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Análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia
Prof. Mª Jesús de la Fuente AparicioDpt. Ingeniería de Sistemas y Automática
Facultad de CienciasUniversidad de Valladolid
ISA-UVA
Dominio frecuencial
• El estudio en el dominio frecuencialpermite ver y analizar los sistemas de control desde otra perspectiva. Muchos aspectos se ven mas fácilmente desde el dominio de la frecuencia.
ISA-UVA
Objetivos• Las señales se pueden expresar como valores en el
tiempo, o como suma de señales sinusoidales de distinta amplitud y frecuencia.
• ¿Como responden los sistemas ante entradas de distinta velocidad de cambio (frecuencias) ócualquier tipo de entrada?
• Analizar el comportamiento dinámico desde el punto de vista de la frecuencia
• Filtrado de señales
ISA-UVA
Índice
• Transformadas de Fourier• Respuesta en frecuencia• Filtrado de señales• Estabilidad en lazo cerrado en el domino de
la frecuencia• Retardos• Robustez
ISA-UVA
Señales sinusoidales
Alta frecuencia: cambio rápido
Baja frecuencia: cambio lento
ω = 2π/T rad/tiempo
T
u = A sen(ωt)0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0
- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
T = periodo
ω = frecuencia
f = 1/T 1/tiempo Hz
ISA-UVA
Componentes de frecuencia
Análisis de Fourier
=+
+
+...)t(jsen)tcos(ede)(F)t(f tjtj ω+ω=ωω= ω
∞
∞−
ω∫
ω
)(F ω
Espectro de f(t)
Cualquier señal puede descomponerse en una suma infinita de señales sinusoidales de diferente amplitud y frecuencia
ISA-UVA
Respuesta de un sistema ante una entrada arbitraria
G(s)
Y(s)U(s)
=+
+
+...
=+
+
+...
La respuesta de la función de transferencia de un sistema, G(s), ante una señal cualquiera es la suma de las respuestas del sistema a cada una de las senoides que la componen
ISA-UVA
Entradas sinusoidales
G(s)
Estudiar la respuesta de un sistema lineal estable ante cambios tipo sinusoide a la entrada
Nos centraremos en el estado estacionario
Diferentes frecuencias = diferentes velocidades de cambio
Y(s)U(s)
)s(D)s(N)s(G
sA)s(U 22 =ω+
ω=
Y(s) = G(s) U(s)
Lim sY(s) S → 0
ISA-UVA
Respuesta en frecuencia
j2)j(AGa)j(Dj2aA)j(Njs para
j2)j(AGa)j(Dj2aA)j(Njs para
)js)(js)(s(b)s(D)js(a)s(D)js(aA)s(N)s(D)js)(js(
)js)(js)(s(b)s(D)js(a)s(D)js(as
A)s(D)s(N
)s(D)s(b
jsa
jsa
sA
)s(D)s(N)s(U)s(G)s(Y
22
22
ω−−=ω−ω−=ωω−ω−=
ω=ωω=ωωω=
ω−ω++ω++ω−=ω
ω−ω+ω−ω++ω++ω−
=ω+
ω
+ω−
+ω+
=ω+
ω==
ISA-UVA
Respuesta en frecuencia
))j(Garg()t(sen)j(GAj2ee)j(GAy
ej2
e)j(GAe
j2e)j(GA
y
ej2
)j(AGej2
)j(AG)t(ylimy
:ioestacionar estadoen estable, es D(s) si
......ej2
)j(AGej2
)j(AG)t(y
)s(D)s(bL
jsaL
jsaL)]s(Y[L)t(y
)t(j)t(j
tjj
tjj
tjtj
t
tjtj
1111
ω=φφ+ωω=−
ω=
ω+
ω−=
ω+
ω−−==
+ω
+ω−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ω+
==
φ+ω−φ+ω
∞
ωφ
ω−φ−
∞
ωω−
∞→∞
ωω−
−−−−
ISA-UVA
Respuesta en frecuencia
G(s)
Y(s)U(s)
))j(Garg()t(sen)j(GAy ω=φφ+ωω=∞)t(Asen)t(u ω=
