A feladatgyűjtemény a középszintű matematika …matek-fizika.info/mat_nyomtathato/08_Erettsegi/81555_Gerocs... · Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából

Kész

üljü

nk a

z írá

sbel

i ére

ttsé

gi v

izsg

ára

mat

emat

ikáb

ólDr

. Ger

őcs L

ászl

óKö

zéps

zint

Feladatgyűjtemény megoldásokkal

Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából

Középszint

A feladatgyűjtemény a középszintű matematika érettségire való felké-szülésben nyújt segítséget a leendő vizsgázóknak és tanáraiknak.

• A kötet 15 feladatsort tartalmaz. A kitűzött feladatok esetében mindenhol is-mertetjük a kérdéses feladatra kapható maximális pontszámokat.

• A feladatsorokat a megoldások részletes kidolgozása követi.

• A megoldások részletezésénél a diákoktól megszokott és leggyakrabban elő-forduló, várható gondolatmenet mentén haladva oldjuk meg teljes részletes-ségében a feladatokat.

• Gyakorló, az érettségi rendszerét és követelményeit pontosan ismerő közép-iskolai tanár állította össze és ellenőrizte.

A feladatokat ajánljuk gyakorláshoz és ellenőrzéshez, iskolai vagy otthoni fel-készüléshez egyaránt.

Dr. Gerőcs László

ELOSZO / 1– 1. old. 2011. október 17. –16:01

Dr. Gerőcs László

Készüljünk az írásbeli érettségivizsgára matematikából

Középszint

Feladatgyűjtemény megoldásokkal

Nemzeti Tankönyvkiadó


A kiadvány � � � év � � � hó � � � naptól tankönyvvé nyilvánítási engedélyt kapott a � � � számú hatá-rozattal.A könyv megfelel az Oktatási Minisztérium kerettantervének [17/2004. (V. 20.) 3. melléklet] ésaz érettségi vizsga követelményeinek [40/2004.) V. 24.)]

Lektor: Csapodi Csaba

Felelős szerkesztő: Tóthné Szalontay Anna

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban kirendelt szakértők neve:

c© Dr. Gerőcs László, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2011

ISBN 978-963-19-7172-9


3Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

Előszó � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5Tanácsok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5

1. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 92. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 113. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 144. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 165. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 186. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 207. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 238. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 259. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 28

10. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3011. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3312. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3513. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3814. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4115. sorozat � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 43

1. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 472. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 513. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 554. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 605. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 636. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 677. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 718. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 769. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 80

10. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 8411. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 8912. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9413. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9814. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 10315. sorozat megoldása � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 107


4


5Előszó

Előszó

Az új, középszintű érettségire felkészítő feladatgyűjtemény elsősorban azoknak a középiskolásdiákoknak (és felkészítő tanáraiknak) kíván segítséget nyújtani, akik az érettségi szituációt mo-dellezve a lehető legnagyobb hatékonysággal kívánnak felkészülni érettségi vizsgájukra. Külö-nösen alkalmas az olyan diákok segítésére, akik a felkészülésükhöz nem tudnak külső segítségetigénybe venni, így kénytelenek teljesen önállóan készülni arra a fontos vizsgára, mely továbbta-nulási pontszámaikat is alapvetően befolyásolja.E kötet 15 feladatsort tartalmaz. A feladatsorok összeállításánál maximálisan figyelembe vet-tük a középszintnek megfelelő követelményrendszert, a középiskolai tananyag témakörönkéntimegoszlását, valamint ezeknek a követelményrendszerben betöltött szerepét. A kitűzött felada-tok esetében mindenhol ismertettük a kérdéses feladatra kapható maximális pontszámokat.A feladatsorokat a megoldások részletes kidolgozása követi. A megoldások részletezésénéligyekeztünk felhívni a figyelmet a tapasztalatból ismert típushibákra. Általában a diákoktól meg-szokott és leggyakrabban előforduló, várható gondolatmenet mentén haladva oldottuk meg, tel-jes részletességében, a feladatokat. Ugyanakkor ahol csak lehet – és a terjedelem is megengedi– igyekeztünk egy-egy problémára több megoldást, gondolatmenetet, módszert, ötletet mutatni,hogy minél jobban gazdagítsuk az érettségire készülő diákok problémamegoldó ötlettárát.

Tanácsok

Mielőtt hozzákezdene valaki a feladatgyűjteményben közölt feladatsorok kidolgozásához, haddadjunk néhány szakmai, taktikai és egyéb tanácsot annak érdekében, hogy a feladatsorok megol-dása a leghatékonyabb legyen, a lehető legtöbb pontot érje el a feladatmegoldó!

Azt már bizonyára minden diák tudja, hogy a középszintű érettségi matematikából egy (45 + 135perces) írásbeli dolgozat elkészítését, vagyis egy feladatsor kidolgozását jelenti. Egy központielőírás szerint az írásbeli dolgozatban a középiskolai tananyag egyes témaköreinek közelítőlegaz alábbi eloszlásban kell szerepelnie:Gondolkodási módszerek, halmazok, kombinatorika, gráfok 20%Aritmetika, algebra, számelmélet 25%Függvények, az analízis elemei 15%Geometria, koordináta-geometria, trigonometria 25%Valószínűség-számítás, statisztika 15%

Természetesen ezektől az arányoktól egy-egy témakör esetében kicsit el lehet térni, mint ahogykötetünkben is előfordulhat, hogy egy-egy feladatsorban kissé hangsúlyozottabban szerepel pl. ageometria, míg egy másik feladatsorban a gondolkodási módszerek szerepelnek nagyobb arány-ban. Úgy gondoljuk, ez a felkészülés szempontjából nem lényeges eltérés, hiszen az „igazi”érettségi feladatsorok is tartalmaznak apróbb eltérést ezektől az arányoktól.

Az érettségi dolgozat felépítése

Egy dolgozat két részből áll: először egy 11-12 példából álló feladatsort kell kidolgozni, melyre45 perc áll a diákok rendelkezésére. Ezek a feladatok általában egyszerűbb kérdéseket tartalmaz-


6 Tanácsok

nak, egy-egy definícióra, alapfogalomra kérdeznek rá közvetlen vagy közvetett módon, s perszeigyekeznek felölelni a középiskolai tananyag szinte valamennyi témakörét. Az érettségi dolgozatezen első részére maximálisan 30 pont adható.

A dolgozat e részének elkészítése (vagyis a 45 perc letelte) után a dolgozatokat összeszedik afelügyelő tanárok, majd pár perces szünet után következik az érettségi dolgozat második része,melynek megírására 135 perc áll rendelkezésre. A második részben 3 db 12 pontos és 3 db 17pontos feladatot találunk. Fontos tudnivaló, hogy a 3 db 17 pontos feladat közül csak 2 felada-tot kell megoldani, s a feladatlapon egyértelműen jelezni kell, hogy az utolsó három (17 pontos)feladat közül melyik az, amelyikkel nem foglalkozott a diák, illetve amelyiknek értékelését nemkívánja beszámíttatni a végső pontszámaiba. Így az érettségi dolgozat második részére maxi-málisan 3 · 12 + 2 · 17 = 70 pont adható. Ezt az első részre adható 30 ponttal összeadva adódikaz érettségi dolgozat maximális pontértéke: 100 pont.

