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Apppunti di analisi matematica
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Analisi Matematica
Paolo Maurizio Soardi
Indice
Prefazione xi
1 Numeri reali 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rappresentazione decimale dei numeri razionali . . . . . . . . . . 11.3 Numeri reali e ordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Partizioni di Q e di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Operazioni tra numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Una diseguaglianza fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Radici, potenze, logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.1 Proprieta degli estremi superiore e inferiore . . . . . . . . 201.9.2 Proprieta delle operazioni in R . . . . . . . . . . . . . . . 211.9.3 Radici e potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.4 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Funzioni 292.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Immagini e controimmagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Restrizione, funzione inversa, composta. . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Successioni. Indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Potenza di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Potenza del numerabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Potenza del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.1 Le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano . . 422.8.2 Proprieta degli insiemi infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8.3 Potenza dell’insieme delle parti . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Spazi Metrici 473.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
v
vi Indice
3.4 Classificazione dei punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Insiemi aperti, chiusi, limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.7 Il Teorema di Heine–Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.8 Connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.9 R come spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.10 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.10.1 Compattezza in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.10.2 Norme e distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.10.3 Proprieta dello spazio metrico
(R, d∗
). . . . . . . . . . . 77
4 Successioni 794.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Sottosuccessioni e punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . 834.4 Successioni a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Permanenza del segno. Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.7 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7.1 Calcolo dei limiti in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.7.2 Calcolo dei limiti in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Il numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.9 Infiniti e infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.10 o piccolo e asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.11 Successioni in Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.12 Classe limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.13 La condizione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.14 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.14.1 Dimostrazione del Teorema 4.7.2 . . . . . . . . . . . . . . 1164.14.2 Dimostrazione dei Teoremi 4.7.4 e 4.7.6 . . . . . . . . . . 1184.14.3 Dimostrazione del Teorema 4.7.8 . . . . . . . . . . . . . . 1184.14.4 Dimostrazione dei Teoremi 4.7.9, 4.7.10, 4.7.12, 4.7.13 . . 118
5 Serie 1215.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2 Definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3 La condizione di Cauchy per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.4 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5 Criteri della radice e del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.6 Criterio di condensazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.7 Criterio di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.8 Convergenza incondizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.9 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.9.1 Somma di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.9.2 Prodotto di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.9.3 Proprieta associativa per le serie . . . . . . . . . . . . . . 140
Indice vii
5.9.4 Permutazione dei termini di una serie . . . . . . . . . . . 1415.9.5 Rappresentazione dei numeri reali come serie . . . . . . . 143
6 Limiti di funzioni 1456.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2 Limiti in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.3 Limiti infiniti e limiti all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.4 Limiti di funzioni reali di variabile reale . . . . . . . . . . . . . . 1566.5 Segno, confronto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.6 Limiti di successioni e limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . 1636.7 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.8 Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico . . . . . . . . . . . . . . 1676.9 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.9.1 Classe limite di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7 Continuita 1757.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.2 Continuita in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.3 Continuita globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.4 Continuita delle funzioni a valori reali . . . . . . . . . . . . . . . 1787.5 Il Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.6 Il Teorema di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.7 Uniforme continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.8 Punti di discontinuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.8.1 Discontinuita di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.8.2 Discontinuita di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . 1897.8.3 Discontinuita eliminabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.9 Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.10 Continuita della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.11 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.11.1 Continuita della funzione inversa in spazi metrici . . . . . 1977.11.2 Uniforme continuita. Funzioni lipschitziane e holderiane. . 198
8 Calcolo differenziale 2018.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.2 Derivata e differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.3 Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi . . . . . . . . . . . . . 2058.4 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.5 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.5.1 Potenze e radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.5.2 Esponenziali e funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . 2138.5.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.5.4 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.5.5 Inverse delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . 2158.5.6 Derivate di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.6 Massimi e minimi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
viii Indice
8.7 Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.8 Crescere e decrescere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.9 Teorema di De l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.10 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.11 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.12 Esempi sulla formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.13 Convessita, concavita, flessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.14 Asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.15 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.15.1 Dimostrazione del Teorema di De l’Hospital . . . . . . . . 2518.15.2 Convessita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.15.3 Estremanti e punti di flesso . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.15.4 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9 Primitive 2599.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.2 Regole di integrazione indefinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.3 Primitive delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.3.1 Caso in cui il grado del denominatore e 1 o 2 . . . . . . . 2669.3.2 Casi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.3.3 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.4 Primitive di funzioni razionali fratte in un argomento . . . . . . . 2719.5 Primitive di funzioni razionali fratte in piu argomenti . . . . . . 272
9.5.1 Primitive di R(cos t, sin t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.5.2 Primitive di R(cos2 t, sin2 t, tan t) . . . . . . . . . . . . . . 2739.5.3 Primitive di R (x,
q1√
xp1 , . . . ,qn√
xpn) . . . . . . . . . . . . 2749.5.4 Primitive di R
(x, q1q`
ax+bcx+d
´p1 . . . , qn
q`ax+bcx+d
´pn
). . . . . 274
9.5.5 Primitive di R(x,
ñx2 + px + q
). . . . . . . . . . . . . 276
9.6 Integrali binomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.7 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.7.1 Decomposizione di una funzione razionale fratta . . . . . 280
10 Integrale di Riemann 28310.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.2 Somme superiori e inferiori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.3 L’integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28610.4 Proprieta dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28810.5 Classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29310.6 Integrale esteso a un intervallo orientato . . . . . . . . . . . . . . 29610.7 Il Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . 29810.8 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.8.1 Integrali impropri di prima specie . . . . . . . . . . . . . . 30210.8.2 Integrali impropri di seconda specie . . . . . . . . . . . . 30510.8.3 Criteri del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.8.4 Integrali impropri di terza specie . . . . . . . . . . . . . . 309
Indice ix
10.9 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31310.9.1 Estensione del Teorema fondamentale del calcolo integrale 31310.9.2 Formula di Taylor con resto integrale . . . . . . . . . . . . 31410.9.3 Confronto e esistenza degli integrali impropri . . . . . . . 31510.9.4 Formula di Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.9.5 Somme e integrali. Formula di Eulero . . . . . . . . . . . 31910.9.6 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Prefazione
Questo libro e destinato agli studenti del primo anno dei corsi di laurea inMatematica e in Fisica ed e basato sull’esperienza da me maturata in moltianni di insegnamento. Puo anche essere utilizzato da studenti di altri corsidi laurea di carattere scientifico, che vogliano approfondire la loro conoscenzadell’Analisi matematica.
Vengono esposti in modo rigoroso gli argomenti che fanno parte tradizio-nalmente dei corsi di Analisi matematica I: numeri reali, successioni e serie,limiti, continuita, calcolo differenziale in una variabile e calcolo integrale secondoRiemann in una variabile. Le nozioni di limite e continuita sono ambientate neglispazi metrici, di cui viene presentata una trattazione elementare ma precisa.I concetti astratti sono ogni volta interpretati e discussi nel caso di funzionireali di variabile reale. In questo modo lo studente dovrebbe acquisire sia unapadronanza degli strumenti classici, che una impostazione unitaria in vista deisuccessivi sviluppi dell’Analisi in dimensione superiore.
Tutti i risultati enunciati nel libro (tranne due) vengono dimostrati, o nelcorso dell’esposizione, o nelle appendici dei vari capitoli. Tuttavia, questo testonon vuole essere un’opera puramente teorica. Ho trattato in modo dettagliatoargomenti che spesso sono demandati alle esercitazioni: il calcolo dei limiti perfunzioni a valori reali o vettoriali, il calcolo delle derivate, i metodi piu comunidi integrazione. Tutti gli argomenti esposti sono corredati da numerosi esempie figure.
Desidero ringraziare la dottoressa Margherita Mauri, che ha letto tutto il ma-noscritto e mi ha dato preziosi consigli. Ringrazio anche i miei studenti, che mihanno segnalato refusi di varia natura in una precedente versione sperimentaledi questo testo.
xi
Capitolo 1
Numeri reali
1.1 Introduzione
I numeri reali nascono con la scoperta dell’esistenza di grandezze incommensura-bili, quali le lunghezze del lato e della diagonale di un quadrato. I numeri interie i loro rapporti non sono quindi in grado di descrivere fondamentali relazionidella geometria. Malgrado cio, lo studio dei numeri reali comincio ad imporsisolo dopo la scoperta del calcolo infinitesimale, dovuta a Newton e Leibniz. Trale molte costruzioni equivalenti del campo reale, adotteremo quella forse per noipiu intuitiva, cioe la costruzione dei numeri reali mediante allineamenti decimaliinfiniti.
1.2 Rappresentazione decimale dei numeri razionali
Come e noto, ogni numero razionale si puo rappresentare come allineamentodecimale periodico, nel modo che ora descriveremo rapidamente. Indichiamocon Q l’insieme dei numeri razionali, dotato delle consuete operazioni di sommae prodotto e della relazione naturale di diseguaglianza. Sia r = p/q ∈ Q unnumero razionale positivo, con p > 0, q > 0 interi. Si ha, mediante divisionisuccessive,
p
q= c0 +
p0
qove 0 ≤ p0 < q e c0 e un intero non negativo,
p0
q=
c1
10+
p1
10qove 0 ≤ p1 < q e c1 e un intero tra 0 e 9,
p1
q=
c2
10+
p2
10qove 0 ≤ p2 < q e c2 e un intero tra 0 e 9.
Si ottiene quindi
r = c0 +c1
10+
c2
102+
p2
102q.
1
2 1. Numeri reali
In tal modo abbiamo ottenuto le prime tre cifre dell’allineamento decimale di r.Eseguendo poi le divisioni p2/q, p3/q, . . . , pn−1/q, . . ., si ottengono tutte le cifresuccessive. Al passo n si ha
r = c0 +c1
10+
c2
102+
c3
103+ · · ·+ cn
10n+
pn
10nq. (1.2.1)
L’allineamento, o rappresentazione decimale, di r e dunque dato da
r = c0, c1 c2 c3 . . . cn . . . (1.2.2)
Si puo esprimere il numero r anche mediante la scrittura, per ora puramenteformale,
r = c0 +c1
10+
c2
102+
c3
103+ · · ·+ cn
10n+ · · ·
Questa scrittura sara precisata nel capitolo sulle serie numeriche.Poiche i resti possibili p1, p2, p3 . . . sono compresi tra 0 e q − 1, dopo al piu
q passi nella divisione si ripresenta uno dei resti precedenti. Da qui segue laperiodicita dell’allineamento. Ad esempio,
13
= 0, 3,744
= 0, 1590.
Se il periodo e 0, cioe r = c0, c1 c2 . . . cn000 . . ., si scrive semplicemente
r = c0, c1 c2 . . . cn.
In tal caso l’allineamento decimale si dice finito, altrimenti si dice infinito.L’algoritmo di divisione descritto sopra non produce mai allineamenti deci-
mali con periodo 9. Dimostriamo questa asserzione per i numeri periodici puri,cioe privi di antiperiodo. Si noti che questa non e una restrizione, poiche, se rha un antiperiodo di k cifre, allora 10kr e periodico puro.
Supponiamo per assurdo r = c0, 9. Poiche 0 ≤ pn < q, dalla (1.2.1) si deduceche per ogni n
c0 +910
+9
102+ · · ·+ 9
10n≤ r < c0 +
910
+9
102+ · · ·+ 9
10n+
110n
.
Poiche 9/10 + 9/102 + · · · + 9/10n + 1/10n = 1, le diseguaglianze precedentidiventano
∀n 1− 110n
< r − c0 < 1,
o anche∀n 0 < c0 + 1− r <
110n
,
il che e assurdo.L’impossibilita di ottenere allineamenti con periodo 9 dipende dall’algoritmo
da noi prescelto. Altri algoritmi danno luogo ad allineamenti con periodo 9, maescludono il periodo 0, cioe gli allineamenti finiti. Ad esempio: 1 = 0, 9.
1.3. Numeri reali e ordinamento 3
D ′ora innanzi escluderemo dalle nostre considerazioni gli allineamenti de-cimali con periodo 9. Il termine ‘allineamento decimale’ avra il significato diallineamento in cui non compare il periodo 9.
Un allineamento decimale periodico e sempre la rappresentazione decimaledi un numero razionale. Per vedere cio possiamo, come prima, supporre chel’allineamento sia periodico puro, cioe del tipo c0, c1c2 . . . cs. Il numero
r = c0 +( c1
10+
c2
102+ · · ·+ cs
10s
) (10s
10s − 1
)(1.2.3)
e il numero cercato. Infatti, la rappresentazione decimale di 10s/(10s − 1) e
10s
10s − 1= 1 +
110s
+1
102s+ · · ·+ 1
10ks+ · · ·
Sostituendo questa espressione in (1.2.3) si ha l’asserto. Quindi esiste una cor-rispondenza biunivoca tra i numeri razionali positivi e gli allineamenti decimaliche non hanno periodo 9.
Benche le operazioni di somma e prodotto tra allineamenti periodici sianogeneralmente complicate, la rappresentazione decimale permette di decidere fa-cilmente quale tra due dati numeri razionali sia il maggiore. Infatti, sia r 6= r′,e supponiamo che sia k il primo indice per cui ck 6= c′k. Risulta ck > c′k se e solose r > r′.
Il concetto di rappresentazione decimale si estende ai numeri razionali nega-tivi, semplicemente anteponendo il segno − all’allineamento. In altri termini, seil numero r ha la rappresentazione (1.2.2), diciamo che il numero −r ha la rap-presentazione −r = −c0 c1 c2 c3 . . . cn . . .. L’allineamento 0, 000 . . . rappresentail numero 0.
1.3 Numeri reali e ordinamento
Gli allineamenti decimali periodici non costituiscono la totalita dei possibiliallineamenti. Ad esempio, l’allineamento
1, 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . . . (1.3.1)
in cui ogni 1 e seguito da uno 0 in piu del precedente 1, e chiaramente nonperiodico. D’altra parte, gli allineamenti non periodici si presentano in modonaturale quando si cerca di risolvere equazioni del tipo x2 = 2, prive di soluzioninel campo razionale.
Teorema 1.3.2 Non esiste alcun numero razionale p/q tale che (p/q)2 = 2.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano due interi positivi p e qtali che p2 = 2q2. Eseguendo le semplificazioni, possiamo supporre che p e q nonabbiano fattori comuni. Poiche p2 e pari, anche p deve essere pari. Esiste quindi
4 1. Numeri reali
un intero positivo m tale che p = 2m. Ne segue 2m2 = q2. Percio anche q2 e qsono pari. Questo contraddice l’ipotesi che p e q non abbiano fattori comuni.
Quindi√
2 non e razionale. Il noto algoritmo per il calcolo della radicequadrata fornisce successivamente i valori approssimati:
1 1, 4 1, 41 1, 414 1, 4142 1, 41421 . . .
Questo procedimento conduce a esprimere√
2 mediante un allineamento deci-male, necessariamente non periodico:
√2 = 1, 414213562 . . .
Definizione 1.3.3 Definiamo numero reale un allineamento decimale con se-gno, ±c0, c1 c2 . . . cn . . .. Se l’allineamento e periodico il numero e razionale. Sel’allineamento non e periodico il numero si dice irrazionale.
Ricordiamo che sono esclusi gli allineamenti periodici con periodo 9. Inquesto capitolo indicheremo generalmente un numero reale con una lettera greca:ad esempio α = a0, a1 a2 . . . an . . . In questa scrittura il numero a0 e un interomaggiore o eguale a 0 chiamato parte intera. I numeri dopo la virgola sonointeri tra 0 e 9, chiamati cifre decimali.
Sia α 6= 0. Se l’allineamento e preceduto dal segno + diremo che α e posi-tivo, mentre se e preceduto dal segno − diremo che α e negativo. Denoteremol’insieme dei numeri reali con R, l’insieme dei reali positivi con R+, l’insiemedei reali negativi con R−. Si noti che, per definizione, Q ⊂ R. I simboli Q+ eQ− indicheranno rispettivamente i numeri razionali positivi e quelli negativi.
Il valore assoluto |α| di un numero reale α e definito nel modo seguente: seα e positivo o nullo si pone |α| = α. Se invece α e negativo, si pone |α| = −α.Introduciamo ora l’ordinamento in R.
Definizione 1.3.4 Siano α = a0, a1 a2 . . . an . . . e β = b0, b1 b2 . . . bn . . . duenumeri reali non negativi diversi tra loro. Siano an e bn le prime cifre diverse,ovvero sia
a0 = b0, a1 = b1, . . . , an−1 = bn−1, an 6= bn.
Poniamoα < β se an < bn.
Se α e β sono negativi e diversi tra loro, poniamo α < β se |β| < |α|. Infine,se α e negativo e β e positivo o nullo, poniamo α < β.
Evidentemente questa definizione estende da Q a R la relazione d’ordine peri numeri razionali. L’insieme dei reali risulta cosı totalmente ordinato, nel sensoprecisato dalla seguente Teorema.
Teorema 1.3.5 L’ordinamento su R ha le seguenti proprieta:
1. ∀α, β ∈ R vale una e una sola delle seguenti relazioni
α = β, oppure α < β, oppure β < α.
1.3. Numeri reali e ordinamento 5
2. ∀α, β, γ ∈ Rse α < β e β < γ allora α < γ.
Dimostrazione. La prima proprieta e ovvia dalla definizione. Per dimostrarela seconda possiamo limitarci al caso in cui α, β, γ siano positivi, poiche gli altricasi seguono immediatamente da questo. Sia dunque α = a0, a1 a2 . . . an . . .β = b0, b1 b2 . . . bn . . . γ = c0, c1 c2 . . . cn . . . . Sia n il primo indice per cuian 6= bn e m il primo indice per cui bm 6= cm. Se n < m si ha
a0 = b0 = c0, a1 = b1 = c1, . . . . . . , an−1 = bn−1 = cn−1, an < bn = cn
da cui α < γ. Se invece m ≤ n si ha
a0 = b0 = c0, a1 = b1 = c1, . . . . . . , am−1 = bm−1 = cm−1, am ≤ bm < cm
da cui nuovamente α < γ.
Come usuale, la scrittura α > β equivale a β < α e la scrittura α ≤ βsignifica che non e β < α.
Siano α e β numeri reali, α < β. Definiamo gli intervalli di estremi α e βponendo:
[α, β] = {x ∈ R : α ≤ x ≤ β} intervallo chiuso.(α, β) = {x ∈ R : α < x < β} intervallo aperto. (1.3.6)(α, β] = {x ∈ R : α < x ≤ β} intervallo semiaperto a sinistra.[α, β) = {x ∈ R : α ≤ x < β} intervallo semiaperto a destra.
Si hanno altresı gli intervalli illimitati di estremo α:
[α, +∞) = {x ∈ R : α ≤ x} , (α, +∞) = {x ∈ R : α < x} . (1.3.7)(−∞, α] = {x ∈ R : x ≤ α} , (−∞, α) = {x ∈ R : x < α} . (1.3.8)
Anche questi intervalli si diranno chiusi o aperti, a seconda che l’estremo αappartenga o meno all’insieme. I simboli ±∞ che appaiono nelle definizioniprecedenti sono puramente formali.
Teorema 1.3.9 (di densita) Tra due numeri reali esistono infiniti numeri ra-zionali e infiniti numeri irrazionali.
Dimostrazione. Siano α = a0, a1 a2 . . . an . . . e β = b0, b1 b2 . . . bn . . . duequalsiasi numeri positivi, con α < β. Bastera dimostrare che tra α e β esistonoun razionale r e un irrazionale i, poiche il procedimento puo essere ripetutonegli intervalli (α, r) e (α, i).
Sia dunque n il primo indice per cui an < bn. Esiste un indice k > n taleche ak < 9. Definiamo
r = a0, a1 . . . an an+1 . . . ak−1 9
6 1. Numeri reali
Chiaramente α < r. Si ha anche r < β, poiche a0 = b0, a1 = b1, . . . , an−1 =bn−1, e an < bn.
Si ponga ora
i = a0, a1 . . . an an+1 . . . ak−1 9101001000100001 . . .
Le cifre dopo la k-esima sono definite con la stessa legge che in (1.3.1): ogni 1 eseguito da uno 0 in piu del precedente 1. Quindi i e irrazionale e, come prima,α < i < β.
Se α e β hanno segno qualsiasi, la costruzione precedente si adatta imme-diatamente.
La proprieta enunciata nel Teorema si esprime dicendo che sia l’insieme deinumeri razionali, che l’insieme dei numeri irrazionali, e denso in R.
Definizione 1.3.10 Un sottoinsieme non vuoto A ⊆ R si dice limitato supe-riormente se esiste β ∈ R tale che
∀α ∈ A α ≤ β.
Un tale β si dice maggiorante di A. Analogamente, un sottoinsieme non vuotoA ⊆ R si dice limitato inferiormente se esiste γ ∈ R tale che
∀α ∈ A γ ≤ α.
Un tale γ si dice minorante di A. Infine, A si dice limitato se e limitato siasuperiormente che inferiormente.
Esempi 1.3.11
1. L’insieme degli interi negativi e limitato superiormente, ma non inferior-mente. In questo caso l’insieme dei maggioranti e l’intervallo [−1,+∞).Cosı pure, l’insieme degli interi positivi e limitato inferiormente ma nonsuperiormente.
2. Gli intervalli definiti in (1.3.6) sono limitati. Per tutti questi interval-li l’insieme dei maggioranti e [β, +∞), mentre l’insieme dei minoranti e(−∞, α].
3. Gli intervalli in (1.3.7) sono illimitati superiormente, ma limitati inferior-mente. Gli intervalli in (1.3.8) sono illimitati inferiormente, ma limitatisuperiormente. L’insieme dei minoranti per i due intervalli in (1.3.7) e(−∞, α], mentre l’insieme dei maggioranti per i due intervalli in (1.3.8) e[α, +∞).
Definizione 1.3.12 Un numero reale M si dice massimo di un sottoinsiemeA ⊆ R se M ∈ A e α ≤ M per ogni α ∈ A. Un numero reale m si dice minimodi un sottoinsieme A ⊆ R se m ∈ A e m ≤ α per ogni α ∈ A.
1.3. Numeri reali e ordinamento 7
Il massimo e il minimo di un insieme, se esistono, sono necessariamente unici.Chiaramente, il massimo di A e un maggiorante, e il minimo e un minorante.Tuttavia, un insieme limitato superiormente non ha necessariamente massimo,e un insieme limitato inferiormente non ha necessariamente minimo.
Esempi 1.3.13
1. Un intervallo chiuso e limitato [α, β] ha come minimo α e come massimoβ. L’intervallo aperto (α, β) non ha ne massimo ne minimo. L’intervallo[α, +∞) ha come minimo α, mentre (α, +∞) non ha minimo.
2. L’insieme limitato {1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .} ha come massimo 1, ma nonha minimo (si noti che 0 non appartiene all’insieme).
3. L’insiemeA = {r ∈ Q+ : r2 < 2} (1.3.14)
e non vuoto (1 ∈ A) ed e limitato superiormente (3 e un maggiorante).L’insieme A non ha massimo. Infatti, per ogni r ∈ A, poniamo:
s = r +2− r2
2 + r= 2
r + 1r + 2
. (1.3.15)
Un semplice calcolo mostra che s2 < 2 e percio s ∈ A. D’altra parte,r < s, e quindi r non puo essere il massimo di A. Analogamente
B = {r ∈ Q+ : r2 > 2} (1.3.16)
e limitato inferiormente ma non ha minimo. In questo caso infatti, ilnumero s definito in (1.3.15) soddisfa s2 > 2, e quindi appartiene a B, mas < r.
Il massimo e il minimo di un insieme A vengono indicati rispettivamente con isimboli
max A, min A.
L’insieme ordinato dei numeri reali e completo, nel senso precisato dal seguenteteorema.
Teorema 1.3.17 (di completezza) Se A e un insieme limitato superiormen-te, l’insieme dei maggioranti di A ha minimo. Se A e un insieme limitatoinferiormente, l’insieme dei minoranti di A ha massimo.
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare la prima affermazione, poiche laseconda si dimostra in modo del tutto analogo.
Sia A limitato superiormente e denotiamo con B l’insieme dei maggiorantidi A. Supponiamo dapprima che nessun elemento di B sia negativo. In talcaso l’insieme delle parti intere degli elementi di B ha minimo non negativo.Denotiamo con c0 questo minimo e poniamo
B0 = {β ∈ B : la parte intera di β e c0} .
8 1. Numeri reali
Poiche vi sono solo 10 scelte possibili per ogni cifra decimale, l’insieme delleprime cifre decimali degli elementi di B0 ha minimo: sia esso c1. Poniamo
B1 = {β ∈ B0 : la prima cifra decimale di β e c1} .
Analogamente, detto c2 il minimo delle seconde cifre decimali degli elementi diB1, poniamo
B2 = {β ∈ B1 : la seconda cifra decimale di β e c2} .
In questo modo definiamo per ricorrenza l’insieme Bk: detto ck minimo dellecifre decimali di Bk−1, poniamo
Bk = {β ∈ Bk−1 : la k-esima cifra decimale di β e ck} .
Ovviamente, per ogni k si ha Bk 6= ∅, e Bk−1 ⊇ Bk . Ogni elemento di β ∈ Bk
ha la formaβ = c0, c1 c2 . . . ck bk+1 bk+2 . . . (1.3.18)
Poniamoγ = c0, c1 c2 . . . ck . . . (1.3.19)
L’allineamento in (1.3.19) non ha periodo 9. Infatti, ck e il minimo delle k-esimecifre decimali di Bk−1. Se ck = 9 tutti gli elementi di Bk hanno k-esima cifradecimale 9. Quindi Bk−1 = Bk. Se da un certo k in poi tutti i ck fossero 9, siavrebbe Bk−1 = Bk = Bk+1 = · · · . Allora tutti gli elementi di Bk−1 avrebberoperiodo 9, il che e assurdo, poiche abbiamo escluso tali periodi dalla definizionedi numero reale.
Se, per assurdo, γ non e un maggiorante di A, esiste α = a0, a1a2 . . . an . . .in A tale che α > γ. Detto k il primo indice per cui ak 6= ck, deve essere ak > ck
e quindi, per (1.3.18), risulta anche α > β per ogni β ∈ Bk, assurdo. Quindi γe un maggiorante. Dimostriamo che e il minimo dei maggioranti.
Dato un qualsiasi β = b0, b1 b2 . . . bn . . . ∈ B, o esso appartiene a tutti iBk, e in tal caso deve coincidere con γ, oppure esiste un primo Bk a cui nonappartiene. Quindi cn = bn per n < k, e ck < bk. In ogni caso γ ≤ β.
Se B contiene dei numeri negativi, allora A ⊂ R−. Si ragiona su A comesi e fatto su B nel caso precedente. Per ottenere il numero γ bisogna anche inquesto caso scegliere ogni volta il minimo delle cifre decimali
Definizione 1.3.20 Se e A limitato superiormente, definiamo estremo supe-riore di A il minimo dei maggioranti di A. Se e A limitato inferiormente,definiamo estremo inferiore di A il massimo dei minoranti di A. Per l’estremosuperiore e inferiore si usano le notazioni
sup A, inf A.
Se A non e limitato superiormente, si pone convenzionalmente
sup A = +∞.
Se A non e limitato inferiormente, si pone convenzionalmente
inf A = −∞.
1.3. Numeri reali e ordinamento 9
Se A ammette massimo M , allora sup A = M . Tuttavia, come abbiamo vi-sto, un insieme limitato superiormente puo non avere massimo, mentre l’estremosuperiore esiste sempre. Analoga cosiderazione vale per il minimo.
Si noti che l’estremo superiore e unico, poiche il minimo di un insieme (inquesto caso i maggioranti) e unico. Analogamente, l’estremo inferiore e unico.
Esempi 1.3.21
1. Sia A l’intervallo aperto (α, β). Si ha inf A = α e sup A = β, ma essi nonsono minimo e massimo. Se A = [α, β), allora α = inf A = min A. Si haancora sup A = β, ma β non e massimo.
2. Sia A = {1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .}. In questo caso si ha 1 = max A =supA. Il numero 0 non e minimo, perche non appartiene ad A. Si ha pero0 = inf A.
3. Sia A = Q+. L’insieme non e limitato superiormente, per cui supA = +∞.Invece e limitato inferiormente e 0 = inf A.
4. Sia
A ={
12,23,34, . . . ,
n− 1n
, . . .
}
In questo caso sup A = 1, ma tale valore non e massimo. Invece inf A =min A = 1/2.
Osservazione. Sia L l’estremo superiore di un insieme A limitato superior-mente. L e caratterizzato dalle due seguenti proprieta:
1. ∀α ∈ A α ≤ L.
2. ∀β < L ∃α ∈ A β < α ≤ L.
La proprieta 1 esprime il fatto che L e un maggiorante di A. La 2 esprimeil fatto che L e il minimo dei maggioranti.
Per l’estremo inferiore ` di un insieme A limitato inferiormente si ha analo-gamente
1. ∀α ∈ A α ≥ `.
2. ∀β > ` ∃α ∈ A β > α ≥ `.
Un’altra notazione comunemente usata per gli estremi superiore e inferioredi A e
supx∈A
x, infx∈A
x.
Se A = {xi}i∈I e un insieme di numeri dipendenti da un indice i, di qualunquenatura, si usa anche la notazione
supi
xi, infi
xi.
10 1. Numeri reali
I simboli +∞ e −∞, introdotti nella definizione di estremo superiore e inferiore,sono di uso comune in Analisi Matematica. Aggiungendo all’insieme ordinatodei numeri reali questi simboli, si ottiene un insieme a cui e possibile estenderein modo naturale l’ordinamento definito in R.
Definizione 1.3.22 Poniamo
R = R ∪ {−∞,+∞}.Per ogni α reale poniamo
−∞ < α < +∞. (1.3.23)
L’insieme R viene chiamato R esteso.
E immediato verificare che R, con la relazione < definita in (1.3.23), risultaun insieme totalmente ordinato, ossia valgono in R le proprieta 1 e 2 del Teorema1.3.5. I concetti di maggiorante, minorante etc. si estendono in modo ovvio aR.
1.4 Partizioni di Q e di R
L’insieme ordinato dei numeri razionali non e completo. Infatti, sia
A = {r ∈ Q+ : r2 < 2} ∪Q− ∪ {0},B = {r ∈ Q+ : r2 > 2}.
B costituisce l’insieme dei maggioranti razionali di A, e A costituisce l’insiemedei minoranti razionali di B. Poiche B non ha minimo e A non ha massimo, inQ non vale il Teorema di completezza.
I due insiemi A e B sono separati, cioe per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B siha a < b; inoltre, Q = A ∪ B. Si dice che due insiemi non vuoti che godono diqueste due proprieta costituiscono una partizione di Q.
Sia γ1 ∈ R l’estremo superiore di A, e γ2 ∈ R l’estremo inferiore di B. Si hanecessariamente γ1 = γ2, altrimenti, per il Teorema di densita, esisterebbe unrazionale s tale che γ1 < s < γ2. Il numero s non puo appartenere ad A, poichee maggiore di sup A, ne a B, poiche e minore di inf B, assurdo.
Denotiamo con γ il comune valore di γ1 e γ2. Si ha
∀a ∈ A ∀b ∈ B a < γ < b. (1.4.1)
Il numero irrazionale γ si chiama elemento separatore ed e unico.Abbiamo cosı costruito una partizione di Q mediante due insiemi, di cui il
primo non ha massimo e il secondo non ha minimo. Questo non puo accadereper una partizione di R.
Teorema 1.4.2 Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri realitali che A ∪B = R. Allora esiste un unico numero reale γ tale che
∀α ∈ A ∀β ∈ B α ≤ γ ≤ β.
Inoltre, o γ e il massimo di A, o γ e il minimo di B.
1.5. Operazioni tra numeri reali 11
Dimostrazione. L’insieme A e limitato superiormente, poiche ogni elementodi B e un maggiorante di A, e B e limitato inferiormente, poiche ogni elementodi A e minorante di B. Si ha sup A = inf B. Altrimenti, come nel ragionamentoprecedente, un numero α tale che sup A < α < inf B non potrebbe appartenerene ad A ne a B, il che e assurdo. Posto γ = sup A = inf B, o γ ∈ A, nel qualcaso e anche massimo di A, oppure γ ∈ B, nel qual caso e anche minimo di B.
Intuitivamente, Q possiede dei ‘buchi’, che invece sono assenti nel camporeale. I numeri irrazionali provvedono a completare le lacune di Q.
1.5 Operazioni tra numeri reali
Sia α = a0, a1 a2 . . . an . . . un numero reale non negativo. Poniamo
α(n) = a0, a1 a2 . . . an.
Il numero razionale α(n) si chiama il troncamento o troncata n-esima di α. Se,ad esempio, α =
√2 = 1, 41421 . . ., i valori di α(n) sono successivamente 1, 1, 4,
1, 41, 1, 414,. . .
Lemma 1.5.1 Sia α ≥ 0. Per ogni n ≥ 0 valgono le diseguaglianze
α(n) ≤ α < α(n) + 10−n. (1.5.2)
La successione dei numeri α(n) e non decrescente, cioe
α(0) ≤ α(1) ≤ α(2) ≤ . . . ≤ α(n) ≤ . . .
e la successione dei numeri α(n) + 10−n e non crescente, cioe
α(0) + 1 ≥ α(1) + 10−1 ≥ α(2) + 10−2 ≥ . . . ≥ α(n) + 10−n ≥ . . .
Si ha inoltresup
nα(n) = α = inf
n
(α(n) + 10−n
). (1.5.3)
Omettiamo la dimostrazione di questo Lemma, di per se intuitivo, poicheesso e un caso particolare del Lemma 1.9.4 dimostrato in Appendice. Bastisolo osservare che la non decrescenza di α(n) e ovvia e che la non crescenza diα(n) + 10−n, si verifica immediatamente, poiche
α(n) + 10−n −(α(n+1) + 10−n−1
)= 10−n − (an+1 + 1) 10−n−1 ≥ 0,
Siano α = a0, a1 a2 . . . an . . . e β = b0, b1 b2 . . . bn . . . non negativi. Sianoα(n) e β(n) i troncamenti n-esimi di α e β. L’insieme delle somme α(n) + β(n) elimitato superiormente, poiche α(n) + β(n) < (a0 + 1) + (b0 + 1).
12 1. Numeri reali
Definizione 1.5.4 Per ogni α ≥ 0 e β ≥ 0 poniamo:
α + β = supn
(α(n) + β(n)). (1.5.5)
Poniamo inoltre
α + (−β) = supn
(α(n) − β(n) − 1/10n).
Infine, poniamo
(−α) + (−β) = supn
(−α(n) − β(n) − 2/10n).
L’eguaglianza (1.5.5) e una eguaglianza definitoria. Il simbolo + a sinistradenota la somma di due numeri reali, che viene definita per mezzo della usualesomma tra due numeri razionali che compare a destra.
Siano α e β non negativi. L’insieme dei prodotti α(n)β(n) e limitato supe-riormente, poiche α(n)β(n) ≤ (a0 + 1)(b0 + 1) per ogni n.
Definizione 1.5.6 Per ogni α ≥ 0 e β ≥ 0 poniamo
αβ = supn
α(n)β(n). (1.5.7)
Se uno dei duei numeri e negativo, poniamo
αβ = − |α| |β| .
Se ambedue i numeri sono negativi poniamo
αβ = |α| |β| .
Come nel caso della somma, l’eguaglianza in (1.5.7) e definitoria. Il prodottodi numeri reali a sinistra in (1.5.7) viene definito per mezzo del prodotto dinumeri razionali che compare a destra.
Definizione 1.5.8 Sia α > 0. Definiamo il reciproco di α come:
α−1 =1α
= supn
1α(n) + 10−n
Per i numeri negativi si pone
(−α)−1 = −α−1
In generale, α(n)+β(n) non e la troncata n-esima di α+β. Basta considerarel’esempio dei due numeri razionali α = 1, 91 e β = 0, 29. Questi numeri mostranoanche che in generale α(n)β(n) non e la troncata n-esima di αβ.
L’operazione di somma in R gode delle seguenti proprieta:
1.5. Operazioni tra numeri reali 13
1. ∀α, β α + β = β + α proprieta commutativa della somma.
2. ∀α, β, γ (α + β) + γ = α + (β + γ) proprieta associativa della somma.
3. ∀α α + 0 = α esistenza dell’elemento neutro.
4. ∀α α + (−α) = 0 esistenza dell’opposto.
Come di consueto, scriveremo x− y anziche x + (−y). Per il prodotto si ha:
5. ∀α, β αβ = βα proprieta commutativa del prodotto.
6. ∀α, β, γ (αβ) γ = α (βγ) proprieta associativa del prodotto.
7. ∀α α1 = α esistenza dell’elemento neutro del prodotto.
8. ∀α 6= 0 αα−1 = 1 esistenza del reciproco.
Si ha inoltre
9. ∀α, β, γ (α + β) γ = αγ + βγ proprieta distributiva.
L’ordinamento e legato alle operazioni di somma e prodotto dalle seguentiproprieta
10. ∀α, β, γ se α < β allora α + γ < β + γ.
11. ∀α, β e ∀γ > 0 se α < β allora αγ < βγ.
Queste proprieta saranno dimostrate nell’Appendice.Abbiamo gia osservato che la relazione d’ordine in R estende quella in Q.
Cio vale anche per le operazioni di somma e prodotto. Qualora i numeri α eβ che compaiono nelle precedenti definizioni siano razionali, la loro somma eprodotto come numeri reali coincidono con le operazioni di somma e prodottodefinite tra numeri razionali. Dimostreremo questo fatto nell’Appendice.
Un insieme dotato di due operazioni interne, chiamate somma e prodotto,che soddisfano le proprieta da 1 a 9, viene detto campo numerico. Se poi nel-l’insieme e definito un ordinamento totale per cui valgono 10 e 11, il campo sidice ordinato. Quindi Q e R, dotati delle operazioni di somma e prodotto edell’ordinamento in essi definito, sono campi ordinati, chiamati rispettivamentecampo razionale e campo reale. Si dice anche che Q e un sottocampo ordinatodi R. Tuttavia, come abbiamo osservato in precedenza, il campo razionale none completo.
Il campo reale, al pari del campo razionale, e archimedeo, vale cioe la seguenteproprieta.
Teorema 1.5.9 Per ogni α e β positivi esiste un intero n > 0 tale che
nα > β.
Dimostrazione. La proprieta vale chiaramente per i numeri razionali. Sianoquindi r, s ∈ Q+ tali che 0 < r < α < β < s. Sia n > 0 un intero tale chenr > s. Per la proprieta 11 precedente si ha nα > nr > s > β.
Teorema 1.5.10 Il campo reale e un campo ordinato, archimedeo e completo.
14 1. Numeri reali
1.6 Una diseguaglianza fondamentale
Lemma 1.6.1 Assegnati un intero n ≥ 2 e un numero reale ε > −1, ε 6= 0, siha
(1 + ε)n> 1 + nε. (1.6.2)
Dimostrazione. La dimostrazione e per induzione. Se n = 2 si ha
(1 + ε)n = 1 + 2ε + ε2 > 1 + 2ε.
Supponiamo valida la (1.6.2) per n. Si ha allora
(1 + ε)n+1 = (1 + ε)n (1 + ε) > (1 + nε) (1 + ε) = 1 + (n + 1)ε + nε2
> 1 + (n + 1)ε.
La diseguaglianza (1.6.2) verra utilizzata ripetutamente in questo libro. Adesempio nella dimostrazione dell’esistenza delle radici n–esime, dell’esistenzadei logaritmi, in varie dimostrazioni riguardanti il calcolo dei limiti e in variedimostrazioni del capitolo 4 riguardanti il numero e.
1.7 Radici, potenze, logaritmi
In questo paragrafo definiamo i concetti di radice, di potenza a base ed esponentereale e di logaritmo. Le dimostrazioni dei teoremi sono svolte nell’Appendice.
Teorema 1.7.1 Fissato un intero n ≥ 1 e un numero reale α > 0, esiste unoed un solo numero reale β > 0 tale che
βn = α. (1.7.2)
Definizione 1.7.3 Il numero β > 0 che soddisfa (1.7.2) si chiama radice n–esima di α e si indica con il simbolo
β = n√
α.
Il numero α si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anchela notazione
β = α1/n.
Osserviamo ora che, per la definizione di radice n–esima, si ha ( n√
α)m = n√
αm.Questa eguaglianza ci permette di definire le potenze a esponente razionale inmodo che godano delle consuete proprieta.
Definizione 1.7.4 Sia m e un intero relativo, sia n ≥ 1 un intero e sia α > 0.Si pone
αm/n =(
n√
α)m .
1.7. Radici, potenze, logaritmi 15
Se n = 2k e pari, l’equazione (1.7.2) ha anche la soluzione −β. Noi riservere-mo la scrittura n
√α all’unica soluzione positiva di (1.7.2). Cosı, non scriveremo√
(−2)2 = −2, bensı √(−2)2 = 2.
Per un generico α ∈ R vale √α2 = |α| .
Esaminamo ora le radici dei numeri reali negativi. Sia −α ∈ R− e n ≥ 1un intero. Innanzi tutto e chiaro che, se n = 2k e pari, non puo esistere alcunβ ∈ R tale che β2k =
(β2
)k = −α. Quindi non esistono in R le radici di indicepari dei numeri negativi.
Sia α > 0. Supponiamo n = 2k + 1 dispari e sia β > 0 tale che β2k+1 = α.Allora
(−β)2k+1 = −α.
Il numero −β viene ancora chiamato radice n-esima di −α e viene indicato conil simbolo
n√−α.
Per cio che si e detto, se n e dispari vale n√−α = − n
√α.
Dopo avere definito le potenze a esponente razionale αm/n, possiamo definirele potenze a esponente reale αβ , per ogni α > 0 e β ∈ R.
Anzitutto notiamo che, supposto α ≥ 1, β > 0 e β ≥ m/n, l’insieme del-le potenze αm/n e limitato superiormente al variare di m/n. Infatti dato unqualsiasi intero p > β, si ha p > m/n, da cui αp > αm/n.
Definizione 1.7.5 Sia α ≥ 1 e β > 0. Poniamo
αβ = sup{
αm/n :m
n≤ β
}.
Se 0 < α < 1 e β > 0 poniamo
αβ =1
(1/α)β.
Se α > 0 e β > 0 poniamo
α−β =1
αβ.
Infine poniamo α0 = 1. In tal modo la potenza αβ risulta definita per ogni α > 0e β reale.
Anche le potenze a esponente reale godono delle usuali proprieta delle po-tenze (si veda l’Appendice). Definiamo ora i logaritmi.
Teorema 1.7.6 Sia γ > 0 e α > 0, α 6= 1. Esiste uno e un solo numero realex tale che
αx = γ. (1.7.7)
16 1. Numeri reali
Definizione 1.7.8 Il numero x in 1.7.7 si chiama logaritmo di γ in base α esi scrive
x = logα γ.
Il Teorema 1.7.6 e dimostrato nell’appendice, dove sono anche presentate leprincipali proprieta dei logaritmi
1.8 Spazi euclidei
Definizione 1.8.1 Sia n un intero positivo. Indichiamo con Rn l’insieme ditutte le n-uple ordinate di numeri reali
x = (x1, x2, . . . , xn) ,
La n-upla x viene chiamata punto o vettore n-dimensionale. Il numero x1 vienechiamato prima coordinata di x, il numero x2 seconda coordinata di x, . . . ,ilnumero xn viene chiamato n-esima coordinata di x.
In altri termini, Rn non e altro che il prodotto cartesiano di R con se stesson volte. R1, R2 e R3 rappresentano rispettivamente la retta, il piano e lospazio euclideo, in cui si sia fissato un riferimento cartesiano. Possiamo quindiconsiderare Rn come la generalizzazione alla dimensione n della retta, del pianoe dello spazio cartesiano.
X
Y
x _
x
y
punto in R2
x _
Z
Y
X
x
y
z
punto in R3
Si noti che nella definizione 1.8.1 le n-uple sono ordinate; cosı, ad esempio,(1, 3,−2) 6= (3, 1,−2). Definiamo ora tre operazioni.
Definizione 1.8.2 Siano x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) due vettoriin Rn. Si dice somma di x e y il vettore
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) . (1.8.3)
1.8. Spazi euclidei 17
Ad esempio, in R4
(1, 1/2,√
2, 0) + (−1, 1/2,−√
2, 1) = (0, 1, 0, 1).
Se n = 1, l’operazione definita coincide con la usuale somma di numeri reali.
Definizione 1.8.4 Sia α ∈ R e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Chiamiamo prodot-to del vettore x per lo scalare α il vettore
αx = (αx1, αx2, . . . , αxn) .
Ad esempio, in R3
√2
(1,√
2, 3)
=(√
2, 2, 3√
2)
Definizione 1.8.5 Siano x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) due vettoriin Rn. Si dice prodotto interno dei due vettori il numero reale
(x, y
)= x1y1 + x2y2 + · · ·xnyn =
n∑
j=1
xjyj.
Ad esempio in R3, se x = (3, 1, 4) e y = (1/3, 10, 2), si ha
(x, y
)= 3 · 1
3+ 1 · 10 + 4 · 2 = 19.
La somma e un’operazione interna, cioe associa a due vettori di Rn un ter-zo vettore di Rn. Il prodotto per uno scalare e il prodotto interno non sonooperazioni interne a Rn. Il prodotto per uno scalare e definito per una coppiacostituita da un numero e un vettore, mentre il prodotto interno ha come risul-tato un numero. Nel caso n = 1, sia il prodotto per uno scalare che il prodottointerno coincidono con il consueto prodotto in R.
Definizione 1.8.6 Rn, dotato delle tre operazioni ora definite, si chiama spazioeuclideo n-dimensionale.
Indichiamo con 0 il vettore (0, 0, . . . , 0), ‘l’origine degli assi’, e con −x ilvettore (−x1,−x2, . . . ,−xn). Le operazioni di somma, prodotto per uno scalaree prodotto interno, hanno le seguenti proprieta.
18 1. Numeri reali
Proprieta della somma
1. ∀x, y x + y = y + x
2. ∀x, y, z x +(y + z
)=
(x + y
)+ z
3. ∀x x + 0 = x
4. ∀x x + (−x) = 0
Proprieta del prodotto per uno scalare
5. ∀α, β ∀x α (βx) = β (αx) = (αβ)x
Proprieta del prodotto interno
6. ∀x, y(x, y
)=
(y, x
).
Proprieta distributive
7. ∀x, y ∀α α(x + y
)= αx + αy
8. ∀x, y, z(x + z, y
)=
(x, y
)+
(z, y
)
9. ∀x, y, z(x, y + z
)=
(x, y
)+ (x, z)
10. ∀x, y ∀α α(x, y
)=
(αx, y
)=
(x, αy
)
La dimostrazione di queste proprieta e immediata.
Definizione 1.8.7 Sia x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Si chiama norma di x ilnumero reale non negativo
‖x‖ =√
(x, x) =√
x21 + x2
2 + · · ·+ x2n.
La norma di x in dimensione 1 coincide con il valore assoluto, in dimensione2 e 3 con la lunghezza del segmento che unisce il punto x all’origine degli assi.Quindi la norma costituisce una generalizzazione del concetto di distanza di unpunto dall’origine.
Ad esempio, in dimensione 2, ‖(3, 4)‖ = 5. In dimensione 4, posto x =(5, 2,
√2,√
5), si ha ‖x‖ = 6.
Proprieta della norma
1. ∀x ‖x‖ ≥ 0.
2. ∀x ‖x‖ = 0 se e solo se x = 0.
3. ∀x ∀α ‖αx‖ = |α| ‖x‖ omogeneita della norma.
1.8. Spazi euclidei 19
4. ∀x, y∣∣(x, y)
∣∣ ≤ ‖x‖ ||y|| diseguaglianza di Cauchy.
5. ∀x, y ||x + y|| ≤ ‖x‖+ ||y|| diseguaglianza triangolare.
6. ∀x, y∣∣‖x‖ − ||y||
∣∣ ≤ ||x + y||.Le proprieta 1 e 2 sono ovvie. Per la 3 si ha
‖αx‖ =√
α2x21 + α2x2
2 + · · ·+ α2x2n =
√α2 (x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n)
=√
α2
√x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n = |α| ‖x‖ .
Per dimostrare la diseguaglianza di Cauchy, si consideri il vettore tx + y perogni t ∈ R. Possiamo supporre x 6= 0, altrimenti la 4 e ovvia. Per la 1 si ha
(tx + y, tx + y
)= ||tx + y||2 ≥ 0.
D’altra parte, applicando successivamente le proprieta distributive e la commu-tativita del prodotto interno, si ha
(tx + y, tx + y
)=
(tx, tx + y
)+
(y, tx + y
)
= (tx, tx) + 2(tx, y
)+
(y, y
)(1.8.8)
= t2 ‖x‖2 + 2t(x, y
)+ ||y||2.
Poiche questo trinomio in t non puo essere negativo, il suo discriminante nonpuo essere positivo. Quindi
(x, y
)2 ≤ ‖x‖2 ||y||2.Passando alle radici quadrate si ottiene la 4.
x _ � �
+
0
X
Y
y _
x _
y _
Somma di vettori e diseguaglianza triangolare
20 1. Numeri reali
Dimostriamo ora la diseguaglianza triangolare. Si ha, ragionando come in(1.8.8) con t = 1,
||x + y||2 =(x + y, x + y
)
= ‖x‖2 + 2(x, y
)+ ||y||2.
Per la diseguaglianza di Cauchy(x, y
) ≤ ‖x‖ ||y||, e quindi
||x + y||2 ≤ (‖x‖+ ||y||)2 .
La 6 discende immediatamente dalla 5. Si ha infatti x =(x + y
)−y, e ||−y|| =||y|| per l’omogeneita della norma. Quindi
‖x‖ ≤ ||x + y|| + ||y||,da cui
‖x‖ − ||y|| ≤ ||x + y||. (1.8.9)
Scambiando i ruoli di x e y si ha anche
||y|| − ‖x‖ ≤ ||x + y||. (1.8.10)
Uno dei due numeri a sinistra in (1.8.9) o in (1.8.10) coincide con∣∣‖x‖ − ||y||
∣∣.Il nome ‘diseguaglianza triangolare’ e dovuto al fatto che, nel piano o nello
spazio, dati due punti x e y, i numeri ‖x‖, ||y|| e ||x + y|| rappresentano lelunghezze dei lati del triangolo di vertici 0, x e x+y. La somma delle lunghezzedi due lati non e mai minore della lunghezza del terzo. Analoga interpretazionevale per la 6. E possibile dimostrare che in 5 e in 6 vale il segno = se e solo seesiste un numero reale α tale che x = αy.
1.9 Appendice
1.9.1 Proprieta degli estremi superiore e inferiore
Elenchiamo alcune notevoli proprieta degli estremi superiore e inferiore. Alcunedi esse presuppogono le proprieta di campo che verranno dimostrate nel sottopa-ragrafo successivo. Supporremo A e B limitati superiormente o inferiormente, aseconda dei casi. Indichiamo con α il generico elemento di A e con β il genericoelemento di B. Si ha
1. sup(α + β) = sup α + sup β, inf(α + β) = inf α + inf β.
2. sup(αβ) = sup α sup β, inf(αβ) = inf α inf β se α e β sono positivi.
3. sup(−α) = − inf α inf(−α) = − supα.
4. sup (1/α) = 1/ inf α, inf(1/α) = 1/ sup(α) se ogni α > 0 e inf α > 0.
5. Se A ⊆ B inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ sup B.
1.9. Appendice 21
6. Se ∀α ∈ A ∃β ∈ B tale che α ≤ β, allora sup α ≤ supβ.
7. Se ∀α ∈ A ∃β ∈ B tale che α ≥ β, allora inf α ≥ inf β.
Queste formule sono valide anche per insiemi illimitati, una volta che venganoaritmetizzati i simboli ±∞. Ad esempio, se sup α = +∞ allora sup(α + β) =+∞. Se α > 0 si ha sup α = +∞ se e solo se inf(1/α) = 0.
La dimostrazione delle precedenti relazioni e piuttosto semplice e viene la-sciata come esercizio. Ad esempio, dimostriamo la prima eguaglianza in 1.
Si ha α ≤ supα e β ≤ sup β per ogni α ∈ A e β ∈ B. Quindi l’insieme dellesomme α + β ammette sup α + sup β come maggiorante, da cui
sup(α + β) ≤ supα + sup β.
Non puo valere il segno <, altrimenti esisterebbero α e β tali che α+β > α +βper ogni α e β, assurdo.
1.9.2 Proprieta delle operazioni in R
Se r e s sono due numeri razionali, il risultato della loro somma e prodottocome numeri reali coincide con quello della loro somma e prodotto nel camporazionale. Dimostriamo questa asserzione nel caso in cui ambedue i numerisiano positivi; con ovvie modificazioni, la dimostrazione vale anche negli altricasi. Sia quindi
r = r0, r1r2 . . . rn . . . e s = s0, s1s2 . . . sn . . .
ove i due allineamenti sono periodici. Siano r(n) e s(n) le loro troncate n-esime.Si ha per la (1.5.2)
r(n) ≤ r < r(n) + 10−n e s(n) ≤ s < s(n) + 10−n
da cuir + s− 2 · 10−n < r(n) + s(n) ≤ r + s. (1.9.1)
Si osservi che tutte le somme precedenti sono nel campo razionale. Da (1.9.1)segue immediatamente che r + s = supn
(r(n) + s(n)
). Per il prodotto si ragiona
nella stessa maniera, osservando che al posto della (1.9.1) vale
rs− (r + s)10−n − 10−2n < r(n)s(n) ≤ rs.
Per una migliore comprensione delle operazioni in R introduciamo il concettodi successione che si stabilizza.
Definizione 1.9.2 Sia γ1,γ2, . . . , γn . . . una successione di numeri reali positivicon allineamenti
γ1 = c10, c11c12 . . . c1k . . .
γ2 = c20, c21c22 . . . c2k . . .
. . . . . . . . .
γ2 = cn0, cn1cn2 . . . cnk . . .
. . . . . . . . .
22 1. Numeri reali
Diciamo che la successione si stabilizza se, per ogni indice k esiste n0 (dipen-dente in generale da k), tale che per ogni n > n0 la k-esima cifra decimale cnk
di γn ha sempre lo stesso valore.
Ad esempio, la sucessione
γ1 = 0, 3311143 . . .
γ2 = 0, 3234134 . . .
γ3 = 0, 3235215 . . .
γ4 = 0, 3235216 . . .
. . . . . . . . .
si stabilizza. Anche la successione 0, 9, 0, 99, 0, 999, 0, 9999,. . . si stabilizza,benche l’allineamento finale abbia periodo 9.
Teorema 1.9.3 Se γ1,γ2, . . . , γn . . .e una successione di numeri reali positi-vi non decrescente e limitata superiormente, oppure non crescente, allora lasuccessione si stabilizza.
Dimostrazione. Supponiamo la successione non decrescente e limitata supe-riormente. Allora, la parte intera assumera per un certo indice n0 il suo massimovalore, sia esso d0. Per i valori di n successivi a n0 si avra sempre cn0 = d0, poi-che γn e non decrescente. Esistera n1, che possiamo supporre maggiore di n0,tale che la prima cifra decimale assumera il suo valore massimo, sia esso d1. Peri valori di n successivi a n1 si avra cn0 = d0 e cn1 = d1, poiche la successione γn
e non decrescente.Cosı proseguendo, al passo k esistera nk > nk−1 > . . . > n0
tale che la k-esima cifra decimale assumera il suo valore massimo, sia esso dk.Per n ≥ nk si avra
cn0 = d0, cn1 = d1, cn2 = d2, . . . , cnk = dk
Dunque la successione si stabilizza.Se la successione e non crescente, la dimostrazione e la stessa, sostituendo
ai massimi i minimi.Supponiamo che la successione dei γn sia non decrescente. Se l’allineamento
d0, d1d2 . . . dn . . . non ha periodo 9, il numero δ = d0, d1d2 . . . dn . . . e l’estremosuperiore della successione. Se l’allineamento e del tipo d0, d1d2 . . . dm99999 . . .,con dm < 9, l’estremo superiore e il numero razionale δ = d0, d1d2 . . . (dm + 1).
Se la successione e non crescente, la costruzione del teorema mostra chel’allineamento d0, d1d2 . . . dn . . .non puo avere periodo 9. Quindi, l’allineamentod0, d1d2 . . . dn . . . rappresenta sempre l’estremo inferiore della successione.
Chiaramente il Teorema 1.9.3 si applica alla somma e al prodotto di numerireali. Nella definizione di somma di due numeri reali positivi α e β, la successioneγn = α(n) + β(n) e non decrescente, e quindi le cifre decimali di tale successionesi stabilizzano a quelle di α + β, salvo il caso del periodo 9 notato dianzi. Adesempio, 0, 18 + 0, 81 = 1, ma α(n) + β(n) = 0, 999 . . . 9 per ogni n > 0.
1.9. Appendice 23
Lemma 1.9.4 Sia x1 ≤ x2 ≤ . . . xn ≤ . . . una successione non decrescente dirazionali e y1 ≥ y2 ≥ . . . yn ≥ . . .una successione non crescente di razionali.Supponiamo che
∃C > 0 ∀n xn ≤ yn ≤ xn +C
10n.
Allorasup
nxn = inf
nyn.
Dimostrazione. Si fissi n e sia m > n. Allora xn ≤ xm ≤ ym e quindixn ≤ infm ym. Poiche infm ym e un maggiorante dell’insieme degli xn,
supn
xn ≤ infn
yn.
Se fosse supn xn < infn yn, esisterebbero due razionali r e s tali che
∀n supn
xn < r < s < infn
yn.
Per ogni n varrebbe allora
0 < s− r < yn − xn ≤ C
10n,
il che e assurdo, poiche contraddice la proprieta archimedea del campo razionale.
Corollario 1.9.5 Per ogni α ≥ 0 e β ≥ 0 si ha
α + β = infn
(α(n) + β(n) + 2 · 10−n)
αβ = infn
(α(n) + 10−n
)(β(n) + 10−n
)
1α
= infn
1α(n)
Dimostrazione. Si applica il Lemma 1.9.4. Nel caso della somma si pone xn =α(n) + β(n) e yn = α(n) + β(n) + 2 · 10−n = xn + 2 · 10−n.
Per il prodotto si pone xn = α(n)β(n) e yn =(α(n) + 10n
) (β(n) + 10−n
). La
successione yn e non crescente e
yn ≤ xn + (α + β) 10−n + 10−2n.
Per il reciproco si pone xn =(α(n) + 10−n
)−1e yn = 1/α(n). Se k e il primo
intero per cui α(k) 6= 0, si ha
yn ≤ xn +(α(k)
)−2
10−n.
24 1. Numeri reali
Nel caso della somma, le cifre di yn si stabilizzano, a quelle di α + β, nelcaso del prodotto a quelle di αβ.
Dimostriamo ora che R e un campo ordinato, ovvero dimostramo le proprietada 1 a 11 del paragrafo 1.4.
Proprieta 1. Siano α e β non negativi. Si ha
α(n) + β(n) = β(n) + α(n), α(n)β(n) = β(n)α(n) ,
e l’eguaglianza si mantiene passando all’estremo superiore. Se uno o ambedue inumeri sono negativi, la dimostrazione si adatta facilmente.
Proprieta 2. Supponiamo α, β, e γ non negativi. Per il Corollario 1.9.5
(α + β)(n) ≤ (α + β) ≤ α(n) + β(n) + 2 · 10−n.
Ne segue(α + β)(n) + γ(n) < α(n) + β(n) + γ(n) + 3 · 10−n.
Poiche α(n) + β(n) ≤ (α + β)(n), possiamo applicare il Lemma 1.9.4 con
xn = (α + β)(n) + γ(n), yn = α(n) + β(n) + γ(n) + 3 · 10−n.
Si conclude che
infn
(α(n) + β(n) + γ(n) + 3 · 10−n
)= sup
n(α + β)(n) + γ(n) = (α + β) + γ.
Allo stesso modo si ha
infn
(α(n) + β(n) + γ(n) + 3 · 10−n
)= α + (β + γ) ,
da cui la proprieta 2 se tutti i numeri sono non negativi. La dimostrazione siadatta agli altri casi. Per dimostrare ad esempio che
(α− β) + γ = α + (−β + γ)
si ragiona come sopra, sostituendo alla successione β(n) la successione −β(n) −10−n.
Proprieta 3 e 4. La 3 e evidente poiche 0(n) = 0. La 4 e pure immediata,poiche per ogni α > 0 si ha α + (−α) = sup(α(n) − α(n) − 10−n) = 0.
Proprieta 5. Si dimostra sulla falsariga della 1.
Proprieta 6. Se i tre numeri sono non negativi, si ragiona come nelladimostrazione della proprieta 2. Si ha
(αβ)(n)γ(n) <
(α(n) + 10−n
)(β(n) + 10−n
)(γ(n) + 10−n
).
1.9. Appendice 25
Posto xn = (αβ)(n)γ(n) e yn =
(α(n) + 10−n
) (β(n) + 10−n
) (γ(n) + 10−n
), si
hayn < xn + (αβ + αγ + βγ)10−n + (α + β + γ)10−2n + 10−3n.
Poiche α(n)β(n) ≤ (αβ)(n), possiamo applicare il Lemma 1.9.4 per concludereche
(αβ) γ = infn
(α(n) + 10−n
)(β(n) + 10−n
)(γ(n) + 10−n
).
Allo stesso modo si vede che
α (βγ) = infn
(α(n) + 10−n
)(β(n) + 10−n
)(γ(n) + 10−n
).
Se uno o piu numeri sono negativi, si passa ai valori assoluti, tenendo conto che,per due numeri reali positivi ρ e σ, si ha, per definizione di prodotto,
−(ρσ) = (−ρ)σ = ρ(−σ).
Proprieta 7 e 8. La 7 e evidente. Dimostriamo la 8. Possiamo limitarci alcaso α > 0. Per n abbastanza grande si ha α(n) > 0. Poiche
( 1α
)(n)
≤ 1α≤ 1
α(n),
si ha1
α(n) + 10−n<
(( 1α
)(n)
+ 10−n
)≤ 1
α(n)+ 10−n.
Quindi
1 <(α(n) + 10−n
) (( 1α
)(n)
+ 10−n
)≤
(α(n) + 10−n
) (1
α(n)+ 10−n
).
Passando all’estremo inferiore si ottiene αα−1 = 1.
Proprieta 9. Supponiamo α, β, e γ non negativi. Si pone
yn =(α(n) + β(n) + 2 · 10−n
)(γ(n) + 10−n
)
xn = (α + β)(n)γ(n).
Si osserva che yn < xn + (α + β + 2γ) 10−n + 2 · 10−2n e si applica il Lemma1.9.4. Si ottiene
(α + β) γ = infn
(α(n) + β(n) + 2 · 10−n
)(γ(n) + 10−n
).
In modo analogo si valuta αγ + βγ, arrivando cosı alla tesi.Se uno o piu numeri sono negativi, a seconda dei casi si passa ai moduli o si
sostituisce, ad esempio α(n), con −α(n) − 10−n.
26 1. Numeri reali
Proprieta 10. Sia 0 ≤ α < β. Si ha α(n) ≤ α < β < β(n) + 2 · 10−n, da cui
α(n) + γ(n) < β(n) + γ(n) + 2 · 10−n.
Per il Corollario 1.9.5,α + γ ≤ β + γ. (1.9.6)
Se valesse l’eguaglianza in (1.9.6), sommando ad ambo i membri −γ e usandola proprieta 2 otterremmo α = β.
Se uno o piu i numeri sono negativi, la dimostrazione e la stessa, ad esempiosostituendo α(n) con −α(n) − 10−n.
Proprieta 11. Si dimostra in maniera del tutto analoga alla proprieta 10.
1.9.3 Radici e potenze
Sia α > 0 e sia n > 1 intero. Dimostriamo che esiste uno e un solo β > 0 taleche βn = α.
L’unicita e banale, poiche, se ci fossero due radici distinte, β1 < β2, siavrebbe anche α = βn
1 < βn2 = α, assurdo.
Dimostriamo l’esistenza. L’insieme
A = {x ∈ R+ : xn < α}
non e vuoto, poiche il numero α(1 + α)−1 e minore di 1 e di α, per cui(
α
1 + α
)n
<α
1 + α< α.
Inoltre A e limitato superiormente. Infatti 1 + α e un maggiorante, poiche
(1 + α)n> 1 + α > α.
Poniamoβ = sup A.
Sia, per assurdo, βn > α. Possiamo trovare δ tale che
0 < δ <β
n
(1− α
βn
)< β.
Per il Lemma 1.6.1 e la scelta di δ, si ha
(β − δ)n = βn
(1− δ
β
)n
> βn
(1− n
δ
β
)> α.
Abbiamo quindi trovato un maggiorante di A minore di β, assurdo.Sia ora, per assurdo, βn < α. Sia δ tale che
0 < δ <1
nβ
(1− βn
α
)<
1β
.
1.9. Appendice 27
Ragionando come nel caso precedente, si ha(
1β− δ
)n
>1α
, ossia
βn <βn
(1− βδ)n < α,
Quindiβ
(1− βδ)e un elemento di A maggiore di β, assurdo. Questo conclude
la dimostrazione.
Per le potenze a esponente reale valgono le consuete proprieta.
αxαy = αx+y, (αx)y = αxy, (αβ)x = αxβx
0 <α< β e x > 0 implica αx < βx
0<x < y e α > 1 implica αx < αy
etc. . . . . . . . .
Come esempio, dimostriamo brevemente la prima. Siano dapprima x e y razio-nali, x = m/n e y = r/s. Per la definizione di potenza a esponente frazionariosi ha (
αm/nαr/s)ns
= αms+rn
e quindi αm/nαr/s = α(ms+rn)/ns. Passando agli estremi superiori si ha l’assertoper ogni x e y positivi.
1.9.4 Logaritmi
Dimostriamo il Teorema 1.7.6. Sia γ > 0 e α > 1 e dimostriamo che l’equazione
αx = γ
ha una e una sola soluzione nel campo reale. L’unicita e evidente poiche, se cifossero due soluzioni x1 < x2, si avrebbe
γ = αx1 < αx2 < γ,
il che e assurdo.Sia
A = {y ∈ R : αy ≤ γ} .
L’insieme A non e vuoto. Infatti, poniamo α = (1 + ε), ove ε > 0. Sia n ≥ 2tale che 1 + nε > γ−1. Per il Lemma 1.6.1 si ha allora
γ > (1 + ε)−n
e quindi −n ∈ A. Inoltre, A e limitato superiormente. Infatti, sia n ≥ 2 taleche 1 + nε > γ. Allora, sempre per il Lemma 1.6.1, si ha
γ < (1 + ε)n
28 1. Numeri reali
e quindi n e un maggiorante di A.Poniamo x = sup A. Sia per assurdo αx > γ. Poniamo
δ =αx
γ− 1 > 0.
Sia n > 1 un intero tale che 1 + nδ > α. Si ha allora, per il Lemma 1.6.1,
αx−1/n > αx (1 + nδ)−1/n> αx (1 + δ)−1 = γ.
Quindi x− 1/n e un maggiorante minore di x, assurdo.Se, per assurdo, αx < γ, si pone
δ =γ
αx− 1 > 0
e si sceglie n in modo tale che 1 + nδ > α. Come prima si ottiene
αx+1/n < αx (1 + nδ)1/n< αx (1 + δ) = γ.
Quindi αx+1/n ∈ A e x non puo essere un maggiorante, assurdo.Se α < 1 la dimostrazione e del tutto analoga.
I logaritmi hanno le seguenti ben note proprieta:
1. logα 1 = 0.
2. logα γβ = β log γ; in particolare, logα(1/γ) = − logα γ.
3. logα(βγ) = logα β + logα γ.
4. Sia α > 1. Si ha logα γ > 0 se γ > 1, logα γ < 0 se γ < 1. Se α < 1, ilsegno del logaritmo e invertito.
5. logα γ =(logγ α
)−1 se γ 6= 1.
La seguente formula permette il cambiamento di base dei logaritmi:
logα γ = logβ γ logα β. (1.9.7)
I sistemi di logaritmi generalmente adottati sono quelli che hanno come baseil numero e di Nepero (logaritmi naturali), oppure quelli in base 10 (logaritmidecimali). La (1.9.7) fornisce la seguente relazione tra i due sistemi:
loge γ = (2, 30258 . . .) log10 γ,
poiche loge 10 = 2, 30258 . . ..
Capitolo 2
Funzioni
2.1 Introduzione
Benche la nozione di funzione si possa definire mediante quella di sottoinsiemedi un prodotto cartesiano (si veda l’Appendice), per semplicita espositiva assu-meremo il concetto di funzione come primitivo. A titolo illustrativo possiamodescrivere il concetto di funzione nel seguente modo.
Siano X e Y due insiemi non vuoti. Una funzione f , definita in X e a valoriin Y , e una legge che associa ad ogni elemento x ∈ X uno e un solo elementoy ∈ Y .
I termini applicazione e mappa vengono usati come sinonimi di funzione.In questo capitolo presentiamo i concetti e le proprieta generali delle applica-zioni tra insiemi astratti. In particolare, avranno rilievo le funzioni definitenell’insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3, . . . n, . . .}.
2.2 Immagini e controimmagini
Siano X e Y due insiemi non vuoti e sia f una funzione definita in X a valoriin Y . Useremo sempre la notazione
f : X → Y
L’insieme X si chiama insieme di definizione di f . Si dice anche che f applica,o mappa, X in Y .
Per ogni x ∈ X indicheremo con y = f(x) l’unico elemento y ∈ Y associatoad x. ll valore f(x) si chiama immagine di x mediante f . Se A ⊆ X non e vuoto,si indica con f(A) ⊆ Y l’insieme delle immagini dei punti x ∈ A. L’insieme f(A)viene chiamato immagine di A mediante f . Si ha quindi
f(A) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A f(x) = y} .
Se A = ∅, si pone per definizione f(A) = ∅.
29
30 2. Funzioni
X Y
y=f(x)x
f
X Y
f f(A)A
Immagine di un punto e di un insieme
In particolare, f(X) si chiama codominio o coinsieme di f .Sia f : X → Y , e sia y ∈ Y . L’insieme di tutti gli x ∈ X tali che
f(x) = y si chiama controimmagine di y mediante f e si indica con f−1(y). Lacontroimmagine di y puo contenere piu di un punto, o puo anche essere l’insiemevuoto.
Se B ⊆ Y si dice controimmagine di B mediante f il sottoinsieme di X
f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} .
Se B non e vuoto, la controimmagine di B e l’unione delle controimmagini ditutti i suoi punti.
Esempi 2.2.1
1. Sia X = Y = R, e f(x) = sin x. Allora f(R) =[−1, 1]. Si ha
f−1(0) = {kπ : k ∈ Z} .
Inoltre f−1(y) = ∅ se |y| > 1.
2. Sia X = Y = R e f(x) = x2. Si ha f(R) = R+ ∪ {0}. La controimmaginedi 0 ha il solo elemento 0, mentre per ogni y > 0 si ha
f−1(y) = {−√y,√
y} .
Se y < 0 si ha f−1(y) = ∅. Per ogni intervallo [a, b], si ha
f−1([a, b]) =
[√
a,√
b] ∪ [−√
b,−√a] se a ≥ 0[−√
b,√
b] se a < 0 e b > 0{0} se a < 0 e b = 0∅ se b < 0
3. Sia X = R2 e Y = R. Poniamo f(x, y) = x. Si ha f(R2) = R. Lacontroimmagine di x ∈ R e la retta verticale passante per il punto (x, 0).Questa funzione si chiama ‘proiezione sulla prima coordinata’.
4. Sia X = Y = N, e f(n) = 2n. Si ha f(N) = 2N (l’insieme dei numeriinteri positivi pari). Se m e pari f−1(m) = {m/2}, mentre se m e disparif−1(m) = ∅.
2.2. Immagini e controimmagini 31
5. Sia X = Y = R e f(x) = x3. In questo caso f(R) = R, e, per ogni y ∈ Rsi ha f−1(y) =
{3√
y}.
Definizione 2.2.2 Sia f : X → Y . Valgono le seguenti definzioni.
1. La funzione f si dice suriettiva se f(X) = Y .
2. La funzione f si dice iniettiva se
∀x1, x2 ∈ X x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f(x2).
3. La funzione f si dice biunivoca se e suriettiva e iniettiva.
Le funzioni degli esempi 2.2.1.1 e 2.2.1.2 non sono ne suriettive, ne iniettive.La funzione dell’esempio 2.2.1.3 e suriettiva, ma non iniettiva. La funzionedell’esempio 2.2.1.4 e iniettiva, ma non suriettiva. La funzione dell’esempio2.2.1.5 e sia iniettiva che suriettiva, cioe biunivoca. E altresı ovvio che ognifunzione e suriettiva sul suo codominio. Ad esempio, la funzione f(x) = sin x esuriettiva da R a [−1, 1].
Se f : X → Y , il grafico di f si definisce come il sottoinsieme del prodottocartesiano X×Y costituito da tutti i punti del tipo (x, f(x)). In tal modo vienegeneralizzato il noto concetto di grafico di una funzione reale di variabile reale.
Sia f : X → Y . Indichiamo con X1, X2 e A sottoinsiemi di X e con Y1, Y2
e B sottoinsiemi di Y . Indichiamo il complementare di A in X con Ac, e ilcomplementare di B in Y con Bc. Si hanno le seguenti proprieta di semplicedimostrazione.
1. f−1 (Y1 ∪ Y2) = f−1 (Y1) ∪ f−1 (Y2)
2. f−1 (Y1 ∩ Y2) = f−1 (Y1) ∩ f−1 (Y2)
3. f (X1 ∪X2) = f (X1) ∪ f (X2)
4. f (X1 ∩X2) ⊆ f (X1) ∩ f (X2)
5. A ⊆ f−1 (f (A)) e vale l’eguaglianza se f e iniettiva.
6. B ⊇ f((f−1 (B)
)e vale l’eguaglianza se f e suriettiva.
7. f−1(Bc) =(f−1 (B)
)c
8. f (Ac) ⊆ (f (A))c se f e iniettiva; (f (A))c ⊆ f (Ac) se f e suriettiva;f (Ac) = (f (A))c se f e biunivoca.
32 2. Funzioni
2.3 Restrizione, funzione inversa, composta.
Data una funzione f : X → Y , definiamo una nuova applicazione ‘restringendo’la variabile x a un sottoinsieme dell’insieme di definizione.
Definizione 2.3.1 Sia f : X → Y e sia A ⊆ X non vuoto. Si chiamarestrizione di f ad A la funzione f |A : A → Y tale che
∀x ∈ A f |A(x) = f(x).
A sua volta f si chiama estensione a X di f |A.
La nozione di restrizione permettera di considerare una data funzione definitasolo su opportuni sottoinsiemi di X.
Sia f : X → Y biunivoca. Ogni y ∈ Y e immagine di uno e un solo x ∈ X.Possiamo quindi definire una funzione da Y a X, inversa della precedente.
Definizione 2.3.2 Sia f : X → Y biunivoca. La funzione inversa f−1 : Y →X e la funzione che associa a ogni y ∈ Y l’unico elemento x ∈ X tale chef(x) = y.
X Y
f
x y
f
-1
Funzione inversa
In altri termini, f−1 associa ad y l’unico elemento della controimmagine diy. Questo motiva l’uso del simbolo f−1, che ordinariamente e riservato allecontroimmagini (ricordiamo che una controimmagine e un insieme). Se f ebiunivoca, ovviamente anche f−1 e biunivoca e la sua inversa e la funzione fstessa. Quando esiste una funzione biunivoca f : X → Y , si dice che X e Ysono in corrispondenza biunivoca.
π/2
−π/2
La funzione arctan(x)
2.3. Restrizione, funzione inversa, composta. 33
Esempi 2.3.3
1. Sia f(x) = 10x. Questa funzione e definita in R e ha valori reali. Ilcodominio e R+ e f e biunivoca da R a R+. La sua funzione inversa ef−1(x) = log10 x, definita in R+ a valori in R. In modo analogo, l’inversadi ex (ove e e il numero di Nepero) e il logaritmo naturale log x.
2. Sia f(x) = tanx. La tangente e definita in R ad eccezione dei punti x =π/2+kπ, ove k ∈ Z. Non e biunivoca, ma la sua restrizione a (−π/2, π/2)applica biunivocamente questo intervallo su R. La sua funzione inversasi chiama arcotangente di y. L’arcotangente e definita in R a valori in(−π/2, π/2) ed e denotata con il simbolo arctan x.
3. La funzione f(x) = sin x ristretta a [−π/2, π/2] applica biunivocamentequesto intervallo su [−1, 1]. La sua funzione inversa si chiama arcoseno di xed e denotata con il simbolo arcsin(x). L’arcoseno applica biunivocamente[−1, 1] su [−π/2, π/2].
4. In modo analogo la restrizione di cos x a [0, π] applica biunivocamentequesto intervallo su [−1, 1]. La sua funzione inversa si chiama arcoco-seno di x ed e denotata con il simbolo arccos(x). L’arcocoseno applicabiunivocamente [−1, 1] su [0, π].
π/2
−π/2
−1 1
0 1−1
π/2
π
Le funzioni arcsin(x) e arccos(x)
Le precedenti funzioni si possono restringere ad altri intervalli su cui sono biuni-voche, ma i nomi arcotangente, arcoseno, arcocoseno sono riservati alle inversedelle restrizioni agli intervalli precisati sopra.
Definizione 2.3.4 Sia f : X → Y e g : Y → Z. Si chiama funzione compostadi g e f (in questo ordine) la funzione g ◦ f : X → Z definita da
∀x ∈ X g ◦ f(x) = g (f(x)) .
34 2. Funzioni
Esempi 2.3.5
1. Sia y = f(x) = 10x e z = g(y) = sin y. In questo caso X = Y = Z = R.La funzione composta g ◦ f risulta
z = g ◦ f(x) = g (f(x)) = sin 10x.
In questo caso e anche possibile invertire l’ordine della composizione,poiche tutti e tre gli insiemi coincidono. Si ha la nuova funzione
z = f ◦ g(x) = 10sin x.
2. Sia f : R→ R2 definita da f(x) = (1 + x, 1− x). Sia g : R2→ R2 definitada g(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2). Allora g ◦ f : R→ R2 e
g ◦ f(x) = g(f(x)
)= (2, 2x).
La composizione di funzioni puo essere iterata, in modo da comporre un numeroqualunque di funzioni. Si noti che, se f e una applicazione biunivoca di X suse stesso, si ha
∀x ∈ X f ◦ f−1(x) = f−1 ◦ f(x) = x.
Teorema 2.3.6 Siano f : X → Y e g : Y → Z funzioni biunivoche. Allorag ◦ f : X → Z e biunivoca.
Dimostrazione. Poiche le due funzioni sono suriettive, si ha f(X) = Y eg(Y ) = Z. Quindi g (f(X)) = Z, di modo che anche la funzione composta esuriettiva.