La respuesta oscila con la misma frecuencia ω pero atenuada por un factor |G(jω)| y desfasada un ángulo φ = arg(G(jω)) que dependen de ω
CStation
ISA-UVA
Respuesta en frecuenciaLos valores de la atenuación |G(jω)| y el desfase φ = arg(G(jω)) que introduce un sistema lineal dependen solo de G(s) y pueden representarse en función de la frecuencia ω en diversos tipos de diagramas sin más que sustituir la variable s por jω en G(s) y calcular el módulo y argumento del complejo G(jω) resultante para distintos valores de ω
( ) ( ) ( )
( ) 2222
2
2222
23arctg2arctg))j(Garg(
92
41)j(G
j321j2
2j3j1j2)j(G
2s3s1s2)s(G
ω−ω
−ω=ωω+ω−
ω+=ω
ω+ω−+ω
=+ω+ω
+ω=ω⇒
+++
=
ISA-UVA
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
10-1 100 101-100
-50
0
50
To:
Y(1
)
-20
-10
0
10From: U(1)
Diagrama de Bode
arg(G(jω)) en grados
|G(jω)| en dB
ω en escala logaritmica
dB = 20log | . | Matlab: bode(sys)
ISA-UVA
Desfase en grados
360º = T
φ
El desfase φ en grados puede traducirse a tiempo de retardo como φ T/360
ISA-UVA
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8From: U(1)
To:
Y(1
)
Diagrama de Nyquist
)j(G ω
))j(Garg( ω
ω
Para cada valor de ω, se dibuja el módulo y argumento de G(jω)
Diagrama polar: parametrizadoen frecuencia Matlab: nyquist(sys)
ISA-UVA
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
Nichols Charts
-100 -80 -60 -40 -20 0 20
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10From: U(1)
To:
Y(1
)
Diagrama de Nichols
Valores de |G(jω)| en dB en función de arg(G(jω)) en grados
Matlab: nichols(sys)
ISA-UVA
¿Por qué diagramas logarítmicos?
...1j
1log20j1log20...1cjlog20elog20Klog20
)(...)1j(j)(...)1cj(Kelog20)j(Glog20
)(...)1j(j)(...)1cj(Ke)j(G
)(...)1s(s)(...)1cs(Ke)s(G
dj
dj
djds
++ωτ
+ω
+++ω++=
=+ωτω+ω
=ω
+ωτω+ω
=ω+τ+
=
ω−
ω−
ω−−
En dB, el diagrama de |G(jω)| puede obtenerse por superposición de los diagramas de términos elementales correspondientes a cada polo, cero, ganancia y retardo.
...))1j/(1arg()j/1arg(...)1cjarg()earg()Karg())j(Garg( dj ++ωτ+ω+++ω++=ω ω−
ISA-UVA
Bode: polo simple
log ω
|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
1/τ0 dB
0º
-90º
τ=ω=φ⎩⎨⎧
−→φ∞→ω→φ→ω
ωτ−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+ωτ
τ=ω
ω−τ−→ωτ+−
∞→ω→ωτ+−→ω
ωτ+−=
=ωτ+−=+ωτ
/1 paraº45 e,decrecient ntemonótonameº90
00)(arctg
1j1arg
dB) 0 , 1/(por pasa quey 20dB- pendiente de recta
log20log20)1log(10 para
0)1log(100 paraedecrecient ntemonótoname
)1log(10
1log201j
1log20
22
22
22
22
-20 dB
10/τ
Frecuencia de corte
1/τ
-45º
ISA-UVA
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0From: U(1)
10-1 100 101-100
-80
-60
-40
-20
0
To:
Y(1
)
Bode: polo simple
1/τ
Atenuación pequeña hasta la frecuencia 1/τ, luego crece progresivamente
Sistemas lentos (τ grande) tienen frecuencias de corte pequeñas y atenuan los cambios rápidos. Sistemas rápidos responden a un rango mayor de velocidades de cambio.