Hogyan készüljünk, mire vigyázzunk, és mire figyeljünka dolgozat megírása előtt és alatt?

Már az érettségi dolgozat első részének elkészítéséhez is fontos, hogy ismerjük jól a függvény-táblázatunkat. Fontos, hogy tudjuk, mit és hol keressünk benne. Helytelen az az érvelés, misze-rint „Minek tanuljam meg ezt a képletet, amikor benne van a függvénytáblázatban?”. Előfordul-hat ugyanis, hogy egy képletnek kifejtett alakjával találkozunk a feladat megoldása során, s hanem fedezzük fel, hogy e kapott eredmény milyen képletben szerepel, akkor nem is tudjuk, hogymit is keressünk a táblázatban. Érdemes tehát mindenképpen – még az érettségire való felkészülésidőszakában – pár órát arra fordítani, hogy alaposan áttanulmányozzuk függvénytáblázatunkat.

Kezdődjék az írásbeli dolgozat második részének elkészítése azzal, hogy először minden fel-adatot figyelmesen elolvasunk. Ekkor nagyjából átlátjuk azt, hogy melyek azok a feladatok,amelyeket várhatóan nagyobb nehézség nélkül el fogunk tudni készíteni, s melyek azok, ame-lyekre több időt, mélyebb gondolkodást kell fordítanunk.

Minden feladatot legalább háromszor olvassunk el! Kétszer a feladat megoldása előtt, és egy-szer, amikor úgy érezzük, készen vagyunk a megoldással. Nézzük meg, hogy valóban a feladat-ban feltett kérdésre válaszoltunk-e! Érdemes kitérni az ellenőrzés kérdésére. Itt nem csak arragondolunk, hogy az egyenletek megoldásakor kapott gyököket ellenőrizni kell. Azt is ellenőriz-zük, hogy egy konkrét számításos feladatnál a kapott eredmény lehetséges-e! Ha pl. egy három-szög oldalai 5 cm, 7 cm, 10 cm, nekünk pedig az a feladatunk, hogy számítsuk ki a leghosszabbmagasságot, akkor legyen gyanús, hogy ha számításaink után azt kapjuk, hogy a leghosszabb ma-gasság 128 cm; akkor itt valami nem stimmel. Tehát becsüljük meg, hogy a kapott eredménymegfelelhet-e a valóságnak!

Miután elkészültünk a dolgozat megírásával, és esetleg van még időnk, ne menjünk el! Ne hagy-juk ott a munkánkat! Ilyenkor gyakran megszállja az embert egy pánikhangulat: „Jaj, csak elinnen� � � ”. Próbáljuk ezt legyőzni. Ha ugyanis 4-5 perces pihenő, kikapcsolódás után újra elő-vesszük dolgozatunkat, és alaposan átnézzük megoldásainkat, nagy valószínűséggel találunk ben-ne olyan apró hibákat, melyek kijavításával pontokat szerezhetünk még. Azt is tudnunk kell, hogya matematikai problémák megoldásához sok esetben ötletekre van szükség. Előfordulhat, hogyegy nehezebbnek tűnő problémához az ötlet csak az utolsó percekben „ugrik be”, s ha nem istudjuk teljesen befejezni a feladat megoldását, néhány pontot mégiscsak szerezhetünk vele. Mind-ezzel arra akarunk bíztatni mindenkit, hogy a rendelkezésére álló időt a legutolsó másodpercigérdemes kihasználnia.


7Tanácsok

Mindezek után a legfontosabb tanácsunk a következő

A lehető legpihentebb állapotban legyünk az érettségi dolgozat írásakor! A matematikai felada-tok megoldása során az ötletek, módszerek keresésekor az agyunkban lejátszódó gondolkodósifolyamatok sokkal gyorsabbak és célirányosabbak pihent állapotban, mint ha szellemileg fárad-tan ülünk le megírni egy ilyen nagy jelentőségű dolgozatot. Ezért mindenkinek azt tanácsoljuk,hogy amennyire csak lehet kipihenten érkezzen az írásbeli vizsgájára.

Sok tanácsot lehetne még adni az érettségi dolgozat elkészítéséhez, de a rendszeres és módsze-res gyakorlást senki sem kerülheti el, ha jó eredményt akar elérni.

Úgy gondoljuk, az a diák, aki e kötetben szereplő valamennyi feladatsort önállóan feldolgoz-za, megfelelő feladatmegoldó rutinra tehet szert. Sok-sok olyan ötlettel, módszerrel gazdagodik,melyet nem csak az érettségin használhat, de felsőfokú tanulmányaiban nagy segítségére lehetmajd.

A szerző


8

FELAD-OK / 1– 9. old. 2011. október 17. –16:01

91. sorozat

FELADATOK

1. sorozat

I. rész (felhasználható idő: 45 perc)

1/1 Legyen az A halmaz a 10-nél nagyobb, de 30-nál kisebb egész számok halmaza. Legyen aB halmaz a prímszámok halmaza. Sorolja fel az A ∩ B halmaz elemeit! 2 pont

1/2 Adja meg a következő kifejezés értékét, ha x =1

3, y = −6.

x 3y − y3x

x 2 − y22 pont

1/3 A 2 és a b számok számtani közepe 3�5. Mivel egyenlő a 2 és a b számok mértani közepe?2 pont

1/4 Az AOB szög felezőjére illeszkedik az OA1 szakasz.

A3

A2

A1

A

B

O

Az AOA1 szög felezőjére illreszkedik az OA2 szakasz. AzAOA2 szög felezőjére illeszkedik az OA3 szakasz. Mek-kora az AOA3 szög, ha A3OB�= 140◦? 3 pont

1/5 Egy egyenes körhenger magassága a henger alapköre sugarának a fele. Az alábbi állításokközül melyik igaz, ha a henger alapkörének sugara r? A henger térfogata:

a) V = r3� , b) V = 2r3� , c) V =r3�

2. 2 pont

1/6 Egy szabályos konvex sokszög egy szöge 144◦. Hány oldalú e sokszög? 2 pont

1/7 Egy pénzérmét feldobunk háromszor. Mekkora annak a valószínűsége, hogy pontosan két-szer dobunk „fej”-et? 2 pont

1/8 Határozza meg az 1 ≤ x ≤ 4 valós számok halmazán értelmezett f (x ) = x 2 − 4x + 3függvény értékkészletét! 4 pont

1/9 Egy számtani sorozat harmadik tagja 11. A sorozat ötödik tagja 19. Mennyi a sorozat ti-zenhatodik tagja? 3 pont

1/10 Oldja meg az egyenleteket a valós számok halmazán!a) 4x = 128, b) log3(x − 3) = 4. 2 pont

1/11 Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis?a) A rombusz érintőnégyszög.b) Nincs olyan háromszög, melynek két szimmetriatengelye van.c) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor e szám 3-mal osztva 1 maradékot ad. 3 pont

1/12 Adott három pont a koordinátasíkon: A(−2; 7), B (0; 4), C (2; 2). Tükrözze az A pontot aBC szakasz felezőpontjára, és adja meg a tükörkép koordinátáit! 3 pont


