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Michele Campiti Analisi Matematica elementi principali della teoria x y f g 0 1 a.a. 2011-2012 Per i corsi di “Analisi Matematica I & II ” della Facolt` a di Ingegneria, Universit` a del Salento

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a.a. 2011-2012
Per i corsi di “Analisi Matematica I & II ” della Facolta di Ingegneria, Universita del
Salento
In copertina: Grafico delle funzioni f(x) := exp(x) e g(x) := sinx
Prefazione
Il presente testo contiene gli elementi principali della teoria dei corsi di Ana- lisi Matematica I e II ed e indirizzato principalmente agli studenti dei Corsi di Laurea in Scienze ed Ingegneria. In diversi capitoli e stato privilegiato l’o- biettivo della sintesi degli argomenti trattati, e diverse parti della teoria sono state introdotte in modo da basare l’esposizione su un numero abbastanza contenuto di definizioni di base. Sono stati spesso anche utilizzati strumenti intuitivi, soprattutto per cio che riguarda gli argomenti introduttivi quali la teoria degli insiemi, gli insiemi numerici e la topologia degli spazi euclidei. Tuttavia il presente testo non e concepito come un mero testo di calcolo; gli elementi della teoria sono stati esposti in modo da favorire la formazione scientifica degli studenti e da incentivare l’interesse verso un’analisi critica dei problemi posti. L’acquisizione di nuove nozioni e basata sull’utilizzo di quelle gia apprese in modo da favorire il progressivo approfondimento dei risultati esposti.
Sono ovviamente graditi suggerimenti e segnalazioni di errori da far per- venire preferibilmente per e-mail all’indirizzo: [email protected]
Michele Campiti
1 Preliminari 5
1.1.1 Connettivi logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Notazioni insiemistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Prodotto cartesiano e relazioni tra elementi di due insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Relazioni funzionali e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Immagini dirette e immagini reciproche . . . . . . . . 19
1.2.2 Funzioni iniettive, suriettive e biiettive . . . . . . . . . 21
1.2.3 Funzioni composte e funzioni inverse . . . . . . . . . . 23
2 Cenni sugli insiemi numerici 29
2.1 L’insieme dei numeri naturali e dei numeri interi . . . . . . . 29
2.1.1 Principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Formula del binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Cenni di calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 L’insieme dei numeri razionali e reali . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Insiemi numerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Intervalli di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Valore assoluto e distanza in R . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Rappresentazione geometrica di Rn, n ≤ 3 . . . . . . . 44
2.3.4 Sottoinsiemi limitati ed estremi . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.5 Intorni e punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . 50
2.3.6 La retta ampliata dei numeri reali . . . . . . . . . . . 50
iv Indice
3 Numeri complessi e polinomi 53 3.1 Proprieta generali dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Richiami di trigonometria e coordinate polari . . . . . . . . . 57
3.2.1 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Forma trigonometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . 64 3.4 Forma esponenziale dei numeri complessi . . . . . . . . . . . 67 3.5 Polinomi ed equazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.1 Polinomi e relative radici . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.2 Polinomi a coefficienti reali . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Funzioni reali 77 4.1 Operazioni con le funzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Estremi di funzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3 Proprieta di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 Proprieta di simmetria e periodicita . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.1 Numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.6 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6.1 Funzioni potenza ad esponente intero positivo . . . . . 91 4.6.2 Funzioni radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.6.3 Funzione potenza ad esponente intero negativo . . . . 94 4.6.4 Funzioni potenza ad esponente razionale e reale . . . . 96 4.6.5 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . . . 97 4.6.6 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.6.7 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . 103
5 Equazioni e disequazioni 109 5.1 Equazioni e disequazioni razionali intere . . . . . . . . . . . . 109 5.2 Equazioni e disequazioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . 112 5.3 Sistemi di equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4 Equazioni e disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.5 Equazioni e disequazioni con valore assoluto . . . . . . . . . . 119 5.6 Metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6 Limiti delle funzioni reali 127 6.1 Definizione generale di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Prime proprieta dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3 Limiti destri e sinistri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.4 Teoremi di confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.5 Operazioni sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.6 Limiti delle funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.7 Limiti delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Indice v
6.7.1 Funzioni potenza ad esponente intero positivo . . . . . 144 6.7.2 Funzioni radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.7.3 Funzioni potenza ad esponente intero negativo . . . . 145 6.7.4 Funzioni potenza ad esponente reale . . . . . . . . . . 145 6.7.5 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.7.6 Funzioni logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.7.7 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.7.8 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . 147
6.8 Limiti di polinomi e funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . 147 6.9 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.10 Infinitesimi ed infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.10.1 Operazioni con infinitesimi ed infiniti . . . . . . . . . . 157
7 Successioni e serie numeriche 163 7.1 Limiti di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1.1 Successioni estratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1.2 Massimo e minimo limite . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.3 Criterio di convergenza di Cauchy . . . . . . . . . . . 176 7.1.4 Massimo e minimo limite per le funzioni . . . . . . . . 177
7.2 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2.1 Definizioni e proprieta preliminari . . . . . . . . . . . 180 7.2.2 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2.3 Serie alternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.2.4 Proprieta algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 Funzioni continue 197 8.1 Definizioni e proprieta preliminari . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.2 Funzioni continue su intervalli chiusi e limitati . . . . . . . . 201 8.3 Continuita delle funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.4 Funzioni uniformemente continue . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9 Calcolo differenziale 211 9.1 Funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.1.1 Definizioni ed interpretazione geometrica . . . . . . . 211 9.1.2 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.1.3 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . 221
9.2 Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 227 9.3 Applicazioni al calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3.1 Teoremi di L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.3.2 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.3.3 Simboli di Landau e applicazioni della formula di Tay-
lor al calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
vi Indice
9.4 Applicazioni allo studio del grafico delle funzioni reali . . . . 246 9.4.1 Monotonia e massimi e minimi relativi ed assoluti . . 246 9.4.2 Convessita, concavita e flessi . . . . . . . . . . . . . . 254 9.4.3 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.4.4 Studio del grafico di una funzione reale . . . . . . . . 265
10 Calcolo integrale 271 10.1 L’integrale secondo Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.1.1 Suddivisioni di un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.1.2 Integrabilita delle funzioni limitate . . . . . . . . . . . 272 10.1.3 Interpretazione geometrica e proprieta dell’integrale
esteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.1.4 Primitive ed integrale indefinito . . . . . . . . . . . . . 281 10.1.5 Integrali indefiniti immediati . . . . . . . . . . . . . . 286 10.1.6 Prime regole di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.2 Integrazione delle funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.2.1 Caso m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.2.2 Caso m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.2.3 Caso m > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.3 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.3.1 Integrali impropri di funzioni non limitate . . . . . . . 294 10.3.2 Integrali impropri su intervalli non limitati . . . . . . 301
II Equazioni differenziali e funzioni di piu variabili reali 309
11 Successioni e serie di funzioni 313 11.1 Convergenza puntuale ed uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.2 Proprieta del limite di una successione di funzioni . . . . . . . 315 11.3 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 11.4 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 11.5 Serie ottenute per derivazione ed integrazione . . . . . . . . . 329 11.6 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11.6.1 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.6.2 Funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 11.6.3 Funzioni seno e coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 11.6.4 Funzione arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 11.6.5 La serie binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 11.6.6 La funzione arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.7 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Indice vii
12 Calcolo differenziale in piu variabili 343 12.1 Cenni sulla struttura metrica di Rn . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.1.1 Prodotti scalari e norme . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.1.2 Sfere ed insiemi aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . . 349 12.1.3 Intervalli, rette e direzioni di Rn . . . . . . . . . . . . 351
12.2 Funzioni di piu variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 12.3 Derivate direzionali e parziali e differenziabilita . . . . . . . . 356
12.3.1 Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 12.3.2 Derivate direzionali e parziali . . . . . . . . . . . . . . 358 12.3.3 Differenziabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 12.3.4 Derivate successive e formula di Taylor . . . . . . . . . 368 12.3.5 Differenziabilita delle funzioni composte . . . . . . . . 372
12.4 Punti di massimo e minimo relativo . . . . . . . . . . . . . . 374 12.5 Massimo e minimo assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 12.6 Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
13 L’integrale di Riemann in Rn 383 13.1 Cenni sulla teoria della misura di Peano-Jordan in Rn . . . . 383 13.2 Cenni sull’integrale di Riemann in Rn . . . . . . . . . . . . . 388
13.2.1 Integrazione su domini normali . . . . . . . . . . . . . 391 13.2.2 Cambiamento di variabile negli integrali multipli . . . 395
14 Curve, campi vettoriali e superfici 401 14.1 Curve regolari e lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.2 Integrali curvilinei e campi vettoriali conservativi . . . . . . . 409
14.2.1 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.2.2 Integrali curvilinei di un campo vettoriale . . . . . . . 411 14.2.3 Campi vettoriali conservativi . . . . . . . . . . . . . . 412
14.3 Superfici ed integrali superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . 416 14.4 Il teorema della divergenza e la formula di Stokes . . . . . . . 418
