Lezioni Di Elettrotecnica

LEZIONI DI ELETTROTECNICA

Giovanni Miano

Universit di Napoli FEDERICO II

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LEZIONI DI ELETTROTECNICA

Giovanni Miano

Universit di Napoli FEDERICO II

Nate dalle dispense del Corso di Elettrotecnica, in uso da alcuni anni presso laFacolt di Ingegneria dellUniversit di Napoli Federico II, queste Lezioni partonodai princpi di base dellElettromagnetismo e portano lallievo a scoprire prima ilmodello circuitale e poi le tecniche impiegate nellanalisi e nella progettazione deicircuiti.La teoria dei circuiti costituisce, oltre che un occasione per conoscere metodologiee tecniche tipicamente ingegneristiche per lo studio di problemi complessi, anche ilmomento per lapprendimento di alcuni strumenti matematici indispensabili percomprendere e progettare, nei vari campi applicativi dellelettronica e delletelecomunicazioni, dispositivi e circuiti elettronici per la comunicazione elelaborazione del segnale, sistemi di controllo e di potenza e circuiti a microonde.

Giovanni Miano professore ordinario di Elettrotecnica presso la Facolt diIngegneria dell'Universit di Napoli Federico II.

Napoli 10 aprile 2001

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Indice

Prefazione ix

CAPITOLO 0: LE LEGGI DELL'ELETTROMAGNETISMO

0.1 Le sorgenti del campo elettromagnetico 10.2 Le leggi dell'elettromagnetismo nel vuoto 4

0.2.1 Le Leggi di Maxwell in forma integrale 50.2.2 Le Leggi di Maxwell in forma locale 6

0.3 Le leggi dell'elettromagnetismo nei mezzi materiali 80.4 Equazioni di Maxwell in regime stazionario 13

0.4.1 Propriet del modello stazionario 130.4.2 Modello della conduzione stazionaria 150.4.3 Modello dell'elettrostatica 150.4.4 Modello del campo magnetico stazionario 160.4.5 Modello del campo magnetostatico 16

0.5 Approssimazioni quasi-stazionarie delle Equazioni di Maxwell 170.5.1 Modello quasi-stazionario elettrico 190.5.2 Modello quasi-stazionario magnetico 20

CAPITOLO 1: IL MODELLO CIRCUITALE

1.1 Introduzione 231.2 Interazione tra i componenti: un modello di campo approssimato 251.3 Corrente elettrica nel terminale e tensione elettrica tra due terminali 291.4 Circuiti di bipoli 311.5 Le leggi di Kirchhoff 341.6 Le relazioni costitutive 381.7 Il resistore 39

1.7.1 Limite stazionario: un problema di campo stazionario di corrente 411.7.2 Cosa accade quando le grandezze variano nel tempo? 46

1.8 Il generatore di tensione costante 491.9 Il condensatore 51

1.9.1 Limite lentamente variabile 521.9.2 Cosa accade quando f > f C ? 56

1.10 L'induttore 571.10.1 Limite lentamente variabile 591.10.2 Cosa accade quando f > fI ? 63

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1.11 Considerazioni finali 67

CAPITOLO 2: BIPOLI ELEMENTARI

2.1 Introduzione 692.2 Bipoli statici 712.3 Bipoli dinamici 77

CAPITOLO 3: LE EQUAZIONI CIRCUITALI

3.1 Introduzione 813.2 Elementi di teoria dei grafi 833.3 Equazioni di Kirchhoff per gli insiemi di taglio 883.4 Matrice di incidenza e matrice di maglia 903.5 Equazioni di Kirchhoff indipendenti 943.6 Equazioni circuitali 97

3.6.1 Esempio: circuito di resistori lineari e generatori indipendenti 983.6.2 Esempio: circuito composto da resistori lineari, generatori indipendenti e unresistore non lineare 1033.6.3 Esempio: circuito composto da resistori lineari, generatori indipendenti e uninduttore lineare 1073.6.4 Esempio: circuito composto da un resistore lineare, un generatoreindipendente, un resistore non lineare e un condensatore lineare 110

3.7 Potenziali di nodo 1133.8 Correnti di maglia 1193.9 Conservazione delle potenze virtuali (teorema di Tellegen) 124

CAPITOLO 4: PROPRIET ENERGETICHE DEI BIPOLI

4.1 Potenza elettrica. Conservazione delle potenze elettriche 1274.2 Significato fisico della potenza elettrica 129

4.2.1 Bipoli statici 1314.2.2 Bipoli dinamici 132

4.3 Energia elettrica. Bipoli passivi e bipoli attivi. 1354.4 Propriet energetiche dei bipoli statici 1364.5 Propriet energetiche dei bipoli dinamici lineari tempo-invarianti 1394.6 Bipoli dinamici non lineari tempo-invarianti 142

vCAPITOLO 5: PROPRIET DEI CIRCUITI DI RESISTORI

5.1 Bipolo equivalente. Connessione in serie e connessione in parallelo 1455.1.1 Collegamento di due bipoli statici in serie 1475.1.2 Collegamento di due bipoli statici in parallelo 149

5.2 Propriet dei circuiti resistivi lineari 1545.2.1 Circuito resistivo lineare con un solo generatore 1545.2.2 Sovrapposizione degli effetti 1565.2.3 Teorema di Thvenin-Norton 159

5.3 Teoremi di reciprocit 1665.4 Teoremi di non amplificazione 168

5.4.1 Teorema di non amplificazione delle tensioni 1685.4.2 Teorema di non amplificazione delle correnti 170

CAPITOLO 6: ELEMENTI CIRCUITALI A PI TERMINALI

6.1 Elementi circuitali con pi di due terminali. Circuiti di N-poli 1736.2 Potenza elettrica assorbita dal N-polo 1786.3 Caratterizzazione di un M-porte 1796.4 Il transistore bipolare e l'amplificatore operazionale 1816.5 Generatori controllati lineari 1866.6 Il giratore 1896.7 Il trasformatore ideale 1916.8 N-poli di resistori lineari 193

6.8.1 Caratterizzazione di un N-polo di resistori lineari 1946.8.2 Propriet della matrice delle conduttanze 1966.8.3 Sintesi di un N-polo resistivo lineare 2006.8.4 La trasformazione stella-triangolo 201

6.9 M-porte di resistori lineari 2036.9.1 Caratterizzazione di un M-porte di resistori lineari 2046.9.2 Propriet delle matrici delle conduttanze, resistenze e ibride 2096.9.3 Sintesi di un doppio bipolo resistivo lineare 213

6.10 Induttori accoppiati (trasformatore) 2146.10.1 Equazioni costitutive di due induttori accoppiati 2156.10.2 Circuiti perfettamente accoppiati e circuiti equivalenti 219

CAPITOLO 7: CIRCUITI DINAMICI LINEARI

7.1 Circuito resistivo associato e sistema fondamentale 2237.2 Equazioni di stato e variabili di stato 2257.3 Continuit delle variabili di stato di un circuito 232

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7.4 Circuiti del primo ordine 2397.4.1 Circuito RC del primo ordine: equazione di stato 2397.4.2 Circuito RL del primo ordine: equazione di stato 2427.4.3 Circuiti del primo ordine tempo-invarianti 2437.4.4 Evoluzione libera ed evoluzione forzata 2457.4.5 Circuito dissipativo; termine transitorio e regime permanente. 2457.4.6 Regime stazionario e regime sinusoidale 248

7.5 Circuiti del secondo ordine: equazioni di stato 2557.5.1 Circuiti RC del secondo ordine 2557.5.2 Circuito RL del secondo ordine 2577.5.3 Circuito RLC del secondo ordine 258

7.6 Circuiti del secondo ordine tempo-invarianti 2597.6.1 Propriet delle frequenze naturali 2637.6.2 Soluzione di regime e termine transitorio 2697.6.3 Regime stazionario e regime sinusoidale 2707.6.4 Applicazione: Circuito RLC serie e circuito RLC parallelo e altri esempi 2717.6.5 Applicazione: Circuito RC con amplificatore operazionale 278

7.7 Circuiti dinamici lineari tempo-invarianti di ordine qualsiasi 281

CAPITOLO 8: CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E SINUSOIDALE

8.1 Circuiti in regime stazionario 2858.2 Circuiti in regime sinusoidale: i fasori 2878.3 Analisi dei circuiti in regime sinusoidale tramite il metodo dei fasori 289

8.3.1 Circuito di impedenze 2928.4 Propriet delle reti di impedenze 295

8.4.1 Metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia 2968.4.2 Potenza virtuale complessa, Teorema di Tellegen, conservazione delle potenzeelettriche complesse 2968.4.3 Sovrapposizione degli effetti, equivalenze serie e parallelo, partitore ditensione, partitore di corrente 2978.4.4 Bipolo di impedenze 2998.4.5 Generatore equivalente di Thvenin-Norton 3008.4.6 Propriet della reciprocit e caratterizzazione di un doppio bipolo di impedenze 3028.4.7 Diagrammi fasoriali 303

8.5 Potenza ed energia in regime sinusoidale 3048.5.1 Propriet energetiche dei bipoli elementari in regime sinusoidale e rifasamento 3068.5.2 Caratterizzazione di un bipolo di sole impedenze 310

8.6 Reti in regime periodico e quasi-periodico 3118.7 Circuiti risonanti 3158.8 Cenni sui sistemi elettrici di potenza e sulle reti elettriche trifase 321

vii8.9 Voltmetro, amperometro e wattmetro 329

CAPITOLO 9: CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI

9.1 Introduzione 3339.2 Integrale di convoluzione 3359.3 Risposta all'impulso: metodi di calcolo e propriet 341

9.3.1 Soluzione di un circuito con generatori impulsivi attraverso la determinazionedelle condizioni iniziali a t = 0+ 3419.3.2 Propriet della risposta all'impulso di Dirac 3469.3.3 Risposta al gradino unitario 347

9.4 Trasformata di Laplace 3499.4.1 Trasformata di Laplace bilatera 3509.4.2 Trasformata di Laplace monolatera 360

9.5 Analisi dei circuiti in evoluzione forzata tramite la trasformata bilatera di Laplace 3639.5.1 Circuito di impedenze operatoriali 3659.5.2 Funzione di rete e sue propriet 367

9.6 Analisi dei circuiti in evoluzione generica tramite la trasformata di Laplace 3769.6.1 Analisi di un circuito lineare tempo-invariante attraverso la trasformata diLaplace monolatera 3769.6.2 Analisi di un circuito lineare tempo-invariante tramite generatori impulsivi 379

CAPITOLO 10: RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO

10.1 Funzione risposta in frequenza 38310.2 Propriet della funzione risposta in frequenza 38810.3 Analisi dei circuiti attraverso la risposta in frequenza 391

10.3.1 Risposta in frequenza di circuiti del primo ordine: filtro passa-basso e filtropassa-alto 39410.3.2 Risposta in frequenza di un circuito RLC del secondo ordine: filtro passa-banda e filtro taglia-banda 399

