di potenzaPreso in considerazione un bipolo affine, ovvero un componente che abbia una linea caratteristica rettilinea,se V1 e I1 sono misurate con la convenzione dei generatori:

Assumendo come ipotesi che il bipolo abbia come linea caratteristica una retta non parallela agli assi e apendenza negativa, L a potenza generata :

Pgenerata=V1I1

La potenza generata, graficamente, rappresentata come larea descritta dalle coordinate V1 e I1.Il bipolo affine pu anche essere rappresentato come una serie tra un resistore e un generatore indipendentedi tensione:


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Valendo ora la relazione V1=E1-R1I1La potenza generata pu quindi essere espressa come:

Pgenerata=E1I1-R1I12

Rappresentando in un piano cartesiano lequazione cos ottenuta, si ottiene una parabola con concavitrivolta verso il basso:

Da ci possibile osservare che la potenza generata ha il massimo in corrispondenza di I1=E1/2R1 cioI1 = A1/2 essendo A1=E1/R1, G1=1/R1 la corrente e la conduttanza del generatore equivalente Norton.Dalla relazione costitutiva segue che la tensione nel punto di massimo V1=E1-R1 A1/2 = E1/2.

Si giunge ad avere lequazione della massima potenza generata:

Pmaxgenerata= V1I1 = E1A1/4 = E12/4R1 = A2/4G1

Per esempio, in un circuito come quello nella seguente figura:

C2 assorbe potenza massima, quando C1 genera potenza massima. Ovvero valgono le seguenti relazioni:

V1=E1/2I1=A1/2

Disegnando ora le linee caratteristiche dei due componenti, possibile determinare se la potenza assorbita

dal componente C_2, pari alla potenza erogata da C_1, pari alla massima potenza erogabile da C_1, ovveroquando il punto di lavoro (intersezione delle due linee caratteristiche) ha le coordinate trovate (V1=E1/2,I1=A1/2 ).


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Prendendo C2 come resistore, vale per esso la legge di Ohm:

V1=R2I1Sostituendo V1 e I1 con i valori precedentemente ottenuti, si giunge a:

E1/2=R2A1/2R2=E1/A1=R1

Si pu dunque osservare che la potenza massima assorbita sar tale quando il resistore C2 ha resistenzauguale al resistore del componente composito C1.a


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Rendimento di un Generatore Reale

Nello studio teorico si considerano in genere i generatori come ideali. Un generatore ideale in grado diprodurre qualunque tensione e corrente senza alcun limite ed privo di resistenza interna. Il valoredi corrente o tensione generato indipendente dal carico applicato.

Nella realt non esistono generatori ideali, poich qualunque dispositivo ha una sua resistenza internaintrinseca.

Un generatore reale di tensione pu essere rappresentato come un generatore ideale di tensione conesplicitata in serie la resistenza interna, mentre il generatore reale di corrente pu essere rappresentato comeun generatore ideale di corrente con in parallelo la resistenza interna.

Si pu quindi capire che in un generatore reale ( a differenza di quello ideale) la potenza generata viene inparte dissipata allinterno del generatore stesso, si introduce quindi il concetto di rendimento del

generatore reale (ovvero il rapporto tra la potenza realmente erogata e la potenza generata):=V1I1/E1I1

Dal grafico sopra riportato si pu osservare come quando I1 tende a 0, ovvero V1 E1, 1 quindi il rendimento massimo.


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Nel caso del generatore reale di tensione, la potenza erogata dal generatore rappresenta la potenza assorbitadal bipolo C2 (utilizzatore).Tale potenza la differenza della potenza erogata dal generatore ideale di tensione interno a C1 e dallapotenza assorbita dal resistore R1 interno a C1.La potenza effettivamente assorbita dal carico per minore, essendo diminuita della potenza assorbita da

R1 entro C1.Il rapporto tra le due potenze V1, E1 compreso tra 0 e 1 e viene definito rendimento del generatore reale ditensione. Se si desidera massimizzare il rendimento, cio renderlo prossimo a 1 si vuole che il rendimento siaprossimo a 1Ci si ottiene quando R2 >>R1 in questo modo il punto di lavoro del circuito si sposta verso il punto dicoordinate (0, E1).

La massimizzazione del rendimento una condizione diversa rispetto a quella della massimizzazione dellapotenza erogata da C1 (problema a cui risponde il teorema di trasferimento di potenza).Il teorema del massimo trasferimento di potenza si usa soprattutto nell'elettronica di potenza, dove si hannopotenze piccole in gioco, e si vuole massimizzare la potenza in assorbita dal carico.

