Analisi Matematica 1 Prove Parziali e d’Esame A.A. 1999/2007web.inge.unige.it/DidRes/Analisi/PrA1A2.pdf · Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Analisi Matematica 1 Prove Parziali

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona

Analisi Matematica 1

Prove Parziali e d’Esame

A.A. 1999/2007

1- PrA1A2.TEX— [.TEX]

Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998

Prima prova Parziale 21/10/1998

Si consideri l’insieme

A ={

1x2 + 9

, x ∈ R}.

A3© Determinare supA e inf A.

B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n∑k=1

k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)

3

Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:

C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|

D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)

2- PrA1A2.TEX— [PrA101.TEX]


E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)

F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a


Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000

Seconda prova Parziale 27/11/2000

Si consideri la successione definita da {an+1 = 3 +

an2

a0 = 3

A3© Verificare che an e crescente ed superiormente limitata.

B3© Calcolare il limite di an

C2© Determinare la regola di ricorrenza che soddisfa la successione bn = a2n e calcolare b0 ed il limite di bn.

D2© Calcolare

limx→1

sin(x− 1) + (1− cos(x− 1))tan(2x− 2)

E2© Stabilire se f(x) = 11−x2 e invertibile su [−9,−3] ed in caso affermativo calcolarne l’inversa.


Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000

Terza prova Parziale 20/12/2000

Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx

A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1

B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f

Si consideri la funzione

g(x) ={f(x) x > x0

a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0

C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua

D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile





A ={

1x2 + 9

, x ∈ R}.

A3© Determinare supA e inf A.

B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n∑k=1

k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)

3

Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:

C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|

D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)



E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)

F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a




Si consideri la successione definita da {an+1 = a3

n

a0 = 3

A3© Verificare che an ≥ 3.

B3© Verificare che an e crescente.

C2© Calcolare il limite di an.

D2© Calcolare

limx→0

sin(1− cos2(x))x2

E2© Si consideri la funzione

f(x) =√

ln(1 + x2)

F3© Disegnare il grafico di f

G3© Calcolare l’inversa di f ristretta all’insieme A = {x ∈ R : x ≥ 0}.


Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terzaa prova Parziale 19/12/2001

Terzaa prova Parziale 19/12/2001

A3© Disegnare il grafico dif(x) =

√1− x ln(x)

B3© Disegnare il grafico difa(x) =

√a− x ln(x)

al variare di a ∈ R

C2© Stabilire se e possibile prolungare f per continuita nell’origine.

D2© Stabilire se e possibile prolungare f nell’origine in modo che risulti continua e derivabile.

E2© Calcolare f(1) e utilizzare il risultato per (f−1)′(1)




Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx

A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1

B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f


g(x) ={f(x) x > x0

a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0

C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua

D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile





A ={

x

x2 + x+ 1, x ∈ R

}.

A© Determinare i maggioranti di A

B© Determinare supA

B© Determinare i minoranti di A

C© Determinare inf A

D© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo

C2© Dimostrare, usando il principio di induzione, che

3(n)! > 2n ∀n ∈ N





f(x) =

√(x

1 + x

)2

A© Calcolarelim

x→+∞f(x)

B© Disegnare il grafico di x1+x

C© Disegnare il grafico di f(x)

D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto

E© Calcolare

limx→0

sin(x2)1− (cos(x))4

F© Calcolarelim

x→+∞

√x− 1−

√x3 − 1




Si consideri la funzionef(x) = x2e−x

A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f

B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.

C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x

D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)



E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1





A ={

1x+ 1

, x ∈ R , x ≥ 1}.

A© Determinare i maggioranti di A

B© Determinare supA

C© Determinare i minoranti di A

D© Determinare inf A

E© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo

F© Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n∑k=1

2−k = 1− 2−n ∀n ∈ N




Si consideri la successione definita da {an+1 =

65− an

a0 = k

A© Disegnare il grafico della funzione

f(x) =6

5− x

B© Verificare che se k ∈ [2, 3], an ∈ [2, 3]

C© Verificare che se k ∈ [2, 3], an e decrescente

D© Stabilire se an ammette limite ed, in caso affermativo, calcolarlo

E© Determinare al variare di k il comportamento della successione (non e richiesto dimostrare le affermazionie si puo procedere graficamente

F© Calcolare al variare di α

limx→0

ex − cos(x)xα


Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova scritta 19/12/2003

Terza Prova scritta 19/12/2003

Si consideri la funzionef(x) = x ln(1 + x2)

A© Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo.

D© Calcolare f ′(x) ed f ′′(x)

E© Disegnare il grafico di f ′

E© Disegnare il grafico di f





f(x) =

√(x

1 + x

)2

A© Calcolarelim

x→+∞f(x)

B© Disegnare il grafico di x1+x

C© Disegnare il grafico di f(x)

D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto

E© Calcolare

limx→0

sin(x2)1− (cos(x))4

F© Calcolarelim

x→+∞

√x− 1−

√x3 − 1




Si consideri la funzionef(x) = x2e−x

A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f

B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.

C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x

D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)



E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1




Sia

f(x) =x2 + 22x2 − 1

, g(x) =x+ 22x− 1

A© Disegnare il grafico di g

B© Disegnare il grafico di f

C© Determinaresup{f(x) : x ∈ [1,+∞)}

D© Determinareinf{f(x) : x ∈ [1,+∞)}

E© Determinare, se esistono,max{f(x) : x ∈ [1,+∞)}

min{f(x) : x ∈ [1,+∞)}




A© Calcolare

limx→0

sin(3x3)ln(1 + x3)

B© Calcolare

limx→0

ex2 − cos(x)x2

C© Calcolare

limx→0

ex2 − cos(x)− x

5x

D© Calcolare

limx→0

ex2 − cos(x)x2 + x4

E© Calcolare al variare di α e di β

limx→0

exα − 1

(ln(1 + x))β




Si considerif(x) = e−x

2(1− 4x2) + 2

A© Disegnare il grafico di f

B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri

g(x) =√|x|(e−x

2+ 2)

C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g

D© Dopo aver verificato che

g(1) = 2 +1e

calcolare (g−1

)′(2 +

1e

)

E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x

4+ 2)






Sia

f(x) = tan(π

4x2 − π

4

)A© Disegnare il grafico di f per x ∈ [−3, 3]

B© Disegnare il grafico di f−1 per f ristretta a (√

3, 2]

C© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a (√

3, 2]

D© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a [−2,−√

3)

E© Determinare una espressione per la somma delle prime N potenze naturali di 5 e provarne, per induzionela validita.




A© Calcolare

limx→0

√1− x− 1

x

B© Calcolare

limx→0

sin(x6)x2 ln(1 + 2x4)

C© Calcolare

limx→+∞

sin(x)5x

D© Calcolare

limx→−∞

x4 + 2x+ 1x2 + 3x4

E© Verificare mediante la definizione di limite che

limx→2−

E(x) = 1

(E(x) e la parte intera di x).


Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005

Terza Prova Parziale 21/12/2005

Si consideri la funzionef(x) = 1 + be−

x22


B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)

C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}



D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1

E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)





2(1− 4x2) + 2



g(x) =√|x|(e−x

2+ 2)



g(1) = 2 +1e

calcolare (g−1

)′(2 +

1e

)


4+ 2)







A ={

3√x2 − 2x+ 2

: x ∈ R}

A© Determinare maggioranti e minoranti di A.

B© Determinare estremo superiore ed inferiore di A

C© Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.

D© Si consideri il seguente teorema e la sua dimostrazione.Teorema La somma di un qualunque numero k di interi n1, n2, ..., nk al quadrato e un quadrato. In

altre parolek∑j=1

n2j = m2 con m ∈ N , ∀k ∈ N

Dimostrazione Per n = 1 si ha che n21 e un quadrato

Supponiamo il teorema vero per k e verifichiamo che e vero per k + 1.Consideriamo

k+1∑j=1

n2j = n2

1 +k+1∑j=2

n2j

Per l’ipotesi induttiva,k+1∑j=2

n2j = m2

1 con m1 ∈ N

quindi

n21 +m2

1 = m22 con m2 ∈ N

e si conclude.Si chiedeIl teorema e vero?La dimostrazione e corretta?Nel caso la dimostrazione non sia corretta, perche non e corretta?




A© Un carrello si muove lungo l’asse x con velocita costante uguale a 5 metri al secondo, partendo da fermo.Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t.

La temperatura lungo l’asse x aumenta linearmente di 2 gradi per metro partendo da 10 gradiDisegnare il grafico della temperatura avvertita a bordo del carrello in funzione del tempo.

B© Calcolare

limx→0

1− cos(x3)x2(1− e2x4)

C© Calcolare (E(x) e la parte intera di x)

limx→+∞

arctan(E(x))5x



D© Calcolare, al variare di a

limx→−∞

x4 + 2xx2 + ax4


limx→π

sin(x) = 0

F© Calcolare

limx→0

2−√

4− xx




Si consideri la funzionef(x) = a

x

x2 − 5x+ 6

A© Disegnare il grafico di f al variare di a

B© Determinare, se possibile, x0 in modo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f inx0 valga 1

C© Per a = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R \ {2, 3}, tale che φ′(x) = f(x)per x ∈ R \ {2, 3}

D© Determinare, se possibile, l’inversa di f ristretta a [0, 1]




A© Calcolare

limx→0

√1− x− 1

x

B© Calcolare

limx→0

sin(x6)x2 ln(1 + 2x4)

C© Calcolare

limx→+∞

sin(x)5x

D© Calcolare

limx→−∞

x4 + 2x+ 1x2 + 3x4


limx→2−

E(x) = 1

(E(x) e la parte intera di x).




