126
Mojoj dragoj supruzi Emiri s postovanjem! Dr sc. HASO BECIROVIC NACRTNA GEOMETRIJA SA TEHNICKIM CRTANJEM I ZBIRKOM ZADATAKA Tuzla 2000.

Nacrtna geometrija

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Nacrtna geometrija s tehnickim crtanjem

Citation preview

Page 1: Nacrtna geometrija

Mojoj dragoj supruzi Emiri

s postovanjem!

Dr sc. HASO BECIROVIC

NACRTNA GEOMETRIJA SA TEHNICKIM CRTANJEM

I ZBIRKOM ZADATAKA

Tuzla 2000.

Page 2: Nacrtna geometrija

Tehni(;t;i i o<igovorni urednik: Dr sc. l1aso BcCirvvit\ d\)c<i;nt

R<:n:n:rcnti:

Dr .I·C. Linaid Ra!in'ii'> dip!.inl.arh" vanr.,dni rmrc~or Gr"dcvi'l~kog fllkulteta \ iniveo;itc\1I nDzemal tlijcdic" 11 Mo~tafl.l

/),- IT, ,\'cdzad RC{,('i<':, dipl,inl.,!T);I.L

v;mrcdni prokS\Jf M:l<;in~kog rakIJ!tel;1 u Sarajcvu

Dr s'c. Sadlldill I-Iot/iic. ini,mas. i dipUnl.-rud . rc(jp\,ll; pro[cs<'!" R\ldar~);(l-gcok'~k()-grndcvi1l5kog taKujlct" \I Tlllli

L<'Klor;

Oilier ,\'a/i/. p'OfCSI'1

Knrc\:inj"

,j r,. i'C !::I;din Boj,.,'klorn·it;. dip1.inz.rud.

CrtCJ,c iI-radio

DI" sc. l/aso Be/'in)]'i/-. docent

K[lll\p:.i\llCr~k;l obrurb:

1\11' sc J::lIdll1 Bajrckfarn·ii:. dirLilll..rud

Alrs(". Zijad Buhol"i,\ dip1.inz.nla.~.

CIP~, Kalalogi7"dj,1 u publikadji Nacional"a i 1>11iY-erl,ilcl~ka b;hli~\ck;;J BnSllc i fkrccg01'inc. Sarajevo

514 14-') (07).:") [(nil.!) 74,1 (07:'.8) (076. J)

BECiHO\'JC.I1:iw N<lcl'1na g.:onwlrija sa lchn;cki m ,:rlanil:J1l i

,~hirk()111 ;:ada!ak;; Illa~() Bdirovit T\I~la:

!~lldarskp-g<.'nloSk()-gr:ldc\'illski fakultc\. 200G 322 SIr. : grantk; prikazi: 24 em' .

I I COB!SSlDlll-1D7699718 --_____ -1

()J:I:l\'U;v~~jco-,'og IIn;vcrzilclskog udihcllikn odohrilajc Komisija Zll n~\Icno-nastavl1u litcra\\lfll Univcrzllela u TlI/h r.ie~cllJ'~1ll hroj 03-- \ ():'iOf200(), oct 2'U):'i.2000

i?d,l\'nt: Ruri<lhko-gcn\n;ko·gr;;J(\evillo;ki f;lk\l1tct, Tuc:la Z~ inh"JC;"; Dr s(". Sadwlfn Hod-!;i(~_ re(\(n'ni pmfesol"

PREDGOVOR

Prilikom abrade groae za oVu b?iigu pridriovQo sam se nastavl10g plana i programQ Rlldarsko~geolo.fko-graaevinskog i TelmoloM4)gfakulteta u Tuz/i,

Knjiga je nastala kao rew[tar dugogodiJ'~ieg rada 11(1 predmelima nacrtfla geometrija sa fe/micki", crtanjem i tehnicko crtal1je sa ""ermom gCOIlIl!trUof1l II{] pOl1lellutim fakuitetima.

Ovom se knjigol1l fujeta zadovoljiti potreba ::a tim da SI! literarura i::. 01-"og podrllcja upolpuni pedagoski111 udibenikom koji ce sadriavati i rije.~elJe zadatke.

Svrha tak-vog udibenika je da proJiri saZIlClnja u stereometnjskom I'je,favanju zadataka, vodeCi racuna 0 razliCitom predznallju s\'ojilr korisni!,o. te kao takav da postane pomagalo stHdenlima Rudarsko-geolosko-gradevil1skog i TehnoloXkogfakulteta,

lakoje graeta ove knjige odabrona U okviru jJotrebe slusalaca pomenutih .faklilteta, mogu se ry'ome sluziti i sIu.fooci drugih te!mickih fakulteta, kao i

drugih visokih ,~kola i svi drngi k(y'i izuc-:aw~ju ovu vr.:<;{u nauke. Knjigu saCinjava dvanaest poglavija. 1z svakog poglavlja rUden jc ved

braj zadataka sa detaIjllim obja.~njenji11Ja, Pored nj"eifenih zadataka, knjiga sadrii i zadatke za ':idavG1!ie, koji su

pret!zodflo provjereni i svaki ima svoje Ijdenje.

Zahvaljujcm dr .'lc. Vlasti .c:;curic-Cudovan, red. pro.fesoru Sveuc';ih<i(a 11

Zagrebu. te dr sc, Z. Ra{jevicu, vanr. profesoru, dr sc, N. Repcic:u, val1r. pro!'e­soru i dr sc. S. Hodiicu, red. projesoru na ukazanim primjedhama i suges-tUoma.

Takoae, zahva(jujem svil11 saradnicima na pomoCi. da ova knjiga do(ic do svojih korisnika.

U Tuzli, 02. IW1'cmbra 1999, god. Aut 0 r

Page 3: Nacrtna geometrija

SADRZAJ

Uvod.

1. Osnovne geometrijske konstrukcije 1.1. Simetrala duzine i okomice ." 1.2. Podjela duzine . 1.3. Simetrala i prenosenje ugJa . 1.4. Konstrukcije uglova pomocu sestara i trouglova . 1.5. Konstrukcije pravilnih mnogouglova ..

2. Kolineacija i afinost u ravnini 2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini . 2.2. Perspektivna afinost u ravnini , .. 2.3. Zadaci 1,a Ijduvanje .

3. Krivulje drugog reda 3.1. Elipsa.

3.1.1. Konstrukcija eJipse pomocu zurista .. 3 1.2. KonstrukciJa dipse POlTlo,:u ;":onccntricnih i..:ruznic.J . 3.1.3. Konstrukcija ehpse pomocll konjugiranih precnika ., 3.1.4. KonsTIlJkclj3 eupse pomocu iukova :t.akrivijenu:;.Li. 3.1.5. Rytzova konstrukcija elipse 3.1.6. Konstrukcija male osi eEpse .

3.2. Hiprebola .. 3.3. Parabola. 3.4. Zadaci za rjesavanje .

4. Tacke, pravci i ravnine 4.1. Projekcija tacke .

4.1,1. Ravnine projekcija, 4.1.2. Projiciranje tacke .. 4. L3. Tacke u kvadrantima . 4.1.4. Koordinate tacke .

4.2. Dva pravca . .:.!-2.1. Paralelni pravci . 4.2.2. Pravci se sijeku ..

--1.

5

to

I '

1-' , '

lS

2i 21

Page 4: Nacrtna geometrija

·-1-.3.

4.2.3. I\llimoilazni pravci 4.2.4. Probodista i prikloni uglovi pravca . Ravnina 4.3.1. Presjek dviju ravnina . 4.3.2. Pravuc u ravnini .' .:L3.3. Sutraznice . Lj-.3.4. Priklonice j prikloni uglovi ravnine , 4.3.5. Prohodiste ravnine sa pravcem .......... . 4.3.6. Prelaganje ravnine . OSllovni zadaci 0 polozajllim i metrickim odnosima tacke. prnvca, ravnine i ravnog lika ,. 4.4.1. Rijeseni zadaci .. . ........... . 4.4.2. Zadaci za rjesavanje .

Hnkocrt i stranocrt (transformadja) 5.1. Bokocrtna ravnina i bokocrt . 5.2, Treei (rag ravnine i njegova sutraznica . 5.3. Stranocrtnn ravnina i stranocrt . :')A. Rijeseni zadaci 5.5. Zadaci za rjdi.1vanje.

6, Okrrtallje Ui ·rot.adja 6.1. Okretanje llopste-. 'v'.2. Okretanje tackc .. 0 . .3. Okrclanje duzine .. 6A. Okretanje tijela .

7, rrojidranje geometrijskih tijela 7.1. 0 projiciranjll tijela uopste . 7 2. Geometrij~ka tijcla.

7.2.1. Kocka. 7.2.2. Prizma . 7.2.3. Pirarnida . 7.2.4. Tetraedar. "7.'2.5. Oktaeclar. "'-.2.(i. VaJjak . r; I '7 Stozac . 7.2.8. Kugb. Zaci:lci [(j rjes(1Yanje ..

25 26 28 28 29 30 31 32 33

35 35 54

67 68 69 70 78

83 84 84 8S

86 86 86 89 94 98

102 104 108 111 113

§ ,

8. Telmicki crtei i osnovni standardi 8.1. Vrste tehnickih crteta .. 8.2. Formati, zaglavlja, mjerila

8.2.1. Formati. . ......... . 8.2.2. Zag\avlja - sastavnice . 8.2.3. Mjerila ..

8.3. Vrste, debljioa i primjena lin!]a . 8.4. Tchnicko pismo. 8.5. Kotiranje .

8.5.1. Elementi kotiranja .. 3.52. Nacin kotiranja predmcta .. 8.5.3. Prikaz kotiranja tctive, duzine luka i ugla ..

9. Ortogonallla i kosa.aksonometrija 9.1. Uopste 0 aksonometriji . 9.2. Ortogonalna aksonometrija .

9.2.1. Vrste ortogonalne aksonometrij~ ... 9.3. Kosa aksonometrija . 0.4. Kosa projekcija 9.5. Zadaci za JjcSavanje .

10. Projiciranje tehnickih predmeta 10.1. 0 projiciranju predmeta . 10.2. ZadJci za rjesavanjc .

11. Presjed geometrijsldh tijela ravninama 11. J. TangenciJalne ravmne .

11.1.1. 0 tangencija!nim ravninama. 11.1.2. Tangencijalna ravnina vaJjka_.:..:.~: .. 11.1..3. Tangencijalna ravnina stoika .. 11.1.4. Tangencijalna ravl1tna kugle .

11.2. Presjeci prizme ravninom <.

11.2.1. 0 presjeku prizme ravninom .. 11.2.2. Presjek kose prizme opstom ravninom . i 1.2.3. Presjek llspravne prizme opslom ravninom . 11.2.4. Presjek kose prizmc drugom

projicirajuGom ravninom . 11.2.5. Presjek uspravne prizme drugom

projicirajuGol11 ravninolll . 11.2.6. Presjek uspravne prizme prvOID

projicirajucom ravninom .. 11.3. Presjcci piramide ravninom ..

125 126 126 127 127 128 129 133 133 134 135

136 136 137 147 151 158

171 172

:08 208 208 209 211 212 212 214 218

219

220

2'1')

225

Page 5: Nacrtna geometrija

t 1.3,1. 0 presjeku pimmide ravninom . 225 11.3.2. Presjek kose piramide opstom ravninom . 226 11.3.3. Presjek uspravne piramick opstom ravninom .. 228 j 1.3.4. Presjek kose piramide drugom

projicirajucom ravninom ..

11.3.5. Presjek uspravne piramide drugom projicirajucom ravninom .

11.3.6. Presjek uspravne piramide prvom projicirajucom ravninom .'

11.3.7. Presjek uspravne piramide trecom projicirajucom ravninom .

11.4. Presjeci stosca ravninom . 11.4.1.0 presjeku stoka ravninom . 11.4.2. Presjek kosog kruznog stoka opstom ravninom .. 1104.3. Presjek rotacionog srosca opstom ravninom .. 11.4.4. Presjek rotacionog stosca drugom

projicirajucom ravninom ..... . l1A.5. Presjeci rotacionog_ stoka d~gim

projicirajucim ravninama . 11.5. Presjeci valika ravnlnom .

I! .5.1.0 presjeku valjka ravnlnom .. 11.5.2. Presjek kosog kruznog valjka opstom ravninonl . 11.5.3. Presjek fOtacionog valika opstom ravninom . 11.5.4. Presjek rotacionog valjka drugom

projicirajucom ravninom 11.5.5. Presjeci rotacionog valjka drugim projicirajucim

ravninama i valjkastom plohom . 11.6. Presjeci kugle ravninom .

I 1.6.1. Presjek kugle opstom ravninom ... 11.6.2. Presjek kugle prvom projicirajucom ravninom .

1l.7. Zadaci za rjesavanje .

12. Prodori geometrijskih tijela 12.1. 0 prodorima uopste .. 12.2. Prodori uglatih tijela . 12.3. Prodori oblih tijela . 12A Zadaci za rjesavanje .

LITERATURA

229

23.!

234

236 237 237 :239 244

246

249 251 2)1

253 256

258

261 262 262 265 267

286 286 295 308

323

Uvod

1. DeJinicija. Naertna geometrija je nauka koja se buvi is!ruii~':mj2111 grajickim predstavljanjem prostornih geometrijskih obfiku i !"!iiituvih meet;;­

sobnih odnosa.

okom,

Cilj izucavanja nacrtne geometrije je dvojak: a. upozllati metodc pomocu kojih mozcmo postojece iii zamisljelle

pros tome oblike prikazati crteZom u ravnini, taka ua se iz rog crte­fa mogu odrediti obllk, velie ina i polozaj u prostOll.l,

b. razvijati sposobnost osjecaja prostora i prostornih predsr3va. Ostvarenje ovog drugog ciljaje posebuo znl.lcajno.

2. V rste projekcije

2.1. Centralna projekcija. Ako neki predmet gledamo sam~ jednim onda svaka vidljiva tacka predmeta .salje U oko jednu zraku. Kelda :;;vc

zrake presijecemo j~dnom favninom, anda cemo u to.i ravnini dobiii stiku iIi

Slika 1.

projekcijll rng predmeta. Na slid 1 pnkazana je pro­

jekcija A'S'C'DI cctverokum ABCD iz

tacke 0 na ravninu 7!.

Tacka 0 se naziva sfL'diX!c iIi centar projiciranja. Ravnina 7f se naziva ravninQ slike iii proje!..cUe_ Cetverokut A'S'C'DI je projekcija

cetverokUla ABCD !l(l ravnini n. ·/~rD.k.e

AD, EO, CO i DO zovu se :rake projiciranja.

Kad sve zrake projiciranja idu istom tackam 0, koja je u kuna'::n0stl, onda se projekcija predmeta na ravnini nnaziva cenlr.alnom projek.cijom.

Najbolji primjer ovakve projekcije je fotografija. kod koje s'ijetlost hemijskim putem obiljezava na filmu pojedine tacke.

Page 6: Nacrtna geometrija

Uvod

2.2. Paralellla projekcija. Ako centar projlClranja 0 pomjerimo heskcmacno daleko, onda ce zrake projiciranja biti medusobno paralelne. U tom

se slika predmcta na ravnini n naziva paralelnom projekcijom. Na shci 2 prikazanaje p<lralelna projekcija A'B'C'D' cetverokuta ABeD

na r:lvnini n.

Slika 2. Stika 3.

Aka su zrake projicinmja okomite na ravninu ~ projekcija predmeta se ;"t:l?l ,11 ortogondlna projekcija, a ako su _zrake projiciranja kose prema ravnini IT,

oncla se takvn projekc~ja naziva k-;;;~ pr~jekcija. - . To znacl da se paralclno projlciranje dijeli na ortogollaino i koso pro-

Na sJici:3 prikazanaje kosa projekcija A'B'ClD' cetverokuta ABeD.

L Osnovne geometrijske konstrukcije

1.1. Simetrala duzine i okomice

A 8

Slika 1.2 Okomica na pravac u tacki pravea

Slika 1 1 S.imetrala duzine

Slika 1.3 Okomica oa pravae iz tacke van pravea

1.2. Podjela duiine

Slika 1.4 Podjeta duiine najednake dijelove

'~

~_~, ,/X,. L s~ /\.

A ,\, .. /// _: __ , __ ', B J'\. '

2',~ , Slika 1.5 Podjela duziue u

zadaoom omjeru

Page 7: Nacrtna geometrija

1.3. Simetrala i prenosenje ugla

I

I ! 0" OJ i

'1:1 / /

I \ \ I

J:-.! ~_L----1,,---A T A

Slika 1.6 Simetrala ugla Slika 1.7 Prenosenje ngla

1.4. Konstrukcije uglova pomocll sestara i trouglova

Slika 1.8 Konstrukcije uglova od 30'), 60° i 1200 pomocll sestara

o

SEka 1.9 Konstrukcijc ug!ova od 45° i 90° pomocll sestara

Stika 1.10 Konstrukcije uglova ad 30", 60", 120() i 1 SO" pornocu rrouglova

________ -'-loCC5_,fu.:.:":.:.":::s::.'r.::u:::kc:.:.U"oe..cPravi!nih nInogouglol'a

, ----------""

Slika 1.11 Konstrukcije uglova od 45°, 75°, 105° i 135° P011l0CU trouglu\'it

1.5. Konstrukcije pravilnih mnogougJova

c

p

A B

Slika 1 J2 Konstrukcija trougla zadanom stranicom

o \

A B

;k Slika 1 14 Konstrukcija peterokura

zadanom stranicom

D+-~ ___ """,!Ci~C

~<

/o_~"

( \ -tl"-'~'" A ;(

B

Stika 1.13 Konstrukcija kvudr;lta zadanom stranicom

CD

Slika 1 15 Konsrrukcija pcte[(~kL ~cL u zadanoj klUinici

Page 8: Nacrtna geometrija

G 1.0sl1ovnc geomerrijske konstrukcije ~" ____ ~"_~======X-____ _

F

Slika 1.16 KonstTukcija sesterokuta 11 zadanoj kmznici

\

D \

B~", \

Ie -----':-----.::r­SEka 1, ti) Konstrukcip osmerokuta

u zadanoj kmznici

~; lila 1.20 (<.onstmkcija deseterokuta u zadanoj kru7.nici

Slika 1

A

F

, l7 Konstrukcija sedmerokuta

u zadanoj kruznici

H

,

E F

Slika j. j 9 KOnSU"llKcija deveterokura u zadanoj kruznici

A

G

I I

Slika t .21 Konstrukcija jedanaesterokuta u zadanoj kruznici

2. Kolineacija i afinost u ravnini

2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini

Zarnislimo da je u nekoj ravnini uspostavljen takav odnos da svakoj tacki Ate ravnine bude pridruz.ena neka druga, samo jedna, tacka AI te ravnine i bilo kame prnvcu p neki drugi, sumo jedan, pravac PI te ravnine. Dalje, da nekoj tacki L na nekom pravcu I bude pridruzena tacka LI na plidruzenom pravcu ii, uz daljnji uslov da u toj ravnini neka tacka-S i t<lcke bilo kog pravca 0 budu saml sebi pridruzeni (s1.2.!). Svaki pravac .<; tacke ,')' je tada sam sebi pridmzen, jer su tacka S i presjck K 53 pravcem 0 sami sebi pridmzeni. Odavde proiziJazi da svakoj tacki A pridruzena tacka Al mOTa lezati na spojnici s tacke A sa tackom S, posta se pridruzene spojnice SA.::: s i SA} ::: S1 poklapaju. Ako proizvoljno odabercmo par tacaka A, Ai onda je g~Q!Iletrijs.ki 9dn02.- ~ ravnini uspostavljen. pri cemu ovakav geometrijski odnos nazivamo perspeklivllo kolillearan i.1i

kolfncrICUa_ Definicija, Kolilleacija /.I rm'llil1i jc :rallsformacija "avlline, koja [~lIva

koliilcornost tacaka. Dmgim rijec.ima, kolineacija u ravllini jc objektivno presli­t,:3.yanje ray-nine na sebe, koje preslibv3 tackc 1.1 tack~. 3 pravce u pravcc. pri cemuje sacuvana [ncidencUa tacke i pravca, . """.~ -

fulo i<.ojoj l<lcki B l.xiredit CC1110 pridruzcnu tacku Bi tnko da «pnjnic\1 RA produzimo do njenog presjeka P s pravcem o. Ovoj spojnici je

A I/

Slib2.

kolincarno pridruzena- spojnic.:'1 PAf, .ier je tack a P sarna sebi pridruzena i na njoj se mora nalaziti tack a 8,. Ona se mora nalaziti i na spojnici SB. dakie nalazi sc u presjcku spojnica PAr i S8. Fravae 0 zove se osa

kolincacUe, {acka S je eClIlar

kolincacije, a njeni pravci su zrake kolincaC/)e. Analogno jc na slici 2.1 odrcdena i tacb C1

pridruiena tacki C.

Page 9: Nacrtna geometrija

8 2. Kolilleacija i ajlr/os! l/ ravnini

Zadatak. Zadan je pravilni se.Ylerokur ,<;a vrhom A(70.90) i sredi§tern

0(50.55), asa kolineacije 0 '= MN{M(20, 170), N(150, 105)] i sredisfl! kolineaClje S(90)15). Odredi!i cacku AI na zraci SA izmedu S i Ai nacrJali perspektivl10 koliriearan sesterokut (sI2.2).

R j e sen j e: Spojeni su vrhovi .sesterokuta sa sredistem .)', Na zraci SA. proizvoUno je odabrana tacka A,. Bilo kojoj tacki 8 odredit cemo pridm7enu

Slika 2.2

tacku B 1 taka da spojnicu BA produiimo do l1jenog presjcb G s pravcem o. Ovoj spojnici je kolinearno pridrnzena spoj­nica CAl, jer je tacka C sarna sebi ptidruzeoa i Da njoj se nal3Zi tacka B I . Omt se nabzi i n:1 spojnici SB, dakle nabzi se u presjeku spojnica GAl i SB. AnaJogoo SU oa slici 2.2 odredeni i osta!i persrcktivno kn1ineami vrhnvi sesterokuf::1.

J mc(tusobno spojeni odreduju perspektivno kolinearan seste-rokUL

2.2. Perspektivna afinost II ravnini

Ako se centar opisane kolineacije uzme u beskonacno dalekoj tacki nivnin·e, onda ce sve zrake kotineacije bit! para!e{ne. Ovakav specijatni slucaj ko[ineacije zove se perspekrivno (~fifJi odl/os iii ({til/iler (sI.2.3).

Defillicija. Perspektivnu koLinea­cija It ramini, kajo) je osa 0 prav({c II

kOIlClcnasti, a srediste S II beskollacno d{J~ feko} wcki rovniHe . .:ove se perspektivnCl aJinosili ral'llini. Slika 2.3

2.2 Perspektivrla afinost u ravnini 9

Kao primjer afinosti mozemo zamisliti trougao u nekoj proizvoljnuj ravnini i njegovu sjenu na hori:wntalnoj ravnini kad paraklnih zraka svjc-tlosti. Pravac svjetlosti je zraka afinosti, a osa afinosli je pravuG po Kum.,; se [e dvije­ravnine sijeku. U nasem slucaju to je prvi trag ravnine u kojaj Se nalazi trongao.

Zadatak. Zadan je praviLan peterokut sa whom A(80,SOj i sredEtem

S( 55,55), zwim osa afinosti 0 "'" I'v1N[iVl( 30,130 ),N(130, 70)). Nacrtati perspektivna afini peterokut, akaje Al na zraci ~:4 izme(tu S i () (si. 2. 4)

Slika 2.4

Zadatak. ZadallL1 je kruznica k sa sredistem S(40.45) i tackom A (75, 40), zatim osa aji"nosti 0" MN[M(10,120),N(90.75)]. Tat._~ki A odabrana je pridruiena tacka Ad85,50). Nacrtati perspek­tivno ajll1u krivulju k, (.'11.2.5).

R j e sen j e: ~~d zraci SA odabrana je tacka. A.I kao pridruzena lacki A. Bi!o tacki E odredit cemo pridruzenu tacku EJ tako da spojnicu EA produzimo do njenog sjecisla F '; pravcem o. Ovoj spojnici j(': arioo pridruzena spojnica FA f jer je tacka F sama sebi pridruzell!:l i l1a njoj St nalazi tacka E! u prcsjcLu sa zrakom atll10sn ,1Z WCKe E. Analogno su na slici 2."\ oclre­deni i ostali perspekliv!1o arilli vrhovi pererokuw., a· IDc;Jusobnu spojeni odreouiu pl:':rSpckli\'I\C; afini peterokUL

Slika 2.5

Page 10: Nacrtna geometrija

R j e sen j e: Kruznica k je podijeljena na proizvoljan braj dijelova jz

lac8ka povlacimo zrake afinosti paraielno zraku AA j •

03 bismo odredili perspektivno aEnu knvulju kit postupak rjdenja dlnlu\2:cm ie kao.u prethodnom zadatku.

~ l(od ovog zadatka je pravi primjer iz koga se vidi da se precnici 1;Pl:7.11ice /\l3 i CD preslikavaju u konjugirane precnike dipse A/Br i C,D;.

23. Zadaci za rjesavanje

L Zadan je is\oslrani Irokut ABC, kome je srediste opisane kruznice S(65.50}, vrh

i( !(l(/7{)} i osa afinosti 0 E MN[AH 10.75). N( 12(),J:W)/. Nacrtati perspekLiYno afini

!r.,klltA;RiC}. <lKojeA,(lOO,90). '

2. Zao,1ll je pravilan cctverokut ABCD kome je srediSte opisane kr'.lznice O(60.80J j

\-I'll A(l5.851. srediste kolineacije S=O i osa ko!ineacije 0 "" MN[M(20.f65J. i'H145.(5)j. Odnbrnti Ai na zrnci SA izmedu S i Ai nacrtati perspektivno kolineantn

~'~'(\'Crok\Jt AJJ;Cr!.J,.

3. L:lckl!l ie pruvilan cClvcrokut ABeD, kome je sTediste opisane kmznicc 0(65,75) i I'j) "1!~/{).(j17i. ~l<:t.lisk S(55AO) ; l;sa ko!ine::lcij;:; ,) := KL[K(!O,45), L(!?5,2fl .. I}.

(l,i;)hqli AI n<\ lfaci SA. i7.1uel'lH t·; i A i !1tlCrt<lti persp>eKti-vno kolinearan CClvcrokut

'l,BiCDr.

..t. (leL.1Il ic pravilan pcterokut ABeDE, kome je srcdiste opisanc kruznice 0(65,100) i ,rh .·\i·~'f.O, :"0 i. ;:~llill1 ,:;redistc S(S5. HI,' : 8S~ kcdinc~lCij,~ n ~ PR[pn"i /(JI R( 1 '{() .. <;;()J I. Odahl"()ti (I· na Zf<Kl ,')'A izmedu S i A i nacrtati pe~spektivno kolinearan petero~ut ·\.j},C D)~

5, l.:l(\'!P je pl"(lvilnn peterokut ABCDE, sa vrhom A( } 5,65} i sredistem kruznice 0(50,55) npis<lne oko peterokuta. za!im <;rediste S:::: 0 i osa kolineacije ,) ~ \(.\,'rU(r)Ji,5.l, N(J35,;O)). Odabrati /l, na zraci SA izmcdu S i A i nacrtati

pCi'''peKti\"fll' koiineaqn peterokut /\}B,C"D/E j •

0< "·Id:ln.it' rnl\'ilan sesterokut lInCDEF, kame je dijagonala ADIA( ]00,60), D(20,55)]

I C!<::a ~ll"inos\i 0 =" iH:\,{M(O,J20), :V(135,55)J. Nacrtati perspekllvno afini sesterokut

\;lJ:C ',Ji:F IF:. :1ko jc. it. l J(J5,65},

7:- !~in je rrw ibn sesterokill 4BCDEF, kome je dijagonala ADIA(25.135J,

D/95.JOO)j, sredi.i3te S(85,20) i asa kolineacije () =0 PR[P(20,55). }?(Jj5.85J). Oci:lh'di! .. \, ru If;1ci )'.'\ izmCGll S i f.' i nacr\a\i perspektivno kolinearan sesrerokut

I,D/COiE/FI.

---r-----------

2.3 Zadaci ;::0 r)e.~avanj(' 11

8. Zadan je pravilan scdmerokut sa sredistem O( 110,125) i vrbom A(90, 90), zatim Gsa kollneacije 0 "" A4N[M(lO.75), N(l40,1O)J i srediste kolineacije S(70,65), Odabrati A F na zmci SA izmeou S i A. udaljenoj 25 mm ad S i nacrtati perspeklivllo kolinearan scdlllcrokut.

9. Zadan je pravilan sedmerokut sa vrhom A(80.95} i sreclistern S(60,60}, zatim asa nfjnosti 0 "" MN[1vU.lO.1(5), N(160,lJO)]. Nacrtati perspeklivno afini sedmerokuc ako je A; 113 zr:tci SA. izmcdu A i 0, udaljcnoj I () mm od A.

10, ZGd"na je kruinica k sa srcdiMem S(70, 120) i tackom ,4(65.80), zatim osa afinos!i

o E MN(M(25,25), N( /40,60)j. Tacki A odabranajc pridruzcna tacka Ad60,60). Nacrtflti perspektivno afinu krivulju le!.

11. ZadanCl ic kn!7,nica k S<l sredistem S(55.60i i tackom A(60,J()0), zatim osa afinosli (! 2 KL/K(2U,125). L( f .15.15 ) 1. Tacki A odabrana je pridruzcna tacka Af( SO, 1<1-0). Nacrtari j,crspektivno nfinu kl"ivulju 1<1·

12. Zadana ic kf\1~nica k sa .,rcdistem O(50,5()) i fackom A(85,45), zatim osa o ,\1i\J{M{35.160j. N( 145,75) / i sredistc \':olincacije S( } 35.135), Odab[<ui A/ na uaci SA izmcdu S i o. a zatim nacrtati perspeklivno kolillearnu krivulju k/,

13, Zadanfl jc knrznica k: sa sredistem 0(75, ]25) i tackom A(60.90). zatim srediste S(80.45') i osa kolincacije 0 0. AIN[Al(20...f.5), N( 1 40,J 0)). Odabrati AI na zfnci SA i.Wi<:t1U S I A j ;1tlCll(.lli p.:rsp.cJ...tiYIJ0 kolincarnu ~~ri\"n!jl1 ,(',

14. ZJ.dann j8 kruznica k sa sredistem 5(95.85) i lackoll1 :"1.(60.90). za!im osa arinosti u =. [,RtPt ,'0, -:_~ j" R(,' :',:.,' OJ]. 'TJcki . \ :")d3rnllJ]c ;::,ridru7cna tncb "',( "n 8m

0iacrtati pcrspektivno arinu krivulju /':/.

Page 11: Nacrtna geometrija

3. Krivulje drugog reda

3.1. EIipsa

Dejinicija. Elipsa je geometrijsko mjesto tacaka u ravnini kojima je zhir IIdab"enosti od dviju jiksnih tacaka te ravnine konstantal1. Fiksne tacke F; i F) nazivaju se iarista Hi fokllSi elipse. Udaljenost pojedinih tacaka T elipse o(f iarista su radij-vektori rl i r2. Konstantan zbir radij-vektora jednak je duzini velike ose elipse: rl + r2 ~ 2a :::: d(A,B).

Elipsa ima dvije ose sirnetrije. Duzina AB je velika, a duzina CD je lIlala osa elipse. Tacke ,4, B, C i D su vrhovi iIi tjemena dipse, a tacka 0 je njeno srediste. Duzina OF, :::: OF2 :::0: e je lineami ekscentricitet elipse.

3.1.1. Konstrukcija eUpse pomocu :iariSta

Na shei 3.1 prikazana je konstrukcija elipse pomocu zarista. Zadana je velika asa AB ;:::: 2a i mala Gsa CD :::: 2h elipse. Tacka () Je srediste ehpse. Radij­-vektori tjemena C iednaki su polovini vel ike ose elipse, gdje je

CF; ~CF2 ~!...AB~a. 2

Ako u sestar uzrnemo duzinu (I

sijece osu AB u foJeusima FJ i Fl' i oko tacke C opisemo lnk k, taj Ink

Na velikaj asi, izmedu tacaka o i F2 , odaberemo bila koje tacke 1, 2 i 3. Uzme Ii se u sestar duzina poluprecnika A2 i oka zarista FJ opise !uk iznad i ispod ose AS, a s po!u­precnikom B2 luk iz zarista Fi takode iznad i ispod ose AB. Ta dva luka sijeku se u tackama T i T J koje leie na dipsi. Ako· aka Fz opisemo luk polu­prccnika A2, a aka FJ luk poluprec­nika E2, oba luka se sijeku, takoac, U

dvije tacke koje leze na elipsi.

o

Stika 3.1

n

______________ -"-3."-.1 Etipsa L-l

Aka oko F J i Fz opisemo lukove poluprccnika A1 i Bl, Jobil cemu n\)\"( cetiri tacke elipse. Ponovimo Ii opisival1je lukova novim poluprccnicima A3 i B3 oko fokusa FJ i F2 dobit cemo jos celiri tacke na e1ipsi. Tako dobivene tacke spajamo krivuljarorn i taka dabivamo elipsu.

U tacki T elipse povucena je tangenta t kao simetrala vaojskoi.l_ 112.1a a sto ga zatvaraju radij-vektori rJ i r2_ Normala 11 na tangentu u tacki T dobiv~1a je kao simetrala unutrasnjeg ugh f3 sto ga zatvaraju radij--vektori r/ j 1'2·

3.1.2. Konstrukcija eJipse pomocu koncentricnih krulniea

Zadana je elipsa sa vdikom i rnalom osom A.B i CD. Oko osa opikD1c) koncentricne kruznice k; i k2 (s1.3.2). Aka se elipsi perspektivllo alinD pridl"U!.l kruznica k, s precnikom AS, tada je AB -= o} osa [c afinosti. a l.rake afino'>Li parale!ne su s precnikom CD. Analogno, ako se zadanoj clips! perspektiv\1o afino pridruzi kruznica kz s precnikom CD, tada .ie CD -= 02 osa rc afinosIl, J

zrake afinosti paralelne su s precnikam AB. Maze se dokazati da .ie

nekom pravcu p eJipse, koji prolazi sredistem 0 i jednom i drugom perspektivnom afinasri pridmzen isti pravac P J ~ p], koji kruinteu k j sijece lJ tackama T/,Gj, a kruinicu k2 u mckama Tb G 2• Tackuma T1,T2, kojima pripada pravac Ph Pz, U obje afinost! pridnliena je tacka T pravca p,. a tackama Gj , G2 kojima pripada pravac P]' P2 pridruzena je rack a C pravca p.

Zadanirn iE proizvoljnim pravcima konstruisu se astale

A

SliIca 3.2

tacke elipse koje $1..1 perspektivno afino pridruzene presjecima tib pr~l\~k~t :~

kntinicama kJ i k2_ Kaka su kmznica i elipsa dvije anne krivulj(3 kod kujih jc os;:\ AB OSa afinosti, anda tangenta t} kruznice kJ 1..1 tack! T! sijece asu atlnosti u tacki K. Afino pridruzen pravac ovoj langenti bit ce tangenta t dipse u taZ:ki T, koja je afino pridruzena ta6ki 1'1. Spojnica KTje, prema tome, tangenta r e!ipse 11 tacki T

Page 12: Nacrtna geometrija

3.1.3. KOlls(rukcija elipse pomocu konjugiranih precnika

Na slici 3.3 priblzana je eJipse POlllOCll ko­

njugiranih precnika. Konjugi­ranim precnicima JIN i PR kon­'~\ruj<t'rnn panlelogram ABCD knme su stranice paralelne s l'rccnicimfl MNi PRo

T;,cbma 1. II, m. it, podijelirno duiine na isti

jcdllakih dijclova, npr. cetiri j,'rln~~ka dijela. Spajanjcm tacaka, npc /e1 sa If i N sa 2, dobiveni su pralJci u cijcm prcsjcku je tack a T loja je na elipsi. Tako su dobi­\'cne i ostelle tacke elipse, koje sf';ljarnn krivllijarom.

A

o

, r

B

Slika 3.3

3,1.4. Konstrukcija elipse pomocu lukova zakrivljenosti

'\a slici 3.4 prikazana je konstrukcija elipse pomocu lukova zakrivlje-11Vi[1 u njenim tjemenima. Zadane su ose elipse AB = 2a i CD :::: 2b. Nacrta se .,.-' ""'i'::-~lnnik nrEH i i7 tncke F "pusJi oknmicn n8 dijag0nalll Be Ta okomica ,~lJCCC os\: AB \l (,lcki ;\1. a prodllz~ml osu CD u tacki N, gdje je lYlB = r!, a

3;

NC :::: r2. To se vidi iz toga sto se pravDugli trouglovi MBE i BOC podudaraju u dva ugla, dakle slicni SU, pa odatle imamo omjer MB:BE=OC:OIJ iii MB:b=b:a. gdje

proizilazi b'

MB "'" --,= r,. 1z pravo-a '

uglog trougla NCE i aBC na Isti

nacin dobivamo

Slika 3.4 Vidimo, dakle, da su tacke MiN sredisla LakrivUenosti u tjemenima

Ako iz src-dj~(a zakrivljenosti Ai. M;, N i NI kroz vrhove B, A, C i D sa

3.1 Elipsa 15

poiuprecnicima r] :;::: ldB :::::: AJ1A i r2 0:::: NC = N/D opiS-ema lukove 111, 111" niH],

taoa tl lukovi dodiruju tjemena elipse, taka da dio elipse u njenim tjemenima mozemo zamijeniti sa dijelom kru7.nic;l,

Spojimo Ii lukove s krivuljom taka, da se krivulja pomala udaljava ad lukova n i nj j priblizava lukovima 1Il i /Il/, da hi potpuno presla u te lukove, nnda taka nastalu krivnlju nazivamo elipsom pomocn lukova zakriyljenosti.

3.1.5. Rytzova konstrukcija cUpse

Na slici 3.5 prikazana je konstrukcija eJipse iz zadanih konjugiranih precnik3 MN j PR, Na preenik A1N u simetralnoj tacki 0 povuee se okomica poluprecnika OM, orise polukrug i dobije tacka G, Spajanjem tacaka G i P dobivenje pravac. a zatim se odredi simetrala duii GP u tack! E.

M

STika 3.5

Poluprecnikom r ;;;:: OE lz tacke E apise se polukrug koji sijece pravac GP u tackama K i L Tackama KO i LO povuku se pravci koj i 5U medu sobom okomiti, a- na kojima jete ose elipse. Kako je GK =: a i GL = b, te se duzinc prenesu !1a pravce iz tacke 0, pa im<lmo OA=OB=GJ(=a i OC=OD=GL=b. Taka <:u dohivene velika AR=2n i mala CD"",2h 05a elipse zadane konjugiranim prec~

;1icima. Elipsa se erta ila p02nati :1aCin

3.1.6. KOllstrukc\ja male ose e!ipse \ ,

Zadana .ie velika osa AB=2a j

tacka T elipse. U simetralnoj tacki ose 0 po\'ucena je oko1111ca fla njlL Pohlprecnikom OA=OBz:::::a iz tackc T opise se luk k. koji sijece okomicu u tackam8 M j N. Pr<lyci AiT j NT sijeku osu AB u tackarna K i L Duzina Tl<::::.T[,-::o:D odreduje po!uosu, a mala osa elipse je CD-::o:2b (s1.3.6). Slika 3.6

Page 13: Nacrtna geometrija

16 3, Krivulje drugog reda

3.2. Hiperbo\a

Definicija. Hiperbola je geometrijsko mjesto tacaka u ravnilli za koje je vrijednost razlike udaljenosti od dvljll fiksnih ta(akd te ravnine konsranrna. Fiksne tacke F, i F] nazivaju se iari§ta iIi jokusi hiperbole. Uda!jenosti pojedinih tacaka T hiperbole od zarista su radlj·vektori r, i r2, a konstantna vrijednost razlike udaljenosti jednaka je dulini glavne iIi realne ose hjperbole: rrr?=2a=d(A,B). Oruga osa hiperbole je sporedna iIi imaginarna osa, jer su njeni presjeci s hiperbolom konjugirano imaginami. Duzina OF,=OF]o;:::;e je linearni ekscentricitet hiperbole.

Konstrukcija hiperbole. Zadanaje glavnu osa hiperbole d(A,B)=2a=40 i Iineami ekscentricitet e=35. Duline realne i imaginarne poluose, te linearnog ekscentriciteta hiperbole, povezuje relacija a2+b2=/, koja omogu6uje konstmk­ciju imaginame ose hiperbole.

Povucimo pravac AB i pravac CD .1. AB (5\.3.7), le oznacimo OA=OB=a i OF]=OF2=e. Na pravcll AB, desno od t1 odaberemo bila koje tacke J i 2. Uzmirno u sestar duzinu Ai, pa tim poluprecnikom oko F] kao sredista, opisimo luk iznad i ispad ose AB, a poluprecnikom Bl luk iz zarista FJ, takode iznad, i ispod ose AB. Ta ce se dva iuka sjeci u tackama T i I1> koje leie na hiperboli. Ako oko F2 opisemo luk poluprecnika Ai, a oko F, luk po!uprecnika B 1, oba luka ce $e sje6i, takode, u dvije tacke koje Ide na hiperboli, jer za svaku njeou tacku vrijedi isto kao npr. za (acku T, gdje je TFr TF,;AI-El ;AB;2a. Pomoc:u tacke 2 na osi AB do bit cerna, analogno, jos cetiri nove tacke hiperbok Opisu li se aka tacaka PI i Fl lukovi poluprecnika AF2 i BF], dobiju se tacke A i B koje takode leze na hiperboii. 1z konstrukcije hiperbole vidi

Slika 3.7

IF,

/

se da je simetricna s obzirom na ose AB i CD. Krivulja ima dvije grane, a tacke A i B su joj rjemena iE vrhovi.

Tangente krivulje u njenim neizmjemo da!ekim rackama nazivaju se asimplate hiperboie. Kako je hiperbola krivuJja s dvijc neizmjerno daleke tacke, ima civije asimptote 111; i 1112. One se konstruisu lao dijagonale pravougaonika sa stranicama 2a, 2b I sredistem u tacki O. Zakrivljenost hiperbolc u njenim

33 Parabola 17

tjemenima dobijemo na stijedeCi nacin: ako se iz vrhova pravougaonika podignu okomice na asimptote koje njima proiaze, te s njima presijece realna OS3

hiperbole, dobiju se sredista zakrivljenosti SI i 52 u tjemcnimaA i B biperbole, U tacki T hiperbole konstriJisana je tangenta t kao simetrala unutrasnjeg

ugla a sto ga zatvaraju radij-vektori I"J i r2_ Normala n, koja je u tacki T okomita ua tangentu, je normala hiperbole u tacki T, koja jc dobivcna kao simetrala vanjskog ugla {3 5tO ga zatvaraju radij-vektori rl i rz·

3.3. Parabola

Definicija. Parabola je gearnetrijsko fJ'U'es[O ta("{aka u ravnin[ su jednako udaljene od jednogfiksnog pravca i jedne jiksne taike te ravnine. Fiksn) pravac d naziva se ra.vnalicom iIi direktrisom parabole, a fiksna tacka F iaiBtern iii jokusom parabole.

Konstrukcija parabole. Zadana je direktrisa d i zarisle F [3.ko eta je d(F.d) ; p; 30.

Tackom F povtlcen je pravac FO okomito na direktrisu ii, koju un sijGcc u tacki 0 (s1.3.8). Na pravcu je proizvoljno odabrana tacka D U kojoj je povucena okomica na OF. Uzme li se u Sestar duzina OD i ako F apise luk. on okomicu u D sijece u tackama TiT}. Te tackc leze na paraboii, jcr aka se povuce TB ..:... d, onda je lik OETD pravougli, pa je TE;OD, a du­zine TF-=.OD i TB:::::.TF. Prema tome, tacka T je jednako udaljena od pravca d i tacke F. Os tale tacke parabole dobit cerno analagno, ako na osi uzmemo bila koje tacke 1,2, . Tacka A je tjerne parabole, a leZi u simet­ralnoj tacki duline OF. Duzine TB:::::.TF=r nazivaju se radij-vektari. Iz konstrukcije paraboJe se vidi da je ona simetricna s obzirom na osu OF.

;; I 0 A

Slika 3.8

U tacki T para bole konstruisana je tangenta t kao simetrala ugla ex zatvaraju duzine TE i TF. Kako je tangenta simetrala duzine BF, una ill duzinu palovi u tacki C i stoji na njoj okarnit.o.

Kako je tjeme A srediste duzine OF, a tacka C srediste duiine HF. to it duzina AC paralelna direktrisi i cini tangentu parabole II tjemenll A.

Page 14: Nacrtna geometrija

l s _____ .. __ ._ ... ___ L. KrivlIlje dmgog reda

Zakrivljenost u tjemenu parabole odredl~e se tako da za svaku tacku T, ma kako bila blizu tjemena A, vrijedi MF = PN, te ce i u granicnom polozaju, kad;) T padne u A, biti AF :::: FS, pa je S srediste zakrivljeno!';ti u tjemenu A. ~lorrn~b 11, h,ja:je II tach T okomita na tangentu, je nOlmala parabole u tacki 7: a dobivenn je kao simetrala ugla f3 Hi apisivanjem luka poluprecnika FT ako F kroz tacku T koji sijece aSU parabole u tackama MiN. Otuda je pravac MT !:.lng'-'.'PUL ,1 .. \'T l10rmala parabole.

3A. Zadaci Z3 rjcsavanje

L :--i;;( r):)!i eiipSll kt.joj .ic ,'e1ika osa na pravcu p 20 A/l!f[A(20,60), l'd( 140.60)j. ,iedna r]Gllle .u tacki /-L osa ABc;;;;JOO i jedna tacka dirse T( 100,30). U tacki T povuci t:lngenlll i normnju clipse

2. GaCI'l<\ti elipsu kojoj je mala osa na pravcu p "" CN[080.30), N(50,120)), jedno ljcrnc \l tacki C. osa CD-;:;:.70 i jedna tatka C!ipse T( 105,45). 1) tacki T povuci t:J.T1gcnl'cl i normaiu eiipse.

J. "?'JantZlti elip:;u pomocu Zarista. kojoj je velika osa na pravcu p E AL{A(20.50), I (_I N).l(]{) I r _iedno tjC111C u tacki A. a=50. e=35. Tz tacke T( I 50. 90) povuCi tangentn :1Cl eiipsu,.,\ norrnaJe u dodirnim tatkama.

. !, "-Jacrlati elipsu n01llocu zari.~ta P,(30,7G). FJ90Ao) i tangenre t E il,IN[M(60.100i,

.V( 140.4(n]. t;- dodirnoj tacki povuti normalu elipse.

5. '.j;,crlati eiipsll po moen kotlcentricnih krugova kojoj je velika osa na praveu

p 2 KF.[I«40,55J. F;(90,80n. ako je F] jedno zariste i langenta t'S TL[T(85.40),

!/ i-tn,80)f S'J dodimom tachlln T.

6, >;i1crwti -dipsu pornocu hrista F,.(45.70), ljemena C(90,55) i ekscentriciteta e=35.

p(-'\'uc~i t<lngente elipse koje su paralelnc s pravccm p E /HN[M(30,35), N(135,17.5)l i n0lTDC1ic u dodirnim tacbma.

"" "\;: cr\<lti e-lipsu kojoj je z.adana velika osa na pravcu p "" F1G{F j (65,65}, Gr !.~'n. /(J(}l j. aka je Pj zarisle, rl tangente (} 20 AIN[M{25.55), N(105.30) J i f~ =: r!\ fJ'(25, !OJ. R(J05. J 35)1. U dodirnim tackama povuci Ilonnale elipse.

.). :"-ifl(,Tulti C!ipsu f'omocH zarist(! F.'(4(J,90), tjemena C(35,.z5) i ekscentricitetn e=35. L ;'mizv()ljn0j tacki povuCi tangentu ; normalll dipse.

3.4 Z.adaci za rjeSavQnje 19

9. 'Nacrtati e1ipsu pomocu koncentricnih knlgova kojoj je velika osa na praveu

p ~ MN{il,1(25.125). N(]40, IOn tjcme u tacki C(50,40), a tacka elipse 1'(90,20). U tacki Tpovuci tangentu j normalu elipse.

10. :--.Jacrtati clipSll pomocu tukovCl zakrivljcnosli kOjoj su z.ariSta FtC 40.80), FllOO,j 10)

i langenta t 0= PR[P(70.50), R(l50,l1O)].1J dodirnoj tacki povuCi normalu elipse.

.z@Nacdati elipsu kojoj j~'~ellka osa paralclna apscisi. srediSte u tacki S(60AO), a=50 i ---' b=30. Po\.'u(~i tangente elipse okol1lito i paralclno pravcu p :;0: KL{K(70.100).

U 15(),30)]. U q9dirnim tackarna poyuCi 110nnalc elipse.

12. ;0acrt<1ti C\ipsu pomocu Rytzove konstrukcije kojoj Sll spregnuti precnici MNo:::.90 na

pravcu l' "'- JfLUd(20.80). L(120,80J/ i PR:::.70, a ugao medu njima jc 120". U proizvoUnoj lacki povuCi langentll na elipstl.

lJ. Nacrtati eJipsu pomocll koncentricnih krugova kojoj je velika osa na.pravcu

p -= LS[I.( 20.70). S( 115.70)] sa sredistell1 \l tacki S, ako je a=50 i e=35. Iz tacke n 10.30,! povuci tangentc na elipsu. a nprmaJc u dodirnim tackama.

14. Nacrlati dipSll kojoj je velika osa na pravcll p 2 PS(P(O,50}, S(60,50)], srediste u tacki 5, akoje d=55 i b=35 12 tach T(J40.70,1 povuCi tangellte na clipsu. a oom1ale u dodimim tackama.

15. ~";dcflc11i clipsu pomocu iuko'.'(\ zakri\'ljenosti u njcnim tjemenimfl, cijaje velikn o<;a

fla pravcu p ""' tHi\'{AhOJO), ,\I(130,30)J, sa :"reJistem u tacki S(65,50), <1=45 i c=35. !z iacke T(140.40) povuci tnngcnte na clipsu,:l normalc u dodirnim tackama .

16. Nacnali 11iperbolu kojoj jt: zadana realna osa na pravcu p =: GfI{G( 10.120), ,'[; ,. _~C;.HJ i /. ,;;.imptdtJ ,ii, := ,\f.Vr1J( ; C,3~<:;. ,\'{ J Y1,90) J i (,=4n II pr0i7 1'01jn0j lacki 1'0\,H(:1 tangentu i normalu hiperbo!e.

17. Nacrtati hipcrbolu kojojjc zauana rcaloa osa na pravcu p =: AE{A(50,90), £(110,90)/ i ekscentricilet c:::o36. aka jc tjerne u tacki A. 1z: tacke T(80,50) povuCi tangente na hiperbolu, odredlti dodirnc laCke I poYuCi nonnaJe hiperbole u tim tackama.

18. Zadnna Sll 7:arista F/20.70) i r2( 100.70) i ekscentricitet e=40. Nacrtati hiperbolu i preko tatkc ,\1( I 15, (0) odrcditi tacku T u kojoj treba povue! tangenlu i normalu

hiperbole.

19. Nacrtati hiperbo]u kojoj je zadano z.ariStc Fj/90.100). tangentc t, E GH[G( lOA5). FI( 105.80)} i t] '= KL[K(25. 90), L( 135,30}} i dodirnCl tack<! T( 135.~) .

20. ~acrt<lti hipcrboiu kOJOj jc zarisle Fll ,<0,60 J. tacke hiperbolc AU 1 ]O.} 20). ,\'(95.50) ; roluosa 11=15. U t'foizvoljnoj facki povuci tangentu.

Page 15: Nacrtna geometrija

~_ 3. KL~~!!.,IJ,::e-,(-:I,",,,;>g'C0g'-'.,-:-e,::-h,-' ~~~~~~~_ ~--

'21}.,lNacrtati hiperbolu kojaj su asimptote In "" GHrG( 1O,20),H( 130.100)], ("":

n;;;; KL[K(20,105), L{ 130,40)) i poluosa a=25. U jednoj taeki povuci tangentu i normalu hiperbo!e.

22. Nacrtati hiperbolu kojoj je poluosa 6-::::.3D i ekscentricitet e-::::.4D. U jednoj tacki povuei tangentu i normalu hiperbole.

23. Nacrtati hipcrbo!u kojaj su z,arista F;(60,60), FA 150.60) i taeka hiperbolc 1'(80.90.). U jednoj tacki povuei tangentu i normalu hiperbole.

24. Nacrtati istostranu hiperbolu kojoj je z8dana poluosa a=-20. U jednuj weli krivl.ltjc pavuci [angentu i norma!u,

25. Zadana je osa paraboJe 0 E ABlA(50,7D), B( 120,70)) i tangcnta [ := i1,LV{M( 30,65), N( 1 J 5,0)). Nacrtati parabolu ako jc njeno tjcme u lacki A.

26. Nacrtati parabolu kojoj je :ladana zarisle F(65.65) i tangenta I NT[N(30,60j, T( 80,25)j,Jlko je njeno diraliste u taeki T.

27. Zadana je direktrisa d!E MN{M(30,20), N(30,120J], osa pambole 0 "" PR{Pto.7rJl. R(l20,70)) i-lacka parabole 1'(75,30). Nacrtati parabolu, konstruisati taflgelltu !

nannalu parabole u taeki T.

28. Zadane su dvije laeke na paraboli 1'd1Oo.,125) i TA85,:?5) koje su diralista dvije rangente. Nacrtati parabolu i konstruisati tangente u dodirnim tackama, dku j.: poznata direktrisa d;;E MN[lvl(35,lo.), :V( 35, I I()}}

Z9. -:iacrtati parnbolu kojoj je zadano zariste F(75.7f/\ ; t,mgenta ' s; GH!F;( It) 3()i

H( 85,45)) sa diratistem u tacki T( 115,-).

30. Nacrtnli parabolll kojoj je zadano: tangenta t '= PR{P(O,O). R( 30,70!}, zsriste F(60.40) j parametar p=30.

31. Nacrtati parabolu kojoj je zadana osa na pravcu p ~ GH{C(O,50),fl( f20.50)) tangenta!:= RT{R(O,45), T(95,90)), ako je diraliste tangcnte u mcki T.

<?--" .. /'32)Nacrtati parabolu kojoj je zadano zariste F(70,60), tangenta t := GH{G(20,45), ~/ H( 125,25)] i taeka parabole T(9/Y,JOO).

33. Nacrtati purabolll kojoj je osa na pravcu p = GH[G(O,60), H(150,60)j, zariste u tacki F(90,60) j par:lmetar p-::::.4D. Iz taeke T(10,80) POVliC] tangente nn parabolll i ,)(!rediti dodime tacke.

3ot. Nacrtati parabolu kojoj je zadano ZariSle F(70,70) i tacka 0(35,70), OF=p. 1z taeke Tf5,75) povlici tangcnte na parabolu i odrcditi dodime tacke.

4. Tacke, pravci i ravnine

4.1. Proje\{cija tacke

4.1.1. Ravnine projekcija

Ako zelimo jednu tacku u prostoru prikazati projekr.:ijom sarno nu jedrlll ravninu, vidjecemo da.tacka time nije adrea-ena, jer nedostaje udaijctlOSI tacke od te ravnine. Da bismo jednu tacku potpuno odrcdlli, potrebno je imat! jos jednu ravninu, jer sarno dvije projekcije jedne tacke odreLtL(ju potpuna p%zaj te tacke tI prostoru. Obieno se uzirna da je jedna ravnina 1I horizontal nom, a dlllga u vertikalnam polozaju (s1.4.1).

II

/

III

Slika 4.1

I

IV

Horizontalnu ravnina sc­oznacava sa 'lrl i naziva :it: hori­zontafna ili prva r{ll'nina ('ije. Vertikalna ravnina sc ozna­cava sa 1[1 i nazi va Se l."t;nikofn:/ ili dnlga ravniHCl projekcije. Pres­jecnica ovih dviju ravnina naziva st Gsa Y ; 0:znacav8 "H \ Pm"

jekcija preclmeta rw fCj lUl.i\'Q se prva projekclja ill rIoert, a pro­

jekciju nu /[2 nazi va :sc Jrug([

projekclja iii IWcr! tog prc'Jmem. Ako prelposL<Jvimo cia su

ravnine neogranlcene, onda ,lUc

dijele prostor nD. cetir; JijdD., se nazivaju kvadranri. l(vadro.ntJ

se oznacavaju rimskim brojevima: 1, II, III i IV. Uzima se da 3D

prednji dio ravnine 7[1 i gomji din

ravninc ;T;: poziti\·ni.

Page 16: Nacrtna geometrija

4. Tacke, pravci i ravnine ___________ _

4.1..2. Projiciranje lacke

Aka iz 18cke A povucemo okomicu oa J[, omla je Doz,iste A' te okomice prva projekclja tacke A. AnaJogno tome, noziste okomice Air nn n;; predstavlja

drugu projckciju tacke A (51.42).

y

I 'A'

b)

Slika 4.2

1z sli-ke vidimo da je tacka udaljena od 7[1 toliko, koliko je ojena druga

projekcija udaljen3. od Dse .t, 3. ()d !r; toliko. koliko je 'ljena prva projekcija udaljcna-od ose x. Ako se J[j prcklopi oko ose xu praveu strelica, kao flU slici -1.2, u produj;e!~ju iT] ispud I)se x, umla A/I" u,sl;~e rid :::.vum mjestu, dok ,-\' vpisuje cclvrtinll kruznice i doJazi u n> Sada su obje projekcione ravnine n, i 1C2, te obje projek.;::jie tacke A' j A." sjedinjene u 1C2 U kojaj pravac A'A" nazivamo

i)rriirw!()!11. Na slici 4.2b nacrtane S1.1 projekcije tacke A(Ar, A

H

).

-4.1.3. Tacke u kvadrantima

Na sliei 4.J prikazane 5U tackc A. B, C i D j njihoyc projekcije, ako su ,we tacke u r, 11, rn i IV kvadrantu. Prcdnji dio ravnine 1[1 prc!ozimo oko ose x preHlJ dolje, duk slraznji dio ravlline Jrj pokrivu tada gornji diD ravnine n]. pri '.";;mll :.lzimamo dZl se rrr\'nina 7[2 poklJpa sa ravninom aIda ili slike (sI.4.3ri).

I .-

4.1 Projekczja tacke 23

1z slike 4.3b, na kojoj su nacr!.ane projekcije tacaka A, B, C i D, mozemo

zaKijucili slijedcce:

a. Kadje {(lC/W u I kvadrall{u, andaje p'Ta projekcUa ispod, a druga iznad ose

x IA).