La massimizzazione del rendimento si usa soprattutto nell'elettrotecnica dove si hanno in gioco grossepotenze e si vuole evitare di perderne frazioni rilevanti."


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3.Dal modello fisicoal circuito elettrico

Carica e campo elettricoCarica elettricaPer carica elettrica un propriet fondamentale delle particelle elementari che si manifesta come la capacitdi un corpo di attrarre o respingerne un altro. Si pu infatti trovare in due forme, convenzionalmenteindicate come positiva e negativa.

Non tutti i materiali, per, si comportano allo stesso modo. Si nota, infatti, chemateriali della stessa natura presentano una forza repulsiva tra di loro.

Ne consegue che esistono due tipi diversi di cariche: quella che per

convenzione viene chiamata positiva e quella che per convenzione vienechiamata negativa. Due cariche dello stesso segno si respingono, mentre duediverse si attraggono, a differenze delle masse che presentano solo forza ditipo attrattivo.

Lunit di misura della carica elettrica nel SI il Coulomb [C]. Lunit fondamentale definita come laquantit di carica trasportata da un elettrone, ed pari a e=1,602 10C. Le cariche assumono valoriche sono multipli di questo valore base.

Campo elettrico

Le forze elettriche agenti su una carica q(carica puntiforme e ferma rispetto ad un sistema di riferimentoinerziale, detta carica campion) dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori, considerandoleffetto della risultante come sovrapposizione delle singole forze simultanee.Quello che si osserva sperimentalmente che una carica elettrica Q modifica lo spazio che lo circonda , inparticolare modifiche le propriet in un punto P nel quale ipotizziamo sia posta una seconda carica q chenon modifica il sistema in cui si trova.Questa regione di spazio viene chiamata campo elettrico : la carica q avverte una forza elettrica che dovuta alle nuove propriet della zona in cui si trova. Questo campo generato da un sistema di cariche ed definita come la forza elettrica F che agisce su una carica di prova divisa per la carica stessa.

E =F

qNCoVm

Il vettore campo elettrico una grandezza vettoriale il cui modulo dato dal rapporto sopra espresso e cheviene rappresentata mediante le linee di campo, che sono linee in cui in ciascun punto il campo elettrico E tangente alla traiettoria e il cui verso di percorrenza indica il verso del campo stesso.


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La tensione elettrica

La tensione del campo elettrico lungo la linea orientata , verr indicata per semplicit come ed quindi il lavoro che compie il campo elettrico su una carica interna per muoverla lungo secondo il versoprescelto, in questo caso da A verso B.

= Lunit di misura della tensione nel sistema internazionale (S.I) il Volt [V]

Per rappresentare la tensione che si esercita lungo la linea orientata si usautilizzare una freccia lungo la linea stessa, avente come coda il punto finale(nella fig., B) e come testa il punto finale della linea (A).

La definizione di tensione elettrica pu applicarsi anche al caso di linea chiusa. In questo caso gli estremi A eB coincidono. La tensione elettrica lungo una linea chiusa , che indicheremo con C, prende il nome dicircuitazione del campo elettrico

Dove il simbolo

indica che lintegrale di linea esteso a una linea chiusa. Lintegrale di linea lungo C

sar dato dalla sommatoria di integrali di linea lungo i tratti, che compongono la linea chiusa.

Legge di irrotazionalit del campo elettrico

Considerata una linea chiusa C in condizioni stazionarie (in modoche le grandezze elettriche quindi rimangano costanti, lacircuitazione del campo elettrico lungo una qualsiasi linea chiusa sempre nulla

= = 0Suddividendo la linea chiusa C in un numero n di tratti:

= = 0Ad esempio dividendo la linea chiusa con tre punti A, B, C osserviamo che: = 0Tenuto conto di come abbiamo definito la tensione elettrica, si ha come immediata conseguenza che la

tensione elettrica lungo una linea aperta non dipende dal percorso scelto ma solo dagli estremi della linea.


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Densit di corrente elettricaLa densit volumetrica di carica elettrica rappresenta la quantit di carica netta che presente in una regionedi spazio di valore | |.

=

||

Inoltre , il movimento che viene impresso dalla forza elettrica sulle cariche permette a ciascuna di esse diassumere una certa velocit di cui viene assunto un valore medio che viene definito come velocit mediadella cariche nella regione .

