Analisi Matematica 1 - web.inge.unige.itweb.inge.unige.it/DidRes/Analisi/Analisi1.pdf · 4 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 25 Novembre 1998 - (2a prova parziale)

Universita degli Studi di GenovaFacolta di Ingegneria - Polo di Savona

via Cadorna 7 - 17100 SavonaTel. +39 019 264555 - Fax +39 019 264558

Analisi Matematica 1

Testi d’esame e Prove parziali

1a prova - 21 Ottobre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2

2a prova - 25 Novembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 4

3a prova - 16 Dicembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 6

Esame - 20 Gennaio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 8

Esame - 8 Febbraio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 10

Esame - 24 Febbraio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 12

Esame - 14 Giugno 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 13

Esame - 12 Luglio 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14

Esame - 10 Settembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16

1a prova - 5 Novembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 18

2a prova - 26 Novembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 20

3a prova - 17 Dicembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 22



Esame - 21 Febbraio 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28

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2 Analisi Matematica I

ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 21 Ottobre 1998 - (1a prova parziale) 1h

a) Si consideri l’insieme

A ={

2x− 1x2 + 2

, x ∈ R}

.

- Determinare supA.- E vero che supA = maxA ?

Si osservi che 2x−1x2 +2 e definito per ogni x reale.

Per determinare l’estremo superiore di A cerchiamone i maggioranti: m e un maggiorante di A se e solose

2x− 1x2 + 2

≤ m ∀x ∈ R .

Sviluppando i calcoli si ottiene (essendo x2 + 2 sempre positivo)

mx2 − 2x+ 2m+ 1 ≥ 0

che e verificata per ogni x ∈ R se e solo se il primo coefficiente e maggiore di zero ed il discriminante e minoreod uguale a zero, ovvero {

m > 0−2m2 −m+ 1 ≤ 0

cioe {m > 0m ≤ −1 ∪ m ≥ 1

2

Pertanto m e maggiorante di A se e solo se m ≥ 12 ; ne segue che il minimo dei maggioranti, ovvero

l’estremo superiore di A e 12 .

Per quanto riguarda la seconda domanda, poiche l’equazione

2x− 1x2 + 2

=12

ha come soluzione x = 2, si ha che 12 ∈ A ovvero 1

2 e anche il massimo di A.

2) Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:

Disegnare i grafici di

f1(x) = |f(x)| , f2(x) = f(|x|) , f3(x) = 2f(x) , f4(x) = f(x+ 1)

Per quanto riguarda f1 sara sufficiente ribaltare la parte negativa di f .

Analisi Matematica I 3

Per quel che riguarda f2 si osservi che, se x ≥ 0 risulta f2(x) = f(x), ed inoltre f2 e pari, per cui il suografico sara simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Per disegnare il grafico di f3 e sufficiente moltiplicare per 2 la scala delle ordinate.Infine, il grafico di f4 sara semplicemente la traslazione di un’unita verso sinistra del grafico di f .I quattro grafici richiesti saranno pertanto


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 25 Novembre 1998 - (2a prova parziale) 1h

a) Si consideri la successione {an+1 = 1

12 a2n + 3

a1 = 2

- Provare che an e crescente.- Determinare il limite di an .

La successione an e crescente se e solo se an+1 ≥ an per ogni n, ovvero se e solo se

112a2n + 3 ≥ an ∀n ∈ N .

Sviluppando i calcoli cio e vero se e solo se

a2n − 12an + 36 ≥ 0 ∀n ∈ N

che risulta sempre vero, essendo il primo membro uguale ad (an − 6)2 .

Per quanto riguarda la seconda domanda, poiche lasuccessione e crescente, esistera sicuramente il limite dian ; tale limite (che coincide con l’estremo superiore) puoessere a ∈ R oppure +∞. (Dalla figura a fianco si puofacilmente desumere che il limite e reale e vale 6)

Proviamo pertanto che an e limitata superiormenteda 6, ovvero che

an ≤ 6 ∀n ∈ N

Utilizzando l’induzione si ha, per n = 1, a1 = 2 ≤ 6che e vero.

Supponendo poi an ≤ 6 proviamo che an+1 ≤ 6; latesi e vera se e solo se 1

12 a2n + 3 ≤ 6 ovvero se e solo se

a2n ≤ 36 che risulta vera per l’ipotesi (ricordando che an

e crescente e quindi maggiore di a1 = 2 > 0).Pertanto essendo an limitata, si ha lim an = a ∈ R.

Per calcolare il valore di a sara sufficiente passare al limite nella relazione di ricorrenza (ricordandoche lim an+1 = a) dalla quale si ottiene

a =112a2 + 3 ovvero a = 6 .

b) Sia f : R→ R definita da

f(x) =

−x2 + 4 , x ≤ 0x+ 4 , 0 < x ≤ 3−x+ 13 , 3 < x ≤ 61− (x− 6)2 , x > 6

- Disegnare il grafico di f .- Determinare il piu grande intervallo che contiene l’origine in cui f e invertibile, disegnare

il grafico dell’inversa g e trovare, se possibile, g(9).- Determinare una espressione esplicita di g.