15 Equazioni differenziali ordinarie 419 15.1 Introduzione e problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 419 15.2 Unicita della soluzione del problema di Cauchy . . . . . . . . 426 15.3 Esistenza della soluzione del problema di Cauchy . . . . . . . 430 15.4 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
15.4.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . 436 15.4.2 Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti
costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Bibliografia 441
Elenco delle figure
1.1 Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano di due insiemi. 13 1.2 Rappresentazione grafica di una generica relazione tra ele-
menti di due insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Rappresentazione grafica di una relazione riflessiva e di una
non riflessiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Rappresentazione grafica di una relazione simmetrica e di
una non simmetrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Rappresentazione grafica di una relazione antisimmetrica e
di una non antisimmetrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Rappresentazione grafica di una relazione funzionale. . . . . . 18 1.7 Esempi di relazioni non funzionali. . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Rappresentazione grafica di una funzione. . . . . . . . . . . . 19 1.9 Rappresentazione grafica dell’immagine diretta. . . . . . . . . 20 1.10 Rappresentazione grafica dell’immagine reciproca. . . . . . . . 21 1.11 Rappresentazione grafica di una funzione iniettiva e di una
funzione non iniettiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.12 Rappresentazione grafica di una funzione suriettiva e di una
funzione non suriettiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.13 Rappresentazione grafica di una funzione composta. . . . . . . 24
2.1 Rappresentazione geometrica dei numeri reali. . . . . . . . . . 44 2.2 Riferimento cartesiano non ortogonale. . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Riferimento cartesiano ortonormale. . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Riferimento cartesiano dello spazio. . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Circonferenza trigonometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Interpretazione geometrica della tangente. . . . . . . . . . . . 61 3.3 Interpretazione geometrica della cotangente. . . . . . . . . . . 62 3.4 Coordinate polari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Radici terze e quinte di un numero complesso. . . . . . . . . . 67
x Elenco delle figure
4.1 Esempio di massimo assoluto e relativo. . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Funzione strettamente crescente (decrescente) in un intervallo. 84 4.3 Funzione strettamente crescente (decrescente) in un punto. . 86 4.4 Funzione potenza ad esponente pari (≥ 2). . . . . . . . . . . . 92 4.5 Funzione potenza ad esponente dispari (≥ 3). . . . . . . . . . 93 4.6 Funzione radice con indice pari. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.7 Funzione radice con indice dispari. . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.8 Funzione potenza ad esponente intero negativo pari. . . . . . 95 4.9 Funzione potenza ad esponente intero negativo dispari. . . . . 96 4.10 Funzione potenza con esponente razionale o reale. . . . . . . . 98 4.11 Funzione esponenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.12 Funzione logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.13 Funzioni seno e coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.14 Funzione tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.15 Funzione cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.16 Funzione arcoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.17 Funzione arcocoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.18 Funzione arcotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.19 Funzione arcocotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1 Metodo grafico per le disequazioni: Esempio 1 . . . . . . . . . 123 5.2 Metodo grafico per le disequazioni: Esempio 2 . . . . . . . . . 124 5.3 Metodo grafico per le disequazioni: Esempio 3 . . . . . . . . . 124 5.4 Metodo grafico per le disequazioni: Esempio 4 . . . . . . . . . 125
6.1 Limiti di una funzione monotona. . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2 Limite notevole sinx/x in 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 Prodotto secondo Cauchy di due serie . . . . . . . . . . . . . 193
8.1 Teorema degli zeri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2 Approssimazione delle soluzioni con il teorema degli zeri. . . . 204
9.1 Interpretazione geometrica della derivata. . . . . . . . . . . . 215 9.2 Teorema di Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.3 Teorema di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.4 Polinomi di Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.5 Funzione convessa o concava in un punto e punti di flesso. . . 257 9.6 Asintoto orizzontale e verticale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.7 Grafico della funzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.8 Grafico della funzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.1 Somma superiore ed inferiore relativa ad una suddivisione. . . 273
Elenco delle figure xi
12.1 Esempio di insieme connesso ma non convesso. . . . . . . . . 353
13.1 Esempio di insieme misurabile illimitato. . . . . . . . . . . . 387 13.2 Dominio di integrazione con trasformazione in coordinate po-
lari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Parte I
Funzioni di una variabile reale
Nella prima parte del corso, l’obiettivo principale riguarda lo studio del- le funzioni reali di una variabile reale, attraverso lo studio dei limiti e del calcolo differenziale ed integrale. Per il raggiungimento di tale obiettivo vengono trattati non solo argomenti di carattere preliminare, quali gli insie- mi con particolare riguardo a quelli numerici, le disequazioni e le funzioni elementari, ma anche diversi argomenti di carattere complementare, quali i numeri complessi, le successioni e le serie numeriche.
Capitolo 1
1.1.1 Connettivi logici
Innanzitutto conviene introdurre brevemente alcuni connettivi logici al fine di precisarne il loro significato e soprattutto il loro utilizzo. L’utilizzo del calcolo proposizionale risulta uno strumento molto utile nei casi in cui bi- sogna operare con enunciati che coinvolgono diversi connettivi contempora- neamente in quanto le regole introdotte per la manipolazione degli enunciati sono di carattere generale.
Si precisa innanzitutto che il termine enunciato o proprieta e da inten- dere come un qualsiasi frase di senso compiuto. Un enunciato puo essere vero o falso e, piu in generale, puo essere anche indecidibile (cioe ne vero ne falso) o contraddittorio (cioe vero e falso contemporaneamente); avranno pero interesse per i nostri fini soltanto enunciati veri oppure enunciati falsi. Di solito gli enunciati vengono rappresentati con lettere corsive maiuscole; ad esempio: A, B, C, . . . , P, Q, . . . Facendo uso dei connettivi logici si possono introdurre nuovi enunciati partendo da enunciati assegnati.
Uno dei piu semplici connettivi logici e quello di negazione; assegnato un enunciato A, si conviene che il simbolo ⌉A (da leggersi “non A”) denoti la negazione dell’enunciato A; talvolta vengono usati anche i simboli ¬A e ∼ A. La negazione ⌉A dell’enunciato A risulta un enunciato vero se A e un enunciato falso e, viceversa, risulta un enunciato falso se A e un enunciato vero.
Altri connettivi elementari sono quelli di disgiunzione logica e di con- giunzione logica; assegnati gli enunciati A e B i simboli A ∨ B (“A o B”) e A ∧ B (“A e B”) denotano la disgiunzione logica e rispettivamente la con-
6 Capitolo 1: Preliminari
giunzione logica degli enunciati A e B; l’enunciato A ∨ B risulta vero ogni qualvolta e vero almeno uno degli enunciati A e B (si tratta quindi di una disgiunzione debole, nel senso che A∨B e vero anche se A e B sono entrambi veri), mentre l’enunciato A∧B e vero solo nel caso in cui sono veri entrambi gli enunciati A e B.
Introdotto il connettivo negazione “⌉”, gli ulteriori connettivi “∨” e “∧” non risultano
tra loro indipendenti; si puo infatti riconoscere facilmente che il significato dell’enunciato
“A ∧ B” coincide con quello del seguente enunciato ⌉((⌉A) ∨ (⌉B)).
Un altro connettivo utile e quello di implicazione logica; se A e B so- no enunciati, la scrittura A ⇒ B (“A implica B”) e da intendersi come un’abbreviazione dell’enunciato “B ∨ (⌉A)”. Dunque “A ⇒ B” e vero se l’enunciato A e falso oppure se, supposto vero l’enunciato A, risulta vero anche l’enunciato B; conseguentemente, “A⇒ B” risulta falso solo nel caso in cui l’enunciato A e vero e l’enunciato B e falso.
Un ultimo connettivo logico e quello di equivalenza; se A e B sono enun- ciati, la scrittura A⇔ B (“A equivale a B”) e da intendersi come un’abbre- viazione di “(A⇒ B) ∧ (B ⇒ A)”. L’equivalenza “A⇔ B” e un enunciato vero se e solo se gli enunciati A e B sono entrambi veri oppure entrambi falsi. Ogni enunciato puo essere sostituito, in ogni espressione logica, da un enunciato ad esso equivalente.
Si riassumono ora alcune proprieta notevoli dei connettivi precedenti.
Se A, B e C sono enunciati, allora:
1. ⌉(⌉A)⇔ A.
3. A⇔ A ∨A , A⇔ A ∧A .
4. A⇒ A ∨ B , A ∧ B ⇒ A .
5. (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) , (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) .
6. (A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) , (A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) .
7. A⇔ A (proprieta riflessiva dell’equivalenza).
8. Se A⇔ B allora B ⇔ A (proprieta simmetrica dell’equivalenza).
9. Se A ⇔ B e B ⇔ C allora A ⇔ C (proprieta transitiva dell’equi- valenza).
10. Se A⇒ B e B ⇒ C allora A⇒ C (proprieta transitiva dell’impli- cazione).
1.1 Cenni di calcolo proposizionale 7
11. (A⇒ B)⇔ (⌉B ⇒⌉A).
Conviene inoltre tener presente la seguente regola di deduzione: “Se A e un enunciato vero e se e vera l’implicazione A⇒ B, allora anche l’enunciato B e vero”.
In alcuni casi, per stabilire la verita o la falsita di un enunciato, si possono utilizzare le seguenti tavole di verita, nelle quali si conviene di denotare con 1 o 0 i casi in cui un enunciato sia vero o rispettivamente falso. Nel caso in cui un enunciato sia composto mediante diversi enunciati, bisogna considerare tutte le possibili combinazioni che si possono presentare.
Ad esempio, le tavole di verita degli enunciati A ∨ B e A ∧ B sono date da
A B A ∨ B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
A B A ∧ B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
e racchiudono il fatto che la disgiunzione logica e falsa (assume il valore 0) solo quando entrambi gli enunciati sono falsi, mentre la congiunzione logica e vera (assume il valore 1) solo quando entrambi gli enunciati sono veri.
Le tavole di verita relative agli altri connettivi logici sono le seguenti
A ⌉A 1 0 0 1
.
C = “Un foglio di quaderno e macchiato”,
scrivere gli enunciati: ⌉A, ⌉B, ⌉C, A ∨ B, A ∨ (⌉C), (⌉B) ∧ C
(Esempio: ⌉A = “Antonio o non vive a Roma o non vive a Milano”).
8 Capitolo 1: Preliminari
3. Dire se le seguenti implicazioni sono vere:
1 + 1 = 2⇒ “La logica e sempre corretta”,
1 + 1 = 2⇒ “La logica e sempre corretta”,
1 + 1 = 2⇒ “La logica non e sempre corretta”,
1 + 1 = 2⇒ “La logica non e sempre corretta”,
1 + 1 = 2⇒ “La logica talvolta e corretta”,
1 + 1 = 2⇒ “La logica talvolta e corretta”,
4. Scrivere le tavole di verita degli enunciati:
(A⇒ B) ∨ (⌉A); ,
(A⇒ B) ∧A ,
(A∨⌉C)⇔ B ,
(⌉B) ∨ C ⇒ A ∧ B
(ad esempio, si scrive la tavola di verita dell’ultimo enunciato:
).
Dalla precedente tavola di verita si deduce anche che l’enunciato con- siderato e equivalente al solo enunciato B, in quanto ne assume gli stessi valori di verita. Le tavole di verita costituiscono pertanto anche un utile strumento per semplificare un enunciato complesso assegnato.
1.1 Cenni di calcolo proposizionale 9
1.1.2 Quantificatori
Nel seguito si denoteranno con lettere maiuscole gli insiemi e con lettere minuscole gli elementi di un insieme (la distinzione tra oggetti ed insiemi si riferisce al contesto considerato e non e una distinzione assoluta). Per indicare che un oggetto x e un elemento (rispettivamente, non e un elemento) di un insieme E, si scrive x ∈ E (“x appartiene ad E” oppure “x e elemento di E”) (rispettivamente, x /∈ E (“x non appartiene ad E” oppure “x non e elemento di E”)).