U. Kad jc tadka u !I k,.'adrantu, onda su ohJe projekcije iZl/ad ase x (B). c. }(adje FaL'/W U 111 J,.'-vadranlU, ondajc prva projeKClju iZlltld, u Jruga ispo.1

ose x (C). d. Kad je fodm u II/ k,:adrantu. of/da SLl abje projeJecije ispad ose x (0).

4.1.4. Koorciinate taeke

Puce-tna lacka, iE islwdi.fte 0 (s1.4.2b), uzima se bilo gdje na 05i x, pa se SCI .Y oznncava udaljenost ordinale od te tacke. Ta se udaljenost naziva apscisa (x). Lldaljenost tacke u prostoru od 7r), koja se vidi kaa udaljenost prve projek~i.ie od ose x naziva se ordinma (yj. Udaljenost tacke u prostoru od n/, koja se vidi kao udaljcnost uruge projekcije od ose x naziva se aplikara (::J. Apscisa, ordinata i aplikala, llJzivaju sc zajednickim imcnom koordillote.

Page 17: Nacrtna geometrija

=2~4,-__________ ~4. Tacke, pra\'{.'i i rllvnin"

4.2. Dva pravca

Dva pravca u prostoru mogu bit! rnedusobno paralelni, mogu S~ sjeci i mogu se mimoijaziti.

4.2.1. Paralelni pravci

Aka su dva pravea meJlIsobno parole/na, undL! Sli mcdllsobllo pdrulelne i istoimel1e projekC/je fili pravaca.

Na s!ici 4.4 prikazana su dva pamlelna pravca {[ j b i oznuCellCl su

njihova probodista A;,A] i B},ih Prva projicirajuca ravnina pravca at tj. A2 /\;.41 ,

paralelna je s prvol1l projicirajucom ravninon~ pravca b, lj. !32B;B/ i one sijeku

ravninu doena u pravcima a f i b', koji su lukodc mcc1u sobom paralclni.

b"

x 8 11i I'

/

Slika 4A

Analogno tome, druga projicirajuca ravnina pnw(:;:l -:I, tj. A:A!A;,

pam!e!na je s drugom projicirajucom ravllinom pravca b, [j. B]B{B; i one sijeku

ravninu nacna u pravcima a" i !/', koji su meal! sobom paralelni. Pry.: i druge projekcije paralelnih pravaca mogu pusli II isti pravuc, J. rnogu sc fcducinri u

dvije tacke, ako su oba pravca okomita na Jrj iii J[,. N:l slici 4.4b nacrune su projekcije ((all i 1/,&" pravacu a i b koji su para!dnl.

4.? Dva pravca

4.2.2. Pravci se sijeku

Aka se dva pmvca /.I proslOru s(jeku, om/a illl prt!Jjt'ci pHi!! i ,/n(siJ!

prajekcija lef.e It iSla} ordinali. Na slici 4.5 prikazana su dva pravca a i b koji se sijeku u lucki S. Kako

je tacka S zajednicka za aba pravca, to se u njenom tlocrtu 5,'/ moraju s.ieci tlocrti a' i b' ,a u njenom nacrtu SH moraju sjeei nacrli a'" i H~ prJ.v<lca a i-h.

5"

aJ bJ

Prelaganjern ravnine nacrla oko ose x OLl ravninu llocrfa projekclje ~ 1

S" tacke S moraju biti nn is[oj ordinal!, okomiLOj na OSH x. Samo tlrvt p!'0jekcijc ili samo druge pj'ojekcije dva pravca koji se sijeku mogu pastl U btl P[",[\L\C,-al(u

im c;e nrv'C. odnosno druge ofoiiciraiuce ravnine podudaraju. , Na 51ici 4.5b n;cr~ane su projekcije {((Iff i h',b" prilV~lC;l it 1 SC

sijekll.

4.2.3. Mimoilazni pravci

Aka se pravci ne sijeku, a nisu ni paraldni, onda sc La ,JV~-L PL.'\ '-:" mimoilaze. Na slici 4.6 prikazana su dva mimoiiazna pravca u i h. "!\ljlhuvl Llc)(nl

at i h' sijeku se u tack!, koja je oznacena slovima C/l [)', jer jt 0nJ tl,)c:;-L L,-!~L~

C pravca (/ i tlocrl tacke D pravca h. Tacke C i D su tack...: zakioni;;e 1ih pnw;I'':(l S

obzirom na ravninu tlocrta. Tacka U kojoj se sijcku W1Crt! a" i !f pr:l\'J.cJ. t! ; Ii oznacena je- slovima A" i B", jer je ca tacka nacrt wcke A pravea a 1 113crt racke B pravca h. Tacke A i B su tacke zaklonice tib pravuca s obzirOll1 na f8vninu

naCrla. PrelaganJem ravnine n,-tcrLa oko ose.\. Ita ravnillu i10cml, CC St meck

Page 18: Nacrtna geometrija

4. T(lcke, pmvci i v(/vnine

c;nh)rn 110cni 0' i b', kao i nacrti a# i b#, illlmoilaznih pravaca a i b, ali ta llcce biti na istoj ordinali.

Aka se dva pnn'ca mimoifa:e, presjeci njlhovih projekcija ne ieie na

~rdiJw!i.

I rr2~-- b" 0" On

I all o.

OJ Ie" B e" I I )- x I x

A' I A' q'

B' b' c' £ b'

~"~:- 0' B' Slika 4.6

Na slici -t.6b nacnane $U projekcije ([',a" i o',bl! dva mimoi1azna pravca

tl i b. Tacka D jc u prostoru iznad tRcke C. jer je -[5ffiZtlad e.if, zatc; se tacka C

-if" vick kada pn1VC(" (I i .1-) promatramn ndozgo. nknmito n3 Tf!. Tacka () )e U

~l()crtll -·"ieli, ;} tach! C lle vidi. Tacka B je u prostoru ispred tacke A., jeT je l( ispred /\'. zato se tack a A ne vid], kada promatrnmo pravce a j b sprijeda, ,~,\mito il:J Tacka B se u nac1'tu vidi, J tacb ,\ ne ·:idi.

4.2.4. ProbodiSta i prikloni uglovi pravca

Nu slid 4.7-"prikazan je pravac p koji probada It, u tacki Pr,"a 1[2 U tack] T:lcke n3 pravclJ 11 Kojima taj pravac probada projekcione: ravnine nazivaju se

"i"'Jhodi,ftCi PI"(lVC17 i obiljdcna su S8. P. Po tome da li pravac u toj tach probada Pl-':U. drugll ili tre(~u projekcionu ravninu razlikujemo prvo (PJ), drugo (F'2) ill [reet: probodistc (P;).

Probodiste pravca je tacka koja zajednicki pripada i pravcu j 1'avninl. Prcrna tome, odrcditi probodiste znaci odrediti lacku na pravcu, koja istovre­meno pnr'acia i ravnini koju pravac probada. Svaka tacka na pravcu ima svoj 'hY~r\ 1"1,1 [iocrtu pruVC3. a svoj nacrt na naCrlu pravca. Kada je tacka na pravcu. njcZIli je docrr 11(1 rloerrl/. () !lOcrr na n((crtrl toga pravca.

T'r\'(.' prohodi.'ite P! pravca r je u ;rl. zuto je njegov tlocn P: u istoj tacki.

K~!ko je p, na pravcu [!. mora njegov nacn ~# biti nLl nacrtu p" pravca p. a kako

je Pi U 1[,. njegov nacrt je U osi x. Prema tome, p( mora biti u presjeku nacrta

pravea pI! i ose x.

b)

_ .--i--

40

Slika 4.7

Druga probodi.fte P2 pravca p je 'tl ][2. NJegov nacn p;~ je u istoj l(lcki.

Tlocrt 17; drugog probodista mora biti na tlocnu pI pravca p_ Prema tome, r; je

1.1 presjekutIOCrW p' pravca pI ose x,

Uguo Cti, sto ga rruvac p zatvara S3 svojim tlocrtom 17 love se jJlTi

prikloni ligan, a ugao Ci], sto ga pravac p zalvara sa nacrtom pI!, Love se drugi

prikloni rigC/o pravca p. Sa projekcijama pI i p" pravca p odredicemo priklone

uglove tog pravca preJaganjem prJvouglih troug.lova. ito: prelaganjem trougla PjP~'P2 oko kalcte PiP; U l[! dobicemo II prelozenom po!ozaju tog trougJa pravu

velicinu ugla (/./. Anaiogllo, prelaganjem pmvougJog trougla ~prp2 ako katele

p~ P; u :r? dobicemo pravu veliCinu ugla 0::2. Na slid 4.7h odredene su projekcijc

p 1 pi"l. probodista Pi i P2 sa projekcionim ravninar\-w i prikloni uglovi ex} j a~

prJ\'cap.

Page 19: Nacrtna geometrija

28 4. Tacke, provel i ravlJine

4.3. Ravnina

Tri tacke koje ne leze na jed nom pravcu odreduju ravtlinu, Kakvil goJ bila ravnina, ana ce sjeci jednu od projekcionih ravnina u dog!ednom prostoru. Aka je ravnina 1.1 opstem polozaju, onda ona sijece obadvije projekcione ravnine.

oj

Slika 4.8

Pravci po kojima ravnina presijeca projekcione ravninc lUlLivamo tragovi iii frase.

Prvi trag e, je pravac po kome wvnina E sijece ra\11inu Jrl, a drugi trag

e, .ie pravac po kome ravnina E sijece ravninu IT), TI"agovi rnvnine 0' "ijekn se nil osi x u tacki E::t-(sL4.8r- -

?\.fa ,Iici 4.:;Sh nacrtani <;u trag(wi ('. i e~ qvnlile r

. 4.3.1. Presjek dviju ravnina

Dvije ravnine E i F sijeku se u praVCll p koji sc naziy<-t pre:c,jecllic(! tth dvijL! ravnina. Presjecnica, kao i svaki drugi pravac, odredena jc sa Jvije tacke. Te dvije tacke su probodista Pi i P2 presjecnice p. POSIO presjecnic.a !e±i i u jednoj i U drugoj ravnini, probodistajoj se nalaze n~l presjeku istoil1lenih Iragov(1 till ravnina (51.4.9).

Na slici 4.9b n:lcrtane su projekcije p' j r/ prcsjei':nice p dviju ravnina

EiF.

4, i Ral'ninCl ________ --.:.:..c.==_." __ ., __ ~

bj

\" /J Y~iI

Slika 4.9

4.3.2. Pravac u ravnini

.. E d OJ'J'e'c'e ."ve pravce l.t' ra'v'Jliile, ,pa Ako je pravacp u ravll1m on a on w .,

premaj'OIne i tragove- e; -J e2 Ll __ t~lG-1{an!:r-P/!-p?. Te nic"ki:~ Sll pro_bodislll pn\\-<:J P

s'a nl',,;ninama IT; i 1[2 (5l.4_10)_ Na slie! 4_10b nacrfane su proJdcije !' 1 f)

pravca p u ravnini E. p({n:uc jli->' rm:Jlilli kud su JJl!i probodi.~t[J !f :5toimellil!!

ravnine.

oj bj

f-x

Stika 4.10

Page 20: Nacrtna geometrija

30

4,3.3. Sutrazilice

Pravci neke ravnine, koji su paralelni s jednim njenim tragom nazivaju 5C .mtrainice tc favninc. Pravac ravnine, kojije paralelan s njenim prvim tragom, zove se sutrainica prvog traga (prve. skupine), a onaj, koji je paralelan s njenim drugim tragom, zove se sutrainica drugog traga (druge skupine). Svaka ravnina Ima mnogn sutraznica prvog i sutraznica drugog traga. Na slici 4.11 prikazanaje jcrlna sutrazniC3 m prvog traga ravnine E.

0) [772

I e, I

I

mil : ~ -------'1

I I

Slika 4.1 J

b)

m"

Ex x

Njeno Jrugo probodiste P2 nalazi se na drugom tragu e2 te ravnine. a

lljt;]10 pC'c'o probodi~[e PI =: P; je neizmjerno daJcko na prvom tragu te ravnine.

iJosto Je s-mraz+1-I£+pn paraJelna--s prvlm tragom ej, tj. S Jcdmm pravcem ravnme

",[-, nnc13 ic i ona prmllelna s 1[/, tj. nien Hoeft m' naralelan ie s prvim tragom el, a

njen nacrt m" mora biti parale\an sa osom x. Na slici 4.11 h rijeSen je ovaj zadatak sa zadanom ravninom E( el,e2) i

naqtane projckcije n{ i m" sutrainice III prvog traga te ravmne:--- Povucen je bilo

pra\.'<1(' m; paralel(1n s prvim tragom €! -do prcsjeka sa osom x i odredene

rn-jekcije drugog probodista P1 te slltrazllice. Zatim iz tacke Pi povucemo i'r:.li"(1C m" paralelan sa osom:c Mozemo to rijesiti i obrnutim redom: pOVllcemo bUo koji pravac ,,/' pm-alelan sa osom x do presjeka s drugim tragom e2.

Cldredimo ;;atirn prc1jekcije p.; i P; drugog probodista Pz te sutrainiee. Iz tackc

F'; povllccmo pravac m' paralelno s prYim tragom eJ. Analogno tome, na slicj

:f.. 1 :z prika7an(l je sutrnznica 11(111',11") drugog traga ravnine E. Nacrt /1"

';1!ir:171liCe i) [:>aralelan je s drugirn lragom e], a njen t!ncn 11' mora biti paralelan

sa (ynm y Na s!ici 4.12b nacrlane Sll projekcije /I' i n" sutraznicc II drugog ',':1g] r,l':mne E.

4.3 Ravl1lna 31

b) e,

;~' p'1I

0

_ I X

n'

Ex

Slika4.12

4.3.4. Priklonice i prikloni uglovi ravIline

Pravel ravnine E, okomiti na prvl c, iii drugi el trag te ravnine, nazivaju se priklonice prO/og traga (prve skuprne), odnosno priklullice drugog traga (drllge skupine). Svaka_ravnina ima mnogo priklonica prve i druge skupine, a sve su priklonice iste skupine medu sobom parale!ne. Na slici 4.13 pribTzana je ~ ravnina 1(, i ravninn E. U ravnini E odabrana je tack a A i povucena prikionica p oKomito na prvi trag eI ravnine E, odnosno odredene projekcije A' j p' tacke A I

priktonice p na ravninu 1[j.

Kako je priklonica p I1Komita

na prvi trag e f, a posto se trag e, nalazi -

Ll flit pravi ugau I'pej) projicira se i1n nJ kao pravi ugao (pIe,). projekciia~_

_l2Ij ~0!~E£~;~~lJrijtl~~;i(!:"hJi{.hsl1!Ji1f!,:-~4~-, ~tag ravI11ue. Vidimo, tikone, da su prikio-

--'ni6;-pi sutraznica m iste skllpine u

nekoj tatki A ravnine E, kao i njihove projekcije n3 1[1 iii 1[2. medusobno okorniti pravci.

SEka 4_13

Uglovi sto ih neka ravnina E gradi sa projekcionim ravninama nazi~ vaju se pnli w,. odnosno drugi

prikloni [{;;ao OJ: tc ravnme. Na slici 4.14 prikazane sn priklonice Pi i q2 prve i druge skupine. Ugao OJ; sto ga priklonica PI ravnine E gradi sa svojom projekcijom p:: jednak je priklonom uglu le priklonice. Posto Sll priklonica PI'

Page 21: Nacrtna geometrija

kao pravae ravnine E, i tioert p;, kao pravac ravnine !fl, okomirl na prvom tragu

i?j, kao presjecnici till dviju ravnina, onda je (il! jednak priklonol1l uglu ravnine E

sa ravninom 1[/. Na slid 4.14a konstnlisana je prava velicina pr\'og priklonog ugla Oh ravnine E prelaganjem prve prikJonice PI, odnmno prvog priklonog ugla PjP;P1 oko tlocrta p; na ravninu tr/. Analogno je na s1.i~i 4.l...J.b kUI1SlruisiJ.n

drugi prikloni ugao W2, U pravoj velicini, !ito ga druga priklonica q, gracii sa svojim nacrtom q; .

e, ~" , aJ

Ex p" 2 X Ex

RII' , : ~' , w, . .!i~ p,

7 '!l

Slika4,14

4.3.5. ProbodiSte ravnine sa pravcem

q' '" 1

b)

Probodiste ravnine E sa pravcem p odredicemo tako cia pravcem p polozimo jednu pomocnu ravninu L\ (obicno ravnina okomita na JIj iii J[;,) j rom ravnu10m sijeccmo ravninu E u pl'avcu Q. Presjeciste 5 presjecnice a s pravcem p je trazeno probodiste ravnine E sa pravcem p (51.4.15). Na sUe! .:I..lSb prik::aano je probodiste ravnine E sa pravcem p.

Pry! trag til prve projicirajuce ravnine .:1, po!ozene pravcem p,". poklapa se sa tlos;rtom p' pn.lVca p, dakle d j == p', a njen drugi trag d2 okomit je na osu

x. Odre(tene su projckcije (I'i a" presjecn!ce a ravnina E i ,1. U presjecistu nacJ"­

ta pravaca a'" i p" nalazi se nacrt S" trazenog probodisla S, J. U presjeCiSlu ordi­

nale povucene nacrtom S'" tacke S i tlocna a' pravca a bit ce lloCH S' iackc S.

4.3.6. Prelaganje ravnine

A21 \ e2 , ,

I \ a" I ' ! /' \5" r : \

p"

I : \ ".1 : \ A~' x ~--, .-~i;>-.~--

A~ ",: : d: S' ,

Sl1ka4.i5

hi

Ako treba odrediti pravu velicinu nekog lika u ra\'nini cije su nam projekcije poznate, pOlrebnoj"e tu ravninu okrenutl tako da padne u jcdi1ii' O(j

projekclonih ravnina. Okretanje ravnine mozemo izvrsiti samo aka pravca kOj)

je zajednicki za obje ravnine. Takvi praVCi:;iLl tragovi ravninc. Ukrcmnjc raVDl!1C

aka traga, dok ne padne u projekLionu ravninu, nazivamo prelaganjc/Il ,""!vn!!!!.:.

Na slici 4.10 prikazana je ra_vnina E( ef. e?~.

!T2

~, e'

k T TcJiI'

pll

Slika 4.16

Page 22: Nacrtna geometrija

34 4. Tacke, pravci i ravnine ------Na tragu f2 odabrana je bHo koja tacka T i odreden njen Hoert T'. Iz

tackc T povtlccna je priklonica p prvog traga tc ravnine, naertan je njen tlocrt

pI j Dznaccno jc njcno prvo probodistc Pi. Prclaganjem ravnine E oko njenog

prvpg traga Ci u ravninu ni, okrece se tacka T i opisuje luk okretanja k. Srediste lukaje u tilcki Pi kome je poluprecnik PlT. Ravnina okretanja F tacke T okamita jc na pn'Oill tragu Cr, a kakoje el u n/, ooaje okomita'}--na 1[/. Prema tome, prvi trag /i ravnine F prolazi tackom T' okomito na prvi"rrag ej. Tacka (T ), 'u kojoj

iuk okrct.anja k sijece trag iI, bite pre!ozaj tacke Tu 7r, oko prvog tnlga ej. Kako jc; tacka (T ) udaljena od sredi,sta okretanja P j 't6tiko, koliko 1 tacka T, treba naci

pnrnl \Iejiclnu duzine PiT Prelozimo Ii pra\'ougl1 trougao Pl T'T aka katele

Pi T' U Jr!, dobicemo trougao Pi T' To. HipotenuZ3 P I To :::: po tog trougla jcdnaka

jt dlJ7ini PIT, kao i duzina PdT). Luk ~ poluprecnika po sjeCi ce trag II U

Lacki (T J, Spajanjem tacke (T) sa tackom Ex, koja je kod prelaganja ostala na

iqnm 1l1jestu, dobijemo pra\'ac (€2). Pravac (C2) je prelozeni dnlgi trag €2 ravnine E u r~tVninll 1[; oko njenog prvog traga fl. Ugao w, sto ga zatvaraju pravci el i ;' (/7 i. jednak je uglu ,5tO ga u prostoru zatvaraju tragovi er i e2 ravnine E.

Prema ranijem objasnjenju. na slici 4.16b odredene su projekcije 'I~7Tff bil0 koje tarke T drugog traga e2 ravnine E. Izvrsimo okretanje te tacke

,~~k(1 prvog trag a ej, dok ona ne padne U IT). Nacrtan je tloer! p'i nacrt

prik!onice p prvog traga ravlline E. koja pro!azi kroz tachl T. Duzina TP,

bice pn\urrecnik okretanja tackc T. Prvj trag .'0' favnine okretanja F tacke T ;~(1kl:1pZl ~e <::{! t]ocrtom pI pravca p I I, "'" p'.l Odredimo zatim pravu velicinu

P; T,:;-:.p" pojllprecnika okrctanja PIT i prvi prikloni ugao (X; ravnine E.

Ako rotiramo tacku To oko tac-ke P dohicemo na pr<lVCU II tacku (T)

taJ:ke T U :7[1 oka prvog traga PI, Pravae T ) £x-:::::( e;) jc prelozen drugi trag ('2 u

"" oko prvog 1l'8ga PJ ravnine E-Kod prelaganja ravnine E oko prvog traga €! ne mijenja se

met1usohna udaljcnost 1113 kojih dviju njenih tRenka, pa zbog toga mora biti (T ) Er-::::: lEx. Sada se prcloieni drugi

~r;tg (e;:) moze nacrtati krace.

Slika 4,16c

4-4 OSI101l111 zadac) 0 polozajnim i melrickim odnosimd lacke, ... 35

1z tacke T (sL4.16b) opisemo kruznicu k2 sa sredistern u tacki Ex. U presjeku te kruznice i pravca II je (T ) tacke T u 1f}, a pravac (T ) Ex=:;;;( ez) bice

prelozen drug! trag ez U Ifj uku prvog traga III ravnine E. Nfl anaJogan nacin cemo preloziti ravninu E ako njenog drugog trag(1 e2

u ravninu 1[z, kao na slici 4.16c

4.4. OSllovni zadaci 0 polol'ajnim i metrickim odllosima tacke, pravca, ravllille i ravnog Uka

4.4.1. Rijeseni zadaci

1. Zadatak. Odrediti probodme pral!(:a p ;:;;; MN[M( 1 O,.5Q,,_~Q), N(70.5,55}j sa ,""lninom E ~ AlJC[AIO.30,40),lJeO,]O,JO),C(40,('O, 70)] (31.4.17),

J

ot---­y

c"

" 5'

Slika -1-.17

N"/

2"

R j e sell j e: Da bismo odredili probodiste pravea p s ravllloom E zadanol1l sa tri tacke pravcem p -moiemo poloZiti prvu iii drugu proji­cirajucli Elvninu. U zadatku jc polozena prva projicira­juca ravoina F(h J2), ciji sc prvi trag II poklo.pa sa,.tlocr­

tom pravca p (1/;;; p'), u

drugi tragi? okomit na OSH x. Da bisil10 naW presjecnicu q dviju ravtJJpa E i E....m.Qramo odrediti PI'obodista 1 i 2 rav­nine F sa stranlcama a i b trougla, jer ce sa ta dva pro­bodista biti odredena pre­sjecnica. Nacrt q":::: {12"

presjecnice q sijece na,crt pff

pravca p u nacrtu S" pro­

bodista S. Njegov tlocn S' je u presjecistu llocrta p'

pravca p i ordinale povuce~ ne nacrtom tacke S.

Page 23: Nacrtna geometrija

c3,,6'-_________ '-'..f." li.u;kt!., pravci i ravnil/e

Vidljivost pravca 11 odnosu na ravninu odredujemo kada ih promatramo odozgo, odnosno sprijeda. Kada ih promatramo odozgo, viJljivoSI mozemo odrediti na slijedeci !latin: pravac p i stranica a su dva mimodaZllLl pC:lYca. Njihovi se tlocrti pI i a'sijeku u tacki koju oznacimo sa r i 3' , jer je Ol1:l tlocH

tacke 1 stranice a i tlocrt tacke 3 pravca p. Odredimo l.atim na nacrtLl pH pravca

p naert 3" tacke 3. Kako je 311

ispod r J zakljucujemo cia je [atka 3 pruvca p ispod tacke 1 stranice a, pa, prema tome, necemo vidjeti anaj diD pravca p koji je izmedu probodista S i tacke 3, kada pravac i trougao promatrall1o odozgo na Hi.

Zato je tlocrt toga dijela pravca nacrtan isprekidanom linijom. Da bismo odrediE koji dio pravca zaklanja ravnilla u drugoj projekciji, promatramo ill sprijed~l

Odredimo zatim tacku II kojoj se sijeku nacrti e" i pH str::mic.? c i pravca p. Tu

tacku oznacimo sa 4" i 5", jer je ona nacrt tacke ""' stranice c i n1\crt lackc 5 pravca p. Odredimo zatim na tlocrtu c'stranice c .llocrt 4' tacke 4, a nD. tlocrLU pI pravea p lIoert 5' racke 5. Kako je 5' iza 4', lakJjllcujemo Ja je [<leka 5

pravca p 1211 tacke 4 stranice c, pa, prema tome, necemo vidjeti om~i diD pravca p koji je izmeou probodista S j tacke 5, kada pravae i trougao promatramo sprijeda na 1[-}.. Zbog togaje oaert tog dijela pravca nacrtan isprekidanomlinijom.

1. Zadat:lk. Odrediti IIdaUc!los[ !ucke T(11},40,65; p = AB[A(20. 10. 10). B(50.45.45)).

Rj e s e nj e: Udaljenosl tacke od pravca predsravlja duzina na Ok0111ic1 povucenoj lZ tacke-T na pravw.:: p, Koja jc ugramcell<t luck-om T ! prubuJi~lerrJ

okomice S. Da bisillo odrediti tu udaUenost, tacko!l1 T(T~Th'j polozimo ravoinll

. E okomito nn pra\'.3c pep', pH). Ravnina E odre(1ena je njenim slIu·.:J.zniCl.}ll1a III i.

11 koje sadrz.c tacku T. Da bismo odredili probodisle pravca p s [Om ravninoill, po!oiimo pravcem p drugu projicirajucu ravninu F(f,. Gna sijece ravninu E u pravcu q odredenom tackama j i 2 on sutraznicama lit i fl. U prcsjecislU doena p'i q' pruvaca p i q nalazi S~ tlocrt Sf trazcllog probodista S, <-1 U presjeku

ordinale povucene tlocrtom tacke S i nacrra prolvca p bice nuell ,')'" Lucke S.

Duzine d'::;: T'S' i (r::;: T"S" su projekcije udaljenosti taeke T od pravca p. Pravu velicinu udaljenosti d? ::;: rS(i dobijemo pomocu projicirajuCih trapeza iii diferencijalnih trouglova, kako je prikazuno na slici 4.18.

4,4 Osnovni zadaci 0 polozajllim i /JletriiSki:~JJ odnosilna ta,-~/((:, ...

, :

y

c'

, .0

oj

',M'

\ \pl

~.

\

3. ZadatalL Odrediti IIduL/c'­nost dva pamleinG pruvca: Ll" AB[A( )0.50.·10). B(50.15.5)}

b=CD{C(5.20.15J. D!iiUJ9).

R j e 5 e 11 j e a: Bilu koju Li\'~ nina E(e},ez) poslavimu ukomito na Z{l­

dane pravce d(a',a").--i bib' . P'Jmc>

ell tragova ra\:rii'ne-t-pn3S.~cciYi·c~\'-P j q odredena su probodista JI j .V pr~l\ ~lc.:'-l 0'

i b sa ravrlinom E. Ouline d' "'" kiN' i (r = lVi'iv" su projtkcije udaljelro:.,(i pravaca {t i b (sl.-4.19a). Pri1\,:t ','(;liLdL,

udaljc:nosti odretiena je kao u 2. za­datku.

5'

Slika~.19

Page 24: Nacrtna geometrija

R j e S e 11 j e h: Na praVCll h odabrana je tacka C(C',C") i odredcna

ud3Jjenost d == CS, tacke C od pravca CI. Kod odredivanja projekcija S' i S'" probodista tackc S, prjmijenjenc su sutraznice min prve i druge skupine,

prve projicrrajuce ravnine A Ovu ravninu pravac a probada u tacki S. koja je ')drcdcna pomocu presjecnice p =- 1 ~2. Nacrt pIt =- 1"2" presjecnice p sijece nacrt

{Iff pravca a U llacrtu S" probodista S'. Tioert probodista S je u presjecistu tlocna pravca (1 j ordinate povutene nacrtom tacke S. Duzinc d'::: e's' i d" == e"s" su projekcije udaljenosti pravaca a i h. Prava veliCina udaljenosti odredena je na vee fJoznati naCin (sIA.19b).

4. Zadaf.ak. Odredi6 udaljenost lacke 1"(40,45,45) od rm-'nine E!65,45,55! (,11,4,20).

Stika 4.20

R j e sen j e: Udaljenost tacke od ravnine je duiina okomice povucene iz tacke na ravninu. a ogranicena je tom taGkom i probodistcm okomice S. Udaljenost odre­lh~emo tako da iz tackc reT: T''J povl1cemo okomi­

eli p(p', p") na ravninu

E( i{,e;'i- -Tom okomic'Om polozena je ;'1"V3 ~rojicj­

rajuea ravnina F(fl,.h). Ray­nina F sijece ravnlnu E u presjecnici q. U presjeku na­erta pff okomiee p sa nacr~

tom q" presjecnice q, dobi­

yen je naert S" tacke S 11

kojoj ta okomica probada ravninu. Duzine el' = T'S' i

d" = T"5" sU projekcije uda­Uenosti tacke T od ravnine E. Praya velicina udaljenosti d(J= 7~JSv dobivena.ie n<l 30a1-ogan naein kao u 2. zadatku.

4.1 OSf101'ni zadaci 0 polozajnim i melrickim odnosima tacke, ..

5. Zadatak. Odrediti tragove ravnine zadane paralelnim pravcima: a ",ABb'l(25,20,20), B(45,·30,40)] i b ~ CD[C(35,50,'JO), D],

39

R j e sen j e: Tragove ravnine E( ej,e2), koja je zadana sa dva paralelua prw{ca a(a',a")

&(b',b") , odredima taka da se

naon prBbodista tih pravaca i spoje istoimena probodista. Prva probodi-Sta pravaca moraju biti ua prvom. a druga na drugom tragu ravnine. Probodista A{ i 8 1

odreduju· pryi trag c{, a probo­dista A2 j B2 drugi trag e2 ravnine E. Tragovi c{ i el ravnine. E moraju se sjeCi na osi x u tacki Ex. Ravuina ima kallvergentne tragove prikazane na sl~ci 4.21.

6. Zadatak. Odrediti ortogonaine projekcije tacke T(25,60,60) nG

ravninu E kajaje zadall(1 sa dva paralelna pravca: a =. AB[4(20,20.IO),B(65,5,50)] i b" CD{C(75,50,20), D].

R j e sen j e: Tragove ravninc odredujemo kao u S, zadatku. Zatim 5e povuce okomica p(p', p") iz tacke T(T~T") na ravninu E( el.e)). Odrede se

probodi.sta tacaka j (/,,]" i i 2(2',2"). U prcsjeku naerta p" okomice p sa

nacrtom q" presjecniee q dobiven je D8Crt l~ tacke Tr u kojoj okomica probada

ravninu. Tioert T.; jc u presjeku okomice tlocrta p'i ordinale povue-ene

nan tam T; tacke TE (51.4.22).

Page 25: Nacrtna geometrija

40

Ex

.:/, Tacke, pr':lvd i J"IYJlilh~

A,

TX

~

i\ \x

/" '/ iI T'

:)l!Ka -+.22

2"

8"

c"

7. Zadatak. OJ/:i:ditr tragove rctvitine z.adallc p~u'a!eIJlim jJrdvcima:

(/ CEABIA(6(),,20,JO), B(9(),J5,J5)] i b = CD[C(40,60,J5j, DJ,

R j e sen j e: Tragove ravnine E(ej,c2), kojaje zadana sa dva paralelna pravca a(c/,e/') i b(b',b

ff

) odredimo taka da se nadu probodislCl till pravaca i

spoje istoimena probodista, ana/agno kao Ll 5. zadatklL RavninJ inu divergentlle tragove prikazane na slid 4.23.

ie.

4.4 Osnovni zadaci 0 poloiajnim j metrilkim odllosima tacke,.,

z

0

, I

Ex

0'

\

r: r '

I '

AX ,

\'

AX fAl , 2

Slika 423

" c

x

a'

'i.lil' '\

41

8. Zadatak. ZadaJ/Q su dva prat'ca koji se szjeku: a=' .4B[A(-JO,5,50), B(lO.25,20)j i b "" RerB, C(-5,60,JO)). NaCi tragave ravnine ko/u odredl~iu Q"VC!

dva pravca, kao i pravu veiiCinu ugla Ito ga pravel :3:WVardju.

R j e sen j e: Tragove ravnine E( e J, ell, koja je z2danJ. iJra\'cinn 11 i h, adredimo taka da se nadu probodista til! pravaca i spoje istoimena pWDoJisla, kao u S. zadatku.

Prelaganjem ravnine oka njcnog prvog traga eJ u ravninu J[j, preJoieni su i pravci a i b. Ugao koga zatvaraju pravci (a) i (b) je prava ve!icillh ugl a ():" (s1.4,24),

Page 26: Nacrtna geometrija

4. Tacke, pravci i ravnine ___________ _

/

8,

Slika-4-.2.4 ,-

9, Zarlatak. Nacrtati projekcife I:stostranicnog trougla ABC, ki~ji leii u ramini E(! 10. 70,55), kome je stranica a ""- AB[A( 10,-,10). B(55,-. ]0)] IW

:C'Ilirainici pn'og traga ral!nine ('51.4.25).

Da bismo rijeSili ovaj zadatak potrebno je odrcditi nepoznate koordinate tacaka ..l. i B. Zatil11 cerna preloziti vrhove A i B oko traga ravnine trougla u ra\:nillll projekcijc, konstruisati istostranicl1i trougao i odrediti njegove projek-

R j e sen j e: Nacn,om slltrainice In prvog traga, polozene nacrtorn tilbka ;-\ i B, odreden je tlacrt tih tacaka. Pre!ozene su tacke A i B oko prvog traga e; u ravninu IT;_ Sa stranicorn (a)::::(A){B) konstruisan je istostranicni Lrougao (A){ B)( C). Pomocu afinosti i sutraznice n prvog traga odredene su

_ ____ 4-4 Osno\-'tli zadaci 0 polozaj/Jim i metrickim odnosima ([Jcke, .. 43

projekcije tacke C(C',CI!). Spajanjem vrhova istoimenih projekcija dobivene Sil

projekcije istostranicnog trougia.

z A" a"

Siika 4.25

8 '1 m"

.(B) I I

I I I ,

'\ i \0<;/ ...... ·4/ i

..... (e) J

,,,

I I

Jt.f!.zL I

10. Zadatak. Na prove" p ~ MN{M( 10.35,40), N(90, 20, 0)] lei! dljagona/a In,·admta. Nacrtati pmjekc(je kvadrata. akoje ta{ka A(40.50,OJjedan

njegov vrh.

R j esc n j e; Ravnina u kojoj lezl kvadrat odredena je zadanirn pravcem p i polozenim pravcem II- kroz ta ..... Cku A. Oba pravca sadrze tacku N, jeT Sll to dva pravca koji se sijcku. Kako tacke A iN leze u ravnini 1l" to je njihova spojnica AN :::: J1 sutraznica prvag traga ravnine u kojoj leii trazeni lik. Oka sutraznice 1I. kao pomocne ravnine, preJozen .Ie pravac p u polozaj (p) na slijedeCi nae,in: sutraznica It prvog traga ravnine, koja prolazi tackama A i N ima s'voj naCH Ill! = A"i'v'" U osi x, a njen tloert je /1' = A'N I

. Kako pravac p probada

ravninu Tt! 11 tacki P" kad prelaganja ce ostati na istam mjestu p(= (PI)' Iz lacke

Page 27: Nacrtna geometrija

44 4. Tacke, pravci i ravlJinc;

M' peVUe! cerno okomicu M'G' , na n i nacrtati pravougli trougao Af'G'"H,j U

kojemje MM{) -=MxM".

. Zatim cerna tacku ':11) rotirati aka G1

u polozaj (AJ) i dobili pre10zcn

pt~vac (p! =: (M)(N). Kako Je vrh Au ravnini n/. kod preJaganja ostaje n8. istom ITIjes[u A =(A). .

~,M u"

~a' .:

/

\ \~\L.--" .... \!reJ

_<~)'~N) - -!!'/ Sllka 4.26

PomOCll (AJ t_ (p) k~ns:ruisan je kvadrat (A)( B)( C)( D) cija je dijagonala (B)(D! na ~ra:cu (P). VracanJem tacaka kroz projekciie oclredeni SlJ njeaovi vrhov!. Sp3JanJem vrhova . t' "h . k .. , . - !::o' 'k . . IS OlIHelll proJe C1JU doblVcne su projekcije kvadrara pn azanog na she} 4.26. '

11. Zadatak. Romb (A) (Bi ('C) (D' )' k· '" .. , . J' "'"k I"~ - ,,OJ! eZI U ravrum 1[}, zadanje tac'!kom pI eSJna {, uagona/a (S)(-30, () j 5) vrhom (' ,:[jl-~ 7 ~ () '0 i : I ~. " ' R

' . , ' .' '., ':"J, ,-" __ I , ILIJ10m ::.rt'CllIlCi:! a"""-40 Of/ratt OVCI) romb u ravl/inu E( 15, -10,25 J. - .

\

4.4 Osnovni zadc:ci 0 polo.fajnim i metric/dm odllosimu hl[.-~k~_,,_. _ .. __ ~

Kod ovog zadatka potrebno je nacrtati projekcije romba ABeD koji. lei; u ravnini E, a koji pri rotaetji te ravnine oko njenog drugog traga zauzima dar.i polozaj (A)(B){C)(D). Da bismo rijdili ovaj zadatak potrebno je iz.vrsiti 'anrirotaciju' ravnine E oko njeriog drugog traga el- Kako izmeJu llacna elemenata ravnine E i rotacijom dobivenih elemenaUl U ravnini J[2 postuji perspektivno afina srodnost, kojoj je trag ez osa afinosti, potrebno je aIllirotirall

samo jednu tacku iz ravnine Jt2 11 ravninu E.

R j e sen j e: Na osnovu zadanih demenald nacrtan je )"ollib

(AX B)( ex D) U 1rz. Izvrsena je 'antirotacija' tacke (S). Rotirana prikionica drugc: skupine ravnine E, polozcna tackom (5), poklapa se sa svojim nacrtom (p):= pI!_

PomocLl prvog i drugog probodiSta P, i Pz ove priklonice odredcn je njen pre10zeni polozaj pO u ravninu 1[2. Rotirana je tacka (5) nll pi) u polozaj SD. Vracanjem tacke S-O na nuert priklanice p, odreuen je naert tacke S. NacrL n)mb~l A'" EN c"DK nacrtan je pomocu perspektivne afinosti, a Uoen pnlDOCLt ;;lllraznlca

dmge skupine ravnine kroz tacke AiD i Cinjenice da su projekcije paraJelnib

stranica ramba paralelne (s1.4<27).

Slika 4.27

Page 28: Nacrtna geometrija

4. Tacke, pravci i ravnine

12. Zadatak. Tacka S(30,30,20) je srediste pravilnog peterokuta. ."I,/acrtafi projekcUe peterokuta kame je poiuprecnik opisanog kruga r= 35, a jedna '~jego.va strana leb na pravcu p ::z; MN[M(-lO,]OO.O), N{70,20.O}] (sl.4.28).

R j e sen j e: Ravnina peterokuta odredena je tackom sredista S i pravcem p 0= p' koji ]di u ravnini IT",-_ pa je on i pry! trag te raynine pi:= e

J •

Preloienaje ravnina z3jedno sa tackom S, oko traga e, u rayrunu nh pri cemuje dobivena tacka (8). Konstlllisan je _pravilni peterokut (A)( B)( C)( D)( E) Cija jedna s!rana (A)(B) leii na zadanom pravcu. 'Antirotacijom', perspektivllom afinosti i prnhodisfem odreaene su projekcije vrhova peterokuta. Spajalljem vrhova Jstoimenih projekcija odreucne su projekcije peterokuta. .

D"

C"

Siika 428

4.4 Osnovni zadaci 0 polozajnim i metrick"im odnosima tacke, ... 47

13. Zadatak. Nacrtati projekcUe presjecnice trougla ABC rA( 15,65,70),

B(70,15,1O), e(25,5,l5)] sa 'rauglam EFG[E(0,30,35),F(80,65,20),G(50,O, 70)], Zadarak rijditi bez. upofrebe tragova ravl1ina trouglova.

Zadatke ovog tipa rjdl.lvamo taka da odredimo probodista dviju stranica jednog trougla sa ravninom drugog. Isti se postupak primjenjuje kod presje~a trougla i paralelograrna, presjeka dva paralelograrna, kao i presjeka ostahh likova.

R j e sen j e: Konstruisano je probodiste P pravca AB i ravninc odreaene pravcima FE 1 FG kao u 1. zadatku. Pravccm AS polozena je ,prva projicirajuca ravnina F(j{,.i2}. Presjecnica p ravnine F i ravnjne prayaca FE 1 FG konstruisflna je P011l0CU tacaka ] i 2 koje su probodiSta pravaca FE i FG sa ravninom F (51.4.29).

A"

,

y

k/ EJ~-

:-----_~B" x

Slika4.29

Tacka P je presjek pravaca AB i p. Nacrt p" == 1"2" presjecnice p

sijece naert AdSd strani­ce Atlu' nacItu p" pro­bodiSta P. Njegov tioert p' je U pl-esjeeistu LIo­

erta p' presjecnice p i or~

dinale povucene nacrtom tacke..p:" Probodiste tacke R pravca AC i ravnine trougJa EFG odredeno je na isti nacin kao i pro~

bodiSte--tacke P. Tacke 3 i 4 su probodista pravaca EF i EG sa prvom proji~ cirajucom ravninom po­\o,zenom pravcem AC (Iragovi ove ravnine nisu oznaceni). Vidljivost tro­uglova odredena je po-

/' moen tacaka zaklonica kao u 1. zadatku.

Page 29: Nacrtna geometrija

48 4. Tacke, pravci i raviline

14. Zadatak. Nqcrtati projekcije presjecnice ravnine pareie!ogranw .4~CD[.4( 10,25,20), E(50,50,5), C(75,30.30), DJ sa ravilillom Irougla

EFG{E(O,35,30), F(30,60,60), G(70,10,10)] i IlLlZllaCili njillovu vidljivoSi.

R j e s'~e n j e: U rjdavanju ovog za­datka koristicemo pos­tupak opisan u 1. za­datku. Na slid 4.30 odredene su tacke P i R u kojima stranice FG i EG trollgla probadaju ravninu paraielograma. Projekcije P' pH i 'R~ g" tacaka P i R odre~ dene su pomocll prvih projicimjuCih ravnina (tragovi ovih ravnina nlsll oznaceni) i po­mocu presjecnica 1-2 i 3-4 tih ravnina sa para­lelogramom. Da bismo odredili koji su dijeiovi paraielograma J trougJa nevi~ljivi, kada ih pro~ matramo odozgo, od­nasoo sprijeda, moramo najerije odrediti koji su dijelovi stranica FC i EG nevidljivi oka nji­bovih probodista P i R. To dokazujemo porno­C:ll tacaka zaklonica, ka­ko je objasnjeno u 1. zadatku.

J-' I y

A'

F"

, G'

2' , ,

" B'

F'

Slika 4.30

4.4 OSflovni zadaci 0 polozajnim i metrickitn odnosim.£: tacke, ..

15. Zadatak. Odrediti ugao .iila ga meausobna zarvaraju ravnine E(70,65,80) i F(·60,90,50) (sl.4.3J).

Odredi se presjecnica p zadanih ravnina E i F. Na presjecnici p odabcre se tacka N i tom tackom polozi ravnina G okomito na presjecnicu p. Ravnina G sijece zadane ravnine u pravcima a j b. Ta dva pravca_£inc ugao koji je jeclnilk uglu izmedu dvije ravnine.

R j e sen j e: Prelozlmo presjecnicu p aka njenog tlocrta p' lJ raVDHlll

77:,- Na prelozenoj presjecnici po odaberemo tacku No> u kojoj POVUCcHlO okomica na prelozenu priklonice po- U presjeku te okornice sa tlocrtom p' presjecnice jJ je

[Iacrt M'tacke M. Tlocrtom tacke M povucemo pravac g, okomito llJ. llocrt presjecnice p. Taj pravac je prvi trag postavlj'ene ravnine G. U prcsjeku prvog traga g J ravnine G i istoimenih tragova ravnina E i F Sll tlocrti tacaka A i B,

B. '" B' 'i /

. ! / i, e' P, f,

Stika 4.31

Page 30: Nacrtna geometrija

50 4. Tacke, pravci i Tavnine ;..:.c.="--_____ _

,?komic.a M~N() je prelozena priklonica ravnine G. Tacka M je prvo probodlste te pnklo111cc. Okomica iz tacke N na tlocn I • y • ~ • o p presJecmce p odrcauJc tlocrt. N~ tacke N~ Spojnice tacke N sa tackama A j B odreduju pravce a i b.

~ravCl a, ::= NA' 1 b':;:o NY' Sll tlocrti presjecnica ravnina E iF sa ravninom C. Pr:lagaoJcm ravl1ine G oka njenog prvog traga g j U ravninu 1[; tacka N ce pasti u tackll (tV) nn tlocrtu p' presjecnice p. Duzina Mr;(N);;:.MoNo, dok tJocrti tacaka Ai

H ostZljU .na istom mjesb.L Trazcni ugao aje ugao koga zatvaraju pravci (a) i (b).

:(7 J ,', 17~' ~ad~ta~: Tackom ~(5.15,15.~ poloiiti ravnilltl F paralelno ravnini £1' (,00 .. )J I odl edltl pravu l'chclnu udal;cnosti Cill dvii . ( 14 12)

Slika 4.32

, ')u ravmna \s. ,_ .

Rjesenje: Ako su dvije ravnine me­du soborn paralelne, onda su im i istoimeni tragovi paralelni. Prema tome, dovoUno je nati jednu tacku prvog iii -' drugog traga ravnine F da bi po­lozaj njenih tragova bio odreden.

Tatkom T polozi­rna sutraznicu m prvog traga ravnine F i vdredi­rna probodiste M 2 ::;;:: M; . Probodistern M2 povuci­rilo pravac h pamIe!an s drugim tragom e2 ravnine E. Taj pravac je drug! trag ravnine F. Zatim je odre­den njen prvi tragf].

Da bismo odredi,· Ii udaljenost paralelnih ravnina E i F poJozimo prvu projicirajucu ravninu G( g" 82) okomito na te ravnine. Ravnina G sijece ravnine E i F u pre;;jec­nlcama pi q.

_____ 4.,4 OsnOl'lli zadaci 0 polozajllim i melrickim odnosima tacke, ... 51

U presjeku okomice 11 sa presjecnicama p i q dobivene 3U tacke A i B. Duzjne d'::::: A'B' i d";:::: A"E

N

odreduju projekcije udaljenosti dviju paralelnih ravnina. Prava velicina udaljenosti do=-AoBo odredenaje na vee poznati naCin.

17. Zadatak. Nacrtati projekcije kruzn(t;.g ka}a} je srediste S(50,40,~) i polupreenik 1'=35, aka 0110 lezi u ravl1il1i E(35,O-]0,40) (51.4,33).

Kako je mvnina kruznice k data_,.u opstcm polozaju prema ravninarna projekcije, Hoert i nacrt kruinice bite elipse k' i k". Svaki precnik kruznice k projicirat ce se u preenik clipse k'. odnosllo k". Od SVlh precnika kruinice treba nacrtaLi docrt onog pura okomitih precnika knl:lnice· k koji se projiciraju u 051 dipse k' i naert onog para okomitih precnika kruznice k koji se projiciraju u

OS1 elipse k" . Velika osa elipse je njen najduzl precnik, a mala osa najkraci. U veHke

ose elipse projicirat ce se ani precnici kruzllice koji se u projekcijama ne skracuju, dakie, precnici parale1ni s ravninama projekcije. Ti precnici lezc na sutraznicama ravnine, cije skracenje je jednako nuh. U male ose eUpse projiciraju se ani precnici kroznice koji se najvise skracuju, dakle, precnici koji teze na pravcimn rnvnine sa najvecim priklonim uglom, a to su priklonice.

R j e sen J e: S obzirom na to da tacka S pripada ravnini E, pomocu <:;utrainicc 111 te ravnine odreden je naCli tacke S'. Duiina SxS"::;:: S'S(l' Rotacijom

tacke S(I dobivenaje tacka (S). Oko tacke (5) nacrtanaje kruznica (k) i odredeni pree:nici \~ri)(B) i (C)(D). Precnik AS kruZnice k, kcji leii na sutiaznici ... m prve skupine, projicirat ce se u tJocrtu u pravoj velicini, odnosno precnik EF na sutraznici n druge skupine projicirat ce se u nacrtu u pravoj veliCini. Oba precnika se nalaze na sutraznicama koje su paralelne ravninama projekcfje, pa se otuda precnici projiciraju kao velike ose dipsi k' i k" . Male ose C'D' eUpse k'

i G"H'" elipse k" su projekcije precnika CD i GlI kruznice k koji .Ieze. na priklonicama PJ j P2 ravnine E. Duzine rnalih osa elipsi crtaju se prelaganjem odgovarajucih priklonica u ravninu n" odncisno 7[2. Precnici AB i CD knrznice k projiciraju se 1.1 nacrtu u par spregnutih preenika elipse k", a precnici EF i GH

projicirajll se u tlocrtu u par spregnutih precnika elipse k'. Crtanje elipsi izvodi 5e)13 jedan ad poznatih nacina. /

Page 31: Nacrtna geometrija

52 4. Tacke, pravci i rcll'nine

;l- __ ~D_"~k" £"

i ,

m" --'-8'

, I:

°1 y

F' 'i

\

Slika 4.33

(= MN ~8~ Zadatak. Nacrlati projekcije kruinice kojojje pravac - f., ( 0,55,55), N(55,]0,45)] tangenta, a tacka A(30 10 10'\ '.'"

poluprecmka r=25 (s1.4.34). ' , / na Knenzel

Da bismo rijesili ova)' d t k -PreloziIi ok r . ~a. a a , potTebno Je zadanu rangentu i tucku

o raga ravnme kruznlce II a f . • k .. odrediti njene projekcije. . r. \ mnu proJe ClJe, nacrtati kruznicu i

4.4 Osnovni zadaci 0 po{ozajnim i metriCkim odnosima tacke .. 53

R j e sen j e; Ravnina E kruznice k odredena je pravcem I i tackom A. Nj~ni tragovi e} i e2 nacrtani su pomocll pravca p koji prolazi kroz tacku .4, a

rparalelan je s pravcem t. Oka traga e2 pre/ozene su tacke lvi, N i ta6ka A. Odreden je pravac (t) i oznaceno diraliSte (T) tangente (t). Nacrt sredista

kruznice S" odrec1en je pomocu afinostj, a tlOCli S' pomocu sutraznice m

-'am gog traga ravnine E. Ose elipsi k'i V konstruisane su kao Ll preL!1OUn;}1ll

zada~ku, a elipse najedan od poznatih naeina.

,

I ,

or' o ,

I y

Silk. 4.34

Page 32: Nacrtna geometrija

54 4. Tacke, pravei i ravnine

4.4.2 Zadaci za rjesavanje

1. Nacrtafi projekcije. odrediti priklone uglove, probodiSta sa projekcionim ravninama 1 ozn<-lciti vidljivost pravca p "" ABIA( 10,50,30), B( 80,.20,30)).

'1.':Nncrtati projekcije, odrediti prikJone uglove, probodista sa projekcionim ravninama j i oznaCiti vidljivost pravca p E AB[A(70,lO,40), B(30,-30,.20)).

-'j., Nacrt<lti projekcije, odredili prikJonc ugJove, probodista sa projekcionirn ravninama i oznaciti vidljivost pravca p =0 AB[A(-20, -30, ·40), B(40,.1O,40)).

4:- Nacrtati projckcije. odredlli priklone uglove, probodista sa projekcionim ravninama i oznaclti vidljivost pravca p ~ AB[A( lOAO. -10), B(70,.20,-50)].

5. OclreJili trago\'e ravnine zadane tackama ABC[A(20,30,20), B( 40,40,10), C(40,90,40)).

.6. 'Odrediti tragove ravnine zadane tackama ABC[A(20, 10,40).8(-10,45,20), C(·30,10.70J)'

I .. Odrediti fragove ravnine zadane tackamaABC[A(-30,30,20), B(20,70,30), . no, iO,40)). ._-_.,,- .

8. Odrcditi twgovc ravnine zadane tackama ABC[A(20, 10, 70), B(80,20,50), C(5(}, 60, 40)).

9? Odrediti tragoye rayninel.a~l)e ~a dva pravca kOJl se slJekll: . a ~ AB[A(·30.20,10). B(20.30.20)] i bE BC/B. C(0,10,30)j.

Hl, Odredjti tragove ravnine zadane tackom T(-30. 30, 40) i pravcem p ~ ABIA(40.70. 10). B(0.20.70)).

11. Odrediti tTi'lgove ravnine zadaJ1c paraie!nini-pravcima:

a = AB[4(30.·}O,·20). B(·30.·60.30)] i bE COr C( 10.40,15). DI

12. Odrediti probodiste pravca p ~ AB[A( /0,40,40), B(50,5,15)] sa ravninom E(·15.15.-15),

13., Odrediti probodiste pravca p ~-lrB[A("20,O,60), B(80,50,O)] sa nlVninom £(30,]0,·7()),

14. Odrediti probodiSte prnvca p "" MN[M(O, 90, 60), ,V(90,1030)} sa ravninom !(oja je odredena jXlraJe[nim pravcima: a "" AB[A(10.20,20), B(60,30.60}}

'; "" CDr c(60, 15,30), VI Zadatak rijesiti bez uporrebe tragovu.

4.4 Osnovlli zadaci 0 poloiajnim i mefriCJ. .. im odnosima tacke, ..

15. 1\i6kom T(30,25,30) poloziti ravninu E okomito na ravnine: A( ~30,20,·55)

i B(=,65,-30).

16. TackDfll T(·50,35.6{)) poioziu ravninu A okornito oa favnine: E(-30,-30,80)

i Fr=.40.50).

'1". 'r "', TfO )(LIO) polotiti ravninu E okorr1ito na ravnine: A( -50,40,-105) , al,\'o.OlTI 1\ , __ "

i B(=,50,·,65).

55

, is>Pravccm a "" ,A.B{A( 40,40,50), B(20, 70, ·10)}, pOloziti ravninl1 F okomito na ravninu --' E(-40.25,-90j.

1" 1 .. AB( '(·100 20 01 8(- JO 50 )0)] po!oziti ravninl1 E okomito na ravninu 'J. 'ravcenla=. _ /1 '" ., ,- , F(-30,-30,·50) i odre(flli tragove ravlline E.

- \'J "(0 50 60) B(1 70 0 -40)), polo ziti ravninu E okomito nn ravninu . 20 Pril\'ccrn a = " f VI , " .' -".

'F(30,-30,-50) i odrediti tragove ravnine E .

. 'IB['li,.1IJ.20.60). BI.90,-10,0)}, poloziti ravninu F okomito nn ravnint! 21, Pnl\'Ccm (l e;:,

£(30,60,10).

22. Pravcem a :=, ABli\(30 . . 25), B(75,-.60)];--·r01o:l:ili'ravninu--F~okomito na ravninu

H(50,60, ·80).

2.i Pravccm p ~ AB[A( 10.0,20). , ,ugan od 60".

B(70.55,80)], poloziti ravninu E koja sa ;Ii zatvara

c'i ',24.lravcem p 0= ABIA( 20, 90.50). , Ligao ,'xl {;O" "./

(i~>Pra\'cem-p ~ AE[A( -30,50,60), B(60,25,O)], poloziti ravninu E okomilo no. ravninu -'>./ F(-30,3o..60) i odrcditi tragave ravnine E. _. _' . , _.

26, TackmD T pravea p ~ TS[T( /0, 10,50), S( -20, -50.10)], poJoziti ravninu E okomito na

-' pravac p.

Tackom [(0,50,60) poloziti ravninu E okomito na pravac p ~ AB[A(-70,JO.70),

B(O,35, ]O)} i odrediti tragovc ravnine E.

'28: 1z tacKc T(30,0,0) POVUC! okomicu aa f(IVI~in\1 zadanu sa dva pravea koji se sijcku: _i a ~ AF{A(D,50,O}. 8(60,15,'70)} i b i.E BCrB. C(j40,40,0)]bez upotrebe tragova.

'9 O· ditj l'fOj-ekcij·c okomice po-vucene iz tacke. 7"('1'10.70.80) na ravninu zadanu sa - .. me .. ' .' .. _ . 0 l' . = BC[B. Cil30.30.0JI ,iva pr:l\.'CI lOJl se SlJeku: a "'" AB[A(O.80,0/, B!60.15,7 ) I IJ

ladatak rije:siti bel. upotrebe tragova.

Page 33: Nacrtna geometrija

56 4. Tacke, pravc[ i ravl1i!1e

:~ Odrediti prvi i drugi prikloni lIgao ravnine E(60AO,50).

~j,~o. drediti ugao izmedu dvu pravca kOJ"j se siJ'ckll,' ~ b a,=,j,lJ[4(20,20,15j, B(50,45,85,)j , B Ae[A. C(50.30,10)].

_~3·,/Odrediti pravu velicinu ug!a sto ga zutvaraju pravci:

.. ., a ~ AB[A(40.60,10), B(70.20,30)1 i b ~ CDIC(50,lO.50), D(60 .. 30)]. ,-- J

'. __ ~3.-'0drediti pravu velicinu ugla sto ga zatvaraju pravci:

tl = ABIA(20,55,D), BI 75..65,40)J i b So BClB, C(90,20,OJ).

::. :-\ .. 34:1 Odred!t! pruyu ve,!icinu ugla sto 0a zatvaraJ'u d\" "~. I" .. ,

-AS! 0_ dpra\<.;u (uo:>eSJJeKu a = A(20.15,O), B(80JO,50J} I b = BC[B, C(J20,30.0jJ.'

35.,.odrediti pravu ve!iClnu ugla Sio ga zatvaraju pravci: a"'" ABIA( -80,25,0), 8(-15.60,90) J J b '5i Se[B, C( 6(),]O,4{))}.

