4. DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİ

Serhat YILMAZ, [email protected] YILMAZ, [email protected], 2008u.tr, 2008

11

4. DURUM DEĞİŞKENi 4. DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİMODELLERİ

Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi

Elektronik ve Haberleşme Bölümü


22

DURUM DEĞİŞKENLERİ MODELİDURUM DEĞİŞKENLERİ MODELİ

• Diferansiyel denklemlerle betimlediğimiz Diferansiyel denklemlerle betimlediğimiz fiziksel sistemleri daha önce Laplace fiziksel sistemleri daha önce Laplace dönüşümlerini kullanarak karmaşık dönüşümlerini kullanarak karmaşık düzlemde n. dereceden bir transfer düzlemde n. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modelleme yoluna fonksiyonuyla modelleme yoluna gitmiştik. Sistemleri doğrusal ve zamanla gitmiştik. Sistemleri doğrusal ve zamanla değişmeyen kabul etmek ve alt değişmeyen kabul etmek ve alt sistemleri blok şemalar halinde ifade sistemleri blok şemalar halinde ifade edip birleştirmek oldukça pratik bir edip birleştirmek oldukça pratik bir yöntemdiryöntemdir


33

n. dereceden bir sistemi zaman n. dereceden bir sistemi zaman düzleminde n tane 1. dereceden düzleminde n tane 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade etmek diferansiyel denklem ile ifade etmek de alternatif bir modelleme yöntemi de alternatif bir modelleme yöntemi olarak kullanılabilir; olarak kullanılabilir;

aa sLR 1

mK

6

1

Js

Ta T V

Va y(s)

DenklemlerDinamik

xbxadt

dX

xbxadt

dX

22122

21111

kümesi ÇözümX.CY 2


44

• Durum değişkeni adını vereceğimiz bu gösterim Durum değişkeni adını vereceğimiz bu gösterim zaman düzlemi yöntemlerini kullandığı için, ek zaman düzlemi yöntemlerini kullandığı için, ek işlemler gerektirmediğinden ve gerçek zamanda işlem işlemler gerektirmediğinden ve gerçek zamanda işlem yaptıkları için bilgisayarda programlanmaya, yaptıkları için bilgisayarda programlanmaya, bilgisayar çözümlerine oldukça elverişlidir. Ayrıca bilgisayar çözümlerine oldukça elverişlidir. Ayrıca zaman düzlemi yöntemleri doğrusallaştırma, dönüşüm zaman düzlemi yöntemleri doğrusallaştırma, dönüşüm gerektirmediğinden, transfer fonksiyonu gibi tek girişe gerektirmediğinden, transfer fonksiyonu gibi tek girişe karşılık tek bir çıkış arasındaki bağıntıyı belirlemekle karşılık tek bir çıkış arasındaki bağıntıyı belirlemekle sınırlı kalmadıklarından, lineer olmayan, zamanla sınırlı kalmadıklarından, lineer olmayan, zamanla değişen veya çok değişkenli sistemlerde de eş değişen veya çok değişkenli sistemlerde de eş zamanlı olarak kullanılabilirler. Kontrol sistemlerinin zamanlı olarak kullanılabilirler. Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde gösterimi, bu düzlemdeki analizler zaman düzleminde gösterimi, bu düzlemdeki analizler üzerine kurulmuş olan modern kontrol kuramı ve üzerine kurulmuş olan modern kontrol kuramı ve optimal kontrol kuramı için oldukça önemlidir. optimal kontrol kuramı için oldukça önemlidir.


55

Dinamik sistemlerin durum Dinamik sistemlerin durum değişkenlerideğişkenleri • Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde analizi ve Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde analizi ve

tasarımı, sistemin durumunu bilmekten yola çıkılarak tasarımı, sistemin durumunu bilmekten yola çıkılarak yapılır. yapılır.

• Eğer bir giriş karşısında sistemin her bir durumunun Eğer bir giriş karşısında sistemin her bir durumunun dinamik davranışının ne olacağını betimleyen dinamik davranışının ne olacağını betimleyen denklemleri önceden elde etmişsek ve değişkenlerin denklemleri önceden elde etmişsek ve değişkenlerin şu anki durumunu biliyorsak bir giriş karşısında bir şu anki durumunu biliyorsak bir giriş karşısında bir sonraki durumlarının ne olacağını kestirebiliriz. sonraki durumlarının ne olacağını kestirebiliriz.

• Bu değişkenlerden hangisini çıkış olarak gözlemlemek Bu değişkenlerden hangisini çıkış olarak gözlemlemek istiyorsak da onu mercek altına alıp sistemin istiyorsak da onu mercek altına alıp sistemin gelecekteki yanıtını (y(t)=v(t) veya y(t)=x(t)…gibi) gelecekteki yanıtını (y(t)=v(t) veya y(t)=x(t)…gibi) çözebiliriz. Bu gerçekten zaman düzleminde çözebiliriz. Bu gerçekten zaman düzleminde yapabileceğimiz iyi bir modelleme şeklidir. yapabileceğimiz iyi bir modelleme şeklidir.


66

• Şekildeki dinamik sistemin (x1, x2,….xn) durum Şekildeki dinamik sistemin (x1, x2,….xn) durum değişkenleri kümesi, bu değişkenlerin başlangıç değerleri değişkenleri kümesi, bu değişkenlerin başlangıç değerleri [ x1(t0), x2(t0), …xn(t0) ] ve tt0 zamanında uygulanan [ x1(t0), x2(t0), …xn(t0) ] ve tt0 zamanında uygulanan u1(t), u2(t) gibi girişleri bilindiğinde değişkenlerin ve u1(t), u2(t) gibi girişleri bilindiğinde değişkenlerin ve dolayısıyla ilgilendiğimiz çıkış veya çıkışların gelecekteki dolayısıyla ilgilendiğimiz çıkış veya çıkışların gelecekteki değerlerini belirlemek mümkündür değerlerini belirlemek mümkündür

• örnek olarak lambanın açma-kapama düğmesi veya örnek olarak lambanın açma-kapama düğmesi veya tükenmez kalem ucu gibi elemanların iki konumlu tükenmez kalem ucu gibi elemanların iki konumlu durumunu verebiliriz. Eğer düğmenin başlangıçtaki (t0) durumunu verebiliriz. Eğer düğmenin başlangıçtaki (t0) durumunu (konumunu) bilirsek düğmeye basıldığında durumunu (konumunu) bilirsek düğmeye basıldığında gelecekteki durumunun açık mı yoksa kapalı mı olacağını gelecekteki durumunun açık mı yoksa kapalı mı olacağını tespit edebiliriz.tespit edebiliriz.

