ตวอยางคมอตวเตอร วชา 2000-1501 คณตศาสตรประยกต 1

คาอธบายรายวชา ศกษา ฝกทกษะการคดคานวณและฝกการแกปญหาในเรอง อตราสวน สดสวน รอยละ การแปรผน เซต การดาเนนการของเซต แผนภาพแทนเซต (Venn – Euler Diagram) การแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร สมการกาลงสองตวแปรเดยว มาตรฐานรายวชา

1. มความคดรวบยอดเกยวกบอตราสวน สดสวน รอยละ การแปรผน และนาไปใชในการแกปญหาได

2. มความคดรวบยอดเรองเซตและการดาเนนการของเซต และนาไปใชในการแกปญหาได 3. เขยนแผนภาพแทนเซต (Venn – Euler Diagram) และนาไปใชในการแกปญหา

เกยวกบการหาสมาชกและจานวนสมาชกของเซตได 4. แกสมการเชงเสนตวแปรเดยว ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร และสมการกาลงสอง

ตวแปรเดยวและแกปญหาในสถานการณจรงได 5. นาความรและทกษะทไดจากเรองอตราสวน สดสวน รอยละ การแปรผน เซตและ

การดาเนนการของเซต ระบบสมการเชงเสน และสมการกาลงสองตวแปรเดยวไปประยกตในการเรยนรในงานอาชพและชวตประจา

สมรรถนะรายวชา 1. ดาเนนการเกยวกบอตราสวน สดสวน รอยละ การแปรผน 2. ประยกตใชอตราสวน สดสวน รอยละ การแปรผนในงานอาชพ 3. มความคดรวบยอดเรองเซตและการดาเนนการของเซต และนาไปประยกตใช 4. ใชความรเกยวกบแผนภาพ เวนน - ออยเลอร (Venn-Euler Diagram) ในการแกปญหาเกยวกบการหาสมาชกและจานวนสมาชกของเซตจากด 5. ใชความรเกยวกบสมการเชงเสนตวแปรเดยว ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร และสมการกาลงสองตวแปรเดยวและแกปญหาในสถานการณจรง ประเดนออกขอสอบ

1. การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน 2. อตราสวนของจานวนหลายๆ จานวน 3. การนาความรและทกษะทจากอตราสวนไปประยกตใชในวชาชพ 4. การหาคาตวแปรจากสดสวนตรง

2

5. การหาคาตวแปรจากสดสวนผกผน 6. การนารอยละไปใชในวชาชพ 7. การหาคาตวแปรของสมการเชงเสนตวแปรเดยว 8. การแกสมการเชงเสนสองตวแปร 9. การแกสมการกาลงสองโดยการแยกตวประกอบ 10. การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก 11. การหาจานวนสมาชกของเซต 12. การใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรในการเขยนเซต

สาระสาคญ อตราสวน (Ratio)

อตราสวน (Ratio) เปนการเปรยบเทยบปรมาณหรอสงของทมหนวยเหมอนกนหรอตางชนดกนกไดเพอหาความสมพนธระหวางปรมาณตางๆ สดสวนและการนาสดสวนไปใชในวชาชพและชวตประจาวน สดสวนเปนประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวน โดยททาอตราสวนทงสองใหเปนอตราสวนอยางตา แลวจะมคาเทากนเสมอ สดสวนแบ งออกเปน 2 ชนด คอ สดสวนตรง และสดสวนผกผน สดสวนตรงเปนสดสวนทสองอตราสวนมความสมพนธไปในทศทางเดยวกน และสดสวนผกผนเปนสดสวนทสองอตราสวนมทศทางไปในทางตรงขามกน ขณะเดยวกนยงสามารถนาความรเรองสดสวนทกประเภททเรยนแลว นาไปใชแกปญหาในงานวชาชพและชวตประจาวนได รอยละและการคานวณเกยวกบรอยละ รอยละหรอเปอรเซนตใชสญลกษณแทนดวย % เปนการเปรยบเทยบจานวนใดจานวนหนงกบจานวนเตม 100 ซงอาจเขยนอยในรปอตราสวนทมจานวนหลงของอตราสวนเปน 100 หรอเศษสวนทมสวนเปน 100 สามารถเปลยนรประหวางรอยละ เศษสวน และทศนยมได การนารอยละไปใชในวชาชพและชวตประจาวน การนารอยละไปใชในวชาชพและชวตประจาวนนน สามารถนาหลกการคานวณเกยวกบรอยละ มาชวยแกโจทยปญหาเกยวกบรอยละในวชาชพและชวตประจาวนได การแปรผน การแปรผนเปนความสมพนธของปรมาณตงแตสองปรมาณขนไป โดยทเมอปรมาณหนงเปลยนแปลงไปอกปรมาณหนงเปลยนแปลงไปอกปรมารหนงกเปลยนแปลงตามไปดวย ในลกษณะทไดสดสวนกน และใชสญลกษณ แทนคาวา การแปรผน โดยแบงการแปรผนเปน 3 ประเภท คอ การแปรผนตรง การแปรผกผน และการแปรผนเกยวเนอง