10 FELADATOK

II. rész (felhasználható idő: 135 perc)A 16–18. feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani

1/13 Egy iskola három 12-es osztályának év végi matematika osztályzatait szemléltettük azalábbi táblázatban.a) Számítsa ki az évfolyamátlagot, valamint az egész évfolyamra nézve az osztályzatok me-diánját! 3 pont

b) Szemléltesse egy kördiagramon az osztályzatok eloszlását az egész évfolyamra nézve! 5 pontc) Legalább hány tanulónak kellene 1 jeggyel növelnie az osztályzatát matematikából a 12.Bosztályban, hogy a 12.B átlaga jobb legyen a 12.C osztály átlagánál? 4 pont

1

5

10

15

tanu

lók

szám

a

1. 2. 3. 4. 5.

osztályzatok

12.A

1

5

10

15

tanu

lók

szám

a

1. 2. 3. 4. 5.

osztályzatok

12.B

1

5

10

15

tanu

lók

szám

a

1. 2. 3. 4. 5.

osztályzatok

12.C

1/14 Egy falu térképéhez rögzített koordináta-rendszerben (ahol az egység mindkét koordináta-tengelyen 30 m) a mezőgazdasági kombinát olyan háromszög alakú területen van, mely csúcsa-inak a koordinátái A(−2; 6), B (0; 0), C (6; 4).a) A területet olyan kerítéssel vették körbe, melynek métere 840 Ft. Mennyibe került a kombinátbekerítéséhez szükséges kerítés? 5 pont

b) Hány m2 a kombinát területe? 7 pont

1/15 Az ábrán egy mobil-garázs keresztmetszetét látjuk. A két függőleges oldalfalat a nyilakirányában mozgatva a garázs teteje az A, B és C csuklóknál elfordulva magasítható az ábránlátható módon.

4 m

4 m 4 m

4 m

A CB

villamosvezeték

4 m

4 m 4 m

4 m

A C

B

�

a) Mekkora a garázs keresztmetszetének a területe, ha � = 45◦? A területet m2-ben adja meg,két tizedes pontossággal! 4 pontb) A garázs fölött a talajtól számítva 7 m magasan húzódik egy villamosvezeték. Egy elektro-mos szabvány szerint egy vezeték alatti építmény legmagasabb pontjának legalább 50 cm-re kelllennie a vezetéktől. Hány cm-rel toljuk be a garázs egy-egy függőleges oldalát, hogy a garázs alehető legmagasabb legyen, de megfeleljen az előbbi szabványnak? 8 pont


112. sorozat

1/16 a) András, Béla, Csabi, Dani és Edit kockáznak. Mindannyian egy fehér, egy kék és egypiros kockát dobnak fel egyszerre. Az nyer, aki összesen a legtöbbet dobja, de a piros kockávaldobott szám duplán számít (ha valaki annyit dobott, amennyi már korábban előfordult, akkordobása1 érvénytelen és újra dobhatott). Először András dobott 10-et, aztán Béla következett,ő 17-et dobott. A következő Csaba volt, 19-et dobott, majd Dani következett, ő 22-t dobott.Utoljára Editnek kellet dobnia. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Dani nyeri a játékot?

10 pontb) A játék után moziba ment az öt diák. A játék közben Edit és Béla kicsit összevesztek. Hány-féleképpen ülhettek le a moziban az 5 egymás melletti székre, hogy Edit és Béla ne üljenekegymás mellett? 7 pont

1/17 Az ábrán egy folyami úszódarut látunk. Mi-

6 m

k14 m

124◦

Tárgy

lyen magasra tudja emelni a daru k kötele a vízbőlkiemelt tárgyat? Az eredményt cm-re kerekítve adjameg! 17 pont

1/18 a) Tekintsük a 352XY alakú ötjegyű számokat. Véletlenszerűen kiválasztva egy ilyenszámot, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám osztható 4-gyel? 4 pontb) Egy iskola vásárolt 35 db egyforma digitális táblát. A számlán végösszegként euróban kife-jezve a 352XY ötjegyű szám szerepelt (sajnos a két utolsó számjegy elmosódott a számlán).Legfeljebb hány euróba kerülhetett egy digitális tábla, ha egy tábla euróban vett értéke egészszám? 7 pont

c) Tekintsük azokat az 352XY alakú ötjegyű számokat, melyek oszthatók 5-tel. Mekkora ezek-nek a számoknak az összege? 6 pont

2. sorozat


2/1 Egy számtani sorozat harmadik és hetedik tagjának összege 24. Mekkora a sorozat ötödiktagja? 2 pont

2/2 Legyen az A halmaz a −3 ≤ x ≤ 6 valós számok halmaza, a B halmaz az |x | ≤ 5 valósszámok halmaza. Ábrázolja számegyenesen az A \ B halmaz elemeit! 2 pont

2/3 Fejezze ki az a és b vektorok segítségével az ABCD négyzetA csúcsá-

a

bx

A B

CD

H

ból a BC oldal B -hez közelebbi H harmadoló pontjába mutató x vektort!2 pont

2/4 Egy áru az A üzletben 12 400 Ft, egy ugyanolyan áru a B üzletben 10 200 Ft. Az A üzletben12%-kal emelték az áru árát. Hány %-kal kell emelni az árat a B üzletben, hogy ugyanannyibakerüljön, mint az A üzletben? 3 pont


12 FELADATOK

2/5 Egy háromszög oldalainak hossza cm-ben mérve egész szám. Egyik oldala 4 cm, másikoldala 7 cm. Hányféleképpen alakulhat a háromszög harmadik oldala? 2 pont

2/6 Egy dobókockát feldobtunk kétszer. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számokösszege nagyobb mint 10? 3 pont

2/7 Határozza meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát a valós számok halmazán!

√x + 2

x − 1� 2 pont

2/8 Melyik szám nagyobb, A vagy B?

A = log31

9� B = 2 · sin

(4

3�

)� 2 pont

2/9 András, Béla, Csaba, Dani és Elemér közül András mindenkit ismer. Csaba Andráson kívülsenkit sem ismer. Bélának és Daninak pontosan két ismerőse van a társaságban, de ők egymástnem ismerik. Hány embert ismer a társaságban Elemér? (Az ismerettség minden esetben kölcsö-nös.) 2 pont

2/10 Egy téglalap két oldala 10 cm és 24 cm. Milyen távol van a téglalap szimmetriacentrumaa téglalap csúcsaitól? 3 pont

2/11 Az a �b�1 pozitív egész számok összegének és különbségének az összege 6. Mi lehetez a két szám? 3 pont