X(0)

Durumlar X(t)

Girişler

U(t)

Çıkışlar

Y(t)


77

Peki durum değişkenleri nasıl Peki durum değişkenleri nasıl seçilebilir? Bu konuda belirli tek bir seçilebilir? Bu konuda belirli tek bir kural yok kural yok Kaç tane durum değişkeni seçmemiz Kaç tane durum değişkeni seçmemiz gerekir? gerekir? • Sistemimiz kaçıncı Sistemimiz kaçıncı

dereceden ise o kadar dereceden ise o kadar sayıda 1. dereceden sayıda 1. dereceden durum denklemiyle durum denklemiyle modellememiz gerekir. modellememiz gerekir. Çözüm için denklem Çözüm için denklem sayısı kadar da durum sayısı kadar da durum değişkeni tanımlamamız değişkeni tanımlamamız gerekir. İhtiyacımızdan gerekir. İhtiyacımızdan fazla durum değişkeni fazla durum değişkeni tanımlamaktan tanımlamaktan kaçınmalıyız. kaçınmalıyız.

2

2

dt

ydM

dt

dy.b)t(y.k)t(u

M

k

u(t)

Duvar sürtünmesi

b

y(t)

Şekil.4.3. Kütle-yay-sönümleyici sistemi

kütle-yay-sönümleyiciyi kütle-yay-sönümleyiciyi hatırlarsanız sistem hatırlarsanız sistem davranışıdavranışı;;


88

• denklemiyle ifade edilmişti. Bu denklem 2. denklemiyle ifade edilmişti. Bu denklem 2. dereceden bir denklemdir. Oysa durum dereceden bir denklemdir. Oysa durum denklemleri 1. dereceden doğrusal iki tane denklemleri 1. dereceden doğrusal iki tane durum denklemine ihtiyacımız var. durum denklemine ihtiyacımız var.

• Kütlenin konumu ve hızından oluşan bir Kütlenin konumu ve hızından oluşan bir durum değişkeni kümesi (x1, x2) bu durum değişkeni kümesi (x1, x2) bu sistemin dinamik davranışını betimlemek sistemin dinamik davranışını betimlemek için yeterli olacaktır. için yeterli olacaktır.

• Çünkü böylece 1. denklemi zaten Çünkü böylece 1. denklemi zaten kendiliğinden oluşturmuş oluruz. kendiliğinden oluşturmuş oluruz.

)t(yx1 )t(vdt

dyx 2

)t(vdt

dy

21 x

dt

dx (Denklem.1)


99

• Asıl denklemde de yerine koyarak Asıl denklemde de yerine koyarak (yani yerine koyarak ) yine 1. (yani yerine koyarak ) yine 1. dereceden diğer denklemi elde etmiş dereceden diğer denklemi elde etmiş oluruz. oluruz.

• Buradan;Buradan;

’’yi çekersek 2.dif. denklem elde edilir;yi çekersek 2.dif. denklem elde edilir;

Böylece sistemin davranışını temsil eden Böylece sistemin davranışını temsil eden durum denklemi takımı;durum denklemi takımı;

olur. olur.

2xdt

dy

dt

dx1

dt

dvMv.b)t(y.k)t(u dt

dxMbxkx)t(u 2

21

dt

dx 2

)t(uM

1x

M

bx

M

k

dt

dx21

2

)t(uM

1x

M

bx

M

k

dt

dx

xdt

dx

212

21


1010

Hangi değişkenleri seçmeliyiz?Hangi değişkenleri seçmeliyiz?

• Enerji depolayan Enerji depolayan elemanlara ait elemanlara ait değişkenleri seçmeliyiz. değişkenleri seçmeliyiz. Çünkü bunların Çünkü bunların değerleri enerji değerleri enerji depolanırken ve tekrar depolanırken ve tekrar boşaltılırken tanımlı boşaltılırken tanımlı olduğu diferansiyel olduğu diferansiyel denkleme göre değişir. denkleme göre değişir. Güç harcayan direnç Güç harcayan direnç elemanlarındaki akım elemanlarındaki akım gibi değerler ise gibi değerler ise formülden de formülden de görüleceği gibi, görüleceği gibi, değişken değil sabit değişken değil sabit değere sahiptir. değere sahiptir.

+ R -

L

v0 u(t) akım kaynağı

C

+ vc

-

ic

Şekil.4.4. RLC Devresi

iL

•Örnek olarak RLC Örnek olarak RLC devresini ele alalım;devresini ele alalım;


1111

• Durum değişkeni sayısı sistemde bulunan Durum değişkeni sayısı sistemde bulunan bağımsız enerji depolayıcı eleman sayısı bağımsız enerji depolayıcı eleman sayısı kadardır. Sistemin durumu (x1,x2) durum kadardır. Sistemin durumu (x1,x2) durum değişkeni kümesiyle tanımlanabilir.değişkeni kümesiyle tanımlanabilir.

• Enerjiler kondansatör ve indüktans Enerjiler kondansatör ve indüktans üzerinde toplanacağından, sitemin toplam üzerinde toplanacağından, sitemin toplam enerji denklemi;enerji denklemi;

• ’ ’dir. Bu nedenle;dir. Bu nedenle;

• x1: vc(t) kondansatör gerilimi ve x2: iL(t) x1: vc(t) kondansatör gerilimi ve x2: iL(t) indüktans akımı olarak alınır indüktans akımı olarak alınır

• 1. denklemi Kirschoff’un akım yasasından 1. denklemi Kirschoff’un akım yasasından

’ ’yi çekerek oluşturalım; yi çekerek oluşturalım;

22 .2

1.

2

1cL vCiL

dt

dvc


1212

2. denklem de gerilim yasasından; 2. denklem de gerilim yasasından; çekilerekçekilerek

elde edilir.elde edilir.

Sonuç olarak durum denklemleri;Sonuç olarak durum denklemleri;

Lc

c itudt

dvCi )(.