10.4 Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati 405

CAPITOLO 11: INTRODUZIONE AI FILTRI ANALOGICI

11.1 Generalit sui filtri analogici 41111.1.1 Filtri ideali 41111.1.2 Condizioni di fisica realizzabilit e filtri reali 414

11.2 Filtri di Butterworth 41611.3 Circuiti passa tutto e circuiti a fase minima 419

11.3.1 Circuito passa tutto 419

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11.3.2 Circuiti a fase minima 42211.4 Fattorizzazione spettrale 424

11.4.1 Fattorizzazione spettrale per i filtri di Butterworth 42511.4.2 Sintesi di funzioni di trasferimento a tutti poli tramite elementi passivi 427

11.5 Leggi di trasformazione 42911.5.1 Variazione in scala della frequenza di taglio 42911.5.2 Variazione in scala dell'impedenza 43011.5.3 Trasformazioni di frequenza 431

11.6 Sintesi di funzioni di trasferimento tramite elementi attivi 436

APPENDICI

Appendice AA.1 Unicit del problema di Dirichlet interno 441A.2 Unicit del problema di Neumann interno 442A.3 Unicit di un problema misto interno 443

Appendice BB.1 Teorema di Poynting 445B.2 Teorema di Poynting per i modelli approssimati delle equazioni diMaxwell 446

B.3 Potenza assorbita da un bipolo nel limite lentamente variabile 447

Appendice CPropriet della reciprocit per i circuiti accoppiati 449

Appendice DD.1 Forma standard x = B x 452D.2 Comportamento qualitativo delle soluzioni di D x = Ax 454

Appendice EE.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso 456E.2 Operazioni con i numeri complessi 458

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PREFAZIONE

Chi che non ha mai sentito parlare di elettricit? che non si mai avvalso delle sueapplicazioni? che non ha mai avuto a che fare coi watt e coi volt? Chi non ha mai usato uncircuito elettrico? Se non ci fosse stato limmenso progresso scientifico delle conoscenzeintorno a questo settore della fisica, e, di conseguenza, il meraviglioso sviluppo delleapplicazioni tecniche, la nostra vita quotidiana sarebbe oggi molto diversa. Soltanto, forse, lamedicina e la biologia, fra le scienze applicate, possono competere con l per ilnumero e limportanza dei loro risultati.

Queste Lezioni di Elettrotecnica partono dai princ pi di base dellElettromagnetismo eportano l'allievo alla padronanza delle metodologie e delle tecniche che, sulla base di questiprinc pi, producono applicazioni circuitali, fino alle soglie dello studio delle stesseapplicazioni. In questo senso questo corso fa da ponte tra le materie formative del primobiennio e quelle, altrettanto formative, ma in maniera pi specifica e applicativa, del successivotriennio del corso di studi in Ingegneria. La prospettiva assunta, dunque, vede il Corso diFisica II partire dai fenomeni per giungere alle leggi, fino al loro pi alto grado diformalizzazione espresso dalle Leggi di Maxwell, e il Corso di Elettrotecnica prendere lemosse da queste ultime per giungere fino alle applicazioni concrete di tipo circuitale, conlobiettivo di completare il bagaglio metodologico degli allievi.Giovanni Miano professore ordinario di Elettrotecnica presso la Facolt di Ingegneriadell'Universit di Napoli Federico II.

Napoli 18 aprile 2001 G. M.

xAVVERTENZAIn questo testo adopereremo il Sistema Internazionale di misura (SI). Pertanto una corrente

I 0 di 10 ampre verr semplicemente indicata come I 0 = 10 , senza riportarne esplicitamentelunit di misura. Qualora si tratti di multipli o sotto-multipli, il valore della grandezza verrriportato insieme all'unit di misura. In tal modo, indicheremo con C = 100 nF una capacit di107 F .

CAPITOLO 0

LE LEGGI DELLELETTROMAGNETISMO

0.1 Le sorgenti del campo elettromagnetico

Assumiamo nota dal corso di Fisica la nozione di carica elettrica (dei due segni), nonch larelativa unit di misura nel Sistema Internazionale (SI) (il coulomb, (C)). Le forze con le quali duecariche puntiformi interagiscono nel vuoto, in un riferimento inerziale, dipendono, oltre che dalla loroposizione reciproca, anche dalle rispettive velocit 1.

La Teoria dellElettromagnetismo nel vuoto prende in considerazione un arbitrario sistema dicariche (comunque distribuite), delle quali siano note a priori le leggi del moto (quali che siano) econsente di valutare la forza che si esercita su ciascuna carica, in ogni punto-istante (P;t) dellospazio-tempo occupato da essa, per effetto dell'azione di tutte le altre cariche presenti. La teoriaconsente, inoltre, di valutare anche la forza e il momento (rispetto a un polo arbitrario) risultanti suuna qualsiasi parte del sistema di cariche, in ogni istante.

Cosa vuole dire assegnare le leggi del moto delle cariche?Nell'ambito di una descrizione macroscopica dell'elettromagnetismo, le cariche possono

presentarsi sotto forma di cariche puntiformi concentrate, oppure aggregate in distribuzioni continue:lineari, superficiali o volumetriche. Una descrizione adeguata di questi aggregati continui di cariche ottenibile assegnando in ciascun punto della distribuzione una corrispondente densit scalare:rispettivamente, lineare =(P;t), superficiale =(P;t), volumetrica =(P;t).

Il significato di tali grandezze chiaro: nel caso di distribuzioni volumetriche, dire che in ungenerico punto P della distribuzione, la densit volumetrica ha il valore (P;t) al generico istante t,vuole dire che in un volume elementare d centrato in P presente una carica elementare

dQ = P td ; (1)

analogamente, per le distribuzioni superficiali e lineari risulta, rispettivamente,

dQ = P tdS (2)

1 A questo proposito vedi S. Bobbio e E. Gatti, Elementi di Elettromagnetismo, (Boringhieri, Torino 1984).

2 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

dQ = P td O , (3)

avendo indicato con dS e d O , rispettivamente, larea dellelemento superficiale e la lunghezzadellelemento lineare centrati nel generico punto P della distribuzione. Per ogni fissato istante ditempo il dominio di definizione di una linea, quello di una superficie e quello di unvolume dello spazio. pure ovvio che le unit di misura derivate per le tre densit, nel SI, sonorispettivamente [ ]= C m [ ]= C m2 [ ]= C m3

Assegnare, dunque, una distribuzione di cariche, in un dato istante, vuole dire assegnare leposizioni, in quell'istante, di tutte le cariche puntiformi che ne fanno parte, nonch le funzioniP t (P;t) e (P;t) , che descrivono, nello stesso istante, le distribuzioni degli aggregati continuidi cariche appartenenti al sistema. inutile dire che non sempre nel sistema sono presenticontemporaneamente tutti i diversi tipi di distribuzioni.

Osserviamo esplicitamente che, nell'ambito di una descrizione macroscopicadell'elettromagnetismo, possibile concepire la presenza contemporanea, in una stessa regionespaziale, di due distribuzioni di cariche di segno opposto. Cos, ad esempio, un volume elementared, centrato attorno a un punto P, pu essere considerato sede, nel medesimo istante, di duedistribuzioni volumetriche: una, positiva descritta da una densit + P;t , l'altra, negativa di densit

P;t . In tale caso, ovvio che la densit di carica totale (o netta) risulta pari a

P; t = + P;t+ P;t . (4)

Quando accade che

P; t = + P;t , risulta P t = 0 . Considerazioni analoghe valgono anche

per gli altri tipi di distribuzioni. importante sottolineare che, quando le cariche sono ferme nel nostro riferimento inerziale, di

solito, viene fornita la sola densit netta, e non le eventuali densit di segno opposto che lacompongono, poich gli effetti elettromagnetici risultanti dalla presenza contemporanea dellecariche dei due segni (considerate ferme) sono, in questo caso, pari a quelli prodotti dalla carica netta(o totale).

Diversamente stanno le cose quando passiamo a descrivere il moto delle cariche. In questo, caso,infatti, occorre partire dalla osservazione fondamentale che due cariche di segno opposto, che simuovono in versi opposti (con pari velocit) producono lo stesso effetto. Ci implica che se sonopresenti due portatori di carica, con densit pari rispettivamente a + P;t e P;t , occorrerspecificare tanto la velocit media Y+ P;t , quanto la Y P;t , con cui i due portatori si muovono

nel riferimento inerziale. Ci avviene introducendo due grandezze vettoriali, dette densit di corrente,date rispettivamente da:

- P t = + P tY+ P t , (5)-

P t =

P tY

P t . (6)

La densit di corrente totale data ovviamente da:

-P;t = -+ P;t + - P;t . (7)

Anche in questo caso, ci che interessa, alla fine, -P;t .

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 3

bene, per, osservare esplicitamente che la densit di corrente totale -P;t non pu essereintrodotta, in generale, a partire dalla sola conoscenza della densit di carica totale P; t . Il caso pievidente dato da quello, diffusissimo, che si verifica nei normali conduttori (di rame, ad esempio),nei quali la corrente elettrica dovuta al moto orientato dei soli elettroni, mentre gli ioni positivi delmetallo restano fermi. In questo caso, pure essendo

P; t = + P;t e quindi P; t = 0 , risulta:

- P t ,-

P t =

P t Y

P t(8)

quindi

-P t =

P tY

P t . (9)

Il conduttore, in altre parole, pu essere neutro elettricamente in ogni suo punto, e ci non pertantoessere percorso da corrente.

Come per le densit scalari di carica, anche per le densit vettoriali di corrente opportunointrodurre grandezze diverse a seconda che a muoversi siano cariche distribuite con continuit in unvolume, oppure su una superficie o ancora su una linea. Cos, oltre alla densit di correntevolumetrica J appena introdotta, possibile definire una densit di corrente superficiale -s , pari a:

-s P t = + P tY+ P t+ P tY P t (10)

e una lineare, - data da

- P t = + P tY + P t + P tY P t . (11)

Il campo -s definito su di una superficie e la sua direzione sempre tangente a essa, e il campo -

definito lungo una linea e la sua direzione sempre tangente a essa.

Nelle leggi del campo elettromagnetico in forma integrale le sorgenti compaiono attraversograndezze globali: la carica elettrica e l'intensit di corrente elettrica. Per distribuzioni volumetriche,la carica elettrica totale Q = Q t che allistante t si trova nella regione vale

Q t = P tdP (12)(Attenzione: Q = 0 non implica = 0 in .), e l'intensit di corrente elettrica i S = iS t cheall'istante t circola attraverso la superficie orientata S (aperta o chiusa) vale:

iS t = -Pt QdSPS . (13)L'integrale nella (13) il flusso del campo di densit corrente attraverso la superficie orientata S.(Attenzione: i S = 0 non implica J=0 su S). La corrente iS rappresenta la carica netta che nell'unit ditempo scorre attraverso S. Il segno di i S , per una assegnata J, dipende da come viene orientata lanormale n alla superficie S. La corrente elettrica nel SI si misura in ampere (A): 1A=1C/1s e le unitdi misura per i campi di densit di corrente sono, rispettivamente:

J[ ]= Cm3

m

s= A m2 J s[ ]= C

m2m

s= A m J[ ]= C

m

m

s= A


In conclusione, nellambito di una descrizione macroscopica dellelettromagnetismo, assegnare leleggi del moto delle cariche vuole dire fornire, per ogni tipo di distribuzione, rispettivamente, lacorrispondente densit totale (scalare) di carica e la corrispondente densit totale (vettoriale) dicorrente, come funzioni del punto e del tempo. Occorre, quindi, fornire, ad esempio, per ledistribuzioni volumetriche, le funzioni = P t e - -P t per ogni punto P e ogni istante t dellaregione di spazio-tempo che interessa.

