ANALISI MATEMATICA 1 TEORIA

8/2/2019 ANALISI MATEMATICA 1 TEORIA

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Disuguaglianze.

relazione dordine riflessivit x A x xantisimmetria x,y A x y e y x x = ytransitivit x,y,z A x y e y z x z

dicotomia (ordine totale) x,y A x y o y x

propriet delle relazioni dordine: x,y

x > y y < xx y y xx < y x y e x yx y x < y o x = y

regole delle disuguaglianze in (K,+,*, ) campo ordinato:1 x,y x y - x - y2 x,y x < y - x > - y3 x 0 x > 0 (1/x) > 04 x,y,z x y x + z y + z5 x,y,z x < y x + z < y + z6 x,y, z > 0 x y xz yz7 x,y, z > 0 x < y xz < yz8 x,y, z < 0 x y xz yz9 x,y, z < 0 x < y xz > yz10 x x 011 x 0 x > 0 (1>0)

Funzioni invertibili.

suriettiva bB xA: f(x)=biniettiva x,yA f(x)=f(y) x=y x,yA x y f(x) f(x)biettiva iniettiva e suriettiva bB ! xA: f(x)=binvertibile biettiva.

controimmagine:A, B insiemi non vuoti. f: AB. bB. BB.xA controimmagine di B tramite f xA e f(x)=b.f-1(B) controimmagine di B tramite f. f-1(B)={ xA: f(x) B}.

funzione invertibile:A, B insiemi non vuoti. f: AB iniettiva.definversa di f: f-1: im fdom f che associa a ogni elemento di im f la sua controimmagine.

dom f-1 = im f.

im f-1 = dom f. x dom f f-1(f(x) = x. y im f f(f-1(y)) = y. x dom f, ydom f-1 y=f(x) x= f-1(y)graf f e graf f-1 sono simmetrici rispetto alla retta y=x.

Ogni funzione strettamente monotona invertibile:f strettamente crescente f-1 strettamente crescente.f strettamente decrescente f-1 strettamente decrescente.

esponenziale f(x) = ax. invertibile per a 1. f-1(x)= loga x. dom loga x =]0,+ [

inversa di f(x)=xaa) a, 1/a Z f(x) invertibile e f-1(x)=x1/a.b) a = n > 0. n Z. Se n pari, la funzione pari. solo la restrizione a [0,+[ invertibile f1(x)=nx

Se n dispari, f-1(x) = nx per x [0,+[- n(-x) per x ]- ,0[

c) a = (- n) > 0. Se n pari, la restrizione a ]0,+[ invertibile f1(x)=1 / nxSe n dispari, f-1(x) = 1 / nx per x 0.

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d) a Z, 1/a=n Z. f-1(x) = xa ristretta a [0,+[ per n>0xa ristretta a ]0,+[ per n 0 a A b B: b - a <

Funzioni limitate. Massimi e minimi locali ed assoluti.f limitata se im f limitato.sup f(x) = sup (im f) = sup {f(x): x dom f}inf f = inf (im f)f superiormente limitata im f superiormente limitata in R M R: x dom f f(x) Mf inferiormente limitata im f inferiormente limitata in R m R: x dom f f(x) mf limitata im f limitata in R M R: x dom f |f(x)| Mmax f = max (im f)min f = min (im f)x0 dom f punto di massimo assoluto f(x0) = max f x dom f f(x) f(x0).

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x0 dom f punto di minimo assoluto f(x0) = min f x dom f f(x) f(x0).

f localmente limitata f limitata in ogni intervallo chiuso e limitato incluso in dom f (intervallo).f lipschitziana e dom f limitato f limitata.

teorema di limitatezza locale:

Se f ha limite finito per x tendente a x, allora un intorno J di x t.c. f limitata nellinsieme J(dom f)\{x}

Definizione di limite (anche destro o sinistro, infinito e/o all'infinito) .

f: RR funz. LR.f(x) tende a L per x tendente a + quando>0 x: x x |f(x) - L| .f: RR funz. x,L[-,+].f(x) tende a L per x tendente a x quando

intorno I di L un intorno J di x: xJ\{x} f(x)J.

teorema di unici t del limite:A R. A . f: AR funz. x punto di accumulazione per A. L[-,+].Se f(x) tende a L per x tendente a x f(x) non pu tendere a nessun altro elemento della retta estesa.

limite destro di f(x) per xx = limite per xx della restrizione di f a {xdom f: x>x}.>0 >0: x]x,x+[ dom f |f(x) - L| .

limite sinistro di f(x) per xx = limite per xx della restrizione di f a {xdom f: x 0 [< 0] un intorno J di x t.c. x(dom f)J\{x} f(x)>0. [0: x,yA |x-y| |f(x)-f(y)| .

teorema di Heine:

Ogni funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato uniformemente continua.