3

การแปรผนตรง เปนความสมพนธทการเปลยนแปลงไปในทศทางเดยวกน กลาวคอ ถาปรมาณหนงมคาเพมขนอกปรมาณหนงมคาเพมขนดวย หรอถาปรมาณหนงมคาลดลงกจะมผลใหอกปรมาณหนงลดลงตามไปดวยอตราสวนคงท การแปรผกผน เปนความสมพนธทมการเปลยนแปลงไปในทศทางตรงขามกน กลาวคอ ถาปรมาณหนงเพมขนจะมผลใหอกปรมาณหนงลดลงดวยอตราสวนคงท หรอถาอกปรมาณหนงมคาลดลงจะมผลทาใหอกปรมาณหนงเพมขน การแปรผนเกยวเนอง หมายถง ความสมพนธของปรมาณตางๆ ตงแตสามปรมาณขนไปซงอาจสมพนธในลกษณะการแปรผนตรง หรอแปรผกผนกได เชน ระยะทางทเดนทางโดยรถยนต จะขนอยกบอตราเรวเรวเฉลยของรถยนตและเวลาทใชในการเดนทาง ดอกเบยจะขนอยกบเงนตนและระยะเวลา สมการเชงเสนตวแปรเดยว

สมการคอ ประโยคสญลกษณทแสดงถงการเทากนของจานวนโดยใชเครองหมายเทากบ “=” ซงอาจจะมตวแปรหรอไมมกได สมการเชงเสนตวแปรเดยว คอสมการทมตวแปรและเลขชกาลงของตวแปรเปนหนง กาหนดใหอยในรป ax + b = 0 เมอ a , b เปนคาคงตวท a 0 และ X เปนตวแปร โดยอาศยสมบตการเทากนของจานวนจรงในการแกสมการหาคาของตวแปรในสมการททาใหสมการเปนจรง ซงเรยกวา คาตอบของสมการ สมการเชงเสนตวแปรเดยวถกนามาใชในวชาชพและชวตประจาวนอยเสมอ อาท การคานวณหายอดขายสนคา การหาความกวางและความยาวของพนท มลคาหน เปนตน สาหรบการแกโจทยสมการเชงเสนตวแปรเดยวนน ตองอาศยความรเรองการแกสมการเชงเสนตวแปรเดยวในการแกโจทยปญหาเปนสาคญ สมการเชงเสนสองตวแปรเดยว สมการเชงเสนสองตวแปรเดยว คอสมการทอยในรปทวไป คอ Ax + By = C เมอ A , B , C เปนคาคงท A,B ไมเปนศนยพรอมกน และ x , Y เปนตวแปร เมอกาหนด a1 , a2 , b1 , b2 , c1, c2 เปนจานวนจรงใด ๆ เรยก a1x + b1y = c1 โดยท a1 0 และ b1 0 a2x + b2y = c2 โดยท a2 0 และ b2 0 การแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร มวธการ 3 วธ คอ โดยการใชกราฟ โดยการแทนคาตวแปรหนงในรปของอกตวแปรหนง หรอโดยการกาจดตวแปรหนง ( เปนการทาใหสมประสทธของตวแปรทตองการกาจดใหมคาเทากน แลวใชกฎการบวกหรอลบระหวางสองสมการ) หลกการแกโจทยระบบสมการเชงเสนสองตวแปร คอ วเคราะหโจทยหาสงทโจทยกาหนดมาให และสงทเปนคาถาม พรอมกาหนดตวแปรสองชนดแทนสงทโจทยถาม พจารณาวาตวแปรทสมมตเกยวของหรอสมพนธกบโจทยหรอตวเลขอน ๆ ในโจทยอยางไร สรางสมการตามเงอนไขทโจทยกาหนด 2 สมการ ดาเนนการแกระบบสมการ ตรวจสอบคาตอบกบโจทยทกครงแลวจงสรปคาตอบ