Si consideri la funzionef(x) = 1 + be−

x22


B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)

C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}



D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1

E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)





2(1− 4x2) + 2



g(x) =√|x|(e−x

2+ 2)



g(1) = 2 +1e

calcolare (g−1

)′(2 +

1e

)


4+ 2)




Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004

Analisi Matematica 2

Prove Parziali e d’Esame

A.A. 1999/2007


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta 12/03/1998

Prima Prova Scritta 12/03/1998

Si considerino le funzionif(x) = sinx3 g(x) = ex

2

A2© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di sinx e ex di ordine n con il resto nella forma di Peano.

B2© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f e g di ordine 6 con il resto nella forma di Peano.

C2© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f(x)g(x) di ordine 6 con il resto nella forma di Peano.

D2© Calcolare, al variare di α reale

limx→0

(ex2 − 1) sinx3

xα

E2© Determinare l’ordine di infinitesimo di (ex2 − 1) sinx3 nell’origine.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 19/03/1998

Seconda Prova Scritta 19/03/1998

Si considerino le funzioni

f(x) = ln(1 + x) g(x) = (sinx)2 h(x) = ln(

1 +(sinx)2

10

)

A3© Determinare il polinomio di McLaurin di f che approssima f a meno di 1200 sull’intervallo

[0, 110 ].

B3© Determinare l’errore che si commette sostituendo ad h(x) il valore (sin x)2

10 per x ∈ R

C3© Trovare lo sviluppo di McLaurin di g di ordine 2 e stimare il resto di Lagrange corrispondenteper x ∈

[− 1

10 ,110

]

D3© Stimare l’errore che si commette sostituendo h(x) con x2

10 per x ∈[− 1

10 ,110

]


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 26/03/1998

Terza Prova Scritta 26/03/1998

Si consideri la funzionef(x) = (1 + x) arctanx

A1© Calcolare la derivata prima di ff ′(x) =

B1© Calcolare la derivata seconda di ff ′′(x) =

C2© Disegnare il grafico di f ′

D2© Disegnare il grafico di f

E2© Precisare dove f e convessa e dove f e concava

E2© Determinare la retta tangente al grafico di f nei punti in cui f ′′ si annulla e stabilire laposizione di tale retta rispetto al grafico.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 16/04/1998

Quarta Prova Scritta 16/04/1998


f(x) ={x2 + 1 x ∈ [0, 1]ax+ b x ∈ (1, 2]

A2© Determinare i valori di a, b ∈ R in corrispondenza dei quali f e integrabile su [0, 2]

B2© Scrivere le somme superiori U1(f, Pn) della funzione f sull’intervallo [0, 1] rispetto allapartizione

Pn = {kn

: k = 0, 1, 2, ..., n}

U1(f, Pn) =

C2© Scrivere le somme superiori U2(f,Qn) della funzione f sull’intervallo [1, 2] rispetto allapartizione

Qn = {1 +k

n: k = 0, 1, 2, ..., n}

U2(f,Qn) =

D2© Scrivere le somme superiori U(f, Pn ∪Qn) della funzione f sull’intervallo [0, 2] rispetto allapartizione Pn ∪QnU(f, Pn ∪Qn) =

E2© Calcolare∫ 2

0f(x)dx mediante il limite di U(f, Pn∪Qn) per n che tende ad infinito, precisando

le ragioni per cui tale limite fornisce l’integrale richiesto.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 23/04/1998

Quinta Prova Scritta 23/04/1998


f(x) =

{arctanx+

1x2 − 1

x < 3

sin2(x− 1) + a x ≥ 3

A2© Determinare una primitiva di f su (3,+∞) precisando dove e definita.

B2© Determinare una primitiva di f su (−∞, 3) precisando dove e definita.

C2© Determinare per quali a ∈ R f ammette primitiva su R e determinarne una precisandodove e definita.

D2© Per i valori di a ∈ R per i quali f ammette primitiva su R determinare tutte le primitivedi f precisando dove sono definite.

E2© Calcolare al variare di a ∈ R∫ 4

2f(x)dx∫ 4

2f(x)dx =


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 29/04/1998

Sesta Prova Scritta 29/04/1998

Si consideri la funzione f il cui grafico e rappresentato di seguito

A5© Disegnare il grafico della funzione

F (x) =∫ x

1

f(t)dt

B2© Precisare dove F e derivabile

C2© Calcolare, se esistono, F ′(0), F ′(0−), F ′(0+).

D1© Calcolare

F (x) =∫ −4

−10

f(t)dt


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 07/05/1998

Settima Prova Scritta 07/05/1998

Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) = ey

2(x)

y(x0) = y0

A2© Stabilire esistenza ed unicita locale della soluzione del problema, al variare di x0, y0 ∈ R

B3© Disegnare il grafico della funzione

F (y) =∫ y

y0

e−t2dt

C2© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = 1

D3© Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 07/05/1998

Ottava Prova Scritta 07/05/1998

Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) = f(y(x))y(x0) = y0

dove

f(y) =

{1 y > 13√y −1 ≤ y ≤ 1−1 y < −1

A2© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = π4

B3© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = −2

C2© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = 2

D3© Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 21/05/1998

Nona Prova Scritta 21/05/1998

Si consideri l’equazione differenziale

y′′(x)− 2y′(x) + 2y(x) = ex + sinx

A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata

B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa

C2© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0

D2© Scrivere il sistema di primo ordine equivalente all’equazione data

E2© Scrivere tutte le soluzioni del sistema trovato e determinarne una matrice fondamentale.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 02/06/1998

Decima Prova Scritta 02/06/1998


f(x, y) = x3 + y2

A2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2

B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f sul triangolo delimitato dalle rette y = x,y = 2x− 2, y = 0

C2© Disegnare le curve di livello di f

D2© Calcolare la matrice Hessiana Hf(1, 0) nel punto (1, 0)

E2© Calcolare le derivate di f nel punto (2, 0) rispetto ad ogni direzione (a, b) (f ′((2, 0), (a, b)))





f(x) = log(1 + x4) g(x) = cos(x)

A4© Scrivere gli sviluppi di McLaurin di f e g di ordine 5

B6© Calcolare,

limx→0

(g(x)− 1)2 − f(x)x4





f(x) = arctanx

A3© Determinare il polinomio p(x) di McLaurin di f del primo ordine

B3© Scrivere il resto di Lagrange relativo al polinomio p(x) di McLaurin di f del primo ordine

C4© Determinare δ in modo che|f(x)− p(x)| ≤ 10−3

su [−δ, δ]




Si consideri la funzionef(x) = x log(1 + x)

A4© Disegnare il grafico di f ′

D6© Disegnare il grafico di f





f(x) = x2 + x

A5© Scrivere le somme superiori U(f, Pn) della funzione f sull’intervallo [0, 1] rispetto allapartizione

Pn ={k

n: k = 0, 1, 2, ..., n

}U(f, Pn) =

B5© Calcolare∫ 1

0f(x)dx mediante il limite di U(f, Pn) per n che tende ad infinito, precisando le

ragioni per cui tale limite fornisce l’integrale richiesto.





f(x) ={

2ax+ b x > 0log(1 + x) −1 < x ≤ 0

A3© Determinare a, b ∈ R in modo che f ammetta primitiva su (−1,+∞)

B3© Determinare una primitiva di f su (−1,+∞).

C4© Per i valori di a, b ∈ R per i quali f ammette primitiva su (−1,+∞) determinare tutte leprimitive di f




Si consideri la funzione f il cui grafico e rappresentato di seguito

A10© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt precisando crescenza convessita ed

asintoti




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 1 + y4(x)y(x0) = y0

A4© Stabilire esistenza ed unicita locale della soluzione del problema, al variare di x0, y0 ∈ R

B6© Disegnare il grafico delle soluzioni al variare dei dati iniziali x0, y0




Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) =

√|y(x)|

y(x0) = y0

A5© Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai dati iniziali x0 = 0, y0 = 1

B5© Determinare tutte le soluzioni costanti e disegnare il grafico delle soluzioni al variare deidati iniziali x0, y0





y′′(x)− 3y′(x) + 2y(x) = ex + x



C3© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0





f(x, y) = xy2 − x

A4© Determinare massimi e minimi assoluti di f sul triangolo delimitato dalle rette y = 2 − x,y = 2, x = 2

B3© Disegnare le curve di livello di f

C3© Calcolare le derivate di f nel punto (1, 1) rispetto ad ogni direzione (a, b) (f ′((1, 1), (a, b)))


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame giugno 11/06/1999

Esame giugno 11/06/1999

COGNOME NOME Corso

Numero di matricola


f(z) =∫ z

0

e−t2dt

A3© Studiare il grafico della funzione f

B3© Studiare il grafico della funzione per 1f(s)ds

C3© Studiare il grafico della funzione per ∫ y

1

1f(s)

ds

D3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy{y′(x) = f(y(x))y(x0) = y0

COGNOME NOME Corso

Numero di matricola

Si consideri l’equazione

y′′′(x) + 27y(x) = 2e−3x + 1

E3© Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata

E3© Determinare le soluzioni dell’equazione completa

F3© Scrivere un sistema del primo ordine equivalente all’equazione data.