Tra i simboli logici di uso frequente vi sono i quantificatori, definiti come segue:
∀ Quantificatore universale “per ogni”. Per esprimere la circostanza in cui una proprieta P (assegnata per ogni elemento x di un insieme E) sia sempre verificata, si scrive
∀ x ∈ E : P(x)
(si legge “per ogni x in E si ha P(x))”. Il simbolo “:” ha la funzione di abbreviazione linguistica e si legge “si ha che” oppure “risulta che”.
∃ Quantificatore esistenziale “esiste”. Per esprimere la circostanza in cui una proprieta P (assegnata per ogni elemento x di un insieme E) sia verificata per almeno un elemento, si scrive
∃ x ∈ E t.c. P(x)
(si legge “esiste x in E tale che P(x))”. Il simbolo “t.c.” ha la funzione di abbreviazione linguistica e si legge “tale che”. In molti casi viene utilizzato anche il simbolo ∋′ come abbreviazione di tale che. Nel caso in cui esista esattamente un unico elemento di x ∈ E per cui P(x) sia vera si scrive ∃|x ∈ E t.c. P(x) (si legge “esiste un unico x in E tale che P(x))”.
L’uso di tali simboli e da intendersi nel modo seguente. Sia E un insieme e si supponga di poter attribuire a ciascun elemento x ∈ E una proprieta P(x), vera o falsa (ad esempio, E potrebbe denotare l’insieme delle parole di un vocabolario e, per ogni x ∈ E, P(x)=“la parola x e formata da piu di dieci lettere”).
Allora la scrittura ∃ x ∈ E : P(x) significa “esiste un elemento x di E che verifica la proprieta P(x)” (nell’esempio “esiste una parola con piu di dieci lettere”), mentre la scrittura ∀ x ∈ E : P(x) significa che “ogni elemento x di E verifica la proprieta P(x)” (nell’esempio, “ogni parola e formata da piu di dieci lettere”).
10 Capitolo 1: Preliminari
Si noti che le affermazioni precedenti non sono l’una la negazione del- l’altra.
La negazione di ∃ x ∈ E : P(x) e infatti “∀ x ∈ E : P(x) e falsa”, cioe “∀ x ∈ E : ⌉P(x)”, mentre la negazione di ∀ x ∈ E : P(x) e “∃ x ∈ E : P(x) sia falsa”, cioe “∃ x ∈ E : ⌉P(x)”.
In alcuni casi oltre all’esistenza di un elemento che verifica una certa proprieta, si vuole affermare anche la sua unicita. E utile pertanto intro- durre il simbolo ∃| che si utilizza nell’espressione ∃| x ∈ E : P(x) per affermare che “esiste uno ed un solo elemento x in E tale che la proprieta P(x) sia vera”.
Si riconosce facilmente la validita delle seguenti proprieta, che chiari- scono come si comportano i quantificatori in presenza di altri connettivi logici.
Si intendono fissati un insieme E e le proprieta P(x) e Q(x) definite per ogni x ∈ E.
1. ⌉(∀ x ∈ E : P(x)) ⇔ ∃ x ∈ E : ⌉P(x)
⌉(∃ x ∈ E : P(x)) ⇔ ∀ x ∈ E : ⌉P(x) ;
ad esempio, negare che tutti gli italiani abbiano una o piu automobili, significa affermare che esiste un italiano che non ha alcuna automobile, mentre negare che esista un italiano che ha una o piu automobili, significa affermare che tutti gli italiani non hanno un’automobile.
2. (∃ x ∈ E : P(x)∨Q(x)) ⇔ (∃ x ∈ E : P(x)) ∨ (∃ x ∈ E : Q(x))
3. (∀ x ∈ E : P(x)∧Q(x)) ⇔ (∀ x ∈ E : P(x)) ∧ (∀ x ∈ E : Q(x))
4. (∃ x ∈ E : P(x) ∧ Q(x)) ⇒ (∃ x ∈ E : P(x)) ∧ (∃ x ∈ E : Q(x))
5. (∀ x ∈ E : P(x)) ∨ (∀ x ∈ E : Q(x)) ⇒ (∀ x ∈ E : P(x) ∨ Q(x))
Si osservi che nelle ultime due proprieta non vale l’equivalenza; infatti se, ad esempio, E denota l’insieme {0, 1, 2} e se, per ogni x ∈ E, si pone P(x) = “x ≤ 1” e Q(x) =“x = 2”, si vede facilmente che gli enunciati (∃ x ∈ E : P(x)) e (∃ x ∈ E : Q(x)) sono entrambi veri (e quindi e vera la loro congiunzione logica) mentre l’enunciato (∃ x ∈ E : P(x) ∧Q(x)) e evidentemente falso.
Analogamente, se si considerano le proprieta, definite per ogni x ∈ E, P(x) = “x ≤ 1” e Q(x) =“x ≥ 1”; allora l’enunciato “∀ x ∈ E : P(x) ∨ Q(x)” e vero, mentre ciascuno degli enunciati “∀ x ∈ E : P(x)′′e“∀ x ∈ E : Q(x)” e falso (e quindi e falsa la loro disgiunzione logica).
La prima proprieta, apparentemente banale, consente di eseguire cor- rettamente la negazione anche di enunciati complessi, in cui l’intuizione
1.1 Cenni di calcolo proposizionale 11
potrebbe invece incontrare difficolta. Infatti, e sufficiente osservare che la negazione di un quantificatore universale si ottiene considerando il quanti- ficatore esistenziale seguito dalla negazione, e viceversa, la negazione di un quantificatore esistenziale si ottiene considerando il quantificatore universa- le seguito dalla negazione (cioe ⌉(∀ x ∈ E : . . . ) equivale a ∃ x ∈ E : ⌉(. . . ) mentre ⌉(∃ x ∈ E : . . . ) equivale a ∀ x ∈ E : ⌉(. . . )).
Ad esempio, si considerino tre insiemi E, F e G e sia P(x, y, z) una proprieta che dipende dagli elementi x ∈ E, y ∈ F e z ∈ G. Allora la negazione dell’enunciato
∀ x ∈ E : ∃ y ∈ F : ∀ z ∈ G : P(x, y, z)
e data da ∃ x ∈ E : ∀ y ∈ F : ∃ z ∈ G : ⌉P(x, y, z) .
Esempi ed esercizi
1. Dire se sono veri i seguenti enunciati: “−2 e un numero naturale”, “5 e n numero intero”, “−7 e un numero razionale”.
2. Scrivere la negazione dei seguenti enunciati
A = “∀ x ∈ E : ∃ y ∈ E : P(x, y) ,”
B = “∃ x ∈ E : ∀ y ∈ E : P(x, y) ,”
(ad esempio, la negazione dell’enunciato A e data da
∃ x ∈ E : ∀ y ∈ E : ⌉P(x, y) ).
Nelle sezioni seguenti sono raggruppate alcune delle notazioni adoperate nel seguito del testo.
1.1.3 Notazioni insiemistiche
Gli insiemi vengono solitamente rappresentati con lettere maiuscole: E,F, . . . ed i loro elementi con lettere minuscole: x, y, . . . . Un insieme contenente gli oggetti a, b, c, . . . si puo indicare con {a, b, c, . . . }; inoltre, se E e un insieme assegnato e se, per ogni x ∈ E e assegnata anche una proprieta P(x), l’insieme degli elementi di E per cui la proprieta e vera si denota con {x ∈ E | P(x)}.
Se in particolare viene assegnata una proprieta che non e soddisfatta da alcun elemento di E (ad esempio, P(x) =“x non e un elemento di E), si ottiene un insieme privo di elementi, che viene denominato insieme vuoto e denotato con ∅. L’insieme vuoto ∅ e caratterizzato dal fatto di non avere elementi.
Inoltre, si assumono le seguenti notazioni:
12 Capitolo 1: Preliminari
∈ Simbolo di appartenenza. La notazione “x ∈ E” afferma che l’oggetto x appartiene all’insieme (oppure e elemento di) E). La negazione di tale circostanza si esprime scrivendo “x /∈ E”.
⊂ Simbolo di inclusione. La notazione “E ⊂ F” afferma che l’insieme E e contenuto nell’insieme (oppure e un sottoinsieme di) F , cioe gli ele- menti di E sono anche elementi di F . La negazione di tale circostanza si esprime scrivendo “E ⊂ F”.
∩ Simbolo di intersezione. La notazione “E ∩ F” denota l’insieme co- stituito dagli elementi che appartengono sia ad E che ad F . Piu in generale, se I e un insieme e per ogni i ∈ I e assegnato un insieme Ei, l’insieme intersezione costituito dagli elementi che appartengono
a tutti gli insiemi Ei viene denotato con
i∈I
Ei. Due insiemi E ed F
si dicono disgiunti se E ∩ F = ∅.
∪ Simbolo di unione. La notazione “E ∪ F” denota l’insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad E oppure ad F (cioe ad almeno uno dei due insiemi). Inoltre, se per ogni i ∈ I e assegnato un insieme Ei, l’insieme unione costituito dagli elementi che appartengono ad
almeno uno degli insiemi Ei viene denotato con
i∈I
Ei.
" Simbolo di complementare. Se E e un sottoinsieme di F , la notazio- ne “"F (E)” denota l’insieme costituito dagli elementi di F che non appartengono ad E.
" Simbolo di differenza di insiemi. La notazione “F " E” denota l’in- sieme costituito dagli elementi di F che non appartengono ad E. Si ha ovviamente F " E = "F (E ∩ F ).
1.1.4 Prodotto cartesiano e relazioni tra elementi di due insiemi
In questa sezione viene introdotto il prodotto cartesiano di due o piu insiemi e inoltre vengono dati alcuni cenni sulle relazioni tra elementi di due insiemi. L’obiettivo principale sara quello di introdurre in maniera precisa il concetto di funzione utilizzando le relazioni cosiddette funzionali. Per completezza, verranno citate anche alcune tra le proprieta principali di una relazione.
Se x ed y sono oggetti distinti, l’insieme {x, y} viene denominato coppia non ordinata (se x = y, si ottiene l’insieme {x} ridotto al solo elemento x). Per quanto riguarda l’insieme {x, y}, non ha alcuna rilevanza l’ordine con il quale compaiono i due elementi x ed y; invece nella coppia ordinata (x, y)
1.1 Cenni di calcolo proposizionale 13
di prima coordinata x e seconda coordinata y l’ordine in cui compaiono gli elementi diventa di importanza sostanziale. Precisamente, si puo porre (x, y) = {{x}, {x, y}} per differenziare il ruolo dei due elementi; tuttavia nel seguito si preferira basarsi su una definizione intuitiva nelle dimostrazioni.