Il grafico di f risulta

Si noti che f : (−∞, 6)→ (−∞, 10) e iniettiva (e non lo e su intervalli piu grandi contenenti l’origine);infatti f : (−∞, 3]→ (−∞, 7] e strettamente crescente, mentre f : (3, 6)→ (7, 10) e strettamente decrescente.

Pertanto l’intervallo richiesto e (−∞, 6).Il grafico dell’inversa g : (−∞, 10)→ (−∞, 6) e

e, poiche f(4) = 9, risulta g(9) = 4.Una espressione esplicita di g e (trovando l’inversa sui vari intervalli)

g(x) =

−√

4− x , x ≤ 4x− 4 , 4 < x ≤ 7−x+ 13 , 7 < x < 10


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 16 Dicembre 1998 - (3a prova parziale) 1h

1) Calcolare, se esiste, al variare del parametro α ∈ R

limx→0+

arctan(αx)− 2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2 +

√αx

Intanto deve essere α ≥ 0 affinche la funzione sia definita.Consideriamo prima il caso α > 0:il numeratore e la somma di tre funzioni infinitesime:

arctanαx di ordine 1

− 2x3 di ordine 31− cos(2x) di ordine 2

mentre il denominatore e la somma di tre funzioni infinitesime:

sin(x3) di ordine 3

− x2 di ordine 2√αx di ordine 1

Pertanto

limx→0+

arctan(αx)− 2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2 +

√αx

= limx→0+

arctan(αx)√αx

= limx→0+

arctan(αx)αx

√α =√α

Se invece α = 0 allora il limite diventa

limx→0+

−2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2

e per le considerazioni fatte sopra si ha, (tenendo come sempre gli ordini inferiori)

limx→0+

−2x3 + 1− cos(2x)sin(x3)− x2 = lim

x→0+

1− cos(2x)−x2 = lim

x→0+−4

1− cos(2x)(2x)2 = −4

12

= −2

2) Si consideri, al variare di a, b ∈ R, la funzione

f(x) ={

ln(1 + x− x2) x ≤ 0−3x2 + (2a− b+ 3)x− (a+ b− 2) x > 0

a) Determinare a e b in modo che f risulti continua sul suo dominio.b) Determinare a e b in modo che f risulti derivabile sul suo dominio.c) Per i valori di a e b per i quali f e derivabile, disegnare il grafico di f .

Per quel che riguarda il dominio di f dovra essere, per x ≤ 0, 1 + x− x2 > 0 ovvero x ∈ ( 1−√

52 , 0].

Essendo formata a tratti da funzioni continue, f risulta quindi continua in ( 1−√

52 , 0) ed in (0,+∞).

Resta da verificare la continuita in 0. Poiche

limx→0−

ln(1 + x− x2) = 0

limx→0+

−3x2 + (2a− b+ 3)x− (a+ b− 2) = 2− a− b


dovra risultare 0 = 2− a− b ovveroa+ b = 2 .

Per quanto riguarda la derivabilita, ancora come sopra f risulta derivabile (in quanto formata da funzioniderivabili) in ( 1−

√5

2 , 0) ed in (0,+∞).Nell’origine si ha

limx→0−

f ′(x) = limx→0−

1− 2x1 + x− x2 = 1

limx→0+

f ′(x) = limx→0+

−6x+ (2a− b+ 3) = (2a− b+ 3)

Dovra quindi risultare 2a− b+ 3 = 1, che unita alla condizione di continuita sopra trovata, fornisce

a = 0 , b = 2 .

Disegnamo ora (nel caso a = 0 e b = 2) il grafico di

f(x) ={

ln(1 + x− x2) 1−√

52 < x ≤ 0

−3x2 + x x > 0

Si halim

x→ 1−√

52

f(x) = limx→ 1−

√5

2

ln(1 + x− x2) = −∞

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

−3x2 + x = −∞

Intersezioni con gli assi: per x = 0, f(0)=0; inoltre per x ≤ 0, ln(1 + x− x2) = 0 fornisce 1 + x− x2 = 1ovvero x = 0 (e x = 1 non accettabile); infine, per x > 0, −3x2 + x = 0 fornisce x = 1

3 (e x = 0).Crescenza e decrescenza: essendo

f ′(x) ={

1−2x1+x−x2

1−√

52 < x ≤ 0

−6x+ 1 x > 0

dallo studio di f ′(x) ≥ 0, si ha, per x ≤ 0, 1−2x1+x−x2 ≥ 0, e ricordando che il denominatore e sempre positivo,

risulta x ≤ 12 , ovvero sempre verificato (essendo x ≤ 0); infine, per x > 0, si ha −6x+ 1 ≥ 0 ovvero x ≤ 1

