MODELOVANJE MEHANIČKIH ROTACIONIH SISTEMAOsnovni pasivni elementi mehaničkih rotacionih sistema su gomilišta energije rotacioni inercioni element, rotacioni elastični element kao i rotacioni disipativni odnosno rotacioni prigušni element. ROTACIONI INERCIONI ELEMENT:

Ugaona koli č ina kretanjaLJ=J ωJωJ=ω1−ω2

T J=d LJdt

T J=Jd ωJ

dt

J=∫V

❑

r2dm r−funkcije polozaja elementarnihmasadm

EK=12J ω j

2= 12J

LJ2

Jednačina II Newtnovog zakona za rotaciono kretanje

∑i=1

n

T i=J α i=Jd ωJ

dtT i=ri×F i

ROTACIONA OPRUGA:

T k=k rθkθk=θ1−θ2

ωk=dθkdt

ωk=1kr

dT k

dtωk=ω1−ω2

Ep=12krθk

2= 12kr

T k2

ROTACIONI DISIPATIVNI ELEMENT :

T B=BrωBωB=1BR

T BωB=ω1−ω2

PB=T BωB=1BR

T B2=BRωB

2

Viskozno trenje dvaju podloga između kojih se nalazi neki fluid, grafički predstavljamo:

IZVORI U MEHANIČKIM TRANSLATORNIM SISTEMIMA

ωS=ω1−ω2∑T=0∑ ω=0

ANALOGIJE ELEKTRICNIH I MEHANICKIH ROTACIONIH SISTEMA

Mehanički rotacioni sistem Električni sistem

Podužna veličina (T) T iPoprečna veličina (A) ω uJednačina kontinuiterta ∑T=0 ∑ i=0Jednačina kompabiliteta ∑ ω=0 ∑ u=0Mehanički rotacioni sistemi Električni sistemA tip

T J=Jd ωJ

dtEK=

12J ω j

2

ELEKTRIČNI KONDEZATOR(mrsko mi i njeg crtat)

iC=Cd uCdt

Ees=12CuC

2

T tip

Ep=12k r

T k2ωk=

1kr

dT k

dt

ELEKTRIČNA ZAVOJNICA(mrsko mi i njeg crtat)

uL=Ld iLdt

Eem=12L iL

2

D tip

ωB=1BR

T BPB

= 1BR

T B2=BRωB

2

ELEKTRIČNI OTPORNIK(mrsko mi i njeg crtat)

uR=R iR PR=R iR2= 1

RuR

2

MehanickeVelicine J k r Br T (t ) ω ( t )ElektricneVelicine C

1L

1R

i (t ) u (t )

VREMENSKE KONSTANTE DINAMIČKIH SISTEMA

Posmatrajmo jednostavno RC kolo sa slike. Neka se u nultom trenutku vremena uključuje prekidač.Diferencijalna jednačina koja opisuje dato kolo data je u obliku:

RCdUcdt

+Uc=E ,Uc (0 )=0Analitičko riješenje je dato sa:

Uc (t )=E (1−etRC ) ,odnosno

Uc (t )=E(1−e−tτ ) , 𝝉=RC

gdje je 𝝉=RC vremenska konstanta električnog polja I ona predstavlja mjeru ulaska u stacionarno stanje napona na kondenzatoru Uc(t), nakon uključivanja prekidača. Drugi način postizanja rješenja polazne jednačine dobija se jednostavnom primjenom generalnog rješenja za jednačinu prostora stanja.Dakle,napiše li se polazna jednačina u obliku jednačine prostora stanja dobit će se :

dUcdt

=−1RC

Uc+ 1RC

ERješenje jednačine prostora stanja se dobija preko relacije:

Uc( t)=e−1RC

t∗0+∫

0

t

e−1 (t−τ )

RC 1RC

Ed τ ,

odnosno : Uc (t )=E(1−e−tRC )

Na sledecim slikama prikazani su analitičko rješenje I uzorkovano analitičko rješenje postignuto sa korakom diskretizacije ∆t=𝝉/2. Pod uzorkovanim analitičkim rješenjem će se podrazumjevati niz uzorkovanih tačaka koje su mođusobno spojene linearnim pravcima. Očito da se analitičko rješenje dobija tačnijim za sitniji korak diskretizacije , dakle za ∆t=𝝉/k , gdje je k iz N,dobijamo lošiju aproksimaciju tačnog rješenja.

Vratimo se na jednačinu prostora stanja.U toj skalarnoj jednačini može se smatrati da je matrica sistema definisana sa:

A=[−1RC ]Karakteristična jednačina ove matrice se jednostavno dobija iz:

det(A-λE)=det(−1RC

−λ)=−1RC

−λ=0svojstvena vrijednost matrice sistema je dakle:

λ=−1RC

s obzirom na definiciju vremense konstante 𝝉=RC jasno je da postoji veza

λ=−1τ

odnosno τ=−1λ

Može se zaključiti da su svojstvena vrijednost matrice sistema I vremenska konstanta sistema obrnuto proporcionalne sa negativnim predznakom što je I logično jer npr.za prirodno stabilne sisteme λ<0 ekvivalentno sa 𝝉>0.