ISA-UVA
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0From: U(1)
10-1 100 101-100
-80
-60
-40
-20
0
To:
Y(1
)
ωB
Ancho de banda
-3 dBωB frecuencia a la cual la atenuación es de -3 dBDa una medida del rango de velocidades de cambio de la entrada al que el sistema responde sin atenuación notable.Agilidad
3)2/1log( =
ISA-UVA
Diagrama de Nyquist
τ=ω=φ⎩⎨⎧
−→φ∞→ω→φ→ω
ωτ−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+ωτ
→+ωτ
∞→ω
→+ωτ
→ω
ωτ+=
+ωτ
/1 paraº45 e,decrecient ntemonótonameº90
00)(arctg
1j1arg
01j
1 para
11j
10 para
edecrecient ntemonótoname1
11j
122 1
)j(G ω
Otra rama para w -∞ to 0
ISA-UVA
Bode: Cero simple
log ω
|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
1/c0 dB
0º
90º
-20 dB
10/τ
Frecuencia de corte
1/c
45º
( )
cpara
carctgcj
cc
c
c
ccj
/1 º45 creciente, ntemonótonameº90
00)(1arg
dB) 0 , 1/(por pasa quey 20dB pendiente de recta
log20log20)1log(10 para
0)1log(100 paracreciente ntemonótoname
)1log(10
1log201log20
22
22
22
22
==⎩⎨⎧
→∞→→→
=+
=
+→+
∞→→+→
+=
=+=+
ωφφωφω
ωω
τω
ωω
ωωω
ω
ωω
Las frecuencias altas se amplifican
ISA-UVA
Bode: polo doble
( )( )
( )τ=ω−=φ
⎩⎨⎧
−→φ∞→ω→φ→ω
ωτ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+ωτ
τ=ω
ω−τ−→ωτ+−
∞→ω→ωτ+−→ω
ωτ+−=+ωτ
/1 paraº90 e,decrecient ntemonótonameº180
00)(arctg2
1j1arg
dB) 0 , 1/(por pasa quey 40dB- pendiente de recta
log40log40)1log(20 para
0)1log(200 paraedecrecient ntemonótoname
1log201j
1log20
2
22
22
222
log ω
|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
1/τ0 dB
0º
-180º
-40 dB
10/τ
Frecuencia de corte
1/τ
-90º
ISA-UVA
Diagrama de Nyquist
( )
( )
( )
( )τ=ω=φ
⎩⎨⎧
−→φ∞→ω→φ→ω
ωτ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+ωτ
→+ωτ
∞→ω
→+ωτ
→ω
ωτ+=
+ωτ
/1 paraº90 e,decrecient ntemonótonameº180
00)(arctg2
1j1arg
01j
1 para
11j
10 para
edecrecient ntemonótoname1
11j
1
2
2
2
2221
)j(G ω
ISA-UVA
Bode: polos complejos conjugados
)dB 0,(por pasa quey dB 40- pendiente de recta
log40log40log20.20log si
0.20log0 si
21log202j1
1log20
2j1
1
1j2j
1s2s
n
n2n
2
n
2
n
2
2n
2
n2n
2
n2n
2
n
2
n
2nn
2
2n
ω=ω
ω+ω−=ωω
−→ω>>ω
→→ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωδω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−−=
ωδω
+ωω
−
ωδω
+ωω
−=
+ωω
δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
→ω+δω+
ω
ISA-UVA
Bode: polos complejos conjugados
( )
nrr
2nr
2n
222n
2n
2
2n
2n
22
n
2
2n
2
2
n
2
2n
2
n2n
2
frecuencia la a M resonancia de picocomo conocido )G(jen máximoun existirá 0.707 si
2102
08)2(12021dd
21log202j1
1log20
máximo?un ¿Presenta
ω≤ω
ω≤δ
δ−ω=ω=ωδ+ω−ω−
=ωωδ
+ωω
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωδω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωδω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
−−=
ωδω
+ωω
−
2rr 121)j(GM
δ−δ=ω=
|G(jω)| en dB
ωn
?
