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Analisi Matematica 1 e Matematica 1
Geometria Analitica: Rette
Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci
Università di Napoli “Parthenope”
ContenutiNel Piano
Il piano cartesianoVettori e punti del piano.Operazioni: Somma, prodotto esterno, prodotto scalare.Distanza e modulo.
Rette nel pianoDefinizioneEquazioni Parametriche e CartesianeRette parallele e perpendicolari
Nello SpazioLo spazio vettoriale R3
Equazioni parametricheEquazioni cartesiane di rette e piani
IntroduzioneL’idea fondante della geometria analitica è quella dipoter associare a oggetti geometrici espressionialgebriche, che quindi si possano più facilmentemanipolare.Il primo passo per questa associazione è associare aipunti del piano coppie di numeri reali che neindividuino la posizione.Introduciamo un sistema di assi cartesiani (daDescartes (1556-1650)) ortogonali,Ogni punto P0 del piano viene individuato dalle suecoordinate (x0, y0) date dai numeri reali ottenuti dalleproiezioni ortogonali sugli assi del punto.
Lo Spazio Vettoriale R2
R2 = {(x, y) : x ∈R, y ∈R}.
Un elemento P = (x, y) di R2 sono è un punto P del pianodi coordinate x e y . Inoltre, R2 è uno spazio vettoriale e isuoi punti (x, y) sono identificati con i vettori v = (x, y)che partono dall’origine degli assi e terminano in (x, y).
-x
6y
(1,2)r1
2
-x
6y(3,6)r
3
v
���������6
Operazioni in R2: Somma
Definizione: Dati v = (x1, y1), w = (x2, y2), lasomma tra v e w è il vettore
z = v +w = (x1 +x2, y1 + y2).
Elemento Neutro: L’elemento neutro per lasomma è il vettore nullo 0 = (0,0) che altro non è chel’origine degli assi. L’opposto di un vettore v = (x, y)è il vettore w =−v = (−x,−y).Opposto: L’opposto di un vettore v = (x, y) è ilvettore w =−v = (−x,−y).
Operazioni in R2: Prodotti
Prodotto esterno. Dati v = (x, y) e α ∈R, il loroprodotto esterno è dato dal vettore
z =αv = (αx,αy).
Prodotto scalare. Dati v = (x1, y1), w = (x2, y2), ilprodotto scalare tra v e w è dato da
z = v ·w = (x1x2, y1y2).
R2 NON È Ordinato!!Al contrario di quanto accade in R,in R2 non c’è una relazione d’ordine,cioè dati due punti di R2
NON si può stabilire quale tra i due è più grande.
-x
6y
(1,2)r1
2
�����v r
2
1 (2,1)
����*w
v = (1,2) w = (2,1)
v ≥ w oppure v ≤ w?
Distanza in R2
Dati P = (xp , yp), Q = (xq , yq ) punti di R2 definiamo ladistanza tra P e Q il numero reale positivo
d(P,Q) =√
(xp −xq )2 + (yp − yq )2,
Proprietà :1 d(P,Q) ≥ 0, d(P,Q) = 0 ⇔ P =Q;2 d(P,Q) = d(Q,P );3 d(P,Q) ≤ d(P,R)+d(Q,R), R = (xr , yr ) in R2.
Esempio: Dati P = (−3,4), Q = (2,−1), la distanza èdata da
d(P,Q) =√
(−3−2)2 + (4− (−1))2 =p25+25 =p
50 = 5p
2
Distanza e Modulo
La distanza di un punto P = (xp , yp) dall’origine
d(P,0) =√
x2p + y2
p
corrisponde al modulo del vettore associato a P ;Quindi la nozione di distanza concorda con quella checonosciamo in R, dove la distanza da un puntodall’origine è esattamente il suo modulo.Il modulo di un vettore corrisponde alla sualunghezza ed è anche detto anche norma delvettore.