36. Odrcditi pravu ve1icinu 19l' ~ '1 ' . E' l a :,to.ga mel usobno zarvur:lJu f"]vllipc (-60.100,60) i F(60,50,90). . .

37. Odrediti pravll veLicinu ugl " j _~ . _ a:, 0 ga nIe, usobno zJ.l\araju fen'nine E(-65,50,80} l F(3j,·iJO,60). . .

38. Odrcditi prayu vcJi'::inli u!·· , , t ' . E

' _, ~ Il"" <l :::.lO g<l mel USOOIlU LaIVClf(ljU r~!vm!lG (-60,90,.)0) I F(70,65,80j.

19. Odrediti pruvu velicinu uglu 3co. >;1 [Unr' ). . 'J sa ravninom E(60,-40,80). ';:'"" dlidhh:/J=dl{A(iil.'7U.Jlj;,BI()(J,.-5U,.)uJj

40. Tackom T(30 10 30) p I 0" • -

J J ."' 0 OZIt! ravnlllH paralclnn s ravninolll kOJ'u J'c odredcna s' .1""

para e nn pravca' (i ""AsrA( 30 c. ~ v« , ,f __ I'.' ,30,10),8(10,10,50)) ib=e CD{C(-40,.f5,35},Dj.

41.!Tackom T(1002040) !~" . --- , "k. . ' . _ po OZlt! ravnmu F pilmlelnu rrtvnini E kOjCl je zad:ln:l sa tri

_,tilC eABC{A(lO,-JO,JO), B(50,-60,-2(1), CillOJO,-70i./ . .

42 . .Tackom T(40 35 70) P ! ." - ~ . ., OOZlt! ravmnu E paralelnu ravnifli F Za(IaIlOJ' par.--,'"I·

pravcHna: (/ 5,4B[A(30 1060' . . - ,-,-!e:; nlIn ,- , J, B( 100.,60.}0J!! b =" CDjC(SO,60,20i, D].

43. Tackom T(80 15 351 p t -' •

1)11 nl 1 <'.'. '_ 0 ozltJ raVllmu para!e!nu ::;a ravnmotn koja jc odn;ucna sa dva

r, e nn pr,lYCI1. m ""- MN[M( -40 -70 "15) V'O 10 -- I . • -, "" (. ,JJ) ! /1"5 PR{P(~65. 15,4(J), R,l.

44., faCkomT(120.15,30)pO!o2itir::1Vllinu . !,1 .. ,,' , .. dva provea koji se si'ek " _ "p~ra I,;,nu za.LnoJ f::lV!llUl kopjc 0dredena sa

J ll. a = AB{A(O, -1:J,4()).B(7o,~O. - J 0 J.l i b =e: Be(B, Ci 9(),Q,60 n

,.~5. Po!oziti ravnincA i B pumlelno ravnini E(i(), , - ::;O.::O,i n<1 udaljtnosti d=25.

4,4 Osnovni zadaci 0 p%zajllim i merrickim odnosima tacKe, .. f e) Poloziti ravnine Ai B paralelno ravnini E( -40,30,40) na udaljenosti d=35.

/,,=--,

(.. ' .:l7.}Tackom 1'(-20,15,40) poJoziti rnvninu E paraJelnu ravnini tromda L/' ABC[A(-40,0,30), B(-11O,80,10.), C(-90,20,70jj i odrediti njen; tmgove.

57

:"'4g~ Tackom T(30,30,10) poloziti pravac paraielno ravniut trougla ABC[A( 20,55,20)

.; B(60.35,45), C(85,40,15)].

49:;Zadan je trougao ABC[A(60,O,30), B( 130,80,1U), C( j 10, 10, 70)] i tilcka T( -Ii), i 5 . ..fU)

;=---'"'" van trougla, Tackom T poloziti ravninu E paraldno ravnini trougla.

'.> SO'. Odrediti udaJje!lost tacke 1'(50,50,90.) od pravci.\ p ~ AB{A(O,O,20), B( 100,5U. i)(: i/

Sl>Odredili uda!jenost tacke T(140,75,S5) od pravca a == AJ31A(40,6(),95), H( !.f(t,(), __ ;',~il , __ ,_/ bez llpotrebe tragova.

52. Odrediti udaljenost tacke 1'(40,20,60) cd pravc.a p == MN[M(60,70,20),

N(l1O,30,80)].

(51. Odrediti udaijenost tacke T(80,80,60) od pravca a == ABfA(-60,

BI.45,120.80)).

25,25),

,-: 54') Odrediti udaljenost tacke 7'(0.0,0) ad pravCil j") 0. ?vIN !~H( -20,20,30}, N(10,S(),6u)j. ~-,j • -

55.) Odrediti pravu ve!icitlll udaljenosti tacke T(15,50,30) ad pravca u == AH[r\( 5i),5( ,i if!,

.'. B-U_~9:.0..:'iO)], pr~laganjem pomocnc ravnlne koiu obrazutu pr<UiUC j tach.

'56:, Odrediti uda!jenost tacke ,4,{-30.--l-0,60) od ravnine £(-40.40,45),

57.;Odredili tragove ravnine koja prolazi tackuD\ 7\20,50,30), a paralclnajc pra'Vcirna: a"" AB[A[40,50,20), 8.(60.10,4(1) lib"" CD[C(6(J50,30 ), D(90,20,20jJ- Odrcditi pn;:vu velicinu udaljenosti tacke A1(70,50,60J od te ravnine.

/-,------.., { 58. ~Odrediti pravu veliCinu udaljenosli tackc T(4(),70,50) od r<lvt)ine zadJ.llc LU'::ki'll'na

'ABC[A(20,50.30), B(60, 10,60). C( 80,35,1O!1 koristeci tragove ravnine trougb,

/S9.)Odrediti udaJjenost tacke T(80,90, 100) 00 ravnine kojaje zadana sa dva pravci.l koji

. j se sljeku: a ~ ABIA( 10.25,60), B(40,55,1O)] i b" BC[B, C(80,35,25)].

-,,-~-\

r 60J Odrediti udaljenost taeke T(55,70,90) od ravnine koja je zadana sa J\"Q pdl'ukllEi . pravca: a ~AB[A(-30,O,50), B(40,60,O)} i b s CDIC(-30,-65,25), D].

61-. 0drediti udaljenost tacke T(-20,40,70) od favnine kojaje zadana sa elva pravc<l koji

se sijeku: a "5 AB{A( -30,10,.10), B{O,30.-J 0)) i b "" AClA., C(2U,u,60)J

Page 34: Nacrtna geometrija

58 4. Tar:.rke, provei i raVl1ille

/62)/Odrediti udaljenost tacke T(75,55,50) od ravnine koja je Z~dana sa dva para!elna " pnwc<l: (l "'" AB[A(0,-60,30). B(75,0,-30)) i b ~ CD[C(50,40,30). Dj.

_.s.D· Odrcditi ucbljenost tackc T(30,JO,JO) od ravnine koja je z.adana sa dvu paralelna pr,ncc" a ~ Ml[4(40JO, 20), JJHO,20,60j] i b ~ CD[C(40,4U,6U), DJ,

64. Odrediti lldal,,;cnost tacke T.(··20",'O,A,Q) od l"Vnl'ne E' k' , u • oJu Je zadana priklonicom

rhllgc, sku pine p =: MN[M( -70,-25,45). N(0,50.90)).

65. Odredili lldaljenq5( dva para kIna pravca: a:= ABIA(70,O.80), B( 140,80,0)] j

b =: CD[C(D, ·50,90). D j, prelag,llljcm ravnine koju pravci odreduju,

66. ~)dre~iri udaljenost dva paralelila pravca: a ~ AB[A(20,30,O), 13(80,70.60)] i IJ 2 (D[c(80,20,0). D j, bel. upotrebe tragova.

Odrediti udaJjcnosf dva paraieina pravca: a ""ABIA(20.40.0), B(95,90.;SOJI i b .'3 CDlc( 95. 20,0), D J, bez upotrebe lragova.

68. C)rirediti IlUjkrill'U lldilljenost mimoilaznih pravaca; a "'" /·tB[A(O,30,15), B(65,O, 70)) i b,-,= CD[C(90,Q,35), D( 125,·45,0)}, bez upotrebe slranocrta.

69. Odrediti udaljenost elva para!e!na pravca: a "'" AB{A(30,70.20), B(70.20,40)) i b ~ CDLe( 100. 10,30), DJ koristeCi pomocnu ravninu okomito na prav("e

70: Odl edill prnvu veliCinu najkra6c udaljenosti mimoilaznih prava~a: a 2 AB(A(O, 15. 70), B(65.35, 10.JJ i b ~ CD{Cto.15.25). 0(45.0.]0)7, koristeCi POJllI)CI1H nWlllnll kroz jiravae 11 paralelno pr,r"vcu b.

! 1" Clurcdill udai.lcnoS[ oVlJC paraielne ravnine~ £(-60,40,90) i F koja pro!azi tackom

72. Odrcditi udaljenost dvije paraleJne ravninc_: A(70, 70;100) i B(O,-,- j.

73. Odrcditi tr;lgove ravnina koje Sll na udaljenosti d~20 paralclne sa ravninom E(60.5(),40).

Na ~ravc\1 p "" MN[iVf(O,50.30), N(45,35.60)) odrediti tacku C koja je jednako ucblJena od tacaka 11(30,70.0) i 8(60,50,50).

'3'. ndrediti lacku S 11<1 pravcll p == MN{M(-JO{),-J5,0), N(~30,25,70)], kOjajejednako llclJl:CIl<1 od tacaka ,1(-]JO,30,30) i B(-60,90,8(}).

76. Odrediti onu til.cku pnlvea a "" AB[A(0.50,80), D( J 10, lO,O) 1. k(~ia je jednako uda!jena 'd t~i\~;lt.;;) ,\1(00,80. 90) j ,\'( I JO,40,30).

59

, 77. N~ pravac p "" AB{A( 30,20,60.), B( 120.-80, -20)], nanijeti duzinu d=JOO, od njegovog /drugog probodisla.

78., Odredili udaljcnost tacke T(10, IOO,90j oct ravnine trougla A8C[A(0.60,0),

B(40,O,8U), C( 1IO,90,40}), bez upmrebe tragova.

79. bdrcditi udaljcnost tackc T(20,-JO,] ]0) od ravnine trollg!a ABC{A(0,50,20),

B(oO,90,80), C( 100, IO,30)j, bel. upolrebe tragova.

80. Odrcditi udaljcnost tackc TID, 15,0) od ravnine troug!a ABC[A( ·40,10,50).

/B( ·20.70,0). C(30,O,20)}, bez upotrebe tragova.

'-'-81"~ Odredilj udaljcnost lacke T(-30,65,]5) od ravnine trougln ABClA(-45.5.30! .

.' B(O,85. 70), C( 35,45,30)j. bez upotrebe lragava,

-"82'. Odrcdifi udaljenost tacke T( JO,80. JOO> od ravnine trougla ABC[A(30,O,30), 8(80.70.10). C(] JO.30,80)}, be? upotrebc tragova.

83, Odrcditi udaljenost tacke Tr20.5,80) od ravnine~trougJaABC[A(20,40.20), '..._ .. / 8( }OO,] O.40i. 060.80, 9(}) 1, bez. upotrebe tragova.

84, \U lacki S( ]0,30.20 j ravnine E koja je zadana sa dva pravea koji se sijeku:" if, !1) '0 AS[!\(-2552!7l. Si ill 2 i('ifB(35.30,45J. Slpodici okomicu duzined=50.

}'i 85. U tacki T(.J5,-,45J uougla ABC[A(-50,50.30,. 8(-10. 10. 70}, C{l0,30.JO)] podici 0Komicu i Da rlju II: tacke T nanijeti duzinu d:;;:;70. Zadatak rijesiti bel. upotrebe

-. --tmgova r<i\:nine.

86. C tacki T(65,-,45) ravnine 1.: z<ldane tfDuglom ABC[A(O,JO,5U), H( lU5,YU,6j), ,. C(40,l0,5)} podiCi okomic1.l duzinc d=35 bez upotrebe tragova ravnlne.

8'7. U t;lcki T(5,5, -,40) trougla ABC[I\( 20,50..20), B( 110,90,0), C( 50,5.70)] podiCi okomicu i na njaj odrediti tacke MiN udaljcnc od irougla za duz,inu d=50.

- ~ 88.i Odredlti udaljenost tackc T( -90,75,105) ad par.!;·delograma ABCD[A(· J ]0, ]0,30),

B( -70,60,0), C(O, iO,50), D 1 bez upottebe tragova ravnine.

R9., Odredjti udaijenost tacke [(65,85.70) od paraleJograma ABCD[A( -35, 90,45),

8(30,60.0). C(65,O,25), D1 bel. upotrcbe tragova ravninc.

9!i Odrediti udclljenost tacKe n i 5.65,15) oct ravnlne trougla ABC[fHO.5.30).

, [?(45,85,7(}). C(80,55,30!J.

Page 35: Nacrtna geometrija

i'"

60 4. Tacke. pravci i I"{lVl1ille

91.)Odrediti projekcije presjeka ravnine E(-20.30]0) I ravnine F kojaje zadana sa Jva " paraJeJna pravca: as': AB{A(60,80,25), B( 120,Q,-25)} i b =. CDLc( 100,0.40), D).

"~

,/ ( 92) Odrediti projekclje presjeenice mvninu A(=,30,60) i B(=,50,30). , /

,.="

93.~:Odreditj presjek ravnina A( -45.35,55) i B( 10,20,5).

94~: Odrediti presjek ravnina A( -35,20,25) i B( 15, ]0,-25).

9S .. 0drediti presjek ravnine trougla.ABCIA(-50,J5,O). B(O, 45, OJ, C(-105,70,90J}sa ravninom E(-120,110,100).

96. Ddrediti presjek ravnine trougla ABC[A{-JO, lD,O}, B(20,]0,o), C( -60,70,50)] sa ravninom £(-80,80,50).

n_' 97f})dFediti presjek rnvnine troug!a ABC[.4(O,O, 15), B( 50. In.30), C( -40,60,80 lJ sa "--,, ravninom E{-20,20,-20),

98. Odrediti medusobni presjek dva trougla i njihovu vidtjivost: ABC[,-~(20,30,JO), B(80,70,80), C(llO,25,20)} i EFG[E{40,f5,70), F(l20,45,55i. C(70,SU15!}.

9~~ Odrediti medusol5ii!presjek (iva ttollgla I njihovu vidljivost: AHC[A(O,40,j()),

B(100,10"35), C(60"90"85)] i EFG[E(20.80S), F(J W50"20J. Gi4IJ5JIJiJ --'--,

100. 'Odrediti medusobni presjek dva rrougla i njihovu vidljivost: ABC{,4( .3(), 120,0),

'B(50,50,0), C(-20,fO,JOO)1 J EFG[E(~60.30,20). Fi40,JO.3OJ. GrO.12o.1?()!7

101.. Odredi[j medusobni presjek dva troHgla i njihovu vidliivost: ARC!Ar-f)() I()n/Wi B(O,u, 0), L-{50,JO,20)] ! EFGfE(-70,50,40), F(-lO,lJO,O), G(40,15,90)).

}O.4-: Odred'iti medusobni presjek dva tmugla i njihovu vidljjvost: ABC[/\(-4030.U), - B(0,65,80), C(80,15,60)} -j EFGLEt-25;'lS,6Sj: F(20.7SjO), G(70,45,45)).

I03;'Odrediti medusobni presjek dva trougla i njihovu vidljivost: ABCLA(.55,60,iJ), B(G. 80. 90)" C(30JUO)] i EFG[E(-65.35"80), F(JO"85Jh G(lOJ),50g 'j

l04· lbdrediti medusobni presjek dva tl"Oug!a j njihOVll vldljivost: ABC(A(-40,70,Oj,

i /8(10)10"100)" C{50,/0"30J] i £FC(£(-50"40" 90), F(50)1(W), G{20"u,70)}. .-/

lO-.5~,.Od\editi medusobni presjek dva trougla i njihovlJ vidljivost: AlJC[A(-75,70,lO),

B(O,30.40), C(-llO.20,SO)] i EFG[E(.J]0.45,OI, F(-40,Jo.WI, G(-lO,60,80)].

106,Odrcditi mcausobni presjek dVIl trougla i njihovu vidljivosr: ABC(A( !/J, !:;,70), B(35,JOO,fO), C(75,40,]0J.! i EFG[E(0.30,30), F(75,75.70), G(S5,]O,15)].

4.4 OsnovlIi zadac~ () polozajnirn i metrickim od}jos~!!!:!:ylr5ki?, .. 61

~ , . ' k d' trou la i njjhovll vidljivost: .4BC[A( -40,55,35), '107),'Odredit! medu~ob~l Pf)eS]Je. E;~[£(-4~ 1 J'180) F{60,8{),}O), 012o.,15.5J1-

" B{O"90)O), C(40,1),12() 1 " "" ,

--------, . ,-.' d' 'ou la i njihovu vidljivosl: AJJC[A{4-0,20,J.O). (108.0drediti medusobm Ploe'J]e~ E;'~[~(458060) F(OO JOO), G(-60,100,O)1-~/B(O,100,80)" Ci"60"40,4 ) l' '. " __ ' ""

~ . '-1.BCD rA(!58065) B(lJOAO,40), ' - 10.9. Odrediti medusobni presJek paralelog1r amaE'FG/E(~O 80' 10i F; 7{) I), I05},

C(J45,70,70), D(50,JjO,9?)!.sa trou~_om _ J ,,. _. ,

O( 130,90,']5)] i njihovu vldlJIVOSt.

~;', , .. ,,'.- , alelo ramaABCD{A(-15,6{).70). B(45,j()(j,j i.J), 11~. Odreditl lnedusobnl plesJck P;~G{E~O 30 ?OJ F(90,60,50), (J(6,'!, IOLUOOjJ ,j C(90,50,40), D} sa troug!om {,,- "

i njihovu vidljivost.

//-----" .' '.'. lela mmaABCD!A(20,60.6V), B(70.90.!,~)' 111. 9dredJtl rnedusobm presJek pa~~C[:(30 30 70) F(90,90,90). G{ i 20,00.6U!1 "-.-- C(llO,50,45),D]sarrouglom J ,,~, "

i njihovu vidljivost.

,--0::\ . ' '1'10 rrama ABCD{A( 15.65,30), B( 1 JO,--!-J,70( "112\)' Odrediti medusobm presJck pa~~~[:(30 10 30) F(70 105,1 lOj, O( 130,35,20)/

/ C(145,70,40), D]sa rrouglom , "_" "'''/ i njihovu vidljivost.

" , , "e tacke T( 108') 80) nll ravninu E koju jc_ XJJ~lI\~l ~" ;'Iii':,Odrediti ortogonalne pTOJekcIJ, . ?O J ~ nl'70 j(Y 60)1 i h'i'i CD{C(70.{)u,3iJ;, D}. " ~ dvaparalelnapravca:Cl':£A1J[.4.{JO .. ,J), "

---." -'.-, "' -""4fJ[4(lO)6-;'O) B(35,3{),--I-O)jnarcnninu 11.;1. Odrediu proJckclJe pr,lvca p ~, , ,_ ,;), , ' E(!OO;60,80) _

?}/',,,,, .. ,.. . ""'I.B{A(70500)W.60,O,30)jnaravlIillu-E(25,15,25i ;';;115. -Odredltl proJckClJe pravca p -" " , \ '-x ~', ,,', • ••• v' 1- ABIA ',504030) B(20,90,6U)J na ,an1inu ,on 16:' OJrediti proJekc!Je duzme t = ,( , , ,

c £("50,80"50) .

. '. t k .. J'edan v1'11 u \acki A{Cici,j),y()), 1 117 Nacrtati projekcije istostranog troug a 'o.me~j: __ _ "- - lr oh Be na pravcup;; /vfN[lYJ(O,}),l)). N(} W.W,..!5)). suprotna strana oUe '

-, "\ , , '£('.~ S" "''') Jk~1 " : " - - ugla lwji !eZ! II raVll!nt i.D,' (J,' ~, v _ c 118. t4acrtati projekclJe lst,ostrallko

g .-[r~ ok~ trougla a jedan vrh troug!;) II tacki ,/S(55,-,50) srediste oplsane nlZl1!ce ,

A(55,-" 20)"

1~9~Nacrtati projekcije istokracnog trougla, koj,i l:;;zi u mvnini El90,55,65}, ;iku mu }: bridABIA(O,-,50), B(25,·,0)], a vrh C u raVfllnl 7[;,.

Page 36: Nacrtna geometrija

62 ___ '_._1 (lc;ke,. pra1'ci f ravlline ------120,- ~~~Cli(lti projekcije istostrano? trougta, koji lezi u ravllini E(100,60.90), kome jedna

';.1 "na. a:;;:80 zatvara sa prvllTI tragom ugao od 45°, a krajnjc tacke su joj na trag(lVlma ravnine. .

121. NacrtRti projckcije istostranog trougJa ABC, cija jc jedna strana na praVCl! P"'- ['4N[M(20,O, 90). N(80,60.0)], a suprotan vrh u tacki ((-10,50,20).

122.N;]cnati pmjekcije istostranog troug!a ABC, koji leti U favnmi £(120.100,80), taka . / da mu VTh A le-li 1.1 1[2 udaljen d=-60 od IT,_ a suprotn3 strana BC= 75 paralelna SIT!.

123, Nacnati projekcije istostranog trougla ABC, cUa je jedna strana n3 p'ravcu p "" IHN[M(-30,50.0). N(20,O. 75 )}, a suprotan vrh u tacki C(50,30,30).

Odrediti praVll velici"rw trougla ABC[I-I(-70.80,30), B(0.20,80). C(50,50,O)J okretanjem paralelno S ITI bez upotrebc tragova.

125. 'Odrediti pravu ~'eliCinu trougla IIBC{A(O,O,60), B(0.60,50), C(60, 10, 15 Jl preJagnnjcm ravnine trougla oko prvog traga U iT}, .

126. Odrc.diti pnl\'U ve!icinu trouglaABCfA(10,.,20j, B(30,-.70), C(70, .. 0))koji lez! u ravmnJ E(-40,30.4(}) prelaganjem oka prvog traga u nt,

127; U ravninj,!~(80,70.90) lezi trougao ABC[A(O,-.70j, B(-40,60,-), C(30,25,.)]. Odredi!i pmvu VcllCll1U trougla prelaganjem "ko prv0g, a z3till1 oko drugog traga ravninc.

128. ~acrL~ti projckcije istostranog trougla koji lezi u ravnini E(25,60,-20), jedan vrh Inn je u tack! A(25, .. ,20), a vrh B 1I ravnini rr"

129. Odrediti pravu velicinu troug!a .4BC[A{(J.4(} .In!. B( an, !f),50), C(65,.':O.}O)] prelaganjem oka prvog traga ravnine traugla un}.

.130 .. OdT("(~ir~ pravu velicinu trougla ABC:£A(30,20,45), S(7.5,65.80), C( 120,5,30)J _ okretanJcm paralclno's IT2 bez upotrebe tragova ravnine.

131. Odrcditi pnrnl veliCinu trouglaABC[A(-50 .. , . .30), E(20. 101 C( 20 70l]k ··1 ,. , J' " " , OJI eZl U

ravnilli E(60, 40. 70) prelaganjem oko prvog traga u nj

,

132" Odrcdil.i pravu vclicinu trougla ABC[A(20, 70,10), B(50.35.90), C( 130,50,30) J 0krctanJcm parnlelno S 1rj bez llpotrebe tragova ravnine.

~;;)cn(1ti projckciie kvadrala koji lezi II ravnini E(80, 70,90) kome je jCdna strana na ;-,r~n Cl1 p 'E ,\fiV[M(O, 65, 5 ), N(50,5.25)]. a tacka A(20, J 5,) jed an njegov vrh.

4.4 O;;lloVl1i zadaci 0 pnfoiajnim i metrickim odnosima tacke, .. 63

,134. Na\:;rtati projekcije kvadrata Cije Stl dvije strane na paralelnim pravcima: a=' APIA(20,40.10), P(80,55,40)) i b =,.MN[M(20']O,50), N], a tacka A jedan njegov

\Th.

i35~~hcrtati projekcije kvadrata koji leii u ravnini E(~120,70, 100), jedan mu je vrh 11

held A(25,45, .), a jedna stram na pravcu p ;;; PR[P( ~75,O,·), R(O,-,On

'13«, Nacrtati projckcijc kvadrata kOJi !cii u ravnini E( 3Q,-1S,30), cija je dijagonaJa

d s BD{B(35.20,')' D( 100.70.';/.

nIIN""",; projckcije kvadrata cijiJe jedan vrh u tae,ki A(SO;20,75), a dijagonaJa na ,,'h.e&' pra\"Cu p """ PR[P(O,O.60). R( 100,100,O)J. ,

';·13"S .. , Nacrtati projckcije kvadrala ABeD koji lcii u ravnini E(20,-25.-20), cija je dljagonala d:;;, AC[A(60,20.~}, C( 120,50, -)).

-'-', /' ----.....,

i39.'~"\Iilcrtati projekcije kvadrata koji Jdi u ravnini E(70,60,Sihsa, sredist.em u tacki S(~20,-.30), a jet.1an vrb mu je u P~Q.h~)~i~!!!:pkornt8.e .. pOirUCene>'i~ tacke T(50.65,70) na ravninu £. .-:~,

/ .. _, . ,':,i ,.,<",~, \ 14Q.' Nacrtati projekcije kvadrata koji Idi u ravnini E( -JO>.lO,]O),~c~a je dijagonala

,,/ d~AC[A(,60".30), CliO".55)). , .. \ ': , '"t loll,. >i"3crtati projckcijc k,Zldrata koji lezi u "i3vnini. ~(.75,55.8_:!, -:lj~\~\ ~U~gonal~.d .. =:8(J

i zalvara sa prvim tragom ugao od 60 , a kraJnJc tacke d'Jagonale~,su, na tragov1ma

ravnlllC.

,ii~h42,:Nacrtati projekcije kvadfata ?ijaje strana'na pravcu ,.' f . p:= PR[PfQ.SilJJ), Rr50,(},90}], 8. jedan wh 1) tacki A(9f).3()~45)

143. Odredili projekcije cctyerougla, tiji su vrhovi n3 pravciJ1\a: a ~ ABIA(10,50,l0), 1l(40,40,40)]; b = HC[B, .C(90,80,20)Jy imajll duzinu d",40, dokjc,d,,?zina cetvrte strane;proizvolt~j1,>'-~,-",

~:~,"-... ; ,,/,: " , 144:' Nacrtati projekcije romba ABeD koji~le_7..i. . .u.ravrt,ifif (:<10,-30,50), cij \" e

uijagonala d;;; A CrA( .70, .,60), C{ -50, ·,20}), a vFb B je u IT,_

145; Nacrtati projekcije romba koji leZi \l ravnini. E(30,45,·30), cijaje dijagonala

:;;,AC[A{O.65,-). C(7.5,25,-)], a ugao ac:::60".

i4~'Nacrtati projekcije romba koji lC±i u ravnini E( 75,75,65), cija je strana 'AB fA( ·4(}. 10.. i, R( -20,70.- lj. a ngaa a :0::45"'.

'" c

H,,-,

, ..

. ~;;~>fl~S' ~~,

Page 37: Nacrtna geometrija

1~1

64, 4. Tac;ke. pravci i I,",a,,',n,i;,;e _____ _

'i47./Nacrtati projekcije rombu ABeD koji leii u raVllll1i E( -60,40, 75), cija je dijagonala d'IE AC[A( ·5,80, -), C( -50,15, -)] a vrh B je u Ttl_

<'\

148. Jqacrtati sve projekcije kvadrata Cija .Ie duzina d "" ABjli(JO,35,30), 8(30,20,lO)}, "- -'/s(r~ma, akoje njegova ravnina okomita na IT].

'/'~~~)Nacrtati projekcije istokrakog trapeza eiji SCI, nhovi Iaeke ABCD[,1(25,30}O), ' B(75,}0,40), C(60,50,JO), D]

//.t;

~"! 150._ Odrediti pravu velicinu paratelograma ABCD{.4( 30.70.30). D(80,65, J(}j,

C( 115,20,45), D) okretanjem paraleJno S 1[J bez uporrebe tmgova mvnine,

151. ,Nacrtati projekcije prtivilnog peterokuta koji leii u ravoini E(10, lO"to), cije je 'srediste u tacki S(25,-,45), a jedan njegov vrh jc tacka A( 60, -,30).

152. ~acrtati projekcije pravilnog peterokuta koji le/i u ravnini £(70.60.50), Cije je srediSte u tacki S(~2(),-,30), n jedan njegov vrh u probodistu okomice povucene lz tacke T(50,65,70) f1a ravninu E.

.).?'3./Pravilan peterokut, koji leii u ravnini /[1 sa sreJiStcm u tack; 5(30,0,90), a whom u tacki .4.(45,0,135), ~~!.~f~~tj ako drugog traga u ravninu E((iO,85.55j.

'"'L54:\Nacrtati projekcije pravitnog peterokuta koji lezt u mvnini E(20,]0.- 10). cUe Ie ~sredistc u tacki S{lO,50,-j, ajl:dan vrh II mckJ·A(5U,2V. ). .-----ox:

155.'Nacrtati projekcije pravilnog sesterokuta koji lezi u ravnim E{20,15,-15), cije je <;rediste u tacki 5[15",45), ajcJod ':;[r<1n'l ila pral-Cli P"" PR[P(-bU.-.Li), RiU,-.60)).

156. "Nacrtati projekcije pravilnog sesterokuta, ":ij.; j.: :;r..;Oi$[';; Ll tacKl 2>l-iu,5//.f5!, a jedna strana na pruvcu p 2i MN{M( 80,30,0), N(O,O,45)].

, 157~ Nacrtati .pfojekcije-pmvilnog sesterokilta koji lezi l! 'ravnini E{ JOG, 70,60), Cije je srediste u tacki S(30,25.·), a tacka A(25,40,·) jedan njegov vrh.

-iS8. Nacrtati projekcije pravi!nog sesterokuta kojt !eli II ravnini &30.-30,35) sa sredistem u tacki S(25,40,·) i vrhom II tacki AIO,30,-).

159. Tacka .4.( -30.30,80) je vrh pravilnog sesrerokuta .4BCDEF koji je okomit na pravac

p 0: kIN/M(30)5]5), N(-40.65,15J], sa sredistem lH1 pravcll P< Nacrtati projckcije sesterokuta.

160. Nacrtati projekcije pravi!nog sesterokuta, cije parak!ne stranice )eze l13. pravcimu: In a MN[M{55.55.0), N(O,O,30)ji 11 "" PR[P(60,O,8Ih RJ, a srcdi;t.:; U lacki S(70,- _).

O . dac;opolozainim i mJtrl~kim odnosilllQ tackc,. 4.4 snOV!1l::.a _ " . 65

({Iii Nacrtati sve projekcije pravilnog s~s~erok~la koji 1.;z! ,U r~vn~n~ E(~:~:l;~;~ ~i!I~\l~: ;1' l\. d·' l 'k· 5(4030 ,) poluprecmk opisane kruzmce r-3U, cl dViJ \ )sre lste u ac ! '"

\ '-' / para!dne s nJ.

~, . ... ini Ei 60 '5060) sa srediSlcm u uLki

,_!§2, ~~~t:~5j:;;~~:~:i;;;~~~si~%ao;~~:n~c~asvp~,Stene 'iz.;;cke JY4U,?06~) In u nlau E,

i~)/~) .. k·· kruznice kOJ· a nastaje rotacijom tacke 1'(0,20,20) ok!) pri:i.vca k163.;Nacrtat! proJe clJe ,. " '/' a =AB[A(.40, 10.20), B( 10,60,60)].

//.---, \ . k' 1'· 'Dim Ei=,5f), 70), sa sreJiSltn\ ;1 ]64. Nacrtati projekclje kruznl:e ·OJ3 eZl ~l r~!\· f,"., '5(50,-,35) i prolazi kroz tacku A(20,-,])j.

" .• ' '< • ako trougla ABC[A(10,25,J5), fl(65]5,75), i ··'.t65,},,Jacnati ~rojekcije k!uznice op1san~ ' ........ _--/ C(95, 10,45)).

/166. Nacrtati projekcije kruz.nice k~ja lez.i u. r~v,nini E(30, . 5(15, ·,60), a tacka T( ·15,-,45) Je na kruzmcl.

20,20), cije jc sredgk It ucki

.' .. £( 907080) i dodiruje SV~l [I'j l1YlL q 167./Nacrtati projekcije kruznice koja le?:~~ ravnll;l1 _ - ' .. , ... !..

traga.

., . . £'20 3D !U} ciJe je SreQi~LC \l raCK] 168:'Nacrtati projekcije kruznic~ koja le~l .u .raV1lll1l·( ,- .- , .~ 5(0,-,70), a tacka T(0,-.40) JC na, kruZlllCL

169:· ~acrtati projekcije kru:lIllce kOJa dOGlruje p.fVl 1.~·~gLtmgJ.!.lvni!l': iii./ Lv,,' : J,c)":; i

pr~ac P"" AB/A( -10.100.-), B(25,10,·)) u toj ravnml.

, 'E( 20 15 15), ciJ· e jc sredi;lc u lac;(1 170,,·N::l"crtati projekcije kruznice koja lezi u ravnml - , , S( /0,60,40), a polupr~cnik r-;=45,

. , . ,... '·ste u t·,cki S·(50,35. to), po..liuprecniL 171> Nacrtati sve projekcije kruzmce C!JC Je srem, "0 .'.~_.~ " r-;=30, ako je ana okomita na reI> a sa 1C2 zatvara ugao od 30 ,

, ~~('~acrtati projekcije kruznice koja !e2.i II ravRini _ E paralel:l~j ~ SJ osi x, tacb /" .. , , <'!~7 ''IF . v· IS' 4(4030 ))}]poluprccmL ·~S(]O,15,45)jojjesredlste,aduzlOaSA ,. ,, __

(} .... ;:.~: v· J v 'k -60 koja kzi 1.1 ravnini E(75,45, 75)." 17~. ·Nacrt3ri projekcije lauzlllce po upfec~1 a r-prolazi kroz tacke AB[A(85,35,~), B(-J,60,,)j,

" .. k .. k inlee kOJ'a leii u ravllini E(-J30.nQ,J15)' JdJirujc uba tr;1;~l 174, Nacrtatl proJe cIJe ru " . ravnine i pravac a '2 ABf,4.( -30,0,-), B(0,110,-)] l! ravnml.

Page 38: Nacrtna geometrija

66 4. Taike, pravci i ravnfne

175. ,'Nacrtati projekcije kruznice koja Ie y' • • •

, ___ ~" a 'i.'iAB[A( 40,10,0), B( -30,50,90)J i ~1: ravmm E zadanoJ sa dva p~~aJ~na pravca: S(lO,55,-) 1 pOluprecnikom r=40. CD[C(70,40,O), Dj, sa sredlstern u tacki

176.'-Nacrtati projekcije k ,7' k' ! v' /, v' • ruzfllce oJa eZl u ravnini E(70 (40) i dod,·ruJ·e ~ Sre,I,·s'le

KmZl1lCe Ie ud r d 40 . ' , ''"3-_, _ <1 Jeno za:;::: ad 1Cb a oJen po!uprecnik r=30.

Nacrtati proJ'ckc" k ,. k' "--. :' . lje ruZ11lce oJa proJazi kroz taiSku T(60 65 -) . d d" -- . _,a-"" AB[A(O, 15, 15), B(25,15,60)J i b""AC[A, C(35,60.0)/ ' ! 0 IruJe pravce.

178. 1'<)' ladc.rtu.ti projekcije krUZll ice poluprecnika r=30 koja pro\azi kroz tacku-~"(55 40 30)· (0 IruJcpravacp=:AB[A(O,O,25), B(30,50.0)j. " 1

179. N"acl~ta.IIJ' ~r,oje~cije kruznice poluprecnika r=50 koja lezi u ravnini E(40 -25 40) ., plO aZl (loztackeA(40,30,_) i B(105,60,-)}. . , "

1RO. Nacrtati projckcUe krllznicc koja ima poluprecnik -40' d ct· . Q""'ASf4( 20 ]020) B '). r~ ! olruJepravce:

- "'. ,. '. (~0,10.50)]i b~AC[A, C(40,90,0)].

181. NDCTt3.t.i p. rojckcije knlznice [S(75 _ 40) r=751 k· I~' . , ~ < " ~. " , - ola eZl u raVnlm E VDVCCII1 a = AB[~(g,20,Oj, B(60, 20. 65)} i tackom .1'(90,75,10).

zadanoj

182, N(Jcr{;1ti projekciJ'c kTIlz' k· . . . _:. _nice oJa nastaJc rotacljom tack T(2 - -'0 60) k p"" MN{MDO.JO,U), M-10,60,45)J. e ),/. 00 pravca

'83 l'. .. d ~ . b)~~:~n~, ~~, alloj paralelni.in pr~ycima: a "" AB{A( 10.100.90), B(-40.4U60!1 i ( ~ _ ,65,1:0j, D J Iezl kruzUlca sa sredistem u lacki 1(' J5' - 55) .

pnil'pl'eClllkom r-3" N rt' . .. ' ... _,1 - - . - . , - ./. ) He atl pro.Jckc!Je te kruznice.

IfiLL ">Tacrt8ti projckci,'e k ,v' k· . " ' .' ruzmce oJ8Je zadana sredisfem S(-20 60 90)· ,=AB[A(-60,140,Oj, B(50,0,80)). " 1 tangentom

'\

5. Bokocrt i stranocrt (transformacija)

5.1. Bokocrtna ravnina i bokocrt

Pored prve (,hurizontalile) i druge (vertikalne) projekcione ravnine

postoji i treea (baena) projekciona ravnina, koja se oznacava sa Ji3' Pravac po kome ova ravnina sijece horizontalnu ravninu 'HJ nazivamo osa y, a pravac po kome sijece vertikatnu raVll1l1U 1[2 nazivamo osa z. Taka je dobiven sistem ad tri

projekcione ravnine 1[,. 1[2 j 1[3 koje su medusobno okamite i sistern tri ose x, y i z kaje su takooe okomite jedna na drugu, a prolaze kroz. tacku 0 koju nazivamo

isfwdi,{tcm koordinatnog sistema.

VI II .4'"

-y Iz "

il! ~ I , 1

, I ~) I

V I I I , L, ,

-----~A; y I o~ 1-;

..". III ~I J ! ~ b) ~A'

\ -z j -

VI[] IV

Slika5.!

Sada je prostor-podijeljen na osam dijelova, koje nazivamo oktanti i koji se obiljezf\"vaju brojevima od I do VIII, istim redom kao i kod kvadranata, i to: I

do IV desno, a V do VIll lijevo od 7[.r. Sve tri projekcione ravnine dobit cerno u istoj ravnini, npr. 7[2, tako da

it! uku ose}c okrenemo prema dolje, a 7f; oko osi z lijevo u ravninu IT] (s!.5.1.1.

Page 39: Nacrtna geometrija

,

;!:-

, ,

5, Boko('f'( i Slranocrr (tramjo~macUa) ,

Na slici 5, tb nacrtane su sve tri proj'ekciJ'e tacke -i(A' A~ A"') k . ._ ' " ,oJa se nal,azl u I oktantu, ~a.ko je udaljenost bokocrta tacke od ose z jednaka ordinati v tocebokocrtza 0 I· ·1" - ' p ZInvan y )lti lJevo, a za negatlvan y des no od ose z, -

5.2. Treci trag ravnine i njegova sutralnica

, Ra-:nina E s~~ece projekcione ravnine J[j, [[2 i f{3 \l tragoyima ei, e; i eo, Trag eJ naZlva se treel trag ravnine (s1.5.2). - .

.. U poglavlju 4.3.3 abradene su slltrainice, odJ'e smo vidJ'eli da u svalcoJ· ravnlm t' t ~ '. ::0 '

pas ?Je.su razmce prve 1 druge skupine koje su paralelne s njenirn prvim, odnosno S tlJemm drugim tragom (sl.4.11 i 4_12)

U sva~oj ravnini postoje i sutraznice trecea [raga. Pravac nlvnjne- kOJ·iJ·e paralelan s .,. ,b , '"

k. nJenlm treclm tragom, naZlva sc sutraznica rreceg rraga (trece

s upme).

Ez

z

~J

I t'

S!ika 5.2

,. Na slid 52 prikazana je jedna sutraz-nica treceg traga ravnine E Kalo se;tr~cl trag e3 okomito projicira fla ravnine H, i 1[2 U osu y :;, 2: 1- x. in j~ tlocrt tn) I naert m'" sut az . k -. < ' ) r nice III, u a amICI na OS1 x kao nJ slici :') "b 0 . surraznica n'eni . d 'wk' ,< ' - <-. va Je

k'd' , . .1 m ~aje we 1m tlocrtom 1 n3crtom odreaena u prostom tel<: onda a a u njo] oznacuno njeno prvo .. b d'~ ? -;'

b .~ plO 0 lGte - 0= _ fla nfvom i lljeno dnlO"o

pro odlste 1 "" j'" na d t " ,. ,~. .. c t. '. ~lgorn ragu fdvmne. 1 reca proJekcIJa 1JI,; sutraznice !I1l Ieee skupme paralelna Je s trecim tragom e, ravnine E.

53 Stranocrtrw ravnina i stranoerl 69

5.3. Stranocrtna ravnina i stranocrt

Ako trecu projekcionu ravninu 7rj postavirno taka da buLle okomita samo na nt, iIi sarno na Jr2, ooda ravninu H3 nazivamo stranocrtna ravnina iii treca

projekcija.

a) b) ;Xz

----.~"---

A'

Na slici 5.3 prikazane su sve tri ravnine pro,iekcija Jr" Jr2 i 7r; okomito nJ

;Tj' Osa po kojoj se sijeku ravnine 1[j i Hz oznacena je ?a :x:, a usa po kojoj se sijeku ravnine n; i 1[, sa /X3, Zatim je proizvoljno odabrana tacka A i odredenc

____ ~_ ;:,1:(:. rri .. prQjekcijc t~_iatke, pr\"o na Jr-1.1 Jt2, ~Dnda ~ na i(;- Proizvoljno je ndahran ; tlocrt A' tacke A, te odreden njen naert A" ( .M' = A''' K i .:lA -" = A f K), TackJ.

A'" dobivena je tako du se iz t<:leke A POVllCc atomica Oll ravnmu HJ, pa]c A"" u nozistu te okomice. Okornice A4' i AA'" prave ravninu koja je okomita 08- nSll -/<'(_1,- pa _ je .MILAPI lik pravotlgaonLka........Otuda jmamo Am L :::::",Mf = A" K ,<\A'''' = A'L. Sada su A' i Am dvije potpuno analagno pridruzene projekcije, Lao

?iLo Sil bile A' i A"'. Ako sve tri projekcije zdlIno imati II ravnini crteza, oncla lrcb<l n<1jpr~jc

ravninu it} okrenuti oko ose jX) u ravninu nl, a zatim obje ravninc (Hi ?:ajecino sa

Tt3) oko ose ,X2 U ravninu Tt2'

Zelimo li odrediti cetvrtu projekciju tacke A, postavicemo nOVll

projekcionu ravninu JT4 okomito oa Tr.l i povuci okomicu iz tacke A .. flU tu r1Vniilu.

U nozistu ove okomiqe nalazi se cetvrta projekcija AN tacke A, Ravnine J[3 i ][4

sijeku se u oSI koju oznacavamo sa 3X4·

Na slici 5.3b nacrtane Sil sve cetiri projekcije iacke A poslijc izvrscnog okremnja ravnina projekcija u ravninu 7[2 (ravninu Cr1eia) , Na [OJ ::;lici .it A'A"" L /X3 i LA"'::;:;: A"K, ANI All' 1- 3X./ i MAw:::: A'L_ Aka tloerti uviju tacaka

Page 40: Nacrtna geometrija

70 5. Bokocrt i stranoert (transjormac(;a)

lezc na suprotnim stranama ose IX3, onda i cetvrte projekcije tih tacaka Ide na suprotnim stranama ose 3X4.

L

8"

a)

/ b)

" Slika 5.4

Treeu projekcionu ravninu TZ; rnozemo postaviti okomito i na ravninu 7[2.

Na slid 5.4 prikazane 3U opet sve tri ravnine projekcija Tr/. 7[2 i Jr.,. ali sada ,'.(; .i liz. Ravnine Jr2..l 7~, sijeku se U osi 2Xj. U ovom slucaju, za taGku B vrijedi ista lao za tacku A u prethodnom slucaju, sarno sto u ovom sJucaju ravninc Jr, i 71>. kao j me y, Z. zamjet~jujl.l svoje uloge. Na slici 5Ab nacrtane su sve cetiri projekcije tacke B nakon poznatog sjedinjenja ravnina projekcija u ravninu 'Hz.

Natojsjici B"~B""~Zx3 j LBm

""" BfK, S""SfVl.JX4iMBfV",S"L.

5.4, Rijeselli zadaci

1._Z.adatak. Odrediti pomocu ,~tranocrfa udaljenost ta(:ke T(O,40.50) od prm·ca p ~ AE [AU 0,1 0,15). B( 40,45,50)] (sl.5.5).

R j e sen j e: Udaljenost tacke T od pravca p odredit cerno taka da n8.jprije, ravninu lr] po!ozimo okomito oa ravninu Jr, i to paralelno s pravcen p.

Stranocrtna osa fX3 je paralelna s tl?crtorn p' pravca p. Zatim odredimo

treee projekcije Tm

i p"'" tacke T i pravca p( ,4"'Bhl' E pM) kao udaljenosti

njihovih drugih projekcija od ose '''2< Tada postavimo ravninu lr4 okomito na pravac p, pa je osa 3.1:" okomita na pm.

5.1 Rijdeni ,.adaci __ . __________ 71

" k" r 1" J1i tacke T i pravea p dobivene su na osnovu udaljenosti ProJe Cl.1

e 1.~,. ,c"".l ce okomica TS, ··h 'h nrvih pro)' ekcIJa ad ose IX," K,lko Je pra vac p 1(4. to , . nil OVI t· 'T d ' b" ytVSIV - TS JCfJe .. . lac'ke T n'j pravac I' bili paralelna s n4. a ace !tl -, "pustenalz< ,-, .. , .'b.t" ' - ,~ la ce SIV biti u rr. Kako Je 7S paralelno S 1f4, mow 1 1 tacka S na pravcu h 1 ," .nr d 'ekci'e 5' na T"'Sfl! takode paralelno 3 3.X4. Pomocu ordlllata 1Z S odre e se pro) . J. ".

I· 0" "Taka J"e dobivena udaljenost tacke T od pravcap kroz ploJekclje, P 1 ,) na p . . .~. " .. d - dW - TtI'SI,' a prava -vehcma lldalJenostl JC ,0 - - •

T" B" /

Slika 5.5

I i ·· , .'/,·a,locrta udaliel10st ta{ke T(45,45,50) 2. Zadatak. Or re( III pomocu , J

od ravninc £(70,60.70) (5156). ",";"

R - "e n J c: Aka treeu projckcionu ravninu 1[3 postavimo. lako da ona \..1 e S . - "' ., b·,' komHa 11a prvom

b j k ·'a nil nvninn ]"[1 i ravmnu E, tada osa IX3 mora I 10 ll( e \1 "ornl, ". m. .. l ravnine E . 'nine E TreeD projckciju T tacke T J trec} rag e3

tragu e I Hn " .... '} . k .. od ose x od;caujemo na OSl10VU udaljenostl nJl110vlh d:'Ugll proJe Cl.~a .' /·1· v, 0

~ , L>lalJ"enost tacke oJ ravnine odreduJemo tako da lZ tacke. T povucem \. ~ . vk T m treCt tm!! e I una okomicu na wvninu E Okomica povucena lZ tac e n3 ~ -..

probodiste u tacki Sm

Page 41: Nacrtna geometrija

77 5. Bokocrt i strmwcr( (rronsjOntUlcija) ~-----~=~=~==='-"""---.. ---

,-i e\ I id'"

, /

k ," Slika5.6

UdaljeflOS[ d"'::::: r"'S"/:::::; do jC ujedno ! prava velicina udalje­nosti tacke od r::lVninc, jer je TS...L E 1. el, dakle TS je paralelna S HI,

Pomocu ordinala iz S?" odrede se

projekcije Tacke Sf S',Sff). Duzine

d' = T's' i cr = T '15" su projekcije udaljeno:>ti tacke vel ravnine,

_.---, .,. -i "'L-\; /

\--'-; X/Zadatak. Odreditipomo('u stranocria IIdalicllosl tar}ke T(5,25,55) ad -,.~. ~

rCII'nine tmurda ABCfA(-2{J.Sn,5.), B(! 5,80,50), C(70,35,35)] bez i-Iputrebe tragovQ (sf.5. 7).

Rj e s e nJ e~ZacraTakje rijesen pomol:l! sutraZniL:Ll III i fI ruvnine trougla 4BC Tackom C( C/, C"; tJ01u2<.:!I<-t je ~urraZl1!ca Ill! II! ,ill 'i) prw skupine, ;J

tackom A{ A',AN) sutmznica 1/( 1(11") drugc skupine. Trcca projekciona

ravnina n.l postavljena je okomito n-<1_ l"nyninll. rei i nu ravnirm trollgla, i:)rl.ie osa ,X3 okomita na tlocrtu -tl{sutrainice III te ravnine. Trece projekcijc tacke T i trougla ABC odredimo na osnovu udaljenosti njihovih drugih projckcija od osc 1.'(:!. Treen projekcija A"'B"'C''' trought ABC .Ie prikazana bo Juzina, jer je ravnina troughi okomita na ruvninu 1(;. Okomlca povlIcena iz tacke r J' no. A Iff B"" C'" ima probodisfc u tack] S'u. POlllOCll ordinala iz Sf" oJrede se

projekcije tacke S( S',SH). Duzine 1.1'::::: T'S', d":::::; T~)" i d m =:., tfflsm su

projekcije udaljenosti tacke od ravnine trougb, gdje je dIn :;.'" 1''''S'''::: do ujedno j prava velie ina te udaljenosti.

A"

d'

A' "

8' Slika 5.7

.~

r<t .. Zadatak. (Jdrediti.pnlTlocu stra­l10crla udaljenosl dva paraielnc{ pravca:

~ 3'60 "(l Tn) 1; u ~A.B[A(15,]J,-JO), '! ,_'-',H> j'

b'2 CD{C(lO,20.20), D] (sl.5.8).

R . e sen j e: lidaljenost lzmedu dva paraletna pravca odredit cemo taka. da

. , . 0 okomito na ravmnu ruvmJ1U 7r3 postavuD .----" . leI 10 s pravcima a i h. Tada Je osa 1f" a para ! ..

r na proizvoljno! udalJcnosti paralelna s

tJ'"' ( 'j' b; pravaca alb. Trece ocr om a . k" III i bill pravaca a i b odredene proJe 'CiJC U ... '.

su kao udaljenosti n]lhovJl1 druglh PlO-

jekcija od ose P;:2. . _,'

Postavijanjem ruvmne 7[4 okolmto na n? odredit cemo celvrte projekcije pra­vaca~ Kako je ravnina 1[4 okomita na 1[3, Gna

,

T'" /1

/,

\::,. ." ,

\

ti

73

Page 42: Nacrtna geometrija

74 5, Bokocrt i stranocrt (trallsformacijn)

mora biti okomita i na pravcima a . b" II' . , ' . '. '. 1 , Jer Je Jr3 I alb. Tada Je osa JX4 oa

l~lOtz'volJnoJ udalJenostl okomita na tTcce projekcije "'. b'" . Cetvne projekcije tv' YV·l. . a 1 pravaca a t b,

. i ,_.. a 1, _ tl1 p~ava~a odrcdllJemo kao lldaljenosti njihovih Jrvih plo.;ekclJa ~~ ose ).t3· U cetvrtoJ proJckciji pravci se vide kao tacke 1

Duzma dlV ;:;; atV bl\' ~ d' " .~. .',

- 0 Je pl ava vehcma udaljcnoslJ izmedu dvn paralelna prayea.

:"5. J:adatak. Zadm," ;'" d"" .' ./ ~' ~ --;;;-.. ~. ,u, y fIlllnOl azna pravea: a =' ABrA(_ "'0 -() 0)

BrcCU.3',d)!i i b" CD[C'0400 ,. ".I .. . I (.J, ,), D(60,30,30)). Odrediti najkr{[(,;u udaljen0'5t

')\IT Gwr pravca P(JIJlOCIi stranocrla (s1.5. 9), '

"'J ',_ ~ • f: j, c. sen j e: Ud~!jenost izmcdu dva mimoilazna pravca odredit cemo luke, dd ],l\lllnu lL postavllllO okomito na r;)\'ninu !f, .. ;) 1 1 pnqc:l () ili h para e no s jednim od

B"

o· ~D'/ p' )f

d~ -9 :

.$/~~t-Z~ _. : 0

R"

C' x

'".----~y

/ P'

y~-B"

" C'

R'

lJ d J . . _ za at(u JC favnina 1r.; postavljena paraldno praveu a Tad'] je asa \."

l,uraleln,i s rlocnom a' pravca a Oared ~ , . .. ',,,. ~. '<;'-' . . ene ::.U trece proJekClje alb pravaca a

5.4 Rijdeni ;;adaci 75

i b. Kako je [aI/nina 7[,t okomita na ravninu n,l, Dna mora bi1'i okomita i na pravac 0, jer je ltJ 11 a. Tacta je osa Y':4 okoll1ita na trecll projekciju a/ff pravca a. Odrcdenc Sll cetvne projekcije a[\- j hI\' pra'vaca u i b. tJ ~etvrtoj projekciji pravac a s(, "ldi kao lacka, a pravClc IJ se panoyo projicira kao pravac. Okomica, spu­stena iz projekcijc ail' 113 UV

• ima probodiste u tReki RN. Fallacll ardinaJe povu­cene iz tacke RiI' odredenaje tacka RI1' na b'" . Kako je pravac a 1. 7I/. to ce oko­mica PR, spustena iz tacke R na pravac a, biti paralelna s 1r-4. Tadaje PIlRIV =: PR, jer su tacke P i R na pravcima a i h, pa ce pI\' bitl na aW, a R1V oa LF. Kako je PR IllL, mora biti pMR--11< 1\ 3X4. p(}lnOCU ordina!a iz p'" i R'" odredene sU P'R' na a'//. a ZalilD P"!?" na a'lJ". Duzine d' =: P'R', d" =: P"R", d'" =: pNYR"'i (r :::: pIVRi \- Sll projekcijc udaljenosti dva mimoilazna pravca . ...gdje je d"' ::::; Pi\( RIl

' ::::; do ujedno i prava veliCinn te udaljenosti.

6\ Zadatak. Odrediti pomocl-i str£l1wcrta presjek dL'a trollgla:

ABCLA(O,40, (I l. iJ{50. 90.70 i. C(S5. /5,25) ] i EFG [E(20.SOJJ). F(3G,15.60).

G(90,6r/JO)], bez IIpotrebe tragova (s1.5. f()).

R j e is e n j e: Oa bisrno rijesili ovaj zadatak treba nacrtati trece rrojekcije troHglov<I i odrediti njihovu presjecnicll. Zadatak je rijesen POl1lOCll sutraznicc m pr:.rc skupine, kao pomocne ravnine trougla ABC po!ozene taekom C. Trecu projckcionu T3vninu 1[3 postavimo okomito na ravninu n, i na ravninu trougla ABC Tada jc i)SQ. ,x_, okomita n3 tloert .'1/' '>utr:ri:nice- 'n Ie ravnine, Odredene su trece projekcije A"'B"'C'" i E"'F"'C-'" trouglova ABC i EFG. Treca

projekcija Am nh'c"" trougia ABC JC pnkaZ3na kaoQuzina, JCf je njguva ravnina okomita na ravninu Tr,. Odredene su trece projekclje pM 1 RIfT presjecnih tacaka Pi R. POlUocn ordinaJa odredene su prve P'i R' :...?- zatim drugc projekdje ph i R" presjecnih tacaka P i R. .

Projekcijc p'::::: P'[{, p" =: P"R" i p"':;:o ptrrR'" su projekcije presjecnica

dva trougla. Vidlji'vo::;t trouglova odreciena je na poznati IWiSin.

7. Zadatal{. lz pmje/.;cija. floC/·to i naerta tehnickog predmeta, l;omoc(u

stranocrra !1acrtati predmet 11 cetvrtoj projekciji. StrwlOcrtno Gsa IX} je pod uglom 6(J' U odllasu l1a OS[{ fX~, a osa JX" pod {{gram 3f]' 1I. odnosu na osu IX}

(sl.5. ] 1).

- ....... -----.------- .. ---...• ---

Page 43: Nacrtna geometrija

il :1 .J, ,I ,

" _,i,,'

76 5, Bokocrl i s/ranocrt (franV~~rlllac"ij~a~) ______ _

8"

F'

Fm

e"/.

y

8"

A',

8'

Sllka 5.1 0

R Le_3 e n j e; U ovom zadatku treba iZYrsiti dvije lransformfjcije zadanog-predmeta. Potrebno je takode obiljeZiti sve njegove vrhovc 1 _ 20 ito u rrvaj Jf - 20' i drugoj projekciji 1" - 20" . TreeD projekciju r _ 201'f i'ehnickog predmeta odredujemo na osnovu udaljenosti njegovilJ vrhova druge projekcije od ose ,X2, Cervrru projekciju JlF - 2{jl' odredujemo kao udaljenost njegovih vrhova prve projekcije od ose ,X3.

Vidljivost predmeta u trecoj projekciji odretlujerno na osnovu njegove prve projekcije, a vidljivost u cetvnoj proje-keiji odredujemo na osnovu njegove trece projekcije, Bridovi pre-dmeta lCoji po laze iz onih vrhova koji su u pre[hod~ noj projekciji najbliz,e osi transformacije, u slijedecoj projekcionoj rnvnini se ne vide, U trecoj projekciji nevid!jivi 511 bridovi 9"'13"', JO'"1f'.ff i 17'''j9''', au cetvrtoj pTojekciji nevidljivi su oni bridovi koji po laze 1Z vrhova ()"i", 8i\', 1 'Oil JdF i 20n ,

5.4 Rijdeni ::adaci

,.," ".,," ,,",," r--7;"q-;;,,~, -,

.' IJ" ,,' ,,' JX, ___ _ 'i-''-----,;,,~.,~."~~f~-\ 6(J"

8. Zadatak. lz projekcUa, tlocrta i nacrta kocke cija osnova ABCD{A(20.40,0), B(20.10.0),C(50,JO,O),D] lei! i_I trl! pomo(;u stranocrta 17[[­

crtati koch!. Stranocrtna osa jX.! je pod uglom 6(/' It odnosu no OSll ,Xl> U osa 3X.j pod uglom 45" 1-1 odnosu nQ aSH jX}

(sl.5.12).