2/12 Adott a [0; 4) valós számok halmazán értelmezett f (x ) =∣∣∣√x − 1

∣∣∣ függvény. Ábrázolja a

függvény grafikonját, és határozza meg a függvény értékkészletét! 4 pont


2/13 Milyen x -re teljesül, hogy a log3(x + 4) kifejezés értékea) −2, 3 pont

b) pozitív, 4 pont

c) 4-nél kisebb pozitív egész szám? 5 pont

2/14 Az ABCD négyzet oldalai 6 cm hosszúak. A négyzetből kivágtunk egy a C csúcsot tartal-mazó kisebb négyzetet, melynek oldalai párhuzamosak az eredeti négyzet oldalaival és melynekoldalai 3 cm hosszúak. Eztán a kapott síkidomot körbeforgattuk az AD oldal egyenese körül360◦-kal.a) Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? A térfogatot cm3-ben, két tizedesre kerekítve adjameg! 3 pont

b) Mekkora a keletkezett forgástest felszíne? A felszíne cm2-ben, két tizedesre kerekítve adjameg! 4 pontc) A kapott forgástesttel egybevágó, fémből készült forgástestet belehelyeztünk egy elegendőenmagas egyenes körhenger alakú edénybe, melynek sugara 10 cm, és amelyben 14 cm magasanáll a víz. A test elsüllyed a vízben. Milyen magas lesz a vízszint? 5 pont


133. sorozat

2/15 Adott két pont a koordinátasíkon A(2; 4), B (12; 2).a) Írja fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! 2 pontb) Számítással ellenőrizze, hogy a P (20; −4), Q(27; −1) és R(−3; 5) pontok közül melyik il-leszkedik és melyik nem illeszkedik az AB egyenesre! 3 pontc) Milyen hosszú az AB szakasz felező merőlegesének a koordinátatengelyek közé eső darabja?A hosszúságot két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 7 pont

2/16 Karcsi kerékpárral jár az iskolába. Kerékpárjának zárja hatjegyű számkombinációval nyit-ható.a) Hányféleképpen állítható be a zárkombináció? 4 pontb) Karcsi olyan számkombinációt állított be, amelyben elrejtette születési évszámát (vagyis szü-letési évének négy számjegyét egymás után a megfelelő sorrendben helyezte el). Ekkor hányfé-leképpen állítható be a zárkombináció? 5 pontc) Egy idő után Karcsi megváltoztatta a zárkombinációt, de az újat – mivel pár hétig nem hasz-nálta kerékpárját – sajnos elfelejtette. Arra emlékezett, hogy a hatjegyű szám utolsó két számje-gyéből adódó kétjegyű szám 5-tel osztható és a hat számjegy között 4 db 0 szerepel. Legfeljebbhány számkombinációt kell kipróbálnia, hogy biztosan ki tudja nyitni kerékpárjának a zárját?

8 pont

2/17 Egy atlétikai szakosztályban a sportolók futó-, dobó és ugró-számokban tartanak edzése-ket: 18-an futó-, 22-en dobó, 16-an ugró-számokban edzenek, de vannak olyanok is közöttük,akik több számban is edzenek. Csak futással 9-en, csak dobással 12, csak ugró ágazatban 10-enedzenek. Három olyan sportoló van közöttük, akik mindhárom sportszámban edzenek.a) Hányan edzenek pontosan két sportágban? 7 pontb) A szakosztály sportolóinak hány százalékát alkotják azok a sportolók, akik dobók vagy ugrók,de nem futók? 10 pont

2/18 Kör alakú falióránk átmérője 24 cm. Az óra körlapját úgy rögzítették egy szabályos há-romszög alakú falemezre, hogy a körlap éppen elférjen rajta (lásd ábra).a) Mekkora a háromszöglap kerülete? A kerületet cm-ben, két tizedes pontossággal adja meg!

6 pontb) Az óra nagymutatója 10 cm, a kismutató 8 cm hosszú. Hány cm távolságra vannak egymástóla mutatók végpontjai 4 órakor? 6 pontc) A háromszöglap körön kívül eső részét befestették. A befestett rész területe hány százaléka aháromszög területének? 5 pont


14 FELADATOK

3. sorozat


3/1 Az iskola 10.C osztályának tanulói kétszer voltak színházban a tanév során (minden tanulóvolt legalább az egyik színházlátogatáson). Az elsőre 17-en mentek el. Csak a második előadást14-en látták. Mennyi az osztálylétszám? 2 pont

3/2 Mi lehet az X számjegy, ha tudjuk, hogy a 34X 2 szám osztható 4-gyel? 2 pont

3/3 Jelölje be a számegyenesen annak a k valós számnak négyzetét, melyre log16 k = −1

4.

2 pont

3/4 Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet:

x 2 =3x + 2

2� 3 pont

3/5 Az iskolai atlétikai bajnokságon a lányok összesen 136 pontot értek el, ez az összes meg-szerezhető pontszámok 40%-a. Hány ponttal szereztek többet a fiúk, mint a lányok? 3 pont

3/6 Mekkora az ábrán látható háromszög C csúcsnál levő szöge? 2 pont

102◦42◦

C

A B

3/7 Egy dobozban fehér, fekete és zöld golyók vannak. A golyók 20%-a fehér, a fekete golyókszáma 34, a zöld golyók száma 30. Véletlenszerűen kivéve egy golyót a dobozból, mekkoraannak a valószínűsége, hogy az nem zöld? 2 pont

3/8 Hány olyan 10 és 20 közé eső pozitív egész szám van, amely nem prímszám és a 10-zelrelatív prím? 2 pont

3/9 Egy kör középpontjának a koordinátái K (4; −2). A kör érinti az x tengelyt. Írja fel a köregyenletét! 2 pont

3/10 Egy öt tagú társaságban (A, B , C , D és E ) A mindenkit ismer. A többiek mindannyianhárom-három személyt ismernek a társaságból. Tudjuk még, hogy C és E nem ismerik egymást(az ismeretség minden esetben kölcsönös). Vajon B és D ismerik-e egymást? 3 pont

3/11 A [0; 2�] valós számok halmazán értelmezett f (x ) = sin x függvény értékének abszolút

értéke hányszor lesz1

2? 3 pont

3/12 Egy négyzet alapú egyenes hasáb kiterített palástja egy 12 cm oldalú négyzet, Hány cm3

a hasáb térfogata? 4 pont


153. sorozat


3/13 Az országos öttusa diákbajnokság döntőjébe két iskola 3-3 diákja jutott.a) A döntő utolsó száma a futás volt. A versenyzőket 5 percenként indították a starthelyről.Hányféle sorrendben indíthatták el a hat versenyzőt, ha az azonos iskolába járó diákokat egymástkövetően indították? 4 pont

b) A hat diák testmagasságának átlaga 1722

3cm. András (az egyik versenyző) nélkül a testma-

gasságok átlaga 170�8 cm. Mekkora András testmagassága? 4 pontc) A verseny után a döntőbe jutott 6 diák felsorakozott egy fényképezéshez. Hányféleképpenállhattak sorba úgy, hogy iskolatársak ne álljanak egymás mellett? 4 pont

3/14 Péternek van 100 db egybevágó kis kockája, melyek élei 2 cm

A

B

hosszúak. E kis kockák közül néhányat felhasználva a lehető legna-gyobb kockát ragasztotta össze. A megmaradó kis kockákból megint alehető legnagyobb méretű kockát ragasztotta össze.a) Hány db fel nem használt kis kockája maradt Péternek? 6 pontb) A két összeragasztott nagyobb kockát egymáshoz ragasztotta úgy,hogy azok két-két élük mentén illeszkedjenek egymáshoz (lásd az áb-rát). Ezután a nagyobb kocka A csúcsából a kisebb kocka B csúcsáigegy egyenes furatot fúrt. Milyen hosszú ez a furat? 6 pont

