2.1 การวั�ดแนวัโนมเข้าสู่��สู่�วันกลาง (Measure of Central Tendency)

การวั�ดแนวัโนมเข้าสู่��สู่�วันกลาง

ค่�าเฉล��ย (Mean)

ม�ธยฐาน (Median)

ค่�าเฉล��ยเลข้ค่ณิ�ต (Arithmetic Mean)ค่�าเฉล��ยเรข้าค่ณิ�ต (Geometric Mean)ค่�าเฉล��ยฮาร�โมน�ค่ (Harmonic Mean)

ฐานน�ยม (Mode)

2.1 1 ค่�าเฉล��ยเลข้ค่ณิ�ต (Arithmetic Mean)

กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจงค่วัามถี่��

ค่�าเฉล��ยเลข้ค่ณิ�ตข้องต�วัอย�าง

ค่�าเฉล��ยเลข้ค่ณิ�ตข้องประชากร

N

ii 1

X

N

n

ii 1

xx

n

ต�วัอย�าง 21. ในการวั�ดระด�บค่วัามสู่ามารถี่ทางสู่ต�ป*ญญา (I.Q.) ข้องน�กเร�ยนห้องห้น-�ง สู่.�มต�วัอย�างน�กเร�ยนมา

10 ค่น วั�ดระด�บ I.Q. บ�นท-กผลไดด�งตารางค่นท��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I.Q.

70 65 89 67 55 74 69 88 95

97

n

xx

n

ii∑

1== 70 65 89 67 55 74 69 88 95 9710

+ + + + + + + + +=

7.69=

กรณิ�ข้อม�ลแจกแจงค่วัามถี่��k

i ii 1

f xx

n

ixโดยท��

ห้มายถี่-ง จ.ดก��งกลางช�0น n ห้มายถี่-ง จ1านวันต�วัอย�าง

fi ค่2อ ค่วัามถี่��ในแต�ละอ�นตรภาค่ช�0น

ต�วัอย�างท�� 22. ในการสู่1ารวัจเป4ดข้องค่ร�วัเร2อนในห้ม��บานชนบทแห้�งห้น-�ง บ�นท-กจ1านวันเป4ดต�อค่ร�วัเร2อน ไดข้อม�ลด�งตาราง

จ1านวันเป4ด 1 – 5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

21 – 25

จ1านวันค่ร�วัเร2อน

5 14 20 25 16

จงห้าจ1านวันเป4ดเฉล��ยต�อค่ร�วัเร2อน

จ1านวันเป4ด

ค่วัามถี่�� (fi)

จ.ดก-�งกลางช�0น (xi)

fixi

1 – 5 5 3 156 – 10 14 8 112

11 – 15 20 13 26016 – 20 25 18 45021 – 25 16 23 368

รวัม n = 80 1,205

n

xfx

n

iii

1

80

250,1 625.15

ด�งน�0น แต�ละค่ร�วัเร2อนจะเล�0ยงเป4ดเฉล��ย 15. 625 ต�วัต�อค่ร�วัเร2อน

2.1 2 ม�ธยฐาน (Median)=

กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจงค่วัามถี่��1) เร�ยงล1าด�บข้อม�ลจากนอยไปห้ามาก ห้ร2อมากไปห้านอย2) ห้าต1าแห้น�งข้องม�ธยฐาน ถี่าข้อม�ลม� n ต�วั

ต1าแห้น�งม�ธยฐาน 21

n

3) ค่�าม�ธยฐานค่2อค่�าสู่�งเกตท��อย��ในต1าแห้น�งท��ห้าไดในข้อ (2)

ห้มายเห้ต. ถี่าช.ดข้อม�ลม� n ต�วั ซึ่-�ง n เป4นจ1านวันค่�� ต1าแห้น�งท��ไดจะอย��ระห้วั�างค่�าสู่�งเกต 2 จ1านวัน การห้าค่�าม�ธยฐานให้น1าค่�าสู่�งเกตท�0ง 2 ท��อย��ระห้วั�างต1าแห้น�งท��ห้าไดมาห้าค่�าเฉล��ย