6 .In conclusione f risulta crescente in ( 1−

√5

2 , 16 ] (il suo massimo si ha per x = 1

6 e vale 112 ) e quindi il

grafico e:


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 20 Gennaio 1999 1h

• Si consideri la funzionef(x) =

1e(x−1) 2 − 4

.

a) Disegnare il grafico di f .

f risulta definita per e(x−1) 2 − 4 6= 0, ovvero per x 6= 1±√

ln 4.Si ha f(0) = 1

e−4 mentre f non si annulla mai.Inoltre

f(x) > 0 se e solo se x ∈ (−∞, 1− 1−√

ln 4) ∪ (1 +√

ln 4,+∞)

elim

x→ (1−√

ln 4)−f(x) = +∞ , lim

x→ (1−√

ln 4)+f(x) = −∞

limx→ (1+

√ln 4)−

f(x) = −∞ , limx→ (1+

√ln 4)+

f(x) = +∞

limx→−∞

f(x) = 0 , limx→+∞

f(x) = 0

Calcolando la derivata prima

f ′(x) = − 1(e(x−1) 2 − 4)2 2(x− 1)e(x−1) 2

essa risulta positiva per x < 1, x 6= 1−√

ln 4 ; pertan-to f sara crescente in (−∞, 1−

√ln 4)∪(1−

√ln 4, 1).

Il grafico di f risultera pertanto:

(Si poteva piu semplicemente disegnare la fun-zione pari ex

2, quindi traslarla a sinistra di 1 ed in

basso di 4, e infine disegnarne la reciproca).

b) Calcolare, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f , per x = 0.

f e derivabile in 0 e quindi l’equazione della retta richiesta e

y = f(0) + f ′(0)x =1

e− 4+

2e(e− 4)2 x

c) Determinare, se esiste, l’inversa di f su [0, 1].

Poiche si e gia visto che f risulta strettamente crescente in [0, 1], allora f : [0, 1]→ [ 1e−4 ,−

13 ] e invertibile

e risolvendo x = f(f−1(x)) = 1e( f − 1 (x )− 1) 2 −4

si ottiene

f−1(x) = 1−

√ln(

4 +1x

)x ∈

[1

e− 4,−1

3

]ove si e scelto il segno negativo della radice perche f−1(x) ∈ [0, 1].


• Si consideri la successione {an+1 = 2an − 1a1 = 3

a) Verificare che, per ogni n naturale, an = 1 + 2n .

Per n = 1 si ha a1 = 1 + 21 = 3, che risulta vero.Supponendo ora an = 1 + 2n , si ottiene

an+1 = 2(1 + 2n )− 1 = 1 + 2n+1

e quindi il risultato e provato per induzione.

b) Calcolare, se esiste, l’ordine di infinito di ln an .

Per quanto visto sopra

ln an = ln(1 + 2n ) = ln[2n (1 + 2−n ] = ln(2n ) + ln(1 + 2−n ) = n ln 2 + ln(1 + 2−n )

Poiche ln(1 + 2−n )→ 0, la parte che e infinita risulta n ln 2, che ha ordine 1.(In altre parole ln(1 + 2n ) si comporta all’infinito come ln(2n ) = n ln 2).


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 8 Febbraio 1999 1h

• Si consideri la funzione

f(x) ={ax2 + x+ b , se x ≥ 0ex + c , se x < 0

a) Determinare a, b, c ∈ R in modo che f sia continua su R.

f risulta sicuramente continua per x 6= 0. Inoltre

limx→0−

f(x) = limx→0−

ex + c = c+ 1 , limx→0+

f(x) = limx→0+

ax2 + x+ b = b = f(0)

per cui f sara continua su tutto R se e solo se b = c+ 1.

b) Determinare a, b, c ∈ R in modo che f sia derivabile su R.

f risulta sicuramente derivabile per x 6= 0 e vale

f ′(x) ={

2ax+ 1 , se x > 0ex , se x < 0

Supponiamo ora, come visto al punto precedente, che sia b = c + 1, e studiamo la derivabilita in x = 0.Poiche i limiti delle derivate esistono e valgono

limx→0−

f ′(x) = limx→0−

ex = 1 , limx→0+

f ′(x) = limx→0+

2ax+ 1 = 1

allora f ′(0) = 1 e f e derivabile su tutto R se e solo se b = c+ 1.

• Si consideri la funzioneg(x) =

1ln(1 + x2)− 1

a) Disegnare il grafico di g.

g risulta definita per ln(1 + x2)− 1 6= 0, ovvero per x 6= ±√

e− 1.Si ha g(0) = −1 mentre g non si annulla mai.Inoltre

g(x) > 0 se e solo se ln(1 + x2) > 1

ovvero1 + x2 > e se e solo se x ∈ (−∞,−

√e− 1) ∪ (

√e− 1,+∞)

elim

x→ (−√

e−1)−g(x) = +∞ , lim

x→ (−√

e−1)+g(x) = −∞

limx→ (

√e−1)−

g(x) = −∞ , limx→ (

√e−1)+

g(x) = +∞

limx→−∞

g(x) = 0 , limx→+∞

g(x) = 0

Calcolando la derivata prima

g′(x) = − 1(ln(1 + x2)− 1)2

11 + x2 2x


essa risulta positiva per x < 0, x 6= −√

e− 1 ; pertan-to g sara crescente in (−∞,−

√e− 1)∪(−

√e− 1, 0).