3/15 Egy kg narancs a szomszédos boltban 160 Ft-ba kerül, míg a piacon 110 Ft az ára.a) A piac 24 km-re van a lakásunktól. Ha autóval megyünk vásárolni, akkor 1 km út megtétele28 Ft-ba kerül. Érdemes-e autóval menni a piacra (csak az utazási költséget figyelembe véve),ha 12 kg narancsot veszünk és hazavisszük? 3 pontb) A fenti feltételek mellett hány kg narancs vásárlása esetén gazdaságos már autóval a piacramenni? 4 pontc) Egy kiskereskedő egyszerre vásárolt 200 kg narancsot, kilóját 80 Ft-ért. Az első nap eladott52 kg-ot, kilóját 120 Ft-ért, a második nap 40 kg-ot, kilóját 110 Ft-ért, a harmadik nap 68 kg-ot,kilóját 100 Ft-ért. Hány Ft-ért adja el a maradékot – remélve, hogy mind elfogy –, ha az összesnarancs eladása után 30% nyereséget akar elérni? 5 pont

3/16 Adott két pont a koordináta-rendszerben: A(−2; 4), B (6; 8).a) Határozza meg a sík azon P pontjait, amelyek az A ponttól ugyanakkora távolságra vannak,mint a B ponttól! 4 pontb) Egy egyenlő szárú háromszög alapjának két végpontja A és B . A háromszög harmadik csúcsaaz y-tengelyen van. Számítsa ki a háromszög területét! 6 pont

c) Az y tengely mely pontjaiból látszik az AB szakasz derékszögben? 7 pont

3/17 Adott a [−4; 6] intervallumba tartozó valós számok halmazán az alábbi f függvény:

f (x ) =

{x 2 + 2x � ha −4 ≤ x ≤ 1,−x + 4� ha 1 �x ≤ 6.

a) Ábrázolja a függvény grafikonját! 6 pont

b) Adja meg a függvény értékkészletét! 3 pont

c) Mely valós x számokra teljesül, hogy f (x ) ≥ 0? 2 pont

d) Oldja meg az f (x ) ≥ x + 2 egyenlőtlenséget! 6 pont


16 FELADATOK

3/18 Az ABCA′B ′C ′ 18 cm oldalú szabályos háromszög alapú egyenes hasáb magassága24 cm. (Lásd ábra.)

18 cm

24 cm

A B

C

A′ B ′

C ′

16 cm

10 cm

csap

18 cm

24 cm

A B

C

A′ B ′

C ′

a) Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? A felszínt cm2-ben, a térfogatot cm3-ben adja meg kéttizedes jegyre kerekítve! 5 pont

b) Milyen távol van a hasáb B ′ csúcsa az AC él felezőpontjától? 4 pontc) A hasáb alakú edényben 16 cm magasan áll a víz. Egyik oldalélén 10 cm magasan van egycsap. Ha ezt a csapot kinyitják, a csapon át 120 cm3perc átlagos sebességgel folyik ki a víz.Mennyi ideig folyik a víz az edényből, ha megnyitják a csapot? 8 pont

4. sorozat


4/1 Legyen az A halmaz a kétjegyű pozitív egész számok halmaza, a B halmaz a 30-nál kisebbpozitív prímszámok halmaza. Sorolja fel az A ∩ B halmaz elemeit! 2 pont

4/2 Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat harmadik tagja 12, a sorozat ötödik tagja 48.Számítsa ki a sorozat első tagjának és hányadosának a különbségét! 2 pont

4/3 András tolltartójában 3 kék és 2 piros toll van. Hányféleképpen helyezheti el András egysorban a tollait a tolltartójában, ha az azonos színű tollakat nem különböztetjük meg? 2 pont

4/4 Egy négyzet átlója 20 cm. Az alábbi állítások közül melyik helyes?A négyzet területe

a) 200 cm2, b) 100 cm2, c) 400 cm2. 3 pont

4/5 Karcsi egy évben kétszer kapott fizetésemelést: először 12%-kal, majd ezt követően 8%-kalemelték fizetését, így fizetése 188 000 Ft lett. Mennyi volt Karcsi fizetése az emelések előtt?

2 pont

4/6 Írja fel annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja K (−8; 2), és a területe T = 9�!2 pont

4/7 Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis?a) Minden elsőfokú függvény grafikus képe egyenes.b) Minden olyan függvény, melynek grafikus képe egyenes, elsőfokú függvény.c) Minden olyan függvénynek, melynek grafikus képe egyenes, pontosan egy zérushelye van.

3 pont


174. sorozat

4/8 Hány db kétjegyű pozitív egész megoldása van az alábbi egyenlőtlenségnek?

x − 3

2�x − 10� 3 pont

4/9 Mivel egyenlő − 1

A, ha A = cos

7�

3! 2 pont

4/10 Pisti egykerekű biciklije kerekének átmérője 40 cm. Pisti 120 métert ment ezzel a bicik-livel. Hányat fordult eközben a kerék? 3 pont

4/11 Egy pakliban 3 db fekete, 4 db piros és 6 db zöld kártya van. Véletlenszerűen kiválasztvaegy kártyát a pakliból, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kártya nem piros?

2 pont

4/12 5 db konvex négyszögnek és néhány konvex ötszögnek összesen 40 átlója van. Hány dbötszögünk van? 4 pont


4/13 Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán!

log2(x + y + 4) + log2(y − x − 2) = log2(6y + 3x + 1)�

5x+y = 625x � 12 pont

4/14 Az ábrán egy hajó kajütjének ablakát látjuk. Ez egy olyan kör alakúxablak, melynek átmérője 60 cm. Az ablakot alkotó 5 db tartomány egy belső

négyzetből és 4 db egybevágó, a négyzet oldalaihoz illeszkedő alakzatbóláll, melyeket az ábrán besatírozva tüntettünk fel. A négyzet területe egyilyen besatírozott tartomány területének a fele.a) Mekkora egy besatírozott alakzatot határoló körív hossza? 2 pontb) Mekkora a négyzet oldala? A négyzet oldalát cm-ben két tizedes pontossággal adja meg!

6 pontc) A négyzet csúcsait a kör kerületével összekötő x merevítő rudak egyenese áthalad a kör kö-zéppontján. Milyen hosszú egy ilyen merevítő rúd? 4 pont

4/15 Az {an} számtani sorozat első tagja 4, differenciája 7. A {bn} számtani sorozat első tagja2, differenciája 9.a) Tagja-e az {an} sorozatnak a 179, és ha igen, hányadik tagja? 3 pont

b) Milyen n-re lesz a bn − an különbség legalább 100? 4 pontc) Milyen n-re teljesül, hogy az {an} számtani sorozat első n tagjának összege egyenlő a {bn}számtani sorozat első n tagjának összegével? 5 pont

4/16 Nyolc egyforma dobozt helyeztünk el sorban egymás mellett. Van három golyónk; ezeketszeretnénk egy-egy dobozba elhelyezni. Egy dobozba legfeljebb egy golyó kerülhet.a) Hányféleképpen helyezhetünk el a dobozokban három fehér golyót úgy, hogy ha két dobozszomszédos, akkor ne legyen mindkettőben golyó? 7 pontb) Hányféleképpen helyezhetünk el a dobozokban három különböző színű golyót úgy, hogy hakét doboz szomszédos, akkor ne legyen mindkettőben golyó? 3 pontc) Hányféleképpen helyezhetünk el a dobozokban három fehér golyót úgy, hogy legyenek olyanszomszédos dobozok, amelyekben van egy-egy golyó? 7 pont