Luoghi Geometrici
Un luogo geometrico è l’insieme dei punti cheverificano una certa proprietà;l’esempio più semplice di luogo geometrico sono lerette.Sono luoghi geometrici: l’ellissi, le circonferenze, ipiani, i coni...
Rette: Equazioni ParametricheDefinizioneDato un punto P0 = (x0, y0) e una direzionev = (p, q) 6= (0,0), la retta passante per P0 e con vettoredirezione v è il luogo dei punti P = (x, y) tali per cui ilvettore PP0 sia parallelo a v ,
Cioèr = {P ∈R2 : PP0 = t v, t ∈R}
Poiché il vettore PP0 ha componenti (x −x0, y − y0),otteniamo {
x −x0 = t p
y − y0 = t q
queste sono le equazioni parametriche della rettapassante per P0 e con direzione v . t è il parametro.
Rette: Equazioni ParametricheAbbiamo ottenuto le equazioni parametriche di r{
x −x0 = t p
y − y0 = t qo anche (x(t ), y(t )) = (x0 + t p, y0 + t q)
Ricordate che P0 = (x0, y0) e v = (p, q) sono dati e alvariare di t ∈R troviamo tutti i punti della retta.
EsempioDato P0 = (2,1) e v = (−1,3), otteniamo la retta r diequazioni parametriche (x(t ), y(t )) = (2− t ,1+3t ). Ilpunto P = (0,0) non appartiene alla retta perché non esistet ∈R per cui 2− t = 0 e 1+3t = 0. Mentre Q = (0,7) ∈ r .
Equazioni Parametriche degli AssiLe equazioni parametriche dell’asse delle ascisse sonoquelle della retta passante per P0 = (0,0) e condirezione v = (1,0) {
x = t ,
y = 0.
Le equazioni parametriche dell’asse delle ordinatesono quelle della retta passante per P0 = (0,0) e condirezione v = (0,1) {
x = 0
y = t .
Verso l’equazione cartesianaVisto che (p, q) 6= (0,0) possiamo supporre che sia adesempio p 6= 0 e troviamo
t = x −x0
p
y = y0 + x −x0
pq
la seconda equazione si può anche scrivere
ax +by + c = 0
con a = q , b =−p e c = y0p −x0q. Questa è dettaequazione cartesiana implicita della retta.
Osservazioni ed Esempi
Diremo che un punto P di coordinate (x, y)appartiene alla retta r se le sue coordinate soddisfanol’equazione, ad esempio data la retta r di equazione2x −3y +6 = 0 il punto P = (0,2) appartiene allaretta, poiché 2 ·0−3 ·2+6 = 0, mentre il puntoQ = (1,2) non vi appartiene in quanto2 ·1−3 ·2+6 = 2 6= 0!L’asse delle ascisse e l’asse delle ordinate hannoequazioni rispettivamente
y = 0, x = 0.
PerpendicolaritàL’equazione di una retta può anche essere datausando il concetto di perpendicolarità invece di quellodi parallelismo, infatti dato un punto P0 = (x0, y0) eun vettore v = (a,b) esiste una e una sola rettapassante per P0 e perpendicolare a v .Questa sarà il luogo dei punti P = (x, y) per cui ilprodotto scalare tra il vettore P −P0 e v sia nullo,cioè
P −P0 · v = 0 ovvero (x −x0)a + (y − y0)b = 0
posto c =−(ax0 +by0) otteniamo di nuovol’equazione cartesiana di una retta se almeno uno traa e b è non nullo;
Equazione EsplicitaPrendiamo l’equazione cartesiana implicita
ax +by + c = 0
con a = q , b =−p e c = y0p −x0q. se b 6= 0 possiamodividere per b e ottenere
y = mx + q̃
con m =−a/b = q/p, q̃ =−c/b = (py0 −x0q)/p,che si chiama forma canonica o equazioneesplicita della retta.Il numero m si dice coefficiente angolare della retta eci da informazioni sulla pendenza della retta;q̃ si dice termine noto.