Pertanto, si ha (a, b) = (c, d) se e solo se a = c e b = d. In modo del tutto analogo, assegnati tre oggetti x, y e z, si puo definire la
terna ordinata (x, y, z). Nel caso in cui x1, x2, . . . , xn siano n oggetti (n ≥ 2), si definisce con lo stesso metodo la n-pla ordinata di prima coordinata x1, di seconda coordinata x2, . . . , ed n-esima coordinata xn.
Se E ed F sono due insiemi, si puo considerare l’insieme di tutte le coppie ordinate con prima coordinata in E e seconda coordinata in F . Tale insieme viene denominato insieme prodotto di E per F e viene denotato con il simbolo E × F ; se E = F , si puo anche scrivere E2 anziche E × E.
Il prodotto cartesiano E ×F puo essere rappresentato geometricamente indicando gli elementi dell’insieme E su un segmento disposto orizzontal- mente e gli elementi di F su un segmento disposto verticalmente; gli elementi del prodotto (coppie ordinate) sono allora rappresentati come elementi del rettangolo in Figura 1.1.
P (x, y)
Figura 1.1: Rappresentazione grafica del prodotto cartesiano di due insiemi.
Si osservi che se l’insieme E e formato da n elementi distinti e l’insieme F e formato da m elementi distinti, allora il prodotto cartesiano E × F possiede esattamente n ·m elementi distinti.
In modo analogo si considera il prodotto cartesiano E × F × G di tre insiemi E,F eG; esso e l’insieme delle terne ordinate la cui prima coordinata e un elemento di E, la seconda coordinata e un elemento di F e la terza coordinata e un elemento di G.
Piu in generale, se E1, E2, . . . , En sono n insiemi (n ≥ 2), si puo definire il prodotto cartesiano E1×E2× · · ·×En come l’insieme delle n-ple ordinate (x1, . . . , xn) tali che x1 ∈ E1, . . . xn ∈ En. Anche in questo caso, se E1 = E2 = · · · = En = E, si utilizza il simbolo En per denotare il prodotto E1 × E2 × · · ·× En.
14 Capitolo 1: Preliminari
Si introduce ora il concetto di relazione tra elementi di due insiemi assegnati. Siano E ed F due insiemi.
Una relazione tra elementi di E ed elementi di F e semplicemente un sottoinsieme del prodotto cartesiano E × F .
Figura 1.2: Rappresentazione grafica di una generica relazione tra elementi di due insiemi.
Poiche in particolare ∅ ⊂ E × F e E × F ⊂ E × F , tra le relazioni tra un insieme E ed un insieme F vanno sempre considerate la relazione vuota ∅ e la relazione totale E × F .
Il fatto che una coppia (x, y) ∈ E×F appartenga alla relazione R indica che l’elemento x di E e in relazione R con l’elemento y di F . Per denotare questa circostanza si scrive anche xRy anziche (x, y) ∈ R.
Se in particolare E = F , una relazione R ⊂ E2 viene denominata relazione su E.
Si osservi che in questo caso, se E viene rappresentato geometricamente con un segmento, allora il prodotto cartesiano E2 diventa un quadrato.
Le relazioni su un insieme E possono avere particolari proprieta. Per enunciarle, si fissi una relazione R su un insieme E. Allora
• Proprieta riflessiva. Si dice che R e riflessiva se soddisfa la seguente condizione:
∀ x ∈ E : (x, x) ∈ R .
La proprieta riflessiva si esprime dicendo che ogni elemento di E e in relazione R con se stesso.
Geometricamente, e molto semplice riconoscere che una relazione R e riflessiva se e solo se essa contiene la diagonale principale di E2 (vedasi la Figura 1.3
• Proprieta simmetrica. Si dice che R e simmetrica se soddisfa la seguente condizione:
∀ x, y ∈ E : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R .
1.1 Cenni di calcolo proposizionale 15
Figura 1.3: Rappresentazione grafica di una relazione riflessiva e di una non riflessiva.
La proprieta simmetrica si esprime dicendo che se un elemento x di E e in relazione R con un altro elemento y di E, allora anche y e in relazione R con x.
Anche in questo caso geometricamente e molto semplice riconoscere che una relazione R e simmetrica se e solo se essa e simmetrica rispetto alla diagonale principale di E2 (vedasi la Figura 1.4
Figura 1.4: Rappresentazione grafica di una relazione simmetrica e di una non simmetrica.
• Proprieta antisimmetrica. Si dice che R e antisimmetrica se soddisfa la seguente condizione:
∀ x, y ∈ E : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y .
La proprieta antisimmetrica si esprime dicendo che se accade con- temporaneamente che un elemento x di E sia in relazione R con un elemento y di E e y e in relazione R con x, allora necessariamente x = y.
Nella Figura 1.5 sono rappresentate geometricamente una relazione R antisimmetrica e una relazione R non antisimmetrica.
16 Capitolo 1: Preliminari
Figura 1.5: Rappresentazione grafica di una relazione antisimmetrica e di una non antisimmetrica.
• Proprieta transitiva. Si dice che R e transitiva se soddisfa la seguente condizione:
∀ x, y, z ∈ E : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R .
In questo caso si rinuncia ad una rappresentazione geometrica in quan- to non vi e una caratterizzazione elementare come nei precedenti casi.
Le precedenti proprieta consentono di introdurre le seguenti due impor- tanti classi di relazioni su un insieme E:
• Si dice che una relazione R su un insieme E e una relazione d’equiva- lenza su E se essa e riflessiva, simmetrica e transitiva.
• Si dice che una relazione R su un insieme E e una relazione d’ordine su E se essa e riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Alcuni esempi di relazioni di equivalenza sono:
• Le parole di un vocabolario che cominciano con la stessa lettera. In questo caso E e l’insieme delle parole del vocabolario ed R = {(x, y) ∈ E2 | x e y cominciano con la stessa lettera}. Analogamente si possono considerare le parole che terminano con la stessa lettera, che fanno rima, che hanno lo stesso numero di lettere e cos via.
• La classe di appartenenza tra gli abitanti di una citta. In questo caso E e l’insieme degli abitanti della citta ed R = {(x, y) ∈ E2 | x e y hanno la stessa eta}. Analogamente si possono considerare la citta natale, l’iscrizione alla stessa scuola e cos via.
• Sull’insieme N = {0, 1, 2, . . . } dei numeri naturali, la relazione R1 = {(n,m) ∈ N2 | n e primo con m} oppure R2 = {(n,m) ∈ N2 | la somma di n ed m e pari }.
1.2 Relazioni funzionali e funzioni 17
mentre i seguenti sono esempi riguardanti alcune relazioni d’ordine:
• I files piu grandi (come dimensioni) tra quelli di un computer. In que- sto caso E e l’insieme dei files presenti nel computer ed R = {(x, y) ∈ E2 | x ha una dimensione maggiore o uguale a quella di y}. Analoga- mente si possono considerare i files piu recenti, quelli modificati piu volte, ecc.
• L’ordine alfabetico tra le parole di un vocabolario. In questo caso E e l’insieme delle parole del vocabolario ed R = {(x, y) ∈ E2 | x precede o coincide con y secondo l’ordine alfabetico}.
• Il numero di matricola tra gli studenti universitari. In questo caso E e l’insieme degli studenti iscritti ad una Universita ed R = {(x, y) ∈ E2 | Il numero di matricola di x e minore o uguale di quello di y}.
• La relazione d’ordine naturale tra i numeri naturali, interi, razionali e reali.
• La relazione di inclusione tra i sottoinsiemi di un assegnato insieme E e una relazione d’ordine sull’insieme dei sottoinsiemi di E. In questo caso, assegnato un insieme E, si ha R = {(A,B) ∈ P(E)2 | A ⊂ B} (P(E) denota l’insieme di tutti i sottoinsiemi di E).
1.2 Relazioni funzionali e funzioni
Si considera ora un’ulteriore proprieta delle relazioni che sara alla base della definizione di funzione.
Siano E ed F insiemi e sia R ⊂ E × F una relazione tra elementi di E ed elementi di F .
Si dice che R e una relazione funzionale tra elementi di E ed elementi di F se essa verifica la seguente condizione:
∀ x ∈ E ∃ | y ∈ F t.c. (x, y) ∈ R . (1.2.1)
Quindi in una relazione funzionale ogni elemento di E e in relazione con uno ed un solo elemento y di F .
Graficamente questa condizione si puo descrivere affermando che le rette verticali passanti per i punti di E intersecano la relazione in uno ed un solo punto, come si vede nella Figura 1.6.
Nella Figura 1.7 successiva vengono mostrati invece due casi in cui la definizione precedente non e verificata.
A questo punto si puo definire in maniera precisa il concetto di funzione.
18 Capitolo 1: Preliminari
Figura 1.7: Esempi di relazioni non funzionali.
Siano E ed F insiemi. Si dice funzione da E in F ogni terna ordinata f = (E,F,R) dove R e una relazione funzionale tra elementi di E ed elementi di F .
Intuitivamente assegnare una funzione vuol dire assegnare tre oggetti: un insieme di partenza E (denominato anche insieme di definizione op- pure dominio di f), un insieme di arrivo F e una relazione funzionale R denominata grafico della funzione, che rappresenta la ‘corrispondenza’ che ad ogni elemento dell’insieme di partenza associa uno ed un solo elemento dell’insieme di arrivo.
Viene quindi richiesta agli elementi di E di soddisfare la condizione pre- vista dalla definizione di relazione funzionale e precisamente che ad ogni elemento x ∈ E corrisponda uno ed un solo elemento di F . Cio consente di dare la seguente definizione.
Il valore che una funzione f assume in un elemento x ∈ E viene denotato con f(x) e rappresenta l’unico elemento y di F tale che (x, y) ∈ R.
Quindi la relazione funzionale puo essere scritta nel modo seguente:
R = {(x, y) ∈ E × F | y = f(x)} . (1.2.2)
Da tale descrizione segue che e equivalente assegnare il grafico della
1.2 Relazioni funzionali e funzioni 19
funzione oppure alternativamente assegnare il valore f(x) delle funzione f in ogni punto x ∈ E.
Si osservi che il concetto di funzione non prevede che gli elementi di F soddisfino alcuna condizione.
Molto frequentemente si prenderanno in esame proprieta riguardanti una generica funzione che ha E come insieme di partenza ed F come insieme di arrivo. In tali circostanze si rpeferira la notazione f : E → F (oppure
talvolta E f→ F oppure x 4→ f(x)).