ISA-UVA
Bode: polos complejos conjugados
º180 siº90 si
00 si
1
2
arctg2j1
1arg
2j1
1
1j2j
1s2s
n
2n
2n
n2n
2
n2n
2
n
2
n
2nn
2
2n
−→φ∞→ω−=φω=ω
→φ→ω
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ωω
−
ωδω
−=
ωδω
+ωω
−
ωδω
+ωω
−=
+ωω
δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
→ω+δω+
ω
ISA-UVA
Caso δ < 0.707|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
ωn0 dB
0º
-180º
-40 dBpor década
-90º
Resonancia: La amplitud de la salida se ve amplificada a ciertas frecuencias y es máxima para ωr,, creciendo inversamente con δ
ωr
Frecuencia de transición
ωn
ISA-UVA
Ejemplo
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
10-1 100 101-100
-50
0
50
To:
Y(1
)
-20
-10
0
10From: U(1)
Real AxisIm
agin
ary
Axi
s
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8From: U(1)
To:
Y(1
)
ISA-UVA
Caso δ > 0.707|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
0 dB
0º
-180º
-40 dB
10 ωn
-90º
ωnSin Resonancia, la atenuación es monótonamente decreciente, con pendiente -40dB por década para frecuencias superiores a ωn
Frecuencia de transición
ωn
ISA-UVA
Bode: integradores
log ω
|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
º90j1arg
log20j1log20
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ω
ω−=ω
10 dB
0º
-90º
recta de pendiente -20 dBque pasa por (ω =1, 0 dB)
ISA-UVA
Primer orden más integrador
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
From: U(1)
To:
Y(1
)
( )1ss1+
ISA-UVA
Retardos• Cuando existen retardos es difícil aplicar ciertas
técnicas de análisis, tales como el lugar de las raíces
• Esta técnica requiere aproximar el retardo por Pade mediante ceros y polos
• Sin embargo, en el dominio de la frecuencia, el análisis con diagramas de Nyquist o Bode no presenta especial dificultad.
)1s)(3s3s()3s3s(
1se
2
2s2
++++−
≈+
−
ISA-UVA
Bode: K, retardo
π= - o 0)Karg(Klog20 es una cte.
d)earg(
01log20elog20dj
dj
ω−=
==ω−
ω−
log ω
|G(jω)| en dB
log ω
argG(jω) en º
0 dB
0º
ISA-UVA
Primer orden más retardo
1se s2
+
−
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
1s1+
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
ISA-UVA
Filtros
Filtro
Y(s)U(s)
=+
+|G(jω)|
0 dB ωUn filtro es un dispositivo que permite eliminar frecuencias no deseadas en una señal
Introduce un retardo!
Filtros
ISA-UVA
Lead/Lag Cero/polo
-15
-10
-5
0
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
1s51s++
0
2
4
6
8
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
0
5
10
15
20
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
1s51s10
++La posición del cero
determina el comportamiento a altas frecuencias
Cero dominantePolo dominante
ISA-UVA
Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s) E(s)
)s(V)s(R)s(G1
)s(D)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y+
++
=
D(s)V(s)
)j(R)j(G1)j(D
)j(R)j(G1)j(R)j(G
ωω+ω
ωω+ωω
ISA-UVA
Respuesta en frecuencia en lazo cerrado
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s) E(s)
D(s)V(s)
)j(R)j(G1)j(D
)j(R)j(G1)j(R)j(G
ωω+ω
ωω+ωω
log ω
Puede estudiarse el rechazo de ruidos o perturbaciones, así como la rapidez de respuesta con el ancho de banda
ISA-UVA
Teorema del argumento
s F(s)
Contorno cerrado que no pasa por ninguna singularidad de F(s)
P nº de polos de F(s) dentro del contorno Z nº de ceros de F(s) dentro del contorno N nº de rodeos al origen de F(s) en el sentido horario N = Z - P
ISA-UVA
G(s)R(s)U(s)
+-
Y(s)W(s) E(s)
)s(V)s(R)s(G1
)s(D)s(W)s(R)s(G1
)s(R)s(G)s(Y+
++
=
D(s)V(s)
Estabilidad en lazo cerrado
¿Cuantas raíces de 1 + G(s)R(s) = 0 son positivas?
ISA-UVA
Criterio de Nyquist1 + G(s)R(s)
jω ∞
Contorno que encierra el semiplano derecho s
DenNumDen
DenNum1GR1 +
=+=+P = nº de polos inestables de GR
Z = nº de ceros de 1+GR en el semiplano derechoPolos de 1+GR =
polos de GR
)j(R)j(G1 ωω+
ISA-UVA
Criterio de Nyquist1 + G(s)R(s)
jω ∞
P = nº de polos inestables de GR
Z = nº de ceros de 1+GR en el semiplano derecho
N = nº de rodeos al origen de 1+G(jω)R(jω) en sentido horario
N = Z - P
Para la estabilidad del sistema en lazo cerrado Z = 0
N = - P
)j(R)j(G1 ωω+
ISA-UVA
Criterio de Nyquist
Es igual considerar los rodeos al origen de 1+G(jω)R(jω) que los rodeos de G(jω)R(jω) al punto -1
Si el sistema es estable en lazo abierto P = 0, y la estabilidad en lazo cerrado se logra si el diagrama de Nyquist no envuelve al punto (-1,0)
)j(R)j(G1 ωω+
)j(R)j(G ωω
-1
Sysquake
ISA-UVA
Medidas de robustez
G(s)w u y
R(s)
-1Si el modelo no es correcto, cambia o se modifica la sintonía, ¿seguirá el sistema siendo estable en lazo cerrado?