4

สมการกาลงสอง สมการกาลงสอง (Quadratic equation) คอ สมการทมตวแปรหนงตว และเลขชกาลงสงสดของตวแปรเทากบสอง มรปทวไปของสมการเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ ท a ≠ 0 คาตอบของสมการกาลงสอง ตวแปรลงในสมการแลวทาใหสมการเปนจรง การแกสมการกาลงสองทาไดหลายวธ เชน โดยการแยกตวประกอบ โดยการทาเปนกาลงสองสมบรณ หรอโดยการใชสตร เซตและวธการเขยนเซต และชนดของเซต เซตเปนคาทไมนยาม แตใชคาวา “เซต” เมอกลาวถงการรวมหรอกลมของสงตางๆ แลวตองทราบแนวาสงใดอยในกลม และสงใดไมอยในกลม และสงทปรากฏอยในกลมจะเรยกวา “สมาชก” ซงจะใชสญลกษณ ∈ แทนความหมาย “เปนสมาชก” และสญลกษณ ∉ แทนความหมาย “ไมเปนสมาชก” วธการเขยนเซต ม 2 วธ คอ วธแจกแจงสมาชกและวธบอกเงอนไขของสมาชก ชนดของเซตแบงเปน 5 ชนด ไดแก เซตวาง เซตจากด เซตอนนต เซตทเทากน และเซตทเทยบเทากน ความสมพนธของเซตและการนาเซตไปใชแกปญหา A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B เขยนสญลกษณแทนดวย A ⊂ B และถา A ไมเปนสบเซตของ B เขยนสญลกษณแทนดวย A ⊄ B เพาเวอรเซตของเซต A คอ เซตทมสมาชกทกตวเปนสบเซตทงหมดของเซต A เขยนสญลกษณแทนดวย P(A) เอกภพสมพนธ คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทงหมดในขอบขายทกาลงพจารณาอยในขณะนน เขยนสญลกษณแทนดวย μ หรอ U การเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร จะใชรปสเหลยมมมฉากแทนเอกภพสมพทธ และใชรปปดใดๆ หรอวงกลม หรอวงร แทนเซตตางๆ การดาเนนการของเซต เปนการสรางเซตขนมาใหมดวยการนาเซตทกาหนดใหมาดาเนนการตามทตองการ เชน ยเนยนของเซต อนเตอรเซกชนของเซต คอมพลเมนตของเซต และผลตางของเซต การนาเซตไปใชแกโจทยปญหามหลกการดงน สรางเซตขนมาตามทโจทยกาหนด เขยนแผนภาพเวนน – ออยเลอรตามเงอนไขทโจทยกาหนด ใชความรเกยวกบการหาจานวนสมาชกของเซตจากด หาจานวนสมาชกของเซตตามทโจทยตองการตามลาดบ

5

6

ตารางสรปประเดนออกขอสอบ

ขอ

ประเดนออกขอสอบ ระดบพฤตกรรม

ความจา ความเขาใจ การนาไปใช วเคราะห สงเคราะห ประเมนคา 1 การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน 2 1, 3, 4 2 อตราสวนของจานวนหลายๆ จานวน 5

3 การนาความรและทกษะทจากอตราสวนไปประยกตใชในวชาชพ 6

4 การหาคาตวแปรจากสดสวนตรง 7 8, 9 14, 15

5 การหาคาตวแปรจากสดสวนผกผน 10 6 การนารอยละไปใชในวชาชพ 11, 12 13

7 การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก 18

8 การหาจานวนสมาชกของเซต 16 20, 21

9 การใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรในการเขยนเซต 17, 19 22

10 การหาคาตวแปรของสมการเชงเสนตวแปรเดยว 23, 25 24

11 การแกสมการเชงเสนสองตวแปร 28 29 30 12 การแกสมการกาลงสองโดยการแยกตวประกอบ 26, 27