0.2 Le leggi dellelettromagnetismo nel vuoto

Veniamo ora alle leggi che consentono di determinare la forza agente su una carica per effetto ditutte le altre, quando siano note le funzioni P t e -P t .

Sono possibili due approcci concettualmente distinti; entrambi fanno uso, comunque, di un fattofisico fondamentale: il cosiddetto Principio di sovrapposizione delle interazioni elettromagnetiche.Ci vuole dire che la forza cui soggetta una data carica (di prova) per effetto di un sistema di altrecariche (sorgente) pari alla somma (vettoriale) delle forze che sarebbero esercitate sulla carica diprova da ciascuna delle cariche-sorgente, considerata agente da sola (e cio senza le altre cariche-sorgente).

I due approcci di cui si parlava prima possono essere cos sintetizzati. In uno si considera la forzache viene ad agire su una data carica di prova per effetto di tutte le altre cariche-sorgente, considerateinsieme. Nell'altro si considera la forza esercitata sulla carica di prova da una singola carica-sorgente,e si sovrappongono gli effetti. Il primo approccio largamente preferito in Letteratura, perch diuso pi semplice. Noi seguiremo questo approccio.

In generale, la forza risultante F che agisce su una carica puntiforme q che passi, con velocit v,per un generico punto P all'istante t, data dalla forza di Lorentz:

) = q(P t+ qY %P t (14)

nella quale, tutte le grandezze (e cio coordinate del punto P, istante di tempo t, forza F, velocit v,carica elettrica q, etc) sono da intendersi misurate in uno stesso sistema di riferimento inerziale(quello del laboratorio, ad esempio). Il vettore E rappresenta, per definizione, il campo elettricoagente nel punto-istante (P;t) e B il campo magnetico (induzione magnetica) nello stesso punto-istante. La (14) consente di misurare, e quindi definire, separatamente E(P;t) e B(P;t).

Per misurare E basta mantenere la carica q ferma nel punto P e misurare la forza ) 0 che agisce, inqueste condizioni, su q. Il rapporto ) 0 q fornisce E:

( ) 0

q. (15)

Per misurare B, una volta misurato E, si attribuisca a q una velocit Y1 , e si misuri la forza )1 che, in

queste condizioni, si esercita su q; si ha allora:

)1 = )0 + qY1 % (16)

ripetiamo la misura attribuendo una nuova velocit, Y2 (non parallela a Y1) a q:


) 2 = ) 0 + qY2 % . (17)

Le (16) e (17) consentono di individuare univocamente B. In quanto precede, si assunto,ovviamente, che sia E che B non cambino significativamente nell'intervallo di tempo che intercorrefra le misure di ) 0 )1 e )2 . Ricordiamo che la forza nel Sistema Internazionale si misura in newton

(N) e la velocit in metro/secondo ([v]=m/s).Il campo elettromagnetico , per definizione, la coppia ordinata di funzioni vettoriali(P t %(P;t){ }, definite in una assegnata regione dello spazio-tempo. Nel SI il modulo del campo

elettrico misurato in volt/metro (V/m) e quello del campo di induzione magnetica in tesla (T).Il volt l'unit di misura della tensione elettrica. La tensione elettrica v , per definizione,

l'integrale di linea del campo elettrico lungo una curva i cui estremi sono A e B, orientata da $verso % :

v t = (P t Wd O . (18)

La tensione elettrica v rappresenta il lavoro che compirebbe il campo elettrico su una carica

puntiforme unitaria se si muovesse lungo da $ verso % . L'integrale di linea di E lungo unaqualsiasi curva chiusa orientata detta circuitazione del campo elettrico (nella letteratura vieneanche denominata forza elettro motrice (f.e.m.)).

0.2.1 Le Leggi di Maxwell in forma integrale

Le leggi che governano il campo elettromagnetico nel vuoto, nella loro forma pi generale,possono essere cos espresse (assumendo, per semplicit che siano presenti soltanto distribuzionivolumetriche di cariche e di correnti):

(QdS = t 10 d t = Q t0 , (19)%QdS =

t 0 , (20)( Wdl = %t QdSS t t , (21)% Wdl = 0 -+ 0 (t QdSS t t = 0IS t t+ 0 0 (t QdSS t , (22)

- QdS = t t d t , (23)

dove (t) una qualsiasi superficie chiusa contenuta nel campo, libera di muoversi e/o deformarsi(senza lacerazioni); t la regione di spazio delimitata da (t); (t) una qualsiasi linea chiusacontenuta nel campo, libera di muoversi e/o deformarsi (senza strappi); S t una qualsiasisuperficie (aperta) che abbia (t) come orlo; i versori (cio, i vettori unitari) t e n sono legatiattraverso la regola del cavatappi. Osserviamo che, nel caso in cui le linee e le superfici non sideformino nel tempo, possibile invertire l'operatore di derivata temporale con quello di integrale (ecio derivare sotto segno di integrale). 0 e 0 sono, rispettivamente, la costante dielettrica e lapermeabilit magnetica del vuoto e valgono nel SI


0 8.8542 10-12 F / m, 0 = 4pi 10-7 H / m ,

dove il farad (F) e lhenry (H) sono, rispettivamente, le unit di misura della capacit edellinduttanza nel SI: 1F=1C/1V, 1H=1Wb/1A.

Il weber l'unit di misura del flusso del campo magnetico attraverso una superficie. Il flusso delcampo magnetico attraverso una qualsiasi superficie (chiusa o aperta) orientata S per definizione l'integrale di superficie della componente normale di B:

S t = %P t QdSS . (24)Dalla (24) si ottiene che 1Wb=1T1m2 e dall'equazione (21) si ottiene anche che 1Wb=1V1s.

Le leggi dell'elettromagnetismo appena scritte prendono il nome di Equazioni di Maxwell in formaglobale o integrale, in quanto esse legano le circuitazioni ed i flussi dei campi E e B tra di loro ealle cariche e correnti. Le (19) e (20) sono le Leggi di Gauss per il campo elettrico e per il campomagnetico; la (21) la legge di Faraday-Neumann, la (22) la legge di Ampre-Maxwell, la (23) lalegge di conservazione della carica elettrica. Come si vede, le sorgenti del campo elettromagnetico (ecio i termini noti nelle (19)(23)) sono la distribuzione delle cariche P t e delle correnti -(P;t) .Esse compaiono attraverso la carica elettrica Q e l'intensit di corrente elettrica i S .

Dall'equazione (20) si ha che il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa sempre uguale a zero; per tale motivo si dice che il campo magnetico conservativo rispetto alflusso. Da questa notevole propriet discende che il flusso del campo magnetico attraverso unaqualsiasi superficie aperta dipende unicamente dalla curva chiusa che orla la superficie (ciodall'orlo) e non da altri particolari. Siano S1 e S2 due superficie aperte che hanno lo stesso orlo orientate concordemente. Applicando la (20) alla superficie chiusa ottenuta dall'unione delle superficiS1 e S2 si ottiene immediatamente

t = %P t Q1dS1s1

= %P t Q2dS2s2 (25)Per questo motivo quando si considera il flusso del campo B attraverso una qualsiasi superficie apertasi parla di flusso concatenato con la linea chiusa che orla la superficie e lo si indica ricordando apedice la linea chiusa che orla la superficie.

0.2.2 Le Leggi di Maxwell in forma locale

Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo possono essere espresse anche nella forma localeo differenziale equivalente.

Si assuma che, oltre alla distribuzione volumetrica di cariche e correnti, vi sia una distribuzionesuperficiale di cariche e di corrente -s sulla superficie . In questo caso bisogna distinguere le

regioni in cui il campo continuo dalle regioni in cui non lo : certamente in corrispondenza dellasuperficie il campo elettromagnetico presenta delle discontinuit.

Per ottenere le equazioni di Maxwell in forma locale nelle regioni in cui il campo regolare bastaapplicare il teorema della divergenza alle equazioni (19), (20) e (23) ed il teorema del rotore alle


equazioni (21) e (22). Per ottenere le equazioni in corrispondenza della superficie di discontinuitbisogna applicare le equazioni (19), (20) e (23) a una superficie elementare cilindrica posta a cavallodi e far tendere poi l'altezza del cilindro a zero e le equazioni (21) e (22) a una linea chiusaelementare a forma di rettangolo posta sempre a cavallo di e far tendere poi la larghezza delrettangolo a zero. Cos facendo si ottengono le Equazioni di Maxwell in forma locale:

punti regolari punti di discontinuit

div( = 0

, Q ((2 (1) = / 0 , (26)

div% = 0, Q (%2 %1) = 0 , (27)rot( =

%t , Q ((2 (1) = , (28)

rot%= 0(-+ 0(t ), Q (%2 %1) = 0-s , (29)

div- = t , WGLY

=+ ---Q )( 12 . (30)

Per le distribuzioni lineari (di cariche e di correnti) e puntiformi (di cariche) possono essere dateespressioni analoghe locali, ma sono di scarso uso.

Le equazioni (26) e (28) per i punti regolari (e le equivalenti per i punti di discontinuit) sono ledue condizioni richieste dal teorema di Helmholtz 2 per determinare il campo elettrico E;analogamente, le (27) e (29) per i punti regolari (e le equivalenti per i punti di discontinuit)consentono di determinare B. Infine, le equazioni (30) costituiscono il vincolo imposto sulle sorgentidel campo elettromagnetico dalla legge della conservazione della carica elettrica.

Osservazioni

2 Il teorema di Helmholtz assicura che, se di un campo vettoriale sono noti il rotore e la divergenza in tutti ipunti dello spazio, il campo univocamente determinato, purch esso sia regolare all'infinito.

La divergenza di un campo vettoriale A (divA) un campo scalare cos definito: si consideri una regione incui A definito, un dominio spaziale contenuto in e limitato da una superficie chiusa regolare orientatacon la normale rivolta verso l'esterno e sia V il volume di . Si faccia contrarre la regione attorno a un puntofisso P . Il limite per V 0 (se esiste ed finito indipendentemente dalla forma di ) del rapporto

$ QdS( ) V la divergenza di A in P . In coordinate cartesiane rettangolari si hadiv$ = Ax x + Ay y + Az z dove Ax Ay Az sono le componenti del campo A nel sistema dicoordinate considerato. In modo analogo si definisce la divergenza superficiale divsAs di un campo vettorialesuperficiale.