G6© Determinare le soluzioni del sistema trovato precisando la matrice fondamentale del sistemaomogeneo ad esso associato.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Luglio 25/06/1999

Esame Luglio 25/06/1999

Si consideri il problema di Cauchyy′′(x) = 1 + (y′(x))2

y(0) = 0y′(0) = 0

A3© Provare che la soluzione del problema e convessa dove e definita.

B3© Provare che la soluzione ha un minimo locale in 0

C3© Disegnare il grafico della soluzione del problema dato

D3© Determinare esplicitamente tutte le soluzioni del’equazione differenziale data

E3© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

Si consideri

f(x) = tan(x)

A4© Determinare una primitiva di f

B3© Determinare tutte le primitive di f

C3© Determinare l’area a della parte di piano delimitata dagli assi, dalla retta x = 1 e dal graficodella funzione f

D5© Stabilire se esiste e determinare c ∈ [0, 1] tale che f(c) = a


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Luglio 16/07/1999

Esame Luglio 16/07/1999

Si consideri il sistema {y′(x) = 3y(x)− 2z(x) + ex

z′(x) = 2y(x)− z(x) + x

A3© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato

B3© Determinare tutte le soluzioni del sistema completo

C3© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0

D3© Determinare tutte le soluzioni del sistema completo tali che y(0) = 0

E3© Precisare se le soluzioni ottenute in ciascuno dei punti precedenti e uno spazio vettorialee, in caso affermativo trovarne la dimensione

Si consideri

f(x) =2x

1 + x2

A4© Disegnare il grafico di f

B3© Disegnare il grafico di g(x) = f(E(x)) dove E indica la parte intera.

C3© Disegnare il grafico di F (y) =∫ +∞y

e−x

1+x2 dx

D5© Disegnare il grafico di F (y) =∫ +∞g(x)

e−x

1+x2 dx


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Settembre 17/09/1999

Esame Settembre 17/09/1999


f(x) =

x

x2 + 1x < 0

1 0 ≤ x < 11x

1 ≤ x < 210x4

x ≥ 2


B5© Disegnare il grafico di f ′

C5© Disegnare il grafico di∫ x1f(t)dt


y′(x) = y7(x)− 1

A3© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 0

B2© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) = 1

C3© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) > 1

D3© Disegnare il grafico della soluzione tale che y(0) < 1

E3© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Gennaio 17/01/2000

Esame Gennaio 17/01/2000


f(x) = arctan(k(x3 − x))


B5© Disegnare il grafico di f ′

C5© Disegnare il grafico di∫ x0f(t)dt

D5© Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = 0 al variare di k


y′′′(x) + y(x) = x

A3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea


C4© Stabilire se le soluzioni del problema completo costituiscono uno spazio vettoriale e, incaso affermativo, determinarne la dimensione.

D5© Trovare tutte le soluzioni del problema completo tale che y(0)=0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Febbraio 2/02/2000

Esame Febbraio 2/02/2000


f(x) = ln |1− x2

k2|

g(x) = arctan(x)


B3© Disegnare il grafico di g

C4© Disegnare il grafico di g(f(x))

D4© Disegnare il grafico di f(g(x))

Si consideri l’equazione differenzialey′(x) =y(x)

sin y(x)y(x0) = y0

A3© Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato

B3© Scrivere la retta tangente al grafico della soluzione per x0 = y0 = 1

C4© Disegnare il grafico delle soluzioni del problema per x0 = y0 = 1

D5© Disegnare il grafico delle soluzioni del problema.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame Febbraio 22/02/2000

Esame Febbraio 22/02/2000


f(x) =e−x

1− x2


B3© Disegnare il grafico di g(x) =∫ x0f(t)dt

C4© Disegnare il grafico di tutte le primitive di f


y(x) = 2 +∫ x

1

1sin(y(t))

dt

A3© Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema assegnato

B3© Determinare la soluzione dell’equazione data

C4© Disegnare il grafico delle soluzioni dell’equazione

D5© Scrivere il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione del problema




Si consideri la funzionef(x) = (1 + x)ex


B2© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente algrafico di f nel punto (0, f(0)0



C2© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 3 con il resto nella forma di Lagrange

D2© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano

E2© Determinare l’ordine di infinitesimo a di (1 + x)ex − 1− 2x nell’origine e calcolare

limx→0

(1 + x)ex − 1− 2xxa

COGNOME NOME Corso

Numero di matricola




Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto* il grafico della derivata prima* i valori f(0) = 0, f(α) = −1, f(β) = −2. f(γ) = 1


B3© Precisare gli intervalli in cui f e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.

C1© Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f ′

D2© Stimare, usando il teorema di Lagrange, f(a).





f(x) ={−1 x ∈ [0, 1)3x2 x ∈ [1, 2]

e la partizione Pn = { kn , k = 0, 1, 2, 3, ...., 2n}


B2© Calcolare le somme superiori U(f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn

C2© Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 2] rispetto alla partizione Pn

D2© Calcolare limn U(f, Pn) e limn L(f, Pn)

E3© Calcolare∫ 2

0f(x)dx




Si consideri la funzione f il cui grafico e indicato in figura

A3© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt

B2© Precisare il valore che la funzione F assume in −1, 0, 1, 2, 3, 4

Si consideri la funzione g il cui grafico e indicato in figura

C2© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x0g(t)dt

D3© Precisare il segno di G





f(x) =

1− x2 |x| < 11x− 1 x > 1

1x

+ 1 x < −1

A3© Disegnare il grafico di f , precisandone il dominio D

B2© Determinare una primitiva di f su D

C2© Determinare tutte le primitive di f su D

D3© Determinare una espressione esplicita per

F (x) =∫ x

0

f(t)dt





f(x) =1

x(x− 1)

A3© Calcolare ∫ +∞

4

f(t)dt,∫ 4

1

f(t)dt,∫ 4

2

f(t)dt

B2© Disegnare il grafico di ∫ x

4

f(t)dt





Si consideri il problema di Cauchy{ey(x)y′(x) = 2x(ey(x) + 1)y(x0) = y0

A2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 0, precisando il campo didefinizione

B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 1, y0 = −1 precisando il campodi definizione

C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = −1, y0 = −1 precisando il campodi definizione

C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 1 precisando il campo didefinizione




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 3

√ln(y(x) + 1)

y(x0) = y0

A2© Determinare le soluzioni costanti dell’equazione differenziale data

B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 1 precisando il campo didefinizione ed eventuali prolungamenti.

C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = −1/2 precisando il campodi definizione ed eventuali prolungamenti.

C2© Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di x0, y0





y′′′(x) + 4y′(x) = sin(x) + sin(2x)



C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0, y′(0) = 0 e y′′(0) = 0

D2©

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0 e y(Π) = 0




Si consideri il sistema di equazioni differenziali{x(t) = −2x(t) + y(t) + f(t)y(t) = 2x(t)− 2y(t) + g(t)

A2© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.

B2© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = sin t e g(t) = 0.

C2© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = 0 e g(t) = e2t.

D2© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = sin t e g(t) = e2t.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undicesima Prova Scritta 25/05/2000

Undicesima Prova Scritta 25/05/2000


f(x, y) = x2 + 2xy

e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1

x}

A2© Disegnare le curve di livello di f

B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su D

C2© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy




Si consideri la funzionef(x) = (1 + x) ln(x+ 1)


B4© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f di grado 1, e l’equazione della retta tangente algrafico di f nel punto (0, f(0))

D3© Scrivere lo sviluppo di McLaurin di f(x) di ordine 5 con il resto nella forma di Peano




Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto che f(0) = 0 e che

f ′(x) =

1− x2 x < 2x2 2 ≤ x ≤ 312− x x > 3








f(x) = x2 + x

e la partizione Pn = { kn , k = 0, 1, 2, 3, ...., n}


B4© Calcolare le somme inferiori L(f, Pn) di f su [0, 1] rispetto alla partizione Pn

D4© Calcolare limn L(f, Pn)

E1© Calcolare∫ 1

0f(x)dx




Si consideri la funzione f il cui grafico e indicato in figura

A5© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt

B5© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x2

0f(t)dt





f(x) =

{x |x| ≤ 11 x > 1−1 x < −1

A3© Disegnare il grafico di f , precisandone il dominio D

B2© Determinare una primitiva di f su D

C2© Determinare tutte le primitive di f su D

D3© Determinare una espressione esplicita per

F (x) =∫ x

0

f(t)dt





f(x) =1x

+2

3− x+

13 + x

=9 + 9x9x− x3

A5© Calcolare ∫ +∞

4

f(t)dt,∫ 1

0

f(t)dt,∫ 2

1

f(t)dt

B5© Disegnare il grafico di tutte le primitive di f




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 2xe−y(x)

y(x0) = y0

A4© Disegnare il grafico della soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 0, precisando il campo didefinizione

B6© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema al variare di x0, y0




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = ln(y(x) + 1)y(0) = y0

A4© Disegnare il grafico della soluzione del problema per y0 = 1 e precisare il campo didefinizione ed eventuali prolungamenti.

B6© Disegnare il grafico della soluzione del problema al variare di y0





y′′(x)− 3y′(x) + 2y(x) = e2x



C3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea tali che y(0) = 0




Si consideri il sistema di equazioni differenziali{x(t) = x(t) + f(t)y(t) = 2x(t) + 3y(t)

A5© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.