รวม จานวนขอสอบทงหมด 30 ขอ

หมายเหต ตวเลขทระบในชองระดบพฤตกรรมเปนลาดบทของขอสอบ เชน 2 หมายถง ขอสอบขอท 2

7

แบบทดสอบ 1. มงคด 100 ผลขายไป 50 ผล เนาเสย 10 ผล แจกเพอน 20 ผล จงหาอตราสวน มงคดทเหลอ ตอมงคดทงหมด

1. 1 : 2 2. 1 : 5 3. 1 : 10 4. 4 : 5 5. 6 : 10

2. ขอใดเปนอตราสวนอยางตาทเทากนกบ 25 : 125 1. 1 : 2 2. 1 : 5 3. 3 : 5 4. 3 : 7 5. 5 : 12

3. ในการทาขนมหวาน ถาใชแปงตอนาตาลในอตราสวน แปงตอนาตาล เปน 3 : 1 ถามแปง ทาขนมจานวน 60 ถวย จะตองใชนาตาลเปนเทาไร

1. 10 2. 20 3. 100 4. 180 5. 210

4. ไกกบชมพ ลงทนทาธรกจรานอนเตอรเนต ดวยอตราสวนการลงทนของไกตอชมพ เปน 4 : 5 ถาไกลงทน 25,000 บาท ชมพจะตองลงทนเทาไร

1. 20,000 บาท 2. 25,700 บาท 3. 27,500 บาท 4. 29,120 บาท 5. 31,250 บาท

5. สเขยวเกดจากการผสมสระหวางสเหลองกบสนาเงน ในอตราสวน 3: 2 ถาตองการสเขยว 100 ลกบาศกเซนตเมตร จะตองใชสเหลองและสนาเงน อยางละเทาไร

1. 40 : 60 2. 55 : 45 3. 60 : 40 4. 70 : 30

8

5. 75 : 50 6. ในการผสมคอนกรต ดวยอตราสวน ปน : ทราย : หน = 1 : 2 : 4 ถาตองการคอนกรต 280 ลกบาศกเมตร จะตองใชปนจานวนเทาไร

1. 40 2. 80 3. 160 4. 200 5. 220

7. ขอใดเปนสดสวน 1. 4 : 5 = 8 : 5 2. 5 : 6 = 10 : 14 3. 6 : 7 = 18 : 21 4. 7 : 8 = 20 : 24 5. 4 : 3 = 3 : 4

8. จงหาคา x จาก x : 9 = 20 : 8 1. 17.5 2. 18.9 3. 20.5 4. 22.5 5. 25.9

9. กาหนด 5 : 10 = 15 : x แลว x มคาเทาไร

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35 5. 40

10. คนงาน 20 คน ทาสบานเสรจภายในเวลา 5 วน ถาใชคนงาน 25 คน ทาสบานหลงเดยวกน จะทางานแลวเสรจภายในกวน

1. 3 วน 2. 4 วน 3. 6 วน

9

4. 8 วน 5. 10 วน

11. ในการสอบ PRE V-NET มตวเลอกคาตอบหาตวเลอก แตจะมตวเลอกทเปนคาตอบท ถกตองทสดเพยงหนงตวเลอก จงหาวาตวเลอกทถกคดเปนรอยละเทาไรของตวเลอกทงหมด

1. 5% 2. 10% 3. 20% 4. 25% 5. 30%

12. ซอพดลมมาราคาตวละ 950 บาท ขายไปราคา 1,250 บาท ไดกาไรรอยละเทาไร 1. 13.64 2. 24.00 3. 31.58 4. 35.28 5. 39.56

13. รานคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคาทกชนด 10 % แตถาซอเงนสดลดใหอก 10 % จากราคาทลดครงแรก กางเกงตวหนงตดราคาไว 1,000 บาท ถาซอดวยเงนสดจะจายเงนเทาไร

1. 800 บาท 2. 810 บาท 3. 850 บาท 4. 910 บาท 5. 980 บาท

14. ถา x แปรผกผนกบ y เมอ x = 10 และคาคงทเทากบ 50 จงหาคา y 1. 2 2. 5 3. 10 4. 12 5. 15

15. โรงงานผลตสนคาชนดหนง ผลตสนคา 100 ชน ลงทน 510 บาท ผลต 300 ชน ลงทน 720 บาท คาลงทนแบงออกเปน 2 สวน คอคาแรงซงคงท และคาวสดแปรผน ตามจานวนชนทผลต ถาโรงงานแหงนผลตสนคา 10,000 ชน จงหาจานวนเงนทลงทน