Graficamente, una funzione viene rappresentata con uno dei seguenti grafici:
Figura 1.8: Rappresentazione grafica di una funzione.
1.2.1 Immagini dirette e immagini reciproche
Sia ora f : E → F una funzione di E in F . Se A e un sottoinsieme di E, si denomina immagine diretta di A mediante f , e la si denota con f(A), il seguente sottoinsieme di F :
f(A) := {y ∈ F | ∃ x ∈ A t.c. f(x) = y} . (1.2.3)
L’immagine diretta di E mediante f viene denominata semplicemente immagine di f (oppure insieme dei valori di f) e denotata anche con Im(f). Quindi:
f(E) := {y ∈ F | ∃ x ∈ E t.c. f(x) = y} .
Graficamente l’immagine diretta si puo rappresentare come nella Figura 1.9.
Se si considerano i sottoinsiemi particolari ∅ ed E stesso di E, si puo affermare quanto segue:
f(∅) = ∅ , f(E) ⊂ F ;
Figura 1.9: Rappresentazione grafica dell’immagine diretta.
quindi l’insieme dei valori e in generale solamente contenuto in F e non uguale ad F (le funzioni per le quali vale l’uguaglianza f(E) = F verranno considerate nel seguito e verranno denominate suriettive).
Si osserva inoltre che se A1 ⊂ E e A2 ⊂ E e se A1 ⊂ A2, si ha f(A1) ⊂ f(A2).
Inoltre se A1 ⊂ E e A2 ⊂ E sono due arbitrari sottoinsiemi di E, si puo affermare che:
f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2) , f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2) .
Nell’ultima relazione non vale in generale l’uguaglianza, come si puo rico- noscere considerando ad esempio una funzione costante e due sottoinsiemi A1 e A2 non vuoti e disgiunti.
Sia assegnata ora una funzione f : E → F e si consideri un sottoinsie- me B di F . Si definisce immagine reciproca (oppure immagine indiretta o
controimmagine) di B mediante f , e la si denota con −1 f (B), il seguente
sottoinsieme di E:
−1 f (B) := {x ∈ E | f(x) ∈ B} . (1.2.4)
Se si considera y ∈ F , la controimmagine −1 f ({y}) viene anche denotata
con −1 f (y). Si osservi che
−1 f (y) puo risultare vuota se la funzione f non
assume il valore y in alcun elemento x ∈ E (come si vedra nel seguito, tale circostanza non si verifica se la funzione e suriettiva). Inoltre, qualora −1 f (y) sia non vuota, non e detto che essa sia costituita da un solo elemento x ∈ E; le funzioni per le quali quest’ultima condizione e soddisfatta verranno considerate di seguito e denominate iniettive.
Graficamente l’immagine reciproca si puo rappresentare come nella Fi- gura 1.10.
1.2 Relazioni funzionali e funzioni 21
Figura 1.10: Rappresentazione grafica dell’immagine reciproca.
Se si considerano i sottoinsiemi particolari ∅ ed F stesso di F , si puo affermare quanto segue:
−1 f (∅) = ∅ ,
−1 f (F ) = E .
Quindi in questo caso vale l’uguaglianza come diretta conseguenza della definizione di funzione.
Si osserva inoltre che se B1 ⊂ F e B2 ⊂ F e se B1 ⊂ B2, si ha −1 f
(B1) ⊂ −1 f (B2).
Inoltre se B1 ⊂ F e B2 ⊂ F sono due arbitrari sottoinsiemi di F , si puo affermare che:
−1 f (B1 ∪B2) =
1.2.2 Funzioni iniettive, suriettive e biiettive
Siano come al solito E ed F insiemi arbitrari e sia f : E → F una funzione da E in F .
Si osservi che nella definizione di funzione viene richiesto solo agli ele- menti di E di soddisfare una precisa condizione mentre non vi e alcuna analoga richiesta sugli elementi di F .
In particolare, considerato un elemento y ∈ F non e detto che esistano degli elementi x ∈ E tali che y = f(x) ed anche quando questa condizione e soddisfatta non si puo in generale assicurare che tale elemento x (corri- spondente ad y) sia unico. L’unicita e l’esistenza di un “corrispondente” elemento x per ogni elemento y ∈ F e alla base delle seguenti definizioni.
Si dice che f e iniettiva (o anche ingettiva) se verifica la seguente con- dizione:
x, y ∈ E, x = y ⇒ f(x) = f(y) (1.2.5)
22 Capitolo 1: Preliminari
x, y ∈ E, f(x) = f(y) ⇒ x = y .
Quindi in questo caso per ogni elemento y ∈ F puo esistere al piu un solo elemento x ∈ E tale che y = f(x).
Questa condizione si puo esprimere graficamente affermando che ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in al piu in un punto (vedasi la Figura 1.11).
Figura 1.11: Rappresentazione grafica di una funzione iniettiva e di una funzione non iniettiva.
Si osservi che nel caso delle funzioni iniettive non e detto che, assegnato un elemento y ∈ F , esista sempre un elemento x ∈ E tale che y = f(x); infatti la condizione prevista nella definizione di funzione iniettiva prevede solamente l’unicita di tale elemento nel caso in cui esista.
La seguente definizione invece prende in esame l’esistenza di un “corri- spondente” elemento x ∈ E per ogni elemento y ∈ F .
Sia f : E → F una funzione da E in F . Si dice f e suriettiva (o anche surgettiva) se essa verifica la seguente condizione
∀ y ∈ F ∃ x ∈ E t.c. f(x) = y . (1.2.6)
Tenendo presente che f(E) e l’insieme di tutti i valori della funzione f , si riconosce subito che la condizione precedente e equivalente alla seguente:
f(E) = F .
Infatti se f e suriettiva si ha sempre f(E) ⊂ F e quindi bisogna dimostrare l’inclusione
inversa F ⊂ f(E) cioe che ogni elemento di F e un valore della funzione, il che e assicurato
dalla definizione di suriettivita. Viceversa si supponga f(E) = F . Allora ogni elemento
di F appartiene a f(E) e per definizione di f(E) deve esistere un elemento x ∈ E tale
che y = f(x) il che dimostra che f e suriettiva.
1.2 Relazioni funzionali e funzioni 23
Quindi in questo caso per ogni elemento y ∈ F deve esistere almeno un elemento x ∈ E tale che y = f(x).
Questa condizione si puo esprimere graficamente affermando che ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un punto (vedasi la Figura 1.12).
Figura 1.12: Rappresentazione grafica di una funzione suriettiva e di una funzione non suriettiva.
Infine, una funzione f : E → F viene denominata biiettiva (o anche bigettiva) se essa e contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Dalle (1.2.6) e (1.2.5), la proprieta di biiettivita si caratterizza come segue:
∀ y ∈ F ∃ | x ∈ E t.c. f(x) = y . (1.2.7)
In questo caso graficamente ogni retta orizzontale interseca il grafico di f in uno ed un solo punto.
Si ritrova quindi la stessa condizione richiesta sugli elementi di E agli elementi questa volta di F . Per questo motivo, come si vedra di seguito, le funzioni biiettive possono essere collegate all’esistenza di una funzione inversa, che sara definita in maniera opportuna.
1.2.3 Funzioni composte e funzioni inverse
Un’ulteriore operazione importante tra funzioni e quella di funzione com- posta.
Siano assegnati E,F e G insiemi e siano f : E → F una funzione di E in F e g : F → G una funzione di F in G. Si denomina funzione composta di f e g, e la si denota con g f “g cerchietto f” la funzione avente E come insieme di partenza, G come insieme di arrivo e tale che, per ogni x ∈ E,
(g f)(x) := g(f(x)) . (1.2.8)
Quindi l’elemento di G corrispondente ad un elemento x ∈ E mediante la funzione composta viene ottenuto considerando il valore f(x) ∈ F di f
24 Capitolo 1: Preliminari
in x e di questo elemento cos ottenuto considerandone successivamente il valore g(f(x)) mediante g. Intuitivamente, la funzione composta quindi con un unico passaggio fa corrispondere all’elemento x ∈ E l’elemento g(f(x)) di G, come mostra la Figura 1.13.
Figura 1.13: Rappresentazione grafica di una funzione composta.
Si osserva che l’operazione di funzione composta e associativa nel senso che se h : G→ H e un’ulteriore funzione da G in un insieme H, allora
(h g) f = h (g f)
e quindi si puo denotare la funzione cos ottenuta semplicemente con hgf . Non vale invece una proprieta commutativa per l’operazione di funzione
composta. Infatti, nelle ipotesi in cui si puo considerare la funzione com- posta g f non e detto che si possa considerare f g e anche quando cio dovesse accadere non e detto che valga l’uguaglianza g f = f g.
Si osserva invece che l’operazione di funzione composta ammette un elemento neutro a sinistra e a destra. Per precisare questo, assegnato un qualsiasi insieme E, si consideri la funzione iE : E → E definita ponendo, per ogni x ∈ E,
iE(x) = x .
Allora e facile riconoscere che se f : E → F e un’arbitraria funzione da E in F si ha
iF f = f , f iE = f .
In realta, la funzione composta puo essere definita in circostanze piu generali, in cui non e necessario che l’insieme di arrivo di f coincida con l’insieme di partenza di g; e sufficiente, infatti, che l’insieme di arrivo di f sia un sottoinsieme di F affinche continui ad avere senso la definizione (1.2.8).
Pertanto, se f : E → F1 e g : F2 → G sono funzioni tali che f(E) ⊂ F2
si puo considerare la funzione composta che viene denotata ancora con il simbolo gf : E → G definita ponendo, per ogni x ∈ E, (gf)(x) = g(f(x)).
1.2 Relazioni funzionali e funzioni 25
Cio sara utile per le funzioni reali che per convenzione avranno sempre l’insieme R dei numeri reali come insieme di arrivo. In tal caso sara possibile comporre tali funzioni con un’ulteriore funzione reale anche se quest’ultima non e definita in tutto R purche lo sia sull’insieme dei valori della prima funzione.
A questo proposito, si richiamano alcune convenzioni valide per le funzioni reali.
Spesso tali funzioni vengono assegnate precisando solamente il valore y = f(x) assunto
in un generico elemento x senza precisare ne l’insieme di partenza ne quello di arrivo. In
questi casi l’insieme di arrivo e sempre da intendere come tutto R, mentre l’insieme di
partenza e il sottoinsieme piu grande di R per il quale l’espressione f(x) ha significato.