B5© Determinare tutte le soluzioni del sistema relativo al caso in cui f(t) = et.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undicesima Prova Scritta 12/06/2000

Undicesima Prova Scritta 12/06/2000


f(x, y) = y2 + x+ y

e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4− x}

A3© Disegnare le curve di livello di f

B4© Determinare massimi e minimi assoluti di f su D

C3© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy





f(x) =2

x(1− x2)





xy′′(x)− y′(x) = |x|

A3© Risolvere l’equazione omogenea associata all’equazione data

B3© Risolvere l’equazione data su R+

C4© Risolvere l’equazione data su R−

D5© Risolvere l’equazione data su R





f(x) =ex

x2 + x



C4© Disegnare il grafico di g(x) =∫ x−∞ f(t)dt

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{y′(x) = y(x) + z(x) + xz′(x) = z(x) + 1

A3© Risolvere il sistema omogeneo associato

B3© Risolvere il sistema

C4© Trovare la soluzione del sistema omogeneo associato tale che y(0) = z(0) = 0

D5© Trovare la soluzione del sistema tale che y(0) = z(0) = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Esame luglio 14/07/2000

Esame luglio 14/07/2000


fk(x) = e2x + kex

A4© Determinare gk(t) tale chefk(x) = gk(ex)

e disegnarne il grafico al variare di k ∈ R

B3© Disegnare il grafico di fk(x) al variare di k ∈ R

C4© Per k = 2 Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f2(t)dt

C4© Per k = 2 determinare un intervallo in cui f2 e invertibile e trovarne l’inversa.

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{y′′(x) + y′(x) = z(x)z′(x) + z(x) = x

A5© Determinare tutte le soluzioni del sistema dato

B3© Determinare tutte le soluzioni del sistema dato

C3© Scrivere un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine equivalente al sistemadato

D4© Trovare una matrice fondamentale del sistema del primo ordine trovato al punto precedente.




Si consideri la funzionef(x) = x cos(

√x)− sin(x)

A2© Scrivere il polinomio di McLaurin Q2(x) di sin(x) di grado 2,

B2© Scrivere il polinomio di McLaurin R2(x) di x cos(√x) di grado 2,

C2© Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f(x) di grado 2,

D2© Calcolare al variare di n ∈ N

limx→0

f(x)xn

E2© Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f(x) in [0, 1/10]




Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto* il grafico della derivata prima* i valori f(0) = 0.




D2© Stimare, usando il teorema di Lagrange, f(1).




Si consideri la funzionef(x) = xe−x

6+ax2

A4© Determinare il campo D di definizione di f ed i limiti di f agli estremi del campo

B3© Calcolare f ′ e disegnare il grafico di

g(x) =f ′(x)

e−x6+ax2

C1© Disegnare il grafico di f

D2© Determinare il polinomio di Mc Laurin di f di grado 3





f(x) =

{1 x ≤ 1x− 1 1 < x ≤ 20 x > 2


B3© Calcolare,usando la geometria elementare, l’area A(x) della parte di piano delimitatadall’asse delle x, dall’asse delle y, dalla retta parallela all’asse delle y di ascissa generica x

e dal grafico di f .

C1© Disegnare il grafico di A

D2© Calcolare le somme superiori e le somme inferiori di f sull’intervallo [1, 2] relativamentealla partizione

Pn = {1 +k

n: k = 0, ..., n}





f(x) =

1

x2 + 1− 1

2x ≤ 1

ln(x) 1 < x ≤ 2x+ a x > 2

A4© Disegnare il grafico di f e determinare a in modo che f ammetta primitiva su R

B3© Calcolare una primitiva di f su R, per gli a per cui cio e possibile

C1© Calcolare tutte le primitive di f su R, per gli a per cui cio e possibile

D2© Per a = 0, disegnare il grafico di F (x) =∫ x1f(t)dt




Si consideri la funzionef(x) =

13√x− 1(ex − 1/e)

A4© Determinare gli intervalli in cui f e integrabile (propriamente)

B3© Stabilire se f e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = 1

C1© Stabilire se f e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = −1

D2© Stabilire se f e integrabile in senso improprio su [3,+∞) oppure su (−∞,−5]

D2© Disegnare il grafico di

F (x) =∫ x

0

f(t)dt




Si consideri il problema di Cauchyy′(x) =1

ln(y(x)) + 1y(0) = a

A2© Studiare esistenza ed unicita della soluzione del problema dato, al variare di a.

B3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = e

C3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 1/over2e

D2©Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy al variare di a





y′′(x)− 5y′(x) + 6y(x) = e2x + sin(x)



C3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea completa tali che y(0) = 0

D2© Scrivere un sistema differenziale lineare di primo ordine equivalente all’equazione data:

E2© Risolvere il sistema trovato al punto precedente




Si consideri il sistema di equazioni differenziali{y′(x) = −y(x) + 2z(x) + ex

z′(x) = 3y(x) + 4z(x)



C3© Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0

D2© Scrivere un’equazione differenziale del secondo ordine equivalente al sistema dato





f(x, y) = x4 + x2 + y2

A2© Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 1)

B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2

C3© Determinare massimi e minimi assoluti di f su

D = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1}

D3© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R

Prima Prova Scritta R

Si consideri la funzionef(x) = ex − sin(x2)

A2© Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f(x) di grado 2,

D2© Calcolare al variare di n ∈ N

limx→0

f(x)xn

E2© Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f(x) in [0, 1/10]


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R

Seconda Prova Scritta R

Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui e noto* il grafico della derivata prima* i valori f(0) = 0.





Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R

Terza Prova Scritta R

Si consideri la funzionef(x) = x+ e−x

2

A4© Calcolare f ′ e disegnare il grafico di g(x) = f ′(x)

C1© Disegnare il grafico di f

D2© Determinare il polinomio di Mc Laurin di f di grado 3


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R

Quarta Prova Scritta R


f(x) =

{0 x ≤ −1|x|+ 1 −1 < x ≤ 11 x > 1


B3© Calcolare,usando la geometria elementare, l’area A(x) della parte di piano delimitatadall’asse delle x, dall’asse delle y, dalla retta parallela all’asse delle y di ascissa generica x

e dal grafico di f .

C1© Disegnare il grafico di A


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R

Quinta Prova Scritta R


f(x) =

1x

x ≤ 11 1 < x ≤ 2x+ a x > 2

A4© Disegnare il grafico di f e determinare a in modo che f ammetta primitiva su R \ {0}

B3© Calcolare una primitiva di f su R \ {0}, per gli a per cui cio e possibile

C1© Calcolare tutte le primitive di f su R, per gli a per cui cio e possibile


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R

Sesta Prova Scritta R


1√x+ 1(x− 4)

A4© Disegnare il grafico di

F (x) =∫ x

0

f(t)dt


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R

Settima Prova Scritta R

Si consideri il problema di Cauchy {y′(x) =

1e−y2(x)

y(0) = a

A2© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 0

C3© Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 1

D2©Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy al variare di a


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R

Ottava Prova Scritta R


y′′(x) + 9y(x) = e2x + x



C3© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa tali che, y(0) = 0, y′(0) = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R

Nona Prova Scritta R

Si consideri il sistema di equazioni differenziali{y′(x) = −y(x) + 2z(x) + ex

z′(x) = y(x)




Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R

Decima Prova Scritta R


f(x, y) = x4 + y2

A2© Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 1)

B2© Determinare massimi e minimi assoluti di f su

D = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1}

D3© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy




Si consideri la funzione g il cui grafico e quello indicato nella figura seguente

A2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f(0) = 0 e f ′(x) = g(x) per tutti gli x 6= −1, 1, 2,f continua

B2© Stabilire se f e derivabile in x = 0, x = 1, x = 2 ed in caso affermativo determinare f ′(0),f ′(1), f ′(2).

C2© Determinare sul grafico un punto c ∈ (2, 5) tale che

f ′(5)− f ′(2) = f ′′(c)(5− 2)



D2© Usando le informazioni contenute nel grafico di f ′ maggiorare

|f(5)− f(2)| = |f ′(c)(5− 2)|


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta 14 Marzo 2002

Seconda Prova Scritta 14 Marzo 2002


f(x) = ln(1 + 2x) , g(x) = ex2− 1


B2© Scrivere il polinomio di McLaurin Q4(x) di g(x) di grado 4,

C2© Calcolare

limx→0

f(x) + g(x)− 2xx2

E2© Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) (Polinomio di McLaurin di grado2) ad f(x) in [0, 1/10]


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 21 Marzo 2002

Terza Prova Scritta 21 Marzo 2002

Si considerino la funzionef(x) = x arctan(x) + ax2

A2© Calcolare derivata prima e derivata seconda

B2© Disegnare il grafico di f ′′ precisando al variare di a quanti zeri ammette.

C2© Disegnare il grafico di f ′, al variare di a

E2© Disegnare il grafico di f , al variare di a


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 21 Marzo 2002


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta 04 Aprile 2002

Quarta Prova Scritta 04 Aprile 2002

Si considerino la funzione

f(x) ={x+ 4 x ∈ [−1, 0]4 x ∈ (0, 1]

sia Pn la partizione di [−1, 0] definita da

Pn = {xk = −1 +k

n, k = 0....n}

sia Qn la partizione di [0, 1] definita da

Qn = {xk =k

n, k = 0....n}

A2© Calcolare le somme superiori di f su [0, 1] rispetto alla partizione Q4

B2© Calcolare le somme superiori di f su [−1, 0] rispetto alla partizione P4

C2© Calcolare le somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn

D2© Calcolare il limite delle somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta 04 Aprile 2002

Quinta Prova Scritta 04 Aprile 2002


f(x) =

{e−x(1− x) x ≥ 0x

x2 + 1x < 0

A2© Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione.