= 1 Essendo:

=

dove n definisce il numero di cariche elettriche considerate nella regione di spazio.A partire da queste due grandezze possibile definire una grandezza vettoriale

Definiamo cio la densit di corrente elettrica JJ =

Vediamo subito che J direttamente proporzionale alla quantit di carica elettrica e ha direzione e verso delvettore velocit media

Flusso di un campo vettoriale

In un conduttore, cio un materiale in cui le cariche elettriche si muovono liberamente, questultime sonosoggette a un campo elettrico : le cariche si muovono sotto lazione di una forza elettrica F = qE acquistandouna certa velocit media

. Tale moto d origine a quella che viene definita come corrente elettrica.

La corrente elettrica una grandezza fisica legata al moto della cariche elettriche nello spazio. Per definirla siutilizza il concetto matematico di flusso.

Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie definito come lintegrale del prodotto scalare delcampo con il versore normale della superficie, attraverso lintera superficie :

=

Flusso di un campo vettoriale genericodove il campo vettoriale di cui si vuole definire il flusso, la normale alla superficie e la superficieche consideriamo. Nel caso pi semplice, lintegrale quello di un campo A uniforme e di una superficie

piana la normale unica e si riduce al prodotto | |.


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In un caso generico quindi dobbiamo ricondurre il flusso del campo alla sommatoria di n termini, dove siapossibile dividere la superficie in n superfici piane, con approssimazione migliore del valore per n tendente ainfinito

( )

= l i m

| |Legge di continuit (solenoidalit) della carica elettrica

La legge di continuit della carica elettrica (affine alla Legge di conservazione della carica elettrica) e affermache : il flusso della densit di corrente elettrica (cio lintensit) attraverso una qualunque superficie chiusa e pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso dalla superficie .Detto pi semplicemente, quello che esce da una superficie chiusa doveva essere gi al suo interno.Non si crea nessuna carica elettrica, le cariche elettriche si conservano globalmente, anche se cariche positivee negative si possono elidere dato che possiedono segni opposti.In condizioni stazionarie la carica in una regione non costante, quindi dato che la quantit di carica cheattraversa una superficie orientata chiusa 0

J = 0 La legge di continuit alla base della Legge di Kirchhoff delle corrente la quale afferma che , definita unasuperficie chiusa che attraversi un circuito elettrico, la somma algebrica delle correnti che attraversano lasuperficie nulla. Verifichiamo cosa succede in un caso fisico

Data la superficie = per la legge di continuit avremo che

J = J J J

= 0Quindi = 0Lespressione analoga a quella della KCL (legge di Kirchhoff dellecorrenti). Come visto per la legge di irrotazionalit della tensione:osserviamo quindi che le leggi di Kirchhoff sono applicabili a partireda fenomeni fisici.

Legge di continuit della carica

Ma che relazione esiste tra le forze elettriche necessarie per mettere in moto le cariche e la velocit

media che queste assumono? In un materiale conduttore, la densit di corrente

J legata al campo

elettrico

dalla relazione:

J con una grandezza caratteristica del conduttore (in cui si muovono le cariche), detta conduttivit elettrica[Sm] Tale legge nota come legge d Ohm in forma locale.La legge si pu scrivere anche nella forma seguente: = J

dove la grandezza = 1 chiamata resistivit [m] del conduttore. A parit di campo elettrico, minore la resistivit del conduttore, maggiore la densit di corrente che pu circolare in esso.

Pu succedere che oltre al campo elettrico intervenga una campo che chiamiamo campo elettromotorecapace di mettere in moto i portatori di carica. La legge diventerJ =


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Il circuito fisico

Dal modello fisico al circuito elettrico

Consideriamo le regioni A, B, C, D a resistivit nulla ( = 0 m) - che siano cio dei buoni conduttori - eipotizziamo che le restanti regioni siano a resistivit non nulla, con la regione G avente campoelettromotore E capace di spostare cariche elettriche. Si tratta, quindi, dal punto di vista circuitale, di ungeneratore.

In mezzo a queste regioni presente laria, cattivo conduttore (o un isolante perfetto) che ipotizziamo abbiaconducibilit elettrica nulla ( = 0 S m: non sar possibile cio che in questa regione di spazio passicorrente.

Modello fisico di un circuito elettrico

Per cercare di risolvere questo modello fisico, introduciamo delle tensioni elettriche tra coppie di punti chestanno allinterno dei conduttori ideali a resistenza nulla. Si ha ad esempio che:

= dove t il vettore tangente alla linea in ciascun punto. La tensione non dipende n dalla linea, n dal puntointerno alla regione in cui arriva.