¿Cuan cerca está el sistema en lazo cerrado de la inestabilidad?
ISA-UVA
Margen de fase MF
-1
Diagrama de Nyquist
O
ϕ
G(jω)R(jω)ωf
ϕ+π−=ωωϕ
=ωωω
))j(R)j(Garg( verificaque angulo 1)j(R)j(G que la a frecuenciamayor
ff
fff
Margende fase
El MF indica como de lejos está el sistema en lazo cerrado de la inestabilidad con respecto al ángulo de fase. El margen de fase debe ser positivo en un sistema en lazo cerrado estable.
ISA-UVA
Ejemplo: Margen de fase, 2º orden
KpU(s)
+-
Y(s)W(s) E(s))2s(s
K
n
2n
δω+ω
2npn
2
2np
p
p
KKs2sKK
K)s(G1K)s(G
ω+δω+ω
=+
En lazo cerrado:
¿Cual es el MF de este sistema? Que relación tiene el comportamiento en lazo cerrado y el MF?
ISA-UVA
Margen de fase , 2º orden
KpU(s)
+-
Y(s)W(s) E(s)
)KK42(2
KK4)4(4
0KK4
4KK
4)(KK1)2s(s
KK
2p
2422n
4n
2p
222n
22n
22
4n
2p
222n
24
22n
244n
2p
2
22n
2222np
jsn
2np
−δ±δ−ω=ω−ωδ±ωδ−
=ω
=ω−ωωδ+ω
ωωδ+ω=ω
ωωδ+ω−=ω⇒=δω+ω
ω=
Si el margen de fase corresponde a la frecuencia ω :
)2s(sK
n
2n
δω+ω
ISA-UVA
Margen de fase, 2º orden
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
δ
−δ±δ−−
π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛δωω
−π
−π=δω+ω
+π=ϕω= 2
KK42arctg
22arctg
2)2s(sKK
arg2p
242
njsn
2np
)KK42( 2p
2422n
2 −δ±δ−ω=ω
Hay una relación directa entre el Margen de Fase ϕ y el amortiguamiento δ en un sistema de 2º orden. Para órdenes mas altos la relación solo es aproximada.
MF
δ
ISA-UVA
Margen de fase
t
y
El margen de fase ϕ esta relacionadocon el sobrepico y la estabilidad. Sistemas con más sobrepico tienden a ser menos robustosEl margen de fase debe ser mayor que 30º, idealmente ~55ºLa frecuencia ωf esta relacionada con la velocidad de respuesta
G(s)w u y
R(s)
ISA-UVA
MF
tiempo
y
A mayor ϕ menor sobrepico
Valores mayores de ωf dan respuestas mas rápidas y controles mas activos
ISA-UVA
¿Qué efectos tienden a disminuir el margen de fase?
-1
Nyquist Diagram
O
ϕ
ωf
Phase margin
Aquellos que tienden a aumentar el desfase de G(s)R(s). En particular:
Añadir más polos al proceso
Incrementar el retardo del proceso
log ω
argG(jω) in º
0º
Retardo
ACAT
ACAT
ISA-UVA
Sistemas de mayor orden relativo
-1Diagrama de Nyquist
O
ϕ
G(jω)R(jω)
ωf
Margende fase
)1j()j(R)j(G
+ωτωω
ϕ
Sistemas con polos adicionales (por añadir un filtro, etc.) son mas difíciles de controlar (más cercanos a la inestabilidad)
Al aumentar el número de polos sobre el de ceros se aumenta el desfase
ISA-UVA
Funciones de transferencia
vGR11w
GR1GRy
++
+=
Swy Svy
vGR1Rw
GR1Ru
+−
+=
Swu Svu
++-
R
Proceso
u
v
yG
w
v.0wyRif
vGR11w
GR/1Gy
+→∞→+
++
=
Trabajar con ganancias altas puede, de acuerdo con esta expresión, mejorar el seguimiento de la referencia (SP) y el rechazo de perturbaciones, pero u aumentará y ...