Il rotore di un campo vettoriale A (rotA) un altro campo vettoriale cos definito: si consideri una regione , in cui A definito e sia P un punto di tale regione. Data una qualsiasi superficie aperta S passante per P , sia lalinea chiusa orientata (l'orientazione di e la normale n devono essere concordi secondo la regola del cavatappi),che ne costituisce l'orlo. Si faccia contrarre la superficie S attorno a P mantenendo fissa la normale n a S in P . possibile dimostrare che, al variare di n il limite per S 0 (se esiste ed finito indipendentemente dallaforma di S e ) del rapporto $ Wdl( ) S corrisponde alla componente, secondo le direzione n, di un vettoreunivocamente individuato. Esso il rotore di A in P . In coordinate cartesiane rettangolari si ha

rot$ = [

x + \y + ]

x

(Ax[ + Ay\ + Az] effettuando formalmente i prodotti vettoriali considerati.


Le equazioni (26)(30) per i punti regolari (o le corrispondenti (19)(23) in forma integrale) nonsono tutte indipendenti. facile mostrare che, se le equazioni (26) e (27) per i punti regolari sonoverificate in un istante qualsiasi, allora dall'equazione (28) per i punti regolari si ottiene la (27), edalle equazioni (29) e (30) si ottiene la (26). In particolare l'equazione della conservazione dellacarica (30) per i punti regolari gi scritta nelle corrispondenti equazioni (26) e (29).

Le equazioni (26)(30) (o le equivalenti in forma integrale (19)(23)), unite alle definizioni fisichedelle grandezze che vi figurano, costituiscono l'intero quadro della teoria dell'elettromagnetismo nelvuoto: tale teoria consente di affrontare qualsiasi problema fisico e ingegneristico che si riferisca asituazioni nelle quali non siano presenti mezzi materiali (conduttori, dielettrici, materialiferromagnetici), oppure, come si vedr, siano presenti soltanto mezzi trasparenti al campoelettromagnetico.

I problemi che pi frequentemente si incontrano nella tecnica, per ci che riguarda le situazionifinora considerate, possono essere classificati in due grandi categorie: quelli in cui si pu assumereche la distribuzione delle sorgenti sia nota nell'intero spazio (in questo caso bisogna imporre lecondizioni iniziali e le condizioni di regolarit all'infinito); quelli in cui la distribuzione dellesorgenti sia nota soltanto in una regione limitata dello spazio (o, addirittura, non sia affatto nota), masi conoscano, in aggiunta, opportune condizioni al contorno sulla frontiera della regione nella qualesi considera il campo, nonch lecondizioni iniziali.

0.3 Le leggi dellelettromagnetismo nei mezzi materiali

Quando il campo elettromagnetico interessa mezzi materiali (conduttori, isolanti, materialimagnetici, etc), le equazioni che esprimono le leggi generali dell'elettromagnetismo assumono unaforma pi complessa, poich le sorgenti del campo non si limitano pi soltanto a quelle presenti nellospazio vuoto (delle quali sono note a priori le distribuzioni), ma comprendono anche quelle che sigenerano nei mezzi materiali per effetto dell'interazione del campo elettromagnetico ivi presente. Nederiva che queste nuove distribuzioni svolgono allo stesso tempo il ruolo di sorgenti (e quindi - se sivuole - cause) del campo e quello di effetto (in quanto determinate dal campo stesso). Di qui, lamaggiore complessit richiesta dalla descrizione dei fenomeni elettromagnetici in presenza di mezzimateriali.

I fenomeni che si manifestano nei mezzi materiali, quando immersi in un campo elettromagnetico,sono cos classificabili: conduzione elettrica, polarizzazione elettrica e polarizzazione magnetica.Pu riscontrarsi la presenza significativa di pi d'uno di tali fenomeni, oppure la prevalenza di unosolo (ad esempio, in un pezzo di ferro sono significativi sia il fenomeno della conduzione che quellodella polarizzazione magnetica, mentre in uno di rame significativo soltanto quello dellaconduzione e in uno di plastica quello della polarizzazione elettrica).

Il fenomeno della conduzione elettrica caratterizzato dalle distribuzioni di cariche e correnti(superficiali e volumetriche), risultante dall'azione del campo elettromagnetico sui portatori di caricaliberi di muoversi nel conduttore su dimensioni macroscopiche.


Il fenomeno della polarizzazione elettrica caratterizzato dal campo di intensit di polarizzazioneelettrica P, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo elettrico per unit divolume risultante dall'azione del campo elettromagnetico complessivo sul materiale. Infine, ilfenomeno della polarizzazione magnetica caratterizzato attraverso il campo di intensit dimagnetizzazione M, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo magneticoper unit di volume indotto dal campo elettromagnetico.

Alla distribuzione di dipoli elettrici descritta da P possibile sostituire una distribuzioneequivalente di cariche (di volume e superficiali) che producono gli stessi effetti ai fini del camporisultante. A queste cariche, che in un dielettrico polarizzato sono localizzate, in generale, sia sullasuperficie esterna, con densit superficiale p = 3 Q (n il versore normale alla superficie, direttoverso l'esterno), sia nel volume con densit volumetrica p = div3 , si d il nome di cariche dipolarizzazione (o anche legate), per distinguerle da quelle libere presenti nei conduttori (che, adesempio, possiamo togliere o aggiungere alle armature di un condensatore). Analogamente alladistribuzione di dipoli magnetici descritta da M possibile sostituire una distribuzione equivalente dicorrenti (di volume e superficiali) che producono gli stessi effetti ai fini del campo risultante. Aqueste correnti, che in un materiale magnetico sono localizzate in generale sia sulla superficieesterna, con densit superficiale -sm = 0 Q , (anche in questo caso n il versore normale allasuperficie diretto verso l'esterno), sia nel volume con densit volumetrica -m = rot0 , si d il nome dicorrenti di magnetizzazione (o vincolate), per distinguerle dalle ordinarie correnti di conduzione, cheseguono percorsi macroscopici definiti dai conduttori presenti, correnti che possono essere inserite ointerrotte mediante un interruttore, e misurate con un amperometro. Queste ultime vengono chiamatecorrenti libere.

Va detto con chiarezza che, ove mai fosse possibile conoscere a-priori la distribuzione dellesorgenti legate ai mezzi materiali presenti, oltre che di quelle libere, le leggi del campoelettromagnetico potrebbero ancora essere utilizzate nella forma relativa allo spazio vuoto (come se imezzi materiali non esistessero), a patto, naturalmente, di fare figurare fra le sorgenti anche quellelegate (oltre che quelle libere). Analoga situazione si ha quando i mezzi materiali presenti sianocompletamente trasparenti al campo elettromagnetico: ci si verifica quando nel mezzo materiale nonvengono indotte sorgenti significative per effetto della presenza in esso del campo elettromagnetico( il caso, ad esempio, dell'aria in condizioni usuali, nonch di altri gas).

Nelle situazioni pi frequenti che si presentano nella tecnica, le cose stanno per, come si detto,in modo pi complicato, perch anche quando si ammetta di potere conoscere a priori la distribuzionedi tutte le sorgenti libere (come poi vedremo, quasi sempre anche esse sono incognite del problema),non nota a priori quella delle sorgenti legate perch non noto il campo complessivo: occorre,quindi, trovare il modo di riuscire a determinare insieme sia queste, sia il campo elettromagnetico cheesse contribuiscono a produrre. A questo scopo, le equazioni del campo elettromagnetico in presenzadi mezzi materiali assumono la forma seguente (per non appesantire le equazioni omettiamo di nuovodi scrivere i contributi dovuti alle distribuzioni superficiali e lineari di cariche e correnti libere):

' QdS = t libd t (31)


%QdS = t 0 (32)( Wdl = %t QdSS t t , (33)+ Wdl = -lib + 't QdSS t t , (34)-lib QdS = t libt d t . (35)

Come si vede, nella legge di Gauss elettrica figura a primo membro un nuovo campo vettoriale,il vettore spostamento elettrico D (detto anche induzione elettrica) e, a secondo membro sonopresenti le sole sorgenti libere, lib . Il campo D legato al campo E e al campo P tramite larelazione

' = 0( + 3 . (36)Analogamente, nella legge di Ampre-Maxwell, figura a primo membro un nuovo campo vettorialeH, (l'intensit di campo magnetico), mentre, a secondo membro, sono presenti la densit di correntelibera - lib e la densit di corrente di spostamento ' t . Il campo H legato al campo B e al campoM tramite la relazione

% = 0 ++ 0 . (37)La circuitazione di H lungo una qualsiasi curva chiusa orientata detta forza magneto-motrice(f.m.m.); essa ha le stesse dimensioni della corrente elettrica. Nella legge di conservazione dellacarica, infine, figurano le sole sorgenti libere. Nel Sistema Internazionale l'unit di misura del modulodi D e di P C / m2 e l'unit di misura del modulo di H e di M A/m. Anche nei mezzi materiali ilcampo magnetico B conservativo rispetto al flusso.

Le leggi generali del campo elettromagnetico (31)(35) sono indipendenti dalla costituzione fisicadei mezzi materiali presenti. Esse non sono, di per s, sufficienti a descrivere il campoelettromagnetico: occorrono altre relazioni, dette costitutive, che dipendono univocamente dallacostituzione fisica dei mezzi materiali, capaci di definire le caratteristiche fisiche di tipoelettromagnetico dei mezzi materiali presenti. Nelle normali applicazioni tecniche che pi interessanoqueste lezioni, queste relazioni sono del tipo ' = 0( + 3( = '( % = 0 >++ 0+ @ = %+- lib = -(%Y %(

Stiamo considerando materiali dielettrici in cui il campo P in un qualsiasi

punto-istante dipende unicamente dal valore del campo elettrico nello stesso punto-istante e materialimagnetici in cui il campo M in un qualsiasi punto-istante dipende unicamente dal valore del campo Hnello stesso punto-istante (materiali senza memoria e senza dispersione spaziale). Il campo dicorrente J in un mezzo conduttore, in un qualsiasi punto-istante, pu dipendere, oltre che dal valorecampo elettrico nello stesso punto-istante, anche dal campo magnetico B (effetto Hall), dalla velocitdel conduttore attraverso la grandezza Y % (nelle dinamo e negli alternatori) e da campi di forze dinatura non elettrica, che abbiamo indicato con E* (ad esempio, il campo elettromotore di naturachimica di una pila o il campo elettromotore di natura fotoelettrica nelle celle solari). Nei diodi e neitransistori, se i campi variano lentamente, - lib dipende non linearmente da E.

Le relazioni costitutive si particolarizzano, per materiali in quiete lineari e isotropi nelle:' = (, (38)% = +, (39)


- = ( +( (40)nelle quali e sono grandezze scalari indipendenti dai campi. Esse sono, rispettivamente, lacostante dielettrica del materiale, la permeabilit magnetica e la conducibilit elettrica e sono daintendersi misurate nello stesso sistema di riferimento inerziale in cui vanno misurate tutte le altregrandezze. Esse possono essere non uniformi (e cio variabili da punto a punto del materiale) e tempovarianti (e cio variabili nel tempo). In un conduttore ohmico in quiete la (40) si riduce a

- = ( . (41)

Il limite 0 descrive il comportamento di un materiale isolante, come il dielettrico ideale: inquesti materiali non circola corrente pur in presenza di un campo elettrico. Invece il limite descrive il comportamento di materiali con elevatissima conducibilit, cio il comportamento deiconduttori ideali: in questo caso pur in presenza di correnti che circolano nel conduttore il campoelettrico nullo. La conducibilit elettrica, nel SI, si misura in siemens (S) e la resistivit elettrica ,definita come =1/, si misura in ohmmetro (m), quindi 1S=1/1. L'ohm () l'unit di misuradella resistenza elettrica e 1=1V/1A.