Se x1 6= x2, si ha f (x1) 6= f (x2). Poiche g e pure iniettiva, si ha g (f(x1)) 6=g (f(x2)). Quindi anche g ◦ f e iniettiva.
x f(x) g(f(x))
gof
X Y Z
f g
Funzione composta
2.4. Successioni. Indici 35
2.4 Successioni. Indici
Denotiamo, come di consueto, con N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .} l’insieme dei numerinaturali.
Definizione 2.4.1 Sia X un insieme non vuoto. Una successione a valori inX e una funzione f : N→X.
L’immagine f (n) dell’intero n viene abitualmente indicata con xn. Il va-lore xn si chiama termine generale o termine n-esimo della successione. Lasuccessione viene indicata mediante un allineamento
x1, x2, x3, . . . xn, . . .
oppure mediante uno dei simboli
{xn}∞n=1 {xn}n∈N {xn} .
Questi simboli vengono usati sia per denotare la successione che il suo codominio.Consideriamo ad esempio la successione a valori reali
1,12,
13,
14, . . . ,
1n
, . . . (2.4.2)
In questo caso si ha xn = 1/n. Nel caso della successione, sempre a valori in R,
−1, 1,−1, 1, . . . , (−1)n, . . .
il termine generale e xn = (−1)n.Si puo presentare il caso di funzioni f : N→ X definite solo a partire da un
certo numero in poi. Ad esempio, log(n−1) e definita solo per n ≥ 2. Scrivendosuccessivamente i valori della funzione per n = 2, 3, 4, . . . abbiamo
log 1, log 2, log 3, . . .
Otteniamo cosı una successione il cui primo valore e log 1 = x2, il secondo valoree log 2 = x3, il terzo valore e log 3 = x4 etc. Allo stesso modo avremo terminigenerali definiti a partire da 0 o da un intero negativo. Ad esempio,
f(n) =1
n + 1
e definita per n ≥ 0 e la successione dei suoi valori e data da (2.4.2). In questocaso useremo le notazioni
x0, x1, x2, . . . xn, . . . {xn}∞n=0
e notazioni analoghe se il termine generale e definito per n ≥ k.
La nozione di successione puo essere generalizzata a funzioni definite suinsiemi di qualsiasi natura. Iniziamo con tre esempi.
36 2. Funzioni
Esempi 2.4.3
1. In R consideriamo la famiglia di tutti gli intervalli del tipo (0, x), ovex > 0. Possiamo indicare ciascuno di questi intervalli con Ax.
2. Nel piano cartesiano consideriamo l’insieme di tutte le semirette s uscentidall’origine. Sia θ, 0 ≤ θ < 2π, l’angolo di cui deve ruotare (in sensoantiorario) il semiasse positivo delle X per sovrapporsi a s. Associamo aogni θ ∈ [0, 2π) la corrispondente semiretta, che verra indicata con sθ.
3. Sia α ∈ (0, 1) un numero reale. Le sue cifre decimali possiedono un valoremassimo, che denotiamo con mα. Abbiamo quindi associato ad ogni α ∈(0, 1) un intero mα tra 0 e 9.
Definizione 2.4.4 Siano I e X insiemi non vuoti. Una indicizzazione a valoriin X e una funzione f : I → X. Gli elementi dell’insieme I vengono chiamatiindici.
L’immagine f(i) dell’indice i ∈ I si denota con xi e l’indicizzazione a valoriin X si denota con il simbolo {xi}i∈I .
X
Y
sθ
θ
Negli esempi precedenti gli insiemi degli indici sono rispettivamente R+,[0, 2π), (0, 1). Gli insiemi X sono rispettivamente la famiglia degli interval-li aperti con primo estremo 0, la famiglia delle semirette del piano uscentidall’origine, l’insieme delle cifre {0, 1, 2, . . . , 9}.
Possiamo ora definire le operazioni di unione e intersezione per famiglie qua-lunque di insiemi. Sia {Ai}i∈I una famiglia di sottoinsiemi di un insieme A.Poniamo
⋂
i∈I
Ai = {x ∈ A : ∀i ∈ I x ∈ Ai} ,
⋃
i∈I
Ai = {x ∈ A : ∃i ∈ I x ∈ Ai} .
2.5. Potenza di un insieme 37
Per gli insiemi dell’esempio 2.4.3.1 si ha⋂
x∈R+
Ax = ∅,⋃
x∈R+
Ax = (0, +∞).
Nell’esempio 2.4.3.2 si ha⋂
θ∈[0,2π)
sθ = {(0, 0)} ,⋃
θ∈[0,2π)
sθ = R2.
Se l’insieme degli indici e N (cioe nel caso di una successione di insiemi), si usanole notazioni
+∞⋂n=1
An,+∞⋃n=1
An.
Se l’insieme degli indici e l’insieme dei primi k naturali {1, 2, . . . , k}, si usano lenotazioni
k⋂n=1
An,k⋃
n=1
An.
L’unione e l’intersezione di famiglie qualsiasi di sottoinsiemi godono delle con-suete proprieta di queste operazioni.
2.5 Potenza di un insieme
Definizione 2.5.1 Sia X un insieme non vuoto. Si dice che X e finito se esisten ∈ N tale che X sia in corrispondenza biunivoca con l’insieme {1, 2, . . . , n}. Ilnumero n si dice potenza, o cardinalita, di X.
Si noti che la potenza di un insieme finito e unica. Se X e in corrispondenzabiunivoca con {1, 2, 3, . . . , n} e con {1, 2, 3, . . . , m}, allora questi due insiemidevono essere in corrispondenza biunivoca tra loro e quindi m = n.
Se X = ∅ si assegna convenzionalmente a X la cardinalita 0.
Definizione 2.5.2 Un insieme non vuoto si dice infinito se non e finito.
Pur senza introdurre il concetto di cardinalita per insiemi infiniti, possiamotuttavia definire la nozione di insiemi che hanno eguale cardinalita.
Definizione 2.5.3 Si dice che due insiemi non vuoti X e Y sono equipo-tenti, o che hanno la stessa potenza, o la stessa cardinalita, se essi sono incorrispondenza biunivoca. In tal caso si scrive X ∼ Y .
Si dice che X ha potenza, o cardinalita, maggiore di quella di Y se X non eequivalente a Y ed esiste un sottoinsieme proprio A ⊂ X tale che A ∼ Y .
Osserviamo che se X ∼ Y e Y ∼ Z allora X ∼ Z Infatti, se f : X → Y ebiunivoca e g : Y → Z e biunivoca, allora la funzione composta g ◦ f : X → Ze pure biunivoca per il Teorema 2.3.6.
38 2. Funzioni
Due insiemi finiti sono equipotenti se e solo se hanno la stessa cardinalita se-condo la definizione 2.5.1. In particolare, un insieme finito ha sempre cardinalitamaggiore di quella di un suo sottoinsieme proprio.
Se X e infinito, la situazione e diversa. Ad esempio, definiamo una ap-plicazione f : N → 2N (i numeri naturali pari) ponendo f(n) = 2n. Questaapplicazione e biunivoca, poiche il codominio concide con 2N e numeri diffe-renti hanno immagini differenti. Quindi N e equipotente a un suo sottoinsiemeproprio.
Il seguente Teorema mostra che questa proprieta caratterizza gli insiemiinfiniti. La dimostrazione e svolta nell’Appendice.
Teorema 2.5.4 Un insieme non vuoto X e infinito se e solo se esiste un suosottoinsieme proprio A tale che A ∼ X.
2.6 Potenza del numerabile
Definizione 2.6.1 Si dice che un insieme A e numerabile (o che ha la potenzadel numerabile) se A e equipotente a N.
Se A e numerabile esiste un funzione biunivoca f : N→A. Posto an = f(n),gli elementi di A si possono ‘elencare in successione’:
a1, a2, a3, . . . , an, . . . (2.6.2)
Un esempio di insieme numerabile diverso da N stesso e fornito da Z, l’insiemedegli interi relativi. Gli elementi di Z si possono infatti elencare in successionecon la legge
0,−1, 1,−2, 2,−3, 3, . . .
Il seguente Teorema mostra che la potenza del numerabile e la ‘piu piccola’cardinalita infinita.
Teorema 2.6.3 Sia A un insieme numerabile e B ⊆ A un insieme infinito.Allora B e numerabile.
Dimostrazione. Supponiamo gli elementi di A indicizzati come in (2.6.2).Tra questi elementi si trovano anche gli elementi b ∈ B. Denotiamo con b1 ilprimo elemento di B che appare in (2.6.2). Denotiamo con b2 il primo elementodi B successivo a b1. In generale, avendo definito bk, denotiamo con bk+1 ilprimo elemento di B successivo a bk. Poiche B e infinito, tale processo nonpuo avere termine, e tutti gli elementi di B risultano elencati in successione:b1, b2, . . . , bk, . . .
Teorema 2.6.4 Sia A1, A2, . . . , An,. . . una successione di insiemi ciascuno deiquali e numerabile. Allora
A =∞⋃
n=1
An
e numerabile.
2.6. Potenza del numerabile 39
Dimostrazione. Indichiamo con ank gli elementi di An, cioe
An = {an1, an2, an3, . . . , ank, . . .} .
Gli elementi dell’unione sono tutti e soli gli elementi che appaiono nel seguentequadro
A1 : a11 a12 a13 a14 . . .A2 : a21↗ a22 ↗ a23 ↗ a24 . . .A3 : a31 ↗ a32 ↗ a33 a34 . . .A4 : a41 ↗ a42 a43 a44 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .An : an1 ↗ an2 an3 an4 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gli elementi della tabella si possono numerare con procedimento ’diagonale’:
a11,a21, a12, a31, a22, a13, a41, a32, a23, a14,... (2.6.5)
Poiche gli An non sono necessariamente a due a due disgiunti, un elemento puoapparire piu volte nella successione (2.6.5). Conveniamo quindi di omettere, nelprocesso di numerazione descritto, ogni elemento che sia gia apparso una volta.
In tal modo A risulta posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme deinumeri naturali.
Il Teoema precedente si enuncia anche nel seguente modo: l’unione di unainfinita numerabile di insiemi numerabile e numerabile.
Corollario 2.6.6 Siano A1, A2, . . . , An insiemi numerabili. Allora, il loro pro-dotto cartesiano
A1 ×A2 × . . .×An
e numerabile.
Dimostrazione. Dimostriamo il Corollario per induzione sul numero n diinsiemi, iniziando da n = 2. Siano
A = {a1, a2, a3, . . . , an, . . .} , B = {b1, b2, b3, . . . , bk, . . .}
numerabili. Il generico elemento di A × B e del tipo (an, bk). Quindi A × Brisulta unione numerabile degli insiemi numerabili
{a1} ×B = {(a1, b1), (a1, b2), (a1, b3), . . . , (a1, bk), . . .}{a2} ×B = {(a2, b1), (a2, b2), (a2, b3), . . . , (a2, bk), . . .}{a3} ×B = {(a3, b1), (a3, b2), (a3, b3), . . . , (a3, bk), . . .}
. . . . . . . . .
{an} ×B = {(an, b1), (an, b2), (an, b3), . . . , (an, bk), . . .}. . . . . . . . .
Per il Teorema 2.6.4 A×B e numerabile.
40 2. Funzioni
Supponiamo ora vera la tesi per n. Poniamo A = A1 × A2 × . . . × An eB = An+1, di modo che
A1 ×A2 × . . .×An ×An+1 = A×B.
Per l’ipotesi di induzione A e numerabile e quindi, come abbiamo appena visto,anche A×B e numerabile.
Corollario 2.6.7 Q e numerabile. Qn e numerabile per ogni intero n ≥ 1.
Dimostrazione. Ogni numero razionale si esprime, in forma non unica, comefrazione p/q, ove p ∈ Z e un intero relativo e q ∈ N. Associando a p/q la coppia(p, q), l’insieme di tutte le frazioni e in corrispondenza biunivoca con Z× N, chee numerabile per il Corollario precedente. Poiche Q e un sottoinsieme infinitodell’insieme numerabile di tutte le frazioni, per il Teorema 2.6.3 Q e numerabile.
Per il Corollario precedente anche Qn e numerabile.
2.7 Potenza del continuo
Non tutti gli insiemi infiniti sono numerabili. Questo paragrafo e dedicato alladimostrazione del Teorema di Cantor, che asserisce che R ha potenza maggioredi N.
Definizione 2.7.1 Diciamo che un insieme ha la potenza del continuo se eequipotente a R.
-1 1
y =x
1− |x|
2.7. Potenza del continuo 41
Lemma 2.7.2 L’intervallo (0, 1) ha la potenza del continuo.
Dimostrazione. La funzione g(x) = (x + 1)/2 applica biunivocamente (−1, 1)su (0, 1) e quindi (0, 1) ∼ (−1, 1). Basta percio dimostrare che (−1, 1) eequipotente a R. Sia f : (−1, 1) → R definita da
f(x) =x
1− |x| .
Evidentemente, f(0) = 0, f(x) > 0 se 0 < x < 1 e f(x) < 0 se −1 < x < 0. Siay ∈ R fissato. L’equazione
y =x
1− |x|ammette in (−1, 1) l’unica soluzione
x =y
1 + yse y > 0,
x =y
1− yse y < 0.
Quindi, per ogni y ∈ R esiste uno e un solo x ∈ (−1, 1) tale che f(x) = y, cioef e biunivoca.
E chiaro che, con ragionamento analogo, si dimostra che ogni intervallo (a, b)ha la potenza del continuo.
Teorema 2.7.3 (di Cantor) R ha potenza maggiore di N.
Dimostrazione. Basta dimostrare che l’intervallo (0, 1) non e numerabile.Questo implica, per il Lemma 2.7.2, che neppure R e numerabile. Inoltre, poicheN ⊂ R, per la definizione 2.5.3 si ha che la cardinalita di R e maggiore di quelladi N.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che i punti di (0, 1) si possano di-sporre in successione, sia essa {xn}∞n=1. Ogni elemento della successione ha unarappresentazione decimale
x1 = 0, c11 c12 c13 . . . c1n . . .x2 = 0, c21 c22 c23 . . . c2n . . .x3 = 0, c31 c32 c33 . . . c3n . . .. . . . . . . . .xn = 0, cn1 cn2 cn3 . . . cnn . . .. . . . . . . . .
(2.7.4)
Costruiamo ora un numero reale x ∈ (0, 1) che non coincide con nessuno deglixn. Definiamo la prima cifra decimale c1 in modo che
c1 6= c11, c1 6= 0, c1 6= 9.
Definiamo c2 in modo tale che
c2 6= c22, c2 6= 9.
42 2. Funzioni
Definiamo c3 in modo chec3 6= c33, c3 6= 9.
Al passo n definiamo cn in modo che
cn 6= cnn, cn 6= 9.
Ad esempio, possiamo scegliere cn = 2 se cnn = 1, e cn = 1 se cnn 6= 1.Il numero
x = 0, c1 c2 c3 . . . cn . . .
e positivo poiche c1 6= 0, ed e minore di 1 perche la sua parte intera e 0. Tuttaviax differisce da tutti i numeri xn in (2.7.4), poiche, per ogni n, si ha cn 6= cnn.Siamo cosı arrivati a un assurdo.
Corollario 2.7.5 L’insieme I dei numeri irrazionali non e numerabile.
Dimostrazione. Altrimenti R = Q ∪ I sarebbe numerabile.Ulteriori risultati sulla potenza degli insiemi sono contenuti in Appendice.
2.8 Appendice
2.8.1 Le funzioni come sottoinsiemi del prodotto cartesiano
Come abbiamo affermato nel primo paragrafo di questo capitolo, la nozione difunzione si puo definire tramite quella di sottoinsieme del prodotto cartesiano.La definizione consiste nell’identificazione di una funzione con il suo grafico.
Siano X e Y due insiemi non vuoti, e sia F un sottoinsieme del prodottocartesiano X × Y con la seguente proprieta: per ogni x ∈ X esiste uno e unsolo y ∈ Y tale che (x, y) ∈ F . Diciamo allora che F definisce una funzionef : X → Y . Per ogni x ∈ X l’unico elemento y tale che (x, y) ∈ F vieneindicato con il simbolo funzionale f(x).
2.8.2 Proprieta degli insiemi infiniti
Lemma 2.8.1 Sia X un insieme infinito. Allora
a) X contiene un insieme numerabile N tale che N c e infinito
b) Per ogni insieme numerabile N ⊆ X tale che N c e infinito, X e equipotentea N c.
Dimostrazione. a) Sia x1 ∈ X qualsiasi. Poiche X non e finito, esiste x2 ∈ Xtale che x2 6= x1. Analogamente, esiste x3 ∈ X distinto da x1 e x2. Perogni n, dati x1,x2, x3, . . . , xn a due a due distinti, esiste xn+1 ∈ X distinto daiprecedenti. Quindi X contiene l’insieme numerabile N = {x1x2, x3, . . . , xn, . . .}.Se N c non e infinito, basta sostituire N con la successione x2x4, x6, . . . , x2n, . . .degli elementi di indice pari.
2.8. Appendice 43
b) Sia N ⊆ X numerabile tale che N c e infinito. Poniamo
N = {x1, x2, x3, . . . , xn, . . .}
Per il punto a), N c contiene a sua volta un sottoinsieme numerabile
{y1,y2, y3, . . . , yn, . . .} ⊂ N c.
Formiamo la successione {zn}∞n=1 con la seguente legge:
z2n−1 = xn , z2n = yn.
Chiamiamo Z l’insieme degli elementi della successione. La funzione
f(x) ={
x se x ∈ Zc
z2n = yn se x = zn ∈ Z
applica biunivocamente X su N c.
Corollario 2.8.2 Un insieme non vuoto X e infinito se e solo se esiste un suosottoinsieme proprio A tale che X ∼ A.
Dimostrazione. Se esiste un insieme infinito A ⊂ X tale che X ∼ A, l’insiemeX non puo essere finito. L’affermazione inversa segue dai punti a) e b) delLemma precedente
Corollario 2.8.3 L’insieme dei numeri irrazionali ha la potenza del continuo.
Dimostrazione. Basta applicare il punto b) del Lemma 2.8.1 con X = R eN = Q.
Teorema 2.8.4 L’insieme di tutti gli allineamenti delle cifre 0 e 1 ha la potenzadel continuo.
Dimostrazione. Sia X l’insieme degli allineamenti di 0 e 1. Ad esempio
1 0 0 11 0 10 0 1 . . .
Sia N il sottoinsieme degli allineamenti di periodo 1 e dell’allineamento che hala sola cifra 0. L’insieme N e numerabile. Infatti, c’e un solo allineamentodi periodo 1 senza antiperiodo, un allineamento di periodo 1 con antiperiododi una cifra, due allineamenti di periodo 1 con antiperiodo di due cifre, quat-tro allineamenti di periodo 1 con antiperiodo di tre cifre e, in generale, 2n−1
allineamenti di periodo 1 con antiperiodo di n cifre.Tutti e soli gli allineamento di N c costituiscono le rappresentazioni binarie
dei numeri in (0, 1) (senza la parte intera 0). Quindi N c ∼ (0, 1), e per il puntob) del Lemma 2.8.1, si ha anche X ∼ (0, 1).
Chiaramente, lo stesso risultato vale per tutti gli allineamenti decimali o inbase qualunque.
44 2. Funzioni
2.8.3 Potenza dell’insieme delle parti
Per ogni insieme X denotiamo con P(X) l’insieme delle parti di X, ovvero,l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi. Per X = N si ha il seguente risultato.
Teorema 2.8.5 P(N) e equipotente a R.
Dimostrazione. Sia A ⊆ N. Ad ogni intero n associamo il numero 1 se n ∈ A,altrimenti associamo a n il numero 0. Ad esempio, se A e l’insieme dei dispariotteniamo l’allineamento infinito
1 0 1 0 1 0 1 0 . . .
Se A e il sottoinsieme dei quadrati, otteniamo l’allineamento
1 0 0 1 0 0 0 0 1 . . .
Quindi, ad ogni A viene associato un allineamento infinito di cifre 0 e 1. Lacorrispondenza tra questi allineamenti e P(N) e chiaramente biunivoca. Per ilTeorema 2.8.4, P(N) ha la potenza del continuo.
Ci si puo chiedere se esistano insiemi con potenza maggiore del continuo.La risposta e affermativa. In analogia al caso di N, P(X) ha sempre potenzamaggiore di X. Prima di dimostrare questo risultato, osserviamo che, come nelcaso numerabile, P(X) e equipotente all’insieme di tutte le funzioni
f : X → {0, 1} .
Infatti, ad ogni A ⊆ X, si assegna la funzione f : X → {0, 1} tale che
f(x) ={
1 se x ∈ A0 se x /∈ A
Teorema 2.8.6 Per ogni insieme X l’insieme delle parti P(X) ha potenzamaggiore di X.
Dimostrazione. Se X e l’insieme vuoto, allora l’insieme P(∅) ha cardinalita1, poiche contiene ∅ come unico elemento. Supponiamo che X non sia vuoto.Allora, P(X) contiene un sottoinsieme proprio equipotente a X. Infatti, l’in-sieme di tutti i singletons (insiemi con un solo elemento) e in corrispondenzabiunivoca con X.
Per dimostrare che P(X) non e equipotente a X, si generalizza la dimostra-zione del Teorema di Cantor. Sia F l’insieme di tutte le funzioni f : X → {0, 1},e supponiamo per assurdo che F si possa mettere in corrispondenza biunivocacon X. In tal caso, ad ogni x viene associata in maniera biunivoca una funzionefx ∈ F .
Costruiamo ora una funzione g ∈ F che non puo corrispondere a nessunindice x. La funzione
g(x) ={
1 se fx(x) = 00 se fx(x) = 1
non puo corrispondere a nessun x ∈ X. Infatti, per ogni x ∈ X, g differisce dafx per il valore assunto in x.
2.8. Appendice 45
Corollario 2.8.7 Se X e finito con cardinalita n, P(X ) ha cardinalita 2n.
Dimostrazione. Basta dimostrare che l’insieme delle funzioni da X a {0, 1}ha cardinalita 2n. Al primo elemento di X possono corrispondere due valori, 0o 1; al secondo elemento due valori, 0 o 1; al terzo elemento ancora due valorietc. Quindi, per i primi due elementi ci sono 4 scelte possibili, per i primi 3elementi 8 scelte possibili, per i primi n elementi 2n scelte possibili.
In base alla proprieta espressa dal Corollario, per l’insieme delle parti di Xviene anche usata la notazione 2X .
Abbiamo dimostrato che il prodotto cartesiano di insiemi numerabili e nu-merabile. Una simile affermazione vale anche per la potenza del continuo.
Teorema 2.8.8 Rn e equipotente a R.
Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema per semplicita nel caso n = 2, ma ladimostrazione si estende in modo ovvio.
Sia X l’insieme di tutti gli allineamenti di cifre 0 e 1. Per il Teorema 2.8.4X ∼ R. Chiaramente X×X ∼ R×R. Basta quindi dimostrare che X×X ∼ X.Siano x e y appartenenti a X. Poniamo
x = a1 a2 . . . an . . . y = b1 b2 . . . bn . . .
ove an e bn sono 0 o 1. Definiamo f : X × X → X associando alla coppiaordinata (x, y) l’allineamento in cui le cifre dispari sono quelle di x e le cifrepari quelle di y. Poniamo cioe
f(x, y) = a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . . an bn . . .
Dimostriamo che f e biunivoca.La funzione f e iniettiva. Infatti, se f(x, y) = f (x,y), si ha
a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . . = a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . .
Ne segue an = an e bn = bn per ogni n, cioe x = x e y = y.La funzione e anche suriettiva. Infatti, assegnato
z = c1 c2 c3 c4 . . . c2n−1 c2n . . . ,
si ha z = f(x, y), con
x = c1 c3 c5 . . . c2n−1 . . . y = c2 c4 c6 . . . c2n . . . .
Capitolo 3
Spazi Metrici
3.1 Introduzione
Gli spazi metrici costituiscono un capitolo della topologia, una delle granditeorie unificanti della matematica moderna. Molti dei concetti presentati inquesto capitolo sono concetti topologici, che noi ci limiteremo a studiare nelcontesto metrico. La nozione di distanza appare nella matematica in svariaticontesti analitici e geometrici. La teoria degli spazi metrici, nata all’inizio delsecolo XX, fornisce un ambito astratto e unitario per la trattazione di questanozione.
3.2 Definizione ed esempi
Definizione 3.2.1 Sia X 6= ∅ e sia d : X ×X → R. Si dice che (X, d) e unospazio metrico se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. ∀x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0
2. ∀x, y ∈ X d(x, y) = 0 se e solo se x = y
3. ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x) (proprieta di simmetria)
4. ∀x, y, z ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (diseguaglianza triangolare)
La funzione d si chiama metrica o distanza su X. Si dice anche che X emetricizzato tramite d. Gli elementi x ∈ X vengono chiamati punti dello spaziometrico.
Esempi 3.2.2
1. Sia X = R e d(x, y) = |x− y|. Le proprieta 1–4 sono immediatamenteverificate.
47
48 3. Spazi Metrici
Z
Y
X
y__x
|| x_ - y_ ||
Distanza euclidea in R3
2. Sia X = Rn e d(x, y) =∥∥x− y
∥∥. Le proprieta della norma studiate nelparagrafo 1.8 del capitolo 1 assicurano che d e effettivamente una distanzasu Rn. Essa prende il nome di metrica euclidea. La metrica euclidea,definita tramite la norma, e la distanza ‘naturale’ in Rn.
Nel seguito, quando non sia esplicitamente affermato il contrario, suppor-remo sempre Rn metricizzato con la metrica euclidea.
3. Un insieme ammette in generale piu funzioni distanza che lo metricizzano.Come esempio, introduciamo in Rn due distanze diverse da quella euclidea.La prima e il massimo valore assoluto della differenza delle coordinate.Poniamo
d∞(x, y
)= max {|x1 − y1| , |x2 − y2| , . . . , |xn − yn|} .
Che tale funzione sia una metrica e presto verificato. La 1 e ovvia, comepure la 2, poiche maxk |xk − yk| = 0, implica x1 = y1, . . . , xn = yn.La simmetria e pure chiara, poiche |xk − yk| = |yk − xk| per ogni k.Verifichiamo la proprieta triangolare. Si ha, per ogni k = 1, 2, . . . , n,
|xk − yk| ≤ |xk − zk|+ |zk − yk| . (3.2.3)
Passando ai massimi si ha
maxk|xk − yk| ≤ max
k|xk − zk|+ max
k|zk − yk| ,
cioed∞
(x, y
) ≤ d∞ (x, z) + d∞(z, y
).
4. Definiamo un’altra distanza in Rn ponendo
d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ · · · |xn − yn|
=n∑
k=1
|xk − yk| .
3.2. Definizione ed esempi 49
x1 y1
x2
y2
y
x
_
_
La distanza d1
(x, y
)
Le proprieta 1–3 sono ovvie, e anche la quarta discende dall’analoga pro-prieta del valore assoluto. Infatti, poiche (3.2.3) vale per ogni k, somman-do si ottiene
n∑
k=1
|xk − yk| ≤n∑
k=1
|xk − zk|+n∑
k=1
|zk − yk| .
5. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia Y ⊆ X un sottoinsieme non vuoto.Detta dY la restrizione di d a Y × Y , (Y, dY ) e a sua volta uno spaziometrico, chiamato sottospazio metrico di X. In questo caso diciamo cheY ha la metrica indotta da X.
6. Sia C la circonferenza unitaria nel piano, e siano p e q due punti di C. Essisuddividono la circonferenza in due archi di lunghezze `(p, q) e 2π−`(p, q).Chiamiamo distanza di p da q la piu piccola delle lunghezze di questi duearchi, cioe
d(p, q) = min (`(p, q), 2π − `(p, q)) .
Le proprieta della distanza sono imediatamente verificate. Si noti chequesta distanza non e la metrica indotta da R2, descritta nel precedenteesempio. Infatti
dC(p, q) = ‖p− q‖ < min (`(p, q), 2π − `(p, q)) .
7. L’esempio precedente puo essere generalizzato. Sia S ⊆ R3 la superficiesferica unitaria. Siano p e q due punti di S. Per essi passa uno e un solocerchio massimo. Chiamiamo distanza tra p e q il minimo delle lunghezzedei due archi di cerchio massimo. Anche in questo caso la distanza ediversa dalla distanza indotta da R3.
Questa metrica e un esempio di distanza geodetica. Data una superficie inR3, possiamo definire in essa lo stesso tipo di distanza qualora sia definito
50 3. Spazi Metrici
p
qdC(p,q)=||p-q||
d(p,q)
–1
0
1
–1
0
1
–1
0
1
p
q
Distanza nel cerchio e sulla sfera
il concetto di curva di lunghezza minima (chiamata geodetica) che uniscedue punti. In tal caso, si definisce distanza di due punti della superficiela lunghezza della geodetica che li unisce. Un altro esempio elementare diquesto tipo di superfici e il cilindro infinito.
8. Sia f : R→ R una funzione iniettiva. Poniamo, per ogni coppia di numerireali x, y,
df (x, y) = |f(x)− f(y)|.Si riconosce facilmente che le proprieta 1–4 della definizione 3.2.1 sonoverificate. La distanza euclidea in R si puo considerare una distanza diquesto tipo, qualora si ponga f(x) = x.
x y
f(x)
f(y)
La distanza df in R
9. Sia X l’insieme di tutte le funzioni limitate f : [0, 1] → R, cioe tali chesupx |f(x)| < +∞. La differenza di due funzioni in X e ancora limitata,poiche
supx|f(x)− g(x)| ≤ sup
x|f(x)|+ sup
x|g(x)| < +∞.
Poniamod(f, g) = sup
x|f(x)− g(x)| .
3.3. Intorni 51
E immediato verificare che le proprieta 1–4 nella definizione di spaziometrico sono soddisfatte.
10. In ogni insieme non vuoto X puo essere definita una metrica. Poniamo,per ogni x, y ∈ X,
d(x, y) ={
0 se x = y1 se x 6= y
Le proprieta 1–3 della metrica sono immediate. Dimostriamo che vale ladiseguaglianza triangolare. Siano x, y, z elementi di X, non necessaria-mente distinti. Se x = y, allora
d(x, y) = 0 ≤ d(x, z) + d(y, z).
Se x 6= y, allora deve valere almeno una delle due relazioni: x 6= z, oppurey 6= z. Quindi
d(x, y) = 1 ≤ d(x, z) + d(y, z).
La metrica ora descritta si chiama metrica discreta e (X, d) si chiamaspazio metrico discreto.
3.3 Intorni
Quando si sia definito il concetto di distanza in un insieme, la nozione piunaturale ad essa associata e quella di ‘cerchio’ di centro e raggio assegnato.
Definizione 3.3.1 Sia (X, d) uno spazio metrico. Sia p ∈ X e r > 0. Sichiama intorno circolare (o semplicemente intorno) di p di raggio r l’insieme
B(p, r) = {x ∈ X : d(p, x) < r} .
Il punto p si chiama centro dell’intorno.
Esempi 3.3.2
1. Sia X = R con la metrica euclidea. In questo caso
B(p, r) = {x ∈ R : |p− x| < r} .
Poiche la diseguaglianza |p− x| < r equivale a
p− r < x < p + r,
l’intorno B(p, r) coincide con l’intervallo aperto (p− r, p + r).
2. Se X = R2 o X = R3 (ambedue con la metrica euclidea) B(p, r) e rispet-tivamente: il cerchio con centro p e raggio r, privato della circonferenza;la sfera con centro p e raggio r, privata della superficie sferica. In Rn l’in-torno B(p, r) e la generalizzazione al caso n-dimensionale di queste figuregeometriche.
52 3. Spazi Metrici
3. Consideriamo la metrica d∞ in Rn, limitandoci per semplicita a n = 2.Gli intorni circolari dell’origine 0 nella metrica d∞ sono gli insiemi
B(0, r) ={(x, y) ∈ R2 : max (|x| , |y|) < r
}.
In altri termini, (x, y) ∈ B(0, r) se e solo se −r < x < r e −r < y < r.Quindi B(0, r) coincide con il quadrato, privato dei lati, con centro in (0, 0)e semilato r, con lati paralleli agli assi. Gli intorni B(p, r) del genericopunto p del piano sono i quadrati, privati dei lati, con centro in p e lato2r. In R3 gli intorni in questa metrica sono dei cubi privati delle facce.
4. In R2 con la metrica d1 gli intorni dell’origine sono gli insiemi
B(0, r) ={(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < r
}.
Quindi, B(0, r) e l’insieme del piano limitato dalle quattro rette
y = ±x + r, y = ±x− r. (3.3.3)
Tale insieme e un quadrato, privato dei lati, centrato nell’origine e aventegli assi cartesiani come rette diagonali. Poiche le rette (3.3.3) intercetta-no le coordinate ±r sugli assi, la lunghezza del lato e r
√2. Gli intorni
del generico punto p ∈ R2 si ottengono da quelli dell’origine mediantetraslazione.
r
r
-r
-r 0 r
r
-r
-r 0
Intorni di (0, 0) nelle metriche d∞ e d1
5. Gli intorni in un sottospazio metrico (Y, dY ) di uno spazio metrico (X, d)sono esattamente le intersezioni degli intorni nello spazio ambiente X conY . Infatti, per ogni p ∈ Y indichiamo con BY (p, r) l’intorno di p nelsottospazio (Y, dY ). Si ha
BY (p, r) = {y ∈ Y : dY (p, y) < r} = {y ∈ Y : d(p, y) < r}= B(p, r) ∩ Y .
Ad esempio, sia X = R con la metrica euclidea e Y = [0, +∞). Gliintorni di 0 nel sottospazio Y , con la metrica indotta, sono gli intervalli[0, r) = Y ∩ (−r, r). Se p > 0, gli intorni di p in (Y, dY ) sono gli intervalli
(p− r, p + r) se p− r ≥ 0[0, p + r) se p− r < 0.
3.3. Intorni 53
0 p p+r[ )
Intorno di p nella metrica indotta
6. Sia (X, d) lo spazio metrico dell’esempio 3.2.2.9. Per ogni f ∈ X si ha
B(f, r) ={
g ∈ X : supx|f(x)− g(x)| < r
}.
Quindi, per ogni g ∈ B(f, r) esiste δ > 0 tale che supx |f(x)− g(x)| = r−δ.Ne segue
∀x ∈ [0, 1] f(x)− (r − δ) ≤ g(x) ≤ f(x) + (r − δ) .
Quindi B(f, r) consiste delle funzioni g il cui grafico e compreso tra quellodi f(x)− r e f(x) + r, ma che si mantiene ‘discosto’ da questi due graficiper un opportuno valore δ, dipendente da g.
10
f(x)+r
f(x)
f(x)-r
g(x)
7. Sia (X, d) metrico discreto. Se r > 1, qualunque y ∈ X soddisfa ladiseguaglianza d(p, y) < r, poiche la distanza puo valere al massimo 1. Inquesto caso B(p, r) = X. Al contrario, se r ≤ 1, l’unico punto tale ched(p, y) < r ≤ 1 e il punto p stesso. In questo caso B(p, r) = {p} si riduceal centro.
Dalla definizione di intorno circolare segue che, se r1 < r2, allora B(p, r1) ⊆B(p, r2). Negli spazi euclidei vale il segno ⊂ di inclusione stretta, ma in unospazio metrico generico intorni di raggio diverso possono coincidere. Ad esempio,in uno spazio metrico discreto, al variare del raggio ci sono due soli intorni dix, lo spazio totale e il singleton di x. In ogni caso vale pero la proprieta diseparazione degli intorni, o proprieta di Hausdorff.
Teorema 3.3.4 (Proprieta di Haudorff) Sia (X, d) metrico e siano x, y ∈X. Se x 6= y, allora esiste r > 0 tale che
B(x, r) ∩B(y, r) = ∅.
54 3. Spazi Metrici
Dimostrazione. Poniamo r = 13d(x, y). Sia z ∈ B(x, r), e valutiamo d(y, z).
Si ha, per la diseguaglianza triangolare e la simmetria,
3r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)≤ r + d(y, z),
da cui d(y, z) ≥ 2r. Quindi z /∈ B(y, r).
3.4 Classificazione dei punti
Sia (X, d) uno spazio metrico e A ⊆ X un suo sottoinsieme. Mediante la nozionedi intorno circolare, i punti di X si possono classificare, rispetto ad A, in puntiinterni, esterni o di frontiera.
Definizione 3.4.1 Un punto p ∈ X si dice
1. interno ad A se∃r > 0 tale che B(p, r) ⊆ A;
2. esterno ad A se∃r > 0 tale che B(p, r) ⊆ Ac;
3. di frontiera per A se
∀r > 0 B(p, r) ∩A 6= ∅ e B(p, r) ∩Ac 6= ∅.
Le condizioni ai punti 1, 2 e 3 sono mutuamente esclusive: ogni punto di Xsoddisfa una e una sola delle tre condizioni.
Dalle definizioni discendono le seguenti considerazioni immediate: un puntointerno ad A appartiene necessariamente ad A e un punto esterno ad A e internoad Ac.
La definizione di punto di frontiera e simmetrica rispetto ad A e ad Ac. Inaltri termini, un punto e di frontiera per A se e solo se e di frontiera per Ac.Quindi un punto di frontiera puo appartenere sia ad A che ad Ac.
L’insieme dei punti di frontiera di A viene chiamato frontiera o contorno diA ed e indicato con il simbolo ∂A. L’insieme dei punti interni di A e chiamatointerno di A ed e indicato con il simbolo A.
A
AC
punto interno
punto esterno
punto di frontiera
Punto interno, esterno, di frontiera
3.4. Classificazione dei punti 55
Esempi 3.4.2
1. In ogni spazio metrico (X, d), l’insieme X ha solo punti interni. D’altrolato, ogni punto e esterno all’insieme vuoto ∅.
2. Sia A = (a, b) ⊂ R. Ogni punto p ∈ (a, b) e interno. Infatti, se
r < min(p− a, b− p),
B(p, r) = (p − r, p + r) ⊂ (a, b). In questo caso Ac = (−∞, a] ∪ [b,+∞),ma i punti esterni sono tutti e soli i punti p tali che p < a oppure p > b.I punti a e b sono di frontiera.Analogamente, se A = [a, b], o A = [a, b), o A = (a, b], si ha A = (a, b) e∂A = {a, b}.
3. Sia A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1
}. In questo caso
A = A e ∂A = ∂Ac ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}.
L’insieme dei punti esterni e{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1
}.
Analoghe considerazioni si possono applicare ad altre figure geometrichepiane o spaziali. Ad esempio, un poligono convesso in R2 ha l’insieme deilati come frontiera e come interno i punti della figura che non appartengonoai lati.
4. In un qualunque spazio metrico (X, d) i punti di un intorno circolareB(p, s) sono interni. Infatti, sia x ∈ B(p, s). L’intorno di x di raggior < s− d(p, x) e contenuto in B(p, s), poiche, per ogni y ∈ B(x, r), si ha
d(p, y) ≤ d(p, x) + d(x, y) < d(p, x) + s− d(p, x) = s.
p
x
y
r
s
Tutti punti di un intorno sono interni
56 3. Spazi Metrici
5. Sia A = Q ⊂ R e sia p ∈ Q. Ogni intervallo (p− r, p + r) contiene infinitirazionali e infiniti irrazionali. Quindi p ∈ ∂Q.Denotiamo con I = Qc l’insieme degli irrazionali. Se x ∈ I, ogni intervallo(x − r, x + r) contiene infiniti razionali e infiniti irrazionali. Quindi si hapure x ∈ ∂Q. Poiche la frontiera di un insieme e del suo complementarecoincidono, si ha
∂Q = ∂I = R.
6. Sia A = B(p, s). Abbiamo visto nell’esempio 3.4.2.3 che in Rn, dotatodella metrica euclidea, si ha
∂A = {y ∈ Rn : d(p, y) = s}
e i punti esterni sono quelli che hanno da x distanza maggiore di s. Inuno spazio metrico generico cio non e sempre vero. Se (X, d) e uno spaziometrico discreto B(p, 1) = {p} e l’insieme dei punti {y ∈ X : d(p, y) = 1}e Ac. D’altra parte, ogni punto x ∈ Ac e esterno, poiche
B(z, 1) = {z} ⊆ Ac.
In questo caso ∂A = ∅ e {y ∈ X : d(x, y) > 1} = ∅.
Studiamo ora un altro tipo di classificazione dei punti. Sia (X, d) uno spaziometrico e sia A ⊆ X. Se un punto p non e esterno ad A, ogni suo intornoha intersezione non vuota con A. Ci sono due possibilita: o ogni intorno di pcontiene un punto di A diverso da p, oppure esiste un intorno di p in cui l’unicopunto di A e p stesso.
Definizione 3.4.3 Sia (X, d) uno spazio metrico e A ⊆ X un suo sottoinsieme.Un punto p ∈ X si dice
1. di accumulazione per A se
∀r ∃x 6= p tale che x ∈ B(p, r) ∩A;
2. isolato in A se∃r B(p, r) ∩A = {p}.
Dalla definizione si ha che un punto isolato appartiene necessariamente adA. Invece un punto di accumulazione puo appartenere o ad A o ad Ac, comeapparira chiaro dagli esempi. L’insieme dei punti di accumulazione di A si indicacon A′ e si chiama insieme derivato di A.
Teorema 3.4.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e A ⊆ X. Un punto p e diaccumulazione per A se e solo se ogni suo intorno contiene infiniti punti di A.
3.4. Classificazione dei punti 57
Dimostrazione. Sia p di accumulazione per A e supponiamo, per assurdo, cheesista un intorno B(p, s) contenente un numero finito di punti di A. Denotia-mo tali punti con x1, x 2, . . . , xn, omettendo il punto p stesso nel caso che essoappartenga ad A. Sia
0 < r < min (d(p, x1), d(p, x2), . . . , d(p, xn)) .
Allora, l’intorno B(p, r) non puo contenere nessun punto di A diverso da p,assurdo.
Corollario 3.4.5 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X un sottoinsiemefinito. Allora A′ = ∅.
Esempi 3.4.6
1. Sia A = (a, b) ⊂ R. Tutti i punti di (a, b) sono di accumulazione per A.Anche gli estremi a e b sono di accumulazione. Quindi A′ = [a, b]. Non cisono punti isolati. Se A = [a, b], oppure A e un intervallo semiaperto, siha ancora A′ = [a, b].
2. Sempre in R con la metrica euclidea, consideriamo l’insieme
A ={
1,12,13, . . . ,
1n
, . . .
}.
Ogni punto di A e isolato. Infatti, per n = 1 l’intorno B(1, s), con s < 1/2,contiene solo il punto 1 di A. Per n = 2, l’intorno B(1/2, s), con s < 1/6,contiene solo il punto 1/2 di A. Per n generico sia
0 < s <1n− 1
n + 1=
1n(n + 1)
.
L’intorno B(1/n, s) contiene solo il punto 1/n di A.
10)
1_3
1_2
1_n
( )r
1_2
1_2
+s-s
A = {1 , 1/2 , 1/3 , . . . , 1/n, , . . .}, A′ = {0}
Il punto 0 e di accumulazione. Infatti, assegnato ad arbitrio r > 0, perogni n > 1/r i punti 1/n appartengono a B(0, r). E anche chiaro che nonci sono altri punti di accumulazione. Quindi A′ = {0}.
58 3. Spazi Metrici
3. In R2 con la metrica euclidea sia A un intorno circolare di p di raggio r.Ogni punto sulla circonferenza e di accumulazione, e ogni punto interno edi accumulazione. Quindi
A′ ={x ∈ R2 : d(p, x) ≤ r
}.
Non ci sono punti isolati. L’analoga proprieta vale per figure geometricheelementari piane o spaziali, e per gli intorni circolari in Rn.
4. Sia A = Q ⊂ R. Il ragionamento dell’esempio 3.4.2.5 mostra che ogni nu-mero reale e di accumulazione per Q ⊂ R, ovvero Q′ = R. Analogamente,I′ = R
5. Sia (X, d) metrico discreto e A ⊆ X non vuoto. Ogni punto p ∈ A eisolato, poiche l’intorno di raggio 1 di p contiene solo p. Ovviamente nonci possono essere punti di accumulazione.
In generale, uno spazio metrico viene chiamato discreto se ogni suo puntoe isolato, anche se la distanza non assume solo i valori 0 e 1. Ad esempio,N, con la metrica indotta da quella euclidea, ha solo punti isolati. Perchiarezza di linguaggio, noi useremo il termine ‘spazio metrico discreto’solo per gli spazi dotati della distanza discreta, che assume unicamente ivalori 0 e 1.
Nello spazio euclideo Rn ogni punto isolato di A e anche punto di frontieraper A. Questo non vale in generale, come mostra l’esempio 3.4.6.5. Nella metricadiscreta la frontiera di un qualunque sottoinsieme A e vuota e ogni punto di Ae sia isolato che interno. In generale possiamo affermare i seguenti fatti:
a) un punto di A o e interno, oppure e di frontiera per A;
b) un punto di A o e di accumulazione per A, oppure e isolato;
c) un punto di frontiera per A o e di accumulazione per A, oppure e isolato;
d) un punto interno e un punto isolato di A appartengono necessariamente adA;
e) un punto di accumulazione per A non appartiene necessariamente ad A.
3.5 Insiemi aperti, chiusi, limitati
Definizione 3.5.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e A ⊆ X. Si dice che A eaperto se A = A. Si dice che A e chiuso se Ac e aperto.
Quindi, un insieme A non vuoto e aperto se e solo se tutti i suoi punti sonointerni. I chiusi si possono caratterizzare in termini di punti di accumulazione.
Teorema 3.5.2 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. L’insieme A echiuso se e solo se A′ ⊆ A.
3.5. Insiemi aperti, chiusi, limitati 59
Dimostrazione. Sia A chiuso e sia p ∈ Ac. Poiche p e interno ad Ac, esiste unintorno B(p, r) che non contiene punti di A. Quindi p non e di accumulazioneper A. In altri termini, A′ ⊆ A.
Viceversa, sia A′ ⊆ A e sia p un qualunque punto di Ac. Per ipotesi p non edi accumulazione per A. Questo significa che esiste un intorno B(p, r) che noncontiene alcun punto di A diverso da p. Dato che p ∈ Ac, B(p, r) non contienenessun punto di A; percio B(p, r) ⊆ Ac. Quindi p e interno ad Ac. Ne segueche Ac e aperto.
Esempi 3.5.3
1. In ogni spazio metrico (X, d) l’insieme X e aperto, poiche tutti suoi puntisono interni. X e anche chiuso perche, essendo l’insieme totale, contienenecessariamente X ′. Ne segue che anche ∅ e sia chiuso che aperto.
2. In qualunque spazio metrico (X, d) un insieme finito A e chiuso. Infatti,A′ = ∅ ⊂ A, per il Corollario 3.4.5.
3. Ogni intervallo (a, b) ⊂ R e aperto. Cosı pure sono aperti gli intervalli(a,+∞) e (−∞, a). Gli intervalli [a, b] sono chiusi, come pure gli intervalli[a,+∞) e (−∞, a]. Le definizioni di intervalli aperti e chiusi del capitolo1 sono quindi coerenti con la definizione 3.5.1 di insiemi aperti e chiusi.
Gli intervalli del tipo [a, b) e (a, b] non sono ne aperti ne chiusi. Infattiuno dei due estremi appartiene all’insieme ma non e interno, mentre l’altroestremo e punto di accumulazione, ma non appartiene all’insieme.
4. Sia (X, d) uno spazio metrico, sia Y ⊆ X un insieme non vuoto, e con-sideriamo il sottospazio (Y, dY ) con la metrica indotta. Abbiamo vistonell’esempio 3.3.2.5 che gli intorni di un punto y ∈ Y nella metrica in-dotta sono gli insiemi B(y, r) ∩ Y . Da questo segue che gli aperti nellametrica indotta sono esattamemte gli insiemi A∩ Y , ove A e aperto in X.
5. Sia (X, d) uno spazio metrico e B(p, r) ⊆ X un qualunque intorno circo-lare. Nell’esempio 3.4.2.4 abbiamo mostrato che ogni punto di B(p, r) einterno. Quindi B(p, r) e aperto. In maniera del tutto analoga si dimostrache l’insieme
A = {x ∈ X : d(p, x) > r}e aperto. Ne segue che il suo complementare
{x ∈ X : d(p, x) ≤ r}e chiuso. In particolare, in R2 e chiuso un cerchio che includa la suacirconferenza e in R3 una sfera che includa la sua superficie sferica. Ana-logamente, figure geometriche elementari piane, o spaziali, che includanoil loro contorno, sono chiuse.
6. Sia (X, d) metrico discreto e A ⊆ X non vuoto. Poiche ogni punto di A einterno, A e aperto. D’altra parte, A′ = ∅, e quindi A e anche chiuso.
60 3. Spazi Metrici
Teorema 3.5.4 Se A ⊆ R e un insieme chiuso e limitato superiormente, allorasup A ∈ A. Se A e chiuso e limitato inferiormente, allora inf A ∈ A.
Dimostrazione. Sia p = sup A. Per ogni r > 0, deve esistere x ∈ A taleche p − r < x ≤ p, altrimenti p non sarebbe il minimo dei maggioranti. Inaltri termini, per ogni r > 0 esiste x ∈ A tale che x ∈ B(p, r). Quindi p none esterno ad A. Percio, o p e isolato, nel qual caso appartiene ad A, o p e diaccumulazione, nel qual caso, essendo A chiuso, appartiene ancora ad A.
Una analoga dimostrazione vale per l’estremo inferiore.
Teorema 3.5.5 Sia (X, d) uno spazio metrico e {Ai}i∈I una famiglia qualun-que di sottoinsiemi aperti di X. Allora
a)A =
⋃
i∈I
Ai e aperto.
b) Se la famiglia e finita, sia essa {A1, A2, . . . , An}, allora,
A =n⋂
i=1
Ai e aperto.
Dimostrazione. a) Dimostriamo che ogni p ∈ A e interno ad A. Esiste unindice i0 ∈ I tale che p ∈ Ai0 . Poiche Ai0 e aperto, p e interno a Ai0 . Quindiesiste r tale che B(p, r) ⊆ Ai0 . Si ha
B(p, r) ⊆ Ai0 ⊆⋃
i∈I
Ai.
Quindi p e interno ad A.b) Sia p ∈ ∩n
i=1Ai. Poiche ogni Ai e aperto, per ogni i = 1, . . . , n esisteri > 0 tale che
B(p, ri) ⊆ Ai.
Sia r = mini ri. Allora, per ogni i = 1, . . . , n, si ha
B(p, r) ⊆ B(p, ri) ⊆ Ai.
Ne segue
B(p, r) ⊆n⋂
i=1
Ai
e quindi p e interno all’intersezione.In generale l’intersezione di infiniti aperti non e un insieme aperto. Ad
esempio, sia Ak = (−1/k, 1), k ∈ N. Si ha ∩∞k=1Ak = [0, 1), che non e aperto nechiuso.
Teorema 3.5.6 Sia (X, d) uno spazio metrico e {Ai}i∈I una famiglia qualun-que di sottoinsiemi chiusi di X. Allora
3.5. Insiemi aperti, chiusi, limitati 61
a)A =
⋂
i∈I
Ai e chiuso.
b) Se la famiglia e finita, sia essa {A1, A2, . . . , An}, allora
A =n⋃
i=1
Ai e chiuso.
Dimostrazione. a) Passando ai complementari, si ha che ogni Aci e aperto. Si
ha inoltreAc =
(⋂
i∈I
Ai
)c
=⋃
i∈I
Aci .
Per il Teorema precedente Ac e aperto e quindi A e chiuso.b) Si dimostra nella stessa maniera.
L’unione di infiniti chiusi in generale non e un insieme chiuso. Ad esempio,se Ak = [1/k, 1], ove k ∈ N, si ha ∪∞k=1Ak = (0, 1], che non e chiuso ne aperto.
Definizione 3.5.7 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. Si chiamachiusura di A l’insieme
A = A ∪A′.
La chiusura di un insieme e il ‘piu piccolo’ chiuso che contiene l’insieme, nelsenso chiarito dal seguente Teorema.
Teorema 3.5.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X.
a) A e un insieme chiuso.
b) Se F e un insieme chiuso tale che F ⊇ A, allora F ⊇ A.
c) Se A e chiuso, allora A = A.
d Se A ⊇ B, allora A ⊇ B.
Dimostrazione. a) Mostriamo che ogni punto di accumulazione di A appar-tiene a A.
Se p e un punto di accumulazione per A ∪ A′, allora p deve essere di accu-mulazione per almeno uno dei due sottoinsiemi.
Se p e di accumulazione per A, allora p ∈ A′. Se p e di accumulazione per A′,ogni intorno B(p, r) deve contenere un punto x ∈ A′. Poiche B(p, r) e aperto,esiste s > 0 tale che B(x, s) ⊂ B(p, r). Poiche B(x, s) contiene infiniti punti diA, lo stesso vale per B(p, r). Quindi, di nuovo, p ∈ A′.
b) I punti di accumulazione di A sono anche punti di accumulazione di F .Poiche F e chiuso, si ha F ⊇ A ∪A′.
c) Segue da b).d) Poiche A ⊇ B, la tesi segue da a) e b).
62 3. Spazi Metrici
Esempi 3.5.9
1. In R sia A = (a, b), oppure A = [a, b), oppure A = (a, b]. Per tutti questiintervalli si ha A = [a, b].
2. Sia A = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} ⊂ R. Si ha
A = A ∪ {0} .
3. In Rn si ha (si confronti con l’esempio 3.5.3.5)
B(p, r) = {x ∈ Rn : ||p− x|| ≤ r} .
4. Se A = Q, si ha Q = R.
Nel capitolo I abbiamo definito la nozione di sottoinsieme limitato di Rmediante la relazione d’ordine per i numeri reali. Benche uno spazio metricogenerico non sia un insieme ordinato, il concetto di insieme limitato si puodefinire mediante la distanza. In R, dotato della metrica euclidea, la definizionemetrica che ora enunciamo e coerente con la definizione basata sull’ordinamento.
Definizione 3.5.10 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X, A non vuoto.Si dice diametro di A la quantita
diam A = supx,y∈A
d(x, y).
Se diam A < +∞, si dice che A e limitato.
Esempi 3.5.11
1. Nel caso di figure geometriche elementari, piane o spaziali, il diametroappena definito coincide con la usuale nozione di diametro.
2. Sia A ⊂ R non vuoto e limitato, sia superiormente che inferiormente.Allora
diam A = sup A− inf A.
Quindi A e limitato anche secondo la nuova definizione.
3. In uno spazio metrico discreto il diametro di qualunque insieme con almenodue punti e 1.
Teorema 3.5.12 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X non vuoto. Allora
a) diam A = 0 se e solo se A e un singleton.
b) Se A ⊆ B allora diam A ≤ diam B.
c) diam A = diam A.
3.5. Insiemi aperti, chiusi, limitati 63
Dimostrazione. a) Se A = {x}, ovviamente il diametro di A e zero. Viceversa,se A contiene due punti distinti x e y, si ha diam A ≥ d(x, y) > 0.
b) Se x e y sono punti di A ⊆ B, si ha d(x, y) ≤ diam B. Passandoall’estremo superiore, si ha l’asserto.
c) Per il punto b) si ha diam A ≤ diam A. Se diam A = +∞, si ha diamA =+∞. Supponiamo quindi A limitato e dimostriamo che diam A ≤ diam A.
Siano x, y ∈ A. Per ogni ε > 0 esistono a, b ∈ A tali che
d(x, a) < ε, d(y, b) < ε.
Infatti, se x ∈ A basta scegliere a = x; se x ∈ A′, si sceglie a ∈ A ∩B(x, ε). Lostesso vale per b. Si ha, applicando due volte la diseguaglianza triangolare,
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y)< d(a, b) + 2ε
≤ diam A + 2ε.
Quindi diam A+2ε maggiora tutti i numeri d(x, y). Passando all’estremo supe-riore si ha
∀ε > 0 diamA ≤ diam A + 2ε.
Per l’arbitrarieta di ε segue la tesi.
Infine, osserviamo che, aggiungendo un numero finito di punti a un insiemelimitato, si ottiene ancora un insieme limitato.
Teorema 3.5.13 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X non vuoto elimitato. Sia {x1, x2, . . . , xn} ⊆ X un insieme finito. Allora
B = A ∪ {x1, x2, . . . , xn}
e limitato.
Dimostrazione. Possiamo supporre n = 1. Ripetendo n volte il ragionamentosi ottiene il caso generale.
Fissiamo un qualunque punto x ∈ A e poniamo δ = d(x1, x). Si ha, per ogniy ∈ A,
d(x1, y) ≤ d(x1, x) + d(x, y)< δ + diam A.
Ne segue diam B ≤ δ + diam A.Con la analoghi ragionamenti si dimostra che l’unione di due insiemi limitati
e ancora limitata.
64 3. Spazi Metrici
3.6 Compattezza
Definizione 3.6.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia {Ai}i∈I
una famiglia qualunque di sottoinsiemi aperti di X. Diciamo che la famiglia{Ai}i∈I e una copertura aperta di E se
E ⊆⋃
i∈I
Ai.
Esempi 3.6.2
1. La famiglia {An}∞n=3 degli intervalli An = (1/n, 1 − 1/n) costituisce unacopertura aperta dell’intervallo E = (0, 1). In questo caso la famiglia enumerabile.
2. La famiglia {Ax}x∈[0,1] degli intervalli Ax = (x− 1/2, x + 1/2) costituisceuna copertura aperta dell’intervallo E = [0, 1]. In questo caso la famigliae indicizzata mediante [0, 1] stesso.
3. Se E ⊆ R2 non e vuoto, la famiglia {Qp}p∈E dei quadrati aperti di lato 1,centrati nei punti p ∈ E, e una copertura aperta di E. In questo caso lafamiglia e indicizzata con i centri, cioe i punti di E.
E
Alcuni quadrati della copertura di E
Data una copertura aperta {Ai}i∈I di E, indicheremo con
{Ai1 , Ai2 , . . . , Ain}
una sottofamiglia finita di {Ai}i∈I .
Definizione 3.6.3 Una sottocopertura finita estratta dalla copertura aperta{Ai}i∈I di E e una sottofamiglia finita {Ai1 , Ai2 , . . . , Ain} tale che
E ⊆n⋃
k=1
Aik.
3.6. Compattezza 65
Nell’esempio 3.6.2.2 precedente, la famiglia{A0, A1/2, A1
}e una sottoco-
pertura finita estratta dalla copertura {Ax}x∈[0,1] di E. Infatti
[0, 1] ⊂ (−1/2, 1/2) ∪ (0, 1) ∪ (1/2, 3/2).
Definizione 3.6.4 Sia (X, d) uno spazio metrico. Un insieme E ⊆ X si dicecompatto se da ogni copertura aperta di E si puo estrarre una sottocoperturafinita.
Esempi 3.6.5
1. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E = {x} un singleton. Si vede fa-cilmente che E e compatto. Infatti, sia {Ai}i∈I una copertura aperta diE. Allora x ∈ ∪i∈IAi. Quindi esiste un insieme Ai1 della famiglia taleche x ∈ Ai1 . In questo caso la sottofamiglia {Ai1} costituita dal singoloaperto Ai1 e una sottocopertura finita di E.
Analogamente, se E = {x1, x2} ha due elementi, e se {Ai}i∈I e una co-pertura aperta di E, devono esistere Ai1 e Ai2 tali che
x1 ∈ Ai1 , x2 ∈ Ai2 .
Quindi{x1, x2} ⊆ Ai1 ∪Ai2 .
La famiglia {Ai1 , Ai2} e una sottocopertura finita di E. In modo analogosi dimostra che ogni insieme finito in X e compatto.
2. Sia E = (0, 1) e siano An = (1/n, 1−1/n) gli insiemi della copertura apertadi E dell’esempio 3.6.2.1. Dalla famiglia {An}∞n=3 non si puo estrarrenessuna sottocopertura finita. Infatti
n⋃
k=3
Ak
non contiene i punti degli intervalli (0, 1/n) e (1 − 1/n, 1). Quindi (0, 1)non e compatto.
3. Sia (X, d) metrico discreto e sia E ⊆ X infinito. Allora E non e compatto.Infatti, {B(x, 1/2)}x∈E e una copertura aperta di E. Ogni insieme dellacopertura e il singleton {x}. Quindi nessuna sottofamiglia finita puo essereuna sottocopertura di E.
Teorema 3.6.6 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X non vuoto. Se E ecompatto, allora:
a) E e limitato.
b) E e chiuso.
66 3. Spazi Metrici
c) Per ogni sottoinsieme infinito A ⊆ E, si ha A′ 6= ∅.
Dimostrazione. a) Consideriamo la copertura aperta di E costituita dagliintorni di raggio 1 dei punti di E, cioe.
{B(p, 1)}p∈E .
Per la compattezza di E si puo estrarre una sottocopertura finita. Quindi esi-stono n punti di E, siano essi p1, p2, . . . , pn, tali che la famiglia
{B(p1, 1), B(p2, 1) . . . , B(pn, 1)}
e una sottocopertura finita, cioe
E ⊆n⋃
k=1
B(pk, 1).
Poniamoδ = max {d(pi, pj) : 1 ≤ i, j ≤ n} .
Siano x, y ∈ E. Esistono due centri pi e pj tali che
d(x, pi) < 1, d(y, pj) < 1.
Ne segue
d(x, y) ≤ d(x, pi) + d(pi, pj) + d(pj , y)< 2 + δ.
Quindi diam E ≤ 2 + δ.b) Dimostriamo che Ec e aperto. Sia y ∈ Ec e poniamo, per ogni p ∈ E,
r(p) =13d(y, p) > 0.
La famiglia di tutti gli intorni B(p, r(p)) e una copertura aperta di E. Per lacompattezza di E, si puo estrarre una sottocopertura finita. Quindi esistono npunti di E, siano essi p1, p2, . . . , pn, tali che
E ⊆n⋃
k=1
B(pk, r(pk)).
Sia r = mink r(pk). Per ogni x ∈ E esiste pk tale che d(pk, x) < r(pk). Quindi
d(y, x) ≥ d(y, pk)− d(pk, x) > 3r(pk)− r(pk) = 2r(pk)≥ 2r.
Quindi B(y, r) ∩ E = ∅, cioe y e interno ad Ac.
3.6. Compattezza 67
c) Se, per assurdo, A′ = ∅, nessun p ∈ E e di accumulazione per A. Quindi,per ogni p ∈ E esiste un intorno B(p, r(p)) tale che B (p, r(p)) ∩ A e vuoto ofinito.
Poiche la famiglia{B (p, r(p))}p∈E e una copertura aperta di E, per la com-pattezza di E si puo estrarre una sottocopertura finita. Quindi esistono n puntidi E, siano essi p1, p2, . . . , pn, tali che
A ⊆ E ⊆n⋃
k=1
B(pk, r(pk)). (3.6.7)
L’unione a destra in (3.6.7) puo contenere al piu un numero finito di elementidi A, contro l’ipotesi che A sia infinito.
Si noti che se E e compatto e A ⊆ E, ogni punto di accumulazione di A eanche punto di accumulazione di E. Poiche E e chiuso, A′ ⊆ E.
In generale, un sottoinsieme chiuso e limitato non e necessariamente compat-to. Ad esempio, sia (X, d) uno spazio metrico discreto e sia X infinito. Allora,X e chiuso e limitato, ma non compatto.
La proprieta c) e non solo necessaria, ma anche sufficiente per la compattezzadi E. Vale infatti il seguente Teorema, la cui dimostrazione esula pero dagli scopidi questo libro.
Teorema 3.6.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Condizione ne-cessaria e sufficiente affinche E sia compatto e che ogni sottoinsieme infinito diE abbia almeno un punto di accumulazione in E.
Teorema 3.6.9 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X compatto. SiaF ⊆ E un sottoinsieme chiuso. Allora F e compatto.
Dimostrazione. Sia {Ai}i∈I una copertura aperta di F . Denotiamo con F c ilcomplementare di F in X. Poiche
F ⊆⋃
i∈I
Ai,
si ha anche
E ⊆ X =⋃
i∈I
Ai ∪ F c.
Quindi la famiglia{Ai, F
c}i∈I
e una copertura aperta di E. Esiste percio una sottocopertura finita di Eestratta da questa famiglia. A questa sottocopertura finita possiamo aggiungereF c, qualora gia non vi appartenga. Quindi
F ⊆ E ⊆n⋃
k=1
Aik∪ F c.
68 3. Spazi Metrici
Ne segue
F ⊆n⋃
k=1
Aik.
Corollario 3.6.10 Sia (X, d) uno spazio metrico. Sia E ⊆ X compatto e F ⊆X chiuso. Allora F ∩ E e compatto.
In generale l’intersezione di una successione decrescente di insiemi puo esserevuota. Ad esempio, se En = (n,+∞) si ha ∩+∞
n En = ∅. Tuttavia, se gli insiemisono compatti, l’intersezione della famiglia non puo essere vuota.
Teorema 3.6.11 Sia (X, d) uno spazio metrico e {En}∞n=1 un famiglia di com-patti in X tali che
E1 ⊇ E2 ⊇ · · · ⊇ En ⊇ · · ·Allora ∞⋂
n=1
En 6= ∅.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che l’intersezione sia vuota. Allora
E1 ⊆ X =∞⋃
n=1
Ecn.
Poiche E1 e compatto e gli Ecn sono aperti, esiste una sottofamiglia finita{Ec
n1, Ec
n2, . . . , Ec
nk
}
tale che
E1 ⊆k⋃
j=1
Ecnj
. (3.6.12)
Passando ai complementari nella relazione (3.6.12), e tenendo presente che lasuccessione di insiemi e decrescente rispetto all’inclusione, si ha
Ec1 ⊇
k⋂
j=1
Enj = Enk.
Questo e assurdo poiche Enk⊆ E1.
Terminiamo questo paragrafo con un’osservazione sulla compattezza in unsottospazio di (X, d).
Sia Y ⊆ X non vuoto, e sia (Y, dY ) il sottospazio con la metrica indottada X. Come abbiamo osservato nel paragrafo precedente, un insieme C ⊆ Ye aperto nel sottospazio (Y, dY ) se e solo se esiste un aperto A ⊆ X tale cheC = A ∩ Y . Ne segue che Y e compatto come sottoinsieme di X se e solo se Ye compatto nella metrica indotta.
3.7. Il Teorema di Heine–Borel 69
3.7 Il Teorema di Heine–Borel
Per il Teorema 3.6.6 del paragrafo precedente, un insieme compatto in uno spa-zio metrico (X, d) e necessariamente chiuso e limitato. D’altra parte, l’ esempio3.6.5.3 mostra che un insieme chiuso e limitato non e necessariamente compatto.Tuttavia, in Rn dotato della metrica euclidea le due condizioni si equivalgono.
Teorema 3.7.1 (di Heine–Borel) Un insieme E ⊂ Rn e compatto se e solose e chiuso e limitato.
La dimostrazione del Teorema di Heine–Borel e svolta nell’Appendice.
Corollario 3.7.2 (Teorema di Bolzano–Weierstrass) Sia A ⊂ Rn un in-sieme infinito e limitato. Allora A ha almeno un punto di accumulazione.
Dimostrazione. Sia δ = diam A < +∞. Fissato p ∈ A, per ogni x ∈ A si ha||p− x|| ≤ δ. Quindi
A ⊆ B(p, δ).
Per il Teorema di Heine–Borel l’insieme chiuso e limitato B(p, δ) e compatto.Per il punto c) del Teorema 3.6.6, A′ 6= ∅.
3.8 Connessione
Definizione 3.8.1 Sia (X, d) uno spazio metrico. Siano A e B sottoinsieminon vuoti di X. Si dice che A e B sono separati se
A ∩B = ∅, A ∩B = ∅.
Il concetto di separazione e piu forte di quello di disgiunzione. Se due insiemisono separati, essi sono ovviamente disgiunti, ma due insiemi possono esseredisgiunti senza essere separati.
Esempi 3.8.2
1. Sia A = (a, b) e B = (b, c). I due insiemi sono separati, poiche A = [a, b]non ha punti in comune con B, e B = [b, c] non ha punti comuni con A.
2. Sia A = (a, b) e B = [b, c). I due insiemi non sono separati, pur essendodisgiunti. Infatti A ∩B = {b}.
3. Se A′ = ∅ e B′ = ∅, allora A e B sono separati se e solo se sono disgiunti.In particolare, in qualunque spazio metrico (X, d), due insiemi finiti chenon hanno punti in comune sono separati. Per lo stesso motivo, in unospazio metrico discreto due qualunque insiemi disgiunti e non vuoti sonoseparati.
70 3. Spazi Metrici
Definizione 3.8.3 Sia (X, d) uno spazio metrico, e sia E ⊆ X non vuoto. Sidice che E e connesso se non esistono due insiemi A e B non vuoti e separatitali che E = A ∪B.
A
B
A
B
A
B
A
B
E = A ∪B non connesso E = A ∪B connesso
I sottoinsiemi connessi di R hanno una semplice caratterizzazione.
Teorema 3.8.4 Sia E ⊆ R, dotato della metrica euclidea. L’insieme E e con-nesso se e solo se E e un singleton oppure un intervallo (di qualsiasi tipo).
Dimostrazione. Se E = {p} e un singleton, allora E e connesso. Sia E unintervallo e supponiamo, per assurdo, che esistano A e B non vuoti e separatitali che A ∪ B = E. Siano a ∈ A e b ∈ B, con, ad esempio, a < b. Poiche E eun intervallo, ogni punto di [a, b] appartiene ad A oppure a B. Poniamo
p = sup {x : x ∈ A ∩ [a, b]} .
Il punto p non puo appartenere a B, poiche p appartiene a A, per il Teorema3.5.4. Quindi p ∈ A. Ne segue p < b e (p, b] ⊆ B. Ma allora p ∈ B, assurdo.
Viceversa, supponiamo E connesso. Dimostriamo che se E non e un single-ton, allora E deve essere un intervallo. Ragioniamo per assurdo. Se E non e unintervallo devono esistere tre numeri
x < z < y
tali che x ∈ E, y ∈ E ma z /∈ E. Poniamo
A = (−∞, z) ∩ E, B = E ∩ (z, +∞).
A e B non sono vuoti, poiche x ∈ A e y ∈ B. Essi sono separati, poiche losono gli intervalli (−∞, z) e (z, +∞). Chiaramente A ∪ B = E. Quindi E none connesso, assurdo
Esempi 3.8.5
1. In ogni spazio metrico (X, d) ogni insieme finito E = {x1, . . . , xn}, conn ≥ 2, non e connesso. Infatti, basta porre A = {x1} e B = {x2, . . . , xn}.Piu generalmente, se E ha un punto isolato p, allora non e connesso.Infatti, basta porre A = {p} e denotare con B il complementare di A inE. Il singleton {p} e chiuso, cosicche A ∩ B = ∅. Inoltre, poiche p nonpuo essere di accumulazione per B, si ha A ∩B = ∅.
3.9. R come spazio metrico 71
2. E intuitivo che ogni poligono convesso nel piano e ogni poliedro convessonello spazio e connesso. Piu in generale, in R2 e in R3 ogni figura convessa(cioe tale che, se contiene due punti, allora contiene anche il segmento cheli unisce) e connessa. I cerchi e le sfere sono connessi. Analogamente, ogniintorno circolare in Rn e connesso.
3.9 R come spazio metrico
Sia, secondo la definizione del capitolo 1, R = R∪{−∞, +∞}. In questo pa-ragrafo ci proponiamo di definire una metrica in R, la cui restrizione a R eequivalente, nel senso precisato nell’Appendice, alla metrica euclidea. A questoscopo consideriamo la funzione
g(x) =x
1 + |x| .
Essa applica biunivocamente R su (−1, 1). Infatti, per ogni y ∈ (−1, 1) l’equa-zione
y =x
1 + |x|ha l’unica soluzione
x =y
1− |y| .
In particolare, g e la funzione inversa della funzione f introdotta nel paragrafo2.7 per dimostrare il Teorema di Cantor.
1
-1
La funzione g(x) =x
1 + |x|
Estendiamo g a R ponendo
g(+∞) = 1, g(−∞) = −1
Questa estensione applica biunivocamente R su [−1, 1].
72 3. Spazi Metrici
Definizione 3.9.1 Per ogni x, y ∈ R poniamo
d∗(x, y) = |g(x)− g(y)| .E immediato verificare che d∗ e una metrica su R tale che
diamR = diamR = d∗(−∞, +∞) = 2.
E interessante notare che se x e p sono due numeri reali non negativi, si ha
g(x) = 1− 1x + 1
, g(p) = 1− 1p + 1
e quindi
d∗(x, p) =∣∣∣∣
11 + x
− 11 + p
∣∣∣∣ . (3.9.2)
In questo caso distanza d∗ e la distanza euclidea tra i reciproci di x + 1 e p + 1.Se p = +∞ e x ≥ 0, allora
d∗(x, +∞) = |1− g(x)| = 11 + x
. (3.9.3)
Quindi, se x e ‘grande’, la sua distanza da +∞ e ‘piccola’. In modo analogo, sex e p sono numeri reali non positivi si ha
d∗(x, p) =∣∣∣∣
11− x
− 11− p
∣∣∣∣e d∗(x,−∞) = 1/(1− x).
Denotiamo con B∗(p, ε) gli intorni di p ∈ R nello spazio metrico(R, d∗
).
Esaminiamo dapprima gli intorni di +∞, supponendo per semplicita ε < 1.Tenendo conto di (3.9.3) si ha
B∗(+∞, ε) ={
x ∈ R+ :1
1 + x< ε
}∪ {+∞}
={
x ∈ R+ :1ε− 1 < x
}∪ {+∞} .
Per questo motivo, posto M = 1/ε− 1, gli intervalli reali (M, +∞) (anche conM ≤ 0) vengono chiamati intorni di +∞. Il linguaggio e improprio, visto chesi esclude +∞ da questi insiemi, ma e efficace quando si trattano funzioni avalori reali (che non assumono quindi i valori +∞ o −∞). Simmetricamente,gli intervalli reali (−∞, M) vengono chiamati intorni di −∞.
Teorema 3.9.4 Se E ⊆ R e illimitato superiormente, allora +∞ e un puntodi accumulazione di E nella metrica d∗. Se E ⊆ R e illimitato inferiormente,allora −∞ e un punto di accumulazione di E nella metrica d∗.
Dimostrazione. Sia E ⊆ R illimitato superiormente. Poiche nessun numeroreale e un maggiorante per E, per ogni M esiste un elemento x ∈ E tale chex > M . Quindi ogni intorno di +∞ contiene un punto di E (ovviamente diversoda +∞).
Se E ⊆ R e illimitato inferiormente la dimostrazione e analoga.
3.10. Appendice 73
3.10 Appendice
3.10.1 Compattezza in Rn
In questo sottoparagrafo dimostriamo il Teorema di Heine–Borel. Iniziamo condue Lemmi.
Lemma 3.10.1 Sia I1 ⊇ I2 ⊇ . . . Im ⊇ . . . una successione non crescente diintervalli chiusi e limitati in R. Allora
∞⋂m=1
Im 6= ∅.
Dimostrazione. Sia Im = [am, bm]. Si ha
a1 ≤ a2 ≤ . . . am ≤ . . .
b1 ≥ b2 ≥ . . . bm ≥ . . .
Inoltre, per ogni j e k si ha aj < bk. Infatti, se j ≥ k, si ha [aj , bj ] ⊆ [ak, bk] equindi
ak ≤ aj < bj ≤ bk.
Se j < k si haak < bk ≤ bj .
Sia z = supj aj . Ogni bk e un maggiorante, per cui z ≤ infk bk. Per ogni m siha quindi am ≤ z ≤ bm, cioe z ∈ ∩∞m=1Im.
Definizione 3.10.2 Siano I1, I2, . . . , In intervalli chiusi e limitati in R. Sichiama rettangolo (o rettangolo chiuso) il prodotto cartesiano
R = I1 × I2 × . . .× In.
Nel piano R e un rettangolo nel senso della geometria elementare, e unparallelepipedo retto nello spazio.
Posto Ij = [aj , bj ], il rettangolo R e individuato dai due estremi
a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn).
Si puo anche descrivere come l’insieme
R = {x ∈ Rn : a1 ≤ x1 ≤ b1, a2 ≤ x2 ≤ b2, . . . , an ≤ xn ≤ bn} .
Si ha chiaramente diam R = ‖a− b‖. Il centro c di R e il punto di coordinate
c1 =a1 + b1
2, c2 =
a2 + b2
2, . . . , cn =
an + bn
2.
In R2 le due rette x1 = c1 e x2 = c2 dividono R in quattro rettangoli eguali, chehanno in comune a due a due solo punti di frontiera. In R3 i tre piani x1 = c1,
74 3. Spazi Metrici
x2 = c2 e x3 = c3 dividono R in otto parallelepipedi retti eguali, che hannoin comune a due a due solo punti di frontiera. In Rn gli iperpiani xj = cj perj = 1, . . . , n, dividono R in 2n rettangoli chiusi eguali, che hanno in comune adue a due solo punti di frontiera. Ciascuno dei 2n rettangoli chiusi ha diametro‖a− b‖ /2.
Lemma 3.10.3 Sia R1 ⊇ R2 ⊇ . . . Rm ⊇ . . . una successione non crescente diintervalli chiusi e limitati in Rn. Allora
∞⋂m=1
Rm 6= ∅.
Dimostrazione. Sia Rm = I1,m × I2,m × . . .× In,m. Per l’ipotesi di inclusionesi ha
I11 ⊇ I12 ⊇ . . . I1m ⊇ . . .
I21 ⊇ I22 ⊇ . . . I2m ⊇ . . .
. . . . . .
In1 ⊇ In2 ⊇ . . . Inm ⊇ . . .
Si ha cosı, per il Lemma 3.10.1,
∞⋂m=1
Rm =∞⋂
m=1
I1m ×∞⋂
m=1
I2m × · · ·∞⋂
m=1
Inm 6= ∅.
Dimostrazione del Teorema di Heine–Borel. Dimostriamo che ognisottoinsieme chiuso e limitato E ⊂ Rn e compatto, iniziando dal caso in cuiE = R e un rettangolo chiuso di estremi a e b.
Supponiamo per assurdo che R non sia compatto. In tal caso esiste unacopertura aperta {Ai}i∈I di R da cui non si puo estrarre alcuna sottocoperturafinita. Dividiamo R in 2n rettangoli mediante gli iperpiani xj = cj , comedescritto sopra, e indichiamo con S il generico rettangolo cosı ottenuto.
La famiglia {Ai}i∈I e, a maggior ragione, una copertura aperta di ciascu-no degli S. Se per ogni S si potesse estrarre da {Ai}i∈I una sottocoperturafinita, allora l’unione di tutti gli insiemi di queste 2n famiglie finite conterreb-be R, contro l’ipotesi d’assurdo. Quindi esiste un rettangolo, diciamo R1, conla stessa proprieta di R : dalla copertura {Ai}i∈I non si puo estrarre alcunasottocopertura finita per R1.
Iteriamo ora il procedimento. Dividiamo R1 in 2n rettangoli chiusi mediantegli iperpiani che passano per il suo centro. Almeno uno di questi rettangoli, siaesso R2, ha la stessa proprieta di R e R1: dalla copertura {Ai}i∈I non si puoestrarre alcuna sottocopertura finita per R2.
