Contents

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Hexagrammum Mysticum.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 The Fano Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 The Miquel Configuration .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 The Pappus Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Pappus-Like Configurations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 The Tetrahedron .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.6 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Basic Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Examples of Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Cycles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.3 Complete Bipartite Graphs and Multipartite Graphs .. . . . . . 192.2.4 Wheel Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.5 Prism Graphs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.6 Antiprism Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.7 Platonic and Archimedean Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.8 Polyhedral Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.9 Generalized Petersen Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.10 Cages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.11 Planar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Regular Graphs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Cubic Graphs and LCF Notation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3 Regularity and Bipartite Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.4 Semiregular Bipartite Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.5 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.6 Directed Graphs and Multigraphs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ix

x Contents

2.4 Operations on Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1 Graph Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2 Graph Union. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.3 Graph Join, Cone, and Suspension .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.4 One-Point Union and Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.5 Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.6 Tensor Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.7 Strong Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.8 Line Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.9 Subdivision Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.10 Graph Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Graph Colorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.1 Vertex Colorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.2 Edge Colorings .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 From Geometry to Graphs and Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.1 Metric Space and Distance Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.2 Distances in Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.3 Intersection Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.4 Intersection Graphs of a Family of Balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6.5 Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.6 Representations and Drawings of Graphs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.7 Generalized Petersen Graphs as Unit Distance Graphs . . . . 47

2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Groups, Actions, and Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1 Groups.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Graph Automorphisms.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.2 Definition of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.3 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.4 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.5 Group Homomorphisms and Isomorphisms .. . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Cayley Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Definition of the Cayley Graph .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Examples of Cayley Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.1 Permutation Groups .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2 Actions on Cayley Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.3 Primitive Versus Imprimitive Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.4 Burnside’s Theorem.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3.5 The Escher Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Symmetry and Transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.1 Vertex- and Edge-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.2 Semisymmetric Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4.3 Arc-Transitive Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.4 s-Arc Transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Contents xi

3.4.5 1=2-Arc Transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4.6 Automorphisms of Generalized Petersen Graphs . . . . . . . . . . 80

3.5 Voltage Graphs and Covering Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5.1 Quotient Graphs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5.2 Pregraphs Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5.3 Pregraphs on a Single Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5.4 Voltage Graphs and Regular Coverings .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5.5 Voltage Assignments on B.1I 1/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.6 Generalized Petersen Graphs as Coverings .. . . . . . . . . . . . . . . . 863.5.7 f0; 1g Voltage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.8 Permutation Voltage Assignments and Ordinary

Coverings .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.5.9 Cages as Covering Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6 Automorphisms of the Symmetric Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1 Geometric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.1 Polyhedral Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.2 Polygonal Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1.3 The Topology of Polygonal Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Maps and Flags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.1 A Graph Theoretical Approach to Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.2 Dual Constructions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2.3 Flag Orbits and Orientability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.2.4 Map Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 The Classification of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3.1 Vertex Splitting and Edge Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.2 Reduction to a Unitary Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.3.3 Assembling Crosscaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.3.4 Assembling Handles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3.5 Crosscaps Canceling Handles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3.6 Normal Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4 Operations on Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4.1 Uniform Flag Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4.2 The Medial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4.3 Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.4.4 Barycentric Subdivision and Combinatorial Map . . . . . . . . . . 1314.4.5 Semiuniform Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4.6 Edge and Vertex Joins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.5 Map Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.1 Regular Maps and Fundamental Regions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.2 Harmonious Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.5.3 Self-dual Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5.4 Automorphisms of Planar Graphs of Low Connectivity . . . 150

4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

xii Contents

5 Combinatorial Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1 A Combinatorial Approach to Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.1.1 Incidence Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.2 Coset Incidence Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.1.3 Lineal Incidence Structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.1.4 Regularity of Incidence Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.1.5 Definition of Combinatorial Configurations .. . . . . . . . . . . . . . . 164

5.2 Combinatorial .v3/ Configurations of Small Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3 Classical Configurations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.3.1 The Fano Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.3.2 The Mobius–Kantor Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.3.3 The Pappus Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.4 The Desargues Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3.5 The Cremona–Richmond Configuration .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.3.6 The Reye Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.3.7 Mobius .84/ Incidence Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.4 Autopolar Combinatorial Configurations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.5 Cyclic Haar Graphs and Cyclic Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.5.1 Cyclic Haar Graphs as Cyclic Covering GraphsOver a Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.5.2 Cyclic Haar Graphs as Certain Cayley Graphsfor the Dihedral Group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.5.3 Associating a Cyclic Haar Graph to a Number .. . . . . . . . . . . . 1895.5.4 Isomorphisms of Cyclic Haar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.5.5 Cyclic Configurations and Cyclic Haar Graphs . . . . . . . . . . . . 191

5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6 Geometric Configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1 Geometric Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.1.1 From Euclid to Descartes and Beyond .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1.2 The Projective Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.1.3 Homogeneous Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.1.4 Calculations in the Real Projective Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.1.5 The Theorems of Pappus and Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.6 Proving Desargues from Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.2 Finite Projective Planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.2.1 Affine and Projective Realizations over Finite Fields . . . . . . 215

6.3 Realization of Classical Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.3.1 Fano Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.3.2 The Mobius–Kantor Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.3.3 The Pappus Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.3.4 The Desargues Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.3.5 The Cremona–Richmond Configuration .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.3.6 The Reye Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Contents xiii

6.4 Representations and Realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.4.1 The Dimension of a Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.4.2 Lifting Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.4.3 General Lifting .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.5 The Grunbaum Incidence Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.6 Constructing Treelike Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.7 Realizing the Gray Graph and Bouwer Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.8 The Zindler Degree of Regularity of an Incidence Structure . . . . . . . . 2576.9 Polycirculants and Polycyclic Configurations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.9.1 Cubic Circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.9.2 Bicirculants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271