ต�วัอย�าง 2.3 จงห้าค่�าม�ธยฐานข้องข้อม�ลต�อไปน�01) 12 9 14 10 18 20 17

•เร�ยงล1าด�บข้อม�ลจากนอยไปห้ามาก9 10 12 14 17 18 20

•ห้าต1าแห้น�งม�ธยฐานต1าแห้น�งม�ธยฐาน 4

2

17

2

1

n

•ห้าค่�าม�ธยฐานม�ธยฐานค่2อค่�าสู่�งเกตในต1าแห้น�งท�� 4 ด�งน�0น ม�ธยฐาน = 14

n 1 8 14.5

2 2

27 2827.5

2

2) 22 29 17 27 39 35 25 28•เร�ยงล1าด�บข้อม�ลจากนอยไปห้ามาก

17 22 25 27 28 29 35 39•ห้าต1าแห้น�งม�ธยฐาน

ต1าแห้น�งม�ธยฐาน •ห้าค่�าม�ธยฐาน

ม�ธยฐานค่2อค่�าสู่�งเกตในต1าแห้น�งท�� 4.5 ซึ่-�งอย��ระห้วั�างค่�าสู่�งเกตในต1าแห้น�งท�� 4 และ 5

ด�งน�0น ม�ธยฐาน

กรณิ�ข้อม�ลแจกแจงค่วัามถี่��

n

2

nF

2Median L If

1) ห้าต1าแห้น�งม�ธยฐานจากสู่�ตรต1าแห้น�งม�ธยฐาน

2) ค่1านวัณิห้าค่�าม�ธยฐานจากสู่�ตร

โดยท�� L ค่2อ ข้อบเข้ตล�างข้องช�0นม�ธยฐานI ค่2อ ค่วัามกวัางข้องอ�นตรภาค่ช�0นn ค่2อ จ1านวันข้อม�ลF ค่2อ ค่วัามถี่��สู่ะสู่มข้องช�0นก�อนม�ธยฐานf ค่2อ ค่วัามถี่��ในช�0นม�ธยฐาน

ต�วัอย�าง 2.4 ตารางแจกแจงค่วัามถี่��แสู่ดงปร�มาณิเค่ร2�องค่อมพิ�วัเตอร�ท��สู่��งมาข้ายข้องบร�ษั�ทแห้�งห้น-�งในแต�ละสู่าข้าจ1านวัน 40 สู่าข้า ม�ข้อม�ลด�งน�0

วั�ธ�ท1าต1าแห้น�งม�ธยฐาน n 40

202 2

ปร�มาณิเค่ร2�อง

ค่อมพิ�วัเตอร�

ค่วัามถี่�� (fi)

ค่วัามถี่��สู่ะสู่ม (F)

1 – 10 3 3ต1าแห้น�งท�� 1 –

3

11 – 20 4 7ต1าแห้น�งท�� 4 –

7

21 – 30 6 13ต1าแห้น�งท�� 8 –

13

31 – 40 12 25 ต1าแห้น�งท�� 14 – 25

41 – 50 5 30ต1าแห้น�งท�� 26

– 30

51 - 60 10 40ต1าแห้น�งท�� 31

– 40

ม�ธยฐานค่2อต1าแห้น�ง ท�� 20

ซึ่-�งอย��ในช�0นน�0

L = 30.5 I = 10 n = 40 F = 13 f = 12

ห้าค่�าม�ธยฐานจากสู่�ตรnF

2Median L If

L = 30.5 I = 10 n = 40 F = 13 f = 12

12

1320105.30Median

83.55.30

33.36

ด�งน�0น ม�ธยฐานข้องปร�มาณิการสู่��งซึ่20อเค่ร2�องค่อมพิ�วัเตอร�ค่2อ 36.33 เค่ร2�อง

2.1 3. ฐานน�ยม (Mode)

กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจงค่วัามถี่��ฐานน�ยม ค่2อข้อม�ลท��ม�ค่วัามถี่��มาก