Avendo definito Rm, con il procedimento descritto definamo Rm+1 per ogniintero positivo m. I rettangoli chiusi Rm hanno le seguenti proprieta:
3.10. Appendice 75
a) essi formano una successione decrescente, ossia Rm ⊃ Rm+1;
b) ogni Rm e tale che dalla copertura aperta {Ai}i∈I non si puo estrarre unasottocopertura finita per Rm;
c) diam Rm = 2−m ‖a− b‖.L’ultima proprieta discende dal fatto che ad ogni passo il diametro si dimez-
za.Per il Lemma 3.10.3, l’intersezione di questa successione di rettangoli non e
vuota. Sia z ∈ ∩∞m=1Rm. Poiche {Ai}i∈I e una copertura aperta di R, e poichez ∈ R, deve esistere un insieme Ai0 della famiglia tale che z ∈ Ai0 . Quindi esister tale che B(z, r) ⊂ Ai0 . Sia m cosı grande che
diam Rm = 2−m ‖a− b‖ < r.
Si ha, per ogni y ∈ Rm,∥∥z − y
∥∥ ≤ 2−m ‖a− b‖ < r.
QuindiRm ⊂ B(z, r) ⊂ Ai0 .
Dunque e possibile estrarre da {Ai}i∈I una sottocopertura finita di Rm, costi-tuita da un solo aperto della famiglia, assurdo.
R
R1
R2
Sia ora E ⊂ Rn un qualsiasi insieme chiuso e limitato. Sia δ = diam E e siaz ∈ E. Poniamo
a = (z1 − δ, z2 − δ, . . . , zn − δ)b = (z1 + δ, z2 + δ, . . . , zn + δ) .
Sia R il rettangolo chiuso di estremi a e b. Per ogni x ∈ E e per ogni j si ha
|xj − zj | ≤(|x1 − z1|2 + |x2 − z2|2 + . . . + |xn − zn|2
)1/2
= ‖x− z‖ ≤ δ.
Quindi x ∈ R, cioe E ⊆ R. Poiche E e chiuso, E e compatto per il Teorema3.6.9.
76 3. Spazi Metrici
3.10.2 Norme e distanze
La norma euclidea in Rn e un caso particolare della nozione di norma in un insie-me dotato di una struttura di spazio vettoriale su un campo che, per semplicita,assumiamo essere il campo reale.
Definizione 3.10.4 Sia X uno spazio vettoriale su R. Una funzione, che in-dicheremo con il simbolo ‖·‖, definita in X a valori reali, si chiama norma suX se gode delle seguenti proprieta:
1. ∀x ∈ X ‖x‖ ≥ 0.
2. ∀x ∈ X ‖x‖ = 0 se e solo se x = 0.
3. ∀x ∈ X ∀α ∈ R ‖αx‖ = |α| ‖x‖.4. ∀x, y ∈ X ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
Uno spazio vettoriale dotato di norma si chiama spazio normato, e si indicacon (X, ‖·‖).
Lo spazio Rn, dotato della norma euclidea e uno spazio normato. Comenel caso della distanza, uno spazio vettoriale a priori puo essere dotato di varienorme. Ad esempio, in Rn si hanno le norme
‖x‖∞ = maxk|xk| , ‖x‖1 =
n∑
k=1
|xk| . (3.10.5)
Le proprieta 1–4 sono facilmente verificate. Un altro esempio di spazio normatoe lo spazio X di tutte le funzioni limitate f : [0, 1] → R con la norma
‖f‖∞ = supx|f(x)| . (3.10.6)
Sia (X, ‖·‖) uno spazio normato. Come nel caso euclideo, a partire dallanorma si puo definire una distanza su X ponendo
∀x, y ∈ X d(x, y) = ‖x− y‖ .
Le proprieta della distanza discendono immediatamente da quelle della norma.Le distanze d∞ e d1 negli esempi 3.2.2.3 e 3.2.2.4 sono ottenute in questo mododalle norme (3.10.5). La distanza nell’esempio 3.2.2.8 e ottenuta mediante lanorma (3.10.6).
Non ogni distanza si puo pero definire tramite una norma. Infatti, il proce-dimento appena descritto richiede che X sia uno spazio vettoriale. Negli esempi3.2.2.6 e 3.2.2.7 le distanze non sono ottenute tramite una norma. Anche se Xe uno spazio vettoriale, si possono definire distanze tali che d(x, 0) non e unanorma. Ad esempio, se X = Rn, la metrica discreta non puo essere definitatramite una norma.
3.10. Appendice 77
3.10.3 Proprieta dello spazio metrico(R, d∗
)
Sia d∗ la metrica in R descritta nel paragrafo 3.9. Confrontiamo gli intorni di unnumero reale p nella metrica euclidea e in d∗, mantenendo la notazione B(p, r)per gli intorni euclidei di p e B∗(p, r) per gli intorni nella metrica d∗.
Teorema 3.10.7 Per ogni p ∈ R valgono le proprieta
a) ∀s > 0∃r > 0 B(p, r) ⊂ B∗(p, s)
b) ∀r > 0∃s > 0 B∗(p, s) ⊂ B(p, r).
Dimostrazione. a) Innanzi tutto notiamo che la funzione g e strettamentecrescente, cioe
∀x, y ∈ R x < y se e solo se g(x) < g(y).
Quindi
B∗(p, s) = {x : |g(x)− g(p)| < s}= {x : g(p)− s < g(x) < g(p) + s}=
{x : g−1 (g(p)− s) < x < g−1 (g(p) + s)
}. (3.10.8)
Posto a = g−1 (g(p)− s) e b = g−1 (g(p) + s), si ha a < p < b. Sia r tale che
a < p− r < p + r < b.
Da (3.10.8) si ha
B(p, r) = (p− r, p + r) ⊂ (a, b) = B∗(p, s).
b) Poiche g e strettamente crescente si ha
B(p, r) = {x : p− r < x < p + r} (3.10.9)= {x : g(p− r) < g(x) < g(p + r)} .
Posto u = g(p− r) e v = g(p + r), si ha u < g(p) < v. Sia s tale che
u < g(p)− s < g(p) + s < v.
Quindi
B∗(p, s) = {x : g (p)− s < g(x) < g (p) + s} ⊂ {x : u < g(x) < v} = B(p, r).
La restrizione della distanza d∗ a R×R non coincide con la metrica euclidea,ma e ad essa equivalente, nel senso che ogni intorno di p ∈ R in una delle duemetriche contiene un intorno nell’altra metrica.
78 3. Spazi Metrici
Le due inclusioni a) e b) implicano che, per ogni sottoinsieme E ⊆ R, unpunto p e interno, di frontiera, esterno, di accumulazione, isolato secondo unametrica, se e solo se lo e secondo l’altra. Quindi gli insiemi aperti, i chiusi, icompatti, i connessi di R sono gli stessi con le due metriche.
La notazione R non e casuale. Infatti, per i Teoremi appena dimostrati, R eeffettivamente la chiusura di R nella metrica d∗.
Dimostriamo, come ultimo risultato, che, con la metrica d∗,(R, d∗
)e una
compattificazione di R.
Teorema 3.10.10 Lo spazio metrico(R, d∗
)e compatto.
Dimostrazione. Assegnata una qualsiasi copertura aperta {Ai}i∈I di R, devo-no esistere due aperti Ai1 e Ai2 tali che +∞ ∈ Ai1 e −∞ ∈ Ai2 . Questi aperticontengono rispettivamente un intorno di +∞, sia esso (b,+∞] e uno di −∞,sia esso [−∞, a). Il restante intervallo [a, b] e compatto e quindi da {Ai}i∈I sipuo estrarre sottocopertura finita {Ai3 , Ai4 , . . . Ain} per [a, b]. Ne segue
R =n⋃
k=1
Aik.
Capitolo 4
Successioni
4.1 Introduzione
La nozione di successione a valori in un insieme X qualunque e stata introdottanel paragrafo 2.4. D’ora innanzi considereremo esclusivamente successioni avalori in uno spazio metrico, con particolare riguardo agli spazi euclidei.
Premettiamo alla trattazione delle successioni e dei loro limiti il concetto diproprieta posseduta definitivamente da una successione.
Definizione 4.1.1 Si dice che una successione {xn} possiede definitivamente,o per n abbastanza grande, una proprieta P, se esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0
il termine xn gode della proprieta P.
Ad esempio, la successione a valori reali
2, 4, 8 , 16, . . . , 2n, . . . (4.1.2)
e definitivamente maggiore di 10. Infatti, la proprieta vale per n ≥ n0 = 4. Lasuccessione di termine generale xn = n−2 e definitivamente positiva. In questocaso la proprieta e verificata per n ≥ n0 = 3. La successione xn = (−1)n non edefinitivamente positiva, sebbene abbia infiniti termini positivi.
Se una successione {xn} possiede definitivamente la proprieta P1 e possiededefinitivamente la proprieta P2, allora essa possiede definitivamente ambeduele proprieta. Infatti, esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 il termine xn godedella proprieta P1, ed esiste n1 tale che per ogni n ≥ n1 il termine xn godedella proprieta P2. Per n ≥ max(n0, n1), xn gode di ambedue le proprieta.Ad esempio, il termine generale della successione (4.1.2) e divisibile per 8 sen ≥ n0 = 3. Quindi xn e definitivamente maggiore di 10 e divisibile per otto,per n ≥ max(4, 3) = 4.
Questa osservazione si applica anche al caso in cui una successione {xn}possieda definitivamente la proprieta P1 e un’altra successione {yn} possiedadefinitivamente la proprieta P2. Per n abbastanza grande, il termine xn godedella proprieta P1 e, allo stesso tempo, il termine yn gode della proprieta P2.
79
80 4. Successioni
4.2 Successioni convergenti
Definizione 4.2.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Si dice che la successione (o, semplicemente, xn) converge a p ∈ Xse
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 d(xn, p) < ε. (4.2.2)
Nella definizione precedente, il numero ε e arbitrario e puo essere scelto ‘piccoloa piacere’, mentre n0 e funzione di ε. In generale, come si vedra dagli esempi,al decrescere di ε il corrispondente n0 diventa sempre piu grande. Il simboloε in Analisi Matematica e usato quasi esclusivamente per denotare un numeropositivo che si puo scegliere arbitrariamente piccolo.
La definizione di convergenza puo essere espressa in modo equivalente adot-tando la terminologia introdotta nel primo paragrafo: una successione {xn} ⊆ Xconverge a p ∈ X se, per ogni ε > 0, si ha definitivamente d(xn, p) < ε. Op-pure: una successione {xn} ⊆ X converge a p ∈ X se, per ogni ε > 0, si hadefinitivamente xn ∈ B(p, ε).
x1x2
x3x4xn
p
La proprieta di separazione di Hausdorff implica che una successione nonpuo convergere a due punti diversi.
Teorema 4.2.3 (di unicita del limite) Sia (X, d) uno spazio metrico e {xn}una successione a valori in X. Se la successione converge sia p1 che a p2, allorap1 = p2.
Dimostrazione. Sia per assurdo p1 6= p2. Per il Teorema 3.3.4 esiste r > 0tale che B(p1, r) ∩ B(p2, r) = ∅. Poiche la successione converge a p1, defini-tivamente xn ∈ B(p1, r). Analogamente, poiche la successione converge a p2,definitivamente xn ∈ B(p2, r). Quindi definitivamente deve essere
xn ∈ B(p1, r) ∩B(p2, r) = ∅,
assurdo.
4.2. Successioni convergenti 81
Definizione 4.2.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Se la successione converge a p ∈ X, si dice che p e il limite di xn
per n che tende a +∞. Si scrive
limn→+∞
xn = p,
o anchexn → p per n → +∞.
Esempi 4.2.5
1. Sia X = R e xn = 1/n. Allora limn→+∞ 1/n = 0. Infatti, per ogniε > 0 sia n0 un qualunque intero tale che n0 > 1/ε. Allora si ha, per ognin ≥ n0,
d (xn, 0) =∣∣∣∣1n− 0
∣∣∣∣ =1n≤ 1
n0< ε.
In maniera del tutto analoga si dimostra che 1/nα converge a 0 per ogniα > 0.
2. Sia X = R2 e xn =(
1√n
, 2− 1√n
). Allora limn→+∞ xn = (0, 2). Infatti,
∥∥(1/√
n, 2− 1/√
n)− (0, 2)
∥∥ =
√1n
+1n
=
√2n
.
Per ogni ε > 0 sia n0 un intero tale che n0 > 2/ε2. Per ogni n ≥ n0 si ha√
2n
< ε.
3. In un qualsiasi spazio metrico, se una successione e definitivamente egualea una costante p, allora xn converge a p. Infatti, si ha definitivamente
d(xn, p) = 0.
Viceversa, in uno spazio metrico discreto le uniche successioni convergentisono le successioni definitivamente costanti. Basta infatti scegliere ε ≤ 1nella definizione di convergenza. Se xn appartiene definitivamente B(p, ε),allora definitivamente xn = p.
4. Consideriamo in R la successione {xn} delle troncate n-esime del numero1/3 = 0, 33333 . . . = 0, 3
0, 3, 0, 33, 0, 333, 0, 3333, . . . , 0, 3333333︸ ︷︷ ︸n cifre
, . . .
82 4. Successioni
Si ha xn → 1/3 per → +∞. Infatti∣∣0, 3− xn
∣∣ = 0, 3− xn = 0, 3− 0, 3333333︸ ︷︷ ︸n cifre
= 0, 00 . . . 00︸ ︷︷ ︸n zeri
3 = 1/3 · 10−n.
Per ogni ε > 0 sia n0 tale che n0 > 1/3ε. Per n ≥ n0 risulta
0, 3− xn =13· 10−n ≤ 1
3· 10−n0 <
13n0
< ε.
Allo stesso modo si dimostra che le troncate n-esime della rappresentazionedecimale di un qualunque numero reale convergono al numero stesso.
5. La successione di termine generale xn = (−1)n non e convergente. In-fatti, posto ad esempio ε = 1/2, xn non appartiene definitivamente aB(−1, 1/2), poiche tutti gli elementi di indice pari non vi appartengono.Un analogo ragionamento mostra che xn non appartiene definitivamen-te a B(1, 1/2). E pure chiaro che xn non appartiene definitivamente aB(p, 1/2) per nessun p ∈ R.
Si noti che in un qualunque spazio metrico (X, d) una successione {xn} convergea p ∈ X se e solo se la successione dei numeri reali non negativi {d(xn, p)}converge a 0. Infatti, la condizione (4.2.2), che esprime la convergenza di xn ap, esprime anche la convergenza di d(xn, p) a 0 in R.
Definizione 4.2.6 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Si dice che la successione e limitata se la sua immagine {xn} elimitata in X.
Ad esempio, la successione (4.1.2) non e limitata, mentre le successioni {1/n}e {(−1)n} sono limitate.
Teorema 4.2.7 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Se la successione e convergente, allora e limitata.
Dimostrazione. Sia p il limite della successione e si scelga ε = 1 nella defini-zione di convergenza. Esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 si ha xn ∈ B(p, 1). Nesegue che l’insieme dei valori della successione a partire da n0 ha diametro nonsuperiore a 2. Per il Teorema 3.5.13 del capitolo 3, {xn} e un insieme limitato.
Teorema 4.2.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊆ X. Se p e un puntodi accumulazione di A, allora esiste una successione di punti xn ∈ A, xn 6= p,convergente a p.
4.3. Sottosuccessioni e punti di accumulazione 83
Dimostrazione. Poiche B(p, r) ∩ A e infinito per ogni r > 0, assegnandoa r successivamente i valori 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . ., troviamo successivamentepunti x1, x2, . . . , xn, . . . tali che
x1 ∈ A e d(x1, p) < 1,x2 ∈ A e d(x2, p) < 1/2,
. . . . . . . . .
xn ∈ A e d(xn, p) < 1/n,
. . . . . . . . .
La successione {xn} cosı ottenuta converge a p. Infatti, per ogni ε > 0 sia n0
un intero tale che n0 > 1/ε. Per ogni n ≥ n0 si ha
d(xn, p) <1n≤ 1
n0< ε.
4.3 Sottosuccessioni e punti di accumulazione
Definizione 4.3.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Sia
n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · (4.3.2)
una qualsiasi successione crescente di interi positivi. Si chiama sottosuccessionedi {xn} la successione
xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk, . . .
Esempi 4.3.3
1. Sia n1 = 2, n2 = 4, . . . , nk = 2k, . . .. La sottosuccessione corrispondentee la successione dei termini di indice pari
x2, x4, x6, . . . , x2k, . . .
Per esempio, se xn = (−1)n, la sottosuccessione {x2k} e la successionecostante 1, 1, 1, 1, . . .
2. Siano n1 = 1, n2 = 4, n3 = 9, n4 = 16, . . . , nk = k2, . . . La sottosuc-cessione corrispondente e la successione degli elementi il cui indice e unquadrato
x1, x4, x9, x16 . . . , xk2 , . . .
Per esempio, se xn = 1/n, la sottosuccessione {xk2} e la successione1, 1/4, 1/9, 1/16, . . .
84 4. Successioni
Si noti che una sottosuccessione {xnk} non e altro che la restrizione della
successione {xn} al sottoinsieme infinito {n1, n2, n3, . . . , nk, . . .}.Poiche una sottosuccessione {xnk
} e a sua volta una successione (dipendentedall’indice k), ci si puo interrogare sulla convergenza di xnk
per k → +∞.Questo studio sara condotto in maggiore dettaglio nel paragrafo sulla classelimite. Per il momento ci limitiamo a notare il seguente teorema.
Teorema 4.3.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Se xn converge a p ∈ X, allora ogni sua sottosuccessione convergeallo stesso limite.
Dimostrazione. Sia {xnk} una sottosuccessione di {xn}. Sia ε > 0 arbitrario.
Poiche xn e convergente, esiste un intero n0 tale che per ogni n ≥ n0 si had(xn, p) < ε. Poiche la successione degli indici in (4.3.2) e crescente, esiste k0
tale che nk0 > n0. Per i successivi valori di k, a maggior ragione si ha nk > n0.Ne segue d(xnk
, p) < ε per k ≥ k0. In altri termini, xnk→ p per k → +∞.
Sia p un punto di accumulazione di una successione {xn}. Per il Teorema4.2.8, esiste una successione di punti dell’insieme A = {xn} convergente a p.Questi punti possono essere scelti in modo da formare una sottosuccessione di{xn}.
Teorema 4.3.5 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione avalori in X. Se p e un punto di accumulazione di {xn}, allora esiste unasottosuccessione {xnk
} convergente a p.
Dimostrazione. La dimostrazione e simile a quella del Teorema 4.2.8, ove siponga A = {xn}. In questo caso si devono pero scegliere i punti di A in mododa rispettare la condizione (4.3.2).
Sia xn1 un elemento della successione tale che xn1 ∈ B(p, 1). Poiche B(p, 1/2)contiene infiniti elementi della successione, deve esistere n2 > n1 tale chexn2 ∈ B(p, 1/2). Analogamente, poiche B(p, 1/3) contiene infiniti elementi dellasuccessione, deve esistere esiste n3 > n2 tale che xn3 ∈ B(p, 1/3).
Con questo procedimento si definisce xnkper induzione: poiche B(p, 1/k)
contiene infiniti elementi della successione, esiste nk > nk−1 tale che xnk∈
B(p, 1/k). La sottosuccessione {xnk} converge chiaramente a p.
Corollario 4.3.6 Sia (X, d) uno spazio metrico, sia E ⊆ X un insieme com-patto e sia {xn} una successione a valori in E. Allora {xn} ha almeno unasottosuccessione convergente.
Dimostrazione. Se il coinsieme {xn} e infinito, allora esso ha almeno un puntodi accumulazione, per il punto c) del Teorema 3.6.6. In questo caso la tesi seguedal Teorema 4.3.5.
Se xn assume solo un numero finito di valori, allora almeno uno dei valori,sia esso p, deve corrispondere a infiniti indici n1 < n2 < . . . nk < . . .. Si ha cosıla sottosuccessione costante (e quindi convergente) xnk
= p per ogni k.
4.4. Successioni a valori reali 85
4.4 Successioni a valori reali
Sia, qui e nel seguito, {xn} una successione a valori reali. La nozione di con-vergenza in R con la metrica euclidea assume la seguente forma: xn converge ap ∈ R se per ogni ε > 0 esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0
|xn − p| < ε. (4.4.1)
Le seguenti affermazioni sono quindi equivalenti per n → +∞:
xn → p, |xn − p| → 0, xn − p → 0.
In particolare, xn → 0 se e solo se |xn| → 0.La diseguaglianza (4.4.1) equivale alle due seguenti diseguaglianze
p− ε < xn < p + ε.
Puo accadere che una successione convergente verifichi definitivamente la piuforte diseguaglianza
p ≤ xn < p + ε, (4.4.2)
oppurep− ε < xn ≤ p. (4.4.3)
Ad esempio, xn = 1/n verifica definitivamente (4.4.2) con p = 0, mentre xn =1 − 1/n verifica definitivamente (4.4.3) con p = 1. Siamo cosı condotti allaseguente definizione.
Definizione 4.4.4 Sia {xn} una successione a valori reali convergente a p. Sidice che la successione converge a p per eccesso o dalla destra, se
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 p ≤ xn < p + ε.
Analogamente, si dice che la successione converge a p per difetto, o dallasinistra, se
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 p− ε < xn ≤ p.
Se xn converge a p dalla destra si scrive
limn→+∞
xn = p + , o anche xn → p + per n → +∞.
Se xn converge a p dalla sinistra si scrive
limn→+∞
xn = p− , o anche xn → p− per n → +∞.
Secondo queste definizioni, limn→+∞ 1/n = 0+ e limn→+∞ (1− 1/n) = 1−.Invece, la successione xn = (−1)n/n converge a 0, ma non converge ne dalladestra ne dalla sinistra.
La nozione di successione limitata del precedente paragrafo nel caso realepuo essere ulteriormente precisata.
86 4. Successioni
Definizione 4.4.5 Diremo che una successione a valori reali e limitata su-periormente (oppure inferiormente) se la sua immagine {xn} e limitata su-periormente (rispettivamente, inferiormente). Chiameremo estremo superiore,inferiore, massimo, minimo della successione l’estremo superiore, inferiore, ilmassimo (se esiste), il minimo (se esiste) dell’immagine {xn}.
Per il Teorema 4.2.7 ogni successione reale convergente e limitata sia inferior-mente che superiormente. Tuttavia, il concetto di limite puo essere esteso percaratterizzare il comportamento ‘regolare’ di alcune successioni reali illimitate.
Definizione 4.4.6 Sia {xn} una successione a valori reali. Si dice che lasuccessione diverge a +∞ se
∀M ∃n0 ∀n ≥ n0 xn > M . (4.4.7)
Analogamente, dice che la successione diverge a −∞
∀M ∃n0 ∀n ≥ n0 xn < M . (4.4.8)
Se xn diverge a +∞ si scrive
limn→+∞
xn = +∞, o anche xn → +∞ per n → +∞.
Se xn diverge a −∞ si scrive
limn→+∞
xn = −∞, o anche xn → −∞ per n → +∞.
Nella definizione di divergenza a +∞, il numero M e arbitrario e puo esserescelto positivo ‘grande a piacere’, mentre n0 e funzione di M . In generale, alcrescere di M anche n0 cresce. Analoga osservazione per la divergenza a −∞: inquesto caso M puo essere scelto negativo e di valore assoluto grande a piacere.Dalla definizione risulta chiaro che xn diverge a +∞ se e solo se −xn diverge a−∞.
Esempi 4.4.9
1. La successione di termine generale xn =√
n diverge a +∞. Infatti, perogni M > 0 sia n0 > M2. Per ogni n ≥ n0 si ha
√n ≥ √
n0 > M .In modo analogo si dimostra che tutte le successioni {nα}, ove α > 0,divergono a +∞.
2. Sia {xn} la successione
−1, 2,−3, 4, . . . , (−1)nn, . . .
Questa successione, benche illimitata, non e divergente, ne a −∞, ne a+∞. Infatti, qualunque sia M > 0, essa non soddisfa definitivamente ladiseguaglianza xn > M , ne la diseguaglianza xn < −M
4.5. Permanenza del segno. Confronto 87
Una successione divergente a +∞ e illimitata superiormente ed e definiti-vamente positiva. Una successione divergente a −∞ e illimitata inferiormenteed e definitivamente negativa. Ne segue che una successione divergente a +∞non puo divergere a −∞ e non puo convergere. Analogamente una successio-ne divergente a −∞ non puo divergere a +∞ e non puo convergere. Infine,una successione convergente non puo divergere. In altri termini, anche con l’in-troduzione dei limiti +∞ e −∞, il limite di una successione reale, se esiste, eunico.
Definizione 4.4.10 Sia {xn} una successione a valori reali. Si dice che {xn} eregolare se essa ammette limite (finito o infinito). Altrimenti si dice irregolareod oscillante.
Vale per il limiti infiniti l’analogo del Teorema 4.3.4
Teorema 4.4.11 Sia {xn} una successione a valori reali. Se xn diverge a +∞,allora ogni sua sottosuccessione diverge a +∞. Se xn diverge a −∞, allora ognisua sottosuccessione diverge a −∞.
Dimostrazione. La dimostrazione e del tutto analoga a quella del Teorema4.3.4. Basta sostituire all’intorno B(p, ε) l’intervallo (M, +∞) nel caso delladivergenza a −∞, e (−∞,M) nel caso della divergenza a −∞.
Nel paragrafo 3.9 e stata introdotta una metrica d∗ in R. Nello spazio metri-co (R, d∗) le successioni divergenti a +∞ o −∞ sono esattamente le successioniche tendono a questi limiti, secondo la definizione del paragrafo 4.1.
4.5 Permanenza del segno. Confronto
Sia {xn} una successione reale convergente a p. Per la definizione di limite,assegnato un qualunque intervallo (a, b) tale che p ∈ (a, b), si ha definitivamentexn ∈ (a, b). Questa osservazione permette di mettere in relazione il segno di xn
e quello di p.
Teorema 4.5.1 (di permanenza del segno) Sia {xn} una successione realeconvergente a p.
a) Se p > 0, allora definitivamente xn > 0.
b) Se p < 0, allora definitivamente xn < 0.
c) Se definitivamente xn ≥ 0, allora p ≥ 0.
d) Se definitivamente xn ≤ 0, allora p ≤ 0.
Dimostrazione. Sia ε > 0 tale che p−ε > 0. Per la definizione di convergenzasi ha definitivamente
0 < p− ε < xn < p + ε.
Quindi a) e vera. La dimostrazione di b) e analoga.
88 4. Successioni
Supponiamo che definitivamente valga xn ≥ 0. Allora non puo valere p < 0,altrimenti, per il punto b), si avrebbe definitivamente xn < 0. Quindi c) e vera.In modo analogo si dimostra d).
Si noti che c) e d) non sono le inverse di a) e b). Anche nella piu forteipotesi xn > 0, non si puo dedurre p > 0. Basta infatti considerare l’esempiodella successione xn = 1/n.
Teorema 4.5.2 (del confronto; convergenza) Siano {xn},{yn} e {zn} tresuccessioni reali tali che:
i) xn e yn convergono allo stesso limite p;
ii) definitivamente xn ≤ zn ≤ yn.
Allora zn converge a p.
Dimostrazione. Sia ε > 0 fissato ad arbitrio. Per l’ipotesi i) definitivamentevalgono ambedue le diseguaglianze
p− ε < xn < p + ε; (4.5.3)p− ε < yn < p + ε. (4.5.4)
Quindi, per l’ipotesi ii), (4.5.3) e (4.5.4), si ha definitivamente
p− ε < xn ≤ zn ≤ yn < p + ε.
Ne segue che definitivamente vale p− ε < zn < p + ε e quindi la tesi.
Teorema 4.5.5 (del confronto; divergenza) Siano {xn} e {yn} due succes-sioni reali tali che definitivamente xn ≤ yn. Allora:
a) se xn diverge a +∞ anche yn diverge a +∞;
b) se yn diverge a −∞ anche xn diverge a −∞.
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare a), dato che la dimostrazione di b)e analoga. Sia M fissato ad arbitrio. Definitivamente si ha xn > M . Poichedefinitivamente yn ≥ xn, definitivamente si ha yn > M . Quindi yn diverge a+∞.
Esempi 4.5.6
1. Sia {xn} tale che limn→+∞ xn = 0. Dimostriamo che
limn→+∞
sin xn = 0, limn→+∞
cosxn = 1− .
Possiamo supporre xn ≥ 0, poiche sin(−xn) = − sinxn e cos(−xn) =cos xn.
4.5. Permanenza del segno. Confronto 89
Sia x un angolo (in radianti) tale che 0 < x < π/2. Nel cerchio di centroo e raggio 1 si consideri il triangolo di vertici o, p, r e il settore circolarecon gli stessi vertici. Indichiamo con T1 e S rispettivamente le loro aree.Si ha
T1 =12
sin x, , S =12x.
Quindi0 < sin x < x.
Sostituendo xn a x si ha limn→+∞ sin xn = 0 per il Teorema 4.5.2.
La seconda relazione di limite si ottiene dalla prima e dal Teorema delconfronto 4.5.2. Si ha infatti, sempre per 0 < x < π/2,
0 < 1− cosx < 1− cos2 x = sin2 x < sin x.
Quindi limn→+∞ cosxn = 1−.
2. Sia yn = n2 − n. Per n ≥ 2 si ha
yn = n2(1− 1
n
)≥ n2
2.
Posto xn = n2/2, chiaramente xn → +∞. Per il Teorema 4.5.5 si halimn→+∞(n2 − n) = +∞.
x
1
sin(x)
o
p
q
r
tan(x)
Dimostriamo una relazione di limite notevole con l’aiuto del Teorema 4.5.2.
Teorema 4.5.7 Sia {xn} una successione tale che xn 6= 0 e limn→+∞ xn = 0.Allora
limn→+∞
sin xn
xn= 1− . (4.5.8)
90 4. Successioni
Dimostrazione. Poichesin (−xn)−xn
=sin xn
xn,
possiamo supporre xn > 0. Sia 0 < x < π/2. Nel cerchio di centro o e raggio 1si consideri il triangolo di vertici o, p, r, il triangolo rettangolo di vertici o, q, r eil settore circolare di vertici o, p, r. Indichiamo con T1, T2 e S rispettivamentele loro aree. Si ha
T1 =12
sin x, T2 =12
tanx, S =12x.
Poiche T1 < S < T2, otteniamo le diseguaglianze
sin x < x < tan x,
da cuicosx <
sin x
x< 1.
Sostituendo xn a x, e ricordando che limn→+∞ cosxn = 1, si ottiene la relazione(4.5.8) dal Teorema del confronto.
4.6 Successioni monotone
Definizione 4.6.1 Sia {xn} una successione a valori reali. Si dice che lasuccessione e:
a) monotona crescente in senso lato, o non decrescente, se
∀n xn ≤ xn+1;
b) monotona crescente in senso stretto, se
∀n xn < xn+1;
c) monotona decrescente in senso lato, o non crescente, se
∀n xn ≥ xn+1;
d) monotona decrescente in senso stretto se
∀n xn > xn+1.
Ad esempio, la successione {√n} e monotona crescente in senso stretto,mentre la successione 1, 1, 2, 2, . . . , n, n . . . e crescente in senso lato, ma non insenso stretto. La successione (−1)n non e monotona. E altresı chiaro che, se{xn} e crescente (in senso lato o stretto), allora {−xn} e decrescente (in sensolato o stretto, rispettivamente). Inoltre, una successione e allo stesso tempomonotona non decrescente e monotona non crescente se e solo se e costante.
La rilevanza delle successioni monotone deriva dal fatto che esse sono rego-lari.
4.7. Calcolo dei limiti 91
Teorema 4.6.2 Ogni successione monotona {xn} e regolare. Se {xn} e mono-tona crescente (in senso lato o stretto), allora
limn→+∞
xn = sup {xn} . (4.6.3)
Se {xn} e monotona decrescente (in senso lato o stretto), allora
limn→+∞
xn = inf {xn} . (4.6.4)
Dimostrazione. Dimostriamo (4.6.3), distinguendo tra il caso in cui l’estremosuperiore e finito e quello in cui e infinito. Sia dapprima
L = sup {xn} < +∞.
Per ogni ε > 0 il numero L− ε non e un maggiorante della successione. Esistequindi xn0 , tale che L − ε < xn0 ≤ L. Poiche xn e non decrescente, si ha, perogni n ≥ n0,
L− ε < xn0 ≤ xn ≤ L.
Quindi xn → L− per n → +∞.Sia ora supn {xn} = +∞. Poiche la successione non ha maggioranti, per
ogni M esiste xn0 tale che M < xn0 . Poiche xn e non decrescente, si ha, perogni n ≥ n0,
M < xn0 ≤ xn.
Quindi xn → +∞ per n → +∞.La dimostrazione di (4.6.4) e del tutto analoga.
4.7 Calcolo dei limiti
Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali. A partire da esse si possonodefinire delle nuove successioni, eseguendo su an e bn le operazioni di somma,prodotto, quoziente (se bn 6= 0), elevamento a potenza (se an > 0), passaggio allogaritmo (se an > 0, an 6= 1, bn > 0). Otteniamo cosı le successioni di terminegenerale
an + bn, anbn,an
bn, abn
n , loganbn (4.7.1)
Dimostreremo che, se an e bn sono regolari, allora anche le successioni in (4.7.1)sono regolari, salvo le eccezioni che verranno esplicitamente indicate nel seguito(le cosiddette forme di indecisione). Dimostreremo inoltre che, escludendo lesuddette eccezioni, il limite delle successioni (4.7.1) si ottiene eseguendo suilimiti di an e bn la stessa operazione eseguita sui termini generali. In altreparole, il limite della somma e la somma dei limiti, il limite del prodotto e ilprodotto dei limiti etc. Tuttavia, se uno o ambedue questi limiti sono infiniti,o il denominatore del rapporto tende a 0, o la base della potenza tende a 0+,o l’argomento del logaritmo tende a 0+, o la base del logaritmo tende a 1 o a0+, le corrispondenti operazioni sui limiti non sono definite nel campo reale.Lo studio del comportamento delle successioni (4.7.1) per n → +∞ permetteradi aritmetizzare (ad esclusione delle eccezioni sopra menzionate) i simboli +∞,−∞, 0+ e 0− in modo da dare significato alle operazioni con queste quantita.
92 4. Successioni
4.7.1 Calcolo dei limiti in R
Esaminiamo dapprima il caso in cui le operazioni tra i limiti hanno significatonel campo reale.
Teorema 4.7.2 Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali entrambe con-vergenti. Sia
an → a, bn → b per n → +∞.
Allora, per n → +∞ si ha:
1. an + bn → a + b.
2. anbn → ab.
3. Se bn 6= 0 e b 6= 0, alloraan
bn→ a
b.
4. Se an > 0 e a > 0, allora abnn → ab.
5. Se an, a > 0, an, a 6= 1, bn, b > 0, allora loganbn → loga b.
La dimostrazione del Teorema e svolta nell’Appendice. Come esempio diamola dimostrazione della 1. Fissato ε > 0, si ha definitivamente |an − a| < ε e|bn − b| < ε. Percio si definitivamente vale
|an + bn − a− b| ≤ |an − a|+ |bn − b| < 2ε,
da cui l’asserto.
Esempi 4.7.3
1.3n− 1
n− cos
1n
= 3− 1n− cos
1n→ 3− 0− 1 = 2.
2.3n− 1
ncos
1n→ 3 · 1 = 3.
3. tan1n
=sin 1/n
cos 1/n→ 0
1= 0.
4. Sia x > 0. Si ha x1/n → x0 = 1.
5. Sia a > 0, a 6= 1. Si ha loga
(1 +
1n
)→ loga 1 = 0.
4.7.2 Calcolo dei limiti in R
Le dimostrazioni dei Teoremi enunciati in questo sottoparagrafo sono svolte inAppendice.
4.7. Calcolo dei limiti 93
Somma
Teorema 4.7.4 Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali. Valgono leseguenti implicazioni:
an → +∞ e bn → b =⇒ an + bn → +∞an → +∞ e bn → +∞ =⇒ an + bn → +∞an → −∞ e bn → b =⇒ an + bn → −∞an → −∞ e bn → −∞ =⇒ an + bn → −∞.
Riassumiamo il Teorema nella seguente tabella, che estende la somma a R,con l’eccezione del caso +∞−∞
Tabella I
+∞+ b = +∞, +∞+ (+∞) = +∞−∞+ b = −∞, −∞+ (−∞) = −∞
Se an → +∞ e bn → −∞, la successione an + bn puo avere qualsiasicomportamento, come mostrano gli esempi seguenti.
Esempi 4.7.5
1. Sia an = n, bn = −n + x, ove x e un numero reale qualunque. Alloraan + bn = x.
2. Sia an = n2, bn = −n. Ricordando l’esempio 4.5.6.2, si ha
an + bn = n2 − n → +∞.
Se an = n e bn = −n2, si ha an + bn → −∞.
3. Sia an = n2 e
bn =
{−n2 se n e pari−n se n e dispari.
La successione an + bn e irregolare, poiche la sottosuccessione dei pari eidenticamente 0, mentre quella dei dispari diverge a +∞.
Si dice che
∞−∞
e una forma di indecisione.
94 4. Successioni
Prodotto
Teorema 4.7.6 Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali. Valgono leseguenti implicazioni:
an → +∞ e bn → +∞ =⇒ anbn → +∞an → +∞ e bn → −∞ =⇒ anbn → −∞an → −∞ e bn → −∞ =⇒ anbn → +∞an → +∞ e bn → b ≷ 0 =⇒ anbn → ±∞an → −∞ e bn → b ≷ 0 =⇒ anbn → ∓∞.
Riassumiamo il Teorema nella seguente tabella, che estende il prodotto a R,con l’eccezione del caso 0 · ∞.
Tabella II
se b ≷ 0, +∞ · b = ±∞, −∞ · b = ∓∞+∞ ·+∞ = +∞, +∞ · −∞ = −∞, −∞ · −∞ = +∞
Se an → 0 e bn → ±∞, la successione anbn puo avere qualsiasi comporta-mento, come mostrano i seguenti esempi.
Esempi 4.7.7
1. Sia an = 1/n e bn = n. Allora anbn = 1 → 1.
2. Sia an = 1/n e bn = n2. Allora anbn = n → +∞.
3. Sia an = 1/n2 e bn = n. Allora anbn = 1/n → 0.
4. Sia an = 1/n2 per n pari e an = 1/n per n dispari; sia bn = n. Alloraanbn oscilla, poiche anbn = 1/n per n pari e anbn = 1 per n dispari.
Abbiamo cosı la seconda forma di indecisione
0 · ∞
Quoziente
Il comportamento al limite di an/bn deduce combinando lo studio del compor-tamento al limite di 1/bn con il Teorema 4.7.6
Teorema 4.7.8 Sia {bn} una successione a valori reali tale che bn 6= 0. Val-gono le seguenti implicazioni:
bn → 0+ =⇒ 1/bn → +∞bn → 0− =⇒ 1/bn → −∞bn → +∞ =⇒ 1/bn → 0+bn → −∞ =⇒ 1/bn → 0−
4.7. Calcolo dei limiti 95
Si noti che se bn tende a 0, ma non e bn → 0+, ne bn → 0−, allora 1/bn
oscilla. In questo caso infatti, 1/bn e illimitata, ma non ha definitivamente segnopositivo, ne negativo.
Riassumiamo il Teorema nella seguente tabella.
Tabella III
10+
= +∞,1
0− = −∞1
+∞ = 0 + ,1−∞ = 0−
Dalla forma di indecisione 0 ·∞ e dal Teorema 4.7.8 si ricavano le due formedi indecisione per il quoziente.
∞∞ ,
00
Potenze
Teorema 4.7.9 Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali. Sia an > 0 ea > 0. Valgono le seguenti implicazioni:
an → a > 1 e bn → +∞ =⇒ abnn → +∞
an → a > 1 e bn → −∞ =⇒ abnn → 0+
an → a < 1 e bn → +∞ =⇒ abnn → 0+
an → a < 1 e bn → −∞ =⇒ abnn → +∞.
Se an → 1 e bn → +∞, oppure bn → −∞, la successione abnn puo ave-
re qualsiasi comportamento. Giustificheremo questa affermazione nel prossimoparagrafo. Riassumiamo il Teorema nella seguene tabella.
Tabella IV
se a > 1, a+∞ = +∞, a−∞ = 0+se 0 < a < 1, a+∞ = 0+, a−∞ = +∞
Si ha la forma di indecisione
1∞
96 4. Successioni
Teorema 4.7.10 Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali. Sia an > 0.Valgono le seguenti implicazioni:
an → 0+ e bn → b > 0 =⇒ abnn → 0+
an → +∞ e bn → b > 0 =⇒ abnn → +∞
an → 0+ e bn → b < 0 =⇒ abnn → +∞
an → +∞ e bn → b < 0 =⇒ abnn → 0 + .
Riassumiamo il Teorema nella seguente Tabella
Tabella V
se b > 0, 0+b = 0+, +∞b = +∞se b < 0, 0+b = +∞, +∞b = 0+
Dal Teorema precedente e escluso il caso in cui an → 0+ e bn → 0 e il casoin cui an → +∞ e bn → 0. In tali casi infatti, la successione abn
n puo averequalsiasi comportamento.
Esempi 4.7.11
1. Sia an = 2−n . Per il Teorema 4.7.10 an → 0+ per n → +∞. Se bn =−1/n, si ha abn
n = 2.
2. Sia an = 2−n e bn = −1/√
n. Si ha abnn = 2
√n → +∞, sempre per il
Teorema 4.7.10.
3. Sia an = 2−n e sia bn = 1/n per n pari, bn = −1/n per n dispari. Inquesto caso abn
n oscilla.
4. Le successioni an = 2n e bn = 1/n, oppure bn = 1/√
n, forniscono, ra-gionando come nel caso 00, esempi che mostrano che ∞0 e effettivamenteuna forma di indecisione.
Abbiamo quindi altre due forme di indecisione
00, ∞0
Il seguente Teorema completa lo studio dei limiti delle potenze.
Teorema 4.7.12 Siano {an} e {bn} due successioni a valori reali. Sia an > 0.Valgono le seguenti implicazioni.
a → 0+ e bn → +∞ =⇒ abnn → 0+
a → 0+ e bn → −∞ =⇒ abnn → +∞
a → +∞ e bn → +∞ =⇒ abnn → +∞
a → +∞ e bn → −∞ =⇒ abnn → 0 + .
4.7. Calcolo dei limiti 97
Riassumiamo il Teorema nella seguente Tabella.
Tabella VI
0++∞ = 0 + , 0+−∞ = +∞+∞+∞ = +∞, +∞−∞ = 0+
Logaritmi
Teorema 4.7.13 Sia a > 0, a 6= 1. Sia bn 6= 0. Valgono le seguenti implica-zioni.
a > 1 e bn → +∞ =⇒ loga bn → +∞a > 1 e bn → 0+ =⇒ loga bn → −∞a < 1 e bn → +∞ =⇒ loga bn → −∞a < 1 e bn → 0+ =⇒ loga bn → +∞.
Come prima, il Teorema puo essere riassunto in una tabella.
Tabella VII
se a > 1, loga +∞ = +∞, loga 0+ = −∞se a < 1, loga +∞ = −∞, loga 0+ = +∞
Il comportamento del logaritmo con base variabile si deduce dai Teoremiprecedenti e dalla formula
loganbn =
log10 bn
log10 an(4.7.14)
Il termine a destra in 4.7.14 presenta i casi di indecisione del rapporto se ambe-due le sucessioni tendono a 1, o a 0+, o a +∞, oppure se una delle due tende a0+ e l’altra a +∞.
Le Tabelle I–VII costituiscono la cosiddetta aritmetizzazione parziale deisimboli +∞, −∞, 0+, 0−. Assieme al Teorema 4.7.2, e alle sette forme diindecisione, esse danno un panorama esauriente del calcolo dei limiti delle suc-cessioni reali. Raccogliamo in una tabella le forme di indecisione incontrate.
Tabella VIII. Le forme di indecisione
∞−∞ 0 · ∞ 00
∞∞
1∞ 00 ∞0
98 4. Successioni
4.8 Il numero e
Il numero e, base dei logaritmi naturali o neperiani, e definito come il limitedella successione
en =(
1 +1n
)n
. (4.8.1)
Poiche {en} presenta il caso di indecisione 1∞, la sua convergenza non di-scende dai teoremi del paragrafo precedente, ma deve essere dimostrata separa-tamente.
Teorema 4.8.2 La successione {en} converge.
Dimostrazione. La dimostrazione si articola in due punti.
a) en e strettamente crescente.
b) en e limitata superiormente.
La convergenza di {en} seguira allora dal Teorema 4.6.2.Dimostriamo dapprima che en/en−1 > 1 per ogni n ≥ 2. Si ha
en
en−1=
(1 +
1n
)n
(1 +
1n− 1
)n−1 =(
n + 1n
)n (n− 1
n
)n−1
(4.8.3)
=
(n2 − 1
n2
)n
n− 1n
=
(1− 1
n2
)n
1− 1n
. (4.8.4)
Ricordiamo ora la diseguaglianza, dimostrata nel Lemma 1.6.1,
(1 + ε)n > 1 + nε, (4.8.5)
valida per ogni n ≥ 2 e ε > −1, ε 6= 0. Posto ε = −1/n2, si ha da (4.8.3) e(4.8.4)
en
en−1=
(1− 1
n2
)n
1− 1n
>1− n · 1
n2
1− 1n
= 1.
Quindi la successione (4.8.1) e strettamente crescente.Per dimostrare il punto b) consideriamo la successione
e∗n =(
1 +1n
)n+1
. (4.8.6)
4.8. Il numero e 99
Dimostriamo che essa e strettamente decrescente. Infatti, ragionando comesopra, si ha per n ≥ 2
e∗n−1
e∗n=
(1 +
1n− 1
)n
(1 +
1n
)n+1 =(
n
n− 1
)n (n
n + 1
)n+1
(4.8.7)
=
(n2
n2 − 1
)n
n + 1n
=
(1 +
1n2 − 1
)n
1 +1n
. (4.8.8)
Per la diseguaglianza (4.8.5), ove si ponga ε = 1/(n2 − 1), si ha
(1 +
1n2 − 1
)n
> 1 + n · 1n2 − 1
> 1 +n
n2. (4.8.9)
Da (4.8.7), (4.8.8) e (4.8.9) segue
e∗n−1
e∗n=
(1 +
1n2 − 1
)n
1 +1n
> 1.
Quindi {e∗n} e strettamente decrescente. Ne segue che {en} e limitata, poiche
en =(
1 +1n
)n
<
(1 +
1n
)n+1
= e∗n < e∗1 = 4.
Definizione 4.8.10 Si pone
e = limn→+∞
(1 +
1n
)n
.
Poiche en e crescente, si ha limn→+∞ en = e−.
Corollario 4.8.11 Sia e∗n come in (4.8.6). Allora limn→+∞ e∗n = e+.
Dimostrazione. Segue dal Teorema precedente e dal Teorema del confronto.Infatti,
0 ≤ e∗n − en =e∗n
n + 1<
e∗1n + 1
. (4.8.12)
Il limite e per eccesso, poiche e∗n e decrescente.
100 4. Successioni
La successione {en} converge ad e ‘lentamente’. Se si vuole approssimare e,l’errore En commesso arrestandosi al passo n e, per (4.8.12),
En = e− en < e∗n − en <4
n + 1.
Ad esempio, per approssimare e alla terza cifra decimale, e quindi avere un erroredell’ordine di 10−4, occorre calcolare en con n dell’ordine di 104. L’approssima-zione effettiva di e si effettua con altri metodi, a cui accenneremo nell’Appendicedel capitolo sulle serie numeriche.
Il numero e, chiamato anche costante di Nepero (dal nome del matematicoJohn Napier, inventore dei logaritmi), e un numero irrazionale trascendente(ossia, come π, non e radice di nessun polinomio a coefficienti interi). Dalladiseguaglianza e1 < e < e∗1 ricaviamo 2 < e < 4. In realta, le prime cifredecimali di e sono
e = 2, 71828182845904 . . .
In Analisi Matematica si assume abitualmente il numero e come base dei loga-ritmi. La scrittura log x stara sempre ad indicare il logaritmo di x inbase e.
Siamo in grado ora di costruire gli esempi che mostrano che 1∞ e effettiva-mente una forma di indecisione. Si considerino le successioni
(1 +
1n
)n2
,(
1 +1n
)√n
, an =
(1 +
1n
)n2
se n e pari(
1 +1n
)√n
se n e dispari
La prima diverge a +∞, poiche
(1 +
1n
)n2
=[(
1 +1n
)n]n
→ e+∞ = +∞,
per la Tabella IV nel paragrafo precedente. Per la seconda si ha
(1 +
1n
)√n
=[(
1 +1n
)n]1/√
n
→ e0 = 1.
La terza successione e chiaramente oscillante.Il numero e si puo ottenere come limite di successioni la cui espressione
generalizza quella di en.
Lemma 4.8.13 Sia {xn} una successione a valori reali tale che xn → +∞,opppure tale che xn → −∞, per n → +∞. Allora
limn→+∞
(1 +
1xn
)xn
= e.
4.8. Il numero e 101
Dimostrazione. Innanzi tutto notiamo che(
1 +1
k + 1
)k
= ek+1
(1 +
1k + 1
)−1
→ e. (4.8.14)
Fissato quindi ε > 0, esiste k0 tale che per ogni k ≥ k0 valgono le disegua-glianze
e− ε <
(1 +
1k + 1
)k
<
(1 +
1k
)k+1
< e + ε (4.8.15)
Sia dapprima xn → +∞. Per ogni xn sia [xn] il massimo intero che non superaxn. Si ha [xn] ≤ xn < [xn] + 1, da cui
(1 +
1[xn] + 1
)[xn]
<
(1 +
1xn
)xn
<
(1 +
1[xn]
)[xn]+1
.
Poiche [xn] → +∞, definitivamente si ha [xn] > k0. La tesi in questo caso segueda (4.8.15) e dal Teorema del confronto 4.5.2.
Supponiamo ora xn → −∞. Posto yn = −xn, si ha yn → +∞ e
(1 +
1xn
)xn
=(
1− 1yn
)−yn
=(
1 +1
yn − 1
)yn−1 (1 +
1yn − 1
)→ e
per il risultato precedente.
Teorema 4.8.16 Sia {xn} una successione a valori reali tale che |xn| → +∞.Allora
limn→+∞
(1 +
1xn
)xn
= e.
Dimostrazione. Fissato ε > 0 ad arbitrio, per il Lemma precedente valgonodefinitivamente ambedue le diseguaglianze
∣∣∣∣∣(
1 +1|xn|
)|xn|− e
∣∣∣∣∣ < ε,
∣∣∣∣∣(
1− 1|xn|
)−|xn|− e
∣∣∣∣∣ < ε.
Per ogni n si ha xn = |xn|, oppure xn = − |xn|. Quindi la sottosuccessio-ne corrispondente agli xn positivi tende ad e, come pure la sottosuccessionecorrispondente agli xn negativi. Ne segue la convergenza della successione.
Con l’ausilio del Teorema appena dimostrato si deducono alcuni limiti fonda-mentali in Analisi Matematica. Il primo limite presenta la forma di indecisione
1∞, gli altri la forma00.
102 4. Successioni
Teorema 4.8.17 Sia {εn} una successione a valori reali tale che limn→+∞ εn =0 e εn 6= 0. Sia a un numero reale. Allora
a) (1 + a · εn)1/εn → ea.
b)log(1 + a · εn)
εn→ a.
c)aεn − 1
εn→ log a (se a > 0).
d)(1 + εn)a − 1
εn→ a.
Dimostrazione. a) Anzitutto si noti che 1 + a · εn e definitivamente positivo,poiche εn → 0. Quindi l’espressione in a) e b) ha senso per n abbastanza grande.
Se a = 0 l’asserto e ovvio. Sia a 6= 0, e si ponga xn = (aεn)−1. Poicheεn → 0 si ha |xn| → +∞. Risulta quindi
(1 + a · εn)1/εn =[(
1 +1xn
)xn]a
→ ea.
b) Passando ai logaritmi nella relazione di limite in a) si ha l’asserto per ilpunto 5 del Teorema 4.7.2.
c) Poniamo σn = aεn − 1, di modo che εn = loga(1 + σn). Si ha
aεn − 1εn
=σn
loga(1 + σn)=
σn
log(1 + σn)log a.
Per il punto 3 del Teorema 4.7.2, si ha σn → 0. Per il punto b) appena dimo-strato si ha l’asserto.
d) Se a = 0 l’asserto e ovvio. Sia a 6= 0. Si ponga σn = a log(1 + εn). Per ilpunto 5 del Teorema 4.7.2, σn → 0. Si ha
(1 + εn)a − 1εn
= aeσn − 1
σn· log(1 + εn)
εn→ a
per i punti b) e c) precedenti.
Esempi 4.8.18
1. (cos 1/n)
1sin2 1/n =
(√1− sin2 1/n
) 1sin2 1/n =
=(
1− 12· 2 sin2 1/n
) 12 sin2 1/n → e−1/2.
4.9. Infiniti e infinitesimi 103
2. n log(
1 + sin3n
)=
log(
1 + sin3n
)
sin3n
·sin
3n
3n
· 3 → 3
(si veda il Teorema 4.5).
3. n(
n√
10− 1)
=101/n − 1
1/n→ log 10.
4.√
n2 + n− n = n
(√1 +
1n− 1
)=
(1 +
1n
)1/2
− 1
1n
→ 12.
4.9 Infiniti e infinitesimi
Definizione 4.9.1 Sia {xn} una successione a valori reali. Si dice che xn e uninfinitesimo se limn→+∞ xn = 0. Si dice che xn e un infinito se limn→+∞ xn =+∞, oppure limn→+∞ xn = −∞.
Tra gli infiniti che ricorrono maggiormente in Analisi Matematica vi sonologa n, nb, ecn, ove a, b, c sono costanti positive. Analogamente, gli infinitesimipiu ricorrenti sono i reciproci dei precedenti, log−a n, n−b, e−cn. Accanto adessi possono presentarsi infiniti del tipo log (log n), enc
, n!, nn, e gli infinitesimiche sono i loro reciproci.
Prima di confrontare tra loro queste successioni, enunciamo un criterio utilea stabilire se una successione sia infinita o infinitesima.
Teorema 4.9.2 (Criterio del rapporto per le successioni) Sia an > 0 perogni n. Esista
α = limn→+∞
an+1
an.
a) Se 0 ≤ α < 1, allora an → 0+.
b) Se 1 < α ≤ +∞, allora an → +∞.
Dimostrazione. a) Sia ε > 0 tale che α + ε < 1. Esiste n0 tale che per ognin ≥ n0 si abbia an+1/an < α + ε. Per tali valori di n si ha
an+1 =an+1
an· an
an−1· an−1
an−2· · · an0+1
an0
· an0
< (α + ε) · (α + ε) · (α + ε) · · · (α + ε) an0
= (α + ε)n+1−n0 an0
Quindi0 < an < (α + ε)n (α + ε)−n0 an0 → 0.
104 4. Successioni
La tesi segue dal Teorema del confronto 4.5.2.
b) Sia bn = 1/an. Allora
limn→+∞
bn+1
bn= lim
n→+∞an
an+1< 1.
Per il punto a) bn → 0+ e quindi an → +∞.
Se α = 1, in generale non si puo dedurre nulla sul comportamento dellasuccessione. Si considerino ad esempio le due successioni an = n e an = 1/n, laprima infinita e la seconda infinitesima. Al tendere di n a +∞ per ambedue siha an+1/an → 1.
Teorema 4.9.3 Sia b > 0 e c > 0. Allora
ecn
nb→ +∞. (4.9.4)
Dimostrazione. Per dimostrare il Teorema applichiamo il criterio del rapportoalla successione an = ecn/nb. Si ha
an+1
an=
ec(n+1)
ecn·(
n
n + 1
)b
→ ec > 1,
da cui (4.9.4).
Il criterio del rapporto non basta per determinare il limite di an = nb/ loga n.Infatti
an+1
an=
(n + 1
n
)b
·(
log n
log(n + 1)
)a
. (4.9.5)
Il primo fattore a destra in (4.9.5) tende a 1. Per il secondo fattore si ha
log n
log(n + 1)=
log n
log n + log(1 + 1/n)=
1
1 +log(1 + 1/n)
log n
→ 1.
Prima di studiare il comportamento al limite del rapporto an = nb/ loga n,dimostriamo una disuguaglianza sul logaritmo.
Lemma 4.9.6 Per ogni x > −1 si ha log(1 + x) ≤ x.
Dimostrazione. Per il Lemma 1.6.1 si ha, per ogni x > −1, x 6= 0,(1 +
x
n
)n
> 1 + nx
n= 1 + x. (4.9.7)
Per il punto a) del Teorema 4.8.17 e per (4.9.7) si ha
ex = limn→+∞
(1 +
x
n
)n
≥ 1 + x.
4.9. Infiniti e infinitesimi 105
Quindi ex ≥ 1+x, da cui x ≥ log(1+x). Questa relazione vale anche per x = 0con il segno di eguaglianza.
Si puo dimostrare che l’equazione log(1+x) = x, ovvero 1+x = ex, ammettel’unica soluzione x = 0. Si veda a questo proposito l’esempio 8.8.9.2 nel capitolo8.
Teorema 4.9.8 Sia a > 0 e b > 0. Allora
nb
loga n→ +∞.
Dimostrazione. Per il Lemma precedente si ha
b
2alog n = log nb/2a < log
(1 + nb/2a
)≤ nb/2a.
Quindi(
2a
b
)anb
loga n=
nb
(b2a log n
)a =nb
(log nb/2a
)a >nb
nb/2= nb/2 → +∞.
Definizione 4.9.9 Siano {xn} e {yn} due infiniti. Si dice che xn diverge piulentamente di yn, o che xn e un infinito di ordine inferiore rispetto a yn , sexn/yn → 0. Equivalentemente, si dice che yn diverge piu rapidamente di xn, oche yn e un infinito di ordine superiore rispetto a xn.
Si dice che xn e yn sono infiniti dello stesso ordine se esiste un numero realeβ > 0 tale che |xn/yn| → β.
Si ha l’analoga definizione per gli infinitesimi.
Definizione 4.9.10 Siano {xn} e {yn}, yn 6= 0, due infinitesimi. Si dice chexn tende a 0 piu rapidamente di yn, o che xn e un infinitesimo di ordine supe-riore rispetto a yn, se xn/yn → 0. Equivalentemente, si dice che yn tende a 0piu lentamente di xn, o che yn e un infinitesimo di ordine inferiore rispetto axn.
Si dice che xn e yn sono infinitesimi dello stesso ordine se esiste un numeroreale β > 0 tale che |xn/yn| → β.
Se xn tende a 0 piu rapidamente di yn e yn tende a 0 piu rapidamente di zn,allora xn tende a 0 piu rapidamente di zn. Infatti, se xn/yn → 0 e yn/zn → 0,allora
xn
zn=
xn
yn· yn
zn→ 0.
Analogamente, se xn e yn sono infinitesimi dello stesso ordine, e se yn e zn
sono infinitesimi dello stesso ordine, allora xn e zn sono infinitesimi dello stessoordine. Infatti, se |xn/yn| → β > 0 e |yn/zn| → γ > 0, allora
∣∣∣∣xn
zn
∣∣∣∣ =∣∣∣∣xn
yn
∣∣∣∣ ·∣∣∣∣yn
zn
∣∣∣∣ → βγ > 0.
Le stesse osservazioni si applicano agli infiniti.
106 4. Successioni
Esempi 4.9.11
1. Dai Teoremi 4.9.3 e 4.9.8 segue che, per ogni a, b, c positivi, ecn diverge piurapidamente di nb, il quale diverge piu rapidamente di loga n. Passandoai reciproci, e−cn tende a 0 piu rapidamente di n−b, il quale tende a 0 piurapidamente di log−c n.
2. I due infiniti n e n+(−1)n hanno lo stesso ordine. Dal Teorema 4.5 segueche sin 1/n e infinitesimo dello stesso ordine di 1/n. Dal Teorema 4.8.17segue che log(1+a/n) e infinitesimo dello stesso ordine di 1/n (per a 6= 0).
Deduciamo altri due confronti tra infiniti
Teorema 4.9.12 Valgono i seguenti limitinn
n!→ +∞,
n!en
→ +∞. (4.9.13)
Dimostrazione. Sia an = nn/n!. Si ha
an+1
an=
(n + 1)n+1
nn· n!(n + 1)!
=(n + 1)n(n + 1)
nn· 1n + 1
=(
1 +1n
)n
→ e > 1.
Per il criterio del rapporto la prima relazione di limite e vera.Poniamo ora an = n!/en. Si ha
an+1
an=
(n + 1)!n!
· en
en+1=
n + 1e
→ +∞.
Quindi vale anche la seconda relazione di limite in 4.9.13.
Definizione 4.9.14 Siano {xn} e {yn} due infinitesimi, tali che xn 6= 0 eyn 6= 0. Sia α un numero reale positivo. Si dice che xn e un infinitesimo diordine α rispetto a yn se esiste β > 0 tale che
|xn||yn|α → β. (4.9.15)
Una analoga definizione vale per gli infiniti.
Esempi 4.9.16
1.1
n3/2e un infinitesimo di ordine 3/2 rispetto a
1n
. Analogamente, n3/2 e
un infinito di ordine 3/2 rispetto a n.
2. 1− cos 1/n e un infinitesimo di ordine 2 rispetto a 1/n. Infatti
1− cos 1/n
1/n2=
12
(sin 1/2n
1/2n
)2
→ 12.
Si noti che, dati due infinitesimi{xn} e {yn}, non esiste necessariamente αtale che valga la (4.9.15). Ad esempio, xn = e−n e yn = 1/n.
4.10. o piccolo e asintotico 107
4.10 o piccolo e asintotico
Definizione 4.10.1 Siano {xn} e {yn} due successioni reali, e sia yn 6= 0. Sidice che xn e o piccolo di yn se
xn
yn→ 0.
In tal caso si scrivexn = o (yn) .
Esempi 4.10.2
1. Se a, b e c sono positivi, si ha
loga n = o(nb
), e−cn = o
(1/nb
), 1/n2 = o(1/n),
√n = o(n).
2. Si ha1− cos
1n
= o(1/n).
Infatti1− cos 1/n
1/n=
1n· 1− cos 1/n
1/n2→ 0.
per l’esempio 4.9.16.2.
La scrittura o(1) sta ad indicare un generico infinitesimo. Ad esempio, 1/n =o(1), e−n = o(1), etc. La scrittura xn = zn + o(yn) equivale a xn − zn = o(yn).Se xn converge a x, allora xn − x → 0 e quindi xn = x + o(1).
Definizione 4.10.3 Siano {xn} e {yn} due successioni reali tali che xn 6= 0 eyn 6= 0. Si dice che xn e asintotico a yn se
xn
yn→ 1.
In tal caso si scrivexn ∼ yn
Ad esempio,
n2 − 3n ∼ n2, sin 1/n ∼ 1/n, log (1 + 1/n) ∼ 1/n, e2/n − 1 ∼ 2/n.
La relazione ∼ e riflessiva, cioe xn ∼ xn, simmetrica, cioe xn ∼ yn se e solo seyn ∼ xn, transitiva, cioe xn ∼ yn e yn ∼ zn implicano xn ∼ zn. Infatti,
xn
zn=
xn
yn· yn
zn→ 1.
108 4. Successioni
Se xn ∼ yn e se xn → α ∈ R, allora yn → α. Infatti
yn =yn
xn· xn → α.
Si noti tuttavia che la relazione xn ∼ yn non implica che le due successionisiano regolari. Ad esempio, (−1)n + 1/n ∼ (−1)n, ma ambedue le successionioscillano.
Infine, introduciamo i simboli di O grande ed eguale ordine di grandezza,anche se essi sono meno frequentemente usati.
Definizione 4.10.4 Siano {xn} e {yn} due successioni reali, e sia yn > 0. Sidice che che xn e O grande di yn se esiste una costante c tale
|xn|yn
≤ c. (4.10.5)
In tal caso si scrivexn = O(yn).
Siano xn 6= 0 e yn 6= 0. Si dice che xn e yn hanno eguale ordine di grandezzase esistono due costanti c > 0 e d > 0 tali che definitivamente
0 < d ≤∣∣∣∣xn
yn
∣∣∣∣ ≤ c. (4.10.6)
In tal caso si scrivexn ³ yn.
Due successioni asintotiche hanno chiaramente eguale ordine di grandez-za, ma non vale l’implicazione opposta, come mostrato nel successivo esempio4.10.7.3
Esempi 4.10.7
1. n sin n = O(n). In questo caso (4.10.5) vale con c = 1. Si noti che n sin ne irregolare.
2. e√
n2+n ³ en. Infatti,√
n2 + n− n = n((1 + 1/n)1/2 − 1
) → 1/2, da cui
e√
n2+n
en= e
√n2+n−n → e1/2.
3. ((−1)n + 1/n) sin n ³ sin n. In questo esempio ambedue le successionisono irregolari e non sono asintotiche. La (4.10.6) vale con c = 3/2 ed = 2/3 (per n > 1).
Tra i vari simboli introdotti in questo paragrafo esistono le seguenti impli-cazioni, nessuna delle quali puo essere invertita.
∼ =⇒ ³ =⇒ O
o =⇒ O
4.11. Successioni in Rk 109
4.11 Successioni in Rk
Sia {xn} una successione di punti dello spazio euclideo Rk, k ≥ 1. Poniamo
xn = (x1n, x2n, . . . , xkn) . (4.11.1)
La successione {xn} individua k successioni reali, dipendenti da un doppio in-dice: la successione {x1n} delle prime coordinate, la successione {x2n} delleseconde coordinate, . . . , la successione {xkn} delle k-esime coordinate. Adesempio, la successione
xn =(
sin1n
, cos1n
)(4.11.2)
individua le due successioni reali
x1n = sin1n
, x2n = cos1n
.
Viceversa, assegnate k successioni reali {x1n}, {x2n}, . . . , {xkn}, esse individua-no la successione di punti (4.11.1). Questa osservazione permette, come vedre-mo, di ricondurre il calcolo dei limiti in Rk al calcolo dei limiti delle successionireali.
Innanzi tutto enunciamo esplicitamente la definizione di convergenza nel casoin cui lo spazio metrico sia Rk con la metrica euclidea.
La successione (4.11.1) converge a un punto x = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk se perogni ε > 0 esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 si abbia
‖xn − x‖ =
√√√√k∑
j=1
(xjn − xj)2 < ε
Lemma 4.11.3 Sia an = (a1, a2, . . . , ak) un punto di Rk. Valgono le seguentidiseguaglianze
maxj=1,...,k
|aj | ≤√
a21 + a2
2 + · · · a2k ≤ |a1|+ |a2|+ · · ·+ |ak| . (4.11.4)
Dimostrazione. Dimostriamo dapprima la diseguaglianza di sinistra. Si ha,per ogni j = 1, . . . , k
a2j ≤ a2
1 + a22 + · · · a2
k.
Passando alle radici quadrate si ha ottiene per ogni j = 1, . . . , k,
|aj | =√
a2j ≤
√a21 + a2
2 + · · · a2k.
Dimostriamo ora la diseguaglianza di destra. Si ha
(|a1|+ |a2|+ · · ·+ |ak|)2 =
a21 + a2
2 + · · · a2k + 2 |a1| |a2|+ 2 |a1| |a3|+ · · ·+ 2 |ak−1| |ak|
≥ a21 + a2
2 + · · · a2k.
110 4. Successioni
Passando alle radici quadrate si ottiene
|a1|+ |a2|+ · · ·+ |ak| =√
(|a1|+ |a2|+ · · ·+ |ak|)2 ≥√
a21 + a2
2 + · · · a2k.
Teorema 4.11.5 Sia {xn} una successione di punti di Rk. La successioneconverge a x = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk se e solo se xjn converge a xj per ognij = 1, . . . , k
Dimostrazione. Supponiamo dapprima xn → x per n → +∞. Per ogni ε > 0esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 si ha ‖xn − x‖ < ε. Per la diseguaglianza disinistra in (4.11.4), per ogni n ≥ n0 e per ogni j = 1, . . . , k si ha
|xjn − xj | ≤ ‖xn − x‖ < ε.
Quindi xjn → xj per n → +∞, per ogni j = 1, . . . , k.Viceversa, supponiamo xjn → xj per ogni j = 1, . . . , k. Per ogni ε > 0
ognuna delle seguenti diseguaglianze vale definitivamente
|x1n − x1| < ε, |x2n − x1| < ε, . . . , |xkn − xk| < ε. (4.11.6)
Quindi esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 tutte le diseguaglianze (4.11.6) valgonocontemporaneamente. Dalla diseguaglianza di destra in (4.11.4) si ha, per ognin ≥ n0,
‖xn − x‖ ≤k∑
j=1
|xjn − xj | < kε.
Quindi xn → x.
Esempi 4.11.7
1. Sia {xn} la successione in (4.11.2). Si ha xn → (0, 1) per n → +∞.
2. La successione dei punti xn = (1/n, (−1)n) non converge, poiche la suc-cessione delle seconde coordinate non converge.
In Rk sono definite tre operazioni: somma, prodotto per uno scalare e prodot-to interno. Il calcolo dei limiti rispetto a queste tre operazioni e una immediataconseguenza del Teorema 4.11.5.
Teorema 4.11.8 Siano {xn} e {yn} successioni in Rk. Sia {αn} una succes-
sione di numeri reali. Supponiamo che per n → +∞ si abbia
xn → x, yn→ y, αn → α ∈ R.
Allora
a) xn + yn→ x + y
4.12. Classe limite 111
b) αnxn → αx
c) (xn, yn) → (x, y).
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare, come esempio, il punto c), poichela dimostrazione degli altri due punti e del tutto analoga. Sia xn come in(4.11.1), y
n= (y1n, y2n, . . . , ykn), x = (x1, x2, . . . , xk), y = (y1, y2, . . . , yk).
Per il Teorema 4.11.5 si ha, al tendere di n a +∞,
x1n → x1, x2n → x2, . . . , xkn → xk,
y1n → y1, y2n → y2, . . . , ykn → yk.
Applicando il Teorema 4.7.2 si ha
(xn, yn) = x1ny1n + x2ny2n + · · ·+ xknykn → x1y1 + x2y2 + · · ·+ xkyk = (x, y).
4.12 Classe limite
Sia {xn} una successione di numeri reali e sia {xnk} una sua sottosuccessione.
Anche se {xn} non e regolare, puo accadere che la sottosuccessione ammettalimite, finito o infinito. Siamo cosı condotti alla seguente definizione.
Definizione 4.12.1 Sia {xn} una successione a valori reali. Un elemento α ∈R si chiama valore limite della successione se esiste una sottosuccessione {xnk
}tale che limk→+∞ xnk
= α. L’insieme dei valori limite di {xn} si chiama classelimite della successione.
Esempi 4.12.2
1. Sia xn = (−1)n. In questo caso la classe limite e {−1, 1}. Infatti x2k =1 → 1 e x2k−1 = −1 → −1. Ogni altra sottosuccessione regolare tende a1 oppure a −1.
2. Sia xn = sinnπ
2, con n ≥ 0. La classe limite e {0, 1,−1}. Infatti, per ogni
k ≥ 0 intero, si ha
x4k = 0, x4k+1 = 1, x4k+2 = 0, x4k+3 = −1.
Ogni altra sottosuccessione regolare converge a uno di questi valori limite.
3. Sia xn = n sinnπ
2. In questo caso
x4k = 0, x4k+1 = n, x4k+2 = 0, x4k+3 = −n.
La classe limite e {−∞, 0, +∞}.
112 4. Successioni
4. L’insieme Q dei numeri razionali e numerabile, e quindi puo essere dispo-sto in successione. Sia {rn} la successione dei razionali. La sua classelimite e R.Per vedere cio, ricordiamo che ogni numero reale x e punto di accumula-zione della successione. Per il Teorema 4.3.5, esiste una sottosuccessione{rnk
} tale che rnk→ x per k → +∞. Inoltre anche +∞ e −∞ sono valori
limite. Infatti, per ogni intero k > 0 si puo definire induttivamente rnk
in modo che rnk> k e n1 < n2 < n3 < · · · . Ovviamente rnk
→ +∞ perk → +∞. In modo analogo si costruisce una sottosuccessione divergentea −∞.
Teorema 4.12.3 Sia {xn} una successione di numeri reali e sia E ⊆ R la suaclasse limite. Allora
a) E 6= ∅
b) E ∩ R e un chiuso
c) E ha massimo e minimo (nell’insieme ordinato R).
Dimostrazione. a) Se {xn} e limitata, la sua chiusura e compatta. Per ilCorollario 4.3.6 esiste una sottosuccessione di
{xnj
}convergente. Quindi E 6= ∅.
Se {xn} e illimitata superiormente, possiamo definire induttivamente unasottosuccessione divergente a +∞. Infatti, esiste un indice n1 tale che xn1 > 1;esiste un indice n2 > n1 tale che xn2 > 2; esiste un indice n3 > n2 tale chexn3 > 3, etc. Chiaramente limk→+∞ xnk
= +∞. Quindi +∞ ∈ E .In modo analogo si dimostra che −∞ ∈ E se {xn} e illimitata inferiormente.
b) Sia (E ∩ R)′ 6= ∅, e sia z un punto di accumulazione di E ∩ R. Siayk ∈ E ∩ R convergente a z. Poiche ogni yk e limite di una sottosuccessione,esiste n1 tale che |xn1 − y1| < 1; esiste n2 > n1 tale che |xn2 − y2| < 1/2.Per induzione, per ogni intero positivo k esiste nk tale che |xnk
− yk| < 1/k enk > nk−1. Si ha
|z − xnk| ≤ |z − yk|+ |yk − xnk
| < |z − yk|+ 1/k → 0.
Quindi z e il limite della sottosuccessione {xnk}.
c) Se {xn} e illimitata superiormente, come abbiamo gia visto nella dimo-strazione del punto a), +∞ ∈ E , e quindi E ha +∞ come massimo.
Se {xn} e limitata superiormente, allora anche E e limitata superiormente.Infatti, nessun elemento
α > sup xn
puo essere un valore limite della successione. Sia L = sup E . Poiche E ∩ R e unchiuso, per il Teorema 3.5.4 L ∈ E ∩ R. Quindi L e il massimo di E .
L’esistenza del minimo si dimostra in modo analogo.
4.12. Classe limite 113
Definizione 4.12.4 Sia {xn} una successione di numeri reali e sia E la suaclasse limite. Si chiama limite superiore (o massimo limite) della successioneil massimo della classe limite.
Si chiama limite inferiore (o minimo limite) della successione il minimodella classe limite. Per il limite superiore si usano le notazioni
lim supn→+∞
xn, limn→+∞xn.
Per il limite inferiore si usano le notazioni
lim infn→+∞
xn, limn→+∞xn.
Esempi 4.12.5
1. Negli esempi 4.12.2.1 e 4.12.2.2 si ha
lim supn→+∞
xn = 1, lim infn→+∞
xn = −1.
Negli esempi 4.12.2.3 e 4.12.2.4 si ha
lim supn→+∞
xn = +∞, lim infn→+∞
xn = −∞.
2. Negli esempi 4.12.2 ha lim supn→+∞ xn = sup xn e lim infn→+∞ xn =inf xn, ma in generale il limite superiore non coincide con l’estremo supe-riore e il limite inferiore non coincide con l’estremo inferiore. Ad esempio,sia xn = (−1)n(3 + 1/n), ove n ∈ N. Si ha
lim supn→+∞
xn = 3, lim infn→+∞
xn = −3, max xn = 7/2, min xn = −4.
3. Sia xn =(
1 +(−1)n
n
)n
. Allora
lim supn→+∞
xn = e, lim infn→+∞
xn = e−1.
4. Sia xn = −n. Allora xn → −∞ e si ha −∞ = lim infn→+∞ xn =lim supn→+∞ xn.
Teorema 4.12.6 Sia {xn} una successione di numeri reali.
a) Se lim supn→+∞ xn = L < +∞, allora, per ogni ε > 0 si ha definitivamentexn < L + ε.
b) Se lim infn→+∞ xn = ` > −∞, allora, per ogni ε > 0 si ha definitivamentexn > `− ε.
114 4. Successioni
Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che a) sia falsa. Allora esiste ε > 0tale che esistono infiniti indici nk tali che xnk
≥ L + ε. Se α e un valore limitedella sottosuccessione {xnk
}, si ha necessariamente α ≥ L+ε. Poiche α e ancheun valore limite della successione originaria {xn}, L non puo essere il limitesuperiore di {xn}, assurdo. In modo analogo si dimostra b).
Dalla definizione 4.12.4 si ha che lim infn→+∞ xn ≤ lim supn→+∞ xn. Ov-viamente, detta E la classe limite di {xn}, l’eguaglianza E = {α} equivale alim infn→+∞ xn = lim supn→+∞ xn = α.
Corollario 4.12.7 Si ha lim infn→+∞ xn = lim supn→+∞ xn = α ∈ R se e solose limn→+∞ xn = α.
Dimostrazione. Se xn → α, per i Teoremi 4.3.4 e 4.4.11 ogni sottosuccessionedeve tendere a α, per cui la classe limite E si riduce a {α}.
Viceversa, sia E = {α}. Se α ∈ R, dal Teorema precedente si ha definitiva-mente α− ε < xn < α + ε, e quindi xn converge a α.
Sia α = +∞. Se, per assurdo, xn non diverge a +∞, deve esistere M > 0tale che esistono infiniti indici nj per cui xnj ≤ M . Sia β un valore limitedella sottosuccessione
{xnj
}. Allora β ≤ M . Poiche β e anche un valore limite
della successione originaria {xn}, la classe limite deve contenere un elementoβ 6= +∞, assurdo.
Se α = −∞ si ragiona in modo analogo al caso precedente.
4.13 La condizione di Cauchy
Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successione a valori in X con-vergente a p ∈ X. Per ogni ε > 0 esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 siha
d(xn, p) < ε/2. (4.13.1)
Se m e un altro intero tale che m ≥ n0, si ha
d(xm, p) < ε/2. (4.13.2)
Da queste due diseguaglianze si ottiene
d(xn, xm) ≤ d(xn, p) + d(xm, p) < ε.
Quindi una successione convergente in uno spazio metrico soddisfa la seguentecondizione, chiamata condizione di Cauchy:
∀ε > 0 ∃n0 ∀m,n ≥ n0, d(xn, xm) < ε. (C)
Si noti che l’espressione della condizione condizione (C) non fa alcun riferimentoal valore del limite di {xn}.
Come abbiamo appena mostrato, in qualunque spazio metrico la condizionedi Cauchy e necessaria per la convergenza di una successione. Tuttavia esistonospazi metrici in cui essa non e sufficiente per la convergenza.