\" ,I 30' i~ ____ ,,-

Slika 5.11

Slika 5.12

•. 'd k' , '1-- 'II 'Ie kao I'l 7 R ' '" ~ . "'. Postupak rjesavanJa ovog za al <l anu uga . , J \:; sen J t" '" , 'v' 1 (' k eke Odredene Sll l'rece

zadatku, U zadanirn projekcIJ,ama ~blllJ~ZC~lJtSUt~rpl~(~/ek~ijc;.· Spu.janj.:m \JrhulJJ o'ekci'c till vrhova a zatun nJl10ve ce vr e '.,' , , ~C'_

~:t~rte ~rojekeije zad~nim redoslijedom dobivena je kocko., a nJclla IN.JC

odrcdena na poznati nacin,

Page 44: Nacrtna geometrija

78 5. Bokocrt i stranoert (transjorJnQcija) -"~-"----

5.5. Zadaci za rjesavanje

1. Odrediti pomocu siranocrta udaUenost tacke T(40,40,55) od pravca p ~ ASiA( 10,25,0),8(80,0,60)].

2. Odrediti pomocu stranocrta udaljenost tacke T(45,50,75) od pravca p s MN[M(JO,40.60), N(80,20, 10)]. --

, , . :t Odrediti pomocu stranocrta udaljenost tacke T( 20, [0,60) ad pravca

p ~ MN{M(40, 60, 20), N(,40.10,70)}.

.. k Odreui[i P0l110CU stranocrta udaljcnast tacke T( J0,45, 40) ad pravca

p =AB(,1(30,60,20), B(90,30,50)), a zatim naci pravu velie-inu uclaljenosti izmedu tacaka A i B.

5. Odrcdifi pomocll stmnocrta llda1jenost tacke T(40.70,45) od ravf1ine £(50,30,60).

6})drcditi pomoC:ll stranocrta udaljenost tacke T(-60,45,50) od ravnine E(-75.80,70).

7"pdrediti pomoc:u stranocrta udaljenost tacke T(50,1O,-30) od ravnine trougla <-inc[~~(;!!, .. lO,70i, B{60,60,10~, C(90,20,40)}hcz upolrebe tragova.

,8: Odrediti POlTlOCU stranocrta udaljenost Lacke T{40, 80, 90) od ravnine tmogJa - ~lBC{AI-30,40, iOO), B( OU,20,5U), C(O.90,20) f bez: upotrebe tragova.

9. ddrcditi pomocu stranocrta udaljenost tacke T(25,90,JO) od ravnine trougJa .1.RC[.-4!. -.;.0,]0.20), B()(), 10.35;, Cr - iU, 7U.60)j bez upotrebe lragova' ..

lO:()(!rcditi P0ll10'::U 5lT311ocrta udaijenost meke T(60.70,70) od ravnine paralelograma ABCD[4(60.60.0), B(95. 0, 25), C(45,20,60), DJ bez upotrebe tragova.

A /] 1'1' Odrc--cliti-pomoC:tl stranocrla udaljenost ta~kc T(-SO,O,60) od ravnine paralelog!ama­\J'-<J,BCD(i'-i(-90,50,20), B(-60,20.-10). C(-JO,40,50), D] bez upotrebe tragova.

l/l?'bdl"Z:diii pomocu stranocrta udaljenost dva paralc1na pravca: ~a ~ AB{A(30.50.15), ))(70.30.40)) i b ~ CD[C(90,50,30), D].

13. Odrediti P011l0Cll slranocrta udaljcllost dva paralelna pravca: 0=,-I8(A(15,20,-20). B(55.5,25)} i b~ CD[C(70,]0.15), DI

r 14. Odrediti P0n10Cll stranocrta uda!jcflost dva parale!na pravca:

(i ~ 4B{~(().n.]o), B(60,SD.70)] i b;;;, CD[Cf80.20.40), DJ.

_______ 79

\q;;:~

'17. ';Odrediti POlllOCU str<lIlocrta najkracu udaljenost dva mimoilazna pravca: 'J' a ~ AB[A( 10,70.10), 8(90,40.50)) i bE CD[C( 1O,}5,50). D(70.30,20)].

Uk Odrcditi pomoc.ll stnmocrta oajkracll udaljenost dva mimojlazn~ pravca: ',c. a E ABlA(O,20,O), B(,40,0,55)J i b~ CD[C(35.JO,40), DI,IS,5,,25)),

19.)Odrediti pomocll straflocrta najkracu udaJ:!enost dva mimoitazna pravca: _/ a ~ AS[A(,30.40,25), B(0,50,50)) i b ~ eD[C(,s,O, 10), D(30,35,lO)J.

11::;d}:'Odrediti'pomocu stranocrta najkracu udaljenost dva mimoilazna pravca:

'Cc/' a' AD[A(70,20,0). B(30,0.50)) i b ~ CD[C)60,50,20), D( 1 }O,JO,40)J.

;: 21. :'Odrcditi P01l10Cll stranocrta najkracu udaljenost dva mimoilazna pravca: . '.,,/ a ~AD[A(,80.,}O,20), /1(,20,5,60)) i b ~ CD[C(,35.40,20), D(,20,lO,lO)).

(,.' ~;~'~bdrediti pomo6u stranocrta pres]ek'lrougla --' ABC[A(60, 10,45), 8(90,60,0),

,~.-/' C(J 35,20,25)] sa ravninom E(60.70,-40).

23.) Odrediti pomocu stranGerta presjek trougJa ABC[A(O,30,45). 8(40,5,5),

C(55,70, 25)] sa ravninom £(50,55,-45). .

24. "Oclrediti pomocu stranoerta prcsjek paralelograma A.BCD[~( ~45~~O,20), 'Bk'15,45,'-I5), C(30,40,35}, D(2U,}5,}O)jsa ravnlllom E(-,-f),)U,_ ).

·,"~i~.>Odrediti pomocu stranocrta presjek p.aralelo~rama ABCD~A(2?,50,40), " B(40,20.70), C(90.10,50). VIsa raVll1l10m £(50,50,·60).

. 26. O'dtediti pomoc1.l stranocrta pregjek troug!a ABC[A(0,40,JO), B( 100,10,35),

c(60,90,85)! 50 lroug!om EFG[E(20,80,5), F(} }O,50.20), G(40,5.70)J i ~jihovu vidljivost u projekcijama.

C;;~'8dredili pomocu slranoerta prcsjek lrnug!a ABC[A(15,!5.45). B(65,}5~80), ;'" _______ ~./ C(95. 7(), 15)] sillrotlglom EFG[E(25,20,25), F(55,80,/O), G(lJ5,30,3 )]

28.

i njjhovu vidljivost u projekcijama.

Odrediti POIllOCll stranocrta prcsjek trougla ABC[Ar 20,15.10), B( 30. 70, ~5). Cn05,30,30)) sa lrongiom EFG[E(30.30.401, F(70,JO,JOO), G(95,70,} )J i njihovu vidljiyost u projekcijama.

Page 45: Nacrtna geometrija

/'"S"OC"T ______ .;S:.:-:.:B"o::k"oo:c::,':.:i",::',,,-O::O'-'O_::C::"eJi.:u"o::"-,sfi"o::':.:"'::":::'",ij::o:.:! _____ . ___ _

i,29. O"ctrediti pomocu stranocrta presjck trougla ABC[.4.(20,45,45), B(70,lO, 75), 'C( 115,65, 15)] sa trouglom EFG[E( lO,6{),]5), F(9(),80,65), G{ 130, J 5,30) 1

--2. njihovu vldljivosr u projekcijama.

30. Odrediti pomocu stranocrta presjek paralclograma ABCD[A(20,35, 70), B(95,20,55),C(J20,30,20j, D) sa trouglom £F(;[£(25,60,50), F(J00,70,85). G(65,0,15)) i njihovu vidljiyost u projekcijama.

31: Na pravcu p ;;;;; MN[M(OJOJO), N(45,J5J))] kZl Gsa oktaedr:J.. Nacrtati projekcije oktaedra pomocu stranocrtfl, aka je taeka A( 55.50,40) jedan njcgov vrh.

32. ~a pravcu p e;;: MN[M(10,80,90J. N(80.10,Oj) lezi Gsa oktaedra. Nacrtali projckcije oktaedra pornocll stranocrta, ako je {atka A(75, 70,65) jedall njegov vrh.

33." [z projekcija, tlocrta i nacrta tehnickog predmem, POlllO(;tl str::tJ]ocrta nacrtati predmet II cetvrtoj projekcijL Osc tranSf0n11acije i-'3 i jX~ oJabr:lli po volji. Projekcije tehnickih predmeta zadane su slikamfl broj I do 16.

Page 46: Nacrtna geometrija

8). ___ 5 B k ' _ _ ___ =' =oO'°cCc~c:..":csC'l"m'C0,,:,o"'-0':c·t-,-(tC':t,,-an,,:,',!,f°O>tO>0!'.w,!:c!l.ij,,-a!..) _______ _

6, Okretanje (rotacija)

6,1, Ol{retanje nopste

Predmeti i geometrijska tijcla U osobitom polozaju dovode se rotacijom aka nekog pravca ~ ase u nove, opste, polozaje prema ravninama projekcija. Projekcije till predmeta i tijela u novim polozajima jasnjje prikazuju te predmete i tijela. testa je potrebno da se tijelo rotacijom dovede iz opsteg U osobiti po!oiaj, u kome se neki zadaci jednostavnije rjesavaju. Okretal1jem tijela aka ase rotacije za neb ugaa, svaka njegova taiSka opisuje luk istog ugla.

Obja.flljenje. Am.la.Cka A rotira aka ase 0, ana opisuje kruznicu k. Srediste te kruznice je U osi 0 i La u nozistu S okomice spustene iz lacke A na aSll

o. Duiina AS"" r je poluprecnlk Ie krtlznice (s1.6.1)' Pravac 0 zove se Gsa, tacka S srediste, a duiina ,45 = r pohrpreenik rotacije. KlUznica k, koju opisuje tacka

Slika 6.1

A, zove se kruinica rOlacije. Ta kruz.nica Idi 1.1 ravnini L. koja se Love ravllilla rotacije, a okomira je na osu .

:-otacije. Obieno se tacka okrece aka

ase za neki zadani ugao i to na desnu iIi Iijevu stranu.

Ako se taeka A akrene ulijevo

za ugao a, dalazi u polazaj AI. Ugao a zove se ugao rotacije. Kod svake rotacije mora biti zadana osa, ugao i smjer rotacije. Obicno se uzima da jc osa rotacije okomita na jednu od projekcionih ravnina, 1T, iii IT] iii da je II jedooj od tih ravnina.

Page 47: Nacrtna geometrija

84 6. Okrettlllje (rotacljrl)

6.2. Okretanje tacke

Aka tacka A rotira oko cse 0 ..L rei za ugna a::::; 1200 ($1.6.2a), ona ce opisati kruzni luk k koji se na Tfj projicira u pravoj velicin.i kao luk e. Sredisre je S'luka k'll 0' , a poluprecnik je S:-1'::::: rJ". Ugao a prikazan je u Tt! u pravoj

velicini, dakle tacka A' opise treCinu kminice i dDde u poJozaj .4;. Nacrt Juka k,

koji ide tackolTI A, paralelan je s osom x. No. nacrtu k" lula k naiazi se Ilucrt A; tacke AI u koju je rotacijom dosla tatka A.

0"

.A'-"_"k_",.-<"S'-"_-----<{~E i a)

x

Slika 6.2

Aka treba rotirati tacku B oka ose () l 7['. zu u~ao 0:.-;;;, !2(t (s1.6.2b). anda to liracnmotm II prefhodriom sJucaju s tim oa zamijenllYlo ravnine 1[1 i 7[2_

6.3. OkretanJe duz.ine

Neku duzinu rotirat, cerna oka osc () za ugao a taka da La taj ugan rotiramo abje njene krajnje tacke (sI.6.3a). Duzina AB ahene se oka osc 0 tako da se okrenu !crajnje tacke A j B za ugao a . Tim okretanjem tacka A dade u tacku Af { A;, A;), a tacka B u tacku B

I( B;, B;). .4; B; c=. d; je [Ioen, a

A;B; =: d; nacrt novog polozaja duzine d ::: AB.

Pomocu rotacije rnezemo odredifi i pravu veJiCinu neke duzine d ::;;: A B na slijedeCi naein: aka se duiina to!iko okrece aka neke ose dn bude paralelna s ravninom Jrj ili 1[2, Ona ce se na tu ravninu prajicirati u pravoj velicini. Radi jednostavnijeg prikaza Uzet cemo da osa rotacije 0 ide wCkom .4 okomiro na JlI

(o':= AI, 0'" ~ x), pa ceme duzinu .4B roticui aka te osc dok nc bude paralelna ~

6.4 OkreiallJe fI~e"'I::ca'--________ _ 85

1'ackaA ostaJ'c na istom mjestu, tacka B opisuje luk k' koji se na Jrj projicira 1[). , .• 'k A'B' u"pravoj velicini kao luk B'B; kame je sredistc 0 ,a potupr'ccOl -' .

Slika 6.3

Kako je rotirana duzina AB, i I nt, njen tlocrt A'B; mora biti pamI.elan.s

osom x. Nacrt luka k BB, -je duiina B"B; II x, a naert rotiranc dUZlfl@---:Je

.4"B; ~ AB (sL6.3b).

. 6.4. Okretanje tijela

Zadanu je kocka svojlm pro~ jekcijama, cije su osnovc' paralelne s IT" te osa o{ OI,Off) okomita na 1[2.

Oko te ose rotirali smo kocku za upao a =: 120'. Ta rotacija vrsena je tako Ja oka ose 0 rotira_;ivaki vrh kocke za isti ugao. Kod takve rotacije ne mijenjaju se oi oblik ni velicina nacrta kocke, nego samo njen polozaj. Tlocrt novog poloiaja kocke je njena jasnija slika (s1.6.4).

c

/ II , 1/ Ii

Stika 6,4

Page 48: Nacrtna geometrija

7. Projiciranje geometrijskih tijela

7.1. 0 projiciranju tijela uopste

Geomctrijska tijela ogranicena su plohama, bridovima i uglovima (vrhovima). Projckcija tijela na projekcionu ravninu dobije se taka, 8[0 se na tu ravnillu projiciraju sve plahe, kojima je tijelo ograniceno. Uglata tijela ogranicena su ravnim plohama, a plohe su ogranicene bridovima i vrhovima. Ako se vrhov( uglatih tije1a projiciraju na projekcione ravnine Da se te pr:jekci~e spoje onaka kaka Sil spojcni vrhovi U ptOstoru, dobit ce s~ projekcije bndova 1 pI aha kojimaje tijclo ograniceno.

Projekcijc stosca i valjka bit ce odredene projekcijom vrlla i osnovc, odneBiio projekcijama obiju os nova. Kod projekcijc tijela na ravninu vidljlve su one pJohe kaje su okrenute prema oku, a nevidljive one koje su okrenute prema TClvninJ projekcije. Bridovi koji dijele vldljivi dio ploha od nevidljiyog zovu se kontumi bridovi tijela u toj projekciji. Konturni bridovi tijeia uvijek su vidljivL Ako je neb vrb tijela unutar,konture vidIjiv, anda su vidliivi i bridovi koii iz tOg

.vrha-.izlaz.e.j obrnuto._NevldljlV je uvijek onaj k6ji jg.u·s~protnoj projekciji bJiz~ 051 x, jer je tada daljc od naseg aka. Proiekciie vidliivih hridovn izv!ace sc PUll1 1rJ, a nevidJjivih isprekidanim linijama. - - .

.. U OVOID je pogJavlju 11glavnom obuhvaceno projiciranje geometrijskih tljCI3 u opst~m 'p-.ol0.Z:ajy._Po~navanjem osngvni1Hyvejstava pravilnih uspravnih g~Qll1ernjskih tijeJa, kao i poznavanje konstruktivnih postupaka obradenih u 4. pogJsylju, U ovom poglavlju lakse se l]davaju slozcniji prostomi problemi , .

7.2. Geometrij~ka tijela

7.2.1. Kocka

K~cka je 'praviJ~o g~ometrijsko uglato tijelo ograniceno sa 6 jednakih '.' ,.,,~jj."'. _~lm[! 12 Jcdnabh bndova i 8 trostranih uglova koji cine vrhove kocke (51./.11. l\ocka lma 3 jednake. meau sobom okomite. ose KL. ,HN, PR i ..j. jednake dijagonaJe AG, Bf{, CE j DF. '

H G

Slika 7.1

7.2 Geometrijska t1jela 87

Ose·i dijagonale se sijeku u tacki 0 koja je jednako udaljena od svih ploha, svih bridova i svih vrhova, a zove $C srediste kocke. Kocka je pravilna cetverostrana prizma.

~. 7.Aldatak. Nacrfati projekcije kocke aja oSTlava ABeD leii u ravnini E(-4(jJ~4b,tO).sa sredistem 11 t(lc~ki S(-35,~,55), a tacka A(-40,-,25)jejedan njezln vrh (sl. 7.2).

R j e sen j e: OS11o,va kocke je pravilan cetverokut kame je srediste.u tack! S. Cetverokut osnove odrea-cn je vrhom A i sredistem S. Visina kocke Je jedan njezin brid prave vcliclne.

Tloerti tacaka S i A odredeni su pU!110CU sutrainica min prvog traga. Preloiene su tacke S ~i A 11 ravninu H, oko prvog, traga e, ravnine~E.--:-Pbmocu prelozenih facaka (5) i (A) konstruisan je kvadrat (A)(B)(C)(D) u pravoj velicini. 'Antirotacijom' i perspektivnom arinosti odredenje tloert. a sutraZmcama prvo~ trai,W nacrt os nove ABeD. Kako osnova kockc leli u ravnini E, njeni boem bridovi su i)komili na tu ravninll. a proiekeije tih bridova morajll biti okomite na 15toimene tnlglive te ravnine. Posta je brid AE okomjt na ravnini E, on je okomit : na priklonici P }Jr/og traga te ravnine., h~a ide kroz tacku A. a ciji <;e tloc11 p'

poklapa sa tlocrtorn brida AI', Vrh E-odreden je nu slijedeci nacin: iz tacke A,v povuccmo okomiCll na prelozenu priklonicu po i nanesemo ao=-AoEo· Tacko~ Eo povucemo parale!u prvom tragu ravnme e/. U presjeku tc paralele sa okonucom pov'Ucenom iz tlocrta tacke A. je tloen tacke E. U presjeku ordinale poYUc:ne tlocrtom tacke E i okomice iz !Jacrta tacke A je nac11 tacke E, Pomocu tacke £(£',£."") i cinjenice da su projekeije paralelnih strana kvadrata paralelne,

dobiveni su tlocrt i nacrt gomje os nove kocke EFGH. Redoslijedom spajanja istoimcnih projekcija obijll osnova dobivene su projekcije kocke.

Vidljivost kocke kroz projekcije odredena je na slijedeCi oatin: .~:~ bridovi kocke, koji pripadaju konturi neke projekcije, vidljivi su u toj projekn)l 1 izvlacimo ih Dunom linijom. U konl11ri tlocrta kocke osta!i su tlocrti tacaka A i G. Kako ie n~crt tackc G iznad naerta tacke A. u t!ocrtu tacka G se vidi, {acka /\ ne \/idi. ,~. vidljivi su 5vi bridovi koji idu iz vrha G i nevidljivi koji idu iz vrha A. lInutar konlure nacna kocke os tali su nuerri vrhova D i F. Posto J~ tioert tacke D

Page 49: Nacrtna geometrija

88 7. Projiciranje geometrijskih tijela

~'i~red .tloc~~ tac~e F, U oacrtu se tacka D viJi, tacka F ne vidi, a vidljivi su svi n:~~~.l. kO]1 ~du lZ ,v:ha D i .ne~i~ljiv~. kOj,i i,elu iz vrha F. Nevidljivi vIh sadrii

. JIve b~ldove Ill,;e nevldlJIVI bndovl sljeku u nevidljivom vThu. Dijelove ~ragOkvadravntn: r:., kOJl SU ostali ispod projekcija kocke, ne vidimo j izvlacimo ih lspre 1 anom liOljOrn.

Slika 7.2

7.2 Geomelrijska tijela 89

2. Zadatak. Nacrtali projekcije kocke ciji jedaJ! brid lefi na pravcu p ""- MN[M(65,55, JO), N(50, 10, 65)}, a tacka A(25,30,lS) je jedan njezin vrh (s1.7.3 ).

R j e sen j e: Osnova kocke je pravilan ce'(verokut koji je odreden vrhom A i uslovorn da jedan ojc2iD brid lezi na pravcu p. Visina kockc je jedan njezin brid prave velieine.

Pravcem p(p',p") i tackom A(A',AN)odrc(lena je ravnina E(el,e2).

Prelozeni su pravac p i tacka A u ravninu TCI aka prvag traga e! ravnine E. Pomoeu (p) i (A) konstruisaoje kvadrat (A)(B)(C)(Dl u pravoj velieioi. Kako so tacke (8) i (C) na pravcu (p), a lacke (A) i (D) na pravcl1 (LJ), njihovi tlocrti ce biti oa tlocrtu, a nacrti na nacrtu pravaca p i q. Dalji postupak rjesuvunjd. analogan je kao u 1. zadatku.

Kako ravnina E ima konvergentne tragove, a kocka osnovom ABeD le:i.i u toj ravnini, to cerno u tlocrtu i nacrtu vidjeti gornju SHanll kocke, a njezinu osnovu necemo vidjeti. Necemo vitijeti ni dio prvog traga Cj, koji je ispou kocke, kao ni diD drugog traga e], koji je iza kockc.

7.2.2. Prizma

Prizma, kao geometrijsko tijelo, nastaje kada se prava linija pomjera po obimu nekog mnogokuta, ali tako; da ostaje sarna sebi paraldna. Prizma ima dvije osnove i oooliko boc.nil}._ploha koliko~mnogokut ima bridova, onol1ko bocnih bridova koliko mnogokut Ima-uglova i dvufmfa veei broj vrhova od hroja·-­uglova mnogokuta. Boene pIche prizme su paralelogrami. Prizma moze biri uspravna i kosa. Uspravna prizma ima bocue bridove okomite nil osnovu, a kOSCl prizmaje ona ciji bocni bridovi stoje koso ua njezinu osnOvu. Pravilna prlzm3 za osnovu irna pravilan mnogokut.

3. Zadatak. Haertati projekcije pravilne, uspravne, petostrune priz.1li2 eija osnova leii u ravnini E(J 5,45,··) 0), sa sredistem u tal.:ki S(35,60<j, poluprecnik osnovi opisane !.Tl.Jil1ice r=30, a vis ina prizme v=85. Jedon brid asnove paralelan je s lC, (st, 7.4).

Page 50: Nacrtna geometrija

90, ______ _

\

\

/ (0,,: .... \~,

~< ~.\

\

7 Pro;iciranje r.:eometrijskih tijela • J "

././,/ E,"'"\-\----~--,!V,'FI \

Slika 7.3

8"

p"

8'

'(' I

/ /

/

Fir ---;'(G II

'\ \

/"

\ \

\

I"

,: , iH"

/" ~ "

/ \

\. RGo

\ \/ \

i ,

j\ \

; \\ \

y

\ \

\ , \

\ \

\ , \

\

\ -,-"";.L-~7"-7f' 1\ ,

\

~ x Ex/ ~E.,,_ --+-~t;:--T

" ,I, .... ~c. /.. \" 1\ /

/ \ ,

IE)

Slika 7.4;

Page 51: Nacrtna geometrija

92 7. Projicirallje geometrijskih tijela

R j e sen j e: Prizma za Osnovu im3 pravilan peterokut kome je srediste u tacki S: Peterokut osnove odreden je sredistem S i poluprecnikom r, pri cemu je jedan njezin brid paralelan s ravninom IT). Zadana v1510a prizme nanosi se na jedan njezin bocn! brid.

Pomocu sutraznice m prvog traga odreden je naert tacke S. Prelozena je tacka S u ravninu 1[1 aka prvog traga ej ravnine E. Pomocu tacke (S) i poluprecnika r konstruisan je pravilan lIeterokut (A)( B)( e){ D)( E) II pravClj velicini, Ciji brid (A)(E) je paralelan prvom tragu ravnine E, posta je taj brid paralelan s nt. 'Antirotacijom' Sll odredeni tlocrti vrhova dooje osnove prizme, a sutrafuicama prvog traga nacrti. tih vrhova. Spajanjem vrhova ABCDE istoimenih projekcija dobivene su projekcije donje osnove prizme. Dalji postupak rjesavanja analogan je kao u 1. zadatku. Kako mvnina ima divergentne tragove, a osnova prizme leii u toj ravnini, vidljivost je slijedeca·. kada se ona promatra 1I smjeru nonnalnog projiciranja na ravninu 1[" vidjet ce se njezina gornja os nova. a kada se ona prOImltra u smjeru . o'onnalnog projiciranja na ravninu !fl, vidjet ce se njezina donja osnova. Zbog toga prizma u tlocrtu zaklanja donJu osnovu pa se vrhovi tlocrta A i B i bridovi koji idu iz tih vrhova ne vide. U nacnu je zaklonjena gornja osnova pa se vrhovi nacrta G i Hi bridovi koji idu iz dh vrhova ne vide.

4. Zadatak. Nacrtari projekcije pravtine, ilspravnc, §eSlOSlrwte

prizme cija osnova leii u ravnini E(-40,oo,30j, sa sredi.ftem u tadd S(-5,40,-). taL~ka A (0, 70,) je jedan njezin vrh, a visina prizme v=70 (sl. 7.5).

R j e sen j e; Osnova prizme je pravilan sesterokut kome je sredlste u tacki S, Scsterokut osnove odreden je vrholU A j sredisr.em S. Zadana visina prizme nanosi se na njezinu osu od tacke S, ili najecian njezin boeni brid.

Zadana prizm~ svojom osnovQm Id:i u drugoj projicirajucoj ravnini. Nacrti tacaka 5 i A su oa drugom tragu e1nl~nine E. Prelozene su tacke S i A oko prvog traga eJ U ravninu 7r:j. Pomocu tacaka (S) i (AJ konstmisana jc osnova prizme. pravilan sesterokut (A)(B)(C}(D)(E){F). Pomocu perspekrivne afinosti i 'antirotacijom' odredeni su tlocrti vrhova donje osnove prizme, a medusobno spojeni odreduju njezin tloert.

U presjeku drugog traga i ordinala povucenih vrhovima donje osnove je

njezin nacrt. U nacrtu se visina prizrne vidi u pravoj ve1icini vo:::: S"V", s obzirorn na to da su njeni bocni brid9vi paralelni S 1[2_ Kako su osnove prizme medu scborn paralelne, dobiveni su vrhovi nacrta gomje osnOve GHIll( j L. U presjeku ordinal.a povucenih iz vrhova naerta gomje Qsnove S:1 okomicama povllcenim iz vrhova tlocrta donje osnove je tloert gomje osnove prizme. Dalji postupak rjesavanja je kao u prethodnim zadacirna.

7.2 Geometrijska tijela 9]

(8J '~"----~-::--7 B'

e,

Slika 75

Page 52: Nacrtna geometrija

114 7. i-rojiciranje geometrijskih tijela

7.2.3. Piramida

Kao geometrijsko tijelo, piramida nastaje kada se prava linija pomjera po obimll nekog mnogakuta prolazeci kroz jeduu taCku u prostoru. Piramida ima jednu OS110VI1, onoliko bocnih ploha koliko mnogokut ima bridova, ol1oliko bocnih bridova koliko mnogokut ima vrho\JB-, a broj uglova jednak je broju \Thova mnogokuta viSe jedan. Bacne plohe piramide su trokuti. Piramida moze biti l.lspravna i kasa. Uspravna piramida je ona Gija je osa okomita na osnovu, a kod kose piramide osa stoji koso na njezinu osnovu. Pravilna piramida loa osnovu im<lpraviJan mnogokut.

5. Zadat.ak. Nacrtati projekq/e pmvilne. uspravlle. petostrane piramide cUa osnova leii 11 ravnilli £(50,35,45), sa sredLftem u taeld S(~1(1. 30,-), taClw A(-J 0,20,~) je jedtll1 njezin vrh, a vis ina piramide 'L!:;:;::80 (.1'1. 7. 6).

R j e sen j e: Osnova piramide je pravilan peterokut kome je srediste u tacki S, Petcrokut osnove odreaen je vrhom A .. i __ ;~fediStem S.-Zadana visina piramide nanosi se na njezinu osu od tacke S.

Sutra:Z.nicama m j n prv0g traga polozenim tackama S i .'1 odreden je nacrt tih taeaka. Prelozene Sll tacke S i A u ravninu JTj oko prvog traga ravnine E. P(1ITlOCU r(lcaka (8) i (A) konstruisan je pravilan peterokut (Aj(B)(C)(D}(E) u :->nrvnj velicini. 'Antirotacijom' i perspektivnom afinosti kons~D.!j_§ill].js;Ulocr1, .. d

pomocu sutraznica prvog traga naert osnove ABCDE. S obzirom na to da tijelo "snO':om lezi U fa'.mihi, njcgova (}~a jc okomj[a na (U ravnmu, a l1Jezme pn'jckcije moraju biti okomite na istoimene tragove te ravnine.

KJko je osa okomita na wvnini £, onaje okomita ina priklonici p prvog traga te ravnine, koja ide tackom S,'a clji se tioert p' poklapa sa HOCftom ()se .

piramide. Vrh piramidc odrcden je na slijedeCi nacin: iz tacke Sa povucemo okomicll no. prelozcnu priklonicu Po i nanesemo V(l:::::SoVa=:::80. Aka lz tacke Va

povlJcerno paralelu s duzinom 50 S;, u presjeku te paraJele sa okomicom

!~ovllceil0m iz tlocrta tacke S, dobiven je llocrt vrha V. U presjeku ordinale povucellc tlocrtom tacke Vi okomice povucene iz naerta tacke S je nacrt vrlla V Spajanjem istoimenih projekdja njezinog vrha i vrbova njezine osnove dobivcne su projekcijc piramide. I

K;:<ko ravnina E ima konvergentne tragove, a piraJl1ida osnovom leii u IDj r;n:nini, to ccmo u tlocrtu i nacliu vidjeti gomju stranu piramide, a njezinu osnovu nccemo vidjeti. Necemo vidjeti ni dio prvog traga e,., koji je ispod piru.mide, k.1o ni dio drugog traga e2, koji je iza piramide.

7.2 Geometrijska tijela 95

Ex

Slika 7.0

Page 53: Nacrtna geometrija

96 7 Projiciranje geometrijskih (ijcla

6. Zadatak. Naertati projekcije pravilne, liJpravne, seslOstran€ piramide tija osnova letl u ravnini E, kOjajednim bridom osnove dodinu"e ravninu n:J, alw je njezina osa SVI5(0,55,35), "1/(75,15,85)) (sl. 7.7).

, R j e sen j e: Osnova piramjde je pravilan sesterokut kome je srediste u

tacki S. Sesterokut asnove odreden je sredistem S i uslovom da jednim svojim bridom dodiruje ravninu nl.

Kako tacka S pripada ravnini £, pomocu sutraznice m te rJ.vnine odredeni Sil njezini tragovi.

Tackom S polot.ena je sutraznica In prvog trag a okomiro nn asu SV i

odredena ravnina E (e" e2). Prelozcnaje tacka S oka prvog traga ej U ravninu 7[}.

Pomocu tacke (S) konstruisana je os nova piramide, pravilan sesterokut, (A){B){C){D)(E)(F) u pmvoj velicini, tako da jedan njezin brid lezi u prvom tragu ravnine E, jer ana dodiruje ravninu 1(}. 'Antirotacijom' i perSpektivnom afinosti konstruisan je tioert, a pomocll sutrtrinieo. prvog traga nacrt osnove ABCDEF.. Spajanjem istoimenih projekcija njezinog vrha 1 vrhova njezine osnove dobivene su projekeije piramide.

-o-Kako ravnina ima divergentne tragove, a pirarnida osnovOrrl !ezi 1.1 taj ravnini, vidljivostje odredena kao u 3. zadatku.

7.2 Geometrijska tijela 97

V"

c,

Page 54: Nacrtna geometrija

98 7, Prajieimllje geometrijskih rijela ----------------~--~~~~~~------------

7.2.4. Tetraedar

Tetraedar je p~avilno geornetrijsko uglato tijelo ograniceno sa 4 jednaka i:;::tostrana trougla. tma 6 jednakih bridova i 4 istostrana ugla koji Cine vrhove tctracdra. Aka se u svakom kvadratu, kojim je ~ocka ogranicena, povtlce po jedn3 dijagonala, kao na slid 7.8, onda sve te dijagonale 'cine 4 jednaka istostrana trougla koji ogranicavaju pravilan tetraedar. Dva brida tetraedra koji ne Ide na istoj plohi, npr. AB i CD, meau soborn su akomiti. Takvi bridovi ZOVll

sc suprotni bridovi tetraedra. Tetraedar 1m3 to para suprotnih bridova. Aka se SPO]C sredista snprotnih bridova duzil1ama KL, MN i FR, tada se te duzine lOvu osc trtracdra.

A

Slika 7.3

Te su osc medu sobomjcdnake i okomite. Sijeku se u tacki 0 i podudaraju sa osama kocke, Aka je a brid kocke, onda je duzina ose tetraedra

jednaka G., a duzina brida tetraedra aJ2. Tetra­edar moze biti praviJan iIi nepravilan. Pravilan tetraedar je ggranicen sa cetiri jednaka istostrana trougla, dok je nepravilau' tetraedar ogranicen sa 4 ncpravilna i ~~~naka traugla.

7. Zadatak. Nacrlati projekcije tetraedra cija osnova ABC leii u 1'G1:nini £(-40,60.-30), ako mil je srediste oSl1ove u tacki Sr'-50.50.-J. a tacka

71f=60.J5,c-)jedan-njezin vrh (51.7.9),

R j e S e 11 j e: Osnova tetraedra je istostrani trougao sa sredistem u tacki S. Trougao osnove odreden je vrhom A i S"recl:i-stem S. Visina tetraedra nanosi se m] njegovu osu od tacke S. ,

Nacrti tacaka S i A odredeni su pomocll sutraznica min prvog traga.

Prelozene su tacke S i A u ravninu n, oko prvog traga e, ravnine E, Pomocu prelozenih tacaka (Sj i (Aj konstruisan je istostrani trougao (A)(B)(C) u pravoj velicini. 'Antirotacijom' odrcaen je tloert tacaka B i C, a sutraznieama prvog ::mga njihov nacrt.

Vis loa tetraedra odredena je konstruktivno. iz pravouglog trougla (C)(S)(D) u kojem sU (C)(S) i (iJ)(S) katele. a (C)(D)=(C)(B) hipotenuza. Ako

taj trougao prelozimo oko katete (C)(S) u rei [(S)(D) 1. (C)(5), (C)(D)=(C)(BJj, onda je (S)(D)~vl). DaJji postupak rjesavanjaje kao u 5. zadatku.

Kako ravnin<.l ima divergentne tragoVe. a tetraedar osnovom ldi 11 toj ravnini, vidljivost je odredena na vee poznati na~in, Slika 7.9

Page 55: Nacrtna geometrija

102 7. Projiciranje geomerrijskih tijela

7.2.5. Oktaedar I

Oktaedar je pravilno geometrijsko nglato tijelo ograniceno sa 8 jednakih istostranih trouglova. Tma 12 jednakih bridova j 6 cetverostranih uglova koji Cine vrhove oktaedra. Oktaedar ima tn jednake, meau soborn okomite, ase KL, MN i

PR (s1.7.11). Ose-~e sijeku u zajednickoj tacki 0, ~M //1 koja se zove s-r-ediste oktaedra. Bridovi oktaedra

Slika 7.11

cine tri kvadiata, Gije su ravnine medu soborn okomite Lsijeku se u osama oktaedra. Po dvije ose ujedno su i dijagollille spomcnutih kvadrata, a svaka od njih okomita je na jedan oJ kvadrata. Oktaedar se sastoji od jvije jednake kvadratne piramide sa zajednickom osnovom.

9. Zada'tak. Nacrtatf projekcije oktaedra, kome jedun b!"id leif na pravcu p E MN[M(30,60,5), N(75,15,20)], a tacka S(45. 30, 45) je njegovo srediste (sl.7.12).

Rj e s.e nj e: Oktaedar je pravjlno geometrijsko ~uglat? tijdo saslavljeno od dvije jednake kvadratne piramide sa zujednickorn osnovom. Osnova je !cvadrat ciji jedan brid lezi flit praVCL! p, a mtka S je njegoyo sredi$rc. V.isina oktaedra je dijagonala osnog presjeka.

Pravcem p(p',p")j tackomS(S~S")odredena je ravnina E{e"ez). Prelo­

zenl su pravac p i tacka S u rav'ninu T£j aka PrV'og [raga e, ravninc E. PomoGu pravca (p) j tacke (S). tj. spu5tanjem okomic-e iz tacKe (5) DU pravac (p) dc-bivena je polovina brida (aoI2) oktaedra. Sa bridom ao=::::(A)(B) konsrruisan je kvadrat (Aj(Bj(C)(D) u pravoj velitini. Kako su taCke (A) i (B) na praveu (p), njihovi tioerti ce biti na tlocrtu, a nacrti na n3crtu pravca p. 'Antirotaeijom' odred'eni su tlocrti tacaka C i D, a sutraznicama prvog traga njihovi naerti. Spajanjem vrhova ABeD istoimenih projekcija dobiveni su tlocrt i naert kvadrata kao osni presjek oktaedra. Vrbove E i F odredirno taka da tackam S povucemo pravac a okomito na ravninu E. Ovaj pravac je osa oktaedra. Nanosenjem prave velicine polovine dijagonale kvadrata (C)(S)=(d;; 12) nu prikIonicu prave velicine po iz tacke So,

dobivena je taCka Eo. Ako iz tacke Eo povucemo paralelu duzini 50S', u

presjeku ie paralele i okomicqrovucene iz tloena tacke S je tloert tacke E. Tloert vrba F dobiven je na osnovu reladje ES;:::SF. U presjeku ordina/a povuc-enih tlocrtom tacaka E i F sa okomicom povllcenom iz naerta taeke S su nacrti meaka E i F. Projekcije oktaedra dobijemo spajanjern istoirnenih projekcija njegovih vrhova E i F sa vrhovima kvadrata ABeD kao osnog presjeka. Vidljivosl oktaedraje odredena na vee poznati nacin.

7.2 Geometrijska rijela

I} q"

,

Q\ A" ,

...... 7 i

y

'stika 7.12

Page 56: Nacrtna geometrija

104 7, Projiciranje geometnjskih lijela

7.2.6. Valjak ,

Aka za osnove prizme, umjesto mnogokuta uzmemo krufuice, tada umjesto prizme dobivamo kruini valjak. Valjak ima dvije osnove i plast oblika raralelograma. Kruzni valjak maze biti uspravni i kosi. Uspravni valjak je anaj cija je Gsa okomita na osnove, a kosi valjak je anaj kame osa stoji koso /la njegove osnove.

10. Zadatak. Nacrtati prolekcije uspmvnog, rotacionog valjka eija OSllova leii u ravnini E(30,··30,3Q), srediste gornje osnove u

tad<:i V(~55,lO,8(J), a tocka T(-20,15,25)je nCl dOl!joj osnovi (sl.7.13).

Osnove rotacionog valjka Sll civije jednake, medu soborn paraleille kruznice, rastavijcllc visinom ase vaUka. Osa valjka je spojnica sredista tih kruznica i okomita je oa ravninu osnovc. Osnova valjka'lczi u ravnini E Ona je kruznica kojoj je srediste S u probodistu ravnine osnove E i okomice povucene lZ tacke V. Srediste S i tacka T odreduju osnovu valjka.

R j e sen j e: Tackom V postav!jen je pravae 0 okomit na ravninu E. Ovaj pravac je osa valjka, ciji se tlocrt poklapa sa tlocrtom priklonice prvog [raga. a njezin naert sa nacrtom priklonice drugog traga ravuine E. Odredena su probodista pravca () sa ravninom i projekc.ionom ravninom. Tlocrtom presjecnice q odre{len je tlocrt sredista S. Sutrazniconi I7l prvog traga odreden je nacrt taeke )' Prelazene su Lacke 5 i T u ravninu ;<;1 oko prvog traga ej ravnirie E. Pomocll tacaka (5) i (T) konstruisana je kruznica (k) u pravoj veHeini -j odredeni su precnici (A)(E) i (C)(V). Dalji postupak rjeSavanja analoganje kao u 17. zadatku 4. poglavlja. Projekcije· gomje osnove valjka'su elipse, koje-su jednake i rarale!ne sa istoimenim projekeijama donje os nove.

Konturne izvodnlce valjka su tangente na njegove osnove u njihovim tjemenima na velikim osarna. Spajanjem istoimenih projekeija donje i gornje osnove, na pomenuti 511 nacin dobivcne projekcije valjka. Kako ravnina irna divergentnc tragove, a osnova leii u toj ravnini, vidljivost valjka je odredena ua V!;::c poznati nacin.

7.2 Geometrijska tijela

G" ,/ /

__ ~_~_/~ACp:,-/~_m-,:_, '_'_" f4_/~---*-'c. //'i \".!)" !

Slika 7.13

105

Page 57: Nacrtna geometrija

_1,,0,,6'-_______ -'-7'-. ,-,-Projiciranje geometnjskih fUe!Q: __________ _

11. Zadatak. Nacrlati pl'Ojekcije lIspravnog, rotacionog vaUka cija osnova feb u ravninj E(80, 70,60), sreuis[e gornje OSfl(~ve u mad V(20,65, 70), a poluprecnikosnove valjka r=30 (s1. 7.14).

R j e sen j e: Osnova valjka je kruznica kojoj je srediste S u probodistu ravnine osnove E i okomice poyucene 1Z tacke V. Srediste S j po]uprecnik r odreduju osnovu valjka.

Kako osnova valjka lei:i u ravnini E, srediste njegove osnove je odredeno na slijedeci nacin: tlocrtom tacke V polo:ztna je prva projicirajuca ravnina F(fj, iz) ciji se prvi trag!J poklapa sa tlocrtom p; priklonice p prvog

traga ravnine E. Odreden je presjek dvije ravnine E i F. Nacrtorn presjecnice q odreden je naert sredista S. S_utraznicom m prvog traga odredcn je tlocn tacke S. Dalji postupak rjes.avanja je kao u 10. zadatku.

Kako ravnina E imn konvergentne tragove, te je donja os nova valjka u toj ravnini, a gamja s njam parulelna, to cerna u tlocr(ll j nacrtu vidjeti istu stranu gomje osnove valjka, a njegovu donju osnovu necemo vidjeti. Neeemo

. vidjeti ni dio prvog traga ej, kaji je ispod valjka, kao ni dio drugog [raga el, koji Je iza valjka. - - ~ ~

---'-

m,'

0'

7.2 Geomefrijska ujeta

k' ~-..". __ ?'

/ ./. \

I

Slika 7.14

107

x Ex

Page 58: Nacrtna geometrija

108 7. Projiciranje geometnjskih tijela

7.2.7. Stoiac

Ako za osnovu piramide, umjesto mnogakuta uzmetno kruinicu, tada umjesto plramide dobivamo kruzni stozac. Kruzni stazae za asnovu ima kruznicu i plast U obliku krninog isjecka. Stozae, kao i piramida, moze bitt uspravni i kosi. Uspravni stolae je onaj cija je osa okomita na osnovu, a kosi kruzni stozac je ol1aj cija osa stoji koso lla njegovu osnovu.

12. Zadatak. Nacrtati projekcije uspravnog, rotacionog sto§ca cija osnOl;Q lezi l{ ravnini E(lOO,85,95) sa sredi.~tem u tacld S(25,-,35);polupre(Slik osn01!( r~30, a "isina sto.fea v=60 (sl. 7.15).

Osnova roJacionog stosca je kruznica, poluprecnika r, sa sredistem u Hlcki S. Osa stosca.ie spojnica vrha sa sredistem njegove osnove i okomita je na ravninu osnove. Srediste S i poluprecnik r odreduju osnovu stosca.

R j e sen j e: Kako tacka S pdpacia raY.ntni E, pomocu sutrainice m te ravninc odrcden je tlocrt tacke Dr~Jozena je tacka S u ravninu IT{ oko prvog lraga ('/ ravnine E. Oko tacke (S) sa poluprecnikom r nacrtana je kruznica (k) i odredeni precnici (A)(S) i (C)(D). Dalji postlJ.pak rjesavanja analogan je kao u 17. zadatku 4. pogJavlja.

Vrh stosca je odreden na slijedeCi naCin:_ iz tacke So jX?yugmo okomicu ns prelozenu priklonicu po i nanesemo v~;;s;V;;;6(f' Iz ta6ke Vo poYUeemo

paDIclu s duzlllom 50S?, u presjeku te paralele sa OkOIDlcom povucenom iz

tloo;;;rta tacke S je tJocrt vrha V. U presjeku ordinale povucene tJocrtom tacke Vi okomice povucene iz naerta tackc S je nacrt vrha V.

U projekcijama; kontume su.· izvodnice tangcnte iz vrha na osnovu. Spnjanjem istoimenib projekcija vrha i osnove dobivene Sll projekcije stosea.

Kako rsvl1ina ima konvergentne tragove, a osnova stosca !ezi u [oj ravnini, vidUlvost slOscaje odredena na poznati J'Jacin.

13. Zadatak. Nacrfad projekcije rotacionog sto§ca iUa osnova leii u r'(71"i1fl1i £(-30 .. ·25,35), vrh 7.rtacki V(-80, 10, 80), a poluprecnik osnove. r~35 (sl.7.J6r

I /

V,'V

7.2 Geomelrijska tijela

v"

/

SJika 7,15

Ex

\

\ "

I

I

109

Page 59: Nacrtna geometrija

--- ---- -----

]]0 7. Projiciranje geometrijskih tije/a

R j e Ii e n j e: Osnova rotacionog stosca je kruznicil poluprecnika r, 6ije je srediste S u probodiStu ravnine osnove E i okomice povucene i2 Tacke V

Kako stolae osnovom lezi u ravnini E, srediste pjegove os nove je odredeno kao u 10. zadatku. .

Dalji postupak rjesavanja je analogan kao u 17. zadatku 4. poglavlja i . 12. zadatku.

Kako ravnina ima divergentne tragove, a osnova stosca leii U 10] ravnini, vidljivost stoscaje odredena na poznati naCin.

Slika 7.16

7.2 Geometnjska tijela ! 11

7.2.8. Kug\a

Kuglaje geometrijsko mjesto tacaka u prosrOnl koje sujednako udaljenc od jedne stalne tacke S. Ta udaljenost je poluprecllik kugle, a tacka S je njeno srediste. Kmgovi kugle, Gije ravnine prolaze kroz srediSte, zovu sc veliki knlgovi, a krugovi Cije ravnine ne prolaze kroz srediste ZOVll sc mali kmgovi kuglc.Vcliki krugovi, okomiti na horizontalnu ravninu, zovu se meridtj(Uli iwgle. a krugovi paralelni s horizontalnorn ravninom zovu se pamleli! ill uporednici. Najvecl uporednik prolazi kroz srediSte kugle i love se ekvuwr.

14~ Zadatak. Nacrtati projekcije hlgle cijeje sredi.§te u tacki 5(30,45,45), a pravac p '" PR[P(40.90,70), R( 100,25,30)J je IIjma tangent" i odrediti projekcije velikog kuglinog kruga (st.7.17).

Udaljenost tacke S od pravca p je poluprecnik kugle. D;.l. bismo odrcdili til udaljcnost potrebno je tackom S posta viti ravninu okomito on pravac p i odrediti probodiste pravea sa postavljenom ravninom. Rastojanje dohivenog probodista i tacke S je trazena udaljenost.

R j e sen j e: Sutrainicama min prve i drugc skupine polozenih tackorn S postavirno ravninu okornito na pravac p. Odredimo probodiste T pravca p kroz ravninu koju odreduJu te sutrazlllce. Outina ST~r Je poluprecnik kugle. Pravom veliCinom SnTn::::.rn duiine ST dobivena je prava veliCina pOluprecnika kugle ro. Oko tacke S( S', SN) > sa poluprecnikom ro, naert.amo kuglu tj. njene kontume kmgove. Veliki kuglin kmg prolazi tatkom S, :1 okomit je na pravac p i lezi u ravnini koju obrazuju sutraznice 111 i 11. Poluprecnik tog kruga jednak je poluprecniku kugle ro. Nanosenjem poluprecnika ro iz tacke S(5',51/) na

tIoert sutralnice m i nacrt sutraznice 11, dobiveni su precnici AB u tlocnu i ;eF u nacrtu. Kako se tiocrt sutraznice III i !lacrt sutraznice n vide u pruvoj velicinj, to ce i precnici AB u tlocrtu i EF u nacrtu biti u pravoj velicini. Oba prccnika se nalaze na sutraznicama koje su paralelne ravninama projekcije, p<1 se otuda uui projiciraju kao velike ose eli psi.

Male ose CD u tlocrtu i GH u nacrtu elipsi, su projekcije precnika CD i GH krugova koji jeze na priklonicama PJ i P2 ravnine E koju obrazuju sutrJ.znlCe m i fl. Duzine malih osa elipsi dobivene su prelaganjem ou.govarajucih prikloni.::8. U JfJ, odnosno 1[2. Crtanje elipsi izvodi se ua jedan ud poznatih l1acina.

Vidljivost velikog kugtinog kmga u prvoj projekciji odredujemo ,lil

05nOV11 njegove druge projekcije i obrnuto.

Page 60: Nacrtna geometrija

1.12 7. Projicimnje geometrijskih tijela

'-_-__ c"

/

-- ---.':.

R' :c' p'

Slika 7.17

r

7.3 Zadaci za Ijdavanje

7.3. Zadaci za rjesavunje

:rracrtati projekcije kocke Cija osnova ABeD leii u ravllini E(90,60,80), a brid

··a~AB[MJO,45,1O), B(40,15,25)].

'f'{acrtati projekcije kocke Ciji jedan brid donje osnove le1:i na pravcu 'I) '"' A1N{M(-25,25,35 J. N( ~45,50,l5)], a tacka A( -55,0,25) jedan njezin vrh na 7r)

3. 'N~crtati projekcije kocke kojoj jedan brid osnove leii na pravcu -, / P 50 A1N[1'I'J( -45,60.5), N( -90,15,20)1, aka je tacka S( -60,30,35) njezino srediste.

113

-~L:Nacrtatj projekcije kocke cija osnova ieti 11 ravnini E( 130,1 10,80), sa vrhom A na n, udaljen za d-:;:;40 od nJ, vrh B je na 1Tl, a brid kocke je a=50.

5._-,Nacrtati projekcije kocke, ciji jedan brid Jdl ua pravCll p '= I .. IN[M( 10,5,40), N(35,35.70 )], <lko je tacka A(65,45,]O) jedan njezin vrh. Udaljenost tacke A ad pravca p je dijagona\a donje asnove.

'6. };Jacrtati projekcijc kocke koja osnovom Idi u ravnini £(=,50.40), cijaje dijagonala

j d=AC[A(O,50,O), C(l5,O,40Jl,

7, Nacnati projekcije kocke koja osnovom lei; u ravnini £(30,=,;;5), cijaje dijagonala

d~AC[A(.30,20,-). C(2(),60,-)j.

3. Nacrtatt projekcije kocke koja 0snovom lefi il ravnini E(=,40,70), cijaje dijagonaiB:

d=AC/AIl5,·,20), C(70,-,50)],

Nacrtati projekcije kocke cija SIl dva bridajedne plohe na dva paralelna pravca: a = PR[P(O,0,30), R(l40,25,75)] , b = AT[A(60,35,20), T] , ako je tacka A jedan vrh

kocke.

10. Tacke A(40,30,30) i C( ]0,80,60) Sil suprotni vrhovi kvadrata koji leii u ravnini okontito na 'If!. Naciiati projekcije kocke cija osnovaje dati kvadrat.

ll,/hiae"iat: projekcije kocke, kojoj jeQ:Da ploha !~zi u ravnini E( 140,120,90), a srediste suprotne plohc u tac~i_§(75, 70,85), dok sujoj cetiri -bripa paratelna S IT}

J 2. Natrtati projekcije kocke, kojoj jedna plaha lezi u ravnini £(30,35,-30), akc je,. -, ---,

duzina d'2 AC[A( 15,45,-), C( 55,20. -)J njezina dijagonala,

_l}. Nacrtati projekcije kocke koja osnovom ABCD lei! u mvoini E(60,50,=}, Cijaje dijagonaJa d '2 A e[A( -10,-,20), C(45, .. , 70}].

Page 61: Nacrtna geometrija

114 7. Pfojiciranje geometrijskih [ijela

14. Nacrtati projekcije kocke cija osnova ABeD lezi u ravnini E( ~50. ·85,50), vrh A na

pravcu m := MN{M( -60,10,0), N(0.30.70)], a vrh C na pravcu n "" PR[P({jO;30,O), R(90,O,·lO)l.

~.::-....::.-.

lS.)Nacrtati projekcije kocke, cija osnova ABeD lezi n{avnini E( -20, ·20,30), sa -.-_/ sredistem 11 tacki S( "15,-,55), a tacka .4.( -20,-.25) jedan njezin vrh.

"

16. Nacrtati projekcije kocke koja osnovom ABeD leii u ravnini E( -40,40.40), cija je d;jaganala d = AC{A(0,40,(}), C(40,30,·)).

17. Nacrtati projekcije kacke, Cijajedna ploha lei! u ravnini Ef 140.100,130), a srediste -suprotne plohe u tacki S(70,80,90). Vrh A donje osnove je na ravnini E za d=40 udaljeno ad n,_

18. Nacrtati projekcije kocke, dja Sli srcdista suprotnih ploha 5V{S(40, 70,40), V(80,30,70)}, taka dajoj cetiri brida budu paralelna SIT!.

---->,. f9.}.Nacrtati projekcije kacke kaja osnovom ABCD leil II ravnini £(60,40, -65) sa

srediStem u tacki S(35, -,60), aka joj jedan brid prolazi wckorn M(0,4-5,50).

'iO~acrtati projekcije kockc Gija dva brida osnove leze na para!elnim pravcima: In = MN[M(25,55,J5), N(35, 10. 75)}, ; n ~AK{.4(60,JO,JO), K}, aka je lackaA jedan njezin vrh,

21; \Nacrtati projekcije pravilne cctverostrane prizme koja osnovom !ezi u ravnini £{ 120,70,1(0), eiji jedan brid je na praveu p ; PR[P(75,O,·), R(O,40.0)], tacka A(·2S,4S,-)jedan njezin vrh, a visina prizme \'=90,

, i2~-;Nacrtati projekcije pravilne uspravne petostrane prizmc tija osnova leii u ravnini - £(50,30,40), sa sredistem u tacki S( -40,25,4()), tacka A( -10,} 5,20) je jedan njezin

vrh, a visina prizme v= 70.

23. Nacrtati projekcije pravilne cetverostrane prizme Cija osnova !ezi u ravnini zadanoj

sa dva para!elna pravca: a '5. AK[A(20,40.l0), K( 80,55,40)) j

b'5. PR[P(20, J 0,50), R.J, ako su joj dva brida na zadatim pravcima, jedan vrh u tatki .4, a visioa prizme v=70. ~

~ .. "/'-24: !~acrtati projekcije pravilne sestostrane prizme, kojoj je osa SV[S(20,50,40),

"-_/ v(80,80,80)/, polupretnik osnovi opisane kmznice r=45, ako jejedan briJ osnove ''"---. .. / pamle tan S Jrj.

~

2~. Nacrtati sve projekcije pravilne cetverostrane prizme, knjoj je os nova u ruvnmi £(70,50.-70), cija je dijagonala d ; AC[A.( 50, ,,30.), 090, ,.50 J./, a visinu prizme v=50.

....... _. ____ .... L. __ to:>-/ -?~'~!~/7T --'1""-a,P_~':;~ ,ti2>';iAf:~I#};; ~??~f,Y4/.s~ //~

Ji//qt"'(""Q<;~/.,/IO/YV#/7/V A'/'h'.3 ~ z,.1';y . /. 73 Zadac! za rjeSavarlje __ 115

",/ .--..... ':/ 26. N'acrtati projekcije pravilne cetverostrane prizme koja osnovom lei! u ra-vnini

'. ..E(50,50,~), cijaje dijagonala d = AC[A(lO,',lO), C(40,",60)}, a visilla prizmGV~70. '--=-~

1/---'" : 27. 'Nacrtati projekcije cetverostrane prizme Cija je osa na pravcu p ~ PR[P( -30,80,0),

\,~ ... .-.-/ R( 50,}0,90»), jedan vrh osnove u tacki A(lO, 70,15), a visioa prizme V= 7v,

:::-'.:::----'

/~ iSi'Nacrtati projekcije pravilne sest6strane prizme, bja osnova ABCDEF leii u ravnini ,"~~~:/ E( -40,=30), sa srediStem u tacki S(-5,40, -), tacka A(0,70, -) jed an njezin vrh, a

visina prizme v=70. ,"~ AI ytfr'J

(JNacrtati projekcije praviInc sestostrane ~{zme cija osoova ABCDEF [eli u ravnini E( 35,30,,35), sa sredistem u tacki S( 30,40,-), tacka A( 15,70,-) jedan njezm vrh, a visina prizme v= 70.

._-\,

30 .. ,Nacrtatj projekcije kvadratne prizme, cija osnova je u ravnini £(20,70, DO) sa ,- sredistem u tacki S(10.-.40), jedan njezin vrh u tacki A(J5,-,55), a visina prizmc

----"w;;;;50. )'}, /31. ~acrtati projekcije pravilne sestostrane prizme Cija 6S110va leii u ravnini 1) /E(=,60,50), ako joj brid AB dodiruje 11:], srediste u tacki S(50,30, ), a vis ina prizme

v;:;;40.

avnina kvadrata ABCD okomjta je na pravac p =:; MN[M(-50,J5,80), l'./(50,70,1f)J} ,$U vrhom u tacki ..1(0,20.80) i sredislem' na praycu p. Postaviti S;J jcdllt strml'::

j.,<;;.:~kvadratnu uspravnu piramidu visine vo:::40, a sa druge slrune llspravnu prizmu visine v=40. Nacrtati projekcijc ovako nastalog geometrijskog tijcla.

33.' Nacrtati projekcije pravilne uspravne cetverostrane prizme, Cljd O;:i1l0V:1 Idi U

',.--./' ravnini E(l5,1S,-W), sa sredistem u tackl S(U,-,35), meka AI 25.-,25/ jcJan ilJGzin vrh, a visina prizme v=70.