B2© Disegnare il grafico di

F (x) =∫ x

0

f(t)dt

precisando il suo campo di definizione.

C2© Calcolare una primitiva di f su R \ {0}

D2© Stabilire se esiste una primitiva di f su R, giustificando le affermazioni.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 18 Aprile 2002

Sesta Prova Scritta 18 Aprile 2002

Si considerino la funzione che per x < 3 e definita dal grafico indicato in figura

mentre per x ≥ 3

f(x) =20

1 + x2

Si supponga inoltre che l’area ombreggiata in figura valga 4 e si consideri

F (x) =∫ x

0

f(t)dt

A2© Calcolarelim

x→+∞F (x)

B2© Disegnare il grafico di

G(x) =∫ x

3

f(t)dt

C2© Disegnare il grafico di F


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta 18 Aprile 2002


H(x) =∫ x2

0

f(t)dt


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta 02 Maggio 2002

Settima Prova Scritta 02 Maggio 2002


f(x) =

ln(|x|) x < 0

1√x(√x−√

2) 0 < x < 2

0 x > 2

e si definisca

F (x) =∫ x

1

f(t)dt

A2© Determinare il campo di definizione di F ed i limiti agli estremi del campo di definizione

B2© Disegnare il grafico di F

C2© Trovare una primitiva di f sul suo campo di definizione.

D2© Esprimere mediante funzioni elementari F


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta 09 Maggio 2002

Ottava Prova Scritta 09 Maggio 2002

Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = (2− x)

√−y(x)

y(x0) = y0

A2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 0, y0 = 2

B2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 0, y0 = −2

C2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 3, y0 = −2

D2© Determinare la soluzione del problema per x0 = 2, y0 = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta 16 Maggio 2002

Nona Prova Scritta 16 Maggio 2002

Si consideri l’equazione differenziale lineare

y′′′(x) = 27y(x) + sinx+ xe3x

A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione

y′′′(x) = 27y(x) + sinx

B2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione

y′′′(x) = 27y(x) + xe3x

C2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data

D2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = y′(0) = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta 23 Maggio 2002

Decima Prova Scritta 23 Maggio 2002


y′′(x) + y′(x) = ex + 1

A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data

B2© Determinare un sistema lineare del primo ordine equivalente all’equazione data.

C2© Trovare tutte le soluzioni del sistema di cui al punto precedente

D2© Trovare una matrice fondamentale per il sistema e due soluzioni del sistema che sianolinearmente indipendenti


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova Scritta R 03/06/2002

Prima Prova Scritta R 03/06/2002

Si consideri la funzione g il cui grafico e quello indicato nella figura seguente

A2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f(0) = 0 e f ′(x) = g(x) per tutti gli x 6= −1, 1, fcontinua

B2© Stabilire se f e derivabile in x = 0, x = 1 ed in caso affermativo determinare f ′(0), f ′(1),f ′(2).

D2© Usando le informazioni contenute nel grafico di f ′ maggiorare

|f(5)− f(2)| = |f ′(c)(5− 2)|


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova Scritta R 03/06/2002

Seconda Prova Scritta R 03/06/2002


f(x) = sin(2x2) , g(x) = arctan(x3)


B2© Scrivere il polinomio di McLaurin Q4(x) di g(x) di grado 4,

C2© Determinare l’ordine di infinitesimo di f + g per x→ 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta R 03/06/2002

Terza Prova Scritta R 03/06/2002

Si considerino la funzionef(x) = x ln(x) + ax2

A2© Calcolare derivata prima e derivata seconda

B2© Disegnare il grafico di f ′′ precisando al variare di a quanti zeri ammette.

C2© Disegnare il grafico di f ′, al variare di a

E2© Disegnare il grafico di f , al variare di a




Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova Scritta R 03/06/2002

Quarta Prova Scritta R 03/06/2002


f(x) ={

2x x ∈ [−1, 0]0 x ∈ (0, 1]

sia Pn la partizione di [−1, 0] definita da

Pn = {xk = −1 +k

n, k = 0....n}

sia Qn la partizione di [0, 1] definita da

Qn = {xk =k

n, k = 0....n}

A2© Calcolare le somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn

B2© Calcolare il limite delle somme superiori di f su [−1, 1] rispetto alla partizione Pn ∪Qn


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova Scritta R 03/06/2002

Quinta Prova Scritta R 03/06/2002


f(x) =

{1

x2 + 1x ≥ 0

xex x < 0

A2© Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione.

B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x

0

f(t)dt precisando il suo campo di definizione.

C2© Calcolare una primitiva di f su R \ {0}

D2© Stabilire se esiste una primitiva di f su R, giustificando le affermazioni.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova Scritta R 03/06/2002

Sesta Prova Scritta R 03/06/2002

Si considerino la funzione che e definita dal grafico indicato in figura

A2© Disegnare il grafico di

F (x) =∫ x

0

f(t)dt

C2© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x2

0f(t)dt


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova Scritta R 03/06/2002

Settima Prova Scritta R 03/06/2002


f(x) =

1

x+ 1x < 0

1√|x+ 2|

0 < x < 2

−1 x > 2

e si definisca

F (x) =∫ x

1

f(t)dt

A2© Determinare il campo di definizione di F ed i limiti agli estremi del campo di definizione

B2© Disegnare il grafico di F

C2© Trovare una primitiva di f sul suo campo di definizione.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova Scritta R 03/06/2002

Ottava Prova Scritta R 03/06/2002

Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = 2−

√y(x)

y(0) = y0

A2© Determinare la soluzione del problema per, y0 = 2

B2© Determinare la soluzione del problema per, y0 = −2

C2© Determinare le soluzione del problema per, y0 = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova Scritta R 03/06/2002

Nona Prova Scritta R 03/06/2002


y′′′(x) = y′(x) + x+ ex

A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione

y′′′(x) = y′(x) + x

B2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione

y′′′(x) = y′(x) + ex

C2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data

D2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova Scritta R 03/06/2002

Decima Prova Scritta R 03/06/2002


y′′(x) + y(x) = sin(x)

A2© Trovare tutte le soluzioni dell’equazione data

B2© Determinare un sistema lineare del primo ordine equivalente all’equazione data.

C2© Trovare tutte le soluzioni del sistema di cui al punto precedente

D2© Trovare una matrice fondamentale per il sistema e due soluzioni del sistema che sianolinearmente indipendenti




A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = x2 + x

B2© Disegnare il grafico della funzione g(x) = sin(x2 + x)

C2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto (0, 0)

D2© Determinare, usando il teorema di Lagrange sull’intervallo [0, x], una costante H < 50 taleche

|g(x)| ≤ H

100∀x ∈ [− 1

10,

110, ]

E2© Assumendo verificata la disuguaglianza precedente con H = 12, stabi lire se e vero che

g(0.05) < 0.5




Si consideri la funzionef(x) = ln(1 + x+ x2)

A2© Determinare il polinomio di McLaurin P3 di f di grado almeno 3

B2© Scrivere il resto relativo al polinomio P3 nella forma di Peano e nella forma di Lagrange

C2© Calcolare

limx→0

f(x)− x− x2

x2

D2© Eventualmente ricordando che

f

(12

)= ln

(1 +

34

)stimare l’errore che si commette sostituendo 3

4 ad f(

12

)




Si consideri la funzionef(x) = a ln(1 + x) + bx2 + 2bx

A2© Usare le condizioni necessarie per determinare gli eventuali punti di massimo o minimorelativi di f al variare di a e b

B2© Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti dimassimo e minimo sono punti di minimo

C2©Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti di

massimo e minimo sono punti di massimo

D2© Disegnare il grafico di f al variare di a e b




Si consideri la funzione g il cui grafico e riportato a lato

A2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g e h(0) = 0

B2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f ′′ = g, f(0) = 0 e f ′(0) = 0,

C2© Scrivere la retta tangente al grafico di f in x = 0

D2© Scrivere il polinomio di Mc Laurin di secondo grado di f in x = 0




Si consideri la funzionef(x) = 3x3

e la partizione

Pn ={k

n: k = 0...n

}e si tenga conto che

n∑k=1

k3 =(n(n+ 1)

2

)2

A2© Calcolare le somme superiori si f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =

B2© Calcolare le somme inferiori si f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =

C2© CalcolarelimnU(f, Pn) =

limnL(f, Pn) =∫ 1

0

f(x)dx =

D2© Facoltativo Dimostrare chen∑k=1

k3 =(n(n+ 1)

2

)2




Si consideri la funzione f il cuigrafico e riportato a lato

A© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt

B© Calcolare

F (−2) = , F (−1) = , F (1) = , F (2) = , F (4) =

C© Disegnare il grafico della funzione G(x) =∫ x0F (t)dt



D© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione F nel punto di ascissax = − 1

2





A© Determinare una primitiva di f su (−2, 0)

B© Determinare una primitiva di f su (0, 2)

C© Determinare tutte le primitive di f su (0, 2)

D© Determinare tutte le primitive di f su (−2, 0)

E© Calcolare una espressione in termini di funzioni elementari di F (x) =∫ x0f(t)dt

F© Determinare tutte le primitive di f su (−2, 1) \ {0}





f(x) =∫ x

x0

dt

t3 − 1

A© Disegnare il grafico di f per x0 = 0

B© Disegnare il grafico di f per x0 = 1

C© Disegnare il grafico di f al variare di x0 ∈ R



D© Per x0 = 2, calcolare f(3).