4.13. La condizione di Cauchy 115
Esempi 4.13.3
1. Sia X = Q con la metrica euclidea. Sia {xn} una qualunque successionedi razionali convergente a
√2. Essa e di Cauchy, in quanto convergente in
R. Tuttavia essa non converge in Q.
2. Per ogni m,n ∈ N poniamo d(n,m) =∣∣∣∣1n− 1
m
∣∣∣∣. E immediato verificare
che (N, d) e uno spazio metrico.
La successione xn = n di tutti gli elementi di N soddisfa la condizione diCauchy. Infatti, per ogni ε > 0, sia n0 > 2/ε. Per ogni m,n ≥ n0 si ha
d(n, m) =∣∣∣∣1n− 1
m
∣∣∣∣ <1n
+1m
<2n0
< ε.
Tuttavia, la successione {xn} non converge. Infatti, per ogni k ∈ N si ha
limn→+∞
d(xn, k) = limn→+∞
∣∣∣∣1k− 1
n
∣∣∣∣ =1k
> 0.
Definizione 4.13.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia {xn} una successionea valori in X. Si dice che {xn} e una successione di Cauchy se essa soddisfa lacondizione (C). Lo spazio (X, d) si dice completo se ogni successione di Cauchye convergente.
Lo spazio Q con la metrica euclidea e lo spazio N con la metrica definitanell’esempio 4.13.3.2 non sono spazi metrici completi.
Teorema 4.13.5 Rk dotato della metrica euclidea e completo per ogni k ≥ 1.
Dimostrazione. Sia {xn} una successione di Cauchy in Rk. Poniamo, per ognin ≥ 1,
En = {xn, xn+1, xn+2, xn+3, . . .}Si ha
E1 ⊇ E2 ⊇ · · · ⊇ En ⊇ En+1 ⊇ · · · (4.13.6)
En e limitato per ogni n. Infatti, per la condizione (C), in cui scelga ε = 1,esiste n0 tale che per ogni r, s ≥ n0 si ha d(xr, xs) < 1, ove abbiamo denotatocon d la metrica euclidea. Ne segue, per ogni n ≥ n0,
diam En ≤ diam En0 = supr,s≥n0
d(xr, xs) ≤ 1. (4.13.7)
Quindi En e limitato per ogni n ≥ n0. Per il Teorema 3.5.13, En e limitato perogni n ≥ 1.
Consideriamo ora la successione delle chiusure En di En. Per il Teorema3.5.12, diam En = diam En. Per il Teorema di Heine-Borel, gli insiemi En sonocompatti.
116 4. Successioni
Per il punto d) del Teorema 3.5.8, le relazioni di inclusione (4.13.6) valgonoanche per En. Si ha quindi
E1 ⊇ E2 ⊇ · · · ⊇ En ⊇ En+1 ⊇ · · · . (4.13.8)
Possiamo applicare il Teorema 3.6.11 e concludere che
F =+∞⋂n=1
En 6= ∅.
Sia p ∈ F . Dimostriamo che limn→+∞ xn = p (per l’unicita del limite, questodimostra implicitamente che F si riduce a un singleton).
Fissiamo ε > 0 ad arbitrio e sia n0 tale che per ogni r, s ≥ n0 si abbiad(xr, xs) < ε. Per n ≥ n0 si ha
diam En ≤ diamEn0 = supr,s≥n0
d(xr, xs) ≤ ε. (4.13.9)
Quindi diam En = diam En → 0. Poiche xn e p appartengono a En, ne segue
d(xn, p) ≤ diam En → 0 per n → +∞.
Gli spazi metrici compatti costituiscono un’altra importante classe di spazimetrici completi.
Teorema 4.13.10 Sia (X, d) uno spazio metrico. Se X e compatto, allora ecompleto
Dimostrazione. Sia {xn} una successione di Cauchy a valori in X. Per ilTeorema 4.3.6 esiste una sottosuccessione
{xnj
}convergente a p ∈ X. Fissato
ε > 0, esiste j0 tale che
d(p, xnj ) < ε per j ≥ j0d(xn, xm) < ε per m,n ≥ nj0
Per n ≥ nj0 si ha
d(p, xn) ≤ d(p, xnj0) + d(xnj0
, xn) < 2ε
4.14 Appendice
4.14.1 Dimostrazione del Teorema 4.7.2
1. L’asserto riguardante il limite della somma e gia stato dimostrato di seguitoall’enunciato del Teorema 4.7.2.
4.14. Appendice 117
2. Sia ε > 0 fissato ad arbitrio e minore di 1. Definitivamente si ha|an − a| < ε e |bn − b| < ε. Quindi, definitivamente,
|anbn − ab| ≤ |an − a| · |bn|+ |a| · |bn − b|≤ ε (|b|+ ε) + |a| ε < ε (|a|+ |b|+ 1) .
3. Dimostriamo che b−1n converge a b−1. L’asserto sul quoziente segue allora
dal punto 2. Sia ε > 0 fissato ad arbitrio e tale che ε < |b| /2. Definitivamentesi ha |bn − b| < ε. Allora, definitivamente,
∣∣b−1n − b−1
∣∣ =∣∣∣∣bn − b
bnb
∣∣∣∣ <ε
|b| (|b| − ε)<
2ε
|b|2 .
4. Dimostriamo dapprima che aδn → 1 se δn → 0. Basta dimostrare questoasserto nel caso a > 1. Infatti, se a = 1 l’asserto e ovvio, se 0 < a < 1 si applicail punto 3 alla successione 1/aδn .
Sia ε > 0 fissato ad arbitrio e sia m ≥ 2 un intero tale che 1 + mε > a.Definitivamente si ha |δn| < 1/m. Se δn > 0 si ha, per la diseguaglianza (4.8.5),
1 ≤ aδn < a1/m < (1 + mε)1/m< 1 + ε. (4.14.1)
Se δn = 0, si ha aδn = 1. Se δn = − |δn| < 0, si ha, passando ai reciproci in4.14.1,
1 ≥ aδn > a−1/m > (1 + mε)−1/m> (1 + ε)−1
> 1− ε.
Quindi, in ogni caso, definitivamente vale∣∣1− aδn
∣∣ < ε.
Dimostriamo ora che (an/a)bn → 1. Per il punto 3 basta dimostrare l’assertoper b > 0.
Definitivamente si ha bn < 2b. Si fissi ε > 0 tale che ε < 1 e sia δ > 0 unnumero tale che
δ < min{
(1 + ε)1/2b − 1, 1− (1− ε)1/2b}
.
Definitivamente si ha a− aδ < an < a + aδ, da cui
1− ε < (1− δ)2b< (1− δ)bn < abn
n a−bn < (1 + δ)bn < (1 + δ)2b < 1 + ε.
Infine, per i risultati precedenti e il punto 2 si ha
abnn = ababn−b
(an
a
)bn → ab
5. Si ha bn = b + xn ove xn → 0. Si ha
loga bn = loga (b + xn) = loga b + log(1 + b−1xn
) → loga b.
Il comportamento del logaritmo con base variabile si deduce dal punto 3, da(4.14.1) precedenti e dalla formula
loganbn =
log bn
log an(4.14.2)
118 4. Successioni
4.14.2 Dimostrazione dei Teoremi 4.7.4 e 4.7.6
I Teoremi 4.7.4 e 4.7.6 sono una immediata conseguenza della seguente Propo-sizione
Proposizione 4.14.3 Siano {an} e {bn} due successioni reali.
a) Se an → +∞ ed esiste c tale che definitivamte bn > c, allora an+bn → +∞.
b) Se an → +∞ ed esiste c > 0 tale che definitivamente bn > c, allora anbn →+∞
Dimostrazione. a) Sia M > 0 arbitrario e sia n0 tale che per ogni n ≥ n0 siabbia an > M−c. Per tali valori di n si ha an+bn > M . Quindi an+bn → +∞.
b) Sia M > 0 arbitrario e sia n0 tale che per ogni n ≥ n0 si abbia an > c−1M .Per tali valori di n si ha anbn > M . Quindi anbn → +∞.
4.14.3 Dimostrazione del Teorema 4.7.8
Dimostriamo ora la prima e la terza implicazione del Teorema 4.7.8. Le altredue seguono da queste ponendo −bn al posto di bn.
Sia bn → 0+. Sia M > 0 arbitrario e sia n0 tale che per ogni n ≥ n0 si abbiabn < 1/M . Per tali valori di n si ha anche 1/bn > M . Quindi 1/bn → +∞.
Sia bn → +∞. Sia ε > 0 arbitrario e sia n0 tale che per ogni n ≥ n0 si abbiabn > 1/ε. Per tali valori di n si ha anche 1/bn < ε. Quindi 1/bn → 0+.
4.14.4 Dimostrazione dei Teoremi 4.7.9, 4.7.10, 4.7.12, 4.7.13
Dimostrazione del Teorema 4.7.9. Sia an→ a > 1 e bn → +∞. Si fissiε > 0 tale che a− ε > 1. Definitivamente si ha an > a− ε.
Si fissi M > 0 ad arbitrio. Posto a − ε = 1 + δ, sia m > 0 un intero taleche 1 + mδ > M . Definitivamente vale bn > m. Si ha cosı, per n abbastanzagrande,
abnn > (a− ε)bn > (1 + δ)m
> 1 + mδ > M . (4.14.4)
Quindi abnn → +∞.
Se an → a > 1 e bn → −∞, si ha
abnn =
1a−bn
n
(4.14.5)
con −bn → +∞. Quindi a−bnn → +∞ e, per (4.14.4) e il Teorema 4.7.6, abn
n →0+. Le implicazioni per a < 1 si dimostrano in modo analogo.
Dimostrazione del Teorema 4.7.10. Sia an → +∞ e bn → b > 0. Si fissiε > 0 tale che b − ε > 0. Si fissi M > 0 ad arbitrio. Sia m un intero tale chem > M1/(b−ε). Definitivamente si ha an > m. Quindi si ha, per n abbastanzagrande,
abnn > mbn > mb−ε > M .
4.14. Appendice 119
Ne segue abnn → +∞. Se an → 0+ si ha a−1
n → +∞, per il Teorema 4.7.6.Per la (4.14.5) e il risultato appena dimostrato si ha a−bn
n → +∞, e quindi, peril Teorema 4.7.6 nuovamente, abn
n → 0+. Gli altri casi si dimostrano in modoanalogo.
Dimostrazione del Teorema 4.7.12. Sia an → 0+ e bn → +∞. Fissatoε > 0 tale che ε < 1, si ha definitivamente an < ε e quindi
abnn < εbn → 0+
per il Teorema 4.7.9. Se an → 0+ e bn → −∞, dalla (4.14.5) e dal Teorema4.7.6 si ha abn
n → +∞. Gli altri casi si dimostrano in maniera analoga.Dimostrazione del Teorema 4.7.13. Sia a > 1 e bn → +∞. Per ogni
M > 0 si ha definitivamente bn > aM , da cui loga bn > M . Quindi log bn → +∞.Sia a > 1 e bn → 0+. Per ogni M > 0 si ha definitivamente bn < a−M , da
cui loga bn < −M . Quindi log bn → −∞. Le altre implicazioni si dimostrano inmodo simile.
Capitolo 5
Serie
5.1 Introduzione
La sommaa1 + a2 + · · ·+ ak
di k numeri reali e definita per sommazioni successive. Prima si calcola a1 +a2,poi (a1 + a2) + a3, poi ancora ((a1 + a2) + a3) + a4 etc., fino al risultato finale
((. . . ((a1 + a2) + a3) + · · · ) + ak−1) + ak.
Le parentesi possono essere omesse per la proprieta associativa della somma.Qualora si voglia dare senso alla somma di una infinita numerabile di numeri
reali,a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + an+1 + · · · (5.1.1)
il procedimento descritto sopra non giunge mai a termine, ma produce una suc-cessione di ‘somme parziali’. Cio suggerisce di definire la ‘somma di infinitiaddendi’ mediante un passaggio al limite su questa successione di somme par-ziali, qualora tale limite esista. La nozione di serie, studiata in questo capitolo,rappresenta appunto la formalizzazione di questa idea.
5.2 Definizioni ed esempi
Sia {an}+∞n=1 una successione di numeri reali. Poniamo, per ogni k ∈ N,
Ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ ak =k∑
n=1
an (5.2.1)
Definizione 5.2.2 Sia {an} una successione di numeri reali e sia Ak definitacome in (5.2.1). La successione {Ak} si chiama serie numerica (o semplice-mente serie) di termine generale an. La quantita Ak viene chiamata sommaparziale k-esima della serie.
121
122 5. Serie
La serie di termine generale an viene indicata con il simbolo
+∞∑n=1
an (5.2.3)
Qualora non vi sia possibilita di equivoci, scriveremo semplicemente∑
an.Spesso useremo anche il simbolo
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·I termini an vengono anche chiamati addendi della serie.
Definizione 5.2.4 Si dice che la serie (5.2.3) converge ad A ∈ R se
limk→+∞
Ak = A.
Si dice che la serie diverge a +∞, oppure a −∞, se
limk→+∞
Ak = +∞, oppure limk→+∞
Ak = −∞.
Se una serie converge ad A, o diverge a +∞, oppure a −∞, si dice che laserie e regolare. In tal caso si pone, rispettivamente,
+∞∑n=1
an = A,
+∞∑n=1
an = +∞,
+∞∑n=1
an = −∞.
Il numero A, oppure +∞, oppure −∞, si chiama somma della serie. Se la serienon e regolare, si dice che e irregolare o oscillante.
Esempi 5.2.5
1. Sia an =1
n(n + 1). La serie
+∞∑n=1
1n(n + 1)
si chiama serie di Mengoli. Dimostriamo che questa serie converge. Anzi-tutto si nota che
1n(n + 1)
=1n− 1
n + 1
da cui
Ak =k∑
n=1
1n(n + 1)
= 1− 12
+12− 1
3+
13− 1
4+ · · ·+ 1
k− 1
k + 1
= 1− 1k + 1
→ 1.
5.2. Definizioni ed esempi 123
Quindi la serie di Mengoli converge e ed ha somma 1. Scriviamo
+∞∑n=1
1n(n + 1)
= 1.
2. Sia an = qn, ove q e un qualsiasi numero reale. La serie
+∞∑n=0
qn
si chiama serie geometrica di ragione q. Al variare di q questa seriepresenta tutti i caratteri possibili.
Se q = 1 la serie diviene
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·per cui Ak = k + 1 → +∞. In questo caso la serie diverge a +∞.Sia q 6= 1. Per le somme parziali vale l’espresssione
Ak = 1 + q + q2 + · · ·+ qk =1− qk+1
1− q. (5.2.6)
Se |q| < 1, la frazione in (5.2.6) converge a1
1− q. Se q > 1, si ha invece
Ak → +∞.Se q = −1, la serie diviene
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·e quindi Ak = 1 per k pari, Ak = 0 per k dispari. La serie in questo casoe oscillante.Se q < −1, (5.2.6) mostra che A2k → +∞ e A2k−1 → −∞. Anche inquesto caso la serie oscilla.Riassumiamo i risultati sulla serie geometrica.
+∞∑n=0
qn =
+∞ se q ≥ 11
1− qse |q| < 1
oscilla se q ≤ −1
3. La serie+∞∑n=1
1n
si chiama serie armonica. Dimostriamo che la serie armonica diverge a+∞. Innanzi tutto notiamo che
Ak+1 = Ak +1
k + 1> Ak,
124 5. Serie
e quindi le somme parziali costituiscono una successione strettamentecrescente. Tale successione non puo convergere, poiche non soddisfa lacondizione di Cauchy. Infatti, per ogni k ≥ 1 si ha
A2k −Ak =1
k + 1+
1k + 2
+ · · ·+ 12k
> k12k
=12.
Possiamo quindi concudere che Ak → +∞, ovvero∑+∞
n=11n = +∞.
Terminiamo questo paragrafo con una semplice osservazione che sara utilizzatavarie volte nel seguito.
Sia c una costante diversa da 0. La serie∑+∞
n=1 can ha lo stesso caratteredelle serie
∑+∞n=1 an. Infatti
k∑n=1
can = c
k∑n=1
an. (5.2.7)
In particolare, se∑+∞
n=1 an converge ad A, oppure diverge a ±∞,∑+∞
n=1 can
converge a cA, oppure diverge a c · ±∞. Ad esempio
+∞∑n=1
3n(n + 1)
= 3,
+∞∑n=1
− 1n
= −∞.
5.3 La condizione di Cauchy per le serie
Abbiamo dimostrato (Teorema 4.13.5) che R e uno spazio completo, cioe chela condizione di Cauchy e necessaria e sufficiente per la convergenza di unasuccessione di numeri reali. Nel caso in cui la successione sia la successionedelle somme parziali di una serie numerica, la condizione di Cauchy assume unaforma particolare, che viene evidenziata nel seguente Teorema.
Teorema 5.3.1 (Criterio di Cauchy) Condizione necessaria e sufficiente af-finche la serie
∑+∞n=1 an converga e che
∀ε > 0 ∃p0 ∀p ≥ p0 ∀q ≥ 0
∣∣∣∣∣p+q∑n=p
an
∣∣∣∣∣ < ε. (C)
Dimostrazione. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza dellasuccessione {Ak} e che per ogni ε > 0 esista p0 tale che per ogni k > h > p0 siabbia
|Ak −Ah| =∣∣∣∣∣
k∑n=1
an −h∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣k∑
n=h+1
an
∣∣∣∣∣ < ε. (5.3.2)
5.3. La condizione di Cauchy per le serie 125
Mutiamo di nome agli indici, ponendo h = p − 1 e k = p + q, con q ≥ 0. La(5.3.2) diviene
|Ap+q −Ap−1| =∣∣∣∣∣p+q∑n=p
an
∣∣∣∣∣ < ε
per ogni p ≥ p0 e q ≥ 0.
La condizione (C) si chiama condizione di Cauchy per le serie. Come casoparticolare, otteniamo una notevole condizione necessaria per la convergenza diuna serie.
Corollario 5.3.3 Se∑+∞
n=1 an converge, allora an → 0 per n → +∞.
Dimostrazione. Applichiamo il Teorema precedente. Poiche la serie converge,vale (C). In particolare, scegliendo q = 0, si ha
∀ε > 0 ∃p0 ∀p ≥ p0 |ap| < ε,
cioe la tesi.
La condizione an → 0 per n → +∞ e necessaria, ma non sufficiente per laconvergenza di una serie. Ad esempio, il termine generale della serie armonicatenda a 0, ma la serie diverge.
Definizione 5.3.4 Si dice che una serie∑+∞
n=1 an converge assolutamente seconverge la serie
+∞∑n=1
|an| .
L’interesse della nozione di convergenza assoluta di una serie risiede nelseguente Teorema.
Teorema 5.3.5 Se una serie converge assolutamente, allora converge.
Dimostrazione. Supponiamo che la serie∑+∞
n=1 an converga assolutamente.Poiche (C) e necessaria per la convergenza, si ha
∀ε > 0 ∃p0 ∀p ≥ p0 ∀q ≥ 0p+q∑n=p
|an| < ε. (5.3.6)
Poiche ∣∣∣∣∣p+q∑n=p
an
∣∣∣∣∣ ≤p+q∑n=p
|an| ,
anche che la serie∑+∞
n=1 an soddisfa (C). Poiche (C) e sufficiente per la conver-genza,
∑+∞n=1 an converge.
126 5. Serie
La convergenza assoluta e sufficiente, ma non necessaria per la convergenzadi una serie. Infatti, come vedremo piu avanti, la serie
+∞∑n=1
(−1)n
n
converge. La serie dei valori assoluti e la serie armonica, che diverge.
Teorema 5.3.7 Siano∑+∞
n=1 an e∑+∞
n=1 bn due serie tali che an = bn definiti-vamente. Allora le due serie hanno lo stesso carattere.
Dimostrazione. Sia r un intero tale che an = bn per ogni n > r. Poniamo
Ak =k∑
n=1
an, Bk =k∑
n=1
bn.
Per ogni k > r si ha
Ak =r∑
n=1
an +k∑
n=r+1
an
Bk =r∑
n=1
bn +k∑
n=r+1
bn
Sottraendo termine a termine le due eguaglianze, si ha che
Ak −Bk =r∑
n=1
an −r∑
n=1
bn (5.3.8)
e costante per ogni k > r. Detta C la costante che appare a destra in (5.3.8), siha definitivamente
Ak = Bk + C.
Le due successioni {Ak} e {Bk} hanno quindi lo stesso carattere.
Il Teorema esprime una proprieta notevole, che sara utilizzata varie voltenel seguito: assegnata una serie
∑an, possiamo modificarne un numero finito
di termini, ad esempio ponendoli eguali a 0, o cambiandone il segno, a secondadella necessita. La serie risultante avra lo stesso carattere delle serie originaria.Quindi: alterando un numero finito di termini di una serie, non se ne altera ilcarattere.
Naturalmente, se la serie converge, la serie modificata non avra la stessasomma. Dalla (5.3) e chiaro che, se
∑+∞n=1 an = A e
∑+∞n=1 bn = B, allora
A = B + C.
5.4. Serie a termini non negativi 127
5.4 Serie a termini non negativi
Sia∑+∞
n=1 an una serie numerica tale che an ≥ 0 per ogni n. Le sue sommeparziali costituisono una successione monotona non decrescente, poiche
Ak+1 −Ak = ak+1 ≥ 0.
In forza del Teorema 4.6.2, Ak e regolare. Piu precisamente, la serie convergese la successione degli Ak e limitata superiormente, diverge a +∞ se la suc-cessione degli Ak e illimitata superiormente. Questa osservazione ci permettedi dimostrare facilmente il Teorema del confronto per le serie a termini nonnegativi.
Teorema 5.4.1 (del confronto per le serie) Siano∑+∞
n=1 an e∑+∞
n=1 bn dueserie tali che per ogni n
0 ≤ an ≤ bn. (5.4.2)
Allora
a) se∑+∞
n=1 bn converge, anche∑+∞
n=1 an converge;
b) se∑+∞
n=1 an diverge, anche∑+∞
n=1 bn diverge.
Dimostrazione. Posto
Ak =k∑
n=1
an, Bk =k∑
n=1
bn,
dalla relazione (5.4.2) si ha Ak ≤ Bk per ogni k. Se Bk converge, esiste unnumero M tale che
Ak ≤ Bk ≤ M .
Quindi Ak e limitata superiormente e percio convergente. Viceversa, se Ak
diverge, per ogni M si ha definitivamente
M < Ak ≤ Bk.
Quindi anche Bk diverge.
Esempi 5.4.3
1. La serie+∞∑n=0
12n(n + 1)
converge. Infatti,
an =1
2n(n + 1)≤ 1
2n= bn.
La serie∑+∞
n=0 bn converge poiche e la serie geometrica di ragione 1/2.
128 5. Serie
2. La serie+∞∑n=1
2 + sin n
ndiverge. Infatti
an =1n≤ 2 + sin n
n= bn,
e la serie∑+∞
n=1 an e la serie armonica, che diverge.
Osservazione. In forza del Teorema 5.3.7, il Teorema 5.4.1 continua a vale-re se la diseguaglianza (5.4.2) e verificata definitivamente, o se i termini sonodefinitivamente non negativi. Infatti, si possono alterare i termini an e bn (innumero finito) che non soddisfano le ipotesi, ad esempio ponendoli tutti egualia 0. Il carattere delle serie non ne risulta alterato.
Invece, a) e b) nel Teorema 5.4.1 non valgono se le due serie non hannotermini definitivamente positivi. Si veda l’Appendice per un controesempio.
Corollario 5.4.4 Siano∑
an e∑
bn due serie a termini definitivamente po-sitivi tali che
an ∼ bn.
Allora le due serie hanno lo stesso carattere.
Dimostrazione. Poiche bn/an → 1, definitivamente si ha
12an ≤ bn ≤ 2an.
Le serie di termini generali 12an e 2an hanno lo stesso carattere di
∑an. La tesi
del Corollario segue quindi dal Teorema 5.4.1 e dall’osservazione precedente.
Dalla dimostrazione del Corollario risulta chiaro che la tesi continua a valerese alla condizione an ∼ bn si sostituisce la piu debole condizione an ³ bn.
Esempi 5.4.5
1. La serie+∞∑n=1
log(
1 +1n
)diverge, poiche log
(1 +
1n
)∼ 1
n, termine ge-
nerale della serie armonica.
2. La serie+∞∑n=1
log(
1 +1n2
)converge, poiche
log(
1 +1n2
)∼ 1
n2∼ 1
n(n + 1),
termine generale della serie di Mengoli.
5.5. Criteri della radice e del rapporto 129
5.5 Criteri della radice e del rapporto
Teorema 5.5.1 (Criterio della radice) Sia∑
an una serie tale che an > 0per ogni n. Esista α tale che
α = limn→+∞
n√
an.
a) Se 0 ≤ α < 1, allora∑
an converge.
b) Se 1 < α ≤ +∞, allora∑
an diverge.
Dimostrazione. a) Sia 0 ≤ α < 1. Sia ε > 0 tale che α+ε < 1. Definitivamentesi ha
n√
an < α + ε,
ossia an < (α + ε)n. La serie∑
(α + ε)n e la serie geometrica di ragione 0 <(α + ε) < 1. Per il Teorema del confronto 5.4.1 (e l’osservazione successiva),∑
an converge.b) Sia α > 1. Definitivamente si ha n
√an > 1, da cui an > 1. La serie
∑an
diverge poiche an non tende a 0.Se α = 1, in generale non si puo dire nulla sulla convergenza o divergenza
della serie. Come esempi si considerino la serie armonica∑+∞
n=1 1/n e la serie∑+∞n=1 1/n2. Si ha
(1n
)1/n
= e−1n log n → 1,
(1n2
)1/n
= e−2n log n → 1.
La prima serie diverge, mentre la seconda converge, in quanto 1/n2 ∼ 1/n(n+1),termine generale della serie di Mengoli.
Esempi 5.5.2
1.+∞∑n=4
(1− 3
n
)n2
converge, poiche a1/nn =
(1− 3
n
)n
→ e−3 < 1.
2.+∞∑n=1
(1 +
3n
)n2
diverge, poiche a1/nn =
(1 +
3n
)n
→ e3 > 1.
La divergenza di questa serie puo anche essere dedotta dal fatto che iltermine generale tende all’infinito, violando la condizione necessaria perla convergenza (si veda il Corollario 5.3.3)
Teorema 5.5.3 (Criterio del rapporto) Sia∑
an una serie tale che an > 0per ogni n. Esista α tale che
α = limn→+∞
an+1
an.
130 5. Serie
a) Se 0 ≤ α < 1, allora∑
an converge.
b) Se 1 < α ≤ +∞, allora∑
an diverge.
Dimostrazione. a) Sia ε > 0 tale che α + ε < 1. Esiste n0 tale che per ognin ≥ n0 si abbia an+1/an < α + ε. Per tali valori di n si ricava
an+1 =an+1
an· an
an−1· an−1
an−2· · · an0+1
an0
· an0
< (α + ε) · (α + ε) · (α + ε) · · · (α + ε) an0
= (α + ε)n+1−n0 an0
Quindian < (α + ε)n (α + ε)−n0 an0 .
Posto c = (α + ε)−n0 an0 , la serie∑
c (α + ε)n converge, in quanto il suo termi-ne generale e multiplo del termine generale di una serie geometrica convergente.La tesi segue dal Teorema del confronto.
b) Sia α > 1. Esiste n0 tale che per ogni n ≥ n0 si ha an+1/an > 1. Quindi
an+1 =an+1
an· an
an−1· an−1
an−2· · · an0+1
an0
· an0
> an0 > 0.
Il termine generale non tende a 0 e quindi la serie diverge.
Come nel caso del criterio della radice, se α = 1 non si puo dire nullasulla convergenza o divergenza della serie. Come esempi si considerino di nuovola serie armonica
∑+∞n=1 1/n e la serie
∑+∞n=1 1/n2. In ambedue i casi si ha
an+1/an → 1.
Esempi 5.5.4
1.+∞∑n=0
xn
n!converge assolutamente qualunque sia x. Infatti, la convergenza
per x = 0 e ovvia. Se x 6= 0, si ha∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =n! |x|n+1
(n + 1)! |x|n =|x|
n + 1→ 0.
Dimostreremo nell’Appendice del capitolo 8 che
+∞∑n=0
xn
n!= ex
La convergenza di questa serie e ‘rapida’, e puo essere utilizzata per ilcalcolo di ex.
5.6. Criterio di condensazione 131
2. La serie+∞∑n=0
2n2
n!diverge. Infatti
an+1
an=
n!2(n+1)2
(n + 1)!2n2 =22n+1
n + 1→ +∞.
Il criterio del rapporto per le serie, simile nelle ipotesi al criterio del rapportoper le successioni (Teorema 4.9.2), differisce da esso nella tesi. Il criterio delrapporto per le successioni e una condizione sufficiente affinche una successionepositiva sia infinitesima o infinita. Il criterio del rapporto per le serie e unacondizione sufficiente per la convergenza o la divergenza di una serie a terminipositivi.
Un esame della dimostrazione del criterio della radice e del criterio del rap-porto mostra che le tesi di questi teoremi continuano a valere sotto ipotesi piudeboli.
Teorema 5.5.5 Sia∑
an una serie tale che an > 0 per ogni n. Se esiste α < 1tale che definitivamente n
√an < α, oppure tale che definitivamente an+1/an <
α, allora la serie converge. Se definitivamente n√
an ≥ 1, oppure definitivamentean+1/an ≥ 1, allora la serie diverge.
L’ipotesi che esista α tale che definitivamente valga n√
an < α < 1 e adesempio verificata se
β = lim supn→+∞
n√
an < 1.
Infatti, fissato ε > 0 tale che β+ε < 1, per il Teorema 4.12.6 si ha definitivamenten√
an < β + ε. Una analoga ossservazione vale per il rapporto.
5.6 Criterio di condensazione
Teorema 5.6.1 (Criterio di condensazione) Sia an > 0 tale che an ≥ an+1
per ogni n ≥ 1. Allora, le due serie
+∞∑n=1
an,
+∞∑n=0
2na2n
hanno lo stesso carattere.
Dimostrazione. Denotiamo con Ak le somme parziali di∑+∞
n=1 an e con Ck lesomme parziali di
∑+∞n=0 2na2n .
Supponiamo che∑
2na2n converga. Poiche an e non crescente, si ha perogni intero m ≥ 0
A2m+1 −A2m = a2m+1 + a2m+2 + . . . + a2m+1
≤ 2ma2m .
132 5. Serie
Per ogni k ≥ 1 sia m ≥ 0 un intero tale che k ≤ 2m+1. Si ha
Ak ≤ A2m+1
= A1 + (A2 −A1) + (A4 −A2) + (A8 −A4) + · · ·+ (A2m+1 −A2m)
≤ a1 + 20a1 + 2a2 + 4a4 + · · ·+ 2ma2m = a1 + Cm
Poiche le somme parziali Cm sono limitate, anche Ak e limitata e quindi∑
an
converge.Supponiamo ora che
∑2na2n diverga. Poiche an e non crescente,
A2m+1 −A2m = a2m+1 + a2m+2 + . . . + a2m+1
≥ 2ma2m+1 =12
(2m+1a2m+1
)
Per ogni k > 1 sia m ≥ 0 il massimo intero tale che k ≥ 2m+1. Si ha
Ak ≥ A2m+1
= A1 + (A2 −A1) + (A4 −A2) + (A8 −A4) + · · ·+ (A2m+1 −A2m)
≥ a1 +12
(2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·+ 2m+1a2m+1
)=
12a1 +
12Cm+1.
Per la scelta di m, se k → +∞ anche m → +∞, e quindi la divergenza di Cm
implica quella di Ak.La serie
∑2na2n viene chiamata serie condensata della serie
∑an.
Come applicazione del criterio di condensazione determiniamo il caratteredi una serie notevole, il cui termine generale dipende da un parametro reale p.I criteri presentati nei paragrafi precedenti non sono sufficienti per determinareil carattere di questa serie i tutti i casi.
Corollario 5.6.2 Sia p un numero reale. La serie
+∞∑n=1
1np
(5.6.3)
converge se p > 1, diverge se p ≤ 1.
Dimostrazione. La serie condensata della serie (5.6.3) e
+∞∑n=0
2n 12np
=+∞∑n=0
12n(p−1)
,
cioe la serie geometrica di ragione 1/2(p−1). Se p > 1 si ha 1/2(p−1) < 1 e quindila serie converge. Se p ≤ 1 si ha 1/2(p−1) ≥ 1 e quindi la serie diverge.
Combinando il Corollario precedente con il Teorema del confronto e il criteriodi condensazione, si determina il carattere di un’altra serie notevole, piu generaledella precedente.
5.6. Criterio di condensazione 133
Corollario 5.6.4 Siano p e q numeri reali. La serie
+∞∑n=2
1np logq n
(5.6.5)
ha il seguente carattere:
converge per{
p > 1 e q qualunquep = 1 e q > 1
diverge per{
p = 1 e q ≤ 1p < 1 e q qualunque
Dimostrazione. Sia p > 1. Se q ≥ 0 si ha
1np logq n
≤ 1np
e quindi la serie converge per il Corollario precedente e il criterio del confronto.Se q < 0, posto p = 1+δ, con δ > 0, si ha
(log−q n
)/nδ/2 → 0 per n → +∞.
Ne segue che definitivamente vale la diseguaglianza log−q n < nδ/2. Quindi
1np logq n
<1
n1+δ/2,
da cui, di nuovo, si ha la convergenza della serie.Sia p = 1. Se q ≤ 0, si ha
log−q n
n≥ 1
n
e quindi la serie diverge, in quanto maggiorante della serie armonica.Se q > 0, applichiamo il criterio di condensazione. A meno di una moltipli-
cazione per una costante positiva, possiamo supporre che la base del logaritmosia 2. La serie condensata ha termine generale
2m 12m logq
2 2m=
1mq
.
Per il Corollario precedente la serie converge per q > 1 e diverge per q ≤ 1.Infine, sia p < 1. Se q ≤ 0, si ha
log−q n
np>
1np
>1n
e quindi la serie diverge. Se q > 0, posto p = 1−δ con δ > 0, si ha nδ/2/ logq n →+∞. Quindi, definitivamente, vale la diseguaglianza log−q n > n−δ/2. Ne segue,definitivamente,
1np logq n
>1
n1−δ/2,
da cui, di nuovo, la divergenza della serie.
134 5. Serie
5.7 Criterio di Leibniz
Per il Teorema 5.3.5, una serie assolutamente convergente e anche convergente.Questo Teorema, combinato con i criteri di convergenza per le serie a termininon negativi dei precedenti paragrafi, permette di dimostrare la convergenza diun’ampia classe di serie con termini di segno qualunque. Ad esempio, la serie
∑ sin n
n2
e assolutamente convergente, poiche∣∣∣∣sinn
n2
∣∣∣∣ ≤1n2
.
Tuttavia, la divergenza assoluta, cioe la relazione∑ |an| = +∞, non da in
generale alcuna informazione sul carattere della serie. Ad esempio, la serie∑(−1)n oscilla, ma diverge assolutamente. La serie
∑(−1)n/n converge, ma
diverge assolutamente. La convergenza di quest’ultima serie e una conseguenzadel criterio di Leibniz, che si applica alle serie con termini di segno alternato.
Teorema 5.7.1 (Criterio di Leibniz) Sia∑+∞
n=1(−1)nan tale che
i) an > 0 per ogni n
ii) an ≥ an+1 per ogni n
iii) limn→+∞ an = 0.
Allora la serie converge.
Dimostrazione. Denotiamo con Am le somme parziali della serie, con A2k−1 lesomme di indice dispari e con A2k le somme parziali di indice pari, k = 1, 2, 3, . . .Si ha
A2k+1 = A2k−1 + a2k − a2k+1.
Per l’ipotesi ii) a2k−a2k+1 ≥ 0 e quindi A2k+1 ≥ A2k−1. La successione {A2k−1}e non decrescente. Analogamente,
A2k+2 = A2k − a2k+1 + a2k+2.
Sempre per l’ipotesi ii), −a2k+1 + a2k+2 ≤ 0 e quindi A2k+2 ≤ A2k. Lasuccessione {A2k} e non crescente. Inoltre
A1 ≤ A2k−1 = A2k − a2k < A2k ≤ A2,
poiche a2k > 0 per l’ipotesi i). Le successioni {A2k−1} e {A2k} sono quindiconvergenti, in quanto monotone e limitate. Poniamo
S1 = limk→+∞
A2k−1, S2 = limk→+∞
A2k.
5.8. Convergenza incondizionata 135
Si haS2 − S1 = lim
k→+∞(A2k −A2k−1) = lim
k→+∞a2k = 0
per l’ipotesi iii). Quindi le successioni A2k e A2k−1 convergono allo stesso limiteS, ossia S2 = S1 = S. Ne segue che la successione {Am} di tutte le sommeparziali converge a S.Osservazione. Siano Am e S come nella dimostrazione del Teorema. La suc-cessione {A2k−1} converge a S per difetto, mentre la successione {A2k} convergea S per eccesso. Si ha quindi per ogni k
A2k+1 ≤ S ≤ A2k.
Sia Em = |S −Am| l’errore commesso nel calcolo della somma della seriearrestandosi al passo m. Si ha
E2k = A2k − S ≤ A2k −A2k+1 = a2k+1
E2k−1 = S −A2k−1 ≤ A2k −A2k−1 = a2k.
Sia per m pari che dispari si ha dunque Em ≤ am+1, cioe l’errore e minore delvalore assoluto del primo termine trascurato.
Esempi 5.7.2
1. La serie+∞∑n=1
(−1)n
nconverge. Infatti, le ipotesi i) – iii) sono chiaramente
soddisfatte da an =1n
. In questo caso l’errore Em non supera1
m + 1.
2. La serie+∞∑n=1
(−1)n
1 + log nconverge. Le ipotesi i) – iii) sono chiaramente sod-
disfatte da an =1
1 + log n.
3. La serie+∞∑n=1
(−1)n
√n
n + 1converge. Le ipotesi i) e iii) sono ovviamente
soddisfatte. Per verificare la ii) si osserva che
(an+1
an
)2
=n + 1
n
(n + 1)2
(n + 2)2< 1,
da cui an+1 < an.
5.8 Convergenza incondizionata
Siaa1 + a2 + a3 + a4 · · ·+ an + · · ·
136 5. Serie
una serie numerica. Accanto ad essa possiamo considerare una serie in cui si siaeffettuata una permutazione dell’ordine degli addendi; ad esempio la seguenteserie
a1 + a3 + a2 + a5 + a7 + a4 + a9 + a11 + a6 + · · · , (5.8.1)
in cui si scrivono due elementi di indice dispari seguiti da uno di indice pari. Sipossono immaginare anche permutazioni piu complesse, in cui si scambiano diposto gruppi con un numero variabile di addendi.
In una somma finita si possono permutare gli addendi senza mutare il risul-tato della somma. Per studiare l’analoga proprieta per le serie, occorre innanzitutto precisare il significato del termine ‘permutazione’ nel contesto di infinitiaddendi.
Definizione 5.8.2 Si chiama permutazione di N una qualsiasi applicazionebiunivoca π : N→ N.
Data una seriea1 + a2 + a3 + a4 · · ·+ an · · · (5.8.3)
e assegnata una permutazione π di N, si chiama serie permutata (o, semplice-mente, permutazione) della serie (5.8.3) la serie
aπ(1) + aπ(2) + aπ(3) + aπ(4) · · ·+ aπ(n) + · · ·
Ad esempio, la serie (5.8.1) e ottenuta dalla (5.8.3) mediante la permutazione
π :1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓1 3 2 5 7 4 9 11 6 . . .
In generale, le somme parziali della permutazione di una serie possono dareluogo a una successione molto differente da quella delle somme parziali dellaserie originaria. Si consideri ad esempio la serie oscillante
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·
Si consideri la serie permutata in cui si scrive 1 dal primo posto al decimo e−1 all’undicesimo, 1 dal dodicesimo posto al centesimo e −1 al centounesimo, 1dal centoduesimo posto al millesimo, e −1 al milleunesimo, etc. Le sue sommeparziali Ak sono asintotiche a k e di conseguenza divergono a +∞. In ge-nerale quindi, permutando gli addendi di una serie e possibile cambiarne ilcarattere. Esiste tuttavia una notevole classe di serie convergenti che possonoessere permutate senza alterarne il carattere ne la somma.
Definizione 5.8.4 Una serie si dice incondizionatamente convergente se essae tutte le sue serie permutate convergono.
Le serie incondizionatamente convergenti hanno una semplice caratterizza-zione.
5.9. Appendice 137
Teorema 5.8.5 Una serie e incondizionatamente convergente se e solo se eassolutamente convergente. In tal caso, tutte le serie permutate hanno la stessasomma.
In particolare, una serie a termini positivi converge sempre alla stessa som-ma, comunque si permutino gli addendi.
Per il Teorema appena enunciato, la serie
−1 +12− 1
3+
14− 1
5+ · · · (5.8.6)
converge, ma non incondizionatamente. Esistono quindi permutazioni che fannomutare il carattere della serie. Inoltre, anche se una sua serie permutata conver-ge, non e detto che converga alla stessa somma. Ad esempio, si puo dimostrareche la somma della serie (5.8.6) e − log 2, e che la permutazione (5.8.1) convergea − 3
2 log 2.
La dimostrazione del Teorema 5.8.5 e svolta (in forma piu generale) nell’Ap-pendice.
5.9 Appendice
5.9.1 Somma di serie
Definizione 5.9.1 Siano∑
an e∑
bn serie numeriche. Si chiama sommadelle due serie la serie
∑(an + bn).
Siano Ak, Bk, e Ck le somme parziali della serie∑
an,∑
bn e∑
(an + bn)rispettivamente.Tra esse intercorre la relazione
Ck =k∑
n=1
(an + bn) =k∑
n=1
an +k∑
n=1
bn = Ak + Bk. (5.9.2)
Il seguente Teorema e conseguenza immediata di (5.9.2).
Teorema 5.9.3 Se∑
an e∑
bn sono regolari, e se non si presenta il caso diindecisione ∞−∞, anche
∑(an + bn) e regolare e si ha
∑(an + bn) =
∑an +
∑bn.
Il Teorema appena enunciato puo essere utilizzato per dimostrare che il Corol-lario 5.4.4 non vale per due serie il cui termine generale non e definitivamentepositivo. Consideriamo le due seguenti serie a termini di segno alterno
+∞∑n=1
(−1)n
(1√n
+(−1)n
n
),
+∞∑n=1
(−1)n
√n
.
138 5. Serie
La seconda serie converge, per il criterio di Leibniz. La prima serie invece
diverge, poiche essa e la somma della serie convergente+∞∑n=1
(−1)n
√n
e della serie
divergente+∞∑n=1
1n
. Tuttavia si ha
(−1)n
(1√n
+(−1)n
n
)∼ (−1)n
√n
.
Questo esempio mostra anche che l’ipotesi iii) del criterio di Leibniz non puoessere sostituita dalla relazione di asintotico a un termine monotono decrescente.
5.9.2 Prodotto di serie
In generale, le somme parziali della serie∑
anbn non sono il prodotto dellesomme parziali di
∑an e
∑bn. La definizione della serie prodotto richiede un
procedimento piu elaborato. A titolo euristico, consideriamo le serie
a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + · · ·+ anxn + · · ·b0 + b1x + b2x
2 + b3x3 + · · ·+ bnxn + · · ·
ed eseguiamone il prodotto in modo puramente formale. Ordinando per potenzecrescenti di x, si ottiene
a0b0 + x (a0b1 + a1b0) + x2 (a0b2 + a1b1 + a2b0) + · · ·+ xnn∑
j=0
ajbn−j + · · ·
Siamo cosı condotti alla seguente definizione.
Definizione 5.9.4 Siano∑+∞
n=0 an e∑+∞
n=0 bn due serie numeriche. Si chiamaprodotto secondo Cauchy delle due serie la serie
∑+∞n=0 cn, ove
cn =n∑
j=0
ajbn−j .
Teorema 5.9.5 Siano∑+∞
n=0 an e∑+∞
n=0 bn due serie numeriche assolutamenteconvergenti e sia
∑+∞n=0 cn il loro prodotto secondo Cauchy. Allora
∑+∞n=0 cn
converge assolutamente. Si ha inoltre
+∞∑n=0
cn =+∞∑n=0
an ·+∞∑n=0
bn. (5.9.6)
Dimostrazione. Siano Ak, Bk e Ck le somme parziali delle tre serie. Osser-viamo che
Ck =k∑
n=0
n∑
j=0
ajbn−j =∑
0≤m+n≤k
ambn.
5.9. Appendice 139
Quindi
AkBk =k∑
m=0
am ·k∑
n=0
bn =∑
0≤m+n≤k
ambn +∑∗
ambn (5.9.7)
= Ck +∑∗
ambn. (5.9.8)
In (5.9.7) e (5.9.8) la somma∑∗ ambn e estesa a tutti gli indici m e n tali che
0 ≤ m ≤ k, 0 ≤ n ≤ k, k < m + n ≤ 2k.
Per ottenere la relazione (5.9.6) basta dimostrare che il secondo termine in(5.9.8) tende a 0 per k → +∞. In tal caso, infatti,
limk→+∞
Ck = limk→+∞
AkBk =+∞∑n=0
an ·+∞∑n=0
bn.
Ragioniamo per k pari. Si ha
∣∣∣∣∑∗
ambn
∣∣∣∣ ≤∑
k≤m+n≤2k
|ambn| ≤2k∑
m=0
|am|2k∑
n=k/2
|bn|
+2k∑
m=k/2
|am|2k∑
n=0
|bn| . (5.9.9)
Per la convergenza assoluta delle due serie, le somme∑2k
m=0 |am| e∑2k
n=0 |bn|sono limitate. Per il criterio di Cauchy,
2k∑
n=k/2
|bn| → 0,2k∑
m=k/2
|am| → 0 per k → +∞.
Per k dispari si ragiona allo stesso modo, sostituendo (k − 1)/2 a k/2.Lo stesso ragionamento, applicato alle serie
∑+∞n=0 |an| e
∑+∞n=0 |bn|, dimostra
la convergenza assoluta del prodotto secondo Cauchy.Se due serie convergono, ma ambedue non assolutamente, la serie prodotto
puo non convergere. Ad esempio, si consideri la serie
+∞∑n=0
an =+∞∑n=0
(−1)n
√n + 1
.
Tale serie converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente.La serie prodotto di
∑an con se stessa non converge. Infatti si ha
cn = (−1)nn∑
j=0
1√j + 1
1√n + 1− j
140 5. Serie
e1√
j + 11√
n + 1− j≥ 1√
n + 11√
n + 1=
1n + 1
.
Ne segue che cn non tende a zero, poiche
|cn| =n∑
j=0
1√j + 1
1√n + 1− j
≥ (n + 1)1
n + 1= 1.
Si puo pero dimostrare, con ragionamenti non molto dissimili da quelli delladimostrazione del Teorema precedente, che se una delle due serie converge as-solutamente e l’altra converge, allora il loro prodotto secondo Cauchy convergeal prodotto delle somme delle due serie.
5.9.3 Proprieta associativa per le serie
Dissociando i termini di una serie se ne puo alterare il carattere, anche se laserie e regolare. Ad esempio, data la serie (banalmente convergente)
0 + 0 + 0 + 0 + · · · = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · ,
dissociandone i termini si ottiene la serie oscillante
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·
Inversamente, associando i termini di una serie oscillante se ne puo alterare ilcarattere. Tuttavia, se la serie
∑an e regolare, si possono associare i termi-
ni senza mutarne il carattere. Infatti, siano Ak le somme parziali della serie∑+∞n=1 an. Associamo i termini della serie secondo una legge qualunque. Ad
esempio
(a1 + a2) + a3 + (a4 + a5 + a6) + (a7 + a8) + (a9 + a10 + a11) + · · · (5.9.10)
Le somme parziali della nuova serie costituiscono una sottosuccessione diquelle della serie originaria. Infatti, le somme parziali della serie (5.9.10) sono
A2 = (a1 + a2)A3 = (a1 + a2) + a3
A6 = (a1 + a2) + a3 + (a4 + a5 + a6)A8 = (a1 + a2) + a3 + (a4 + a5 + a6) + (a7 + a8)
A11 = (a1 + a2) + a3 + (a4 + a5 + a6) + (a7 + a8) + (a9 + a10 + a11). . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiche {Ak} e regolare, la sottosuccessione tende allo stesso limite.
5.9. Appendice 141
5.9.4 Permutazione dei termini di una serie
Teorema 5.9.11 (di Riemann) Sia∑
an una serie numerica.
a) Se∑+∞
n=1 an converge assolutamente, allora la serie e ogni sua permutazioneconvergono alla stessa somma.
b) Se∑+∞
n=1 an converge, ma non assolutamente, comunque assegnati α e β taliche −∞ ≤ α ≤ β ≤ +∞, esiste una permutazione π tale che
lim infk→+∞
k∑n=1
aπ(n) = α, lim supk→∞
k∑n=1
aπ(n) = β.
Questo Teorema e chiaramente piu generale del Teorema 5.8.5. Il pun-to b) afferma che una serie convergente, ma non assolutamente convergente,puo essere permutata in modo che le sue somme parziali abbiano qualunquecomportamemento prefissato.Dimostrazione. a) Innanzi tutto osserviamo che, assegnata una qualsiasipermutazione π : N→ N, per ogni h esiste k ≥ h tale che
{π(1), π(2), . . . , π(h)} ⊆ {1, 2, . . . , k} .
Ne segue che+∞∑n=1
aπ(n) converge assolutamente, poiche
h∑n=1
∣∣aπ(n)
∣∣ ≤k∑
n=1
|an| ≤+∞∑n=1
|an| .
Per il criterio di Cauchy, per ogni ε > 0 esiste p0 tale che per ogni p ≥ p0 eogni q ≥ 0 si ha
∑p+qn=p |an| < ε. Per ogni p ≥ p0 esiste r > p tale che
{1, 2, . . . , p} ⊂ {π(1), π(2), . . . , π(r)} .
Sia q > 0 tale che maxj=1,...,r π(j) = p + q. La differenza
r∑n=1
aπ(n) −p∑
n=1
an
contiene solo addendi an con indice maggiore di p e minore o eguale a p + q. Siha quindi ∣∣∣∣∣
r∑n=1
aπ(n) −p∑
n=1
an
∣∣∣∣∣ ≤p+q∑
n=p+1
|an| < ε. (5.9.12)
Per p che tende a +∞, anche r tende a +∞ e quindi
+∞∑n=1
aπ(n) =+∞∑n=1
an.
142 5. Serie
b) Possiamo eliminare da∑
an gli addendi nulli, senza mutare il carattere dellaserie e delle sue permutazioni. Poniamo
pn =|an|+ an
2, mn =
|an| − an
2.
Consideriamo le due serie a termini non negativi∑
pn,∑
mn. (5.9.13)
Esse non possono essere entrambe convergenti, altrimenti lo sarebbe la serie∑
(pn + mn) =∑
|an| .
D’altra parte, non possono essere una convergente e l’altra divergente, altrimentisarebbe divergente la serie
∑(pn −mn) =
∑an.
Quindi le due serie in (5.9.13) sono ambedue divergenti a +∞.Eliminati i termini nulli, gli addendi di
∑pn sono tutti e soli gli addendi
positivi di∑
an nell’ordine in cui si presentano, e gli addendi di∑−mn sono
tutti e soli gli addendi negativi di∑
an nell’ordine in cui si presentano.Siano {αj} e {βj} successioni di numeri reali tali che, per j → +∞,
αj < βj , αj → α, βj → β.
Sia k1 il primo intero tale che
p1 + p2 + · · ·+ pk1 > β1.
Un tale intero deve esistere, poiche∑
pn = +∞. Definito k1, sia h1 il primointero tale che
p1 + p2 + · · ·+ pk1 −m1 −m2 − · · · −mh1 < α1.
Un tale intero deve esistere, poiche∑−mn = −∞. Sia ora k2 il primo intero
maggiore di k1 tale che
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn + pk1+1 + pk1+2 + · · ·+ pk2 > β2
e sia h2 il primo intero il primo intero maggiore di h1 tale che
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn +k2∑
n=k1+1
pn −mh1+1 −mh1+2 − · · · −mh2 < α2.
Anche in questo caso k2 e h2 esistono, poiche le serie sono divergenti.
5.9. Appendice 143
Procedendo in questo modo, si costruiscono due successioni strettamentecrescenti di interi kj e hj tali che
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn + · · · −hj−1∑
n=hj−2+1
mn +kj∑
n=kj−1+1
pn > βj (5.9.14)
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn + · · ·+kj∑
n=kj−1+1
pn −hj∑
n=hj−1+1
mn < αj . (5.9.15)
Poiche kj e il primo indice successivo a kj−1 per cui vale (5.9.14), si ha anche
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn + · · ·+ pkj−1+1 + · · ·+ pkj−1 ≤ βj .
Quindi∣∣∣∣∣∣
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn + · · · −hj−1∑
n=hj−1+1
mn +kj∑
n=kj−1+1
pn − βj
∣∣∣∣∣∣≤ pkj .
Analogamente
∣∣∣∣∣∣
k1∑n=1
pn −h1∑
n=1
mn + · · ·+kj∑
n=kj+1
pn −hj∑
n=hj−1+1
mn − αj
∣∣∣∣∣∣≤ mhj .
Poiche pkj → 0 e mhj → 0 (per la convergenza di∑
an), la serie
p1+ · · ·+pk1−m1−· · ·−mh1 +pk1+1+ · · ·+pk2−mh1+1−· · ·−mh2 +pk2+1+ · · ·ha una sottosuccessione delle somme parziali (corrispondente agli indici hj) chetende a α e una (corrispondente agli indici kj) che tende a β. Per costruzione,α e β sono il limite superiore e inferiore delle somme parziali. Abbiamo cosıcostruito una permutazione della serie originaria con le proprieta desiderate.
5.9.5 Rappresentazione dei numeri reali come serie
Sia α = a0, a1 a2 . . . an . . . un numero reale positivo. Il troncamento n–esimo diα, definito nel capitolo 1, e il numero razionale
α(n) = a0, a1 a2 . . . an =n∑
j=0
aj
10j.
Nel paragrafo 1.5 abbiamo osservato che α = supn α(n). D’altra parte, α(n) e lasomma parziale n–esima della serie
+∞∑
j=0
aj
10j. (5.9.16)
144 5. Serie
Questa serie a termini non negativi converge per il criterio del confronto. Infatti,per j > 0 si ha aj · 10−j ≤ 9 · 10−j , termine generale (a meno del fattoremoltiplicativo 9) della serie geometrica di ragione 1/10.
Essendo la serie (5.9.16) a termini non negativi, la sua somma e l’estremosuperiore delle somme parziali. Otteniamo cosı la rappresentazione di un numeroreale come serie:
α = supn
α(n) =+∞∑
j=0
aj
10j.
Possiamo identificare gli allineamenti decimali di periodo 9 con serie numeriche.Sia dato l’allineamento a0, a1 a2 . . . an 9, con an 6= 9. Ad esso corrisponde laserie
n∑
j=0
aj
10j+
+∞∑
j=n+1
910j
.
Si ha+∞∑
j=n+1
910j
=9
10n+1
+∞∑
j=0
110j
=9
10n+1· 11− 1/10
=1
10n.
Quindi
a0, a1 a2 . . . an 9 = a0 +a1
10+
a2
102+ · · ·+ an
10n+
110n
.
Capitolo 6
Limiti di funzioni
6.1 Introduzione
Illustriamo il concetto di limite di una funzione con delle considerazioni intuitivesu alcuni esempi.
Esempi 6.1.1
1. Si consideri la funzione reale di variabile reale
f(x) = x2.
Evidentemente, per valori di x prossimi a 0 i valori della funzione sonopiccoli e prossimi a 0.
2. Si consideri la funzione reale di variabile reale, definita per x 6= 0,
f(x) =sin x
x.
Quanto piu x si approssima a 0, mantenendosi diverso da 0, tanto piu ivalori della funzione si approssimano a 1.
3. Si consideri la funzione reale di variabile reale, definita per x 6= 0,
f(x) = − 1x2
.
Quanto piu x e prossimo a 0, mantenendosi diverso da 0, tanto piu i valoridi − 1
x2 si approssimano a −∞.
4. Si consideri la funzione reale di variabile reale, definita per x 6= 0,
f(x) = e−1/x2.
Quando x e prossimo a 0, mantenendosi diverso da 0, − 1x2 si approssima
a −∞. Di conseguenza i valori dell’esponenziale si approssimano a 0.
145
146 6. Limiti di funzioni
5. Si consideri la funzione reale di variabile reale
f(x) =1x
.
Quanto piu x si approssima a +∞ tanto piu i valori della funzione siapprossimano a 0.
6. Si consideri la funzione f : R2→ R2 definita da
f(x, y) = (x + y, x− y) .
Quanto piu (x, y) si approssima a (1, 1) tanto piu il punto (x + y, x− y)si approssima al punto (2, 0).
In sintesi possiamo dire che le funzioni di questi esempi sono definite in uninsieme (di uno spazio metrico) di cui p e un punto di accumulazione. Negliesempi si ha rispettivamente
p = 0, p = 0, p = 0, p = 0, p = +∞, p = (1, 1) .
Al ‘tendere di x a p’ i valori f(x) ‘tendono a un limite `’. Negli esempi si harispettivamente
` = 0, ` = 1, ` = −∞, ` = 0, ` = 0, ` = (2, 0).
Si noti che p non e necessariamente un punto in cui la funzione e definita (esempi2, 3, 4), ma semplicemente un punto di accumulazione dell’insieme di definizione.Nel quinto esempio, la funzione e definita in R, di cui p = +∞ e un puntodi accumulazione nella metrica d∗ su R, come dimostrato nel paragrafo 3.9.Ovviamente, f non e definita in +∞.
Il concetto di limite, le cui prime formulazioni rigorose risalgono a Cauchy eWeierstrass, astrae e formalizza le considerazioni precedenti.
6.2 Limiti in spazi metrici
Siano (X1, d1) e (X2, d2) due spazi metrici. Sia E ⊆ X1 un sottoinsieme nonvuoto e sia p un punto di accumulazione di E. Sia f : E → X2.
Definizione 6.2.1 Si dice che f(x) tende a ` ∈ X2 per x che tende a p se: perogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ E, tale che 0 < d1(x, p) < δ, si had2(f(x), `) < ε.
La definizione si puo scrivere in formula:
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, 0 < d1(x, p) < δ, si ha d2 (f(x), `) < ε. (6.2.2)
Equivalentemente, f(x) tende a ` se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che perogni x ∈ E ∩B(p, δ), x 6= p, si ha f(x) ∈ B(`, ε).
Il valore ` si chiama limite di f(x) per x che tende a p e si scrive
limx→p
f(x) = ` oppure f(x) → ` per x → p.
6.2. Limiti in spazi metrici 147
p p+p-δ
L
L+ε
εL-
δ
limx→p f(x) = L
Osservazioni.
a) Nella formulazione della definizione di limite 6.2.1, il numero ε e positivo earbitrariamente piccolo, mentre δ dipende da ε. In generale, diminuendoil valore di ε diminuisce anche il valore di δ.
b) Come nel caso delle successioni, il limite, se esiste, e unico. Infatti, siano`1 6= `2 limiti di f(x) per x che tende a p. Sia ε tale che
B(`1, ε) ∩B(`2, ε) = ∅.
Esiste δ1 tale che per ogni ogni x ∈ E, x ∈ B(p, δ1) e x 6= p, si haf(x) ∈ B(`1, ε). Analogamente, esiste δ2 tale che per ogni ogni x ∈ E,x ∈ B(p, δ2) e x 6= p, si ha f(x) ∈ B(`2, ε). Sia δ = min(δ1, δ2); sex ∈ B(p, δ) allora f(x) deve appartenere a B(`1, ε) ∩B(`2, ε), assurdo.
c) Come abbiamo gia osservato nel paragrafo precedente, p non appartienenecessariamente a E; anche se vi appartenesse, il limite non dipende dalvalore della funzione in x = p. In altri termini, alterando la definizionedella funzione in x = p, l’esistenza e il valore del limite rimangono invariati.Ad esempio, consideriamo la funzione f : R→ R definita da f(x) = x. Siap = 0. Si ha banalmente
limx→0
x = 0.
Infatti la condizione (6.2.2) e verificata: per ogni ε > 0, basta porre δ = ε.Alteriamo ora f ponendo
f(x) ={
x se x 6= 0,1 se x = 0.
Di nuovo vale limx→0 f(x) = 0.
148 6. Limiti di funzioni
d) Come nel caso dei limiti di successioni, si ha f(x) → ` per x → p se solo sela funzione a valori reali positivi d2 (f(x), `) tende a 0 per x → p.
Esempi 6.2.3
1. Sia f : R→ R definita da f(x) = x2. Sia p = 0. Dimostriamo chelimx→0 f(x) = 0. Fissato ε > 0 sia δ =
√ε. Per 0 < |x − p| = |x| < δ si
ha ∣∣x2 − 0∣∣ = x2 < δ2 = ε.
2. Sia di nuovo f(x) = x2, ma sia p = 2. Dimostriamo che limx→2 f(x) = 4.Fissiamo ε > 0. Possiamo supporre ε < 1. Sia δ = ε/5. Per 0 < |x− 2| <δ si ha anche 0 < x + 2 < 4 + δ < 5. Quindi
∣∣x2 − 4∣∣ = |x− 2| (x + 2) < 5δ = ε.
3. Sia f : R→ R definita da f(x) = sin x. Sia p = 0. Dimostriamo chelimx→0 f(x) = 0. Fissato ε > 0 sia δ = ε. Per 0 < |x| < δ si ha
|sin x| < |x| < δ = ε.
Analogamente si ha limx→0 cos x = 1. Infatti, fissato ε > 0 si pongaδ =
√ε. Si ha, per 0 < |x| < δ,
|1− cosx| = 1− cosx < 1− cos2 x
= sin2 x < x2 < ε.
3π −2π −3π 2π
1
−π π
f(x) =sin x
x
6.2. Limiti in spazi metrici 149
4. Sia f(x) =sin x
x, definita per x 6= 0. Dimostriamo che limx→0 f(x) = 1.
Ricordiamo prima di tutto che per 0 < |x| < π/2 (diseguaglianze (4.5)) siha
cosx <sin x
x< 1.
Fissato ε > 0 (piccolo), sia δ =√
ε. Per 0 < |x| < δ si ha, per l’esempioprecedente,
1− cos x < ε,
da cui ∣∣∣∣1−sinx
x
∣∣∣∣ = 1− sin x
x< 1− cosx < ε.
In questo esempio, a differenza dei precedenti, la funzione f non e definitain p = 0.
5. Sia f : R2→ R2 definita da f(x, y) = (x + y, x− y). Sia p = (1, 1).Dimostriamo che
lim(x,y)→(1,1)
f(x, y) = (2, 0).
Fissato ε > 0, sia δ = ε/4. Si ha per ‖(x, y)− (1, 1)‖ < δ
|x− 1| ≤ ‖(x− 1, y − 1)‖ = ‖(x, y)− (1, 1)‖ < δ,|y − 1| ≤ ‖(x− 1, y − 1)‖ = ‖(x, y)− (1, 1)‖ < δ.
Quindi∥∥f(x, y)− (2, 0)
∥∥ = ‖(x + y − 2, x− y)‖ ≤ |x + y − 2|+ |x− y|≤ (|x− 1|+ |y − 1|) + (|x− 1|+ |y − 1|)< 4δ = ε.
6. Sia f(x, y) =xy√
x2 + y2. La funzione f e definita in ogni punto di R2
eccetto il punto (0, 0), ed assume valori in R.
Sia p = (0, 0). Dimostriamo che
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Si ha x2 + y2 ± 2xy = (x± y)2 ≥ 0 e quindi |xy| ≤ 12
(x2 + y2
). Ne segue
|f(x, y)| = |xy|√x2 + y2
≤ x2 + y2
2√
x2 + y2<
√x2 + y2. (6.2.4)
Fissato ε > 0, sia δ < ε. Per ogni (x, y) tale che ‖(x, y)‖ =√
x2 + y2 < δ,da (6.2.4) si ottiene |f(x, y)| < ε.Anche in questo esempio la funzione non e definita in p.
150 6. Limiti di funzioni
7. La funzione f(x) = sgn x (signum, o segno, di x) e definita come
sgnx =
{ x
|x| se x 6= 0
0 se x = 0
Essa vale 1 per x > 0 e −1 per x < 0. Questa funzione non ammettelimite per x → 0. Infatti, ogni intorno dell’origine contiene numeri positivie numeri negativi. Scelto ε = 1/2, sgnx non appartiene a B(1, 1/2) perx < 0 e non appartiene a B(−1, 1/2) per x > 0. Quindi 1 e −1 nonsoddisfano la definizione di limite. Cosı pure, il valore 0 non puo essereil limite della funzione. Infine, se ` e un numero reale diverso da ±1 e da0, qualsiasi intorno di `, non contenente 1, 0 e −1, non contiene nessunvalore della funzione diverso da 0.
1
-1
f(x) = sgn x
6.3 Limiti infiniti e limiti all’infinito
In questo paragrafo esaminiamo la definizione 6.2.1 di limite di una funzione nelcaso in cui X1 o X2, o entrambi, coincidano con R , e il punto di accumulazionep o il limite `, o entrambi, siano +∞ o −∞.
Iniziamo dal caso in cui ` = ±∞. Tali valori sono elementi dello spaziometrico (R, d∗), descritto nel capitolo 3. Gli intorni di +∞ e di −∞ (privati di+∞ e −∞) nella metrica di d∗ sono, rispettivamente, gli insiemi
(M, +∞) , (−∞,M) , (6.3.1)
ove M ∈ R. Una funzione f : E → R assume valori nell’intorno di +∞ (6.3.1)se f(x) > M (ovviamente, si ha f(x) 6= +∞, poiche la funzione e a valori reali).Analogamente, f(x) assume valori nell’intorno (−∞,M) se f(x) < M . Ladefinizione di limite assume quindi la seguente forma nel caso dei limiti infinitidi una funzione a valori in R.
Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X un sottoinsieme non vuoto e p unpunto di accumulazione di E. Sia f : E → R.
6.3. Limiti infiniti e limiti all’infinito 151
Definizione 6.3.2 Si dice che f(x) tende a +∞ per x che tende a p se: perogni M esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ E, tale che 0 < d(x, p) < δ, si haf(x) > M . In formula:
∀M ∃δ ∀x ∈ E, 0 < d(x, p) < δ, si ha f(x) > M.
Analogamente, si dice che f(x) tende a −∞ per x che tende a p se:
∀M ∃δ ∀x ∈ E, 0 < d(x, p) < δ, si ha f(x) < M.
Nel caso del limite +∞ il numero M puo essere scelto positivo e grande a piacere.Il numero δ e positivo, dipende da M e decresce, in generale, al crescere di M .Nel caso del limite −∞ il numero M puo essere scelto negativo con valoreassoluto grande a piacere.
p p+p-δ
M
δ
limx→p f(x) = +∞La notazione per i limiti infiniti e la stessa introdotta nel paragrafo precedente:
limx→p
f(x) = +∞ oppure f(x) → +∞ per x → p,
limx→p
f(x) = −∞ oppure f(x) → −∞ per x → p.
Si noti che f(x) → +∞ per x → p se e solo se −f(x) → −∞ per x → p. SeX = R, la retta x = p viene chiamata asintoto verticale al grafico della funzione.
Esempi 6.3.3
1. Sia X = R, e sia f(x) =1x2
, definita per x 6= 0. Sia p = 0. Dimostriamo
che limx→0 f(x) = +∞.Fissato M > 0 sia δ = 1/
√M . Per ogni x 6= 0 tale che |x| < δ si ha
1x2
>1δ2
= M .
152 6. Limiti di funzioni
2. Sia E = (0, +∞) ⊂ R e sia f : E → R definita da f(x) = log x. Dimo-striamo che f(x) → −∞ per x → 0.Fissato M > 0, si ha log x < −M se e solo se x < e−M . Poniamo quindiδ = e−M . Per ogni x tale che 0 < x < e−M si ha log x < −M .
Esaminiamo ora il caso in cui p = ±∞. Sia E ⊆ R un insieme illimitato supe-riormente. Per il Teorema 3.9.4, +∞ e un punto di accumulazione di E in R conla metrica d∗. Analogamente, se E ⊆ R e un insieme illimitato inferiormente,−∞ e un punto di accumulazione di E. Nel primo caso ogni intervallo (M, +∞)contiene infiniti punti di E. Nel secondo caso ogni intervallo (−∞,M) contieneinfiniti punti di E. Chiaramente +∞ (rispettivamente −∞) non appartiene aE, poiche E ⊆ R.
L
L+ε
εL-
M
limx→+∞ f(x) = L
Sia (X, d) uno spazio metrico. Sia E ⊆ R illimitato superiormente e sia f : E →X.
Definizione 6.3.4 Si dice che f(x) tende a ` ∈ X per x che tende a +∞ se:
∀ε > 0 ∃M ∀x ∈ E, x > M, si ha d (f(x), `) < ε.
Se f : E → X e E ⊆ R e illimitato inferiormente, si ha la definizione analoga.
Definizione 6.3.5 Si dice che f(x) tende a ` per x che tende a −∞ se:
∀ε > 0 ∃M ∀x ∈ E, x < M, si ha d (f(x), `) < ε.
Le notazioni in questo caso sono le seguenti
limx→+∞
f(x) = ` oppure f(x) → ` per x → +∞,
limx→−∞
f(x) = ` oppure f(x) → ` per x → −∞.
Se X = R, la retta y = ` si chiama asintoto orizzontale al grafico della funzione.
6.3. Limiti infiniti e limiti all’infinito 153
Esempi 6.3.6
1. Sia E = (0, +∞) e f : E → R definita da f(x) =1x
. Si ha f(x) → 0 per
x → +∞. Infatti, fissato ε > 0, si ponga M = 1/ε. Per ogni x > M si ha
0 <1x
<1M
= ε.
In modo analogo si dimostra che1x→ 0 per x → −∞.
2. Sia f : R→ R definita da f(x) = ex. Dimostriamo che f(x) → 0 perx → −∞.Fissato ε > 0, sia M = log ε (si noti che log ε < 0 per ε < 1). Per ognix < log ε si ha
ex < elog ε = ε
3. Sia E = (−∞, 0) e sia f : E → R2 definita da f(x) = (ex, 1/x). Dimo-striamo che f(x) → (0, 0) per x → −∞.Fissato ε > 0, per gli esempi 1 e 2 precedenti, esiste M > 0 tale che perx < −M si ha contemporaneamente
ex < ε/2,∣∣∣∣1x
∣∣∣∣ < ε/2,
da cui∥∥f(x)
∥∥ =
√e2x +
1x2
<ε√2
< ε.
4. Sia f(x) = arctan x. Si ha
limx→+∞
arctan x =π
2, lim
x→−∞arctanx = −π
2. (6.3.7)
Dimostriamo il primo limite in (6.3.7). Fissiamo ε, con 0 < ε < π/2. SiaM = tan(π/2− ε). Per x > M si ha
π
2> arctan x > arctanM = arctan
(tan
(π
2− ε
))=
π
2− ε.
Il secondo limite si dimostra in maniera analoga.
5. La definizione di limite per una successione rientra nella definizione prece-dente. Infatti, sia E = N ⊂ R. Una funzione f : N→ X e una successionea valori in X. Se la successione f(n) converge a ` per n → +∞ secondo ladefinizione del capitolo 3, per ogni ε > 0 esiste n0 tale che per ogni n > n0
si ha definitivamente f(n) ∈ B(`, ε). Questa definizione coincide con ladefinizione 6.3.4 in cui si ponga M = n0.
154 6. Limiti di funzioni
N
M
limx→+∞ f(x) = +∞
Infine esaminiamo il caso in cui ambedue gli spazi metrici coincidono con Re sia p che ` sono infiniti.
Sia E ⊆ R illimitato superiormente e sia f : E → R.
Definizione 6.3.8 Si dice che f(x) tende a +∞ per x che tende a +∞ se:
∀N ∃M ∀x ∈ E, x > M, si ha f(x) > N.
Si dice che f(x) tende a −∞ per x che tende a +∞ se:
∀N ∃M ∀x ∈ E, x > M, si ha f(x) < N.
Anche in questo caso e chiaro che f(x) → +∞ se e solo se −f(x) → −∞. Ladefinizione di limite infinito per x che tende a −∞ e analoga.
Sia E ⊆ R illimitato inferiormente e sia f : E → R.
Definizione 6.3.9 Si dice che f(x) tende a +∞ per x che tende a −∞ se:
∀N ∃M ∀x ∈ E, x < M, si ha f(x) > N.
Si dice che f(x) tende a −∞ per x che tende a −∞ se:
∀N ∃M ∀x ∈ E, x < M, si ha f(x) < N.
Le notazioni per i limiti infiniti all’infinito sono le seguenti
limx→+∞
f(x) = ±∞ oppure f(x) → ±∞ per x → +∞,
limx→−∞
f(x) = ±∞ oppure f(x) → ±∞ per x → −∞.
6.3. Limiti infiniti e limiti all’infinito 155
y=ex
y=log x
1
1
Le funzioni ex e log x
Esempi 6.3.10
1. Sia f : R→ R definita da f(x) = ex. Si ha f(x) → +∞ per x → +∞.Infatti, fissato N > 0 sia M = log N . Per x > M si ha
ex > elog N = N .
In modo analogo si dimostra che e−x → +∞ per x → −∞.
2. Sia f : R→ R definita da f(x) = x3. Allora f(x) → +∞ per x → +∞ ef(x) → −∞ per x → −∞. Fissato N > 0 sia M = N1/3. Per x > M siha x3 > N , mentre per x < −M si ha x3 < −N .
3. La parte intera [x] di un numero reale x e il massimo intero relativo chenon supera x. Ad esempio,
[1/2] = 0, [−1/2] = −1, [3/2] = 1, [−3/2] = −2.
Dimostriamo che
limx→+∞
[x] = +∞, limx→−∞
[x] = −∞.
Innanzi tutto osserviamo che si ha sempre [x] ≤ x < [x]+1. Fissato N > 0si ponga M = N + 1. Per x > M si ha
[x] > x− 1 > N.
Per x < −M si ha[x] ≤ x < −N − 1 < −N .
156 6. Limiti di funzioni
–4
–3
–2
–1
1
2
3
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
f(x) = [x]
6.4 Limiti di funzioni reali di variabile reale
Sia E ⊆ R e sia x0 ∈ E′. In questo paragrafo consideriamo funzioni f : E → Re poniamo, come di consueto, la metrica euclidea in R. Nei casi piu comuni Esara un intervallo, eventualmente privato del punto x0. Sia ` un numero reale.La definizione di limite 6.2.1 in questo caso diviene
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, 0 < |x− x0| < δ, si ha |f(x)− `| < ε. (6.4.1)
La condizione |f(x)− `| < ε equivale a
`− ε < f(x) < ` + ε.
Come nel caso dei limiti di successioni, f(x) puo tendere a ` mantendosi mag-giore, oppure minore di ` in un opportuno intorno di x0 (privato di x0 stesso).
Definizione 6.4.2 Sia E ⊆ R, sia x0 ∈ E′ e sia f : E → R. Si dice che lafunzione tende a ` ∈ R per eccesso o dalla destra per x → x0, se
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, 0 < |x− x0| < δ, si ha ` ≤ f(x) < ` + ε.
Analogamente, si dice che la funzione tende a ` ∈ R per difetto o dalla sinistraper x → x0, se
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, 0 < |x− x0| < δ, si ha `− ε < f(x) ≤ `.
6.4. Limiti di funzioni reali di variabile reale 157
Se f(x) tende a ` dalla destra si scrive
limx→x0
f(x) = ` + , o anche f(x) → ` + per x → x0.
Se f(x) tende a ` dalla sinistra si scrive
limx→x0
f(x) = `− , o anche f(x) → `− per x → x0.
L’analoga definizione vale se f e definita in un insieme E ⊆ R illimitatosuperiormente e x → +∞, oppure in un insieme E illimitato inferiormentee x → −∞. Basta sostituire, nella definizione precedente, gli intorni di x0
con gli intorni di +∞ (cioe gli intervalli (M, +∞)) o di −∞ (cioe gli intervalli(−∞,M)). Lasciamo al lettore il semplice esercizio di formulare la definizioneper questi limiti.
Esempi 6.4.3
1. Sia f(x) =sin x
x. Si ha f(x) → 1− per x → 0.
2. Sia f(x) = x2. Si ha f(x) → 0+ per x → 0.
3. Sia f(x) =1x
. Si ha
limx → +∞
1x
= 0 + , limx → −∞
1x
= 0− .
4. Sia f(x) = x3. Si ha f(x) → 0 per x → 0, ma il limite non e ne per eccessone per difetto. Infatti, f(x) > 0 per x > 0 e f(x) < 0 per x < 0.
Sia, come sopra, f : E ⊆ R→ R, e sia x0 ∈ E′. La condizione 0 < |x− x0| < δin (6.4.1) e equivalente alle due condizioni
x0 < x < x0 + δ, x0 − δ < x < x0.
Puo accadere che f(x) non abbia limite per x → x0, ma che esista ` tale chela condizione |f(x)− `| < ε sia verificata per x0 < x < x0 + δ, oppure perx0 − δ < x < x0. In questo caso si ha una nozione di limite per x che tende ax0 dalla destra, o per x che tende a x0 dalla sinistra.
Definizione 6.4.4 Sia f : E ⊆ R → R, e sia x0 ∈ E′. Sia ` ∈ R. Si dice chef(x) tende a ` per x che tende a x0 per eccesso o dalla destra se
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, x0 < x < x0 + δ, si ha |f(x)− `| < ε.
Si dice che f(x) tende a ` per x che tende a x0 per difetto, o dalla sinistra se
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, x0 − δ < x < x0, si ha |f(x)− `| < ε.
158 6. Limiti di funzioni
Se f(x) tende a ` per x che tende a x0 dalla destra si scrive
limx→x0+
f(x) = `, o anche f(x) → ` per x → x0 + .
Se f(x) tende a ` per x che tende a x0 dalla sinistra si scrive
limx→x0−
f(x) = `, o anche f(x) → ` per x → x0 − .
Gli intervalli [x0, x0 + δ) e (x0− δ, x0], benche non siano aperti, vengono rispet-tivamente chiamati intorni destri e sinistri di x0.
Esempi 6.4.5
1. Consideriamo la funzione f(x) = sgn x, introdotta nell’esempio 6.2.3.7. Siha
f(x) → −1 per x → 0− , f(x) → 1 per x → 0 + .
2. Consideriamo la funzione f(x) = [x], introdotta nell’esempio 6.3.10.3. Perogni n intero si ha
f(x) → n− 1 per x → n− , f(x) → n per x → n + .
3. La funzione mantissa di x e definita per ogni x reale mediante la formula
mantx = x− [x].
Essa vale ovviamente 0 in ogni intero. Per ogni intero n si ha
f(x) → 1 per x → n− , f(x) → 0 per x → n + .