Lc i

C

1)t(u

C

1

dt

dv

L2c1 ixvx 2

1 xC

1)t(u

C

1

dt

dx

dt

diL

LL

c iRdt

diLv .. Lc

L i.L

Rv

L

1

dt

di

212 x

L

Rx

L

1

dt

dxL2c1 ixvx

21 x

C

1)t(u

C

1

dt

dx 21

2 xL

Rx

L

1

dt

dx


1313

Diferansiyel Denklem Takımları, Diferansiyel Denklem Takımları, Matrisel Gösterimleri, Dinamik Matrisel Gösterimleri, Dinamik Davranışı Modellemek için Davranışı Modellemek için Oluşturulan Sistemin Dinamik Oluşturulan Sistemin Dinamik DenklemleriDenklemleri

şeklindedir ki çıkışta neyi gözlemlemek istiyorsak şeklindedir ki çıkışta neyi gözlemlemek istiyorsak çıkış denklemimizide ona göre yazabiliriz.çıkış denklemimizide ona göre yazabiliriz.

nnnn22n1nnnn22n11nn

nn2n22n21nn22221212

nn1n12n11nn1212111n

ubububxaxaxadt

dX

ubububxaxaxadt

dX

ubububxaxaxadt

dX


1414

Sistemin Dinamik DenklemleriSistemin Dinamik Denklemleri

• Durum denklemlerini oluşturan dif. denklem takımları Durum denklemlerini oluşturan dif. denklem takımları bu şekilde yazılabildiği gibi, bilgisayar ortamına bu şekilde yazılabildiği gibi, bilgisayar ortamına aktarmaya uygun olsun diye matrisel formda da aktarmaya uygun olsun diye matrisel formda da yazılabilir. yazılabilir.

• A ve B; katsayı matrisleri, X ; bilinmeyenler (veya A ve B; katsayı matrisleri, X ; bilinmeyenler (veya durum) vektörü, U ise giriş vektörüdür. Her bir durum) vektörü, U ise giriş vektörüdür. Her bir durumda meydana gelen yeni değişiklik (dxi/dt) girişler durumda meydana gelen yeni değişiklik (dxi/dt) girişler ve önceki durumlar tarafından belirleniyordu. ve önceki durumlar tarafından belirleniyordu.

• Bu durumda sistemin dinamik denklemleri durum ve Bu durumda sistemin dinamik denklemleri durum ve çıkış denklemleri çiftinden oluşur. çıkış denklemleri çiftinden oluşur.

U

n

2

1

B

nn2n1n

n22221

n11211

X

n

2

1

A

nn2n1n

n22221

n11211

X

n

2

1

u

u

u

bbb

bbb

bbb

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

dt

d


1515

• Kısaca sistemin dinamik davranışını, bu iki Kısaca sistemin dinamik davranışını, bu iki denklemi aynı anda incelersek anlayabiliriz. denklemi aynı anda incelersek anlayabiliriz. Benzer şekilde C ve D; katsayı matrisleri, y; Benzer şekilde C ve D; katsayı matrisleri, y; tek ise çıkış değişkeni, birden fazla ise Y; tek ise çıkış değişkeni, birden fazla ise Y; çıkış vektörü’dür. çıkış vektörü’dür.

• Sistemin dinamik denklemlerinden oluşan Sistemin dinamik denklemlerinden oluşan bu modele durum uzayı gösterimi (veya bu modele durum uzayı gösterimi (veya durum değişkeni) gösterimi adı verilir. durum değişkeni) gösterimi adı verilir.

)t(Du)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Ax)t(xdt

d


1616

Örnek\Örnek\ Kütle-yay- Kütle-yay-sönümleyici sönümleyici sisteminin durum sisteminin durum değişkeni modeli değişkeni modeli ile matrisel ile matrisel formda gösterimi:formda gösterimi:

)(0

001

)(1010

2

1

2

1

2

1

tux

xy

tuMx

x

M

b

M

kx

x

dt

d

Örnek\RLC Örnek\RLC devresinin devresinin sisteminin sisteminin durumdurum değişkeni modeli ile değişkeni modeli ile matrisel formda matrisel formda gösterimigösterimi::

)t(u0C

1

x

x

L

R

L

1C

10

x

x

dt

d

2

1

2

1

2

1

x

xR0y


1717

Durum Geçiş MatrisiDurum Geçiş Matrisi

• Durum denkleminin çözümü, 1. dereceden adi Durum denkleminin çözümü, 1. dereceden adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne benzer bir yöntemle de çözülebilir. benzer bir yöntemle de çözülebilir.

• Birinci dereceden dif denklemin =ax+bu Birinci dereceden dif denklemin =ax+bu şeklinde olduğunu düşünelim. ( : şeklinde olduğunu düşünelim. ( : 1.türev, x(t) ve u(t) zamanın skaler (!) 1.türev, x(t) ve u(t) zamanın skaler (!) fonksiyonları olsun. Sonuçta fonksiyonları olsun. Sonuçta eat eat şeklinde şeklinde exponansiyel bir çözüm bulacağız. exponansiyel bir çözüm bulacağız. Denklemin Laplace dönüşümünü alacak Denklemin Laplace dönüşümünü alacak olursak;olursak;

• ve buradan;ve buradan;

x

x

sX(s)-x(0)=aX(s)+bU(s) )s(Ub)0(x)s(Xas


1818

• X(s)= veya X(s)= X(s)= veya X(s)=

• olur. Tekrar ters Laplace’nı alırsak olur. Tekrar ters Laplace’nı alırsak

• Eğer bu değişkenler skaler değil de vektörel olsaydı Eğer bu değişkenler skaler değil de vektörel olsaydı a’da A gibi bir matris çıkacaktı. 1 de I birim matrisine a’da A gibi bir matris çıkacaktı. 1 de I birim matrisine dönüşecektir.dönüşecektir.

• Benzer şekilde denklemin çözümü de;Benzer şekilde denklemin çözümü de;

olacaktır.olacaktır.

• Denklemin Laplace dönüşümünü alırsak benzer Denklemin Laplace dönüşümünü alırsak benzer şekilde;şekilde;

• X(s)= bulunur. X(s)= bulunur.