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = (y(x))3 − 1y(0) = 0

A© Disegnare il grafico dell’inversa della soluzione

B© Disegnare il grafico della soluzione

C© Esprimere l’inversa della soluzione in termini di funzioni elementari.




Si consideri l‘equazione differenziale

4y′′(x)− 4y(x)′ + y(x) = e12x + sin(x)

A© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

B© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa

C© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0

D© Determinare un sistema equivalente all’equazione omogenea e scrivere una matrice fondamentaleper il sistema


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta 03/06/2003

Undecima Prova Scritta 03/06/2003

Si consideri il sistema differenziale lineare{y′(x) = y(x) + 4z(x)z′(x) = y(x) + 4z(x) + ex

A© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo

B© Determinare l’integrale generale del sistema completo

Siaf(x) = x+ y2 e siaD = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 , y ≤ 1− |x− 1|}

C© Determinare massimi e minimi di f su D

D© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy




A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = ln(x2)

B2© Disegnare il grafico della funzione g(x) = 1x2+x

C2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di g nel punto (0, 12 )

D2© Disegnare il grafico della funzione f(g(x))




Si consideri la funzionef(x) = arctan(x+ x2)

A2© Determinare il polinomio di McLaurin P3 di f di grado almeno 3

B2© Scrivere il resto relativo al polinomio P3 nella forma di Peano e nella forma di Lagrange

C2© Calcolare

limx→0

f(x)− x− x2

x2

D2© Scrivere il resto di Lagrange relativo al polinomio di grado 2 e trovarne un maggiorantesu (−1/2, 1/2).




Si consideri la funzionef(x) = aex + bx

A2© Usare le condizioni necessarie per determinare gli eventuali punti di massimo o minimorelativi di f al variare di a e b

B2© Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti dimassimo e minimo sono punti di minimo

C2©Stabilire, usando le condizioni sufficienti, per quali valori di a e b, gli eventuali punti di

massimo e minimo sono punti di massimo

D2© Disegnare il grafico di f al variare di a e b




Si consideri la funzione g il cui grafico e riportato a lato

A2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g ove possibile e h(c) = 0

B2© Disegnare il grafico della funzione f tale che f ′′ = g ove possibile, f(c) = 0 e f ′(c) = 0,

C2© Scrivere la retta tangente al grafico di f in x = c

D2© Scrivere il polinomio di Taylor di secondo grado di f in x = c




Si consideri la funzionef(x) = x/3

e la partizione

Pn ={k

n: k = 0...n

}

A2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =

B2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =

C2© CalcolarelimnU(f, Pn) =

limnL(f, Pn) =∫ 1

0

f(x)dx =





A© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt

B© Calcolare

F (−2) = , F (−1) = , F (1) = , F (2) = , F (4) =

C© Disegnare il grafico della funzione G(x) =∫ x0F (t)dt



D© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione F nel punto di ascissax = − 1

2





A© Calcolare una espressione in termini di funzioni elementari di F (x) =∫ x0f(t)dt

B© Disegnare il grafico della funzione F (x) =∫ x0f(t)dt

C© Determinare tutte le primitive di f su (−2, 2) \ {0,−1}





f(x) =∫ x

x0

dt

t2 − 1

A© Disegnare il grafico di f per x0 = 0

B© Disegnare il grafico di f per x0 = 1

C© Disegnare il grafico di f al variare di x0 ∈ R



D© Per x0 = 2, calcolare f(3).




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = (y(x))2 − 1y(0) = 0

A© Disegnare il grafico dell’inversa della soluzione

B© Disegnare il grafico della soluzione

C© Esprimere l’inversa della soluzione in termini di funzioni elementari.




Si consideri l‘equazione differenziale

y′′(x)− 5y(x)′ + 6y(x) = ex + x

A© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

B© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa

C© Determinare la soluzione dell’equazione completa tale che y(0) = y′(0) = 0

D© Determinare un sistema equivalente all’equazione omogenea e scrivere una matrice fondamentaleper il sistema


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Undecima Prova Scritta R 03/06/2003

Undecima Prova Scritta R 03/06/2003

Si consideri il sistema differenziale lineare{y′(x) = 4y(x) + 2z(x) + ex

z′(x) = 4y(x) + 6z(x) + e5x

A© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo

B© Determinare l’integrale generale del sistema completo

Siaf(x) = x+ y e siaD = {(x, y ∈ R2 : x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 1− x}

C© Determinare massimi e minimi di f su D

D© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy




A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = x2 ln(1− x2)

B2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f per x0 = 12

C2© Scrivere il Polinomio di MacLaurin di f di grado 4. (Polinomio di Taylor con x0 = 0)

D2© Calcolare

limx→0

f(x)x4




Siaf(x) =

√x

A2© Calcolaref ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (IV )(x), f (V )(x)

B2© Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0

C2© Approssimare√

2 con il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in un opportuno punto.

D2© Maggiorare l’errore commesso


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 01 Aprile 2004

Terza Prova Scritta 01 Aprile 2004

Si considerino la funzionef(x) = x ln(1 + x)


B2© Disegnare il grafico di f

C2© Disegnare il grafico di una funzione h tale che h′ = f e h(0) = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova Scritta 01 Aprile 2004

D2© Disegnare il grafico dif(x2)




Si consideri la funzionef(x) = E(2x)

dove con E si indica la parte intera, e la partizione

Pn ={k

n: k = 0...n

}

A2© Calcolare le somme superiori si f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =

B2© Calcolare le somme inferiori si f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =

C2© Calcolare ∫ 1

0

f(x)dx =

∫ 1

0

f(x)dx =

∫ 1

0

f(x)dx =

Sia g la funzione il cui grafico e riportato a fianco

D3© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x1g(t)dt (E utile ricordare che G′ = g







f(x) =∫ x

2

e−t

ln(1 + t2) 3√t− 1

dt

A2© Determinare il campo di definizione di f

B2© Calcolare f ′(x)

C2© Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione di f

D3© Disegnare il grafico di f giustificando brevemente le affermazioni.

E2© Calcolare la derivata di

g(x) =∫ x4+x2

2

e−t

ln(1 + t2) 3√t− 1

dt





f(x) =

1x2

x ≤ −1−x −1 < x ≤ 0

1√x

0 < x < 1

1x2

+ 1 x ≥ 1


B2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x2f(t)dt



C2© Calcolare una primitiva di f su [−2, 0]

C2© Calcolare tutte le primitive di f su [−2, 0]





f(x) = x(e−x2

+ e−x)

A2© Calcolare una primitiva di f

B2© Calcolare ∫ 1

0

f(t)dt

C2© Calcolare ∫ +∞

0

f(t)dt

D2© Calcolare ∫ 1

−∞f(t)dt

E2© Calcolare tutte le primitive di f




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = ey(x) + e−y(x)

y(0) = 0

A2© Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato

B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema dato





yıv(x) = 2y′′(x)− y(x)− 1

A2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

B2© Determinare l’integrale generale dell’equazione completa

C2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa tale che

y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0




Si consideri l’equazione differenziale lineare{x(t) = x(t) + y(t) + e−t

y(t) = 4x(t)− 2y(t) + et

A2© Determinare l’integrale generale del sistema omogeneo associato

B2© Determinare l’integrale generale del sistema completo

C2© Determinare l’integrale generale del sistema completo tale che

x(0) = y(0)




Siaf(x) = sin(x) + cos(y − π)

e siaD = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, π], 0 ≤ y ≤ x+ π}

A© Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f su D.

B© Disegnare le curve di livello del piano tangente al grafico di f nel punto (π/4, π/4).

C© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy

D© Calcolare le derivate direzionali di f nel punto (π/4, π/4)




A2© Disegnare il grafico della funzione f(x) = xex

B2© Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f per x0 = 0

C2© Scrivere il Polinomio di MacLaurin di f di grado 4. (Polinomio di Taylor con x0 = 0)




Siaf(x) = ex

A2© Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0

C2© Approssimare√e con il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in un opportuno punto.

D2© Maggiorare l’errore commesso




Si consideri la funzionef(x) = x arctan(x)


B2© Disegnare il grafico di f

C2© Disegnare il grafico di una funzione h tale che h′ = f e h(0) = 0






Si consideri la funzionef(x) = x− 1/2

e la partizione

Pn ={k

n: k = 0...n

}

A2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =

B2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =

C2© Calcolare ∫ 1

0

f(x)dx =

∫ 1

0

f(x)dx =

∫ 1

0

f(x)dx =





f(x) =∫ x

2

e−t

(1 + t2) 3√t− 1

dt


B2© Calcolare f ′(x)

C3© Disegnare il grafico di f giustificando brevemente le affermazioni.





f(x) =

x2 x ≤ −1−x −1 < x ≤ 0√x 0 < x < 1

1x

x ≥ 1





C2© Calcolare tutte le primitive di f su [−2, 0]





f(x) = xex

A2© Calcolare una primitiva di f

B2© Calcolare ∫ 1

0

f(t)dt

C2© Calcolare ∫ +∞

0

f(t)dt


−∞f(t)dt




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = y(x)− 1y(0) = 0

A2© Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato

B2© Disegnare il grafico della soluzione del problema dato





y′′′(x) = y′′(x) + 1

A2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata

B2© Determinare l’integrale generale dell’equazione completa

C2© Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea completa tale che

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0




Si consideri l’equazione differenziale lineare{x(t) = x(t) + y(t) + et

y(t) = x(t) + y(t)




x(0) = y(0)




Siaf(x) = xy + y2

e siaD = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ 1− x}

A© Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f su D.

B© Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1).

C© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy




Si considerif(x) =

√x

A2© Determinare il polinomio di Taylor di f , di grado 3, centrato in x0 = 1

B2© Determinare il resto della formula di Taylor relativa al polinomio di cui al punto precedentenella forma di Peano ed in quella di Lagrange.

C2© Determinare il polinomio di McLaurin di

g(x) =√

1− x2

di grado 2

D2© Determinare una espressione razionale che approssimi√

0.5 e maggiorare l’errore commessosostituendo a

√0.5 tale espressione




Si considerif(x) = arctan((e2x − 1)5)


x

y

B2© Disegnare il grafico di una funzione g tale che g′ = f

x

y

C2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g e h(0) = 1 e h′(0) = 1



x

y

D2© Scrivere il polinomio di Mclaurin di h di grado 2




Si consideri la funzionef(x) = E(x3 + 1)


Pn ={k

n: k = −n...n

}


B2© Calcolare le somme superiori di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =

C2© Calcolare le somme inferiori di f rispetto alla partizione PnL(f, Pn) =


−1

f(x)dx =

∫ 1

−1

f(x)dx =

∫ 1

−1

f(x)dx =

D2© Calcolare, per x ∈ [−1, 1] ∫ x

0

f(t)dt =




Calcolare

A2©∫ 1

01

2t2+1dt

B2©∫ 1

0et√et+1

dt

C2©∫ π/40

sin(t)cos2(t)+1dt

D3©∫ 2

1t ln(t)dt

E2©∫ 3

2t+1t−1dt

F2©∫ 3

−2t+1t−1dt

G2© Determinare una primitiva di t+1t−1

H2© Determinare tutte le primitive di t+1t−1





f(x) =∫ x

a

1t3 − t

dt

A2© Determinare, al variare di a, il campo di definizione di f

B2© Calcolare f ′(x).

C2© Studiare al variare di a crescenza e decrescenza di f .

D3© Disegnare il grafico di f , giustificando brevemente le affermazioni.

E2© Stimare (trovare un maggiorante ed un minorante di) x3−x per x ∈ [10, 20] ed approssimare∫ 20

101

t3−tdt




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) = sin(y(x))y(0) = a

A2© Disegnare il grafico della soluzione per a = 1, precisandone il campo di definizione.

B2© Disegnare il grafico della soluzione per a = 5, precisandone il campo di definizione.



C2© Disegnare il grafico della soluzione al variare di a, precisandone il campo di definizione.

D3© Determinare esplicitamente la soluzione per a = π/2, precisandone il campo di definizione.

E3© Determinare esplicitamente la soluzione per a = 0, precisandone il campo di definizione.




Siano a, b, c funzioni continue su R ed y, u, v le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy{y′(x) = (a(x) + b(x))y(x)y(0) = 1{

u′(x) = a(x)u(x)u(0) = 1{v′(x) = b(x)v(x)v(0) = 1

A2© Giustificare il fatto che y, u, v sono unicamente determinati

B2© Verificare che z(x) = u(x)v(x) e soluzione del problema di Cauchy{z′(x) = (a(x) + b(x))z(x)z(0) = 1

C2© Dimostrare chey(x) = u(x)v(x)

D3© Per a(x) = x e b(x) = 0, determinare esplicitamente y(x).

E3© Determinare esplicitamente la v, precisandone il campo di definizione.




Si consideri

y′′′ − 8y(x) + e2x + 1 + sin(x) = 0

A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.

B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata tali che

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea.




Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{x(t) = 4x(t) + y(t) + sin(t)y(t) = −2x(t) + y(t) + t




x(0) = y(0) = 0

D2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associatoal sistema assegnato.





f(x, y) = ex ln(y2)


B2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (0, 1).


D2© Calcolare le derivate direzionali, la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana di fin (x0, y0) = (0, 1)

E2© Stabilire se esistono punti di massimo e di minimo relativo per f nel suo campo didefinizione.




A2© Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,y√3≤ x ≤

√3y}

B2© Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,

√y2 + x2

√3

≤ z ≤√

3√y2 + x2}

C2© Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ,y√3≤ x ≤

√3y ,

√y2 + x2

√3

≤ z ≤√

3√y2 + x2}




Si considerif(x) = cos(

√x/3)

A2© Determinare il polinomio di Taylor di f , di ordine 3, centrato in x0 = 0

B2© Determinare un maggiorante per il resto della formula di Taylor relativa al polinomio dicui al punto precedente.

C2© Determinare un numero razionale che approssimi f(9π2) e maggiorare l’errore commessosostituendo a f(9π2) tale espressione




Si considerif(x) = arctan((e2x − 1)5)


x

y

B2© Disegnare il grafico di una funzione g tale che g′ = f

x

y

C2© Disegnare il grafico della funzione h tale che h′ = g e h(0) = 1 e h′(0) = 1



x

y

D2© Scrivere il polinomio di Mclaurin di h di ordine 2




Si consideri la funzionef(x) = x+ 1


Pn ={−1 +

k

n: k = 0...n

}





−1

f(x)dx =

∫ 0

−1

f(x)dx =

∫ 0

−1

f(x)dx =

D2© Calcolare, per x ∈ [−1, 0] ∫ x

0

f(t)dt =




Calcolare

A2©∫ 1

01

t2+2dt

B2©∫ e1

ln(t)t dt

C2©∫ π/40

sin(t)cos(t)dt

D3©∫ 2

1tetdt

E2©∫ 3

2t

t2−1dt

G2© Determinare una primitiva di tt2−1

H2© Determinare tutte le primitive di tt2−1





f(x) =∫ x

a

1t3 + 4t2

dt

A2© Determinare, al variare di a, il campo di definizione di f

B2© Calcolare f ′(x).

C2© Studiare al variare di a crescenza e decrescenza di f .

D3© Disegnare il grafico di f , giustificando brevemente le affermazioni.




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x) =

√sin(y(x))

y(0) = a

A2© Disegnare il grafico della soluzione per a = 0, precisandone il campo di definizione.

B2© Disegnare il grafico della soluzione per a = π/2, precisandone il campo di definizione.




Si consideri il problema di Cauchy{y′(x)− xy(x) = xy(x0) = y0

A2© Discutere esistenza ed unicita della soluzione.

B2© Determinare la soluzione del problema di Cauchy per x0 = 0, y0 = 0

C2© Determinare la soluzione del problema di Cauchy al variare di x0, y0




Si consideri

y′′ + 16y(x) + sin(4x) = 0

A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.

B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata tali che

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa.




Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{x(t) = −x(t)− 3y(t)y(t) = 2x(t) + 4y(t) + t




x(0) = y(0) = 0






f(x, y) =e−x

ln(y2)


B2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (0,√e).


D2© Calcolare le derivate direzionali, la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana di fin (x0, y0) = (0,

√e)





A2© Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2}

B2© Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2 , x ≥ 0}

C2© Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ,x√3≤ y ≤

√3x}


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Recupero Totale 16/06/2005

Recupero Totale 16/06/2005


f(x) = arctan(a√|x|)− ln(bx)

A3© Disegnare il grafico di f per a = −2 e b = −1

x

y

B3© Disegnare il grafico di f per a = −2 al variare di b

C2© Verificare che, per a = 1 e b = 1, f e invertibile per x ∈ [−5,+∞) e calcolare

f−1(a), dove a = arctan(−3)− ln(9)


F (x) =∫ x

0

f(t)dt

.

x

y


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Recupero Totale 16/06/2005


y′′(x) + (y′(x))3 = 1

A3© Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione tale che y(0) = 0, y′(0) = 0.

x

y

B3© Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione tale che y(0) = 5, y′(0) = 0.

x

y

C3© Determinare la soluzione dell’equazione tale che y(0) = 0, y′(0) = 0.




Si considerif(x) =

11− x

A2© Calcolare esplicitamente f (n)(x)

B2© Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0 = 0



C2© Stimare l’errore che si commette sostituendo ad 11−x il polinomio 1+x+x2+x3 per x ∈ [0, 1/2].

D2© Determinare n in modo che 11−x si possa approssimare con

∑n0 x

k a meno di 10−5 perx ∈ [0, 1/2].