Retta per due punti
Dati P0 = (x0, y0) e P1 = (x1, y1), un generico puntoP = (x, y) apparterrà alla retta in cui si trovano P0 eP1 se il vettore PP0 è parallelo al vettore P0P1
Poiché PP0 = (x −x0, y − y0) eP0P1 = (x1 −x0, y1 − y0), otteniamo le equazioniparametriche {
x −x0 = t (x1 −x0)
y − y0 = t (y1 − y0)
Retta per due punti: seguito{x −x0 = t (x1 −x0)
y − y0 = t (y1 − y0)
Se y1 − y0 6= 0 (altrimenti deve essere diverso da zerox1 −x0 e si può ragionare in modo analogo) si ottiene
x −x0 = y − y0
y1 − y0(x1 −x0).
che porta alla nota formulax −x0
x1 −x0= y − y0
y1 − y0.
Che da l’equazione cartesiana della rettapassante per due punti dati.
Come si disegna una retta?Per disegnare una retta basta trovare due punti P e Q chevi appartengono e tracciare la linea passante per essi.Ad esempio per disegnare y +3x −1 = 0, poniamo x = 0ottenendo y = 1, poi x = 1 ottenendo y =−2, quindiponiamo nel piano cartesiano P = (0,1), e Q = (1,−2) etracciamo la linea passante per P e Q.
-x
6y
r1
P1
-2 rQ
BBBBBBBBBBBBB
Rette ParalleleDue rette r , r ′ di equazioni
ax +by + c = 0, a′x +b′y + c ′ = 0
sono parallele se le rispettive direzioni sono proporzionalie poiché le direzioni sono date da (−b, a) e (−b′, a′), deveesistere un numero α tale che
−b =−αb′ e a =αa′
poiché almeno uno tra b′ e a′ è diverso da zero possiamoscrivere ad esempio che
a = b/b′a′ cioè ab′ = a′b ovveroa
b=−b′
a′
Ricordando che m =−a/b e m′ =−a′/b′, otteniamo chedue rette parallele hanno stesso coefficienteangolare.
Rette parallele agli assi• L’asse delle x ha equazione y = 0 ed il coefficienteangolare è m = 0. Quindi le rette parallele all’asse xhanno m = 0 da cui l’equazioney =− c
bretta parallela all’asse x.
• L’asse y ha equazione x = 0, quindi il suo vettoredirezione è v = (0,1). Se una retta è parallela all’asse ydeve avere vettore direzione v ′ = (−b′, a′) = (0, a) e dunquex =− c
aretta parallela all’asse y .
-x
6y
y = K
x = h
Rette PerpendicolariDue rette r , r ′ di equazioni
ax +by + c = 0, a′x +b′y + c ′ = 0
sono perpendicolari se sono perpendicolari i lorovettori direzione per cui deve essere
(−b, a) · (−b′, a′) = 0 ⇔ a
b=−b′
a′ .
Ricordando che m =−a/b e m′ =−a′/b′, otteniamoche i coefficienti angolari di due retteperpendicolari soddisfano m =−1/m′.
Osservazioni Finali ed EsempiGià in queste prime osservazioni si vede come le varieproprietà geometriche si traducono in condizionialgebriche.Le rette sono rappresentate algebricamente dapolinomi di grado uno, e nello studio delle proprietàgeometriche delle rette usiamo tutti gli strumenti notinell’algebra dei polinomi.Se una retta r ha equazione ax +by + c = 0, conc = 0 allora tale retta passerà per l’origine.Le rette y = x (y =−x) si dicono bisettrici del primoe terzo quadrante, (bisettrici del secondo e quartoquadrante) perché dividono questi quadranti a metà.