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
1
0
f(x) = mantx
In modo analogo si definiscono i limiti infiniti per x → x0− e x → x0+.Basta sostituire, nella definizione 6.4.4, gli intorni di ` con gli intorni di +∞(f(x) > M) o di −∞ (f(x) < M). Lasciamo al lettore il semplice esercizio diformulare la definizione per questi limiti.
Le notazioni sono simili alle precedenti:
limx→x0+
f(x) = ±∞, o anche f(x) → ±∞ per x → x0 + .
Analogamente
limx→x0−
f(x) = ±∞, o anche f(x) → ±∞ per x → x0 − .
6.4. Limiti di funzioni reali di variabile reale 159
Esempi 6.4.6
1. Sia f(x) =1x
, definita per x 6= 0. Sia x0 = 0. Si ha
limx → 0+
1x
= +∞ , limx → 0−
1x
= −∞.
0
f(x) =1x
2. Sia f(x) = e1/x, definita per x 6= 0. Sia x0 = 0. Si ha
e1/x → +∞ per x → 0+, e1/x → 0 per x → 0−.
1
0
f(x) = e1/x
160 6. Limiti di funzioni
Dalle definizioni precedenti si ricava in modo ovvio la definizione delle scrit-ture
limx→x0+
f(x) = `+, limx→x0+
f(x) = `−,
limx→x0−
f(x) = `+, limx→x0−
f(x) = `− .
ove ` ∈ R. A titolo di esempio, diamo la definizione del primo di questi limiti.Si dice che f(x) tende a ` per eccesso al tendere di x a x0 dalla destra se: perogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ E, x0 < x < x0 + δ, si ha` ≤ f(x) < ` + ε.
Ad esempio: mantx → 0+ per x → 1+; mantx → 1− per x → 1−;e1/x → 0+ per x → 0−.
Sia f : (a, x0) ∪ (x0, b) → R. Se f(x) → ` (finito o infinito) per x → x0, siha immediatamente che f(x) → ` sia per x → x0+ che x → x0−. Vale anche laproprieta inversa.
Teorema 6.4.7 Sia f : (a, x0) ∪ (x0, b) → R. Si ha limx→x0 f(x) = ` ∈ R se esolo se
limx→x0−
f(x) = limx→x0+
f(x) = `. (6.4.8)
Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema supponendo ` ∈ R. La dimostrazionenel caso dei limiti infiniti e la stessa, sostituendo agli intorni di ` ∈ R gli intornidi +∞ o −∞. Supponiamo che valga (6.4.8). Per ogni ε > 0 esiste δ1 > 0 taleche per ogni x ∈ (a, b), tale che x0 < x < x0 + δ1, si ha |f(x)− `| < ε.
Analogamente, esiste δ2 > 0 tale che per ogni x ∈ (a, b), tale che x0 − δ2 <x < x0, si ha |f(x)− `| < ε. Posto δ = min(δ1, δ2), per ogni x ∈ (a, b), tale che0 < |x− x0| < δ, si ha |f(x)− `| < ε.
6.5 Segno, confronto.
Sia f una funzione a valori reali. I concetti di funzione limitata, massimo,minimo (se esistono), estremo superiore e inferiore di f si definiscono, come perle successioni, per mezzo del coinsieme di f .
Definizione 6.5.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Una funzio-ne f : E ⊆ X → R si dice limitata in E (limitata superiormente, inferior-mente) se f(E) e un insieme limitato (rispettivamente, limitato superiormente,inferiormente).
Si dice che α e l’estremo superiore (che β e l’estremo inferiore) di f(x) suE se α (rispettivamente β) e l’estremo superiore (rispettivamente, inferiore) dif(E). Si dice f(x) ha massimo in E (che f(x) ha minimo in E) se f(E) hamassimo (rispettivamente, minimo).
Il massimo M e il minimo m (se esistono) di f(x) in E vengono anchechiamati massimo assoluto e minimo assoluto della funzione in E. Ogni punto
6.5. Segno, confronto. 161
x0 ∈ E tale che f(x0) = M si chiama punto di massimo assoluto della funzionein E. Analogamente, ogni punto x0 ∈ E tale che f(x0) = m si chiama punto diminimo assoluto della funzione in E. Si ha
∀x ∈ E f(x) ≤ f(x0) se x0 e punto di massimo assoluto,
∀x ∈ E f(x) ≥ f(x0) se x0 e punto di minimo assoluto.
Le notazioni per massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di f(x) inE sono
maxx∈E
f(x), minx∈E
f(x), supx∈E
f(x), infx∈E
f(x).
Qualora non ci sia possibilita di equivoci, si puo omettere l’indicazione x ∈ E.
Esempi 6.5.2
1. Sia f(x) = mantx e sia E = R. La funzione e limitata e si ha
supmantx = 1, inf mantx = min mantx = 0.
La funzione non ha massimo.
2. Sia f : E → R, e sia E ⊆ E. Il massimo e il minimo (se esistono), l’estremosuperiore e l’estremo inferiore della restrizione di f(x) al sottoinsieme Epossono mutare al variare di E. Ad esempio, sia f(x) = ex, definita inE = R. Sia E = [0, +∞). Si ha
supx∈[0,+∞)
ex = +∞, infx∈[0,+∞)
ex = minx∈[0,+∞)
ex = e0 = 1 .
Sia ora E = (−∞, 0]. Si ha
supx∈(−∞,0]
ex = maxx∈(−∞,0]
ex = e0 = 1, infx∈(−∞,0]
ex = 0.
Sia f : E ⊆ X → R, ove (X, d) e uno spazio metrico. Se f(x) → ` ∈ Rper x → p ∈ E′, allora esiste un intorno B(p, δ) tale che f(x) e limitata inB(p, δ) ∩ E. Infatti, fissato ε = 1, esiste δ tale che per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E,x 6= p, si ha
`− 1 < f(x) < ` + 1.
In modo analogo si vede che, se f(x) → +∞ per x → p ∈ E′, esiste un intornoB(p, δ) tale che f(x) e illimitata superiormente su B(p, δ) ∩ E. Cosı pure, sef(x) → −∞ per x → p ∈ E′, esiste un intorno B(p, δ) tale che f(x) e illimitatainferiormente su B(p, δ) ∩ E.
Queste considerazioni valgono anche se p = ±∞, sostituendo a B(p, δ) gliintervalli (M, +∞) o (−∞,M) rispettivamente.
Sia (X, d) uno spazio metrico, sia E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f : E ⊆ X → R. Nelseguito di questo paragrafo, e nei paragrafi successivi, dimostreremo ulteriori
162 6. Limiti di funzioni
risultati sul comportamento di f(x) in un intorno di p, privato del punto pstesso. Dalla trattazione precedente appare chiaro, che per funzioni di variabilereale, o a valori reali, i casi in cui p o il limite ` siano infiniti non richiedono inrealta una discussione separata. Infatti, essi sono elementi dello spazio metrico Rstudiato nel capitolo 3. Il formalismo degli spazi metrici ci permette di trattarein modo unitario anche i casi infiniti.
D’ora innanzi, nel caso in cui X = R e p = +∞, oppure p = −∞, esottinteso che gli intorni di p (privati di p stesso) sono gli intorni nella metricaintrodotta nel capitolo 3 in R. In altri termini, essi sono gli intervalli (−∞,M)se p = −∞, e gli intervalli (M, +∞) se p = +∞.
Analogamente, se f(x) tende a ` per x → p, il limite potra essere sia unnumero reale che ±∞. Se ` = ±∞, gli intorni di ` saranno gli intorni appenadescritti.
Il seguente Teorema e l’analogo, per i limiti di funzioni, del Teorema 4.5.1
Teorema 6.5.3 (di permanenza del segno) Sia (X, d) uno spazio metrico,sia E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f : E ⊆ X → R una funzione tale che f(x) → ` perx → p.
a) Se ` > 0, allora esiste un intorno B(p, δ) tale che f(x) > 0 per ogni x ∈B(p, δ) ∩ E, x 6= p.
b) Se ` < 0, allora esiste un intorno B(p, δ) tale che f(x) < 0 per ogni x ∈B(p, δ) ∩ E, x 6= p.
c) Se esiste un intorno B(p, δ), tale che f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E,x 6= p, allora ` ≥ 0.
d) Se esiste un intorno B(p, δ), tale che f(x) ≤ 0 per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E,x 6= p, allora ` ≤ 0.
Dimostrazione. a) Sia ` ∈ R e sia ε > 0 tale che `− ε > 0. Per la definizionedi limite esiste δ > 0 tale che
0 < `− ε < f(x) < ` + ε.
per ogni x ∈ E tale che 0 < d(x, p) < δ. Quindi a) e vera. In modo analogo sidimostra b). Se ` = ±∞, la dimostrazione e analoga.
c) Supponiamo ora che esista δ tale che f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ E tale che0 < d(x, p) < δ. Allora non puo essere ` < 0. Altrimenti, per il punto b),esisterebbe δ1 tale che f(x) < 0 per ogni x ∈ E con 0 < d(x, p) < δ1. Postoδ2 = min(δ, δ1), i punti x ∈ E tale che 0 < d(x, p) < δ2 dovrebbero soddisfaresia la condizione f(x) ≥ 0 che f(x) < 0, assurdo. Quindi c) e vera. In modoanalogo si dimostra d).
In modo analogo ai teoremi del confronto per le successioni si dimostrano iteoremi del confronto per le funzioni.
6.6. Limiti di successioni e limiti di funzioni 163
Teorema 6.5.4 (del confronto; limite finito) Siano f , g, h, tre funzionidefinite in un sottoinsieme E di uno spazio metrico (X, d) a valori in R. Siap ∈ E′. Supponiamo che
i) limx→p f(x) = limx→p h(x) = ` ∈ Rii) esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si abbia
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). (6.5.5)
Allora si ha anche limx→p g(x) = `.
Dimostrazione. Si fissi ε > 0. Esistono δ1 e δ2 tali che per ogni x ∈ E
0 < d(x, p) < δ1 =⇒ `− ε < f(x) < ` + ε, (6.5.6)0 < d(x, p) < δ2 =⇒ `− ε < h(x) < ` + ε. (6.5.7)
Posto δ3 = min(δ, δ1, δ2), per x ∈ E, con 0 < d(x, p) < δ3, valgono con-temporaneamente (6.5.5), (6.5.6) e (6.5.7). Quindi, per tali valori di x siha
`− ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < ` + ε,
da cui la tesi.
Teorema 6.5.8 (del confronto; limite infinito) Siano f e g due funzionidefinite in un sottoinsieme E di uno spazio metrico (X, d) a valori in R. Siap ∈ E′.
Esista δ > 0 tale che per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si abbia f(x) ≤ g(x).Allora
a) se limx→p f(x) = +∞, si ha anche limx→p g(x) = +∞;
b) se limx→p g(x) = −∞, si ha anche limx→p f(x) = −∞.
Dimostrazione. Dimostriamo a). Per ogni M > 0 esiste δ1 > 0 tale che perogni x ∈ E
0 < d(x, p) < δ1 =⇒ f(x) > M.
Posto δ2 = min(δ, δ1), per ogni x ∈ B(p, δ2)∩E, x 6= p, si ha g(x) ≥ f(x) > M .In modo analogo si dimostra b).
6.6 Limiti di successioni e limiti di funzioni
Abbiamo visto nell’esempio 6.3.6.5 che la nozione di limite per le successioni eun caso particolare della nozione generale di limite per funzioni tra spazi metrici.D’altra parte, i limiti di funzioni possono essere ricondotti a limiti di successioni,nel senso che verra chiarito tra poco.
Iniziamo con due esempi. Sia f(x) = x2. Abbiamo visto (esempio 6.2.1) chef(x) → 0 per x → 0. Consideriamo una qualunque successione di numeri reali
164 6. Limiti di funzioni
xn tale che xn → 0 per n → +∞. Calcolando la funzione nei valori xn si ottienela nuova successione
f(xn) = x2n → 0 per n → +∞.
Analogamente, sia f(x) =sin x
x, definita per x 6= 0. Sappiamo che f(x) → 1
(esempio 6.2.3) per x → 0. Data una qualunque successione di numeri xn 6= 0,tali che xn → 0, si ha pure (Teorema 4.5.7)
f(xn) =sin xn
xn→ 1 per n → +∞.
1
x2x3xn
f(xn)
x1
f(x3)
f(x2)
f(xn) =sin xn
xn
La situazione messa in luce da questi due esempi ha carattere del tuttogenerale.
Teorema 6.6.1 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici. Sia E ⊆ X1 e siap ∈ E′. Sia f : E → X2. Le due seguenti affermazioni sono equivalenti
i) limx→p f(x) = `;
ii) limn→+∞ f(xn) = ` per ogni successione {xn} verificante le tre seguentiproprieta:
xn 6= p, xn ∈ E, xn → p per n → +∞. (6.6.2)
Dimostrazione. Supponiamo dapprima che valga i) e sia {xn} una successionedi punti verificante (6.6.2). Si fissi ε > 0 e sia δ tale che d2(f(x), `) < ε per ogni
x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p. (6.6.3)
Poiche xn → p, esiste n0 tale che per ogni n > n0 si ha xn ∈ B(p, δ). Quindi,per n > n0 i valori xn soddisfano (6.6.3), da cui d2(f(x), `) < ε. Segue ii).
6.7. Calcolo dei limiti 165
Viceversa valga ii) per ogni successione che verifica le tre proprieta (6.6.2).Per assurdo, supponiamo che non valga i). Allora esiste ε > 0 tale che per ogniδ > 0 esiste un punto x soddisfacente (6.6.3), ma tale che
d2(f(x), `) ≥ ε.
Assegnando a δ successivamente i valori 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . ., si ottiene unasuccessione di punti xn tale che
xn ∈ B(p, δ) ∩ E, xn 6= p,
ma tali che d2(f(xn), `) ≥ ε. Quindi la successione {xn} soddisfa le tre proprieta(6.6.2), ma f(xn) non tende a `, contro l’ipotesi.
L’equivalenza espressa dal teorema continua a sussistere se f e definita in uninsieme E ⊆ R, p ∈ R e il limite di f(x) e per x → p+ oppure x → p−. In questocaso, la terza condizione in (6.6.2) va sostituita da xn → p+ oppure xn → p−,rispettivamente. Cosı pure, l’equivalenza continua a valere se f(x) → `+ of(x) → `−. In questo caso la ii) viene sostituita da f(xn) → `+ o f(xn) → `−,rispettivamente.
6.7 Calcolo dei limiti
Il Teorema 6.6.1 permette di dedurre il calcolo dei limiti per funzioni a valorireali a partire dal calcolo dei limiti per successioni a reali.
Teorema 6.7.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′. Sianof, g : E → R. Sia
limx→p
f(x) = α, limx→p
g(x) = β,
ove α, β ∈ R. Allora
a) limx→p [f(x) + g(x)] = α + β
b) limx→p [f(x) · g(x)] = αβ
c) limx→pf(x)g(x)
=α
β(g(x) 6= 0)
d) limx→p f(x)g(x) = αβ (f(x) > 0)
e) limx→p logg(x) f(x) = logβ α (f(x) > 0 e g(x) > 0, g(x) 6= 1),
ove le operazioni sui limiti sono da interpretare secondo le tabelle di aritmetiz-zazione parziale I–VII del capitolo 4 per i simboli +∞ , −∞, 0+, 0−, e ove nonsi presentino le forme di indecisione della Tabella VIII.
166 6. Limiti di funzioni
Dimostrazione. Dimostriamo ad esempio a). La dimostrazione degli altripunti e del tutto analoga. Sia {xn} una qualunque successione verificante le treproprieta (6.6.2). Allora, per il Teorema precedente ((i)=⇒ ii)), si ha
f(xn) → α, g(xn) → β
per n → +∞. Se non si presentano forme di indecisione, si ha f(xn) + g(xn) →α + β per n → +∞. Ne segue, sempre per il Teorema 6.6.1 (l’affermazione ii)implica la i)), f(x) + g(x) → α + β per x → p.
Come ulteriore applicazione del Teorema 6.6.1, si dimostrano per le funzionii limiti notevoli analoghi a quelli del Teorema 4.8.17 per le successioni. Ladimostrazione, come sopra, consiste nella riduzione dei limiti di funzione a limitidi successioni.
Teorema 6.7.2 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′. Siaε(x) una funzione definita in E a valori in R tale che ε(x) 6= 0 e ε(x) → 0 perx → p. Sia a ∈ R. Allora, per x → p si ha:
a) (1 + a · ε(x))1/ε(x) → ea
b)log(1 + a · ε(x))
ε(x)→ a
c)aε(x) − 1
ε(x)→ log a (se a > 0).
d)(1 + ε(x))a − 1
ε(x)→ a
Si noti che, come caso particolare del punto a), si ha
limx→+∞
(1 +
1x
)x
= limx→−∞
(1 +
1x
)x
= e.
Il Teorema 6.6.1 riconduce anche lo studio dei limiti di funzioni a valori in Rk
allo studio dei limiti di successioni.Innanzi tutto osserviamo che una funzione f : E → Rk e individuata da k
funzioni a valori reali fj : E → R, j = 1, 2, . . . , k. In altri termini
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fk(x)) . (6.7.3)
Il seguente Teorema e l’analogo del Teorema 4.11.5
Teorema 6.7.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′. Siaf : E → Rk della forma (6.7.3). Allora si ha
limx→p
f(x) = ` = (`1, `2, . . . , `k) (6.7.5)
se e solo selimx→p
fj(x) = `j, per ogni j = 1, 2, , . . . , k. (6.7.6)
6.8. Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico 167
Dimostrazione. Sia {xn} una successione verificante le tre proprieta (6.6.2).Per il Teorema 6.6.1 la formula (6.7.5) vale se e solo se f(xn) → ` per n → +∞.Per il Teorema 4.11.5 questa relazione di limite vale se e solo se fj(xn) → `j
per n → +∞, per ogni j = 1, 2, . . . , k. Di nuovo per il Teorema 6.6.1, queste krelazioni di limite equivalgono a (6.7.6).
Il calcolo dei limiti in Rk segue dal precedente Teorema.
Teorema 6.7.7 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′. Sianof , g : E → Rk. Sia λ : E → R. Valga
limx→p
f(x) = α, limx→p
g(x) = β, limx→p
λ(x) = γ ∈ R.
Allora
a) limx→p
[f(x) + g(x)
]= α + β
b) limx→p λ(x) · f(x) = γα
c) limx→p
(f(x), g(x)
)=
(α, β
).
Dimostrazione. I punti a), b) e c) seguono dal Teorema 6.7.4 precedentee dal calcolo dei limiti per funzioni a valori reali. Dimostriamo ad esempioc). Denotiamo con fj(x), gj(x), αj e βj le coordinate di f(x), g(x), α e βrispettivamente. Per ogni j si ha, al tendere di x a p,
fj(x) → αj , gj(x) → βj .
Per i punti a) e b) del Teorema 6.7.1, si ha, per x → p,
(f(x), g(x)
)=
k∑
j=1
fj(x)gj(x) →k∑
j=1
αjβj =(α, β
).
6.8 Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico
La definizione di successione infinita e successione infinitesima si generalizza afuzioni definite in uno spazio metrico e a valori reali.
Definizione 6.8.1 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′ esia f : E → R. Si dice che f(x) e un infinitesimo per x → p se limx→p f(x) =0. Si dice che f(x) e un infinito per x → p se limx→p f(x) = +∞, oppurelimx→p f(x) = −∞.
Ad esempio, tutte le funzioni xα, con α reale positivo, sono infinitesimi perx tendente 0+ e infiniti per x tendente a +∞. Analogamente, le funzioni 1/xα,con α reale positivo, sono infiniti per x → 0+ e infinitesimi per x tendente a+∞. La funzione ex e un infinito per x → +∞ e un infinitesimo per x → −∞.La funzione log x e un infinito per x → +∞ e per x → 0+, ed e un infinitesimoper x → 1.
168 6. Limiti di funzioni
Definizione 6.8.2 Sia (X, d) uno spazio metrico, sia E ⊆ X e sia p ∈ E′.Siano f, g : E → R.
Se f e g sono ambedue infiniti per x → p si dice che f(x) tende all’infinitopiu lentamente di g(x) per x → p, o che f(x) e un infinito di ordine inferiorerispetto a g(x), se
limx→p
f(x)g(x)
= 0. (6.8.3)
Se f e g sono ambedue infinitesimi per x → p, e g(x) 6= 0, si dice che f(x)tende a 0 piu rapidamente di g(x) per x → p, o che f(x) e un infinitesimo diordine superiore rispetto a g(x) , se
limx→p
f(x)g(x)
= 0. (6.8.4)
Se f e g sono infiniti e vale (6.8.3), si dice equivalentemente che g e uninfinito di ordine superiore rispetto a f . Se f e g sono infinitesimi e vale (6.8.3),si dice equivalentemente g e un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a f .
Definizione 6.8.5 Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X e p ∈ E′. Sianof, g : E → R ambedue infinitesimi (oppure ambedue infiniti) per x → p. Siag(x) 6= 0 e sia α > 0 un numero reale. Si dice che f(x) e un infinitesimo(rispettivamente, un infinito) di ordine α rispetto a g(x) per x → p se esisteβ > 0 tale che
limx→p
|f(x)||g(x)|α → β.
Se α = 1 si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi (rispettivamente, infiniti)dello stesso ordine.
Ad esempio, sin x e infinitesimo dello stesso ordine di x per x → 0; 1− cos xe infinitesimo di ordine 2 rispetto a x per x → 0;
√x e infinito di ordine 1/2
rispetto a x per x → +∞.Come nel caso delle successioni, per x → +∞ e a, b, c positivi, eax e un
infinito di ordine superiore rispetto a xb che, a sua volta, e un infinito di ordinesuperiore rispetto a logc x.
Teorema 6.8.6 Si ha, per ogni a, b, c positivi,
limx→+∞
eax
xb= +∞, lim
x→+∞xb
logc x= +∞. (6.8.7)
Dimostrazione. Dimostriamo il primo limite in (6.8.7), utilizzando il limiteper le corrispondenti successioni, dimostrato nel capitolo 4. Fissato M > 0,esiste n0 tale che per ogni n > n0 si ha
ean
nb> Mea.
6.8. Infiniti, infinitesimi, o piccolo, asintotico 169
Sia x > n0. Indicando con [x] la parte intera di x, si ha
eax
xb>
ea[x]
([x] + 1)b= e−a ea([x]+1)
([x] + 1)b> M .
In maniera analoga si dimostra la seconda relazione di limite in (6.8.7).Le definizioni di o piccolo, asintotico, O grande ed eguale ordine di grandezza
per funzioni sono pure analoghe a quelle per le successioni.
Definizione 6.8.8 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′ esiano f, g : E → R. Sia g(x) 6= 0. Diciamo che f(x) e o piccolo di g(x) perx → p se
limx→p
f(x)g(x)
= 0.
In tal caso si scrivef(x) = o (g(x)) .
Esempi 6.8.9
1. Se a, b e c sono positivi, si ha per x → +∞
logc x = o(xb
), e−ax = o
(x−b
),
√x = o (x) , sin x = o(x).
2. Per x → 0 si ha
x2 = o(x), log |x| = o(x−b), ove b > 0.
3. Con riferimento all’esempio 6.2.3.6, per (x, y) → (0, 0)
xy = o (‖(x, y)‖) .
La scrittura f(x) = h(x)+ o (g(x)) per x → p equivale a f(x)−h(x) = o (g(x)).La scrittura o(1) indica un generico infinitesimo per x → p. In particolare, sef(x) → ` ∈ R per x → p, si ha f(x) = ` + o(1).
Definizione 6.8.10 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′ esiano f, g : E → R, tali che f(x) 6= 0 e g(x) 6= 0. Si dice che f(x) e asintoticaa g(x) per x → p se
limx→p
f(x)g(x)
= 1.
In tal caso si scrivef(x) ∼ g(x) per x → p.
170 6. Limiti di funzioni
Esempi 6.8.11
1. Per x → 0, si ha
x3 + 3√
x ∼ 3√
x, sin x ∼ x, log (1 + x) ∼ x, ex − 1 ∼ x.
2. Per x → +∞ si ha
x3 +√
x ∼ x3, x2 + sin x ∼ x2, log(1 + x) ∼ log x, [x] ∼ x.
Come nel caso delle successioni, la relazione ∼ per x → p e riflessiva, cioef(x) ∼ f(x), simmetrica, cioe f(x) ∼ g(x) se e solo se g(x) ∼ f(x), transitiva,cioe f(x) ∼ g(x) e g(x) ∼ h(x) implicano f(x) ∼ h(x).
Sempre come nel caso delle successioni, se per x → p f(x) ∼ g(x) e f(x) →` ∈ R, allora si ha anche g(x) → ` per x → p.
Definizione 6.8.12 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Sia p ∈ E′
e siano f, g : E → R, con g(x) > 0 Si dice che che f(x) e O grande di g(x)per x → p se esiste una costante c e un numero δ > 0 tali che per ogni x ∈B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si abbia
|f(x)|g(x)
≤ c. (6.8.13)
In tal caso si scrivef(x) = O(g(x)).
Siano f(x) 6= 0 e g(x) 6= 0. Si dice che f(x) e g(x) hanno eguale ordine digrandezza per x → p se esistono due costanti c > 0 e d > 0 e un numero δ > 0tali che per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si abbia
0 < d ≤∣∣∣∣f(x)g(x)
∣∣∣∣ ≤ c. (6.8.14)
In tal caso si scrivef(x) ³ g(x).
Due funzioni asintotiche per x → p hanno anche eguale ordine di grandezza,ma non vale l’implicazione opposta.
Esempi 6.8.15
1. x sin x = O(|x|) per x → ±∞. In questo caso (6.8.13) vale con c = 1 e xqualunque.
2.x
x− 2³ 1
x− 2per x → 2. La diseguaglianza (6.8.14) vale per ogni x 6= 2
tale che |x− 2| < 1, con c = 3 e d = 1.
3. x(1 + sin2 x) ³ x per x → ±∞. La diseguaglianza (6.8.14) vale per ognix con d = 1 e c = 2.
6.9. Appendice 171
6.9 Appendice
6.9.1 Classe limite di una funzione
Nel capitolo 4 abbiamo introdotto la classe limite per le successioni a valorireali. Questa nozione si estende naturalmente alle funzioni, coerentemente conil Teorema 6.6.1 che pone in relazione i limiti funzionali e i limiti successionali.
Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f : E → R. Consideria-mo, come nel paragrafo 6.6, una qualunque successione tale che
xn 6= p, xn ∈ E, xn → p per n → +∞. (6.9.1)
Definizione 6.9.2 Si chiama valore limite di f(x) per x → p un qualunque ele-mento α ∈ R per cui esiste una successione {xn}, soddisfacente le tre proprieta(6.9.1), tale che
limn→+∞
f (xn) = α.
L’insieme dei valori limite si chiama classe limite di f(x) per x → p.
Denoteremo usualmente con il simbolo Ep la classe limite di f(x) per x → p.
Esempi 6.9.3
1. Sia f(x) =1x
e sia p = 0. In questo caso la classe limite E0 e l’insieme
{−∞,+∞}. Infatti sia {xn} soddisfacente le tre proprieta (6.9.1) con
p = 0. Se xn → 0−, allora f(xn) =1xn
→ −∞. Se xn → 0+, allora
f(xn) =1xn
→ +∞. Se xn → 0, ma non tende a 0+ ne a 0−, allora f(xn)
non ha limite.
2. Sia f(x) = sin x e sia p = +∞. In questo caso la classe limite E+∞ coincidecon l’intervallo [−1, 1]. Infatti, sia −1 ≤ α ≤ 1 e sia xn = arcsin α + 2nπ,con n ∈ N. La successione {xn} soddisfa ovviamente le tre proprieta(6.9.1) per n → +∞. Si ha
sin (arcsin α + 2nπ) = sin (arcsin α) = α.
3. Sia f(x) = mantx, e sia p = +∞. In questo caso si ha E+∞ = [0, 1]. Pervedere cio osserviamo in primo luogo che [0, 1) ⊂ E+∞. Infatti, in modoanalogo all’esempio precedente, sia α ∈ [0, 1) e poniamo xn = α + n. Siha
mant (α + n) = mantα = α.
Sia ora xn = n−1/n. Questa successione soddisfa di nuovo le tre proprieta(6.9.1). Si ha
mant(
n− 1n
)= mant
(1− 1
n
)= 1− 1
n→ 1.
Quindi 1 ∈ E+∞.
172 6. Limiti di funzioni
Si noti che, data una successione {xn} verificante le tre proprieta (6.9.1),ogni valore limite α della successione f(xn) appartiene a Ep. Infatti, se α e unvalore limite di f(xn), esiste una sottosuccessione {xnk
} tale che f (xnk) tende
a α. Tale sottosuccessione verifica necessariamente le proprieta (6.9.1).
Teorema 6.9.4 Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f : E →R. Allora
a) Ep 6= ∅
b) Ep ∩ R e chiusa
c) Ep ha massimo e minimo (nell’insieme ordinato R).
Dimostrazione. a) Sia {xn} una successione verificante le tre proprieta (6.9.1).Per il punto a) del Teorema 4.12.3 sulla classe limite delle successioni, la suc-cessione f(xn) ha almeno un valore limite. Tale valore limite appartiene neces-sariamente a Ep, come osservato sopra.
b) Sia (Ep ∩ R)′ 6= ∅, e sia z un punto di accumulazione di Ep ∩ R. Siaαk ∈ Ep ∩ R convergente a z per k → +∞. Per ogni k esiste una successione{xk
n
}verificante (6.9.1) tale che
∀k αk = limn→+∞
f(xk
n
)
Quindi esiste n1 tale che∣∣f (
x1n1
)− α1
∣∣ < 1. Cosı pure esiste esiste n2 > n1
tale che∣∣f (
x2n2
)− α2
∣∣ < 1/2. Per induzione, per ogni intero positivo k esistenk tale che
∣∣f (xk
nk
)− αk
∣∣ < 1/k e nk > nk−1.Si noti che anche la successione
{xk
nk
}soddisfa (6.9.1) al tendere di k a +∞.
Si ha, per k → +∞,∣∣z − f
(xk
nk
)∣∣ ≤ |z − αk|+∣∣αk − f
(xk
nk
)∣∣ < |z − αk|+ 1/k → 0.
Quindi z e il limite della sottosuccessione{f
(xk
nk
)}.
c) Se f(x) e illimitata superiormente in un intorno di p, allora esiste ne-cessariamente xn 6= p, xn ∈ E e xn → p tale che f(xn) → +∞. Quindi+∞ ∈ Ep.
Se f(x) e limitata superiormente in un intorno B(p, δ), allora anche Ep elimitata superiormente. Infatti, nessun elemento
α > supx∈B(p,δ)
f(x)
puo essere un valore limite della funzione per x → p. Sia L = sup Ep. PoicheEp ∩ R e chiuso, L ∈ Ep∩R per il Teorema 3.5.4. Quindi L e il massimo di Ep.
L’esistenza del minimo si dimostra in modo analogo.
6.9. Appendice 173
Definizione 6.9.5 Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f :E → R e sia Ep la sua classe limite per x → p. Si chiama limite superiore (omassimo limite) della funzione per x → p il massimo della classe limite.
Si chiama limite inferiore (o minimo limite) della funzione per x → p ilminimo della classe limite.
Per il limite superiore si usano le notazioni
lim supx→p
f(x), limx→pf(x).
Per il limite inferiore si usano le notazioni
lim infx→p
f(x), limx→pf(x).
Negli esempi 6.9.3 il limite superiore e rispettivamente +∞, 1, 1. Il limiteinferiore e −∞, −1, 0.
Le definizioni di valore limite, classe limite, limite superiore e inferiore e ilteorema precedente continuano a sussistere per x → p+ oppure per x → p−.
Teorema 6.9.6 Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f : E :→R.
a) Se lim supn→+∞ f(x) = L < +∞, allora, per ogni ε > 0 esiste δ > 0 taleche per ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si ha f(x) < L + ε.
b) Se lim infn→+∞ f(x) = ` > −∞, allora, per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale cheper ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si ha f(x) > `− ε.
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare a), poiche la imostrazione di b) edel tutto simile.
Se a) e falsa, esiste ε > 0 tale che per ogni δ > 0 esiste x ∈ B(p, δ) ∩ Etale che f(x) ≥ L + ε. Dando successivamente a δ i valori 1, 1/2 . . . , 1/n, . . . siottiene una successione di punti xn soddisfacenti (6.9.1) e tali che f(xn) ≥ L+ε.Allora esiste una sottosuccessione {f (xnk
)} avente limite α ≥ L + ε, assurdo.
Tenendo presente che limx→p f(x) = α se e solo se f(xn) → α per ognisuccessione che soddisfa le proprieta (6.9.1), il seguente Corollario si dimostracome nel caso delle successioni.
Corollario 6.9.7 Sia (X, d) uno spazio metrico, E ⊆ X e p ∈ E′. Sia f : E →R. Si ha
lim supn→+∞
f(x) = lim infn→+∞
f(x) = α
se e solo se f(x) → α per x → p.
Capitolo 7
Continuita
7.1 Introduzione
Le funzioni elementari dell’analisi, cioe funzioni quali potenze, radici, esponen-ziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni ottenute dalleprecedenti mediante operazioni aritmetiche o di composizione, ammettono limi-te eguale a f(p) per x → p, qualunque sia p nel loro insieme di definizione. Lostudio di tale proprieta, che non e limitata alle sole funzioni reali di variabilereale, si effettua in modo naturale nell’ambito degli spazi metrici.
7.2 Continuita in spazi metrici
Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici, sia E ⊆ X1 un sottoinsieme non vuotoe sia p ∈ E.
Definizione 7.2.1 Una funzione f : E → X2 si dice continua in p ∈ E se: perogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ E, tale che d1(x, p) < δ, si had2 (f(x), f(p)) < ε.
La definizione 7.2.1 puo anche anche essere scritta nel modo seguente:
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ E, d1(x, p) < δ, si ha d2 (f(x), f(p)) < ε. (7.2.2)
Equivalentemente, f e continua in p ∈ E se per ogni ε > 0 esiste un intornoB(p, δ) tale che
f (B(p, δ) ∩ E) ⊆ B(f(p), ε). (7.2.3)
Osservazione. A differenza della definizione di limite (6.2.2), il punto p deveappartenere all’insieme di definizione E, ma non deve necessariamente essere diaccumulazione per E.
Poiche un punto p ∈ E e isolato oppure e di accumulazione, si ha che:
a) se p e un punto isolato di E, allora ogni funzione f : E → X2 e continuain p. Infatti, per definizione di punto di isolato, esiste δ > 0 tale cheB(p, δ) ∩ E = {p}. Ovviamente, f(p) ∈ B(f(p), ε), qualunque sia ε > 0.La (7.2.3) e percio soddisfatta con δ = δ.
175
176 7. Continuita
b) se p appartiene ad E ed e anche di accumulazione per E, allora f e continuain p se e solo se
limx→p
f(x) = f(p). (7.2.4)
Infatti, l’unica differenza tra la definizione di continuita (7.2.2) e la defini-zione di limite (6.2.2) nel capitolo 6 consiste nella clausola x 6= p contenutanella definizione di limite. Quindi, se vale (7.2.2) a maggior ragione vale(7.2.4).Viceversa, se limx→p f(x) = f(p), allora per ogni ε > 0 esiste δ tale cheper ogni x ∈ B(p, δ) ∩ E, x 6= p, si ha d2 (f(x), f(p)) < ε. Poiche, perx = p, si ha d2 (f(p), f(p)) = 0 < ε, vale anche (7.2.2).
Esempi 7.2.5
1. Sia X1 = X2 = E = R con la metrica euclidea. Sia f(x) = 3√
x e sia p = 0.Scelto ad arbitrio ε > 0 basta porre δ = ε3 perche ogni punto x tale che|x| < δ soddisfi |f(x)| < ε. Quindi f e continua in p = 0.
2. Sia X1 = E = R2 e sia X2 = R, ambedue con la metrica euclidea. Sia
f(x, y) =
x3
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
Dimostriamo che f e continua in p = (0, 0). Fissato ε > 0 basta porre δ = ε
affinche ogni punto (x, y) tale che√
x2 + y2 < δ soddisfi |f(x, y)| < ε.Infatti si ha, al di fuori dell’origine,
|f(x, y)| = |x| x2
x2 + y2≤ |x| ≤
√x2 + y2.
Quindi limx→(0,0) f(x, y) = 0 = f(0, 0).
3. Sia (X1, d1) uno spazio metrico discreto, e sia (X2, d2) uno spazio metricoarbitrario. Sia f : X1 → X2 una qualunque funzione. Qualunque puntop ∈ X1 e isolato, e quindi f e continua in un qualsiasi punto di X1.
4. Sia X1 = E = R e sia X2 = R3, ambedue con la metrica euclidea. Siap = 0. Sia
f(x) = (sin x, cos x, x) .
Per x → 0 si ha
sin x = f1(x) → 0, cos x = f2(x) → 1, x = f3(x) → 0.
Quindi limx→0 f(x) = (0, 1, 0) = f(0), e la funzione e continua in p = 0.
Dal Teorema 6.6.1 si ricava immediatamente che la continuita di una funzionein un punto puo essere caratterizzata mediante i limiti successionali.
7.3. Continuita globale 177
Teorema 7.2.6 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia E ⊆ X1. Siap ∈ E ∩ E′. Una funzione f : E → X2 e continua in p se e solo se
limn→+∞
f(xn) = f(p)
per ogni successione {xn} verificante le due condizioni
xn ∈ E e xn → p per n → +∞. (7.2.7)
Questo Teorema segue in modo ovvio dal Teorema 6.6.1. Basta osservareche la condizione xn 6= p in (6.6.2) non e necessaria nel caso della continuita,come abbiamo notato sopra.
Teorema 7.2.8 (di continuita della funzione composta) Siano (X1, d1),(X2, d2) e (X3, d3) spazi metrici. Sia E ⊆ X1, e sia p ∈ E. Sia f : E → X2 esia g : X2 → X3. Se f e continua in p e g e continua in f(p), allora la funzionecomposta g ◦ f : E → X3 e continua in p.
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sul Teorema precedente. Se p eisolato, ogni funzione e continua in p, come gia osservato sopra. Sia quindi p diaccumulazione. Sia {xn} una successione verificante le due condizioni (7.2.7).Per la continuita di f in p si ha f(xn) → f(p) per n → +∞. Se f(p) e isolato inX2, allora definitivamente deve essere f(xn) = f(p) e quindi, definitivamente,g (f (xn)) = g (f (p)). Se f(p) e di accumulazione, poiche g e continua in f(p),si ha g (f (xn)) → g (f (p)) per n → +∞. In ambedue i casi si ha g (f (xn)) →g (f (p)) per n → +∞, da cui la tesi.
.
7.3 Continuita globale
Definizione 7.3.1 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia f : X1 → X2.Si dice che f e (globalmente) continua in X1 se e continua in ogni punto p ∈ X1.
In seguito, nel caso di funzioni globalmente continue in sottoinsiemi E di spa-zi metrici assegnati, (X1, d1) denotera semplicemente l’insieme E dotato dellametrica indotta. Ad esempio, se f : [a, b] → R e continua in [a, b], lo spaziometrico (X1, d1) sara l’intervallo [a, b] con la metrica euclidea indotta.
Teorema 7.3.2 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici, e sia f : X1 → X2. Lafunzione f e continua in X1 se e solo se
per ogni aperto A ⊆ X2 la controimmagine f−1(A) e aperta in X1.
Dimostrazione. Sia A ⊆ X2 aperto e sia f continua in X1. Dimostriamo cheogni punto p ∈ f−1(A) e interno a f−1(A). Sia q ∈ A tale che f(p) = q. Siaε > 0 tale che B(q, ε) ⊆ A. Per (7.2.3) esiste δ > 0 tale che f(B(p, δ)) ⊆ B(q, ε).Quindi
B(p, δ) ⊆ f−1 (B(q, ε)) ⊆ f−1(A),
178 7. Continuita
cioe p e interno a f−1(A).Viceversa supponiamo che f−1(A) sia aperto in X1 per ogni aperto A ⊆ X2.
Sia p ∈ X1 e sia q = f(p). Fissato ε > 0, poniamo A = B(q, ε). Per ipotesif−1 (B(q, ε)) e aperto e quindi p e ad esso interno. Esiste quindi δ > 0 tale cheB(p, δ) ⊆ f−1 (B(q, ε)). Ne segue
f (B(p, δ)) ⊆ B(q, ε),
cioe la continuita di f in p.La continuita di f in X1 puo essere equivalentemente caratterizzata mediante
le contrommagini dei chiusi.
Corollario 7.3.3 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici, e sia f : X1 → X2.La funzione f e continua in X1 se e solo se
per ogni chiuso F ⊆ X2 la controimmagine f−1(F ) e chiusa in X1.
Dimostrazione. Il Corollario si dimostra ricordando che un insieme e chiusose e solo se il suo complementare e aperto. Sia F ⊆ X2 chiuso, e sia A = F c.Allora A e aperto in X2. Si ha
f−1(F ) = f−1(Ac) =(f−1(A)
)c.
La funzione f e continua se e solo se f−1(A) e aperto e quindi se e solo sef−1(F ) e chiuso.
E bene osservare che nel caso in cui X1 sia un sottospazio metrico con lametrica indotta f−1(A) deve essere aperto in tale metrica. Se, ad esempio, X1 =[a, b] ⊂ R, gli aperti di [a, b] nella metrica euclidea indotta sono le intersezioni di[a, b] con gli aperti R. Analogamente, gli intorni di p ∈ [a, b] sono le intersezionidegli intervalli (p − ε, p + ε) con [a, b]. Ad esempio, per valori piccoli di ε gliintorni di a sono gli intervalli [a, a + ε) = [a, b] ∩ (a− ε, a + ε).
7.4 Continuita delle funzioni a valori reali
Teorema 7.4.1 Sia (X, d) uno spazio metrico, e siano f, g : X → R. Se f e gsono continue in p ∈ X allora sono continue in p anche le funzioni f +g, f −g,f/g (se g(p) 6= 0), fg (se f(p) > 0), logg f (se f(p) > 0, g(p) > 0, g(p) 6= 1).
Dimostrazione. Se p e isolato l’asserto e ovvio. Se p e di accumulazione, latesi segue dal Teorema 6.7.1.
Si noti che se g(p) 6= 0 e p e di accumulazione, allora anche g(x) 6= 0 in unopportuno intorno di p. Infatti, g(x) deve avere lo stesso segno del suo limiteg(p) in un opportuno intorno di p. Quindi f/g e definita in tale intorno. Lastessa considerazione si applica alla funzione fg e a logg f .
Il Teorema appena dimostrato, assieme al Teorema sulla composizione difunzione continue, permette di dimostrare la continuita delle funzioni elementaridell’analisi nel loro insieme di definizione.
7.4. Continuita delle funzioni a valori reali 179
1) Iniziamo osservando che la fuzione f(x) = x e banalmente continua intutto R e che la fuzione f(x) = c, ove c e una qualsiasi costante, e pure banal-mente continua (di fatto queste funzioni sono continue in ogni spazio metrico).Sono quindi continui su tutto R i monomi cxn, con n ∈ N, e di conseguenzatutti polinomi
P (x) = c0 + c1x + c2x2 + · · ·+ cnxn.
Sono pure continui i rapporti di polinomiP1(x)P2(x)
in ogni punto che non annulla
il denominatore.
2) Gli esponenziali sono continui in ogni punto. Infatti, sia f(x) = ax, ovea > 0 e a 6= 1. Sia x0 un qualsiasi numero reale. Per il Teorema 6.7.2 al tenderedi x a x0 si ha
ax − ax0 = ax0(ax−x0 − 1
) ∼ (x− x0)ax0 log a → 0.
Quindi ax → ax0 per x → x0.3) Come conseguenza del punto precedente e del Teorema 7.4.1, sono conti-
nue in ogni punto le funzioni iperboliche
sinhx =ex − e−x
2, cosh x =
ex + e−x
2, tanh x =
sinhx
coshx.
y=cosh(x)
y=sinh(x)
y=tanh(x)1
-1y=tanh(x)
Le funzioni iperboliche
4) Sia f(x) = log x, ove x > 0. Al tendere di x → x0 > 0 si ha, per ilTeorema 6.7.2,
log x− log x0 = logx
x0= log
(1 +
x− x0
x0
)∼ x− x0
x0→ 0.
180 7. Continuita
Quindi log x e continua in ogni punto x0 > 0.
5) Sia f(x) = xα, ove α ∈ R e α 6= 0. Questa funzione e definita per x > 0.Se α > 0 il suo insieme di definizione include anche lo 0: infatti, si pone inquesto caso f(0) = 0.
Sia x0 > 0. Si ha
xα − xα0 = xα
0
((x
x0
)α
− 1)
= xα0
(eα log x
x0 − 1)
.
Per quanto appena visto, logx
x0→ log 1 = 0 per x → x0. Quindi, per il
Teorema 6.7.2,xα − xα
0 ∼ xα0 α log
x
x0→ 0.
Sia ora x0 = 0 e α > 0. Fissato ε > 0, sia δ = ε1/α. Per 0 ≤ x < δ si ha xα < ε,e quindi limx→0+ xα = 0.
1
1
α>1
α<0
0<α<1
f(x) = xα
6) Sia α = m/n, con m e n interi non nulli, n > 0. La funzione xm/n edefinita per ogni x > 0 come
xm/n = n√
xm. (7.4.2)
La radice a destra in (7.4.2) e definita anche per x < 0, eccetto il caso in cui nsia pari e m dispari.
Per n dispari si ha
n√
xm = − n√
(−x)m, se m e dispari
n√
xm = n
√(−x)m, se m e pari.
7.4. Continuita delle funzioni a valori reali 181
Ad esempio
3√
x = − 3√−x, 3
√x2 = 3
√(−x)2, 5
√x3 = − 5
√(−x)3.
Se n e pari e m e pari si ha
n√
xm = n
√|x|m.
Ad esempio4√
x2 = 4√|x|2 =
√|x|.
In base a queste osservazioni, la continuita di xm/n in ogni punto x0 > 0 implicala continuita di n
√xm anche in x0 < 0. Se m/n > 0 le radici sono continue anche
in x0 = 0.
x3
x3
|x|
|x|
Le funzioni√|x| e 3
√x
7) Esaminiamo le funzioni trigonometriche. Per ogni x0 si ha
sin x− sin x0 = 2 cos(
x + x0
2
)sin
(x− x0
2
)(7.4.3)
e l’espressione a destra in (7.4.3) tende a 0 per x → x0. Analogamente, si ha,per x → x0
cosx− cosx0 = −2 sin(
x + x0
2
)sin
(x− x0
2
)→ 0.
Quindi sin x e cos x sono continue in ogni punto. Di conseguenza, tanx econtinua in ogni x0 6= π/2 + kπ, con k intero.
182 7. Continuita
La continuita delle funzioni inverse delle funzioni trigonometriche sara dimo-strata piu avanti, come caso particolare del Teorema di continuita della funzioneinversa.
Per studiare la continuita di funzioni a valori in Rk, notiamo il seguenteTeorema, la cui dimostrazione e una ovvia conseguenza del Teorema 6.7.4.
Teorema 7.4.4 Sia (X, d) uno spazio metrico e sia p ∈ X. Sia f : X → Rk.Posto
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fk(x)) ,
la funzione f e continua in p se e solo se fj : X → R e continua in p per ognij = 1, 2, . . . , k.
Applichiamo questo Teorema al caso in cui X = Rk, dotato della metricaeuclidea, e alla funzione identica
f(x) = x = (x1, x2, . . . , xk) ,
che associa a ogni x ∈ Rk il punto x stesso. Ovviamente f e continua in Rk .In questo caso si ha
f1(x) = x1, f2(x) = x2, . . . , fk(x) = xk.
La funzione fj si chiama proiezione sull’asse j–esimo, o j–esima proiezione, ede funzione continua di x. Ne segue che, per moltiplicazione e addizione, sonofunzione continue di x tutti i monomi in k variabili e tutti i polinomi in kvariabili; si veda il punto seguente.
8) Sia, per semplicita, k = 2. I monomi nelle due variabili x e y sono
1, x, y, x2, xy, y2, x3, x2y, xy2, y3, . . .
Il generico polinomio di grado n in due variabili e
P (x, y) = c0,0+c1,0x+c0,1y+c2,0x2+c1,1xy+c0,2y
2+ · · ·+c1,n−1xyn−1+c0,nyn
P (x, y) e una funzione continua di (x, y), per quanto detto sopra. Sono purecontinui i rapporti di due polinomi in tutti i punti che non annullano il deno-minatore.
9) Altri esempi di fuzioni continue, in una o piu variabili reali, si ottengonocomponendo le funzioni studiate in questo paragrafo ed eseguendo operazioni sudi esse. Ad esempio, sono continue in ogni punto del loro insieme di definizionele funzioni
sin (log x) , esin x,
√x + 1√x− 1
, log(2 + cos x),√
cosh x,xy
1 + x2 + y2, cos (x + y) .
In generale possiamo affermare che tutte le funzioni elementari dell’analisi (inuna o piu variabili) sono continue nel loro insieme di definizione.
7.5. Il Teorema di Weierstrass 183
7.5 Il Teorema di Weierstrass
Teorema 7.5.1 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici. Sia f : X1 → X2
continua in X1. Se X1 e compatto, allora anche f(X1) e compatto.
Dimostrazione. Sia {Ai}i∈I , ove Ai ⊆ X2 per ogni i, una copertura apertadi f(X1).
Si haf(X1) ⊆
⋃
i∈I
Ai.
Di conseguenza
X1 = f−1
(⋃
i∈I
Ai
)=
⋃
i∈I
f−1(Ai). (7.5.2)
La prima eguaglianza in (7.5.2) vale perche X1 non puo essere contenuto pro-priamente in suo sottoinsieme.
Poniamo Vi = f−1(Ai). Per il Teorema 7.3.2, ogni insieme Vi e aperto eper (7.5.2) la famiglia {Vi}i∈I costituisce una copertura aperta di X1. Esistonoquindi n insiemi della famiglia, siano essi Vi1 , Vi2 , . . . , Vin , tali che
X1 =n⋃
k=1
Vik.
Poiche f(Vik) = f
(f−1(Aik
)) ⊆ Aik
, segue che
f(X1) = f
( n⋃
k=1
Vik
)=
n⋃
k=1
f(Vik) ⊆
n⋃
k=1
Aik,
Quindi la famiglia {Ai1 , Ai2 , . . . , Ain} e una sottocopertura finita di f(X1)estratta dalla copertura aperta {Ai}i∈I .
Come conseguenza si ottiene il Teorema di Weierstrass.
Corollario 7.5.3 (Teorema di Weierstrass) Sia (X, d) uno spazio metricoe sia f : X → R continua in X. Se X e compatto allora f(x) ha un punto dimassimo e un punto di minimo assoluto in X.
Dimostrazione. Poiche f(X) e un compatto, esso e chiuso e limitato. Sia Ll’estremo superiore di f(X). Per la limitatezza di f(X) si ha L < +∞. Per lachiusura di f(X) e per il Teorema 3.5.4, L ∈ f(X). Quindi L e anche massimoassoluto della funzione.
In maniera analoga si dimostra l’esistenza del minimo assoluto.
Il Teorema di Weierstrass, originariamente dimostrato per funzioni continuef : [a, b] → R, si applica, ad esempio, a funzioni di due o piu variabili reali. Ognifunzione continua in un cerchio chiuso in R2 e a valori reali ammette massimoe minimo.
184 7. Continuita
7.6 Il Teorema di Darboux
Se f : [a, b] → R e continua, per il Teorema di Weierstrass si ha f([a, b]) ⊆[m,M ], ove M e m sono il massimo e il minimo della funzione. In questoparagrafo dimostreremo che in realta si ha f([a, b]) = [m,M ]. Piu in generale,dimostreremo che l’immagine di un qualunque intervallo mediante una funzionecontinua a valori in R e a sua volta un intervallo. Questa proprieta si basa sullaconnessione degli intervalli.
Teorema 7.6.1 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici. Sia f : X1 → X2
continua in X1. Se X1 e connesso, allora anche f(X1) e connesso.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che f(X1) non sia connesso. Alloraesistono A e B non vuoti tali che
A ∪B = f(X1), A ∩B = ∅, A ∩B = ∅.
Poniamo E = f−1(A) e F = f−1(B). Chiaramente E e F non sono vuoti. Siha
X1 = f−1 (f(X1)) = f−1 (A ∪B) = E ∪ F .
Arriveremo all’assurdo dimostrando che E e F sono separati.Dalla relazione A ⊆ A si deduce f−1(A) ⊆ f−1
(A
). Poiche f e continua,
f−1(A
)e chiuso per il Corollario 7.3.3. Ne segue
E = f−1(A) ⊆ f−1(A
).
Quindi
E ∩ F = f−1(A) ∩ F ⊆ f−1(A
) ∩ f−1(B) = f−1(A ∩B
)= ∅.
In modo analogo si dimostra che E ∩ F = ∅.
Corollario 7.6.2 (Teorema di Darboux) Sia I ⊆ R un intervallo di qual-siasi tipo, e sia f : I → R continua e non costante. Allora f(I) e un inter-vallo. In particolare, se I = [a, b] si ha f([a, b]) = [m,M ] , ove M e m sonorispettivamente il massimo e il minimo assoluto di f(x) in [a, b].
Corollario 7.6.3 (Teorema dei valori intermedi) Sia f : [a, b] → R con-tinua. Sia f(a) < f(b) (oppure f(b) < f(a)). Allora, per ogni y0 tale chef(a) < y0 < f(b) (rispettivamente, f(b) < y0 < f(a)), esiste x0 ∈ (a, b) tale chef(x0) = y0.
Dimostrazione. Sia ad esempio f(a) < f(b). Allora
y0 ∈ (f(a), f(b)) ⊂ [m, M ] = f([a, b]).
Quindi deve esistere x0 ∈ (a, b) tale che f(x0) = y0.
7.6. Il Teorema di Darboux 185
a b
f(a)
f(b)
y0
x0
f(x) assume tutti i valori intermedi
Questo Corollario asserisce che una funzione reale di variabile reale, continuain un intervallo, non puo passare da un valore ad un altro senza assumere tuttii valori intermedi. Il grafico della funzione incontra tutte le rette orizzontaliy = y0, con y0 ∈ (f(a), f(b)). Da un punto di vista intuitivo, se si disegnamanualmente il grafico di questa funzione, non si puo staccare la penna dalfoglio. Questo giustifica la denominazione di funzione ‘continua’.
Corollario 7.6.4 (Teorema degli zeri) Sia f : [a, b] → R continua. Sia
f(a) < 0 < f(b) (oppure f(b) < 0 < f(a)).
Allora esiste x0 ∈ (a, b) tale che f(x0) = 0.
Questo Corollario si puo applicare per dimostrare l’esistenza di soluzioni percerte equazioni del tipo f(x) = 0 in opportuni intervalli. Ad esempio, sia
f(x) = x5 − x4 + x3 − 2x2 + 3x− 1.
Si ha f(0) = −1 e f(1) = 1, e quindi l’equazione f(x) = 0 deve avere almenouna soluzione x0 tale che 0 < x0 < 1. Si puo approssimare ulteriormente x0
osservando che f(0, 4) vale circa (e minore di) −0.07 mentre f(0, 5) vale circa(e maggiore di) 0, 09. Quindi si ha 0.4 < x0 < 0.5. Ripetuti calcoli di questotipo portano alla stima x0 = 0, 4418 . . .
Come ulteriore esempio si consideri la funzione
f(x) = x− 3 log x.
Poiche f(x) → +∞ per x → 0+, per valori di x prossimi a 0 si ha f(x) > 0.D’altra parte, f(e) = e−3 < 0, e quindi deve esistere x0 < e tale che f(x0) = 0.Poiche f(x) → +∞ per x → +∞, deve esistere un ulteriore valore x1 > e taleche f(x1) = 0.
186 7. Continuita
7.7 Uniforme continuita
Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia f : X1 → X2 continua in X1. Ciosignifica che la (7.2.2), che esprime la continuita di f in p, e verificata in ognipunto. Riscriviamo dunque la definizione di continuita, mettendone in evidenzala validita in ogni punto p ∈ X1. Si ha
∀p ∈ X1 ∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ X1, d1(x, p) < δ, si ha d2 (f(x), f(p)) < ε.(7.7.1)
L’unica differenza rispetto alla (7.2.2) e l’apposizione della clausola: ∀p ∈ X1.Da questa definizione risulta evidente che il numero δ dipende non solo dalvalore di ε, ma anche che dal punto p.
Chiariamo questo fatto con un esempio. Sia X1 = (0, +∞), X2 = R e siaf(x) = x2. La funzione e continua in ogni punto p. Possiamo valutare δ perogni ε > 0 e p > 0 assegnati. Si ha, per ogni x ∈ (p− δ, p + δ),
ε >∣∣x2 − p2
∣∣ . (7.7.2)
Questa diseguaglianza deve valere per anche x = p + δ/2 > p. Da (7.7.2) siottiene
ε >∣∣x2 − p2
∣∣ = (x + p) |x− p| > 2pδ
2= pδ.
Ne segue δ < ε/2p, che tende a 0 per p → +∞. Fissato ε > 0 non e quindipossibile trovare δ > 0, per quanto piccolo, dipendente solo da ε.
Diversa e la situazione se si restringe f a un intervallo compatto. Sia adesempio X1 = [0, b]. Si ha
∣∣x2 − p2∣∣ = (x + p) |x− p| ≤ 2b |x− p| .
Fissato ε > 0, basta porre δ = ε/2b per avere∣∣x2 − p2
∣∣ < ε per ogni x e p taliche |x− p| < δ. In questo caso δ dipende solo ε e non da p. Siamo cosı condottialla nozione di uniforme continuita.
Definizione 7.7.3 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia f : X1 → X2
continua in X1. Si dice che f e uniformemente continua in X1 se per ogni ε > 0esiste δ tale che per ogni x, p ∈ X1, tali che d1(x, p) < δ, si ha d2 (f(x), f(p)) <ε. In formula:
∀ε > 0 ∃δ ∀x ∈ X1 ∀p ∈ X1, d1(x, p) < δ, si ha d2 (f(x), f(p)) < ε.(7.7.4)
In altri termini, f e uniformemente continua in X1 se e continua in X1 e ilnumero δ dipende solo da ε e non dal punto p. Prefissato ε > 0, coppie di puntiche distano tra loro per meno di δ = δ(ε) hanno immagini che distano tra loroper meno di ε, ovunque sia situata questa coppia di punti nello spazio metricoX1.
7.7. Uniforme continuita 187
Teorema 7.7.5 (di Heine–Cantor) Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici esia f : X1 → X2 continua in X1. Se X1 e compatto allora f e uniformementecontinua in X1.
Dimostrazione. La dimostrazione e per assurdo. Se (7.7.4) non vale, alloraesiste ε > 0 tale che per ogni δ > 0 esiste una coppia di punti x, y ∈ X1, taliche d1(x, y) < δ, ma d2 (f(x), f(y)) ≥ ε.
Diamo a δ i valori 1, 1/2, . . . , 1/n, . . .. Esistono x1 e y1 tali che d1(x1, y1) <1, ma d2 (f(x1), f(y1)) ≥ ε. Esistono x2, y2 tali che d1(x2, y2) < 1/2, mad2 (f(x2), f(y2)) ≥ ε, etc.
Esistono quindi due successioni {xn} ⊆ X1 e {yn} ⊆ X1 tali che per ogni n
d1(xn, yn) < 1/n
d2 (f(xn), f(yn)) ≥ ε. (7.7.6)
Poiche X1 e compatto, esiste una sottosuccessione {xnk} convergente a un
punto z ∈ X1, cioe d1(xnk, z) → 0 per k → +∞. Si ha, per gli stessi indici nk,
d1(ynk, z) ≤ d1(ynk
, xnk) + d1(xnk
, z) <1nk
+ d1(xnk, z).
Quindi anche la sottosucessione {ynk} converge a z.
Poiche f e continua in ogni punto, e quindi anche in z, per Teorema 7.2.6 siha f(xnk
) → f(z) e f(ynk) → f(z) per k → +∞.
Dalla diseguaglianza triangolare,
d2 (f(xnk), f(ynk
)) ≤ d2 (f(xnk), f(z)) + d2 (f(z), f(ynk
)) ,
si deduce che d2 (f(xnk), f(ynk
)) → 0 per k → +∞. D’altra parte, per (7.7.6)si ha per ogni k
d2 (f(xnk), f(ynk
)) ≥ ε,
il che e assurdo.Come conseguenza del Teorema di Heine–Cantor, ogni funzione continua
f : [a, b] → R e anche uniformemente continua.Il Teorema di Heine–Cantor e una condizione sufficiente, ma non necessaria,
per l’uniforme continuita. Esistono infatti funzioni uniformemente continue de-finite in spazi metrici non compatti. Banalmente, la funzione identica f(x) = xe uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.Un esempio non banale e fornito dalla funzione f(x) = log x ristretta a [1, +∞).
Per ogni x > −1 vale la diseguaglianza log(1+x) ≤ x (Lemma 4.9.6). Quindi,dati due punti x, y ≥ 1, con x > y, si ha
|log x− log y| = logx
y= log
(1 +
x− y
y
)
≤ x− y
y≤ x− y.
Fissato ε > 0, basta scegliere δ = ε affinche |x− y| < δ implichi |log x− log y| <ε, per ogni x, y ∈ [1,+∞).
188 7. Continuita
7.8 Punti di discontinuita
Teorema 7.8.1 Sia f : (a, b) → R, e sia x0 ∈ (a, b). La funzione e continua inx0 se e solo se
limx→x0−
f(x) = limx→x0+
f(x) = f(x0).
Dimostrazione. Segue immediatamente dal Teorema 6.4.7.Se f(x) non e continua in x0 si dice che x0 e un punto di discontinuita. E
opportuno tuttavia ampliare la nozione di punto di discontinuita al caso in cuif non sia necessariamente definita in x0.
7.8.1 Discontinuita di prima specie
Definizione 7.8.2 Sia f : (a, x0) ∪ (x0, b) → R. Si dice che x0 e un punto didiscontinuita di prima specie se esistono finiti
limx→x0−
f(x) e limx→x0+
f(x) (7.8.3)
ed essi sono diversi tra loro.
Si noti che non e richiesto che la funzione sia definita in x0.
Esempi 7.8.4
1. Sia f(x) = mantx. Ogni punto x0 = n, con n intero, e un punto didiscontinuita di prima specie. In questo caso f e definita in x0 = n e si ha
limx→n+
f(x) = 0 = f(n), limx→n−
f(x) = 1.
Analogamente, f(x) = [x] ha una discontinuita di prima specie in tutti ipunti con ascissa intera.
2. Sia f(x) = arctan1x
, definita per x 6= 0. In questo caso x0 = 0 e unpunto di discontinuita di prima specie. Infatti, tenendo presente l’esempio6.3.6.4, si ha
limx→0−
arctan1x
= −π
2, lim
x→0+arctan
1x
=π
2.
-π/2
π/2
f(x) = arctan1x
7.8. Punti di discontinuita 189
La quantita limx→x0+ f(x)− limx→x0− f(x) si chiama anche salto della funzionein x0.
7.8.2 Discontinuita di seconda specie
Definizione 7.8.5 Sia f : (a, x0) ∪ (x0, b) → R. Si dice che x0 e un punto didiscontinuita di seconda specie se almeno uno dei due limiti
limx→x0−
f(x), limx→x0+
f(x)
non esiste o non e finito.
Anche in questo caso non e richiesto che la funzione sia definita in x0.
Esempi 7.8.6
1. La funzione f(x) = 1/x, definita per x 6= 0, ha in x0 = 0 un punto didiscontinuita di seconda specie. Infatti
limx→0−
1x
= −∞, limx→0+
1x
= +∞.
2. Sia f(x) = e1/x, definita per x 6= 0. Si ha
limx→0−
e1/x = 0, limx→0+
e1/x = +∞.
Il punto x0 = 0 e un punto di discontinuita di seconda specie
3. Sia f(x) = sin1x
, definita per x 6= 0. Si ha, per ogni intero n,
f
(1
nπ
)= 0 (n 6= 0), f
(2
π(4n + 1)
)= 1, f
(2
π(4n− 1)
)= −1.
Per il Teorema 6.6.1 la funzione non ammette limite ne per x → 0+, neper x → 0−. La figura successiva illustra il comportamento di f(x) in unintorno di 0.
4. Sia
f(x) ={
x se x e razionale−x se x e irrazionale.
Questa funzione e continua solo in x0 = 0. Ogni altro punto e un puntodi discontinuita di seconda specie.
La definizione precdente si adatta al caso in cui x0 sia uno degli estremi. Sef : (a, b) → R e tale che limx→a+ f(x) non esiste o e infinito, diremo ancora chea e un punto di discontinuita di seconda specie. Analoga definizione vale se ladiscontinuita e nell’estremo destro.
Ad esempio, la funzione f(x) = sin 1/x1/2, definita per x > 0, ha in x0 =0 una discontinuita di seconda specie. Il suo comportamento per valori di xpositivi e prossimi a 0 e oscillatorio e ricorda quello di sin 1/x.
190 7. Continuita
1/π1/2π
f(x) = sin1x
7.8.3 Discontinuita eliminabili
Definizione 7.8.7 Sia f : (a, x0) ∪ (x0, b) → R. Si dice che x0 e un punto didiscontinuita eliminabile se si verifica uno dei due seguenti casi:
a) f non e definita in x0 ma esiste finito il limite
limx→x0
f(x) = `; (7.8.8)
b) f e definita in x0, esiste finito il limite (7.8.8), ma
limx→x0
f(x) = ` 6= f(x0).
Esempi 7.8.9
1. Sia f(x) =sin x
x, definita per x 6= 0. Si ha
limx→0
sin x
x= 1.
Il punto x0 = 0 e un punto di discontinuita eliminabile per f .
2. Sia f(x) = e−1/x2, definita per x 6= 0. Poiche −1/x2 → −∞ per x → 0, si
halimx→0
e−1/x2= 0.
Il punto x0 = 0 e un punto di discontinuita eliminabile per f .
3. Negli esempi precedenti l’espressione analitica di f(x) non e definita in x0.Sia ora
f(x) = mant(1− x2
),
7.8. Punti di discontinuita 191
funzione definita per ogni x. Se 0 < |x| < 1, si ha 0 < (1 − x2) < 1 equindi mant
(1− x2
)= 1− x2.
Se x = 0 si ha mant(1− x2
)= mant 1 = 0. Ne segue
limx→0
mant(1− x2
)= lim
x→0
(1− x2
)= 1 6= mant 1.
Il punto x0 = 0 e un punto di discontinuita eliminabile per f(x).
Se f ha in x0 un punto di discontinuita eliminabile, si puo definire, o ridefini-re, f(x) in x0 ponendo f(x0) = `. Si ottiene in tal modo una funzione continuain x0. Si dice in tal caso che la funzione e stata prolungata per continuita in x0.
Ad esempio la funzione
f(x) =
sinx
xse x 6= 0
1 se x = 0
e prolungata per continuita in x0 = 0.La definizione precedente si adatta anche al caso in cui x0 sia un estre-
mo di un intervallo in cui f e definita. Sia f : (x0, b) → R. Diciamo che fha una discontinuita eliminabile in x0 se si verificano a) o b) della definizione7.8.7, sostituendo a limx→x0 f(x) il limite dalla destra limx→x0+ f(x). Analogadefinizione vale se la discontinuita e nell’estremo destro.
Esempi 7.8.10
1. La funzionef(x) = mant
(1−√x
),
definita per x ≥ 0, ha una discontinuita eliminabile in x0 = 0. Infatti
limx→0+
mant(1−√x
)= lim
x→0+
(1−√x
)= 1 6= mant 1 = 0.
2. La funzionef(x) = x log x,
definita per x > 0, ha una discontinuita eliminabile in x0 = 0. Infatti siha
limx→0+
x log x = 0.
In questo caso si pone f(0) = 0. La funzione risulta cosı prolungata percontinuita in 0.
192 7. Continuita
1
1
f(0)=0
y=mant(1-x1/2)
f(x) = mant (1−√x), 0 ≤ x < 1
y=xlogx
1
f(x) = x log x in prossimita di 0
7.9 Funzioni monotone
Definizione 7.9.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R. Si dice che lafunzione e:
a) monotona crescente in senso lato, o non decrescente, in I se
∀x, y ∈ I x < y =⇒ f(x) ≤ f(y)
b) monotona crescente in senso stretto in I se
∀x, y ∈ I x < y =⇒ f(x) < f(y)
c) monotona decrescente in senso lato, o non crescente, in I se
∀x, y ∈ I x < y =⇒ f(x) ≥ f(y)
7.9. Funzioni monotone 193
d) monotona decrescente in senso stretto in I se
∀x, y ∈ I x < y =⇒ f(x) > f(y)
Esempi 7.9.2
1. Consideriamo le due funzioni, definite in R, f(x) = x e g(x) = [x]. Laprima funzione e ovviamente monotona crescente in senso stretto. Laseconda e monotona crescente in senso lato, ma non in senso stretto.
2. La funzione f(x) = sgn x (segno di x) e monotona crescente in senso lato,ma non in senso stretto in R.
3. La funzione f(x) = x3 e monotona crescente in senso stretto in R. Lafunzione f(x) = x2 e monotona decrescente in senso stretto in (−∞, 0], emonotona crescente in senso stretto in [0, +∞).
4. La funzione f(x) = 1/x e monotona decrescente in senso stretto sia in(−∞, 0) che in (0, +∞).
5. L’esponenziale ax = ex log a e monotona crescente in senso stretto in R sea > 1, monotona decrescente in senso stretto se 0 < a < 1.
Chiaramente una funzione f(x) e monotona crescente in I, in senso strettoo lato, se e solo se −f(x) e monotona decrescente in senso stretto o lato in I.
Teorema 7.9.3 Sia f : (a, b) → R (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) monotona. Alloraesistono i limiti di f(x) per x → a+ e x → b−. Precisamente:
a) se f e monotona non decrescente, allora
limx→a+
f(x) = infx∈(a,b)
f(x), limx→b−
f(x) = supx∈(a,b)
f(x).
b) se f e monotona non crescente, allora
limx→a+
f(x) = supx∈(a,b)
f(x), limx→b−
f(x) = infx∈(a,b)
f(x).
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare il Teorema nel caso in cui a e bsono numeri reali. Le modificazioni da apportare sono ovvie nel caso in cui unoo ambedue gli estremi siano infiniti.
a) Sia f non decrescente e dimostriamo che limx→b− f(x) = supx f(x).Se supx f(x) = +∞, fissato N > 0 esiste x0 tale che f(x0) > N . Posto x0 = b−δ,la monotonia implica che per ogni x, tale che x0 = b− δ < x < b, si abbia
f(x) ≥ f(x0) > N,
194 7. Continuita
da cui la tesi.Se supx f(x) = L < +∞, fissato ε > 0 esiste x0 tale che f(x0) > L−ε. Posto
x0 = b− δ, la monotonia implica che per ogni x, tale che x0 = b− δ < x < b, siabbia
L− ε < f(x0) ≤ f(x) ≤ L.
La dimostrazione per x → a+ e analoga.b) Poiche −f(x) e non crescente se e solo se f(x) e non decrescente, b)
segue da a).La funzione dell’esempio 7.8.6.4 ha un’infinita non numerabile di punti di di-
scontinuita ed essi sono di seconda specie. Per le funzioni monotone la situazionee differente.
Teorema 7.9.4 Sia f : (a, b) → R (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) monotona. Allora fha al piu una infinita numerabile di punti di discontinuita ed essi sono tutti diprima specie.
Dimostrazione. Dimostriamo dapprima che le discontinuita di una funzionemonotona sono di prima specie.
Supponiamo, per fissare le idee, che f sia non decrescente. Sia x0 ∈ (a, b) unpunto di discontinuita. Poiche f(x) e monotona non decrescente sia in (a, x0)che in (x0, b), esistono finiti i limiti per x → x0− che per x → x0+. Poniamo
`1 = limx→x0−
f(x), `2 = limx→x0+
f(x). (7.9.5)
Per ogni x, y tali che x < x0 < y si ha f(x) ≤ f(x0) ≤ f(y). Passando al limiteper x che tende x0− e y che tende a x0+, si ottiene
`1 ≤ f(x0) ≤ `2. (7.9.6)
I limiti sono diversi tra loro, altrimenti
`1 = f(x0) = `2,
il che implicherebbe la continuita di f in x0 (Teorema 7.8.1).Dimostriamo ora che l’insieme dei punti di discontinuita e al piu numerabile.
Sia x0 un punto di discontinuita e consideriamo l’intervallo aperto (`1, `2), ove`1 e `2 sono come in (7.9.5).
Sia x′0 > x0 un altro punto di discontinuita e sia (`′1, `′2) l’analogo intervallo.
Evidentemente `1 < `2 ≤ `′1 < `′2. Quindi
(`1, `2) ∩ (`′1`′2) = ∅. (7.9.7)
Associamo a ogni punto x0 di discontinuita un numero razionale r(x0) ∈ (`1, `2).Per (7.9.7), a punti di discontinuita diversi corrispondono razionali diversi.Quindi l’insieme dei punti di discontinuita e in corrispondenza biunivoca conun sottoinsieme dei razionali. Tale sottoinsieme e finito o numerabile per ilTeorema 2.6.3.
7.9. Funzioni monotone 195
Osservazione. Se f e definita in un intervallo chiuso o semichiuso, leeventuali discontinuita agli estremi sono eliminabili.
Sia ad esempio f : [a, b) → R monotona non decrescente. Se x0 = a e unpunto di discontinuita, per il Teorema 7.9.3 esiste limx→a+ f(x). Tale limitedeve essere finito, poiche f(x) ≥ f(a), e diverso da f(a). Quindi
limx→a+
f(x) = ` > f(a).
Chiaramente un analogo ragionamento vale se x0 = b o se f e monotona noncrescente.
l 1
l 2
l' 1
l' 2=f(x' 0)
x0 x' 0
f(x 0)
a
f(a)
b
Discontinuita di una funzione monotona in [a, b)
Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R una funzione continua, che sup-poniamo non costante. L’immagine J = f(I) e un intervallo, per il Teoremadi Darboux. Se, oltre che continua, f e strettamente monotona, crescente odecrescente, allora f e chiaramente una applicazione biunivoca di I su J . Valeanche la proprieta inversa.
Teorema 7.9.8 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R una applicazionecontinua in I. Sia J = f(I). Se f applica biunivocamente I su J allora f estrettamente monotona.
Dimostrazione. Supponiamo dapprima I = [a, b]. Sia, per fissare le idee,f(a) < f(b). Dimostriamo che f e monotona strettamente crescente.
Sia x tale che a < x < b. Se, per assurdo, f(x) < f(a), avremmo f(x) <f(a) < f(b). Per il Teorema dei valori intermedi dovrebbe esistere x0 ∈ (x, b)tale che f(x0) = f(a), negando la biunivocita. Quindi deve essere f(a) < f(x).In modo analogo si dimostra che f(x) < f(b). Quindi
f(a) < f(x) < f(b).
Sia ora y tale che x < y < b. Applicando lo stesso ragionamento all’intervallo[x, b], otteniamo che f(x) < f(y) < f(b). Quindi f e monotona crescente insenso stretto.
196 7. Continuita
Sia ora I un intervallo di tipo qualunque e siano a < b due punti di I.Supponiamo, per fissare le idee, f(a) < f(b). La restrizione di f a [a, b] eancora continua e biunivoca tra [a, b] e f([a, b]) e quindi e monotona strettamentecrescente. Per lo stesso motivo, dati due punti x ≤ a < b ≤ y, la restrizione dif a [x, y] ⊇ [a, b] e strettamente monotona, e necessariamente crescente, datoche f(a) < f(b). Quindi deve essere f(x) < f(y) per ogni x < y.
Il Teorema appena dimostrato, assieme all’osservazione che lo precede,caratterizza le funzioni continue e iniettive definite in un intervallo di R.
7.10 Continuita della funzione inversa
Dati due spazi metrici (X1, d1), (X2, d2) e una funzione continua e biunivocaf : X1 → X2, la funzione inversa f−1 : X2 → X1 non e necessariamentecontinua (si veda l’appendice per un controesempio). Tuttavia, i risultati delprecedente paragrafo permettono di dimostrare la continuita di f−1 se X1 e X2
sono intervalli reali. Iniziamo con un Lemma.
Lemma 7.10.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R una funzione stretta-mente monotona. Allora f(I) e un intervallo se e solo se f e continua.
Dimostrazione. Se f e continua allora f(I) e un intervallo, per il Teorema diDarboux. Viceversa, supponiamo che f(I) sia un intervallo e supponiamo, perassurdo, che x0 ∈ I sia un punto di discontinuita. Ragioniamo nel caso in cui x0
sia interno a I, poiche la dimostrazione si adatta facilmente al caso in cui x0 siaun estremo di I. Supponiamo anche, per fissare le idee, che f sia strettamentecrescente.
Per il Teorema 7.9.4, x0 e un punto di discontinuita di prima specie. Poniamoquindi
`1 = limx→x0−
f(x) < limx→x0+
f(x) = `2.
Per ogni x1 < x0 < x2 si ha
f(x1) < `1 ≤ f(x0) ≤ `2 < f(x2).
Possiamo quindi concludere che:
a) [`1, `2] ⊂ [f(x1), f(x2)];
b) [`1, `2] non e contenuto in f(I), poiche f(x0) e l’unico valore della funzioneappartenente a [`1, `2].
D’altra parte, f(I) e un intervallo e quindi [f(x1), f(x2)] ⊆ f(I), in con-traddizione con a) e b).
Se f non e monotona, puo accadere che f(I) sia un intervallo anche se f none continua. Ad esempio f(x) = mantx non e continua in R, ma f (R) = [0, 1).
7.11. Appendice 197
Teorema 7.10.2 Siano I e J intervalli in R. Sia f : I → J continua in I ebiunivoca. Allora la funzione inversa f−1 : J → I e continua in J .
Dimostrazione. Per il Teorema 7.9.8 f e strettamente monotona. Allora anchef−1 e strettamente monotona. Infatti sia, per fissare le idee, f strettamentecrescente e sia y1 = f(x1) < y2 = f(x2). Allora non puo essere x1 = f−1(y1) ≥x2 = f−1(y2), altrimenti si avrebbe f(x1) ≥ f(x2).
Poiche f−1(J) = I e un intervallo, la continuita di f−1 segue dal Lemmaprecedente.
Come conseguenza di questo Teorema sono continue in ogni punto del loroinsieme di definizione le funzioni
arctan x, arcsin x, arccosx.
7.11 Appendice
7.11.1 Continuita della funzione inversa in spazi metrici
Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia f : X1 → X2 continua e biunivoca.La funzione inversa f−1 : X2 → X1 non e necessariamente continua. Sia adesempio
X1 = [0, 2π) e X2 ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}
ambedue dotati della metrica euclidea indotta. Sia, per ogni θ ∈ [0, 2π),
f(θ) = (cos θ, sin θ) .