Le equazioni di Maxwell per i mezzi materiali (31)(35) possono essere espresse in forma locale,cos come stato fatto per il caso del vuoto. In presenza di corpi materiali occorre, per, distinguere ipunti in cui le propriet dei mezzi materiali sono continue da quelli in cui sono discontinue (ciaccade in genere in corrispondenza di superfici di discontinuit dei parametri fisici caratteristici deimateriali, come, ad esempio, la costante dielettrica, la conducibilit, etc). Operando questadistinzione abbiamo:


div' = lib , Q '2 '1 = lib , (42)div% = 0, Q (%2 %1) = 0 , (43)rot( =

%t , Q ((2 (1) = , (44)

rot+ = -lib +'t Q +2 +1 = -slib , (46)

div-lib = libt . Q -2 -1 + divs-slib =

libt . (47)

Nelle (42), (46) e (47) lib e -slib sono, rispettivamente, distribuzioni superficiali di cariche e dicorrenti libere; come poi vedremo esse possono nascere sulle superfici dei conduttori.

Il quadro completo della teoria dellelettromagnetismo in presenza di mezzi materiali lineari,isotropi e senza memoria dunque costituito dalle equazioni di Maxwell in forma locale (42)(47)(o equivalentemente da quelle in forma integrale (31)(35)), dalle equazioni costitutive dei mezzimateriali (38)(40), unite alle condizioni iniziali e alle condizioni di regolarit all'infinito. Coscome accade per le equazioni del campo elettromagnetico nel vuoto, le equazioni (42)(47) nei puntiregolari (o le equivalenti (31)(35)) non sono tutte indipendenti.


Lequazione (33) (o lequivalente (44) per i punti regolari) descrive il fenomeno dellinduzioneelettromagnetica secondo il quale, in presenza di campi magnetici variabili nel tempo, lacircuitazione del campo elettrico , in generale, diversa da zero. , questo, uno dei fenomeni piimportanti dell'elettromagnetismo: conseguenza immediata che l'integrale di linea di E, esteso a unalinea AB , (la tensione elettrica lungo AB ), in presenza di un campo magnetico variabile nel tempo,dipende, oltre che dagli estremi A e B, anche dal cammino di integrazione. Quando in una regionedello spazio esiste un campo magnetico variabile nel tempo, ad esso associato sempre un campoelettrico rotazionale.

Il termine della densit di corrente di spostamento ' t nell'equazione di Ampre-Maxwell (34)(o l'equivalente (46) per i punti regolari) descrive il fenomeno dell'induzione magnetoelettrica,secondo il quale la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa non dipende soltantodal flusso di J, ma anche dal flusso della derivata di D rispetto al tempo.

L'accoppiamento tra E e H, prodotto dai fenomeni di induzione elettromagnetica emagnetoelettrica, all'origine del fenomeno della propagazione del campo elettromagnetico 3. Inpresenza di mezzi conduttori c' un altro meccanismo che accoppia il campo elettrico al campomagnetico: un campo elettrico variabile nel tempo produce nei conduttori correnti che generano uncampo magnetico, il quale a sua volta, essendo variabile nel tempo, contribuisce al campo elettrico.Questo accoppiamento all'origine del fenomeno della diffusione del campo elettromagnetico neiconduttori (correnti di Foucault).

Osservazione

In tutti i sistemi elettromagnetici artificiali, cio quelli che l'uomo costruisce, le sorgenti reali(cio quelle che possibile fissare a piacere attraverso manopole), non sono n le cariche libere, nle correnti libere, ma i campi elettromotori, oppure le tensioni del campo elettrico tra determinatecoppie di punti e lungo certi cammini (si pensi, ad esempio, alle prese di corrente nelle nostreabitazioni, nei laboratori, etc; in questo ultimo caso le sorgenti entrano in gioco tramite le condizionial contorno). Le cariche e le correnti libere che nascono nei corpi conduttori e sulle loro superficisono incognite del problema, assieme al campo elettromagnetico. La progettazione di un sistemaelettromagnetico si riduce, in ultima analisi, proprio alla determinazione della struttura fisica delsistema e delle sorgenti reali che realizzino determinate configurazioni di cariche, correnti e campoelettromagnetico.0.4 Equazioni di Maxwell in regime stazionario

Quando il campo elettromagnetico stazionario (ci si verifica se le sorgenti sono costanti neltempo e i transitori si sono estinti) il modello matematico si semplifica notevolmente. Le equazionidel campo elettrico e del campo di corrente si disaccoppiano da quelle del campo magnetico perchtutti i termini che compaiono sotto derivata temporale nelle equazioni di Maxwell si annullano:

3 A questo proposito vedi G. Franceschetti, Campi Elettromagnetici (Boringhieri, Torino 1983).



div' = lib rot( = div-lib = 0

Q '2 '1 = lib

Q (2 (1 =

Q -2 -1 = 0

(48)

div% = 0rot+ = -lib

Q %2 %1 = 0Q +2 +1 = -slib

(49)

Osserviamo subito che il vettore - lib figura come incognita nelle (48), laddove, invece, apparecome sorgente del campo magnetico nelle (49). Come poi vedremo, le equazioni (48) consentono dideterminare il campo elettrico e il campo di corrente una volta assegnate le sorgenti, mentre leequazioni (49) consentono di determinare il campo magnetico prodotto da quel campo di corrente.

0.4.1 Propriet del modello stazionario

Nel regime stazionario, il campo elettrico irrotazionale nelle regioni dello spazio in cui regolarerot( = , (50)

ed conservativo rispetto alla circuitazione, cio:

( Wdl = 0 (51)

per ogni curva chiusa orientata . Pertanto il campo elettrico in regime stazionario pu essere sempreespresso attraverso il gradiente 4 di un potenziale scalare =(P), il cosiddetto potenziale elettricoscalare,

( = . (52)

Pertanto per la tensione elettrica v abbiamo

v = ( Wd O = $ % , (53)

ed indipendente dalla linea che connette i punti $ e % .Il campo di densit di corrente stazionario solenoidale nelle regioni dello spazio in cui regolare

ed conservativo rispetto al flusso, cio:

- lib QdS = 0 (54)per ogni superficie chiusa orientata . Esso, quindi, pu essere sempre espresso attraverso il rotore diun campo vettoriale T=T(P) (potenziale vettore elettrico)

4 Il gradiente di un campo scalare U (gradU) un campo vettoriale cos definito: si consideri una regione in

cui il campo scalare U definito, un punto P 0 di , e una generica retta orientata s passante per P 0 e un altropunto P di essa. Si faccia tendere a zero la distanza d(P, P 0 ) tra P e P 0 . Il limite per d(P, P 0 ) 0 del rapportoincrementale > UP UP 0 @ dP P 0 (se esiste ed finito), al variare di s, corrisponde alla componente,secondo le direzione s, di un vettore univocamente individuato. Esso il gradiente di U in P 0 .


- lib = rot7 . (55)

Il campo magnetico H irrotazionale soltanto nelle regioni prive di correnti libere, mentre non conservativo rispetto alla circuitazione. Si ha infatti:

+ Wdl = i (56)dove una qualsiasi curva chiusa orientata e i la corrente libera che circola attraverso unaqualsiasi superficie S aperta che ha come orlo (la superficie orientata concordemente con ilverso scelto per secondo la regola del cavatappi)

i = - lib QdSS . (57)Sono infinite le superfici S che hanno come orlo. Quale scegliere? Una qualsiasi, poich il flussodi - lib indipendente dalla particolare superficie scelta, essendo il campo di corrente stazionarioconservativo rispetto al flusso: i dipende unicamente dalla curva . Questo il motivo per cui si usal'espressione corrente (o flusso) concatenato con .

Infine il campo magnetico B, come gi abbiamo messo in evidenza, sempre conservativo rispettoal flusso, anche quando i campi sono variabili nel tempo. Pertanto esso pu essere sempre, e non solonel caso stazionario, espresso attraverso il rotore di un campo vettoriale A=A(P) (potenziale vettoremagnetico)

% = rot$ . (58)

Per ottenere modelli matematici chiusi, alle leggi dei campi stazionari bisogna aggiungere lerelazioni costitutive dei mezzi materiali, nonch opportune condizioni al contorno. In letteratura,vengono trattati separatamente i sistemi stazionari in cui circolano correnti e quelli in cui, pureessendovi conduttori in presenza di campi elettrici, le correnti sono assenti.

Il primo caso descritto dal modello del campo stazionario di corrente. Esso costituitodall'insieme di equazioni che descrivono - lib ed E in un sistema fisico fatto di conduttori in cui

circolino correnti e isolanti .Il secondo caso descritto dal modello del campo elettrostatico. Esso costituito dall'insieme di

equazioni che descrivono il campo elettrico in un sistema fisico fatto ancora di materiali conduttori eisolanti, in cui, questa volta, non vi siano correnti (le cariche sono, cio, ferme).

0.4.2 Modello della conduzione stazionaria

Il modello del campo stazionario di corrente costituito dalle equazioni:


rot( = , Q ((2 (1) = , (59)div- = 0, Q (-2 -1) = 0 , (60)


- = ( +( , (61)

dove E* un campo elettromotore stazionario assegnato; sia che E* sono in generale non uniformie discontinui.

Il rotore di J (e, con esso, la relazione tra le componenti tangenti di J sulle superfici didiscontinuit) si ottiene dalla (59) facendo uso della relazione costitutiva (61); la divergenza di E (e,con essa, la relazione tra le componenti normali di E sulle superfici di discontinuit) si ottiene dalla(60) ancora facendo uso della relazione costitutiva (61). Il campo J non conservativo rispetto allacircuitazione e il campo E non conservativo rispetto al flusso. Una volta determinato E, le carichelibere si ottengono utilizzando la legge di Gauss per il campo elettrico. Come vedremo in seguito,queste equazioni, insieme alle condizioni al contorno, sono sufficienti per determinare ladistribuzione dei campi E e J (stiamo omettendo di scrivere il pedice lib).

0.4.3 Modello dellelettrostatica

Il modello dell'elettrostatica dato da:


div' = lib , Q '2 '1 = lib , (62)rot( = , Q ((2 (1) = , (63)

' = (. (64)

In questo modello le uniche sorgenti sono le cariche ferme. La costante dielettrica , in generale,non uniforme e discontinua.

