โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

1 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

บทที่ 3 ระบบจ านวนจริง

หัวข้อที่ 3.3 การน าสมบัติของจ านวนจริงไปใช้ในการแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

จุดประสงค์หัวข้อที่ 3.3 นักเรียนสามารถ น าสมบัติของจ านวนจริงไปใช้ในการแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวได้

สรุปเนื้อหา การน าสมบัติของจ านวนจริงไปใช้ในการแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว เป็นการหาค าตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียว เราสามารถท าไดโ้ดยใช้การแยกตัวประกอบหรือใช้สูตรต่าง ๆ ของการแยกตัวประกอบ แต่ในบางครั้งเราต้องใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ตัวอย่าง 1 จงหาค าตอบของสมการต่อไปนี้ 1. x2 +8x + 12 = 0

วิธีท า จากการแยกตัวประกอบของ x2+8x + 12 จะได้ x2+8x + 12 = (x + 6) (x + 2) หาค าตอบของสมการ (x + 6) (x + 2) = 0 โดยหาค่า x ที่ท าให้ (x + 6) = 0 หรือ (x + 2) = 0 ดังนั้น x = -6 หรือ x = -2 ตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = -6 ในการสมการ x2 +8x + 12 = 0 จะได้ (-6)2+8(-6)+12 = 0 36 + (-48) +12 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง และตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = -2 ในการสมการ x2 +8x + 12 = 0 จะได้ (-2)2+8(-2)+12 = 0 4 + (-16) +12 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น ค าตอบของสมการคือ -6 และ -2

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

2 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

2. 7x2 +3x - 4 = 0 วิธีท า จากการแยกตัวประกอบของ 7x2 +3x - 4 จะได้ 7x2 +3x - 4 = (7x - 4) (x + 1)

หาค าตอบของสมการ (7x - 4) (x + 1) = 0 โดยหาค่า x ที่ท าให้ (7x - 4) = 0 หรือ (x + 1) = 0 ดังนั้น x =

หรือ x = -1

ตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = ในการสมการ 7x2 +3x - 4 = 0

จะได้ 7( )2 + 3(

) - 4 = 0

+ (

) – 4 = 0

0 = 0 ซึ่งเป็นจริง และตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = -1 ในการสมการ 7x2 +3x - 4 = 0 จะได้ 7(-1)2+3(-1)-4 = 0

7 + (-3) – 4 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น ค าตอบของสมการคือ

และ -1

ตัวอย่าง 2 จงหาค าตอบของสมการต่อไปนี้ โดยการท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์ 1. x2 -10x - 2 = 0 วิธีท า จากการแยกตัวประกอบของ x2 -10x - 2 จะได้ x2 -4x – 2 = ( x2 -2(5)x + 52) - 52 – 2 = (x - 5)2 – 27 = (x - 5)2 – (3√ )2

= (x – 5 +3√ ) ( x – 5 -3√ ) หาค าตอบของสมการ (x – 5 +3√ ) ( x – 5 -3√ ) = 0 โดยหาค่า x ที่ท าให้

(x – 5 +3√ ) = 0 หรือ ( x – 5 -3√ ) = 0 ดังนั้น x = 5 -3√ หรือ x = 5 +3√

ตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = 5 -3√ ในการสมการ x2 -10x - 2 = 0 จะได้ (5 -3√ )2 – 10(5 -3√ ) – 2 = 0 25-30√ + 27 -50 + 30√ - 2 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

3 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

ตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = 5 +3√ ในการสมการ x2 -10x - 2 = 0 จะได้ (5 +3√ )2 – 10(5 +3√ ) – 2 = 0 25+30√ + 27 -50 - 30√ - 2 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง

ดังนั้น ค าตอบของสมการคือ 5 - 3√ และ 5 + 3√

2. x2 -6x + 4 = 0 วิธีท า จากการแยกตัวประกอบของ x2 -6x + 4 = 0 จะได้ x2 -6x + 4 = ( x2 -2(3)x + 32) - 32 + 4 = (x - 3)2 – 5 = (x - 3)2 – (√ )2

= (x – 3 +√ ) (x – 3 -√ ) หาค าตอบของสมการ (x – 3 +√ ) (x – 3 - √ ) = 0 โดยหาค่า x ที่ท าให้ (x – 3 +√ ) = 0 หรือ (x – 3 - √ ) = 0

