STUDIO DELLE FUNZIONI

CONTINUITÁcontinua in c se: Ü f(c)

Ü lim f(x) per x®cf(c) = lim f(x) per x®c

discontinuitá I se: Ü l- = lim f(x) per x®c-

Ü l+ = lim f(x) per x®c+

l- l+

salto = l+ - l-

discontinuitá II se: non Ü almeno uno dei limiti l- e l+

oalmeno uno dei limiti l- e l+ vale infinito.

discontinuitá III se: Ü lim f(x) per x®c finito (eliminabile) e

non Ü f(c) o Ü f(c) lim f(x) per x®cCONTINUA MA NON DERIVABILE1. caso: non Ü almeno una delle derivate sinistra e destra per x=c

o non Ü finita almeno una delle derivate sinistra e destra per x=c

2. caso: Ü finite entrambe le derivate sinistra e destra per x=c, ma non coincidono. punto angoloso!

ASINTOTIverticale: lim f(x) = ¥ per x®c retta: x=corizzontale: lim f(x) = l per x®¥ retta: y=lobliquo: lim [f(x)-(mx+q)]=0 retta: y=mx+q

cond. necess.: lim f(x)= ¥ per x®¥m=lim [f(x)/x] per x®¥ (m0)q=lim[f(x)-mx]

TANGENTE in (c,f(c)) f(x)-f(c)=f ‘(c) (x-c)SIMMETRIApari: simmetrica risp. all’asse y

f (- x) = f (x)dispari: simmetrica risp. all’origine

f (- x) = - f (x)DERIVATEf ‘(x)>0 f crescentef ‘(x)<0 f decrescentef ‘ non decrescente f convessaf ‘(c)=0 tangente orizzontale in (c,f(c))

f ‘’(c)<0 massimof ‘(x) cambia in c da + a - massimo relativof ‘’(c)>0 minimof ‘(x) cambia in c da - a + minimo relativof ‘’(c)=f ‘’’(c)=...=f(n-1)(c)=0 e fn(c)0 se n pari: min. rel. se fn(c) >0

max. rel. se fn(c) <0se n dispari: flesso a tang. orizz.

f ‘’(c)=0 e f ‘’’(c)0 flesso a tangente orizzontale (Wendepunkt)f ‘’(c)=0 e f ‘’(x) cambia segno in c flesso a tangente orizzontalef ‘’<0 concavitá verso il basso (concava)f ‘’>0 concavitá verso l’alto (convessa)

criterio della radice n-esimaÉ sufficiente considerare g(x) = [f(n)(a) / n!] (x - a)n invece di f (x).Se f(k)(a) = 0 per 1 £ k < n ; f(n)(a) 0 Þ

n pari n disparif(n)(a) > 0 minimo crescentef(n)(a) < 0 massimo decrescente

Se n ³ 3 ; f(k)(a) = 0 per 2 £ k < n ; f(n)(a) 0 Þn pari n dispari

1

f(n)(a) > 0 convessa flessof(n)(a) < 0 concava flesso

funzione inversa: f crescente Þ f-1 crescente.

2

DERIVATE

rapporto incrementale: [f (x +Dx) - f (x)] / Dxdef.1 f ’(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x-a) per x®adef.2 f ’(a) = lim [f(a+h) - f(a)] / h per h®0

derivata n-esima (f g)(n) = S(nk) f(k) g(n-k) per k da 0 a n

regole di calcolo:f(x) ± g(x) f ’(x) ± g’(x)c f(x) c f ‘(x)f(x) g(x) f ‘(x) g(x) + g’(x) f(x)f(x) / g(x) [f ‘(x) g(x) - g’(x) f(x)] / [g(x)]²f(g(x)) f ’[g(x)] g’(x)df/dx df/dg dg/dxf -1 1/f ’(x)[f(x)]a a [f(x)]a-1 f ‘(x)ln f(x) f ‘(x) / f(x)loga f(x) f ‘(x) / [ f(x) ln a ]af(x) af(x) ln a f ’(x)[f(x)]g(x) [f(x)]g(x) [ g’(x) ln f(x) + g(x) [f ‘(x) / f(x)]

derivate notevoli:c 0xn n xn-1

nÖxm m / (n nÖxn-m)sin x cos xcos x - sin xtan x 1 / cos² xcot x - 1 / sin² xex ex

ax ax ln aln x 1 / xloga x 1 / (x ln a)arcsin x 1 / Ö (1 - x²)arccos x - 1 / Ö (1 - x²)arctan x 1 / (1+ x²)arccot x - 1 / (1+ x²)xx xx (ln x + 1)sinh x = (ex - e-x) / 2

cosh x == (ex + e-x) / 2

cosh x sinh xtanh x 1 - tanh² xcoth x 1 - coth² xsettsinh x 1 / Ö (x² + 1)settcosh x 1 / Ö (x² - 1)setttanh x 1 / (1 - x²) |x|<1settcoth x 1 / (1 - x²) |x|>1