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Definizione di rapporto incrementale e di derivata.

rapporto incrementale: [f (x +x) - f (x)] / xdef.1 f (a) = lim [f(x) - f(a)] / (x-a) per xadef.2 f (a) = lim [f(a+h) - f(a)] / h per h0derivata n-esima (f g)(n) = (nk) f(k) g(n-k) per k da 0

I intervallo. f: IR funz. xI.Se la derivata f(x) esiste ed finita, la funzione detta derivabile in x.f differenziabile in x quando R: f(x) = f(x) + (x-x) + o(x-x) per xx.

Regole di derivazione(operazioni su funzioni, inversione o composizione)

Teorema di Lagrange (del valor medio):

f:[a,b]R derivabile in ]a,b[ e continua in a e b. almeno un punto c di ]a,b[ t.c. [f(b) - f(a)] / (b-a) = f(c).

teorema di Rolle:

f:[a,b]R derivabile in ]a,b[ e continua in a e b. f(a)=f(b). almeno un punto c di ]a,b[ t.c. f(c)=0.

teorema di Cauchy:

f,g:[a,b]R derivabili in ]a,b[ e continue in a e b. almeno un punto c di ]a,b[ t.c. [f(b)-f(a)]g(c) = [g(b)-g(a)] f(c).

Retta tangente in un punto.

tangente in (c,f(c)) f(x)-f(c)=f (c) (x-c).

(Studio del) grafico di una funzione.

simmetria rispetto alla retta x = a: g(x) = f(2a - x)retta x = 0 (asse y): g(x) = f(-x)

simmetria rispetto alla retta y = b: g(x) = 2b - f(x)retta y = 0 (asse x): g(x) = - f(x)

simmetria rispetto al punto (a,b): g(x) = 2b - f(2a-x)punto (0,0) (origine): g(x) = - f(-x)

traslazione: (0,0) (a,0) : g(x) = f(x-a)traslazione: (0,0) (0,b) : g(x) = f(x) + btraslazione di componenti a e b:g(x) = f(x-a) + btrasformazione di (1,0) in (a,0): (a>0) g(x) = f(x/a)trasformazione di (0,1) in (0,b): (b>0) g(x) = b f(x)

trasformazione di (x,y) in (ax,by): g(x) = b f(x/a) (a,b>0)omotetia di rapporto k: a=b=k g(x) = k f(1/k)

funzione pari: f(-x) = f(x) graf f simmetrico rispetto allasse y. x = 0funzione dispari : f(-x) = - f(x) graf f simmetrico rispetto allorigine.f, g entrambe pari o entrambe dispari f * g pari.

una pari, una dispari f * g dispari.funzione periodica: f(x+T)=f(x) invarianza rispetto alla traslazione (0,0)(T,0).

funzione convessa: fissati 2 punti distinti di graf f, i punti dellarco di grafico aventi quelli come estreminon stanno mai sopra i punti di uguale ascissa della corrispondente corda.

x1,x2dom f (intervallo) x1


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f non decrescente rf 0f strett. crescente rf > 0

Alcune funzioni elementari(razionali; potenze; logaritmi ed esponenziali; funzioni circolari; loro inverse).

funz. lipschitziana L 0: x,y dom f |f(x) - f(y) | L |x - y|.Se f lipschitziana in R a,b R: |f(x)| a + b |x|.f lipschitziana rf limitata.L costante di Lipschitz L maggiorante di |rf|. L minimo = sup |rf|

funz. loc. lipschitziana lipschitziana in ogni intervallo chiuso e limitato incl. in dom f (intervallo).S e f lipschitziana in I f(I) intervallo.

funz. -hlderiana L 0: x,y dom f |f(x) - f(y) | L |x - y|. (0 < 1)Se L>0 e > 1 f costante.Se 0 0