Cio, nel caso di funzioni composte, consente di imporre in maniera diretta la condizione
che la seconda funzione sia definita sui valori della prima funzione. Ad esempio, assegnata
la funzione y = √ log x si impone la condizione x ≥ 1 che consente di affermare che
log x ∈ [0,+∞[, insieme in sui e definita la funzione radice.
Risulta utile in pratica saper riconoscere le funzioni dalle quali e com- posta un’assegnata funzione e cio per le funzioni reali si ottiene facilmente osservando come viene calcolato il valore di una funzione.
Ad esempio, la funzione f(x) = 2sin 3√x si ottiene componendo successi-
vamente la funzione radice terza x 4→ y = 3 √ x, la funzione seno y 4→ z =
sin y e la funzione esponenziale z 4→ 2z di base 2.
Si considera ora il concetto di funzione invertibile da intendersi intui- tivamente come una funzione per la quale esiste un’ulteriore funzione che svolge un compito inverso rispetto a quello della funzione f , e cioe che ad un valore assunto in un determinato punto da f fa corrispondere esattamente il punto nel quale tale valore e stato assunto e tale che f verifichi la stessa proprieta rispetto ai valori assunti da tale funzione.
Precisamente, sia f : E → F una funzione da E in F . Si dice che f e invertibile se esiste un’ulteriore funzione g : F → E tale che
∀ x ∈ E : g(f(x)) = x , ∀ y ∈ F : f(g(y)) = y . (1.2.9)
Si riconosce facilmente che la funzione g verificante la condizione (1.2.9) e unica e viene denominata inversa di f e denotata con il simbolo f−1.
Dalla (1.2.9) segue
∀ x ∈ E : f−1(f(x)) = x , ∀ y ∈ F : f(f−1(y)) = y (1.2.10)
e tenendo presente la definizione di funzione composta
f−1 f = iE , f g = iF .
Da cio segue anche immediatamente che se f e invertibile anche la sua inversa f−1 lo e ed ha come inversa la funzione f , cioe (f−1)−1 = f .
26 Capitolo 1: Preliminari
Come si e anticipato in precedenza, la proprieta di biiettivita consente di definire una funzione che ha le stesse proprieta dell’inversa di una funzione assegnata. Tale proprieta viene chiarita dal seguente risultato.
Teorema 1.2.1 Siano E ed F insiemi e sia f : E → F una funzione da E in F . Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
a) La funzione f e invertibile.
b) La funzione f e biiettiva.
Dimostrazione. Si supponga che f sia invertibile e sia f−1 : F → E la sua inversa. Per verificare che f e iniettiva siano x, y ∈ E tali che f(x) = f(y). Allora si ha anche f−1(f(x)) = f−1(f(y)) e dalle poprieta delle funzioni inverse x = y. Quindi f e iniettiva.
Si dimostra ora che f e suriettiva. Sia y ∈ F e si consideri l’elemento x = f−1(y) ∈ E. Allora, ancora dalle proprieta delle funzioni inverse, f(x) = f(f−1(y)) = y e cio dimostra la proprieta di suriettivita.
Viceversa si supponga ora che f sia biiettiva. Dalla proprieta (1.2.7), si puo definire la funzione g : F → E ponendo, per ogni y ∈ F ,
g(y) = x , dove x e l’unico elemento di E tale che
{ x ∈ E , f(x) = y .
Si verifica ora che la funzione g e l’inversa della funzione f . Sia x ∈ E; allora, per come
e definita la funzione g, si ha g(f(x)) = x1 dove x1 e l’unico elemento di E tale che
f(x1) = f(x); dall’unicita di x1 segue x1 = x e quindi g(f(x)) = x. Infine, sia y ∈ F ;
allora g(y) e l’unico elemento di x ∈ E tale che f(x) = y e quindi f(g(y)) = f(x) = y.
Quindi e stata verificata la proprieta (1.2.9) da cui g = f−1. #
Mentre la definizione di funzione invertibile non fornisce indicazioni su come definire l’inversa, tali informazioni sono invece disponibili dalla definizione di funzione biiettiva, da cui l’importanza del risultato precedente.
Precisamente, dalla dimostrazione del teorema precedente, segue che se f : E → F e invertibile allora la sua inversa e la funzione f−1 : F → E definita ponendo, per ogni y ∈ F ,
f−1(y) := x , dove
{ x ∈ E , f(x) = y .
(1.2.11)
Bisogna infine tener presente che la proprieta di biiettivita e molto sem- plice da riconoscere geometricamente, come si e visto in precedenza, mentre quella di invertibilita richiede di individuare la funzione g che risulta es- serne l’inversa. Anche per questo motivo il teorema precedente e un utile strumento per riconoscere facilmente l’invertibilita di una funzione.
In molte circostanze, una funzione verifica una determinata proprieta (per esempio, quella di essere iniettiva oppure biiettiva) non su tutto l’in- sieme di partenza, ma su di un particolare sottoinsieme di esso. In tali
1.2 Relazioni funzionali e funzioni 27
casi, puo risultare utile ricorrere al seguente concetto di restrizione di una funzione.
Siano assegnati una funzione f : E → F ed un sottoinsieme A di E. Si denomina restrizione di f all’insiemeA, e si denota con f|A, la funzione
da A in F definita ponendo, per ogni x ∈ A,
f|A(x) := f(x) . (1.2.12)
Quindi i valori della restrizione sono gli stessi della funzione; la restrizione f|A tuttavia risulta definita nel sottoinsieme A anziche nell’intero insieme E.
Il concetto di restrizione risulta utile soprattutto nei casi in cui si voglia ottenere una funzione iniettiva partendo da una funzione arbitraria; in tali casi infatti si considera un particolare sottoinsieme in cui la proprieta di iniettivita e soddisfatta.
D’altra parte, e sempre possibile ottenere una funzione suriettiva par- tendo da una qualsiasi funzione; infatti, se f : E → F e una funzione da E in F , si puo considerare la ridotta di f , che si denota con f#, ed e definita in E, ha f(E) come insieme di arrivo e inoltre, per ogni x ∈ E,
f#(x) := f(x) . (1.2.13)
Si conclude la presente sezione con qualche precisazione riguardante le funzioni reali, cioe aventi l’insieme R dei numeri reali come insieme di arrivo. Il fatto di avere tutto R come insieme di arrivo richiede che l’eventuale inversa sia definita in tutto R.
Tuttavia, si puo utilizzare il seguente procedimento per definire un’in- versa anche nel caso di funzioni reali iniettive ma non suriettive (quindi non aventi tutto R come insieme dei valori).
Sia X un sottoinsieme di R e sia f : X → R una funzione reale iniettiva. Allora la sua ridotta f# : X → f(X) e iniettiva (in quanto i valori della ridotta sono gli stessi di quelli della funzione) e suriettiva (in quanto le ridotte sono sempre suriettive). Quindi f# e invertibile e si puo considerare la funzione inversa (f#)−1 : f(X) → X; si ricorda che, per ogni y ∈ f(X), risulta (f#)−1(y) = x dove x e l’unico elemento di X tale che f(x) = f#(x) = y. A questo punto si definisce la seguente funzione f−1 : f(X)→ R ponendo, per ogni y ∈ f(X),
f−1(y) = x , dove x e l’unico elemento tale che
{ x ∈ X , f(x) = y .
La funzione f−1 viene ancora denominata inversa di f e denotata di conse- guenza con il simbolo f−1.
28 Capitolo 1: Preliminari
La funzione f−1 risulta iniettiva in quanto assume gli stessi valori della funzione (f#)−1 (che e invertibile e quindi biiettiva) mentre puo non essere suriettiva (lo e solo se X = R) in quanto i suoi valori appartengono sempre all’insieme X.
In questo modo si e definita quindi l’inversa di una funzione iniettiva.
Capitolo 2
Cenni sugli insiemi numerici
2.1 L’insieme dei numeri naturali e dei nume- ri interi
L’insieme dei numeri naturali: 0, 1, 2, 3, . . . viene denotato con il simbolo
N .
Tra le proprieta algebriche di N ci si limita a segnalare il fatto che in N sono definite due operazioni algebriche, l’addizione + : N × N → N e la moltiplicazione · : N× N→ N che hanno le seguenti proprieta
• (Proprieta associativa) Per ogni n,m, p ∈ N si ha
(n+m) + p = n+ (m+ p) , (n ·m) · p = n · (m · p) .
Come conseguenza di tale proprieta, la somma e il prodotto di n,m e p potranno essere denotati semplicemente con n+m+p e rispettivamente con n ·m · p.
• (Proprieta commutativa) Per ogni n,m ∈ N si ha
n+m = m+ n , n ·m = m · n .
• (Esistenza dell’elemento neutro) Per ogni n ∈ N si ha
n+ 0 = n (= 0 + n) , n · 1 = n (= 1 · n) .
Quindi lo 0 e l’elemento neutro per l’addizione mentre 1 e l’elemento neutro per la moltiplicazione.
30 Capitolo 2: Cenni sugli insiemi numerici
Oltre alle proprieta precedenti valgono anche le seguenti proprieta di- stributive, per ogni n,m, p ∈ N
n · (m+ p) = n ·m+ n · p .
(A secondo membro si e usata la convenzione che in espressioni in cui in- tervengono sia somme che prodotti, i prodotti vanno eseguiti per primi nell’ordine in cui compaiono e poi le somme nell’ordine in cui compaiono.)
Sull’insieme dei numeri naturali e definita anche la seguente relazione d’ordine:
∀ n,m ∈ N : n ≤ m ⇔ ∃ h ∈ N t.c. m = n+ h .
Si verificano facilmente le proprieta riflessiva, antisimmetrica e transitiva per tale relazione che quindi viene ad essere una relazione d’ordine. Tra le sue proprieta conviene tener presente la compatibilita con l’addizione
∀ n,m, p ∈ N : n ≤ m ⇒ n+ p ≤ m+ p
e con la moltiplicazione
∀ n,m, p ∈ N, p = 0 : n ≤ m ⇒ n · p ≤ m · p .
Inoltre la relazione d’ordine di N e una relazione di totale ordine, nel sen- so che due qualsiasi numeri naturali sono paragonabili mediante questa relazione:
∀ n,m ∈ N : (n ≤ m) ∨ (m ≤ m) ,
da cui segue che, per ogni coppia (n,m) di numeri naturali e vera una ed una sola delle seguenti affermazioni:
n < m , n = m , m < m
(la scrittura n < m e da intendersi come abbreviazione di (n ≤ m) ∧ (n = m)).
Nonostante le proprieta elencate, dal punto di vista della risoluzione di equazioni algebriche (cioe equazioni in cui compaiono solamente somme e prodotti) N non e molto soddisfacente: alcune semplici equazioni come n+ 1 = 0 non ammettono alcuna soluzione in N.