3

INTEGRALIF(x) funzione integrale di f(x) F’(x)=f(x) F(x) = xa

xf(t)dtxf(x)dx = F(x) + c

regole di calcoloxa

bf(x)dx = - xbaf(x)dx

xacf(x)dx + xc

bf(x)dx = xabf(x)dx

xabk f(x)dx = k xa

bf(x)dxxa

b[f(x) ± g(x) ± ... ] dx = xabf(x)dx ± xa

bg(x)dx ± ...xa

b u’v dx = [u v] ab - xa

b u v’ dx u=f(x); v=g(x)xa

bf(g(z) g’(z) dz = xg(a)g(b)f(x)dx x=g(z), g’(z)=dx/dz

xab[f ‘(x) / f(x)] dx = [ ln | f(x) | ]a

b

xabf(x)dx = F(b) - F(a) = [ F(x) ]a

b F’(x)=f(x)xa

bf(x)dx = (b-a) f(c) a<c<b, f(x) monotona in [a,b]Per ogni f(x) monotona in [a,b] esiste I(x) = xc

xf(t)dt con I’(x)=f(x) e I(c)=0.

xabf(x)f ’(x) dx = ½ [f(x)]² + c

xab[f ‘(x) / f (x)] dx = ln |f(x)| + c

metodi:confronto: f £ g Þ xa

bf(x)dx £ xabg(x)dx

decomposizione dell’ integrale in somme di integrali.xa

b[f(x) ± g(x) ± ... ] dx = xabf(x)dx ± xa

bg(x)dx ± ...sostituzione della variabile x con una variabile t legata a x.indef. xf(x) dx = xf(f(t)) f’(t) dt x = f(t) f(t) invertibile, avente derivata continua

dx = f‘(t) dt t = f-1(x)def. xa

bf(x) dx = xa1b1f(f(t)) f’(t) dt x = f(t) f(t) invertibile, avente derivata continua

dx = f‘(t) dt a1 = f(a) b1 = f(a)Ö(a² - x²) x = a sin u ; dx = a cos u du ; Ö(a² - x²) = a cos uÖ(a² + x²) x = a sinh u ; dx = a cosh u du ; Ö(a² + x²) = a cosh u

per parti: xf(x) g’(x) dx = f(x) g(x) - xg(x) f ‘(x) dxapprossimazione con Taylor: f (x) = P (x) + o(x - a)n per x ® a

Tanf = P(x) = S[f(k)(a) / k!] (x - a)k (k da 0 a n)

Partialbruchzerlegung:x[ Z(x) / N(x) ] dx #N = n > #ZN(x) = 0 Þ Lösungen x1, x2,..., xn

a) alle n Lösungen reel und verschieden:xi Î R ø i ; xi xj ø i jN(x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xn)Z(x) / N(x) = A1/(x - x1) + A2/(x - x2) +...+ A3(x - xn)x[Ai/(x - xi)] dx = Ai ln |x - xi |

b) alle n Lösungen reel, aber einige doppelt:xi Î R ø i ; $ i,j t.c. xi = xj

se x1 = x2 Þ A1/(x - x1) + A2/(x - x1)²se x1 = x2 = x3 Þ A1/(x - x1) + A2/(x - x1)² + A3/(x - x1)3

x[A2/(x - x1)²] dx = - A2 / (x - x1)c) imaginäre Lösungen:

N(x) ist real Þ es gibt je zwei zueinander gehörige Lösungen: i b,- i b(x - ib)(x + ib) = x² + b²(Ax + B)/( x² + b²)x[(Ax + B)/( x² + b²)] dx = A [x/(x² + b²)] dx + B [dx/(x² + b²)] dx

= (A/2) ln (x² + b²) + (B/b) arctan (x / b)d) komplexe Lösungen:

N(x) ist real Þ es gibt je zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen: a + i b , a - i b(x - a - i b)(x - a + i b) = (x - a)² + b²(Ax + B) / [(x - a)² + b²]x[(Ax + B) / [(x - a)² + b²]] dx = ½ A ln [(x - a)² + b²] + (B + aA)/b arctan [(x - a) / b]

e) mehrfach komplexe Lösungen.

f (x) F (x)