ดังนั้น x = 3 - √ หรือ x = 3 + √ ตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = 3 - √ ในการสมการ x2 -6x + 4 = 0 จะได้ (3 - √ )2– 6(3 - √ ) + 4 = 0 9- 6 √ + 5 -18 +6√ + 4 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง ตรวจค าตอบโดยการแทนค่า x = 3 + √ ในการสมการ x2 -6x + 4 = 0 จะได้ (3 + √ )2– 6(3 + √ ) + 4 = 0 9 + 6 √ + 5 -18 - 6√ + 4 = 0 0 = 0 ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น ค าตอบของสมการคือ 3 - √ และ 3 + √

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

4 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

ตัวอย่าง 3 จงหาค าตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใช้สูตร 1. x2 -2x - 6 = 0 วิธีท า จาก x2 -2x - 6 = 0 จะได้ a = 1, b = -2 และ c = -6

จากสูตร x = √

และค่าของ x จะเป็นจ านวนจริง เมิ่อ ≥ 0

ตรวจสอบ √ = √

= √ = √ หรือ 2√

แทนค่าจะได้ x = √

= 1 √ ดังนั้น ค าตอบของสมการคือ 1 + √ และ 1 - √ 2. -x2 + x - 5 = 0 วิธีท า จาก -x2 + x - 5 = 0 จะได้ a = -1, b = 1 และ c = -5

จากสูตร x = √

และค่าของ x จะเป็นจ านวนจริง เมิ่อ ≥ 0

ตรวจสอบ √ = √

= √ = √ เนื่องจาก

< 0 ซึ่งการหาค่าของ x ไม่เป็นไปตามสูตร ดังนั้น จึงไม่สามารถหาค าตอบของสมการที่เป็นจ านวนจริงได้ หมายเหตุ สมการก าลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a≠0 ถ้า > 0 จะมีค าตอบ 2 ค าตอบที่เป็นจ านวนจริง ถ้า = 0 จะมีค าตอบ 1 ค าตอบที่เป็นจ านวนจริง ถ้า < 0 จะไม่มีค าตอบที่เป็นจ านวนจริง

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

5 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

การแก้สมการพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ p(x) คือพหุนาม anx

n + an – 1xn – 1 + an – 2x

n – 2 + a1x + a0 เมื่อ n I+ และ an, an – 1, an –

2, ..., a1, a0 เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นจ านวนจริง โดยที่ an 0 ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c R แล้วเศษเหลือเท่ากับ p(c) ถ้า p(c) = 0 พหุนาม x – c เป็นตัวประกอบของ p(x) การแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ท าได้ดังนี้ 1. หาตัวประกอบ c ของ a0 ที่ท าให้ p(c) = 0 2. น า x – c ที่หาได้ไปหาร p(x) 3. ถ้าผลหารดีกรีสูงกว่าสอง ให้ท าซ้ า การแยกตัวประกอบโดยวิธีการหารสังเคราะห์ ท าได้ดังนี้ 1. เรียงสัมประสิทธิ์ของพหุนามจากดีกรีมากไปหาน้อยตามล าดับ 2. เลือกตัวประกอบของ a0 แล้วหาผลลัพธ์ของ a0 ให้เป็นศูนย์ ตัวอย่าง จงหาเศษเม่ือหาร 2x3 -7x2 + 5x - 4 ด้วย x - 2 วิธีท า ให้ p(x) = 2x3 -7x2 + 5x - 4 x – c = x – 2 c = 2 เมื่อหาร p(x) ด้วย x – 2 จะเหลือเศษ p(2) จาก p(x) = 2x3 -7x2 + 5x - 4 p(2) = 2(2)3 -7(2)2 + 5(2) - 4 = 16 – 28 + 10 -4 = -6 ดังนั้น เศษเหลือคือ -6

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

6 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

2 -3 + 2

0 + -1

1

2 -1

1 + -1

-1 0

ตัวอย่าง จงหาเซตค าตอบของสมการ 2x3 -3x2 +1 = 0 วิธีท า ให้ p(x) = 2x3 -3x2 +1 p(1) = 2x3 -3x2 +1 = 2(1)3 -3(1)2 +1 = 2 – 3 +1 = 0 x – 1 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x – 1 ไปหาร 2x3 -3x2 +1 โดยวิธีหารสังเคราะห์ จะได้ผลหาร คือ 2x2 - x - 1 เศษ 0 จะได้ 2x3 -3x2 +1 = (x – 1) (2x2 - x – 1) = (x – 1) (2x + 1) (x - 1) จากสมการ 2x3 -3x2 +1 = 0 (x – 1) (2x + 1) (x - 1) = 0