Za serijsko RLC kolo ćemo imati dvije vremense konstante 𝝉1.2= −1p1,2

. U ovom

slučaju ,da bi se kvalitetno rekonstruisalo tačno analitičko rješenje jednačine potrebno je dakle da vrijednost koraka diskretizacije bude manja od obje vremenske konstante,odnosno:∆t<𝝉1 i ∆t<𝝉2 ,dakle potrebno je da bude zadovoljeno :

∆ t<min {τ 1 , τ 2 }=𝝉min

U praktičnim realizacijama obično se uzima : ∆t=𝝉min/k, gdje je k iz N.Jasno je da će za određivanje dovoljno sitnog koraka diskretizacije ∆t,kod jako prigušenih signala,odlučujuća biti vremenska konstanta 𝝉,jer tada vrijedi 𝝉<<T. U obrnutom slučaju, kod slabo pigušenih oscilatornih signala,korak diskretizacije ∆t će biti određen (polu)periodom vlastitih oscilacija sistema jer vrijedi T<<𝝉.Generalno se može napisati da,ako su svovjstvene vrijednosti matrice sistema dobijene kao;Λ1,2=-α±j𝛚=Re(λ)±jIm(λ)Gdje vrijede relacije:

𝝉=−1

ℜ(λ) , T=2 π

ℑ( λ)

Odnosno :

Re(λ)=−1τ

, Im(λ)=2πT

Tada se korak diskretizacije bira iz ranije definisanog ograničenja:

∆t<min {τ ,T /2 }=𝝉min odakle je ∆t= 𝝉min/k, k iz N

Posmatrajmo sada generalan slučaj dinamike sistema opisanog matričnom jednačinom prostora stanja:

dXdt

=AX+BU

Dalje,neka su λ1,λ2,…,λn, svojstvene vrijednosti matrice sistema A reda n. Generalno vrijedi relacija koja povezuje vremenske konstante sistema I realne dijelove svojstvenih vrijednosti kao:

𝝉i=−1

ℜ(λi ) , i=1,2,…,n.

S druge strane ,periodi vlastitih oscilacija sistema dati su sa:

Ti=2π

ℑ( λi) , i=1,2,…,n.

Svim realnim dijelovima svojstvenih vrijednosti moguće je pridružiti odgovarajuće vremenske konstante,dok je svim imaginarnim dijelovima svovjstvenih vrijednosti moguće pridružiti odgovarajuće periode oscilovanja.

Neka je X(t) analizirana varijabla stanja. Predpostavimo da je njeno rješenje oblika:

Partikularno rješenje je funkcija prinude na sistem.Uz predpostavku da postoji samo jedan vanjski izvor u sistemu oblika:

Jasno je da je partikularno rješenje tada:Xp=f(u(t))Dominantna vremenska konstanta se dobija iz relacije:

Potrebno je napomenuti da može postojati više različitih dominantnih vremenskih konstanti,I to u slučaju kada su neki Aj I Ak jednakih vrijednosti.Korak diskretizacije traženog signala mora zadovoljiti ograničenje:

Ovaj korak se jednostavno izabere iz jednačine:

Ekvivalencija domena KRUTI SISTEMI

Definicija (Krut dinamicki sistem):

Dinamicki system je krut(stiff) ako svojstvene vrijednosti λi i=1,2,..,n matrice sistema A zadovoljavaju dole navedena dva uslova:

ℜ (λ i )<0 , (τ i )>0 ,i=1,2 ,…,nmax

i¿¿¿

Na kraju treba napomenuti da se definisu I vrlo kruti (very stiff) dinamicki sistemi kao sistemi koji imaju barem jednu svojstvenu vrijednost vrlo velikog (po realnoj komponenti negativnog)iznoda tj,teoretski ako postoje neke svojstvene vrijednosti

λ i i=1,2 , .., n koje zadovoljavaju sljedeci uslov:

ℜ (λ i )→−∞ ,(τ i→0)Dodatno je moguće definisati I krute nelinearne dinamicke sisteme.Generalno govoreci , neka je dinamicki system opisan sistemom nelinearnih diferencijalnih jednacina oblika:

(3) X ( t)=F (X , t)

Ovaj nelinearni system je krut ako svojstvene vrijednosti λ i i=1,2 , .., n n

Jacovijeve matrice izracunate u tacki X 0 (nakon linearizacije desne strane jednacine

(3)) :

J (X0 )= ∂F∂ X |x=x0=[

∂F1∂ X 1

∂F1∂ X2

…∂F1∂ Xn

∂F2∂ X 1

∂F2∂ X2

…∂F2∂ Xn

⋮ ⋮ … …∂Fn

∂ X 1

∂Fn

∂ X2…

∂Fn

∂ Xn

] Imaju rasute (po realnoj osi) amplitudne vrijednosti u lijevoj poluravni kompleksne ravni svojstvene vrijednosti .Pomenuta definicija krutosti nelinearnih sistema je relativna jer je dovoljno da u jednom koraku proracuna bude zadovoljen uslov rasutosti svojstvenih vrijednosti da bi nelinearni system bio krut. Jacobijeva matrica kod nelinearnih sistema nema konsantne elemente nego se ti elementi tokom rjesavanja mijenjaju sto za posljedicu ima da se I svojstvene vrijednosti Jacobijeve matrice tokom proracuna mijenjaju.

EULEROV IMPLICITNI METOD

Posmatrajno opet diferencijalnu jednacinu prvog reda :

(4) dx (t)dt

= x (t )=f (x , t)

Integraleci rekaciju (4) u granicama od tk do tk+1 dolazimo do :

(5) x ( tk +1 )=x (t k )+h x (t k+1 )+εk

Gdje ε kpredstavlja lokalnu gresku aproksimacije nacinjenu u k-tom koraku proracuna.