)s(U

as

b

as

0x

)s(bUas)0(xas 11

d)(ube0xetxt

0

)t(aat

d)(BUe0xetxt

0

)t(AAt

)s(BUAsI)0(XAsI 11


1919

• Dikkat edilirse gerek önceki durumlardan, Dikkat edilirse gerek önceki durumlardan, şimdiki durumlara geçiş, gerekse girişlerle şimdiki durumlara geçiş, gerekse girişlerle şimdiki durumlar arasındaki geçiş bağıntısı şimdiki durumlar arasındaki geçiş bağıntısı zaman düzleminde eAt , s düzleminde ise zaman düzleminde eAt , s düzleminde ise eAt’nin Laplace karşılığı olan ile ya da eAt’nin Laplace karşılığı olan ile ya da bilinen adıyla durum geçiş matrisi ile bilinen adıyla durum geçiş matrisi ile sağlanmaktadır. Bu nedenle sağlanmaktadır. Bu nedenle gördüğümüz yeregördüğümüz yere eat veya eAt eat veya eAt gördüğümüz yerlere de gördüğümüz yerlere de

yazabilirizyazabiliriz..ÖrneğinÖrneğin;;

Zorlamasız (u=0) sistemlerde integralli terim Zorlamasız (u=0) sistemlerde integralli terim ortadan kalkacağından çözümler şu şekilde ortadan kalkacağından çözümler şu şekilde olacaktır;olacaktır;

1AsI

)s(

1AsI )(s )t(

d)(uB)t(0x)t(txt

0


2020

• Durum geçiş matrisi oluşturulurken her bir i. Durum geçiş matrisi oluşturulurken her bir i. durumun diğer tüm önceki durumlar sıfırken durumun diğer tüm önceki durumlar sıfırken bir önceki j. duruma yanıtları olan tüm bir önceki j. duruma yanıtları olan tüm geçişleri sırasıyla bulunur. Tıpkı durumlar geçişleri sırasıyla bulunur. Tıpkı durumlar arasında oluşturulmuş birer transfer (geçiş) arasında oluşturulmuş birer transfer (geçiş) fonksiyonu gibi. Bunların tümü, durum geçiş fonksiyonu gibi. Bunların tümü, durum geçiş matrisini, yani olası tüm bir önceki matrisini, yani olası tüm bir önceki durumlarla, bir sonraki durumlar arasındaki durumlarla, bir sonraki durumlar arasındaki bağıntıyı verir. İlk koşullar sıfır olursa bu bağıntıyı verir. İlk koşullar sıfır olursa bu denklem karmaşık düzlemde de geçerlidir. denklem karmaşık düzlemde de geçerlidir.

)0(x.

.

)0(x)0(x

t........tt

...................................

t........tt

t........tt

)t(x.

.

)t(x)t(x

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1


2121

Zaman yanıtının sayısal yöntemlerle Zaman yanıtının sayısal yöntemlerle yaklaşık çözümleriyaklaşık çözümleri • Durum denklemi çözümleri de ayrık zaman Durum denklemi çözümleri de ayrık zaman

yaklaşımı kullanılarak çözülebilir. Ayrık zaman yaklaşımı kullanılarak çözülebilir. Ayrık zaman yaklaşımı, zaman eksenini yeteri kadar küçük yaklaşımı, zaman eksenini yeteri kadar küçük dilimlere ayırarak, ardışıl zaman aralıklarında dilimlere ayırarak, ardışıl zaman aralıklarında değişkenleri hesaplamaya dayanmaktadır (t=0, T, değişkenleri hesaplamaya dayanmaktadır (t=0, T, 2T, 3T,…). Böylece her =T zaman artımında bir 2T, 3T,…). Böylece her =T zaman artımında bir önceki değer ve durum geçiş matrisini kullanarak, önceki değer ve durum geçiş matrisini kullanarak, bir sonraki durumu bulabiliriz.bir sonraki durumu bulabiliriz.

• Bunu istediğimiz süre boyunca yaparak durumların Bunu istediğimiz süre boyunca yaparak durumların zamana göre değişimini, yani dif. denklemin zamana göre değişimini, yani dif. denklemin çözümünü buluruz.çözümünü buluruz.

• Eğer zaman artımı, sistemlerin zaman sabitlerine Eğer zaman artımı, sistemlerin zaman sabitlerine göre yeterince küçük olursa, ayrık zamanda sayısal göre yeterince küçük olursa, ayrık zamanda sayısal çözüm, gerçek çözüme oldukça yakın çıkabilir. çözüm, gerçek çözüme oldukça yakın çıkabilir.

)0(Xs)s(X


2222

• Bu iteratif işlemi Euler yöntemi olarak görmüştük.Eğer t Bu iteratif işlemi Euler yöntemi olarak görmüştük.Eğer t zamanı:bilgisayar tarafından belirlenen bir T adımının zamanı:bilgisayar tarafından belirlenen bir T adımının katları (t=kT) olarak tanımlanacaksa formülü: katları (t=kT) olarak tanımlanacaksa formülü:

• Burdan; Burdan; (Vektör olduğu için 1 verine I var) (Vektör olduğu için 1 verine I var)

Türevin tanımını biliyoruz: ,

çok küçük =T zaman artımları için türevin sayısal yaklaşımını alabiliriz. Bunu durum denkleminde yerine koyacak olursak;

x

)t(x)tt(x

dt

dxlim

0t

t

T

)t(x)Tt(x

dt

dx )t(Bu)t(Ax

dt

dx

T

)t(x)Tt(x )t(Bu)t(Ax T)t(x)Tt(x )t(Bu)t(Ax

T)kT(xT)1k(x )kT(Bu)kT(Ax T)k(x1kx )k(Bu)k(Ax )()(1 kBuTkxITAkx


2323

Transfer Fonksiyonu Modeli ile Durum Denklemi Transfer Fonksiyonu Modeli ile Durum Denklemi Modelinin Birbirine Dönüşümlerinde İşaret Akış Modelinin Birbirine Dönüşümlerinde İşaret Akış Şeması veya Blok Şeması Gösterimlerinden Şeması veya Blok Şeması Gösterimlerinden YararlanmakYararlanmak

• Sayısal işaretimizdeki bir önceki x(k) ile bir sonraki Sayısal işaretimizdeki bir önceki x(k) ile bir sonraki x(k+1) x(k+1)

arasındaki durum geçiş matrisi ’e de sürekli arasındaki durum geçiş matrisi ’e de sürekli durumdakidurumdaki

‘ ‘den farklı bir sembol, örneğin diyelim;den farklı bir sembol, örneğin diyelim;

N. dereceden bir transfer fonksiyonuyla N. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modellenebilen bir dinamik davranışı n tane 1. modellenebilen bir dinamik davranışı n tane 1. dereceden durum denklemiyle de modelleyebiliriz. dereceden durum denklemiyle de modelleyebiliriz. Aynı sistemi modellediklerine göre bunlar arasında Aynı sistemi modellediklerine göre bunlar arasında nasıl bir ilişki olabilir? nasıl bir ilişki olabilir?

ITA

t T

)()(1 kBuTkxTkx


2424

Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir? Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir?