4

> 0 steigt= 0 max oder min< 0 fälltmax oder min Wendepunkt

integrali notevoli:(px + q) dx da a a b ½ (b - a) (pa + q + pb + q) monomio|x| dx da a a b ½ (b |b| - a |a|) modulox dx da 0 a c c² / 2 c > 0xa dx [xa+1 / (a + 1) ] +c a -1k dx kx + cf(x)a f ‘(x) dx {[f(x)]a+1 / (a+1)} +c a -1x-1 dx ln |x| + c a = -1[f ‘(x) / f(x)] dx ln |f(x)| + c a = -1ln x dx x ln x - x x>0sin x dx - cos x + csin² x dx ½ (x - sin x cos x) + c1 / sin x dx ln | tan x/2 | + c1 / (1 + sin x) dx tan (x/2 - p/4) + c1 / (1 - sin x) dx - cot (x/2 - p/4) + csin f(x) f ‘(x) dx - cos f(x) + c1 / sin² x dx - cot f(x) + c1 / sin² f(x) f ‘(x) dx - cot f(x) + cxn sin x dx - xn cos x - n xxn-1 cos x dxsinn x dx - 1/n cos x sinn-1 x + (n-1)/n xsinn-2x dx1 / sinn x dx -1/(n-1) cos x / sinn-1 x

+ (n-2)/(n-1) xdx / sinn-2xn³3

cos x dx sin x + ccos f(x) f ‘(x) dx sin f(x) + c1 / cos x dx ln | tan (x/2 + p/4)| + c1 / cos² x dx tan x + c1 / cos² f(x) f ‘(x) dx tan f(x) + ccos² x dx ½ (x + sin x cox x) + c1 / (1 + cos x) dx tan x/2 + c1 / (1 - cos x) dx - cot x/2 + cxn cos x dx xn sin x - n xxn-1 sin x dxcosn x dx 1/n cosn-1 x sin x + (n-1)/n xcosn-2x dx1 / cosn x dx 1/(n-1) sin x / cosn-1 x

+ (n-2)/(n-1) xdx / cosn-2xn³3

tan x dx - ln |cos x| dx + ctan² x dx tan x - x + ccot x dx ln |sin x| + ccot² x dx - cot x - x + carcsin x dx x arcsin x + Ö (1 - x²) + carccos x dx x arccos x - Ö (1 - x²) + carctan x dx x arctan x - ½ ln ( x² + 1) + carccot x dx x arccot x + ½ ln ( x² + 1) + cex dx ex + cef(x) f ‘(x) dx ef(x) + cax dx (ax / ln a) + c a>0 a 1af(x) f ‘(x) dx (af(x) / ln a) + c1 / Ö (1-x²) dx arcsin x + c1 / Ö (1-[f(x)]²) f ‘(x) dx arcsin f(x) + c1 / (1+x²) dx arctan x + c1 / (1 + [f(x)]²) f ’(x) dx arctan f(x) + csinh x dx cosh x + csinh² x dx ½ (sinh x cosh x - x) + ccosh x dx sinh x + c

5

cosh² x ½ (sinh x cosh x + x) + c1 / cosh² x dx tanh x + c1 / sinh² x dx - coth x + c1 / (x - a) dx ln | x - a | + c1 / [(x - a) (x - b)] dx 1 / (a-b) ln |(x-a) / (x-b)| + c a b1/ (x - a)² dx - 1 / (x - a) + cx / Ö (x² + a) dx Ö(x² + a) + cx / Ö (a - x²) dx - Ö (a - x²) + c a>01 / (x² - a²) dx 1 / (2a) ln |(x-a)/(x+a)| + c1 / (a² - x²) dx 1 / (2a) ln |(a+x)/(a-x)| + c1 / (a² + x²) dx 1/a arctan x/a1 / Ö (x² ± a²) dx ln | x + Ö (x² ± a²) | + cÖ(ax + b) dx 2/(3a) Ö(ax+b)3 +c1 / Ö (ax + b) dx 2/a Ö (ax+b) +cÖ(x² - a²) dx x/2 Ö (x²-a²) - a²/2 ln|x+Ö (x²-a²)| + cÖ(a² - x²) dx x/2 Ö (a²-x²) + a²/2 arcsin x/a + c1 / Ö (a² - x²) dx arcsin x/aÖ(x² + a²) dx x/2 Ö (x²+a²) + a²/2 ln(x+Ö (x²+a²))+c

6

LIMITI

per x® ¥ quoz. di 2 polinomi: ¥ se grado numeratore > grado denominatore

rapporto dei coefficienti di grado max se grado numeratore = grado denominatore0 se grado numeratore < grado denominatore

logaritmi: x®+¥ t = ln x t®+¥

per x ® ca = x - c Þ x = a + c Þ lim f(x) per x®c = lim f(a+c) per a®0 funzioni trigonometriche: t = c - x t®0

per x ® 0logaritmi: x®0+ t = ln x t®-¥

forme indeterminateforma 0 / 0 scomporre numeratore e denominatore

regola di De L’Hopitalf(x) / g(x) = [1 / g(x)] / [1 / f(x)]