Il grafico di g risultera pertanto:

(Si poteva piu semplicemente disegnare la fun-zione pari ln(1 + x2), quindi traslarla in basso di 1,e infine disegnarne la reciproca).

b) Calcolare, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di g, per x = 1.

g e derivabile in 1 e quindi l’equazione della retta richiesta e

y = g(1) + g′(1)(x− 1) =1

ln 2− 1− 1

ln 2− 1(x− 1)

c) Determinare, se esiste, l’inversa di g su [−1, 0].

Si e gia visto che g risulta strettamente crescente in [−1, 0], allora g : [−1, 0]→ [ 1ln 2−1 ,−1] e invertibile

e risolvendo x = g(g−1(x)) = 1ln(1+( g− 1 (x)) 2−1 si ottiene

g−1(x) = −√

e1+ 1x − 1 x ∈

[1

ln 2− 1,−1

]ove si e scelto il segno negativo della radice perche g−1(x) ∈ [−1, 0].


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 24 Febbraio 1999 1h

• Si consideri la successione definita da{an+1 = a2

n − an + 1a1 = 2

a) Stabilire se an e crescente.

an e crescente se e solo se an+1 ≥ an per ogni n ∈ N, ovvero se e solo se

a2n − an + 1 ≥ an ⇔ (an − 1)2 ≥ 0

che e vero per ogni n ∈ N.Pertanto an e crescente.

b) Calcolare, se esistono, lim an , inf{an}, sup{an}, min{an}, max{an}.Poiche an e crescente esiste il lim an = sup{an} e tale limite puo essere o +∞ o reale (= a).Se e reale, passando al limite nella definizione di an , si ha

a = a2 − a+ 1 ovvero a = 1

che e impossibile perche a1 = 2 e an e crescente.Pertanto lim an = +∞; da cui sup{an} = +∞ e non esiste max{an}.Inoltre, sempre per la crescenza di an , inf{an} = min{an} = a1 = 2.

• Si consideri la funzionef(x) = 2− 3x+ 2 ln(x+ 1)

a) Disegnare il grafico di f .

f e definita per x+ 1 > 0 ovvero x > −1. Inoltre f(0) = 2 e

limx→− 1

2− 3x+ 2 ln(x+ 1) = −∞ , limx→+∞

2− 3x+ 2 ln(x+ 1) = −∞

Calcolando la derivata prima si ha

f ′(x) = −3 +2

x+ 1

che e positiva (essendo x > −1), per −1 < x < − 13 .

f risulta pertanto crescente in (−1,− 13 ] e decre-

scente in [− 13 ,+∞) e il suo grafico e:

b) Determinare il piu grande intervallo contenente 0 in cui f e invertibile.

Si e gia visto che f e strettamente decrescente in [− 13 ,+∞) e quindi e ivi invertibile (e non su intervalli

piu grandi).

c) Calcolare, se esiste, (f−1)′(2).

Poiche f(0) = 2 ed f ′(0) = −1 si avra, per il teorema di derivazione della funzione inversa

(f−1)′(2) =1

f ′(0)= −1


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 14 Giugno 1999 1h

• Si consideri la successione definita da{an+1 = 6− an

2a1 = 3

2

a) Verificare che an = 2 + (−1)n

2n

E possibile verificare quanto richiesto per induzione: infatti si ha a1 = 2− 12 = 3

2 e

an+1 =6− an

2=

6− 2− (−1)n

2n

2= 2− (−1)n

2n+1 = 2 +(−1)n+1

2n+1

b) Calcolare lim an

Risulta lim an = 2 (poiche (−1)n

2n → 0).

• Si consideri la funzione definita da

f(x) = x+ arctan(x+ 1) + arctan1

x+ 1

c) Disegnare il grafico di f ′.

f e definita per x 6= −1 e si ha, essendo composta difunzioni derivabili,

f ′(x) = 1 +1

1 + (x+ 1)2 −1

(x+ 1)2

11 + 1

(x+1) 2

= 1

d) Disegnare il grafico di f .

Per quanto visto sopra risultera

f(x) ={x+ a , se x < −1x+ b , se x > −1

Poiche si ha f(−2) = −2 + arctan(−1) + arctan(−1) = −2− π2

e f(0) = arctan(1) + arctan(1) = π2 avremo che

f(x) ={x− π

2 , se x < −1x+ π

2 , se x > −1

e) Determinare, se esiste, l’inversa di f .