• 1. 1. DD’den TF’na GeçişDD’den TF’na Geçiş• RLC devresinin transfer fonksiyonunu ikinci RLC devresinin transfer fonksiyonunu ikinci

dereceden bir transfer fonksiyonuydudereceden bir transfer fonksiyonuydu

• burada R,L ve C’nin burada R,L ve C’nin

değerlerine bağlı katsayılar değerlerine bağlı katsayılar olsunolsun

• İşaret Akış İşaret Akış Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir? geçiş yapılabilir?

2

1

2

1

2

1

x

xR0y

)t(u0C

1

x

x

L

R

L

1C

10

x

x

dt

d

1x

U (s)

-R/L

1/C s-1 1/L

s-1

-1/C

Y(s)

2x

x2 x1

R

LC

1sLRs

LCR

2

D.Uzayı Modeli T.F. Modeli

ss)s(U

)s(V)s(G

2o ,,


2525

• İşaret akış şemalarını Kullanarak DD’den TF’na İşaret akış şemalarını Kullanarak DD’den TF’na Geçiş:Geçiş:

Aynı sistemi durum ve çıkış denklemleri ile de modellemiştik;Aynı sistemi durum ve çıkış denklemleri ile de modellemiştik;

veve

• Bu durum ve çıkış denklemlerini sırasıyla işaret akış şeması Bu durum ve çıkış denklemlerini sırasıyla işaret akış şeması üzerinde gösterelim. üzerinde gösterelim.

• Durum denklemlerinden yola çıkarak elde ettiğimiz bu Durum denklemlerinden yola çıkarak elde ettiğimiz bu işaret akış şemasında Mason kazanç formülünü kullanırsak işaret akış şemasında Mason kazanç formülünü kullanırsak R, L ve C’ye bağlı 2. dereceden bir transfer fonksiyonu elde R, L ve C’ye bağlı 2. dereceden bir transfer fonksiyonu elde ederiz. ederiz.

212

21

1

1)(

1

xL

Rx

Lx

xC

tuC

x

2.xRVo

1x

1. Denklem

s-1 U (s)

-R/L

1/C 1/L

s-1

-1/C

Y(s)

2x

x2 x1

R 2. Denklem


2626

• Durum Geçiş Matrisinden Yararlanarak DD’den Durum Geçiş Matrisinden Yararlanarak DD’den TF’na geçiş:TF’na geçiş:

• Amaç, sistemin dinamik denklemlerinden Amaç, sistemin dinamik denklemlerinden yararlanarak transfer fonksiyonu modeline yararlanarak transfer fonksiyonu modeline geçiş için sistematik olarak kullanabileceğimiz geçiş için sistematik olarak kullanabileceğimiz bir formül bulmaktır.bir formül bulmaktır.

• denkleminden(ilk koşulların hepsi denkleminden(ilk koşulların hepsi sıfır);sıfır);

ssLC

1sLRs

LCR

sLC1sL

R1

sLCR

)s(U

)s(Y2221

2

DUtCxY

BUtAXX

)(

)(

)()()(

)()()(

sDUsCxsY

sBUsAXssX

)(

)(

)(

100

010

001

)(

)(

)(

00

00

00

3

2

1

3

2

1

sx

sx

sx

s

sx

sx

sx

s

s

s

I


2727

• X(s) çıkış denkleminde yerine konursa; X(s) çıkış denkleminde yerine konursa;

Sağ tarafı U(s) parantezine Sağ tarafı U(s) parantezine alırsak;alırsak;

• Buradan giriş ile çıkış Buradan giriş ile çıkış arasındaki bağıntı bulunur;arasındaki bağıntı bulunur;

• Örnek: Örnek: RLC Devresinin Transfer Fonksiyonu RLC Devresinin Transfer Fonksiyonu

)s(BUASI)s(X

)s(BU)s(XASI

matrisigeçişdurum

1

)s(BU

)s(

ASI)s(Xmatrisigeçişdurum

1

)s(DU)s(BU*)s(C)s(Y )s(U]DB*)s(C[)s(Y

DBsCsU

sYsG *)(

)(

)()(

)(0

1

1

10

tucx

L

R

L

cx

BA

00 XRy

C


2828

bulunur.bulunur.

‘ ‘dirdir

bulunur.bulunur.

?)( 1 ASIs

L

Rs

L

Cs

L

R

L

cs

s1

1

1

10

0

0

sL

CL

Rs

ASIs1

11

)( 1

LCs

L

Rs

12

0

C/1RsLR

0

C/1

sL1

C1L

Rs

R0)s(G

LCs

L

Rs

CR

sG1

)(2


2929

• Ama daha çok tercih edilen yol transfer fonksiyonunu bulup, buradan durum Ama daha çok tercih edilen yol transfer fonksiyonunu bulup, buradan durum denklemlerine geçmektir. denklemlerine geçmektir.

2. TF’dan DD’e Geçiş2. TF’dan DD’e Geçiş• Bir transfer fonksiyonunun en genel şekli;Bir transfer fonksiyonunun en genel şekli;

• Buradan n tüm katsayılar gerçel sayılardır. Pay ve paydayı s-n ile Buradan n tüm katsayılar gerçel sayılardır. Pay ve paydayı s-n ile çarparsak;çarparsak;

• Denklem bu haliyleDenklem bu haliyle Mason kazanç formülüne benzemiştir.Mason kazanç Mason kazanç formülüne benzemiştir.Mason kazanç formülünün payı ve paydası;formülünün payı ve paydası;

01

11n

1nn

01

11m

1mm

m

asa...........sas

bsb........sbsb

)s(U

)s(Y)s(G

m

n0

)1n(1

11n

n0

)1n(1

)1mn(1m

)mn(m

sasa...........sa1

sbsb........sbsb)s(G


3030

= == =

• Denklemin payda kısmına (1-döngüler) determinant ( ) adını Denklemin payda kısmına (1-döngüler) determinant ( ) adını veriyorduk.veriyorduk.

k. ileri yol ( ) kaldırıldığında geriye kalan yolların determinantına k. ileri yol ( ) kaldırıldığında geriye kalan yolların determinantına (1-kaldıysa* geriye kalan döngüler) da k. yolun kofaktörü ( ) (1-kaldıysa* geriye kalan döngüler) da k. yolun kofaktörü ( ) adını veriyorduk. adını veriyorduk.

