-
UVOD U TEORIJU LJUSAKA Definicija ljuskastog kontinuuma Ljuska
je dio kontinuuma koji je omeen s dvije zakrivljene plohe, a razmak
izmeu ploha mali je u odnosu na ostale dimenzije. Razmak izmeu
ploha predstavlja debljinu ljuske koja moe biti konstantna ili
promjenjiva. Ploha koja raspolavlja debljinu naziva se srednja
ploha. Svaka ljuska moe biti zatvorena ili omeena rubom. Srednja
ploha, debljina i rub u potpunosti odreuju geometriju ljuske.
Pretpostavke o deformiranju
Nakon deformacije normale na srednju plohu ostaju ravne i
okomite uz nepromijenjenu duljinu (Kirchhoff-Loveova hipoteza).
Debljina stijenke ljuske h mala je u odnosu na polumjere
zakrivljenosti
1hR , (Hipoteza tankostjenih ljusaka).
Debljina stijenke ljuske konstantna je ili se neznatno mijenja
1h hR
-
Naprezanja u pravcu normale na srednju plohu ljuske zanemaruju
se u odnosu na ostala naprezanja.
Pretpostavljaju se mali pomaci i male deformacije. Materijal je
linearno elastian, izotropan i homogen. Optereenje je statiko
Gaussova zakrivljenost srednje plohe
1 2
1KR R
0K - eliptina ploha
0K - parabolina ploha
0K - hiperbolina ploha Srednja zakrivljenost srednje plohe
1 2
1 1 12
HR R
Posebne geometrije ljusaka plitke ljuske osnosimetrine
ljuske
-
Osnovne relacije u teoriji tankih ljusaka
srednja ploha
n
h
R2
2
1R1
Ljuskasti kontinuum
sfera osnosimetrini paraboloid
osnosimetrini hiperboloid
hiperbolini paraboloid
cilindar konus ploa torus
a) b)
c) d)
Podjela ljusaka prema Gaussovoj zakrivljenosti: a) pozitivna
zakrivljenost; b) negativna zakrivljenost; c) zakrivljenost je
jednaka nuli; d) zakrivljenost je pozitivna i
negativna.
-
Pretpostavke:
normale na srednju plohu nakon deformiranja ostaju ravne i
okomite uz nepromijenjenu duljinu (Kirchhoff-Loveova hipoteza),
debljina stijenke mala je u odnosu na polumjere zakrivljenosti
1h R
, debljina stijenke konstantna je ili se neznatno mijenja
1h h R
, naprezanje u pravcu normale na srednju plohu zanemaruje se u
odnosu na ostala naprezanja, pretpostavljaju se mali pomaci i male
deformacije, materijal je linearno elastian, izotropan i
homogen.
Vektor pomaka
T u v wu . Komponente naprezanja
n
hz
21
e1 e2en
13222111 12
dz 23
Komponente tenzora naprezanja na elementu ljuske
-
Unutarnje sile
1 112
1 d
h 2
h- 2
zN z R
, 2 22 11 dh 2
h- 2
zN zR
,
12 122
1 d
h 2
h- 2
zN = z R
, 21 21 11 dh 2
h- 2
zN zR
,
132
1 d
h 2
1h- 2
z z QR
, 23 11 dh 2
2h- 2
z zQR
.
Tankostjene ljuske: 1 2
, 1z z R R
1 11 d
h 2
h- 2
N z , 2 22 dh 2
h- 2
N z ,
12 12 d
h 2
h- 2
N = z , 21 21 dh 2
h- 2
N z ,
13 d
h 2
1h- 2
z Q , 23 dh 2
2h- 2
zQ .
-
Momenti savijanja i uvijanja
1 112
1 d
h 2
h- 2
zM z zR
, 2 2211 dh 2
h- 2
zM z zR
,
12 122
1 d
h 2
h- 2
zM z zR
, 21 2111 dh 2
h- 2
zM z zR
.
Tankostjene ljuske: 1 2
, 1z z R R
1 11d
h 2
h- 2
M z z , 2 22dh 2
h- 2
M z z ,
12 12d
h 2
h- 2
M z z , 21 21dh 2
h- 2
M z z .
a) b)Q2
N2 N21 N12 N1M2
M1M12
M21
21 1 2
Q1
Unutarnje veliine na elementu srednje plohe ljuske: a) unutarnje
sile b) unutarnji momenti
-
Membranska teorija osnosimetrinih ljusaka Osnosimetrina ljuska
dvostruke zakrivljenosti
Osnosimetrina ljuska Srednja ploha osnosimetrine ljuske nastaje
rotacijom krivulje oko nepomine osi. Meridijan je presjek srednje
plohe s ravninom koja prolazi kroz os ljuske Paralela je presjek
srednje plohe s ravninom okomitom na os ljuske. Membranska teorija
razmatra problem kada na elementu ljuske unutarnje sile djeluju
tangencijalno na srednju plohu pri emu su momenti savijanja,
momenti uvijanja te poprene sile jednake nuli.