10

1. 10,605 บาท 2. 10,705 บาท 3. 10,805 บาท 4. 10,905 บาท 5. 11,005 บาท

16. กาหนดให A = {a , b, cd , {ef , g} , h} เซต A มจานวนสมาชกเทาไร 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 9 17. สวนทแรเงาในแผนภาพตรงกบขอใด

18. กาหนดให A = {a , b , c} ขอใดเปนเซตทเทยบเทากบเซต A

1. A′ 2. A – B

3. A ∪ B

4. A ∩ B

5. A′∪ B

1. {{a, b}, b} 2. {{a, b}, {b, c}} 3. {{a}, {b}, {c}} 4. {a, {b, c }, c, d} 5. {a, b, {a, d} , {b, d}

19. จากแผนภาพขอใดกลาวถกตอง 1. A = B

A B

U

2. A ⊂ B 3. B ⊂ A 4. A ↔ B 5. B ∈ A

11

20. จากการสารวจความตองการทจะเลอกเรยนสาขางานตางๆ ของนกเรยน ปวช. 1 วทยาลย แหงหนง 85 คน ปรากฏวาตองการเรยนสาขางานบญช 34 คน ตองการเรยนสาขางาน คอมพวเตอรธรกจ 56 คน มบางคนตองการเรยนทงสองสาขางาน ไมเรยนทงสองสาขางาน 10 คน จงหาวามนกเรยนทตองการเรยนทงสองสาขางานมกคน 1. 5 คน 2. 15 คน 3. 20 คน 4. 25 คน 5. 30 คน 21. จากการสอบถามความนยมของนกเรยนในการอานหนงสอการตนญปนหรอหนงสอนวนยาย จานวน 60 คน ดงขอมลดงน

• นกเรยนทนยมอานหนงสอการตนญปน 30 คน • นกเรยนทนยมอานหนงสอนวนยาย 25 คน • นกเรยนทนยมอานหนงสอทงสองชนด 10 คน

จงหาจานวนนกเรยนทอานหนงสอนวนยายเพยงอยางเดยวมกคน 1. 10 คน 2. 15 คน 3. 25 คน 4. 45 คน 5. 45 คน 22. จากแผนภาพทกาหนด

A แทนเซตของผสอบผานวชาคณตศาสตร B แทนเซตของผสอบผานวชาภาษาองกฤษ C แทนเซตของผสอบผานวชาภาษาไทย

จงหาจานวนผทสอบผาน 2 วชา 1. 30 คน 2. 32 คน

9 13 8 A B

15 10 7 15C U

12

3. 45 คน 4. 75 คน 5. 75 คน

23. จงหาคา x จากสมการ 3x + 5 = 9.5 1. x = 1.5 2. x = 2 3. x = 2.5 4. x = 3 5. x = 3.5

24. กาหนดให = 1 แลว x+3 มคาตรงกบขอใด 5

32x +

1. – 1 2. – 2 3. 1 4. 2 5. 4

25. จากสมการ + = จงหาคา x 3x

2x

61

1. 1

8

2. 1

5

3. 1

2

4. 5

6

5. 1

3

กาหนดให = 16 แลว y มคาตรงกบขอใด 2y26. 1. – 4 2. 4 3. 4±4. 16

13

5. ±16

27. กาหนดให = 0 จงหาคา x 14x 3x2 +−

1. 1

3

2. 1

3. 1

3 และ 1

4. 2 และ 5 5. 3 และ 4

28. กาหนดให 2x – 3y = 0 ถา x = 15 จงหาคา y 1. – 10 2. 5 3. 10 4. 15 5. 22

29. จากระบบสมการ x + y = 5 1 x – y = 1 2 คาของ 2x – 3y ตรงกบขอใด

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4

30. สถานศกษาแหงหนงออกแบบลานจดกจกรรมชมชนเปนรปสเหลยมจตรส ตอมาเปลยนแบบเปน รปสเหลยมผนผาโดยเพมดานหนงของสเหลยมจตรสออกไป 3 เมตร และลดอกดานหนงของ สเหลยมจตรสลง 2 เมตร ไดพนทจดกจกรรม 66 ตารางเมตร ถาคาใชจายในการเทคอนกรต ตารางเมตรละ 600 บาท จงคานวณวาคาใชจายในการเทคอนกรตจากแบบเดมและแบบทแกไข

