8.5 distribuzioni

Un ripasso di probabilità: Distribuzioni

Pau

l K

lee,

Gia

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i T

un

isi, 1

91

9

Riccardo Rigon

R. Rigon

2

Altre distribuzioni continue

•Gaussiana o Normale

•Esponenziale

•Gamma

•Lognormale

•Chi square

•F and T

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

Esponenziale

P [X < x;�] := 1� e��x 0 ⇥ x ⇥ ⇤

f(x;�) := �e��x 0 � x � ⇥

V ar[x;�] =1�2

E[X;�] =1�

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

Esponenziale

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

Esponenziale

More information on Wikipedia (Exponential distribution)

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

GammaLa distribuzione Gamma può essere considerata una generalizzazione della distribuzione esponenziale e ha forma:

Il suo integrale, cioè la probabilità è una funzione trascendente, che si trova tabulata (o si può calcolare con appropriati metodi numerici) e si chiama funzione gamma uncompleta

f(x; k, �) :=xk�1 e�x/�

�k �(k)0 � x � ⇥ k, � > 0

�(�) ⇥ (�� 1)!

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Gamma

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

8

Gamma

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

9

Gamma

V ar(x; k, �) = k�2

Mode(x; k, �) = (k � 1)� k > 1

E[x; k, �] = k �

More information on Wikipedia (Gamma distribution)

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Lognormale

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Lognormale

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Lognormale

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Lognormale

E[x;µ, ⇥] = eµ+⇥2/2

Median[x;µ] = eµ

Mode[x;µ, ⇥] = emu��2

V ar[x;µ, ⇥] = (e⇥2� 1)e2µ+⇥2

More information on Wikipedia (Lognormal distribution)

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

χ2

Le distribuzione della somma dei quadrati di n variabili random standardizzate ha una distribuzione χ2 con n gradi di libertà.

La funzione densità e la funzione di ripartizione sono rispettivamente:

f(x; k) =� 1

2k/2�(k/2)x(k/2�1)e�x/2 x > 0

0 x � 0

F [x; k] =�(k/2, x/2)

�k/2

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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χ2

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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χ2

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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E[x; k] = k

V ar[x; k] = 2k

χ2

More information on Wikipedia (Chi square distribution)

Mode[x; k] = k � 2 k ⇥ 2

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R. Rigon

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χ2

Distribuzioni di probabilità