* : Transfer fonksiyonunun yapısı ve bizim onu işaret akış şemasına aktarış * : Transfer fonksiyonunun yapısı ve bizim onu işaret akış şemasına aktarış biçimindeki tercihimiz gereği, döngüler bir diğerine değecek ve bütün ileri biçimindeki tercihimiz gereği, döngüler bir diğerine değecek ve bütün ileri yollar da bu döngülere değdiğinden, ilgili ileri yol kaldırıldığında döngüler yollar da bu döngülere değdiğinden, ilgili ileri yol kaldırıldığında döngüler ortadan kalkacak ve kofaktörler =1-0=1 olacaktır. Bu nedenle transfer ortadan kalkacak ve kofaktörler =1-0=1 olacaktır. Bu nedenle transfer fonksiyonumuzu Mason kazanç formülünün özel bir durumu gibi düşünebiliriz; fonksiyonumuzu Mason kazanç formülünün özel bir durumu gibi düşünebiliriz;

toplamiininbilesenlerdöngü1

toplamiininbilesenleryolileri1

)s(U

)s(Y)s(G

k kkP

N

1qq

k kk

L1

P

kP

k

k


3131

Faz Değişkeni Kanonik Biçim:Faz Değişkeni Kanonik Biçim: Fazları Fazları (durumları) girişe ve çıkışa bildirir(durumları) girişe ve çıkışa bildirir

• Transfer fonksiyonlarını farklı şekilde durum Transfer fonksiyonlarını farklı şekilde durum denklemi biçimiyle gösterebiliriz. Bunlardan belli denklemi biçimiyle gösterebiliriz. Bunlardan belli başlıları; faz değişkeni kanonik biçimi ve girişleri başlıları; faz değişkeni kanonik biçimi ve girişleri ileri bildiren kanonik biçim modelleridir. Burada ileri bildiren kanonik biçim modelleridir. Burada kanonik; uygun, kabul görmüş anlamındadır. kanonik; uygun, kabul görmüş anlamındadır. Ayrıca sistemlere ait fiziksel değişkenleri baz Ayrıca sistemlere ait fiziksel değişkenleri baz alarak yapılan alternatif gösteriş biçimleride alarak yapılan alternatif gösteriş biçimleride bulunmaktadır. bulunmaktadır.

)s(G

N

1qq

k k

L1

P

Örnek: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu

01

12

23

34

0

asasasas

b

)s(U

)s(Y)s(G


3232

• Transfer fonksiyonundan durum denklemini bulmak Transfer fonksiyonundan durum denklemini bulmak için önce işaret akış şemasını elde etmeliyiz. Çünkü için önce işaret akış şemasını elde etmeliyiz. Çünkü işaret akış şemalarında her bir düğümü bir durumu işaret akış şemalarında her bir düğümü bir durumu temsil edecek şekilde kurgulayabiliriz.temsil edecek şekilde kurgulayabiliriz.

• Bunun için transfer fonksiyonunun payındaki ileri Bunun için transfer fonksiyonunun payındaki ileri yolları ve paydasındaki döngüleri, birbirinin 1. yolları ve paydasındaki döngüleri, birbirinin 1. dereceden türevleri (s) veya integralleri (s-1) dereceden türevleri (s) veya integralleri (s-1) formuna sokmamız gerekir. Denklemin pay ve formuna sokmamız gerekir. Denklemin pay ve paydasını s4’e bölersek payda Mason kazanç paydasını s4’e bölersek payda Mason kazanç formülündeki gibi 1+…şeklini alır;formülündeki gibi 1+…şeklini alır;

• = olur.= olur.

• Sistem 4. dereceden olduğu için 4 tane durum Sistem 4. dereceden olduğu için 4 tane durum değişkeni (x1, x2, x3, x4) ve dolayısıyla 4 tane değişkeni (x1, x2, x3, x4) ve dolayısıyla 4 tane durum denklemimiz olacaktır; durum denklemimiz olacaktır;

40

31

22

13

40

sasasasa1

sb

)s(U

)s(Y)s(G

N

1qq

k k

L1

P


3333

• dx1/dt=….., dx2/dt=….. , dx1/dt=….., dx2/dt=….. , dx3/dt=….., dx4/dt=…..dx3/dt=….., dx4/dt=…..

• dx/dt’leri diğer gösteriş biçimi olan ile temsil dx/dt’leri diğer gösteriş biçimi olan ile temsil edelim. edelim.

• Çıkışın arasına bu türevleri, bunların bir integral (s-1) Çıkışın arasına bu türevleri, bunların bir integral (s-1) ilerilerine de integrallerini yani kendilerine ait durum ilerilerine de integrallerini yani kendilerine ait durum değişkenlerini yerleştirelim.Durumları temsil eden değişkenlerini yerleştirelim.Durumları temsil eden gerçek düğümleri yuvarlak ile, bunların türevlerini gerçek düğümleri yuvarlak ile, bunların türevlerini ise kare ile gösterelim.ise kare ile gösterelim.

• i) Önce ileri yolunu yerleştirelim: U(s)’ten i) Önce ileri yolunu yerleştirelim: U(s)’ten Y(s)’e ileri yol ardı ardına 4 tane s-1 =s-4 ile büyük Y(s)’e ileri yol ardı ardına 4 tane s-1 =s-4 ile büyük ölçüde oluşturulmuş. Düğümleri bir etki ölçüde oluşturulmuş. Düğümleri bir etki oluşturmaksızın birbirine 1 kazancıyla bağlayabiliriz. oluşturmaksızın birbirine 1 kazancıyla bağlayabiliriz. Bir de en başa veya en sona b0 kazancını eklersek Bir de en başa veya en sona b0 kazancını eklersek ileri yol oluşur. ileri yol oluşur.

x

U(s) s-1 s-1

s-1

Y(s)

x1

s-1

x4

x3

x2

4x

3x 2x

1x

40sb


3434

U(s)U(s)

ii) Payda kısmı olan (1+….)’ da: 1- (negatif ii) Payda kısmı olan (1+….)’ da: 1- (negatif geribildirimler toplamı şeklinde oluşturulabilir) geribildirimler toplamı şeklinde oluşturulabilir)

1-(-a3 s-1+ -a2s-2…..) gibi. Burada da örneğin –1-(-a3 s-1+ -a2s-2…..) gibi. Burada da örneğin –a3s-1 döngüsü başta veya sonda olabilir. a3s-1 döngüsü başta veya sonda olabilir.