Essendo f : (−∞,−1)∪(−1,+∞)→ (−∞,−1− π2 )∪(−1+ π

2 ,+∞) strettamente monotona, essa risultainvertibile e si ha

f−1(x) ={x+ π

2 , se x < −1− π2

x− π2 , se x > −1 + π

2


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 12 luglio 1999 1h


f(x) = x3 + x

a) Verificare che f e invertibile su R

Poiche f e la somma di due funzioni strettamente crescenti (x3 ed x) risultera strettamente crescente,e quindi invertibile, su tutto il suo dominio, che e R.

b) Detta g l’inversa di f su R, calcolare, se esiste g′(2)

Poiche f e derivabile su R, 2 = f(1) e f ′(1) = 4, per il teorema di derivazione della funzione inversa, siha

g′(2) =1

f ′(1)=

14

c) Calcolare l’ordine di infinitesimo di g(x)− g(2) in x = 2

La funzione considerata si annulla per x = 2 ed inoltre la sua derivata prima vale g ′(2) = 14 6= 0, per

cui l’ordine di infinitesimo e 1 (ordine della prima derivata non nulla).

• Si consideri la funzione h il cui grafico e

d) Disegnare il grafico di k(x) = h(x2 + 1).

Il grafico cercato si ottiene, prima traslando a sinistra di una unita il grafico di h, ottenendo in tal modoil grafico di h(x+ 1), e quindi disegnando, per x > 0 un grafico analogo a quello di h (essendo x2 crescenteper x > 0), e facendo poi il simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, essendo la funzione k una funzionepari.

Si noti che k(0) = h(1) = 0 e che l’asintoto verticale per x > 0, si ha per x2 + 1 = 3, ovvero per x =√

2.Inoltre, nell’origine, k deve essere derivabile e quindi non vi puo essere una ‘punta’ nel grafico.


e) Disegnare il grafico di k′.

Essendo k una funzione pari, k′ sara una funzione dispari.E quindi sufficiente disegnarla per x > 0 (essendo poi il grafico simmetrico rispetto all’origine).Si ha k′(0) = 0 e k′(x) < 0 per ogni x > 0, x 6=

√2. Inoltre limx→

√2 k′(x) = −∞ e limx→+∞ k′(x) = 0.

Infine, essendo k convessa per x >√

2 risultera k′ crescente per x >√

2 (e decrescente per 0 < x <√

2).In definitiva il grafico richiesto e


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 10 settembre 1999 1h

• Si consideri la successione

an =n2 + 3n2 + 1

a) Verificare che an e decrescente.

an e decrescente se e solo se an+1 ≤ an per ogni n, ovvero

(n+ 1)2 + 3(n+ 1)2 + 1

≤ n2 + 3n2 + 1

e sviluppando i calcoli, ne segue 4n+ 2 ≥ 0, che e sempre vero per ogni n naturale.Piu rapidamente si poteva notare che

an =n2 + 1 + 2n2 + 1

= 1 +2

n2 + 1

che risulta decrescente.

b) Determinare, se esistono, il massimo, il minimo, l’estremo superiore e l’estremo inferioredella successione data.

Essendo an decrescente si ha

max{an} = sup{an} = a1 = 2 , inf{an} = lim an = 1

mentre non esiste il minimo, non essendo alcun termine della successione uguale a 1.

• Si consideri la funzione f : R→ R, il cui grafico e:

c) Disegnare il grafico di f(1− x)

Il grafico richiesto si ottiene traslando a sinistra di 1 e quindi ribaltando orizzontalmente il grafico di f .


d) Disegnare il grafico di f ′(x)

La funzione f e decrescente (e quindi f ′ e negativa per x < 0 e per a < x < b, ove si sono indicati cona e b i punti di massimo e di minimo relativo di f per x > 0.

Inoltre limx→ infty f′(x) = 0 poiche la perdenza tende a diventare nulla.

Infine, sempre dall’esame del grafico di f , si ha limx→0− f′(x) ≈ −1 e limx→0+ f ′(x) ≈ 2.

Si noti che non sono richieste considerazioni sulla derivata seconda di f ; in ogni caso si avrebbe f ′

crescente (cioe f convessa) per x maggiore del punto di flesso vicino ad 1.Un grafico ragionevole sara pertanto

e) Disegnare il grafico di g(|x|), dove g e l’inversa di f su [3,+∞).

Per x > 0, sara sufficiente considerare la parte di grafico di f con x ≥ 3 e disegnarne il simmetricorispetto alla bisettrice del 1o e 3o quadrante; essendo poi g(|x|) una funzione pari, ci sara anche il ramosimmetrico rispetto all’asse delle ordinate.



a) Provare che, per ogni n naturale,

n∑k=0

3k =3n+1 − 1

2

E possibile provare cio per induzione: per n = 1 si ha

1∑k=0

3k = 30 + 31 = 1 + 3 = 4 =32 − 1

2

e quindi la formula risulta vera.Supponiamo ora che

∑nk=0 3k = 3n +1 −1

2 e proviamo che∑n+1

k=0 3k = 3n +2 −12 ; si ha

n+1∑k=0

3k =n∑

k=0

3k + 3n+1 =3n+1 − 1

2+ 3n+1 =

3n+1 − 1 + 2 3n+1

2=

3n+2 − 12

e quindi la formula e valida per ogni naturale.