forma ¥ / ¥ evidenziare opportunamenteregola di De L’Hopitalf(x) / g(x) = [1 / g(x)] / [1 / f(x)]

forma 0 * ¥ f(x) g(x) = f(x) / [1 / g(x)] = g(x) / [1 / f(x)] Þ si é ricondotti a 0 / 0 o a ¥ / ¥forma + ¥ - ¥ f(x) - g(x) = f(x) g(x) [1/g(x) - 1/f(x)] = [1/g(x) - 1/f(x)] / [1 / f(x)g(x)] Þ si é ricondotti a 0 / 0

f(x) - g(x) = f(x) [1 - g(x) / f(x)] = g(x) [f(x) / g(x) - 1]f(x) - g(x) = ln [ef(x) / eg(x)] = ln [e-g(x) / e-f(x)]

funzioni irrazionali: razionalizzazione

regole di calcolosomma lim (an± bn) = lim an ± lim bn per n®¥prodotto lim (an bn) = lim an lim bn per n®¥prod. per cost. lim (a an) = a lim an per n®¥quoziente lim (an / bn) = lim an / lim bn per n®¥ se bn0 e lim bn0radice lim kÖan = kÖ (lim an) per n®¥ se an³ 0modulo lim ú an ú = ú lim an ú per n®¥

regola di De L’Hopitalip. f, g continue e derivabili in [a,b] escluso c.a) 0 / 0ip. f(c) = g(c) = 0, ma in un contorno completo di c é: g(x)0 e g’(x)0. f ’ e g’ continue. Ü lim [f ‘(x) / g’(x)] per x®c.

f(x) ~ g(x) per x®x0 Û f(x) = g(x) + o(g(x)) per x®x0.

limiti fondamentalix ® 0

(1/x) sin x 1x ® 0+ x ln x 0x ® 0+ xx 1x ® 0+ 1 / ln x 0

n+(n2)x+...+(n

n-1)xn-2+xn-1 n(1 - cos x) / x 0

x ® 0+ x logb x 0 b>0 e b1xa logb x 0 b>0 e b1

a>0(1/x) tan x 1

x cot x 1(1/x) sin ax a(1/x) tan ax a

7

sin ax / sin bx a / b(1 - cos x) / xn 0

1/2¥

n = 1n = 2n > 2

(1/x) arcsin x 1(1/x) arctan x 1

(1/x) loga (1 + x) loga e(1/x) [ (1 + x)a - 1] a a > 0

(1/x) ln (1 + x) 1(1/x) (ax - 1) ln a(1/x) (ex - 1) 1

x ® 0+

sin xa ~ xa øa>0exp xa - 1 ~ xa øa>0ln (1 + xa) ~ xa øa>0| ln x | a = o(x-e) a>>0, e>0

x ® 0sin x = x + o(x)exp x = 1 + x + o(x)(1 + x)a = 1 + ax + o(x)cos x = 1 + o(x)ln (1 + x) = x + o(x)sinh x = x + o(x)cosh x = 1 + o(x)

sviluppi asintotici delle funzioni elementari per x ® 0 : nÎN,aÎRex = exp x = S (xk/k!) + o(xn) (k=0,...,n)cosh x = S (x2k/(2k)!) + o(x2n+1) (k=0,...,n)sinh x = S (x2k+1/(2k+1)!) + o(x2n+2) (k=0,...,n)cos x = S (-1)k x2k/(2k)!) + o(x2n+1) (k=0,...,n)sin x = S (-1)k x2k+1/(2k+1)!) + o(x2n+2) (k=0,...,n)ln (1+x) = S (-1)k+1 xk/ k + o(xn) (k=1,...,n)arctan x = S (-1)k x2k+1/ (2k+1) + o(x2n+2) (k=0,...,n)(1 + x)a = S (a

k) xk + o(x2n+2) (k=0,...,n)

x ® + ¥1 / Ö (x) 0(-1)n / n 0

x = n (1/nk) (nk) 1/(k!)

loga x / x 0 x>1a>0 e a1

x = n nÖa 1 a > 0x / ax +¥

00 < a £ 1a > 1

x ax +¥0

a ³ 10 < a < 1

±¥ (1 + 1/x)x e =2,71828ax n.e.

01+¥

a £ - 1- 1 < a < 1a = 1a > 1

x = n an / (n!) 0ln x / x2 0

logb x / xa 0 a > 0b>0 e b1

xÖx 1x / eax 0 a > 0x / ax 0

+¥a > 10 < a < 1

8

x ® + ¥Ogni potenza di x é trascurabile rispetto a ogni esponente divergente.Ogni potenza di lg é trascurabile rispetto a ogni potenza di x divergente.xa = o(eex) a>>0, e>0(ln x) a = o(xe) a>>0, e>0p1[x] / p2[x] = Q + R/p2[x] = Q + o(1) polinomisinh x = ½ (ex - e-x) = ½ ex + o(1)x ® - ¥eex = o(|x|-a) a>>0, e>0p1[x] / p2[x] = Q + R/p2[x] = Q + o(1) polinomisinh x = ½ (ex - e-x) = - ½ e-x + o(1)

x ® a(xn - an) / (xm - am) n/m an-m n,mÎN

infinitesimif(x) Ž infinitesima per x®c (c finito o infinito) se lim f(x)=0 per x®c.