1x

e la partizionePn =

{ekn : k = 0..n

}






D2© Calcolare ∫ e

1

f(x)dx =

∫ e

1

f(x)dx =

∫ e

1

f(x)dx =

D2© Usando la partizioneP xn =

{ekn ln x : k = 0..n

}calcolare, per x ∈ [1, e] ∫ x

1

f(t)dt =





f(x) =

1 −3 ≤ x < −2x −2 ≤ x < −1−1 −1 ≤ x < 01 0 ≤ x < 1x 1 ≤ x < 2x− 4 2 ≤ x ≤ 4





C2© Calcolare F (2), F (3) ed F (0)

D2© Calcolare F (4)− F (1)

D2© Studiare la derivabilita di F





f(x) =6

2 + x2, g(x) = E(f(x))


B2© Disegnare il grafico di g



C2© Disegnare il grafico di F (x) =∫ x0f(t)dt

D2© Disegnare il grafico di G(x) =∫ x0g(t)dt

D2© Scrivere il polinomio di McLaurin di F di grado 3




Calcolare una primitiva delle seguenti funzioni

A2©f(x) = x2 +

2x

+ 1

A2©f(x) = ln(x)

A2©f(x) =

11 + x2

A2©f(x) =

x

1 + x2

A2©f(x) = arctan(x)

A2©f(x) =

1|x− 1|

A2©f(x) =

x

x− 1



A2©f(x) = ex sin(ex)

A2©f(x) = cos(x)esin(x)

A2©f(x) = xex

2

A2©f(x) =

1x2 − 1

A2©f(x) = sin(2x+ 1)

A2©f(x) = sin(2x) + 1

A2©f(x) =

√x2 − 1





y′(x) =y2(x) + 1

x

A2© Stabilire per quali valori a, b il problema di Cauchy definito dall’equazione differenzialedata e dal dato iniziale y(a) = b ammette una soluzione e per quali valori la soluzione eunica.

B2© Determinare la soluzione del problema per a = 1 e b = 0



C2© Determinare la soluzione del problema per a = −1 e b = 4

D2© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data al variare dei dati iniziali a, b





y′′(x)− 2y′(x) + y(x) = x+ ex

A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione data.

B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data.



C2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = 0, y′(0) = 0.

D2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogeneaassociata all’equazione data.




Si consideri il sistema di equazioni differenziali linearix(t) = −x(t)− 3y(t)y(t) = 2x(t) + 4y(t)z(t) = 2x(t) + 4y(t) + e3t






x(0) = y(0) = 0






f(x, y) =x2 + y2

xy


B2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (1, 1).




D2© Calcolare le derivate direzionali, la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana di fin (x0, y0) = (1, 1)






f(x, y) = xy

e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 , (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≥ 1}

A2© Calcolare massimi e minimi assoluti di f in D



B2© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Prima Prova Scritta 06/03/2006

R-Prima Prova Scritta 06/03/2006

A2© Calcolare 5√e a meno di 0.00001


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Seconda Prova Scritta 16/03/2006

R-Seconda Prova Scritta 16/03/2006

Si consideri la funzionef(t) = x

e la partizione

Pn ={k

2n: k = 0..2n

}

A2© Calcolare le somme superiori U(f, Pn) di f rispetto alla partizione PnU(f, Pn) =

B2© calcolare ∫ 1

0

f(t)dt =


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Terza Prova Scritta 23/03/2006

R-Terza Prova Scritta 23/03/2006

Si consideri la funzionef(x) = x− E(x)



C2© Calcolare F (4)− F (1)


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Quarta Prova Scritta 23/03/2006

R-Quarta Prova Scritta 23/03/2006

Si consideri la funzionef(x) = E(sin(x))




Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Quinta Prova Scritta 06/04/2006

R-Quinta Prova Scritta 06/04/2006

Calcolare una primitiva delle seguenti funzioni

A2©f(x) =

11− x2

A2©f(x) = ex sin(x)

A2©f(x) =

1sin(x)

A2©f(x) =

12x ln(x)


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Sesta Prova Scritta 29/04/2006

R-Sesta Prova Scritta 29/04/2006

Si consideri l’equazione differenziale{y′(x) =

x

y2(x) + 1y(a) = b

A2© Determinare la soluzione del problema per a = 1 e b = 0

B2© Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data al variare dei dati iniziali a, b


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Settima Prova Scritta 29/04/2006

R-Settima Prova Scritta 29/04/2006


y′′(x)− 16y′(x) = sin(x)

A2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione data.

B2© Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data.

C2© Determinare una base per lo spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogeneaassociata all’equazione data.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Ottava Prova Scritta 11/05/2006

R-Ottava Prova Scritta 11/05/2006

Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari{x(t) = 2x(t)− y(t) + 1y(t) = 4x(t) + 7y(t) + et




Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Nona Prova Scritta 18/05/2006

R-Nona Prova Scritta 18/05/2006


f(x, y) =√

1− x2y

A2© Determinare il gradiente di f e, se esiste il piano tangente al grafico di f in (x0, y0) = (0, 1).

B2© Disegnare le curve di livello di f

C2© Calcolare le derivate direzionali di f in (x0, y0) = (1, 1)


Analisi matematica 2 - Polo di Savona R-Decima Prova Scritta 26/05/2006

R-Decima Prova Scritta 26/05/2006


f(x, y) = x2 − y2

e l’insiemeD = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}

A2© Calcolare massimi e minimi assoluti di f in D

B2© Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Prima Prova parziale 08/03/2007

Prima Prova parziale 08/03/2007

Si considerif(x) =

√x

<A> Calcolare esplicitamente f (n)(x)

 Scrivere il polinomio di Taylor di f centrato in x0 = 1

<C> Calcolare√

1.5 a meno di 0.001


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Seconda Prova parziale 15/03/2007

Seconda Prova parziale 15/03/2007

Si considerif(x) =

√x2 − x

<A> Studiare crescenza e decrescenza di f

 Studiare la convessita di f

<C> Studiare l’invertibilita di f

<D> Disegnare il grafico di f

<E> determinare l’inversa di f ristretta agli x > 4


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Terza Prova parziale 22/03/2007

Terza Prova parziale 22/03/2007

Sia

f(x) ={x x ∈ [0, 1)1 x ∈ [1, 2]

<A> Determinare la partizione Pn ottenuta dividendo l’intervallo [0, 2] in 2n parti uguali.

 Determinare le somme superiori e le somme inferiori di f rispetto alla partizione Pn

<C> Calcolare l’integrale inferiore e l’integrale superiore di f su [0, 2]

<D> Calcolare l’integrale di f su [0, 2]


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova parziale 29/03/2007

Quarta Prova parziale 29/03/2007

<A> Si consideri la funzione F che associa ad x ∈ R l’integrale esteso all’intervallo di estremix0 = 2 ed x della funzione f il cui grafico e riportato nella figura seguente.

Disegnare il grafico di F enunciando le proprieta che si possono dedurre dalle informazionifornite e giustificando le affermazioni fatte.

 Si consideri poi la funzione che associa ad x ∈ R l’integrale esteso all’intervallo di estremix0 = 2 ed x della funzione E(f(·))Disegnare il grafico di F enunciando le proprieta che si possono dedurre dalle informazioni

fornite e giustificando le affermazioni fatte.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quarta Prova parziale 29/03/2007


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Quinta Prova parziale 19/04/2007

Quinta Prova parziale 19/04/2007

<A> Si consideri la funzione F definita da:

F (x) =∫ x

0

e−t√|t+ 1| 3

√(t2 − 1)

dt

 Determinare il campo di definizione di F

<C> Studiare la derivabilita di f e calcolare F ′

<D> Studiare crescenza e decrescenza di F

<E> Disegnare il grafico di F giustificando le affermazioni fatte.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova parziale 03/05/2007

Sesta Prova parziale 03/05/2007


y′(x) = 4y2(x)− 9

con il dato iniziale y(x0) = y0

<A> Determinare la soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 2

 Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 2

<C> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 1.5

<D> Determinare la soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Sesta Prova parziale 03/05/2007

<E> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione con dato iniziale x0 = 0, y0 = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Settima Prova parziale 10/05/2007

Settima Prova parziale 10/05/2007


y′′′(x) = 27y(x) + 1− ex

<A> Determinare la soluzione dell’equazione omogenea associata all’equazione data.

 Determinare la soluzione dell’equazione data.

<C> Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata all’equazione data tali chey(0) = 0, y′(0) = 0

<D> Determinare la soluzione dell’equazione data tale che y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Ottava Prova parziale 17/05/2007

Ottava Prova parziale 17/05/2007

Si consideri il sistema di equazioni differenziali{x(t) = x(t) + 3y(t) + sin(x)y(t) = 2x(t) + 2y(t) + 1

<A> Determinare la soluzione del sistema omogeneo associato al sistema dato.

 Determinare la soluzione del sistema dato.

<C> Determinare le soluzioni del dato tali che x(0) = 0, y(0) = 0

<D> Determinare due soluzioni linearmente indipendenti del sistema omogeneo associato alsistema dato.


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Nona Prova parziale 24/05/2007

Nona Prova parziale 24/05/2007


f(x, y) =x2y

y + x2

<A> Disegnare le curve di livello di f

 Determinare il piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)

<C> Calcolare le derivare direzionali di f in (1, 1) rispetto alle direzioni (a, b).

<D> Determinare la matrice Hessiana e la forma quadratica Hessiana nel punto (1, 1)


Analisi matematica 2 - Polo di Savona Decima Prova parziale 31/05/2007

Decima Prova parziale 31/05/2007


f(x, y) = x2y + y2x

eD = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}

<A> Calcolare massimi e minimi assoluti di f su D

 Calcolare ∫ ∫D

f(x, y)dxdy

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Analisi Matematica 1 Prove Parziali e d’Esame A.A. 1999/2007web.inge.unige.it/DidRes/Analisi/PrA1A2.pdf · Analisi Matematica 1 - Polo di Savona Analisi Matematica 1 Prove Parziali