18 FELADATOK

4/17 Adott a [0; 4] intervallumon értelmezett f (x ) =√x 2 − 4x + 4 függvény, valamint a [0; 4]

intervallumon értelmezett g(x ) = x 2 − 4x + 4 függvény.a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvények grafikonját! 6 pontb) Legyen A halmaz az f (x ) függvény értékkészlete, B halmaz a g(x ) függvény értékkészlete.Adja meg a B \ A halmaz elemeit! 4 pont

c) Ábrázolja számegyenesen az f (x ) ≤ g(x ) egyenlőtlenségnek megfelelő valós számokat!3 pont

d) Oldja meg a g(x ) − f (x ) = 1 egyenletet! 4 pont

4/18 a) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alakú edény tele van folyadékkal; tömege 24 kg.Ha a folyadék felét kiöntjük a tartályból, akkor a tömege 20 kg lesz. Mekkora az üres edénytömege? 4 pontb) Van három egybevágó négyzet alapú egyenes hasábunk, melyek alapnégyzeteinek oldala20 cm, magasságuk 30 cm. E három hasábot egymásra helyezzük úgy, hogy alapnégyzeteikkelilleszkedjenek egymáshoz. Mekkora az így kapott „nagyobb” hasáb felszíne? 5 pontc) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapnégyzetének oldalai 20 cm hosszúak, magassága 30 cmhosszú. Számítsa ki az alapnégyzet két szomszédos csúcsából induló testátlójának a hajlásszögét!A szöget egész fokra kerekítve adja meg! 8 pont

5. sorozat


5/1 Mivel egyenlő A2 · B , ha A = 23 · 3 · 54 és B = 2 · 32 · 52? 2 pont

5/2 Egy iskola 840 tanulójának 40%-a lány. A fiúk 75 százaléka kiskorú. Hány nagykorú fiújár az iskolába? 2 pont

5/3 Adja meg a b vektor koordinátáit, ha a(−4; 2) és (a + b)(6; −1)! 2 pont

5/4 Milyen távol van az y = 2x + 6 és y = x + 3 egyenletű egyenesek metszéspontja az ori-gótól? 2 pont

5/5 Állítsa nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi A, B , C kifejezéseket:

A = log21

8� B = 2 cos 11�� C =

(1

2

)−2

� 3 pont

5/6 Egy egyenes körkúp magassága egyenlő alapkörének átmérőjével. Mekkora szöget zár bea kúp alkotója az alapkör síkjával? 2 pont

5/7 Egy háromszög oldalai 2 cm, 4 cm és 5 cm. Egy hozzá hasonló háromszög legrövidebboldala 6 cm. Mekkora ez utóbbi háromszög kerülete? 3 pont

5/8 Egy dobozban van 6 kis piros és 8 nagy piros, valamint 8 kis kék és 16 nagy kék golyó.Becsukott szemmel kiveszünk egy golyót a dobozból. Mekkora annak a valószínűsége, hogy kisgolyót húzunk? 3 pont

5/9 Legyen A = log3 x + log3 x3 − log3 x

5. Az alábbi egyenlőségek közül melyik helyes?

a) A = log3x + x 3

x 5, b) A = log3(x 4 − x 5), c) A = − log3 x . 2 pont


195. sorozat

5/10 Az ábrán látható ABC háromszögnek megrajzoltuk a C -ből

122◦

�

A B

C

induló magasságát, valamint az A csúcsból induló szögfelezőjét.Mekkora az ábrán �-val jelölt szög? 2 pont

5/11 Hány átlója van annak a konvex sokszögnek, amelynek oldalainak a száma egyenlő akonvex hatszög átlóinak a számával? 3 pont

5/12 Adott a [0; 3] halmazon értelmezett f (x ) =∣∣∣x 2 − 2x

∣∣∣ függvény. Ábrázolja a függvény

grafikonját, és adja meg a függvény értékkészletét! 4 pont


5/13 Egy vidéki gimnáziumnak 240 tanulója van. A diá-

60◦180◦

30◦90◦

bejáró fiúkkollégista fiúk

kollégista lányokbejáró lányok

kok egy része kollégista, a többiek bejárók. A kollégistákés bejárok nemek szerinti eloszlását mutatja a kördiagram.

a) Töltse ki az alábbi táblázatot, ahol a megfelelő rovatba a kollégista bejáró

fiúk

lányok

rovatnak megfelelő diákok számát kell beírni! 6 pont

b) Az iskola tanulóinak hány százaléka bejáró? 3 pontc) Hány százalékos a kollégium kihasználtsága, ha 164 diákbefogadására alkalmas? Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 3 pont

5/14 Egy sakkbajnokság döntőjébe (ahol mindenki mindenkivel egyszer játszik) nyolcan jutot-tak: A, B , C , D , E , F , G és H . Az A és B versenyző már minden mérkőzését lejátszotta, a többiversenyző mindegyike eddig három mérkőzést játszott egymással. A C–E és D–H mérkőzésekdöntetlenre végződtek.a) Szemléltesse az eddig lejátszott mérkőzéseket egy gráffal! 5 pont

b) Hány mérkőzés van még hátra? 3 pontc) Az eddig lejátszott mérkőzések alapján már látszott, hogy a bajnokságot B fogja megnyer-ni, a 2–3. hely sorsa C és F között dől majd el, és biztosan A lesz az utolsó. Ezek alapjánhányféleképpen alakulhat a bajnokság végső sorrendje? 4 pont

5/15 Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán!

log5(x − 2y) = 1 + log5 x �

x − 1

y=

33

8� 12 pont


20 FELADATOK

5/16 Egy egyenes áthalad a P (2; 6) koordinátájú ponton és meredeksége m =2

3.

a) Írja fel az egyenes egyenletét! 3 pont

b) Számítsa ki az egyenes és a koordinátatengelyek alkotta háromszög területét! 6 pont

c) Az egyenest eltoljuk a v(1; −2) vektorral. Írja fel az így kapott egyenes egyenletét! 3 pontd) Hány olyan P (x ; y) pontja van az eredeti egyenesnek, melyekre 0 ≤ x ≤ 13 és amelyeknekmindkét koordinátája egész szám? 5 pont

5/17 Az ábrán egy francia kastély parkjának vázlatos rajzát220 m

40 m

100 m

látjuk. Egy 220 m oldalú négyzet alakú terület belsejében vana kert. Ennek füvesítésre váró része: középen egy 15 m su-garú kör és a kört körbe vevő 4 db egybevágó körcikkgyűrűalakú terület, melyeket az ábrán besatírozva tüntettünk fel.A körcikk külső határoló íve 100 m, a körcikket határolóegyenes szakaszok 40 m hosszúak.

a) Ha egy doboz fűmag 42 m2-es terület füvesítésére elegen-dő, akkor hány doboz fűmagra van szükség? 8 pontb) Füvesítés után a frissen bevetett területeket ideiglenesenkerítéssel vették körbe, hogy se ember, se állat ne járkáljonrajta, míg a fű meg nem erősödik. Összesen hány méter ke-rítésre van szükség? 6 pont

c) A négyzet alakú parkot később további füvesítéssel akarják szépíteni, ezért a még nem füve-sített területen további 2400 m2-nyi területet terveznek bevetni fűmaggal. Ezt követően a parkterületének hány százaléka lesz bevetve fűvel? Az eredményt egy tizedes pontossággal adja meg!