Uzmemo li obzir polaznu dif jednacinu (4) posljednja jednacina (5) se preuređuje u sljedecu relaciju :

x ( tk +1 )=x (t k )+hf ( x ( tk +1 ) ,t k+1 )+εk

Odnosno implicitni ili indirektni , obrnuti Eulerov numericki metod ima oblik :

(6) xk+1=xk+hf (xk +1 ,t k+1 )

Uz pretpostavku da je rjesenje xk tacno tj. Da vrijedi xk=x ( tk ) , relacija (6) je

ekvivalentna sa jednacinom:

xk+1=xk+h x (t k+ 1)Tako da se moze nacrtati aproksimativno rjesenje postignuto implicitnim eulerovim pravilom kao na slici 9.7

U nastavku ce se potraziti greska implicitnog Eulerovog numerickog metoda. Ako funkcija

x (t) razvijemo u Taylerov red u okolini tacke t k dobit ce se relacija:

(7)

x ( tk+h )= x (t k )+ h1 !x (t k )+ h

2

2!x (t k )+…

Odnosno ,

(8) x ( tk +1 )= x (t k )+h x (t k )+ h2

2!x ( tk )+…

Imajuci u vidu jednacinu za implicitni Eulerov metod:

x ( tk +1 )=x (t k )+h x( tk +1)+εk

Iz relacija (7) I (8) pronalazimo: (9)

x ( tk +1 )=x (t k )+h x (t k )+h2 x (t k )+ h3

2x (t k )+ε k

S druge strane Taylorov razvoj daje:

x ( tk+h )=x (t k )+ h1 !x (t k )+ h

2

2!x (t k )+ h

3

3 !x (t k )…

Odnosno(10)

x ( tk+h )=x (t k )+h x (t k )+ h2

2x ( tk )+ h

3

6x (t k )…

Oduzimajuci relacije 9 I 10 pronalazimo

0=εk+h2 x (t k)+

h3

2x (t k )+…−h2

2x ( tk )−h3

6x (t k )−..

Odakle se dobije :

ε k=−h2 x−h3

2x (tk )+..

Kao I u slucaju eksplicitnog Eulerovog metoda zakljucuje se da vrijedi :

ε k=M h2 ,M=const .

Gdje je dakle ε k-lokalna greska implicitnog Eulerovog metoda nastala u k-tom koraku

integracije.Analogno je globalna greska,odnosno akumulirana lokalna greska, nakon određenog vremena data relacijom:

δ=N h , N=constU nastavku ce se analizirati stabilnost implicitnog Eulerovog numerickog metoda.Dakle test jednacina daje:

dxdt

=λx , x (0 )=1 , t є [0 ,+∞ ] , λ є C−¿¿

Za Eulerov implicitni metod vrijedi relacija:

xk+1=xk+hf (xk +1 ,t k+1 )=xk+hλ xk+1Odakle se dobije:

(11) (1−hλ ) xk+1=xkGreska(pertrubacija) δ k velicine xk unesena u k-tom koraku integracije ce izazvati

gresku δ k+1 velicine xk+1 unesenu u narednom (k+1).om koraku

integracije,odnosno vrijedi:

(12) (1−hλ )(xk+1+δk +1)=xk + δ kOduzimanjem jednacina 11 I 12 dolazimo do relacije:

(1−hλ ) δ k+1=¿ δ k .

Ili u apsolutnim iznosima:

|1−hλ|∨δ k+1∨¿ ¿δ k∨¿ .

Iz uslova stabilnosti numerickog metoda je:

¿δ k+1∨¿

¿δ k∨¿=1

|1−hλ|≤1¿¿

Odnosno

|1−hλ|≥1Dakle,rjesenje dobijeno Eulerovim implicitnim numerickim metodom je stabilno ukoliko λ I h zadovoljavaju prethodnu nejednakost. Oznaci li se :

λ=σ+ jω=ℜ ( λ )+ jIm (λ)Dobit ce se :

¿1−h (σ+ jω )∨≥1Odnosno :

(13) (1−hσ )2+(hω)2≥1Nejednacina 12 dovodi do relacije za korak:

h≥2ℜ( λ)¿ λ∨¿2¿

s obzirom da je Re(λ )≤0 to je posljednja nejednakost zadovoljena za sve korake h>0.

Graficka ilustracija podrucja stabilnosti Eulerovog implicitnog numerickog metoda data je na slici 9.8 u koordinatnom z=hλ sistemu, relacija 13.Dakle implicitni Eulerov numericki metod je stabilan van jednacine kruznice sa centrom u tacki (1,0).

Eulerov metod primijenjen na jednacinu prostora stanja:

X (t )=AX (t )+BU (t )=F ( X ,t ) , X ( t0 )=X0Daje rekurentnu relaciju:

X k+1=Xk+hF (Xk +1 , t k+1)Odnosno :

X k+1=Xk+h(A X k+1+BU k+1)Odakle je

(E−h A )Xk+1=Xk+hBU k +1Nepogodnost implicitnog Eulerovog postupka 14 se ogleda u tome da se mora racunati

inverzna matrica (E−h A )−1 koja usporava vrijeme proracuna.