Lo SpazioLo spazio in cui viviamo è costituito da tre dimensioni:lunghezza, larghezza (o profondità ) e altezza.Algebricamente lo definiamo come lo spazio vettoriale(vedi dispense di algebra lineare)
R3 := {(x, y, z) : x, y, z ∈R}
mentre lo rappresentiamo geometricamente grazie a treassi cartesiani
-x
6y
z�
��
Equazioni ParametricheLa definizione del luogo geometrico retta non cambiaquando passiamo dal piano allo spazio, quello che cambiasono le coordinate di un punto e le componenti del vettoredirezione, che invece di essere due (come nel piano) sonotre. Pertanto, dato un punto P0 = (x0, y0, z0) e un vettorev = (p, q,r ) la retta passante per P0 di direzione v è illuogo
r = {P ∈R3 : PP0 = t v, t ∈R}
ed ha equazioni parametrichex = x0 + t p
y = y0 + t q
z = z0 + tr
Parallelismo e PerpendicolaritàDue rette di equazioni parametriche
x = x0 + t p0
y = y0 + t q0
z = z0 + tr0
x = x1 + t p1
y = y1 + t q1
z = z1 + tr1
sono parallele se i due vettori direzioni sonoproporzionali, cioè esiste α ∈R tale che(p0, q0,r0) =α(p1, q1,r1);sono perpendicolari se i due vettori direzione sonoperpendicolari, ovvero il loro prodotto scalare è nullo,cioè p0p1 +q0q1 + r0r1 = 0.
Equazioni Parametriche di un pianoUn piano π è individuato da due vettori v, w linearmenteindipendenti e da un punto P0 = (x0, y0, z0), ogni altropunto P di R3 appartiene a π se il vettore PP0 può essereottenuto come combinazione lineare dei vettori v, w ,quindi
π= {PP0 = t v + sw, t , s ∈R}
se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) otteniamo leequazioni parametriche di π
x = x0 + t v1 + sw1
y = y0 + t v2 + sw2
z = z0 + t v3 + sw3
Equazione Cartesiana di un piano:Prodotto Vettoriale tra vettori
Il prodotto vettoriale di due vettori v = (v1, v2, v3),w = (w1, w2, w3), v ∧w è dato dal vettore le cuicomponenti sono
v ∧w = (v2w3 −w2v3, v3w1 −w3v1, v1w2 −w1v2)
v ∧w è un vettore ortogonale sia a v che a w .Visto che un piano π è generato da v, w linearmenteindipendenti, un altro modo per dire che un puntoappartiene a π è affermare che il vettore PP0 èortogonale al prodotto vettoriale v ∧w .
Equazione Cartesiana di un piano:Quindi il prodotto scalare tra il vettorePP0 = (x −x0, y − y0, z − z0) e il vettore v ∧w deveessere nullo;Usando la notazione v ∧w = (a,b,c), dobbiamoimporre
(x −x0, y − y0, z − z0) · (a,b,c) = 0
questo ci porta all’equazione cartesiana del piano π
(fate i conti!)
ax +by + cz +d = 0, d =−ax0 −by0 − cz0
Dove ricordiamo che a, b, c sono le componenti di unvettore ortogonale al piano π.
Equazioni Cartesiane di una rettaUna retta è determinata dall’intersezione di due piani,quindi dai punti soluzioni del sistema di due equazioniin tre incognite{
a1x +b1y + c1z +d1 = 0
a2x +b2y + c2z +d2 = 0
Consideriamo i ranghi delle matrici
A =(
a1 b1 c1
a2 b2 c2
)C =
(a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d12
)Dal Teorema di Rouché-Capelli otteniamo le seguenticonclusioni:
Equazioni Cartesiane di una retta
A =(
a1 b1 c1
a2 b2 c2
)C =
(a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d12
)rgA = 1 rg C = 2 allora il sistema non ha soluzioni, ilche vuol dire che i due piani sono paralleli ma noncoincidenti.rgA = 1 = rg C = 1 allora il sistema ha infinitesoluzioni dipendenti da due parametri, il che vuol direche i due piani sono paralleli e coincidenti.rgA = 2 = rg C = 2 allora il sistema ha infinitesoluzioni dipendenti da un solo parametro, il che vuoldire che i due piani non sono paralleli e si intersecanoin una retta.