3 pont

5/18 Kutató kedvű diákok tapasztalati mérések alapján arra a következtetésre jutottak, hogy ahegyi tücsök H ciripelési frekvenciájának mérőszáma a Celsius fokban mért t hőmérséklettől ésa tengerszint feletti méterben mért m magasságtól függ az alábbi módon:

H (t � m) = H0 + m · k−t

10 �

ahol k a kérdéses tücsökfajtára jellemző állandó, m a tengerszint feletti magasság méterben, t aCelsius fokban mért hőmérséklet, H0 pedig a tengerszinten mért frekvencia mérőszáma az adotthőmérsékleten.a) Mekkora annak a tücsöknek a ciripelési frekvenciája, amely a tengerszint feletti 240 méteresmagasságon 18 ◦C hőmérsékleten tartózkodik és amelynél H0 = 80, k = 6�8? 6 pontb) Hány ◦C-os hőmérsékleten lesz az előbbi tücsök frekvenciája 110, ha a tengerszint felettimagasság 320 méter? 11 pont

6. sorozat


6/1 Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.

log2 x + log2 x2 = 3� 2 pont


216. sorozat

6/2 Egyenletesen égő gyertyánk magassága egy óra alatt 1�5 cm-t csökken. Egy áramszünet

alkalmával este 7 és 10 között a gyertya magassága1

4-ére csökkent. Milyen magas volt a gyertya

eredetileg? 2 pont

6/3 Adja meg a következő tört reciprokának tizedestört alakját. (Három tizedes jegyre kerekítsen!)

21

3+

2

7

3 pont

6/4 A k �n pozitív egész számok mértani közepe 6. Az alábbi állítások közül melyik igaz ésmelyik hamis?a) k osztója n-nek.b) 5 osztója (n + k )-nak vagy (n − k )-nak.c) (n + k ) prímszám. 3 pont

6/5 Mely valós számokra értelmezhető a (tg x )−1 kifejezés? 2 pont

6/6 A 4, 5, 6 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezzük az összes lehet-séges háromjegyű számot, majd véletlenszerűen kiválasztunk közülük egyet. Mekkora annak avalószínűsége, hogy a kiválasztott szám 500-nál nagyobb ? 2 pont

6/7 Adott a 3x − 2y = 12 egyenletű egyenes és két pont: P (4; a), Q(b; −8). Mekkora legyen aés b értéke, hogy a P pont illeszkedjen az egyenesre, a Q pont ne illeszkedjen az egyenesre?

2 pont

6/8 Az∣∣∣x 2 − 8

∣∣∣ = 8 egyenlettel kapcsolatban melyik állítás igaz?

a) Az egyenletnek egy megoldása van.b) Az egyenletnek két megoldása van.c) Az egyenletnek három megoldása van. 2 pont

6/9 Egy háromszög oldalainak cm-ben vett mértéke egész szám. Legrövidebb oldala 2 cm,leghosszabb oldala 7 cm. Mekkora a háromszög kerülete? 2 pont

6/10 Pistinek a tanév első felében 8 osztályzata volt matematikából, de sajnos kettőre nememlékezett: 2, 3, 3, 3, 4, 5, x , y . Azt tudta, hogy a jegyek átlaga 3,375, és arra is emlékezett,hogy a hiányzó jegyek között nincs 5-ös. Mi volt a hiányzó két osztályzat? 3 pont

6/11 Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 8 cm. Egy hozzá hasonló háromszög területe36 cm2. Mekkorák ez utóbbi háromszög befogói? 3 pont

6/12 A valós számok halmazán értelmezett f (x ) = x 2−4x+c függvény értékkészlete: f (x ) ≥ −4.Határozza meg a függvény zérushelyeit! 4 pont


6/13 a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert:

4x = 8y �

x + y = 1� 5 pont


22 FELADATOK

b) Mely pozitív egész számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenség-láncolatot?

2 ≤ 162x−4 ≤ 256� 7 pont

6/14 Adott a koordináta-rendszerben egy e egyenes: 2x − y = −4, valamint három pont:A(−4; 6), B (8; 2), P (2; 10).a) Írja fel az AB egyenes egyenletét! 2 pontb) Az A ponton átmenő, e-vel párhuzamos egyenes és a B ponton átmenő, e-re merőleges egye-nes metszéspontja M . Számítsa ki az M pont koordinátáit! 4 pontc) Milyen távol van a P pont az e egyenesnek attól a pontjától, amelyik A-tól és B -től egyenlőtávolságra van? 6 pont

6/15 Tekintsük az A2BC alakú négyjegyű számokat.a) Hány db ilyen szám van? 3 pontb) Hány db ilyen szám van, ha azt is megkívánjuk, hogy ne legyenek azonos számjegyeik?

3 pont

c) Véletlenszerűen kiválasztva egy olyan A2BC alakú négyjegyű számot, melynek számjegyeikülönbözők, mekkora annak a valószínűsége, hogy ez a szám osztható 5-tel? 6 pont

6/16 Egy leragasztott borítékot látunk az ábrán. Ez egy

10 cm

8 cm 8 cm

olyan téglalap, melynek egyik oldala 10 cm. A ragasztás-kor lehajtott rész olyan egyenlő szárú háromszög alakú,melynek szárai 8 cm hosszúak. A lehajtott rész területea téglalap le nem takart része területének negyed része.Milyen hosszú a boríték másik oldala? 17 pont

6/17 Egy teázó asztal alakja olyan szabályos hatszög, melynek olda-

terítő

lai 80 cm hosszúak.a) Az asztalt egy olyan terítővel akarják letakarni, melynek csúcsaiaz asztal oldalfelező pontjaiba esnek (lásd ábra).A beázott plafonról véletlenszerűen leesik egy vízcsepp az asztalra.Mekkora annak a valószínűsége, hogy a vízcsepp a terítőre esik?