Se si considera l’insieme Z dei numeri interi relativi: . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . , si ottiene un insieme in cui valgono tutte le proprieta algebriche precedenti e inoltre per l’addizione vale la seguente proprieta
• (Esistenza dell’inverso per l’addizione) Per ogni n ∈ Z esiste m ∈ Z tale che n+m = 0 (= m+ n) .
2.1 L’insieme dei numeri naturali e dei numeri interi 31
L’elemento m previsto nella proprieta precedente e inoltre unico e viene denominato opposto di n e denotato con −n. Quindi n+ (−n) = 0.
La proprieta precedente consente di considerare in Z l’operazione di sottrazione ponendo, per ogni n,m ∈ Z,
n−m = n+ (−m) .
Anche in Z si puo definire una relazione d’ordine nel modo seguente:
∀ n,m ∈ Z : n ≤ m ⇔ m− n ∈ N ,
che continua ad essere compatibile con l’addizione e la moltiplicazione in Z e che risulta anch’essa di totale ordine.
Tuttavia anche in Z se da un lato si puo risolvere l’equazione precedente n+1 = 0 (proprio sottraendo 1 a primo e secondo membro) e facile trovare equazioni che non possono essere risolte, come ad esempio 2n+ 1 = 0. Per trovare una soluzione di quest’ultima equazione bisogna ricorrere anche in questo caso ad un insieme piu grande. Prima di occuparci di tale aspetto, conviene pero considerare separatamente un’ulteriore proprieta dei numeri naturali.
2.1.1 Principio di induzione
Per quanto riguarda l’insieme dei numeri naturali, si richiama la seguen- te proprieta, la cui dimostrazione e basata sulle proprieta della relazione d’ordine di N.
Proposizione 2.1.1 (Principio di induzione completa) Se A e un sot- toinsieme di N tale che
{ 1) 0 ∈ A , 2) n ∈ A ⇒ n+ 1 ∈ A ,
allora A = N.
Si supponga che, per ogni n ∈ N, sia assegnata una proprieta P(n); applicando il principio di induzione all’insieme A := {n ∈ N | P(n)}, si riconosce che se P(0) e vera e se, supposta vera P(n) per un fissato n ∈ N, risulta vera anche P(n+1), allora la proprieta P(n) e vera per ogni n ∈ N.
Naturalmente, se anziche considerare 0 come punto iniziale si considera un numero naturale n0, si avra che la proprieta P(n) sara vera per ogni n ≥ n0.
La proprieta precedente e equivalente a quella cosiddetta di buon ordi- ne di N, che afferma che ogni sottoinsieme di N e dotato del piu piccolo elemento, cioe
A ⊂ N ⇒ ∃ n0 ∈ A t.c. ∀ n ∈ A : n0 ≤ n .
32 Capitolo 2: Cenni sugli insiemi numerici
Infatti si supponga che valga il principio di induzione completa e sia A un sottoinsieme non vuoto di N. Se 0 ∈ A si ha che 0 e ovviamente il piu piccolo elemento di A e quindi A e dotato del piu piccolo elemento. Si supponga ora 0 /∈ A e si ponga B = {n ∈ N | ∀ k = 0, . . . , n : k /∈ A} (quindi gli elementi di B sono minori o uguali di tutti gli elementi di A). Ovviamente 0 ∈ B. Se, per ogni n ∈ B, si ha n+1 ∈ B allora B verifica le ipotesi del principio di induzione completa da cui B = N. Segue che A = ∅ e cio e assurdo. Quindi deve esistere n0 ∈ B tale che n0 + 1 /∈ B. Allora, per ogni k = 0, . . . , n0, si ha k /∈ A mentre n0 + 1 ∈ A e quindi n0 + 1 e il piu piccolo elemento di A.
Viceversa si supponga che valga la proprieta di buon ordine di N e sia A un sottoin-
sieme di N tale che 0 ∈ A e tale che n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A. Se fosse A = N allora il
complementare B = N " A sarebbe non vuoto e quindi sarebbe dotato del piu piccolo
elemento n0. Si osserva che n0 > 0 in quanto 0 ∈ A; quindi si puo considerare n0 − 1
che deve essere in A in quanto n0 e il piu piccolo elemento di B e n0 − 1 < n0. Ma
n0 − 1 ∈ A ⇒ n0 = (n0 − 1) + 1 ∈ A e cio e assurdo in quanto n0 ∈ B. Quindi si pio
concludere che A = N.
Si osserva infine che la proprieta di buon ordine implica quella di totale ordine di N: infatti se n,m ∈ N basta applicare la proprieta di buon ordine all’insieme A = {n,m} per ottenere la validita di una delle relazioni n ≤ m oppure m ≤ n.
La proprieta di buon ordine, e quindi anche il principio di induzione completa, non valgono in Z (basta considerare come sottoinsieme A tutto Z).
2.1.2 Formula del binomio di Newton
Il principio di induzione completa consente di riconoscere agevolmente la seguente formula del binomio di Newton. E necessario tuttavia introdurre alcune notazioni preliminari.
Innanzitutto, conviene richiamare la definizione di fattoriale di un nu- mero naturale:
0! := 1 , ∀ n ∈ N : (n+ 1)! := (n+ 1) · n! . (2.1.1)
Si possono definire ora i coefficienti binomiali. Se n ∈ N e k = 0, . . . , n,
si definisce coefficiente binomiale n su k, e si denota con
( n
k
k! . (2.1.2)
Il motivo per cui tale numero viene denominato coefficiente binomiale risultera chiaro dallo studio della formula del binomio di Newton.
Si possono elencare le seguenti proprieta elementari dei coefficienti bi- nomiali.
2.1 L’insieme dei numeri naturali e dei numeri interi 33
1. Per ogni n ∈ N, si ha ( n
0
) = 1,
( n
n
) = 1.
2. Per ogni n ≥ 2 e k = 1, . . . , n− 1, si ha ( n
k
k! .
n
) .
4. Per ogni n ≥ 1 e k = 1, . . . , n, si ha ( n+ 1
k
) + ( n
= (n+ 1) · n!
k!(n− k + 1)! =
k
) .
Proposizione 2.1.2 (Formula del binomio di Newton) Per ogni a, b ∈ R ed n ≥ 1, si ha:
(a+ b)n = n∑
) akbn−k .
Dimostrazione. Se n = 1, la tesi e ovvia. Si supponga ora che la tesi sia vera per un numero naturale n ≥ 1.
Allora, dalle proprieta dei coefficienti binomiali,
(a+ b)n+1 = (a+ b)n · (a+ b) = a · (a+ b)n + b · (a+ b)n
= n∑
n∑
h=1
k=1
k=1
(n+ 1
34 Capitolo 2: Cenni sugli insiemi numerici
e quindi la tesi e vera per il numero naturale n+ 1. Dal principio di induzione (Proposi-
zione 2.1.1), si ottiene la tesi.
2.1.3 Cenni di calcolo combinatorio
Si introducono ora alcune definizioni di carattere combinatorio.
Definizione 2.1.3 Siano a1, . . . , an oggetti distinti. Se k e un intero com- preso tra 1 ed n, si definisce disposizione semplice degli n oggetti a k a k, ogni k-pla (aj1 , . . . , ajk) formata da k oggetti distinti tra gli n assegnati.
Pertanto due disposizioni di n oggetti a k a k possono differire o per un oggetto oppure anche per l’ordine in cui gli oggetti vengono considerati.
Il numero delle disposizioni di n oggetti a k a k viene indicato con Dn,k. Tenendo presente che il primo dei k oggetti puo essere scelto tra tutti gli n oggetti, che il secondo puo essere scelto tra i rimanenti n− 1 oggetti e cos via, il numero delle disposizioni di n oggetti a k a k risulta essere:
Dn,k = n(n− 1) · · · (n− k + 1) .
Nel caso particolare in cui k = n, si preferisce parlare di permutazioni di n oggetti (distinti) anziche di disposizione di n oggetti ad n ad n. Conviene osservare che due permutazioni possono differire solamente per l’ordine degli n oggetti in quanto contengono tutti gli n oggetti disponibili. Indicato con Pn il numero di permutazioni di n oggetti, si ha quindi
Pn = n! .
Il numero Pn quindi indica il numero di modi possibili in cui si possono ordinare n oggetti distinti.
Si puo fornire a questo punto la definizione di combinazione semplice.
Definizione 2.1.4 Siano a1, . . . , an oggetti distinti. Se k e un intero com- preso tra 1 ed n, si definisce combinazione semplice degli n oggetti a k a k, ogni insieme {aj1 , . . . , ajk} formato da k oggetti distinti tra gli n assegnati.
A differenza delle disposizioni, due combinazioni distinte di n oggetti a k a k devono differire per almeno un oggetto (l’ordine in cui gli oggetti vengono considerati in questo caso non ha importanza).
Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti a k a k viene indicato con Cn,k. Tenendo presente che k oggetti possono differire per l’ordine in Pk modi distinti e che una combinazione individua quindi Pk disposizioni distinte, si ha
Cn,k = Dn,k
) .
2.1 L’insieme dei numeri naturali e dei numeri interi 35
Tale numero rappresenta il numero di tutti i sottoinsiemi formati da k elementi in un insieme di n elementi.
Fino ad ora sono stati considerati sempre oggetti distinti. In molte applicazioni, tuttavia, e consentito avere la possibilita di ripetere piu volte uno stesso oggetto. In tali casi si fa ricorso alle definizioni seguenti.
Definizione 2.1.5 Siano a1, . . . , an oggetti distinti. Se k ≥ 1, si definisce disposizione con ripetizione degli n oggetti a k a k, ogni k-pla (aj1 , . . . , ajk) formata da k oggetti non necessariamente distinti tra gli n assegnati.
Due disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k possono differire per un oggetto, per il numero di volte in cui un oggetto compare oppure per l’ordine in cui gli oggetti vengono considerati.
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti a k a k viene in- dicato con Dr
n,k. Questa volta, sia il primo dei k oggetti che tutti i successivi possono essere scelti tra tutti gli n oggetti, e quindi
Dr n,k = nk .
Anche ora, nel caso particolare in cui k = n, si preferisce parlare di permutazioni con ripetizione di n oggetti anziche di disposizione con ripe- tizione di n oggetti ad n ad n. Indicato con P r
n il numero di permutazioni con ripetizione di n oggetti, si ha:
P r n = nn .
Un’ultima definizione riguarda le combinazioni con ripetizione.
Definizione 2.1.6 Siano a1, . . . , an oggetti distinti. Se k ≥ 1, si definisce combinazione con ripetizione degli n oggetti a k a k, ogni insieme formato da k oggetti non necessariamente distinti tra gli n assegnati.
Due combinazioni con ripetizione di n oggetti a k a k possono differire per un oggetto oppure per il numero di volte in cui un oggetto viene considerato, indipendentemente pero dall’ordine.
Il numero delle combinazioni con ripetizione di n oggetti a k a k viene indicato con Cr
n,k. In questo caso, il fatto che i k oggetti non devono essere necessariamente
distinti equivale a supporre che l’insieme di partenza sia formato da n+k−1 elementi distinti anziche da n elementi distinti e che i k oggetti debbano pero essere distinti tra loro. Da cio segue:
Cr n,k = Cn+k−1,k =
( n+ k − 1
2.2 L’insieme dei numeri razionali e reali
L’insieme dei numeri razionali viene denotato con il simbolo
Q
ed e costituito da tutti i numeri che possono essere espressi nella forma
m
n , dove m ∈ Z ed n ∈ N" {0}.
Un numero razionale q ∈ Q si puo rappresentare in forma decimale:
q = a0, a1 . . . arar+1 . . . ar+s
dove a0 ∈ Z, a1 . . . ar+s ∈ {0, 1, . . . , 9} e la parte periodica ar+1 . . . ar+s e da intendersi ripetuta infinite volte.
Anche l’insieme dei numeri razionali e dotato di una struttura algebrica e di una struttura di ordine. Per quanto riguarda la struttura algebrica, oltre alle proprieta precedenti, vale al seguente ulteriore proprieta
• (Esistenza dell’inverso per la moltiplicazione) Per ogni q ∈ Q " {0} esiste r ∈ Z tale che q · r = 1 (= r · q) .
L’elemento r previsto nella proprieta precedente e inoltre unico e viene denominato reciproco di n e denotato con 1/q oppure con q−1. Quindi q · q−1 = 1.
Si osservi che l’esistenza del reciproco e prevista solo per i numeri diversi da 0.
La proprieta precedente consente di considerare in Q l’operazione di divisione ponendo, per ogni q, r ∈ Q,
q
r = q · r−1 .
Tale proprieta consente di risolvere equazioni algebriche che non era possibile risolvere nell’insieme Z (come ad esempio 2n+1 = 0 (sottraendo 1 a primo e secondo membro e moltiplicando entrambi i membri per i reciproco di 2). Tuttavia anche in questo insieme alcune semplici equazioni algebriche, come n2 − 2 = 0 non hanno alcuna soluzione. Cio dipende pero non piu dalla struttura algebrica ma dalla proprieta di completezza della relazione d’ordine che sara discussa di seguito.
Anche in Q infatti si puo definire una relazione d’ordine nel modo se- guente:
∀ q, q′ ∈ Q : q ≤ q′ ⇔ m · n′ ≤ m′ · n ,
2.2 L’insieme dei numeri razionali e reali 37
dove m,m′ ∈ Z e n, n′ ∈ N " {0} sono tali che q = m/n e q′ = m′/n′ e la relazione d’ordine a secondo membro e quella gia nota nell’insieme Z. Si riconosce infatti che la proprieta a secondo membro dipende solo dai numeri razionali q e q′ e non dalla loro particolare rappresentazione sotto forma di frazione di numeri interi.
La relazione d’ordine di Q continua ad essere compatibile con l’addizione e la moltiplicazione in Q e risulta ancora di totale ordine.
Per approfondire lo studio della relazione d’ordine di Q conviene in- trodurre l’insieme dei numeri reali ed evidenziare le differenze tra i due insiemi.
L’insieme dei numeri reali, viene denotato con
R
ed e costituito da tutti i numeri che in forma decimale hanno la seguente rappresentazione
a0, a1a2a3 . . .
dove a0 ∈ Z, a1a2a3 · · · ∈ {0, 1, . . . , 9} e non vi e necessariamente una parte periodica.
Dal punto di vista della struttura algebrica anche in R sono definite l’addizione e la moltiplicazione tra numeri reali, le cui proprieta sono le stesse dell’insieme Q.
La relazione d’ordine puo essere definita anche nell’insieme dei numeri reali ponendo per ogni a = a0, a1a2a3 · · · ∈ R e b = b0, b1b2b3 · · · ∈ R,
a ≤ b ⇔ ∀ k ∈ N : a0, a1a2a3 . . . ak ≤ b0, b1b2b3 . . . bk ;
si osservi che per ogni k ∈ N, i numeri a0, a1a2a3 . . . ak e b0, b1b2b3 . . . bk sono razionali e quindi la relazione d’ordine a secondo membro e quella gia definita in Q.
Si considera ora una proprieta rilevante della relazione d’ordine di R. Innanzitutto, due sottoinsiemi non vuoti A e B di R (o rispettivamente di
Q) vengono denominati separati in R (o rispettivamente in Q) se e verificata una delle seguenti condizioni
∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : a ≤ b oppure ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : b ≤ a .
Se due insiemi A e B sono separati, si dice elemento separatore di A e B ogni numero reale (rispettivamente, razionale) λ tale che
∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : a ≤ λ ≤ b oppure ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B : b ≤ λ ≤ a .
Inoltre due insiemi A e B separati si dicono contigui se
∀ ε > 0 ∃ a ∈ A ∃ b ∈ B : b− a < ε (oppure a− b < ε) .
38 Capitolo 2: Cenni sugli insiemi numerici
Ovviamente due insiemi continui possono ammettere al piu un elemento separatore in quanto se λ, µ fossero due elementi separatori con λ < µ la proprieta precedente non sarebbe verificata per ε = µ− λ.
Una proprieta rilevante di R riguarda proprio l’esistenza di elementi separatori di insiemi separati.
Proposizione 2.2.1 (Assioma di completezza di R) Se A e B so- no due sottoinsiemi separati di R, essi ammettono almeno un elemento separatore.
In particolare se A e B sono contigui, essi ammettono uno ed un solo elemento separatore.
La proprieta precedente differenzia R da Q. Infatti nell’insieme Q non vale una proprieta analoga. Ad esempio, i seguenti sottoinsiemi
A = {q ∈ Q | q ≥ 0 , q2 < 2} , B = {q ∈ Q | q ≥ 0 , q2 > 2}
sono separati in Q (anzi sono contigui) ma non ammettono alcun elemento separatore in Q (in R invece l’elemento separatore di tali insiemi e
√ 2, come
seguira dal teorema di esistenza della radice n-esima). Il fatto che
√ 2 non e razionale si puo dimostrare per assurdo supponendo che
√ 2 =
m/n con m,n ∈ N"{0} primi tra loro; infatti da cio segue m2/n2 = 2 e quindi m2 = 2n2;
alloram2 e pari e cio comporta chem stesso sia pari, da cui m = 2p con p ∈ N; sostituendo 2p ad m si ottiene 4p2 = 2n2 da cui n2 = 2p2; segue che anche n2, e conseguentemente
n, deve essere pari e cio e assurdo in quanto si era supposto che m ed n fossero primi tra
loro.
Come conseguenza della proprieta precedente, in R valgono diverse pro- prieta tra cui una delle piu importanti e il seguente teorema sull’esistenza della radice n-esima.
Teorema 2.2.2 (Esistenza della radice n-esima) Sia n ≥ 1; allora per ogni a ∈ R con a ≥ 0 esiste uno ed un solo b ∈ R tale che b ≥ 0 e bn = a.
Se a ∈ R e a ≥ 0, l’unico elemento b ∈ R tale che b ≥ 0 e bn = a viene denominato radice n-esima di a e denotato con uno dei seguenti simboli
n √ a , a1/n .
La dimostrazione del teorema precedente e basata sul fatto che gli insiemi
A = {x ∈ R | x ≥ 0 , xn ≤ a} , B = {x ∈ R | x ≥ 0 , xn ≥ a}
sono contigui e quindi, per l’assioma di completezza, in R ammettono un unico elemento separatore b ∈ R che deve essere positivo e soddisfare necessariamente la condizione bn = a.
2.2 L’insieme dei numeri razionali e reali 39
Proprio utilizzando il teorema precedente in R e possibile risolvere al- cune equazioni algebriche che in Q non avevano alcuna soluzione, come l’equazione n2 − 2 = 0. Tuttavia anche in R si possono trovare equazioni algebriche che non hanno soluzioni, come l’equazione n2 + 1 = 0. Per risol- vere quest’ultima equazione bisognera ancora una volta introdurre un nuovo insieme numerico piu grande, quello dei numeri complessi, in cui pero tutte le equazioni algebriche avranno finalmente almeno una soluzione.
Una proprieta importante che conviene osservare riguarda la densita dei numeri razionali e dei numeri irrazionali in R.
• (Proprieta di densita) Per ogni a, b ∈ R con a < b esistono almeno un numero razionale q ∈ Q ed un numero reale non razionale r ∈ R"Q tali che
a < q < b , a < r < b .
Come conseguenza della proprieta precedente si puo affermare che tra due numeri reali esistono sempre infiniti numeri razionali ed infiniti numeri reali non razionali.
Si conclude la presente sezione con alcune notazioni spesso utilizzate. Nel seguito sara utile utilizzare la convenzione di scrivere un asterisco in
alto a destra ad un insieme per denotare lo stesso insieme privato del nu- mero 0, ed il segno + (oppure −) per denotare gli elementi positivi (oppure negativi) dell’insieme. Pertanto, ad esempio
R∗ = R" {0}, R∗ + = {x ∈ R | x > 0}, Q− = {q ∈ Q | q ≤ 0}.
Un’altra convenzione riguarda la somma e il prodotto di un numero finito di elementi di un insieme numerico: assegnati i numeri a1, . . . , an si pone
n∑
ak := a1 · · · an .
2.2.1 Insiemi numerabili
Una ulteriore proprieta dell’insieme dei numeri reali, che distingue tale in- sieme da quelli numerici introdotti in precedenza, riguarda il fatto che esso e un infinito di ordine maggiore rispetto all’insieme dei numeri razionali, come viene messo brevemente in evidenza nel presente paragrafo.
Innanzitutto conviene assumere la seguente definizione di carattere ge- nerale. Un insieme E si dice numerabile se esiste una funzione biiettiva : N→ E (o equivalentemente se esiste una funzione biiettiva ψ : E → N).
40 Capitolo 2: Cenni sugli insiemi numerici
L’esistenza di una funzione biiettiva definita in N comporta che gli ele- menti di E possano essere “cont