3-:r.1J{!ynati projekcije pravilne uspravne cetverostrane prizme cija osn-ova lezi u Ja~~ini E(oo,70,70j, sa sredistem u tacki S(40,35,'), tacka A( 10,25,-) jttll1n lljtzin

/~::::::':,vfh, a visina prizme v=80.

3~;-'.-~acrtati projekcije pravilnc' sestostrane prizme, cUa 05nova kzi II ravnini ~ £(20,15.-15), sa sredistem u tacki 5(25",+15,), jedan njezin brid na pravcu p '5. MN[lvf(-60,-,O), N(0,-,60)], a visina prlzme v:::o90.

, 1 _" ! 36.-'Nacrtati projekcije pravilne llspravne cetverostrane prizme kad koje dV;J briJa

osnovc JeZ.e na paralelnim pravcima: a == AK[A(O,40,60), K(-45,20,O)) i .. ,_._.". q~¥:,£R[P(-90,55.0),R»jerJan r~ezin vrh u tackiA, a visina prizme

:~l"---:' ~'

Page 62: Nacrtna geometrija

1-16 7. Projiciranje geometrijskih rijela

?o7. Nacrtati projekcije pravilne uspravne petostrane pirarnide cija je 03nOVa u ravnini , E(llO. 90,] 10), sa sredlstem u tacki S( 30,30,-), jedan njezin vrb u tacki A(l0;20,-), a "vlsiml piramide \/:::80.

38. Nacrtati projekcije pravilne uspravne sestostrane piramide Cija OS11ova leii u ravnini

E ~ ADP[A (] 0, 60,70), D(70,50,20), P(40, JO, JOO)], aka je AD dijagonala osnove, a piramide 1'=100.

39. Nacrtati sve proje,kcije pravilne uspravne cetverostrane piramide cija mmova lezi u

raYllini £(70, -50,50 J. kojoj je brid a =- ABlA(50,-.60), 8(60,-,80)], a visina piramide \/:::80.

-to. Nacrtalj projekclje uspravne kvadralne piramidc kojoj je mmova u ravnini £(20,-25, -20 >. dijagolla!a osnove d "" AC[A(55,] 5,-). C( 115,55.-)j, a visina piramide v:::75.

41, Nacrtati projekcije pravilne petostra11e piramide cija je osa SV[S( 45,55,20), V(20,30. 65)}, ako je precnik 05novi opisane kruznice R=50. a jedan njezin brid fMra1e!,m S 7fj.

42, Nacnati projekcijc pravilne uspravne petostrane piramide Cija je 05110va ABCDE u ravninj £(30, =,-30), sa srcdistem u tacki S( -80,50, -), tacka A( -55,80.-) je jedan njezin vrh, a visina piramide v:::::80.

"i'iacrtati projekcije pravilne sestostrane piramide kojoj je oSllova l\ ravnini E(40,60,-30), srediste u tacki S(50,40,-), poluprecnik osnovi opisane kruznice r:::3U. visina piramide v=80, d o:;novni brid AS p-arale!an s /tl.

44. ~-acna{i projekcije pravllne uspravnc -::etverostrane piramide cija osnova ABeD lezi u- rnvnini £(30,30, --20), kojoj je duzina d == AC[A( 50,55,-), C( -1O,65,~)] dijagonaJa OSIlOVe, a visina piramide v=60.

45. Nacrtati projekcije pravilne uspravne cetVerosfrane piramide cUa osnovaABCD leii \l ravnini £,(=,70,50), kojojje duzina dEi\C[A(-35,55,-), C(30,20,-)]dijagonaJa os nove, a visina pirarnide 1'=70.

-tn. tJ ravnini £(30,30,-30) lezi kvadrat ABeD sa dijagonaJom d EAC[A(20,-, 70), C(-20,55,·)]. Postavit] na kvadrat uspr~vnll piramidu, visine v:::::60; a ispo{Lkvadrata ~LSpra\'nu prizmu visine \1:::30. Nacrtati projekcije ovako nastalog geometriJskog tijcla.

,.f7" U ravnini E( 30.30. -20) lezi kvadrat ABeD cua je dijagonaia d;:;; AC[A(50,55,-), Cf-JO,65,-)/. Postaviti na kvadrat uspravnu piramidu, visine v:::70, a lspod kvadrata uspraVl1U priz.mu visine 1'=60. Nacrtati projekcije ovako nastalog geometrijskog tijcia.

7,3 Zadoci za rjdQvQnje 117

4J~': lFbvnini E(30,30,-40) lei! kvadrat ABeD cijaje dijagonala d;;; AC{A(50,50.-), '--''((-10.60,-)]. Postaviti na kvadrat uspravnu piramidu visine v=65 i nacrtati njezine

<::S.:_projekcije,

4?,~ 6 ~avninl E( ·35,35, -35) Jezl pravilni sesterokut sa sredistem u tacki S(--30,·,45) j c"'---/'Jednim vrhom u tacki A{O, 50. -), Postaviti fla sesterokut uspravflu piramidu visine

v=80 i nacrtati njezine projekcije,

50)Nacrtati projekcije pravillle petostrane piramide cija osnova lezi 11 ravnini '- .... E(30,·60,-20) sa sredlstem u tacki S(60,40,-), poluprecnik osnovi opisane kruznice

__ 1~-:::25, vis ina piramide v=70, a osnovni brid AB je paralelan s ii'

51. Nacrtati projckcije pravilne sestostrane piramide Cija osnova lezi 11 ravoini '/E( 40.60,-30), sa ~rcdjsteln u tacki S( 50,40, -), poluprecnik osoov1 opisane kruznice

r=-40, visina piramide v=80, a osoovni brid AB je paralelan s tt2'

52~' ;:4acrta1i projekcije pravilne pctostrane piramide cija osnova leb u ravnini ;'-'E(W,30,-70), sa osnovnim bridom AB[A( 10,-,5), 8(30,-.20)}, a duzina bocnih

bridova .5=-70.

'53r' Nacrtati projekcije pravihw sestostrane piramide Cija je osa SV[S( 30,40,50). )LV(70,-80, 10)), duiina-bocnih bridova s=75, a osnovnj brid AB je parale1an~ IT].

_i'~

54~ Nacrtati projekcije pravilne osmostrane p-iramide eija je boena pIoha /~lBv[Ar40,70,O), B(60,70,0), V(50,JO,0) Ju IT"

,_~. :Iticrtali pn'jekcije pravihlc cetverostrane piramide cija osnova ABeD lezi u ravnini .,"-,./ '£(40,.10,45), sa's-n;;i:lisrefifu tacki 5"(30,30,';, tacka A( 60,50, -) je jedan njezin vrh, a

'- ':rh piramide 1I 1"[:

,/j 56_/Nacrtati projekcijc pravilne uspravne cetverostrane piramide kojoj osnova feZi u

",~,.~/; ravnini £(80,70,=), cijaje q:ijagonala d?,r1C[A(20,-,30), C(50.-,90)J~.y~ina , piramide 11= 100, - .

~57. N~crtati projekcije pravilne uspravne sestostrane piramide, cijaje osnova li ravnini ------~~E( 10,10,-5), sa sredistem u tacki 5,'(0,70,-), tacka A(-40,80,-) jedan njezin vrh. a

visina piramide 1'=100.

58. Nacrtati sve projekcije pravilne lispravnc pctostrane piramide Cijaje osnova u ravnini £(.100,80,100), sa sredistem u tacki S( -35,30"-), tacka A? --20,25, -) jedan njezin vrll, a visina pi rami de v:::: 70.

Page 63: Nacrtna geometrija

118 7. Projiciranje geomerrijskih tije/a

59. Nacrtati sve projekcije pravitne uspravnc sestostrane piramide cijaje osa SV{S(30, 25. 20), V(60.70.70)), aka je duzina brida d=20, a dva brida su paralelna

sa trt-

60. Nacrtati'projekcije pravilne uspravne petostrane piramide cljn osnova lei.i u ravnini E(40. 00,'30), sa sredistem u tacki S(O, 50, .J, taeka <~( ·20,65, -) jedan njezin vrh, a

_ yisioa pirnmide v=80.

61. NacI1ati projekcije pravilne uspravne sestostrane piramide kojoj osnova lez.i u / ravnini E( =.50.70), cija je dijagonala d =. AD{A(lO,·, 10), D(70, -,55)), a visina

piramide v",,90.

62. Nacrtati projekcije pravilne uspravne sestostrane piramide kojoj je lacka A( -55,60,30) jedan vrh osnove, srediste nu pravcll p '= PV[P( -75.JO,Oj, \'/(1S,70,70)], a_Ylh,p.iramide u tacki V.

"~'---=--~

"'------CiiJJNacrtati projekcije tetraedra ABC V koji JeZi u ravnini datoj pravcem J a ~ MN[M(20,60,0), N(75,5, 15») i tackom C(25,20,50), kome jedan brid osnove lez!

na pravcu a, pri cemu je tacka C jedan njczin vrh,

l ' j(.f.!)Jacrtati projekcije tetraedra cija ploha ldi 11 ravTlini E(20,25, J 5 j, cije je srediste 1.1

, tacki S(30,-,50), a tacka ..1(0, -,50) jedan njegov vrb.

-65:' Nacrtati projekcije tetraedra kome je osnova u rav!!ini E( 50, ·50,50I, ciji je brid ".--ABz80 na pravcu p is AM[A(10,SO,-), M( 150,-,0)], aka je tacka A jedan njegoy wh.

\66~ Tacka A( 50,50,85) je vrh istoslranog [mugla ABC eija je ravnina akomita na pravac p a }yJN{M(80~100.0), N{-40,O,lOO)j sa sredistem na tom pravCll Nacrtati proiekciie tetraedra kome je ploha tfOugao ABC'.

67. N~crtari projekcije tetraedra, kome jedan brid lezi na pruvcu p ~ MN[M(45,60,5), tj(90,J.:2~?O)], a tacka C( 35,20,70) jelhu! vrh omove.

·68; Nacrtati' proje-kcije tetraedra ABC, V aka je V iznad ravnine 1:,", lacka A u ltJ, vrh C na ,,L pravcu p;;::; BN[B(.lOO,20,60), N(160,90,60)), a ploha tetraedra ABC !ezi II ravnini i 0"-\ sa 1[, za[vara ugaa ad 60°. ,/~-::'\

(6~,;'Nacrtati projekcije tetraedra ciji vrb je u tacki V( 1 0,10,30), sredistc suprNne strane '--- l·\a pravcu p so:: AB[A(50,70, 10), B( 100,30,70)7, visina tetraedraje uda!jenost tacke V

od prllvca p, a jed an brict mu je paraleJan S Jrlo

70. Nacrtati projekcije tetmedra cija je osnova istosinmi troHgao ABC U nlvnini l.Uclanoj tackama MNP[M(O,O,O), N(40,'-l-0, 0), P(-40,(J,50)J, srediste osnove II racki S(O.45.-J. a tackaA(-25,50,~) jedall njezin vrh.

7.3 Zadaci (.Q rjdavanje

71. U ravnini E(-30,30,-30) lezi istostrani trougao ABC sa sredistem u tacki a tacka A(-20,25,~) jedan njegov vrh. Nacrtati projekcije tetraedra pOsTav!jcnog trougao.

72. Nacrtati projekcije tetraedra ABC, V cija ploha ABC lezi u ravnini E( 140,70,1(0), vrh Ana 11:1 udaljen za d=50 od n], a brid BC,,=70 je paralelan s 1[;2·

73. Nacrtati pro}ekcije tetraedra Cija ploha ABC lei! u ravnini £(80,60,70), kOfDe je srediste plohe u tacki S(20,20, ~), a tacka A(O,15.-) jedan njen vrh.

74. Nacrtati projekcije tetraedra cija ploha ABC Ie±i u ravnini E( 40,70,40). kome je duiina AB[A( 1 0,10,-), B(O, 60, -) 1 jedan brld.

Nacrtati projekcijc oktaedra, kome je jedan brio na pravcll p "" AIN[M( 10.90, lOi,

N( 85, 10,60)J, a srediste u tacki S(40,40,60).

-'](i~: Nacrtati projekclje oktaedra cija dva brida Ide na paralelnim pravcima: A a ~AB[A(70.7D,OJ, B(}05,O,40Jl ; b ~ CD[C(120,60,25J, D 1, ako F tacka C jedan , vrh osnove:

Nacrtati projekcije oktaedra kome je jedan vrh u tacki G(30,10,10) van ra'.'nine E( 150,J 10,J20). U ravnini E leii osni presjek A.BCI), a dva brida Sll par~l!ellla S H"

'(78;,)Nacrtati projekcijc oktaedra Kome tlijagonala OS!log prcsJcka d == ·tc·iA{ -00,20,-1. <.:/ C(-J40,45,-)}'-leii u ravnini E(-30,··25,-30).

79. Nacrtuti pro-jekcije oktaedrci komc pravac p ~ kJN [M(u,s:), ~(j), N{ ou, j 5.D)) predstavIj"a jednu od os a, u tacka A{70,50,45) jedan vrh.

80. Nacrtati projekcije oktaedra kome dva brida Ide na paralelnim pravcima: a == MND''!t((),35,O), N(100,0,100)J i b so:: AT[A(50,60,lS), Tj, uk,) je jeJull I,'di

oktacdra u tacki A.

81. Nacrtati projekcije oktaedra kome osni presjek leii u ravnini £'(6U,75, ()()i, aku j~ duzina d is AC[A( 35,-,30), C(85,-,55)J dijagonula osnog presjeka.

82. Nacrtati projekcije oktaeJra kame dijagona\a oSllog presjeb d "" '~CI/1.( 4I..i,J5,~),

C(-50,95,-)] leii u ravnini E(-40.80,-60.).

83. Nacrtati projekcije oktaedra cija cetiri vrha ABCD Ide U favnini kojaje okomib na n:_ DuZina d so:: AC[A(60.20, 115), C( 105,65,20)) je dijagollctla OSl1og presjeka.

84. Nacrtati projekcije oktaedra kame osni presjek ABCD Idi u ravnini E(60, 65,50), jedan je vrh u tacki A(30,70,JO), a dva suproma brida paraiel\lCl s rei'

Page 64: Nacrtna geometrija

120 7. ProjitJrallje geometrijskih (ijeln

35. Kvadral ASCI), zedan dijagonalom d" AC[A(60", 75), C(90, ,,20)J leii u ravnini £(40,-50,=) i predSlJvlja osni prcsjck oktaedra. Nacrtatj projekcije oktaedra.

86, t' favumi E" MNp{M(-40,O,0), N(}O,J20,O), P(,70,O,50)] leii kvadrat ABCD koji pr:,d~<;tavlja o::ni pr::sjek oktaedr~ .. Nacrtati projc:fcije oktacdra kame je srediSte u taClq S(~45,6J.-), aJedan vrh u lackJ A(-70,40,-).

87. U ravnini E(30,30,·35) lezi kvadrat ABeD sa vrhom A(50,55,-) i sredistcm u tacki S( 10,60.·-) koji je osn! presjck oktaedra. Nacrtati projckcije oktaedra.

88. Nacrtati projckcijc rotacionog valjka cija donja osnova lezi u ravnini zadanoj sa dva paraleinJ pravC<l: a == AB{A(30, 15. JOJ,. B(-20,45.75)j i h = CD[C(70AO,O), D! sa srcdistclT1 u t(1cki S(20, 75" J, po!uprecnik osnove r=3/5 i visinn vaUkn v=65. .

09~,Nacn<ltj projekcije rolacionog valjka, kame je osa S\'[S(60,45,50), V(25,80,85)J i p()itlprecnik osnove r=40.

90. Nacn:)ti projekcije rotacionog valjka kame osnava Ie±i U r<lvnini E(·80,~50,90), tije je "rediste u tack! S(-70,30,70), poluprecnik 1"=35 i visina valjka 1'=70.

91. Nacnari projekcije rotacionog valjka kame osa jeli na pravcu p "" S"R{S(95,35,35), P(110,]5.20J!, <1ko je S srediste donjc -oSrlOve, tacka Tijo)5,50) 11a njegovom r\i<l~tu. n vi5in8 vaUka 1'=80.

92, 0~lcrlC1ti svc projekcije rotacionog valjka kome jc osa SI/[8(30,30,35), V(60,80,35)]. precnik osno\"C'. f?=50, ako don]a osnova sa J!~ zatvaru ugno od 30".

9.3, "-:acrl(1ti svc projckcije rOlacionog valjka kome je srediste osnove u tacki .\!.1i),.30,3!'h. precnik osnove R=50. osnova okomila na Jr; i zatvara sa 1{/ ugao od bO", a visj-n,l valjka v=70.

94. Nacrtati sve projckcije rotaclol\og valjkn komeje, osa 5V[S(40;25,30), V(70,50,6V)), :'1 p!Ycnik osnove R=50 .

IlS, ~acn:lti sve projckcije rOlaclonog valjka kome je osnoVa u ravnini E(l 00,70. 60}, srediSte aSH 01'1;; U tacki S(30,~,25), tacku A(25. ,40) na obodu osnovc. a visioa valjka 'v~";;60.

\}(,. -:'-![]cr!;1ti projekcijc rOlac!onog valjka l;;:omeje srediSte os nove u tacki S(-35,35,25), a

njena tetiva MlY leii nn pravcu p =.: LN[L(-5,75,15), N(65,30,15)). Visina valjka 1'=80. ---=

7. ? Zadaci za fjdal'Qllje 121

97. Nacrtati sve projckcije rolacionog yaljka aka su ua obodu ujegove osuove tacke A(45,15,40). B(55,40, 15), C(65,20.20), a visioa valjka v=60.

98. Nacrtati projckcije rotacionog valjka cija osnova leZ:i u ravnini £(30,00,40), aka je njeno srcciistc u tacki 5(0,50,-), poluprecnik ,.=40, a visina valjka v=80.

99. Nacrtati projckctie rotacionog valjka Cija je osa SV{S(-40,60,70);-V(20,40,40)), a poluprecnik osnove r=35.

100. Nacrtflti p.ojekcije rotacionog valjka kome je osnOV3 U ravnlni E(80,80,60}, srediste osnove ,'),(20,3(),-). poluprecnik r-=-25 i visina vllljka v=40.

101. Nacrtati sve tri projekcije rotacionog valjka. visine v::::.50, cija je osnova u ravnini £(70.50,40) i koja dodiruje sve tri projekcione ravnine.

102. U ravnini £(-30,= .40) letj kruznica sa sredistem u tacki S(~5,40,-) i poluprecnikom r=30, Posmviti na kmznicu uspravni valjak, visine v-::=:.40, a ispod ravnine uspravni sto:z.ac: sa vrho111 11 lfJ i nacrtati projekcije nastalog tijela,

103. U ravnini £(30,30,,30) iet.i knlznlca sa sredis:tern u tacki S(20,60,-) i poluprecnikom r=-I~: .... C?.,:~taviti na kruznicu uspravni vuljak visine v=30 i nacrtati projekcije vaJjka.

j 04. U ravnini £( 00,50,60) Jeii kruznica, cije je srediste u tacki S( -20,30,-), a dodiruje prYi trag raYlline. llost(lvlti na kruznicu lIspravni valjak visinc \'=40 i nacrtati projekcije valjka.

lO5. :';-acrlali pn-::jekcijc rotacionog ';aJjk:! kame jc osnov;) u ravnini E(30 .. '10.30) cije je sredi,ste u tacki S(-20,-,20), a tacka T( 10,30,30) je mi. obodu gomje osnove.

, 106. Nncrtall projckcije rotacionog valjka kame osnova lezi 11 ravnini £(-80,80.140) cije

je srediste u tacki S(5.45,-), tacka /\(·50,80,25) je na plastu, a visina valjka v=70.

107. Nacrlati projekcijc rotacionog valjka kame je srediste donje osnove u tacki

S(50,5(),40J- Tetiva '/."rN donje osnove leii na pravcu p:;:; PN{P( /0,110,20),

/\'(95.45,20.)], a visina va!jka v=90.

108. Nacrtati projekcije rotacionog vaJjka kome je osa SV[S(30,30,35), V(65,65,65)] i

_d_~~~p.65;20,35) na plastu valjka. - .;::<0::','\

{V~~/NaCrl<lti prujckcije rotacionog stosca, Cija je osa na pravcu a ;:;;; VT[V( -110,80,10), ,o::,,",~ Tf-30,25,80)j, vrh u i.aCki V. a osnova prolazi tackom A(-70,70,80).

110. Nucrtati projekcije rotncionog slosc:a kome je vrh u tacki V(-15,] 10,25), osnova u ravnini £(·45.-30,60).;l izvodnicc zat\'an~ju sa osnovom ugaa od 60".

Page 65: Nacrtna geometrija

122 7. Projicirtll1je geometnjsk~~.~:Ij!~e~h~l __________ _

Ill. Nacrtati projekcije rotacionog stos~a cija os nova lei! u ravnini E(=,65,80), sa sredi§tem u tack! S(50,-,40), tackaA{20,-.15} na obodu OS110ve, a visina stosca v=70.

112. ~acna:i yrojekcije rotaciol1og stoka koji sV?Ji!l1 plastom dodiruje ravninu J[i U lzvodmCI VA[\l(-JOO,90,0), A(-20.50.0)/ i kOl11e-je poluprecnik osnove r=40.

113. Nacrtay projekcije rotaciO!10g stosca, eija OSllova lezi u ravnini EO 70, 100, 100 j, komeJc vrh 1I tack! V(90,80,80), a prccnik osnovejednakje visini stoSCfl..

/f·'\, , ,~,t~,:iiNacrtati projekcije roracionog stosca kome je osa ilL! pr<lVCU P 0;; SR[S(95,35,J5),

,,/ R( 110,15,20)), a srediste u tacki S, poluprecnik osnove r=35 i v\sina :nosca 1'=80.

115. Nacrtati projekcije rotacionog stosca, kame je srediste ('.snoye u tacki S(0.30,40),

pmyac p ~ MN[M(40,50,5), N(60,1O,25)] tangenta osnove, a visina Slosca v=}OO.

116. Nacrtati projekcije roracionog stosca koji osnovolll dodirujc ravninu ][1 i pruvce: a 'E!.AB[A(80,-20,60), B(30,20.0)} i b 02)"C[A C(1 JO,70,O)}. a visioa stosca ,-,=60.

117:_ Nacrtnti projekcije rotacionog stOSCll, kome je aSH Il:l pravcLt YA[l'( 10,85, }()). A(60,0,65jJ, a izvodnicu na pravcll VB/V, §(0~,55,JOO)I, Jko je: Juzina jzq)dnkc s=85.

IHi. Nacrtatl p["(lJekcije l"UVllos[ranog rolaciono<! :;lo:,ca .:ija v:,llO\a proic!LI u2:k,alld.

ABC{A(50,50,IO), 8(140,JOO,50), C(SO,20,9(J}.

-ll2..~llicrtati j.'1l\)jkkcijc: (l)[UCillilUg "lO;Ca hutfl<.: J'-' "rcJi::.r.; u,,['u\-"; LL ;;,,::\'-,1 Si __ :;O,:'o,}~e;),

precoik R=50, osnovu okomita na [[2 i sa 1[;-zalvara ugao od 30", a visiiia ~tOSca v=6U.

120. Nacrtati sve projekcije rotacionog stosca komc je osnova L! r~\\"!lini Ei ,70,80, 50), a dodiruje ][11 1[2: precnik osnove R=-+O i vislTI1TSWsca 1'",,60.

j',29U ra~nini E('70,60,55.l1di kruznicn cijc je srediSte u tacki 5(-25.,)0,-), poiuprecnik ~--:., r=3). Na kruznicu !znad ravnine postaviti valjak visine \'=70, a ispou ravninc stozac

clji je vrh u nl i nacrlati projekcije nastalog geometrijskog tijela.

122. Nncrtati projekcije geometrijskog tije!a kaje Ilastaje ratacijol11 lroue:la ABCjA(40, 70,30), B( 100,10,60), e{70.30,30] oko slranice riB. -

123. NacrtaLi projekcije rotacionog st~ca. kame je vrh V(-60,30,]O), srediste 0snove

S(0,60.50} i izyodnicam =0.: ilk!!,!!', J1(-10.JO,60)].

_ ____________ .".c73 _Zadaci ?a rjdaVCl/lje 123

124. Nacrtati projekcije rotacionog stosca kome os nova ldi u ravnini E{ 100,80,90 j, vrh li tacki V( -40.10.10), a po!uprecnik osnove r=40.

125 . ../N"acrtati projekcije rotacionog stosca kome je osa na pravcu p "" JI'VIM(3())O,65),

,,~~ - V(-30,70,O)), vrh u tacki V, a osnovaprolazi tackomA(10,65,70).

126. '~~6ka V( J 00,80,80) je vrh rotacionog stosca cija osnova lcZi u mvnini B( 160,130,90). Precnik osnove jednak je visini. Nacrtati projckcije stoi3cu. ,

127. Nacrtati sve tri projekcije rotacionog stosca visine v:::::50, kome je osnova II ['al,nilii

, £(70,50,40) i dodiruje sva tri traga ravnine. )t~

-/}Z' (~iNacrtati _pTOjekcije rotaciol1og stosca kome je os nova u ravnini E( 85,7U,! (j() i, \,1'1\ II

/:~j,">Y'''"'l tacki V(3(),Q,0), ajedna iz.vodnica stosca lezi U 1(/.

129. Nacrtati sve projekcije rotacionog slOsca kame je osnova u ravnini E(50,~·'-!O,,){/), srediste osnoye S(65,35,.), poiuprecnik osnove toliki da dodiruje 1[1, <l visill<l ::;10;(,\

v:::::50.

130. Nacrtati projekcije istostranog stosca cija OSI10V<I lez.i u ravnini £(40,35,30), ako jc vrh stosca luacki V( -]0,80, 95).

/13L/ Ako tacku T{ 35,25,55) rotir8mo oko pri1vca p os /vlN [AJ! 40.6{), 10), '\'i ·30,20, 7D 'J ",~.' nastaje kruz.nica koja jc osnova uspravnog stosca, visine 1':::::00. 0~\L:lHli I--',uj,;~_c;;j,;

stosca.

, 132y NacI1au proJekcIJc fOtaciunug ,:,[u;..;a, i-..unlt.: j..: -.;-h u ,;J::ki ~/(}(},1f),8!]), "

~''-___ /./ osnove na pravcu p "" AB[A( 50,70,10), B(100,3o. 70)]. Preeni!:. OSl1m c jednal( je

Vlsml stosca. _. r_~ , .

133y Nacrlati projckcije rotacionog stos(;a cija osno\,<1 !di u ravllini E(J50,jJu,JiLI/ ,,~,

,,~' sredistem u tacki S udaljenom d=35 od HI, d:::::45 od--lT2, a polupr<':CIl\k os nove 1'=40

134. Nacrtati sve projekcije rotaciollog Slosca kome Je osa ,,:>'1/[S(4-(j,55,2Uj, v! 70,_){Ui5J;',

~~_=-4-"]~~ffi~:osnove R:::::40.

135. Nucrtati projekcije kugJe precnika R=--1-U, kuja prolazi (ackama: ;-\.{<ZQ.2(),70i, B(l0,20,25) i C(20, 50,75),

.",

H~6n.Nacrtati projekcije kugle, koja proJaz.i tackama: A(30,10,30) i B(O. /0,10), J.L1J j0j jt'

'<,-:::-:<. sredistc na pravcu p "" M1Il[M( 10,4-0,60), N{-40,20,O)J.

137. Nacnaci projekcije kugle, kojoj je sreLliste :5(30,-15,45) i tangem<1 [2 PR[P(20,1 10,80), R(lOD,25,35)l

Page 66: Nacrtna geometrija

1'14 7. Pmjiciranje geol11etri}skih t(iela

1.38. Nacrtati projckcije kugle, koja prolazi tackama: A(40,50,40), B( -20,80,60), C( 10,50,70), kojoj je srediste u nwnini £(50,50,40).

139. Nactiati projekcije kugle, koja pro!azi tackama: A(50,20,40), B(O,45,1O), Ct J 0,80,50), iI dodiruje favninu £(40,30,60).

14(L N:1Crtati najmanju kuglu, koja dodiruje mimoilazne pravce: a;;;: MN[M(JO,I25,60j,

N(-70,45,85)] i b '" PR[P(O,40,0), R(85,O,Jl5)],

1.'41', Nacrtati projekcije kugle kojoj je srediste S(70,80,80) i tangenta

t = MNl't(40,50,40), N! 10,20,10)),

142, Nacrtali projekcije kug\e kojo] je sredi~te S na pravcll p =: MN[M(O,40,50). N( 140,110, JOO)}, il tctiv<l S =0 CD[C(50,30,20). D( I 10,90, 100)].

, ................. "~~,-'"

8. Telmicki crtei i osnovni stalldardi

iLl. Vrste tchnickih erteza

Tehnicki crtcZ je sredstvo sporazumijevanja kao i govor. Sve vrste tchnickih crteza propisuje standard (preuzet JUS), a mogu se

S\,Istati u nekoliko grupa. i to: po nacinu prikazivQ/~ia, sadriini, nal1~ieni i nacil1u

iz.rade. a. Po lIaCil1u prikazivanja predmeta crteii se dijele na:

ort()gol1alne. koji prikazuju predrnet u dvije dimenzije, a dobiveni Sll

projekcijskim zracirna okomitim fla projekcijsku ravninu, dakle osnovnim projiciranjern. aksonometrUske, koji prikazuju predmet u tri dimenzije.

h. Po saarziiti crtezi rnogu biN: sklopni, koji prikazuju neki tehnicki uredaj - lDasinu u cijelom sastavu ili dijelovim<L detaljl1i, koji prikazuJu jedan dio pojedinacnog sk!opa.

c Po nallyem cne::, se d(jeie l1a: ___ ._ crtei projekta, koji sluzi za studije i kalkulacije. na osnovu koga se ostvaruje osnovn{crrei. Ova] crtet se zatnTI upotrebijava za izraLil1 razniit

vidova projekta. radionicki crtei, prema kome radnici izraduju nacliani predmet, a prikazuje stvarni trodimenzionalni objekt bez obzira na to"' sto . se primjenjuje dvodimenzionalna slika, tj_ ortogonalne projekcije. montaini crtez. je crtez prema kome se sklapaju i postavljaju sklopovi urednja. instalacioni end, na osnovu koga se polazu cjevovodi i postavJjaju elektTicni vodovi. sifUacioni ertet, za utvrdivanje mcousobnog polozaja masina u fabrickirn halama . . sematski enei, za funkcionalno prikazivanje uredaja masina, aparata, instrumennta i citavog postrojenja pomocu simbola i sctnntskih znakova. crtei i<;poruke. koji sluzi kao dokument za isporuku.

Page 67: Nacrtna geometrija

206 1 n. Proji6rwve tehnicki;' prednmo ~---~~=~==~----.-------

IU2 Zadaci za rjdawlI1jf' 207

144.

140.

142.

147.

.. =1:

Page 68: Nacrtna geometrija

IL PresJ~ci geometrijskih tijela ravninamlll\ '-I

11.1. T:mgend,ialne ravnil1e

n.1.1. 0 tangencijainim ravninama

Kxoz tacku T neke plohc q) prolazi beskonacno mnogo krlvulja tc plohe. 'r !,mgcnte poJozcnc tackom T na sve ave krivulje leze u jed.lloj ravnini koju riaZiV,mlO rangendjafnom ili dinwIH ravninom te plahe (jj u tacki T.

Neki praVQC poiozen lack om T okomito 113 tangencijalnu ravninu nazi va sc i!{'nlw{om p[ohe r:p u tacki T.

Da bisill() u nekoj tacki plobe konstruisali tangencijaJu ravninu, potrebno jc clnto1l1 tackom odrediti dva ravninska presjeka te plahe i tangente tih presjeka u datoj tacki. Ovc'tangente odreduju tangencijalnu ravninu. .

Kako svakom tackom neke plohe prolazi jedna izvodnica, tangencijalna ,"i1\-'nina takve plohe u bila kojoj njezinoj tacki sadrii tu izvodnicu. Svaka r:mgencijulna ravnina valjkaste iii stozaste plohe dira tu piohu duz cijele izvodnice, tj. svakaje tacka izvodnice diraliste iste tangencijalne ravnine.

li fH.,:koj ".Lacki presjecne krivufje oblog geomctrijskog lije1a 'moie se konstruisati tangenta pomocll tangencijalne ravninc toga tlje1a u toj tacki. Zato :rci"~l upoznatl kako sc odreduju tangencljalne ravnine oblih gcometrijsklh lijela.

11.1.2. Tangencijalna ravnina valJka

Ztld~ltak. Odrediti tangencijall1u ravninu kosog kndnog va!jka u tacki rr55.40,-j, c{ja osnova leii u ravnini Jr:J. Valjak je zadan OSOI11 SV[S(50,25,O) v( j (),40,. 50)] ipoluprecnifwm OSflO1-:e r:= 20 (srI 1.1).

Rj e sen j e: Izvodnica a7 af,aU

) vaUka, koja prolazi tackorn T pripada

I.faienoj iangenci.lalno.l ravnini. Da hismo nasH .los .ledan pravac te tangencijalne rilYDine. polozirno paralelu k( k'.k") toga valjka, koja prolazi tackom T. Aka je

.'Ii, tangenta te paralele u tacki T. onda njezin tloert m' prolazi tackoID T' akamito 1'13 duz:nll O'T'. a njezin nacrt 111" pro1azi tackam T" paralelno sa OS0111 x.