Il rotore di D (e, quindi anche, la relazione tra le componenti tangenti di D sulle superfici didiscontinuit) si ottiene dalla (63) facendo uso della la relazione costitutiva (64); la divergenza di E(e, quindi anche, la relazione tra le componenti normali di E sulle superfici di discontinuit) siottiene dalla (62) facendo uso, ancora, della relazione costitutiva (64). Il campo D non conservativorispetto alla circuitazione e il campo E non conservativo rispetto al flusso. Come vedremo inseguito, queste equazioni, insieme alle condizioni al contorno, sono sufficienti per determinare ladistribuzione dei campi E e D.

Si noti che, una volta assegnato il sistema di conduttori e isolanti, nonch le sorgenti, per stabilirese siamo in elettrostatica sufficiente verificare che il campo di corrente sia identicamente nullo.

0.4.4 Modello del campo magnetico stazionario

Il modello del campo magnetico stazionario costituito dall'insieme di equazioni che descrivono ilcampo magnetico prodotto da correnti libere assegnate in presenza di materiali con proprietmagnetiche (si pensi, ad esempio, a un elettromagnete o a un induttore su ferrite). Le leggi di questomodello sono:



div% = 0, Q (%2 %1) = 0 , (65)rot+ = -lib Q +2 +1 = -slib , (66)

% = +. (67)

In questo modello le correnti libere sono le sorgenti del campo magnetico. La permeabilit magnetica , in generale, non uniforme e discontinua.

Il rotore di B (e, con esso, la relazione tra le componenti tangenti di B sulle superfici didiscontinuit) si ottiene dalla (66) facendo uso della relazione costitutiva (67); la divergenza di H (e,con esso, la relazione tra le componenti normali di H sulle superfici di discontinuit) si ottiene dalla(65) facendo uso, ancora, della relazione costitutiva (67). Il campo B non , in generale, conservativorispetto alla circuitazione e il campo H non conservativo rispetto al flusso. Come vedremo inseguito, queste equazioni, insieme alle condizioni al contorno, sono sufficienti per determinare ladistribuzione dei campi B e H.

La relazione costitutiva lineare (67) non , in generale, sufficiente a descrivere il comportamentodei materiali ferromagnetici: soltanto in condizioni di funzionamento molto particolari (di cuiparleremo pi avanti) possibile ignorare gli effetti dovuti ai fenomeni di isteresi magnetica e disaturazione. In generale, la relazione costitutiva B-H isteretica e non lineare.

0.4.5 Modello del campo magnetostatico

Il modello del campo magnetostatico costituito dall'insieme di equazioni che descrivono il campomagnetico prodotto da un sistema con magnetizzazione assegnata e in assenza di correnti libere (adesempio, una calamita). Le leggi di questo modello sono:


div% = 0, Q (%2 %1) = 0 , (68)rot+ = Q (+2 +1 ) = , (69)

% = 0 ++00 . (70)

La magnetizzazione 00 non uniforme ed discontinua. In questo modello il campo H

conservativo rispetto alla circuitazione e quindi pu essere espresso tramite il gradiente di un camposcalare (il potenziale scalare magnetico).

Come per il modello del campo magnetico stazionario, il rotore di B (e, con esso, la relazione tra lecomponenti tangenti di B sulle superfici di discontinuit) si ottiene dalla (69) facendo uso dellarelazione costitutiva (70); la divergenza di H (e, con essa, la relazione tra le componenti normali di Hsulle superfici di discontinuit) si ottiene dalla (68) facendo uso, ancora, della relazione costitutiva(70). A causa della non uniformit di 00 , il campo B non conservativo rispetto alla circuitazione eil campo H non conservativo rispetto al flusso.


La relazione costitutiva (70) descrive approssimativamente il comportamento del materiale con cui realizzato un magnete permanente. Molto spesso non possibile ignorare gli effetti dovuti alla nonlinearit e ai fenomeni di isteresi.

0.5 Approssimazioni quasi-stazionarie delle Equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell, con le opportune relazioni costitutive, le condizioni iniziali e lecondizioni al contorno, descrivono tutti i fenomeni dell elettromagnetismo macroscopico, da quellicaratteristici del regime stazionario ai fenomeni di propagazione pi complicati. Naturalmente lasoluzione esatta di questi problemi spesso difficile e molte volte anche non necessaria. Quando icampi sono stazionari la soluzione delle equazioni di Maxwell molto pi semplice perch i campi sidisaccoppiano.

I fenomeni descritti dalla teoria dei circuiti sono di tipo elettromagnetico e quindi i concetti e leleggi di questa teoria devono potersi derivare dalle equazioni di Maxwell. D'altra parte esistonofenomeni di tipo elettromagnetico previsti dalla teoria di Maxwell e che la teoria dei circuiti nonriesce a descrivere come, ad esempio, quello della propagazione del campo elettromagnetico. Diconseguenza la teoria dei circuiti descrive una classe ristretta di soluzioni delle equazioni di Maxwell.

I concetti e le leggi della teoria dei circuiti sono molto pi vecchi delle equazioni di Maxwell. Essisono nati con lo studio dei campi elettrici e magnetici lentamente variabili nel tempo, quindi lesoluzioni delle equazioni di Maxwell descrivibili attraverso la teoria dei circuiti sono quellecaratterizzate da campi elettrici e magnetici con variazioni temporali sufficientemente lente.Sufficientemente lente rispetto a cosa? Certamente rispetto ai tempi caratteristici della propagazioneelettromagnetica, cio proprio rispetto ai tempi che caratterizzano il fenomeno che la teoria deicircuiti non riesce a descrivere.

Molti importanti problemi di campo lentamente variabile possono essere risolti efficacementeattraverso approssimazioni successive a partire da un modello stazionario. Il modello stazionario dacui partire dipende dal sistema fisico in esame: esso deve coincidere con il modello stazionario chedescrive il sistema quando il campo costante nel tempo.

In principio possiamo avere tre situazioni distinte nel limite stazionario:(a) il campo magnetico tende a zero e il campo elettrico resta diverso da zero;(b) il campo elettrico tende a zero e il campo magnetico resta diverso da zero;(c) sia il campo magnetico che il campo elettrico restano diversi da zero.

Nel caso (a) anche il campo di corrente tende a zero e quindi il modello di campo quellodell'elettrostatica. In questo caso non potendo esserci un campo di corrente, pur essendoci un campoelettrico, tra i conduttori deve essere frapposto un materiale isolante, cio del materiale conconducibilit nulla. Un esempio di sistema di questo tipo il condensatore con dielettrico ideale.

Nel caso (b) il modello di campo quello del campo magnetico stazionario. In questo casodovendo esserci, per ovvie ragioni, un campo di corrente ed essendo per ipotesi il campo elettrico


nullo, la corrente deve circolare necessariamente in conduttori con conducibilit infinita. Un esempiodi sistema di questo tipo l'induttore realizzato con un conduttore ideale.

Infine, nel caso (c), evidente che il modello deve essere quello del campo stazionario di correnteperch c' un campo elettrico in presenza di un campo di corrente. In questo caso la corrente circolain conduttori con conducibilit finita. Ci quanto si osserva, ad esempio, in un resistore.

Cosa accade quando le grandezze variano nel tempo? Per semplicit, si supponga che tutte legrandezze del sistema elettromagnetico di interesse varino nel tempo con legge sinusoidale, (cio ladinamica temporale di ogni grandezza scalare e di ciascuna componente dei campi vettoriali deltipo a0 VLQ2pi I t + 0 ). Si supponga, inoltre, in un esperimento di pensiero di disporre di unsistema con cui potere stabilire, a piacere, il valore da assegnare alla frequenza I . Non ci

preoccupiamo per il momento, di come ci possa essere fatto. Senza affrontare il problema delcalcolo dei campi elettrici, magnetici e di corrente per l'esempio considerato, limitiamoci qui ariportare i risultati. L'avere supposto una dinamica di questo tipo non costituisce affatto unalimitazione, in quanto, come ben sappiamo, dinamiche temporali ben pi complesse possono esseresempre rappresentate attraverso una opportuna somma discreta o continua di funzioni sinusoidali.

Nel caso (a), pur considerando grandezze lentamente variabili, si dimostra che gli effetti dovuti alfenomeno dell'induzione magnetoelettrica nell'equazione di Ampre-Maxwell non possono esseretrascurati; invece possibile trascurare gli effetti dovuti al termine di induzione elettromagneticanell'equazione di Faraday-Neumann se la frequenza I non supera un valore caratteristico

I em = c L c , (71)

dove c la velocit della luce nel mezzo, c =1 (stiamo considerando un mezzo omogeneo etempo invariante) e L c la dimensione caratteristica pi grande del sistema. Questo modelloapprossimato del campo elettromagnetico prende il nome di modello quasi-stazionario elettrico.Prendiamo ad esempio il condensatore con dielettrico ideale. Se si ignorasse l'effetto della corrente dispostamento, la corrente che circolerebbe in esso sarebbe sempre nulla e ci sarebbe chiaramente indisaccordo con quanto si osserva e quanto prevedono le equazioni di Maxwell. Invece, non sicommette un grave errore considerando irrotazionale il campo elettrico se le grandezze varianolentamente nel tempo.

Nel caso (b), pur considerando grandezze lentamente variabili, si dimostra che gli effetti dovuti alfenomeno dell'induzione elettromagnetica nell'equazione di Faraday-Neumann non possono esseretrascurati; invece possibile trascurare gli effetti dovuti al termine di induzione magnetoelettricanell'equazione di Ampre-Maxwell se la frequenza I non supera il valore caratteristico I em . Il

modello approssimato di campo che ne deriva prende il nome di modello quasi-stazionariomagnetico. Prendiamo, ad esempio, l'induttore realizzato con un conduttore ideale. Se si ignorassel'effetto dell'induzione elettromagnetica la tensione tra i suoi terminali sarebbe sempre nulla il che chiaramente in disaccordo con la teoria e quanto si osserva. Invece, non si commette un grave erroreconsiderando come unica sorgente del campo magnetico la corrente di conduzione se le grandezzevariano lentamente nel tempo.


Nel caso (c), a causa dellaccoppiamento tra il campo elettrico e il campo di corrente dovuto allaconduzione, si dimostra che esiste una frequenza caratteristica al di sotto della quale sono trascurabilisia gli effetti dovuti allinduzione elettromagnetica che quelli dovuti allinduzione magnetoelettrica. Ilmodello approssimato di campo che ne deriva quello del campo stazionario di corrente, cheabbiamo gi descritto.

0.5.1 Modello quasi-stazionario elettrico

Il modello quasi-stazionario elettrico il modello approssimato delle equazioni di Maxwellottenuto trascurando il termine % t nell'equazione di Faraday-Neumann (33) (o nell'equivalente(44)). Pertanto le equazioni di questo modello sono nella formulazione locale:


div' = lib Q '2 '1 = lib , (72)rot( = Q (2 (1 = , (73)div-lib =

libt Q -2 -1 =

libt , (74)

A queste equazioni bisogna aggiungere le relazioni costitutive (38) e (40).In questo modello l'unica legge approssimata quella della circuitazione di E: essa coincide con

quella del limite stazionario e vale, quindi, con approssimazione tanto migliore quanto pi lente sonole variazioni dei campi. Inoltre, in questo modello le dinamiche del campo elettrico e del campo dicorrente sono indipendenti da quella del campo magnetico. Questo accoppiamento potrebbe essererealizzato soltanto attraverso opportune relazioni costitutive.

