Sistemas dinámicos Conceptos Básicosalamo/Archivos/Capitulo_2.pdf · Tema 2. Control Automático 3º Ing. Industrial. Depto. Ing. de Sistemas y Automática 13 Respuesta frecuencial

Tema 2: Control de sistemas SISO

Control Automático

3º Curso. Ing. IndustrialEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Universidad de Sevilla

Curso 2008-09

(Algunas figuras han sido extraídas del libro: Modern Control Systems (Dorf y Bishop) Tema 2. Control Automático 3º Ing. Industrial. Depto. Ing. de Sistemas y Automática 2

Índice

1. Descripción de sistemas dinámicos2. Sistemas SISO3. Identificación de sistemas dinámicos4. Puntos de equilibrio. Característica

estática5. Linealización6. Esquema de control 7. Acciones de control básicas

Tema 2. Control Automático 3º Ing. Industrial. Depto. Ing. de Sistemas y Automática 3

Sistemas dinámicos

Sistema: objeto formado por un conjunto de cosas o partes, entre las cuales se establece alguna forma de relación que las articula en la unidad que es el sistema

Dinámico: que cambia su estado a lo largo del tiempo

Señal o variable: toda magnitud que evoluciona con el tiempo


Conceptos Básicos

Variables y parámetros:Tipos de variables:

Entradas: son las causantes de la evolución del sistema.

Salidas: son las señales que interesa analizar o medir.

Internas: el resto de las (infinitas)

señales

Ejemplos:

xx

x

x xxx

xx

xx x

x

x

Estados


Conceptos Básicos

Tipos de entradas: (desde el punto de vista tecnológico)Entradas manipulables: aquellas cuya evolución se puede fijar o manipular

Perturbaciones: aquellas entradas que no son manipulables.

Ejemplos:

Parámetros de un sistema: magnitud que caracteriza al sistema y que lo distingue de otro semejante.

Ejemplo: Distinguir parámetros y señales de los sistemas anteriores


Modelado de Sistemas

Modelos: representación del sistema que permite su estudio.

Representación física (Modelos a escala)

Representación matemática (Ecuaciones)

Utilidad de un modelo

Predecir la evolución del sistema

Analizar el comportamiento del sistema

Analizar el efecto de la variación de parámetros sobre la evolución

Estudiar el efecto de las entradas sobre la evolución del sistema

Errores de modelado


Modelado de Sistemas

Exactitud frente a sencillez del modeloCompromiso

Selección del modelo según su utilidadAnálisis:

Objetivo estudio cualitativo del comportamientoEl análisis es una tarea complejaPreferiblemente sencillo recogiendo la dinámica

SimulaciónObjetivo: reproducir con fiabilidad la evolución del sistemaEs una tarea más sencilla (integración numérica)Preferiblemente modelos con errores pequeños

ErrorComplejidad


Simulación de sistemas

Integración numérica de las ecuaciones diferenciales

Discretización del tiempo {t0, t1, t2,…} Paso de integración

Determinación de las salidas {y0, y1, y2,…} Ejemplo: método de Euler

Modelo

entradas salidas

condiciones iniciales

SIMULADOR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )()(1)( ty

AK

tqA

ty p&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= −−−

Inicio: y0=y(0)Para k=1 hasta N

tk=k h

Fin


Representación de sistemas

• Entradas• Manipulables:

• Válvula de agua fría xf• Válvula de agua caliente xc

• Perturbaciones• Temperatura ambiente Ta• ( Temperaturas Tc y Tf )• ( Presiones en las tuberíasde entrada)

• Salidas• Temperatura en depósito T• Nivel de agua en depósito h

• Medidas:• Termómetro por resistencia metálica• Sensor de presión piezoeléctrico

Tc

xc qf

Tf

qc

qs T

h TTm

hm

xf

Ta


Representación de sistemas

xc

xf

Ta h

T Tm

hm

Sistema SensoresActuadores

qcqf

ΔPvr

Tm

xc qf

Tf

qc

qs T

h T

hm

xf

Ta


Índice




Representación de Sistemas lineales SISO

• Ecuación diferencial: modela los sistemas dinámicos lineales de parámetros concentrados en tiempo continuo

• Transformada de Laplace

mncausalesModelosnecuaciónladeGrado

tubdt

tdubdt

tudbdt

tudbyadt

tdyadt

tydadt

tydmmm

m

m

m

nnn

n

n

n

≥

++++=++++ −−

−

−−

−

::

)()(...)()()(...)()(11

1

1011

1

1


Respuesta frecuencial

Salida en régimen permanente ante una entrada sinusoidal

G(jw) caracteriza la respuesta frecuencial del sistema

Descomposición en Series de Fourier ⇒ G(jw) caracteriza el sistema


Representaciones frecuencial

Diagrama de Bode: 2 Gráficas escalares en escala semilogarítmica

Módulo

Argumento

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s ec )

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s ec )


Ejemplo

qcxc

-

-

Tm

Ta

T

Caldera


Índice

1. Descripción de sistemas dinámicos2. Sistemas SISO3. Identificación de sistemas dinámicos4. Puntos de equilibrio. Característica estática5. Linealización6. Esquema de control 7. Acciones de control básicas


Identificación

Determinar el modelo a partir de la respuestatemporal del sistema

Parámetros del modelo (modelo conocido)Modelado paramétrico

Modelo completo (modelo desconocido)Modelo caja negra

Ensayos del sistema ante entradas de pruebaRespuesta ante impulsoRespuesta ante escalónRespuesta ante señales sinusoidales


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.5

22.5

33.5

44.5

5

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

Entrada en escalón Respuesta del sistema

¿G(s)?