= - 1 x < 0CIRCOLARI:coseno:funzione pari. periodo minimo = 2. zeri = (n+ ).seno: funzione dispari. periodo minimo = 2. zeri = n.tangente: funzione dispari. periodo minimo = . zeri = n.cotangente: funzione dispari. periodo minimo = . zeri = (n+ ).CIRCOLARI INVERSE:arcoseno: inversa della restrizione di sin x a [-/2 , /2]. dom arcsin =[-1,1]arcocoseno: inversa della restrizione di cos x a [0,]. dom arccos = [-1,1]

arccos x = - arcsin x.arcotangente: inversa della restrizione di tan x a ]-/2 , /2[. dom arctan = R.

arctan x = arcsin [x / (1 + x)]arcocotangente: inversa della restrizione di cot a ]0,[. dom arccot = R.

arccot x = - arcsin [x / (1 + x)]IPERBOLICHE:cos iperbolico: cosh x = (ex + e-x) / 2. cosh x > 0. cosh x - sinh x = 1 (iperbole equilatera).

zeri = (n+ )i. periodo minimo = 2i. funzione pari.sin iperbolico: sinh x = (ex - e-x) / 2. sinh x = 0 x = 0. zeri = ni. periodo minimo = 2i.

funzione dispari.IPERBOLICHE INVERSE:settore sinh: sett sinh x linversa di sinh x. dom settsinh = R.

sett sinh x = ln [x + (x + 1)]settore cosh: sett cosh x linversa della restrizione di cosh x a [0,+[. dom settcosh = [1,+[.

sett cosh x = ln [x + (x - 1)] (x 1).settore tanh: sett tanh x linversa di tanh x. dom setttanh = ]-1,1[.

sett tanh x = ln [(1+x) / (1-x)] (-1 1 lipschitziana in ]- ,m]. L = 2 am+1.0 < a 0. a 1. f-1(x) = ax.

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Definizione di convergenza per una successione

successione: ogni funzione definita in n.n(ak+bk) = kak + kbknc ak = c kak

n(ak+1 - ak) = an+1 - a0k=m,.,n(ak) = k=m+p,.,n+pak-pk=m,.,n(ak) = k=p-n,.,p-map-k

{an} infinitesima >0 m: n m |an| .{an} converge a L (finito) {an - L} infinitesima. >0 m: n m |an - L| .

lim an = L intorno I di L m: n m il valore anI.{an} divergente M m: n m |an| M.

diverge a + M m: n m an M.diverge a - M m: n m an M.

{an} oscillante (indeterminata) {an} non converge e non diverge.L >0: m n m: | an - L|> e M: m n m: |an|

0 m: n m an >0.se lim an < 0 m: n m an


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fattoriale {n!} 0! = 1 nN (n+1)! = n! (n+1)coefficienti binomiali {(n)} (

0) = 1 nN (n+1) = (n) (-n)/(n+1)

semifattoriali {n!!} 0!! = 1!! = 1 nN (2n+3)!! = (2n+1)!! (2n+3)(2n+2)!! = (2n)!! (2n+2)

nN (2n)!! =2nn!(2n+1)!! = (2n+1)! / (2nn!)

Definizione di convergenza per una serie.

Una serie converge, diverge, oscilla a seconda che converge, diverge, oscilla la successione delleridotte.

teorema di linearit per serie:

Se an e bn convergono sono convergenti (an + bn) e (c an).(an + bn) = an + bn.(c an) = c an.

teorema fondamentale delle serie a termini positivi:

{an} succ. reale non negativa.

an non oscilla e si ha n=0,.,an = sup k=0,.,nak .

serie a termini positivi:

an converge {an} limitataCauchy {an} positiva

montonadecrescente

an converge 2n a2n converge

Confronto an < bn se bn convergese an diverge

an convergebn diverge

Rapporto( di DAlembert)

lim [an+1 / an]

per n

1=1

an convergean diverge?

Radice

(di Cauchy) limn

anper n

1=1

an converge

an diverge?Raabe lim n [a n/an+1 - 1]

per n>1 ak+1 k e lim ak = 0 per kCriterio di Dirichlet:

an serie a termini complessi la cui successione delle ridotte sia limitata. {bn} succ. reale monotona einfinitesima. anbn converge.