• Si consideri la funzionef(x) =

1x2 − 2x+ 2

b) Determinare l’estremo superiore di f .

Osserviamo intanto che x2 − 2x+ 2 non si annulla mai.Determiniamo quindi l’insieme dei maggioranti, ovvero degli m ∈ R tali che

1x2 − 2x+ 2

≤ m ∀x ∈ R

Risolvendo la disequazione (ricordando che il denominatore della frazione e sempre positivo) si ottiene

mx2 − 2mx+ 2m− 1 ≥ 0

Tale disequazione sara verificata per ogni x reale se e solo se m e positivo ed il discriminante e negativo onullo, ovvero se e solo se {

m > 0m−m2 ≤ 0 ⇔

{m > 0m ≤ 0 oppure m ≥ 1

che fornisce come soluzione m ≥ 1.Pertanto l’estremo superiore (minimo dei maggioranti) e 1.

c) Disegnare il grafico di f .

Il grafico di x2 − 2x+ 2 e una parabola di vertice (1,1) con la concavita rivolta verso l’alto.Da tale grafico e immediato dedurre quello di f (reciproco del precedente).


d) Verificare che f e invertibile su (−∞, 0).

f e sicuramente invertibile su (−∞, 0) essendo ivi strettamente crescente (lo si deduce dal grafico, o dalfatto che e la reciproca di una funzione strettamente decrescente e positiva).

e) Determinare l’inversa di f su (−∞, 0).

Poiche f : (−∞, 0)→ (0, 12 ), si avra f−1 : (0, 1

2 )→ (−∞, 0) ed essendo

y =1

x2 − 2x+ 2⇔ x = 1±

√1y− 1

si ricava facilmente l’espressione dell’inversa (ricordando che il rango di f−1 e (−∞, 0) )

f−1(x) = 1−√

1x− 1

• Dato il grafico della funzione g : R→ R

f) Disegnare il grafico di g(x+ 3) , |g(x)| e g(|x|).

Il grafico di g(x + 3) si ottiene traslando a sinistra di 3 unita quello di g; il grafico di |g(x)| si ottieneribaltando in alto la parte negativa del grafico di g; il grafico di g(|x|) si ottiene ribaltando a sinistra la partedel grafico di g avente ascissa positiva:



• Si consideri la successione definita da{an+1 = an

1 + ana1 = 5

a) Provare che, per ogni n naturale, si ha an > 0.

Per n = 1 si ha a1 = 5 > 0. Supponendo poi an > 0 si ha

an+1 =an

1 + an> 0

(essendo positivi sia il numeratore che il denominatore).Pertanto quanto richiesto e provato per induzione.

b) Provare che an e decrescente.

an e decrescente se e solo se an+1 ≤ an , ∀n, se e solo se

an1 + an

≤ an , ∀n

se e solo se (essendo 1 + an > 0)

an ≤ an + a2n ovvero 0 ≤ a2

n ∀n

che e banalmente vero.

c) Determinare, se esiste, il lim an .

Essendo an decrescente, esiste sicuramente lim an = a ∈ R (essendo a = inf{an} si ha che a ∈ R oppurea = −∞, ma il secondo caso e impossibile poiche an e sempre positiva).

Pertanto, passando al limite nella relazione di ricorrenza, si ottiene

a =a

1 + ada cui a = 0 .

d) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

limn

3 + n2

1 + n+ n2 , limx→0

x(1− cos(2x))(sin(3x))3 , lim

x→1

x3 − 2x+ 1x2 + 2x− 3

.

Tutti e tre i limiti risultano forme indeterminate ∞∞ o 00 . Si ha

limn

3 + n2

1 + n+ n2 = limn

3n2 + 1

1n2 + 1

n + 1= 1

limx→0

x(1− cos(2x))(sin(3x))3 = lim

x→0x (2x)2 1

(3x)3

(1− cos(2x))(2x)2

(3x)3

(sin(3x))3 =427

12

=227

limx→1

x3 − 2x+ 1x2 + 2x− 3

= limx→1

(x− 1)(x2 + x− 1)(x− 1)(x+ 3)

= limx→1

x2 + x− 1x+ 3

=14


e) Verificare, utilizzando la definizione di limite, che

limx→+∞

x

x+ 1= 1

Si tratta di verificare che

∀ε > 0 ∃δε > 0 : x ∈ Io(+∞, δε) ⇒x

x+ 1∈ I(1, ε)

ovvero

∀ε > 0 ∃δε > 0 : x > δε ⇒∣∣∣∣ x

x+ 1− 1∣∣∣∣ < ε

Si ha ∣∣∣∣ x

x+ 1− 1∣∣∣∣ =

1|x+ 1|

< ε se e solo se |x+ 1| > 1ε

ovvero se x > 1ε − 1 e la tesi, scegliendo (se ε < 1), δε = 1

ε − 1.