11_1 Tal1f{cllc(jalne ral'lline 209

" ',-

~~~~ .. ~._~,,,:,--,~~~:N7 l~: _ '5":S: OJ A"; .

Y

Slika I L I

Trazena tangencijalna ravnina <-.1 odrcdcna jc izvodnicom a i tangentam m. Kako je tangenta m paralelna s ravninom 7f!,

ona je sutraznica prvog traga ravnine it Ako treba odrediti jos i tragove d l i d z ravnine ;j,

anda sc nade prvo probodiste A( A',A") izvodllice a i drugo

probodiste M 2{M;,M;) tan ..

gente m. Tada prvi trag d l

pralazi tackotn A' paralelno s m' , a drugi trag d 2 odreden je

tackama,1.xi M2 =M;.

11.1.3. Tangcncijalna- ravllina stosca

t. Zadatak. Od,-edrtl rangenci/ainu mVllillU rOlUciullug SlU!Scu u t'm;h.i Tt25.-,:JO), Cija oSl!ova Zeii u ravnini Jr{, sa srediJrem u tacld S(40,35,0) pofuprdnika r = 30 i vi5;frw stdca v = 60 (sf. J 1.2).

R j e s e 11 j e: lzvodnica o( a',a") toga stosca, ko.la ide tackom T,

pripada trazenoj langencijalnoj ravnini 6. Kako je potrebno imati jos jedan pravac tangencijalne ravnine, paJozimo paralelu- k( k',k")- -toga stoSca koja

prolazllackom T. Aka je 1Il( 1Il',m~) tangenta te para[ele u tacki T, onda njezin

tJocrt m' prolazi tackom T' okomito na duzinu O'T', a njezin nacrt /II" prolazi

tack om r" . parale!na sa osom x. S 1a dva pravca ravnina ,1 je potpuDO odredena. Njezin prvi trag d J

prolazi tack om ,4' pam1elno sa 111' , a njezin drug! trag d2 odreden je tackama At

i lvl?. TnIRO\-'e ravnine L1 rnozemo konstruisati i bez upotrebe paraleie k i

tangente m ~ tacki T. Njezin prvi trag d i je tangema tiocrta osnove stosca u tacki ;1', a njezin drugi trag d2 odreden je tack om .J.x i drUgiffi probodisrem N2

sutrrrinice n prvog traga ravnine.1. koja ide vrhom stoSca .

Page 69: Nacrtna geometrija

210 11. Presjeci geometrU,;kih tljela.:..:.cr'::."CC"::lil,,'"::,::"::" _________ _

x

Slika I L2

2. Zadat-ak. Odrediri rangel'lcljainu ravl1Inu iwsog Icruznog s'!O<~ca u tacki T(35,-, 25), kame je osnova paraleLna s ravninom n~, aka mu ;e Gsa

SV{S(20,10,30), V(70,45,45)1 i po{uprecnik osnove r ~ 10 (,1'1.11.3).

R j e sen j e: Tangenc!jalna ravnina L1 odredena jc izvodnicom (I{ ([',a") na kojaj je tacka T i tangentom m( "{,fit) u tacki T pm-aIde k( k',k")

koja prolazi tom tackom. Njezin dmgi trag d! ide drugim probodistem .42

izvodnice a paralelno S !II , a HJezm pry! trag d j odreden JC tdckama il.x 1 M, "5iM;.

Tragove ravnine L1 mozemo konstmisati i bez uporrebe paralele k i tangente fII U tacki 1'. Tangenta tt( nl,n") osnove stosca u tacki A jest sutraznica

drugog traga ravnine d. Drugi trag d2 te ravnine ide tackom ,.12 == A; paralelno 5

/1#, a njezin prvi trag dJ odrec1en je tackom ill i prvim probodistem N!

sutraznice n drugog traga.

11.1 Tangel1cijalne ravnine

k" ,

m'

5'

Slika 1 L3

11.1.4. Tangencijalna ravnina kugle

Zadatak. Odrediti taJlgencijalliu rr/1'l1inu kugle u tacki T(40,-,5), je srediste 5(30,35,25) i poluprecnik r = 25 (sl.1!. 4).

111

R j e sen j e a: Nacrtaju se projykcije e i k" paraJele .1<, koju. ide tackom T i projekcije k; i k; sporedne kruzni9~. k" koja je paruldnCl s ravninum

1[2 i- pnJlti.zi· tom tackorn. £atinlKonstruisem6 'pcojekcije m' i mil tangente !!i

paralele k u tacki T, kao i projekcije n'i n" tang~nt"e'fl sporedne kTIlznice k; II raj tacki. Tangentorn m parale1e k u tacki T i rangentgm hsporedne kruznice kj U luj tacki odredena je trazena tangencijalna ravnina fl. Ka~b je tangema III :;utraj~mca prvog traga te ravnine, a tangenta n sutraznica njczino'g d1l1gog Iraga, to pn'! [rag. lit ravnine Ll ide tackom N J paralelno sa nl' , a njezin drugi [fag d2 ide [3ckom

/vi 2 paraleino s nH

, Ti tragovi moraju se sjeci na osi.r u tacki llx.

R j c sen j e b: Tangencijalna ravnina kugle okomita je na p0lupl:cc­nil\., koji spaja njezino diraliste sa sredistem kugle.

Page 70: Nacrtna geometrija

Slika 11 A

11_ PrrsJeci geometrijskih tijela ro-vl1il1oma

Tal1gencijalna ravnina kugle u tacki T okomita je, prema tome, na poluprecnik r-:;;:;.ST, pa se njezini tragovi odrede na slije­deci naCin: konstruisll se projekcije m' i mil sutraznice m prvog traga koja proJazi tackom T' okomito oa S'1"i odredi njezino drugo probodiste M 2 'S M;. Tackom toga pro~

bodista povuce se dmgi trag dl okomito na rll -:;;:;. s"rh do ose x, a ad tacke t::b: prvi trag d l

ravnine L1 okomito na r' = S'T'. Hi se oacr­taju projekcije sutrazmce n( n',n

ll) drugog

traga koja prolazi tackom Til okomjto oa r", pa se odredi njezino prvo probodiste N j . Tackom /vI po"\'Uce se prvi trng dl

okomito na r' = S'T' do .1x, a tackom Ll.1""

prolazi drugi trag dz ravnine ,tj okomito oa r"=SJlTIJ .

11.2. Presjeci prizme ravninom

11:.2..1. 0 presjeku. prizme ravninom

o. Presjek prizme kojoj je-osnova npr. cetverokut ABeD u ravnini 1[

(51.11 .5) ravninom £, koja je paralelna ravnini n, je opet cetverokut 1-2-3-4, koji je jedllak osnovi',

Vrhovi tog cetverokuta su prob6dista n\'llinE' E s bocnim bridovima prizme, a nje­gove strane su presjecnice nlvnine E s tim hridovima.

Presjek s1'oke prizme ravninoln, koja jl!. para/dna s njezinom OSlWVOlll, je I1mogo­

!':!if 1<0j1 je jedl10k [(~j OSIWVi.

Slika 11.5

:T

11.2 Pres.jeci prizme ravnil10m 213 _. ______ .. ~____'_'~:==~= ____ ..!'2

b. Presjek prizme kojoj je osnova npr. trougao ABC u ravnini n (s1.11.6) ravninom E, koja je paralelna s bocnirn bridovima prizme, je paralelogram 1-2-3-4, kame Sll dvije ",tranc paralelne <; tim bridovima (1-3 i 2-4), a dvije njegove strane su poprecne na te bridove (1-2 i 3-4).

Presjek svak.e prizme ravllinom, koja je parale/na s njezinim bocnim hridavima, je paralelogram. kame su dvUe !ilrane paralelne lim bridovima. (l dvije S11 poprecne na le bridove.

S!ika 11.6

c. Presjek prizme kOJoj je os nova npr. cetverokut ABeD u ravnini n, ravninom E, koja nije paraJelna s njezinom osnovom niti je paralelna s njezinim bocnim bridovima (sl.11.7};-je· cetverokut 1-2-3-4 koji nije jednak asnovi prizl1lc. Osnova i cetverokut presjeka imaju karakteristicna svojstva:

N3 svakom bocnom bridu priz~ me nalazi se jedan vrh os nove i je­

..dan. vrh presJcka prizme v-1 i_),· B i 2, C i 3, D j 4), za koje se kaze da su pndruzcm yrhoYl likoya ABeD 1 1 ~2-3-4. Posto s1.1 bocni bridovi priz­me medusobno para!e!ni, to . .1.t:;.J2.riti-ru2eni Vrl101'i osnove l presjeka na­luze na parafelniTn pmrciJl1a.

Na svakoj bocnoj plohi pnzme nalazi se jcdna strana osnove i jedna stroma presjeka prizme (AB i 1-2, Be i 2-3. CD i 3·4. DA i 4·!). koje nazivul110 pridruzenim slral1icama likova /~BCD i 1-2-3-4. Kako rav-

Slika 11.7

nina svake plohe prizme sijece presjecnicu e ravnina Jt i E u nckoj tacki, kojom mora prolazlti jedna 511'an8 osnove i jedna strana presjeka, koje su na toj ravnini (tackom 1 idu AB i j -2, tackom II idu Be i 2-3, tackom III idu CD i 3-4, a

Page 71: Nacrtna geometrija

214 1 f, Presjeci geometrijskih t~ida raVnirUlIl1{/

tackom IV idu DA i 4~1), to se prodllienja pridruienih srmna [iII likova sijekll it

tackama, koje su fla tragu e. Ova dva svojstvH su karakteristicna za perspektivllll afinos! likova

ABCD i 1-2-3-4. 05110va svake prizme i preYdek te prizme ravninofJ1, koja ruj£' pamielrw s

njezinom asnavam, nili je paralelna s I~;eziflim hoenim bridovima. perspeklivllo su afini likovi, za kOje Sli bocni bridovi prizme zmke ajirlOsli, a osu af/nosN je presjecnica ravnine osnove i ravnine presjeka.

11.2.2. Prcsjek kose prizme opstom ravninmn

1. Zadatak. KoStl petostranll priZlIlll, kojojje OS}WWl

ABCDE(A(lO,40,O), B(35,20,O), C(60,30,O), D(45,55, 0), £(20,60,0)) ,; ravllilli Jr}

i bocni brid AF[A, F( 55, 75,60)}, presje!:i ravninolJl E(J } Q, j J 0, 90) (sf.! j. 8),

z I 0" ,

o A'

Y

A' /

Slika 11.8

F" J" Gil I"

G'

J'

H" R j e sen j e: Presjck

nekog geometrijskog tijela opstom ravninom,---H18ze se odrediti direktnim postup­kom ili pomocll SwmQCf­

la. U ~)vom zadatkll, prcs­jeh: petostranc prizme Jdreden je dir:ektnilrJ ?os,· tllpkom, [J. probodistem pujcdinih uucnih bri~iu'v'-i ::. ravninom E. Vrh prcsjeka 1, u kojcm boeni brid AF tc prizri1e'vrobada ravninu E, odreden jc pomocu dru­ge projicirajuce ravnine .:1(d,,£12) potoiene tim bri­dum_ Pruvac P(Pf,P1) 'u kojem se sijeku ravnine E i il, presijeca taj brid u whu j. Na isti bi se naCin mogJi odrediti vrhovi presjeka 2, 3, -I i 5, di je za njihova odredivanje upotrijebljena perspektivlla J.fiJlost, koja postOji lzmedll [locrta

11.2 Presjeci prizme ravninom ?15

osnove A'B'CID'E' i tlacrta l'f3'4'S' tog presjeka. 12 tlacrta presjeka adrea-en je njegov nacrt 1//28 38 4 8 5 8 vrhova 1, 2, 3, 4 i 5 pomocll ordinal a povucenih

vrhavima tlocrta okamito na aSH x. Vidljivost prizrne i njezinog presjeka odredenaje na vee poznati nacin.

2. Zadatak. KasH trostranu priz,mu, kajaj je osnova ABC[A(5(),55,O), B(75,70,O), C(90,50,O)] It ravn;n; Jr, i bocn; brid AD/A. D(20,15,60)), presj""i ravninom £(100,65,-90) (,1.1 1.9).

D" F"

y D'!----/\

Slika 11.9

8'

R j esc n j e: Postupak rjeS'avanja (jvug zadatka analogan je rjese·, nju 1. zadatka, s tim sto je trostrana prizma sjece~ oa ravninom koja irna eli·· vergentne tragove.

3. Zadatak. Kosu (5etverostranu prizmu, kojojje osnova ABCD[A(30,30,O), B(60,15,0), C(40, 5, 0), D(20, 10,0)] u ravnini [[I l bOL~ni hrU AE[A, E(S0,70,SO)}, presjeCi ravninom E(JO{),125,100) i odrediti mreiu te prizme (sl.11.1 0).

Page 72: Nacrtna geometrija

21~6 __ _ 11. Presjeci geomernjskih rijeia ravninama

R j e sen j e: U ovom zadatku treba odrediti normalan presjek cerverostrane kose prizme ravninom E(e"ez). Pod normalnim presjekorn prizrne podnlzumijeva se presjek le pdzme ravninom koja je okomita na njene bacne lwidcl'..'c.

Ovaj zadatak je rijeScn na aba nacina: direktnim postupkom i pomocli stranocrta. Vrhove presjeka J, 2. 3 i 4 odredimo kao probodista ravnine E sa bocnim bridovima prizme. Zbog toga polozimo tim brldovima druge ijfOjicira.ilH~:e ravnine. Ravnina /1(d r,d2} koja je okomita na 1[2, a polozena je hridol11 BF, sljece ravninu E u pravcu q(Q),Q2), koji presijeca taj brid u tacki 2. DnJge tri projicirajuce ravnine, kaje poloiirno bridovima AE, CG i DH, paraklne .<it! s mvninom 1.\. pa ~ijcku ravninu E u pravcima [1, r i s, koji su paralelni s pravccm tj, Dakle i njihove projekcije pl,qt,r' i s' koje polaze iz

13cakCi P;.Q;,R; i S~ mcc1usobno su paralelne.

Kako su likovi A'B'C'vti 1'2'3'4' perspektivno afini, a za njih je osa lfinosti pravac ell dok su tloerti bocnih bridova zrake afinosti produzenja :'ljihoyih pridruzenih straniea treba da se sijeku fla OS! afinosti. Zbog toga se pridrnzenc stranice Ere i 2'3', ako je konstmkcija tac-no izvedemi, moraju sjeci 1!C1 pravcll (.c. kao i sve ostale pridIUzene stranice perspektivno afinih likova.

------Na is-toj-slicitn:ikazan je i drugi na6n rjeScnja toga zadatkrr;i'1o pomocu ~-tranocrta_ Tragovi ravnine E, koja je okomita na bocne bridove prizrne, moraju bill okoJ1l1ti j na istoimene projekclje lih bridovu. Posto :se zadatak ljesava

pomocu stranocn3, upotrijebit cemo stranocrtnu ravninu 'lr3 koja je okomita na \"(\\/ninu IT} i na ravninu E. Tako se ravnina E i sve sto se u njoj nalazi, dakle i tra7;cnl prcsjck, projlc.p;:a---H-a lT3 u trag-e). Kako je ravnina ltJ ukomita: lla ravninu E, Srral10crtnu DSll ,Xl moramo postaviti okorrrito na e,. a kako ie ravnina 1[,

paralc:Jna s bocnim bridovima prizme, Gsa IXj je paralelna s tim bridovima. Don]3 OS nova ABeD projicira se u osu IX], a gornja osnova u pravae

EFGH kcji je pGralel3-l1 Sri QSom ,X]" Bo~ni bridovi prizrne pfojioir-aju- se na 7[,3 u pravoj veIiCini jer su paralclni s 1[3. Stranocrt 1"'2"'3"'4'" presjeka nalazi se u Trccern tragu e" Pomocu ordinala, okomitih na }X3, dobiven je tlocrt 1'2'3'4'. a romocu orclinaln okomitih na /X2 dobiven je nacrt 1""2""3""4" presjeka 1-2-3-4 prizme sa ravninom E, Ako ravninu E preiozimo oko traga e] u nJ, dobit cemo pnI\;U velicinu lo2r;-.1r;4n presjeka 1-2-3-4 (J'''' If!' 2"'2

0, 3""'3

0, 4r9 4() jednako je

uchlljenosli tacaka 1'2'3'4' od ose /X3),

Pomoc:u nonnalnog presjeka 1-2-3-4 konstruisat cerna i mrew date prizme. Kako je ravnina E okomita na bacne bridove, to Sil i stranice presjeka 1-2-3-4 okomite na odgovarajuce bocne bridove prizme.

~I

-.),.-­

°1 , y

D" A"

11.2 Presjeci prizme ravninom

l £

" C" / Q;.:"B~S' 1J' R.z,.Q.i l x2 Ex

,:_"'G''-'--''--l'= !

0

(E' A

Slika 1 L 10

217

a)

£

H

2 J

B

C A

D

A D

Aka se strane prizmerazv\ju u ravninu, nonnaini presjek ce se prikazati kao pravac koji je okomit na bocne bridove. Razvijena mreza (sI.11, lOa) date kose prizme dobit ce se na sJijedeci nacin:, .

Na pravac n prenese se 1-2=1020' 2-3=203°' 3-4=3((1(/ 1 4~1=401o. Tackarna 1,2,3,4, 1 povuku se pravci okomiti na pravac nina njih ?re~esu n~ istu straml prave veliCine ol1i11 dijelova bocnih ?rido~a k~ji Ide 11a lsto~. St~atll ravninc E. Te veliCine imamo u stranocrtu, pa ce se 1Z shke 11.10 premJetl na

'" "" "., ~",. 2mB" 2F 2mF" 3C ,mC" sliku 11.IOa.DaklelA~1 A l1t~l E ,2B~ l'~ ~~ I

3G:;;;; 3mC m , 4D:;;;; 4'" D'" i 411= 4'" H m . Doda li se razvijenoj mreZi pIoha prizme

obje osnove,_ dobit cerna mreiu kose prizme s normalnim presjekom.

Page 73: Nacrtna geometrija

218 11. Presjeci geometrijskih lijela. ruvmnama

11.2.3. Presjek uspravne prizmc opstom ravninom

Zadatak. Uspravnu cetverostranu prizmu, kojoj je OSrlova

ABCD{A(35,10,0), B(55.5,0), C(70,20, 0), ])(45,35,0)] u ravllilli 1[1 i visiua v=.50, presjeCi ravninom E(100,90,70) (sl.11.11).

R j e 5 e n j e: Zadatak je rijden na dva J1acina: direkmim postupkom i pomocll stranocrta. a. direktnim postupkom: Kako su bocni bridovi prizme okomiti na ravninu tr],

poklopit ce se tloert (2'3'4' presjeka 1-2-3-4 s tlocrtom prizme lfB'C'D'. Nacrt toga presjeka odredujemo tako, da pomoc:u sutraznica ravnine E odredimo nacrte vrhova presjeka. Na taj naein, a pomocu sutraznica fll i n prvog fraga, odredeni Sil naclti 2# i 3D vrhova 2 i 3. Nacrt tog presjeka mozemo odrediti jos i tako, da pomocu presjecnica ravnine E s ravninama polozeoim bocnim stranicama odredimo nacrte stranica presjeka. Na taj 11acin, a pomocu ravnine L\(df,d2), po!ozene bocnom stranom ADHE, odredenje nacrt ]'14" stranice 1-4.

H":" G'"

/ /

/

~ E" H" F" G"

Silka ll.i 1

11.2 Presjeciprizme mVllinom 219

Pravac p( p', pit) je pr(fsjecnica ravnina E i ,1, a na nacrtu p" te presjecnice

nalazi se nacrt ]"4# stranice 1-4. U naCltu se vide sarno stranice 3-4 i 7··4 toga presjeka, jer su na stranama koje se u nacrtu vide, dok se ostale stranice 3~2 i 1-2 ne vide. b. pomocu stranocria: Posto je prizma presjecena opstom ravninom, to jc potrebno ravninu E, pomocu stranocrtne ravnine nJ, transformisati u projicirajucu ravninu. Zato treba slranocrtnu ravninu 7rJ postaviti okomito 113

ravninu E. Zbog toga je na slici 11.11 upotrijebljena takva stranocrtna ravnina 1i." koja je okomita oa ravoiou nj ina ravninu E. Kako je ravnina 1fJ okomiw nn. ravninu E, stranocrtna osa JXJ mora biti okoinita na prv] trag el ravninc E. Na vee poznati naCin konstmisan je stranocrt prizme, kao i treei trag e3 ravnine E. Posto je ravnina E okomita na n3, to se stranocrt ]"'211131/14 1

)1 presjeka 1 -2-3-4 nalazi na trecem tragu e3 ravoine E. Tlocrt J'Z'3

14'tog presjeka poklapa se sa tlocrtom

prizme, -jer su njezini- bocoi bridovi okomiti oa ravninu '/[j, a Duert r21

'jiY 4" presjeka odredi se pomocu tlocrta i stranocrta tako da se uradi If" r;:: A''']"''' , B"2":;:::;B"'21H

, Clt3"':::: C'''3/Hi D"4":::;; DJN4,",.

11.2.4. Presj"k kose prizme drugom projicirajucom ravninom

Zadatak. Kosu trostranu prizmu. kojo) je OSl1ova ABC[A(10,30,O), B(30.45, 0), C(50,20,O)] u ravnini ff; i bocni brid AD[A, D(60AO,40)) presjei:i ravninom E(80,=,55) (sI.11.12): , ,.~-~.~

R j e sen j e: Posto je ravnina E druga projicirajuca ravnina, nacrt r2"'f presjeka 1-2-3 je l! njezinorn drugom tragu.e2_ 'Tloert presjeka OdTG,di se--· tako da se nadu tlocrti svih vrhova presjeka pa se medu soborn spoje. Kako je vrh 1 na bocnom bridu AD, to se njegov tlocrt t nalazi oa presjecistu Ilocrm KDI toga brida j ordinale povucene tackom r. Na isii Dacin Se odrede tll)Crli 2' i 31 vrhova 2 i 3 toga presjeka.

U tlocrtu se vide stranice 1-2 i 1-3 toga presjeka, jer se nalaze n3. plohama, koje se u tlocrtu vide, dok se stranica 2-3 ne vidi, jer se nalazi nJ plohi koja se u tlocrtu ne vidi.

Kako je vec napomenuto da su presjek prizme ravninom i osnova prizml' perspektivno afini likovi, za koje su bocni bridovi prizme zmke atl0osri, a osa afinosti je presjecnica ravnine os nove i ravnine prcsjcka, III afinoSl muz...; posluziti kao kontrola tacnosti konstrukcije llocrta presjeka.

Page 74: Nacrtna geometrija

220 ] 1. Pre.'Ijeci geometrijskih tijela ravninama

Zata se pridruzene stranice A'S' i 1'2', aka je konstlllkcija tacna izvedena, moraju sjeCi na prayeu eJ, kao i sve druge pridruzene stranice perspcktiYllo 3finih likova. U zadatku je kOnSllllisana jos i prava yelicina presjeka lo2(So prelaganjem raynine E oko njezinog prvog traga el na ravninu reI·

e,

z , ot

A" 8"

y

A'

Slika 11.l2

11.2.5. Presjek uspravne prizme drugom projicirajucom ravninom

1. Zadatak. Z(ldallO je pravilna petostrana uspravno prizma sa

inm'(l!!1 AHCDE II ravnini nj lwjaj je jedna strana CDIC(10,40,O), D( 10,20,0)] visina pri7.l11c v"",,40. Odrediti pre,\:jek prizme ravnino11l E(50, 00,35) i

kOl1struisati mreiu s pre,yje{nim !ikom (sl, 1 '- J 3)

R j e sen j e: Vrhove presjeka petostrane prizme ravninom E odredit cemo tako da nnoemo probodiste ravnine E s bocnim bridovlma prizme. Kako je ravnina E druga prnjiciraj-uCa ravnina, naclii tih probodista moraju biti na drugom tragu e2 te ravnine.

e,

\A m

3'

/I' 2' I

5'

J 1.2 Presjeci prizme raVilinom

z Ez

:p'" \E'" 0 C"! 0" B"iE" A":IX

E' J'

0': l' 5',

"

.2 8' G'

2'

aJ

C'

SlJka 1 Ll3 D'

221

Ex

Ie,

I

l'

E'

Page 75: Nacrtna geometrija

222 11. Presjeci geometrijskih tl}ela rm'ninama

Aka ta probodista oznaCimo sa 1,2,3, 4 i 5, to tacka ]# treba da bude u presjecistu drugog traga ez ravnine E i nacrta brida AF, a tacka 2'" je u presjeciStu traga e2 i llaerta brida BG itd. Nacrt presjeka jc od tacke r do tacke 3'" := 4" , a tlocrt presjeka prizme poklapa se sa tlocrtom prizme, jer su svi bocni bridovi prizme okomiti na ravninu Rj. Na slid 11.13 prikazan je i lijevi bokocrt ono-~r dijela prizme ko]i je ispod ravnine presjeka. Odredena je i prava veliCina presjeka 1°2°3°4°5° prelaganjem ravnine E aka traga e1 u ravninu 7[2 na naCin

r¥ 1° 0::: J'lx itd. Na slid 11.13a nacrtana je mreza donjeg dijela prizme koja se sastoji od mreze bocnih ploha osnove i prave veliCine presjeka. Donji dio prizme je prerezan po bridu Al i razvijen na ravninu slike. Za konstrukciju te mrde

dobiju se prave veliCine bridova osnove jz tlocrta (Ao So::.:::: A'B', BiJCD ::::: B'el

itd.l, a prave velicine bocnih bridova nalaze se u nacrtu (Ao 1° = A'j',

BO 2° ::::: B8

2" itd.). Ako takvoj mrezi dodamo pravu veliCinu presjeka, dobit celTIo mreZu dijela prizrne izmedu ravnine 1C i ravnine E.

2. Zadatak. Zadana je pravilna sestos{rallQ uspravllfJ prizma sa osnovom ABCDEF u ravnini 7r} kojojje srediste u tack(§QO,}5 .. 0fjedan yrh u tacki A(J0,35,O) i visina prizme v=50. Odrediti pre:ojek prizme ra"vninom £(65, tXl, 65) i konstruisati mrezu s presjecnim lik(lm (~·'-ll. 14)

R j e sen j e: Postupak rjeSavanja ovog zadatb :ma]ogu!1 )~ __ :j~_~:::Ju zadutka kao na slici I f.13.

11.2.6. Presjek uspravne prizme prvom projicirafucom ravninom

Zadatak. Zadanu pravilnu petoslranu L/spravnu prizmu, ko)a))e OSJIova ABCDE u ravnini 1C." presjeii ravninorn E i konstruisati mreiu S presjecnim !ikom. Elementi prizme i presjecne ravnine datf su na slici 11.15.

R j e sen j e: Kako tlocrt presjeka prizme pvom projicirajucom ravninom mora biti u prvom tragu te ravnine, to je tlocrt toga presjeka duzina od tacke f 5 2' do tacke 4

1

na tragu e,. Dalji posrupak rjesavanja sliean je rjesenju prethodna dva zadatka, s tim sto je prizma sjeccna prvom projicirajucom ravninom.

Na slici 11.15 data je tabela sa jos dese[ zadataka za rjesavanje.

-of-

11.2 Presjeci prizme ral'nillom

z . ____ ~e~3 __________ ~Ez

5 111

3'" ' 6'"

7'"

1m

smi 0 Alii BH:Ft(

F'JI 4' 5'

7' ." 5"

3'

)"~---{'2'

)'

A' D' E' F'

Slika 11.14

CO

I 2"

.1 , 5'1

1 " 1

. r".:··- --.-cl), ;,,1 7

" /

1" ez

/ X

/

/

C":E" ID" Ex

: l'

0' e,

E' 2'

6'

a)

7"

)'

8'

Co DO

Co

D'

223

Page 76: Nacrtna geometrija

ii. Presjeci geometrijskih tijela ravninama

13'" z

1

o

, OIMENZIJE (mm) ,~

~~ d h k dO

.~

50 60 20 <5

2 52 , 58 20 30

3 60 '0 15 <5 r 70 70 5 60 Y

5 58 72 20 " i 5 " 78 5 60

7 60 70 26 " 8 72 82 18 " , " " 5 60

['i'o 56 " 15 " -~

." +--"f------

is''

--- -~' 4'; /

/

r' . , 5,4-..:.:;1 i 0- ,

1J e, \

\

, \

:,1 "

x Ex

J~ , , , , '');.20

~ .. ! , I

_:»30 --/ ",\,---40

50

QJ 10

Slika 11.15

113 Presjecipiramide ravllinom 225

11.3. Presjed piramide ravninom

11.3.1.0 presjeku piramide ravninom

a. Presjek piramide kojoj je osnova npr. pelerokut ABCDE u ravuini 1t

(sU 1.16) ravninom E, koja je paralelna ravnjni n, je opet peterokut 1;~,3,4,5, koji je sliean osnovi.

Sllka 11 16

Vrhovi tog peterokuta su probo­dista ravnine E s bocnim bridovima pira­mide, a njegove strane Sll presjecnice rav­nine E s tim bridoyima

Presjek svake piral11ide ravnino/11, koja je· parolelno s nfezinom oSl1ovom je nmogokut, kojije slican toj osnovi.

b. Presjek pi;amide kojoj je osnov<1 npr. peterokut ABCDE u ravnini n (sL11.17) ravninom E, koja prolazi vrhom piramide. je trougao 1,2, V, kojem dvije strane I· Vi 2- V idu vrhom piramide. a njcgova treca strana J~2 je poprecna

na te dvije. Presjek_ 5vakt;- piramide ravninom,

koja praiazi 111ezillhn vrho/11, .ie rrougaa, K.ome dvije :,{ralle pralaze. .. rhOlll, <i 11je­gava tl"eca strano .Ie popreclIa na te dvije straue.

Sllka 11.17

c. Presjek piramide kojoj je OSl1ova npr. cetvcrokut ABeD u ravnini Jr,

ravninom E, koja nije paralelna sa OSllovom piramide, niti prolazi njezinim vrhom (s1.11.18) .Ie cetverokut I, 2, 3, 4, koji nije sliean osnovi. Osnova i cetverokut presjeka imaju karakte.risticna svojstva:

Page 77: Nacrtna geometrija

226 11. Presjeci geometrijskih tljeJa ravninama

Na svakom bocnorn bridu piramide nalazl se jedan vrh osnove i jedan vrh presjeka te piramide (A i I, B i 2, C i 3, D i 4), za kojc se kaze da 511

pridruieni vrhovi likova ABeD i 1,2,3,4. Kako bocni bridovi piramide idu njezinim vrhom V, to se pridruieni vrhovi osnove i presjeka nalaze na pravcima, koji idu istom tackom V ..

Na svakoj boenaj plohi piramide nalazi se jedna stnma osnove I Jcdna strana presjeka te piramide (AB i 1-2, Be i 2-3, CD i 3-4, DA i ~-1), kaje nazivamo pridruzenim stranicama likova ABeD i J -2-3-4. Kako ravnma svake plohe piramide sijece presjecnicu e ravnina J[ i E u nekoj t3cki, kojom mora prolaziti jedna strana os nove i jedna strana presjeka, koje su na raj ravnini (tackom I idu AB j ]·2, tackom II idu Be i 2-3, tackom IIi idu CD i 3-4, a tackom IV idu DA i 4-1), to se produienja pridruzenih strana til! likova sijeku u tackama, kaje S1l na tragu e.

Ova dva svojstva su ka­rakteristicna za perspektivnu koli­nearnost. Bocni bridovi piramide, na kojima leze po dva pridruzena vrha, zovu se zrake kolilleac!je, tacka kojom idu nake kolineacije zove se srediste kolineacije, to je vrh V piramide. a presjecnica e ravnlna n i E je Gsa kolineacije.

Osnova svake piramide i pre:,jek te piramide ravninom, ko­Ja nije paraleina s njeZlllom OSIlO­

vom, niti prolazi njezinim vrhom, perspeJctivna su kolinearni likovi, za kOje su bo{ni bridovi piramide zrake kolineacije, vrh piramide je sredisie kolineaclj'e, a osa kolineacije je presjecnica ravnine asnove i ravnine presj~~a.

11.3.2. Presjek kose piramide opstom ravninom

Zadatak. Kastl cetverostranu piramidu koja) je osnova ABCD[A(-10,10,0), B(O,30,0), C(25,25,0), D(l5,5,O)} "ravnin; IT;; I'rh V(50, 50, 45), presjeCi ravninom £(70,60,50) (sl.J 1.19).

R j e sen j e: Kako sma dosad vidjeli, presjek nekog geometrijskog tijela opstom ravninom moze se odrediti direktnim posl11pkom i pornocu stranocrta. Zbog togaje ovaj zadatak rijesen na oba nacina.

11.3 Presjeci piramide ravnirwm

Vrh presjeka 1, u kojem bocni brid AV te'iHt~'~ide prohada ravninl.1 E, odreden je pomocu dmge projicirajuce ravnine iJ.(thdiJ- polozene tim bridOl~l. Pravac p(P j,P2), u kojem se sijeku ravnine E i 6., presijt;;ca ~aj brid u vrhu j.

Na isti nacin mogli bi se odrediti vrhovi presj:eka 2, 3 i 4, ali je 72

njihova odredivanje upotrijebljena perspektivna koli~e_~~ija,_ koja postoji iZ~lCU:U tlocrta osnove--A'S'C'D' i tlocrta 1'2'3'4' toga pre.sje~~. __ Produ'zenjQ stnmiC8 kolineamih Hkova, tj. A'B'i 1'2', S'C'i 2'3' itd., moraJu, se sjeci Da tragu eJ.

Nacrd J"2"'3# 48 vrhova 1-2-3-4 odredeni su pomocu ordi~ilJq poloztnih tacknmi.l

J'2'3'4'-:--Stranice 2-3 i 3-4 tog presjeka ne vide se u tlocrhi,-,·a stranice 1-2.iI .. 4 su vidljive, jer su bocne plohe vidljive. U nacrtu, 5tranice' f2 i 2-3 su v-rdJjive, a stranice J -4 i 3-4 su nevidlji ve.

v'

Slika 11.l9

Page 78: Nacrtna geometrija

1!. Presjeci geomelrijskih tUcla ravninama

Kada zadatak treba rijesiti pamaeu stranocrta, anda se upatrijebi takva stranocrtna ravnina nj, koja je okomita na ruvninu 111 i na ravninu presjeka E. Kako je ravuina ;1:3 okomita n<1 ruvninu E, 5tranocrtna osa IXj mora biti okomita na prvi trag el te ravnine. Nacrta se zatim stranocrt piramide i treci trag ej ravnine E na vee poznati naCin, Na tragu e3 nalazi se stranocrt J'"2//13m4if1

presjeka ],·2-3-4 i to od tacke )11/ do tacke 3 M

• 1z stranocrta presjeka odredi se njegov tJocrt j' 2

13'4/ pomoeu ordinala povucenih vrhovima stranocrta

/"2'1'._5M

4i1f okomito na osu ,X.h a iz tlocrta presjeka odredi se nacrt i"2"3 ft4Jr

pomocu ordinal a povucenih vrhovima tlocrta okomi1.o na osu x,

11.3.3. Presjek uspravne piramide opstom ravninom

Zadaiak. [ispravllll petostrallu piramidu, kojoj je osnova ABCDE[A( "20.20,0), B(-JO.40,O), C(20,40,O), D(30,20,O), E( }O, 5, 0)] u ravllini n! sa sredisrem If tacki S(5,25,0) i visina piramide v !i(70, 70,40) (sU UOr

45, pres jed ravninom

R j e sen j e: U ovom je zadatku presjek petostrane uspravne piramide ()dreocn 118 qh3 nacin8, tj. direktnim postupkom i pomo{:u stranocrta.

Vrh presjeka 1, u kojcm bocni brid A V te piramide probada ravninu E, ndredell jc pomocu dmgc projicirajuce ravnine j( dj,d2) polozene tim bridom. Pr.::c,·:1(:: p(I~,P2).J--;j kojc!J1 s_t;:. sijeku ravoine E i J, presijeca-taj brid u vrhu 1, Xa isri n<lcin l11og1i bi se odrediti vrhovi presjeka 2, ), 4- i 5, ali je za njihovo udredivanjc llpolrijebljena perspektivna Kolineacija, Koja postoji izmedu doerta os nove it' B' C'D'£' i tlocrta ]'2'3'4'5' toga presjeka. Produzenja stranica kol1ncarnih likova, tj: A'E' i 1't, B/C'i 2'3', C'D' i 3'4' itd., moraju se sjeei (1;) lragll Cj, Tako smo dobill-tiocr'te 2'3'4'5'vrho~va 2,3,4 i 5. Nacrte 2"3"4"5"

lih '.ThoY(l odrcdimo pomocl1 ordinala polozenih tackama 2'3'4'5' okomito na osn x. Vidlji-yost pir3mide i njezinog presjeka odreoena je na vee poznati nacin.

\/ec smo vidjeli kada se zadatak rjesava pomocu stranocrta, stranocrtllu ravninu J[,. 1rcba postaviti okomito na ravninu IT, i na ravninu E. Kakoje ravnina :I~, okornita na ravninu E, stranocrtna osa j.l:3 mora biti okQmita na prvi trag e, te ravninc. Nacrtan je srranocrt piramide bo i trec] trag e3 ravnine E. Stranoert !"'2'-~f'4"yrr presjeka 1-2-3-4-5 naJazi 5e 11a trecem rr-agu e} ravnine E. 1z

::tnnocrt8 pre;-;jek3 odredi se njegov tlocrt 1'2'3'4'5' pomocll ordinaia povucenih vri1(Wim8 stranocr(a 111f2 M 3'"4'"'5''' okomito nn osu {t'", a iz tlocrta presjeka odredi :of' _0'" rZ'" 3" -/-"5" pornocu ordinala povucenih Hhovima tlocrta okomito na :.EU .!_-_

I I

I I I

1

1

11,3 Presjeci piramide ravilillom

Slika 11.20

11.3.4. Presjek kose piramide drugom projicirajucom ravninom

Zadatak. KOSl1 cetvcrostraJ1U piramidu kojojje osnova

ABCD[A(50"25.0), B(30,1O,0), C(20,20,0), 0(40,35.0)] II ravnini IT, i vrh

229

V(O, 25,40). presjeci raminom £(5, =,-5) i odrediti mreiu pit'amide 5 presjecnim poligol1om (:;1. ! J .21 ).

Page 79: Nacrtna geometrija

230 11. Presjed geometrijskih fijele< mvo/namu

R j e sen j e; Kako je ravnina presjeka dnrga projicirajuca ravnina, Ilacrt r2~3#4" presjeka 1-2-3-4 je u njezinom drugom tragu ez' i to od tacke ]" do tacke 3", a tlocrt t2'3'4' toga presjeka dobija se pomocll ordinala, koje se povuku od vrhova njegovog naerta.

Tloert A'B'C'D' osnove te piramide i rlDert ty 3'4' njezinog presjeka 1-2-3-4 Sll perspektivno kolinearni likov!, kojin"!i.\---Je tacka V'srediSte koli­neacije, a trag el osa kolineacije. Zbog toga se produzenja pridmzenih stranica tih Iikova, tj. A'B' i f2', B'C' i 2'3', C'D' i 3'4', te DIA' i 4']' sijeku u tackama koje moraju biti na tragu e,_ -

Za konsrrukciju mrcie te pimmide (sUl.2 J a) potrebne Sll nam prave velieine njezinih bocnih bridova. Prava velicina brida AV jednaka je njegovom nacrtu A"" V" , jer je taj brid paraleJan s ravninom 1[2, a prave veliCine ostalih bocnih bridova odrede se (s1.11.21) okretafljem tih bridova oko vertikalne me VT, dok ne postanu paralelne s ravninom 1r:2. Duzina B;V" je prava velicina brida

BV, duzina C;V''' je prava velicina brida CV, a duzina D;V" je prava vel'icina

brida DV Mreia plahe te piramide konslruise se na slijedeci naCin: nacrta se trougao AOBoVo(AoBo=A;B',BI!Vo::o:B(~V"")VoAo=V~41!), a donjegatro-

~tlgao AO DOVo ( A.o DO ::::: k D', VO DO :::: VHf); ), zatim se doda trougao DOCoVo

=- ( DO CO ::::: D'C", VO CO ::::: V"'C;) pa se mreza zavrsi trouglol1l CO BO VD :::: ( CO BO

= C'8', VO n° = V"'B; ). A1:.o mreii bocnih ploha kose cetverostrane piramide

dodamo paralelogram ABeD koji je jednak njeziTIoj osnovi, dobit cemo mreill sHave piramide. Na toj mrezl nacrtaju se .stmnicc -pJ;"esjcka mk0 Ja se 0drede

- prave velicine duzina Vi, V2, V3, V4 pa se one prenesu od tacke va na 0dgovarajucc bocne bridove A{)V", Bn\/" c---0V(" D()V~l. Prava velicma duzine-Vl jednuka je njezinom nacrtu V U

(', jer je brid A V, na kojem je ta duzina, para!elan s ravninom Tel, a prave veHeine ostalih dutinn nadu se nn slijedeCi naCin: npr.

~-;'ckom ]" povuce se paralela s 050m 'x, pa se njom presljece duzina A~VD u

tacki J;. Tn paraiela je naerr luka one kruinice koju opisuje tacka J brida A V za

vrijerne rotacije oko vertikalne ose VT. Duzina V U 1; je prema rome prava

velicina duzine Vi. Na isti se naCin nadu duZine V U 2;) VH3; odnosno Y"'41;,

koje su prave ve!iCine duzina V2, V3 odnosno V4. Nanesemo Ii na mreZu ploha

te piramide V O 1{j ::::: V'" 1;, Va 2° =- V n2;, VO 3° ::::: V" 3; i Vi! 4° :::: Vo 4; , pa se tac­ke J

V, 2°.3° ,4° i JO spoje, dobiju se stranice presjcka na mrdi ploha te pi­

ramide. Tako je dobivena mreza cetverostrane kose piramide s presjecnim poligonom.

l .1

11.3 Pres.jeci piramidl:: mvtlinOIll

V"

11.3.5. Presjck llspravne piramide drugom projicirajucom ravninom

Zadatak. Zadanu pravilnu sestosrranu {l.1;praVllll piral1lidu,

OSllova ABCDEF u ravnini nl> presjeCi ravninom E i konslntisafi mre-:fu s

presjec:nim likom. Elementi piramide i presjeclIe J'(1l'niJle zadLllli ,YU ilL!

slici J J .22.

Page 80: Nacrtna geometrija

II. Prqjeci geometrijskih tijela raminama

R j e sen j e: Kako je ravnina E druga projicirajuca ravnina, ana sijece t\l piramirlu u seslerokutu 1-2-3·4~5-6, kome je nacrt u drugom lragu te ravnine i \.I., ud tacke j" 2: 6'Y do tacke 3/t;:=- 4". Tloert toga presjeka odredi se tako sto se ]"!(Klu tlncrti syih vrhova presjeka, pa se redom mean soborn spoje. Aka je tacka

l" =:0: 6tf

nacrt-tacke I;:=- 6, u kojoj ravnina E sijece bocne bridove CV i DV, onda jc t!ocrt 1'i 6' tih tacaka u presjecistu tlocrta C'V'_LD'v' tih bridova i ordinale

povw:-:ene tackom t =:0: 6" . Na isti nacin nadu se-tiocrti ostalih vrhova presjeka. lJ sve tri projekcije istaknut je debljirn linijama onaj dio piramide koji .Ie izmedu ravnina JT i E.

Perspektivna kolineacija, koja postaji u prostoru lzmedu osnove pirrtmide i nekog njezinog presjeka ravninom, postoji izmedu tloerta osnove i tioCrla svakog njezinog presjeka, Jer se normalnim projiciranjem dva perspektivno kolillcarna lika ne gube njihova karakteristicna perspektivno kolinGlrna svojstva. Zbog toga Sl1 tloert asnove A'B'C'D'E'F'i tlocrt presjeka r2'3'4?5'6/per~pektivno kolinearni likovi, za koje je tlocrt vrha V'srediste knlineacije. a prvi tr<lg t! ravnine E Gsa kolineacije. Kad tacna izvedene kons(T-ukcije tlocrta presjeka, moraju se, prema lome, produzenja pridmzenih strana tih likova sjeci u tackama, ko.je su na tTagu el. Taka se pravci A'S'i 2'3', Fi'e' i ]'2', kao_ i astaE perspektivno kolineami likovi, sijeku na prvom tragu

1;';. Pro.va veiicina togo presjeka piramide odredena je na slici 11.22 prelaganjem r,--n-niIlt F oko traga ec nn rayninu 7[;:; tako sto se u nacrtu !" pos.tavl okomica na

co, i nanese (".Ie ::;.; Lri' Na isti naCin se nadu tacke 2°, f', .j.n, SCI j ft vrhova 2, 3, ,( .5 i 6 pa sc tako dobijc pamlelogram {' 21' 3° 41

) 5° i 61) koji je prava vebeina pmale1of.-rrama f. 2, 3,4,5 i 6. Naslici 1 L22a-H.acrtana .Ie: mreZa piramide s­prc;;jecnim poligonom. Ta mreza se sastoji ad sest jednakih istokracnih rWlJg!ova, Kojima Sll OSl1ove jednake bndu osnove plramlde, a kraci jednaki njezinom bocnolTl bridu. Prava velicina jednog bocnog brida, npr. AV, odredcna je na toj slici pornoclI pravouglog trougla AOSoVOu'kojemu je AOSo ~A'S',

SoV 0 "'" S"Vff , a hipotenuza AOV o toga trougla je prava veiicina brida A V. Prava veJicina 5vakog brida osnove piramide nalazi se u tlocrtu njezine osnove i-loBo = A'B', E./Co ::::: S'C' itd.

Na mrezi bocnih ploha nacrtaju se stranice presjeka tako da se odrede pra-ve veli(:ine duzina VI, 1l2, .. i V6, pa se prenesu od tacke V na odgovarajuce bocnc bridove /\ V, BY- i FV. Prave velicine tih duzina nadu se na slijedeci nacin: ako se tackom r povucc pamieJa sa osom x i njome presijece duiina

u tackj 11}, onda je duzina \To t) prava veliCina duzine VJ, jer je tacka 1 u i,rostonl na hipotenuzi A V pravouglog trougla ASV, a udaljena je od njegove katete AS taliko, ko!iko je tacka I udaljena od ravnine Tr" tj. koliko je tacka ! Jcbljell;J od ose x.

",' I"~

,~ ~~ 0,

~-2

3

-~ 5

6

7 , 9

'0

11.3 Presjeci piramide ravninom 233

Dt!-1ENZIJE (mm J

; I h1 0 d"

~JJ8-+_tO " ]5 IJ,Z I t2 " 37 1 72 1 ~o ,_~ 35 71. :'0 50

35 I 70 l~~-o-

" -~-t " I 50 37 _ 7~ I 1.5 I 35

34 J 76-1. :.r+-J;-S~ :.0 t~,~~5 36 I 70 ~2' 75

60 0, oj

F,

80 Ao c,

Slika l1.22 Ao B,

Page 81: Nacrtna geometrija

~2,,3,-4,-______ -,-J-,-J,-. ,-P,-,,::::,,'s/eci geumdrijskih tijcla ramillama

Aka se, prema tome, tackama ]" =: 6 P , 2#;;0; 5/1 if"'" 4# poyuku paralelc

s osom xis njima presijece duzina AOV o u tackama l = 6", 2° 0= 5° i 3° =- 4° ,

onda je VO 1° :::; V 1, VO 2° ::::: V 2,. i VO 6° ::::; V 6. Kada se na mrdi oznace tac­

ke 6o .io ,2(p,.,5o i 6o ,rakodaje Volo :;;:VOjO,Vo2i.l::::.:V<J2v, ... , Vj 6a ::::;V'i6°,

a zatim redom spoje, dobiju se stranice presjeka na mrezi bocnih ploha. Aka takvoj mrefi dodamo osnovu i presjecni lik piramide, dobit cerna mreiu piramide s presjecnim likom.

Na slici je data tabela sajos deset zadmaka za rjesavanje.

11.3.6. Presjek uspravue piramidc prvom projicirajucom ravninom

Zadatak. Zadanu pravilnu seSlostranu l!.SPNH'llU piramidu, cija je OSIlOI'G ABCDEF u ravJJini TrJ, pre::.je("i ravninom E i konstruis(lli mreiu. Elementi piramide i presje6ne ravnine zudani SII no slid j J .23.

R i e sen j e: Kako tloert presjeka piramide prvol11 projicirajucom ravninom mora biti u prvom tragu te ravnine. to je tlocrt toga prcsjeka duzina r 4' na tragu e,. Tacke r i 4' su Hoeni taeaka J i 4 u kojima ravllina E sijece bridove 05nove piramide A8 i CD. a tacke 2J i 3' 'ill tlocrti mcaka 2 i 3 u kojima ta ravnina sijece bocne bridove BV i CV Pomo(;u tlocrta tin -tacaKa~Sdrederil srr Iljiliu'vj nacrti r,~", 3" i -:/." presjekill-::'~3-4.

Dalji post'upak rjdavanja 51iean je rjdenju zadatka kao na sUe! 11.22, S tim sto je ova piramida sjecena pI'lOm projicirajucom ravninom.

Na slic} n,23 dataje tabela sa-jos,deset zadataka za rje.saNanje.-

--- ---- -- ----'--- ------------

71.3 Presjeci piramide mvninom ________ -'--13'5

-] r

I

~a--_Je2

I I

[fili om \ B"';E"". Alii Flii 0

.... ~ DfHENZlJE (mm)

~~ ~,. r han d'

31. 86 1.2 H 55

55 . ___ ~'i 52

I 53

50 l 55

6, Y i/ 41

?5

1 2l; 76 39 ~J

3 31 90 1.0. ~2

--s5" 100 ;; 5 ~8

5 35 96 " 39

6 " 80 '2 '0 7 36 " '0 '2 , 28 78 25 '0 9 37 82 " 50

'0 -" " <L " Yo

2,

I,

oj

Slika 11.23

Page 82: Nacrtna geometrija

236 1 J. Presjeci geometrijskih tijela ravnirtal1lo

11.3.7. Prcsjck uspravne ph'amide trecom proj'icirajucom ravninom

Zadatalc Uspravnu cetverostranu piramidu kojo} je osnova

ABeDlA( .50.5.0), B( ·40,35.0). C( ·10,30,0). D( ·20.1 0,0)] !l ravl1ini ",. <;redi§tc 0.5110VC II II tackiS(-30.2(),O) i visina piramide v = 40, presjeCi ."m·llinom £(,."".45,25) i naCi pravu veliCinu presjeka (8L11.24).

R j e sen j e: Kako bokocrt presjeka te ravninc. trecom 'p:ojicirajucorr~ r;:l'vninorn mora biti 1.1 trecem tragu te ravnine, naertan Je na ShC1 11.24 deslll bokocrt te piramide i tree! trag e3 ravnine E. U presjeku toga bokocrta i traga e.: naJazi se bokocrt ]""2"'3"'4'" trazenog presjeka J -2-3-4. Pomocu bokocrta 1

odinab okomitih nu OSH Z konstruisan je nacrt ]'12"3"4" toga presjeka, ~ :~?~ iz nacrt8, 8 pomocu ordinala okomitih na 08U x, dobiven je njegov tloert J 2 j 4 .

y

Slika 11.24

:tc·'. . . ~-' /1 '..,

.'. »" //

,/ " \ ./:' Ell \;/c, __ / .: JO /

i

/ /

1 J.4 Presjeci stoim rm,'Ilinom

Tloert A'B' C'D' osnove piramide i tloen 1'2'3'4' presjeka te piramide- 511: perspektivno kolinearni likovi kojima je tacka V' srediste, a trag e, osa;" kolineaeije. Zato sc pridruzujuce stralllce irB' i 1'2', 8'C' i 2'3', CD' i 3'4'--, fe LiA' i 4'1' mo!"a.lu sjeci na tragu e/.

Na slici jc odredena .los i prava velicina j02°3G4° nadenog presjeka prelaganjem ravnine E oko njezinog treceg traga e3 u ravninu-7[3 na slijedeci' nae-in: Ravllinu E zajedno s prcsjekom prelozirna ako treceg fraga eJ u ravninu'

1[3· T acku JO vrha 1, preiozenu aka traga e3 na H}, naderno tako sto u njezin bokocrt 1

m postavimo okomicu na CJ i prenesemo Jm _]0 -:= ]" -1 Z , jer je duzina

j - 1''' u prostolll jednaka duzini r -1 z.. Na isti naCin nadu se prelozene tacke 2° , 3° ,4 U vrhova 2,3.4 pa dobijemo cetverokllt 1(), 2() ,3° ,4() koji je prava \"clicina cetverokuta j, 2, 3, 4.

p.4. Presjeci stosca ravninom

Pod presjekom neke plohe ravninom podrazumijeva se skup tacaka koje Sll zajectYlicl<e toj plohi i ravnini.-

11.4.1. 0 presjeku stosea ravIlinom

KDd- crtanJ3 tehnlckih predmeta I, uopste, pn Izradj -tehnickih crteia primjenju.lu 8e razne vrste krivuJja. Posebuo se isticu one koje se dobijll kada se rotacioni stazae sijece ravninom. Kada rotaeioni stozac sijecemo ravninom, koja ne pro]azi njegovim vrhom, dobivamo prcsjecnll krivulju: kruinicll, elipsu, parabolu.-Lhiperbolu. Te krivlllje zovu se ,~jekolil1e s(oJca.

.. Ra"\:nina E koja ne prolazi vrhom rotaeionog stosca sijece taj stozac u:

Q. ATuinici, ako sijec.e sve njcgove izvodnice, a paralelna je s njegovom osnovom (sI.11.25):

b. {'{ipsi, ako sijece sve njegove izvodnice, a nUe paraleina s njegovom osnovom (51.11.26);

c. paraboli, ako je paralclna s je.dnom njegovom izvodnicom (s1.11.27);

d. hiperboli. ako je paralelna s dvije njegove izvodnice (s1.1L28).

Page 83: Nacrtna geometrija

238 J 1. Presjeci geometrijskih tijela ravninama -----~

----T----" -- - -i---

Slika l! .25 Slika 11.26

Slika 11.27 Slika 11.28

Kad ravnina E prolazi vrhom rotaclonog stosca, ona moze imati sa stoi3cem zajednicki:

a. taj vrh, ako je plikloni ugao a ravnlne E prema r3.vnini osnove manji od priklonog ugla f3 izvodnica stosca,

b. jednu izvodnicu, ako je a izvodnici,

c. dvije izvodnice. aka je ex > [3.

/3, tada ravnina dodiruje stozac u toj

239

11.4.2. Presjek kosog kruinog stosca opstom ravninom

1. Zadatak. Kosi kruzl'li stozac, cijaje aSCI SV[S(55,55,O), \l( 15,0, 75)J, osnova u ravnini TTl i poluprecnik amove r = 28, presjeh ravninom £(40,75,-30) i odrediti projekcije presjeka. U proizvoljnoj taad kOlls!n.tisati tangentu..7Ulpresjecnu krivulju (sl.11.29),

R j e sen j e; U ovom cerno zadatku projekcije presjeka 0dl-edili pomoeu stranocrta. Stranocrtna ravnina n3 mora hiti okomita na f2tvninu 1[1 i na ravninu £, pa je stranocrtna Gsa IX3 okomita na prvi [rag e f te ravnine. Odredi triO

stranocrt toga stosca A'"B''''V''' j stranocrtni trag e} Tavnine E. U stranocrtu se presjecna krivulja em projicira na treci trag e} ravnine E. Iz stranocrta se vidi da je presjecna krivu!ja elipsa, 5 obzirom nll to da prcsjecna ra\'nina sijcce SVt

izvodnice tog stosca, a nije parale!na S tljegovom 0$110V0{11. POrllOCLt sLranocr(a (" , 2Hr racaka 1 i 2, te t{oena i nacrta izvodniea A Vi BV odredimo tlocrte t2'.

zatim nacrtc 1"2h

tih tacaka. Duzina 1-2 je precnik presjecne krivu!je. Da je duzina J -2 jedan precnik eiipse, dokazat cemo na slijedeCi nacin: kako je pf"vi trag tangencijatne nivnine u tacki A pravae A'A''', koji je r~tnidtm· s ·prvirrr·­tragom e, ravnine E, to je presjecnica tih ravnina, koja je rangenta elipse e u tack! " sLltraznica prvog {raga ravnine E. Tangema dipsc e u La6ki ::: je L'Ik.<J\t~

sut..raznica prvog traga te ravnine. Kaleo SLl tangente e!ipse e II tacbm:l 1 i 2 sutraznice prvog traga, one su meau sobom paratelne, pa je dU:litla J ~ 2 precnik, U simetralni.i"· tacka Ie ·duzine je srediste U elipse e. ;\a sumtZDlC) II! prvog· {rag-'d,_,

koia prolazi sredistem 0, bit ce ~ecnik 3-4 presjecne elipse e, koji je spregmni precnik precniku 1-2, saddi tacku 0 i okomiL je na mvninu Te;. Zbog [Og~i .ie stranocli precnika 3-4 tacka 3Pi'~ flY, koja se pok!apa sa tackam O'/f _ Tlocrr 3/4' i naert - 3"4" precnika 3-4.. odredeni su pomQGu ordillala i pr0jekcijCl_

izvodnica CV i DV, kaje pro[aze njegovim krajnjim raCkal1l3. Duzin~ ty i 3'4' su spregnuti precniei tloerta e

l

, a duzine j"-Y i 3"':;" su sprcgtlllti precntci naena e" elipse e.

Posta su ravnine n, i E perspektivno kolineamo pridruzene u prl)S[Onl,

osa r.e kolineacije je pry! [rag eJ ravnine E, a sredisl.e kolineacije je vrh V stosca. 1'3 se perspektivna kolineacija u tlocrtu projicira u tal'llinsku perspek6vnu kOlineaciju sa sredistem V'i os om ej. Kruinica osnove k i presjecna krtvuiJZl e

perspektivno su kolinearno pridruienc, pa su pridruzeni i njihovi tlocrti Je' j /.

Sredis'ta S i 0 pridruzenih krivu!ja nisu rnedllsobno pridruzene tackc.

Page 84: Nacrtna geometrija

240 ____ -'I"I".c.Pc.c:resjeci geometrijskih tijela ravninam=a ________ _

k'

d, H'

A'

t:

);"1

Slika 11.29

I'

I

I j".

I , , I',·'

11.4 Presjeci sto,{ca ravllinom 241

Tacki 5 pridruzena jc tacka K, jer pripada osi SV. Tloerti 5' i 6' kontumih tacaka 5 i 6 konstruisani su pomocu opisane perspektivne kolineac-ije:

tatKa 6' POlllOCU para pridruzenih tacaka S' K', a tacka 5' pomocll para H' 2' . Nonte p" i R'" kontumih tacaka P i R, koje se nalaze na konturnim

izvodnicama G Vi HV, odredimo pomocu stranocrta piIY i R'" tih tacaka, koje su dobivene kao presjek st.ranocrtnog trnga e] i stnmocrta GMVM i }fMV m tih izvodi1ica. Nacrte konturnih tacaka P i R mozemo odrediti jos pomocu pravca p, presjecnice ravnine E i ravnine ,1, koja sadrzi kontume izvodnice nacrta.

Tangentu u nekoj proizvoljno odabranoj tacki elipse e, npr. u tacki T., konstruisemo kao pravac t, koji je pridruien tangenti t, osnove kl1Jznice k u tacki 1'1. Tacka TI elipse e'je perspektivno kolineama stika tacke T; krufuice k', a

tangenta t' ehpse e' u tac,ki T' je slika tangente f; kruznice k' u tacki T;. Nacrt

t" tangente (jc spojnica tacke T" i nacrta prvog probodista tangente t.

2. Zadatak. Kosi kruini siozac, cljaje osa SV[S(95,40,O), V(55,20,60)j. osnova u ravnini 1[, i poiuprecnik oSl1ove r = 30, presjeci ravninom E(J 5,-20, - j 0) i konstruisati rnrezu dijela omotaca stosca ad ravnine 1[; do presjecne ravnilJe. U proizvoljnoj lm:'ki presjeClle krivulje povutt tallg€!11tu (.11./1.301.

R j e sen j e: Projekcije presjeka kosog kruznog stosca mozemo odredii:l P01110CU stranocrta i direktnim postupkoJn, kako je rijei3en ova] zad~~ Presjek U ovom zadatku je DQ_ clins] .ier ravnina E sijece sve izvodnice toga stoSca, a nije paralelna s njegoyom osnOVOln. Ako se odrede probodista ravnine sa izvodnicama A V i B\l, koje polaze sa precnika osnove okomitog na trag et. dobit cemo tacke presjeka 1 i...2 tih iz·vodnic3. Duz.ina 1 ~2 je precnik presjecne krivu1je, pa je tlocrt 1'2' precnik tlocrta e', a nacrt 1"'2'" precnik nacrta ~" elipse e.

Da bismo oJredili drugu osu 3-4 presjeclle elipse e i njene projekcije, polozimo simetralnol11 tackol11 O( 0'. 0"') duzine 1-2 horizonta1nu ravninu L,

kojoj drugi trag S2 ide tackom all paralelno sa os om x. Ravrnna L sijece rotacloni

stozae u usporedniku k( k',k') cije je srediste u tach O( 0',0'), a ravninu E u

sutraznici m( m',m") prvog traga. Usporednik k i sutraznica m sijeku se u

krnjnjim tflckama J i 4 druge ase elipse e. Tloert 3'4' ose 3-4 je precnik tIocrta

e'. a nacrt 3""4"'je prec.nik nacrta e" ehpse e. Duzine 1-2 i 3-4 su ose presjecne e!ipse (" :1 pfojckcije tih osa dajll parc)"\:e spregnlltih precnika projekcija te elipse.

Page 85: Nacrtna geometrija

240 11. Pre:,jeci geomelrijskih tijela ravniiluma

v"

x

B"!C'J i K"

I

Sllka 11.30

Konstrukciju elipse dobijemo pomocu spregnutih prccnika. Dime Tacke 8' i 10', u kojima tlocrt e' elipse e dodiruje kontum tlocrta toga sroSca, tj. izvodnice FV j HV odredujemo pomocu perspektivne kolineacije, a naerte tacaka J3

N i 14#, u kojima naert elf elipse e dodjruje konture nacrta toga stosca, odredujemo iz njihovog tlocrta na pripadnim izvodnicama.

Tangentu u nekoj tacki presjecne elipse e, npr. U [Jcki 6, KO[1stmisemo kao pravac t, koji je pridruzen tangenti d 1 osnove kminice k J u taeki D. Tacka

6~,elipse e' je perspektivno kolinearna slika Tacke D' kmznice k~ _ a tangenta t' dipse e' u tacki 6' je slika tangenre eli kruznice k; u tacki D'.

11.4 Presjeci srosca ravnil10m 2:n ------------~.~~~~~~-~---------

Nacrt til tangente t je spojnica tacke 6" i nacrla prvog probodist::t tangente t, Tu tangentu mozemo konslruisati i kao presjecnicu r ravnine E i

tangeneijalne ravnine L1 stosea 1I tacki 6, kojaj je pravac Li, prvi trag, lclckulJ.\

7~ := r; u kojoj se sijeku tragovi e, i d j , i tackom 6{ 6',6" j lJdrcdcna je rangenta

t( (,t") eJipse e( e',ell

).

Mrdu omotaca sa presjecnom krivuJjom konstruisemo lab) S[U l)::,llUVU

Slosca podijelimo nll sto veci broj jednakih dijclova, U ovorn zadatku osnova je podijeljena na osam dijelova, Nacrtani SU doen! i nacrli izvodnica koje idu lZ podionih tacaka. Za konstrukciju mreie potrcbne S'LI nam prave vehcine izvodnica, Izvodnice prave velicine C;V''', D;VH, E.;'\/", J,;I/h dobijemo

okJetanjem izvodnica ako vertikalne ose, koja zamislimo kao vrh slosca, dok nc budu paralelne s ravninom n2. Zatim naacmo udaljcnosti od vrha V, Tacke presjeenc krivulje, kaje su na tim izvodnicama. Te udaljcnosli jeJnake SH

duzinama V h5/), V"6{), V h7° ,. Vh]2/). Konstrukcija mrde omotaca stosca, koji je prerezun du:z.tllom izvodnl<..:e

CV i razvijen na ravninu, izvodi se na slijedeci nucln: nacrta se duzin3 prave

velicine C;V'" "'" CoVa najkracc izvodnice GV (sLll.30a). Da bismo dob:di

razvij'ene izvodnice -F\f i HV, koje su iste duzine, opiscmo luk-t'<'\'· aka V IJ

precnika Fo'V" = H;Vh, Na tom luku su tacke plJ i HO, udaljcnc 0d wekt': G';

CaN za duzinu juka ----:::: MN, Na isti naCin se konstruisu ostale izvocini":':G 1

2 Jubiv~ne su rack~_ E:~~.D{\, ;').-1 C.!, Krivulja spujc.na taCk~~md.... ,DiJ

, En FO. Go), H U ./iJ ,jD i CiJ je ra"Zvijena krivulja k;. Ako odredimo pravu ve!icinu

spregnutih precnika i pornocu l1jih konstruisemo elipsu, dobit cemo pravu

velicinu presjecne krivulje eD• Kad razvijenom omotacll dodamo osn0V11 i

presjecnu krivu!ju, dobi.t cemo mrezu dijela stosca izmedu d¥ije ravrrITrc, ravninc