PRIMIJENJENI NUMERICKI METODI

Analiticko rjesenje jednacine:

X ( t)=AX ( t )+BU ( t )X (t 0 )=X0

Dato je sa:

X ( t )=e A (t−t0 )X0+∫t0

t

eA (t−τ )BU ( τ )dτ

Analiticko rjesenje vektora X(t) dakle, sadrzi eksponente matrica eA ( t−t0 )tj.

e A ( t−τ ), koji se racunaju upotrebom Laplaceove transformacije ili Cayley-

Hamiltonove teoreme. Medutim, racunanje eksponenta matrice za dim(A)≥3 je upitno

buduci da je tesko analiticki pronaci svojstvene vrijednosti matrice sistema odnosno polove Laplaceove slike funkcije u s-domenu. Racunanje integrala u posljednjoj relaciji je takoder u iostem slucaju upitno, buduci da su integrali funkcija rjesivi analiticki samo za odredene klase podintegralnih funkcija. Da bi se prevazisli problemi analitickog rjesavanja se pristupa numerickom rjesavanju polazne jednacine. S druge strane moraju se naglasiti poteskoce pri numerickom rjesavanju polazne jednacine kao sto su:Odziv sistema tj. Numericko rjesenje Xk se dobija samo u diskretnim vremenskim trenucima tk dakle tabelarno,Dobijeno numericko rjesenje je samo aproksimacija stvarnog odziva sistema, pri cemu treba voditi racuna o gresci tj. O tacnosti upotrijebljenog numerickog metoda,Pored tacnosti upotrijebljenog numerickog metoda potrebno je narocitu paznju usmjeriti na stabilnost upotrijebljenog numerickog metoda.

Graficka ilustracija aproksimativnog numerickog rjesenja u poredenju sa tacnim analitickim u skalarnom slucaju data je na slici:

Korak numericke integracije definisan je relacijom:

h=∆ t k=t k+1−tk , k=0,1 ,… ,n−1gdje je: N-ukupan broj koraka u kome se trazi rjesenje polazne jednacine.Vrijede sljedece relacije:

t 1=t 0+ht 2=t 1+2h=t0+2h

…t k+1=t k+h=t 0+ (k+1 )h

…t n=t n−1+h=t 0+nh

Odnosno:

n=t n−t 0n

Moze se zakljuciti da je analiticko rjesenje jednacine definisano za sve trenutke vremena

t∈ ¿, dok je numericko rjesenje definisano samo u konacnom broju tacaka na

unaprijed definisanom segmentu t k∈[ t 0 , t n]. Postupak numerickog

rjesavanja jednacine svodi se na izracunavanje aproksimacije rjesenja X k+1u

trenutku t k+1 preko prethodnih vrijednosti

X k , X k−1 ,…, Xk−p+1 izracunatih u vremenskim trenucima

t k ,t k−1 ,…, t k−p+1 .

Ako se izracunavanje vrijednosti X k+1 koristi samo prethodni korak tj za p=1, onda

se govori o jednokoracnom numerickom postupku. Ako se pak, za izracunavanje

vrijednosti X k+1 koriste vrijednosti izracunate u toku prethodnih p≥2

koraka, onda se govori o visekoracnom numerickom postupku. Dalje, ako je upotrijebljeni numericki postupak oblika:

X k+1=f (X k , X k−1 ,…, Xk− p+1)Tj. Sa desne strane ne figurise X k+1, onda se govoti o eksplicitnom numerickom

postupku. Medutim, ako je upotrijebljen numericki postupak oblika:

X k+1=g(Xk+1 , Xk , X k−1 ,…, Xk−p+1)Tj da sa desne strane figuriseX k+1, onda se govori o implicitnom numerickom

postupku. U ovom slucaju je potrebno iz posljednje jednacine doci do eksplicitnog zapisa u vektor:

X k+1=v (Xk , Xk−1 ,…, Xk− p+ 1)Na kraju je potrebno spomenuti da se slucaj:

X k+1=w (Xk +2, X k+3…)Kao akauzalan ne pojavljuje u prakticnim realizacijama numerickih metoda.EULEROV EKSPLICITNI METODRadi jednostavnosti pokazat ce se nacin izvodenja Eulerovog eksplicitnog metoda numerickog metoda na skalarnom slucaju, odnosno slucaju rjesacanje jedne

diferencijalne jednacine prvog oblika:dx (t)dt

= x (t )=f (x , t),

Integraleci relaciju u granicama od t kdo t k+1 dolazimo do

x ( tk +1 )−x (t k )=∫t k

tk +1

x ( t )dt

Odnosno:

x ( tk +1 )=x (t k )+∫t k

tk+1

x (t )dt

Integral u prethodnoj jednacini se aproksimira pravougaonikom tako da se nalazi:

x ( tk +1 )=x (t k )+h x (t k )+ε kGdje ε kpredstavlja lokalnu gresku aproksimacije nacinjenu u k-to, koraku proracuna.

Uzmemo li u obzir polaznu diferencijalnu jednacinu posljednja jednacina se preuredjuje u sljedecu relaciju:

x ( tk +1 )=x (t k )+hf (x (tk ) , t k)+εkOdnosno, eksplicitni ili direktni Eulerov numericki metod ima oblik:

xk+1=xk+hf (xk ,t k )Potrebno je napomenuti da su i xk i xk+1aproksimacije tacnih rjesenja x (t k)

i x (t k+1). Uz pretpostavku da je rjesnje xk tacno tj. Da vrijedi

xk=x (t k ), daje relaciju xk+1=xk+h x (t k )

U nastavku ce se potraziti greska eksplicitnog Eulerovog numerickog metoda. Ako

funkciju x(t) razvijemo u Taylorov red u okolini tacke t k dobiti ce se relacija:

x ( tk+h )=x (t k )+ h1 !x (t k )+ h

2

2!

