MATEMATIČKO MODELIRANJE FIZIČKIH SISTEMA 

Za analizu i projektovanje sistema automatskog upravljanja od velikog je značaja prethodno  formiranje dinamičkog  i matematičkog modela  razmatranog objekta upravljanja.  Pod dinamičkim modelom podrazumeva  se  skup  tako međusobno povezanih apstraktnih elemenata sistema  (masa, opruga, apsorbera, otpornika, kalema,  kondenzatora,  itd.)  da  je  njihovo  ponašanje  kao  celine  najpribližnije ponašanju realnog sistema. Matematički model sistema predstavlja matematički opis  dinamičkog  modela,  formiran  na  bazi  odgovarajućih  zakona  fizike. Matematičkim modelom može  se  tačno opisati ponašanje dinamičkog modela, ali samo približno ponašanje fizičkog sistema.    Jednačine  kojima  se  opisuje  ponašanje  fizičkog  sistema  su  nelinearne,  jer svaki  fizički sistem u sebi sadrži  jednu  ili više nelinearnosti. Ovde se razmatraju  linearni sistemi automatskog upravljanja, pa se navode  linearizovane  jednačine elemenata i sistema (linearni modeli). U praksi se i inače najčešće koriste linearni modeli,  što  je  posledica  činjenice  da  su metode  za  analizu  i  projektovanje  iz domena  teorije  linearnih  sistema  automatskog  upravljanja  veoma  razvijene  i relativno  jednostavne.  Nasuprot  tome, metode  koje  se  odnose  na  nelinearne sisteme po pravilu su vrlo složene. 

MEHANIČKE KOMPONENTE I SISTEMI 

Opruga,  viskozno  trenje  i masa  su  tri  osnovna  elementa  koja  se  javljaju  kod mehaničkih sistema.   Iz dijagrama sila‐pomeranje, za oprugu krutosti c  (slika 4.1(a)) očigledno  je da se sila F0 (t) menja po zakonu 

  F0 (t) = cx(t).  (4.1)  

X(s)

x(t)

F0(s)

F0(t)

F0(t)

Dužina koja odgovara gra-nici elastičnosti

Dužina neopterećene opruge

Nagib c

1c

   (a)  (b) 

Slika 4.1  Blok‐dijagram ovog elementa prikazan je na slici 4.1(b).   Element viskoznog trenja (slika 4.2(a)) opisan je diferencijalnom jednačinom 

  F t f x tt ( ) &( )= ,  (4.2) 

gde je Ft (t) sila trenja a  f  koeficijent viskoznog trenja.  

X(s)Ft(s) 1f s

x(t)

Ft(t)

   (a)  (b) 

Slika 4.2 Blok‐dijagram ovog elementa prikazan je na slici 4.2(b).   Za  masu  (slika  4.3(a))  na  koju  dejstvuje  ukupna  spoljašnja  sila  F(t), primenom drugog Njutnovog (Newton) zakona dobija se diferencijalna jednačina 

  F t mx t( ) &&( )= .  (4.3) 

X(s)F(s)

1m s2

x(t)

mF(t)

   (a)  (b) 

Slika 4.3 

 Blok‐dijagram ovog elementa prikazan je na slici 4.3(b).   Mehanički sistem na slici 4.4(a), opisan je diferencijalnom jednačinom 

  mx t f x t cx t F t&&( ) &( ) ( ) ( )+ + = ,  (4.4) 

gde je F(t) aktivna sila koja dejstvuje na sistem.  

X(s)F(s)

1m s2 + f s + c

x(t)m

F(t)

fc

   (a)  (b) 

Slika 4.4  Blok‐dijagram ovog sistema prikazan je na slici 4.4(b).   Za  mehanički  sistem,  koga  karakteriše  obrtno  kretanje  (npr.  slika  4.5) diferencijalne jednačine kretanja imaju isti oblik kao i kod odgovarajućeg sistema koji  vrši  translatorno  kretanje,  ali  se  sila  F(t)  zamenjuje  momentom  M (t), pomeranje  x(t)  zamenjuje  se ugaonim pomeranjem θ(t) a masa m momentom inercije J.  