Difatti, se consideriamo una regione a = 0 e tracciamo una linea da un punto B ad un punto B, con B e Binterni alla medesima regione si ha:

E t d = E t d E t d

tra B e B il campo vale zero, dato che E = J, ma, allinterno della medesimaregione = 0.

Quindi:

E t d

= 0 E t d

= E t d

Se, invece, si scelgono due linee differenti, si ottiene:

E t d = E t d


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Ci dovuto allirrotazionalit del campo elettrico. Infatti, se si assumono due versi differenti, abbiamo E t d

= 0 E t d

E t d

= 0Da cui lequazione precedentemente riportata.Dal punto di vista circuitale la freccia usata nel modello pu essere considerata come una semplificazione

dello strumento di misura (il voltmetro) inserito in parallelo tra i punti di cui si vuole misurare la tensione.

Per quanto riguarda la corrente, se sezioniamo una regione a 0 e calcoliamo il flussodella densit di corrente elettrica lungo la superficie. Consideriamo che le regioni esterneal sistema abbiano conducibilit nulla, pertanto non permettano alle cariche di usciredalle regioni ( il circuito isolato).Si ha che:

I = J n d

Se spostiamo la superficie in modo che tagli lo stesso componente,lintegrale di linea non varia, per il principio di solenoidalit.

I = J n d

= 0

=

Essendo, per J = E e le regioni e a conducibilit nulla, si ha: J n d

J n d

=

0

Da cui: J n d = J n d La corrente, pertanto, non cambia al variare della sezione purch si rimangaallinterno del medesimo componente. Difatti, su ogni conduttore posso definireuna sola intensit di corrente.

Queste considerazioni ci portano ad affermare come esista una corrispondenza tra il modello fisico cheabbiamo ipotizzato e quello circuitale (elettrico) a cui stiamo cercando di arrivare. In particolare vediamocome le regioni a resistivit =

0 m, in un circuito sono i nodi. Osservato precedentemente come le leggi

di Kirchhoff siano deducibili dalle leggi di irrotazionalit e di continuit, resta da discutere sulle relazionicostitutive.

Sappiamo che le relazioni che legano il campo elettrico con la densit di corrente elettrica sono:J = E ed E = J

da questi deriva un legame tra corrente e tensioneI = G V e V R I

dove G la conduttanza, mentre R la resistenza.

Lo dimostreremo nel seguente importante esempio.- Esempio


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Utilizziamo questo modello semplificativo del ramo del circuito.La relazione in ogni punto data da J = E, non nullaSe consideriamo lunica componente x, avremo che:

= =

Essendo = , = Consideriamo una superficie tale che la normale abbia la direzione dellasse x

= d = = , S = area superficieRiprendendo la relazione di prima:

= = ( ) = dove = /SPrendiamo infine in rassegna il caso del generatore (componente elettromotore), la cui relazione

J = ( + )Il generatore reale espresso da un resistore R in serie con un generatore indipendente di tensione Riconducendoci alla figura sopra, sappiamo che = (Il moto delle cariche per ipotesi interno al conduttore quindi lunico componente)

= = - )e quindi = = Dato un problema elettrico posso calcolare tutte le tensioni e le correnti attraverso il modello circuitale

ottenuto.-- Limitazioni : e Jdevono essere costanti nel tempo


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4.n-poli resistiviUn n-polo resistivo cos detto perch le relazioni che legano tra loro le correnti e le tensioni sono relazionifinite (ovvero si tratta di equazioni lineari tra le tensioni e le correnti stesse).Per arrivare a scrivere le sopra citate equazioni, partiremo con lanalizzare il caso di un qualsiasi quadripoloresistivo, che rappresenteremo genericamente in questo modo:

Per analizzarlo ora passeremo ad utilizzare il metodo dei bipoli fittizi, ovvero analizzeremo il quadripolocome un componente composito composto da n-1 bipoli (nel nostro caso 3) posti nel modo seguente:

Questo tipo di rappresentazione chiamata albero di bipoli fittizi, e si pu notare come tensioni e correntisiano state poste con la convenzione degli utilizzatori.Con questo metodo possiamo arrivare a scrivere le equazioni del quadripolo in questione come:

f1V1,V2,V,I1,I2,I0f2V1,V2,V,I1,I2,I0f3

V1

,V2

,V3

,I1

,I2

,I3

0

Avendo per il semplice quadripolo resistivo da analizzare, si giunge al problema di conoscere i valori dellecorrenti e delle tensioni nei bipoli fittizzi. Per risolvere questo problema si procede in questo modo:

I1=I1I2=-I1+I2I3=-I2-I3I4=I3


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Questo metodo di rappresentazione di bipoli fittizi non per lunico possibile, possono esisterne molti altri,tra cui uno significativo il cosiddetto cespuglio di bipoli fittizi, che viene cos rappresentato:

Grazie alla rappresentazione per bipoli fittizi, si pu anche giungere alla formulazione della potenza

assorbita e della potenza generata per il quadripolo resistivo:Passorbita=V1I1+V2I2+V3I3Pgenerata=V1(-I1)+V2(-I2)+V3(-I3)

Lo stesso metodo lavorativo per bipoli fittizi pu essere applicato anche al caso del tripolo resistivo:

In questo caso il nodo 2 stato scelto come nodo comune, e si giunge alla seguente formulazione:f1(V1,V2,I1,I2)=0f2(V1,V2,I1,I2)=0

n-polo resistivo (o adinamico)Possiamo generalizzare quanto appena visto per il quadripolo e il tripolo resistivo anche per n-poli resistivi

con n generico. Introducendo correnti e tensioni secondo la stessa modalit usata per quadripolo e tripoloavremo infatti n 1 tensioni e n 1 correnti. Le equazioni che legheranno tra loro tensioni e correntiindicandoci il comportamento delln-polo saranno n 1, e saranno del tipo:

f1V1,V2,,Vn-1,I1,I2,In-10f2V1,V2,,Vn-1,I1,I2,In-10fnV1,V2,,Vn-1,I1,I2,In-10


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Doppio bipolo resistivoDefinizione di bipolo resistivo

Un doppio bipolo resistivo un componente che ha 4 terminali (un quadripolo) e nel quale le tensioni e lecorrenti sono legate tra loro da relazioni finite e lineari (perci detto resistivo).Essendo un quadripolo resistivo, ci aspettiamo che il doppio bipolo resistivo imponga tre equazioni tra 3

tensioni e 3 correnti, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, dove tali grandezze vengonointrodotte con il metodo dei bipoli fittizi. In realt per i doppi bipoli resistivi sono componenti particolari,che ci consentono di operare ulteriori semplificazioni, ma partiamo ora ad analizzarlo come se fosse unquadripolo resistivo che si presenterebbe dunque in questo modo:

Nel doppio bipolo per, la corrente I2 uguale a zero, e di conseguenza la sua rappresentazione potrebbeessere semplificata in questo modo:

Le porte e lintroduzione di correnti e tensioni

Per lintroduzione di correnti e tensioni in un doppio bipolo, si suddividono i suoi terminali in due gruppi

che prendono il nome di porte, ciascuno composto da due terminali. Introduciamo quindi le correnti e letensioni come in figura precedente.


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Al fine di introdurre correnti e tensioni, possiamo anche pensare di nascondere uno dei due gruppi diterminali alla volta. Ci che rimane , come evidente dalla figura 68, un bipolo resistivo. Possiamo dunqueintrodurre correnti e tensioni analogamente a quanto faremmo per il bipolo resistivo cos ottenuto.

Figura 68: Doppio bipolo resistivo considerato separando le due porte

Interpretazione del doppio bipolo come quadripolo

Il doppio bipolo resistivo impone le seguenti relazioni:f1V1,V2,I1,I20f2V1,V2,I1,I20Osserviamo che, introducendo le correnti, le tensioni e le equazioni in questo modo, abbiamo solamente 2

tensioni, 2 correnti e 2 equazioni per un doppio bipolo, mentre ci aspettavamo 3 tensioni, 3 correnti e 3equazioni per un quadripolo. In realt per questo accade solo apparentemente.Oltre alle due equazioni scritte abbiamo infatti le due relazioni:I1I'1I2I'2Delle quali una pu essere ricavata dallaltra tramite KLC al componente doppio bipolo. Scegliamo quindi diconsiderare solo la prima. Le equazioni perci sono esattamente 3. Inoltre in tal modo le correnti chevengono introdotte sono 3, perch occorre aggiungere I'1.Riassumendo, otteniamo:

f1V1,V2,I1,I20f2V1,V2,I1,I20I1I'1


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Esempi di doppi bi

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