IT1 i presjecne ravnine E. Tangenta d J krivulje kJ u tacki D i tangenta t krivulje e U Lack; 6 :ill

stranice trougla D6T" koji je u tangencijalnuj ravnini A Aka konstruiSetnO

trougao D06°r/, (s1.11.30a), koji je shean trouglu D6TJ , njegova stnmica

D()r/) :::: d; bit ce tangenta krivulje k; n tacki DO, a njegova str3nica

6°r/::::: CO je tangenta krivulje eO u tacki 6'-', Trougao D0 6J T/' kOl1S[ruiseruu

pomocu pravih velicina njegovih stranica, a te su D0 6°, D{JT/::::: D/7~' l

T{06° =T/6 1J (6'6° 1.6j7~',6'6() =6x6"}.

Page 86: Nacrtna geometrija

Il. ravnil1ama

V"

J'

ki' aJ

'O~"---~C'

SEka 1l.30a

11.4.3. I'resjck rotacionog stosca opstom ravninom

Zadntak. Rotacioni stozac ('ijaje Gsa SV[.S(O,30,O), V(O,-30,50)],

OS!1()1'Om poi1tpre(;nika r = 25 u ravllini 1fh pi'esjeCi ravninom Fi7(JJ5.45} (.1/.1131). .

R j e is c n j e: Da blsmo odredili presjek toga stosca opstom ravninom, polozirno prvu rrojicir<~ucu ravninu ,1( d 1,d2 ). To je ujedno ravnina sirnetrije,

jeT je zamisljena osom rotacionog stosca okomitog oa ravninu E Njezin prvi trag d! ide tackom vrha V' okornito na prvi trag e, ravnine E, a drugi trag d1 okomit je na OSLl x. Ta ravnina sijcre rotacioni stozac u izvodnicama A V i BV, a ravninu E u priklonici prvog traga p( pI, pH) . Izvodnice A Vi BV sijeku se s priklonicom

p n tac.'kama 1 i 2 kojc su dva ljemena presjecnc clipse e. Duzina 1-2 je velika osu Ie ejipse, pa je njezin tloert 1'2' precnik tloerta e', dok je njezin naerr r~T" precnik nacrta e.'-' elipsc e.

] fA PresJ·eci stasca ravllilIom 245 --~~~~~~~~~------------~.

Drugu osu 3-4 presjecnc elipse e i njczine projekcije odredit cerno take sto cemo simetralnom tackom O( 0',0") duiiue 1-2 poleziti horizontalnu

ravninu A, kojoj drugi trag a2 ide tackom 0" paralelno sa osom x, Ravoina A sijece rolacioni stozac 1.1 paraleli k( k'.k"), a ravninu E u sutraznici m( m',m")

prvog traga. Paralela k i sutraznica m sijeku Se u tackama 3 j 4 druge ose elipse e. Tloert 3 f 4' ose 3-4 je precnik elipse e

f, a njezin naert 3"4" je preenik

elipse elf .

Slika 11.31

Duzine 1-2 i 3~4 su osc presjeene elipse e, a projekcije tih osa daju parove spregnutih precni­ka projekcija te eJipse, kako je u nacrtu elipse e. Ako su projekcije tih osa meuu soborn okomite, kako je u tlocrtu te clipse, onda one daju veliku i malu osu te projekcije,

----.P-il bismo odredili tacke 5" i 6", u kojima nacrt elf e!ipsc e dodiruje konturu nacrta toga sto§~ ca, polozimo ravninu B konturuim izvodnicama CV·IDV. Njezin prv! trag b j ide tac-koHl r~ para~

leI no sa osom x. Ta ravn~ ina sijece ravninu E u sutra:inici 11.( Il', /1") dm~

gog traga, koja sijece izvodnicu CV u tacki 5( 5',5~ ), a izvodnicll DV

u tacki 6(6',6').

Vidljivost stosca i njegovog presjeka odre~

dena je na vee poznati !laCin.

Page 87: Nacrtna geometrija

246 J 1. Presjecl geometnjskih lijela ral'lIillWna

11.4.4. Presjek rotaciollog stosca drugom projicirajucom ravninom

Zadatak. Rotaciani stoiac, kame je 05110va u ravnini ITII srediste OSllove

[{ tach S(35,35,O), poluprecnik r = 25 i visinet stosen v = 60, pre::'jd'i ravninom E(65, 00,65). Uproizvoljnoj tacld presjeclle krivufje kOllstruisati wngentll j mreZu omotaca sa presjecnom krivuljom (st.l1.32).

R j e sen j e: S obzirom na to da treba konstruisa[i mrdu omotaca toga stosca s presjecnom krivuljom, podijetimu njego\'u osnovu na nekoliko jednakih dijetova, npr. 8 dijelova. Nacrtajmo zatim projekcije izvodnica koje ielu iz tih podionih tacaka. Ravnina E sijece te izvodnice u tackama 1,1,5,6,7 i 10 cije su druge projekcije na drugom tragu e2 te ravnine. Projekcije tacaka 3 1 90dredimo pomocll pm-ale1e u koja proJazi tim tackama. Pomocu nacrta presjecnih tac,aka odredimo njihov tloert, a na osnovu tlocrta i nacrta, bokocrt tih tacaka.

Velika Gsa presjecne clipse je duiina 1-6, a njena simetr:-llna tacka je srediste 0 te eJipse. Mala osa 4-8 presjeene elipse e ide tackom 0 okomitu na ravninu ][2_ Njezin nacrt 4" = 8 1t je u simet:mmoj .ta6ki_O" nacrta r 6

17

velike osc te elipse. Tloert 4"'8' male ose odredimo pomocll t1ocr"ta k' paralele k na kojoj se nalaze nJczine krajnje tacke 4- i d. T!oen presjeclll:': t'lipsc: jt: dip~d ,/) k0joj jc velika osa duzina 1'6', a mala Gsa duzina 4'8'. Bokocrt presjecne elipsc je

elipsa eP1

• kojoi je velika osa duiina 1"'6'" , a mala o~a duzina 4H1

S/P .

Bokocit rotacionog stoka nacrtan je tako kao 'chr je-,J"dstranjen dio--3-to$­e<l, koji je iznad r(lvnine presjeka. pa se presjecna c]ipsa u bokocrlu vidi elida.

Objamjeno je ranije da su osnova stosca - kruz.nica /.:.{ i prcsjecna

krivulja e toga stoku perspektivno kolinearni !ikovi u prostoru, kojima je srediste kolineacije vrh stosca; a Gsa kolil!eacijc.jc presjeenica ravninc njego-ve osnove i ravnine presjeka. U toj perspektivnoj kolincaciji pridruiena je, npr. tacki D' tacka 5', a tangenti Ii kruznice k; u tacki DI pridruzen8 je tangenta

t' elipse e' u tatki 5', pa se te pridntzene tangenlc sijeku u tacki T:, koja mora

blti na osi ko1ineacije e). Oakle, pomocu perspektivnc kolineacije mozemo Ll

svakoj tacki dipse e' odrediti njezinu tangentlL

Mreia omotaca s presjecllOlH krivuljom. Ako omotac stosca razre.zcmo duzinom izvodnice EV, pa ga razvijemo u ravninu crteza, dobit cemo mrezu toga

omoraca (5I.11.32a). Tu mrezu nacrtamo tako 5tO oka tacke ,,0 opiSemo luk

kruznice k: poluprecnika AOV o ::;;: A"V" . Kako jc raz!ika izmeduluka kru:znice i

pripadne tetive manja, sto je luk manji, raspolovimo luk A' 8' kruznice k;

tackol11 R', pa tetivu A'R' kruznice k; preneserno dva pUla kao [etivu po luku

11.4 Pre!Jjeci SfOSC(I ravninolll

kruznice k: i dobijemo luk AO EO na kruznici k~, koji je priblizllo jednak luLu

A'B/ kruinice k;. Zatim pomoc:u tctive A" SO kruznice k~ odrcdimo na roj

kruznici tacke Co, DO i E iJ desno, te }j0, GO, FO i EO lijevo od tacke

A( AO So::::: BOC iJ = CODo = DO EO = AO H O "" HOOo = GO pO = F O EO) .Ako tacke

EOspojimo -sa tackom VO, time zatvaramo kmzni isjecak, koji je pribliz.tlo jednak mrezi oinotaca toga stosca. Kad pojedine tacke AU, 13°, Co, DO, EO)

FO, GO i fIo toga Juka spojimo sa tackom VO, dobijemo duzine, koje u razvijenom poJozaju prikazuju 8 istaknutih izvodnica -stosca. Da bismo In

razvijenom omotacu nacrtali razvijenu presjecnu krivulju eO, momma na waku razvijenu izvodnicu prenijeti onaj njezin dio koji je izmedu vrha i krivuljc e, npc na lzvodnici DV taj dio ogranicen je vrhom Vi tackom 5. Pravu velicinu duzine V5 dobijemo tako sto izvodnlcu DV okrenemo oko o.<;e stosca, dok ne posrane paralelna s ravninom 1Cb tj_ dok se ne poklopi ~a izvodnicom A V iii EV. Kad se

ana poklopi sa izvodnicom A V, tacka 5 dode u rolozaj SV, pa je duzina y,1t 5°

jednaka~duzini V5 u prostoru, koju prenesemo na razvijenll izvodnicu DOV u

mreze ornotaca toga stosea,~, V"5° =V05°. Na isti nacin dobijemo mcke 2u,

30, 9°-r--til' presjeka na mrezi toga omotaca, dok se za tacke r i 6 v -nc-mora

vrsiti rotacija izvQdnica oko ose stosea, jer su izvodnice, na kojima se tc tackc naiuzc, paraldne -'> ravninom JC2. lJ tom slucaju je duzina FHt', odnosno FHc-", jednaka duzini V 1, odnosno V6 u prostaIU.

Ugao sto ga tangenta u nekoj tacki presjecne elipse, npc u tach 5, zatvara -.Sa- tzvodmcom stosca, koja prolazi [am rae-kom;· _ne mij<enja sc razvijanjem omotaca stosca. Taj ugao pripada pravouglom trouglu 5DTj , koji je

u tangencijalnoj ravnini tacke 5, pa se pomocu toga trougla taj ugao i konstruise. Povuce se tackom DO okomica sa DOVo , pa se prenese DOl~ ;;:; D/T,' , a kako je

duzina DTj u ravnini fCl, to je Dli = D'7~ . Kad se spoje taeke 5° i Tj, dobije se

pravougaoni rrougao 5° DaTI' koji je jednak trollglll 5DT, u prostOrLl, pa je

njcgova hipotenuza 5°TI trazena tangenta krivulje eO u tacki 5° .

Kako je tangenta presjecne krivulje e u tacki 1, odnosno 6, okomiw !l,1

izvodnicu sroka, koja prolazi tom tackom, tangenta krivulje eO u tacki j!),

odnosno 60, mora bid okomita na razvijenu izvodnicu, koja prolazi tom Gh~konl.

Poluprecnik kruznicc zakriv1jenosii krivulje eO U tacki j", odnosno 6". konstruise se na slijedeci nacin: tackom 1 presjecne elipse e postavi se ravninJ okomjta TIa izvodnicu A V, koja pro!azi tom tackom, pa se ravninorn presijece OS3

stosca u tacki K.

Page 88: Nacrtna geometrija

248 ~~~~,-,11. Pre~L~£~_geometrijskih fijela ravnifl,-a,-I1,-Ja~~~~~~~~_

z

x C'''

G'

~g DINENZIJE (mm) Q, " 0 d 0,

b-- 60 60 <0 I JO A'

l,J 70 70 " JO

L-' 80 80 50 JO

H- 60 58 J5 " 70 58 '0 JO C' " EE 72 70 '0 <5

6' a ! 80

70 50 30 ",~~.-~

f~9:641 80 Jfj " 10 - ;,(, 70 43 '5

E'

,/7' r,

C'

Slika 11.32

11.4 Presjeci stosca ravllinol1!

1z tacke K povuce se okomica na ravninu presjeka E i . ;~~'§jJ";6'e" , d' 'I ' P [) , i'P' ' s nJom p, , " lZVO mea A V u tac (1 ., uZlna ::: r) Je poluprecnik lullZ" kr' 'I'e' o"o-'st( nice za IV J ,_ .. ;,_,_ -krivulje eO u tacki 1°. --',

Analognom kOllstrukcijom dobija se poluprecnik '1 kruznice zakiivlje~

nosti krivuUe eO u tacki 6° . Na istoj slici data je tabela sajos deset zadataka za rje§avanje.

11.4.5, Presjeci rotacionog stosca drugiru projicirajucim ravninama

1. Zadatak. 1z nacrta rotacionog sto<~ca, cija je osnova u ravnini rt:" presjecenog drugim projicirajuCim mvninama, l1acrtati tlvert i lijevi bokocrt ol1og dUe/a sto.fca kameje kanHira llacrla deblje izvucel1a. Na tome dijelu stosea /1o!aze se kOl1tl1mi prqjeci po." elipsi, hiperholi, paraboli i kruzTtici (sl.11.33).

R j e sen j\ e: a. Ravnina, koja sijece sve izvodnice stosca, a nije paralelr:l-t1._s njegovom osnov9m, ima presjek po eiipsi, kojoj je velika_Qsa duzina 1-2, mala osa duzina 3-4, a tacke 5 i 6 u bokocrtu naJaze se na konturnim lzvodnicama toga slOSca.

Nacrt c1ipsc jc duzina 11/]/t, a njezin tioert je elipsa kojaj je velika osa duzina /2', a mala osa 3'4'. U bokocrtu je takode elipsa. kojoj je velika osa d\~l.jna _.:;!" -/-'" , a mala ,!sa Juzina ]""2

m koja Jo,:iiruje konturu .bokocrta stoSca u

tackarna 5''' i 6$. h. Ravl1ina, koja sijece stozac paraJelno s ravninom 1[), ima presjek po

ltiperboli. Na zadanom stoscu nalazi se sarno jedna grana hiperbole kojoj je tjem~ackj II. Na njoj imarno jos istaknute tacke 7, 8, 9 i 10. Nacrt hiperbole je duzina 7"1 r, a njen tloert je duzina 7'8'. Bokocrt je jedna grana hiperbole, kojoj je tjemc u tacki 1]"', a n3 njoj su tacke 7 m

, 8 m, 9'" i 10m

• Na ovoj grani hiperbo1e imarno samo lukove 7~9 i 8-10.

c. Ravnina, koja je paralelna s lijevom konturnom izvodnicom u nacrtu, sijcce stozac po paraboli, kojoj je tjeme u tacki 18, osa paralelna s ravninom 'Trz,

a na njQj Sli istaknute jos tacke 12, 13, 14, 15, 16 i 17. Nacrt para bole je duzina 12/tJ81f

, njezin tlocrt je parabola, kojoj je ~eme u tatki 18', osa paralelna sa osom x,a na nioi su io; tacke 12', 13', 14', ]5', 16' i 17', Bokocrt jc takode parabola rije je tjeme u tacki 18"', osa paralelna sa osom z, dodiruje konturu bokocrta u tackama 16

m i 17M

, a 11a njoj su jos tacke 12"', 13 m, 14

m i 15"'. Od pambole imamo samo luko-ve 12-14 j 13-75.

Page 89: Nacrtna geometrija

250 11. Presjeci geometrijskih tijela TiI::::":::":::"="':::""",,' ________ _

V'"

!

~r-f-r--'-_ , 1~f-±224""'5+_

I ¢70

Silka 1 U3

d. Ravnfna, koja je paralelna sa -o50m, sijece stozac po kruinici, na kojoj Sll tacke 9, 10, 14 i J 5. Nacrt krumice je duzina paralelna sa osom x, a na njoj su tacke 9

6

=:: 10K

i 14" == 15". Njezin tloert je kruznica na koja] $U tacke 9/, 10', 14' i 15', a bokocrt joj je duzina na kojoj su tacke 91h

, lO"', 14'" i 15' .... Od kruznice imamo sarno Iukove 9-14 i 10-15.

2. Zadatak. Iz nacrta rotacionog stosca, cija je 05;nova 1/ ravninl 1[},

presjecenog dntgim projicirajuCim ravninama, nacrtati rlocr! i lijevi bokocrl onog dijela stosca komeje kontura Iwata deblje izvtlcena (sl.) 1.34).

R j e sen j e: Postupak rje.suvanja ovog zadatka s!ican je IJesenJu prethodnog zadalka.

____________ I_I_.5_P_r_es.,.i_".c.·'_· 'c.:":;"u"I"o..:'"n"v:.:"c.in:::o:::,,,-' __________ 251

Slika 11.34

11.5. Presjeci valjka ravninom

11.5.1. 0 presjeku valjka ravninom

a, Ravnina E koja je okomita na osu rotacionog valjka, H kojoj je drugi trag e2, sijece taj valjak po kruznici k( k',kN), ciji je presjek jcdnak osnovi

valjka (s1.l1.35). Kad je ravnina presjeka paralelna sa osnovom valjka, onda je presjek

jednak toj osnovi.

b. Ravnina E koja je paralelna sa osom rolacionog valjka sijeec valjak po paraleJogramu EFGH. Dvije strane toga paralelograma EH i FG su izvodmcc valjka, a druge dvije strane EF i GH su tetive njegovih osnova (s1.11.36),

Page 90: Nacrtna geometrija

252 11. Presjeci gemnetrijskih tijela ravninama --~--~~-----------

D'".' _-l_~C"

OW,R" I i '5" x

-A""'~',---lC;p;'-, -+, B'....,.,.· k"

Slika 1135

x

Slika 11.36

c. Aka rotacioni valjak presijecemo ravninom, koja nije ni okornita ni paralelna sa osom valjka, presjek ce biti eiipsa (51.11,37).

d. Ravnina E, kojoj je drugi trag prav3c e2, a kojaje okomita na osu toga valjka, sijece ga u elipsi, kojoj je nacrt duzina M"'N" 1 a koja s~ zove normalni presjck kosog kruznog valjka (s1.1 1 .38).

Svaka mvn{na kOja je ('komita na izvodnice kosog kntirlOg valjka sijece faj valjak I,t elipsi. Tdh'i pre/Jed se zovu normaiHi presjeci kosog kruinog valjka.

Sl.'a/;:.a rf!.ynina kOja je paralelna sa vSI1Q+"Oln kosog kruinog va(jka .s-ijd!e tal l·afjak u kruinici kojajejednaka o'snov(

D" C" 0" c"

~' I R' - - F?" N'

'" 5" x x

D'

I~, 'R'

Slika 1 J.37 Slika 11.38

f1.5 Presjeci valjka ravninoll1 253

11.5.1. Presjek kosog l<ruznog valjka opstom ravninom

Zadatak. Kosi kruini valjak kome je OSI101'O u ravnini H" OS(1

MN[lW-65,30,O), N(-5,60,60)] i poluprecnik osnove r ~ 25, presjeCi

ravnil10lJl 2:(20,40,20) i konstruisati projekcije presjeka. Nacrtali mreiu ·riolljeg dijda va/jl\a od tamine 1[1 do presjecne ravl1l'ne. U proizvo!jnoj tacki

'- presjecl1c krinL{je povuCi tallgcntu (51.11.39).

P. j c sen j e: Presjecna ravnina je zadana taka da je okomita na lzvodnice- vaUb. Svaka ravnina koja je okomita na izvodnicc kosog kruznog \'aJjka sijece taj valjak u elips! i takve prcsjeke nazivamo nOfmalnim.

Presjek valjka ravninom L mogao bi se odredili direktnirn postupkom, tj. da se pot raze probodista pojedinih izvQdllica valjka .s tom ravninom. Posto je potrebna dobiti i mrezu vaJjk.a;- odredit celTIO projekcije normalnog presjeka e kosog kruznog vaJjka kome je donja osnova U 1[/. Kod normalnog presjeka, presjecna ravnina 1: okomita jc na OSH /vfN valjka, pa je trag 51 l..MN', a

.1'2.1 M !v" . Kod odredivanja tlocrta e'i n<lcrta e" elipse e, treba tim elipsama

uvijek 0drediti \'eliku j malu OSU, iIi par spregnutilLprecnik-a pomotu kojih se one mogu tacno konstruisati,

O'v-dje je presjck v::!ljka odre-oen pomoeu stranocrta i uzeli smo cia je ravnin'-l nJ ..L n/, dakle jX} i. Sf, pa je ,1'3 J..M""N"'. Tako su dobivene sve

izvodnice 1..1 pravoj velicini, kao i treea projekcija tacaka presjecne krivulje. Kontmllc-ll.vodnice CP i DR stranocrta sljcce ravmna Eu tatkama-.-t+4,.-ksje Sil krajnie tackc icunog p~ecnika e!ipse e jer Ide na dijametralnim izvodllicama valjka. Tangente u tim tackama okomite su na n), pa ce na ravninu n3 biti okomit i s\;regnuti precnik, pre611iku 3-4. Konturne izvodnice tlocrta AH i BG padaju u stranocrtu zajcdno u stLanocrt Ai iv'" ose MN. Presjecne ta.eke 1,2 tih izvodrdca s ravninom X padaju u stranocrhl takone zajedno, pa je duzina 1-2 spregnuti prccnik, prccniku 3-4. Kako je jX.l II AI lY'..L s{ to ce 1'2'.13'4', rj. ova su

vclikct i lllala osa elipse e'. Sutraznicama prenesemo tacke 1,2,3 i 4 u naert gdje nam odreduju par

spregnutih precllika {'X" i 3"4" eJipse e". Tioerti k; i e' osnove va~jka i

njcgova presjeka Sll afil1i likovi za trag 5, kao OSll, a tlocrt M'N' ose MN kao

smjer zraka afinosti. K.onturne tacke nacrta 7, 8 dobit cemo pomocu te afinosti. Tackama 7' 8' pridmzene tacke na k; Sll tlocrti E' p' nozista E, F kontumlb

izvodnica naerta. Spojnica E'F' sijece OSli S I U tacki V;, a sjJojnica tacke V; sa

0' sijcc-e tiocrte izvodnica iz l.aCaka E i F u tackarna 7' i 8f

Page 91: Nacrtna geometrija

254 11. Presjeci geometrijskih rijela ravllinwna

Nacrti tacaka 7 i 8 leze na spojnici V/O" i fla konturnim izvodnicuma nacrta

valjka. PomoeD perspektivne afinosti odredcne Sll na isti nacin projekcije tangente t presjeka e u tacki T.

Slika 11.39

11.5 Presjeci valjka ravninom '55

Ako elipsu e prelozimo ako prvog traga 3 J U ravninu 1[}, onda ce ona

doCi u polozaj (e). Tacke eUpse e opisat 6e lukove koji se na 1[3 prikazu u pral'o] veliCini kao koncentricni lukovi sa'sredistem u tacki S, au tlocrtu kao duzine paralelne osi jX]. Rotirane lacke 1, 2, 3, 4 odreduju veliku (1)(2) i-malu (3)(4) aSH elipse (e). Kaka su elipse e' i (e) dvije afine krivuUe, to ce prav3.c 7~( T ) biti

tangenta (t) elipse (e) u tacki (T).

Kad se ornotac kosog klUznog vaUka razyije u ravninu, nete se dobiti pravougaonik kao kod rotacionog valjka nego Iik prikazan na slid 11 ,393.. Osnove valjka nece se prikazati kao duiine, nego kao krivllije. To proizilazi odatle sto tangente u tackama tih osnova ne zatvaraju s pripadnim izvodnicama jednake uglove. Tangente u tackama normalnog presjeka okornite Sll n8 pripadne izvodnice valjka, pa se zato elipsa e prikazuje u razvijenom polozaju k30 duzina 3-3 koja je okomita na izvodnice. Ta duzina priblizno se moze dobiti tako do. elipsu (e) podijelimo na nekoliky- dijelova, recirno svaku njenu cetvrtinu na 3 dijela, pa umjesto lukova izmcau dirnih tacaka uzimamo njihove tetive.

8'

C'

!2" I to l5~ 7" 'J"

T'

A' I 14' ---.-.+.-.----- AO

I I

C'

Slika 11.39a

k' , aJ

Page 92: Nacrtna geometrija

256 J 1. Presjeci geometrijskih rijela ravninama

Na pravac p (s1.l1.39a) prenesu se tetive te elipse, tj. uradi se: 3"9"~(3)(9), 9"11"~(9)(JJ), 11"2"=(11)(2), ,5"7"~(5)(7)i

7° 3° = (7 )( 3 ). U tackama 3°, 9°, 11°, _ ....... 7(} i J) povuku se pravci okomiti

na pravac p, pa se ua te pravce prenesu prave veil cine, koje se dobUu iz smmocrta tih izvodnica.

Kako su izvodnice valjkaJI"7r3, one se 11a tu ravninu projiciraju u pravoj velicini, a projiciraju se u pravoj velicini i dijelovi tih izvodnica koje se nalaze n3 razlicitim stranama pr~jecne ravnine. Zato se uzima 3° Co:::;;; 3"'C'" , 3iJ pi! = 3M pm; 7 11 EO = 7M E"', 71) /1) = 7m ['''; 1° AI) = 2° SO:::: 1'" A"',

/' HI) = 20 Go =lmH"': 80 FO = 8!ffF'" , 81) f) =8 111]'''; ,4° DO =4"'D"'.

4° I(} = 411' RIH. Na omotacu valjka uzima se jos neko1iko izvodnica, odredi lljihov po!oz.aj u razvijenom omotacu i odrede krajnje tafke pomocu stranocrta. Krajnje tacke izvodnica, spojene, pokazuju dvijc jednake krivu!je, koje odr~(1uju osnove u razvijenom omotacu valjka.

Kad se ,)11lOtac razvije u ravninu, ouda duiina TT, padne u pravac 3-3, a dllzinR KT u izvodnicu KO LO, gdje se te duzine prikazu u pravoj velicini. Ako

SC. prC1l13 tome, n3 razvijenom omotacu odredi izvodnica K O LI) na kojoj lezi

lasKa TO, pa sc l1(l pravcu 3-3 uradi TOT}o =(T )T"

ondaje T,oK IJ tangenta to U

tHi':ki Ki! na razvijenu osnovu, jer mozerno uze[i kao da smo omotac razvili u

ra 'ninl.1 trnugla KTf" = KVT'i'(,fi.

11.5.3. Presjek rotacionog valjka opstOlll ravru.nom

Zadatak. Rotaciol1i vaUak komeje OSl1ova poluprecnika r = 20 /.t

rmmni TCf, sredi,fte os-nove u tacki 5(0,30 .. 0) i visinQ v = -45, presjeCi ravninom [} 7(JJS0.4()) (sl. J ] .40).

R j esc n j e: Posto je valjak uspravan i osnova mu leil u ravnini Jr], osa valjka je okomita na tu ravnint!. Kako su i izvodnice okomite na ravninu ITI,

tiocr! e! pre:-0ec.ne c1ipse e poklapa se s tloertom k' osnove kruznice k toga vaJjka. Nacrt e" elipse e moze se odrediti tako sto se nadu nacrti probodista favnine E s nekoliko izvodnica valjka, zatim se ti nacrti medu sobom spoje. Taj !:':KTt e'l elipse e moze se ta(:nije nacrtati ako se odredi bar jedan par njegovih sprcgnutih precnika.

-""-,-

11.5 Presjeci valjka ravninom 257

U tu svrhu polozena je sutraznica m prvog traga ravnine E, koja sijece OSll toga valjka. Na toj sntraznici nalaze se dvije tacke elipse e J( I',]") i

2( 2',2"), kao i njezino srediste O( 0',0") u kojem La sutraznica sijece osu

valjka. Zatim se llaertaju projckcije p'i p" priklonice p prvog traga ravnine E.

koja takoae sijece osu valjka. Njezin tloert p'ide prvim tragom dJ ravnine L\

okomito na pry! trag €{ ravnine E, a njezin naert je p"( P,",O"'). Na toj

priklonici nalaze se dmge dvije tacke elipse e, i to 3( 3',3") i 4( 4',4'" ), kao i

njezino srediste O. Kako su u prostoru duzine 1-2 i 3-4 meau soborn okomite, a pro laze sredistem presjecne eJipse e, one su ose te elipse, a naerti tjh duZina ('2" i 3"4" su spregnuti precnici naerta e" te eiipse.

Da bi se dobile tacke 5 i 6 elipse e, koje Sil na konturnim jzvodnicama Ae i BD, polozena je sutrainica 11 dr~og traga ravoine E koja sijece osu valjka i te izvodnice. Na njezinom tlocrtu n', koji ide paralelno sa osom x, nalaze se tlocrti tacaka 5 i 6 . a na nacrtu n" koji je paraleJan tragu ez nalaze se nacrti

tih tacaka, kao i nacrt sredista 0. Kako je tangencijaln3 ravnina toga valjka u tackama 5 i 6 okomita lla osu x, ona se projicira na ravninu 11:/ kao produzena duzina A"CT

, odnosllo B"D".

x

Slika lUll

Page 93: Nacrtna geometrija

258 11. Presjeci seometrijskih fljela ravninama ,~-----

Nacrt tangente elipse e u tackama 5 i 6 poklapa se sa duzinom A # C" i BIYDff. Tacke 7(7',7'''') i S( S',SH) Sli odrcdene pomocu dviju sutraznica dmgog

traga. Nacrti 5"'611

i rSH

cine drugi par spregnutih precnika nacrta /' elipse e. Elipsa je konstmisana pomocu dva para spregnutib precnika i time odredena presjecna krivulja.

11.5.4. Presjek rotacionog valjka drugom projicirajucom ravninom

Zadatak. Rotacioni valjak, kome je osnova u ravnilIi !fj, srerli.~le osnove u rack; 5(30,30,0), po!u1!recnik r = 20 i visina vaUka v = 55, pre.'ljec:i ravnil/om

E(70, 00,45). U proizvo(jnoj taNi pres/ecne k1'ivlIlje konstruisati tangenrll i mre::u omotaca s presjecnom krivuljom (5/.11.41). -

R j e sen j e: Presjecna ravnina sijece valjak po elipsi e, kojoj je velika osa v j ~5 para~elna s 1(2.i jednaka duzirri-r'" 5" " a lljezttn:r mala asa 3~ 7 jednaka je pre~~l~~ valJka. ~a b.lsmo dobi!i tacke presjecne krivu!je, osnovu valjka treba pOd.I.Jt';h~.1 n~ nekol.lko Je~n~kih dijelova, npr. na <:5 jedoakih dijclova, pa Bacrtamo p.~oJekcIJe lzvodilica kOJc Idu podionim tuckama A, 8, C, '" .. i H. Ravnina E slJece te izvodnice u tackama ], 2, 3, .... i 8, kaje se nalaze na presjecnoj elipsi ~. Tioc.rt l' tacke 1 je u tacki A" tacke A, a naCr1-r-tacke-i- je u pYe~jekLl' nacrta lzvodm<;:.e valjka koja ide tack om A i druf!:o!! traQa f'~ ravnine P, BnkoCfr ('"

tack~ J .dobije se iz njezinog tlocrta i nacr~a.~ Na ist.i n~acin sc od;ede ~rOjekCije ost~hh tacaka presjecne elipse. Tacke 1 i 5 su nu konturnim izvodnicama' naena vaIJka,.a :acke 3 ~ 7 su ~a konturnim izvodnjcama bokmTta toga valjka. -

. . 1 Jocrt". ~ te ,,~hps:. ~oklapa se s [locrtom k' osnove kruznice vaUka, HJezm Hacrt e Je duzma 1 5 ,koja je II tragu e;;, a bokocrt em je elipsa, kojoj

je duzina 3""7f# velika, a duzina r 5.h>" mala osa.

. Na. slici l1.41a nacrtanaje mrda onog dijela toga valjka, koji je izmeou ravnma E I n: 0 t .. d" ~ " . : .,. .na se sas OJ1 a mreze omotaca toga valJka, nJcgove osnove i ?resJec.ne knvulJc. Aka ornotac donjeg dije!a toga valjka razrezemo duz lz~odmce A1, pa ga razvijema na ravninu s!ike, dobijemo mre:Zll toga omolaca.

NJ~ konstruisemo taka sto nacrtamo duzinu ,..1') All .:::: 4· G'9, koja je iednaka OblffiU os nove krui . . d'" . . ~ mee, pa Je po lJehmo Da 8 Jednakih dijelova. Podionirn tackama All BO CO H'" (J" '" • ,v " ,.. ".. 1 A povucemo pravce kOJl Sil okOrnttl na duiinl

A. A . Na te pravce, kO]1 prikazuju u razvijenolU poJozaju ooi11 8 izvodnica

11,5 Pre'>jeci valjka ravninom 259 ------------~~~~~==~--------

valjka, kaje su bile naznacene u njegovim projekcijama, preneserno prave velicine onill dijetova tih izYodnica, koje su izmeuu osnove kruznice i presjeka. Te prave velicine nalaze se u nacrtu valjka, pa ih iz naerta prelle~el110 na razyijene izYodnice, a to su duzine AD 10

:::: A" r, BO 2° ::;:: B"'211", CO 3° = C"37f

itd. Tacke 1°, 2°, 3° ,. 80 i jV odreduju krivulju eV, koja ogranicava mreiu

omotaca vatjka s gomje strane, a ujedno je razmotana elip-sa e. Tangenta u nekoj tacki presjecne eJipse e mora biti u tangencijainoj

ravnini vaJjka u toj racki, kao j u ravnini E. Ona se dobije kao presjecnica tih dviju ravnina. Taka se tangenta elipse e u tacki 4 dnbije kao presjecnica ruvnine E i tangencijalne ravnine valjka, kojoj je pravacdJ prvi trag. Ta tangenta je

odredena u prostoru tackom 4 i tackom D;, u kojoj se sijeku prvi tragovi e 1

d j tih ravnina. Tloert tangente t f pada oa trag d I' njezin nacrt na trag ('2', a

bokocrt na pravac D~ 4'" . Ugao ee, sto ga tangenta gradi sa izvodnicama valjka,

koji'l ide tackom 4, ne mijenja se razvijanjem omotaca valjka. Taj ugao (( pripada r::.ravouglom trouglu 4DD" koji je u tan~ncijalnoj ravnini tackc 4, pa se

pornocu njega on i konstruise na mrezu omotaca. Nanese se DO D{ ::;: D!D;, pa sc

SP,Qjt tacke 41) i D J • P.ravougli. [fOugao .;J.[J D.!l D{, koji se na t~ naCin dobije,

jednak je trouglu 4Df D iz tangencijalne ravnine tacke 4, pa je njegovd

hipO(enuza 4° .o}' koja s kcnccom D"-4(' zalvUJ"J. ugao IX, trazena tangenta

krivulje eO u tacki 4° .

. Odredena je ! kruz,nica zakrivljenosti krivulje f.G II tacki 5. odnosno

POluprecnik kruznice zakrivljenosti elipse ~o u tacki 5 bit 'ce prema fOI11mli:

r· r{ =--~:;;;rcotgj3

rtgj3

Ako se iz tacke !Vf" postavi okomica na trag e;; i .njome presij(:;(~G.

izvodnica valjka na kojaj je tacka 5, dobije se pravougli trougao 5";\'1''K'" . Iz tog [rougla iz1az1 da je 5# K'" = 5"'lvl"" cotgf3 ::;: r cotgf3 , pa je prcIllU lome r! ::;: 5.1

K'" .

Poluprecnik 1'} krufuice zakrivljenosti krivulje eO u tacki 5°, kao i u meb /. <

jednak je duzini 5" K U

, pa je 5° S, = j{) SI ;:::;. f K". Konstrukcija toga

poluprecnika izvodi se na slijedeCi naCin: Tackorn 5 presjecne eiipse e POSL1\'i sc ravnina okomita na izvodnicu, koja ide tom tackoffi, pa se torn ravninom presijece osa valjka u tacki 111. lz tacke Al povuce se okomica na presjecnu ravninu E, pa se rom okomicom presijece spornenuta izvodnica u tacki K. Duzina 5K =5"KH na toj izvodnici jednaka je po!uprccniku kruznice

zakrivljenosti eel u tackama 5" i 1'.) <

Na istoj slici dataje tabela sujos deset zadataka Zil rjesavanje.

Page 94: Nacrtna geometrija

.26"O~ _______ c.l,-1.:..P~,,::.~,,:·e::c::i",gc:e,::o::m:..e::t'::iJC·s::k::ih:..:ctiJC·c::lo::::,,::ov:.:·,:.:'i:.:"::"::'":::o'-______ .

d

e, ·1' em ,m +-1_",' t" I .;--~- li"1 8

"." ~,

I -3-111

K"

I I , I N"·jL..~h'O~

DINENZUE (mm)

d

50

2 42

L..'. "

h

70

60

72

]0

30

30

45 70 l-~· 54 58 33

I 5 -:;-I 68 36

dO

<5

30

50

30

45

40

40

30 1·-- : : ~: 6::;6+.:.3.:.4 +=--{

I 66 i 32_,

9 46 74 33 <5

30

,0

BO C'

···A'

+

"

D' I

cot - -.l~'-Slika 11.41

, k" !S"

. __ ._.

.' / 7"

oj

..... -, ...

,

8'

H'

., d

,,-

t'

s,

A'

x Ex

e,

V I'

1/.5 Prpsjeci valjka ravllillOI1l

11.5.5. Presjeci rotacionog valjka drugim projicirajucim ravninama i valjkastolll plohom

Zadatak. Iz nacrta mtacionog valjka, cija je OS/1ova u ravnini 1[f,

presjecenog drugim projicirajuCirn ravninGma i t}aUkastom plohom, nacrtati {locrt i lUevi bokocrt (sl.11.42) .

261

R j c sell J c: Valjak je presjecen drugom projicirajucom ravninol11 E, kojoj je drugi lrag pravac e2 i ima presjek po elipsi. U nacrtu je prikazana kao

duzin8 j"' .. .(', a njezin tlocrt sc poklapa sa os nov om valjka. Bokocrt .Ie elipsa kojoj je dtlzina J"'2

M velika, a 3m

4""' mala osa. Kod ovog presjeka imamo samo dio eJipse kojaje ogranicena tac:kama j"'6J"f1.

'.·r·.............c.'--·".·' .. i : i i I 1'- i ~I

! i l'J...J ;;;i ! i ! , I

'I i)g~r , I

_.~._'!!..§E __ . __ -'

Slika 11.42

, ; 5' _····_·10;- _.-,

I 5~ _ II' --"-";"~". 9'

II' 7'

, " /3'

Page 95: Nacrtna geometrija

262 11. Presjeci geomelrijskih tijela ravninama

Ravnina L1, koja sijece valjak paralelno osi valjka, kojoj je drugi trag d 2

paralelan osi valjka, u presjeku daje pravougaonik. U nacrtu se vidi kao dllzina 5"8/1. a u tlocrtu kao duzina 5'8'. Bokocrt je kao pravougaonik 51f'7'" i 6"'8*.

Na kraju imamo presjek sa valjkastom plohom, kojoj je osa okomita nll

ravninu 1[2. a koja dodiruje ravninu L1. Nacrt presjeka je kriva 7" do 13", a tlocrt joj se poklapa sa osnovom valjka. Krivulju U bokocrtu dobijemo iz tloena i nacrta tacaka te krivulje.

11.6. Presjeci kugle ravninorn

11.6.1. Presjek kugJe opstom ravnillom

Zadatak. Odrediti presjek kllgle, kojoj je sredisre u lUi .. rki S(O,35,40) i poluprecnik r=30, ravninom E(75, 9(), 50) /sl.11.43 i 11 . ../.;/.),

R j e sen j e: Presjek kugte-dpstom ravninom- moze se odrcditi direktnim postupkorn i pomocll stranocrta. U OV0111 zadatku presjek je odreden na oba nacin:

Q. Direktnim postupkom: Ravnina E( e"!!1) sijece kuglu po kmznici

k( k'.kH

) Presjecne tacke odredujemo na slijedeci nacin: Sredislem kugle S"

.. c~·~p-;Iozimo h~rizontalnu ravninu A koj~j jC 'dmgi trag Q2

paralelan sa 0som x.

Ravnina A sijece kugJu u ekvatoru e( e',e 4), a ravninu E u njezinoj sutraznki

m( 11I',m") prvoga traga. Ekvator i sutraznica sijeku se II tackama A( A',AH) i

B(- BI;B'" ).. Zatim sredistem kugle..S I po+o±imo vertikalnu ravninu B kojoj.ie prvi

trag hi paraJelan sa osom x. Ravnlna B sijece kug!u u meridijanu g( g',gN), a

ravninu E u sutraznici n( n',n"') dmgoga traga. tvJeridijan i surraznica sijeku se u

tackama C( C',C''') i D( D/,D"'). Vertikalna osa kugle 0(0/ == Sf, o/Iokomita na

osu x) sijece sutrainicu fl u tacki L( L' == S', L" u presjeku ON ! n"') u kojoj osa probada ravninu. Sredistern kugle S polozimo ravninu F okomito na ravninu reI i na ravninu E. Prvi trag II ravnine F prola:?i tackom Siokomito na prvi trag eJ ,

a drugi trag 12 okomit je na osu x. Ravnina F sijece kuglu u glavnoj kruinici I

kojoj je tloert l' Dll [ragu 11, a ravninu E u njezinoj priklonici p( p', p_" j prvoga traga. Kruznica I i priklonica p sijeku se u tackama E i F. Projekcije tacaka E i F odredene su na slijedeci naCin: Ravnina F, zajedno sa kruznicom I i priklonicom p, rotirana je u pOl.ltivnom smjeru oko vertikalne ose kugle, doh: je pastala

11.6 Presjeci kugle ravninom 263

paralelna s ravninom 1!1_ Glavna klUZniea I dosla je u polozaj lor l~ ,I;) i

poklopila se sa glavnim rneridijanom g( g',g"') kugle. Prvo probodistc Pi

priklonice p doslo je u polozaj P,o( P;o ,PI; ), a priklonica u polozaj Po (p,;

paralelna osi x, p; spajanjem Pi; i LIT). Kruinica 10 == gil i prav3c p; sijeku se

~u tackama E; i Foil, pomocu kojih se na pravcu p'" dobiju tacke EN i F# i na

pravcu p'tacke EI i F'. Kako je ravnina F ravnina simetrije kugle i ravnine E,

to je ona ravnina simetrije i njihove presjecnice k. 2ato je duzina EF jedan precnik kruznice k, a simetralna tacka te duiine je srediste O( 0", Off) kmznicc.

Ovim sredistem polozimo horizontalnu ravninu C kojoj je drugi trag c,

paralelan sa osorn x. Ravnina C sijece luglu u paraleli u( l/,U'" ), a ravninu E u

sutraznici h( hl ,Il"'). ParaleJa u i sutraznica 11 sijclm se u lackama Gr (/,C;") j

H( H',HIT) kruinice.

, , :0" '-': gc;-" ---t _____

P"

y

Stika 11.43

{~'

Page 96: Nacrtna geometrija

J 1. Presjeci geomelrijskih /ijela mvllinam'3..._ .. _______ _

Duzina GH je precnik kruznice k jer prolazi njezinim sre~i~tem~ ~ako Sil EF i GH U Drostoru mean sobom okomiti, oni .su spregnuti pIee-mel kruzlllce k, a niihove proJekcljc su spregnuti precnlci projekcija kruinice. Tlocrti tih precnika S~l mechl sobom OkOlUiti, tako da je duzina G'R' velika, a duzina E'F' mala osa

elipse (/. U llocrtu se vidi anaj dio kruznice k koji je l1a gornjo~ polov~n~ kugJ~ne piohe, ij. ACrB. U nac::rtu se vicli sarno Iuk koji je l1a prednjoJ pOloVtnl kuglme

tj. CAGED.

b. Pomocu stranocrta: Ravnina nJ polozena jc okomito na ravninu E, tj. sh"zmClCr1.na osa 1.'(' je okomita na prvi trag e! ravnine E (sl.ll.44). U tom slucaju

kugla se projlcira kao kruznica, a ravnina kao trag e3 " Kako je ravnina E

okomita na ravninu TC3, stranocrt presjeka, duzina C"'D/"If, je u tragu e3 • Ta

cll1zina jedna.ka je precniku presjeka. Aka se iz sredista kugle S~ postavi l."!krnnic,] na r"Vl1lllU, Olla tu ravninu sijece u tacki 0'" presjecne kruzmcc. Tacka

0'" leii u sredistu duzinc C"D".

Slika 11.44

" ______ 1 ,,1.,,"-,P_'-,P2sjeci kugle ravninoll1 265

Pomocu te tacke odrede se Hoert 0' i nacrt 0" " U tacki 0'" projicira se precnik AB koji je paraJelan s ravninom "Ttl, a njegov tlocrt A'B' paralelan je s prvi1l1 tragom e j " Duzina A' B' ::::: C"'D"', a duzina C'D' okomita je na A'B'.

Time su dobivene velika i mala osa presjecne elipse u tloertu. Duiine J1"BH i

C"OIl daju dva spregnuta precnika u nacrtu presjecne krivulje. Na osnovu osa i sprcgnutih prccnika mogu se konstruisati elipse u tlocrtu i nacrtu. Pored tacaka ABeD, kojc Cine osc elipsc u tloertu i spregnute precnike u nacrtu, potrebno je odrediti laeke presjeka koje leze na konturi u tloertu i naertu, tj. na ekvatoru i glavnom mcridijanu. Tacke na ekvatoru odrede se tako sto se ravnina kojom sijecemo ravnillu E polozi pravcem p( p', p"). Pravac p sijece tlocrt ekvatora e'

1.1 tackama £' i F'. Ove tacke mazemo odredlti i iz trece projekcije, gdje je eM

paralelno 1-'-'(1' Tacke TIa glavnom meridijanu odtyfie se tako sto se ravnina kojom sijccemo ravninu E poloz! pravcem _ll( n'.n" ), Pravae n sijece nacrt m

H

glavnog

meridijana u tackarna G" i H". Tako Sl1 dobivene tacke na konturi u tloertu i lwcrtU.

11.6.2. Presjek kugle prvom projicrraJucom ravnmom

Zadatak. Odredifi presjek kugle kojoj je sredi,i}te u tacki S(20,35.30) i poiuprecnik r=25, raVl1illOl11 E(60, 70.. 00 ) (sf.] lA5).

R j c :; e n j- e: Presjccna ravnina sijece kugiu !J kruinici k. kojoj je prva projekcija k' u prvom tragu c1 te ravnine, a njezina druga projekcija k" je

elipsa. Ravnina E sijece ekvator kugle e u tackama A( A',A") i B( B',BH

), a

glavni meridijan k~gle g u tackama- C(C',C" ) j D{ D',!)"). Tacke A, S, C i D

su na presjecnoj kruzniei k. Kako je ravnina ekvatora ravnina simetrije kugle i ravnine E, ona je i ravnina simetrije kruznice k, pa je duiina AS precnik te Krllz,nicc, a simetralna tack a O( 0',0" ) te duzine je njezino srediste.

Tloert k' kruznice k je II prvom tragu e l ravnine E, i to od tacke A' do

tacke 8'. Prccnik EF klllznice k, koji je spregnut precniku AB, okomit je na ruvninu 1f!, pa se njegov tlocrt £' "'" F' poklapa sa tlocrtom 0' srediSta 0 te kruinice, a njegov nacrt EHFff mOTa biti jednak precniku AB, zato je OffEff = (fp" :;0: o'A' iii O'B'.

Duzine AffS" j E"P" su spregnuti precnici nacrta e kmznice k, a kako

su medu sobom okomitl. to je duzina £"FIf velika osa, a duzina A" B" mala osa

Page 97: Nacrtna geometrija

266 11. Presjeci geometrUskih tijela ravnillama

dipse e . Odredene su jos i projekcije tacaka G i 11, odnosno J i K, kruznice k i to kao presjek ravnine E sa sporednim kruznicama u i v, koje Sli paralelne s ravninom 7[2. U nacrtu se vidi onaj diu kruinice k, kuji je nu prednjoj polovini kugle i to od tacke C preko tacke A do tacke D.

" I, . ,,8'

f---'-C"---T'_'~~~~ g' 5'

Slika 11045

Da bismo nasli tangentu pres­jecne kn!.znice u nekoj njezinoj tac­ki, npr. u tacki K, moramo konstru­isati presjecnicu ravnine E i tangen­cijalne ravnine kugle u toj tacki. Kako je tangencijalna ravnina Ij

kugle II tacki K okomita na polu­precnik kugle, koji spajn tacku K i sredi:ste S kugle, nacrtaju se naj­prije projekcije toga po!up~ecnika f/ "'" 8'K' i / = SilK" , a zJtim, kao u p.oglavlju lLLLl, odrede tragovi

dl i d2 ravnine ,d. Tackorn K povuce se sutraz­

mea fIl prvoga rraga ravnine .d

(m'.L rl, m""l1 x) pa sc odredi njez.i-

!l0 Jrugu pr0boJi;le J'I? Drugi

trag d 2 mora prolaziti tackom ;U 1

okomito nu /1 do tacke ft\". 3. od (e tackc ide prvi tr<J.g d J okomito na

Presjecnica t[ [' = ( T/,l":; J,

t"" = (T/',T; r] raVlltna E i Lije tra­

zena tangcnm presje6Jlc kl1lznice k u tacki K

11.7 Zadaci za Ije.~o.val1je 167

11.7. Zadaci za rJesavanje

1. Odrediti tangencija!nu ravninu kosog knLznog valjka u lack[ Tt ·30,80, -), c:ij,l 0:::illO, CJ.

ldi u ravnini Jr,. Valjak je zadan svojom osom SI/[,','(-30,25,0), V(JO,40,40J] i poluprecnikom osnove r = 20.

2. Odrediti tangencija!nu ravninu kosog kruznog valjka u tacki 1'(40,.,10), cija o:mova lezi u ravnini ]fl.. Valjak je zadan svojom osom SV[S(60,O,40L 1/(75,40,20)) i poluprecnikom osnove r ~ 15.

3. Nacrtati projekcije ko~og kr1.1znog valjka, cija osnova leii u ravnini "rei, ako je osa vaUka SVIS(30.25,0). V{85AO,50)/ i poluprecnik osnove r = 20, Prolzyoljno Llzeti

tlocrt T'tacke T, njegovog gornjeg dijeJa omotaca, pa odrediti njezin naert Tit i komtruisati [ragove tangencijalne ravninc toga valjka u tack] T.

4. Nacrtati projekcije kosog kruznog valjka, Cija osnova le2i 1.1 ravllini Jr.-;, ako je OS21 valjka SV[.){75,O.40). V(30,30,25)] i poluprecnik OSl1ove r "-' 25. ProiLvo!jno mel!

nacrt T"" tacke 1~ njegovog gomjeg dijela ornota?a, pa odrediti njezin Huett T' 1

konstruisati tragove tangencijalne ravnine toga viJljka u tacki T.

5.-11drediti tangencijalnu ravninu kosog hufnog g~'L'U, cija jc osnova pamlelna s ravninom Jrb ako muje osa SV[S(60,lO,30), V(O, 60, 55)] i poluprecnik 05nOVe r=20"

Proi'Z.Yo!jno uzeti nacrt TN tacke T, njcgo\'og gornjeg dijcJa 0rrH)U::J., pa odrcditi

njezin tloen: T' i konstruisati tragove tangencijaine ravnine raga $toscCl U tRek] 1

~_ Si1cr~ati projckcije kosog kruznog stos.::a, ';ijiLjC c)::,fWVii Li ;amUli /[1; ...j)..u jt 0::;[, - - stofC"aSV[S(30,3i5jJ), V(90,J5,50)] i polupretnik ··oS!1ove r=20. Proizsoljnu UL.Cli

ilucrl T' [aeke T, njcgovog gornjeg dijeia omotaca, pa ouredit! DJczm naerr T" I konstruisati tragove tangencijalne ravnine toga valjka u tacki T.

7. TaCkom.T(JIO,~,25)'poloiiti rangencija!nu rav!11nu na kosi kruzni swzac, GiJa JC osnova u ravnini Jf], ako je osa stosca SV[S(30,0.3D), V(95.40.45jj i pol(lprcenik osnove r=25.

8. Odrediti tangencijalnu ravninu kuglc u proizvoljno U2etOj tacki T, kojoj je srcdistc S(40,40,45) i poluprecnik r =- 30.

9. Trosmmu priznm, kojoj je osnova DEF[D( 50,25,0), £(75,1 0,25), F(95,J 5,20)] i bocn! brid FG[F, G(50,60,60)], presjeci ravninom odredcrlom tackarna: ABC[A(0.30,15), B(60,O,60), C(100,35.45)].

10. Trostranu prizmu, kojoj je osnova ABC[,4(0,35.40}, B( 55,JO.60). C( 70 .. ":'5. ! 5)] i _~ / boeDi brid ADE4. D(75.JOO,120jj, presjeci ravninom odredenom laC kama:

MNP[M( 10,15,100), N(l25,130,30), P(20,90,140)).

Page 98: Nacrtna geometrija

~2~68 __ ~_~_~~ __ -,l-,l,-~ ,-P,-,=escoj=.e"cI,,· 8'-'"·n_m_..':.-'_""l-",k_ih ____ fl,,iJec.I:.."_'c.·"_..v_n_ill_a_m_" ________ _

11, Trostranu priwm, kojoj je osnova ABC[A( 10,60,10), B(50,60, 10), C(20,80, 10») i bocni brid AD[A D(50, 10,80)), presjeci ravninom odredenom tackama: HNP[M(O,20,30), N(80,40,20), 1'(40,70,100)].

12. C'etverostrann plizmu, kojoj j e osnova ABCD[A(65. 20,5 ),B(85,25,0), C( I 10,10,25), DJ i boeni briq CE[C, £(65,55,65)], presjeci ravninom odredenom "iblna MNP[M(1O.40,20j, ,';(80,5,60), P(l20,55,40)J.

n. t:c!Ytroslranu kosu priztnu, kojoj je osnova ABCD{A(60.20.0), B(70,60,0), C(40, 70, 0), D( ]0, 40, 0)] i bocni brid AF[A, F(] 30,6(J,60)}, presjeCi ravninom F::( 160,140, fOO) i raz:viti mreZ_l.l prizme.

14, Cetverostranu kosu prizmu, kojoj je osnova ABCD[A( ·50, 90,D),B( -20,70,0), C{-40,45',0), D( -65,65,0)] i bocni brid AF[A, F( -JOA5,55)], presjeci ravninom E(8(J,80,45).

1.~" ,Sestostranu kosu prizmu, kojoj jc osnova pravl1an sesterokut sa srediStem u tach 5,'(}OAOJ)), tncb A(0,].5.0) jedan njcn vrh i bocni brid AG[A, G(90,40,90)}, presjeCi r~l\'ninCJm £( 130,1 30,90).

:16. Trostrann KaStl prinnu, koja] je osnova ABC[A(30,O,30), B( 15,0,50). C(70,O,35)j i hacnl brid AD[A. D( J05,75,30)}, presjeCi ravninom £"(90.50.-65).

17. Petostnmu kosu prizmu. kojaj je osnova pravilan peterokut, jednim vrhom u tacki A(-30,20,O), sredistem u tacki S(-5,50,O) i boeni brid A.G[A. G(-120,40,80)}, presjeci ra"'ninom Ef-11(),J20,80/

lS. Pet{}straml kosu prizmu. kojoj je f)snOva A BCDE[Af ln3.0.rn 8(30.90.01. C(70. 70,0), D(90,30.0), E(50,10,0)] i bocni brid AG[A,. G( JiO,]20,90)], presjeci rZlVnillOln E. Taeka Ex je udaijena 100 od, koordinatnog pocetka, eJ zatvara sa x osom uga\) od 60n

, a e2 ugao ad 45(). NaCi pravu ve1ici!l.u presjeka.

19. Prnvilnu sestostranu pri1.11lU, kojoj je 05nova ABCDEF u ravnini 1[j, aka joj je ciijagon;lla AD(,4.(20,25, 0), D(60,35.0)), i visina prizme v ::::: 60, pre~jeci ravninom £(80,=,50).

20. Odrcditi normalni presjek cetverostrane kose prizme kojaj je osnova paralelogram ABCl11A( to,a,30). B( 35,0.15), C(55,0,35), DIu IT], a njen bocni brid je ilelA. G(80,60,60)].

. =L t'r;l.\'llnu pctQstranu prizmu. kojQi je nsnova ABCDE u rnvnini Jrl, srediste u tacki S(40,30,C}). tacka 1i(40,Jo.O) jedan njen vrh 1 visina pnzme v ::::: 60, presjeCi ;'~l\TlinI)Dl E(=,60.5())

. -.. ~--

11.7 Zatiaci ::.a IjdavGnje ---- 269

22. Kosu petostranu prizl11u cija jc osnova ABCDE[A(O,45,0), B(10,65.0), C(35,60;O)t D( 40,35.0!, E{ 15, 25.0)} i bocni bnd AG[A, (;(35,20,65)], presjeci ravninom EfQO.ll0.1(JO)

23. Kosu cctverostranu prizlUu cija je osnova ABCD[/~( -40,0, J 5), B(0,O,35),

C( -20,0,60), D( -55.0,50)) I bocni brid AG[A, 0(·125,85,15 )}. presjcCi ravninom E(. 105.! OQ, - JO()).

24, ('ctverostranu kOE;U prizHlu cija je osnova rlBCD{A( -50,0,80), 8(20,0,90), C(·1O,0,50}, D(-40.0,4())] i boeni brid AGlA, G(10,60,50)}, presjeci rav~inom £(25.15,-25).

25. C'ct'iicrostranu koslJ prizmu cija je osnova ABCD[A(70,75,0). B(90,55,0),

C(120.60,Oj. D( 100.85,0).1 i boc!)i brid AC{A. C(25,30JO)}, presjeci ravninom E( 13(},80, .. 100).

In. Trostranu piramidu ABC, 11[,4(20.30,0). 8(80,20.0). C(45.70,0), V(55,35,70)] prcsjcci ruvninom koja je odrcdcna tHckama: ;\INP [M(35, 10,40), N(80,60,30), P( 1 00. 4(}, 65)].

~7.~ Kosu trostranu piramidu ABC:. VIAl 30 .. 60,0), Bl-=lQ,JO,O). C(-50,35,O), ~'(30,35,60)} presjeti ro\"ninOln E(1'(),(){J,..f,{J).

28, (~et'.,'C'r0"tn1nU k(l,~ll piramid\l ABeD. VrA(-402o.0i. 8(-30. 70.01. Cf40.50.0l, DCO. 10.0). \'"( 0.90)80) 1 presjeci ravninorn E( -50, ·95.20),

- 3~;etverostnilll}"kosu pmunidu, kojoj jc osnOVfl k\CatSrat zadanc stramce

AB (A( 20.5,0), B(70.10.0) 1 U T{, i vrh n 1 ] 0.60. 90) presjeCi ravninom E( /30.130. 70).

30, Cctverostranu piramidu, kojoj je os nova ABCD{A(35,85._). B( 100, J 10,-), C(80,50,-), lJ(4.?65,.J] II ra,:,n,ini £(35.=,-10) i vrh 1/(0.1575), presjeCi ravninom odredenom

. tackama: Mi\ip[M(O,4_~,2.f)).l'1/(70,90,6.)). P( I 15,25,0)].

31. Pcto:;trailll kOSll piramidll, kojoj je osnova ABCDEIA(55,85.0), B(65,65,0), C( lOO,50,()}, Vi 1 10,80,0),£(85,]00,0/u 7[1 i vrh \1(20,20,80), presjcCi ravoinom odrecicnom tackama: MNP[M(20.50.30). N(80,90.80), P(]30.4(),IO)}.

32. Petostrallu kosu pinHnidu, kojoj je osnova U 11:/, sa srediStem u tackj S(-20,35,O), (acka ;\('.<5,JO.0) jedan njen vrh i vrh piramide V(3o,75,75), presjeti ravninom E( 60, 75, (iO J .

33. Sestost1"<lI1U pravilllu llspra\"J1U piramidu. kojoJ je osnova II Jrl.' sa srediStem u tacki S(-1O,6o.0J. tacka .4(-40.30,0) je.dan njcn \"1"h i vrh piramide V(-10.60.80), presjeci raVnmOlll odredenom tackuma: MNP[M(20.0,0i, Nr -50.0A5), P(45.40.0)j.

\

Page 99: Nacrtna geometrija

270 11> Presjeci geometrijskih tijeta ravflinama

34. Petostranu kosu piramidu, kojoj je osnovuABCDE{A(30,30,O). B(6D,25,O), C(90,60,O), D(60,95,O), B(30.70,O)] i vrh V(-20,JOO,80), presjeci r3vninom £(·60,85,35).

,/'-''-,

'( 35. ~estostranu kosli piramidu, kojoj je osnova pravilan sesterokut U if!, sa sredistem u \", ____ ,-.facki S(0,50,0), tacka A( ·30,20,0) jedan njen vrh i vrh piramide V{7G,20, 90), pre~jeci

ravninom E( 110,1 30,70).

36. Cetverostranu kOSll piramidu, kojoj je osnova ABCD(.4(O,O,30j. B( 45,{),45}, C(70,O,l5), D(20,O,O)) u nj i vrh V(90,45,80), presjeCi ravninom E( 125,45,80).

37. Pravilnu cetverostranu piramidu, kojaj je Gsnova ABeD U IT], aka je njena dijagonala AC[A(30,Q,50), C(70,O,30)] i visioa piramide v = 60, presjeci ravninom EI 100,60. =).

38. Pravilnu sestostranu piramidu, cija je osnova u ravnini lrt> ako joj je Jijagonala AD{A(60,25,O), D(JOO,35,O)) i visina piramide v "" 60, presjeci ravninom Ei 160.140.1 10).

r?--~ 3~ Tetraedar. koji plohom ABC leZ:i _u lrf> sa vrhom .-'1.(15,15,0) i sredistem u "--,---,)S(65,55,0), presjeCi ravniiiCiffi E(-30,=-:JO).-~-

tacki

40, Petostranu kosu piramidu, cija je osnova pravilan pckrukut sa srediSlcm u tucki S(40.0,50), tacka A(10,0,20) jedao njen vrh i vrh piramide V(1JO,80,50), presj~ci ravninom E( 100,40,~70).

41. Petosiranu kosu piramidu, cijaje osnova iDCDE{A(3(),3(),0),B(60,25,O), C(90,60,U),-D(60,95,O), E(30, 70, OJ} i vrh V( -20,)00,30;, presjeci ravninorn EI-60.85,35).

42. Cetverostranu kosu piramidu, cija je osnova ABCD{A(O.50,Q), B(30,90,O), e(70,50,0), D(50,40,O)) U 1C} i vrh V( 120, /30,90), presjeci ravninom odredenom sa

dva para Ie Ina pravca: a ""' lvlN[M(0,llO,25), N(.l35,85,O)} i b s; PR[P(O,80,55), Hj.

43. Sestostranu piramidu, Cija je osnova para!elna lr;, sa sreuistcm u tacki S(O,50,7()). tacka A( ~ 10, J 5,70) jedan njen vrh i vrh piramide V(0,50,0), presjeci ravninOl~ odredenom tackama: MNP{M(20,Q,O), N(60,50,O), P(-60,O,45)j.

44. Kosi kruzni valjak, cija je osa SV[S(0,50, 0), V(70,90,70)) i poluprecnik o~move r=40, presjeci ravninom £(130,130,80) i naci provu veticini presjeka.

45. Rotacioni vaJjak, eija je osnova U 7!2, sa sredistem u tacki S{30,0,3Q), poiuprecnik osnove r:::25 i vision vaUka v-::::.70, presje6j ravninom £(-5030,50).

11.7 Zadaci 1.a rjefavanje 271

46. Kosi kruzni. v,~ljak, c!ja je osa SV[S(40,40,0), V( J 10, 70,90)1 i poluprecnik dStlove r::::::35, pre~Jec! ravn.Jno~ E(160,130, 110). U jednoj tacki presjecne kri-\rlilje konstnllsah tangentll ! nab pravu velicini presjeka.

47. Kosi kruz~i ,yaUak.' Gija je osa SV{S(0,45,Oj, V(60,75,60)1 i potuprcc:nik os nove r=35, preSJeCl ravmnom E(90, 140,90). U jednoj tacki presjecne krivulje konstnlisati tangentu i na6i pravu velicini presjeka. ..- .

48. Rotacioni valjak, eija je osa SV[S(30,60,40), V(100,30,40)] i poillprecnik osnove r=30, presjeci ravninom E(15,~20,~20)._

49. Kosi kruzni valjak, Cija je osa SV[S(~45,30,0), V( 1O,5{),55)] j poluprecnik osnu\,{; r::::::25, presje6i ravninom E(35,40,30). U jednoj tack! presjecne krivuljc konstll.liS:1ti tangentu.

so. Kosi kruzni valjak, cija je osa SV{S(0,30,0), V(55,50,60)) i poluprccnik OSIlOVC

r=25, presje6i ravninom E(80,90,60). U jeduoj tack! presjecne kriv~lje konstruismi tangentu.

51. Kosi kmzni valjak, eija je osa SV{S(~20,55,O), r=25, pre~je6i ravninom E(-50,-50,JO).

V( -85,30,70)] i polliprecnik o:;novc

52. Kosi kmzni valjak, cija je osa SV[S(25,45,0), V(11O,30.75») i JJOluprecnik O$novc r=30, presjeci ravninom E( 80, -J5.40).

53. Ko~i,_ kmzni valjak, elja je osa SV[S(~50,O,35), V(15,55,60)J i poiuprecnik OSllUVe

r=30, presJecl ravnmom £(50,50.45). . .

54. Uspravni va!jak visine v=::;70, sa sredistem osnove u racki 5(35,30,0; i poluprecnikom osnove r=25, presjeci ruvninom E( 100,110,70.),

55. Rotacioni sto:Zac, eijaje osnovn u tr}, srediste u tack; S(40.40,o.), polupreenik osnove r=25 i visina stoSca 11:::::60, presjeCi ravninom E(=,8o.,60).

56. Rotacioni stozac, cijaje osnova U 11:2, srediste u tacki 5(40.,0.,40), po!uprecnik osnove ,---(=25 i visina stosca v::::60, presjeci ravninom £(80,60,=).

/'-', \ . , 57:-X;hi kruzni stozac, Cija je osa 5V[S(-5, 35, OJ, V(-70,50,70] i poluprecnik aSDove

r-::::.~O, presjeci ravninom E(·80,95,60). U jednoj iacki presjecne kriyuije konstl'ui5:l1i .~="mfjgentu.

58. Rotacioni .st?zac, ?ija je.- osa 5V[S(-40,55,0), V(-4o.,55.90) i poluprecnik osno\.'c 1'=40, presJec! ravnmom E( -55,-60,40.). lJ jednoj tacki presjecne krivulje konSlruisali tangentu.

Page 100: Nacrtna geometrija

