2.2 Geometrija in merjenje

2.2.1 Kratko o pouku geometrije 

Geometrija ima pomembno mesto v matematiki, ker:• omogoča raziskovanje fizičnega sveta,• se ukvarja z vizualizacijo, risanjem in konstruiranjem

figur,• omogoča reprezentacijo pojmov v matematiki, ki sami

po sebi niso geometrijski,• ker je sama po sebi primer matematičnega sistema in • ker je estetska.

• http://www.mcescher.com/

• http://www.geocities.com/mojsplet8/ven32-prevare/prevare2.html

Geometrija v naši osnovni šoli = učenje o geometrijskih pojmih po načelu 'korak za korakom‘.

Katere prostore, poleg Evklidskega, še poznamo?

Lobachevsky, Bolyai

Riemann

• Topologija: panoga geometrije, ki obravnava topološke lastnosti geometričnih figur, to pomeni take lastnosti, ki se ohranjajo pri zveznih preslikavah (preslikava ne povzroči nobenih pretrganj).

• Möbiusov trak: primer topološke ploskve

• Kleinov program: razvrstitev geometrij glede na transformacije

Fraktalna geometrija

http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/whaiIsFractal.html http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis

/GRAFIKA/FRACTALS/CREATING_FRACTALS/creating_fractals.html

Raziskave Piageta: prostorska predstavljivost pri otroku se prične z zaznavanjem preprostih topoloških relacij (trileten otrok nariše kvadrat, trikotnik kot krog (vsi trije so topološko ekvivalentni)), nato s projekcijo in nazadnje z Evklidskim prostorom. Koncept projekcije doda konceptu topologije ‘pogled na stvar’ (predmet). V Evklidskem prostoru pa se otrok ukvarja z razdaljami oz. merjenjem.

Topološko ekvivalentni. Pa jih otrok res zazna tako?

Vir: Dickson, L., Brown, M., Bibson, O. (1991) Children Learning Mathematics. London: Cassell Education.

2.2.2 Proces abstrahiranja pojmov v geometriji:

a) Empirična abstrakcija (v ospredju so objekti in za konstruiranje znanja so pomembne lastnosti teh objektov). Na podlagi fizične izkušnje s predmeti učenec spozna lastnosti predmetov (na primer, ker se valj kotali, ima krivo ploskev).

Pri aritmetiki so v ospredju postopki; govorimo o psevdo-empirični abstrakciji.

Poznamo še refleksivno abstrakcijo; postopki in objekti v neki fazi postanejo sestavni del novega objekta, postopka.

b) Kompleksnost geometrije pa obvladujemo tudi s pomočjo jezika. Zaznavanje oblik je bistveno, vendar le s pomočjo jezika lahko ustvarimo hierarhijo pojmov v geometriji.

Primer: kvadrat je pravokotnik, kvadrat je romb…

Poznamo tri stopnje v pridobivanju geometrijskega znanja po Van Hielu:

• vizualna,• opisna ter • teoretična.

Teoretična stopnjaUčenec zna deduktivno izpeljati relacije med geometrijskimi pojmi oziroma zna

dokazovati v geometriji.Proces učenja

Faze učenja:razlaganje in povezovanje

prosto opazovanjevodeno opazovanje

posredovanje informacijOpisna stopnjaUčenec prepozna geometrijske oblike na podlagi opisa njihovih lastnosti.

Faze učenja:razlaganje in povezovanje

prosto opazovanjevodeno opazovanje

posredovanje informacijVizualna stopnjaUčenec prepozna geometrijske oblike.  

Empirična abstrakcija ≈ vizualna stopnja začetno učenje o geometrijskih pojmih izhaja iz konkretnih predmetov oziroma tridimenzionalnih objektov

2.2.3 Metodični koraki poučevanja geometrije 'od telesa k točki‘ na začetku šolanja

• Izkušnje s tridimenzionalnimi modeli.• Povezovanje geometrijskih modelov s predmeti iz

okolice.• Pridobivanje lastnosti geometrijskih modelov.• Izdelovanje modelov geometrijskih teles iz različnih

materialov.• Odtiskovanje, obrisovanje ploskev modelov

geometrijskih teles.

Prednosti obravnave ‘od telesa k točki’:• omogoča mehkejši prehod med predšolskim in

šolskim obdobjem, • zadosti matematičnim kriterijem,• je učencem bolj razumljiva (upošteva učenca in

njegovo razvojno stopnjo).