x = 1,

ดังนั้นเซตค าตอบคือ {1 ,

}

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

7 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

3 2 + 6

-12 + 16

2

3 8

-8 + 8

4 0

ตัวอย่าง จงหาเซตค าตอบของสมการ 3x3 +2x2 - 12x - 8 = 0 วิธีท า ให้ p(x) = 3x3 +2x2 - 12x - 83x3 +2x2 - 12x - 8 p(2) = 3x3 +2x2 - 12x - 8 = 3(2)3 +2(2)2 – 12(2) - 8 = 24 +8 -24 -8 = 0 x – 2 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x – 2 ไปหาร 3x3 +2x2 - 12x - 8 โดยวิธีหารสังเคราะห์ จะได้ผลหาร คือ 3x2 - 8x +4 เศษ 0 จะได้ 3x3 +2x2 - 12x – 8 = (x – 2) (3x2 - 8x +4) = (x – 2) (3x + 2) (x +2) จากสมการ 3x3 +2x2 - 12x – 8 = 0 (x – 2) (3x + 2) (x + 2) = 0

x = 2,

, -2

ดังนั้นเซตค าตอบคือ {1 ,

-2}

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

8 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

แบบฝึกหัด 3.3

1. ก าหนด p(x) และ c ดังต่อไปนี้ จงหาเศษเมื่อหาร p(x) ด้วย x - c 1) p(x) = x3- 3x + 5 , c = 3 2) p(x) = 4x3+ 12x2 - 2 , c = -2 3) p(x) = x4- 2x3 + 3x2 - x + 1 , c = 3 2. ถ้า x – 5 หาร x3 + mx2 + 5x - m ลงตัว จงหา m 3. ถ้า x + 2 หาร x2 + 5x + m เหลือเศษ -6 จงหา m 4. จงแยกตัวประกอบพหุนาม x2 - 6x + 8 5. จงแยกตัวประกอบพหุนาม x3 - 2x2 - x + 2 6. จงหาเซตค าตอบของสมการ 3x3 - 2x2 - 7x - 2 = 0 7. จงหาเซตค าตอบของสมการ x3 + x2 - 8x = 12 8. จงหาเซตค าตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 5x + 6 = 0 9. จงหาเซตค าตอบของสมการ 3x4 - 8x3 +x2 + 8x - 4 = 0 10. จงหาเซตค าตอบของสมการ x4 - 2x3 = x2 - 14x - 24

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

9 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

เฉลยแบบฝึกหัด 3.3 1. 1) 23 วิธีท า ให้ p(x) = x3- 3x + 5 x – c = x – 3 c = 3 เมื่อหาร p(x) ด้วย x – 3 จะเหลือเศษ p(3) จาก p(x) = x3- 3x + 5 p(3) = (3)3 -3(3)2 + 5 = 27 – 27 + 5 = 5 ดังนั้น เศษเหลือคือ 5 2) 14 วิธีท า ให้ p(x) = 4x3+ 12x2 - 2 x – c = x + 2 c = -2 เมื่อหาร p(x) ด้วย x + 2 จะเหลือเศษ p(-2) จาก p(x) = 4x3+ 12x2 - 2 p(-2) = 4(-2)3 +12(-2)2 -2 = -32 + 48 – 2 = 14 ดังนั้น เศษเหลือคือ 14 3) 2 วิธีท า ให้ p(x) = x4- 2x3 + 3x2 - x + 1 x – c = x – 1 c = 1 เมื่อหาร p(x) ด้วย x – 1 จะเหลือเศษ p(1) จาก p(x) = x4- 2x3 + 3x2 - x + 1 p(1) = (1)4- 2(1)3 + 3(1)2 - 1 + 1 = 1- 2 + 3 -1 +1 = 2 ดังนั้น เศษเหลือคือ 2

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

10 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

2. -

6.25

วิธีท า ให้ p(x) = x3 + mx2 + 5x – m p(5) = (5)3 +m(5)2 + 5(5) - m 0 = 125 +25m + 25 - m -150 = 24m

m = -

6.25

3. 0 วิธีท า ให้ p(x) = x2 + 5x + m p(-2) = (-2)2 + 5(-2) + m -6 = 4 – 10 + m 0 = m 4. (x – 2) (x – 4) วิธีท า จากการแยกตัวประกอบของ x2 - 6x + 8 จะได้ x2 - 6x + 8 = (x – 2) (x – 4) 5. (x – 2) (x + 1) (x – 1) วิธีท า จากการแยกตัวประกอบของ x3- 2x2 - x + 2 จะได้ x3 - 2x2 - x + 2 = (x – 2) (x + 1) (x – 1)