U(s) s-1 1 s-1

1 s-1

1

Y(s) b0

x1

s-1

x4

x3

x2

4x 1

3x 2x

1x

U(s) s-1 1 s-1

1 s-1

1

Y(s) b0

x1

s-1

- a0

- a1

- a2

- a3

x4

x3

x2

4x 1

3x 2x

1x


3535

• Her durum (faz-evre) değişkeninden giriş veya Her durum (faz-evre) değişkeninden giriş veya çıkışlara doğru bir bilgi akışı varsa, bu tür modellere çıkışlara doğru bir bilgi akışı varsa, bu tür modellere faz değişkeni modeli denir. faz değişkeni modeli denir.

• Her bir durum denklemi şu şekilde oluşturulur: Her bir durum denklemi şu şekilde oluşturulur: denklemin bulunduğu düğüm (örneğin dx4/dt=…) denklemin bulunduğu düğüm (örneğin dx4/dt=…) değişkenlere ve girişlere hangi katsayılarla bağlıysa değişkenlere ve girişlere hangi katsayılarla bağlıysa bu ilişki ister doğrudan yazılarak ister matrisel bu ilişki ister doğrudan yazılarak ister matrisel formda yazılarak kurulur. Burada dx4/dt , x1’e –a0 formda yazılarak kurulur. Burada dx4/dt , x1’e –a0 katsayısıyla, x2’ye –a1 katsayısıyla….., u(t) girişine 1 katsayısıyla, x2’ye –a1 katsayısıyla….., u(t) girişine 1 katsayısıyla ….vs. bağlıdır. Benzer şekilde diğer katsayısıyla ….vs. bağlıdır. Benzer şekilde diğer durum denklemleri de hangi değişkenlerden durum denklemleri de hangi değişkenlerden etkileniyor,örneğin dx1/dt ye nereden geliş var etkileniyor,örneğin dx1/dt ye nereden geliş var (sadece x2’den) ona bakıyoruz. (sadece x2’den) ona bakıyoruz.

)(

1

0

0

0

1000

0100

0010

)(

4

3

2

1

32104

3

2

1

tu

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

dt

dsY


3636

• Çıkış ise x1’e b0 ile bağlıdır (Çıkış x1’in o anki Çıkış ise x1’e b0 ile bağlıdır (Çıkış x1’in o anki değerinin b0 katıdır) değerinin b0 katıdır)

Giriş İleri Bildirimli Kanonik Biçim: Giriş İleri Bildirimli Kanonik Biçim: Girişten ve çıkıştan durum değişkenlerine bilgi Girişten ve çıkıştan durum değişkenlerine bilgi akışı vardır.akışı vardır.

Örnek.2: Dördüncü dereceden bir transfer Örnek.2: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu modelini durum uzayı modeline fonksiyonu modelini durum uzayı modeline dönüştürelim.dönüştürelim.

4

3

2

1

0

x

x

x

x

000by

01

12

23

34

01

12

23

3

asasasas

bsbsbsb)s(G


3737

• Denklemin pay ve paydasını en yüksek terime bölerek Denklemin pay ve paydasını en yüksek terime bölerek düzenliyoruz. düzenliyoruz.

• İşaret akış şemasını elde ediyoruz.İşaret akış şemasını elde ediyoruz.

• Buradan da durum ve çıkış denklemlerini elde ediyoruz. Buradan da durum ve çıkış denklemlerini elde ediyoruz.

40

31

22

13

40

31

22

13

sasasasa1

sbsbsbsb

)s(U

)s(Y)s(G

b3

b2

b1

- a2

- a0

- a1

- a3

U(s) Y(s)

x1

s-1

x4

x3

x2

1 s-1

1 s-1

1 s-1 b0


3838

• transfer fonksiyonu karşılığında tek çıkış olduğundantransfer fonksiyonu karşılığında tek çıkış olduğundan

• Fiziksel değişkenleri temel alan gösteriş Fiziksel değişkenleri temel alan gösteriş biçimleribiçimleri

• Durum uzayı denklemlerine sistemin doğrudan Durum uzayı denklemlerine sistemin doğrudan fiziksel yapısından yararlanıp ta geçilebilirfiziksel yapısından yararlanıp ta geçilebilir

)t(u

b

b

b

b

x

x

x

x

000a

100a

010a

001a

x

x

x

x

dt

d)s(Y

0

1

2

3

4

3

2

1

0

1

2

3

4

3

2

1

0

x

x

x

x

0001y

4

3

2

1

)t(u


3939

• DC Motora ait blok şema;DC Motora ait blok şema;

Transfer fonksiyonlarını Mason kazanç formülü Transfer fonksiyonlarını Mason kazanç formülü formatında düzenlersek; formatında düzenlersek;

Motor (Elektrik) Motor (Mekanik) R (s)

)5s(

)1s(5sG C

Alan gerilimi

2

11

s

sG

3

62

s

sG

U(s)

Alan akımı

I(s) Y(s)

Hız Denetleyici

1

1

D s51

s55

)s(R

)s(U)s(G

1

1

E s21

s

)s(U

)s(IG

1

1

M s31

s6

)s(I

)s(YG

R(s)

-2

1 s-1 5

s-1

1

2x x2

1

6

s-1

-3

5

1x x1

Y(s) 1

Is U(s) x3 3x

GM(s) GE(s) GD(s)


4040

Köşegen Kanonik Şekli (Ayrık Yanıt Kipi Köşegen Kanonik Şekli (Ayrık Yanıt Kipi Modeli)Modeli)

• Burada x1 değişkenimiz dx1/dt denkleminin bir integral Burada x1 değişkenimiz dx1/dt denkleminin bir integral arkasındaki y(t) hız değişkeni, x2 ; dx2/dt durum arkasındaki y(t) hız değişkeni, x2 ; dx2/dt durum denkleminin bir integral ardındaki i(t) alan akımımızdır. X3; denkleminin bir integral ardındaki i(t) alan akımımızdır. X3; dx3/dt denkleminin bir integral ardındaki değişkenidir. dx3/dt denkleminin bir integral ardındaki değişkenidir. Büyüklüğünü ölçebildiğimiz fiziksel değişkenleri durum Büyüklüğünü ölçebildiğimiz fiziksel değişkenleri durum değişkeni olarak almanın da bir yöntem olduğu burada değişkeni olarak almanın da bir yöntem olduğu burada görülmektedir. görülmektedir.

• Aynı transfer fonksiyonunu kısmi kesirlere ayırıp, her bir Aynı transfer fonksiyonunu kısmi kesirlere ayırıp, her bir kutbun çıkış yanıtına ne kadar etki ettiğini ayrı ayrı kutbun çıkış yanıtına ne kadar etki ettiğini ayrı ayrı gözlemleyebileceğimiz biçimde durum denklemlerine gözlemleyebileceğimiz biçimde durum denklemlerine dönüştürebiliriz. dönüştürebiliriz.