θ1(t) θ2(t)

J2

f c

M(t)

J1

 Slika 4.5 

ELEKTRIČNE KOMPONENTE I SISTEMI 

Otpornik, kalem  (induktor)  i kondenzator  (slika 4.6(a)) su  tri osnovna elementa kod električnih sistema.   Padovi  napona  na  otporniku,  kalemu  i  kondenzatoru  određeni  su  rela‐cijama 

  eR(t) = R i(t),  (4.5) 

  e t L di tdtL ( ) ( )

= ,  (4.6) 

  e tC

i t dtC ( ) ( )= ∫1

,  (4.7) 

gde je R otpornost, L induktivnost a C kapacitivnost.   Blok‐dijagrami električnih elemenata prikazani su na slici 4.6(b).  

+

i(t)

−

eR(t)

R +

i(t)

−

eL(t)

L +

i(t)

−

eC(t)

C  

Slika 4.6 (a) 

I(s)ER(s) 1R

I(s)EC(s)C s

I(s)EL(s) 1L s

 Slika 4.6 (b) 

  Električni sistem (RLC kolo) na slici 4.7(a) opisan je jednačinom 

  e t Ri t L di tdt C

i t dt( ) ( ) ( ) ( )= + + ∫1

.  (4.8) 

 

+

−

e(t)

R L

i(t)

CI(s)E(s) Cs

LCs2 + RCs + 1

   (a)  (b) 

Slika 4.7  Blok‐dijagram takvog električnog sistema prikazan je na slici 4.7(b).   

PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA 

Skalarni sistem  (sistem s  jednim ulazom  i  jednim  izlazom), u najopštijem obliku može se predstaviti blok‐dijagramom prikazanim na slici 3.1(a). Ukoliko je sistem 

linearan,  kontinualan,  stacionaran  i  s  koncentrisanim  parametrima  može  biti predstavljen prenosnom funkcijom (slika 3.1(b)).  

Sistem

y(t) u(t)G(s)

Y(s) U(s)

   (a)  (b) 

Slika 3.1  Prenosna  funkcija  sistema  predstavlja  odnos  Laplasovih  transformacija  izlaza  i ulaza: 

  G(s) =Y(s)U(s)  ;   Y(s)

 = L[ y(t)];   U(s) = L[u(t)].  (3.1) 

  Ako  je  izlazno‐ulazna  relacija  za  linearni  stacionarni  sistem  opisana diferencijalnom jednačinom 

 a y a y a y a y a y

b u b u b u b u b un

nn

n

mm

mm

( ) ( )

( ) ( )

&& &

&& & ,

+ + + + + =

= + + + + +−

−

−−

11

2 1 0

11

2 1 0

L

L  (3.2) 

Laplasovom transformacijom leve i desne strane ove jednačine uz nulte početne uslove dobija se prenosna funkcija 

  G s Y sU s

YU

s b s b s b s b s ba s a s a s a s a

mm

mm

nn

nn( ) ( )

( )( )= = =

+ + + + ++ + + + +

−−

−−

11

22

1 0

11

22

1 0

L

L.  (3.3) 

  Ako  se  radi o multivarijabilnom  sistemu  (slika 3.2(a))  sa  r ulaza  i m  izlaza, izlazi i ulazi su povezani prenosnom matricom G(s) dimenzija m×r (slika 3.2(b))    Y(s) = G(s)U(s),  (3.4) gde je 

  Y U G( )

( )( )

( )

, ( )

( )( )

( )

, ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.s

Y sY s

Y s

s

U sU s

U s

s

G s G s G sG s G s G s

G s G s G sm r

r

r

m m mr

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1

2

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

M M

L

L

M M M

L

 

 

Y(s) U(s)

u1(t)

M M ur(t)

u2(t)

y1(t)

ym(t)

y2(t)

Sistem  G(s)

   (a)  (b) 