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 17 Dicembre 1999 - (3a prova parziale) 1h

• Determinare, al variare di α ∈ R, α ≥ 0

limx→0+

1− cos(3x) + 2x2 sin(2x)x3 cos(x) + ln(1 + αx2)

Si tratta di una forma indeterminata 00 ; esaminando gli ordini di infinitesimo, si ha

1− cos(3x) e infinitesima di ordine 2

2x2 sin(2x) e infinitesima di ordine 3

x3 cos(x) e infinitesima di ordine 3

ln(1 + αx2) e infinitesima di ordine 2 se α > 0

Pertanto, se α > 0, il limite richiesto e uguale a

limx→0+

1− cos(3x)ln(1 + αx2)

= limx→0+

1− cos(3x)(3x)2

αx2

ln(1 + αx2)(3x)2

αx2 =12

19α

=9

2α.

Se invece α = 0, sempre per le considerazioni fatte sugli ordini, il limite risulta +∞, essendo il numeratoredi ordine inferiore al denominatore.


f(x) =

{a+ arctan(2x) , se x < 0b

x+ 1 , se x ≥ 0

a) Stabilire per quali a, b ∈ R f risulta continua su R.

f e sicuramente continua per x 6= 0, essendo formata da composte di funzioni continue. Per quel cheriguarda x = 0, si ha limx→0− a+ arctan(2x) = a e limx→0+

bx+1 = b = f(0) per cui f sara continua su R

se e solo sea = b

b) Stabilire per quali a, b ∈ R f risulta derivabile su R.

f e sicuramente derivabile per x 6= 0, essendo formata da composte di funzioni derivabili e

f ′(x) =

2

1+4 x2 , se x < 0

− b(x+ 1)2 , se x > 0

Per quel che riguarda x = 0, si ha limx→0−2

1+4 x2 = 2 e limx→0+−b

(x+1) 2 = −b per cui f sara derivabile suR se e solo se

a = b = −2

c) Per i valori di a e b per i quali f risulta derivabile in R disegnarne il grafico.

Si tratta di disegnare il grafico di

f(x) =

{−2 + arctan(2x) , se x < 0− 2x+ 1 , se x ≥ 0


d) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f in x = 0.

Essendo f(0) = −2 e f ′(0) = 2, l’equazione della retta tangente risulta

y = f(0) + f ′(0)(x− 0) = −2 + 2x

e) Detta f−1 l’inversa di f , determinare (f−1)′(1).

Si noti che f risulta invertibile su tutto R essendo strettamente crescente; inoltre, essendo f(0) = −2,si ha

(f−1)′(−2) =1

f ′(0)=

12


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 10 Gennaio 2000 - 1h

• Si consideri la successione definita da{an+1 = 2an − 1a1 = 7

a) Determinare α, β ∈ R tali che, per ogni n, si abbia an = β αn + 1.

Se an = β αn + 1 si ha, sostituendo nell’equazione che definisce la successione

β αn+1 + 1 = 2β αn + 2− 1

da cui, semplificando e dividendo per βαn (βα 6= 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe an identicamente 1),

α = 2

Dalla condizione a1 = 7 si ha poi βα+ 1 = 7 ovvero 2β + 1 = 7 e quindi β = 3.

b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinito di ln(an ).

Poiche an = 3 2n + 1 si ha ln(an ) = ln(3 2n + 1) che tende all’infinito con lo stesso ordine di ln(3 2n ) =ln 3 + n ln 2, ovvero di ordine 1.

• Si consideri la funzione definita daf(x) =

ex

x2

c) Disegnare il grafico di f , precisando dominio, limiti, continuita, derivabilita e crescenza.

La funzione risulta definita per x 6= 0 e sul suo dominio e continua e derivabile, in quanto composta dafunzioni derivabili.

Inoltre, utilizzando per il secondo limite gli ordini di infinito,

limx→−∞

ex

x2 = 0 , limx→+∞

ex

x2 = +∞ , limx→0

ex

x2 = +∞

Si ha poi, per x 6= 0,

f ′(x) = exx2 − 2xx4

da cui f risulta crescente per x2 − 2x > 0 ovvero per x < 0 oppure per x > 2.Nel punto di minimo si ha f(2) = e2

4Il grafico di f sara pertanto:


d) Scrivere, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f per x = 1.

L’equazione della retta richiesta e

y = f(1) + f ′(1)(x− 1) = e− e(x− 1) = e(2− x)

e) Determinare, al variare di k ∈ R, il numero degli zeri dell’equazione ex = kx2 .