)(

1

5

0

500

2020

063

3

2

1

3

2

1

tu

x

x

x

x

x

x

dt

d

3

2

1

x

x

x

001y


4141

• Bunun için bulacağımız rezidüler hesaplanırken Bunun için bulacağımız rezidüler hesaplanırken transfer fonksiyonu toplamlar şeklinde transfer fonksiyonu toplamlar şeklinde yazılacağından bunun işaret akış şemasındaki yazılacağından bunun işaret akış şemasındaki karşılığı paralel kollar olacaktırkarşılığı paralel kollar olacaktır

)3s(

C

)2s(

B

)5s(

A

)3s)(2s)(5s(

)30s30()s(G

30)()3(

10)()2(

20)()5(

3

2

5

s

s

s

sGsB

sGsB

sGsA

)3(

30

)2(

10

)5(

20)(

sss

sG

R(s)

1

1

1x

30

-2

-5

Y(s)

s-1

1 -10

-20

-3

s-1

s-1

3x

2x

x3

x1

x2

Daha sonra paralel kollar birleştirilerek tüm sistemin durum uzayı

modeli bulunur =>


4242

Köşegen Kanonik Modeli;Köşegen Kanonik Modeli;Bu modele köşegen kanonik formu adı da Bu modele köşegen kanonik formu adı da verilmektedir.verilmektedir.

)(

1

1

1

300

020

005

3

2

1

3

2

1

tu

x

x

x

x

x

x

dt

d

)t(u

0

0

0

x

x

x

301020y

3

2

1

ss komutu, A, B, C, D katsayıları verilen bir sistemin durum uzayı modelini oluşturur

4.4.1. Durum Değişkeni Modellerinin MATLAB ile İncelenmesi


4343

• Sonuçlar;Sonuçlar;

• Benzer şekilde, tıpkı tf2ss (transfer funciton to state Benzer şekilde, tıpkı tf2ss (transfer funciton to state space, transfer fonksiyonu modelinden durum uzayı space, transfer fonksiyonu modelinden durum uzayı modeline) komutunun yaptığı gibi, verilen bir transfer modeline) komutunun yaptığı gibi, verilen bir transfer fonksiyonunu durum uzayı modeline dönüştürür.fonksiyonunu durum uzayı modeline dönüştürür.

a = x1 x2 x3 x1 -8 -4 -1.5 x2 4 0 0 x3 0 1 0

b = u1 x1 2 x2 0 x3 0

c = x1 x2 x3 y1 1 1 0.75

d = u1 y1 0

Continuous-time model.


4444

• RLC devresinde MATLAB’ı kullanarak transfer RLC devresinde MATLAB’ı kullanarak transfer fonksiyonundan durum uzay modeline geçelim.fonksiyonundan durum uzay modeline geçelim.

program kodları ve sonuçlar program kodları ve sonuçlar aşağıdakiaşağıdaki

gibi olacaktır.gibi olacaktır.

• Aynı denklem olması nedeniyle sonuçlar aynıdır.Aynı denklem olması nedeniyle sonuçlar aynıdır.

6s16s8s

6s8s2

)s(R

)s(Y)s(G

23

2

a = x1 x2 x3 x1 -8 -4 -1.5 x2 4 0 0 x3 0 1 0

b = u1 x1 2 x2 0 x3 0

c = x1 x2 x3 y1 1 1 0.75

d = u1 y1 0

Continuous-time model.


4545

• ss2tf komutu: benzer şekilde Durum Uzayı ifadesini ss2tf komutu: benzer şekilde Durum Uzayı ifadesini Transfer fonksiyonuna dönüştürmek için Transfer fonksiyonuna dönüştürmek için oluşturduğumuz program ve çıktısı;oluşturduğumuz program ve çıktısı;

pay = 0 2.0000 8.0000 6.0000

payda = 1.0000 8.0000 16.0000 6.0000

Transfer function: 2 s^2 + 8 s + 6----------------------s^3 + 8 s^2 + 16 s + 6


4646

• Aşağıdaki kod satırları da aynı sonucu bulmak için Aşağıdaki kod satırları da aynı sonucu bulmak için kullanılabilir kullanılabilir

• Örnek. Örnek. Aşağıdaki gibi bir sistem düşünelim Aşağıdaki gibi bir sistem düşünelim

a) tf fonksiyonunu kullanarak sistemin Y(s)/U(s) transfer a) tf fonksiyonunu kullanarak sistemin Y(s)/U(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.fonksiyonunu bulunuz.

)t(u

1

0

0

x

523

100

010

x

x001y


4747

b) Sistemin x(0) = başlangıç koşullarına yanıtını b) Sistemin x(0) = başlangıç koşullarına yanıtını snsn

aralığı boyunca çizdirin.aralığı boyunca çizdirin.

c) Matlab’taki üstel (exp) komutunun vektör ya da matrisc) Matlab’taki üstel (exp) komutunun vektör ya da matris

şeklindeki üstel ifadeleri tanımlamak için tanımlanan şeklindeki üstel ifadeleri tanımlamak için tanımlanan şeklişekli

olan “expm” fonksiyonunu kullanarak, sistemin durum olan “expm” fonksiyonunu kullanarak, sistemin durum geçişgeçiş

matrisini hesaplayın.matrisini hesaplayın.

d) b’de verilen başlangıç koşullarını kullanarak x(t)’nin d) b’de verilen başlangıç koşullarını kullanarak x(t)’nin t=10sn.t=10sn.

deki değerinibelirleyin. b’de elde ettiğiniz sistem deki değerinibelirleyin. b’de elde ettiğiniz sistem yanıtının buyanıtının bu

noktadaki sonucuyla karşılaştırın.noktadaki sonucuyla karşılaştırın.

1

1

0


4848


4949

• Programın sonuçları;Programın sonuçları;


5050

• Transfer function:Transfer function:

11 ------------------------------------------• s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3

• Phi =Phi = 0.9968 0.1977 0.01460.9968 0.1977 0.0146 -0.0439 0.9676 0.1246-0.0439 0.9676 0.1246 -0.3739 -0.2931 0.3444-0.3739 -0.2931 0.3444• ans = ans = (x_d (10. saniye) )(x_d (10. saniye) ) -0.2598-0.2598 0.01050.0105 0.16240.1624

Documents

4. DURUM DEĞİŞKENi MODELLERİ