Slika 3.2    Prenosna funkcija ne otkriva fizičku prirodu sistema, niti ukazuje na njegovu unutrašnju strukturu, već samo određuje odnos između terminala sistema (izlaza i ulaza). Izraz (3.3) može se predstaviti u kompaktnijem obliku kao 

  G sb s

a s

P sQ s

jj

j

m

kk

k

n( ) ( )( )

= ==

=

∑

∑0

0

.  (3.5) 

  Kod  realnih  fizičkih  sistema  stepen polinoma u brojiocu prenosne  funkcije manji  je  ili  jednak  stepenu  polinoma  u  imeniocu, m≤n.  U  slučaju  postojanja transportnog  kašnjenja  u  sistemu,  u  prenosnoj  funkciji  je  prisutna eksponencijalna funkcija 

  G s P sQ s

e T sk( ) ( )( )

= − ,  (3.6) 

gde je Tk vremenska konstanta kašnjenja.   Prenosna funkcija može imati standardni (kanonski) oblik ili oblik koji otkriva polove i nule prenosne funkcije. Standardni oblik prenosne funkcije 

  G sb

a s a s a s ann

nn( )=

+ + + +−−

0

11

1 0L  (3.7) 

određen je izrazom 

  G sK

T s T s T snn n

nn n( ) =

+ + + +−− −11 1

1 1L,  (3.8) 

gde  je  K = b0 / a0  faktor  pojačanja  koji  ima  fizički  smisao,  a  T1,  T2, ... ,  Tn  vre‐menske konstante.   Oblik koji otkriva polove i nule za prenosnu funkciju (3.3) je 

  G s K s z s z s zs p s p s p

m

n( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )=

− − −− − −

1 2

1 2

L

L.  (3.9) 

Faktor  K = bm/an  u  ovom  slučaju  nema  fizički  smisao  i  samo  se  uslovno  naziva faktorom pojačanja. 

>>  Primer  3.1.    Na  slici  3.3  prikazana  je  shema motora  jednosmerne  struje upravljanog  pobudom  na  statoru.  Motor  se  karakteriše  otpornošću  Rp, induktivnošću  Lp, momentom  inercije  J  i viskoznim  trenjem  f. Moment motora proporcionalan je (faktor km) struji ip kroz pobudni namotaj.  

ir=constθ

J

f−

+

ep(t)

RrRp

Lpip

 Slika 3.3 

Ponašanje motora je opisano diferencijalnim jednačinama: 

  e t R i t Ldi t

dtp p p pp( ) ( )( )

= + , 

  k i t J t f tm p ( ) &&( ) & ( )= +θ θ . 

Primenom Laplasove  transformacije na dobijene  jednačine, pod pretpostavkom nultih početnih uslova, dobija se: 

  Ep(s) = RpIp(s) + LpsIp(s),   kmIp(s) = Js2θ(s) + fsθ(s). 

Eliminacijom struje Ip iz ovih jednačina dolazi se do prenosne funkcije 

 θ

Es k

s Js f L s Rp

m

p p( )

( )( )=

+ +. 

Iz ovakve prenosne funkcije mogu se dobiti: 

• standardni oblik 

  G s Ks T s T s

K kf R

T Jf

TLRM E

m

pM E

p

p( )

( )( ); , ,=

+ += = =

1 1; 

• oblik sa polovima i nulama 

 EM

EM

TTKK

Ts

Tss

KsG =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= 11 ;

11)( . 

 

p1=0p2 = − 1

TM p3 = −

1TE

σ

jω

×××

 Slika 3.4 

   Mehanička vremenska konstanta TM  je uvek veća od električne vremenske konstante  TE.  Za  takav  odnos  vremenskih  konstanti  na  slici  3.4  pokazan  je raspored polova prenosne funkcije.    