L’equazione data e equivalente, per x 6= 0, a

k =ex

x2

(d’altra parte per x = 0 l’equazione diventa 1 = 0 per ogni k e quindi x = 0 non e mai soluzione).Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno

nessuna soluzione per k ≤ 0una soluzione per 0 < k < e2

4

due soluzioni per k = e2

4

tre soluzioni per k > e2

4


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 31 Gennaio 2000 - 1h

• Si consideri la successione definita da{an+1 = 3an + 4a1 = 1

a) Determinare α, β ∈ R tali che, per ogni n, si abbia an = β αn − 2.

Se an = β αn − 2 si ha, sostituendo nell’equazione che definisce la successione

β αn+1 − 2 = 3β αn − 6 + 4

da cui, semplificando e dividendo per βαn (βα 6= 0 in quanto se fosse nullo si avrebbe an identicamente -2),

α = 3

Dalla condizione a1 = 1 si ha poi βα− 2 = 1 ovvero 3β − 2 = 1 e quindi β = 1.

b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinito di ln(an ).

Poiche an = 3n − 2 si ha ln(an ) = ln(3n − 2) che tende all’infinito con lo stesso ordine di ln(3n ) = n ln 3,ovvero di ordine 1.

• Si consideri la funzione definita daf(x) =

ex

x3

c) Disegnare il grafico di f , precisando dominio, limiti, continuita, derivabilita e crescenza.

La funzione risulta definita per x 6= 0 e sul suo dominio e continua e derivabile, in quanto composta dafunzioni derivabili.

Inoltre, utilizzando per il secondo limite gli ordini di infinito,

limx→−∞

ex

x3 = 0 , limx→+∞

ex

x3 = +∞ , limx→0−

ex

x3 = −∞ , limx→0+

ex

x3 = +∞

Si ha poi, per x 6= 0,

f ′(x) = exx3 − 3x2

x6

da cui f risulta crescente per x3 − 3x2 > 0 ovvero per x > 3.Nel punto di minimo si ha f(3) = e3

27Il grafico di f sara pertanto:


d) Scrivere, se esiste, l’equazione della retta tangente al grafico di f per x = 1.

L’equazione della retta richiesta e

y = f(1) + f ′(1)(x− 1) = e− 2e(x− 1)

e) Determinare, al variare di k ∈ R, il numero degli zeri dell’equazione ex = kx3 .

L’equazione data e equivalente, per x 6= 0, a

k =ex

x3

(d’altra parte per x = 0 l’equazione diventa 1 = 0 per ogni k e quindi x = 0 non e mai soluzione).Dal grafico della funzione al punto c) si deduce pertanto che si avranno

una soluzione per k < 0nessuna soluzione per 0 ≤ k < e3

27

una soluzione per k = e3

27

due soluzioni per k > e3

27


ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 21 Febbraio 2000 - 1h

Si consideri la successione

an =n∑i=1

12i

a) Provare che, per ogni n naturale, si ha

an = 1− 12n

Utilizzando il principio di induzione si ha, per n = 1

a1 =1∑i=1

12i

=12

= 1− 121 .

Supponendo ora vera la formula per n,

an+1 =n+1∑i=1

12i

=n∑i=1

12i

+1

2n+1 = 1− 12n

+1

2n+1 = 1− 12n+1

e quindi il risultato e provato anche per n+ 1.

b) Calcolare, se esiste, lim an +1an

.

Si ha

liman+1

an= lim

1− 12n +1

1− 12n

= 1

Si consideri la funzione definita da

f(x) =1

x2 − 2x

c) Determinare il rango di f .

Dal grafico della funzione (facilmente ottenibile da quello di x2 − 2x)

si deduce che il rango e (−∞,−1] ∪ (0,+∞).


In altro modo si possono cercare i valori di y per cui l’equazione

y =1

x2 − 2x

ha soluzioni (diverse da 0 e -2). Risolvendo si ottiene

yx2 − 2yx− 1 = 0 da cui x =y ±

√y2 + y

y

e quindi affinche esistano soluzioni deve essere y2 + y > 0, con y 6= 0, ed il risultato precedente.

d) Determinare, se esiste, l’inversa di f in (−∞, 0).

f : (−∞, 0)→ (0,+∞) e invertibile in quanto strettamente crescente.Dai calcoli del punto precedente, scegliendo quindi la soluzione negativa, si ha

f−1(y) =y −

√y2 + y

y, y > 0 .

e) Calcolare, se esistelim

x→+∞

√x2 + x−

√x2 − x

Si ha

limx→+∞

√x2 + x−

√x2 − x = lim

x→+∞

x2 + x− x2 + x√x2 + x+

√x2 − x

=

= limx→+∞

2x√x2 + x+

√x2 − x

=

= limx→+∞

2√1 + 1/x+

√1− 1/x

= 1

Documents

Analisi Matematica 1 - web.inge.unige.itweb.inge.unige.it/DidRes/Analisi/Analisi1.pdf · 4 Analisi Matematica I ANALISI MATEMATICA 1 (Sv) - 25 Novembre 1998 - (2a prova parziale)