Il campo magnetico, invece, dipende da - lib , -s e D, tramite le equazioni


div% = 0, Q (%2 %1) = 0 , (75)rot+ = - lib +

't Q +2 +1 = -slib . (76)

Pertanto, una volta noto il campo di corrente e il campo elettrico, attraverso le equazioni (75) e (76) ele relazioni costitutive (38) e (39), possibile determinare il campo magnetico.

0.5.2 Modello quasi-stazionario magnetico

Il modello quasi-stazionario magnetico ottenuto, invece, trascurando la densit di corrente dispostamento nell'equazione di Ampre-Maxwell (34) (o nell'equivalente (46)). Pertanto le equazioniin forma locale di questo modello sono:


rot( = %t Q (2 (1 = , (77)

div-lib = 0 , Q -2 -1 = 0 , (78)div% = 0 Q %2 %1 = 0 , (79)rot+ = -lib Q +2 +1 = -slib . (80)


A queste equazioni bisogna aggiungere le relazioni costitutive (39) e (40).Nel modello quasi stazionario magnetico la legge di circuitazione per E esatta, mentre le

equazioni del campo di corrente e del campo magnetico H sono quelle del limite stazionario e,quindi, valgono su approssimazione tanto maggiore quanto pi lente sono le variazioni dei campi. Ladinamica del campo magnetico dipende da quella del campo elettrico se sono presenti corpiconduttori: in essi il campo di densit di corrente dipende dal campo elettrico attraverso la relazionecostitutiva (40). A sua volta il campo elettrico dipende dalla dinamica del campo magneticoattraverso il termine % t .

La carica libera pu essere determinata, una volta noto E, per mezzo della relazione costitutiva(38) e delle equazioni


lib = div' lib = Q '2 '1 . (81)

Per un approfondimento dei modelli quasi-stazionari il lettore pu consultare: Hermann A. Haus eJames R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice Hall, 1989); L. De Menna, G.Miano, Linear Circuit Elements, in Encyclopedia of Electrical and Electronic Engineering, JohnWiley & Sons Inc., febbraio 1999.

Osservazioni

Diciamo subito che il funzionamento di moltissimi sistemi elettromagnetici, che sono alla basedello sviluppo tecnologico, descritto adeguatamente, anche se in modo approssimato, da uno deimodelli quasi-stazionari. Per individuare quale sia il modello quasi-stazionario che approssimi ilfunzionamento di un dato sistema nel limite lentamente variabile basta utilizzare il criterio cheabbiamo innanzi introdotto. Si faccia funzionare il sistema nel limite I 0 , cio in regimestazionario. Se accade che il campo magnetico tende a zero e il campo elettrico resta diverso da zero,allora il modello quasi-stazionario che ne approssima il funzionamento nel limite lentamentevariabile deve essere necessariamente quello quasi-stazionario elettrico. Se invece il campoelettrico che tende a zero, mentre quello magnetico resta diverso da zero, allora il modello quasi-stazionario che ne approssima il funzionamento necessariamente quello quasi-stazionariomagnetico. Esistono casi in cui, pure essendo il campo elettromagnetico variabile nel tempo, sonotrascurabili entrambi i fenomeni di induzione e l'unico fenomeno importante quello dellaconduzione. In questi casi nel limite stazionario sia il campo elettrico che il campo magnetico sonodiversi da zero. Quando ci accade, la dinamica del campo descrivibile per mezzo del modello delcampo stazionario di corrente. Ad esempio, il funzionamento di resistori, diodi, transistori pu esseredescritto in maniera molto accurata dal modello della conduzione stazionaria se le grandezzeelettromagnetiche variano lentamente.

Non tutte le parti di un sistema elettromagnetico possono essere descritte attraverso lo stessomodello approssimato. Spesso si incontrano sistemi in cui alcune parti possono essere descrittetramite il modello quasi-stazionario elettrico, altre tramite il modello quasi-stazionario magnetico,altre tramite il modello del campo di corrente stazionario e altre possono richiedere il modello


completo di Maxwell perch gli effetti dovuti alla propagazione non sono trascurabili. Prima diconcludere questo capitolo, riportiamo un esempio di tali sistemi, (vedi figura 1) 5 .

Sulla collina, c' una antenna A, che trasmette segnali televisivi nella banda UHF (300MHz-3GHz;a 300 MHz la lunghezza d'onda 1m). La distanza tra l'antenna trasmittente A e quella ricevente C molto pi grande della lunghezza d'onda e gli effetti dovuti ai fenomeni di propagazione non possonoessere trascurati. Di conseguenza, per descrivere il campo nella regione B, bisogna ricorrere almodello esatto delle equazioni del campo.

Il campo elettromagnetico irradiato dall'antenna A induce delle correnti sulla antenna ricevente C,che vengono convogliate verso il televisore attraverso una linea di trasmissione costituita da un cavocoassiale. La lunghezza del cavo pu essere uguale a molte lunghezze d'onda, e quindi anche inquesto caso gli effetti dovuti alla propagazione non possono essere ignorati.

Nel televisore il funzionamento dei transistori, E, e del tubo catodico, D, sono descrittiaccuratamente dal modello del campo di corrente stazionario e dal modello quasi-stazionarioelettrico, rispettivamente. Il funzionamento dell'altoparlante, che trasforma il segnale elettrico insegnale acustico, , invece, descritto dal modello quasi-stazionario magnetico.

Il sistema di generazione, trasmissione e distribuzione dell'energia elettrica fornisce altri esempi dicampi quasi-stazionari. Il funzionamento del trasformatore F, che in prossimit delle abitazioniabbassa la tensione, ad esempio, da 9kV a 220V, descrivibile con il modello quasi stazionariomagnetico; e cos pure il funzionamento dell'alternatore H, che nella centrale termoelettrica trasformacalore in energia elettrica. Analogamente, la maggior parte dell'elettronica I (schede perl'acquisizione dei dati, calcolatori, etc), utilizzata per controllare il funzionamento dell'intera centrale, descritta dal modello quasi-stazionario elettrico e dal modello del campo di corrente stazionario,come pure il precipitatore elettrostatico L, che serve per rimuovere le particelle solide dai gas dicombustione prima di essere immessi nell'atmosfera. Il sistema di trasmissione di energia elettricafunziona ad alta tensione (centinaia di chilovolt); pertanto esso pu essere descritto tramite il modelloquasi-stazionario elettrico e cos, anche, gli isolatori G. La frequenza di rete 50Hz e quindi lalunghezza d'onda 6000 km. La trasmissione di energia elettrica avviene su tratti la cui lunghezzapu essere anche migliaia di chilometri. Su queste distanze, confrontabili con la lunghezza d'onda,alcuni effetti dovuti alla velocit finita di propagazione del campo possono essere non trascurabili.

5 Questo esempio stato preso da Hermann A. Haus e James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy

(Prentice Hall, 1989).


Figura 1 Esempi di sistemi elettromagnetici.

CAPITOLO 1

IL MODELLO CIRCUITALE

1.1 Introduzione

I circuiti elettrici sono sistemi fisici del tipo esemplificato schematicamente in figura 1. Essi sonocostituiti da un insieme di oggetti, detti componenti (numerati in figura da 1 a 7). Ogni componente delimitato da una superficie chiusa, detta superficie limite, dalla quale fuoriescono due o piconduttori, detti terminali. I terminali sono realizzati con conduttori di elevata conducibilit elettricae possono essere quasi sempre considerati filiformi (la loro lunghezza molto maggiore deldiametro). I componenti sono connessi tra loro tramite i terminali per mezzo di opportunegiunzioni detti nodi 1 .

Figura 1 Esempio di circuito elettrico.

Nell'esempio proposto in figura 1, esistono tre tipi di componenti. Quelli numerati 1, 3, 4, 5, 7hanno due soli terminali e sono, per questo motivo, detti componenti a due terminali (gli esempi picomuni sono una lampadina, una stufa elettrica, una batteria, una dinamo, un resistore, uncondensatore, un induttore, un diodo a giunzione pn, un generatore di segnale, un amperometro, unvoltmetro, un oscilloscopio). Il componente 2 ha, invece, tre terminali ed quindi detto componente atre terminali (l'esempio pi comune il transistore; ve ne sono di diversi tipi). Il componente 6 ha

1 Nella realizzazione di un circuito, spesso, necessario utilizzare ulteriori conduttori filiformi (conduttori dicollegamento) per potere connettere i componenti cos come il progetto richiede.

24 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica

quattro terminali, raggruppati a due a due (l'esempio pi comune il trasformatore). Pi in generale,in un circuito possono esistere componenti con un numero arbitrario di terminali (si pensi, a esempio,a un circuito integrato oppure a una scheda elettronica). A essi si d il nome di componenti a nterminali. Il singolo componente realizza funzioni elementari che dipendono dalla sua strutturafisica, mentre il circuito progettato per realizzare funzioni pi complesse. Esempi tipici di circuitisono: una rete per il trasporto e la distribuzione di energia elettrica, un circuito alimentatore, uncircuito amplificatore, un modulatore, un circuito oscillante, un demodulatore, un filtro, unamemoria, un microprocessore.

In un circuito elettrico il funzionamento di ogni singolo componente (e quindi dell'intero circuito), in ogni istante, determinato dalla interazione tra il componente stesso e il resto della rete. In altreparole, si pu dire che esso il frutto della interazione tra due diverse esigenze: che il componente sicomporti in modo compatibile con la sua specifica natura e che tale comportamento sia a sua voltacompatibile con quello di tutti gli altri componenti presenti nella rete.

I circuiti sono progettati e realizzati in modo tale da essere verificata con eccellenteapprossimazione (in situazione di funzionamento nominale) le seguenti condizioni:

() Il funzionamento del singolo componente descritto adeguatamente e univocamente dallecorrenti elettriche che circolano nei suoi terminali e dalle tensioni elettriche tra i suoi terminali:le relazioni tra le tensioni e le correnti del componente dipendono unicamente dalla suacostituzione fisica e non dal circuito in cui il componente inserito.

() Le interazioni tra i componenti del circuito avvengono esclusivamente attraverso i terminali,cio attraverso le correnti e le tensioni, e le leggi che le regolano dipendono esclusivamente dalmodo in cui i componenti sono collegati e non dalla loro specifica natura.

Le relazioni costitutive descrivono il funzionamento dei singoli componenti, e le leggi di Kirchhoffne regolano l'interazione. Le equazioni che ne derivano sono le equazioni circuitali . Esse sonologgetto di studio di questo libro.

Osservazioni

Il termine circuito elettrico, quindi, non sta ad indicare soltanto l'oggetto fisico cui si riferisce, maqualcosa di pi: con esso si indica un sistema elettromagnetico che funziona in modo da verificare lecondizioni () e (). In seguito mostreremo, tramite alcuni esempi, come uno stesso sistema possaverificare tali propriet oppure no, a seconda della velocit di variazione temporale delle sorgenti delcampo elettromagnetico, e cio dei generatori.