PREDSTAVLJANJE SISTEMA U PROSTORU STANJA 

Opisivanje  sistema  prenosnom  funkcijom  (prenosnom  matricom)  ima  dva osnovna nedostatka. Prvo, ovaj način predstavljanja sistema  je primenljiv samo ako  je  u  početnom  trenutku  sistem  u miru  i  drugo,  ovaj  način  predstavljanja sistema ne pruža nikakvu  informaciju o unutrašnjoj strukturi sistema, već samo definiše odnos između njegovih terminala.   Umesto  opisivanja  sistema  prenosnom  funkcijom,  kojoj  odgovara diferencijalna jednačina n−tog reda sa konstantnim koeficijentima (3.2), skalarni sistem se može opisati sa n diferencijalnih jednačina prvog reda: 

  & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t a x t b u tn n1 11 1 12 2 1 1= + + + +L    & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t a x t b u tn n2 21 1 22 2 2 2= + + + +L   (3.26)   LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL   & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t a x t a x t a x t b u tn n n nn n n= + + + +1 1 2 2 L . 

Jednačine  (3.26)  predstavljaju  jednačine  stanja.  Pored  jednačina  stanja  u osnovne dinamičke jednačine spada i jednačina izlaza koja ima oblik 

  y(t) = c1x1(t) + c2x2(t) +L+ cnxn(t) + du(t).  (3.27) 

  Jednačine  stanja  (3.26)  i  jednačina  izlaza  (3.27)  mogu  biti  napisane  u vektorsko‐matričnom obliku   )()()( tutt bAxx +=& , 

  )()()( tdutty T += xc ,  (3.28) 

gde  je  x(t)  vektor  stanja  sistema  dimenzija  n×1, A matrica  sistema  sa  konsta‐ntnim  elementima  dimenzija n×n,  b  vektor  ulaza  (upravljanja)  sa  konstantnim 

elementima  dimenzija n×1  i  c  vektor  izlaza  sa  konstantnim  elementima dimenzija n×1:  

  .;;; 2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnnnn

n

n

n c

cc

b

bb

aaa

aaaaaa

x

xx

MM

L

MMM

L

L

McbAx  

Skalar d je konstanta direktnog prenosa a u(t) i y(t) su skalarni ulaz (upravljanje) i izlaz sistema.    Za multivarijabilni sistem jednačina stanja i jednačina izlaza imaju oblik 

  )()()( ttt BuAxx +=& ,   )()()( ttt DuCxy += ,  (3.29) 

gde  je  x(t) vektor  stanja  dimenzija  n×1,  A   matrica  sistema  sa  konstantnim elementima  dimenzija  n×n,  B   matrica  ulaza  (upravljanja)  sa  konstantnim elementima  dimenzija  n×r,  C   matrica  izlaza  sa  konstantnim  elementima  di‐menzija  m×n,  D matrica  direktnog  prenosa  dimenzija  m×r,  u(t) vektor  ulaza (upravljanja) dimenzija r×1  i y(t)  vektor izlaza dimenzija m×1.    Matrica  sistema  A  i  vektor  stanja  x(t)  zadržavaju  isti  oblik  kao  i  kod skalarnog sistema, dok su ostale matrice sledećeg oblika: 

  ;;

21

22221

11211

21

22221

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

nrnn

r

r

ccc

cccccc

bbb

bbbbbb

L

MMM

L

L

L

MMM

L

L

CB  

  .;; 2

1

2

1

21

22221

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mrmrmm

r

r

y

yy

u

uu

ddd

dddddd

MM

L

MMM

L

L

yuD  

Kod većine realnih sistema je d = 0 odnosno D = 0.   Skalarni  i  multivarijabilni  sistem  mogu  se  predstaviti  blok‐dijagramima promenljivih stanja (slike 3.29 i 3.30)  

1s I n

y(t)u(t) x (t) x (t)

+

+

A

cTb+

+

d

 Slika 3.29 

1s I n

y(t)u(t) x (t) x (t)

+

+

A

CB+

+

D

 Slika 3.30 

   Matrice  i  vektori  sadržani  u  vektorsko‐matričnim  jednačinama  stanja skalarnih  i  multivarijabilnih  sistema  predstavljaju  realizaciju  tog  sistema  i označavaju se na sledeći način: 

♦ za skalarni sistem R{A, b, c, d} ili, ako je d = 0, R{A, b, c}; ♦ za multivarijabilni sistem R{A, B, C, D} ili, ako je D = 0, R{A, B, C}.  

  Stanje  sistema  x(t) predstavlja minimum  informacija o  sistemu  koje  treba poznavati,  tako da  se uz poznati ulaz u  sistem u(t)  jednoznačno može odrediti buduće ponašanje sistema. Dinamika sistema može se opisati  izborom različitih promenljivih stanja, tako da broj mogućnosti  izbora promenljivih stanja sistema nema ograničenja. Zajedničko  za  sve  izbore promenljivih  stanja  sistema  je broj izabranih  promenljivih  stanja  n  (dimenzija  vektora  x),  koji  uvek  mora  biti minimalan. Ovaj broj n definiše red (dimenziju) sistema.   U slučaju klasičnog  jednokonturnog sistema automatskog upravljanja  (slika 3.8), upravljački signal se formira dejstvom signala E(s) na odgovarajući regulator ili karakteristični element.   Ako je objekt upravljanja opisan u prostoru stanja, umesto povratne sprege izlaza  koriste  se  linearne  povratne  sprege  po  veličinama  stanja.  Tako  se  za skalarni sistem dobija zakon upravljanja 

  u(t) = K[r(t) ‐ kTx(t)],  (3.30) 

gde je K faktor pojačanja, r(t) referentni signal na ulazu i 

  k = [k1   k2  L  kn]T  (3.31) 

vektor  faktora  podešavanja  povratnih  sprega  promenljivih  stanja  sistema  di‐menzija n×1.   Blok‐dijagram  promenljivih  stanja  ovako  projektovanog  sistema  auto‐matskog upravljanja (slika 3.31) dobija se dodavanjem upravljačkog bloka (3.30) blok‐dijagramu sistema na slici 3.29, uz pretpostavku da je d = 0.  

1s In

y(t) r(t) u(t) x (t) x(t)

+

+

A

cT b −+

kT

K

Objekat upravljanja Upravljački blok 

Slika 3.31  Na  taj način  skalarni  sistem  (3.28)  je zatvoren. Zamenom  izraza  za uprav‐ljanje (3.30) u jednačini stanja skalarnog sistema dobija se jednačina stanja zatvorenog sistema 

  )()()( trKtt bxAx z +=& ,  (3.32) 

gde je matrica zatvorenog sistema 

  Az = A ‐ KbkT.  (3.33) 

Jednačina izlaza ostaje ista.     Kod  multivarijabilnih  sistema  zakon  upravljanja  po  veličinama  stanja određen je relacijom 

  u(t) = v(t) ‐ Kx(t),  (3.34) 

gde  je  v(t)  vektor  ulaza  dimenzija  r×1,  a  K matrica  faktora  podešavanja  pov‐ratnih sprega promenljivih stanja dimenzija r×n.    

>> Primer 4.1.  Na  slici  4.17  prikazan  je  uprošćeni dinamički model automobila, gde je m1 masa šasije  i svih  elemenata  vozila  postavljenih  na  nju,  c1  i  f krutost  i koeficijent viskoznog  trenja amortizera, m2 masa  točkova  i  c2  krutost  pneu‐matika.  Usled neravnina  kolovoza  u(t),  točkovi  vozila  i  šasija automobila  se  u  odnosu  na  ravnotežni  položaj pomeraju  za  z2(t),  odnosno  z1(t).  Posmatrajući pomeranje  šasije  automobila  kao  izlaz  sistema  i proizvoljnim  izborom  veličina  stanja  treba  odrediti realizaciju {A, b, c} datog modela vozila.   Ponašanje  ovog  sistema  opisano  je  difere‐ncijalnim jednačinama 

 [ ] [ ] [ ]c u t z t m z t c z t z t f z t z t2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) && ( ) ( ) ( ) & ( ) & ( )− = + − + − , 

  [ ] [ ]c z t z t f z t z t m z t1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) & ( ) & ( ) && ( )− + − = . 

Izborom promenljivih stanja 

  x t z t x t z t x t z t x t z t1 1 2 1 3 2 4 2( ) ( ), ( ) & ( ), ( ) ( ), ( ) & ( )= = = = , 

dobijaju se jednačine stanja: 

  & ( ) ( )x t x t1 2= , 

  & ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t cm

x t fm

x t cm

x t fm

x t21

11

12

1

13

14= − − + + , 

  & ( ) ( )x t x t3 4= , 

  & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t cm

x t fm

x t c cm

x t fm

x t cm

u t41

21

22

1 2

23

24

2

2= + −

+− + . 

Izlaz je pomeranje šasije z1(t), odnosno 

  y(t) = x1(t). 

Iz jednačina stanja i jednačine izlaza dobijaju se matrica sistema A, vektor ulaza b i vektor izlaza c: 

  .

0001

,000

,1000

0010

2

2

22

21

22

1

11

1

11

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

−−= cbA

mc

mf

mcc

mf

mc

mf

mc

mf

mc

   

z1(t)m1

fc1

z2(t)m2

c2u(t)

 Slika 4.17 

UPRAVLJIVOST I REKONSTRUKTIBILNOST LINEARNIH SISTEMA 

DEFINICIJA UPRAVLJIVOSTI I REKONSTRUKTIBILNOSTI 

Već je ranije istaknuto da linearni sistem može biti opisan realizacijom R{A,b,c,d} ili  odgovarajućom  prenosnom  funkcijom G(s).  Ako  se  radi  o multivarijabilnom sistemu,  u  realizaciji  figurišu matrice  A,  B,  C  i  D  ili  sistem može  biti  opisan prenosnom matricom G(s). Iz opisa sistema pomoću prenosne funkcije odnosno prenosne  matrice  ne  može  se  odrediti  ponašanje  sistema  koji  u  početnom trenutku nije u miru, niti ponašanje unutrašnje strukture sistema. Kada  je reč o opisu  modelom  u  prostoru  stanja,  isti  sistem  se  može  opisati  različitim realizacijama, zavisno od izbora promenljivih stanja. 

Definicija 1.  Linearni sistem opisan odgovarajućom realizacijom je sa upravljivim stanjem  x(t0)  (ili  izlazom  y(t0))  u  trenutku  t0,  ako  postoji  upravljačka  funkcija u[t0, tf]  koja može  prevesti  ovo  stanje  (izlaz)  u  proizvoljno  željeno  stanje  x(tf) (odnosno proizvoljni željeni  izlaz y(tf)). Sistem  je s potpuno upravljivim stanjem (izlazom), ako navedeno  svojstvo važi za  sve početne  trenutke  t0  i  sva početna stanja x(t0) (izlaze y(t0)).  

Definicija  2.  Linearni  sistem  opisan  odgovarajućom  realizacijom  je rekonstruktibilan  ako  se  svako  početno  stanje  x(t0)  u  trenutku  t0 može  tačno odrediti merenjem izlaza y(t) u toku konačnog intervala vremena [t0, tf]. Sistem je potpuno rekonstruktibilan ako navedeno svojstvo važi za sve početne trenutke t0 i sva početna stanja x(t0).     Algebarski uslovi upravljivosti i rekonstruktibilnosti §  Teorema  5.1.    Ako  je matrica  sistema  A  nesingularna  onda  je  da  bi  sistem opisan  realizacijom  R{A,B,C,D}  bio  sa  upravljivim  stanjem  (izlazom)  potrebno  i dovoljno da rang matrice upravljivosti stanja Qu bude jednak redu n tog sistema, odnosno rang matrice upravljivosti izlaza  y

uQ  bude jednak m (broj izlaza), gde je 

  [ ] )(12

nrnn

u ×−= BABAABBQ L   (5.1) 

  [ ] ))1((12

rnmny

u +×−= DBCABCACABCBQ L    (5.2) 

  Skalarni sistem opisan realizacijom R{A,b,c,d} je uvek sa upravljivim izlazom, dok je njegova matrica upravljivosti stanja 

  [ ]bAbAAbb 12 −= nu LQ .  (5.3) 

  Pošto  je matrica upravljivosti za skalarni sistem kvadratna  (dimenzija n×n), to je uslov upravljivosti ovog sistema 

  det Qu ≠ 0.  (5.4) 

§  Teorema  5.3.    Ako  je matrica  sistema  A  nesingularna  onda  je  da  bi  sistem opisan realizacijom R{A,B,C,D} bio rekonstruktibilan potrebno i dovoljno da rang matrice rekonstruktibilnosti Qr bude jednak redu n tog sistema, gde je   [ ] )(

12 )()( nmnTnTTTTTT

r ×−= CACACACQ L .  (5.6) 

  Za skalarni sistem matrica rekonstruktibilnosti je oblika 

  [ ]cAcAcAcQ 12 )()( −= nTTTr L ,  (5.7) 

dok je uslov rekonstruktibilnosti ovog sistema 

  det Qr ≠ 0.  (5.8) 

 Primer 5.2.  Data je realizacija R{A, B, C} sa matricama 

  .110021

,110200

,211002030

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= CBA  

Potrebno je proveriti upravljivost i rekonstruktibilnost sistema.    Matrica upravljivosti (teorema 5.1), odnosno njena slična matrica (dobija se elementarnim transformacijama nad kolonama matrice Qu), ima oblik 

  [ ] .000010000001000100

~4620110120002000600

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−== BAABBQu

 

Pošto je  

  01010001100

det ≠=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡, 

sledi da je rang matrice Qu jednak 3, odnosno da je sistem upravljiv.   Matrica  rekonstruktibilnosti  (teorema  5.3),  odnosno  njena  slična matrica (dobija se elementarnim transformacijama nad kolonama Qr), ima oblik 

 

[ ] .001000000010000001

~4020105121312061401

)( 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== TTTTT

r CACACQ

 

Rang matrice Qr je jednak 3, što znači da je sistem rekonstruktibilan.      

STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA  Sistem  automatskog  upravljanja  pri  normalnoj  eksploataciji  treba  da  obezbedi odgovarajući  režim  rada  objekta  upravljanja,  iako na  njega  dejstvuju  određeni poremećaji. Takvo ponašanje može se ostvariti samo kod sistema automatskog upravljanja  koji  su  stabilni.  Analiza  i  projektovanje  sistema  automatskog upravljanja  sa  stanovišta  stabilnosti  je  osnovni  problem  teorije  automatskog upravljanja. Osnovni uslov  radne  sposobnosti  sistema  jeste njegova  stabilnost. Ukoliko sistem nije stabilan, onda nema smisla razmatrati ni jednu drugu njegovu karakteristiku.  Takođe,  prvi  tehnički  zahtev  koji  se  specificira  (ili  bolje  reći  se podrazumeva) pri projektovanju sistema  jeste njegova stabilnost, ali  i stabilnost njegovih podsistema (interna ili unutrašnja stabilnost).  Pri  tome  se  razlikuje  apsolutna  stabilnost  i  relativna  stabilnost  sistema. Apsolutna stabilnost sistema određuje uslove koji treba da budu  ispunjeni da bi sistem  bio  stabilan  ili  nestabilan.  Ako  je  sistem  apsolutno  stabilan,  relativna stabilnost određuje stepen (meru) njegove stabilnosti.  Mnogi procesi koji su nestabilnog karaktera projelctovanjem sistema upravljanja daju stabilan sistem. Recimo, atomska elektrana je stabilan sistem, dok atomska bomba generiše proces sličnog karaktera ali nestabilan. Avion bez rada motora (upravljanja) pada, za razliku od jedrilice čije je konstruktivno rešenje samo za sebe na granici stabilnosti. Isto tako moguće je da stabilni podsistemi u sprezi rezultuju  nestabilnim  sistemom.  To  nije  tako  redak  slučaj  i  uvek  je  rezultat nesrećnog slučaja upravljanja u povratnoj sprezi, ili bolje rečeno ljudske greške ili nemogućnosti da predvidi  sve aspekte  funkcionisanja sistema. Pri  tome, pojam stabilnosti nije strogo vezan za pojam tehničkih sistema.