La funzione f applica biunivocamente X1 su X2 ed e continua, poiche ambeduele coordinate lo sono. La funzione inversa associa ad ogni vettore (x, y) dellacirconferenza trigonometrica l’angolo θ ∈ [0, 2π) formato (in senso antiorario)dall’asse delle ascisse con il vettore stesso. Tale funzione non e continua in (0, 0).Infatti, data una successione (xn, yn) ∈ X2 convergente a (0, 0), i corrispondentiangoli θn convergono a 0 se yn > 0, mentre convergono a a 2π se yn < 0.
Se X1 e compatto si puo tuttavia dimostrare la continuita di f−1.
Teorema 7.11.1 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia f : X1 → X2
continua e biunivoca. Se X1 e compatto, allora f−1 e continua.
Dimostrazione. Per il Corollario 7.3.3 applicato a f−1, basta dimostrare che,per ogni chiuso F ⊆ X1, la controimmagine
(f−1
)−1(F ) = f(F )
e chiusa in X2. Poiche X1 e compatto e F ⊆ X1 e chiuso, F e compatto. Perla continuita di f l’immagine f(F ) e compatta e quindi chiusa.
198 7. Continuita
7.11.2 Uniforme continuita. Funzioni lipschitziane e holderiane.
Come abbiamo notato, il Teorema di Heine–Cantor fornisce una condizionesufficiente, ma non necessaria, per l’uniforme continuita. Un’altra condizionesufficiente e la condizione di Lipschitz.
Definizione 7.11.2 Siano (X1, d1) e (X2, d2) spazi metrici e sia f : X1 → X2.Si dice che f soddisfa la condizione di Lipschitz (o che e lipschitziana) se esisteuna costante K > 0 tale che per ogni x, y ∈ X1 si abbia
d2 (f(x), f(y)) ≤ Kd1(x, y). (7.11.3)
Una funzione lipschitziana f e anche uniformemente continua. Infatti, fissatoε > 0, basta scegliere δ < ε/K perche ogni coppia di punti x, y ∈ X1, aventi traloro distanza minore di δ, verifichi d2 (f(x), f(y)) < ε.
Abbiamo visto nel paragrafo 7.6 che la funzione log(1 + x) e lipschitzianain [1,+∞). Diamo altri, esempi limitandoci per semplicita a funzioni a valorireali.
Esempi 7.11.4
1. Sia f : R2 → R un polinomio di primo grado, cioe della forma
f(x, y) = ax + by + c
ove a, b, c sono costanti. Si ha, per ogni coppia di punti (x, y) e (x0, y0),
|f(x, y)− f(x0, y0)| ≤ |a| |x− x0|+ |b| |y − y0|≤ (|a|+ |b|) ‖(x, y)− (x0, y0)‖ .
Quindi (7.11.3) vale con K = |a|+ |b|.2. Sia f(x) = sin x. Si ha
|sin x− sin y| = 2∣∣∣∣cos
(x + y
2
)∣∣∣∣∣∣∣∣sin
(x− y
2
)∣∣∣∣
≤ 2∣∣∣∣sin
x− y
2
∣∣∣∣ ≤ |x− y| .
Quindi sin x e lipschitziana in R.
Una generalizzazione della condizione di Lipschitz e la condizione di Holder.Ci limitiamo per semplicita al caso reale.
Definizione 7.11.5 Sia f : (a, b) → R. Sia α un numero reale, 0 < α ≤ 1. Sidice che f soddisfa la condizione di Holder di ordine α (o che e α–holderiana)se esiste una costante K > 0 tale che per ogni x, y ∈ (a, b) si abbia
|f(x)− f(y)| ≤ K |x− y|α . (7.11.6)
7.11. Appendice 199
-1Una funzione α–holderiana e uniformemente continua. Infatti, fissato ε >
0, basta scegliere δ < (ε/K)1/α perche ogni coppia di punti x, y ∈ (a, b), aventitra loro distanza minore di δ, verifichi |f(x)− f(y)| < ε.
Un esempio di funzioni che soddisfano la condizione di Holder di ordine αin R e fornito dalle funzioni f(x) = |x|α, con 0 < α ≤ 1. Per dimostrare cio,osserviamo innanzi tutto che per ogni 0 ≤ t ≤ 1 vale la diseguaglianza
(1 + t)α ≤ 1 + t ≤ 1 + tα. (7.11.7)
Siano ora x e y reali, non entrambi nulli, e supponiamo ad esempio |x| ≥ |y|. Siha, applicando (7.11.7) con t = |y|/|x|,
|x + y|α ≤ (|x|+ |y|)α = |x|α(1 +
∣∣∣yx
∣∣∣)α
≤ |x|α(1 +
∣∣∣yx
∣∣∣α)
= |x|α + |y|α .
Quindi|x|α = |x− y + y|α ≤ |x− y|α + |y|α ,
da cui |x|α − |y|α ≤ |x− y|α. Scambiando i ruoli di x e y si ha |y|α − |x|α ≤|x− y|α e quindi
||x|α − |y|α| ≤ |x− y|α .
Quindi (7.11.6) vale con K = 1.
Il prodotto di funzioni uniformemente continue non e in generale unifor-memente continuo. Infatti, f(x) = x e uniformemente continua in R, mentref(x)f(x) = x2 non lo e. Questo esempio mostra anche che il prodotto di fun-zioni lipschitziane in generale non e lipschitziano. Tuttavia, la composizione difunzioni uniformemente continue e uniformemente continua.
Teorema 7.11.8 Siano (X1, d1), (X2, d2) e (X3, d3) spazi metrici. Sia f :X1 → X2 uniformemente continua e g : X2 → X3 uniformemente continua.Allora g ◦ f e uniformemente continua.
Dimostrazione. Per ogni ε > 0 esiste σ > 0 tale che per ogni y1, y2 ∈ X2, taliche d2(y1, y2) < σ, si abbia
d2(g(y1), g(y2)) < ε.
Per ogni σ > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x1, x2 ∈ X1, tali che d1(x1, x2) < δ,si abbia
d2(f(x1), f(x2)) < σ.
Quindi, da d1(x1, x2) < δ segue
d3 (g(f(x1)), g(f(x2)) < ε.
Capitolo 8
Calcolo differenziale
8.1 Introduzione
Il problema della determinazione della tangente geometrica ad una curva pia-na condusse Newton e Leibniz a formulare i concetti fondamentali del calcolodifferenziale nella seconda meta del secolo XVII. Un secolo e mezzo dopo, LouisAugustin Cauchy preciso la definizione di derivata mediante la nozione di limite,da lui formulata nel 1823.
Sia f : (a, b) → R e sia x0 ∈ (a, b). Sia x0 + h, con h 6= 0, un altro punto di(a, b). Si chiama rapporto incrementale della funzione f , con punto iniziale x0
e incremento h della variabile indipendente, la quantita
f(x0 + h)− f(x0)h
. (8.1.1)
Il significato geometrico del rapporto incrementale e evidente: esso costituisceil coefficiente angolare della retta passante per i punti del piano di coordinate(x0, f(x0)) e (x0 + h, f (x 0 + h)). Tale retta e chiamata retta secante al graficodella funzione. Per ogni h fissato, la secante ha equazione
y = f(x0) +f(x0 + h)− f(x0)
h(x− x0) . (8.1.2)
Se la funzione e derivabile (secondo la definizione che verra precisata tra poco),al tendere di h a 0 il punto (x0 + h, f (x 0 + h)) tende al punto ( x0, f(x0)) ela retta secante ruota attorno al punto fisso ( x0, f(x0)), tendendo a disporsi inuna posizione limite, che e appunto la tangente geometrica al grafico di f in(x0, f(x0)).
Da un punto di vista geometrico il rapporto incrementale rappresenta quindila pendenza della retta secante. Da un punto di vista analitico esso rappresentala velocita media (o il tasso medio) di variazione della quantita f(x) nell’inter-vallo [x0, x0 + h] (o [x0 + h, x0], se h < 0). Qualora la funzione rappresentiuna quantita fisica, il rapporto incrementale e la velocita media di variazionedi questa quantita. Se, ad esempio, f(x) rappresenta lo spazio percorso da unpunto mobile su una retta al tempo x, il rapporto incrementale rappresenta la
201
202 8. Calcolo differenziale
velocita media del punto nell’intervallo di tempo suddetto. Se f(x) rappresentala quantita di carica elettrica che passa per una sezione di filo ad un certo tempox, il rapporto incrementale rappresenta l’intensita media di corrente etc.
x0 x0+h
f(x0)
f(x0+h) P
Q
R
retta secante
retta tangente
Retta secante e retta tangente
8.2 Derivata e differenziale
Definizione 8.2.1 Sia f : (a, b) → R e sia x0 ∈ (a, b). Si dice che la funzionee derivabile in x0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale per h → 0.Tale limite si indica con f ′(x0) e si chiama derivata di f in x0.
Si ha dunque, se f e derivabile in x0,
f ′(x0) = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)h
. (8.2.2)
Posto x = x0 + h, il rapporto incrementale assume la forma equivalente
f(x)− f(x0)x− x0
(8.2.3)
per ogni x ∈ (a, b) e x 6= x0. Chiaramente, la relazione h → 0 equivale allarelazione x → x0. Quindi (8.2.2) equivale a
f ′(x0) = limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
. (8.2.4)
Nel seguito useremo indifferentemente l’espressione (8.2.2) o la (8.2.4). Altrisimboli per denotare la derivata della funzione y = f(x) in x0 sono i seguenti:
Df(x0),df
dx(x0),
dy
dx(x0), y′(x0). (8.2.5)
Le funzioni elementari dell’analisi sono derivabili in tutti i punti del loro insiemedi definizione, eccetto al piu punti isolati, come vedremo piu avanti.
8.2. Derivata e differenziale 203
Il significato geometrico della derivata appare evidente dalle considerazionisvolte nel primo paragrafo. Se il rapporto incrementale tende a un limite finito,il coefficiente angolare della secante tende al coefficiente angolare di una rettache interpreteremo come retta tangente al grafico in (x0, f(x0)).
Definizione 8.2.6 Sia f : (a, b) → R derivabile in x0 ∈ (a, b). Si chiama rettatangente al grafico della funzione in (x0, f(x0)) la retta
y = f(x0) + f ′ (x0) (x− x0).
Sia ad esempio f(x) = x2 e sia x0 un punto qualunque di R. Si ha
f(x0 + h)− f(x0)h
=(x0 + h)2 − x2
0
h=
2x0h + h2
h= 2x0 + h.
Passando al limite per h → 0 si ottiene f ′(x0) = 2x0. La tangente alla parabolain
(x0, x
20
)ha dunque equazione
y = x20 + 2x0(x− x0).
Dal punto di vista analitico, la derivata rappresenta la velocita istantaneadi variazione di f(x) in x0. Ad esempio, se f e la legge del moto di un puntosu una retta, f ′(x0) rappresenta la velocita istantanea del punto al tempo x0.Se f(x) rappresenta la quantita di carica elettrica che passa per una sezione difilo ad un certo tempo x, f ′(x0) rappresenta l’intensita istantanea di correnteal tempo x0.
La derivata destra e la derivata sinistra in punto x0 si definiscono in modonaturale.
Definizione 8.2.7 Sia f : [x0, b) → R (oppure f : (a, x0] → R). Si dice che fe derivabile dalla destra in x0 (rispettivamente, dalla sinistra) se esiste finito illimite
limh→0+
f(x0 + h)− f(x0)h
(rispettivamente, limh→0−
f(x0 + h)− f(x0)h
).
(8.2.8)
Tali limiti vengono chiamati rispettivamente derivata destra e derivata sini-stra di f in x0, e vengono denotati con uno dei simboli
f ′+(x0), D+f(x0) per la derivata destraf ′−(x0), D−f(x0) per la derivata sinistra
o con simboli analoghi a quelli in (8.2.5). I due rapporti incrementali in (8.2.8)vengono chiamati rapporto incrementale destro e sinistro, rispettivamente.
E altresı chiaro che f : (a, b) → R e derivabile in x0 ∈ (a, b) se e solo se ederivabile dalla destra e dalla sinistra e
D+f(x0) = D−f(x0) = Df(x0).
204 8. Calcolo differenziale
Se f e derivabile dalla destra in x0 si dice semitangente destra al grafico in( x0, f(x0)) la semiretta
y = f(x0) + f ′+(x0)(x− x0), x ≥ x0.
Analoga definizione sussiste per la semitangente sinistra.
Definizione 8.2.9 Sia f : (a, b) → R. Diciamo che f e derivabile in (a, b) sef e derivabile in ogni punto x ∈ (a, b).
Sia f : [a, b] → R. Diciamo che f e derivabile in [a, b] se f e derivabile inogni punto interno ed esiste la derivata destra in a e la derivata sinistra in b.
Se f e derivabile in un intervallo I, la funzione che associa ad ogni x ∈ Ila derivata f ′(x) viene chiamata funzione derivata. Ad esempio, abbiamo vistoche f(x) = x2 e derivabile in R e che la sua funzione derivata e f ′(x) = 2x.
La nozione di derivabilita in un punto e piu forte di quella di continuita. Siha infatti il seguente risultato.
Teorema 8.2.10 Sia f : [a, b] → R e sia x0 ∈ [a, b]. Se f e derivabile in x0,allora f e continua in x0.
Dimostrazione. Poiche
limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
= f ′(x0),
si haf(x)− f(x0)
x− x0= f ′(x0) + o(1).
Moltiplicando ambo i lati di questa eguaglianza per (x− x0) si ottiene
f(x)− f(x0) = (x− x0) f ′(x0) + (x− x0) o(1) (8.2.11)
Al tendere di x a x0 il termine a destra in (8.2.11) tende a 0 e quindi f(x) →f(x0) per x → x0.
Osservazion¿. La derivabilita di f in un punto implica la continuita in quelpunto, ma non vale l’implicazione inversa. Ad esempio, la funzione f(x) = |x|e continua in x0 = 0 ma non e ivi derivabile. Infatti si ha
f(x)− f(0)x
=|x|x
={
1 per x > 0−1 per x < 0 (8.2.12)
La funzione non e derivabile in 0 perche
1 = D+f(0) 6= D−f(0) = −1.
Se f : [a, b] → R e una funzione derivabile in x0 ∈ [a, b], allora vale larelazione (8.2.11). Poiche
(x− x0) o(1) = o (x− x0)
8.3. Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi 205
la formula (8.2.11) si riscrive come
f(x)− f(x0) = (x− x0) f ′(x0) + o (x− x0) . (8.2.13)
Questa formula assume il nome di prima formula dell’incremento finito. Essaesprime l’incremento della funzione, al passaggio della variabile indipendenteda x0 a x, come somma di due termini. Il primo termine e funzione linearedell’incremento (x− x0), il secondo e un infinitesimo di ordine superiore rispettoa (x− x0).
Riscrivendo la (8.2.13) come
f(x) = f(x0) + (x− x0) f ′(x0) + o (x− x0) ,
vediamo che, in un intorno di x0, f(x) e approssimata dall’ordinata della tan-gente al grafico a meno di un infinitesimo di ordine superiore.
Con riferimento alla figura del primo paragrafo, l’incremento della funzionee la lunghezza del segmento RP , il termine lineare (x− x0) f ′(x0) e la lunghezzadel segmento RQ e o (x− x0) e la lunghezza del segmento QP .
Poniamodf = (x− x0) f ′(x0).
La quantita df si chiama il differenziale di f in x0 relativo all’incremento(x− x0).
Nel simbolismo di Leibniz, gli incrementi ‘infinitesimi’ di una variabile, di-pendente o indipendente, venivano indicati con la lettera d. Quindi df per l’in-cremento ‘infinitesimo’ della funzione, dx per l’incremento ‘infinitesimo’ della x.Il differenziale diventa
df = f ′(x0)dx,
da cui la notazionedf
dxper la derivata.
8.3 Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi
Abbiamo definito la derivata in x0 come limite finito del rapporto incrementale.Questo implica che la tangente al grafico in (x0, f(x0)) ha coefficiente angolarefinito e quindi non puo avere equazione x = x0. Completiamo la definizione ditangente al grafico includendo il caso in cui il limite del rapporto incrementalee infinito.
Definizione 8.3.1 Sia f : (a, b) → R e sia f continua in x0 ∈ (a, b). Si diceche il grafico di f ha in (x0, f (x0)) tangente verticale (o che x0 e un punto ditangente verticale) se si verifica una delle due relazioni:
limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
= +∞ oppure limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
= −∞. (8.3.2)
In tal caso la retta x = x0 si chiama tangente al grafico di f in (x0, f (x0)).
206 8. Calcolo differenziale
Si noti che nella definizione precedente si richiede a priori che f sia continuain x0. In questo modo si escludono casi come quello di sign x, che ha in x0 = 0una discontinuita di prima specie ed e tale che il rapporto incrementale conpunto iniziale 0 tende a +∞.
Esempi 8.3.3
1. Sia f(x) = 3√
x e sia x0 = 0. Si ha, per x → 0,
f(x)− f(x0)x− x0
=3√
x
x=
13√
x2→ +∞.
2. Sia f(x) = x log |x|, ove la funzione e prolungata per continuita in x = 0ponendo f(0) = 0. Per x → 0 si ha
f(x)− f(0)x
= log |x| → −∞.
In ambedue gli esempi precedenti la retta x = 0 e la tangente verticale in(0, 0).
Sottolineiamo il fatto che, nel caso in cui valga (8.3.2), la funzione none derivabile in x0. La derivabilita equivale al fatto che il limite del rapportoincrementale e finito.
Tangente verticale in (0, 0)
Se f : [x0, b) → R (oppure f : (a, x0] → R) e se il rapporto incrementaledestro (rispettivamente, sinistro) tende a +∞ o a −∞, diremo che la semirettax = x0, y ≥ y0, e la semitangente verticale destra (rispettivamente, sinistra)al grafico in (x0, f(x0)). Ad esempio, la funzione y =
√x, definita per x ≥ 0,
ammette il semiasse positivo delle ordinate come semitangente verticale destrain (0, 0). Si ha infatti
limx→0+
√x
x= lim
x→0+
1√x
= +∞.
Definizione 8.3.4 Sia f : (a, b) → R e sia x0 ∈ (a, b). Si dice che il graficodi f ha in (x0, f (x0)) un punto angoloso (o che x0 e un punto angoloso) se siverifica uno dei seguenti casi:
8.3. Tangente verticale, punti angolosi, cuspidi 207
a) esistono f ′+ (x0) e f ′− (x0) ed esse sono diverse tra loro;
b) f e continua in x0, esiste f ′+ (x0) e il rapporto incrementale sinistro tendea +∞ o a −∞;
c) f e continua in x0, esiste f ′− (x0) e il rapporto incrementale destro tende a+∞ o a −∞.
In un punto angoloso le semitangenti destra e sinistra esistono e formano unangolo non piatto e non nullo.
Definizione 8.3.5 Sia f : (a, b) → R continua in x0 ∈ (a, b). Si dice che ilgrafico di f ha in (x0, f (x0)) una cuspide (o che x0 e un punto di cuspide) se
limx→x0−
f(x)− f(x0)x− x0
= +∞ e limx→x0+
f(x)− f(x0)x− x0
= −∞,
oppure
limx→x0−
f(x)− f(x0)x− x0
= −∞ e limx→x0+
f(x)− f(x0)x− x0
= +∞.
In una cuspide le semitangenti destra e sinistra sono ambedue verticali e formanoun angolo nullo.
y=-xπ/2 y=xπ/2
Le funzioni f(x) = x arctan 1x e f(x) = |x|
Esempi 8.3.6
1. Sia f(x) = |x| e sia x0 = 0. Il punto x0 = 0 e angoloso. Infatti, abbiamovisto in (8.2) che f ′+ (0) = 1 e f ′− (0) = −1. Le semitangenti destra esinistra sono le semirette y = x, con x ≥ 0, e y = −x, con x ≤ 0.
2. Sia
f(x) =
{x arctan
1x
per x 6= 0
0 per x = 0
Questa funzione e ottenuta prolungando per continuita x arctan1x
in x0 =0. Il punto x0 = 0 e angoloso. Infatti
f(x)− f(0)x
= arctan1x→ ±π
2per x → 0± .
Quindi f ′+ (0) = π/2 e f ′− (0) = −π/2. Le semitangenti destra e sinistrasono le semirette y = xπ/2, con x ≥ 0, e y = −xπ/2, con x ≤ 0.
208 8. Calcolo differenziale
3. Sia f(x) definita come
f(x) ={
x per x ≤ 0√x per x > 0
Questa funzione presenta un punto angoloso in x0 = 0. Si ha infatti
f(x)− f(0)x
=
1 per x < 01√x
per x > 0
In questo caso f ′− (0) = 1, mentre il rapporto incrementale destro tende a+∞. La semitangente destra e la semiretta x = 0, con y ≥ 0, mentre lasemitangente sinistra e la semiretta y = x, con x ≤ 0.
4. Sia f(x) =√|x|. Il punto x0 = 0 e di cuspide. Infatti
f(x)− f(0)x
=
1√x
per x > 0
− 1√−xper x < 0
Ne segue
limx→0+
f(x)− f(0)x
= +∞
limx→0−
f(x)− f(0)x
= −∞
y=x1/2
y=x cuspidenell'origine
8.4 Regole di derivazione
Teorema 8.4.1 Siano f e g due funzioni definite in [a, b] a valori in R, de-rivabili in x0 ∈ [a, b]. Siano c1 e c2 costanti. Allora sono derivabili in x0 lefunzioni
c1f + c2g, f · g, f
g(g(x) 6= 0) .
8.4. Regole di derivazione 209
Si ha
(c1f + c2g)′ (x0) = c1f′(x0) + c2g
′(x0)
(f · g)′ (x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)(f
g
)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)g(x0)2
Dimostrazione. Iniziamo dalla somma. Si ha, per x → x0,
f(x) + g(x)− f(x0)− g (x0)x− x0
=f(x)− f(x0)
x− x0+
g(x)− g(x0)x− x0
→ f ′(x0)+g′(x0).
Ora la derivata del prodotto. Si ha, aggiungendo e sottraendo f(x0)g(x),
f(x)g(x)− f(x0)g (x0)x− x0
=f(x)− f(x0)
x− x0g(x) + f(x0)
g(x)− g(x0)x− x0
.
Poiche g e derivabile in x0, essa e ivi continua. Quindi g(x) → g(x0) per x → x0.Ne segue, per x → x0,
f(x)− f(x0)x− x0
g(x) → f ′(x0)g(x0)
f(x0)g(x)− g(x0)
x− x0→ f(x0)g′(x0).
Mediante una simile manipolazione dimostriamo la formula per la derivata delquoziente. Si ha
1x− x0
(f(x)g(x)
− f(x0)g(x0)
)=
1x− x0
f(x)g(x0)− f(x0)g (x)g(x)g(x0)
Come prima si ha g(x) → g(x0) per x → x0, poiche g e continua in x0. Quindig(x)g(x0) → g(x0)2. Inoltre si ha, per x → x0,
f(x)g(x0)− f(x0)g (x)x− x0
=f(x)− f(x0)
x− x0g(x0)− f(x0)
g(x)− g(x0)x− x0
→ f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0).
Il Teoema e cosı completamente dimostrato.
Teorema 8.4.2 (di derivazione della funzione inversa) Siano I e J in-tervalli in R. Sia f : I → J continua in I e biunivoca. Sia f derivabile inx0 ∈ I e sia y0 = f(x0). Se f ′(x0) 6= 0, allora la funzione inversa f−1 ederivabile in y0 e si ha
Df−1(y0) =1
Df(x0).
210 8. Calcolo differenziale
Dimostrazione. Per ogni y ∈ J , y 6= y0 sia x tale che y = f(x). Si ha
f−1(y)− f−1(y0)y − y0
=x− x0
f(x)− f(x0).
Poiche f−1 e continua, per y → y0 si ha x → x0 e, per la continuita di f ,f(x) → f(x0). Quindi
limy→y0
f−1(y)− f−1(y0)y − y0
=1
f ′(x0).
Teorema 8.4.3 (di derivazione della funzione composta) Siano I, J ⊆ Rintervalli. Sia f : I → J derivabile in x0 ∈ I. Sia g : J → R derivabile iny0 = f(x0). Allora la funzione composta g ◦ f e derivabile in x0 e si ha
D (g ◦ f) (x0) = g′ (f(x0)) f ′(x0).
Dimostrazione. Poiche g e derivabile in y0 si ha
g(y)− g(y0)y − y0
= g′(y0) + o(1)
ove o(1) → 0 per y → y0. Moltiplicando ambo i lati per y − y0 si ottiene
g(y)− g(y0) = (y − y0) (g′(y0) + o(1)) . (8.4.4)
Poniamo y = f(x) e y0 = f(x0) in (8.4.4) e dividiamo per x− x0. Si ottiene
g (f(x))− g(f(x0))x− x0
=f(x)− f(x0)
x− x0(g′(y0) + o(1)) . (8.4.5)
Si osservi ora che o(1) e una funzione di y− y0, infinitesima per y → y0. Poichef e continua in x0 (in quanto derivabile), si ha
y = f(x) → y0 = f(x0) per x → x0
e quindi o(1) → 0 per x → x0. Passando al limite per x → x0 in (8.4.5) siottiene
g (f(x))− g(f(x0))x− x0
→ f ′(x0)g′ (f(x0)) .
Una funzione definita in un intervallo (−M, M) si dice pari se f(x) = f(−x)per ogni x ∈ (−M, M). Si dice dispari se f(x) = −f(−x) per ogni x ∈ (−M, M).Ad esempio, la funzione f(x) = x2 e pari, mentre la funzione f(x) = x3 e dispari.
Il grafico di una funzione pari e simmetrico rispetto all’asse delle ordinate,mentre il grafico di una funzione dispari e simmetrico rispetto all’origine.
8.5. Derivate delle funzioni elementari 211
Teorema 8.4.6 Sia f : (−M, M) → R pari, oppure dispari. Sia f derivabilein x0 ∈ (−M, M). Allora f e derivabile in −x0 e si ha
f ′(−x0) = −f ′(x0) se f e parif ′(−x0) = f ′(x0) se f e dispari.
Dimostrazione. Si ha
f(−x0 + h)− f(−x0)h
= ∓f(x0 − h)− f(x0)−h
ove vale il segno − se f e pari, il segno + se e dispari. Passando al limite perh → 0 si ha l’asserto.
Corollario 8.4.7 Sia f : (−M,M) → R derivabile in ogni punto x ∈ (−M,M).Se f e pari la sua funzione derivata f ′(x) e una funzione dispari. Se f e disparila sua funzione derivata f ′(x) e una funzione pari.
8.5 Derivate delle funzioni elementari
Le funzioni elementari dell’analisi sono derivabili in ogni punto del loro insiemedi definizione, con le possibili eccezioni di punti isolati. Qui di seguito ricaviamola tabella di derivazione.
8.5.1 Potenze e radici
Sia f(x) = c, ove c e una qualunque costante reale. In questo caso il rapportoincrementale e sempre nullo. Ne segue
Dc = 0
Sia f(x) = xα, con x > 0. Si ha, per h → 0,
(x + h)α − xα
h= xα
(1 +
h
x
)α
− 1
h
= xα−1
(1 +
h
x
)α
− 1
h
x
→ αxα−1
Quindi
Dxα = αxα−1 α reale
212 8. Calcolo differenziale
Se x = 0 e α > 1 si per h → 0+
hα
h= hα−1 → 0.
Se 0 < α < 1 il rapporto incrementale tende a +∞.Sia f(x) = xn con n > 0 intero e x reale qualunque. Lo stesso calcolo
effettuato nel caso precedente mostra che
(x + h)n − xn
h→ nxn−1
e la stessa formula vale per se n e un intero negativo e x 6= 0.
Dxn = nxn−1 n intero
In particolare si ha Dx = 1.Sia f(x) = n
√xm. Se x > 0 si ha n
√xm = xm/n e quindi, per il punto
precedente,D n√
xm =m
nx(m/n)−1 =
m
n
n√
xm−n.
Ad esempio si ha, per x > 0,
D√
x =1
2√
x, D
4√
x3 =3
4 4√
x.
Se n e dispari, la funzione f(x) = n√
xm e definita per ogni x 6= 0 e, se m/n > 0,e definita anche in x = 0. In particolare, n
√xm e una funzione pari se m e pari
(m 6= 0), dispari se m e dispari. Quindi f e derivabile in x < 0 per il Teorema8.4.6 e si ha
D n√
xm = −m
nn
√(−x)m−n =
m
n
n√
xm−n se m e pari,
D n√
xm =m
nn
√(−x)m−n =
m
n
n√
xm−n se m e dispari.
Si ha quindi, se n e dispari e m intero qualunque
D n√
xm =m
n
n√
xm−n m e n interi, n dispari
Questa espressione vale anche in 0 se m > n. Ad esempio, si ha per ognix 6= 0,
D 3√
x =1
3 3√
x2, D
5√
x2 =2
5 5√
x3, D
3√
x5 =53
3√
x2
e l’ultima eguaglianza vale anche in x = 0.
8.5. Derivate delle funzioni elementari 213
Siano ora n pari e m pari. In questo caso n√
xm = |x|m/n e percio la funzionee pari. Quindi, se x < 0,
D n√
xm = −m
nn
√(−x)m−n = −m
n
n√
xm−n.
Pertanto si ha
D n√
xm =m
nsgnx
n√
xm−n m e n interi pari
Questa espressione vale anche in x = 0 se m > n. Ad esempio si ha
D4√
x2 =12sgn x
4√
x−2 =sgnx
2√|x| , D
√x4 = 2sgn x
√x2 = 2x.
8.5.2 Esponenziali e funzioni iperboliche
Sia f(x) = ax, con a > 0, a 6= 1. Sia x reale qualunque. Per h → 0 si ha
ax+h − ax
h= ax ah − 1
h→ ax log a.
Quindi, per ogni x
Dax = ax log a
In particolare
Dex = ex
Dal risultato precedente si deducono immediatamente le derivate delle fun-zioni iperboliche. Si ha
D sinhx = Dex − e−x
2=
12Dex − 1
2De−x =
ex + e−x
2
D cosh x = Dex + e−x
2=
12Dex +
12De−x =
ex − e−x
2
Quindi
D sinh x = cosh x, D cosh x = sinh x
214 8. Calcolo differenziale
Infine, applicando la regola di derivazione del quoziente si ha
D tanh x = Dsinhx
cosh x=
cosh2 x− sinh2 x
cosh2 x
Ricordando che cosh2 x− sinh2 x = 1, si ottiene
D tanh x =1
cosh2 x= 1− tanh2 x
8.5.3 Logaritmi
Sia f(x) = log x. Sia x > 0. Per h → 0 si ha
log(x + h)− log x
h=
1x
log(
1 +h
x
)
h
x
→ 1x
.
Per ogni x > 0 si ha dunque
D log x =1x
8.5.4 Funzioni trigonometriche
Sia f(x) = sin x. Sia x un qualunque numero reale. Si ha, per h → 0,
sin (x + h)− sin x
h= 2
cos(
x +h
2
)sin
(h
2
)
h
= cos(
x +h
2
) sin(
h
2
)
h
2→ cos x.
In modo analogo si ha, per h → 0,
cos (x + h)− cos x
h= −2
sin(
x +h
2
)sin
(h
2
)
h→ − sin x.
Quindi
8.5. Derivate delle funzioni elementari 215
D sin x = cos x, D cos x = − sin x
La derivata di tan x si ottiene mediante la regola di derivazione del quoziente.Per ogni x 6= π/2 + kπ, ove k e un intero, si ha
D tanx = Dsinx
cos x=
sin2 x + cos2 x
cos2 x
da cui
D tan x =1
cos2 x= 1 + tan2 x
Con calcoli analoghi si ottiene la derivata della cotangente
D cot x = − 1sin2 x
= −1− cot2 x
8.5.5 Inverse delle funzioni trigonometriche
La funzione x = arctan y e l’inversa della restrizione di y = tan x all’intervallo(−π/2, π/2). Poiche D tanx 6= 0 per ogni x ∈ (−π/2, π/2), possiamo applicareil Teorema di derivazione della funzione inversa. Si ha, per ogni y = tan x,
D arctan y =1
1 + tan2 x=
11 + y2
.
Questa formula si scrive usualmente denotando con x la variabile indipendentedell’arcotangente.
D arctanx =1
1 + x2
La funzione x = arcsin y e l’inversa della restrizione di y = sin x all’intervallo[−π/2, π/2]. L’arcoseno e definito in [−1, 1], ma e derivabile solo nell’intervalloaperto (−1, 1), in quanto cosx = D sin x si annulla in ±π/2. Possiamo applicareil Teorema di derivazione della funzione inversa in ogni punto y ∈ (−1, 1).Tenendo conto che cos x e positivo in (−π/2, π/2), si ha
D arcsin y =1
cosx=
1√1− sin2 x
=1√
1− y2.
Come prima la formula si scrive usualmente denotando con x la variabile indi-pendente dell’arcoseno.
216 8. Calcolo differenziale
D arcsin x =1√
1− x2
La funzione x = arccos y e l’inversa della restrizione di y = cos x all’inter-vallo [0, π]. Come l’arcoseno, essa e definita in [−1, 1], ma e derivabile solonell’intervallo aperto (−1, 1), in quanto − sin x = D cos x si annulla in 0 e π. Siha, come sopra
D arccos y = − 1sin x
= − 1√1− cos2 x
= − 1√1− y2
Riscriviamo la derivata cambiando nome alla variabile indipendente.
D arccos x = − 1√1− x2
8.5.6 Derivate di funzioni composte
Le derivate calcolate in precedenza, il Teorema di derivazione della funzione com-posta, e gli altri Teoremi dimostrati nel paragrafo 8.4, permettono di derivaretutte le funzioni elementari dell’analisi. Ad esempio
D sin1x
= − 1x2
cos1x
, D arctan√
x =1
2√
x(1 + x), Dex3
= 3x2ex3.
Studiamo qui di seguito alcuni casi notevoli.
Derivata della potenza di una funzione
Sia h(x) = (f(x))α, ove α e un numero reale non nullo e f e una funzionederivabile in (a, b), con f(x) > 0. La derivata si calcola notando che h e lafunzione composta h = g ◦ f , ove g e la potenza g(y) = yα. Applicando ilTeorema di derivazione della funzione composta, si ha l’espressione della derivatadi h.
D (f(x))α = α (f(x))α−1Df(x)
Ad esempio, per x ∈ (0, 1) si ha
D√
x− x2 = D(x− x2)1/2 =12
1− 2x√x− x2
Se n e un intero non nullo (e f(x) 6= 0 se n < 0), si ha
D (f(x))n = n (f(x))n−1Df(x) (8.5.1)
Ad esempio, D sinn x = n sinn−1 x cos x.
8.5. Derivate delle funzioni elementari 217
Derivata del modulo di una funzione
La funzione |x| e derivabile in ogni punto x 6= 0. La sua derivata vale 1 se x > 0,−1 se x < 0. Quindi
D |x| = sgn x, x 6= 0.
Ne segue che, se f e derivabile in (a, b), la funzione |f(x)| e derivabile in tutti ipunti x ∈ (a, b) in cui f(x) 6= 0. In tali punti si ha
D |f(x)| = sgn (f(x)) Df(x))
Ad esempio,∣∣ 12x2 − x
∣∣ e derivabile tranne che in x = 0 e in x = 2. Si ha
D
∣∣∣∣12x2 − x
∣∣∣∣ = (x− 1) sgn(
12x2 − x
)=
{x− 1 se x < 0 oppure x > 21− x se 0 < x < 2
Non e difficile dimostrare che |f(x)| e derivabile anche nei punti in cui f(x) = 0,purche in tali punti si abbia anche f ′(x) = 0. In tal caso si ha D |f(x)| = 0. Adesempio, la derivata di |x|3 in x = 0 esiste e vale 0.
Derivata logaritmica
La derivata logaritmica di una funzione e la derivata del logaritmo della funzionestessa. Sia f(x) derivabile e positiva in (a, b), e consideriamo la funzione h(x) =log f(x). Essa e derivabile per il Teorema di derivazione della funzione compostae si ha
D log f(x) =Df(x)f(x)
Ad esempio, se f(x) = x2 + x + 2, si ha
D log(x2 + x + 2) =2x + 1
x2 + x + 2.
Se f(x) = |cos x|, con x 6= π/2 + kπ, si ha
D log |cos x| = −sgn (cos x)sinx
|cos x| = − tan x.
Analogamente, se f(x) = |x| si ha
D log |x| = 1x
La derivata logaritmica esprime il tasso istantaneo di variazione di una quan-tita rapportato alla quantita stessa, cioe la sua variazione percentuale. Perquesto motivo essa e di uso comune nelle applicazioni della matematica.
218 8. Calcolo differenziale
Derivata di una funzione avente una funzione a esponente
Sia h(x) = f(x)g(x), ove f(x) > 0 e f e g sono derivabili in (a, b). La derivazionedi h puo essere ricondotta alla derivazione di una funzione composta. Infatti,basta scrivere h(x) nella forma
h(x) = f(x)g(x) = eg(x) log f(x).
Derivando questa funzione composta si ha
D(f(x)g(x)
)=
(g′(x) log f(x) +
g(x)f(x)
f ′(x))
eg(x) log f(x).
Quindi
D(f(x)g(x)
)=
(g′(x) log f(x) +
g(x)f(x)
f ′(x))
f(x)g(x)
Ad esempio, la derivata di xx vale
Dxx = (log x + 1) xx.
8.6 Massimi e minimi relativi
Definizione 8.6.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R. Si dice che x0 eun punto di massimo relativo (o locale) di f(x) in I se esiste δ > 0 tale che perogni x ∈ B(x0, δ) ∩ I si ha
f(x) ≤ f(x0). (8.6.2)
Si dice x0 e un punto di minimo relativo (o locale) di f(x) in I se esiste δ > 0tale che per ogni x ∈ B(x0, δ) ∩ I si ha
f(x) ≥ f(x0). (8.6.3)
Se x0 e un punto di massimo relativo, f(x0) si chiama massimo relativo dellafunzione in I. Se x0 e un punto di minimo relativo, f(x0) si chiama minimorelativo della funzione in I. Il massimo e il minimo assoluti di f(x) in I (seesistono), sono anche massimi e minimi relativi, e i punti di massimo e minimoassoluti sono anche punti di massimo e minimo relativi. Si veda il paragrafo 6.5.
Chiameremo collettivamente i massimi e minimi relativi in I estremi relatividella funzione in I. Analogamente il massimo e il minimo assoluto verrannochiamati estremi assoluti. I punti in cui vengono assunti i valori estremi rela-tivi e quelli assoluti, vengono chiamati rispettivamente estremanti relativi edestremanti assoluti.
Se in (8.6.2) vale il segno < per x 6= x0, si dice che x0 e un punto di massimorelativo forte. Analogamente, se in (8.6.3) vale il segno > per x 6= x0, si dice
8.6. Massimi e minimi relativi 219
che x0 e un punto di minimo relativo forte. Se un estremante non e forte essosi dice debole.
Una funzione puo possedere estremi relativi in I senza possedere estremiassoluti, come apparira chiaro dagli esempi. Si noti infine che la nozione dimassimo e minimo relativo si puo formulare in anche per funzioni definite in unqualunque spazio metrico, purche a valori in R. La definizione e esattamente lastessa.
-1 10
f(x) = (1− x2)2
Esempi 8.6.4
1. Sia f(x) = (1−x2)2. Questa funzione assume il minimo assoluto nei puntix = ±1, ma non ha massimo assoluto in R. Il punto x = 0 e un punto dimassimo relativo. Tutti gli estremanti sono forti.
2. Sia f(x) = x3 − 3x. Il punto x = −1 e un punto di massimo relativoforte e il punto x = 1 e un punto di minimo relativo forte. Non ci sonoestremanti assoluti.
3. Sia f(x) = [x]. Tutti i punti x /∈ Z (gli interi relativi) sono sia punti dimassimo che minimo relativo debole per f(x). I punti x ∈ Z sono puntidi massimo relativo debole. Non ci sono estremanti assoluti.
4. La funzione f(x) = x non ha estremanti relativi ne assoluti in R. La suarestrizione a un qualunque intervallo [a, b] ha un punto di minimo assolutoin x = a e un punto di massimo assoluto in x = b.
220 8. Calcolo differenziale
-11
f(x) = x3 − 3x
5. Sia f(x) = x +√
2 sin x. Per ogni intero k, la funzione ammette massimorelativo, ma non assoluto, in 3π/4 + 2kπ, e minimo relativo, ma nonassoluto, in −3π/4 + 2kπ. Per controllare questa affermazione si puoutilizzare il successivo Corollario 8.8.8. Tutti gli estremanti di questafunzione sono forti.
3π/4−3π/4
f(x) = x +√
2 sin x
Teorema 8.6.5 (di Fermat) Sia f : (a, b) → R e sia x0 ∈ (a, b). Se x0 e unestremante relativo e se f e derivabile in x0, allora f ′(x0) = 0.
Dimostrazione. Supponiamo, per fissare le idee, che x0 sia un punto di minimorelativo. Esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ (x0− δ, x0+δ) si abbia f(x) ≥ f(x0).
8.6. Massimi e minimi relativi 221
Se per x0 < x < x0 + δ si ha quindi
f(x)− f(x0)x− x0
≥ 0. (8.6.6)
Il rapporto incrementale sinistro invece e non positivo. Se x0− δ < x < x0 si ha
f(x)− f(x0)x− x0
≤ 0. (8.6.7)
Poiche la funzione e derivabile in x0, passando al limite per x → x0+ in (8.6.6)si ha
f ′(x0) = limx→x0+
f(x)− f(x0)x− x0
≥ 0.
Analogamente, passando al limite per x → x0− in (8.6.7) si ha
f ′(x0) = limx→x0−
f(x)− f(x0)x− x0
≤ 0.
Quindi non puo che essere f ′(x0) = 0.
Sottolineiamo che la condizione f ′(x0) = 0 e necessaria, ma non sufficienteper l’esistenza di un estremante relativo. La funzione f(x) = x3 ha come de-rivata 3x2, che si annulla in x = 0. Tale punto non e un estremante, poichef(0) = 0, ma f(x) e negativa per x < 0, positiva per x > 0.
Esempi 8.6.8
1. Sia f(x) = x2. Tale funzione possiede un minimo assoluto in x = 0. Laderivata e 2x che si annulla in 0.
2. Sia, come nell’esempio 8.6.4.1, f(x) = (1 − x2)2. Abbiamo notato che ipunti 0 e ±1 sono estremanti. Si ha
f ′(x) = −4x(1− x2)
che si annulla appunto per x = 0 e x = ±1.
3. La derivata della funzione f(x) = x3−3x dell’esempio 8.6.4.2 vale 3x2−3e si annulla nei punti x = 1 e x = −1.Analogamente, la funzione x +
√2 sin x dell’esempio 8.6.4.5 ha derivata
f ′(x) = 1 +√
2 cos x, che si annulla nei punti ±3π/4 + 2kπ, ove k ∈ Z.
4. Per la validita del Teorema di Fermat e necessario che il punto x0 siainterno. Una funzione definita in [a, b] e ivi derivabile puo avere un estre-mante in a o in b senza che la derivata (destra o sinistra, rispettivamente)sia nulla in tal punto. Ad esempio la restrizione di f(x) = x a [0, 1] haminimo e massimo assoluti in x = 0 e x = 1 rispettivamente, ma f ′(x) = 1per ogni x.
222 8. Calcolo differenziale
8.7 Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange
Teorema 8.7.1 (di Rolle) Sia f : [a, b] → R soddisfacente le seguenti ipotesi:
i) f e continua in [a, b];
ii) f e derivabile in (a, b);
iii) f(a) = f(b).
Allora esiste z ∈ (a, b) tale che f ′(z) = 0.
Dimostrazione. Se f(x) e costante, per qualunque z ∈ (a, b) si ha f ′(z) = 0.Supponiamo dunque che f(x) non sia costante.
Poiche la funzione e continua in un intervallo compatto, per il Teoremadi Weierstrass esiste un punto di massimo assoluto e uno di minimo assolutoin [a, b]. Almeno uno dei due estremanti deve essere interno, altrimenti, perl’ipotesi iii), la funzione sarebbe costante. Chiamiamo z questo estremanteinterno. Per l’ipotesi ii) la funzione e sicuramente derivabile in z. Per il Teoremadi Fermat si ha f ′(z) = 0.
Teorema 8.7.2 (di Cauchy) Siano F : [a, b] → R e G : [a, b] → R due fun-zioni tali che:
i) F e G sono continue in [a, b];
ii) F e G sono derivabili in (a, b).
Allora esiste z ∈ (a, b) tale che
[G(b)−G(a)] F ′(z) = [F (b)− F (a)] G′(z). (8.7.3)
Dimostrazione. Poniamo
f(x) = [G(b)−G(a)] F (x)− [F (b)− F (a)] G(x). (8.7.4)
Evidentemente f continua in [a, b], derivabile in (a, b) e
f ′(x) = [G(b)−G(a)] F ′(x)− [F (b)− F (a)] G′(x).
Inoltre, si verifica immediatamente che
f(a) = f(b).
Quindi f soddisfa le tre ipotesi del Teorema di Rolle. Di conseguenza esistez ∈ (a, b) tale che f ′(z) = 0. Dall’espressione (8.7) di f ′ si ricava la tesi.
Se G(b) 6= G(a) e G′(z) 6= 0, la (8.7.3) si puo riscrivere nella forma
F (b)− F (a)G(b)−G(a)
=F ′(z)G′(z)
. (8.7.5)
8.7. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange 223
Teorema 8.7.6 (di Lagrange) Sia f : [a, b] → R soddisfacente le seguentiipotesi:
i) f e continua in [a, b];
ii) f e derivabile in (a, b).
Allora esiste z ∈ (a, b) tale che
f(b)− f(a)b− a
= f ′(z). (8.7.7)
Dimostrazione. Questo Teorema e un corollario del Teorema di Cauchy, ovesi ponga F (x) = f(x) e G(x) = x.
a b
f(a)
f(b)
f(z)
z
Il Teorema di Lagrange assume anche il nome di Teorema del valor medio.Da un punto di vista geometrico, esso afferma che, nelle ipotesi dichiarate sul-la funzione f , esiste un punto interno z tale che il coefficiente angolare dellatangente in (z, f(z)) e eguale al coefficiente angolare della retta per i punti(a, f(a)) e (b, f(b)). Cio implica che la tangente in (z, f(z)) e parallela alla rettaper (a, f(a)) e (b, f(b).
Sia f : [x0, x0 +h] → R, oppure f : [x0 +h, x0] → R, a seconda che sia h > 0oppure h < 0. Supponiamo che f soddisfi le ipotesi del Teorema di Lagrange,cioe che sia continua nell’intervallo chiuso e derivabile nell’aperto. Esiste unpunto z interno all’intervallo tale che (qualunque sia il segno di h) si abbia
f(x0 + h)− f(x0)h
= f ′(z).
Possiamo esprimere z nella forma z = x0 + θh, ove θ e un opportuno numerotale che 0 < θ < 1. Otteniamo cosı la seconda formula dell’incremento finito
f(x0 + h)− f(x0) = hf ′ (x0 + θh) . (8.7.8)
La prima formula dell’incremento finito (8.2.13) fornisce una stima asintoticaper x → x0 sotto ipotesi puntuali, cioe la derivabilita di f nel solo punto x0.
224 8. Calcolo differenziale
La seconda formula fornisce informazioni quantitative in ipotesi globali, cioe sututto l’intervallo chiuso di estremi x0 e x0 + h.
Posto x = x0 + h la (8.7.8) si puo scrivere come
f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′ (x0 + θ(x− x0)) . (8.7.9)
Esaminiamo ora alcune conseguenze del Teorema di Lagrange, rimandandoal prossimo paragrafo la sua applicazione allo studio della monotonia di unafunzione.
Corollario 8.7.10 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R, f derivabile in I.Se esiste una costante C tale che |f ′(x)| ≤ C per ogni x ∈ I, allora
|f(x1)− f(x2)| ≤ C |x1 − x2| .
In particolare, f e uniformemente continua.
Dimostrazione. Siano x1, x2 ∈ I, con x1 < x2. Possiamo applicare il Teoremadi Lagrange all’intervallo [x1, x2] ⊆ I. Si ha da (8.7.8)
|f(x1)− f(x2)| = |x1 − x2| |f ′ (x1 + θ(x2 − x1))|≤ C |x1 − x2| .
L’uniforme continuita e ora immediata. Fissato ε > 0, sia δ = ε/C. Da|x1 − x2| < δ segue |f(x1)− f(x2)| < ε.
Nelle ipotesi del Corollario, f e lipschitziana in I secondo la definizionedell’appendice del capitolo 7.
Teorema 8.7.11 Sia f : [x0, x0 + δ] → R continua in [x0, x0 + δ] e derivabilein (x0, x0 + δ). Esista finito
limx→x0+
f ′(x) = γ.
Allora f e derivabile (dalla destra) in x0 e si ha
f ′+(x0) = γ.
Dimostrazione. Sia 0 < h < δ. Per la seconda formula dell’incremento finitosi ha
f(x0 + h)− f(x0)h
= f ′ (x0 + θh) , (8.7.12)
ove θ = θ(h) e un opportuno numero in (0, 1) dipendente da h. Per h → 0+ siha x0 + θh → x0+ e quindi f ′ (x0 + θh) → γ. Ne segue
limh→0+
f(x0 + h)− f(x0)h
= γ.
8.7. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange 225
In modo del tutto analogo si dimostra che se f : [x0 − δ, x0] → R e continuain [x0 − δ, x0] e derivabile in (x0 − δ, x0), e se esiste finito limx→x0− f ′(x) = γ,allora f e derivabile dalla sinistra in x0 e f ′−(x0) = γ.
Come esempio, si consideri la funzione
f(x) =
{arctan
1x
se x > 0
π/2 se x = 0.
Tale funzione e continua in [0, +∞). La sua derivata per x > 0 vale
f ′(x) = − 1x2
1
1 +1x2
= − 11 + x2
. (8.7.13)
Per x → 0+ si ha f ′(x) → −1. Quindi f e derivabile dalla destra in x = 0 ef ′+(0) = −1.
Corollario 8.7.14 Sia f : [x0 − δ, x0 + δ] → R continua in [x0 − δ, x0 + δ] ederivabile in (x0− δ, x0 + δ). Se x0 e un punto di discontinuita per f ′(x), allorae necessariamente di seconda specie.
Dimostrazione. Sia per assurdo x0 un punto di discontinuita eliminabile o diprima specie. Allora esistono finiti
limx→x0+
f ′(x) = γ1 e limx→x0−
f ′(x) = γ2.
Per il Teorema 8.7.11 si ha f ′+(x0) = γ1 e f ′−(x0) = γ2. Poiche per ipotesi esistela derivata in x0, si ha
γ1 = f ′+(x0) = f ′(x0) = f ′−(x0) = γ2
e quindi x0 non puo essere un punto di discontinuita per f ′(x), assurdo.Diamo un esempio di funzione con derivata discontinua in un punto. Sia
f(x) =
{x2 cos
1x
se x 6= 0
0 se x = 0
Chiaramente la funzione e continua per ogni x e derivabile per x 6= 0. La suaderivata in x 6= 0 vale
f ′(x) = 2x cos1x
+ sin1x
.
Quindi f ′(x) non ammette limite per x → 0. D’altra parte, f e derivabile in 0e f ′(0) = 0. Infatti
limx→0
f(x)− f(0)x
= limx→0
x cos1x
= 0.
La derivata ha una discontinuita di seconda specie in x0 = 0.Vedremo nel capitolo 10 che ogni funzione continua in un intervallo e una
funzione derivata. Invece, come conseguenza del Corollario, funzioni quali sgn x,mantx e le funzioni monotone discontinue, non sono le funzioni derivate dialcuna funzione.
226 8. Calcolo differenziale
8.8 Crescere e decrescere
Le due formule dell’incremento finito permettono di caratterizzare le funzionimonotone.
Teorema 8.8.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R derivabile in I.
a) Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia monotona non decrescentein I e che f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I.
b) Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia monotona non crescentein I e che f ′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ I.
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare a), poiche la dimostrazione di b) edel tutto analoga. Supponiamo f ′(x) ≥ 0 e siano x1, x2 ∈ I, tali che x1 < x2.Possiamo applicare il Teorema di Lagrange all’intervallo [x1, x2] ⊆ I. Esisteθ ∈ (0, 1) tale che
f(x2)− f(x1) = (x2 − x1)f ′ (x1 + θ(x2 − x1)) ≥ 0
e quindi f e monotona non decrescente.Viceversa, sia f monotona non decrescente. Per assurdo, esista x0 ∈ I tale
che f ′(x0) < 0. Sia x ∈ I, x 6= x0. Per la prima formula dell’incremento finito,
f(x)− f(x0) = (x− x0)(
f ′(x0) +o(x− x0)x− x0
). (8.8.2)
Esiste δ > 0 tale che per 0 < |x− x0| < δ si ha
f ′(x0) +o(x− x0)x− x0
< 0.
Per questi valori di x, (8.8.2) implica che f(x)−f(x0) ha segno opposto a x−x0.La funzione non puo quindi essere non decrescente, assurdo.
Corollario 8.8.3 (caratterizzazione delle funzioni costanti) Sia I ⊆ Run intervallo e sia f : I → R, derivabile in I. La funzione f e costante see solo se f ′(x) = 0 per ogni x ∈ I.
Dimostrazione. Se f(x) e costante, ovviamente f ′(x) = 0 per ogni x. Vice-versa, sia f ′(x) = 0 per ogni x ∈ I. Allora, per il Teorema precedente, f e allostesso tempo monotona non crescente e non decrescente. Quindi e costante.
Il Corollario vale per funzioni definite in un intervallo, ma non vale ingenerale se f non e definita in un intervallo.
Esempi 8.8.4
1. Si definisca
f(x) ={
1 se 0 ≤ x ≤ 1,2 se 2 ≤ x ≤ 3.
Questa funzione ha derivata nulla in ogni punto del suo insieme di defini-zione, ma non e costante, poiche f(1) 6= f(2).
8.8. Crescere e decrescere 227
2. Sia f(x) = arctan x + arctan 1/x e sia x > 0. Si ha (si veda (8.7.13))
D arctan x =1
1 + x2
D arctan1x
= − 11 + x2
,
da cui f ′(x) = 0. Quindi f(x) = C. Si puo calcolare il valore della costanteponendo x = 1. Poiche arctan 1 = π/4, si ottiene
∀x > 0 arctan x + arctan1x
=π
2. (8.8.5)
Consideriamo ora la stessa funzione per x < 0. La derivata e ancora nullae quindi f(x) e costante anche sui negativi. Calcoliamo f(−1). Poichearctan (−1) = −π/4, si ottiene
∀x < 0 arctan x + arctan1x
= −π
2. (8.8.6)
3. In modo del tutto analogo all’esempio precedente si puo ottenere l’ovviaidentita
∀x ∈ [−1, 1] arcsin x + arccos x =π
2.
La derivata di una funzione strettamente monotona puo annullarsi in qualchepunto. Ad esempio, f(x) = x3 e strettamente crescente in R, ma f ′(0) = 0. Lasituazione e chiarita dal seguente Teorema.
Teorema 8.8.7 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R derivabile in I.
a) Se f ′(x) ≥ 0 e gli eventuali punti in cui f ′(x) = 0 sono isolati, allora f emonotona strettamente crescente in I.
b) Se f ′(x) ≤ 0 e gli eventuali punti in cui f ′(x) = 0 sono isolati, allora f emonotona strettamente decrescente in I.
Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare a), poiche la dimostrazione di b)e del tutto analoga. Poiche f ′(x) non e mai negativa, la funzione e monotonanon decrescente. Siano x1, x2 ∈ I, tali che x1 < x2. Si ha f(x1) ≤ f(x2).Supponiamo per assurdo che valga l’eguaglianza, cioe f(x1) = f(x2). Allora,per la monotonia, f(x1) = f(x) = f(x2) per ogni x ∈ [x1, x2]. Quindi f ′(x) = 0in [x1, x2], contro l’ipotesi che gli zeri della derivata siano isolati.
Corollario 8.8.8 Sia f : (x0− δ, x0 + δ) → R derivabile in (x0− δ, x0 + δ). Siaf ′(x0) = 0.
a) Se f ′(x) < 0 per x ∈ (x0 − δ, x0) e f ′(x) > 0 per x ∈ (x0, x0 + δ), allora x0
e un punto di minimo forte.
228 8. Calcolo differenziale
b) Se f ′(x) > 0 per x ∈ (x0 − δ, x0) e f ′(x) < 0 per x ∈ (x0, x0 + δ), allora x0
e un punto di massimo forte.
Dimostrazione. Se vale l’ipotesi di a), per il Teorema 8.8.7, f(x) e monotonastrettamente decrescente in (x0 − δ, x0] e monotona strettamente crescente in[x0, x0 + δ). Quindi x0 e un punto di minimo forte. La dimostrazione di b) eanaloga.
Se la derivata mantiene lo stesso segno per x < x0 e per x > x0 allora f estrettamente monotona in (x0−δ, x0+δ). Il punto x0, come vedremo in seguito,e un punto di flesso a tangente orizzontale.
Esempi 8.8.9
1. Sia f(x) = x2n, ove n ∈ N. Si ha f ′(x) = 2nx2n−1. La derivata si annullain x = 0 ed e negativa per x < 0, positiva per x > 0. Quindi 0 e un puntodi minimo forte.Sia f(x) = x2n+1, ove n ∈ N. Si ha f ′(x) = (2n + 1)x2n. La derivata siannulla in x = 0, ma tale punto non e estremante, poiche f ′(x) si mantienepositiva a destra e a sinistra di 0. La funzione e crescente.
2. Sia f(x) = log(1 + x)− x, definita per x > −1. Si ha
f ′(x) =1
1 + x− 1.
La derivata si annulla solo in x = 0. Per −1 < x < 0 si ha f ′(x) > 0,mentre per x > 0 si ha f ′(x) < 0. Quindi x = 0 e un punto di massimoforte. Ne segue, per ogni x > −1, x 6= 0,
log(1 + x) < x.
1-1
-1
f(x) = log(1 + x)− x
8.9. Teorema di De l’Hospital 229
8.9 Teorema di De l’Hospital
Il Teorema di De l’Hospital permette di studiare le forme di indecisione00
e∞∞
nel calcolo dei limiti. Ci limitiamo a enunciare il Teorema, la cui dimostrazionee svolta nell’Appendice.
Teorema 8.9.1 (di De l’Hospital) Siano f : (a, b) → R e g : (a, b) → R duefunzioni derivabili in (a, b), ove −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Siano g(x) 6= 0 e g′(x) 6= 0in (a, b). Siano verificate le seguenti ipotesi:
i) il rapportof(x)g(x)
presenta il caso di indecisione00
oppure∞∞ per x → a+
(oppure per x → b−);
ii) limx→a+f ′(x)g′(x)
= γ ∈ R (rispettivamente, limx→b−f ′(x)g′(x)
= γ ∈ R )
Allora:
limx→a+
f(x)g(x)
= γ (rispettivamente, limx→b−
f(x)g(x)
= γ)
Esempi 8.9.2
1. Calcoliamo limx→01− cos 2x
x2. Questo limite presenta la forma di indeci-
sione00. Il rapporto delle derivate e
2 sin 2x
2x→ 2 per x → 0.
Quindi limx→01− cos 2x
x2= 2.
2. Calcoliamo limx→0x− log(1 + x)
x2. Questo limite presenta la forma di
indecisione00. Il rapporto delle derivate e
1− 11 + x2x
=1
2(1 + x)→ 1
2per x → 0.
Quindi limx→0x− log(1 + x)
x2=
12.
230 8. Calcolo differenziale
3. Calcoliamo limx→0+ x cot x. Questo limite presenta la forma di indecisione0 · ∞, ma puo essere ricondotto alla forma
∞∞ , scrivendo
x cot x =cot x
1x
.
Il rapporto delle derivate e
− 1sin x2
− 1x2
=x2
sin2 x→ 1 per x → 0.
Quindi limx→0+ x cot x = 1.
4. Determiniamo l’ordine di infinitesimo per x → +∞ diπ
2−arctan x rispetto
all’infinitesimo1x
. Si tratta si determinare per quale valore a > 0 il limite
limx→+∞
π
2− arctan x(
1x
)a
esiste finito e diverso da 0. Passiamo al rapporto delle derivate. Esso e
− 11 + x2
−a
(1x
)a+1 =xa+1
a (1 + x2)∼ xa−1
a.
Il limite di tale rapporto per x → +∞ e finito e diverso da 0 se e solo sea = 1. Quindi l’ordine di infinitesimo e 1.
5. L’esistenza del limite del rapporto delle derivate e condizione sufficientema non necessaria per l’esistenza del limite del rapporto delle funzioni.Ad esempio, siano
f(x) = x2 sin1x
, g(x) = ex − 1.
Per x → 0 il rapportof(x)g(x)
ha limite 0, poiche
limx→0
x2 sin1x
ex − 1= lim
x→0
x sin1x
ex − 1x
= limx→0
x sin1x
= 0.
8.10. Derivate di ordine superiore 231
Invece, il rapporto delle derivate e
f ′(x)g′(x)
=2x sin
1x− cos
1x
ex
che non ammette limite per x → 0.
8.10 Derivate di ordine superiore
Abbiamo notato che una funzione elementare dell’analisi e derivabile in tutto ilsuo insieme di definizione (con la possibile eccezione di punti isolati). Le funzioniderivate delle funzioni elementari sono ancora funzioni elementari e quindi a lorovolta derivabili. Questa osservazione ci conduce alla definizione delle derivatesuccessive di una funzione.
Definizione 8.10.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R una funzionederivabile in I. Sia x0 ∈ I. Si dice che la funzione f(x) e derivabile due voltein x0 se la funzione derivata f ′ : I → R e a sua volta derivabile in x0.
Si chiama derivata seconda della funzione in x0 la derivata di f ′(x) in x0.
La derivata seconda di f in x0 si denota usualmente con f ′′(x0), oppure conun dei simboli
D2f(x0),d2f
dx2(x0), y′′(x0).
In maniera analoga si definisce la derivata terza. Se f ′′(x) esiste in I ed e a suavolta derivabile in x0, si dice che f e derivabile tre volte in x0 e la derivata delladerivata seconda si chiama derivata terza di f in x0. Essa viene indicata conuno dei simboli
f ′′′(x0), D3f(x0),d3f
dx3(x0), y′′′(x0).
Per induzione possiamo ora definire la derivata n–esima di una funzione.
Definizione 8.10.2 Sia I ⊆ R un intervallo, e sia f : I → R una funzionederivabile n− 1 volte in I. Sia x0 ∈ I.
Se la derivata (n − 1)–esima e a sua volta derivabile in x0, si dice che fe derivabile n volte in x0 e la derivata della derivata (n − 1)–esima si chiamaderivata n–esima di f in x0, o derivata di ordine n.
La derivata n–esima in x0 viene indicata con uno dei simboli
f (n)(x0), Dnf(x0), D(n)f(x0),dnf
dxn(x0), y(n)(x0).
In questo contesto, la derivata f ′(x) viene chiamata derivata prima di f . Sipone anche, per ogni funzione f ,
f (0)(x) = f(x).
232 8. Calcolo differenziale
Si noti che, come l’esistenza della derivata prima in x0 implica che la funzione siadefinita in un intorno di x0 (in un intorno destro o sinistro di x0 per la derivatadestra o sinistra), l’esistenza di f (n)(x0) implica l’esistenza di f (n−1)(x0) in unintorno di x0 (in un intorno destro o sinistro di x0 se x0 e un estremo di I).
Esempi 8.10.3
1. Sia f(x) = xn, ove n e intero positivo. Si ha Dxn = xn−1. Le derivatesuccessive sono
D2xn = n(n− 1)xn−2, D3xn = n(n− 1)(n− 2)xn−3, Dnxn = n!
Le derivate di ordine maggiore di n sono tutte nulle. Di conseguenza, lederivate di ordine maggiore di n un polinomio di grado n sono tutte nulle.
2. Sia f(x) = ex. Si ha per ogni n > 0 intero
f ′(x) = ex, f ′′(x) = ex, . . . , f (n)(x) = ex, . . .
In questo caso tutte le derivate coincidono con ex. Per ogni n ≥ 0 intero
Dnex = ex
3. Sia f(x) = sin x. Si ha
f ′(x) = cos x, f ′′(x) = − sin x,
f ′′′(x) = − cosx, f (4)(x) = sin x = f(x) .
La derivata quarta e quindi eguale alla funzione. Per ogni k ≥ 0 intero siha percio
D(4k) sin x = sin x, D(4k+1) sin x = cos x,
D(4k+2) sin x = − sin x, D(4k+3) sin x = − cosx .
Analogamente, se f(x) = cos x, si ha
f ′(x) = − sin x, f ′′(x) = − cosx,
f ′′′(x) = sin x, f (4)(x) = cosx .
Quindi, per ogni k ≥ 0 intero si ha
D(4k) cosx = cos x, D(4k+1) cos x = − sin x,
D(4k+2) cosx = − cos x, D(4k+3) cosx = sin x .
4. Le derivate di ordine superiore di sinh x e cosh x si calcolano tenendopresente che D sinhx = cosh x e D coshx = sinh x. Per ogni intero k ≥ 0si ha
D(2k) sinhx = sinh x, D(2k+1) sinhx = cosh x,
D(2k) cosh x = cosh x, D(2k+1) cosh x = sinh x .
8.10. Derivate di ordine superiore 233
5. Sia f(x) = log(1 + x). Si ha
f ′(x) =1
1 + x, f ′′(x) = − 1
(1 + x)2,
f ′′′(x) =2
(1 + x)3, f (4)(x) = − 2 · 3
(1 + x)4, . . .
Si ha cosı per ogni n > 0 intero
Dn log(1 + x) = (−1)n−1 (n− 1)!(1 + x)n .
6. Sia f(x) = (1 + x)α, ove α 6= 0 e un numero reale. Si ha
f ′(x) = α(1 + x)α−1, f ′′(x) = α(α− 1)(1 + x)α−2,
f ′′′(x) = α(α− 1)(α− 2)(1 + x)α−3, . . .
Per ogni intero k > 0 si ha dunque
Dk(1 + x)α = α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)(1 + x)α−k. (8.10.4)
Se α = n ∈ N, l’espressione delle derivate (8.10.4) si annulla per k > n.Si pone
α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)k!
=(
α
k
). (8.10.5)
La quantita definita in (8.10.5) si chiama coefficiente binomiale di α su k.Se α = n ∈ N, tale espressione coincide con il noto coefficiente binomiale.Infatti, per n ≤ k si ha
(n
k
)=
n!k! (n− k)!
=n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)
k!.
7. Calcoliamo le derivate di arctan x fino al terzo ordine. Si ha
D arctan x = (1 + x2)−1
D2 arctan x = − 2x
(1 + x2)2
D3 arctan x =2(3x2 − 1)(1 + x2)3
.
8. Diamo un esempio di funzione derivabile una volta, ma non due volte inun punto. Sia f(x) = x |x|. Si ha
f ′(x) = 2x se x > 0f ′(x) = −2x se x < 0
Sia per x → 0+ che per x → 0− si ha f ′(x) → 0. Per il Teorema 8.7.11 laderivata di f in 0 esiste e f ′(0) = 0. Si ha quindi per ogni x reale
f ′(x) = 2 |x|che non e a sua volta derivabile in x = 0.
234 8. Calcolo differenziale
8.11 Formula di Taylor
Sia f : [a, b] → R e siano x e x0 due punti di [a, b]. Se f e derivabile in x0 laprima formula dell’incremento finito, f(x) = f(x0)+ f ′(x0)(x−x0)+ o(x−x0),fornisce una approssimazione della funzione mediante un polinomio lineare cherappresenta l’ordinata della tangente al grafico in x0. L’errore, o resto, tende a0 piu velocemente dell’incremento (x− x0).
Supponiamo ora che f sia derivabile n volte in x0. Ci chiediamo se f(x)possa essere approssimata, con un errore ancora piu piccolo, mediante un po-linomio di grado n, il cui grafico passa per (x0, f(x0)). La formula di Taylor,congiuntamente alle espressioni del resto, risponde a tale quesito.
Definizione 8.11.1 Sia f : [a, b] → R derivabile n − 1 volte (n ≥ 1) in x0 ∈[a, b]. Sia x ∈ [a, b]. Si chiama formula di Taylor arrestata all’ordine n, conpunto iniziale x0 e incremento (x−x0) della variabile indipendente, l’espressione
f(x) = f(x0) +f ′(x0)
1!(x− x0) +
f ′′(x0)2!
(x− x0)2 +f ′′′(x0)
3!(x− x0)3 + · · ·
+f (n−1)(x0)(n− 1)!
(x− x0)n−1 + Tn(x− x0).
(8.11.2)
La quantita Tn(x− x0) si chiama resto n–esimo. Il polinomio
pn−1(x− x0) =n−1∑
k=0
f (k)(x0)k!
(x− x0)k
che appare a secondo membro della (8.11.2) si chiama polinomio di Taylor (n−1)–esimo con centro in x0.
E evidente che, essendo Tn(x − x0) null’altro che la differenza tra f(x) e ilpolinomio di Taylor, la sostanza della formula di Taylor consiste nell’espressio-ne di Tn(x − x0). Esistono varie forme del resto, ma noi ci limiteremo qui adue espressioni, che generalizzano la prima e la seconda formula dell’incrementofinito.
Teorema 8.11.3 (Formula di Taylor con resto di Peano) Sia f : [a, b] →R derivabile n − 1 volte in x0 ∈ [a, b]. Se esiste in x0 la derivata n–esimaf (n)(x0), allora
Tn(x− x0) =f (n)(x0)
n!(x− x0)n + o ((x− x0)n) . (8.11.4)
Equivalentemente
f(x) =n∑
k=0
f (k)(x0)k!
(x− x0)k + o ((x− x0)n)
= pn(x− x0) + o ((x− x0)n)
(8.11.5)
8.11. Formula di Taylor 235
Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema per induzione. Se n = 1 l’espressione(8.11.5) si riduce a
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + o(x− x0),
che ovviamente vale se f e derivabile in x0.Supponiamo vera la (8.11.5) per ogni funzione derivabile n volte in x0 e
dimostriamo che essa vale, con n + 1 al posto di n, per ogni funzione derivabilen + 1 volte in x0.
Poiche deve essere f(x)−pn+1(x−x0) = o((x−x0)n+1), dobbiamo dimostrareche
limx→x0
f(x)−n+1∑
k=0
f (k)(x0)k!
(x− x0)k
(x− x0)n+1= 0. (8.11.6)
Poiche il limite in (8.11.6) presenta la forma di indecisione00
per x → x0,applichiamo il Teorema di De l’Hospital. Calcoliamo il rapporto delle derivate.La derivata del denominatore vale (n+1)(x−x0)n. La derivata del numeratorevale
f ′(x)− f ′(x0)− 22!
f ′′(x0)(x− x0)− 33!
f (3)(x0)(x− x0)2−
− 44!
f (4)(x0)(x− x0)3 − · · · − n + 1(n + 1)!
f (n+1)(x0)(x− x0)n =
= f ′(x)−n+1∑
k=1
f (k)(x0)(k − 1)!
(x− x0)k−1. (8.11.7)
Denotiamo con g(x) la funzione f ′(x). Evidentemente f (k)(x) = g(k−1)(x).L’espressione (8.11.7) della derivata del numeratore diviene
g(x)−n+1∑
k=1
g(k−1)(x0)(k − 1)!
(x− x0)k−1 = g(x)−n∑
j=0
g(j)(x0)j!
(x− x0)j .
Poiche g e derivabile n volte in x0, per l’ipotesi di induzione si ha
g(x)−n∑
j=0
g(j)(x0)j!
(x− x0)j
(n + 1)(x− x0)n→ 0 per x → x0.
Per il Teorema di De l’Hospital possiamo concludere che (8.11.6) vale. Questoconclude la dimostrazione.
Teorema 8.11.8 (Formula di Taylor con resto di Lagrange) Sia data f :[a, b] → R e siano x0, x ∈ [a, b], ove x0 < x. Supponiamo che valgano le seguentiipotesi:
236 8. Calcolo differenziale
i) f e continua in [x0, x];
ii) esistono le derivate di f fino all’ordine (n − 1) in [x0, x), ed esse sono ivicontinue;
iii) esiste la derivata n− esima di f in (x0, x).
Allora
Tn(x− x0) =f (n)(x0 + θ(x− x0))
n!(x− x0)n
ove θ e un opportuno numero tale che 0 < θ < 1. Si ha quindi
f(x) =n−1∑
k=0
f (k)(x0)k!
(x− x0)k +f (n)(x0 + θ(x− x0))
n!(x− x0)n
= pn−1(x− x0) +f (n)(x0 + θ(x− x0))
n!(x− x0)n.
(8.11.9)
Lo stesso risultato vale se x < x0, con le ovvie modifiche delle ipotesi.
Dimostrazione. La tesi seguira da una ripetuta applicazione del Teorema diCauchy.
Per ogni t ∈ [x0, x] poniamo F (t) = f(t)− pn−1(t− x0) e G(t) = (t− x0)n.Definiamo
F1(t) = F ′(t) = f ′(t)− p′n−1(t− x0), G1(t) = G′(t) = n(t− x0)n−1
F2(t) = F ′1(t) = f ′′(t)− p′′n−1(t− x0), G2(t) = G′′(t) = n(n− 1)(t− x0)n−2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fn−1(t) = F (n−1)(t) = f (n−1)(t)− p(n−1)n−1 (t− x0),
Gn−1(t) = G(n−1)(t) = n!(t− x0).
Si osservi ora che, in forza dell’esempio 8.10.3.1, le derivate di pn−1(t − x0)calcolate per t = x0 coincidono con le derivate di f(t) in x0. Ad esempio
p′n−1(t− x0) = f ′(x0) + (t− x0)f ′′(x0) + · · ·+ n− 1(n− 1)!
(t− x0)n−2,
da cui p′n−1(0) = f ′(x0), etc. Si ha cosı
F1(x0) = 0, G1(x0) = 0F2(x0) = 0, G2(x0) = 0
. . . . . . . . . . . . . . .
Fn−1(x0) = 0, Gn−1(x0) = 0.
Sono verificate nell’intervallo [x0, x] le ipotesi del Teorema di Cauchy per lefunzioni F e G. Esiste quindi z1 ∈ (x0, x) tale che
F (x)G(x)
=F (x)− F (x0)G(x)−G(x0)
=F ′(z1)G′(z1)
=F1(z1)− F1(x0)G1(z1)−G1(x0)
.
8.11. Formula di Taylor 237
Notiamo ora che nell’intervallo [x0, z1] le funzioni F1e G1 soddisfano a loro voltale ipotesi del Teorema di Cauchy. Esiste quindi z2 ∈ (x0, z1) tale che
F1(z1)− F1(x0)G1(z1)−G1(x0)
=F ′1(z2)G′1(z2)
=F2(z2)− F2(x0)G2(z2)−G2(x0)
.
Continuando questo procedimento, dopo n− 1 passi si arriva all’eguaglianza
Fn−1(zn−1)− Fn−1(x0)Gn−1(zn−1)−Gn−1(x0)
=F ′n−1(zn)G′n−1(zn)
ove x0 < zn < zn−1 < · · · z1 < x. Si ha
F ′n−1(zn) = f (n)(zn), G′n−1(zn) = n!.
Poiche
F (x)G(x)
=F1(z1)− F1(x0)G1(z1)−G1(x0)
= · · · · · · = Fn−1(x)− Fn−1(x0)Gn−1(x)−Gn−1(x0)
si ottiene l’eguaglianza desiderata
Tn(x− x0)(x− x0)n
=f(x)− pn−1(x− x0)
(x− x0)n=
f (n)(x0 + θ(x− x0))n!
,
ove si e posto zn = x0 + θ(x− x0).Per n = 1 il Teorema si riduce al Teorema di Lagrange e la formula (8.11.9)
non e altro che la seconda formula dell’incremento finito.I resti di Peano e di Lagrange non sono le uniche espressioni note del resto
della formula di Taylor. Nell’Appendice del capitolo 10 dimostreremo un’altraespressione del resto, la cosiddetta forma integrale.
La formula di Taylor con resto di Peano fornisce uno sviluppo di f(x) me-diante polinomi in (x − x0), con un errore che e o ((x− x0)n). Tale sviluppo eunico, nel senso precisato dal seguente Teorema.
Teorema 8.11.10 (di unicita dello sviluppo) Sia f : [a, b] → R, e sia x0 ∈[a, b]. Valgano ambedue le espressioni
f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·+ an(x− x0)n + o ((x− x0)n)(8.11.11)
f(x) = b0 + b1(x− x0) + b2(x− x0)2 + · · ·+ bn(x− x0)n + o ((x− x0)n) .(8.11.12)
Allora: a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.
Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo. Se la tesi e falsa, esiste un primoindice k ≤ n tale che ak 6= bk. Sottraendo (8.11.12) da (8.11.11) si ha
0 = (ak − bk) (x− x0)k + (ak+1 − bk+1) (x− x0)k+1 + · · ·+ (an − bn) (x− x0)n + o ((x− x0)n) . (8.11.13)
238 8. Calcolo differenziale
Dividiamo ambo i membri di (8.11.13) per (x−x0)k e portiamo a primo membro(ak − bk). Otteniamo
− (ak − bk) = (ak+1 − bk+1) (x− x0) + (ak+2 − bk+2) (x− x0)2 + · · ·
+ (an − bn) (x− x0)n−k +o ((x− x0)n)
(x− x0)k. (8.11.14)
Passando al limite per x → x0 vediamo che il secondo membro di (8.11.14) tendea 0. Quindi ak − bk = 0, assurdo.
8.12 Esempi sulla formula di Taylor
1) SiaP (x) = c0 + c1x + c2x
2 + · · ·+ cnxn
un polinomio di grado n. Questa funzione e derivabile infinite volte e tutte lesue derivate di ordine maggiore di n sono nulle.
Fissati due qualsiasi numeri x0 e x, possiamo scrivere la formula di Taylorcon resto di Lagrange arrestata all’ordine n+1 con punto iniziale x0 e incremento(x − x0). Tuttavia tale resto e nullo, poiche P (n+1)(x) = 0 per ogni x. Quindisi ha
P (x) = P (x0) +P ′(x0)
1!(x− x0) +
P′′(x0)2!
(x− x0)2 + · · ·+ P (n)(x0)2!
(x− x0)n,
cioe P (x) coincide con il suo polinomio di Taylor n–esimo.2) Sia f(x) = sinx e x0 = π/4. Calcoliamo la formula di Taylor arrestata
al terzo ordine con resto di Peano. Si ha
f(π/4) = sin π/4 =1√2
f ′(π/4) = cosπ/4 =1√2
f ′′(π/4) = − sinπ/4 = − 1√2
f ′′′(π/4) = − cosπ/4 = − 1√2.
Quindi
sin x =1√2
+1√2
(x− π
4
)− 1
2√
2
(x− π
4
)2
− 16√
2
(x− π
4
)3
+o
((x− π
4
)3)
.