7 pontb) Három házaspár körbeülte az asztalt. Hányféleképpen ülhettek le, ha azonos neműek nemülhettek egymás mellé, és házastársak sem ülhettek egymás mellé? (Két elhelyezkedést nemtekintünk különbözőnek, ha azok forgatással egymásba átvihetők.) 4 pont

c) Az ábrán látható tartály úgy származtatható, hogy egy 80 cm

80 cm

oldalú szabályos hatszöget körbeforgatunk két szemközti oldalánakfelezőpontjain átmenő egyenes körül. Hány liter víz fér a tartályba?Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 6 pont


237. sorozat

6/18 Egy repülőmodell-versenyen 2 percen át figyelték a szervezők az egyik modellt. A gépföldtől való távolságát az alábbi függvény írja le (az egység az x tengelyen 10 mp, az y tengelyen5 méter).

f (x ) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1

2x 2 − 2x + 6� ha 0 ≤ x ≤ 4;

−x + 10� ha 4 �� ≤ 8;2� ha 8 �x ≤ 12.

a) Ábrázolja az f (x ) függvény grafikonját! 8 pont

b) Mikor volt a modell fele olyan magasan, mint a megfigyelés kezdetén? 4 pont

c) Mikor volt a modell a megfigyelés alatt 22�5 m magasan? 5 pont

7. sorozat


7/1 Legyen az A halmaz azon x valós számok halmaza, melyekre −2 ≤ x ≤ 7; a B halmazazon x valós számok halmaza, melyekre |x | ≤ 1. Ábrázolja számegyenesen az A \ B halmazelemeit! 2 pont

7/2 András 120 000 Ft-os fizetését 12%-kal megemelték. Feleségének 104 000 Ft-os fizetését18%-kal emelték. Hány %-kal növekedett a házaspár együttes fizetése? 3 pont

7/3 24 cm hosszú asztali olvasólámpa a talppontja körül elfordítható,24 cm

38◦

így a magassága állítható. Milyen magasan van a fényforrás, ha a lámpaaz asztal síkjával 38◦-os szöget zár be? 2 pont

7/4 Adott két vektor: a(−6; 3), b(1; 11). Számítsa ki a 2a − b vektor koordinátáit! 2 pont

7/5 Egy 3 cm élű kocka egyik lapjára ráragasztottunk egy 2 cm élű kockát. Mekkora az ígykeletkezett test felszíne? 2 pont

7/6 Az A szám a 10 pozitív osztóinak összege; a B szám a 20 négyzetszám osztóinak azösszege. Számítsa ki az A− B értékét! 2 pont

7/7 Egy stratégiai olajtartály feltöltöttségé-

hónap

1000 m3

I. II. IV. VI. VIII. X. XII.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120nek állapotát szemlélteti az alábbi grafikon.Mikor volt a feltöltöttség harmad akkora,mint a maximális feltöltöttség?

2 pont


24 FELADATOK

7/8 Állítsa növekvő sorrendbe az ábrán látható a , b, c sza- c

ab

72◦ 60◦62◦

48◦

kaszokat!

3 pont

7/9 A 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával 5-tel osztható 4-jegyű számokat készítünk. Hánydb ilyen számot képezhetünk, ha egy számjegy többször is felhasználható? 3 pont

7/10 Két pozitív egész szám számtani közepe 30. Az egyik szám a másiknak a harmada. Melyekezek a számok? 3 pont

7/11 Oldja meg az x �4 valós számok halmazán az alábbi egyenletet!

log3(2x − 2) − log3(x − 4) = 1� 3 pont

7/12 Az ABCD négyzet középpontja a négyzet átlójának egyik harmadoló pontjától√

2 távol-ságra van. Mekkora a négyzet oldala? 3 pont


7/13 Az iskolai kamara színjátszó kör három előadást tartott az elmúltI. II. III.

9. évf. 8 10 12

10. évf. 11 8 13

11. évf. 6 3 4

12. évf. 2 4 3

tanévben. Ezeknek az előadásoknak a látogatottságát mutatja az alábbitáblázat évfolyamonkénti bontásban.a) Számítsa ki az átlagos nézőszámot! 4 pontb) Mindhárom előadást 2 diák látta. 20-an voltak azok, akik az I. elő-adást látták, de a II.-ra nem mentek el, 26-an látták a III. előadást, denem voltak ott az I. előadáson. 9 olyan tanuló volt, aki a II. és a III.

előadást is látta. Hány olyan tanuló volt, aki pontosan egy előadásra ment el? 8 pont

7/14 A piros, sárga, zöld, kék és fehér színek felhasználásával 4 csíkból állózászlót kell készíteniük a gyerekeknek az óvodában.a) Hány különböző zászlót készíthetünk így, ha szomszédos csíkok nem le-hetnek azonos színűek? 3 pontb) Hány különböző zászló készülhet, ha egy szín csak egyszer használható?

4 pontc) Egy alkalommal az óvó néni azt mondta a 22 főből álló csoportnak: „Mostúgy kell zászlót készíteni, hogy csak két szín használható, és a szomszédoscsíkok nem lehetnek azonos színűek. Meglátjátok: biztosan lesz két olyan kis-gyerek, aki ugyanolyan zászlót készített.” Honnan tudta ezt az óvó néni?

5 pont

7/15 Egy zárt tartályban valamilyen gázkeveréket tárolnak. A tartályban levő p nyomás mé-rőszáma a tengerszinten mért p0 nyomás mérőszámától, a tengerszint feletti h méterben vettmagasságtól, valamint a ◦C-ban mért hőmérséklettől függ az alábbi módon

p = p0 − ht

100 �


258. sorozat

a) Mekkora a nyomás h = 720 m magasságban, 12 ◦C hőmérsékleten, ha p0 = 2�8? Az eredménytegy tizedes jegyre kerekítve adja meg! 5 pontb) Milyen magasságban lesz 15 ◦C-on a nyomás negyed akkora, mint a tengerszinten ugyanek-kora hőmérsékleten mért nyomás? 7 pont

7/16 Egy kör középpontja K (4; 6), sugara r = 5.a) Írja fel a kör egyenletét! 3 pont

b) Mekkora húrt metsz ki a kör a koordinátatengelyekből? 5 pont

c) A kör II. síknegyedbe eső részének a területe hány százaléka a kör területének? 9 pont

7/17 Egy dél-alföldi kisváros templomának tetőzetét látjuk az áb-

4�4 m

7 m

rán. Ez egy olyan négyzet alapú egyenes gúla, mely alapnégyzeté-nek oldala 4�4 m, oldaléle 7 m.a) Mekkora a templom tetőzetének a légtere? Az eredményt m3-ben, két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 4 pontb) A tetőzetet tetőfedő cseréppel akarják lefedni, előtte azonban leakarják festeni a külső felületét egy speciális szigetelő festékkel.Ehhez összesen 124 liter festéket használtak fel. Mennyi festékrevan szükség 1 m2 felület lefestéséhez? 5 pontc) A tetőzet cseréppel való lefedésekor minden oldallapon a leg-felső sorban (a csúcsnál) 1 db cserepet helyeznek el, majd mindensorban 3-mal többet, mint a megelőző sorban. Összesen 32 sor cserép kell minden oldallapon.Hány db cserepet használnak fel a teljes tetőzet cserepezéséhez? 8 pont

7/18 Tekintsük az f (x ) =√

−x 2 + 12x és g(x ) = x − 2 képlettel megadott függvényeket.

a) Hány db prímszám van az f (x ) függvény értelmezési tartományában? 5 pont

b) Ábrázolja számegyenesen a h(x ) =f (x )

g(x )függvény értelmezési tartományát! 4 pont

c) Adja meg az f (x ) függvény értékkészletét! 4 pontd) Mely x0 valós számok esetén lesz az f (x ) függvény értéke egyenlő a g(x ) függvény ér-tékével? 4 pont

Documents

A feladatgyűjtemény a középszintű matematika …matek-fizika.info/mat_nyomtathato/08_Erettsegi/81555_Gerocs... · Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából