Modelovanje sistema automatskog Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanjaupravljanja u prostoru stanja

Koncepcija prostora stanjaKoncepcija prostora stanja

• Skup diferencijalnih ili diferencnih jednačinaprvog reda.

• Jednačine opisuju prošlo, sadašnje i budućeponašanje sistema.

• U jednačinama figurišu promenljive stanja kojese definišu kao minimalan skup promenljivihx1,...,xn posmatrano od vremena t=t0, kojizajedno sa zadatim ulazom u1,...,ur određujestanje sistema u budućem vremenu t≥t0.

Prednosti koncepta prostora stanja

• Koncept prostora stanja ima nekoliko prednostiu odnosu na klasični pristup, posebno ako se posmatra sa aspekta korišćenja digitalnihračunara:– Određivanje rešenja sistema diferencijalnih jednačina

prvog reda je brže na digitalnom računaru, negorešavanje odgovarajuće diferencijalne jednačinevišeg reda.

– Uprošćeno je matematičko opisivanje korišćenjemvektorske notacije.

– Uključivanje početnih uslova sistema je jednostavno.– Može da se primeni i na vremenski promenljive,

nelinearne, stohastičke i diskretne sisteme.

y1(x ,...,x ) u1

...

u2

u

...Objekatupravljanja

1 n

y2

ymr

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ru

2u1u

uM

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

my

2y1y

yM

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

2

1

x

xx

Mx

( ) ( )( ) ( )t,u,xgty

t,u,xftx==&

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xnfnx

t;ru,...1u,nx,...,1x1f1x

=

=

&

M

&

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xmgmy

t;ru,...1u,nx,...,1x1g1y

=

=M

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttt

tttttuDxCyuBxAx

+=+=&

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttt

tttDuCxyBuAxx

+=+=&

Matrica stanja Matrica upravljanja (ulaza)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nr1n

r111

nn1n

n111

bb

bb

aa

aa

L

LLL

L

L

LLL

L

BA

Matrica ulaza/izlaza(direktnog upravljanja)Matrica izlaza

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mr1m

r111

mn1m

n111

dd

dd

cc

cc

L

LLL

L

L

LLL

L

DC

Izbor promenljivih stanja

• minimalan skup linearno nezavisnih promenljivih;

• ne moraju imati fizičku interpretaciju;• veličine uz koje stoji prvi izvod u

diferencijalnim jednačinama;• obično predstavljaju elemente koji su

sposobni da prime i uskladište energiju (kalem, kondenzator...).

OdnosOdnos izmeđuizmeđu matematičkogmatematičkog modelamodela sistemasistemau u vvremenskomremenskom i i kompleksnomkompleksnom domenudomenu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) )t(tt

00t,tttDuCxy

xxBuAxx+=

=+=&

Y(s)=W(s)U(s)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) )s(s1ss

s1ss

ssss

DUBUAICY

BUAIX

BUAXX

+−−=

−−=

+=

( ) ( )( ) ( ) DBAIC +−−== 1ssUsYsW

MatematičkiMatematički modelimodeli u u prostoruprostorustanjastanja

• Prva kanonska forma (redno programiranje, observabilna kf);

• Druga kanonska forma (direktno programiranje, kontrolabilna kf);

• Jordan-ova kanonska forma (paralelno programiranje)

Prva kanonska formaPrva kanonska forma

0as1a...2ns2na1ns1nans0bs1b...1ns1nbnsnb

)s(U)s(Y

+++−−+−

−+

+++−−+

=

)0bs1b...1ns1nbnsnb()s(U)0as1a...1ns1nans()s(Y +++−−+⋅=+++−

−+⋅

)s(Y)0as1a...2ns2na1ns1na()s(U)0bs1b...1ns1nbnsnb()s(Yns +++−−+−

−−+++−−+=

( )( ) dt}dt]...dtdtyaubyaub...yaub[yaub{ub)t(y 00112n2n1n1nn ∫ ∫∫ ∫ −+−++−+−+= −−−−

...

...

...

......

b0

b1

b2

bm

s1

s1

s1

s1

s1

-a0 -a1 -a2 -am

-an-1-an-2

xn = xn-1

xnxn-1 = xn-2 x2 x1 x1= y(t)

-am+1

u(t)xn-m

xn-m-1

)t(u

nb0a0b

nb2na2nbnb1na1nb

nx

2x1x

0000a

0102na0011na

nx

2x1x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

MM

L

MLMMM

L

L

&

M

&

&

[ ] [ ] ).t(unb

nx

2x1x

0001)t(y +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

K

( )( ) dt}dt]...dtdtyaubyaub...yaub[yaub{ub)t(y 00112n2n1n1nn ∫ ∫∫ ∫ −+−++−+−+= −−−−

Druga kanonska formaDruga kanonska forma

Prvi način. Na grafu toka signala modela u prvoj kanonskoj

formi potrebno je izvršiti sledeće transformacije:

• Zameniti mesta ulaza i izlaza.

• Obrnuti smer grana.

• Izabrati novi vektor promenljivih veličina stanja (za

promenljive veličine stanja usvajaju se izlazi iz

integratora) i formirati matematički model.

Drugi način (direktno programiranje)

0as1a...1ns1nans0bs1b...1ns1nbnsnb

)s(U)s(Y

+++−−+

+++−−+

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−

−+= 0as1a...1ns1nans)s(Z)s(U

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++−

−+= 0bs1b...1ns1nbnsnb)s(Z)s(Y

);s(Z)s(1X =

);s(1sX)s(sZ)s(2X ==

);s(2sX)s(Z2s)s(3X ==

).s(1nsX)s(Z1ns)s(nX −=−=...

...

...

...

......

b0

b1

b2

bm-1

s1

s1

s1

s1

s1

-a0-a1-a2-am

-an-1

-an-2

x1

-am+1

x2 x1

u(t)1 xn

xn-1=xn-2xn=xn-1 y(t)

bm

xm-1xm

u

10

00

nx1nx

2x1x

1na3a2a1a0a10000

0010000010

nx1nx

2x1x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

MM

L

L

MLMMMM

L

L

&

&

M

&

&

[ ] [ ]unb

nx

3x2x1x

)nb1na1nb()nb2a2b()nb1a1b()nb0a0b(y +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−=M

L

JordanJordan--ova kanonska formaova kanonska forma

•Dijagonalizacija matrice stanja sistema;

•Polovi sistema:

•realni i prosti,

•realni višestruki,

•konjugovano kompleksni

I slučaj: polovi funkcije prenosa realni i prosti

)nss)...(2ss)(ss()s(P

)s(Q)s(P)s(W

1 −−−==

∑= −

=n

1i issiK)s(W

iss1

)s(U)s(Y

−=

1/)s(U)iss)(s(Y −=− L

)t(yis)t(u)t(y +=&y(t)s

1

si

u(t) y(t)

...

...

k1

k2u(t)

1

s1

s1

s1

s2

s1

sn

xn

x1

x2

kn

1

1

x1

x2

xn

...y(t)

u

1

11

nx

2x1x

ns00

02s0001s

nx

2x1x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

MM

L

MLMM

L

L

&

M

&

&

[ ] .

nx

2x1x

nk2k1ky⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

L

II slučaj: polovi funkcije prenosa realni višestruki

)ss...()ss)...(ss)(ss()s(P

)s(Q)s(P)s(W

nm

r21 −−−−==

)ss(n...m

r

1r...2r

1rm)ss(

rm...)ss(

2)ss(

1)s(W−

++++−+−

++−

+−

=KKKKKK

n)ss()ss(r21 −−

...

...

k1

k2u(t) y(t)

1

s1

s1

s1

s2

s1

sr

xrm

x1

x21

1

x1

x2

xrm...

s1

sn

xnxn

s1

srxrm-1

s1

sr

xr1xrm-1 xr11 1

krm

kn

...

krm-1 kr1...

1

...

...

...

u

1

10

00

11

nx

rmx1rmx

2rx1rx

2x1x

ns0000000

0rs00000001rs00000

0001rs00000001rs00

0000002s000000001s

nx

rmx1rmx

2rx1rx

2x1x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

M

M

M

M

M

M

LLL

MLMMLMMMLMM

LLL

LLL

MLMMLMMMLMM

LLL

LLL

MLMMLMMMLMM

LLL

LLL

&

M

&

&

M

&

&

M

&

&

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

rmx

1rx

2x1x

nK...rmK...1rK...2K1K

M

M

M

y

Stabilnost sistema opisanih matematičkim Stabilnost sistema opisanih matematičkim modelom u prostoru stanja modelom u prostoru stanja

x⋅ = Ax + Bu

y = Cx + Du

Ws(s) = Y(s)U(s) = C[sI-A]-1B + D =

C⋅adj[sI-A]⋅B + det[sI-A]⋅Ddet[sI-A]

f(s) = det[sI-A]

LinearizacijaLinearizacija nelinearnih sistemanelinearnih sistema

dxdfdu∆u∆x

∆uu u u

x

x

x R

K+−

=

+−=

+= 2)uu(uu

2du

f2d!2

1)uu(uudu

dfxx

)uu(uudu

dfxx −=

=−

ukxuuudu

dfx ∆=∆⇒∆=

=∆

( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xnfnx

t;ru,...1u,nx,...,1x1f1x

=

=

&

M

& ( )

( )t;ru,...1u,nx,...1xmgmy

t;ru,...1u,nx,...,1x1g1y

=

=

M

( ) ( ) ( ) ( )( )t,tru,,t1u,tnx,,t1xifix KK& =

( ) K&& +−

==

∑= ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

∑= ∂

∂+= kuku

uu,xx

r

1k kuif

jxjx

uu,xx

n

1j jxif

ixix

nx

uu,xxnx

if1x

uu,xx1x

ifixixix ∆

==∂

∂++∆

==∂

∂=∆=− K&&&

ru

uu,xxru

if1u

uu,xx1u

if ∆

==∂

∂++∆

==∂

∂+ K

r,,1k;n,,1j,i;uu,xxku

ifikb,

uu,xxjxif

ija KK ==

==∂

∂=

==∂

∂=

u,uxxuf;B

u,uxxxfA

==∂∂

===∂

∂=

uuxxnx

nf

2xnf

1xnf

nx2f

2x2f

1x2f

nx1f

2x1f

1x1f

uuxxx

fA

==⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

==∂

∂=

K

KKKK

K

K

uuxxru

nf

2unf

1unf

ru2f

2u2f

1u2f

ru1f

2u1f

1u1f

uuxxu

fB

==⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

==∂

∂=

K

KKKK

K

K

( ) ( ) ( ) ( )( )t,tnx,,t2x,t1xgty K=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

∑= ∂

∂+= jxjx

xx

n

1j jxig

iyiy

nxxxnx

ig1x

xx1xig

iyiyiy ∆

=∂

∂++∆

=∂

∂=∆=− K

xxjxig

ijc

=∂

∂=

xxxgC

=∂∂

=,j=1,...,n ;i=1,...,m

( )tCxy =( ) ( ) ( )tButAxtx +=&

Analiza sistema automatskog Analiza sistema automatskog upravljanja u prostoru stanjaupravljanja u prostoru stanja

)t()t()t( BuAxx +=&

)t()t()t( DuCxy +=

)s()s()0()s(s BUAXxX +=−

)s()0()s()s( BUxXAI +=−

)s(1)s()0(1)s()s( BUAIxAIX −−+−−=

...3s2ss1)s( +++=−

2AAIA-I

{ } te...!3

3t!2

2t2t1)s(1 A3AAAIA-I =++++=−−L

∫ ττ⋅⋅τ−+=t

0d)(ub)t(Ae)0(xAte)t(x 1

=)t(x )0()t( xΦ ∫ τττ−Φt

0d)()t( Bu+

)0()t( xΦ

∫ τττ−Φt

0d)(Bu)t(

- kretanje stanja sistema pod dejstvom početnih uslova;

- kretanje stanja sistema pod dejstvom spoljne pobude.

=)t(y )0(x)t(C −Φ ∫ +τττ−Φt

0)t(Dud)(Bu)t(C+

)0(x)t(C −Φ - kretanje izlaza sistema pod dejstvom početnih uslova

∫ +τττ−Φt

0)t(Dud)(Bu)t(C

- kretanje izlaza sistema pod dejstvom spoljne pobude.

Fundamentalna matrica sistemaFundamentalna matrica sistema

)t(A)t(dt

)t(dΦ=

Φ

)t(Bu)t(Ax)t(x +=&

Φ(t) = eAt = L-1{(sI-A)-1}

Nosi sve informacije o slobodi kretanja sistema.

Figuriše i u homogenom i u partikularnom delu rešenja jednačine stanja.

Osobine fundamentalne matriceOsobine fundamentalne matrice

I0Ae)0( ==Φ

1)t(1)Ate(Ate)t( −−Φ=−−==Φ

)t()t(1 −Φ=−Φ

[ ] )nt(n)t( Φ=Φ

)1t()2t()2t()1t(AteAte)tt(Ae)2t1t( 2121 ΦΦ=ΦΦ==+=+Φ

.

)2t3t()1t2t()1t3t()1t2t()2t3t( −Φ−Φ=−Φ=−Φ−Φ

Načini određivanja fundamentalne matriceNačini određivanja fundamentalne matrice1. Razvojem u eksponencijalni red

∫ τ⋅τ+=t

0d)()0()t( Axxx

)t()t( xAx ⋅=&

x0(t)=x(0) )0()t()0(tt

00d)(0)0()t(1 xAIxAxxAxx ⋅⋅+=⋅⋅+=ττ⋅+= ∫

)0(x)2

2t2AtAI(t

0d)(1xA)0(x)t(2x ⋅

⋅+⋅+=ττ⋅+= ∫

)0(x1i !i

itiA)t(x ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ∞

=⋅= ∑ )t(Ate

1i !i

itiA...!3

3t3A!2

2t2AAtI Φ==∞

==++++ ∑

2. Direktnom primenom Laplasove transformacije

& ( ) ( )x Axt t=

s s sX x AX( ) ( ) ( )− =0

X I A x( ) ( ) ( )s s= − −1 0

[ ]{ }x I A x x( ) ( ) ( ) ( )t s t= − =− −L 1 1 0 0Φ

3. Primenom Jordan-ove kanonične forme

}i{diag

n

.0.

.02

1

A λ=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

α

αα

= }te{diag

te.0

..

0te

te

)t( i

n

2

1

λ=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

α

α

α

=Φ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−λ

λλ

=

1i...00............0...200...01

0J

J

)n(kJ0...000..................0...)i(kJ...00..................00...0)1(kJ000...000J

A

n

i

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

=

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλ

λλ

=λ

i0...001i...00...............0...1i00...01i

iikJ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅λ

⋅λ

⋅λ⋅

=⋅

t)(Je0...000

..................0...

t)(Je...00

..................00...0

t)(Je0

00...00tJe

tJe

nnk

iik

11k

0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅λ⋅λ⋅⋅λ

⋅λ−

−⋅λ

−

−⋅λ⋅⋅λ

⋅λ−

−⋅λ

−

−⋅λ⋅λ⋅⋅λ

=

te0...000

tette...000..................

te)!2ik(

)2k(tte)!3ik(

)3k(t...tette0

te)!1ik(

)1k(tte)!2ik(

)2k(t...te2

2ttette

Je

i

ii

ii

ii

ii

ii

ii

iii

ik

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅λ

⋅λ⋅λ

=⋅

− te...00............0...te00...0te

tJe

1i

2

1

0

4. Nesingularnom transformacijom

)t(Bu)t(Ax)t(x +=& )t(Du)t(Cx)t(y +=∧

= xPx

Bu1PAx1Px1Pxx1Px −+−=•−=

∧⇒−=

∧•

Bu1PxAP1Px −+∧−=

∧•

DuxCPy +∧

=

uBxAx∧

+∧∧

=∧•

DuxCy +∧∧

=

)0(x1P)0(x −=∧

B1-PB =ˆAP1-PA =ˆ CPC =ˆ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

α

αα

=∧

n

.0.

.02

1

A

AP1PA −=∧

APAP =∧

iii pAp λ= i=1,2,...,n ,

( ) 0ii =λ− pIA

KontrolabilnostKontrolabilnost sistemasistema

• Za zadati sistem se kaže da je potpuno kontrolabilan ako je za njega uvek moguće naći takvu strategiju upravljanja kojom će sistem iz proizvoljnog početnog stanja x(0) preći u neko drugo proizvoljno zadato stanje x(t1) u konačnom vremenskom intervalu 0≤t≤t1.

Uslov kontrolabilnosti:

rang ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − BA|...|AB|B 1n =n

rang ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − BCA|...|CAB|CB 1n =m

ObservabilnostObservabilnost sistemasistema

• Sistem je potpuno observabilan ako je na osnovu merenja izlaza sistema u dovoljno dugom vremenskom intervalu moguće rekonstruisati proizvoljno početno stanje sistema.

Uslov observabilnosti:

n

1n

2rang =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−CA

CACAC

M

KRAJ