-
Sile na elementu ljuske za stanje osnosimetrine deformacije
Element osnosimetrine ljuske optereene osnosimetrino
Cirkularne sile u meridijalnoj ravnini
Cirkularne sile u ravnini okomitoj na os z
Cirkularne sile u ravnini
okomitoj na os z
Meridijalne sile u meridijalnoj ravnini
-
Postavljanje uvjeta ravnotee
u meridijalnom pravcu:
0F :
1 1
dd d d dd
d d cos d d 0
N r N r N r
N r p r r
(1)
u pravcu normale:
d cosN r N r p rr 1 1d
0nF
1 n 1
d d dd sin d d d sin2 d 2
d d sin d d 0
N r N r N r
N r p r r
(2)
sin nNN p
1r r
1 2n
NN pr r
-
Iz (2) slijedi:
22
1rn
rN p r N (1)
22 11
d cosd n
rN r p r N r p r rr
1
.
22 1d sin cos sin sind nN r p p r r 2
ko je
1 22 22 2sin sin
nr r 1 cos sin sin d CN p p r r
0p A dobiva se
1 22 2
2 2sin sinnr r
1 sin cos d CN r r p
-
NOdreivanje iz uvjeta ravnotee ljuske
Osna sila na osnosimetrinoj ljusci
Osna sila na elementarnoj osnosimetrinoj plohi
d ( ) 2 d cosF r ns p , d ( ) 2 siF r2 1n d cosnr p ,
1 2( ) 2 sin cos dn
F r r p C
-
Uvjet ravnotee :
0zF 22 sin sin 0r N F
2 1 22 sin cos d 0nr r p C 2 sin sinr N ,
Uvoenjem odreenog integrala, osna sila je jedna
1 22 22
1 sin cos dsinnCN r r p
2 sinr r
ka
0
1 2( ) 2 sin cos dnF r r p
.
Ako je p konst.p in, 2 sr rn , 1 cos d dr r , dobiva se
0
( ) 2 dr
r
F p r r ,
2 20( )F p r r , 2 ( )sinr N F ,
( )2 sin
FNr
,
2 202 sin
p r rN
r
-
Za , 0 0r p2sinrN 2p
2rN
irkularna normalna sila
C
n
N N
2 1
pr r
22
rN p r N 1r
-
Membranski pomaci Za sluaj membranskog stanja naprezanja dvije
su komponente pomaka u i w: u - pomak u pravcu tangente na
meridijan, w - pomak u pravcu normale na meridijan.
Pomaci du meridijana ljuske
-
Poveanje elementarne duljine 1 dAB r uslijed tangencijalnog
pomaka
d d+ d dd d
u uu u . Poveanje elementarne duljine uslijed normalnog
pomaka
1 1d d dr w r w . Meridijalna deformacija
1
d d dd
d
u w
r
,
1
1 dd
u wr
.
Cirkularna deformacija
rur
gdje je
cos sinru u w , 2 sinr r , pa vrijedi
cos sinu w
r ,
2
1 ctgur
w .
-
Budui da se pretpostavlja ravninsko stanje naprezanja,
vrijedi
1E , 1E . Uvrtavanjem izraza za membranska naprezanja
Nh
i Nh
, dobiva se
1 N NEh , 1 N NEh .
Radijalni pomak srednje plohe ljuske
1ru N Nr Eh , r ru NEh N
-
Kut zakreta tangente na meridijan Kut zakreta odreuje se
superpozicijom kuta zakreta uslijed tangencijalnog pomaka u i
promjene normalnog pomaka w
Kut zakreta uslijed tangencijalnog pomaka
Kut zakreta uslijed promjene normalnog pomaka
1
ur
,
1 1
d d1 dd
d d
ww ww
r r
1 1
1 dd
u wr r
,
1
1 dd
w ur
-
s Uz supstituciju 1d dr , dobiva se
1
ddw us r
.
Izraunavanje pomaka i kuta zakreta kada su poznate deformacije
i
sin ( )d sinu f C
2 cos ( )d cosw r f C
2 2 2
1 1 1
d1 d ctgd d
r r rr r r
gdje je
2 1
2
( )sin
r rfr
C - konstanta integracije.
UVOD U TEORIJU LJUSAKATeorija ljusaka.pdfOsnovne relacije u
teoriji tankih ljusaka