0 se g(x) Ž o[f(x)]. g Ž trascurab. risp. a f, e f Ž di ordine superiore a g.confronto: lim f(x) / g(x) = {0/0}= ¥ se f(x) Ž o[g(x)]. f Ž trascurab. risp. a g, e f Ž di ordine inferiore a g.

l0 se f e g sono dello stesso ordine.ordine: lim f(x) / [j(x)]a = l0 f Ž di ordine a.

x se x®0j(x) = 1/x se x®¥

x-c se x®cinfinitif(x) Ž infinita per x®c (c finito o infinito) se lim f(x)=¥ per x®c.

¥ se g(x) Ž O[f(x)]. g Ž trascurabile risp. a f, e f Ž di ordine super. a g.confronto: lim f(x) / g(x) = {¥/¥}= 0 se f(x) Ž O[g(x)]. f Ž trascurabile risp. a g, e f Ž di ordine infer. a g.

l0 se f e g sono dello stesso ordine.ordine: lim f(x) / [j(x)]a = l0 f Ž di ordine a.

x se x®¥j(x) = 1/x se x®0

1/(x-c) se x®c

o piccolo: f (x) = o[g(x)] per x®x0 Û f trascurabile rispetto a g per x®x0 o (1) Û infinitesimoo(g) = O(g)o(g) O(h) = o(gh)

proprietá:o(g) + o(g) = o(g)c o(g) = o(g) c0g o(h) = o (g h)o(g) o(h) = o (g h)|o(g)|a = o(|g|a) a>0

O grande: f (x) = O[g(x)] per x®x0 Û $ funzione h t.c. f = g h e h é limitata in un intorno di x0.f ha ordine di grandezza £ di quello di g. f/g é limitata in un intorno di x0.O (1) Û funzione limitata in un intorno di x0.o(g) = O(g)

proprietá:O(g) + O(g) = O(g)c O(g) = O(g) c0g O(h) = O (g h)O(g) O(h) = O (g h)|O(g)|a = O(|g|a) a>0

9

SUCCESSIONI {an}

f: N\{0} ® Rconvergente se | an - l | < e per n>n0 lim an = l per n®¥divergente se | an | > M per n>n0 lim an = +¥ per n®¥oscillante (indeterminata) se n.e. il limite.

convergente Þ limitatanon limitata Þ divergente

La proprietˆ di convergenza non cambia se - si tolgono / aggiungono- si cambia lÕordine- si sostituisce

un numero finito di elementi.

Ogni funzione limitata e monotona crescente (decrescente) converge a sup{an} ( a inf{an} ).non decrescente an-1£ an lim an = sup an

non crescente an-1³ an lim an = inf an

Cauchy: {an}converge Û ø eÎR+ $n0ÎN t.c. |an - am| < e ø n, m ³ n0

confronto: an ³ bn o an > bn

Þ lim an ³ lim bn per n®¥

an ³ bn o an > bn elim bn= + ¥ per n®¥

Þ lim an= + ¥ per n®¥

an ³ bn o an > bn elim an= - ¥ per n®¥

Þ lim bn= - ¥ per n®¥

carabinieri: an £ bn£ cn e lim an=lim cn=l per n®¥

Þ lim bn=l per n®¥

Se $ finito il limite di {an}per n®¥ Þ lim an = an+1 per n®¥

prodotto: {an} limitatae lim bn=0 per n®¥

Þ lim an bn= 0 per n®¥

{an} limitata e | an | ³ h > 0e lim bn=¥ per n®¥

Þ lim an bn= ¥ per n®¥

Se {an}® a per n®¥ Þ Ogni successione estratta da {an} converge ad a.

Se da {an} si possono estrarre due successioni convergenti a limiti diversi Þ {an} non converge.

Nepero: e = lim (1 + 1/n)n per n®¥. e » 2,71828

10

SERIE San

successione delle somme parziali: s1 = a1

sn = sn-1 + an

convergenza:Se converge San Þ lim an= 0 per n®¥ (condizione necessaria)Se lim an 0 per n®¥ Þ San non converge.

Se alla serie- si aggiunge o si toglie un numero finito di elementi o se- si moltiplicano o dividono tutti i suoi termini per uno stesso numero 0 Þ il carattere della serie non cambia.