¨x (¿ t k)+

h3

3!x ( tk )+…¿

Odnosno:

x ( tk +1 )=x (t k )+hf (x (tk ) , t k)+h2

2

¨x (¿ t k )+

h3

6x (t k )+…¿

Oduzimajuci relacije za lokalnu gresku eksplicitnog Eulerovog metoda se nalazi:

ε k=h2

2

¨x (¿ t k)+

h3

6x (t k )+…¿

Buduci da je vrijednost koraka numericke integracijeh→0, to se posljednja relacija

moze zapisati u obliku:

ε k=M h2 ,M=const .Gdje je dakle, ε k- lokalna greska eksplicitnog Eulerovog metoda nastala u k-tom koraku

integracije.Pokazuje se da je globalna greska, odnosno akumulirana lokalna greska, naokon

odredenog vremena data relacijom: δ=N h , N=const .Moze se zakljuciti da globalna greska δ sporije tezi nuli od lokalne greske ε k. Vrijedi

generalno pravilo, da ako je lokalna greska nekog metoda proporcionalna sa hp+1,

tada je globalna greska metoda proporcionalna sa hp . Eksponent p definise red

numerickog postupka. Dakle, Eulerov metod je prvog reda(p=1).Jasno je da je pozeljno da upotrijebljeni numericki metod ima sto veci red p buduci da je

on direktno proporcionalan sa tacnoscu upotrijebljenog metoda hp . Drugim rijecima,

kod metoda sa vecim redom moguce je sa vecim korakom integracije dobiti rjesenje sa jednakom tacnoscu kao kod metoda sa manjim redom.U okviru analize greske numerickih metoda, dodatno se posmatra i stabilnost numerickih metoda.Definicija(stabilnost numerickog metoda)Numericki metod se smatra stabilnim za odredenu velicinu koraka integracije h ako je

greska δ k unesena u k-tom koraku integracije veca ili jednaka od greske δ k+1

unesene u (k+1)-om koraku integracije, odnosno vrijedi

¿δ k+1∨≤∨δ k∨¿Stabilnost numerickog metoda se posmatra u Dalquisteovoj test jednacini tipa:

dxdt

=λx , x (0 )=1 , tϵ [0 ,+∞ ) , λϵ C−¿¿

Ovdje se λ moze shvatiti kao svojstvena vrijednost sistema opisanog jednacinom(ovom

gore).

Uslov λϵ C−¿={λϵC :ℜ( λ)≤ 0 }¿ je motivisan egzaktnim rjesenjem

Dalquisteove test jednacine x (t )=eλtkoje tada zadovoljava uslov:

limt→+∞

x (t)=0Sto ustvari predstavlja uslov tzv. Asimptotske stabilnosti sto i dalje za posljedicu ima:

limt→+∞

xk=0

Dakle za Eulerov eksplicitni metod vrijedi relacija:

xk+1=xk+hf (xk , t k )=xk+hλ xk=(1+hλ) xkOdnosno:

xk+1=(1+hλ) xkGreska δ k velicine xk unesena u k-tom koraku integracije ce izazvati gresku

δ k+1 velicine xk+1 unesenu u narednom (k+1)-om koraku integracije, odnosno

vrijedi:

xk+1+δk+1=¿ (1+hλ )(xk+δk )Oduzimanjem jednacina dolazimo do relacije δ k+1=(1+hλ ) δ kIli u apsolutnim iznosima: ¿δ k+1∨¿∨(1+hλ ) ¿∨δ k|

Iz uslova stabilnosti numerickog metoda je:

¿δ k+1∨¿

¿δ k∨¿=|(1+hλ )|≤1¿¿

Odnosno:

|(1+hλ )|≤1Dakle, rjesenje dobijeno Eulerovim eksp. Metodom je stabilno ukoliko λ i h

zadovoljavaju prethodnu nejednakost. Oznaci li se:

λ=σ+ jω=ℜ ( λ )+ jIm (λ)Dobiti ce se:

¿1+h (σ+ jω )∨≤1Odakle se dalje pronalazi:

(1+hσ )2+(hω)2≤1Odnosno:

2ℜ ( λ )+h¿ λ∨¿2≤0¿Sto na kraju daje ogranicenje za korak integracije:

h≤2ℜ ( λ )

¿ λ∨¿2¿Eksplicitni Eulerov numericki metod je stabilan ukoliko korak integacije zadovoljava nejednakost(prethodnu). Graficka ilustracije podrucja stabilnosti Eulerovog metoda data

je na slici u koordinatnom z=hλ sistemu. Dakle eulerov numericki metod je

stabilan u z=hλ sistemu unutar jedinicne kruznice sa centrom u tacki (-1,0).

Znacenje stabilnosti numerickog metoda ce se pokazati na primjeru krutog dinamickog sistema sa relativno velikim negativnim realnim dijelom sovjstvene vrijednosti

σ=ℜ( λ).

Eksplicitni Eulerov metod primijenjen na matricnu jednacinu prostora stanja:

X ( t )=AX ( t )+BU ( t )=F ( X ,t )X (t 0 )=X0

Daje:

X k+1=Xk+hF (Xk , t k)Odnosno:

X k+1=Xk+hF ( AX k+BU k )=(E+hA )X k+hBU k

Dakle krece se od poznatog pocetnog uslova X 0i onda se respektivno racunaju

vrijednosti X1 , X2 ,…, X k…. da bi se zadovoljili uslovi stabilnosti,

potrebno je za matricu sistema pronaci odgovarajuce svojstvene vrijednosti tj. Iz

jednacine det( A−λE )=0 uz pretpostavku dim(A)=n nalazi se n

svojstvenih vrijednosti λ1 , λ2 ,…, λn pri cemu svaka svojstvena vrijednost

mora zadovoljiti uslov stabilnosti:

¿(1+h λi)∨≤1 , i=1,2,...,n

Odnosno:

(1+hσ i)2+(hωi)