Identificación por respuesta ante escalón


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.5

22.5

33.5

44.5

5

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

Entrada en escalón Respuesta del sistema

Respuesta típica de sistema se primer orden:evolución exponencial con pendiente no nula en el instante de cambio del escalón



Función de transferencia candidata

sKsGτ+

=1

)(

Dos parámetros:¿K?¿ ?τ



K: se obtiene observando el régimen permanente

326

1328

==−−

=ΔΔ

=uyK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

2=Δu

6=Δy

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u



τ : se obtiene observando el régimen transitorio

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3000.5

11.5

22.5

33.5

44.5

55.5

66.5

77.5

88.5

99.510

tiempo

y

6=Δy

τ

78.363.0 =Δ⋅ y



Identificación Frecuencial

Determinar G(s) a partir de un diagrama de Bode experimental

Determinar el rango de frecuenciasRespuesta en escalón: tiempo característico del sistemaTener en cuenta el rango de frecuencias del ruidoTener en cuenta la frecuencia de toma de medidas (muestreo)


Identificación frecuencial de un depósito

Punto de Funcionamiento

Qs

H

k

k

h(t)

Válvulah

To Workspace

Sine Wave

Scopesqrt

MathFunction

1s

Integrator

h0 Constant1

q0 Constant

1/A

1/A


10-4

10-3

10-2

10-1

100

10

15

20

25

30

35

10-4

10-3

10-2

10-1

100

-100

-80

-60

-40

-20

0



10-4 10-3 10-2 10-1 10010

15

20

25

30

35

10-4 10-3 10-2 10-1 100-100

-80

-60

-40

-20

0

Bode ExperimentalBode sistema aprox.

1/τ

Ke (dB)



Índice




0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

Regímenes transitorio y permanente

Régimen permanente

Régimen transitorio

Régimen transitorio Régimen permanente


Punto de equilibrio


Punto de equilibrio

Unicidad del punto de equilibrio para sistemas lineales:

•Para una entrada dada, por ejemplo ve= 1 voltio, el sistema evolucionará hasta alcanzar un único punto de equilibrio que corresponde a una salida vs=1 voltio

•Si se aplican a la entrada, por ejemplo ve= 2 voltios, el sistema evolucionará hasta conseguir un punto de equilibrio que corresponde a una salida vs=2 voltios

•Para una entrada dada sólo existe un único punto de equilibrio


Característica estática

Relación entre la entrada y la salida en régimen permanente.

Ejemplo:

ve

vs

en régimen permanente:


R+ _ V


La característica estática en muchos casos se puede obtener de forma experimental:

Por ejemplo: Motor de corriente continua

Entrada: Tensión aplicada V (voltios)

Salida: Velocidad del eje R (r.p.s.) revoluciones por segundo



7.49

7.48

7.27

6.56

5.15

3.24

1.33

0.22

01

00

R(r.p.s.)V(v)

Ensayo aplicando distintas tensiones de entrada y midiendo las revoluciones en régimen permanente:

R+ _ V


Característica estáticaRepresentación gráfica de la característica estática.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9R

V


Característica estáticaConsideraciones sobre la característica estática

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9R

V

Zona de comportamiento lineal

Zonas de comportamiento NO lineal


Ganancia estática

uyKestática Δ

Δ=

La ganancia estática permite determinar qué incrementos finales se producirán en la salida de un sistema como consecuencia de incrementos dados en la entrada al mismo.


Ganancia estática

0 5 10012345678

Partiendo de los datos obtenidos de un ensayo sobre un sistema, ¿cuál es su ganancia estática ?

0 5 10012345678

?¿ estKTema 2. Control Automático 3º Ing. Industrial. Depto. Ing. de Sistemas y Automática 38

Ganancia estática

1=Δu

0 5 10012345678

0 5 10012345678u y

3=Δy

1=Δu

15

253

13

1225

≠≠==−−

=ΔΔ

= estestest KKuyK


Ganancia estática

• La característica estática de un sistema permite determinar cuál es su ganancia estática en cada punto de funcionamiento o equilibrio: es la pendiente de la tangente de la curva.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789y

u

uyKestática Δ

Δ=


Ganancia estática

• Las zonas lineales de la característica estática de un sistema tienen la misma pendiente, luego presenta la misma ganancia estática

1 2 3 4 5 6 7 8 9

123456789y

u

Zona de comportamiento lineal:

misma ganancia estática Kest

Zonas de comportamiento NO lineal:

Kest varía en cada punto de funcionamiento


Índice




Linealidad en los sistemas dinámicos:

Principio de Superposición

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

u1y1

u2 y2

u1+u2y1+y2


Principio de Superposición (NO se cumple en un sistema no lineal)

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

u1

u2 y2

ut=u1+u2

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

y1

yt=y1+y2/


Linealización de sistemas

Objetivo: obtener modelos lineales aproximados a partir de modelos no lineales

Punto de funcionamiento: Punto de equilibrio en torno al que se linealiza

Propiedades: Representa bien al sistema en una cierta zona en torno a un punto de

equilibrio.