27"2 ! 1. Presjeci geometrijskih rijela rQvllinOl11l1

59. Kosi kruzTli stolae, (Un je osa SV[S(40,45,0), V( [25,30,70)] i poluprecnik osnove 1"=40, presjcCi ra'vninom £(85,-80,80).

,GO. Kosi kmz.ni stazae, Cija je osa SV[S(-80.40,0). V(1O,55,70)J i poJuprecnik osnove r=35, presjeci ravninom E(20,20, 15).

fd. Kosi knxbli stoZac. cija je usa SF[S(50.50,O). V(0.JO,70)J i poluprecnik os nove r=35, prcsjecl ravninom E(50,55,35) i odrediti pravn veliCinu presjeka.

hI.. KnSl kruini stOZflC. 6ja jc osa SV/S(O,50,O). H20.20.6S)] i poluprecnik osnove 1"=45. presjcci r(lvninom E( J 10, J 30,60). U jcdnoj tacki prcsjecne krivulje k0n'-;1ruisali langcnttL

< ',; l(!:\si kruzni stoinc. cija je osa SV[S(40.40.0). V( JOG, 100.70)] i poluprcenik osnove 1'=30, presjcci ravninom E(120,165,100). U jcdnoj tacki presjecne krivulje b)tFtn.·lisaii tange-ntu. -

64. U:;pr(lYl1i rotaciooi stozue, cija je osa 5V{S(45, 55, 0), V(45,55.105)J i poluprecnik osnove r~45, presjeCi rav-ninorn £(80.-100,50).

65. I(osi kllltni Stoi3C, ._~i~ j0 o~a ~V(5)15Zc,-~O,O j, lv( 60,100,70)] i pohlprecnik osnove r=35, presjeci nlvninom E(80, 1 10,65). -U jednoj tack! presjecne krivulje konstroisati tangenlu.

fl6. Ko<:j kruzni stoZac, cija je 0;1(1 SV{S("40AO.0), V(25,60.80)] i po!uprecnik osnove 1'=30, presjeci ravninOlll £(80,70,50).

67. C!spr;Jvni stozue vislne v=70, sa sredistem u taCki 5(20,35,0) i poluprecnik OSl1OYe r=_·W. presJcei ravmnom £( 100.1 10,60). _ r

03. Kllglu, sredista S(5030,35) i poluprecnika /":::::25, presjeCi ravninom Ef-65,40,50).

69. Kliglu. srerlista :W50,50,45) i po!uprecnika 1'=35, presjeci rnvninom E( -40.70,50),

70. Kuglu. srcdista S(50.40.50) i poluprecnika r=35, presjeCi ravninom odredenom (,,,'kama ABC[AlO,O.25), 13(50,70,5). C(85A5,60J/.

n. Kuglu. sredist8 S·(40,45.45) i pOluprecnika 1':::::35, presjeci ravninom £(55,40,-40).

/2, KugilL sredista S( 15,40,45) i poluprecnika 1'=35, prcsjeCi ravninom E( 40,-65,80).

;.~- K~igl\i. ~rcJiS1.a 5(50.30,80) i poluprecnika r=35. presjeci ravninom £(00.60.60).

7-:1. S:."gi1.L srtdista S(O,50.40) i poluprccnika r=40, presjeci ravninom £(60,=,60),

____________ ~i::l.? Zadaci 1.(1 lfe.<avanJe 273

75. Kuglu, sreciisla 5(80,40.45) i po!uprecnika 1'=35, presjeti ravninom E(50,-20,60).

76. Kuglu. sredista S(o.40.35) i poluprccnika r=30. presjeci ravninom £(55,55,60).

77. Kuglu. sredista S(35,25,30) i poll1precnika r:::::30, presjeci ravninom £(-40,30,20). U Jednoj tacki presjec,nc krivulje konstruisati tangentu.

78. K\lglu, sredistu 5(55.40,30) i poluprecnika 1"=30, presjeCi ravninom kojaje odredena sa dva pravc(l: (lOS ;'v1N[M( 15. 10,70.), N(O, 75.0)] i b ~ MP{M, P( 100,30,70)],

79, Kuglu, srcdista S(40,35.40) i poluprecnika /"::::::30, presjeci ravninom £(60,30,-35). U jednoj tacki presjecne krivulje konstruisati tangentu.

80. Kuglu, sredista S( 40.45,45) i poluprecnikn r=35, prc..">jeCi ravninom 8(120, JOO, 70}.

81. Kuglu. sredista 5(-10,40,40) i poluprccnika r=30, presjeci ravninom E(-60,35,40). U jcdlloj tacki presjecnc krivuljc konstruisati tangentu.

82. Kl1glu, sredista S(-50.40,-/5) i poluprecnika r=30, presjeCi' ravninoln £(-30,20,-25). U jedooj tacki presjecne krivulje konstruisati tangentH.

83. Kuglu, sredisla S(40.45,35) i poiup~ecnika r=30, presjeci ravninom £(75,65,-70).

84. Kuglu. c;redi~ta S(oOAn.35) i poluprecnika r=30. presjeci ravninom E(50,-45,40). U jednoj tacki prcsjecne krivulje kOTlstnlisati tangentu.

85. Kuglu. ~redjsta Sf40.50.30) i poluprecnika 1"=25. presjeci ravninom E(80.=,90).

/ R6. KugJu. srelii.~ta S(4D. 35.3f)) i poluprecnika rf25. presjeci ravuinom E( =, 70,SO).

87. Nacrtati sve projckcije presjeka i i~ieka rotaciollog stosca, drugirri projicirajucim ravnjnama i valjkastim plohmna, ako Sll nacrt stosca, polo'zaj projicirajuCih ravnina j valjbSlih isjeb dilti na'slikama broj 1 do 36.

88. Nacrtati $VC projekcije presjeka i isjcka rotacionog valjka, dmgim projicirajuCim ravninama i vl1!jkastim plohama, aka su nacrt valjka, polataj projicirajucih ravTlina i valjkastih isjeka dati na slikama broj 37 do 63.

89. Nacrtnti sve projckcije presjeka geometrijskih tijela projicirajucim ravninama, ako su oblik tUcla i tragovi projicirajucib ravnina dati na slikama broj 64 do 93.

Page 101: Nacrtna geometrija

274

1.

4. , , , ,

J 1, Presjeci geometrijskih tije/a mVnill{//IlU

1

1 "'I ~, , ,

1 '

, , ,

T

,~"'-"--T

5. " i \ I /' \ J :' \ '-01

B. , , , , , , , ,

it, , I , , , ,

\ \

t ! I , !

:;;1 , ! , , ,

n ,

r ",I <"\11

I

j

3.

6.

, , /

, / ,

/ ,

/

____________ :.:11.7 Zadaci za /jdQvanje 275

k----J">. ! II \ '

, ,~ I \ I

i ,

01 ,

'°1 , , ,

3i7' '. _1

Page 102: Nacrtna geometrija

71. Presje6 geolnf'frijskih tijela ravnillama

,1;---' " 20. / i \ , ' , '

/ ' , 'a

\ '"

28.

31.

34.

l-.L.···­a: "''':

i a! "':

11.7 L.{lrinci 7.0 rjdavanje

29.

32. " /1\ , ' ,

277

,~.

,\'\ I 30 ' . \

' I ' ., , , I ! I '. Oil

I I

SSi

i

Page 103: Nacrtna geometrija

278

40.

11. Presjeci geomerrijskih tijela ravninama

f-.--I--.L .:'+-1 L--!tiQ~

11.7 Zadaci::(1 Ijdavanje 279

42.

Page 104: Nacrtna geometrija

280 II. Pre~jeci geomelrijskih (ijela ravlliflama

q, 40 I I rr- ---I ------:;t

I I 60.

:;; I I

L~--+-+ !:el -p .,------, , ,

! ~I I i

,.-L-.+-40--"-'f

11.7 Zadac! ;:a rjeSawmje

! ii51 66.

T T" --.,-. !

"I 69.

5

e,

10

x

r , cl ~i

281

Page 105: Nacrtna geometrija

282 1 J. Pre;-,jeci geomemjskih rljeia rLlvllinama

e, I \e,

70. 0 :;::1 '" 71.1

~ l I x

50

80

e,

x

T e'l ,

0 21 ~ , x

x

r

__________ -"11::.,::.7::Zil::,::ia::c.:..i za IjeSm,'=a.:c:nJ.::.'e_~ , ______ ---'2,,8"'3

,

J--~ g

~36

~I

',-.Jl~_, Ie,

e,

x

80 10 ~"~-.~-----t~.

T

21 e,

I I ,

[Ji i .L

e,

1-'-

'" / 1 3'1 -r ro!

\".oj !

1/ "- l 5',

! 50 I

e, -, ~~~-~....j,

e,

1-­! !

x

...L+ __ '--'-_-"I~_ x

-1--

S5)

Page 106: Nacrtna geometrija

284 II. Presjeci geometnjskih tijela ravl1i/!ama ------.------'--'-'-"~~-'-'--"'---'---------'-----"-------

i 01 ~i

I

84_

"e'l

r ~ I I ~ I I,,, ~ , i ' x.L

r~ / 6'! (----~~~:: \ I 'If/.

' -" ~/- e, \----- __ 50

x

I

~I , I

:83. I

I , e,

e,

\

____ . ______ IJ. 7 Zadaci za /jdavanje

'II

e, 90.

JVi-.1 , .. e,

j

1

x~~~-+ ____ ~_ 180 1-·---'---

1 I

:;;1

_l_

I

~I

oj <01

j -"---i---"

e,

285

Page 107: Nacrtna geometrija

12~ Prodori geometrijskih t~jela

12.1. 0 prodorima uopste

Prodor iii presjek dviju ploha je simp svih lacaka kaje su zajednicke tim plohama. Proctor dviju uglatih ploha (prizme, piramide) je prostomi poligon kaji maze biti iz jednog iIi dva dijela. Prodor uglate i oble plohe je prostomQ

izlomljena linija koja se sastoji od lukova ravninskih krivu{fa kaje se meousobno presijecaju u probodistima bridova uglate S oblom plohom. Aka jedno tijelo potpuno prodire u drugo, tj. jedno tijelo dopire do drugog, zatim u njemll nestane, pa iz njega izade na drugoj strani, onda kazemo da imamo pOtpll11 prodor tih tijeJa. U tom slucaju prodomi poligon, odnosno prodoma krivulja, sastoji se od dva zatvorelJa-peLigona, odnosno dvije zatvorene krivuije.

Kad jedno tijelo sarno zadire u drugo, tj. jedno tijelo samo jednim svojim dije!om prodire II drugo, tada imumo nepotpun prodor tih tijcla. U takvom se slucaju prodorni poligon, odnosno proJorna krivulja, sastoji od jednog zatvorenog poligona, odnosoo odjedne zatvorene krivulje.

12.2. Prodori uglatih tijela

1. Zadat!lk. Odre.fJ..iJili"odor kose trostralle prizme, tijaje ~:<;rlOiJa ABC[A(65,6),0), 8(100,55,0), C(90, 70,0)] u lCj i lioeni brid CF[C, F( 30.40,65)], sa kosom trostral/om prizmoJll GHI[C'( 10,80,0), H(25,55,O), 1(50, 65, O)}. kojoj je OSllOVO 11 '" i bocl1i brid GJrG, J(70,30,65)}.

R j e sen j e: Na slici 12.1 odreden je prodor dviju kosih troslranih prizmi kojima su osnove U 1C,. Da bismo odredili probodiste kose prizme J, sa nekim bridom kose prizrne ll, marama tim bridam potoziti ravninu paraletnu s bocnim bridovima prizme 1. 15to taka, za odredivanje tacaka prodora prizme II sa bridovirna prizme I, postavijarno kroz tc bridove pomocne ravnine paralclne s bocnim brtdovima prizme II. 1z posrnpka odredivanja pomocnih ravnina

tijela 287

proistice da su te ravnine U oba slucaja paralelne s bocnim bridovima jcdne i druge prizme.

Prvi trag p J jedne takve ravnine P nil ravninu 1[1 odredujemo D3

slijedeci nacin: kroz proizvoljno uzetu t.acku S( S',S/I) polozimo pravae

m( m',lI{) pamIelno bocnim bridovima prizme II i pravac n( n',n") paralcluc

bocnirn bridavima prizme 1. Pravci min odreduju ravninu P. Ako su i'vl! i l'-i I

probodista zajednicke ravnine 1Cj osnoviea tih prizmi sa tim pravcima, ollda je

pravac Pi :;;;: MiN! prvi trag ravnine P.

0" F" E"

1

z I

J"

/

L" , :

" ' , / II

K"

at~iiG~"~~;I~,,~~-i:H~" ~~~~~~. x !A" L't [C" :8-"--

I y

G'

: 1\'

Slika 11.1

Aka bridom AD prizme I polozimo ravninu A koja jc paralclna ravninom p, njezin prvi trag je pravac ai' leoji prolazi tackotn A. paraJelno

tragom Pi' Trag L1, sijece stranice omove prizme IIu tackama .l i 2

Page 108: Nacrtna geometrija

288 J 2. Prodori geometrijskih tUeln

Ravnina A presijeca plohe prizme II u pravcima koji idu tackama 1 i 2 , a paralelni su brldovima te prizme. Ti pravci sijeku brid AD prizme 1 u

p,,'!,ociistima I( j'f) i 2( 2',2').

Na isti naCin, pomocu ravnine B i njezinog prvog traga hI' odrede se

[,1'obodisl8 tCiCaku 3( 3',3" ) i 4( 4',4" ) prizme II sa bocnim bridom BE prizme L Ravnina Z, Ciji je prvi trag zJ po!ozen bridom CF paralelno s ra~niflorn

P. nc sijece stranice osnove prizme II, sto znaci da brid CF ne probada tu

Za odreoivanje tacaka prodora prizme I sa bocnim bridovima prizme II, polazll se pomocnc ravnine bridovima prizme If. Ravnina D, Ciji je prvi trag d!,

l'n!nicna je bridom GJ prizme 1I kroz tacku G paralelno tragu PI ravnine P.

Trag d{ sijece stranice osnove prizme 1 u tackama :5 i 6. Ravninap presijeca

plnhe prizmc I u pravcima koji idu tackama 5 i 6" , a paralelni Sll bridovima te prinne, Ti pnlvci sijeku brid GJ prizme II u probod.islima tacaka 5( 5',5") i

f:i( 6,6"),

~a isti naGin, pomoeu ravnlne E i njezlnog prvog traga e;, odrede se

tncaka 7( 7"'}#') i 8( 8',8") pritm-e I sa bocnim bridom HK prizme lJ.

R:Finirm F, ('1ji jc prvi lrag fi _ poioiena bridom IL paralelno s tragom P,

fdsnine p, nc sijece stfanice osnove prizme 1, sto znaCi da brid IL ne probada tu Tacke probodista istoimenih projekcija, medusobno spojene, daju

pn1dnlll! pn!igon u_proje.kcijama. Rcdoslijed spajanja tacakaje 1,5,2,4,6,8,3. 7 i 1. --

Vidijivosr iinija prodomog poiigona vdredena je -,idljivoscu pioha

prizmi n" krjima se one nalaze.

2. Zadatak. Odrediti prador kose trostrane pimmide, cija jf'. osnova ABC/A(S5,80,O), B(50,55,0), C(J{)O,2(),O)J a lTJ i vrh F(3(),10,50), sa trosfranom

'osun! DEE{D(20JO.cJ), E(40. 60, 0), n /0,50,0)] kojaj je 051101'0 U llj i i"')C~J1i ElliE. H(9D, 10,55) 1 _

R j e sen j e: Na sEci j 2.2 prikazan je prodor trostrane pirarnide sa :rnstnmom prizlTIom. Ravnine pomoeD kojih se odreduju presjeci bocnih bridova Jc:dnog lijela sa drugim moraju imati pomocni pravac m( m',rn"). Taj pravac

Vrh()Dl \if v'y"') piramide. paralclno s bocnim bridovima prizme. Prvi

12.2 Pmdori UR'atih tfjela 289

tragovi svih pomocnih ravnina idu probodistem M! pravca m( rn',ml1') i prvim

probodistem brida, za koji se trail presjek. Da bi se odredile presjecne tacke 1 i 2 brida A V, polozi se ravnina A

tim bridom i pravcem "L Pravac aJ = M jA! je pry! trag ravnine A koji sijece

stranice OSllOVe prizmc u tackama 1 i 2. Ravnina A presijeca plohe prizme pravcima kojl iau tackama Y ii, a paralelni su s bridovima prizme. Ti prayci sijeku brid A V pimmide u probodistima l( j',J" ) i 2( 2',2'" ).

v" j'~"_;;.G_" __ .-;,H"

4'

Slika 12.2

Na isti nacln, P01110CU ravnine B i njezinog prvog traga b1 , odrede se

proboJista tacaka 3( 3'.3"} i 4( 4'.4" ) prizme sa bocnim bridom BV piramide.

Za odrcdivanje tacaka prodora piramide sa bocnim bridovima prizme, pOiilZU se pomocne ravnine bridovirna prizme.

Page 109: Nacrtna geometrija

290 12. Prodori geometrijskih tijela

Ravnina E, Ciji je prvi trag e j > polozena je bridom prizme EH j pravcem

m. Trag e I sijece stranice osnove piramide u tackama "5 i (5. Ravnina E

pTesijeca plohe piramide u pravcima 5V'i 6V' . Ti pravci sijeku brid prizme EH u tackama 5( 5',5') i 6( 6',6' ),

Na isti na.cin, pomocll ravnine F i njezinog prvog traga if' odrede se

probodista tacaka 7(7',;") i 8( 8',8") piramide sa bocnim bridom prizmc Fl.

Tacke probodista istoimenih projekcija, medusobno spojene, Jaju prodomi poligon u projekcijama. Redoslijed spajanja prodomih tacaka je (, 5, 3, 7,4-, 2, 8,6 i 1,

Vidljivost linija prodornog poiigona odredena je vidljivoscu ploha tije!a na kojima se nalaze.

3. Zadatak. Odrediti prador trostmne prizme cija je osnova ABC[A(80,65,0), B( 100,35,0), C{ 110,65,0)]" "I I bocnl brld AD[A, D( 5,30,80)J sa cetverostranom piramidom kojojje osnova GHIJ[G(O,60,O), 1-1(35,90,0), 1165,55,0),1(40,25,0)) It re, i vrh Vl75,15,85J,

R j e sen j e: Na slici 12.3 prikaz::m je prodor trostrane prizme sa celverostranom piramidom. Rjesenje zadatka sJicno je rjdenju zadatka kao na s1ici 12.2.

12.2 Prodori IIglatih lijela

V"

~"" D" E" F"

~, ±' ~~",---~~::;A>:_'_._ .. _x ~

~BI( iC" '

Ii'

Slika 12.3

. 4. Zadatak. Odr'e-zliti-p;C;dor cetverostrane ph'amide cija je OSJlova

ABCDIA(0,50,O), B( ]0,20,0), C(65,j(),O), D(40,lO,O)J" "I i vrh V(! 30,85,65) sa cetveroSiranom prizmom cijaje osnova EFGH[E(95,40,O), F( 125,25.0), G(105,W,O), H(70,20,O)J " "I I hoeni brld FJfF, J(85,95,70)J,

191

Rj e S e nj e: Na slici 12.4 prikazanje prodor cetverostranc pirallliJc S8 cetverostranom prizmom. Rjesenje zadatka je sticna rjdenju zadataka Da slika­rna 122 i 12.3.

Page 110: Nacrtna geometrija

292 12. prodori geometrijskih ujeta

J'

" Slika 12A

5. Zadatak. Odrediti procTor praviliie usprc~vne' cetverostrane pirmnide

ala ,e osnoWl ABeD[A( 35,5,0), B(65,35,0), C( 35,65,0), D( 5,35,0)J" '" i vrh ~':(3 "5,15, (5). sa pmvfl710m cetverostranom priz/1wm kojoj je osnova EFGllfE«(I.35,40), F(0,20,25), G(0,35, 10), H(0,50,25)) i bocni brid

E/[C 1{70,35AO)!.

E j. .. c sen j e: Na shei 12.5 prikazan je potpun prodor pravil,ne usp~~vne celve-rQslrane piramide sa osnovorn u nJ i pravilne cetverostrm~e pnzme Clje, su usnove pmalelne s n1. Ose piramide i prizme sijeku se pod pravH~l uglOD1 .. Tacke

pT(ldc)rDcg poligonJ ] < 3. 2 i 4 odrede se pomocu presjeka bndova pnzme s h-j,jc'\'Jrna piramide.

$"

12.2 Prodori uglatih ti}ela 293

Da bismo odredili ostalc tacke prodomog poligona, polozena je ravnina B po bridu prizme F'J' , a paralelno ravnini 1r2. Prvi trag te ravnine je pravac bl ,

a treCi trag pmvac OJ' Ova ravnina sijece osnovu piramide u tackama P i R, a

I1jezio brid A V u tacki T. Presjecnice p/fy" i RIJ'T" odreduju prodorne tacke 5", 7 fT i 6"'.8"', Tlocrti tacaka 5' i 6/ nalaze se l1a prvom tragu hi ili bridu F'j'.

a njima simetricne tacke 7' i 8' oa bridu H'L/. Bokocrti tih tacaka poklapaju se._ sa bokocrtil1la njihovih bridova. Redostijed spajanja tacaka prodornog poligona 1 njegova vidljivost odrcueni su na vee poznati naGin.

vlfl V"

/ e'"

c' Slika 12.5

6. Zadatuk. Odrediri prodor pravifne uspravne sestustralle prizme cija Je 0511()V(l if rovnil1i n1 sa pravilnom trostral1om prizmom (~Ua je oSl1ova paraldna s ml'llrnO/il Jr:'.

Page 111: Nacrtna geometrija

294 12. Prodori geomerrijskih lijela

R j e sen j e: Na slid 12.6 prikazan je prodor sestostrane prizme .s~ trostranom prizrnom, Rjesenje ovog zadatka shena je rjdenju :ad~~tka. na SJ~~l 12.5. Na slici 12.6a je prikazana linija prodora na sestostranoJ pnznn poslljc iZdvajanja trostrane prizme. Na osnovu rijdenog zadatka, a prema prilozenoj tabeli, postoji jos dvnnaest kombinacija kaje traba rjesavati kao zadatke za

vjezbu.

S1i.ka 12.6

,-;

1.2.3 Prodori oblih tijela 295 ----------------12.3. Prodori oblib tijela

7. Zadatak. Odrediti pradoI' rotaciol1og valjka cija je o,';nova ukolJlit(l

na ravninl/ n; i krnjeg rotacionog ::l10sca sa OSJWVOIJ! u ravnini IT], kojiflla se use sijeku pod pravim uglom.

R j e sen j e: Na slici 12.7 prikazan je nepotpun prodor valjka i stosca. Prador je jedna zatvorentr krivulja. Tacke prodorne krivulje odredc se taka, sto oba tijela presijecamo ravninama, koje su paraIe]ne ravnini n!. Svaka takva ravnina sjeCi ce omotac vaUka u dvije izvodnice zato sto je paralelna s njegovom osom. Ravnina ce sjed omotac stosca u jednoj paraleli zato S10 je okomita na asu stosca. Izvodnice i paralela ce se sjeei u cetiri tacke prodorne krivulje. Ose valjka i sto5ca sijeku se pod pravim uglom.

Ravnina .4 koju ove ase odreduju, paralelna je s ravninam lf2, tiji prvi trag .ie pravac SI , a treei trag sJ' Ova ravnina sijece oba tijela u konturnim

izvodnicama njihovih nacrta, koje se medu sobom sijeku u tackama 1 i 2 prodome krivulje k. 1z naerta tacaka 1" i 2" odrede se tlocrti 1'i 2' i bokoCfti ri 211/.

Horizontalna ravnina B, polozena osom valjka °1 , Ciji je drugi trag

pravac hz, a tr~ci trag hJ' sijece omotac valjka u konmmim lzvodmcama U 1 b

njegovog tloc¢a. Ravnina sijece omotac stosca u paraleli tI]. Bokocrli izvodnica

a""i bIN i paralde. u; nalaze ,se-.na tragu b3. Porno{:u nacrta u;ili bDkocna

odreden je tlocrt tI~ paralele LJ I. Kminica u; sijece iz~odnice c/ i b' u tack:drna

3' i 4', 12 tlocrta tih tacaka odrede se njihovi nacrti 3'" ~ 4iY i bokocni 3llY i 4'" . Horizontalna ravnina A, Ciji je drugi trag pravac (/2' a tree! trag C/3'

sijece-omotac valjka u izvodnicama e i d, a omotac sto-s-ca u paraleli u2 . PomocLl

bokocrta izvodnica em i dIU i paraleJe u; odrede se tlocrli cl

, d' i ~<>, koji ')e

meau sobom sijeku u tackarna 5 i 6. lz tlocrta tacaka S'i 6' odrede se nanti 5"' i 6"ibokocrti 5'"'\ 6"'.

Na isti nacin odrede se projekcije tacaka 9 i 10 prodornc kri\'uJjc k pornocu horizontalne ravnine G, kojoj je drugl trag pravac g2' a treCi trag gj.

Iz vrha stosca na valjak su postavljene dvije wngencijalne ravnine E i F kojima su treci tragovi ej i .t:1' a prvi i!f i j~. U tim ravninama nalaze se

karakteristicne prod orne krivu!je. Ravnina E sijece ::ito'zac u iZYOllni(;3.111:.l A. V( A'V',A"'V"',A"'V"" ) i BV( B'l,l'.B"'V",B""I,//iY) , a d0diruje \'uJjak u i.zv()dni-:i

Page 112: Nacrtna geometrija

296 12. Prodori geomctrijskih tijela ----------~~-~~~-~~~~-------------

e( /,ep.e'" ). lzvodnice BV( B'V', SNV", BII1V"') i e( e',e",e/l"l) sijeku se u tacki

/( 7" r.T'"') prodorne krivulje k. lzvodnicaje tangenta krivulje ku tacki 7.

RZlvnina F sije.ce stozac u izvodnicama eV( e'v', C''V''', C"V""') i

DV( D'V'.D'V',D~V~), a dodilUje v.ljak u izvodnici f( f',f',f~). Izvod­

nice DV(D'1,/',L)"V"',Dm l/"'j i f(f',f",fl#) sijeku se u tacki 8(8',8",8"')

!,!-r_'(l!,rrlf' kriyulje k. Jzyodnicaje tangenta krivuJje Ie u tack] 8.

I,

k" 10"

;

li~3 H ~ "'. l~+' +--+-++1-11--\+ A'"8'" ~; ~ , • , ,

Slika 12.7

--- -r

" ,

~

J i I - I

I',

" e'

r t

T'

j ..

12.3 Prodori ohfih tije/a 297 ----------Tangenta prodome krivulje u tacki 10 konstnlisana je pomocu tan­

gencijalne ravnine valjka i tangencijalne ravnine kmjeg stosca u toj tacki. Tangencijalna ravnina valjka u tacki 10 treca je projicirajuca ravnina T(rI.t-;J;}. Tangcncijalna ravnina stosca u tacki 10 je ravnina L1(d p d2 ).

Presjecnica tih (J-viju ravnina je trazena tangcnta t[ t' :::::(T:,I~ ),r" =(TI~T;)1

prodorne krivulje k u tacki-10. K.ako je u pitanju nepotpun prodor, tlocrt k' prodorne krivulje k

sastavljen je od jedne zatvorene krivulje. U tlocrtu ove krivulje vide se oni dijc10vi koji su l1a g0111jOj polovini omotaca vaijka. Nacrt k" prodorne krivulje je dio jedne grane hiperbole, a njezin bokocrt kl"/f poklapa se sa bokocrtom omotaca vaUb.

Na osnovu rijeSenog zadatka, a prcm!J priloienoj tabeli, postoji .los dvanaest kombin~cjja koje treba tjesavati kao zadatke za vjezbu.

8, Zadatak. Odrcditi prado,. dvaTotacionG valjka razliCitih poluprecnika, kojim(1 se ose sljeku pod pravilll uglom.

R j e sen j e: Na slici 12.8 prikazan je nepotpun proctor dva rotaciona valjka. U tom slucaju prodor jc jcdna zatvorena krivuJja. VaUku, kame je pravac 0 1 ( 0; .0;) osa, tioert jc knrznica, a nacrt i bokocrt su pravougaonici. Va!jak,

kome je pr[j\'3c 02( o~. ,0; ) os a, u tlocrtu i nacrtu je pravougaonik, a u bokocnu

kruzuica, Njegove osnove su para1elne s ravilinorn ·n.!< Ose valjaka sijeku se pod pr~rYim '.lb1om u tacki S( S',S",S"'.\

Ravllina I, koju ove ose odreauju, paralelfla je s ravninom 7[2, Ciji je prvi

trag pravac: 51' Ova ravnina sijece omotac sireg valjka u izvodnici EE, a

omotac uzeg valjka u izvodnicama CC i D15. lzvodnice se sijeku u tackama l( /, ]",)'" ) i 7( 7'.7",7'" ) prodorne krivulje k.

Horizontalna ravnina F, polozena 050m valjka °2 , ciji je drugi trag 12 ,

sijece omotac v<:lljka u izvodnicama .. 4A i BB . Omotac valjka, kome je osa 0 i '

ravnina F sijece u kruznici m. Izvodnice i kruznica sijeku se u tackama 4 i 10 proclorne krivulje. Iz tlocrta tacaka 4' i 10' odrede se njihovi nacrti 4" i 10" j

bokocrti 4~' j 10"'. Nacrti tacaka 4" i 10" poklapaju se, jer su tacke simetricne s obzirom na ravl1inu I.

Da bi se odredile jos d'vije tacke prodorne krivulje k, presijeku se oba valjka mvninom E, koja je paralelna sa osam<l valjaka.

Page 113: Nacrtna geometrija

298 12. Prodori geomerrijskih njela

Prvi trag e, ravnine E sijece ornatac sireg va!jka u izvodnici GG, a

uzeg valjka u izvodnicama MM i NN . Nacrt i1.vodnice GO je D': ordil~i Lacke G' ::; G u kojoj su presjecne tacke 9' ill'. Nacrti izvodnica A1M i NN dobiju se iz bokocrta. U bokocrtu tre6i trag e3 sijece kruinicu uzeg valjka u tackama

9'" i 11'" izvodnica MiN. Nacrti tacaka 9# i J /' su u presjcku izvodnic<!: lvlM sa

GG i NN sa GG. Na slici 12.8 odredene su jos dvije tacke 3 i 5 prodorne kriv'U\je pomocu ravnine T. Ova ravnina je paraleina s ravninom 1:; a od nje je jednako udaljena kao ravnina E. Tloerti tacaka 3' i 5' su u presjeku [raga [! i krufuice, a njihovi nacrti poklapaju se sa nacrtima onih tacaka prodome krivulje

koje su u ravnini E.

J" ~T

<\ 1

--N" ~I

m" ~- A" -I, 8" -

L_ i i

i I :C fI ._1.

2-0

, i ,

,~ (JIMEN-rJ;JE-{mm) ~' " :8' 0, '0 0 h d I, " 0'

'0 50 '0 30 30 b,

2 " " 35 27 3/ 0; C' 5, 3 " 58 38 29 3< 0'

, " 52 " 26 38 I' J',,_oJ

5 " 58 " 19 35 /of' N' B,

5 " 55 38 28 10 A' 50 50 50 10 1.

• 51 58 " " '0 y

9 " 50 " 30 " '0 " " 38 27 35

Slika 12.8

1i 1'-'

_~l-

;-,

12.3 Prodori oblih 299

Da bismo odredili jos dvije tacke prodorne krivulje k, presijeku se aba valjka ravninom A, koja je paralelna sa osama valjaka. Prvi trag favnine (11

sijece omotac sireg valjka u izvodnici liii, a uzeg valjka u izvodnicama Ii i Jj. Nacrt izvodnice HH je na ordinali taeke H' "" IF u kojaj su presjecne tacke 8' i 12'. Nacrti izvodnica IIi JJ dobiju se 1Z bokocrta. U bokocrtu. treei trag a3 sijece krumicu uzeg valjka u tackama 8'''' i 12'" izvodnica I i.J. Nacrti

tacaka 8" i 11''' su u presjcku izvodnica II sa HH i JJ sa HH _ Odredene su jos dvije tacke 2 i 6 prodome krivulje pomocu ravnine B. Ova ravnina jc paralelna s ravninorn X, a od nje je jednako udaljena kao ravnina A. Tloerti tacaka Xi 6' su u presjeku traga bJ i kruznice, a njihovi naeni poklapaju se sa

nacrtima onih tacaka prodome krivulje koje su u ravnini A. Tangenta u tacki 11 prodorne krivulje k konstmisana je pomoctl

nonnata va!jka u toj tacki.· Normala Itl 5ireg valjka u tacki /1 prolazi tom

tackom okomito l1a OSli 0, toga valjka. Projekcije normale n; 0;:;: J ]'0; i n; okomite Sll na 0;. Normala n2 uzeg valjka u tacki 11 prolazi tom tack om

okomito na osu O2 toga valjka. Projekcije su okomite, n; na 0; i 11; na 0;. Te

dvije nonnale odreduju norrnalnl!- rayninu p~prodorne krivulje k u tacki 1]. Kako tangeota t u tacki 11 mora biti okomita oa ravninu 4), projekcije

tangente su okomite oa istoimene tragove te ravnine. Ako ravDlllu 2:. koja je paralelna s ravninom nl> probada oormala 11, u tacki K( K",Kff), a nonnala il2

u tacki L( L/, LK), ooda je pravac Kl. sutraznica drugoga traga ravnine cP. Nacrt

t lf tangente 1 u tacki 11 mora biti okoirrihTa--pravac K"LI< :-Tlocrt [1- tangente [ mora biti okomit na tlocrt 11; normale n,- -' pas to je normala lljedno i '>lItraznicC!

prvoga traga ravoine iP. Na osnovu rijesenog -zgdatka, a prema prilozenoj labeli, postoji .los dcset

kombinacija koje trcba rjdavatf'k&.? zadatkc La vjeibu.

9. Zadatak. Odrediri prodor polo vine kugle, sa srediDem Ii rLll'llilil Jr i

polovine rotacione valjkaste piahe, kaja prelazi II vertikaine {ungclIL-'ijuLnc

ravnine FiT, ako je ravnina L Iljihova zajednil.--'ka ravl1ina simelrije, u parolelno je s ravninom Jr2.

Page 114: Nacrtna geometrija

12. Prodori geometrijskih tijela

R j e seD j e: Na slid 12.9 prikazan je prodor polovine rotacione val,ika;;te plohe sa poloviuom kugle. Ravnina L sijece kuglu u glavnorn mcridijanu g, a valjblstu plohu u gornjoj konturnoj izvodnici c njezinog nacrt,!: Meridij2.n i izvodnica sijeku se u tatki 1 prodorne krivuljc. Iz naerta tacke 1

odredimo tlocrt i bokocrt. U borizontalnoj ravnini nl nalazi se ekvator kug1e e i prvl ~ragovi II i

f; nlVnina FiT, koji se sijeku u tackama 2 i 3 prodorne krivulj~ k. 11. tloerta

t?,Cakfl :2' i 3' odrede se naetti i bokocrti. /\ko kugln sijece ravnina F u sporednoj kruznici U-;, a ravnina T u

~poredlloj krUZl1ici [(2' onoa lukovi tih knl2:nica 2-4 i 3-5 pripadaju prodomoj

k, lz nacrta 4" i 5" taeaka 4 i 5 odrede se njihovi t}ocrti. i bokocrti, Ostale t3cke 6, 7, 8 i 9 odrede se tako da se tijela sijeku ravninama, koje

su jJ{;ra!elne S ravninom H2. Svaka takva ravnina sijece. polukuglu u je.dno~ ))01;lkruznici, a poJovinu valjkaste plohe u jednoj izvodnici. Polukruzlllca 1

i:n . ."()(inica sijeku se u jednoj tach prodome krivulje.

I I. ~r· : 2'

, ,\1 ,,-"-----i-~' \ r---~.- I \

d, a" k' \ ~,~~~ I \

"1! ... _. __ ;'L_._'~_. _~';.*.~.c' b, //\ Ilr, : 9,1 f

"/ .. >MI, IIlI ! i :::'s;::::'0'::;6' 'L. __ ~; :;

" " " ,

"

Slika 12,9

t r·

}2,3 Prodori oblih tijela 301

Tangenta u tacki 7 prodornc krivulje k konstruisana je pomocu l10nnale 11,{ 11;,11;) valjkaste plohe 1 normale 1l2( 11;,11;) kngle, Te nonnale odreduju

normalnu ravninu tP krivuljc k u tacki 7, Prayac MN ravnine <P, ciji je nacrt lJi ''N'' paraleJan sa osom x, sutraznica je prvoga traga tc ravnine. TIoert t' lraz,ene tangente mora biti okomit na pravac ,\IN'. Prayae SN ravnine t:P ciji je tloert S';V' pm·aldan sa osorn x, sutraznica je drugoga traga ravl1ine q:" Nacrt tangente t" mora biti okomit na pravac SHN".

Nn 03110\-1.1 rijdenog zadatka, a prema prilozenoj tabeli, postoji jos deset kombinacija koje lreba rjesavati kao zadatke loa vje.zbu,

10. Zadatak. Odrediti prodor (;etvrtine Wl"llsa, eya je osa okomita na ravnil1u fli i rntacionog valjka sa Gsom 0l( 0; ,07) u vertikalnoj ravllini simetrije

forUSQ.

R J e 5 e n j e: Na slici 12.10 prika1.an je prodor cetvrtine torusa i uspravnog 'laljkn. Tacke prodome krivuljc k odrede se tako, sto oba tijela presijeeamo ravninama, koje 8U paralelne ravnini 1[2. Svaka takva ravnina sijece torus u paraleli, a valjnk 1.1 'izv;odnicarna-, lzv·odnice i paraicia sijeku se u tackama prodorne krivulje,

Vertikalna ravnina simetrije torusa, ciji JC pry! trag pravac hi' a tree}

trag /),. sijece torus 1..1 para!eli h( [/,b"). Pat·aIda i izvodnice valjka sijeku se u

~ackam3 } i :2 prodorne krlyuljc._ Tl_opii tacaka 1 ~ 2 nalaze sc. u presjeku p1"Y og lraga hi sa tlocrtom omotaca valjka. N~~~~ti tacaka -7 i· 2 nalaze se na dru·goj

projekciji b ~ paralele h. 1z (Iocrta j' j 2· j naerta r I 2" odrede se bokocru t"'j 2""'lacakal i2,

Ven.ikalna ravnin~ A, ciji je p!"Vi tr&g prav<!c .a+,.a .treci trag a.?> ~ijece" __ ... _

torus II paraJeli o( a',al>" ). ParaJeJa presijeca konturne izyodnice valjka u

tackarna 5 j 7 prodorne krivuUe. Tlocrti tacaka 5 i 7 nalaze se u presjeku pryog traga 0. 1 sa tiocrtom ornotaca va1jka. Nacrti tacaka 5 i 7 nalaze se na drugoj

projekciji 0'" paralcJe a. Iz tlocrta 5' i 7' i naCIia 5r1

i 7" odrede se bokocrti 5"'" i 7'" tacaka krivulje k.

Na isti naeill odrede se projekcije ostalih tacaka presjecne krivulje. U llekim tackarna naerta krivulje k poklapaju sc nacrti dviju tacaka tc krivulje, zato .sto je ana simetricna s ob1.irom na ravninu B,

Na osnovu rijesenog zadatka, a prema prilozenoj tabeli, postoji JOS d\'anaest kornbinacija koje treba rjesavati kao zadalke za vjezbu.

Page 115: Nacrtna geometrija

302 12. Prodori geometnjskih rijela

b, G,

-t~- J / III~-Z

6'11' I .~

"I ~I 3'1/

I -~ k'd 7

111

2111

I I

~/ /

',1. I , , I a ,

cig DtMEN;lfJE (mm)

• 0 0 d h R .~

W 3' 80 50

1 " '0 90 " -+--

3 38 " 80 50 -l .<. " ,.

'" 52

" " 90 55 --~-~ , 3' 36 78 .. ~=l::-" 36 ao 50

U '0 90 52

. .JL. b,

Y 9 38 ." 78 50

10 42 30 80 52

/I " " 90 53

12 J6 J6 78 " Slika 12.10

11. Zadatak. Odrediti prodor uspravne trostrane prizme cUa je OSl1OV£1

u ravnini lrl i polo ville kugle sa sredistem u ravnini n,_

12.3 Prodori oblih tijela 303

R j e sen j e: Na slici 12.11 prilazan je prodor uspravne trostrane prizme sa polovinorn kugle. Rjesenje zadatka je slicno rjesenjirna prethodnih zadataka. Tacke prodome krivulje odrede se tako, sto oba tije!a presijecamo ravninama, koje su paralelne s ravninom 1C2.

Na osnovu rijdcnog zadatka, a prema prilozcnoj tabeli, postoji jos dcset kombinacija koje treba rjesavati leao zadatke za vjezbu.

, a, k ---- . "-'''''''

, , ," 5~

,II I ,

{ " I ]11: ~8u

i;~ <I , -"'-1 1';

I , I 1,,,

~§ CfNENZIJ£ ( rom ) ., D k,. h

--1--;-•

I

" 25 ", " " " " ~i--~o " " " .55 }~- "

" 90 I" " " 5Z

" " " " Slika 12.11

12. Zadatak. Odrediti prador dviju polovinCl rotaciol1ih vuljkaslih plultii

kaje prelaze u vertikalne. tangencijalne ravnine. Osnava jedne je u ravnini Jh a druge u prvoj projekcionoj ravnini E( ef,e? )cijaje osapara/elna S nlvninum ;ri.

Ose vaLjkastih ploha 0 1 i 02 sijeku se u tacki S( Sl, S8 ).

Page 116: Nacrtna geometrija

'.04 12. Prodori geollletnjskih tije!a

R j e sen j e: Na slici 12.12 prikazanje proctor dvije polovine rotacionih valjkastih ploha. Prodoma krivulja k( k',k n

) sastoji se od dvije zatvorene grane.

Prv-e projckcije tih grana sastavljaju hiperbolu. Tacke prodome krivulje odrede <::.c (ako. SlO obje krivulje presijecamo ravninama, koje su paraJelne s ravnioom

Horizontalna ravnina F, polozena osama valjkastjh ploha c~ji je drugi lr(-lg (2' sijece te plahe u kanturnim iz"\'odnicama.Te izvodllice u tlocrtu sijeku

Sf" !.<lCLim;:J. l' -,2',3' ,4' prodorne krivulje k. Nacrtl t', 211', 3'" i 4" tacaka 1, 2. 3 i 4 nalazc se rw osi 0;. Konturne izvodnice valjkastih ploha u nacrtu sijeku

c;c U 13ckfima 5'" 1 6'" prodorne krivulje k. T10erti 5' i 6' tacaka 5 i 6 nalaze se oa

0:';1 ()~ iIi izvodnici e!e'. Da bi se odredile tacke 7, 8, 9 i 10 prodorne krivulje k, presijeku se

yaljkaste plohe ravninom A koja je paralelna s. njihovim osama ciji je

trag praY<lC {/2' Valjkastu plohu. kojoj je osa °2 , ray-nina sijece u

Ii'TTc1nicama DD i EE. Valjkastu plohu, kojoj je osa °1 , ravnina sijece u

':;- r-.r.nicarna GG j Hfj. Te izvodniee sijeku se meau sobom u tackama 7, 8, 9 i /0. TlnCl1j ~1\ ill lacaka Sll u presjecima tlocrta izvodnica, a naerti 11 presjeku

';1 ~.~l a~ 1 krivulje k"". Tangenla u tacki 8 prodome krivulje k konstruisanaje na isti naCin kao u

;;-)\1:ltku 11::\ slici 12.8. Nfl 05nO"l.'l1 rijesenog zaclatka, a prema prilozenoj tabeli, posloji jos deset

CT.hcn:.",", koje treha rjdavati kao zadatke za vjezbu.

13. Zadatak. Odrediti prador uspravnag valjka, cijaje osnova Ii ravnini rotacione va{;kaste pfohe koja prelazi u tangencijalne ravnine.

1Z j e s e 0 j e: Na slici 12.13 prikazan je proctor lIspravnog valjka sa ;1',,1\1\ inom rotacione va!jkaste plohe. J\jesenje zadatka je slieno rjesenju zadatka ru "'lici 12.12

Na osnovu fijdenog zadatka, a prema prilozenoj tabeh, postoji jos deset koje treba rjes3vati kao zadatke za vjezbu.

",\.

If ,

12.3 Prodori ohlih tijela 305 __ ~ ______________ ~c

H' G'

• h B R 0 J ZADATKA

!~ I 2 3 ! , 5 , 7

'i 30J 35 ':0 i 30 35 '0 [-" 1--~13s1+C-~" 25! 30 35 25. 30 35 30

tili-~J_~~_L!.? ! 25 20 15 25

ao 30 I 301' 30 I 25 j 25 25 20

Slika 12.12

"

, 9

'0 3. 35 25

20 2.

20 15

/0

35

3.

15

15

'8'

OT .......... ,

", \ ", .\ Do

Page 117: Nacrtna geometrija

306 12. Prodori geometrijskih tijela

~I

,.'

, ,~ DINENZIJE ( rom) ~ ~~ .~ d h k d.0 :

8'0 :

'0 '0 50 " " ,D'

2 50 " '0 2' 75 " , , 52 8 OS 20 75 '0 A'

<6 '0 55 " 70 50

5 50 " '0 12 78 52 6 55 9 " 25 71 35

7 " 8 " ]6 80 30

8 55 7 70 " 82 '0 9 50 " 70 25 " '0

'0 56 '0 65 " 7, '0

Slika 12.13

;

;

l' L" .'/1 ;

/n;

D,

: 8'

c,

12.3 Prodori oblih tJjeZa 307 ______ --2.:::.::..:.=~===-_____ ,_. __ 14. Zadatak. Odrediti prodor lIspraVl10g rOlaciorwg valjka lzja je

osnova Ii ravnini 1Cf sa pravilnom troslranom prizmom Cija je osnova par,:tlelna Y

ravninom 7rj.

R j e sen j.....e: Na slid 12,14 prikazan je prodor rotacionog valjka sa trostranom pri:zmom. RjeSenje zadatka s1ieno je rjesenju zadatka na slici 12.6. Na slici 12.14a prostorno je prikazafl prodor prizme kroz valjak.

I

'" I 2" I

3 J1 ( 5" ----t ~" t 5" -- --,_.:!..., , ,

':~ , 7/1 ! 9~'-'~~'''':~~7 :10

1'

! 11'" 12,1 i

13.' r i",::u , . ,

! I

I 7

~ r I _I I

0 ,-

Slika 1214

Page 118: Nacrtna geometrija

12. Pmdori geometrijskih (ijcla

11.4. Zadad za rjesavallje

1. Odreditj J)rodor trostranc piramide, c~ia jc osnova ABCLA(25,80,O), B(70,15,O),

('(730, 6()JJ Jj U 7f, i vrh V(80,55,85). sa trostrunom pinHnidom koj~jje osnova

DEF[D( 4(),35,Q), E( 110.25,0), F(75,90,OJ] u nj i vrh V(60,50,70).

2. ndrediti prodor uspwvne cetverostnme prizme, kojoj je osnova KLMN[K( 30,15,0),

}I1O,4(J,OI, M(60,4rJ,rJ}, N(70,25,Oj] U Jrj i bocni brid KG[K, G(30,15,60)), sa pc!ostr:mom pinnnidorn Cija je osnova ABCDE[A(20,20,O), 13(40,60,0),

(-(00,,(,0,0). D(80.]0.0), E(50,5,0)]u rtl i vrh V(50,30,30),

3. e'dredi!) prodor cctvcroslrane prizme, kojoj je os nova KUylN[K(0,60,40),

L(0,25,55I, i"\I(O.1O,J5), iy'(0,20.5)} U 'ffJ i bocni brid KG[K. G(80,60.40)j,

';:-1 pmvilt1C)l'H llspravnolll scstostranom piramidom Cija jc osnova un" lkr) je \Th piramide \/(40,35,65). ajedan vrh njene o:move tacka A( 1535,0).

,j. C)dredili pl'odur troslr<lne piramide Cija je osnova ABC{A( 10,10,30 j, B(30,45,1O), C(75,2(/,25)) i vrh V( 130, 90,95), sa ('rostra nom prizmo1ll kojoj je" osnova DEF[O( 145.75.55), E( 14q.40. 75), F(}20.35AO)] j bocni brid DGLD. G(45,90,60)].

-, Odrediti I_'fo(k.ll" l1spravne trostrane prizme kojoj je osnova ABC{A(50,50,O), p(f'-,t\. !~,il\_ C:O(!.25.0)] U J[! i \'IS1n<l v;;;:WI; sa kosom trostranom prizmom Cija

j--: 'YfHl'-;a nEF[D(:O.O,60), £(-10.0,30), F(20,C,55)] i bocni brid

DGLl), G( ;(0)70,'10)).

ti. Od1'<"oili p'[()cior'i.lspr:-1vne trostr5ne prizme kojoj je osnova ABC[t't{20,30,O), 3(65.30,0;. U50,75.0)] U 7[;. i '.'i:::ina 1':=Q5. q kug\nm [S(40.45.50]' r=357.

7> Odrediti prodor uspravne cetverostrane prizme, cija je osnova EFGH[E(50,20,O),

Fi7.~,-j(j()), (;(5/1,60.0). fI(25AO,O)J-u 7[, i visina v=15. ~a tt:oS--t:J::a+:i.om prizmom kojoj jc-,Ymov[l .'1 Be[A( 105,20,35),8(85,55,30), ('(80,35.10)] i hoeni brid

Inri\. DCO,2(),65,l}_

s. Odrec!iti prodor uspravnc trostrane prizme. cija je osnova ABC[A(20.45.0). B(35.20.01, C(60,30.0)lu 1ft i visina 1'=70, sa trostranom prizmom kojojje osnova (!EF{D(.--'J).25J. [;(40.0,45), F(25,O, 15)] i bocni brid DG[D, G(5,60,25)).

9_ ('drediti pn'dor uspravne cetverostrane prizme, eija je osnova paralelogram ABCl)[,-V--!O .. '/5,O). B(75.25,O). C(JOS,55.0), D(65]O,O}ju IT; i visina v=90, sa CL~t\:('ro<:tranom prizlTlom kojoj je osnoVll EFGH[E(20,20,45), F{20,40.65),

<~! '20 6( ,45). H(J0.4().25Jj i boeni brid EK[E, K( 125,20.45)).

12.4 Zadaci za rjdavanje

10. Odrediti proclor kose trostrane piramjde kojQj je osnova ABC[A( 10,70,0), B(25,]OOJ)j, C(65,85,Oj] II Jtj i vrh \/(85,10.70), sa kosom trostranom prizmom cija je osnova DEF[D(85.70.0J. E(40.70.0), F(60.55,0)f U 1[, i bocoi brid

EG [E, G(25,50,50)].

11. Odrediti prod or kose trostranc prizme kojoj je osnova ABC[!\(20,55,O).

B(30,70.0). a---'55,65,0)] u It! i bocni brid AGrA, 0(80.25.65)], sa kosom trostranom j:'irizmorn DEF{D(70,65,O), E( J 10,80,0), F(95,55,O)] Cijaje osnova U JTj i boeni brid DKrD, K(JO,J5,65)j.

309

12. Odrcditi prodor kose trostrane prizme cijaje 05nova ABC[A(90,70,O). 8(70.60,0),

C( JOO.50/n] U ITI i bocn! brid AG[A. 0(40,20,55)], sa kosolTl trostranom piramidoll1. kojoj je osnCl"va DEF[D(25, 80, 0), E(60,55,0), F( 10,20.0») un, i vrh V( 80, J 0.50).

13. Odred!ti prodor kose trostrane piramide kojoj je 05nOV8 ABC[A(l40,75.0r B(60, J j().O). C( 1 ()O.] 35,0)] u n, i vrh \i( ](),15.95), sa kosom trostranom

prizmom lJEp[TJ(0,80,O), E( 15.120,0). Fr55, 105,0)] cijaje osnova u 7r, i

bC'cni brid DG[D, G{ 75,5. 75)].

14. Oorediti prodor pravilne uspravne cetverostrane prizme, cija je osnova ABCD(,A(45.1O,O), B(20,45.0), C(55,70.0), D(80.35,0)ju ITI i bocni brid .:lJr[A, (-;r45,(l_751j. <:{1 cetverostranom priz.mom kojoj je osnova KLHN{K(O,65,30}, L(O,50,50). Af(O.lO,60), :V(0,30,!5)}u IT3 i bocni brid

KF{K, F(lOO.65.30U

15: Odredili proaoi- trostraoe priz.rne cija je osnava ABC[A(60,0,65). B(90.0, 100).

(·i!nn.o351]u"7,: 1 boeni hrid AD[A, D(f)/J 14() r'(5)}. <;3 cetverostranom prizmom

kojoj je osno\'<\ KLHN[[((0,40,85), UJp,30,35), M(35,5,50). N(25, 15. 11 OJ) i bocni

brid KGlF,.-, G(l45,J35,85Jj.

16. Odrediti prador k05e celverostrane prizme cijaje osnovaABCD[A(55,1O,0). B(70,40.0), C( 30,55,0 j, D) U rt1 i boeni brid AG[A, G( 120,60.60)], sa trorostranom kosonI prizmom kojoj je os nova KLM[K(95,J 5,0), L{115,30,0), M(85,45,O), U IT,

i bocni brid KN[K. N(20. 70,60)].

17. Odrediti pradol' kose cctverostrane prizme cijfl .ie osnova kvadrat ABCD u n l ,

korne je dUagooal" ;lC[;\(20.30,0). C(80, 50, O)j i botni brid ;lGIA, G(60,50,70)}, sa rotacionim valjkool kome je osnova It 1f], sa sredistem u tacki M(70.a,3S), poluprecnik osnove r",,20 i vis ina valjka v= 100_

18, Odrediti prodor t:roslrane piramide, cija je osnovfI ABC[A( J 15,20,30), B( 105,,50,10),

C/73, 20. ? 5) 1 i vrh \"( i 5.85, -::), sa trostranom prizmom kojoj je osnova DEFLD( J 5.F),] 5), E( 30.0.50), F(60.25.20)] i bocni brid DGID, G(60.95,55)].

Page 119: Nacrtna geometrija

310 12. Prodori geometri}skih tijeld

19. Odrediti prodor trostrane prizme eija je osnovu ABC[A( 40,35,0), B( 50,80,0),

C(75,50, O)] i bocni brid ADIA. D( 1 ]0, 100,90)J sa tfOstranom prizmom kojaj je osnova EFG[E(1I5,40,JO), F(140,40,30), G( 145,55,(5)]j boom brid EK[E, K(50,120,75)J

20. Odrediti prodor uspravne trostrane prizme, cija je OShaYa AHC[A( 10 •. 10,0), B(35,60,0), C(65,35,O)] U 1f} i visina v=80, sa kosom trostranom pdzmom kojoj je osnova DEF[D(70,15,O), E(90,55,0), F(115,35,0)] Ll 7tJ -i boeni brid EG[E, G(,JO,80,60)).

21. Odrediti prodor kose trostranc piramide, ctja jc osnova ABC[4.(35.75,O}, B( 10,10,0), C(60,25,O)]u n, i vrh V( 110.75,70), sa trosrranom prizmorn kojoj je osnova DEF[D(80, 15,0), £( 125,35,0), F( lOa,55,O)} II 1[, i boctli brid DG[D, G(45,65,50)).

22. Odrediti prodor trostrane piramide kojoj je osnova ABClA(0,70,O), E(20,130,O),

C(105, 95,0)J i vrh \f( 140.10.105), sa cetverostranom piramidom clja je osnova DEFG[D(95,5,O), E(30,J5,O), F(20,45,O), G(75.3D,OJ] I,,), V(J20,90,105). Oba tije!a osnovama leze u 1C}.

23. Odrediti prodor kose cetverostr~ll1e prizmc, kojaj je osnova ABCD~A(0.35,()),­B(l5,JO,O), Cl50,5,O), D(30,30,O)]u n, I bocnl b,idAK[A, K(85,70,65)j, sa kosom trostranom prizmom cija je osnova EFG{E( 140.0.25). F( 115,0,50), G(80.0,15J U 1rl i bocni brid EL{E, L(70,70,55)).

24. Odiedifi prodor trostrane piramide kojaj je asnova-ABC[A( 75 • .J{).1 Si,JJ( 12U, liJ, J j j.

cr 13S.25.60)} i vrh F( 10,110,90). sa trostranom prizmorn eUa je osnova EFG[E( /5,65,20), F(55,25,20), G(20,JO.65)} I bocnl b,ld EK/E, K(80,J40.90)j.

,,25,.: OdreditLprodor trostrane piramlde cija je osnova ABCIA( 1 50,0,30), B( j 10,0, (5),

C(50,0,10)J U 1r2 i vrh V(0.70']Oj, sa cetverostranom piramidom, kojoj je osnova DEFG[D(40,60,0), E( 110,60,0), F(8S,JO,0), G(20, 10,0)) U][, l vrh \/(60,30.90).

26. Od,cditi prodor trostrane pirarnide kojoj je osnova ABCfA(l 30,15,40). B( 11 0,50,20), C(75,20,30)] i v,!l V(20,85,1 10), sa trostranom prizmom cija je os nova DEF[D(lS, 70, 75), £(25,40,90), F(40,30,45)} j bocni brid FG[F, G( 120,60,50)}.

27. Odrediti prador trostrane pirarnide, cija je osnova .4.BC[A(O,30,0 j, B(70, lO,Uj,

C(60,50,0)) U 1CJ i vrh V(J 15,25,95), sa trastmllom piramidom kojoj je oSllova DEF[D(35.0,50). £(100,0,80), F(85,O,10))u JTl i VIM V(65,70,45).

F

ji

-i'

12.4 Zmlaci za rjeS(lvanje 311

28. Odrediti prodor pravilne uspravne cetverostrane prizme, kojoj je osnova ABCD[A(l0,35,O), B(35,60,O), C(60,35,O). D(35,.l0,O))u 1[, i bocni brid AE[A_, E( 10,35,55], sa trostranom prizmom cija je osnova KLM[K( 15,55,10),

L(15,40,40), M( 15,25,10)) paralelna s n) i boeni brid KL{K, L(70,55,1O)).

29. Odrediti prodor trostrane piramide cija je osnova ABClA(O,30,40j, B( -40, i 0,1 UJ, C( 15,55,lOjj i vrh V(90,85,llO), sa lrostranom prizmom kojoj je osnova DEF[D(70,25, 10), E( 110,]0,30), F¥ 1 OS, 45,S)} i bocni brill F'G[F, G{25, JIO,9u)I

30. Odrediti pradm trostrane piramide, 6ija je osnova ABC[A{55,100,O), B(O, 80,0),

C(70,3S,O») u n} i vrh V(105,40,95), sa kosim valjkom kome je osa MN1M(1l0,75,O), N(70,35,?5)) i poluprecnik osnove r::::.30 u 1[1.

31. Odrediti prodor kosog vuUka kome je osa MNjA1(90. 70, 0), N( 30,30.45), r:;::;Z5 J i _kosog stosca ciia je osa SV[S( 40,50,0), V( 100.10,65), r:;::;20}. Oba tijel8 osnovuma

leze U 1Cj.

32. Odrediti prodor rotUc!OIlOg stasca komeje ,)sa SV[5(4-0,50,0), V(40,50.60), r:'<50}

i rotacionog vaUka cijaje osa MN[M(65,50,0), N(65,50,55), r:;::;20).

33. Odrediti prod8f--Wtaciol'log-stosGa tome je srediste osnove LS( 60,55,OJ r~45,

v= 100 j i rotacionog valjka Cije je srediste osnove[M( 45,85,0}, r:;::;20, v=75}

34. Odrediti proJor rotucionog stosca kame je srcdiste osnove II tack! S( -60,50.1.)), po!uprecnik osnove r=35 i visina stosca 1-':;::;90, sa rotacionim valjkom kome je OSllova paralelna S '.'7:_0, cije je srediste \l taeki AN -lrJ,60,40). pO!l1precnik osnov~ r:::::-20 ! visina valjka v~Joo~"~'-' -

35. Odreciiti prodor rotacionog va!jka kome je osa AIN[M( 30.50,25), NO cfu,5U/j() j J 1 poluprccnik osnove r:;::;25, sa rotacionim stoscem kome je srediste osnove u tad-.l S{85.,5(),O), poluprecnik osnove r~40 i ,:isi~a stc:sca y::=100,

36. Odrediti prodor kosog valjka kame je srediste 05110\'(; U tacki ;'yf(4(),.-f5,(i).

poluprecnjk osnove r:;::;25 (osa valjka sa n) zatvara ugao od 60", a sa ;t2 ugao od 45") i kosog stosca cija je osa ')·V{S(100,55,O j, V(15,5,70] i poluprecnik o~move r=30.

37. Odredi[i prodor kosog stoka kome je osa SV[5(60,80,O), V(! 30,10,85), 1'::;;;40]

i kosog valjka eija je osa lvIN [M( 125,65 .. 0), N(65,50,105), 1"::.:25 J. Oba Iijela osnovama Ide U Trf.

38. Odrediti prodor rOlaciol1og va\jka kome je ~rediste 05no\'e Ll tacki ,'HH5,4-u.O). poluprecnik osnove 1"=30 i visina valjka v=105, sa ro[3cionim valjkom cija je osz, PR[P(0,50,85J. R(90,50,30] i poluprecnik osnovc r::::;.20.

Page 120: Nacrtna geometrija

317. 12. Prodori geomefrijskih tijeln

39. Odre.diti prodor dva rotaciona valjka ito: [M(100,60,O), r=35, v=lOOj sa osnoyom \l ;': i F'RIP(4(),65,75), R(lOO.65,20), r=:.25].

:1(). n;lrediti prodN krnjcg stosca kojem su srcdista: {S(45, 50,0), 1'=40], [0(45,50,55), r;:c;15J, sa rotacionim valjkom Cijajc osa MN[M(O,50.25), N(90,50,25), r=25). Nacrtati svc tfi projekcije.

41. (Jdn,,-diri rrodor r(l\,lCjonih valjaka: [M(O,40,0), N(0.40,9(n r=20] i PRfpi".<5,20.2(h R(35.60.7(!), 1'0::..20).

i,t?. '_''-.lrcdjti plOd or rotaciollog stlJsca kame je asa 5 V[S(60, 45, 0), V(60,45,95), r=351 sa :'~\lgiolTl [S(75,<15,35). r=3()/ Nacrtati sve tri projekcije.

'+3, '>.1, editi Fwduf uspnmlc trostranc prjzmc cija jc osnoya ABC{A(20. J 5, }. B(35,S~<}, 0·-/5,50. 11 u rnvtlini E(55,co,95) j visina prizme v~JOO, sa kuglam F('('5, .fO.6." I, r=4() /.

~(4 ('d1'cdi:i rrndnr "aljka komc je osa iHN{MW60,40). N(60,60.40), r~25), sa kug!om r'-;,:(j(' ·~O,50). r=:40}.

4S~ Otlre:(!i1j produr rotacionog vaJjka kame je srediste osno-.,,:e [M(60,50.0), ;'=35, _,no;. sa Luglom £.')'(80,65 .. 50), r=40).

-\7. :~\':' i'!Tj£'h-:ije prociol":l geometrijskih ~ijcb koj::t su.d~t3. na slibma braj .: dn '73.

I,' i

12.4 Zadaci za rjdaval1je

J '"I

4.

i-2IJ...\

l-,--:-.,---,_+x~

~l~ . ;:~ 11:.'0 \ I

--, : '7-' .---.---,

$30 ! 2.

5.

313

~13.

x

6.

x

1-_",6°'-_1

Page 121: Nacrtna geometrija

314

·80

80

12, Prodori geometnjskih tljela

X._, ~ I

"i ~,

~I

JL-''-....::r::.---'-_'-

J ~I

12.4 Zadaci ::;a

...----+=::--1-1 ~I

, 81

L_-+ __ ..i_,l

80

Page 122: Nacrtna geometrija

12. Prodori geomelrijskih njela

01 ~I

x ~'-'-......L,,!L-,-..L--

.~. 80 ,-------

L....-~ ____ ~ ____ --

33.

r+--+--1 37.

i gi

I

j_!.L-+-J-l_~x

] 2.4 Zadaci za Ijesawmje

x _.L_'---lLi.

43. L._+-_L_~

J.,m 50.'-.

lW

317

Page 123: Nacrtna geometrija

318

40

-~, ill

~ 1\

12. Prodori geometr(iskih tlje!n

48 I~--~

T--+---+--J

J .~~+-~

I

T

~I "I "', 0"

~I J __

~=:=F

T

I

I

f.--.-.C/J50 55., -

.54 f--------

I 61.

' ! r1+- ,I 1 I i

g I

. f I : ,

i_~

12,4 Zadaci za rjdQvanje

Page 124: Nacrtna geometrija

320 12_ prodori geometrijskih tijeia

Al ' " f' ,

l1J,~'-'1-~r I -4. / I ~\-

~ __ J,. x _

66.

67.

; 2 . ...f. Zculaci.:;a Ijdavdllje

8" ,.' ~--!J..1JLL--q -" 1---'-'-'-'..:'..:'--4 , A" ---j---

D" I

'\~ B' -

D' ,-\- -/-

\;L..:...-::d

C'

i C" I 1_

, ' , I 8" ----I

I I I I

AL-~-----'

x 69.

70.

._--"---

Page 125: Nacrtna geometrija

522 12. Prodori geometnjskih tijela

x 71.

,

x 72.

73.

x ,

LITERATURA

L Babic ... : Konstmktiviltl geometrija, Zagreb, 1994. J. Boiicevi6 : Deskriprivl1Q geometnja, Zagreb 1948. S. K. Bogoljubov: Zadacnikpo Cerceniju, Moskva, 1967. L. Dubikajtis: Geometrii wykreslnej, PWN, Warszawa, 1963. V. Durovic: Nacrtna geometrija, Beograd, 1987. Z. Glazer, L. Wysokinski : Geometrija wykreslna, P\VN,

Warszawa,1976. J. Justinijanoyic : Nacrtna geometrija I i II diG, Zagreb, 1963. D. Jankovic, R. Ljubojevic : Praktikum iz tehniG~kog cnanja,

Gradevinska knjiga, Beograd, 1968~. C. Koludrovic : Tehnicko ertan)e u slici. Beograd, 1985. b--bewandowski-+~Geometrija wykreslna, PWN, \Varszawa, 19'1--1~-~

V. Nice: Deskriptivna geometrija, Zagreb, 1974. V. Nice. Deskriplivllu geo!1lelrija I i 1I dia, Zagreb,.l980. F. Otto, E. Ouo : Podrecznik geometrii wvkreslneJ, PWN,

Warszawa, 1977. . , D. Palman : Pr6lji£:i.raaJ--e i mel&r.i<:-.lILlCmW :st::urru:lrije, Skul~ka tnj±ga,

Zagreb, 1982. 1. PaJ: Nacrma geomerrija u anagiijskim stikama, Budapesr, 1966.

Preveo Dr V. Nice. T. Panteli6 : Tehnicko crtanje, Beograd, 1987. T. Rachwal: Georrfetnja'l,vykres7na,'PWN, Warszawa, [977. M. Tatic, P. Kovacevic: Zbirka zadataka iz nacrtne geometrije sa

tehnickim crtanjem, Sarajevo, 1967. M. Vavra, J. Vasicek: Tehnicko pismo, Sarajevo 1982.

Page 126: Nacrtna geometrija

'C:llij\'ll 1\'1isljenja Federalnog millistarstva olJrazovanja, nauke. kulture i "c:'rI,i -i-"i ~JJ,-1~-2-602iOO 8d 06'()6.2000. 'Jdzbenik je o~l(1hoden porezg, na

;'::>11'],:1 "'"PrintCom" n.o.o. Tuzla

Zikrijah UadZimehmcdovic - Zico

~.

ii·

Knjiga je stampana :;;a/zvaljujuCi donatorima:

lvlodmllja Fadil- p,.zjedor, kJesic Afehmed -- Prijedor, DJL "Dipon" - TII:}a, R/''v[C Bal1ovici, d.o,u .. DD Elektroremonf _.- BanoviCi,

Rudnik Ugnita Bukinje - Tuz/a, Rudars/J'o-geoloHo-graaevinski !aku!tel .. - Tu::.la, Tehnolo<~ki fakultel - Tuzta, Tu:)anski kanton "TlIzla, OpCina lirzla, Bosna osigllraJ~jefi{ijaia Tuzla, Tu:danska bmzka DD Tuzla, Rudnici lignita ftKrelw~D!lr(1evik" - Tllzla. do.a" PK Vi.~ca - Duraevik, "Tuzla-krarc" - Tuzla. R:udll1K-,~oli "TuJm1i" - fuda, K!inicki rentor - Tilda, Po(jooprenw Iillja{a {I_do, i

li(nim uCeScem.

(,

I"·