2≤1Odakle se pronalaze ogranicenja za korak:

h≤−2ℜ (λ i )¿ λ i∨¿2 ¿

Finalno se ima:

h≤mini

¿posljednja jednacina predstavlja uslov stabilnosti numerickog metoda za opsti sitem. Generalizirajmo znacenje ogranicenja zadnjeg posmatrajuci ponaosob uticaje realnih i imaginarnih dijelova svojstvenih vrijednosti na maksimalno dopustenu vrijednost koraka integracije. Posmatrajuci desnu stranu izraza kao funkciju realnog dijela svojstvene vrijednosti dobija se:

h (σ )= −2σσ2+ω2

za fiksiranu vrijednost ω>0, uz σ<0, dobija se grafik ove funkcije kao na

slici:

Iz karaktera ove funkcije se zakljucuje da vecim apsolutnim realnim iznosima

σ=ℜ( λ) odgovaraju sitniji koraci integracije, odnosno sto imamo sisteme sa

vecim apsolutnim realnim iznosima σ=ℜ( λ) to ce se vise morati sitniti

korak integracije. Svojstvena vrijednost sa najvecim iznosom ¿ ℜ ( λ )∨¿ daje

najgore ogranicenje za korak. Ovo usitnjenje koraka integracije se mora zadovoljiti da bi se osigurala numericka stabilnost metoda. U suprotnom zasigurno dobijamo nekorektne rezultate proracuna. Inace u prakticnim slucajevima ovo usitnjenje koraka ima opravdanje jedino u slucaju kada je odgovarajuca vremenska konstanta za najnepovoljniju svojstvenu vrijednost dominantna. U slucaju da je ona zanemarica, nepotrebno se sitni korak integracije i dakle nepotrebno se znacajno usporava vrijeme egzekucije rjesenja. Zakljucak je da ovaj metod nije prikladan za rjesavanje krutih dinamickih sistema. Drugo, posmatrajuci desnu stranu kao funkciju imaginarnog dijela svojstvene vrijednosti dobija se:

h(ω)= −2σσ2+ω2

Za fiksiranu vrijednost σ<0, uz uslov ω≥0 dobija se grafik ove funkcije kao

na slici b) . iz karaktera ove funkcije se zakljucuje da vecim iznosima

ω=ℑ(λ) odgovaraju sitniji koraci integracije. Dakle, svojstvena vrijednost sa

najvecim iznosom ℑ(λ) daje najgore ogranicenje za korak, kao i kod krutih

sistema i u slucaju ovakvih oscilatornih sistema usitnjenje koraka integracije ispod granica definisanih uslovima stabilnosti ima opravdanje ako svojstvena vrijednost koja

sadrzi najveci iznos ℑ(λ) jednovremeno nosi odgovarajucu dominantnu

vremensku konstantu, u obrnutom slucaju nepotrebno se sitni korak integracije odnosno

produzava vrijeme proracuna, zakljucak je da ovaj metod nije prikladan ni za rjesavanje oscilatornih dinamickih sistema.

7.3. Analitičko rješenje jednačine prostora stanjaU nastavku će se dati analitičko rješenje jednačine prostora stanja za slučajeve sistema prvog reda, tj. za skalarni problem i za sistem višeg reda tj. za matrični problem.7.3.1. Analitičko rješenje jednačine prostora stanja: skalarni problemPosmatrajmo sistem opisan jednom diferencijalnom jednačinom prvog reda oblika tzv. Cauchyjev problem:x'(t)=ax(t)+bu(t) 7.9x(t0)=x0 7.10.Prvo posmatrajmo autonomni sistem prepušten sam sebi (homogeni sistem):u(t)=0odakle se dobija pojednostavljeni Cauchyjev problem:x'(t)=ax(t)+bu(t) x(t0)=x0

Rješenje ovog problema je dato sa:

x (t )=ea (t−t0 )x0 7.11Posljednje rješenje se još naziva rješenje sopstvenog odziva sistema.Drugo posmatrajmo sada polazni sistem dat jednačinama 7.9 i 7.10. Rješenje jednačine 7.9 se traži u obliku :

x (t )=ea ( t−t 0) y (t)

7.12Gdje je poznata funkcija y(t). Jednačina početnog uslova 7.10 daje:y(t0)=x0 7.13Dodatno diferencira li se jednačina 7.12 dobija se relacija:

x ' (t )=ax (t )+ea( t−t 0) y ' (t) 7.14Iz jednačine 7.9 i 7.14 se sada pronalazi:

ea (t−t0 ) y ' (t) =bu(t)

Odavde se pronalazi:

dy (t )=e−a ( t−t0 )bu (t )dtIntegrirajući posljednju jednačinu u granicama od t0 do t dobija se relacija:

y (t )− y ( t0 )=∫t0

t

e−a ( τ−t0 )bu (τ )dτ

Odnosno

y (t )=x0+∫t0

t

e−a (τ−t0 )bu(τ )dτ

Sada se iz jednačine 7.12 pronalazi konačno rješenje skalarnog problema:

x (t )=ea (t−t0 )x0+∫t 0

t

ea (t−τ )bu (τ )dτ

7.15 slobodni odziv prinudni odziv

Pokazuje se da je ovako dobijeno skalarno rješenje x(t) jednačine prostora stanja jedinstveno.7.3.2. Analitičko rješenje jednačine prostora stanja: matrični oblikPosmatrajmo sistem opisan u matričnoj formi prostora stanja:

X ( t )=AX ( t )+BU ( t ) 7.16

X (t 0 )=X0 7.17Iz relacije 7.15 je moguće naslutiti rješenje Cauchyjevog problema kao:

X ( t )=e A (t−t0 )X0+∫t0

t

eA (t−τ )BU (τ )dτ

7.18Dokazati će se prvo rješenje dato sa 7.18 zadovoljava početni uslov 7.17 odnosno:

X (t 0 )=eA (t−t 0)X0+∫t 0

t 0

e A ( t0−τ )BU (τ )dτ=X0Dodatno će se pokazati da rješenje 7.18 zadovoljava jednačinu prostora stanja 7.16. Diferencirajući jednačinu 7.18 dobija se:

X ( t)=Ae A (t−t0 )X0+ddt∫t0

t

eA ( t−τ )BU (τ )dτ

7.19Imajući u vidu da generalno vrijedi:

ddt∫t0

t

F ( t , τ )dτ=∫t0

t∂ F (t , τ )

∂ tdτ+F (t , τ )|τ=t

Iz relacije 7.19 se pronalazi:

X ( t)=Ae A (t−t0 )X0+∫t0

t∂∂ te A (t−τ )BU (τ )dτ+(eA ( t−τ )BU (τ)¿|τ=t

Odnosno

X ( t)=A ¿Dakle rješenje definisano sa 7.18 zadovoljava jednačine 7.16 i 7.17. Slično kao kod skalarniog rješenja, pokazuje se da je ovako dobijeno rješenje X(t) jednačine prostora stanja u matričnom obliku takođe jedinstveno.U rješenju Cauchyjevog problema jednačine prostora stanja:

X ( t )=e A (t−t0 )X0+∫t0

t

eA (t−τ )BU (τ )dτ

Ostaje problem izračunati eksponent matrice e At . Ovaj eksponent se generalno može

napisatiu formi reda:

e At=E+At+ A2t 2

2 !+ A

3 t3

3 !+…+ A

k tk

k !+..=∑

k=0

∞tk

k !Ak

Posljednji red je moguće sumirati u slučaju nilpotentne matrice sistema A tj. matrice za

koju vrijedi Aq=0, za neki prirodni broj q. U ostalim slučajevima jemoguće

upotrijebiti Laplaceovu transformaciju na jednačinu prostora stanja, Cayley-Hamiltonovu teoremu, Jordanovu blok transformaciju itd.

7.3.3. Analitički pristup izračunavanja matrice e At Laplaceovom transformacijom

Posmatrajmo pojednostavljeni (autonomni) sistem opisan sa matričnom jednačinom:

X ( t )=AX (t) 7.20

X (0 )=X0 7.21Lapleceova transformacija jednačine 7.20 daje jednačinu:

sX (s )−X (0 )=AX(s)Odnosno

( sE−A ) X (s )=X (0 )Odakle se pronalazi:

X ( s)=(sE−A )−1X (0) 7.22Vremenski oblik rješenj u s-domenu 7.22 se dobije upotrebom inverzne Laplaceove transformacije :

X (t )=L−1[X (s )]

7.3.4. Cayley-Hamiltonova teorema Cayley-Hamiltonova teorema govori da svaka kvadratna matrica A dimenzija n x n zadovoljava svoju karakterističnu jednačinu. Dakle, ako je karakteristična jednačina matrice A data sa:

det (A−λE )=0❑⇒

λn+an−1 λn−1+..+a1 λ+a0=0

Onda Cayley-Hamiltonova teorema kaže da vrijedi jednačina:

An+an−1 An−1+…+a1 A+a0E=0

Dokaz ove teoreme kreće od toga da se prije svega uvede smjena:

B=A−λEZa ovako definisanu matricu B uvijek se mogu pronaći matrice B0,B1,....Bn-1 tako da vrijedi sljedeća jednakost:

~B=B kT=∑

i=0

n−1

λiBi

7.23Inverzna matrica matrice B se računa:

B−1= 1det (B)

~BOdakle se množenjem sa B s lijeve strane dobija relacija:

B~B=det (B )∗E

Imajući u vidu relaciju 7.23 pronalazi se :

B~B=A B0+∑i=1

n−1

λi (A B i−B i−1)−λnBn−1

7.24S druge strane vrijedi jednakost:

det (B )∗E=P ( λ )∗E=∑i=0

n

ai λi∗E

7.25Izjednačavajući identički polinome 7.24. i 7.25 dobija se:

a0E=AB0a1E=A Bi−B i−1 i=1,2,...,n-1

anE=−Bn−1Množeći posljednj jednačine redom sa Ai i=0,1,2...n s lijeve strane dobije se:

a0E=AB0a i A

i=A i+1B i−A iBi−1 i=1,2,...,n-1

an An=−AnBn−1

Sumirajući redom posljednjih (n+1)jednačina dobija se jednakost:

P (A )=a0 E+a1 A+a2 A2+…+an A

n=¿A B0+∑i=1

n−1

(A i+1B i−AiB i−1 )−An Bn−1=0Čime je dokazana Cayley-Hamiltonova teorema.Ova osobina matrice će biti iskorištena pri rješavanju Cauchyjevog problema autonomnog sistema:

X ( t )=AX (t)X (0 )=X0Rješenje ove jednačine je oblika:

X ( t )=e At X0Ostaje nepoznat eksponent matrice odnosno matrice e At . Razvojem u red se

pronalazi:

e At=E+At+ A2t 2

2 !+ A

3 t3

3 !+…+ A

k tk

k !+..=∑

k=0

∞

yk (t)Ak

Gdje su redom

y0 ( t )=1 , y1 ( t )=t , y2 (t )= t 2

2 !, y3 (t )= t3

3 !,……, yk (t )= t k

k !Radi jednostavnosti izračunavanja eksponenta matrice e Atuzmimo opštu matricu

drugog reda oblika:

A=[a11 a12a21 a22 ]

Karakteristična jednačina ove matrice je data sa:

det (A−λE )=λ2+a1 λ+a0=0Iz Cayley-Hamiltonove teoreme se dobija jednačina:

A2+a1 A+a0 E=0Odnosno

A2=−a1 A−a0E=α 2 A+ β2 ENadalje vrijedi:

A3=A2 A=(−a1 A−a0E ) A=−α 1 A2−a0 A=−a1 (−a1 A−a0 E )−a0 A=(a12−a0 ) A+a1a0 E=α3 A+β3E

A4=A3 A=(α 3 A+β3 E ) A=α3 A2+β3 A=α 3 (−a1 A−a0E )+β3 A=(−α 3a3+β3 ) A−α 3a0E=α4 A+β4 E

...............