Criterio di Abel:

an serie complessa convergente. {bn} succ. reale monotona convergente. anbn converge.

teorema della convergenza incondizionata:

an serie complessa assolutamente convergente. bn un suo riordinamento.anche bn converge assolutamente e vale an =bn.

teorema di Riemann (del riordinamento):

an serie reale semplicemente convergente. sR un riordinamento di an che converge a s.

un riordinamento di an che diverge positivamente.

un riordinamento di an che diverge negativamente. un riordinamento di an che oscilla.

Serie geometrica.

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n=0,., zn. converge se |z|1 o z=1.oscilla se |z|=1 e z 1.

Definizione di integrale (definito).

teorema di linearit:f,g funz. integrabili in [a,b]. cR sono integrabili in [a,b] anche f+g e cf.xa

b [f(x) + g(x)] dx = xab f(x) dx + xa

b g(x) dx.xa

b [c* f(x)] dx = c * xab f(x) dx.

teorema di additivit:f funz. limitata in [a,b]. cR: a < c < b.f integrabile in [a,b] f integrabile in [a,c] e in [c,b].Se f integrabile in [a,b] xab f(x) dx = xac f(x) dx + xcb f(x) dxteorema del confronto:

f,g funz. integrabili in [a,b].Se f g xab f(x) dx xab g(x) dx

funzioni integrabili:f: [a,b]R funzione monotona f integrabile.f, g integrabili su [a,b]. nZ, n 2. sono integrabili f+, f-, |f|, fn, f*g.

| xab f(x) dx | xab f(x) dx

Ogni funzione limitata in un intervallo limitato e discontinua in un numero finito di punti integrabile.

integrali impropri:additivit e regolarit d. funzione integrale si conservano.integrabile in senso improprio in [a,b[ se esiste finito il lim xxb f(t) dt per xa+.

Somme integrali (o funzioni a scala).

suddivisione di [a,b] in n subintervalli ]xk-1,xk[ (k=1,...,n)f: [a,b]R funzione a scala (costante a tratti) quando esiste una suddivisione di [a,b] t.c. f siacostante in ogni subintervallo.x]xk-1,xk[ f(x) = ck (k=1,...,n). integrale di f:xf = xab f(x) dx = k=1,.nck(xk - xk-1)S insieme delle funzioni a scala in [a,b]. f: [a,b]R. I*(f)={xg: gS, g f}. I*(f)={xh: hS, h f}.g e h esistono f limitata.deff integrabile secondo Riemann ! IR t.c. xab g(x) dx I xab h(x) dxper tutte le coppie g,h di funzioni a scala in [a,b] t.c. g f h. In questo caso I si chiama integrale di fin [a,b].

f integrabile secondo Riemann sup I*(f) = inf I*(f)

Funzioni integrali e loro propriet. (Stammfunktionen)

defSia f una funzione localmente integrabile in un intervallo I. Una funzione F: IR detta funzioneintegrale di f quando

aI t.c. xI valga F(x) = xax f(t) dt.Se F una funzione integrale di f, allora ogni altra funzione integrale di f differisce da F per unacostante. x,y I F(y) - F(x) = xxy f(t) dt.f loc. integrabile in I. F una sua funz. integrale. J I.f 0 in J F non decrescente.f limitata in J F lipschitziana in J.f non decrescente in J F convessa in J.

Formula di Taylor e suo significato.

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polinomiTaylor con resto di Peano: f (x) = Ta

nf (x) + o(x - a)n per x adi centro a e ordine n Ta

nf (x) = [f(k)(a) / k!] (x - a)k (k da 0 a n)Taylor con resto di Lagrange: f (x) = Ta

nf (x) + [f(n+1)() / (n+1)!] (x - a)n+1 (a x)

resto di Taylor = f (x) - Tanf (x)

resto di Cauchy = (1/n!) f(n+1)(a +

(x - a)) (1 -

)n (x - a)n+1 0xaK bK b>0 nN: nb>a

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teorema fondamentale dellalgebra

nN, n 1. P(z) polinomio a coefficienti in C di grado n. an coefficiente di zn in P(z).Allora esistono n numeri complessi z1,...,zn tali cheP(z) = ank=1,.,n(z - zk), dove z1,...,zn sono le soluzioni (gli zeri) dellequazione P(z) = 0.

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