Le limitazioni () e () sono di fondamentale importanza dal punto di vista tecnologico. Lacondizione () assicura che le caratteristiche di un componente, in condizione di correttofunzionamento, dipendono esclusivamente dalla sua costituzione fisica e non dal circuito in cui inserito. Ci ne consente la costruzione indipendentemente dall'uso che poi se ne far. Si provi aimmaginare come sarebbe complicato costruire un circuito, se le leggi che governano ilfunzionamento dei componenti dipendessero sensibilmente dal circuito in cui sono inseriti.

La condizione () assicura che il funzionamento del circuito dipende solo dal modo in cui icomponenti sono collegati, e non dalle loro posizioni (spaziali) relative. Questo un prerequisito

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 25

fondamentale per la robustezza di un circuito (provate a immaginare cosa accadrebbe se ilfunzionamento di un circuito della memoria di un calcolatore elettronico dipendesse sensibilmentedalla distanza tra i singoli componenti.

Durante il funzionamento di un circuito, lo spazio (sia interno che esterno a ciascun componente ea ciascun terminale), sede di campi elettrici e magnetici, di correnti elettriche, nonch didistribuzioni di cariche. La dinamica di queste grandezze descritta dal modello costituito dalle leggidi Maxwell e dalle relazioni costitutive dei mezzi materiali.

Sebbene, una descrizione esatta del funzionamento di un circuito richieda, almeno in principio,la soluzione delle equazioni del campo elettromagnetico, un modello approssimato, notevolmentesemplificato e al contempo sufficientemente adeguato, disponibile. Esso il modello circuitale, ed costituito dall'insieme delle leggi che regolano la dinamica delle correnti e delle tensioni, e cio leleggi di Kirchhoff e le relazioni costitutive dei componenti. Queste equazioni possono essere dedottedalle leggi di Maxwell e dalle relazioni costitutive dei materiali, assumendo alcune limitazioni sulfunzionamento del sistema elettromagnetico, limitazioni che, come vedremo, sono caratteristichepeculiari dei circuiti.

Per descrivere in modo non ambiguo queste limitazioni, cominciamo col distinguere le diverseregioni in cui lo spazio fisico pu essere suddiviso per effetto della presenza del circuito. Siano:

1c, 2

c, ... ,N

c le superfici chiuse -superfici limite - che delimitano i diversi componenti;

1t, 2

t, ... ,r

t le superfici chiuse e tubolari che delimitano i conduttori terminali;

1c,2

c,. ..,N

c le regioni interne alle superfici limite 1c , 2c , ... ,Nc ;

1t,2

t,. .. ,r

t le regioni interne alle superfici tubolari 1

t, 2

t, ... ,r

t ;

0 una parte limitata del restante spazio, che avvolga tutto il circuito (per definizioneesterno a esso), costituita da materiale isolante.

Indichiamo con ext l'unione delle regioni 1t ,2t , ...,rt e 0 e con int l'unione delle regioni1c ,2c ,. ..,N

1

c e Nc : ext rappresenta la regione dello spazio esterna alle superfici limite, quindi la

regione esterna ai componenti. Il campo di densit di corrente di conduzione nullo nella regione0 , perch il mezzo materiale che riempie 0 un isolante (=0). Il campo elettrico nullo nelleregioni 1

t,2

t,. .. ,r

t, perch, per ipotesi, i terminali sono conduttori ideali (= ). Ricordiamo che il

campo elettrico in un conduttore ideale deve essere necessariamente nullo, altrimenti si avrebbe uncampo di densit di corrente illimitato.

1.2 Interazione tra i componenti: un modello di campo approssimato

Le limitazioni da imporre, affinch la condizione () sia verificata, e quindi l'interazione tra icomponenti sia descrivibile attraverso il modello circuitale, riguardano essenzialmente il campoelettrico e il campo di corrente nella regione ext e sono le seguenti:


(I) Il flusso del campo di densit di corrente di conduzione attraverso qualsiasi superficie chiusache non tagli alcuna delle superfici limite 1c , 2c , ... ,Nc , deve essere trascurabile in ogniistante.

(II) La circuitazione del campo elettrico lungo qualsiasi linea chiusa che non fori le superficilimite 1

c, 2

c, ... ,N

c, deve essere trascurabile in ogni istante.

Diciamo subito che la prima condizione la generalizzazione della legge di Kirchhoff per le correntie la seconda la generalizzazione della legge di Kirchhoff per le tensioni. Naturalmente, perattribuire un significato non ambiguo ad entrambe le condizioni, occorre specificare il significato deltermine trascurabile che in esse figura.

Per quel che riguarda la prima condizione cominciamo col notare che se la superficie chiusa nontaglia nessun conduttore terminale, allora essa verificata esattamente, perch il campo J (stiamoomettendo il pedice lib), identicamente nullo in 0 (ricordiamo che non pu tagliare nessunasuperficie limite). Pertanto gli unici casi significativi sono quelli in cui viene tagliato almeno unconduttore terminale. facile convincersi, inoltre che, se taglia un conduttore terminale, alloranecessariamente deve tagliare almeno un altro terminale, oppure due volte lo stesso terminale in duesezioni diverse ( non pu tagliare alcuna superficie limite e stiamo escludendo che vi sianoterminali scollegati).

Si consideri, ad esempio, una superficie chiusa orientata che tagli due conduttori terminali,1

t e 2

t in figura 2a. Si indichino con S1 e S2 le parti della superficie passanti per 1

t e 2

t,

rispettivamente. Quando si dice che il flusso di J attraverso la superficie chiusa deve esseretrascurabile, si vuole dire che esso deve essere trascurabile rispetto al flusso di J attraverso ciascunadelle superfici S1 e S2 , cio deve essere

J ndS = J ndS+ J ndSS2S1


conduttori terminali e che non fori nessuna superficie limite, e la si suddivida, ad esempio, in almenodue tratti orientati 1 e 2 , cos come viene descritto in figura 2b. Quando diciamo che lacircuitazione di E lungo la linea chiusa deve essere trascurabile, vogliamo dire che essa deveessere trascurabile rispetto alle tensioni di E lungo entrambi i tratti 1 e 2 , cio deve essere

E tdl = E tdl + E tdl 2 1


tagliasse la superficie limite di un condensatore, certamente la (I) non sarebbe valida, e se la linea forasse la superficie limite di un induttore nemmeno la (II) sarebbe pi valida (ritorneremo in seguitosu questa questione).

Si dimostra che lecito ignorare gli effetti dovuti alla propagazione, se, come abbiamo giricordato nel precedente capitolo, la frequenza caratteristica del campo f c molto pi piccola dellafrequenza caratteristica f em = c / L c , dove c la velocit della luce nella regione ext e L c ladimensione caratteristica del circuito, ovvero se la dimensione caratteristica del circuito moltominore della lunghezza d'onda caratteristica del campo elettromagnetico, L c


Le relazioni (7) e (8) sono le leggi del campo stazionario di corrente in forma integrale nellaregione ext . Siccome ext non n a connessione lineare semplice e n a connessione superficiale

semplice, le (7) e (8) non sono, rispettivamente, equivalenti a

divJ 0 in ext , (9)rotE 0 in ext , (10)

ma contengono vincoli ulteriori. Per ottenere la (7) dalla (9) bisogna imporre che la (7) sia validaalmeno per le superfici limite di tutti i componenti e per ottenere la (8) dalla (10) bisogna imporreche la (8) sia valida almeno per tutte le curve chiuse che si sviluppano sulle superfici limite di tutti icomponenti. Pertanto la fondatezza delle condizioni (5) e (6), e quindi delle (7) e (8) anche seriguardano superfici e linee esterne alle superfici limite, dipende, ovviamente, anche da ci cheaccade all'interno delle superfici limite, e quindi dalla costituzione fisica dei singoli componenti.Comunque ritorneremo su questa questione pi avanti, quando verr analizzato il funzionamento dialcuni componenti canonici.

Le relazioni (7) e (8), da cui derivano, come tra poco vedremo, le leggi di Kirchhoff, garantisconoche l'interazione tra i componenti dipende solo da come essi sono collegati e non dalla lorocostituzione fisica, e quindi assicurano che la condizione () sia verificata. Tuttavia, esse non bastanoda sole, come pi avanti vedremo, ad assicurare che sia verificata anche l'altra condizione, quella cheabbiamo chiamato ().

1.3 Corrente elettrica nel terminale e tensione elettrica tra due terminali

Le relazioni (7) e (8) descrivono le interazioni tra i diversi componenti del circuito, e come trapoco vedremo, le leggi di Kirchhoff sono una loro diretta conseguenza. A partire da esse possibiledefinire, senza nessuna ambiguit, la corrente nel generico terminale e la tensione tra due genericiterminali di un componente.

Sia S una generica sezione di un terminale di un componente. Si vede subito che il flusso di Jattraverso S , con buona approssimazione, indipendente dalla particolare sezione scelta, (bastaapplicare la (7) a una superficie chiusa che interseca il terminale in due sezioni diverse). Ci vero sesono trascurabili gli effetti delle cariche distribuite lungo i terminali, il che ampiamente verificatose il terminale abbastanza sottile e la sua lunghezza molto pi piccola della lunghezza d'ondacaratteristica. Da ci discende la possibilit di associare a ciascun terminale, in modo univoco, lacorrente elettrica i = i(t) che in esso circola,

i = J ndSS . (11)

Per calcolare il flusso di J attraverso la generica sezione del terminale bisogna orientare la superficieaperta S. Due sono le possibili scelte per il verso della normale n : indichiamo con i u la correnteottenuta scegliendo n uscente dalla superficie limite del componente e con i e la corrente ottenutascegliendo n entrante nella superficie limite. immediato che i u = ie . Le frecce che accompagnanoi simboli i u e i e in figura 3 stanno a indicare proprio i due possibili versi della normale n . A esse


diamo il nome di riferimenti per il verso della corrente. Quando il riferimento per il verso dellacorrente una freccia entrante nella (uscente dalla) superficie limite del componente allora lanormale n nell'integrale (11) entrante in (uscente da) essa.

Figura 3 La corrente nel terminale indipendente dalla particolare sezione. Sono possibili duescelte per i riferimenti del verso della corrente.

Si consideri, ora, la tensione elettrica

v = E tdlPi P j , (12)

dove P i e P j sono due punti appartenenti ai due terminali (essi possono appartenere allo stessocomponente o a componenti diversi) e una linea che li congiunge. Per la condizione (8) v indipendente dal cammino , purch non fori nessuna superficie limite. Si noti anche che v nondipende nemmeno dai particolari punti P i e P j scelti nei rispettivi terminali, perch il campo

elettrico nei conduttori terminali (supposti ideali) nullo. Pertanto v la tensione elettrica tra ilterminale i e il terminale j. Le frecce che accompagnano i simboli v e v* stanno a indicare ledue possibili orientazioni di . A esse diamo il nome di riferimen

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