ท��สู่.ด สู่ามารถี่ห้าฐานน�ยมไดท�0งข้อม�ลเช�งปร�มาณิ และข้อม�ลเช�งค่.ณิภาพิ

ต�วัอย�าง 2.5 จงห้าฐานน�ยมข้องข้อม�ลต�อไปน�01) 2 5 7 9 7 3

1 9

7 4 3 5 10 7

ข้อม�ลท��ม�ค่วัามถี่��มากท��สู่.ดค่2อ 7 ด�งน�0นฐานน�ยม ค่2อ 7

2) 73 11 14 16

17

18 20 24 26 37

ข้อม�ลช.ดน�0ไม�ม�ค่�าไห้นท��ซึ่10าก�นเลย ด�งน�0นข้อม�ลช.ดน�0จ-งไม�ม�ฐานน�ยม

3) 10 11 9 7 10

15 9

4 7 10 9 6 5

ข้อม�ลท��ม�ค่วัามถี่��มากท��สู่.ดค่2อ 9 และ 10 ด�งน�0น ข้อม�ลช.ดน�0ไม�ม�ฐานน�ยม

ต�วัอย�าง 2.6 ในการสู่1ารวัจค่นท��ใชรถี่ยนต�จ1านวัน 20 ค่น วั�าใชรถี่ย��ห้ออะไร ไดผลสู่1ารวัจด�งน�0HONDA TOYOTA TOYOTAMAZDA SUZUKIVOLVOMITSUBISHI LEXUSFORD

NISSANTOYOTA SUZUKI MAZDAFORD HONDABENZ BMW TOYOTANISSAN KIA

พิบวั�า TOYOTA ม�ค่วัามถี่��มากท��สู่.ด ด�งน�0น ฐานน�ยมค่2อ TOYOTA

กรณิ�ข้อม�ลแจกแจงค่วัามถี่��1) เล2อกช�0นท��ม�ค่วัามถี่��มากท��สู่.ดเป4นช�0นฐานน�ยม2) ค่1านวัณิห้าค่�าฐานน�ยมจากสู่�ตร

21

1

dd

dILMode

โดยท�� L ค่2อ ข้อบเข้ตล�างข้องช�0นม�ธยฐานI ค่2อ ค่วัามกวัางข้องอ�นตรภาค่ช�0นd1 ค่2อ ค่วัามถี่��ช�0นฐานน�ยม – ค่วัามถี่��ช�0น

ก�อนมฐานน�ยมd2 ค่2อ ค่วัามถี่��ช�0นฐานน�ยม – ค่วัามถี่��ช�0น

ห้ล�งฐานน�ยม

ต�วัอย�าง 2.7 จากต�วัอย�าง 2.4 จงห้าฐานน�ยมข้องปร�มาณิค่อมพิ�วัเตอร�ท��สู่��งมาข้าย

วั�ธ�ท1า

ปร�มาณิเค่ร2�องค่อมพิ�วัเตอร�

ค่วัามถี่�� (fi)

1 – 10 311 – 20 421 – 30 6 31 – 40 1241 – 50 551 - 60 10

d1=12 – 6 = 6d2=12 – 5 = 7

อ�นตรภาค่ช�0น 31 40– ม�ค่วัามถี่��สู่�งสู่.ด ค่2อ 12 จ-งให้ช�0นน�0เป4นช�0นฐานน�ยม

จะได L = 30.5 d1 = 6 d2 = 7แทนค่�าในสู่�ตร

21

1

dd

dILMode

76

6105.30

62.45.30

12.35

ด�งน�0นฐานน�ยมข้องปร�มาณิการสู่��งซึ่20อเค่ร2�องค่อมพิ�วัเตอร�ค่2อ 35.12 เค่ร2�อง

23 การวั�ดการกระจาย (Measurement of Dispersion)

ในการวั�ดแนวัโนมเข้าสู่��สู่�วันกลาง เป4นค่�ากลางท��ใชเป4นล�กษัณิะข้องต�วัแทนข้อม�ลช.ดน�0น แต�ถี่าเราทราบแต�ค่�ากลางเพิ�ยงค่�าเด�ยวั ท1าให้เราไม�สู่ามารถี่มองเห้8นภาพิรวัมข้องข้อม�ลในช.ดน�0นๆ ไดช.ดท�� 1 8 8 8 8 8

ช.ดท�� 2 4 6 8 10 12ช.ดท�� 3 6 1 15 11 7

2.3.1 พิ�สู่�ย (Range) พิ�สู่�ย = Xmax – Xmin

เม2�อ Xmax ค่2อ ค่�ามากท��สู่.ดในช.ดข้อม�ล

Xmin ค่2อ ค่�านอยท��สู่.ดในช.ดข้อม�ล

2.3.2 สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐาน

(Standard Deviation)

สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานข้องประชากร ( ) กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจง

ค่วัามถี่�� กรณิ�ข้อม�ลแจกแจง

ค่วัามถี่��

N

XXN

ii

1

2)( N

XXfN

iii

1

2)(

2.3.3 ค่วัามแปรปรวัน

(Variance)ค่วัามแปรปรวันข้องประชากร ( )

2σ กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจง

ค่วัามถี่�� กรณิ�ข้อม�ลแจกแจง

ค่วัามถี่��

N

XXN

ii

1

2

2

)( N

XXfN

iii

1

2

2

)(

สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานข้องต�วัอย�าง (S.D ห้ร2อ S)

- กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจงค่วัามถี่��

1

)(.. 1

2

n

xxDS

n

ii

1

)(.. 1

22

n

xnxDS

n

ii

ห้ร2อ

ค่วัามแปรปรวันข้องต�วัอย�าง (S.D ห้ร2อ S)

- กรณิ�ข้อม�ลไม�ไดแจกแจงค่วัามถี่��

ห้ร2อn

xxS

n

ii

1

2

2

)(

1

)(.. 1

22

n

xnxDS

n

ii

ต�วัอย�าง 28 สู่.�มต�วัอย�างน�กศึ-กษัาค่ณิะวั�ทยาศึาสู่ตร�และเทค่โนโลย� มห้าวั�ทยาล�ยราชภ�ฏเช�ยงให้ม� จ1านวัน 11 ค่น สู่อบถี่ามถี่-งจ1านวันค่ร�0งท��ใชโทรศึ�พิท�ในการโทรออกในแต�ละวั�น ไดข้อม�ลด�งน�08 2 11 7 5 3 10 6 5 4

5จงห้า พิ�สู่�ย สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐาน และค่วัามแปรปรวันข้องข้อม�ลช.ดน�0

วั�ธ�ท1า 1) พิ�สู่�ย = Xmax – Xmin

= 10 – 2 = 8

ด�งน�0นพิ�สู่�ยม�ค่�าเท�าก�บ 92) สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐาน

- ห้าค่�าเฉล��ย

611

54561035711281

n

xx

n

ii

การห้าสู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานข้องต�วัอย�างม� 2 สู่�ตร ด�งน�0นจะแสู่ดงท�0ง 2 สู่�ตรสู่�ตรท�� 1

1

)(.. 1

2

n

xxDS

n

ii

111

)65(...)611()62()68( 2222

10

14101691125164

10

97

114.3

สู่�ตรท�� 2

1

)(.. 1

22

n

xnxDS

n

ii

111

6115...1128 22222

( )10

39625+16+25+36+100+9+25+49+121+4+64=.. -DS

114.3=

ด�งน�0นสู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานม�ค่�าเท�าก�บ 3.114 ค่ร�0ง

3) ค่วัามแปรปรวัน

จากสู่�ตรจะเห้8นวั�า ค่วัามแปรปรวัน = (สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐาน)2

ด�งน�0นค่วัามแปรปรวัน S2= (3.114)2 = 9.697 ค่ร�0ง2

สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานข้องต�วัอย�าง (S.D ห้ร2อ S)

- กรณิ�ข้อม�ลแจกแจงค่วัามถี่��

ห้ร2อ1

)(.. 1

2

n

xxfDS

n

iii

1

)(.. 1

22

n

xnxfDS

n

iii

ค่วัามแปรปรวันข้องต�วัอย�าง (S.D ห้ร2อ S)

- กรณิ�ข้อม�ลแจกแจงค่วัามถี่��

ห้ร2อn

xxfS

n

iii

1

2

2

)(

1

)(1

22

2

n

xnxfS

n

iii

ต�วัอย�าง 2.9 จากการสู่อบถี่ามถี่-งเง�นออมในแต�ละวั�นข้องน�กศึ-กษัาสู่าข้าวั�ชาสู่ถี่�ต� ไดข้อม�ลด�งน�0

เง�นออม

1 – 5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

21 – 25

จ1านวัน

1 5 8 4 2จงห้าสู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานข้องข้อม�ลช.ดน�0

วั�ธ�ท1า

เง�นออม

ค่วัามถี่�� (fi)

xi fi xi fi xi2

1 – 5 1 3 3 96 – 10

5 8 40320

11 – 15

8 13 104 1,352

16 – 20

4 18 72 1,296

21 – 25

2 23 36 1,058

รวัม 20 265 4,035

x

25.1320

2651

n

xfx

n

iii

ตองห้า ก�อน จากสู่�ตร

จะได 1

)(.. 1

22

n

xnxfDS

n

iii

120)25.13(20035,4=..