Fuera de la zona de validez, el modelo linealizado tiene un error

demasiado grande.



Las variables incrementales dependendel punto de funcionamiento elegido




Ejemplo


Ejemplo ilustrativo

Buena aproximación en torno al punto de funcionamiento

Para variaciones grandes, el modelo lineal puede ser erróneo

Todas las señales del sistema evolucionan en torno a su valor en el punto de equilibrio


Índice




Control por realimentación

Controlador

Variable Manipulable

Variable a controlar(salida)

Actuador Sistema

Sensor

Señal de la medida

-y(t)

error

e uReferencia

Realimentación negativa:↑e ↑y ↓e Corrección del error

(Si no, inestable)


Acción directa e inversa

El controlador debe garantizar la ganancia positiva (↑e ↑y )Acción directa:

Si ↑u ↑y, entonces ↑e ↑u (Ganancia del controlador positiva)

Acción inversa:Si ↑u ↓y, entonces ↑e ↓ u (Ganancia del controlador negativa)

h

h


Modelos de control linealizados

ModeloLinealizado

u(t) y(t)

Planta

+u0

U(t)

-

Y(t)

y0

y(t)u(t)

u(t)u0

U(t)y(t)

y0

Y(t)


Control de sistemas linealizados

e(t) = (R(t)-y0)-(Y(t)-y0)= R(t)-Y(t)

Planta

+u0

U(t)

-

Y(t)u(t)Controlador

R(t) e(t)

Controlador

G(s)C(s)

Gs(s)

Ga(s)

Actuador Sistema

Sensor

-

+R E U Y

Ym

V

Controlador

G(s)C(s)

Gs(s)

Ga(s)

Actuador Sistema

Sensor

-

+

Controlador

G(s)G(s)C(s)C(s)

Gs(s)Gs(s)

Ga(s)Ga(s)

Actuador Sistema

Sensor

-

+R E U Y

Ym

V

Sistema de control lineal equivalente


Índice




Acciones básicas de control

Control por relé

Acción proporcional

Acción Integral

Acción derivativa


Control por relé

Todo-nada (On-Off)Ley de control (acciones limitadas)

Si e(t)>0, u(t)=umaxSi e(t)<0, u(t)=umin

Produce oscilacionesEvoluciona hacia el punto deseado

Relé con histéresisReduce las oscilacionesMayor anchura de la histéresisreduce la frecuencia de oscilación

PlantaU(t)

-

Y(t)R(t) e(t)Relé

e

uumax

umin


Control de un depósito

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Histéresis de anchura 0.04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Histéresis de anchura 0.08

Qs

H

10

k

Válvulah

To Workspace

Step1

Step

Scope

Rele

r

Referencia

sqrt

MathFunction

1s

Integrator

1/5

1/A


Acción proporcional (P)

Ley de control

Planta

+u0

U(t)

-

Y(t)Kp

R(t) e(t)

BandaProporcional

umax

umin

e

u

u0


Acción proporcional

Propiedades:Se evitan las oscilacionesEl sistema sólo puede alcanzar sin error el valor de la salida correspondiente a u0

En cualquier otra consigna se produce error

BP=0% Control On-Off


Control P de un depósito

Qs

H

10

k

Válvulah

T o Workspace

Step1

Step

Scope

r

Referencia

sqrt

M athFunction

1s

Integrator

10

Gain

7.0711 Constant

1/5

1/A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Kp=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Kp=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Kp=100


Acción Integral (I)

Ley de control PI

PlantaU(t)

-

Y(t)PI

R(t) e(t) Garantiza error nulo en r.p.

Produce oscilaciones(e incluso inestabilidad)


Acción integral

Adapta el valor de u0

Si el sistema en b.c es estable entonces

u(t) acotado acotado e(t) → 0

Planta

+ u0

U(t)

-

Y(t)Kp

R(t) e(t)

Sist 1er orden(K=1, t=Ti)


Control PI del depósito

Qs

H

10

k

Válvula

1

s+1

Transfer Fcn

h

To Workspace

Step1

Step

Scope

r

Referencia

sqrt

MathFunction

1s

Integrator

100

Gain

1/5

1/A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Kp=100 Ti=1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Kp=100, Ti=0.1


Acción Derivativa (D)

Ley de control PD

Acción predictivaAnticipa el error futuro Mejora el comportamiento

Planta

+u0

U(t)

-

Y(t)PD

R(t) e(t)

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