3) Sia f(x) = log(2+x+x2) e sia x0 = −1. Calcoliamo la formula di Taylorarrestata al secondo ordine con resto di Peano. Si ha
f ′(x) =1 + 2x
2 + x + x2, f ′′(x) =
3− 2x− 2x2
(2 + x + x2)2,
8.12. Esempi sulla formula di Taylor 239
da cui f(−1) = log 2, f ′(−1) = −1/2, f ′′(−1) = 3/4. Quindi
log(2 + x + x2) = log 2− 12(x + 1) +
38(x + 1)2 + o((x + 1)2).
Se x0 = 0 la formula di Taylor con resto di Peano assume il nome di formuladi McLaurin e il relativo polinomio di Taylor si chiama polinomio di McLaurin.
Nel seguito calcoliamo la formula di McLaurin con resto di Peano arrestataall’ordine n per alcune funzioni elementari, tenendo conto dell’espressione perle derivate di ordine superiore di tali funzioni calcolate nel paragrafo 8.10.
Esponenziale e funzioni iperboliche Per ogni n la derivata n–esima di ex
e ex stessa e quindi vale 1 in x = 0. Si ha
ex = 1 +x
1!+
x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ o (xn) .
Le derivate pari di sinh x coincidono con sinh x, e quindi sono nulle in x = 0,mentre le derivate dispari coincidono con coshx e quindi valgono 1 in x = 0.Scriviamo la formula di McLaurin arrestata a un ordine dispari:
sinh x =x
1!+
x3
3!+
x5
5!+ · · ·+ x2n+1
(2n + 1)!+ o
(x2n+1
).
Ad esempio, per 2n + 1 = 3 si ha
sinhx = x +x3
3!+ o(x3).
Dato che il termine successivo e x5/5! , in realta l’o piccolo e o(x4).Analogamente, in x = 0 le derivate dispari del coseno iperbolico sono nulle,
mentre le derivate pari valgono 1. Scrivamo la formla di McLaurin arrestata aun ordine pari:
cosh x = 1 +x2
2!+
x4
4!+ · · ·+ x2n
(2n)!+ o
(x2n
).
Ad esempio, per 2n + 2 = 2 si ha
cosh x = 1 +x2
2!+ o(x2).
Anche in questo caso, dato che il termine successivo e x4/4! , in realta l’o piccoloe o(x3).
Funzioni circolari Le derivate di ordine pari del seno sono ± sin x, e quindinulle in x = 0. Le derivate dispari sono ± cos x e valgono ±1 in x = 0. Si ha
sin x =x
1!− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · ·+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ o
(x2n+1
).
240 8. Calcolo differenziale
Per 2n + 1 = 3 si ha
sinx = x− x3
1!+ o(x3).
Dato che il termine successivo e x5/5! , anche in questo caso l’o piccolo e inrealta o(x4).
In x = 0 le derivate le derivate dispari del coseno sono nulle, mentre lederivate pari valgono ∓1. Si ha
cosx = 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!+ o
(x2n
).
Ad esempio, per 2n + 2 = 2 si ha
cosx = 1− x2
2!+ o(x2).
Il termine successivo e x4/4! e quindi l’o piccolo e in realta o(x3).
Logaritmo Ricordando l’espressione delle derivate di log(1+x), si ottiene perx > −1
log(1 + x) = x− x2
2+
x3
3− x4
4+ · · ·+ (−1)n−1 xn
n+ o (xn) .
Per n = 2 si ha ad esempio
log(1 + x) = x− x2
2+ o(x2).
Potenze Sia α 6= 0 un numero reale non appartenente a N. Si ha per x > −1
(1 + x)α = 1 +(
α
1
)x +
(α
2
)x2 + · · ·+
(α
n
)xn + o(xn).
Ad esempio, se α = 1/2 e n = 2 si ha√
1 + x = 1 +12x− 1
8x2 + o(x2).
Se α = n e intero positivo, (1 + x)n e un polinomio di grado n e quindicoincide con il suo polinomio di McLaurin n−esimo. Possiamo usare la formuladi McLaurin per ricavare l’espressione della potenza n−esima di un binomio. Siha infatti
(1 + x)n = 1 +(
n
1
)x +
(n
2
)x2 + · · ·+
(n
n
)xn
=n∑
k=0
(n
k
)xk.
Ponendo ora x =b
aed eseguendo le semplificazioni, si ottiene la nota formula
(a + b)n =n∑
k=0
(n
k
)an−kbk.
8.12. Esempi sulla formula di Taylor 241
Inverse delle funzioni trigonometriche Ricaviamo la formula di McLaurinarrestata al terzo ordine dell’arcotangente. Tenendo conto che arctan 0 = 0 edei calcoli svolti nell’esempio 8.10.3.7, si ottiene
arctanx = x− x3
3+ o(x3) .
Si puo dimostrare che per ogni intero n > 0 si ha
arctanx = x− x3
3+
x5
5+ · · ·+ (−1)n x2n+1
2n + 1+ o
(x2n+1
).
Con semplici calcoli si ricava pure la formula arrestata al terzo ordine perarcsin x.
arcsinx = x +x3
6+ o(x3).
Si puo anche dimostrare che per ogni intero n > 0 vale la formula
arcsin x = x +12
x3
3+
1 · 32 · 4
x5
5+ · · ·+ 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · 8 · · · 2n
x2n+1
2n + 1+ o
(x2n+1
).
Lo sviluppo di arccos x si ottiene da quello di arcsin x, osservando che arccos x =π2 − arcsin x.
Applicazioni del teorema di unicita dello sviluppo Si voglia scrivere laformula di McLaurin di sinx5 arrestata al quindicesimo ordine. Non e necessarioeseguire quindici derivate. Infatti, posto z = x5, si ha
sin z = z − z3
6+ o(z3).
Sostituendo a z il valore x5 si ottiene
sin x5 = x5 − x15
6+ o(x15).
Per il Teorema di unicita dello sviluppo, questa espressione coincide con laformula di McLaurin arrestata al quindicesimo ordine.
Calcoliamo ora la formula di McLaurin per log2(1 + x) arrestata al terzoordine. Si ha
log2(1 + x) =(
x− x2
2+ o(x2)
)2
= x2 − x3 +[x4
4+
(o(x2)
)2+ 2xo(x2)− x2o(x2)
].
Si verifica immediatamente che il termine in parentesi quadrata e o(x3) e quindila formula cercata e
log2(1 + x) = x2 − x3 + o(x3).
242 8. Calcolo differenziale
Si noti che e bastato sviluppare log(1 + x) al secondo ordine e poi calcolare ilquadrato di questo sviluppo. Sviluppando log(1 + x) al terzo ordine, si giungeal medesimo risultato. Infatti, passando al quadrato, i termini aggiuntivi dannoluogo a infinitesimi di ordine superiore al terzo. In altri casi puo essere invecenecessario sviluppare fino al terzo ordine.
8.13 Convessita, concavita, flessi.
Definizione 8.13.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R. Si dice che f econvessa in I se per ogni terna di punti x1 < x < x2 di I si ha
f(x) ≤ f(x1) +f(x2)− f(x1)
x2 − x1(x− x1). (8.13.2)
Si dice che f e concava in I se
f(x) ≥ f(x1) +f(x2)− f(x1)
x2 − x1(x− x1). (8.13.3)
f(x1)
f(x2)
f(x)
x1 x2x
Funzione strettamente convessa
La diseguaglianza (8.13.2) ha un evidente significato geometrico: il graficodella funzione sta non al di sopra del segmento che unisce i punti (x1, f(x1)) e(x2, f(x2)). Infatti l’espressione a destra in (8.13.2) e l’ordinata della retta checongiunge tali punti.
Se la funzione e concava il suo grafico sta non al di sotto del segmento.Evidentemente f e convessa se e solo se −f e concava.
Se la diseguaglianza in (8.13.2) vale in senso forte, cioe con il segno < perogni x1 < x < x2, si dice che f e strettamente convessa in I. Analoga definizionevale per la concavita stretta.
8.13. Convessita, concavita, flessi. 243
Funzione concava ma non strettamente concava
Esempi 8.13.4
1. La funzione f(x) = |x| e strettamente convessa in R, come pure le funzionix2n con n ∈ N.
2. Ogni funzione lineare f(x) = mx + q e sia convessa che concava in R.
3. La funzione f(x) = sin x e strettamente concava in [0, π] e strettamenteconvessa in [π, 2π].
4. La funzione che vale −(x + 1) per x ≤ −1, vale 0 per |x| < 1 e vale x− 1per x ≥ 1 e convesssa, ma non strettamente convessa in R.
5. Si puo dimostrare che f e convessa se e solo se il suo sopragrafo, cioe laregione di piano {(x, y) : x ∈ I, y ≥ f(x)}, e un insieme convesso nel sensousuale: il segmento che unisce due punti del sopragrafo e tutto contenutonel sopragrafo stesso.
In questo paragrafo studieremo le funzioni convesse (e concave) sotto l’ipo-tesi che esse siano derivabili due volte in I. Nell’Appendice accenneremo alleproprieta delle funzioni convesse senza questa ipotesi di derivabilita.
Prima di caratterizzare la concavita e la convessita, riscriviamo la (8.13.2) inun modo equivalente ma piu adatto ai nostri scopi. La diseguaglianza (8.13.2)equivale a
(x2 − x1) (f(x)− f(x1)) ≤ (f(x2)− f(x1)) (x− x1). (8.13.5)
Scriviamo ora x2 − x1 = (x2 − x) + (x− x1). La (8.13.5) diviene
(x2 − x) (f(x)− f(x1)) ≤ (x− x1) (f(x2)− f(x1)− f(x) + f(x1))= (x− x1) (f(x2)− f(x))
che a sua volta e equivalente a
f(x)− f(x1)x− x1
≤ f(x2)− f(x)x2 − x
=f(x)− f(x2)
x− x2. (8.13.6)
244 8. Calcolo differenziale
per ogni x1 < x < x2. Analogamente, nel caso in cui f sia concava, (8.13.3)equivale a
f(x)− f(x1)x− x1
≥ f(x2)− f(x)x2 − x
=f(x)− f(x2)
x− x2.
Teorema 8.13.7 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R una funzionederivabile due volte in I.
Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia convessa e che f ′′(x) ≥ 0per ogni x ∈ I.
Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia concava e che f ′′(x) ≤ 0per ogni x ∈ I.
Dimostrazione. Dimostriamo l’asserto per le convessita. Supponiamo f con-vessa e dimostriamo che f ′(x) e monotona non decrescente.
Facendo tendere x a x1 in (8.13.6) si ottiene
f ′(x1) ≤ f(x2)− f(x1)x2 − x1
. (8.13.8)
Facendo invece tendere x a x2, sempre in (8.13.6), si ottiene
f(x2)− f(x1)x2 − x1
≤ f ′(x2). (8.13.9)
Da (8.13.8) e (8.13.9) si ottiene, per ogni x1 < x2,
f ′(x1) ≤ f(x2)− f(x1)x2 − x1
≤ f ′(x2). (8.13.10)
Abbiamo cosı dimostrato che f ′(x) e non decrescente. Ne segue f ′′(x) ≥ 0.
Supponiamo ora che f ′′(x) ≥ 0 per ogni x. Dobbiamo dimostrare che valela (8.13.6) per ogni x1 < x < x2.
Applichiamo il Teorema di Lagrange agli intervalli [x1, x] e [x, x2]. Esistonoz1 ∈ (x1, x) e z2 ∈ (x, x2) tali che
f(x)− f(x1)x− x1
= f ′(z1)
f(x2)− f(x)x2 − x
= f ′(z2).
La derivata prima e non decrescente, poiche f ′′(x) ≥ 0. Quindi f ′(z1) ≤ f ′(z2).Ne segue (8.13.6).
Non e difficile dedurre dai ragionamenti impiegati nella dimostrazione che fe strettamente convessa in I se e solo se f ′′(x) ≥ 0 per ogni x e i punti in cuif ′′(x) = 0 sono isolati.
La convessita e la concavita possono anche essere caratterizzate mediante laposizione del grafico rispetto alla tangente in ogni x0 ∈ I.
8.13. Convessita, concavita, flessi. 245
Teorema 8.13.11 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R derivabile due voltein I. Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia convessa e che
∀ x0, x ∈ I f(x) ≥ f(x0) + (x− x0)f ′(x0). (8.13.12)
Condizione necessaria e suffciente affinche sia concava e che per
∀ x0, x ∈ I f(x) ≤ f(x0) + (x− x0)f ′(x0).
Dimostrazione. Dimostriamo l’asserto per la convessita. Supponiamo chevalga la (8.13.12). Scriviamo la formula di Taylor con resto di Peano arrestataal secondo ordine con punto iniziale x0. Si ha, per ogni x ∈ I,
f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) +(x− x0)2
2f ′′(x0) + o
((x− x0)2
)
ovvero
f(x)− f(x0)− (x− x0)f ′(x0) = (x− x0)2(
12f ′′(x0) +
o((x− x0)2
)
(x− x0)2
).
Sia per assurdo f ′′(x0) < 0. Allora esiste un intorno B(x0, δ) di x0 (intorno de-stro o sinistro, se x0 e un estremo dell’intervallo) tale che per ogni x ∈ B(x0, δ),x 6= x0, si ha
12f ′′(x0) +
o((x− x0)2
)
(x− x0)2< 0.
In tale intorno quindi, si ha f(x) < f(x0)− (x− x0)f ′(x0), contro l’ipotesi. Nesegue f ′′(x0) ≥ 0 per ogni x0 ∈ I e quindi la convessita di f per il Teoremaprecedente.
Viceversa, sia f convessa. In questo caso sappiamo che f ′(x0) ≥ 0 perogni x0 ∈ I. Scriviamo la formula di Taylor con resto di Lagrange arrestata alsecondo ordine con punto iniziale x0. Per ogni x ∈ I esiste θ ∈ (0, 1) tale che
f(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) +(x− x0)2
2f ′′(x0 + θ(x− x0))
ossia
f(x)− f(x0)− (x− x0)f ′(x0) =(x− x0)2
2f ′′(x0 + θ(x− x0)) ≥ 0.
Quindi (8.13.12) vale.
246 8. Calcolo differenziale
Funzione convessa e tangente al grafico
Il significato della condizione (8.13.12) e evidente: f e convessa se e solo se ilgrafico della funzione sta al di sopra (non al di sotto) della tangente in qualunquepunto x0 ∈ I. Analogamente, f e concava se e solo se il grafico della funzionesta al di sotto (non al di sopra) della tangente in qualunque punto x0 ∈ I. Inaltri termini, la tangente divide il piano in due semipiani e il grafico di unafunzione convessa (concava) sta nel semipiano superiore (inferiore).
Definizione 8.13.13 Sia f : (x0 − δ, x0 + δ) → R derivabile una volta in x0.Si dice che x0 e un punto di flesso ascendente se
f(x) ≤ f(x0) + (x− x0)f ′(x0) per x ∈ (x0 − δ, x0] (8.13.14)f(x) ≥ f(x0) + (x− x0)f ′(x0) per x ∈ [x0, x0 + δ). (8.13.15)
Si dice che x0 e un punto di flesso discendente se
f(x) ≥ f(x0) + (x− x0)f ′(x0) per x ∈ (x0 − δ, x0]f(x) ≤ f(x0) + (x− x0)f ′(x0) per x ∈ [x0, x0 + δ).
Il punto (x0, f(x0)) viene chiamato flesso (ascendente o discendente) per ilgrafico della funzione.
La tangente in un punto x0 divide il piano in due semipiani. Un punto diflesso ascendente (discendente) e un punto in cui il grafico, al passare di x dasinistra a destra di x0, passa dal semipiano inferiore (superiore) al semipianosuperiore (inferiore).
Se x0 e un punto di tangente verticale, si dice che x0 e un punto di flesso atangente verticale. In questo caso il grafico passa dal semipiano sinistro a quellodestro rispetto alla tangente x = x0. Ad esempio, ogni funzione f(x) = 2n+1√
x,con n ∈ N, ha in x0 = 0 un punto di flesso a tangente verticale.
Si ha una condizione necessaria, simile al Teoema di Fermat, affinche x0 siapunto di flesso per una funzione due volte derivabile in tal punto.
Teorema 8.13.16 Sia f : (x0 − δ, x0 + δ) → R derivabile due volte in x0. Sex0 e un punto di flesso, allora f ′′(x0) = 0.
8.13. Convessita, concavita, flessi. 247
Dimostrazione. Sia per assurdo f ′′(x0) 6= 0 e, per fissare le idee, sia f ′′(x0) <0. Come nella dimostrazione del Teorema precedente, scriviamo formula diTaylor con resto di Peano arrestata al secondo ordine con punto iniziale x0. Siha
f(x)− f(x0)− (x− x0)f ′(x0) = (x− x0)2(
12f ′′(x0) +
o((x− x0)2
)
(x− x0)2
).
Esiste δ1 < δ tale che per ogni x ∈ (x0− δ1, x0 + δ1), x 6= x0, si abbia
12f ′′(x0) +
o((x− x0)2
)
(x− x0)2< 0
Quindi f(x) < f(x0) − (x − x0)f ′(x0) sia a destra che a sinistra di x0, control’ipotesi che x0 sia un punto di flesso.
La condizione f ′′(x0) = 0 e necessaria ma non sufficiente affinche x0 sia unpunto di flesso. Ad esempio f ′′(x) = x4 e convessa in R, poiche f ′′(x) = 12x2 ≥0. Il punto x0 = 0 in cui si annulla la derivata seconda non e un punto di flesso.
Se f e concava (rispettivamente, convessa) in (x0− δ, x0] e convessa (rispet-tivamente, concava) in [x0, x0 + δ), allora x0 e un punto di flesso ascendente(rispettivamente, discendente). Si ha cosı una condizione sufficiente affinche x0
sia un punto di flesso.
Corollario 8.13.17 Sia f : (x0 − δ, x0 + δ) → R derivabile due volte in (x0 −δ, x0 + δ). Sia f ′′(x0) = 0.
a) Se f ′′(x) < 0 per x ∈ (x0 − δ, x0) e f ′′(x) > 0 per x ∈ (x0, x0 + δ), allora x0
e un punto di flesso ascendente.
b) Se f ′′(x) > 0 per x ∈ (x0− δ, x0) e f ′′(x) < 0 per x ∈ (x0, x0 + δ), allora x0
e un punto di flesso discendente.
Dimostrazione. Ad esempio, nel caso a) f e concava in (x0− δ, x0] e convessain [x0, x0 + δ).
Se f : (x0 − δ, x0 + δ) → R e derivabile in questo intervallo e se f ′(x0) = 0,la condizione
f ′(x) > 0 per x ∈ (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ), (8.13.18)
implica che x0 sia un punto di flesso ascendente. Infatti, in questo caso latangente e la retta y = f(x0) e la funzione e monotona strettamente crescente.Quindi (8.13.18) implica
f(x) ≤ f(x0) per x ∈ (x0 − δ, x0],f(x) ≥ f(x0) per x ∈ [x0, x0 + δ),
ovvero (8.13.14) e (8.13.15). Se invece f ′(x0) = 0 e la derivata e negativa neglialtri punti di (x0 − δ, x0 + δ), lo stesso ragionamento mostra che x0 e un punto
248 8. Calcolo differenziale
di flesso discendente. Questi punti di flesso vengono chiamati punti di flesso atangente orizzontale.
Ad esempio, le funzioni f(x) = x2n+1, con n ∈ N, hanno in x0 = 0 un puntodi flesso ascendente a tangente orizzontale.
Flessi ascendenti
Flessi discendenti
Sottolineiamo che il termine ‘ascendente’ non si riferisce alla monotonia dellafunzione, ma al passaggio dalla concavita alla convessita. Analoga osservazionevale per il termine ’discendente’.
Flesso a tangente orizontale e flesso a tangente verticale
8.14. Asintoti obliqui 249
8.14 Asintoti obliqui
Definizione 8.14.1 Sia f : (a,+∞) → R (oppure f : (−∞, a) → R). Si diceche la retta y = mx + q e un asintoto obliquo al grafico di f per x → +∞ (oper x → −∞) se
limx→+∞
[f(x)−mx− q] = 0, (rispettivamente, limx→−∞
[f(x)−mx− q] = 0)
(8.14.2)
Si noti che se m = 0 la retta si riduce ad un asintoto orizzontale.
f(x) = x arctanx3
Esempi 8.14.3
1. Sia f(x) = x +1x
, definita per x 6= 0. Oltre ad ammettere la retta x = 0come asintoto verticale, il grafico di questa funzione ammette la rettay = x come asintoto obliquo, sia per x → +∞ che per x → −∞.
2. Sia f(x) = x arctanx3. Il grafico di questa funzione ammette la rettay =
π
2x come asintoto obliquo per x → +∞ e la retta y = −π
2x come
asintoto obliquo per x → −∞. Infatti, ricordando l’identita (8.8.5), si haper x → +∞
x arctanx3 − π
2x = −x arctan
1x3
∼ − x
x3→ 0.
Analogamente, ricordando (8.8.6), si ha per x → −∞
x arctanx3 +π
2x = −x arctan
1x3
∼ − x
x3→ 0.
Teorema 8.14.4 Sia f : (a,+∞) → R. Condizione necessaria e sufficienteaffinche la retta y = mx + q sia asintoto obliquo al grafico di f per x → +∞ eche:
250 8. Calcolo differenziale
i) esista finito limx→+∞f(x)
x= m;
ii) esista finito limx→+∞ [f(x)−mx] = q.
Se f : (−∞, a) → R, le analoghe condizioni sono necessarie e sufficientiaffinche y = mx + q sia asintoto obliquo al grafico di f per x → −∞.
Dimostrazione. Le condizioni sono necessarie. Sia y = mx+q asintoto obliquoper x → +∞. Si ha, per x → +∞,
f(x)−mx− q → 0 (8.14.5)
da cuif(x)
x−m− q
x→ 0.
Poiche q/x tende a 0, deve necessariamente verificarsi la i). Ovviamente (8.14.5)implica ii).
Le condizioni sono sufficienti. Supponiamo che valga i) e che la differenzaf(x)−mx tenda a q. Allora, ovviamente, f(x)−mx− q → 0 per x → +∞.
Sia f derivabile in (a,+∞) e tenda a ±∞ per x → +∞. Supponiamo cheesista limx→+∞ f ′(x) = γ. Allora, per il Teorema di De l’Hospital, anche f(x)/xtende a γ. Abbiamo quindi il seguente Corollario.
Corollario 8.14.6 Sia f : (a,+∞) → R derivabile in tale intervallo. Siaf(x) → ±∞ per x → +∞. Condizione sufficiente affinche la retta y = mx + qsia asintoto obliquo al grafico di f per x → +∞ e che:
i) esista finito limx→+∞ f ′(x) = m;
ii) esista finito limx→+∞ [f(x)−mx] = q.
Se limx→+∞ f ′(x) = ±∞, allora non esiste asintoto obliquo per x → +∞.La medesima proposizione vale per gli asintoti obliqui per x → −∞.
Esempi 8.14.7
1. Sia f(x) = 2x + tanh x + e−x. Applichiamo il Corollario per x → +∞. Siha
f ′(x) = 2 +1
cosh2 x− e−x → 2.
Inoltre, sempre per x → +∞
f(x)− 2x = tanh x + e−x → 1.
Quindi la retta y = 2x + 1 e asintoto obliquo per x → +∞. Non esistonoinvece asintoti obliqui per x → −∞, poiche f ′(x) → −∞ per x → −∞.
8.15. Appendice 251
2. Sia f(x) = x +sin x2
x. Il limite della derivata non esiste, poiche
f ′(x) = 1 + 2 cos x2 − sin x2
x2
non ammette limite per x → +∞ ne per x → −∞. Tuttavia possiamovedere direttamente che
f(x)− x =sin x2
x→ 0 per x → ±∞.
Quindi y = x e asintoto obliquo sia per x → +∞ che per x → −∞.Possiamo dedurre questo risultato anche dal Teorema 8.14.4. Si ha, siaper x → +∞ che per x → −∞,
f(x)x
= 1 +sin x2
x2→ 1 = m
f(x)− x =sin x2
x→ 0 = q
f(x) = x +sin x2
x
8.15 Appendice
8.15.1 Dimostrazione del Teorema di De l’Hospital
Dimostriamo la tesi nel caso che il limite sia per x → a+. La dimostrazione perx → b− e del tutto simile.
Sia dapprima −∞ ≤ γ < +∞. Si fissi un numero reale v1 > γ, e sia u taleche γ < u < v1. Esiste c ∈ (a, b) tale che per ogni x ∈ (a, c) si abbia
f ′(x)g′(x)
< u.
252 8. Calcolo differenziale
Si fissi x ∈ (a, c). Poiche g(y) → 0 oppure g(y) → ±∞ per y → a+, esiste c1,con a < c1 < x, tale che per ogni a < y < c1 si ha g(x) 6= g(y).
Possiamo applicare il Teorema di Cauchy all’intervallo [y, x]. Esiste z ∈ (y, x)tale che
f(x)− f(y)g(x)− g(y)
=f ′(z)g′(z)
< u. (8.15.1)
Questa diseguaglianza vale per ogni x ∈ (a, c) e ogni y ∈ (a, c1 ) , ove c1 < x.Distinguiamo ora i due casi.
a) Supponiamo che si abbia la forma di indecisione00
e passiamo al limite
per y → a+ in (8.15.1). Si ottiene la diseguaglianza
f(x)g(x)
≤ u < v1, (8.15.2)
valida per ogni x ∈ (a, c).b) Supponiamo ora che si abbia la forma di indecisione
∞∞ . Sia, per ogni x
fissato in (a, c),
ψ(y) =[f(x)f(y)
− 1] [
g(x)g(y)
− 1]−1
Evidentemente ψ(y) → 1 per y → a. Da (8.15.1) si ottiene
f(y)g(y)
ψ(y) < u,
ossia
lim supy→a+
f(y)g(y)
≤ u
Esiste quindi c2 < c1 tale che per ogni y ∈ (a, c2) si ha
f(y)g(y)
< v1. (8.15.3)
Tenendo conto di (8.15.2) e (8.15.3), vediamo che, in ambedue i casi, fissatoun numero qualsiasi v1 > γ esiste c2 > a tale che
∀x ∈ (a, c2)f(x)g(x)
< v1. (8.15.4)
Se −∞ < γ ≤ +∞ si dimostra allo stesso modo che, fissato un qualsiasinumero reale v2 < γ, esiste c3 > a tale che
∀x ∈ (a, c3)f(x)g(x)
> v2. (8.15.5)
Per l’arbitrarieta di v1 e v2 si ha:
se γ = −∞ (8.15.4) implica limx→a+f(x)g(x)
= −∞;
8.15. Appendice 253
se γ = +∞ (8.15.5) implica limx→a+f(x)g(x)
= +∞;
se −∞ < γ < +∞, (8.15.4) e (8.15.5) assieme implicano limx→a+f(x)g(x)
= γ.
8.15.2 Convessita
Le funzioni convesse (e quelle concave) in un intervallo possiedono notevoliproprieta di regolarita.
Teorema 8.15.6 Se f e convessa in un intervallo (a, b) (senza ulteriori ipotesisulla funzione) allora f possiede derivata destra e sinistra in ogni punto di (a, b).
Dimostrazione. Infatti, riscriviamo la (8.13.2) come
f(x)− f(x1)x− x1
≤ f(x2)− f(x1)x2 − x1
, (8.15.7)
valida per ogni x1 < x < x2. Questa diseguaglianza implica che il rapportoincrementale destro con punto iniziale x1 e monotono non decrescente. Inoltre,e anche limitato inferiormente poiche, se x0 < x1 < x, la (8.15.7) diviene
f(x0)− f(x1)x0 − x1
≤ f(x)− f(x1)x− x1
.
Quindi esiste finito per ogni x1
limx→x1+
f(x)− f(x1)x− x1
= f ′+(x1)
In modo analogo si vede che esiste la derivata sinistra in ogni punto di (a, b).Infatti, sempre per x1 < x < x2, la condizione (8.13.2) di convessita si puoscrivere equivalentemente come
f(x) ≤ f(x2) +f(x1)− f(x2)
x1 − x2(x− x2),
da cuif(x)− f(x2)
x− x2≥ f(x1)− f(x2)
x1 − x2.
Da qui si vede che il rapporto incrementale sinistro con punto iniziale x2 e nondecrescente e che (ragionando in modo a analogo al caso precedente) e limitatosuperiormente. Ne segue che esiste finito per ogni x2
limx→x2−
f(x)− f(x2)x− x2
= f−(x2).
Corollario 8.15.8 Se f e convessa in un intervallo (a, b) allora e continua in(a, b).
254 8. Calcolo differenziale
Dimostrazione. Infatti f e continua da destra e da sinistra in ogni punto di(a, b).
Teorema 8.15.9 Sia f e convessa in un intervallo (a, b). Allora f e derivabilein (a, b) eccetto un insieme al piu numerabile di punti angolosi.
Dimostrazione. Passiamo al limite in (8.15.7) per x → x1+ e ricordiamo cheil rapporto incrementale sinistro e monotono non decrescente, per cui
f(x2)− f(x1)x2 − x1
≤ f−(x2).
Otteniamo, per ogni x1 < x2,
f ′+(x1) ≤ f ′−(x2). (8.15.10)
In (8.15.7) facciamo ora tendere x1 a x− e, successivamente, x2 a x+. Si ottieneper ogni x
f ′−(x) ≤ f ′+(x). (8.15.11)
Combinando (8.15.10) e (8.15.11) si ha, per ogni x1 < x2,
f ′−(x1) ≤ f ′+(x1) ≤ f ′−(x2) ≤ f ′+(x2). (8.15.12)
Poniamo, per ogni x ∈ (a, b), F (x) = f ′+(x)− f ′(x). Evidentemente f e deriva-bile in x e solo se F (x) = 0. Se, per assurdo, l’insieme dei punti in cui F (x) > 0non e numerabile, esiste [c, d] ⊂ (a, b) tale che
E = {x ∈ [c, d] : F (x) > 0}non e numerabile. Per ogni n > 0 intero poniamo
En = {x ∈ [c, d] : F (x) > 1/n} .
Poiche ∪+∞n=1En = E, esiste n tale che En e infinito. Siano
c < x1 < x2 < · · · < xk < d
k punti di En. Per j = 1 . . . k si ha
F (xj) = f ′+(xj)− f ′(xj) > 1/n.
. Per (8.15.12) si ha
f ′+(a) ≤ f ′−(x1) ≤ f ′+(x1) ≤ f ′−(x2) ≤ f ′+(x2) ≤ · · · ≤ f ′+(xk) ≤ f ′−(d).
Quindi
f ′−(c)− f ′+(c) ≥k∑
j=1
(f ′+(xj)− f ′−(xj)
)>
k
n.
Facendo tendere k a +∞ si arriva all’assurdo.
8.15. Appendice 255
8.15.3 Estremanti e punti di flesso
La formula di Taylor con resto di Peano implica una condizione sufficiente,basata sulle derivate successive, affinche un punto x0 sia un estremante o unpunto di flesso,
Teorema 8.15.13 Sia f : (a, b) → R derivabile n ≥ 2 volte in x0. Sia
f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0.
Sia f (n)(x0) 6= 0.
a) Se n e pari, x0 e un estremante. Precisamente, x0 e punto di minimo sef (n)(x0) > 0, di massimo se f (n)(x0) < 0.
b) Se n e dispari, x0 e un punto di flesso a tangente orizzontale, ascendente sef (n)(x0) > 0, discendente se f (n)(x0) < 0.
Dimostrazione. Si ha per ogni x ∈ (a, b)
f(x)− f(x0) = (x− x0)n f (n)(x0)n!
+ o ((x− x0)n)
= (x− x0)n
(f (n)(x0)
n!+
o ((x− x0)n)(x− x0)n
).
Esiste δ > 0 tale che per |x− x0| < δ, x 6= x0, il segno di
f (n)(x0)n!
+o (((x− x0)n)
(x− x0)n
coincide con il segno di f (n)(x0). Per n pari si ha, per tali x,
f(x)− f(x0) ≷ 0
a seconda che f (n)(x0) ≷ 0. Se invece n e dispari, f(x)− f(x0) cambia di segnoal passaggio di x da sinistra a destra di x0.
Teorema 8.15.14 Sia f : (a, b) → R derivabile n ≥ 3 volte in x0. Sia
f ′′(x0) = f ′′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0.
Sia f (n)(x0) 6= 0. Allora
a) Se n e dispari, x0 e un punto di flesso. Precisamente x0 e un punto di flessoascendente se f (n)(x0) > 0, discendente se f (n)(x0) < 0.
b) Se n e pari, x0 non e un punto di un flesso.
Dimostrazione. Si ragiona come nel Teorema precedente. Si ha per ognix ∈ (a, b)
f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0) = (x− x0)n f (n)(x0)n!
+ o ((x− x0)n) .
Come prima esiste δ > 0 tale che per |x− x0| < δ, x 6= x0, il segno del terminedi sinistra e il segno di f (n)(x0) se n e pari, mentre cambia passando da sinistraa destra di x0 se n e dispari.
256 8. Calcolo differenziale
8.15.4 Serie di Taylor
Se una funzione f : (a, b) → R e derivabile infinite volte in x0, si puo scrivere lasua formula di Taylor arrestata a qualunque n. Il polinomio di Taylor n−esimo
pn(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)
2!(x− x0)2 + · · ·+ f (n)(x0)
n!(x− x0)n
e la somma parziale n−esima della serie
+∞∑
k=0
f (k)(x0)k!
(x− x0)k.
Tale serie si chiama serie di Taylor di f con centro in x0. E naturale chiedersise tale serie converga e se converga a f(x), almeno per x abbastanza prossimoa x0.
Lo studio delle serie di Taylor, e delle serie di potenze in generale, esula dalloscopo di queso testo. Tuttavia, possiamo ottenere alcuni risultati in manieraelementare per le serie di McLaurin (con centro in x0 = 0) di alcune funzionistudiate nel paragrafo 8.12.
Iniziamo con la funzione esponenziale ex. Il suo polinomio di McLaurinn−esimo e
pn(x) =n∑
k=0
xn
n!.
Scrivendo la formula di McLaurin con resto di Lagrange, si ha che per ogni x eogni n esiste θn ∈ (0, 1) tale che
ex −n∑
k=0
xk
k!=
eθnx
(n + 1)!xn+1.
Poiche, per ogni x fissato,
eθnx
(n + 1)!xn+1 → 0 per n → +∞,
possiamo asserire che per ogni x vale l’eguaglianza
ex =+∞∑
k=0
xk
k!.
Esaminiamo ora la funzione sin x. Il suo polinomio di McLaurin di grado 2n+1e
p2n+1(x) =n∑
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!.
Per ogni x e ogni n esiste θn ∈ (0, 1) tale che
sin x− p2n+1(x) =± sin(θnx)(2n + 2)!
x2n+2.
8.15. Appendice 257
Il segno + o − dipende dalla parita di n. Anche in questo caso
± sin(θnx)(2n + 2)!
x2n+2 → 0 per n → +∞.
Quindi per ogni x
sinx =+∞∑
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!.
In maniera analoga si vede che per ogni x
cosx =+∞∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!.
Le stesse osservazioni si applicano alle funzioni sinh x e cosh x. Si ha per ogni x
sinhx =+∞∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!, cosh x =
+∞∑
k=0
x2k
(2k)!.
Si puo dimostrare che per ogni −1 < x ≤ 1
log(1 + x) =n∑
k=1
(−1)k−1 xk
k. (8.15.15)
Questa formula invece non vale per x > 1, dato che per tali x la serie di McLaurinnon converge.
Notiamo la formula, ottenuta da (8.15.15) con x = 1,
log 2 = −+∞∑
k=1
(−1)k
k.
Capitolo 9
Primitive
9.1 Introduzione
Definizione 9.1.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R. Si dice cheuna funzione ϕ : I → R e una primitiva di f in I se ϕ e derivabile in I eϕ′(x) = f(x) per ogni x ∈ I.
Esempi 9.1.2
1. Sia f(x) = cos x. La funzione ϕ(x) = sin x + C e una primitiva di f in R,qualunque sia il valore della costante C.
2. Sia f(x) = mantx. La funzione ϕ(x) =x2
2+ C, per ogni valore della
costante C, e una primitiva di f in [0, 1). Tuttavia tale funzione none una primitiva di mantx nell’intervallo chiuso [0, 1], ne su qualunqueintervallo contenente propriamente [0, 1).
Il secondo esempio mostra che una funzione puo essere primitiva della re-strizione di f a un intervallo I, ma non della restrizione di f a un intervallocontenente propriamente I.
In generale, non e detto che una funzione ammetta primitiva in un intervallo.Infatti, se f ammette primitiva in I, allora f e una funzione derivata e quindideve possedere le proprieta delle funzioni derivate. In particolare, le disconti-nuita di f in I possono essere solo di seconda specie, per il Corollario 8.7.14. Adesempio, nessuna funzione ϕ puo essere la primitiva di mantx in un intervalloche contenga un punto ad ascissa intera. Infatti, la discontinuita della mantissain tali punti e di prima specie.
Evidentemente, se ϕ e una primitiva di f in I, anche ϕ + C, ove C e unacostante arbitraria, e una primitiva di f in I. Nel prossimo capitolo vedremo cheogni funzione continua in I ammette ivi primitiva. Per il momento ci limitiamoa notare che le formule per le derivate ottenute nel paragrafo 8.5 permettonodi dedurre le primitive di alcune funzioni elementari. Ad esempio, xn ammette
259
260 9. Primitive
come primitivaxn+1
n + 1+ C,
1x
ammette come primitiva log |x|+ C, etc. D’altra
parte, si puo dimostrare che esistono funzioni elementari dell’analisi, come
ex
x,
sin x
x,
log(1 + x)x
la cui primitiva non e una funzione elementare dell’analisi. I prossimi paragrafisaranno dedicati allo studio di alcune classi di funzioni la cui primitiva puoessere espressa in termini elementari.
9.2 Regole di integrazione indefinita
Teorema 9.2.1 Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → R. Supponiamo che fammetta una primitiva ϕ in I. Allora, tutte e sole le primitive di f in I sonole funzioni
ϕ(x) + C, ove C e una costante arbitraria.
Dimostrazione. Se Dϕ(x) = f(x) per ogni x ∈ I, evidentemente
D (ϕ(x) + C) = Dϕ(x) = f(x),
qualunque sia la costante C. Viceversa, supponiamo che ϕ1 sia un’altra primi-tiva di f in I. Allora, per ogni x ∈ I
D(ϕ1 − ϕ)(x) = f(x)− f(x) = 0.
Per il Corollario 8.8.3 (caratterizzazione delle funzioni costanti) esiste una co-stante C tale che ϕ1(x)− ϕ2(x) = C per ogni x ∈ I.
La generica primitiva di f in I, ammesso che esista, viene usualmente indi-cata con il simbolo ∫
f(x)dx. (9.2.2)
Il simbolo in (9.2.2) si chiama integrale indefinito di f(x). A sua volta, lafunzione f(x) viene chiamata funzione integranda.
Per definizione si ha, per ogni x ∈ I,
D
∫f(x)dx = f(x)
∫ϕ′(x)dx = ϕ(x) + C. (9.2.3)
Ad esempio,
∫xndx =
xn+1
n + 1+ C,
∫1x
dx = log |x|+ C,
∫1
1 + x2dx = arctan x + C.
9.2. Regole di integrazione indefinita 261
Se f1 e f2 ammettano primitiva in I e se c1 e c2 sono costanti reali, anchec1f1 + c2f2 ammette primitiva in I e si ha
∫(c1f1(x) + c2f2(x)) dx = c1
∫f1(x)dx + c2
∫f2(x)dx + C. (9.2.4)
La (9.2.4) si verifica immediatamente per derivazione.Ammettiamo per il momento il risultato menzionato precedentemente, cioe
che ogni funzione continua in un intervallo ha primitiva in questo intervallo.Abbiamo allora le formule di integrazione per parti e per sostituzione.
Teorema 9.2.5 (di integrazione per parti) Sia I ⊆ R un intervallo e sianof : I → R e g : I → R derivabili in I con derivata continua. Allora per ognix ∈ I vale la formula
∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫f ′(x)g(x)dx + C. (9.2.6)
Dimostrazione. Poiche
(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),
si ha, passando alle primitive,∫
(fg)′(x)dx =∫
f ′(x)g(x)dx +∫
f(x)g′(x)dx + C.
Dato che ∫(fg)′(x)dx = f(x)g(x) + C,
segue la tesi.Il termine g′(x) in (9.2.6) si chiama fattore differenziale, mentre f(x) si
chiama fattore finito.
Esempi 9.2.7
1. Si voglia calcolare∫
arctan xdx in I = R. Poniamo f(x) = arctan x eg′(x) = 1, ossia g(x) = x. Si ha
∫arctan xdx = x arctanx−
∫x
1 + x2dx + C.
Si riconosce immediatamente che una primitiva dix
1 + x2e la funzione
12
log(1 + x2). Quindi
∫arctan xdx = x arctanx− 1
2log(1 + x2) + C.
262 9. Primitive
2. Dimostriamo, integrando per parti, che∫
cos2 xdx =12
(sinx cosx + x) + C. (9.2.8)
Poniamo f(x) = cos x e g′(x) = cos x, di modo che g(x) = sin x. Dalla(9.2.6) si ha
∫cos2 xdx = sin x cos x +
∫sin2 xdx + C =
= sin x cos x +∫
(1− cos2 x)dx + C = sin x cos x + x−∫
cos2 xdx + C,
da cui (9.2.8). In modo del tutto analogo si dimostra che∫
sin2 xdx = −12
(sinx cosx− x) + C.
3. Il Teorema di integrazione per parti permette di calcolare ricorsivamentealcuni integrali dipendenti da un parametro intero n ≥ 0, una volta chesia noto il primo o i primi integrali. Ad esempio, si voglia calcolare perogni intero n ≥ 0
In =∫
xnexdx.
Assumendo ex come fattore differenziale si ha
In = xnex − n
∫xn−1exdx + C = xnex − nIn−1 + C. (9.2.9)
Questa formula permette di calcolare In a partire da I0 = ex + C. Adesempio
I3 = x3ex − 3I2 = x3ex − 3(x2ex − 2I1
)+ C
= x3ex − 3x2ex + 6xex − 6I0 + C
= x3ex − 3x2ex + 6xex − 6ex + C.
Formule del tipo (9.2.9), che esprimono In in funzione dell’integrale (odegli integrali) precedenti si chiamano formule di ricorrenza.
4. Un esempio notevole di integrale che si calcola per ricorrenza e il seguente.Sia, per ogni n ≥ 1
In =∫
1(1 + x2)n dx.
Ovviamente I1 =∫
11 + x2
dx = arctan x + C. Consideriamo l’identita
1(1 + x2)n =
1(1 + x2)n−1 −
x2
(1 + x2)n.
9.2. Regole di integrazione indefinita 263
Integrando ambo i lati si ottiene
In = In−1 −∫
x2
(1 + x2)ndx. (9.2.10)
Il secondo integrale a destra in (9.2.10) si calcola per parti, assumendocome fattore differenziale x(1 + x2)−n. Si ha∫
x2
(1 + x2)ndx = − x
2(n− 1) (1 + x2)n−1 +1
2(n− 1)
∫dx
(1 + x2)n−1 + C
= − x
2(n− 1) (1 + x2)n−1 +1
2(n− 1)In−1 + C.
Otteniamo cosı la formula di ricorrenza
In = − x
2(n− 1) (1 + x2)n−1 +2n− 32n− 2
In−1 + C.
che riconduce il calcolo di In a quello di I1.
Teorema 9.2.11 (di integrazione per sostituzione) Siano I e J intervalliin R. Sia f : I → R continua in I e sia x = x(t) : J → I una funzione derivabilecon derivata continua in J . Posto
ϕ(x) =∫
f(x)dx ,
ψ(t) =∫
f (x(t)) x′(t)dt ,
si ha per ogni t ∈ Jϕ(x(t)) = ψ(t) + C. (9.2.12)
Se x(t) e anche biunivoca, detta t = t(x) : I → J la funzione inversa, si ha
ϕ(x) = ψ(t(x)) (9.2.13)
Dimostrazione. Deriviamo la funzione composta ϕ(x(t)). Si ha
d
dt[ϕ(x(t))] = ϕ′(x(t))x′(t) = f (x(t)) x′(t).
e quindi ϕ(x(t)) e una primitiva di f (x(t)) x′(t) in J , da cui (9.2.12). Se x(t) eanche biunivoca, si ha x(t(x)) = x e quindi (9.2.13) segue da (9.2.12).
La formula (9.2.12) significa che, se vogliamo calcolare la primitiva di unafunzione della forma f (x(t)) x′(t), basta calcolare la primitiva della funzionef(x), salvo poi tornare alla variabile t ponendo x = x(t) nella primitiva trovata.Analogamente, la formula (9.2.13) significa che, se vogliamo calcolare la primi-tiva di f(x), possiamo calcolare la primitiva di f (x(t))x′(t), salvo poi tornarealla variabile x ponendo t = t(x) nella primitiva trovata. In questo secondo casola sostituzione x = x(t) deve essere biunivoca.
264 9. Primitive
Lo studente apprezzera il simbolismo dell’integrale indefinito: l’eguaglian-za dx = x′(t)dt esplicita il differenziale dx rispetto alla variabile t, fornendol’espressione della nuova funzione integranda.
Esempi 9.2.14
1. Calcoliamo per ogni t reale
ψ(t) =∫
(sin t)4 cos tdt.
In questo caso poniamo x = sin t, che non e ovviamente biunivoca. Si hadx = x′(t)dt = cos tdt. Quindi
ϕ(x) =∫
x4dx =x5
5+ C.
Applicando (9.2.12) si ottiene∫
(sin t)4 cos tdt =sin5 t
5+ C.
2. Calcoliamo per ogni t ∈ (−1, 1)
ψ(t) =∫
t2√1− t6
dt.
Poniamo x = t3, da cui dx = 3t2dt. Si ha
ϕ(x) =13
∫1√
1− x2dx =
13
arcsinx + C.
Da (9.2.12) si ottiene
ψ(t) =13
arcsin t3 + C.
3. Calcoliamo per ogni x reale
ϕ(x) =∫
ex
1 + exdx
per ogni x reale. Poniamo ex = t, ossia x = log t, che e biunivoca da R+
a R. In questo caso dx = x′(t)dt =dt
t, da cui
ψ(t) =∫
11 + t
dt = log |1 + t|+ C.
Per (9.2.13) si ha
ϕ(x) =∫
ex
1 + exdx = log(1 + ex) + C.
9.3. Primitive delle funzioni razionali fratte 265
4. Calcoliamo per ogni x > 0
ϕ(x) =∫
sin√
xdx
Poniamo x = t2, da cui dx = 2tdt. Il calcolo dell’integrale si riduce alcalcolo di
2∫
t sin tdt.
Integrando per parti si ha∫
t sin tdt = −t cos t +∫
cos tdt + C = −t cos t + sin t + C.
Quindi ∫sin√
xdx = −2√
x cos√
x + 2 sin√
x + C.
9.3 Primitive delle funzioni razionali fratte
Una funzione razionale fratta e una funzione del tipo
R(x) =P (x)Q(x)
,
ove P e Q sono polinomi. R(x) e definita in tutti i punti che non annullano ildenominatore. Nel seguito denotiamo con con grA(x) il grado di un polinomioA(x).
In questo paragrafo mostreremo come calcolare la primitiva di una qualunquefunzione razionale fratta nel suo campo di esistenza. In particolare vedremo chela primitiva di una funzione razionale fratta e combinazione lineare di funzionirazionali fratte, di funzioni del tipo log
∣∣ax2 + bx + c∣∣ e di funzioni del tipo
arctan(ax2 + bx + c).
Se grQ(x) = 0, ossia
R(x) = P (x) =n∑
k=0
ckxk,
la primitiva e a sua volta un polinomio che si calcola immediatamente:
∫ n∑
k=0
ckxkdx =n∑
k=0
ck
∫xkdx + C
=n∑
k=0
ck
k + 1xk+1 + C.
266 9. Primitive
Se grP (x) ≥ grQ(x), esiste un polinomio P ∗(x), con grP ∗(x) < grQ(x), tale cheP − P ∗ e divisibile per Q. Quindi esiste un polinomio A(x) tale che
P (x)Q(x)
= A(x) +P ∗(x)Q(x)
.
Ne segue ∫P (x)Q(x)
dx =∫
A(x) +∫
P ∗(x)Q(x)
dx + C.
Di conseguenza, d’ora in avanti supporremo sempre che il grado di P sia minoredi quello di Q. Supporremo anche che P e Q non abbiano fattori comuni.
9.3.1 Caso in cui il grado del denominatore e 1 o 2
Se il grado di Q e 1, allora f(x) e della forma
R(x) =a
x− b
per opportune costanti a e b. Quindi∫
R(x)dx =∫
a
x− b= a log |x− b|+ C.
Supponiamo ora che il grado di Q sia 2. Allora f(x) e della forma
R(x) =ax + b
x2 + px + q=
a
22x + p
x2 + px + q− 1
2pa− 2b
x2 + px + q.
ove a, b, p e q sono opportune costanti. Quindi∫
R(x)dx =a
2
∫2x + p
x2 + px + qdx− pa− 2b
2
∫dx
x2 + px + q+ C
=a
2log(x2 + px + q)− pa− 2b
2
∫dx
x2 + px + q+ C.
Siamo quindi ricondotti al calcolo di∫
dx
x2 + px + q. (9.3.1)
Esaminamo il discriminante del denominatore.Se p2 − 4q > 0, il trinomio x2 + px + q ha due radici distinte reali c1 e c2.Possiamo scrivere la frazione in nella forma
1(x− c1)(x− c2)
=1
c1 − c2
(1
x− c1− 1
x− c2
).
Ne segue∫
dx
(x− c1)(x− c2)=
1c1 − c2
log |x− c1| − 1c1 − c2
log |x− c2|+ C.
9.3. Primitive delle funzioni razionali fratte 267
Se p2 − 4q = 0, allora x2 + px + q = (x + p/2)2. In questo caso∫
dx
(x + p/2)2= − 1
x + p/2+ C.
Se p2 − 4q < 0, si ha
x2 + px + q =(q − p2/4
)(
(x + p/2)2
q − p2/4+ 1
).
Poniamo, per semplicita di scrittura, k =√
q − p2/4. L’integrale (9.3.1) diviene
1k2
∫dx(
x + p/2k
)2
+ 1
,
che si calcola con la sostituzione (x + p/2) /k = t. Dato che dx = kdt, siamoricondotti all’integrale
1k
∫dt
t2 + 1=
1k
arctan t + C.
In definitiva∫
dx
x2 + px + q=
1√q − p2/4
arctan
(x + p/2√q − p2/4
)+ C. (9.3.2)
Esempi 9.3.3
1. SiaP (x)Q(x)
=x3 + x
x2 − 1. In questo esempio il grado del numeratore e maggiore
di quello del denominatore. Si ha x3 + x = (x2 − 1)x + 2x, da cui
x3 + x
x2 − 1= x +
2x
x2 − 1,
∫x3 + x
x2 − 1dx =
∫xdx +
∫2x
x2 − 1dx + C =
x2
2+ log
∣∣x2 − 1∣∣ + C
Si noti che, anziche integrare2x
x2 − 1direttamente, lo si puo prima scom-
porre come2x
x2 − 1=
1x + 1
+1
x− 1,
e poi effettuare l’integrazione.
2. SiaP (x)Q(x)
=1
x2 − x− 6=
1(x− 3)(x + 2)
. Si ha
∫dx
x2 − x− 6=
15
log |x− 3| − 15
log |x + 2|+ C.
268 9. Primitive
3. SiaP (x)Q(x)
=1
(x− 1)2. In questo caso
∫dx
(x− 1)2= − 1
x− 1+ C.
4. Sia f(x) =1
x2 + x + 1. Il discriminante del denominatore e −3. Si ha da
(9.3.2) ∫dx
x2 + x + 1=
2√3
arctan(
2x + 1√3
)+ C.
9.3.2 Casi fondamentali
Come vedremo nel possimo sottoparagrafo, i casi fondamentali a cui si riconducel’integrazione delle funzioni razionali fratte sono, con una eventuale sostituzionelineare, i tre seguenti:
∫dx
(x− a)n(9.3.4)
∫dx
(x2 + px + q)n , (9.3.5)∫
x
(x2 + px + q)n dx′ . (9.3.6)
ove n e un intero positivo, a , p e q sono numeri reali e p2 − 4q < 0.L’integrale (9.3.4) e di calcolo immediato. Si ha
∫dx
x− a= log |x− a|+ C,
∫dx
(x− a)n = − 1(n− 1)(x− a)n−1
+ C se n ≥ 2.
Per il calcolo dell’integrale (9.3.5) si effettua la sostituzione
x + p/2√q − p2/4
= t. (9.3.7)
Posto k =√
q − p2/4, si ottiene l’integrale
1k2n−1
∫dt
(1 + t2)n. (9.3.8)
Questo integrale e stato studiato nell’esempio 9.2.7.4, ove si e mostrato comeeffettuarne il calcolo per ricorrenza.
L’integrale (9.3.6) si calcola pure mediante la sostituzione (9.3.7). Si ottienel’integrale
1k2n−2
∫t
(1 + t2)dt− p
2k2n−1
∫dt
(1 + t2)n. (9.3.9)
9.3. Primitive delle funzioni razionali fratte 269
Il secondo integrale in (9.3.9) e del tipo (9.3.8), appena visto. Per il primointegrale si ha
∫t
1 + t2dt =
12
log(1 + t2) + C,
∫t
(1 + t2)n dt = − 12(n− 1) (1 + t2)n−1 + C se n ≥ 2.
9.3.3 Caso generale
Iniziamo con un risultato che si deduce dal Teorema fondamentale dell’Algebra,la cui dimostrazione esula dallo scopo di questo testo e sara svolta nei corsi diAlgebra.
Teorema 9.3.10 Sia Q(x) un polinomio di grado n sul campo reale. AlloraQ(x) si puo scrivere come prodotto
Q(x) = a0(x− a1)n1 · · · (x− ah)nh(x2 + p1x + q1
)m1 · · · (x2 + pkx + qk
)mk
(9.3.11)ove:
a) a0 a1, . . . , ah, p1, . . . , pk e q1, . . . , qk sono numeri reali univocamente deter-minati. Gli aj, per j ≥ 1, sono a due a due distinti e i trinomi sono adue a due distinti. Inoltre, ciascun trinomio ha discriminante negativo;
b) n1, . . . , nh e m1, . . . , mk sono numeri interi positivi univocamente determi-nati tali che n1 + · · ·+ nh + 2m1 + · · ·+ 2mk = n.
Il numero nj si chiama molteplicita della radice aj . Il numero mj e lamolteplicita del trinomio x2 + pjx + qj
Vedremo che rapporto P (x)/Q(x) si puo scrivere come combinazione linea-re di funzioni razionali fratte dei tre tipi fondamentali studiati nel precedentesottoparagrafo. Iniziamo con degli esempi.
Esempi 9.3.12
1. Si voglia calcolare ∫dx
x2 (x2 − 1).
In questo caso Q(x) ha le radici 1 e −1 con molteplicita 1 e la radice 0con molteplicita 2. Si possono trovare quattro costanti a, b, c e d tali che
1x2(x2 − 1)
=a
x2+
b
x+
c
x− 1+
d
x + 1. (9.3.13)
Infatti, riduciamo le frazioni a secondo membro a minimo comun deno-minatore ed eseguiamo la somma. La precedente eguaglianza equivalea
1x2(x2 − 1)
=a(x2 − 1) + bx(x2 − 1) + cx2(x + 1) + dx2(x− 1)
x2(x2 − 1).
270 9. Primitive
Eguagliando i coefficienti dei termini di egual grado al numeratore, siarriva al sistema
b + c + d = 0, a + c− d = 0, b = 0, − a = 1.
Le soluzioni sono a = −1, b = 0, c = 1/2, d = −1/2. Tutti gli integralida calcolare rientrano nel caso (9.3.4). Si ottiene
∫dx
x2(x2 − 1)=
1x
+12
log∣∣∣∣x− 1x + 1
∣∣∣∣ + C
2. Si voglia calcolare ∫x4 − 1
x(x2 + x + 1)2dx.
In questo caso Q(x) ha la radice 0 con molteplicita 1, mentre il trinomioirriducibile x2 + x + 1 ha molteplicita 2. Cerchiamo delle costanti a, b, c,r e s tali che
x4 − 1x(x2 + x + 1)2
=a
x+
bx + c
(x2 + x + 1)2+
rx + s
x2 + x + 1.
Come nell’esempio precedente, riduciamo le frazioni a secondo membroa minimo comun denominatore ed eseguiamo la somma. Eguagliando ilnumeratore della somma a x4 − 1 si ha
x4− 1 = (a+ r)x4 +(2a+ s+ r)x3 +(3a+ s+ r + b)x2 +(2a+ s+ c)x+ a.
Eguagliando i coefficienti dei termini di egual grado si ottiene il sistema
1 = a + r, 0 = 2a + s + r, 0 = 3a + s + r + b, 0 = 2a + s + c, −1 = a,
che ha l’unica soluzione
a = −1, b = 1, c = 2, r = 2, s = 0.
Quindi∫
x4 − 1x(x2 + x + 1)2
dx = −∫
dx
x+
∫x + 2
(x2 + x + 1)2dx+
∫2xdx
x2 + x + 1+C.
Il primo integrale a secondo membro e del tipo (9.3.4). Il secondo e terzointegrale si riconducono ai casi (9.3.5) e (9.3.6). Infatti il denominatore euna potenza di x2 + x + 1, che ha discriminante p2 − 4q = −3 < 0. Lasostituzione (9.3.7) assume la forma
2x + 1√3
= t.
9.4. Primitive di funzioni razionali fratte in un argomento 271
Come si intuisce dagli esempi, l’integrazione indefinita di una funzione razionalefratta si riduce al calcolo di integrali dei tipi (9.3.4), (9.3.5) e (9.3.6). Precisiamotale affermazione nel seguente Teorema. La dimostrazione e svolta in Appendice.
Teorema 9.3.14 (di decomposizione) Siano P (x) e Q(x) due polinomi tali
che grP (x) < grQ(x). Sia Q(x) della forma (9.3.11). Allora il rapportoP (x)Q(x)
si esprime in maniera unica come combinazione lineare dei seguenti addendi:
1(x− aj)nj
,1
(x− aj)nj−1,
1(x− aj)nj−2
, . . . ,1
x− aj, ove j = 1, . . . , h,
1(x2 + pjx + qj)
mj,
1(x2 + pjx + qj)
mj−1 ,1
(x2 + pjx + qj)mj−2 , . . .
. . . . . . ,1
x2 + pjx + qj, ove j = 1, . . . , k,
x
(x2 + pjx + qj)mj
,x
(x2 + pjx + qj)mj−1 ,
x
(x2 + pjx + qj)mj−2 , . . .
. . . . . . ,1
x2 + pjx + qj, ove j = 1, . . . , k.
Nei paragrafi successivi studiamo le principali classi di integrali indefinitiche, con opportune sostituzioni, si possono ricondurre a integrali di funzioni ra-zionali fratte. La trattazione che segue non vuole, ne puo, essere esaustiva, bensısolo una indicazione di come si possa affrontare il problema della integrazioneindefinita per mezzo di funzioni elementari.
9.4 Primitive di funzioni razionali fratte in un argomento
Sia f(t) una funzione derivabile con derivata continua in un intervallo I. Sia,come nel paragrafo precedente,
R(x) =P (x)Q(x)
ove P e Q sono polinomi. Il calcolo della primitiva∫
R (f(t)) f ′(t)dt
si ottiene integrando per sostituzione. Infatti, posto x = f(t), si ha dx = f ′(t)dt.Il calcolo viene cosı ricondotto a quello di
∫R(x)dx.
Illustriamo alcuni casi notevoli con degli esempi
272 9. Primitive
Esempi 9.4.1
1. Si voglia calcolare ∫1 + sin t
1 + sin2 tcos tdt.
Posto x = sin x, da cui dx = cos tdt, si ottiene l’integrale∫
1 + x
1 + x2dx =
∫dx
1 + x2+
∫x
1 + x2dx + C
= arctan x +12
log(1 + x2) + C.
Quindi∫
1 + sin t
sin2 t + 1cos t dt = arctan (sin t) +
12
log(1 + sin2 t) + C.
2. Si voglia calcolare∫
tan3 tdt =∫
tan3 t(1 + tan2 t
) (1 + tan2 t
)dt.
Posto x = tan t, da cui dx =(1 + tan2 t
)dt, siamo ricondotti al calcolo di
∫x3
1 + x2=
∫xdx−
∫x
1 + x2+ C.
Si ottiene ∫tan3 tdt =
12
tan2 t− 12
log(1 + tan2 t
)+ C.
3. In maniera analoga si calcolano integrali del tipo∫
R(cos t) sin tdt,∫
R(sinh t) cosh tdt,∫
R(cosh t) sinh tdt,∫
R(et)dt =∫
R(et)et
etdt, etc.
9.5 Primitive di funzioni razionali fratte in piu argomenti
Una funzione razionale fratta in n variabili R(x1, x2, . . . , xn) e il rapporto
R(x1, x2, . . . , xn) =P (x1, x2, . . . , xn)Q(x1, x2, . . . , xn)
,
ove P e Q sono polinomi in x1, x2, . . . , xn. Ad esempio
R(x, y, z) =x + y + z
x2 + y2 + z2.
In questo paragrafo indicheremo come si calcola la primitiva di una funzionerazionale fratta i cui argomenti sono particolari tipi di funzioni.
9.5. Primitive di funzioni razionali fratte in piu argomenti 273
9.5.1 Primitive di R(cos t, sin t)
In questo caso si utilizzano le note identita che esprimono sin t e cos t in funzionedi tan t/2:
sin t =2 tan
t
2
1 + tan2 t
2
, cos t =1− tan2 t
2
1 + tan2 t
2
.
Quindi
∫R(cos t, sin t)dt =
∫R
2 tant
2
1 + tan2 t
2
,1− tan2 t
21 + tan2 x
2
1 + tan2 t
2
1 + tan2 t
2
dt . (9.5.1)
Si opera la sostituzione
x = tant
2(9.5.2)
da cui dx =12
(1 + tan2 t
2
)dt. In forza di (9.2.13) siamo ricondotti al calcolo
della primitiva di una funzione razionale fratta in x, cioe∫
R
(2x
1 + x2,1− x2
1 + x2
)2
1 + x2dx.
9.5.2 Primitive di R(cos2 t, sin2 t, tan t)
Questo caso differisce dal precedente, in quanto le funzioni seno e coseno appa-iono solo a potenza pari, oppure sotto forma di tangente. Conviene utilizzare leidentita
sin2 t =tan2 t
1 + tan2 t, cos2 t =
11 + tan2 t
.
Postox = tan t, (9.5.3)
si ha dx =(1 + tan2 t
)dt. L’integrale
∫R(cos2 t, sin2 t, tan t)dt diviene
∫R
(x2
1 + x2,
11 + x2
, x
)1
1 + x2dx
che e l’integrale di una funzione razionale fratta in x.
Esempi 9.5.4
1. Si voglia calcolare∫
dt
cos t + sin t. Operando la sostituzione (9.5.2) si
ottiene∫
2−x2 + 2x + 1
dx =1√2
log∣∣∣x− 1 +
√2∣∣∣− 1√
2log
∣∣∣x− 1−√
2∣∣∣ + C.
274 9. Primitive
Quindi ∫1
cos t + sin tdt =
1√2
log
∣∣∣∣∣tan2 t
2 − 1 +√
2
tan2 t2 − 1−√2
∣∣∣∣∣ + C.
In modo analogo si calcolano gli integrali della forma∫
dt
a cos t + b sin t + c
2. Si voglia calcolare∫
cos2 t + tan t
sin4 tdt. Operando la sostituzione (9.5.3) si
ottiene l’integrale∫
(x−1 + x−3 + x−4)dx = log |x| − 12x−2 − 1
3x−3 + C.
Quindi∫
cos2 t + tan t
sin4 tdt = − log | cot t| − 1
2cot2 t− 1
3cot3 t + C.
9.5.3 Primitive di R(x,
q1√
xp1 ,q2√
xp2 , . . . ,qn√
xpn)
Supponiamo che le frazioni pi/qi siano irriducibili e che qi > 0 per ogni i =1, . . . , n. Sia q il minimo comune multiplo di q1, q2, . . . , qn. Poniamo ki =q/qi, di modo che qi
√xpi =
q√xpiki . Si applica la formula (9.2.12) operando la
sostituzionex = tq, (9.5.5)
da cui dx = qtq−1dt.
L’integrale∫
R(x,
q1√
xp1 ,q2√
xp2 , . . . ,qn√
xpn)dx diviene
q
∫R
(tq, tp1k1 , tp2k2 , . . . , tpnkn
)tq−1dt
che e l’integrale di una funzione razionale fratta in t.
9.5.4 Primitive di R
(x,
q1
√(ax+bcx+d
)p1
,q2
√(ax+bcx+d
)p2
. . . ,qn
√(ax+bcx+d
)pn)
Supponiamo ad−bc 6= 0, altrimenti le frazioni sotto radice sono eguali a costanti.Come prima, supponiamo qi > 0 e che tutte le frazioni pi/qi, per i = 1 . . . n,siano irriducibili. Denotiamo con q il minimo comune multiplo dei qi. Poniamoki = q/qi, di modo che
qi
√(ax + b
cx + d
)pi
=q
√(ax + b
cx + d
)piki
, i = 1, . . . , n.
9.5. Primitive di funzioni razionali fratte in piu argomenti 275
Si opera la sostituzione
ax + b
cx + d= tq, da cui x =
tqd− b
−tqc + a. (9.5.6)
Si ha dx = q (ad− bc)t
q−1
(−tqc + a)2dt. L’integrale
∫R
(x,
q1
√(ax + b
cx + d
)p1
,q2
√(ax + b
cx + d
)p2
, . . . ,qn
√(ax + b
cx + d
)pn)
dx (9.5.7)
si riconduce all’integrale di una funzione razionale fratta, cioe a
q (ad− bc)∫
R
(tqd− b
−tqc + a, tp1k1 , tp2k2 , . . . , tpnkn
)t
q−1dt
(−tqc + a)2.
Esempi 9.5.8
1. Si voglia calcolare ∫dx
3√
x2 −√x.
In questo caso si ha q1 = 3, q2 = 2, p1 = 2, p1 = 1. Il minimo comunedenominatore e q = 6. Con la sostituzione x = t6 si ottiene l’integrale
6∫
t5
t4 − t3dt = 6
∫t2
t− 1dt = 6
∫(t + 1) dt + 6
∫dt
t− 1+ C
= 3t2 + 6t + 6 log |t− 1|+ C.
Quindi ∫dx
3√
x2 −√x= 3 3
√x + 6 6
√x + 6 log
∣∣ 6√
x− 1∣∣ + C.
2. Si voglia calcolare ∫1
x− 1
√x + 1x− 1
dx.
Si ha ad− bc = −2, p = 1, q = 2. La sostituzione e
x + 1x− 1
= t2, da cui x =t2 + 1t2 − 1
.
Si ha dx = − 4t
(t2 − 1)2dt. Sostituendo si ottiene
−2∫
t2
t2 − 1= −2t− log
∣∣∣∣t− 1t + 1
∣∣∣∣ + C.
276 9. Primitive
Quindi
∫1
x− 1
√x + 1x− 1
dx = −2
√x + 1x− 1
− log
∣∣∣∣∣∣
√x+1x−1 − 1
√x+1x−1 + 1
∣∣∣∣∣∣+ C.
Osservazione. Per applicare la formula (9.2.12) dobbiamo verificare labiunivocita della sostituzione operata. Se q e dispari, tutti i qi sono dispa-ri e la funzione (9.5.5) applica biunivocamente R su R. Se q e pari, almenouno dei qi e pari. Sia, per fissare le idee, q1 pari. Poiche abbiamo suppo-sto pi/qi irriducibile, p1 e dispari. Ne segue che q1
√xp1 , e quindi la funzio-
ne R(x,
q1√
xp1 ,q2√
xp2 , . . . ,qn√
xpn), e definita per x > 0. La funzione (9.5.5)
in questo caso applica biunivocamente l’insieme dei reali positivi su se stesso.Analoghe osservazioni valgono per l’integrale (9.5.7).
9.5.5 Primitive di R(x,
ñx2 + px + q
)
Supponiamo che il determinante del trinomio ±x2 + px + q non sia nullo,altrimenti si ha una funzione razionale fratta in x.
Operiamo una sostituzione che riduca la radiceñx2 + px + q (9.5.9)
alla forma√
t2 ± 1 oppure√
1− t2.a) Valga nella radice (9.5.9) il segno +. Se p2/4 − q < 0, posto k =√
q − p2/4, la consueta sostituzione
x + p/2k
= t
trasforma la radice in k√
t2 + 1. L’integrale∫ (
x,ñx2 + px + q
)dx diviene
k
∫R
(kt− p/2, k
√t2 + 1
)dt. (9.5.10)
Se p2/4− q > 0, posto k =√
p2/4− q, la sostituzione
x + p/2k
= t (9.5.11)
trasforma la radice in k√
t2 − 1. L’integrale diviene
k
∫R
(kt− p/2, k
√t2 − 1
)dt (9.5.12)
b) Valga nella radice (9.5.9) il segno −. In questo caso si ha necessariamentep2/4 + q > 0. Posto k =
√p2/4 + q, con la sostituzione
x− p/2k
= t
9.5. Primitive di funzioni razionali fratte in piu argomenti 277
la radice si trasforma k√
1− t2. L’integrale corrispondente e
k
∫R
(kt + p/2, k
√1− t2
)dt. (9.5.13)
Per il calcolo di questi integrali vi sono varie sostituzioni possibili, che ridu-cono la funzione integranda a una funzione razionale fratta. In (9.5.10), tenendoconto che cosh2 t− sinh2 t = 1, la sostituzione t = sinh u, dt = cosh udu, riducel’integranda a una fuzione razionale fratta nelle funzioni iperboliche, e quindiin eu. Analogamente, in (9.5.12) si puo operare la sostituzione t = cosh u,dt = sinh udu. In (9.5.13) la sostituzione t = sin u, dt = cos udu, riducel’integranda a una funzione razionale fratta nelle funzioni circolari.
Senza passare per le funzioni iperboliche, nell’integrale (9.5.12) si puo porre√t2 − 1 = u− t, che, risolta rispetto a t, da
t =u
2+
12u
. (9.5.14)
Quindi √t2 − 1 =
u
2− 1
2u.
Poiche dt =12− 1
2u2, siamo ricondotti al calcolo di una primitiva del tipo
∫R1
(u
2+
12u
,u
2− 1
2u
)u2 − 12u2
du.
L’analoga sostituzione √t2 + 1 = u− t
razionalizza l’integrale (9.5.10).In (9.5.13) si possono usare le funzioni circolari, come gia notato, oppure
operare la sostituzione√
1− t2 = u(1− t). Risolvendo rispetto a t si ha
t =u2 − 1u2 + 1
da cui √1− t2 =
2u
1 + u2.
Si ha dt =4u
(1 + u2)2du e quindi siamo ricondotti al calcolo di una primitiva del
tipo ∫R1
(u2 − 11 + u2
,2u
1 + u2
)4u
(1 + u2)2du.
Le sostituzioni menzionate sopra sono solo alcune delle possibili sostituzioni percalcolare queste primitive. La scelta della sostituzione migliore, in questo comepure negli altri tipi di integrali, dipende in generale dalla forma della funzioneintegranda.
278 9. Primitive
Esempi 9.5.15
1. Si voglia calcolare∫ √
1 + x2
x2dx. Con la sostituzione x = sinh u l’integrale
diventa∫
cosh2 u
sinh2 udu =
∫ (1 +
1sinh2 u
)du = u− cosh u
sinhu+ C
= u−√
1 + sinh2 u
sinhu+ C
Per calcolare questa espressione in x dobbiamo procurarci l’espressionedella funzione inversa di x = sinh u. Risolvendo rispetto a u l’equazione
sinhu =12
(eu − 1
eu
)= x
si ottieneu = log
(x +
√1 + x2
).
Quindi la primitiva cercata e
log(x +
√1 + x2
)+√
1 + x2
x+ C.
2. Si voglia calcolare∫
x√
x2 − 4x + 3 dx. In questo caso p2/4 − q = 1.
L’integrale (9.5.12) e ∫(t + 2)
√t2 − 1dt.
Usiamo la sostituzione (9.5.14). L’integrale diviene∫ (
u
2+
12u
+ 2)(
u
2− 1
2u
)(12− 1
2u2
)du
che e di integrazione elementare. Una volta eseguito questo calcolo, perottenere la primitiva originaria, occorre sostituire
√t2 − 1 + t a u e, suc-
cessivamente, x− 2 a t.
3. Calcoliamo∫ √−x2 + 2x + 15
(x− 1)3dx. In questo caso p2/4 + q = 16. L’inte-
grale (9.5.13) e14
∫ √1− t2
t3dt.
La sostituzione√
1− t2 = u(1− t) conduce al calcolo di
2∫
u2
(u2 − 1)3du.
9.6. Integrali binomi 279
9.6 Integrali binomi
Si chiama integrale binomio un integrale indefinito della forma∫
xm(a + bxn)pdx, (9.6.1)
ove m, n e p sono numeri razionali e a 6= 0, b 6= 0. Si dimostra che questiintegrali si possono calcolare in termini finiti se e solo se uno dei tre seguentinumeri
p,m + 1
n,
m + 1n
+ p
e intero.
a) Se p e intero, l’integrale binomio e del tipo gia studiato nel sottoparagrafo9.5.3.
b) Sem + 1
ne intero, posto p =
r
s, ove r e s sono interi, si opera la
sostituzione
x =(
ts − a
b
)1/n
(9.6.2)
dx =sts−1
nb
(ts − a
b
)−1+1/n
dt.
Si ha
xm(a + bxn)p =(
ts − a
b
)m/n
tr.
L’integrale (9.6.1) diviene
s
nb
∫tr+s−1
(ts − a
b
)m+1n −1
dt
che e l’integrale di una funzione razionale fratta.
c) Sem + 1
n+ p e intero, posto p =
r
s, ove r e s sono interi, si opera la
sostituzione
x =(
ts − b
a
)−1/n
(9.6.3)
dx = − s
nats−1
(ts − b
a
)−1−1/n
Si ha
xm(a + bxn)p = xm+np(b + ax−n)p =(
ts − b
a
)−mn −p
tr.
280 9. Primitive
L’integrale (9.6.1) diviene
− s
na
∫tr+s−1
(ts − b
a
)−m+1n −p−1
dt
che e l’integrale di una funzione razionale fratta.
Esempi 9.6.4
1. Calcoliamo ∫ √x
3√
3− 4 4√
x dx.
In questo caso m = 1/2, n = 1/4 e p = 1/3. Si ha (m + 1)/n = 6 e siamopercio nel caso b). La sostituzione (9.6.2) riconduce l’integrale a
345
∫t3
(t3 − 3
)5dt
che e l’integrale di un polinomio. Una volta calcolato questo integrale siritorna a una funzione in x ricavando t da (9.6.2).
2. Calcoliamo ∫3√
x(1 + 2
√x)−2/3
dx.
In questo caso m = 1/3, n = 1/2, p = −2/3. Si ha (m + 1)/n + p = 2,e quindi siamo nel caso c). Operando la sostituzione (9.6.3) arriviamoall’integrale
6∫
dt
(2− t3)3
che e l’integrale di una funzione razionale fratta.
9.7 Appendice
9.7.1 Decomposizione di una funzione razionale fratta
In questa Appendice dimostriamo il Teorema 9.3.14 di decomposizione di unafunzione razionale fratta. Tenendo presente la (9.3.11), la dimostrazione segueda una applicazione ripetuta dei due lemmi seguenti.
Lemma 9.7.1 Siano P (x) e Q(x) due polinomi tali che gr P (x) < gr Q(x). Sia
Q(x) = (x− a)nR(x).
ove n ≥ 1 e R(a) 6= 0.Posto Q1(x) = (x − a)n−1R(x), si possono trovare in maniera unica una
costante κ e un polinomio P1(x) tali che
a) gr P1(x) < gr Q1(x)
9.7. Appendice 281
b)P (x)Q(x)
=κ
(x− a)n+
P1(x)Q1(x)
.
Dimostrazione. Determiniamo κ in modo che
P (x)− κR(x)(x− a)nR(x)
=P (x)
(x− a)nR(x)− κ
(x− a)n
sia della forma desiderata. Poiche R(a) 6= 0, poniamo κ =P (a)R(a)
. Si ha P (a)−κR(a) = 0 e quindi esiste un unico polinomio P1(x) tale che
P (x)− κR(x) = (x− a)P1(x). (9.7.2)
Ne segue
P (x)Q(x)
=κ
(x− a)n+
P1(x)(x− a)n−1R(x)
=κ
(x− a)n+
P1(x)Q1(x)
.
Dato che i gradi di P (x) e R(x) sono minori di gr Q(x), per (9.7.2) si ha
1 + gr P1(x) ≤ max (gr P (x), gr R(x)) < gr Q(x) = 1 + gr Q1(x).
Lemma 9.7.3 Siano P (x) e Q(x) due polinomi tali che gr P (x) < gr Q(x). Sia
Q(x) = (x2 + px + q)nR(x).
ove p2 − 4q < 0, n ≥ 1 e R(x) non e divisibile per (x2 + px + q).Posto Q1(x) = (x2 + px + q)n−1R(x), si possono trovare in maniera unica
due costanti α e β e un polinomio P1(x) tali che
a) gr P1(x) < gr Q1(x)
b)P (x)Q(x)
=αx + β
(x2 + px + q)n+
P1(x)Q1(x)
.
Dimostrazione. La dimostrazione di questo Lemma in realta e la stessa delLemma precedente, purche si operi nel campo complesso e si considerino le radici
complesse coniugate−p± i
√q − 4p2
2. Possiamo tuttavia evitare il formalismo
complesso. Innanzi tutto, posto
t =x + p√4q − p2
,
il polinomio Q assume la forma (con un piccolo abuso di notazioni)
Q(t) = (t2 + 1)nR(t),
282 9. Primitive
ove R(t) non e divisibile per (t2 +1). Determiniamo due costanti α e β in modoche
P (t)− (αt + β)R(t)(t2 + 1)nR(t)
=P (t)
(t2 + 1)nR(t)− αt + β
(t2 + 1)n
abbia le proprieta desiderate. Separando le potenze pari di t da quelle dispari,i polinomi P (t) e R(t) si possono scrivere come
P (t) = P+(t2) + tP−(t2)
R(t) = R+(t2) + tR−(t2)
ove P+, P−, R+, R− sono polinomi nella variabile t2. Quindi
P (t)− (αt + β)R(t) =[P+(t2)− βR+(t2)− αt2R−(t2)
]
+ t[P−(t2)− αR+(t2)− βR−(t2)
]. (9.7.4)
I polinomi nelle parentesi quadrate sono ambedue polinomi in t2. Posto t2 = u,cerchiamo α e β in modo che ambedue i polinomi
P+(u)− βR+(u)− αuR−(u),P−(u)− αR+(u)− βR−(u)
siano divisibili per (u + 1). Otteniamo il sistema{ −αR−(−1) + βR+(−1) = P+(−1)
αR+(−1) + βR−(−1) = P−(−1)
il cui determinante e −R2+(−1) − R2
−(−1). Tale espressione e diversa da 0,altrimenti sia R+(u) che R−(u) sarebbero divisibili per (u + 1) e quindi R(t)sarebbe divisibile per (t2 + 1).