2

--DS

25.5=

สู่�มประสู่�ทธ�=การแปรผ�น(Coefficient of Variation: C.V.)

ใชในการเปร�ยบเท�ยบการกระจายข้องข้อม�ล 2 ช.ดข้-0นไป

%100..

.. X

DSVC

ต�วัอย�าง 2.10 ในการสู่อบกลางภาค่เร�ยน วั�ชา การค่�ดและการต�ดสู่�นใจ ห้ล�กสู่ถี่�ต� แค่ลค่�ล�สู่ และสู่ถี่�ต�ธ.รก�จ ปรากฏผลด�งน�0

วั�ชา ค่�าเฉล��ย

สู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐาน

การค่�ดและการต�ดสู่�นใจ

25 10

ห้ล�กสู่ถี่�ต� 30 9แค่ลค่�ล�สู่ 18 15สู่ถี่�ต�ธ.รก�จ 26 12จงพิ�จารณิาวั�าค่ะแนนสู่อบวั�ชาใดม�การก

ระจายมากกวั�าก�น

%100..

.. X

DSVC

%40%10025

.10.. VC

%30%10030

.9.. VC

%33.83%10018

.15.. VC

%15.46%10026

.12.. VC

วั�ธ�ท1า

วั�ชาการค่�ดและการต�ดสู่�นใจ

วั�ชาห้ล�กสู่ถี่�ต�

วั�ชาแค่ลค่�ล�สู่

วั�ชาสู่ถี่�ต�ธ.รก�จด�งน�0น วั�ชาท��ม�การกระจายมากท��สู่.ดค่2อ แค่ลค่�ล�สู่ รองลงมาไดแก� วั�ชาสู่ถี่�ต�ธ.รก�จ การค่�ดและการต�ดสู่�นใจ และ ห้ล�กสู่ถี่�ต� ตามล1าด�บ

24 ค่�ามาตรฐาน (Standard Score)

..DS

xxZ i

เป4นค่�าท��บอกค่วัามแตกต�างระห้วั�างค่�าท��ไดจากการสู่�งเกตน�0นก�บค่�าเฉล��ยค่�ดเป4นก��เท�าข้องสู่�วันเบ��ยงเบนมาตรฐานข้องข้อม�ลโดยค่1านวัณิไดจากสู่�ตร

ต�วัอย�าง 2.11 จากข้อม�ลในต�วัอย�าง 2.10 ถี่านายเพิล�งสู่อบวั�ชาการค่�ดและการต�ดสู่�นใจ ห้ล�กสู่ถี่�ต� แค่ลค่�ล�สู่ และสู่ถี่�ต�ธ.รก�จ ไดค่ะแนน 30, 33, 24 และ 25 ค่ะแนน ตามล1าด�บ อยากทราบวั�านายเพิล�งเร�ยนวั�ชาไห้นไดด�ท��สู่.ด

วั�ธ�ท1า

วั�ชา ค่�าเฉล��ย

สู่�วันเบ��ยงเบน

มาตรฐาน (S.D.)

ค่ะแนนข้องนายเพิล�ง

การค่�ดและการต�ดสู่�นใจ

25 10 30

ห้ล�กสู่ถี่�ต� 30 9 33แค่ลค่�ล�สู่ 18 15 24สู่ถี่�ต�ธ.รก�จ 26 12 25

)( ixx

..DS

XXZ i

5.010

2530

Z

33.09

3033

Z

4.015

1824

Z

08.012

2625

Z

ห้าค่�ามาตรฐานข้องท�0ง 4 วั�ชา จากสู่�ตร

วั�ชาการค่�ดและการต�ดสู่�นใจ

วั�ชาห้ล�กสู่ถี่�ต�

วั�ชาแค่ลค่�ล�สู่วั�ชาสู่ถี่�ต�ธ.รก�จ

ด�งน�0นวั�ชาท��นายเพิล�งเร�ยนด�ท��สู่.ดค่2อ วั�ชาการค่�ดและการต�ดสู่�นใจ รองลงมาค่2อวั�ชาแค่ลค่�ล�สู่ ห้ล�กสู่ถี่�ต� และสู่ถี่�ต�ธ.รก�จ ตามล1าด�บ