1. 1,000 บาท 2. 1,200 บาท 3. 1,400 บาท 4. 1,600 บาท 5. 1,800 บาท

เฉลยวชาคณตศาสตรประยกต 1 (2000 - 1501)

14

1. 2 11. 3 21. 2

2. 2 12. 3 22. 1

3. 2 13. 2 23. 1

4. 5 14. 2 24. 5

5. 3 15. 4 25. 2

6. 1 16. 1 26. 3

7. 3 17. 3 27. 3

8. 4 18. 3 28. 2

9. 3 19. 2 29. 1

10. 2 20. 2 30. 2

เฉลยแบบทดสอบ 1. มงคด 100 ผลขายไป 50 ผล เนาเสย 10 ผล แจกเพอน 20 ผล จงหาอตราสวน มงคดทเหลอตอมงคดทงหมด

วธทา อตราสวน มงคดทเหลอ : มงคดทงหมด

15

มงคดทงหมด 100 ผล ขายไป 50 ผล เนาเสย 10 ผล แจกเพอน 20 ผล เหลอมงคด 100 – 50 – 10 –20 = 20 ลก อตราสวน มงคดทเหลอ ตอมงคดทงหมด คอ 20 : 100 = 1 : 5 2. ขอใดเปนอตราสวนอยางตาทเทากนกบ 25 : 125

วธทา 25 : 125 หรอ

ดงนน 25 : 125 = 1 : 5 3. ในการทาขนมหวาน ถาใชแปงตอนาตาลในอตราสวน แปงตอนาตาล เปน 3 : 1 ถามแปง ทาขนมจานวน 60 ถวย จะตองใชนาตาลเปนเทาไร

วธทา อตราสวนของแปงตอนาตาล เปน 3:1 แปง 3 สวน เปน 60 ถวย

แปง 1 สวน เปน = 20 ถวย

ดงนน นาตาล 1 สวน เทากบ 20 ถวย

4. ไกกบชมพ ลงทนทาธรกจรานอนเตอรเนต ดวยอตราสวนการลงทนของไกตอชมพ เปน 4 : 5 ถาไกลงทน 25,000 บาท ชมพจะตองลงทนเทาไร

วธทา อตราสวนการลงทนของไก ตอชมพ เปน 4 : 5 ไกลงทน 4 สวนเปนเงน 25,000 บาท

ไกลงทน 1 สวนเปนเงน = 6,250 บาท

ดงนน ชมพลงทน 5 สวน เปนเงน 6,250 5 = 31,250 บาท 8. จงหาคา x จาก x : 9 = 20 : 8

วธทา =

x =

x = = = 22.5

9. กาหนด 5, 10, 15 และ x เปนสดสวนโดยตรงแลว x มคาเทาไร

16

=

=

= x

10 × 3 = x x = 30 10. คนงาน 20 คน ทาสบานเสรจภายในเวลา 5 วน

ถาคนงาน 25 คน ทาสบานหลงเดยวกนเสรจ x วน (คนงานเปนสดสวนผกผนกบเวลา)

=

= x

= x

x = 4 11. ในการสอบ PRE V-NET มตวเลอกคาตอบหาตวเลอก แตจะมตวเลอกทเปนคาตอบท ถกตองทสดเพยงหนงตวเลอก จงหาวาตวเลอกทถกคดเปนรอยละเทาไรของตวเลอกทงหมด

วธคด 1) 5% = =

2) 10% = =

3) 15% = =

4) 20% = = =

5) 25% = = =

12. ซอพดลมมาราคาตวละ (ทน) 950 บาท ขายไปราคา 1,250 บาท ไดกาไร = 1,250 – 950 = 300 บาท

= =

=

=

=

17

=

= 31.58 14. ถา x แปรผกผนกบ y เมอ x = 10 และคาคงทเทากบ 50 จงหาคา y

วธทา

y1 αx

สมการของการแปรผน เมอ k = 50

yk =x

y

50 =x

ถา x = 10 , k = 50 และ y = ?

y

50 10 =

50 10 =y

1050 =y

จะได y = 5 ดงนน เมอ x = 10 , y = 5

15. โรงงานผลตสนคาชนดหนง ผลตสนคา 100 ชน ลงทน 510 บาท ผลต 300 ชน ลงทน 720 บาท คาลงทนแบงออกเปน 2 สวน คอคาแรงซงคงท และคาวสดแปรผนตามจานวนชนท ผลต ถาโรงงานแหงนผลตสนคา 10,000 ชน จงหาจานวนเงนทลงทน

วธทา ให P แทนการลงทน A แทนคาแรงคงท B แทนคาวสด n จานวนชนสนคาทผลต คาการลงทนแบงออกเปน 2 สวน BA P += คาวสด (B) แปรผนตามจานวนชน (n) ทผลต n Bα k.n B = , k คอคาคงท

18

สมการของการแปรผน knA P += (1) ผลตสนคา (n) = 100 , ลงทน (P) = 510 แทนคาใน (1) k(100) A 510 += (2) ผลตสนคา (n) = 300 , ลงทน (P) = 720 แทนคาใน (1) k(300) A 720 += (3)

100k -300k = 510 - 720 ; (2)-(3)

200k 210 =

200210 k =

2021 k =

แทนคา ลงใน (2) 2021 k =

(100)2021 A 510 +=

105k A 510 += 105 - 510 A = 405 A = ถา n = 10,000 จงหา P แทนคาใน (1)

)000,10(2021 405 P +=

10.500 405 P += 10,905 P =

ดงนน ผลตสนคาจานวน 10.000 ชนลงทน 10,905 บาท 20. จากการสารวจความตองการทเลอกเรยนสาขาวชาตางๆ ของนกเรยน ปวช. 1 วทยาลยแหงหนง 85 คน ปรากฏวาตองการเรยนสาขาบญช 34 คน ตองการเรยนสาขาวชาคอมพวเตอรธรกจ 56 คน มบางคนตองการเรยนทงสองสาขาวชา ไมเรยนทงสองสาขาวชา 10 คน จงหาวาม นกเรยนทตองการเรยนทงสองสาขาวชามกคน

วธทา จากโจทย n(U) = 85 กาหนดให A เปนนกเรยนทตองการเรยนสาขาบญช B เปนนกเรยนทตองการเรยนสาขาวชาคอมพวเตอร จะได n(A) = 34 , n(B) = 56 n(A B) 10′∪ =

ดงนน )Bn(A - n(U) B)n(A ′∪=∪

= 85 - 10 = 75

จงหา B)n(A ∩

จาก B)n(A - n(B) n(A) B)n(A ∩+=∪

19

B)n(A - 563475 ∩+= B)n(A - 9075 ∩= 75 - 90B)n(A =∩ 15B)n(A =∩

ดงนน มนกเรยนทตองการเรยนทงสองสาขาวชา 15 คน 21. จากการสอบถามความนยมของนกเรยนในการอานหนงสอ จานวน 60 คน ขอมลดงน - นยมอานหนงสอการตนญปนจานวน 30 คน

- นยมอานหนงสอนวนยายจานวน 25 คน - นยมอานหนงสอทงสองชนดจานวน 10 คน

จงหาจานวนนกเรยนทนยมอานหนงสอ นวนยายเพยงอยางเดยวมกคน วธทา ให n(A) แทนจานวนนกเรยนทนยมอานหนงสอการตน

n(B) แทนจานวนนกเรยนทนยมอานหนงสอนวนยาย n(A∩B) แทนจานวนนกเรยนทนยมอานหนงสอทงสองชนด จะได n(A) = 30

n(B) = 25 n(A∩B) = 10 จงหา n(B - A) จาก B)n(A - n(B) A) - n(B ∩=

= 25 - 10 = 15

ดงนน จานวนนกเรยนทนยมอานหนงสอ นวนยายเพยงอยางเดยวม 15 คน 23. หาคา x จากสมการ 3x + 5 = 9.5

วธทา 3x + 5 = 9.5 3x = 9.5 – 5

x = 35.4 = 1.5

24. กาหนดให แลว x + 3 ตรงกบขอใด 15

32x=

+

วธทา = 1 5

32x +

2x + 3 = 5 2x = 5 – 3

x = 2

2 = 1

ดงนน x + 3 = 1 + 3 = 4

25. จากสมการ = จงหาคา x

วธทา =

20

=

= 1 = 1

x =

26. กาหนดให y² = 16 แลว y มคาตรงกบขอใด วธทา y² - 16 = 0

(y + 4)(y- 4) = 0 y + 4 = 0 y = -4 และ y - 4 = 0 y = 4 ดงนน y = ±4 27. กาหนดให 3x² - 4x + 1 = 0 จงหาคา x

ตอบ ค. และ 1 31

วธทา (3x - 1)(x - 1) = 0 3x – 1 = 0 3x = 1

x = 31

x – 1 = 0 x = 1

ดงนน x = , 1 31

28. กาหนดให 2x - 3y = 0 ถา x = 15 จงหาคา y วธทา 2(15) - 3y = 0

30 - 3y = 0 - 3y = -30 y =

330

−−

y = 10 29. จากระบบสมการ x + y = 5 _____________ 1

x - y = 1 _____________ 2 คาของ 2x - 3y ตรงกบขอใด วธทา จาก 1 + 2; 2x = 6

x = 26

x = 3

21

แทนคา x = 3 ในสมการท 1 3 + y = 5 y = 5 - 3 y = 2

ตรวจคาตอบ แทนคา x = 3 , y = 2 ใน 2x - 3y จะได 2(3) - 3(2) 6 - 6 = 0 ทงสองขางเทากนจรง ดงนน คาตอบของสมการคอ x = 3 และ y = 2 30. สถานศกษาแหงหนงออกแบบลานจดกจกรรมชมนนเปนรปสเหลยมจตรส ตอมาเปลยนแบบ เปนรปสเหลยมผนผาโดยเพมดานหนงของสเหลยมจตรสออกไป 3 เมตร และลดอกดานหนง ของสเหลยมจตรสลง 2 เมตร ไดพนทจดกจกรรม 66 ตารางเมตร ถาคาใชจายในการเท คอนกรต ตารางเมตรละ 600 บาท จงคานวณวาคาใชจายในการเทคอนกรตจากแบบเดมและ แบบทแกไขตางกนเทาไร วธทา กาหนดให x แทน ความยาวของดานรปสเหลยมจตรสของรปเดม

66 x

x + 3 x – 2

x

(x + 3)(x - 2) = 66 x² + x - 6 = 66 x² + x - 72 = 0

(x + 9)(x - 8) = 0 x = -9, 8 x = 8

จะได ดานกวาง x – 2 = 8 – 2 = 6 ดานยาว x + 3 = 8 + 3 = 11

แบบใหม พนท กวาง × ยาว = 6 × 11 = 66 ตารางเมตร คาใชจาย 66 × 600 = 39,600 บาท แบบเกา พนท กวาง × ยาว = 8 × 8 = 64 ตารางเมตร คาใชจาย 64 × 600 = 38,400 บาท

ดงนนจะตองจายเงนทงหมด 39,600 – 39,600 = 1,200 บาท

22

รายชอผจดทาคมอ PRE V – NET วชาคณตศาสตรประยกต 1

1. นายสรพงษ พวศรไพบลย วทยาลยเทคนคมนบร ประธาน 2. นางอราไพ สหนนทรตน วทยาลยเทคนคปทมธาน รองประธาน 3. นางสาวจราพร เหลกชาย วทยาลยการอาชพนวมนทราชนแมฮองสอน กรรมการ 4. นางดวงกมล อดมรกษาทรพย วทยาลยสารพดชางบรรหารแจมใส กรรมการ 5. นางสาวนาฎอนงค บวทอง วทยาลยสารพดชางเพชรบรณ กรรมการ 6. นางเพญใจ ขยายแยม วทยาลยเทคนคนครนายก กรรมการ 7. นายพนม เทยมคา วทยาลยเกษตรและเทคโนโลยเพชรบรณ กรรมการ 8. นางทศนย อทย วทยาลยการอาชพนวมนทราชนมกดาหาร กรรมการ 9. นางสาวนภาพร อนทสนธ วทยาลยเกษตรและเทคโนโลยอทยธาน กรรมการ 10. นางสปราณ โตะแวหะย วทยาลยเทคนคกาญจนาภเษกปตตาน กรรมการ 11. นางสาวอารวรรณ แสงรตน วทยาลยเทคนคสมทรสงคราม กรรมการ 12. นางชตนนท เพยรทอง วทยาลยเทคนคเพชรบรณ กรรมการ 13. นางณฐยา สลบสม วทยาลยเทคนคสมทรปราการ กรรมการและเลขานการ 14. นางสาวโพธทพย วชระสวสด วทยาลยเทคนคดอนเมอง กรรมการและ ผชวยเลขานการ