San converge Û ø eÎR+ $n0ÎN t.c. |an + an+1 +...+ an+k| < e ø n ³ n0 ø kÎN

serie a segni alterni:Leibniz: una serie a segni alterni converge se {|an|} é una successione monotona decrescente e infinitesima.

ak > ak+1 ø k e lim ak = 0 per k®¥

convergenza assoluta:S|an | converge Þ San convergeSe una serie converge assolutamente Þ si possono riordinare i suoi elementi senza cambiare la somma.

serie a termini positivi:San converge Û {an} é limitata

Cauchy {an} positiva montona

decrescenteÞ San converge Û S 2n a2n converge

Confronto an < bn Þ se Sbn convergese San diverge

ÞÞ

San convergeSbn diverge

Rapporto( di D’Alembert)

lim [an+1 / an]per n®¥

<1>1=1

San convergeSan diverge?

Radice(di Cauchy) lim nÖan

per n®¥

<1>1=1

San convergeSan diverge?

Raabe lim n [a n/an+1 - 1]per n®¥

>1<1=1

San convergeSan diverge?

regole di calcolo:

somma 2 serie non oscillanti, non entrambe divergenti: S(an + bn ) = San + Sbn

prodotto per costante: non contemporaneamente c=(0,0) e San divergente: Sc an = c San

serie convergenti:S(an + bn ) = San + Sbn

Sc an = c San

S an (per n da p+1 a ¥) = San (per n da 1 a ¥) - (a1+...+ap)S cn (per n da 1 a ¥) = c1+...+cp + San (per n da 1 a ¥) con cp+n = an

S cn (per n da 1 a ¥) = San (per n da 1 a ¥) con c1 = a1+...+an1 ; c2 = a n1+1+...+an2 ; c3 = a n2+1+...+an3

; etc.si possono mettere fra parentesi un numero finito di elementi di una serie

convergente.! non si possono tralasciare parentesi esistenti!

San* = San se San* si ottiene da San tramite riordinamento degli elementi ese San converge assolutamente.

serie notevoli:serie S k da 1 a n k da 1 a ¥ se

11

k = n (n + 1) / 2 diverge a + ¥k² =(1/6) n (n+1)

(2n+1)diverge a + ¥

k3 = (Sk)²geometrica ak = (1 - an) / (1 - a)

= 1/(1- a) - an/(1 - a) = 1 / (1 - a)

diverge a - ¥diverge a + ¥indeterminata

k da 0 a n ; aÎRse a 1se |a| < 1se a > 1se a = 1se a £ - 1

binomio di Newton

(nk) an-k bk = (a + b)n k da 0 a n; nÎN

armonica 1 / k diverge a + ¥armonica

generalizzata1 / kl converge

divergese l > 1se l £ 1

armonica a termini alterni

(- 1)k / k converge

Mongoli 1 / [(k - 1)k)) converge k da 2 a ¥1 / (k |ln k|a)k da 2 a ¥

convergediverge

se a > 1se a £ 1

esponenziale zk / k! = ez = exp z ø zÎZ (k da 0 a ¥)

coseno [(- 1)k z2k] / (2k)! = cos z ø zÎZ (k da 0 a ¥)

seno [(- 1)k z2k+1] / (2k+1)! = sin z ø zÎZ (k da 0 a ¥)

cos. iperbolico

z2k / (2k)! = cosh z ø zÎZ (k da 0 a ¥)

sen. iperbolico

z2k+1 / (2k+1)! = sinh z Î zÎZ (k da 0 a ¥)

logaritmica (- 1)k+1 xk / k = ln (1+x) -1< x£ 1(k da 0 a ¥)

arcotangente [(-1)k x2k+1] / (2k+1) = arctan x -1£ x£ 1(k da 0 a ¥)

binomiale (ak) xk = (1 + x)a -1<x<1; øaÎR (k da 0 a ¥)

(k1/2) xk = Ö(1 + x) -1<x<1

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NUMERI COMPLESSIi² = - 1

i4n = 1i4n+1 = ii4n+2 = i² = - 1i4n+3 = i³ = - i

z = a + ib = r (cosj + i sinj) = r eij

|z| = r = Ö(a²+b²)j = arctan (b/a) argomento principalea = Re z = (z + z) / 2b = Im z = (z - z) / 2i|z| = |z| = Ö(a²+b²) = Ö(z z)|z|² = |z²||z1 + z2| £ |z1| + |z2||z1 - z2| ³ |z1| - |z2|

opposto (- a , - b)reciproco (a / (a² + b²) , - b / (a² + b²))

sin z = (eiz - e-iz) / 2i sinh z = (ez - e-z) / 2 = (1/i) sin izcos z = (eiz + e-iz) / 2 cosh z = (ez + e-z) / 2 = cos iztan z = sin z / cos z z (2k+1) p/2 tanh z = sinh z / cosh z z (2k+1) p/2cosh² z + sinh² z = 1Eulero: eix = cos x + i sin x e-ix = cos x - i sin x

somma: z1 6 z2 = (a1 6 a2) + i (b1 6 b2)prodotto: z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + i (a1b2 + b1a2)