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

11 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

3 -2 + 6

-7 + 8

2

3 4

-2 + 2

1 0

6. { -

, -1 , 2 }

วิธีท า ให้ p(x) = 3x3 - 2x2 -7x - 2 p(2) = 3x3 - 2x2 -7x - 2 = 3(2)3 - 2(2)2 – 7(2) - 2 = 24 - 8 -14 -2 = 0 x – 2 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x – 2 ไปหาร 3x3 - 2x2 - 7x - 2 โดยวิธีหารสังเคราะห์ ผลหาร คือ 3x2 +4x + 1 เศษ 0 จะได้ 3x3 - 2x2 -7x - 2 = (x – 2) (3x2 +4x +1) = (x – 2) (3x + 1) (x +1) จากสมการ 3x3 +2x2 - 12x – 8 = 0 (x – 2) (3x + 1) (x + 1) = 0

x = 2,

, -1

ดังนั้นเซตค าตอบคือ {2 ,

-1}

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

12 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

1 2 + 2

-5 + 8

2-

1 4

-6 + 6

3 0

7. { - 2 , -3, -1} วิธีท า ให้ p(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 p(2) = x3 +2x2 - 5x - 6 = (2)3 + 2(2)2 -5(2) - 6 = 8 + 8 - 10 -6 = 0 x - 2 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x - 2 ไปหาร x3 + 2x2 - 5x – 6 โดยวธิีหารสังเคราะห์ ผลหาร คือ x2 +4x + 3 เศษ 0 จะได้ x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 2) (x2 +4x +3) = (x + 2) (x + 3) (x +1) จากสมการ x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0 (x + 2) (x + 3) (x + 1) = 0

x = -2, -3, -1 ดังนั้นเซตค าตอบคือ {-2, 3,-1}

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

13 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

2 -3 + 4

-5 + 2

2

2 1

6 + -6

-3 0

8. {-

, 1, 2}

วิธีท า ให้ p(x) = 2x3-3x2 -5x + 6 p(2) = 2x3-3x2 -5x + 6 = 2(2)3 -3 (2)2 -5(2) +6 = 16 – 12 -10 + 6 = 0 x - 2 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x - 2 ไปหาร 2x3-3x2 -5x + 6 โดยวิธีหารสังเคราะห์ ผลหาร คือ 2x2 + x - 3 เศษ 0 จะได้ 2x3-3x2 -5x + 6 = (x - 2) (2x2 + x - 3) = (x - 2) (2x + 3) (x -1) จากสมการ 2x3-3x2 -5x + 6 = 0 (x - 2) (2x + 3) (x -1) = 0

x = 2,

, 1

ดังนั้นเซตค าตอบคือ {2,

, 1}

โดย อ.สุนทรีย์ ปาลวัฒน์ชัย

____________________________________________________________________________

14 สนบัสนนุโดย มลูนธิิศกัดิพ์รทรัพย ์

9. {-1 ,

, 2, 1}

วิธีท า ให้ p(x) = 3x4-8x3 + x2 + 8x - 4 p(2) = 3x4-8x3 + x2 + 8x - 4 = 3(2)4 -8 (2)3 + (2)2 + 8(2) -4 = 48 – 64 + 4 + 16 -4 = 0 x - 2 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x - 2 ไปหาร 3x4-8x3 + x2 + 8x - 4 โดยวิธีหารสังเคราะห์ จะได้ 3x4-8x3 + x2 + 8x - 4 = (x - 2) (3x3 -2x2 - 3x + 2) = (x - 2) (x - 1) (3x -2) (x+ 1) จากสมการ 3x4-8x3 + x2 + 8x - 4 = 0 (x - 2) (x - 1) (3x -2) (x+ 1) = 0

x = -1 ,

, 2, 1

ดังนั้นเซตค าตอบคือ {-1 ,

, 2, 1}

10. {1, 3, -2, -1} วิธีท า ให้ p(x) = x4-x3 - 7x2 + x +6 p(1) = x4-x3 - 7x2 + x +6 = (1)4 -(1)3 -7(1)2 + 1 +6 = 1 – 1 -7 + 1 + 6 = 0 x - 1 เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ p(x) น า x - 1 ไปหาร โดยวิธีหารสังเคราะห์ จะได้ x4-x3 - 7x2 + x +6 = (x - 1) (x3 -7x -6 ) = (x - 1) (x - 3) (x + 2) (x +1) จากสมการ x4-x3 - 7x2 + x +6 = 0 (x - 1) (x - 3) (x + 2) (x +1) = 0

x = 1, 3, -2, -1 ดังนั้นเซตค าตอบคือ {1, 3, -2, -1}