ISA-UVA
Margen de ganancia
π−=ωω
ωω=
))j(R)j(Garg(
)j(G)j(R1MG
gg
gg
MG = factor en el que se puede incrementar la ganancia antes de que el sistema en lazo cerrado se haga inestable. El MG indica cómo de lejos está el sistema en lazo cerrado de la inestabilidad con respecto a cambios en la ganancia. MG debe ser mayor que 1 para un sistema en lazo cerrado estable.
Medida de robustez
-1ωg
R(jω)G(jω)
Aumentar la ganancia en el controlador o en el proceso disminuiráel MG
ISA-UVA
MF y MG en el diagrama de Nyquist
ISA-UVA
MF y MG en el diagrama de bode
ISA-UVA
Rechazo de perturbaciones
1S si0S 0 si
integralaccion tieneR si)j(R)j(G1
1GR11S
vy
vy
vy
→∞→ω
→→ω
ωω+=
=+
=|Svy(jω)| en dB
ω
En un rango de frecuencias,el regulador puedeempeorar el rechazo deperturbaciones.Importante minimizar elmaximo |Svy(jω)|
ISA-UVA
Margen de Módulo
-1
1vySGR1NM
)j(R)j(GOMNM1−=+=
ωω==+−N
M
Diagrama de Nyquist
O
min |NM| = −( ( ) )max S jvy ω 1
=∞
−S jvy ( )ω
1
Un margen de módulo mayor mejora el rechazo de perturbaciones
Margen de módulo = min |NM|
ISA-UVA
¿Por qué es difícil el control de un sistema con retardo?
-1 O
ϕ
G(jω)R(jω)
ωf
Margende fase
-1 O
G(jω)e-djωR(jω)
ωf
Margende fase / Margen de modulo menor
ISA-UVA
Sistemas de fase no-mínima
)(...)1j(j)(...)1cj(Kelog20
)(...)1s(s)(...)1cs(Ke)s(G
djds
+ωτω±ω
+τ±
=ω−−
...))1j/(1arg()j/1arg(...)1cjarg()earg()Karg())j(Garg( dj ++ωτ+ω+++ω++=ω ω−
El módulo no se modifica
...))1j/(1arg()j/1arg(...)1cjarg()earg()Karg())j(Garg( dj ++ωτ+ω++−ω++=ω ω−
log ω
arg
0º
90º
1/c
45ºlog ω
arg
0º
- 90º
1/c
45º
El cero desfasa en lugar de adelantar la fase
ISA-UVA
¿Por qué es dificil el control de un sistema con fase no-mínima?
-1 O
ϕ
G(jω)R(jω)
ωf
Margende fase
-1 O
G(jω) R(jω)
ωf
Margende fase / Margen de modulo menor
ISA-UVA
¿Por qué, ante la duda, se debe escoger una ganancia mayor del proceso?
-1ωg
R(jω)G(jω)
Si dejamos un margen de ganancia pequeño, y luego la ganancia del proceso es menor siempre se está en el lado seguro.
Para el mismo margen de ganancia, si la ganancia del proceso se escoge la menor se tendrá un regulador quizá con excesiva ganancia, si la del proceso resulta ser mayor
ISA-UVA
Esfuerzos de control
)j(GR1)j(Rlog20)j(Glog20
)j(GR1)j(GRlog20
SGGR1RG
GR1GRS wuwy
ω+ω
=ω−ω+
ω
=+
=+
=
logω20log| . |
GR1GR+
G esfuerzos de controlUn ancho de banda grande implica esfuerzos de control elevados
ISA-UVA
Robustez del diseño
++-
R
Proceso
u
v
yG
w
vGR11w
GR1GRy
++
+=
GR1GRT
GT
TG
GGTT
adSensibilid+
=∂∂
=∂
∂
¿ Cuanto varía la respuesta en lazo cerrado cuando varían los parámetros del proceso?
ISA-UVA
Robustez del diseño
++-
R
Proceso
u
v
yG
w
SvTw
vGR11w
GR1GRy
+=+
++
=
vy22 S)GR1(
1)GR1(
RRGR1
)GR1(GRRR)GR1(
GR)GR1(G
GR1GR
GTG
=+
=+
+=
+−++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+∂
∂
Función de sensibilidad Svy = sensibilidad frente a errores en G
T)GR1(
GR)GR1(
)R(1
)GR1(GGR11
GSG
2 −=+−
=+−+
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+∂
∂
Térmicos