= r1r2 ei(j1+j2)

= r1r2 [cos(j1+j2) + i sin(j1+j2)]prodotto esteso: z1z2...zn = r1r2...rn [cos(j1+j2+...+jn) + i sin(j1+j2+...+jn)]quoziente: z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2² + b2²)] + i [(b1a2 - a1b2) / (a2² + b2²)]

= r1/r2 ei(j1-j2)

= r1/r2 [cos(j1-j2) + i sin(j1-j2)]potenza: (De Moivre) zn = rn [cos(nj) + i sin(nj)]radici: nÖz

zknÖ1

= nÖr {cos[(j+2kp)/n] + i sin[(j+2kp)/n]}(k = 0,1,...,(n-1))= zk-1 ei2p/n = zk-1 cos (2p/n) + i sin(2p/n)= cos (2kp/n) + i sin(2kp/n)

logaritmo naturale: ln z = ln |z| + i (j ± 2np)Euler ez = ea + ib = ea (cos b + i sin b)

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TRIGONOMETRIA

y sin y cos y tan y cot yIV - x - sin x cos x - tan x - cot xI p/2 - x cos x sin x cot x tan xII p/2 + x cos x - sin x - cot x - tan xII p - x sin x - cos x - tan x - cot xIII p + x - sin x - cos x tan x cot xIII (3/2)p - x - cos x - sin x cot x tan xIV (3/2)p + x - cos x sin x - cot x - tan xIV 2p - x - sin x cos x - tan x - cot xI 2p + x sin x cos x tan x cot x

cos² x + sin² x = 1tan x = sin x / cos xcot x = 1 / tan x1 - cos x = 2 sin² x/2

sin cos sin x = tan x / ± Ö(1 + tan² x)sin x = 1 / ± Ö(1 + cot² x)

cos x = 1 / ± Ö(1 + tan² x)cos x = cot x / ± Ö(1 + cot² x)

sin x = cos (p/2 - x) cos x = sin (p/2 - x)addizione sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin ysottrazione sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin yprostaferesi sin x + sin y = 2sin[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]

sin x - sin y = 2sin[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]cos x + cos y = 2 cos[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]cos x - cos y = - 2sin[(x+y)/2] sin[(x-y)/2]

duplicazione sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2 sin²xtriplicazione sin 3x = 3 sin x - 4 sin3 x cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos xmultipliSimpson

sin nx = sin x cos (n-1)x + cos x sin (n-1)xsin nx = 2 sin (n-1)x cos x - sin (n-2)x

cos nx = cos x cos (n-1)x - sin x sin (n-1)xcos nx = 2 cos (n-1)x cos x - cos (n-2)x

bisezione sin x/2 = ± Ö[(1 - cos x)/2] cos x/2 = ± Ö[(1 + cos x)/2]potenze sin3 x = (1/4)(3 sin x - sin 3x)

sin4 x = (1/8)(cos 4x - 4 cos 2x + 3)sin5 x = (1/16)(sin 5x - 5sin 3x + 10 sin x)sin6 x = (1/32)(- cos 6x +6cos 4x -15 cos 2x +10)

cos3 x = (1/4)(3 cos x + cos 3x)cos4 x = (1/8)(cos 4x + 4 cos 2x + 3)cos5 x = (1/16)(cos 5x + 5 cos 3x + 10cos x)cos6 x = (1/32)(cos 6x + 6cos 4x + 15 cos 2x + 10)

parametriche sin x = (2 tan x/2) / (1 + tan² x/2) cos x = (1 - tan² x/2) / (1 + tan² x/2)Werner sin x cos x = (1/2) [sin (x + y) + sin (x - y)]

sin x sin y = (-1/2) [cos (x + y) - cos (x - y)]

cos x sin y = (1/2) [sin (x + y) - sin (x - y)]cos x cos y = (1/2) [cos (x + y) + cos (x - y)]

parametriche: soluzione di a sin x + b cos x + c = 0. x p + 2kpSimpson: calcolo integrali.