Vaja za zbranost

Moja zbranost je danes:• 16 t … odlična• 12-15t … zelo dobra• 8-11t … dobra• 1-7t … drugič bo boljša

2.2.4 Geometrijski pojmi v prvih dveh triadahMatematične definicije in opredelitve pojmov za učence• Geometrijsko telo … 1.r. 3. r.: geometrijsko telo, rob, ploskev, oglišče Telo je predmet, ki je omejen s ploskvami, oglišči in

robovi.5.r.: kvader, kocka, mreža kvadra in kockeVsaka kocka je kvader, saj ima vse lastnosti kvadra.Mrežo kvadra oz. kocke pokažemo s primerom (telo

razrežemo vzdolž nekaterih robov).

• Geometrijski lik … 1.r. 3.r.: trikotnik (štirikotnik, petkotnik, šestkotnik…),

skladnosti likov, simetrija (simetrija se obravnava že v 2. razredu)

Lik, ki je omejen s tremi ravnimi črtami, je trikotnik.

Ravne črte, ki omejujejo lik, so stranice. Točke, v katerih se stikata po dve stranici, so oglišča. (Oglišča pri likih ne označimo s križci, zgolj s točko.)

Lika, ki se prekrivata, sta skladna.

Oblika, ki jo lahko prepognemo tako, da dela drug drugega prekrivata, je simetrična. Črta, po kateri obliko prepognemo, je simetrala. (Enaka definicija je v 4.r.)

??Kaj je simetrija? Katere simetrije poznamo? Primer dejavnosti: izrezovanje simetričnih oblik.

4.r.: krog, krožnica, središče, polmer, premer

Krožnica je sklenjena kriva črta, ki omejuje krog.

5.r.: kvadrat, pravokotnik

Kvadrat je štirikotnik. Vse lastnosti pravokotnika ima tudi kvadrat. Kvadrat je pravokotnik.

Vsak pravokotnik ni kvadrat. Vse lastnosti kvadrata niso tudi lastnosti pravokotnika.

6.r.: ravnina, kot, skladnost kotov, notranjost, zunanjost, rob kota, ostri, pravi, topi, iztegnjeni, udrti kot, središčni kot, krožni izsek, krožni lok

Zamislimo si, da ravno ploskev nadaljujemo v vse smeri brez konca, pa dobimo ravnino. Lik je omejen del ravnine.

Poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota.

Tudi dve daljici lahko oklepata kot.

Kota, ki drug drugega prekrivata, sta skladna.

Oznake za kote: , A, ABC

Središčni kot je vsak kot, ki ima vrh v središču kroga.

S krogoma, ki ju prerežemo vzdolž premerov, oblikujemo krožni izsek. Krožnemu izseku pripada središčni kot in krožni lok.

• Črta …enodimenzionalna geometrična zvezna tvorba, 1.r.

1.r. 3.r sled svinčnika

1.r.: ravna, kriva črta2.r.:(sklenjena, nesklenjena, presečišče črt, slednjega ne

poimenujejo, zgolj označijo s križcem in z veliko tiskano črko),

4.r.: premica, daljica, poltrak, vzporednica, pravokotnica, sečnica:

Na obeh straneh neomejeno ravno črto imenujemo premica Oznaka: mala tiskana črka (npr. p, tudi premica AB).

Daljica AB je ravna črta, ki povezuje točki A in B. Točki A in B imenujemo krajišči daljice.

Oznaka: daljica AB (krajišči ponavadi označimo s križci).

Na eni strani omejeno ravno črto imenujemo poltrak.

Oznaka: mala tiskana črka (npr. l), označimo tudi krajišče poltraka.

Dve ravni črti, ki se ne sekata, sta vzporedni. Premici, ki se ne sekata, sta vzporedni.

Oznaka: p II r

Pravokotnosti ne opredelimo (zakaj??), ampak pokažemo s primerom in protiprimerom.

Oznaka: pr

Premici, ki se sekata, sta sečnici.

5.r.: medsebojna lega premice in točke, sekanta, mimobežnica, dotikalnica (tangenta), tetiva

Oznaka: Ap

Premica, ki seka krožnico, je sekanta krožnice.

Premica, ki s krožnico nima nobenih skupnih točk, je mimobežnica krožnice.

Premica, ki ima s krožnico le eno skupno točko, je dotikalnica te krožnice. Pravimo ji tudi tangenta.

Tetiva je daljica, ki ima krajišči na krožnici.

?? Oznake.