Ak=α k A+ βkEDakle, vrijedi:

e At=∑k=0

∞

yk (t)Ak=∑

k=0

∞

yk (t ) (α k A+βkE )=¿¿Odnosno

e At=b1 (t )∗A+b0 ( t )∗EVratimo se na karakterističnu jednačinu

λ2+a1 λ+a0=0Iz ove jednačine se nalazi redom:

λ2=−a1 λ−a0=α 2 λ+ β2λ3=λ2 λ=(−a1 λ−a0 )λ=−a1 λ

2−a0 λ=−a1 (−a1 λ−a0 )−a0 λ=(a12−a0 ) λ+a1a0=α 3 λ+ β3.....

λk=α k λ+βkAnalogno vrijede relacije:

e At=1+ λt+ λ2 t2

2 !+ λ

3t 3

3!+…+ λ

k t k

k !+..=∑

k=0

∞

yk (t )∗λk

Potpuno identično se dobija:

e At=∑k=0

∞

yk (t )∗(α k λ+βk )=¿¿Dakle vrijedi:

e λt=b1 (t )∗λ+b0(t)Posljednju jednačinu zadovoljavaju korijeni karakteristične jednačine λ1i λ2 . Pod

pretpostavkom da se radi o različitim korijenima karakteristične jednačine , mogu se pisati relacije:

e λ1 t=b1 (t )∗λ1+b0(t)e λ2 t=b1 ( t )∗λ2+b0(t)Iz ovog sistema nalazimo nepoznate funkcije b1 (t ) i b0(t ). Kada se preko

posljednjeg sistema jednačina pronađu funkcije b1 ( t ) i b0(t ) dobija se za

eksponent matrice:

e At=b1 ( t )∗A+b0 (t )∗EU slučaju da korijeni karakteristične jednačine imaju identične vrijednosti λ1=λ2

onda se diferenciranjem jednačine:

e λt=b1 (t )∗λ+b0(t)po λ a zatim uvrštavajući za vrijednost λ=λ1 dolazi do nepoznatog koeficijenta

b1( t):

b1 ( t )=t eλt|λ=λ1Odnosno

b1 ( t )=t eλ1 t

Kada se izračuna koeficijent b1 ( t ) onda se koeficijent b0 ( t ) jednostavno

izračuna iz polazne relacije:

b0 ( t )=e λ1 t−b1 ( t )∗λ1Odnosno

b0 ( t )=e λ1 t(1−λ1 t)Vratimo se ponovo na generalan slučaj da svaka kvadratna matrica A formata n x n zadovoljava svoju karakterističnu jednačinu tj, da vrijedi:

An+an−1 An−1+…+a1 A+a0E=0

Iz posljednje relacije se pronalazi :

An=α n−1 An−1+…+α1 A+α 0E

Svi ostali eksponenti matrice A, dakle svi Ak, k≥n se dobijaju kao linearna

kombinacija matričnih eksponenata An−1 ,…, A ,E . Na takav način

se pokazuje da se beskonačna suma:

e At=E+At+ A2t 2

2 !+ A

3 t3

3 !+…+ A

k tk

k !+..=∑

k=0

∞

yk ( t )∗Ak

uvijek može prikazati u obliku konačne sume oblika:

e At=bn−1 An−1+…+b1 A+b0E

Ukoliko pretpostavimo da su sve svojstvene vrijednosti matrice sistema A različite,

nepoznate funkcije bn−1 ,…b1 ib0 se određuje iz sistema:

e λ1 t=bn−1 λin−1+…+b1 λ i+b0 za sve i=1,2,...n

U slučaju da npr. postoji svojstvena vrijednost λ j matrice sistema A, višestrukosti r,

dok su ostalih (n-r) svojstvenih vrijednosti različite , nepoznate funkcije

bn−1 ,…b1 ib0 se određuju iz sistema jednačina:

e λ1 t=bn−1 λin−1+…+b1 λ i+b0 za sve i=1,2,...n-r

dm−1

d λm−1(e λt )|λ=λ j= dm−1

d λm−1 (bn−1∗λn−1+…+b1∗λ+b0)|λ=λ j

, m=1,2,...r

TRAPEZNI METOD

dx (t )dt

= x (t )=f ( x , t )

dx (t )= x (t )dt

∫tk

t k+1

dx (t )=∫tk

t k+1

x ( t )dt

x ( tk +1 )−x (t k )=∫t k

tk +1

x ( t )dt

x ( tk +1 )=x (t k )+∫t k

tk+1

x (t )dt

x ( tk +1 )=x (t k )+ h2 [ x ( t )+ x ( tk +1 ) ]+ε r

xk+1=xk+h2 [f (xk+1, t k+1 )+ f (xk , t k ) ]=¿TRAPEZNI METOD

GRESKA METODA :

ε k=M h3

δ=N h2

Trapezni metod je numericki metod drugog reda.

Stabilnost:

ℜ ( z )≥0Za prirodno stabilne dinamicke sisteme, trapezni metod je uvjek stabilan. Osnovna mana trapeznog metoda je racunanje inverzne matrice sto znatno usporava proracun varijabli stanja.