tan cot tan x = ± Ö(1 - cos² x) / cos xtan x = sin x / ± Ö(1 - sin² x)

cot x = cos x / ± Ö(1 - cos² x)cot x = ± Ö(1 - sin² x) / sin x

tan x = 1 / tan (p/2 - x) cot x = 1 / cot (p/2 - x)addizione tan(x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y) cot (x + y) = (cotx cot y - 1) / (cot y + cot x)sottrazione tan(x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x tan y) cot (x - y) = (cotx cot y + 1) / (cot y - cot x)prostaferesi tan x + tan y = sin (x + y) / (cos x cos y)

tan x - tan y = sin (x - y) / (cos x cos y)cot x + cot y = sin (x + y) / (sin x sin y)cot x - cot y = sin (x - y) / (sin x sin y)

duplicazione tan 2x = 2 tan x / (1 - tan² x) cot 2x = (cot²x - 1 ) / 2 cot xmultipli tan nx =[tan x + tan(n-1)x]/[1- tanx tan(n-1)x] cot nx =[cot x cot(n-1)x - 1]/[cot x + cot(n-1)x]bisezione tan x/2 = sin x / (1 + cos x) cot x/2 = sin x / (1 - cos x)parametriche tan x = (2 tan x/2) / (1 - tan² x/2) cot x = (1 - tan² x/2) / (2 tan x/2)

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LOGARITMI

def x = loga b Û ax = b se a,b>0 e b1

logb x = loga x / loga b = logb a loga xloga a = 1 øaloga 1 = 0 øaloga b logb a = 1log10 x/y + log10 y/x = 0 øxloga b/c = - loga c/b

prodotto loga (bc) = loga b + loga cquoziente loga (b / c) = loga b - loga cpotenza loga bc = c loga bradice loga nÖb = (1/n) loga b

DISUGUAGLIANZE

(1/x) sin x > 2/p se 0 < x < p/2arctan x > x se x < 0arctan x + arccot x = p/2 " xarctan b - arctan a < b - a se a,bÎR e a < b|cos b - cos a| £ |b - a| se a,bÎR e a < b1/(1+x) < ln(1+x) < x se x > 0(1 + a)n ³ 1 + na se aÎR e a > - 1 Bernoulli|z1 + z2| £ |z1| + |z2||z1 - z2| ³ |z1| - |z2|

se z1,z2ÎC diseguaglianza triangolare

log n < n se n ³ 1sin n < n " n3n > n² " nsin x < x < tan x se x0 e |x| < p/2

FORMULE

induzione: P0 vera"n>n0 Pn Þ Pn+1

def fattoriale 0! = 1 ; n! = (n - 1)! n

def seno iperbolico sinh x = (ex - e-x) / 2def cos. iperbolico cosh x = (ex + e-x) / 2def coefficiente binomiale (n

0) = 1(n

k+1) = (nk) (n - k) / (k + 1)

(nk) = 0 se nÎN e k > n

se k0 (nk) = [n (n - 1)...(n - k + 1)] / k!

se nÎZ (nk) = n! / [k! (n - k)!]

(nk) = (n

k-1) (n - k + 1) / kdef binomio di Newton (a + b)n = S (n

k) an-k bk (k da 0 a n)

xn - yn = (x - a) (xn-1 + xn-2 a +...+ x an-2 + an-1)x = eln x

1 / [x (x+1)] =1/x - 1/(x+1)n n! = (n+1)! - n!

infinitisomma x + (+ ¥) = + ¥ x + (-¥) = - ¥

(+¥) + (+¥) = + ¥ (-¥) + (- ¥) = - ¥prodotto x > 0 Þ x (+ ¥) = + ¥ x (- ¥) = - ¥

x < 0 Þ x (+ ¥) = - ¥ x (- ¥) = + ¥(+ ¥) (+ ¥) = + ¥ (- ¥) (-¥) = + ¥

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(+ ¥) (- ¥) = (- ¥) (+ ¥) = - ¥

problema di Cauchyu’(x) = f (x)u(x0) = u0

$! soluzione: u(x) = u0 + xx0xf(t)dt

polinomiTaylor con resto di Peano: f (x) = Ta

nf (x) + o(x - a)n per x ® adi centro a e ordine n Ta

nf (x) = S [f(k)(a) / k!] (x - a)k (k da 0 a n)Taylor con resto di Lagrange: f (x) = Ta

nf (x) + [f (n+1)(l) / (n+1)!] (x - a)n+1 (a £ l £ x)

resto di Taylor = f (x) - Tanf (x)

resto di Cauchy = (1/n!) f(n+1)(a + J(x - a)) (1 - J)n (x - a)n+1 0<J<1resto di Lagrange = (1/ (n+1)!) f (n+1)(a + J(x - a)) (x - a)n+1 0<J<1

polinomio di McLaurin: polinomio di Taylor di centro 0. f (x) = f (0) + f ‘ (0) x + (1/2!) f ’’ (0) x² + (1/3!) f ‘’’(0) x3 +...+ (1/(n-1)!) f (n-1)(0) xn-1 + Rn

Rn = xn/n! f(n)(lx) 0<l<1 (resto di Lagrange)

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