Dette α e β le soluzioni, si ha
P+(u)− βR+(u)− αuR−(u) = (u + 1)A(u)P−(u)− αR+(u)− βR−(u) = (u + 1)B(u)
e quindi P (t) − (αt + β)R(t) = (t2 + 1)(A(t2) + tB(t2)
)= (t2 + 1)P1(t). Ne
segueP (t)− (αt + β)R(t)
(t2 + 1)nR(t)=
P1(t)(t2 + 1)n−1R(t)
=P1(t)Q1(t)
.
Ovviamente
2 + gr P1(t) ≤ max (gr P (t), gr R(t)) < gr Q(t) = 2 + gr Q1(t).
Capitolo 10
Integrale di Riemann
10.1 Introduzione
La teoria dell’integrazione risponde a due problemi: il calcolo dell’area sottesadal grafico di una funzione f(x) e la determinazione della primitiva di f(x).Newton e Leibniz concepirono l’integrale essenzialmente come calcolo dell’in-versa della derivata, e definirono l’area mediante la differenza dei valori dellaprimitiva agli estremi dell’intervallo. Nella trattazione di Cauchy l’area vienedefinita indipendentemente, mediante approssimazione con plurirettangoli. Inquesto capitolo esponiamo la teoria di Riemann, che generalizza l’integrale diCauchy, originariamente formulato per le sole funzioni continue. Ulteriori gene-ralizzazioni, specialmente quella di Lebesgue, sono oggetto dei programmi deicorsi successivi di Analisi Matematica.
10.2 Somme superiori e inferiori
Definizione 10.2.1 Sia [a, b] un intervallo chiuso e limitato. Una partizioneP di [a, b] e un insieme di n + 1 punti
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Una partizione P = {x0, x1, . . . , xn} suddivide l’intervallo [a, b] in n intervalli[xj , xj+1], ciascuno dei quali ha ampiezza xj+1−xj , per ogni j = 0, 1, . . . , n−1.
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. Data una qualunque partizione P ,a maggior ragione f e limitata su ciascuno degli intervalli [xj , xj+1]. Poniamo,per ogni j = 0, 1, . . . , n− 1,
Lj = supxj≤x≤xj+1
f(x), `j = infxj≤x≤xj+1
f(x).
Definizione 10.2.2 Sia f : [a, b] → R una funzione limitata e sia P unapartizione di [a, b]. Si chiama somma superiore (relativa alla partizione P ) la
283
284 10. Integrale di Riemann
quantita
S(P ) =n−1∑
j=0
Lj (xj+1 − xj) .
Si chiama somma inferiore (relativa alla partizione P ) la quantita
s(P ) =n−1∑
j=0
`j (xj+1 − xj) .
Se f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b], le somme inferiori rappresentano l’area del-l’unione dei rettangoli di base [xj , xj+1] e altezza `j . Tale figura viene chiamataplurirettangolo inscritto. Le somme superiori rappresentano l’area dell’unionedei rettangoli di base [xj , xj+1] e altezza Lj . Tale figura viene chiamata pluriret-tangolo circoscritto. Sempre nel caso in cui f(x) ≥ 0, e evidente dal significatogeometrico che, assegnate due qualunque partizioni P1 e P2 di [a, b], vale ladiseguaglianza
s(P1) ≤ S(P2). (10.2.3)
Se f(x) ha segno qualunque si ha s(P ) ≤ S(P ) per ogni partizione P , poiche`j ≤ Lj per ogni j. Tuttavia, la diseguaglianza (10.2.3) non e piu immediataper due partizioni diverse. Per dimostrare la validita della diseguaglianza della(10.2.3) nel caso generale, iniziamo con la seguente definizione.
Definizione 10.2.4 Data una partizione P , si dice che un partizione P ∗ e unraffinamento di P se P ⊂ P ∗, ossia se ogni punto di P e anche un punto di P ∗.
Date due partizioni P1 e P2, si chiama comune raffinamento di P1 e P2 lapartizione P ∗ = P1 ∪ P2.
a=x0 x5=bx1 x2 x3 x4
Plurirettangolo inscritto
10.2. Somme superiori e inferiori 285
a=x0 x5=bx1 x2 x3 x4
Plurirettangolo circoscritto
Un raffinamento di P e quindi ottenuto introducendo nuovi punti nella par-tizione. Mostriamo che questa operazione fa sı che le somme inferiori crescanoe le somme superiori descrescano.
Lemma 10.2.5 Sia P ∗ un raffinamento di P . Allora
s(P ) ≤ s(P ∗), S(P ) ≥ S(P ∗).
Dimostrazione. Dimostriamo l’asserto per le somme inferiori, poiche il ragio-namento per le somme superiori e del tutto analogo.
Supponiamo che P ∗ contenga esattamente un punto in piu di P . Sia x∗ talepunto. Esiste k, 0 ≤ k ≤ n − 1, tale che xk < x∗ < xk+1. La somma s(P ∗)ha gli stessi addendi di s(P ), ad eccezione dell’addendo `k(xk+1 − xk). Al suoposto s(P ∗) ha i due addendi
`∗1(x∗ − xk) + `∗2(xk+1 − x∗)
ove`∗1 = inf
xk≤x≤x∗f(x), `∗2 = inf
x∗≤x≤xk+1f(x).
Ovviamente `∗1 ≥ `k e `∗2 ≥ `k. Quindi
s(P ∗)− s(P ) = `∗1(x∗ − xk) + `∗2(xk+1 − x∗)− `k (xk+1 − xk)
≥ `k(x∗ − xk) + `k(xk+1 − x∗)− `k (xk+1 − xk)= 0.
Se P ∗ contiene m punti in piu di P , ripetendo il precedente ragionamento mvolte si ottiene la tesi.
286 10. Integrale di Riemann
Teorema 10.2.6 Sia f : [a, b] → R una funzione limitata e siano P1 e P2
partizioni di [a, b]. Allora s(P1) ≤ S(P2).
Dimostrazione. Sia P ∗ = P1 ∪ P2. Per il Lemma precedente si ha
s(P1) ≤ s(P ∗) ≤ S(P ∗) ≤ S(P2).
10.3 L’integrale di Riemann
Sia A l’insieme di tutte le somme inferiori e B l’insieme di tutte le sommesuperiori. In forza del Teorema 10.2.6, ogni elemento di B e un maggiorantedi A e ogni elemento di A e un minorante di B. In particolare, A e limitatosuperiormente e B e limitato inferiormente.
Definizione 10.3.1 Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. Si chiamaintegrale inferiore di f in [a, b] la quantita
∫ b
a
f(x)dx = supP
s(P ).
Si chiama integrale superiore di f in [a, b] la quantita
∫ b
a
f(x)dx = infP
S(P ).
In forza del Lemma 10.2.6 si ha∫ b
a
f(x)dx ≤∫ b
a
f(x)dx,
ma l’integrale superiore e quello inferiore possono non coincidere per una arbi-traria funzione limitata f . Consideriamo infatti la funzione di Dirichlet
f(x) ={
0 se x ∈ [0, 1] e irrazionale1 se x ∈ [0, 1] e razionale.
Data una qualunque partizione P , si ha `j = 0 e Lj = 1 per ogni j, poicheogni intervallo contiene punti razionali e punti irrazionali. Ne segue s(P ) = 0 eS(P ) =
∑n−1j=0 (xj+1 − xj) = 1. L’integrale superiore vale quindi 1 e l’integrale
inferiore vale 0.
Definizione 10.3.2 Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. Si dice che f eintegrabile secondo Riemann (o Riemann–integrabile, o anche R–integrabile) in[a, b] se ∫ b
a
f(x)dx =∫ b
a
f(x)dx.
10.3. L’integrale di Riemann 287
Il comune valore viene indicato con∫ b
a
f(x)dx
e viene chiamato integrale (di Riemann) di f in [a, b], o anche integrale dif esteso a [a, b]. La funzione f , che appare sotto il segno di integrale, vienechiamata funzione integranda.
T
a b
Il trapezoide T
Se f : [a, b] → R limitata. Supponiamo f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b]. Sichiama trapezoide (sotteso dal grafico di f) la regione piana
T = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} . (10.3.3)
Poiche f(x) ≥ 0 per ogni x, le somme inferiori e superiori sono tutte non ne-gative. Se f e integrabile secondo Riemann in [a, b], si ha necessariamente∫ b
af(x)dx ≥ 0. In questo caso il significato geometrico dell’integrale e evidente:
esso e l’area del trapezoide T . Si pone quindi per definizione
area (T ) =∫ b
a
f(x)dx.
Se T e una figura geometrica elementare si puo dimostrare che∫ b
af(x)dx
coincide con l’area di T definita nella geometria. Questo apparira chiaro dalTeorema fondamentale del calcolo. Per ora ci limitiamo all’ovvia osservazioneche, se f(x) = C per ogni x ∈ [a, b], si ha
∫ b
af(x)dx = C(b− a).
Definizione 10.3.4 Si denota con R[a, b] l’insieme di tutte le funzioni f :[a, b] → R limitate e R–integrabili in [a, b]
Teorema 10.3.5 Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. Condizione neces-saria e sufficiente affinche f ∈ R[a, b] e che
∀ε > 0 ∃P ∗ S(P ∗)− s(P ∗) < ε. (10.3.6)
288 10. Integrale di Riemann
Dimostrazione. Poniamo
I1 =∫ b
a
f(x)dx,. I2 =∫ b
a
f(x)dx.
Per definizione I1 e l’estremo superiore delle somme inferiori e I2 e l’estremoinferiore delle somme superiori. Quindi, fissato ε > 0, esistono una partizioneP1 e una partizione P2 tali che
I1 − ε
2< s(P1) ≤ I1 ≤ I2 ≤ S(P2) < I2 +
ε
2.
Posto P ∗ = P1 ∪ P2, si ha per il Lemma 10.2.5
I1 − ε
2< s(P ∗) ≤ I1 ≤ I2 ≤ S(P ∗) < I2 +
ε
2.
Per tale partizione si ha quindi
S(P ∗)− s(P ∗) < I2 − I1 + ε. (10.3.7)
Se f e Riemann integrabile in [a, b] si ha I1 = I2 e quindi S(P )− s(P ) < ε.Viceversa valga (10.3.6). Poiche
s(P ∗) ≤ I1 ≤ I2 ≤ S(P ∗)
si ha 0 ≤ I2 − I1 < S(P ∗)− s(P ∗) < ε. Per l’arbitrarieta di ε si ha I1 = I2.
10.4 Proprieta dell’integrale
Teorema 10.4.1 (di linearita dell’integrale) Siano f1, f2 ∈ R[a, b]. Sianoc1, c2 ∈ R. Allora c1f1 + c2f2 ∈ R[a, b] e si ha
∫ b
a
(c1f1(x) + c2f2(x)) dx = c1
∫ b
a
f1(x)dx + c2
∫ b
a
f2(x)dx. (10.4.2)
Dimostrazione. Denotiamo con s(P, f) e S(P, f) le somme inferiori e superiorirelative a una funzione f . Poniamo
I1 =∫ b
a
f1(x)dx, I2 =∫ b
a
f2(x)dx.
Per il Teorema 10.3.5, per ogni ε > 0 esistono due partizioni P1 e P2 tali che,per k = 1, 2,
(S(Pk, fk)− Ik) + (Ik − s(Pk, fk)) = S(Pk, fk)− s(Pk, fk) < ε/2.
Si ha quindi
−ε
2+ I1 ≤ s(P1, f1) ≤ S(P1, f1) ≤ I1 +
ε
2(10.4.3)
−ε
2+ I2 ≤ s(P2, f2) ≤ S(P2, f2) ≤ I2 +
ε
2(10.4.4)
10.4. Proprieta dell’integrale 289
Posto P = P1 ∪ P2, per il Lemma 10.2.5 le diseguaglianze (10.4.3) e (10.4.4)continuano a valere con P al posto di P1 e P2. Sommando queste diseguaglianze(con P al posto di P1 e P2) si ha
−ε + I1 + I2 ≤ s(P, f1) + s(P, f2) ≤ S(P, f1) + S(P, f2) ≤ I1 + I2 + ε. (10.4.5)
Sia P = {x0, x1, . . . , xn}. Osserviamo che
Lj = supxj≤x≤xj+1
(f1(x) + f2(x)) ≤ supxj≤x≤xj+1
f1(x) + supxj≤x≤xj+1
f2(x) = L1j + L2
j ,
`j = infxj≤x≤xj+1
(f1(x) + f2(x)) ≥ infxj≤x≤xj+1
f1(x) + infxj≤x≤xj+1
f2(x) = `1j + `2j .
Ne segue
S(P, f1 + f2) =n−1∑
j=0
Lj(xj+1 − xj) ≤n−1∑
j=0
L1j (xj+1 − xj) +
n−1∑
j=0
L1j (xj+1 − xj)
= S(P, f1) + S(P, f2),
e, allo stesso modo,
s(P, f1 + f2) ≥ s(P, f1) + s(P, f2).
Da (10.4.5) si ottiene
−ε + I1 + I2 ≤ s(P, f1 + f2) ≤ S(P, f1 + f2) ≤ I1 + I2 + ε.
Poiche ε e arbitrario si ha che f1 + f2 e Riemann-integrabile in [a, b] e che
∫ b
a
(f1(x) + f2(x)) dx =∫ b
a
f1(x)dx +∫ b
a
f2(x)dx.
Notiamo ora che, per ogni funzione f limitata in [a, b] e per ogni partizione P ,si ha
s(P,−f) = −S(P, f)S(P,−f) = −s(P, f).
Quindi, se fk (con k = 1, 2) e Riemann-integrabile in [a, b], lo e anche −fk e
−∫ b
a
fk(x)dx =∫ b
a
−fk(x))dx.
Possiamo percio supporre c1 e c2 non negativi. Si ha
s(P, c1f1) = c1s(P, f1)S(P, c1f1) = c1S(P, f1).
290 10. Integrale di Riemann
Quindi c1f1 e Riemann integrabile e
∫ b
a
c1f1(x)dx = c1
∫ b
a
f1(x)dx. (10.4.6)
In modo analogo si ha
∫ b
a
c2f2(x)dx = c2
∫ b
a
f2(x)dx.
Abbiamo notato nel paragrafo 10.3 che una funzione R-integrabile e nonnegativa ha integrale non negativo. Dal Teorema precedente segue immediata-mente la proprieta di monotonia dell’integrale, nel senso precisato dal seguenteCorollario.
Corollario 10.4.7 (Teorema di monotonia) Siano f, g ∈ R[a, b]. Se f(x) ≤g(x) per ogni x ∈ [a, b], allora
∫ b
a
f(x)dx ≤∫ b
a
g(x)dx.
Dimostrazione. Si ha g − f ∈ R[a, b] e
∫ b
a
g(x)dx−∫ b
a
f(x)dx =∫ b
a
(g(x)− f(x)) dx ≥ 0.
Teorema 10.4.8 (di additivita) Sia f : [a, b] → R limitata. Le seguenti af-fermazioni sono equivalenti:
a) f ∈ R[a, b];
b) ∀c ∈ (a, b) f ∈ R[a, c] e f ∈ R[c, b].
Se vale una di queste due affermazioni, allora
∫ b
a
f(x)dx =∫ c
a
f(x)dx +∫ b
c
f(x)dx. (10.4.9)
Dimostrazione. a) =⇒ b) Sia f ∈ R[a, b]. Dimostriamo che f ∈ R[a, c]e f ∈ R[c, b]. Per il Teorema 10.3.5, per ogni ε > 0 esiste una partizioneP di [a, b] tale che S(P ) − s(P ) < ε. Possiamo supporre che c appartengaa P . Altrimenti raffiniamo la partizione aggiungendovi tale punto; le sommesuperiori non crescono e le inferiori non decrescono, di modo che vale ancora ladiseguaglianza precedente.
10.4. Proprieta dell’integrale 291
Sia P ∗1 la partizione di [a, c] ottenuta restringendo P ai soli punti xj tali chexj ∈ [a, c]. Sia P ∗2 la partizione di [c, b] ottenuta restringendo P ai soli punti xj
tali che xj ∈ [c, b]. Si ha
s(P ) = s(P ∗1 ) + s(P ∗2 ) (10.4.10)S(P ) = S(P ∗1 ) + S(P ∗2 ), (10.4.11)
da cuiS(P ∗1 )− s(P ∗1 ) + S(P ∗2 )− s(P ∗2 ) = S(P )− s(P ) < ε,
A maggior ragione S(P ∗k ) − s(P ∗k ) < ε, per k = 1, 2. Sempre per il Teorema10.3.5, b) vale.b) =⇒ a). Fissato ε > 0 esistono partizioni P ∗1 di [a, c] e P ∗2 di [c, b] tali che
S(P ∗k )− s(P ∗k ) < ε, per k = 1, 2. (10.4.12)
Detta P la partizione di [a, b] ottenuta unendo i punti di P ∗1 e P ∗2 , valgono lerelazioni (10.4.10) e (10.4.11). Ne segue S(P )− s(P ) < 2ε, e quindi a).
Si osservi ora che (10.4.12) implica
−ε +∫ c
a
f(x)dx ≤ s(P ∗1 ) ≤ S(P ∗1 ) ≤∫ c
a
f(x)dx + ε
−ε +∫ b
c
f(x)dx ≤ s(P ∗2 ) ≤ S(P ∗2 ) ≤∫ b
c
f(x)dx + ε
da cui, sommando,
−2ε+∫ c
a
f(x)dx+∫ b
c
f(x)dx ≤ s(P, f) ≤ S(P, f) ≤∫ c
a
f(x)dx+∫ b
c
f(x)dx+2ε.
Poiche si ha anche
s(P, f) ≤∫ b
a
f(x)dx ≤ S(P, f),
si ha (10.4.9) per l’arbitrarieta di ε.
T1
a bc
T2
I trapezoidi T1 e T2
292 10. Integrale di Riemann
Se f(x) ≥ 0 in [a, b], l’integrale∫ b
cf(x)dx rappresenta l’area del trapezoide
(10.3.3), mentre∫ c
af(x)dx e
∫ b
cf(x)dx rappresentano le aree degli analoghi
trapezoidi T1 e T2 con base [a, c] e [c, b], rispettivamente. Si ha T = T1 ∪ T2,mentre T1 ∩T2 consiste di un segmento, la cui area e nulla (questa affermazionesara dimostrata nel prossimo paragrafo). Il Teorema 10.4.8 afferma che
Area(T ) = Area(T1) + Area(T2).
Se f(x) non ha segno costante, l’integrale di Riemann di f non rappresentapiu l’area della regione delimitata dal grafico e dall’asse delle ascisse. L’areadi questa regione si ottiene invece come integrale di |f(x)|. Tuttavia, bisognaprima dimostrare che |f(x)| e Riemann integrabile in [a, b] se lo e f .
Teorema 10.4.13 Sia f ∈ R[a, b]. Allora |f(x)| ∈ R[a, b] e si ha∣∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a
|f(x)| dx (10.4.14)
Dimostrazione. Sia fissi ε > 0 e sia P una partizione tale che S(P, f) −s(P, f) < ε. Per ogni j = 0, . . . n−1, denotiamo con ˜
j e Lj l’estremo inferiore equello superiore di |f | nell’intervallo [xj , xj+1] e, al solito, con `j e Lj l’estremoinferiore e quello superiore di f nello stesso intervallo.
Per ogni t, s ∈ [xj , xj+1] si ha chiaramente∣∣|f(t)| − |f(s)|
∣∣ ≤ |f(t) − f(s)|,da cui
Lj − ˜j = sup
t,sε[xj ,xj+1]
∣∣|f(t)| − |f(s)|∣∣ ≤ supt,sε[xj ,xj+1]
|f(t)− f(s)| = Lj − `j .
Ne segueS(P, |f |)− s(P, |f |) ≤ S(P, f)− s(P, f) < ε.
Quindi |f | ∈ R[a, b] per il Teorema 10.3.5.Evidentemente − |f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|. Per il Teorema di monotonia,
−∫ b
a
|f(x)| dx ≤∫ b
a
f(x)dx ≤∫ b
a
|f(x)| dx ,
che equivale a (10.4.14)Le funzioni
f+(x) =12
(f(x) + |f(x)|)
f−(x) =12
(f(x)− |f(x)|) .
si chiamano rispettivamente parte positiva e parte negativa di f . Per quantoappena dimostrato, se f e integrabile in [a, b], anche f+ e f− lo sono.
10.5. Classi di funzioni integrabili 293
f(x)
a b
a b
|f(x)|
f(x) e |f(x)|
f-(x) f+(x)
a b a b
Parte negativa e positiva di f(x)
10.5 Classi di funzioni integrabili
In questo paragrafo dimostriamo che una funzione limitata in [a, b] e Riemannintegrabile se e continua, oppure ha un numero finito di discontinuita, oppure emonotona.
Teorema 10.5.1 Sia f : [a, b] → R continua. Allora f ∈ R[a, b].
Dimostrazione. Dimostriamo che se f e continua allora vale (10.3.6).Si fissi ε > 0 ad arbitrio. Poiche f e uniformemente continua in [a, b], per
il Teorema di Heine–Cantor esiste δ > 0 tale che per ogni coppia di puntit, s ∈ [a, b], con |t− s| < δ, si ha
|f(t)− f(s)| < δ.
Sia P una partizione tale che
max0≤j≤n−1
(xj+1 − xj) < δ. (10.5.2)
294 10. Integrale di Riemann
Dobbiamo valutare
S(P )− s(P ) =n−1∑
j=0
Lj (xj+1 − xj)−n−1∑
j=0
`j (xj+1 − xj)
=n−1∑
j=0
(Lj − `j) (xj+1 − xj) .
Per il teorema di Weierstrass, per ogni j esistono due punti tj , sj ∈ [xj , x+1] taliche
f(tj) = maxxj≤x≤x+1
f(x) = Lj
f(sj) = minxj≤x≤x+1
f(x) = `j .
Si ha |tj − sj | ≤ xj+1 − xj < δ per (10.5.2). Quindi
Lj − `j = f(tj)− f(sj) < ε.
Ne segue
n−1∑
j=0
(Lj − `j) (xj+1 − xj) <
n−1∑
j=0
ε (xj+1 − xj) = ε
n−1∑
j=0
(xj+1 − xj)
= ε(b− a)
che e arbitrario assieme ad ε.Come conseguenza del Teorema precedente e del Teorema 10.4.8, otteniamo
la seguente estensione.
Teorema 10.5.3 Sia f : [a, b] → R limitata. Se f ha un numero finito didiscontinuita, allora f ∈ R[a, b].
Dimostrazione. Supponiamo dapprima che f abbia un solo punto di disconti-nuita in a. Fissiamo ε > 0 ad arbitrio. Poiche f e continua, e quindi integrabilein [a + ε, b], esiste una partizione P = {a + ε < x1 < · · · < xn < b} di [a + ε, b]tale che S(P )− s(P ) < ε.
Per quanto riguarda l’intervallo [a, a + ε], osserviamo che, detti L e ` gliestremi inferiore e superiore di f(x) in tutto [a, b], si ha evidentemente
supa≤x≤a+ε
f(x) ≤ L, infa≤x≤a+ε
f(x) ≥ `.
Aggiungendo a P il punto a, otteniamo una partizione P ∗ di [a, b]. Si ha
s(P ∗) = s(P ) + ε infa≤x≤a+ε
f(x) ≥ s(P ) + ε`
S(P ∗) = S(P ) + ε supa≤x≤a+ε
f(x) ≤ S(P ) + εL
10.5. Classi di funzioni integrabili 295
e quindi
S(P ∗)− s(P ∗) ≤ S(P )− s(P ) + ε (L− `) < ε(L− ` + 1).
Per il Teorema 10.3.5, f ∈ R[a, b]. In modo analogo si ragiona se vi e un unicopunto di discontinuita in b.
Se vi e un unico punto di discontinuita t interno, f e R–integrabile in [a, t]e [t, b] e quindi in [a, b], per il Teorema 10.4.8. Infine, se ci sono m puntidi discontinuita a ≤ t1 < · · · < tm ≤ b, si fissano m − 1 punti cj tale chetj < cj < tj+1, per ogni j = 1, . . . , m − 1. Per quanto appena dimostrato, f eRiemann integrabile in ogni intervallo [cj , cj+1] e quindi in
[a, b] = [a, c1] ∪ [c1, c2] ∪ · · · ∪ [cn−1, b].
Si puo dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinche f sia R-in-tegrabile in [a, b] e che l’insieme dei punti di discontinuita abbia misura nullasecondo Lebesgue. Noi ci limitiamo a dimostrare l’integrabilita delle funzionimonotone, che possono avere una infinita numerabile di punti di discontinuita.Si noti che una funzione monotona in [a, b] e necessariamente limitata. Se, adesempio, f(x) e non decrescente, si ha f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) per ogni x ∈ [a, b].
Teorema 10.5.4 Sia f : [a, b] → R monotona. Allora f ∈ R[a, b].
Dimostrazione. Supponiamo, per fissare le idee, che f sia monotona nondecrescente. Sia P una generica partizione di [a, b]. Per la monotonia si ha
`j = f(xj), Lj = f(xj+1), per ogni j = 0, 1, . . . , n− 1.
Quindi
S(P )− s(P ) =n−1∑
j=0
(Lj − `j) (xj+1 − xj)
=n−1∑
j=0
(f(xj+1)− f(xj+1)) (xj+1 − xj).
Fissato ε > 0 ad arbitrio, scegliamo P in modo che
xj+1 − xj < ε, per ogni j = 0, 1, . . . , n− 1.
Si ha quindi
n−1∑
j=0
(f(xj+1)− f(xj+1)) (xj+1 − xj) < ε
n−1∑
j=0
(f(xj+1)− f(xj))
= ε (f(x1)− f(x0) + f(x2)− f(x1)− f(x2) + · · ·+ f(xn)) = ε (f(b)− f(a)) .
296 10. Integrale di Riemann
Poiche ε e arbitrario, segue la tesi.Sappiamo che una funzione non negativa e R–integrabile in [a, b] possiede
integrale non negativo. Si consideri ora il seguente esempio. Si fissi x0 ∈ [a, b]e sia f : [a, b] → R tale che f(x) = 0 se x 6= x0, ma tale che f(x0) > 0. Unafunzione di questo tipo e Riemann-integrabile in [a, b], poiche possiede una soladiscontinuita. Inoltre
∫ b
af(x)dx = 0, perche tutte le somme inferiori sono nulle.
Il trapezoide T si riduce in questo caso a un segmento, che possiede area nulla.Esistono quindi funzioni R–integrabili tali che f(x) ≥ 0,
∫ b
af(x)dx = 0, ma
f non e identicamente nulla. Il seguente Teorema mostra che questo fenomenonon puo accadere per una funzione continua.
Teorema 10.5.5 (di annullamento) Sia f : [a, b] → R continua in [a, b]. Siaf(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b]. Se
∫ b
a
f(x)dx = 0,
allora f(x) = 0 per ogni x ∈ [a, b].
Dimostrazione. Per assurdo esista x0 ∈ [a, b] tale che f(x0) > 0. Supponiamo,per fissare le idee, x0 interno. Poiche f e continua, esiste δ > 0 tale che per ognix ∈ [x0 − δ, x0 + δ] si ha f(x) ≥ 1
2f(x0). Si ha, poiche f(x) ≥ 0 in [a, b],∫ b
a
f(x)dx =∫ x0−δ
a
f(x)dx +∫ x0+δ
x0−δ
f(x)dx +∫ b
x0+δ
f(x)dx
≥∫ x0+δ
x0−δ
f(x)dx ≥∫ x0+δ
x0−δ
12f(x0)dx
= δf(x0) > 0,
contro l’ipotesi che l’integrale sia nullo, assurdo.
10.6 Integrale esteso a un intervallo orientato
Nella definizione del simbolo∫ b
af(x)dx si e finora supposto a < b, cioe l’inte-
grale e esteso a un intervallo orientato concordemente all’orientazione dell’assedelle ascisse. Per conferire maggiore flessibilita formale al simbolo di integrale,introduciamo l’integrale esteso a un intervallo orientato negativamente, o estesoa un singolo punto.
Definizione 10.6.1 Sia f : [a, b] → R limitata e Riemann integrabile in [a, b].Poniamo:
∫ a
b
f(x)dx = −∫ b
a
f(x)dx
∫ a
a
f(x)dx = 0.
10.6. Integrale esteso a un intervallo orientato 297
Il Teorema di linearita 10.4.1 continua ovviamente a valere per il simbo-lo
∫ a
bf(x)dx. Il Teorema di monotonia vale con diseguaglianza invertita. Il
Teorema 10.4.8 continua a valere, ma richiede una semplice verifica.
Teorema 10.6.2 Sia f ∈ R[α, β] → R. Siano a, b, c tre punti qualsiasi di[α, β], disposti in qualunque ordine e non necessariamente distinti. Si ha
∫ b
a
f(x)dx =∫ c
a
f(x)dx +∫ b
c
f(x)dx. (10.6.3)
Dimostrazione. La dimostrazione di (10.6.3) si conduce esaminando tutti icasi possibili. Sia ad esempio c < a < b. Si ha
∫ b
c
f(x)dx =∫ a
c
f(x)dx +∫ b
a
f(x)dx,
da cui∫ b
a
f(x)dx =∫ b
c
f(x)dx−∫ a
c
f(x)dx
=∫ c
a
f(x)dx +∫ b
c
f(x)dx.
Gli altri casi si verificano in modo analogo.Il Teorema 10.4.13 vale in forma diversa.
Teorema 10.6.4 Siano f, g ∈ R[α, β] → R, e siano a, b ∈ [α, β], disposti inqualunque ordine e non necessariamente distinti. Allora
∣∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ b
a
|f(x)| dx
∣∣∣∣∣ . (10.6.5)
Dimostrazione. Se a = b la tesi e ovvia. Se a < b, (10.6.5) non e altro che(10.4.14). Se b < a, si applica il Teorema 10.4.13 all’intervallo [b, a]. Si ottiene
∣∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ a
b
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤∫ a
b
|f(x)| dx
=
∣∣∣∣∣∫ b
a
|f(x)| dx
∣∣∣∣∣ .
Corollario 10.6.6 Sia f ∈ R[α, β] → R, e siano a, b ∈ [α, β], disposti inqualunque ordine e non necessariamente distinti. Se |f(x)| ≤ g(x) per ogni x,allora ∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ b
a
g(x)dx
∣∣∣∣∣ . (10.6.7)
298 10. Integrale di Riemann
Dimostrazione. Se a = b la tesi e ovvia. Se a < b∣∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a
|f(x)| dx ≤∫ b
a
g(x)dx =
∣∣∣∣∣∫ b
a
g(x)dx
∣∣∣∣∣ .
Se a > b la tesi continua a valere, poiche (10.6.7) non dipende dall’ordine di ae b.
10.7 Il Teorema fondamentale del calcolo integrale
Definizione 10.7.1 Sia f ∈ [a, b] → R, limitata e R–integrabile in [a, b]. Perogni x ∈ [a, b] poniamo
F (x) =∫ x
a
f(t)dt. (10.7.2)
La funzione F cosı definita si chiama funzione integrale di f in [a, b].
Teorema 10.7.3 Sia f ∈ [a, b] → R, limitata e R–integrabile in [a, b]. Lafunzione integrale F (x) gode delle seguenti proprieta
a) F e continua in [a, b].
b) Se f e continua in x0 ∈ [a, b], allora F e derivabile in x0 e si ha
F ′(x0) = f(x0). (10.7.4)
Dimostrazione. a) Dimostriamo che F e uniformemente continua. Per ognix, y ∈ [a, b] si ha, tenendo conto di (10.6.3),
|F (x)− F (y)| =∣∣∣∣∫ x
a
f(t)dt−∫ y
a
f(t)dt
∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ x
a
f(t)dt +∫ a
y
f(t)dt
∣∣∣∣
=∣∣∣∣∫ x
y
f(t)dt
∣∣∣∣ .
Poniamo L = supx∈[a,b] |f(x)|. Per (10.6.5) e per il Corollario 10.6.6 (con g(x) =L) si ha
∣∣∣∣∫ x
y
f(t)dt
∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ x
y
|f(t)| dt
∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ x
y
Ldx
∣∣∣∣= L|x− y|.
Fissato ε > 0 ad arbitrio, sia δ = ε/M . In tal caso, |x − y| < δ implica|F (x)− F (y)| < ε.
b) Il rapporto incrementale di F relativo al punto iniziale x0 si puo scriverecome
F (x0 + h)− F (x0)h
=1h
[∫ x0+h
a
f(t)dt−∫ x0
a
f(t)dt
]
=1h
∫ x0+h
x0
f(t)dt.
10.7. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale 299
Si puo inoltre scrivere
f(x0) =1h
∫ x0+h
x0
f(x0)dt.
Per (10.6.5) si ha∣∣∣∣F (x0 + h)− F (x0)
h− f(x0)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣1h
∫ x0+h
x0
(f(t)− f(x0)) dt
∣∣∣∣∣
≤ 1|h|
∣∣∣∣∣∫ x0+h
x0
|f(t)− f(x0)| dt
∣∣∣∣∣ . (10.7.5)
Poiche f e continua in x0, fissato ε > 0 esiste δ > 0 tale che |f(t)− f(x0)| < εper ogni t tale che |t− t0| < δ, si ha |t− t0| < δ. Sia h tale che |h| < δ, h 6= 0.
Per ogni t ∈ [x0, x0 +h] (o t ∈ [x0 +h, x0]) si ha allora |t− t0| < δ. Ne segueche l’integranda in (10.7.5) e minore di ε. Per il Corollario 10.6.6,
1|h|
∣∣∣∣∣∫ x0+h
x0
|f(t)− f(x0)| dt
∣∣∣∣∣ ≤1|h|
∣∣∣∣∣∫ x0+h
x0
εdt
∣∣∣∣∣ = ε
e quindi la tesi.Se c ∈ [a, b] e fissato, si puo definire, in analogia a (10.7.2), la funzione
integrale a partire dal punto c. Si pone cioe, per ogni x ∈ [a, b],
Fc(x) =∫ x
c
f(t)dt. (10.7.6)
La funzione Fc differisce dalla funzione F = Fa per una costante. Infatti
F (x) = Fa(x) =∫ x
a
f(t)dt =∫ c
a
f(t)dt + Fc(x).
Quindi a) e b) del Teorema 10.7.3 valgono anche per Fc.Se f : [a, b] → R e continua per ogni x ∈ [a, b], per il punto b) del Teorema
precedente la funzione F (x) e derivabile in [a, b] con funzione derivata f(x). Siha quindi il risultato anticipato nel capitolo 9.
Corollario 10.7.7 (Esistenza della primitiva di una funzione continua)Sia f : [a, b] → R continua in [a, b]. La funzione integrale (10.7.2) e unaprimitiva di f in [a, b].
Segue immediatamente il risultato principale di questo paragrafo.
Teorema 10.7.8 (Teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f :[a, b] → R continua in [a, b]. Sia ϕ una qualunque primitiva di f in [a, b].Allora ∫ b
a
f(t)dt = ϕ(b)− ϕ(a). (10.7.9)
300 10. Integrale di Riemann
Dimostrazione. Poiche anche la funzione integrale F (x) e una primitiva, esisteuna costante C tale che per ogni x ∈ [a, b]
∫ x
a
f(t)dt = ϕ(x) + C. (10.7.10)
Posto x = a in (10.7.10), si ha 0 = ϕ(a) + C, ossia C = −ϕ(a). Posto x = b, siottiene (10.7.9).
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale asserisce che, una volta calco-lata con qualsivoglia metodo una primitiva di f in [a, b], l’integrale di Riemanndi f in [a, b] si calcola come differenza dei valori della primitiva agli estremi del-l’intervallo. La differenza ϕ(b)− ϕ(a) viene usualmente indicata con il simbolo[ϕ(x)]ba .
Il Teorema 10.7.8 vale anche in ipotesi piu generali. Ne daremo una esten-sione nell’Appendice. Notiamo il seguente Corollario.
Corollario 10.7.11 (Teorema della media) Se f : [a, b] → R e continua in[a, b], esiste z ∈ (a, b) tale che
1b− a
∫ b
a
f(t)dt = f(z). (10.7.12)
Dimostrazione. Sia ϕ una primitiva di f in [a, b]. Per il Teorema di Lagrangeesiste z ∈ (a, b) tale che ϕ(b)−ϕ(a) = (b− a)f(z). La tesi segue da (10.7.9).
La quantita a sinistra in (10.7.12) viene chiamata media di f in [a, b]. Siaf(t) ≥ 0 in [a, b] e riscriviamo (10.7.12) nella forma
∫ b
a
f(t)dt = f(z)(b− a). (10.7.13)
Il significato geometrico del Teorema della media e chiaro: l’area del trapezoiderelativo a f(t) e eguale all’area di un rettangolo di base [a, b] e altezza f(z).
Esempi 10.7.14
1. Calcoliamo∫ π/2
0
sin xdx. Una primitiva di sin x e ϕ(x) = − cos x. Si ha
∫ π/2
0
sin xdx = [− cosx]π/20 = 1
2. Calcoliamo∫ 1
0
(x3 + x)dx. Si ha
∫ 1
0
(x3 + x)dx =[x4
4+
x2
2
]1
0
=34
10.7. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale 301
3. Calcoliamo∫ 1
0
arctanxdx. La primitiva dell’arcotangente e stata calcola-
ta nell’esempio 9.2.7.1. Risulta∫ 1
0
arctanxdx =[x arctanx− 1
2log(1 + x2)
]1
0
=π
4− 1
2log 2.
4. Calcoliamo∫ 2
0
x3exdx. La primitiva e stata calcolata nell’esempio 9.2.7.4.
Si ha ∫ 2
0
x3exdx =[x3ex − 3x2ex + 6xex − 6ex
]20
= 2e2 + 6.
Il Teorema di integrazione per parti 9.2.5 fornisce la seguente formula perl’integrale di Riemann:
∫ b
a
f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b
a
f ′(x)g(x)dx,
valida se f e g hanno derivata continua [a, b].L’applicazione del Teorema 9.2.11, di integrazione per sostituzione, richiede
qualche commento. Sia f : I → R continua e sia x = x(t) : [a, b] → I unafunzione derivabile. Non si richiede che la funzione x(t) sia iniettiva ne che siasuriettiva. Poniamo, come nel paragrafo 9.2,
ϕ(x) =∫
f(x)dx,
ψ(t) =∫
f (x(t)) x′(t)dt.
Sappiamo che ψ(t) = ϕ(x(t)) + C. Poniamo x(a) = c e x(b) = d. Si noti che
puo essere sia c < d che c ≥ d. Se si vuole calcolare∫ b
a
f (x(t))x′(t)dt, si ottiene
dal Teorema fondamentale del calcolo integrale∫ b
a
f (x(t)) x′(t)dt = ψ(b)− ψ(a)
= ϕ(d)− ϕ(c)
=∫ d
c
f(x)dx.
Se c ≥ d quest’ultimo integrale va interpretato come nella definizione 10.6.1.Quindi non occorre, una volta calcolata ϕ(x), ricalcolare per sostituzione ψ(t).Possiamo semplicemente calcolare la differenza dei valori di ϕ(x) in x(b) = d ein x(a) = c.
302 10. Integrale di Riemann
Supponiamo ora che x(t) applichi biunivocamente [a, b] su [c, d]. Per fissarele idee, sia x(t) crescente, in modo che x(a) = c e x(b) = d. Anche la funzioneinversa t(x) e crescente e ψ(t(x)) = ϕ(x). Si ha inoltre d = t(b), c = t(a). Si
voglia calcolare∫ d
c
f(x)dx. Si ha
∫ d
c
f (x) dx = ϕ(d)− ϕ(c)
= ψ(b)− ψ(a)
=∫ b
a
f (x(t)) x′(t)dt.
Anche in questo caso non occorre, una volta calcolata ψ(t), risostituire t(x) a t.
Esempi 10.7.15
1. Calcoliamo∫ π
π/2
(sin t)4 cos tdt. Per il calcolo della primitiva si pone, come
nell’esempio 9.2.14.1, x = sin t, da cui dx = cos tdt. In questo caso x(a) =x(π/2) = 1 e x(b) = x(π) = 0. Si ha
∫ π
π/2
(sin t)4 cos tdt =∫ 0
1
x4dx = −15.
2. Calcoliamo∫ 1
−1
ex
1 + exdx. Per il calcolo della primitiva mediante sostitu-
zione si veda l’esempio 9.2.14.3. Posto t = ex, si ha∫ 1
−1
ex
1 + exdx =
∫ e
e−1
dt
1 + t= log(1 + e)− log(1 + e−1).
10.8 Integrali impropri
L’integrale di Riemann e definito per funzioni limitate in intervalli compatti.Queste restrizioni costituiscono una severa limitazione alle applicazioni del cal-colo integrale. Con l’integrale di Lebesgue si ottiene una teoria soddisfacenteche supera queste restrizioni. Tuttavia, anche nell’ambito della teoria di Rie-mann, la nozione di integrale improprio (o generalizzato) offre una estensionedella nozione di integrale sufficiente per le applicazioni piu comuni.
10.8.1 Integrali impropri di prima specie
Sia f : (a, b] → R e supponiamo f limitata e Riemann integrabile in ogniintervallo del tipo [x, b], ove a < x < b. Non si richiede che f sia limitata intutto (a, b], ne che sia definita in a. La funzione
∫ b
x
f(t)dt
10.8. Integrali impropri 303
e definita per ogni x ∈ (a, b]. Essa non e altro che l’opposto della funzioneintegrale Fb(x) definita in (10.7.6). Quindi
−Fb(x) =∫ b
x
f(t)dt.
T
a b
Trapezoide illimitato
Definizione 10.8.1 Sia f : (a, b] → R, e supponiamo f limitata e Riemann in-tegrabile in [x, b], per ogni a < x < b. Si dice che f ammette integrale impropriodi prima specie in [a, b] se esiste finito limx→a+
∫ b
xf(t)dt. In tal caso si pone
limx→a+
∫ b
x
f(t)dt =∫ b
a
f(t)dt. (10.8.2)
Il limite in (10.8.2), se esiste finito, si chiama integrale improprio di primaspecie di f in [a, b] e si indica con il medesimo simbolo dell’integrale di Riemann.Questo non puo dare luogo a equivoci. Infatti, se f ∈ R[a, b], in virtu dellacontinuita della funzione integrale (punto a) del Teorema 10.7.3, il limite di−Fb(x) per x → a+ esiste ed e eguale all’integrale di Riemann di f in [a, b].
Se f(x) ≥ 0 in (a, b], l’integrale improprio di prima specie, se esiste, ha ilsignificato di area del trapezoide illimitato
T = {(x, y) : a < x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} .
Quindi, anche se il trapezoide T e illimitato, la sua area puo essere finita.Si definisce analogamente l’integrale improprio di una funzione f : [a, b) → R,
limitata e Riemann integrabile in ogni intervallo [a, x], ove a < x < b. In questo
304 10. Integrale di Riemann
caso diremo che f ammette integrale improprio di prima specie in [a, b] se esistefinito limx→b−
∫ x
a. Si pone di nuovo
limx→b−
∫ x
a
f(t)dt =∫ b
a
f(t)dt.
Si noti che∫ x
a= Fa(x) = F (x).
Studiamo ora l’esistenza dell’integrale improprio di prima specie per unafamiglia notevole di funzioni elementari. Sia, per ogni λ ∈ R,
fλ(t) =1
(t− a)λ, ove a < t ≤ b.
Evidentemente, queste funzioni sono continue e quindi R–integrabili in ogniintervallo del tipo [x, b]. Si ha
∫ b
x
dt
(t− a)λ=
[log |t− a|]bx se λ = 1
11− λ
[1
(t− a)λ−1
]x
a
se λ 6= 1.
Se λ = 1 si ha per x → a+
∫ b
x
dt
(t− a)λ= log |b− a| − log |x− a| → +∞
e percio f1(t) non ammette integrale improprio in [a, b]. Se λ 6= 1, si ha
∫ b
x
dt
(t− a)λ=
11− λ
[1
(b− a)λ−1− 1
(x− a)λ−1
].
Per x → a+ si ha
∫ b
x
dt
(t− a)λ→ 1
1− λ
1
(b− a)λ−1se λ < 1,
∫ b
x
dt
(t− a)λ→ +∞ se λ > 1.
In conclusione, le funzioni1
(t− a)λammettono integrale improprio in [a, b] se e
solo se λ < 1. In maniera del tutto analoga si dimostra che le funzioni1
(b− t)λ
ammettono integrale improprio in [a, b] se e solo se λ < 1.
10.8. Integrali impropri 305
10.8.2 Integrali impropri di seconda specie
Gli integrali impropri di seconda specie estendono la nozione di integrale agli in-tervalli illimitati. Come nel caso precedente, l’estensione e basata sull’esistenzadel limite finito della funzione integrale
Fa(x) =∫ x
a
f(t)dt.
Definizione 10.8.3 Sia f : [a,+∞) → R, limitata e Riemann integrabile inogni intervallo [a, x], ove a < x < +∞. Si dice che f ammette integrale impro-prio di seconda specie in [a,+∞) se esiste finito limx→+∞ Fa(x). In tal casoponiamo
limx→∞
Fa(x) = limx→+∞
∫ x
a
f(t)dt =∫ +∞
a
f(t)dt. (10.8.4)
Il limite in (10.8.2), se esiste finito, si chiama integrale improprio di secondaspeciedi f in [a,+∞).
Se f(x) ≥ 0 in [a,+∞), l’integrale improprio di seconda specie, se esiste, hail significato di area del trapezoide illimitato
T = {(x, y) : a ≤ x < +∞, 0 ≤ y ≤ f(x)} .
a
T
Trapezoide illimitato
In maniera analoga si definisce l’integrale improprio di seconda specie peruna funzione f : (−∞, a] → R, limitata e Riemann integrabile in ogni intervallo[x, a]. In questo caso diremo che f ammette integrale improprio di secondaspecie in (−∞, a] se esiste finito limx→−∞
∫ a
xf(t)dt. Si pone
limx→−∞
−Fa(x) = limx→−∞
∫ a
x
f(t)dt =∫ a
−∞f(t)dt.
Come nel sottoparagrafo precedente, si puo determinare agevolmente l’esistenzadell’integrale improprio per una famiglia notevole di funzioni elementari. Siaa > 0 e poniamo, per ogni µ reale,
gµ(t) =1tµ
, ove 0 < a ≤ t.
306 10. Integrale di Riemann
Si ha∫ x
a
dt
tµ=
[log t]xa se µ = 1
11− µ
[1
tµ−1
]x
a
se µ 6= 1.
Quindi∫ x
a
dt
t= log x − log a → +∞ per x → +∞, e g1 non e integrabile in
senso improprio in [a,+∞). Se µ 6= 1 si ha∫ x
a
dt
tµ=
11− µ
[1
xµ−1− 1
aµ−1
],
per cui, al tendere di x a +∞,∫ x
a
dt
tµ=
1(µ− 1)aµ−1
se µ > 1,
∫ x
a
dt
tµ→ +∞ se µ < 1.
In conclusione, le funzioni1tµ
ammettono integrale improprio in [a, +∞), ovea > 0, se e solo se µ > 1. In maniera del tutto analoga si dimostra che le
funzioni1
(−t)µammettono integrale improprio in (−∞, a], con a < 0, se e solo
se µ > 1.
10.8.3 Criteri del confronto
Una volta stabilita l’esistenza o meno dell’integrale improprio delle funzionielementari considerate nel precedente paragrafo, l’esistenza degli integrali im-propri di funzioni piu generali si studia per mezzo di criteri del confronto. Ledimostrazioni sono svolte in Appendice.
Teorema 10.8.5 (del confronto per gli integrali impropri di I specie)Siano f, g : (a, b] → R limitate e Riemann integrabili in ogni intervallo del tipo[x, b], ove a < x < b.
a) Se |f(t)| ≤ g(t) per ogni t ∈ (a, b] e se esiste l’integrale improprio di pri-ma specie
∫ b
ag(t)dt, allora esiste l’integrale improprio di prima specie∫ b
af(t)dt.
b) Se 0 ≤ f(x) ≤ g(t) per ogni t ∈ [a,+∞) e se non esiste l’integrale impropriodi prima specie
∫ b
af(t)dt, allora non esiste l’integrale improprio di prima
specie∫ b
ag(t)dt.
Ovviamente, l’analogo Teorema vale per funzioni definite in [a, b), limitate eRiemann integrabili in ogni intervallo del tipo [a, x], ove a < x < b. Pure analogoe l’enunciato del criterio del confronto per gli integrali impropri di secondaspecie.
10.8. Integrali impropri 307
Teorema 10.8.6 (del confronto per gli integrali impropri di II specie)Siano f, g : [a, +∞) → R limitate e Riemann integrabili in ogni intervallo deltipo [a, x], ove a < x < +∞.
a) Se |f(t)| ≤ g(t) per ogni t ∈ [a,+∞) e se esiste l’integrale improprio diseconda specie
∫ +∞a
g(t)dt, allora esiste l’integrale improprio di secondaspecie
∫ +∞a
f(t)dt.
b) Se 0 ≤ f(t) ≤ g(t) per ogni t ∈ [a,+∞) e se non esiste l’integrale impropriodi seconda specie
∫ +∞a
f(t)dt, allora non esiste l’integrale improprio diseconda specie
∫ +∞a
g(t)dt.
Il criterio del confronto per gli integrali del tipo∫ a
−∞ f(t)dt si enuncia conle ovvie modifiche.
Esempi 10.8.7
1. Sia f(t) =sin 1/t√
t, definita e continua per t > 0. Questa funzione ammette
integrale improprio di prima specie in [0, 1] per il punto a) del Teorema10.8.5. Infatti si ha, per ogni t ∈ (0, 1],
∣∣∣∣sin 1/t√
t
∣∣∣∣ ≤1√t
= g(t).
La funzione g(t) =1√t
ammette integrale improprio di prima specie in
[0, 1] per quanto stabilito nel precedente paragrafo
2. Sia g(t) =1 + t2
2− t, definita e continua per t 6= 2. Questa funzione non
ammette integrale improprio di prima specie in [0, 2] per il punto b) delTeorema 10.8.5. Infatti, per ogni t ∈ [0, 2) si ha
1 + t2
2− t≥ 1
2− t= f(t)
che non ammette integrale improprio in [0, 2].
3. Sia f(t) =sin t
t2, definita e continua per t 6= 0. Questa funzione ammet-
te integrale improprio di seconda specie in [1, +∞) per il punto a) delTeorema 10.8.6. Infatti si ha, per ogni t ∈ [1,+∞),
∣∣∣∣sin t
t2
∣∣∣∣ ≤1t2
= g(t)
che ammette integrale improprio di prima specie in [1, +∞).
308 10. Integrale di Riemann
4. Sia g(t) =arctan t√
t, definita e continua per ogni t > 0. Questa funzione
non ammette integrale improprio di seconda specie in [1,+∞) per il puntob) del Teorema 10.8.6. Infatti si ha, per t ≥ 1,
arctan t√t
≥ arctan 1√t
=π
4√
t= f(t)
che non ammette integrale improprio in [1, +∞).
Osservazione. Per l’applicabilita dei Teoremi del confronto per gli integraliimpropri e sufficiente che l’ipotesi |f(t)| ≤ g(t) nel caso a), 0 ≤ f(t) ≤ g(t)nel caso b), valga solo in un opportuno intervallo (a, a + ε) o [M, +∞) (oppure(b− ε, b), o (−∞,M ]). Infatti, possiamo scrivere
∫ b
x
f(t)dt =∫ a+ε
x
f(t)dt +∫ b
a+ε
f(t)dt
e il secondo addendo e costante rispetto a x. Quindi limx→a+
∫ b
xf(t)dt esiste
se e solo se esiste limx→a+
∫ a+ε
xf(t)dt. Gli altri casi si trattano in maniera del
tutto analoga.Di conseguenza, se f(t) e g(t) hanno segno costante in un intorno destro di a
e f(t) ∼ g(t) per x → a+, l’integrale improprio di prima specie∫ b
af(t)dt esiste
se e solo se esiste l’integrale improprio di prima specie∫ b
af(t)dt. Infatti, la
relazione ∼ implica che esistono due costanti c1 e c2 tali che in un opportunointervallo (a, a + ε) si abbia
c1g(t) ≤ f(t) ≤ c2g(t)
per ogni t ∈ (a, a + ε). Poiche f(t) e g(t) hanno segno costante (che possiamosupporre positivo) in (a, a + ε) possiamo applicare il Teorema del confronto10.8.5 a tale intervallo.
La stessa osservazione vale per gli integrali impropri di seconda specie. Sianof, g : [a,+∞) → R due funzioni R–integrabili in ogni intervallo [a,M ] e aventisegno costante in un intorno di +∞. Se f(t) ∼ g(t) per t → +∞ l’integrale∫ +∞
af(t)dt esiste se e solo se esiste
∫ +∞a
g(t)dt.
Esempi 10.8.8
1. Studiamo l’esistenza di∫ π/2
0
t− t3
sin4/3 tdt. Si ha per t → 0+
t− t3
sin4/3 t∼ t
t4/3=
1t1/3
e quindi l’integrale proposto esiste.
10.8. Integrali impropri 309
2. Studiamo l’esistenza di∫ +∞
0
t2 − arctan t
t3 + t + 1dt. Si ha per t → +∞
t2 − arctan t
t3 + t + 1∼ t2
t3∼ 1
t
e quindi l’integrale proposto non esiste.
10.8.4 Integrali impropri di terza specie
a1 a2
Vengono chiamati integrali impropri di terza specie integrali estesi a intervalliI, limitati o illimitati, contenenti n punti, a1, . . . , an nel cui intorno la funzioneintegranda non e necessariamente limitata. L’integranda si suppone tuttavialimitata e R–integrabile in ogni sottointervallo compatto di I non contenentenessuno dei punti aj . Illustriamo questo concetto iniziando dai casi piu semplici.
a) Sia f : (a, b) → R limitata e R–integrabile in ogni intervallo del tipo [x, y],ove a < x < y < b. Fissato c ∈ (a, b), se esistono ambedue gli integrali impropridi prima specie ∫ c
a
f(t)dt,∫ b
c
f(t)dt,
si dice che f ammette integrale improprio in [a, b] e si pone∫ b
a
f(t)dt =∫ c
a
f(t)dt +∫ b
c
f(t)dt.
Si osservi che questa definizione non dipende dal punto c scelto. Infatti se d eun altro punto in (a, b) si ha, per ogni a < x < y < b
∫ c
x
f(t)dt =∫ d
x
f(t)dt +∫ c
d
f(t)dt,
∫ y
c
f(t)dt =∫ d
c
f(t)dt +∫ y
d
f(t)dt.
310 10. Integrale di Riemann
Quindi
limx→a+
∫ c
x
f(t)dt = limx→a+
∫ d
x
f(t)dt +∫ c
d
f(t)dt, (10.8.9)
limy→b−
∫ y
c
f(t)dt = limy→b−
∫ y
d
f(t)dt +∫ d
c
f(t)dt. (10.8.10)
L’integrale di prima specie∫ c
af(t)dt esiste se e solo se esiste l’integrale
∫ d
af(t)dt.
Cosı pure,∫ b
cf(t)dt esiste se e solo se esiste
∫ b
df(t)dt. Sommando termine a
termine (10.8.9) e (10.8.10), si ha
∫ c
a
f(t)dt +∫ b
c
f(t)dt =∫ d
a
f(t)dt +∫ b
d
f(t)dt.
Questa osservazione rimane valida, con gli opportuni cambiamenti, anche neicasi successivi.
b) Sia f :(a,+∞) → R, limitata e R–integrabile in ogni intervallo [x, y] , ovea < x < y < +∞. Fissato un punto c ∈ (a,+∞), se esistono ambedue gliintegrali impropri ∫ c
a
f(t)dt,∫ +∞
c
f(t)dt,
si dice che f ammette integrale improprio in [a, +∞) e si pone
∫ +∞
a
f(t)dt =∫ c
a
f(t)dt +∫ +∞
c
f(t)dt.
Come nel caso precedente, questa definizione non dipende dal punto c. Del tutto
analoga e la definizione degli integrali del tipo∫ a
−∞f(t)dt, ove f : (−∞, a) → R
e limitata e R–integrabile in ogni intervallo [x, y] , con −∞ < x < y < a.
Esempi 10.8.11
1. L’integrale∫ 1
−1
dt√1− t2
esiste. Infatti
f(t) ∼ 1√2 (1 + t)
per t → −1,
f(t) ∼ 1√2 (1− t)
per t → 1.
e quindi esistono ambedue gli integrali∫ c
−1
dt√1− t2
e∫ 1
c
dt√1− t2
(ove
−1 < c < 1).
10.8. Integrali impropri 311
2. L’integrale∫ 1
0
dt
(1− t)1/3 log(1 + t)non esiste. Infatti sia 0 < c < 1. Si ha
f(t) ∼ 1t
per t → 0,
f(t) ∼ 1
(1− t)1/3 log 2per t → 1.
Quindi∫ 1
c
dt
(1− t)1/3 log(1 + t)esiste, mentre
∫ c
0
dt
(1− t)1/3 log(1 + t)non
esiste.
3. L’integrale∫ ∞
0
e−t
3√
arctan tdt esiste. Infatti
f(t) ∼ 13√
tper t → 0,
f(t) ∼ 3
√2π e−t ≤ Ct−2 per t → +∞
e quindi ambedue gli integrali∫ c
−∞
et dt3√
arctan t,∫ 0
c
et dt3√
arctan tesistono (ove
−∞ < c < 0).
c) Sia f : (−∞, +∞) → R, limitata e R–integrabile in ogni [x, y], ove −∞ <x < y < +∞. Fissato un punto c, se esistono ambedue gli integrali
∫ c
−∞f(t)dt,
∫ +∞
c
f(t)dt, (10.8.12)
si dice che f ammette integrale improprio in (−∞, +∞) e si pone
∫ +∞
−∞f(t)dt =
∫ c
−∞f(t)dt +
∫ +∞
c
f(t)dt.
Esempi 10.8.13
1. L’integrale∫ +∞
−∞
dt
t2 + 1 + cos tesiste. Infatti, sia per t → +∞ che per
t → −∞, si ha f(t) ∼ t−2. Ambedue gli integrali in (10.8.12) esistono.
2. L’integrale∫ +∞
−∞
dt
et + tnon esiste. Infatti il secondo integrale in (10.8.12)
esiste, poiche f(t) ∼ e−t per t → +∞. Tuttavia il primo non esiste, poichef(t) ∼ 1/t per t → −∞.
312 10. Integrale di Riemann
Supponiamo ora I = (α, β) ⊆ R. Sia f una funzione a valori reali definitain (α, β), con l’eccezione al piu di n valori
a1 < a2 < . . . < an.
Supponiamo f limitata e R–integrabile in ogni intervallo compatto che noncontenga nessuno dei punti aj , per j = 1, . . . , n. Se esistono tutti gli integraliimpropri
∫ a1
α
f(t)dt,
∫ a2
a1
f(t)dt, . . . ,
∫ an
an−1
f(t)dt,
∫ β
an
f(t)dt,
si dice che f ammette integrale improprio in I e si pone
∫ β
α
f(t)dt =∫ a1
α
f(t)dt +n−1∑
j=1
∫ aj+1
αj
f(t)dt +∫ β
an
f(t)dt.
Esempi 10.8.14
1. Studiamo l’esistenza dell’integrale∫ +∞
0
3√
t− 1(t2 + 1) log t
dt.
Si ha in questo caso a1 = 0 , a2 = 1, a3 = +∞. Si hanno le seguentirelazioni
f(t) ∼ − 1log t
≤ Ct−1/2 per t → 0 + ,
f(t) ∼3√
t− 12(t− 1)
=1
2 3√
(t− 1)2per t → 1,
f(t) ∼ 1t5/3 log t
≤ 1t5/3
per t → +∞.
Esistono quindi gli integrali impropri∫ 1
0
f(t)dt,∫ +∞
1
f(t)dt
e di conseguenza esiste l’integrale proposto.
2. Studiamo l’esistenza dell’integrale∫ +∞
−2
1√|t(1− t2)|dt.
10.9. Appendice 313
In questo caso a1 = −1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = +∞. Si ha
f(t) ∼ 1√2
1
|1 + t|1/2per t → −1, f(t) ∼ 1
|t|1/2per t → 0,
f(t) ∼ 1√2
1
|1− t|1/2per t → 1, f(t) ∼ t−3/2 per t → +∞.
Esistono quindi gli integrali impropri
∫ −1
−2
f(t)dt,∫ 0
−1
f(t)dt,∫ 1
0
f(t)dt,∫ +∞
1
f(t)dt.
L’integrale proposto esiste.
10.9 Appendice
10.9.1 Estensione del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema 10.9.1 Sia f ∈ R[a, b] e sia ϕ : [a, b] → R continua in [a, b] e deriva-bile eccetto al piu in n punti t1, . . . , tn. Sia inoltre ϕ′(t) = f(t) per ogni t 6= tj,j = 1, . . . , n. Allora ∫ b
a
f(t)dt = ϕ(b)− ϕ(a). (10.9.2)
Dimostrazione. Sia ε > 0 fissato ad arbitrio e sia P = {x0, x1, . . . , xn}una partizione tale che S(P ) − s(P ) < ε. Possiamo supporre che i punti tjappartengano alla partizione. Si ha
ϕ(b)− ϕ(a) =n−1∑
j=0
(ϕ(xj+1)− ϕ(xj)) . (10.9.3)
Per il Teorema di Lagrange esiste zj ∈ (xj , xj+1) tale che
ϕ(xj+1)− ϕ(xj) = (xj+1 − xj)ϕ′(zj) = (xj+1 − xj)f(zj)
per ogni j = 0, . . . , n − 1. Evidentemente si ha `j ≤ f(zj) ≤ Lj . Da (10.9.3)segue
s(P ) ≤ ϕ(b)− ϕ(a) ≤ S(P ).
Quindi ∣∣∣∣∣∫ b
a
f(t)dt− (ϕ(b)− ϕ(a))
∣∣∣∣∣ ≤ S(P )− s(P ) < ε.
314 10. Integrale di Riemann
1/2
1/2
-1/2
1
f(t) = mant t− 12
Studiamo un esempio notevole che sara utilizzato piu avanti per dimostrarela formula di Stirling. La funzione f(t) = mant t− 1/2 ovviamente ha gli stessipunti di discontinuita della mantissa. Invece, la funzione
ϕ(t) =12
(mant t− 1/2)2 (10.9.4)
e continua ovunque in R. Infatti, per ogni m ∈ Z si ha ϕ(m) = 1/8 e
limt→m−
12
(mant t− 1
2
)2
=18
= limx→m+
12
(mant t− 1
2
)2
.
Inoltre ϕ e derivabile in tutti punti non interi e si ha chiaramente ϕ′(t) = f(t),per ogni t /∈ Z. Possiamo quindi applicare il Teorema 10.9.1 ad ogni intervallo[a, b]. Si ha ∫ b
a
(mant t− 1
2
)dt =
12
[(mant t− 1/2)2
]b
a.
1/8
1
ϕ(t) = 12 (mant t− 1/2)2
10.9.2 Formula di Taylor con resto integrale
Dimostriamo un’ulteriore espressione per il resto Tn della formula di Taylor.Benche in questo caso si richiedano ipotesi piu forti di quelle richieste per resto diLagrange, la formula di Taylor con resto integrale e utile per le generalizzazionia funzioni a valori vettoriali.
Teorema 10.9.5 Sia f : [a, b] → R e siano x0, x ∈ [a, b], ove x0 < x. Sup-poniamo che f sia derivabile n volte con derivata n−esima continua in [x0, x] .
10.9. Appendice 315
Allora vale la formula (8.11.2) con
Tn(x− x0) =(x− x0)n
(n− 1)!
∫ 1
0
(1− t)n−1f (n)(x0 + t(x− x0))dt.
Dimostrazione. Poniamo h = x− x0 e sia, per ogni t ∈ [0, 1],
F (t) =n−1∑
k=0
(1− t)khk
k!f (k)(x0 + th).
Si ha
F (1)− F (0) = f(x0 + h)−n−1∑
k=0
hk
k!f (k)(x0).
Poiche F e derivabile con derivata continua in [0, 1], si ha anche
F (1)− F (0) =∫ 1
0
F ′(t)dt. (10.9.6)
Derivando F (t) e, successivamente, operando manipolazioni algebriche elemen-tari sulle sommatorie, si ottiene
F ′(t) = −n−1∑
k=1
hk(1− t)k−1
(k − 1)!f (k)(x0 + th) +
n−1∑
k=0
(1− t)khk+1
k!f (k+1)(x0 + th)
=hn
(n− 1)!(1− t)n−1f (n)(x0 + th).
La tesi segue da (10.9.2).
10.9.3 Confronto e esistenza degli integrali impropri
I Teoremi 10.8.5 e 10.8.6 hanno dimostrazioni del tutto analoghe. Ci limitiamoa dimostrare il primo.Dimostrazione. a) Siano f e g come nelle ipotesi del Teorema 10.8.5, parte a).Sia {xn} una successione di punti tale che a < xn < b per ogni n e xn → a+ pern → +∞. Poiche
∫ b
xg(t)dt ammette limite finito per x → a+, per ogni ε > 0
esiste n0 tale che per ogni m,n ≥ n0
∣∣∣∣∫ xm
xn
g(t)dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∫ b
xm
g(t)−∫ b
xn
g(t)dt
∣∣∣∣∣ < ε.
Per tali valori di m e n si ha∣∣∣∣∣∫ b
xm
f(t)dt−∫ b
xn
f(t)dt
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ xn
xm
f(t)dt
∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ xm
xn
|f(t)| dt
∣∣∣∣
≤∣∣∣∣∫ xm
xn
g(t)dt
∣∣∣∣ < ε.
316 10. Integrale di Riemann
Quindi la successione∫ b
xnf(t)dt converge per n → +∞. Se {yn} e un’altra
successione tale che a < yn < b per ogni n, e yn → a+ per n → +∞, si ha comesopra
∣∣∣∣∣∫ b
yn
f(t)dt−∫ b
xn
f(t)dt
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ xn
yn
g(t)dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∫ b
yn
g(t)−∫ b
xn
g(t)dt
∣∣∣∣∣ → 0
per n → +∞. Quindi∫ b
ynf(t)dt e
∫ b
xnf(t)dt convergono allo stesso limite. Ne
segue che∫ b
af(t)dt esiste.
b) Siano f e g come nelle ipotesi del Teorema, parte b). Poiche f e g sononon negative, le funzioni
∫ b
xf(t)dt e
∫ b
xg(t)dt sono non crescenti quindi ambe-
due ammettono limite per x → a+. Poiche∫ b
af(t)dt non esiste, necessariamente
limx→a+
∫ b
xf(t)dt = +∞. D’altra parte
∫ b
x
f(t)dt ≤∫ b
x
g(t)dt
da cui limx→a+
∫ b
xg(t)dt = +∞.
Se esiste l’integrale improprio di |f(t)|, per il Teorema appena dimostratoesiste quello di f(t). Viceversa, se esiste l’integrale improprio di f(t) non e dettoche esista quello di |f(t)|.
Si consideri il seguente esempio. Sia f(t) = mant t−1/2 e sia ϕ(t) la funzionein (10.9.4). Esiste l’integrale improprio
∫ +∞1
f(t)t−1dt ma non quello del suovalore assoluto. Infatti si ha, integrando per parti,
∫ x
1
f(t)t
dt =[ϕ(t)
t
]x
1
+∫ x
1
ϕ(t)t2
dt
=ϕ(x)
x− 1
8+
∫ x
1
ϕ(t)t2
dt.
L’integrazione per parti e giustificata dal Teorema 10.9.1. Infattiϕ(t)
te una
funzione continua per t 6= 0, e per ogni ogni t ∈ [1, x] non intero, si ha
Dϕ(t)
t=
f(t)t− ϕ(t)
t2.
Poiche |ϕ(t)| ≤ 1/8, per x → +∞ si ha cheϕ(x)
x→ 0 e che
∫ x
1
ϕ(t)t2
dt converge.
Quindi esiste∫ +∞1
f(t)t−1dt.D’altra parte
∫ n
1
|f(t)|t
dt ≥n−1∑
k=1
1k + 1
∫ k+1
k
|mant t− 1/2| dt =12
n−1∑
k=1
1k + 1
10.9. Appendice 317
che diverge per n → +∞.Lo stesso ragionamento puo essere utilizzato per mostrare che esiste l’inte-
grale improprio ∫ +∞
1
sin t
tdt
ma non quello del suo modulo. Infatti,∫ x
1
sin t
tdt = −
[cos t
t
]x
1
+∫ x
1
cos t
t2dt. (10.9.7)
Chiaramente il termine a destra in (10.9.7) tende a un limite finito per x → +∞.D’altra parte
∫ nπ
1
|sin t|t
dt ≥n−1∑
k=1
1(k + 1) π
∫ (k+1)π
kπ
|sint| = 2π
n−1∑
k=0
1k + 1
.
10.9.4 Formula di Wallis
Teorema 10.9.8 (Formula di Wallis) Vale la seguente formula
limn→+∞
12n + 1
(2 · 4 · 6 · · · · · 2n
1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1)
)2
=π
2. (10.9.9)
Dimostrazione. Per ogni k ≥ 0 intero poniamo
Ik =∫ π/2
0
sink xdx.
Calcoliamo Ik, ove k > 1, integrando per parti. Si ha
Ik =[− cos x sink−1 x
]π/2
0+ (k − 1)
∫ π/2
0
cos2 x sink−2 xdx
= (k − 1)∫ π/2
0
sink−2 xdx− (k − 1)∫ π/2
0
sink xdx.
Ne segue la formula ricorsiva
Ik =k − 1
kIk−2 . (10.9.10)
Il calcolo di Ik e quindi ricondotto al calcolo di
I0 =∫ π/2
0
dx =π
2,
I1 =∫ π/2
0
sin dx = 1,
318 10. Integrale di Riemann
a seconda che k sia pari o dispari. Supponiamo dapprima k = 2n. Iterando nvolte la formula ricorsiva (10.9.10) si ottiene
I2n =(2n− 1) · (2n− 3) · · · · · 3 · 1
(2n) · (2n− 2) · · · · · 4 · 2 I0
=(2n− 1) · (2n− 3) · · · · · 3 · 1
(2n) · (2n− 2) · · · · · 4 · 2π
2.
Se invece k = 2n + 1 si ha, con lo stesso procedimento,
I2n+1 =(2n) · (2n− 2) · · · · · 4 · 2
(2n + 1) · (2n− 1) · · · · · 3 · 1 I1
=(2n) · (2n− 2) · · · · · 4 · 2
(2n + 1) · (2n− 1) · · · · · 3 · 1 .
Ne segue
I2n+1
I2n=
12n + 1
(2 · 4 · 6 · · · · · 2n
1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1)
)2 2π
. (10.9.11)
Si osservi ora che Ik+1 < Ik per ogni k ≥ 0. Tenendo conto di (10.9.10) si ha
2n + 12n + 2
=I2n+2
I2n<
I2n+1
I2n<
I2n
I2n= 1.
Quindi limn→+∞ I2n+1/I2n = 1. La tesi segue ora da (10.9.11).
La formula di Wallis verra utilizzata piu avanti per dimostrare la formula diStirling. A tal fine e opportuno riformulare la (10.9.9) in modo diverso. Notiamoanzitutto che
2 · 4 · 6 · · · · · 2n = 2n (1 · 2 · 3 · · · · · n) = 2nn!
(2n− 1) · (2n− 3) · · · · · 3 · 1 =(2n)!
2 · 4 · 6 · · · · · (2n)=
(2n)!2nn!
.
Quindi la (10.9.9) diviene
limn→+∞
1√2n + 1
22n (n!)2
2n!=
√π
2.
Passando ai logaritmi si ottiene
limn→+∞
(2n log 2 + 2
n∑
k=1
log k − 12
log(2n + 1)−2n∑
k=1
log k
)=
12
logπ
2.
(10.9.12)
10.9. Appendice 319
10.9.5 Somme e integrali. Formula di Eulero
Esiste una notevole relazione tra le somme parziali della serie∑+∞
n=1 f(k) el’integrale
∫ x
1f(t)dt.
Teorema 10.9.13 (di Eulero) Sia f : [0,+∞) → R, derivabile con derivatacontinua in [0,+∞). Allora, per ogni n ∈ N vale la seguente formula di Eulero
n∑
k=1
f(k) =∫ n
1
f(t)dt +12
(f(1) + f(n)) +∫ n
1
(mant t− 1/2) f ′(t)dt. (10.9.14)
Dimostrazione. Per ogni k ≥ 0 intero e per ogni t ∈ [k, k + 1) si ha
mant t− 1/2 = t− k − 1/2.
Integrando per parti si ottiene∫ k+1
k
(mant t− 1/2) f ′(t)dt =∫ k+1
k
(t− k − 1/2) f ′(t)dt
= [(t− k − 1/2) f(t)]k+1k −
∫ k+1
k
f(t)dt
=12
(f(k + 1) + f(k))−∫ k+1
k
f(t)dt.
Sommando per k da 0 a n− 1 si ha
∫ n
1
(mant t− 1/2) f ′(t)dt =12
n−1∑
k=1
f(k + 1) +12
n−1∑
k=1
f(k)−∫ n
1
f(t)dt
=n∑
k=1
f(k)− 12
(f(1) + f(n))−∫ n
1
f(t)dt,
che equivale alla (10.9.14).Una conseguenza interessante e un criterio di convergenza per le serie del
tipo∑+∞
n=1 f(k).
Corollario 10.9.15 Sia f : [1, +∞) → R, derivabile con derivata continua in[1,+∞). Siano f e |f ′| integrabili in senso improprio in [1,+∞) e sia f(n) → 0per n → +∞. Allora,
∑+∞n=1 f(k) converge e si ha
+∞∑n=1
f(k) =∫ +∞
1
f(t)dt +12f(1) +
∫ +∞
1
(mant t− 1/2) f ′(t)dt. (10.9.16)
Dimostrazione. Si ha
|(mant t− 1/2) f ′(t)| ≤ 12|f ′(t)|
320 10. Integrale di Riemann
e quindi∫ +∞1
(mant t− 1/2) f ′(t)dt esiste. Passando al limite per n → +∞ in(10.9.14) si ottiene la (10.9.16)
La formula di Eulero puo essere utilizzata anche per stimare il comporta-mento asintotico di somme parziali di serie divergenti. Poniamo ad esempiof(x) = 1/x. La (10.9.14) diviene
n∑
k=1
1k
= log n +12n
−∫ n
1
(mant t− 1/2)t2
dt.
Sia
γ =∫ +∞
1
(mant t− 1/2)t2
dt.
Si ha∫ n
1
(mant t− 1/2)t2
dt = γ −∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t2
dt
= γ + O
(12n
),
poiche ∣∣∣∣∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t2
∣∣∣∣ ≤12
∫ +∞
n
dt
t2=
12n
.
Quindin∑
k=1
1k
= log n +12n
+ γ + O
(12n
).
La costante γ prende il nome di costante di Eulero-Mascheroni. Il suo valore eγ = 0.5772 . . .
Un’altra applicazione notevole della (10.9.14) consiste in una semplice dimo-strazione della formula di Stirling, che svolgeremo nel prossimo sottoparagrafo.
10.9.6 Formula di Stirling
Teorema 10.9.17 (Formula di Stirling) Per ogni intero n ≥ 1 intero valela formula
n! = nne−n√
2πn eθn/12n (10.9.18)
ove |θn| ≤ 1.
Dimostrazione. Dimostriamo la (10.9.18) in forma logaritmica, ovveron∑
k=1
log k = n log n− n +12
log n +12
log 2π +θn
12n. (10.9.19)
Scriviamo la (10.9.14) con f(t) = log t, ricordando che∫ x
1log tdt = x log x − x.
Si han∑
k=1
log k = n log n− n + 1 +12
log n +∫ n
1
(mant t− 1/2)t
dt. (10.9.20)
10.9. Appendice 321
L’esistenza dell’integrale
σ =∫ +∞
1
(mant t− 1/2)t
dt (10.9.21)
e stata dimostrata nella sottosezione 10.9.3. La (10.9.20) si puo scrivere comen∑
k=1
log k = n log n− n + 1 +12
log n + σ −∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t
dt. (10.9.22)
Procediamo alla valutazione di∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t
dt. (10.9.23)
La generica primitiva di mant t − 1/2 (eccetto che nei punti interi) e lafunzione
ϕ(t) + C =12
(mant t− 1/2)2 + C.
Scegliamo C = −1/12. Questa scelta della costante permette di ottenere age-volmente la migliore stima dell’integrale in (10.9.23). Integrando per parti siha
∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t
dt =[ϕ(t)− 1/12
t
]+∞
n
+∫ +∞
n
ϕ(t)− 1/12t2
dt
= − 124n
+∫ +∞
n
ϕ(t)− 1/12t2
dt.
Poiche maxt |ϕ(t)− 1/12| = 1/8− 1/12 = 1/24, si ha la stima∣∣∣∣∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t
dt
∣∣∣∣ ≤1
24n+
∫ +∞
n
|ϕ(t)− 1/12|t2
dt
≤ 124n
+124
∫ +∞
n
dt
t2
=1
12n.
Equivalentemente, possiamo scrivere∫ +∞
n
(mant t− 1/2)t
dt =θn
12n, ove |θn| ≤ 1. (10.9.24)
Rimane ora da calcolare l’integrale σ. Utilizziamo a tal fine la formula di Wallisnella forma equivalente (10.9.12). Le due sommatorie che appaiono a sinistra in(10.9.12) si esprimono mediante (10.9.20). Risulta
2n∑
k=1
log k −2n∑
k=1
log k =
= −2n log 2 + 1 +12
logn
2+ 2
∫ n
1
(mant t− 1/2)t
dt−∫ 2n
1
(mant t− 1/2)t
dt.
322 10. Integrale di Riemann
Quindi
2n log 2 + 2n∑
k=1
log k − 12
log(2n + 1)−2n∑
k=1
log k =
= 1 +12
logn
4n + 2+ 2
∫ n
1
(mant t− 1/2)t
dt−∫ 2n
1
(mant t− 1/2)t
dt
(10.9.25)
Poiche
limn→+∞
(2
∫ n
1
(mant t− 1/2)t
dt−∫ 2n
1
(mant t− 1/2)t
dt
)= σ,
il termine in (10.9.25) tende a 1− 12 log 4+σ per n → +∞. In forza di (10.9.12)
si ha quindi
σ = −1 +12
log 2π. (10.9.26)
Riunendo le formule (10.9.22), (10.9.24) e (10.9.26) si ottiene la (10.9.19).
