Un ripasso di probabilità: Distribuzioni

Pau

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91

9

Riccardo Rigon

R. Rigon

2

Altre distribuzioni continue

•Gaussiana o Normale

•Esponenziale

•Gamma

•Lognormale

•Chi square

•F and T

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

Esponenziale

P [X < x;�] := 1� e��x 0 ⇥ x ⇥ ⇤

f(x;�) := �e��x 0 � x � ⇥

V ar[x;�] =1�2

E[X;�] =1�

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Esponenziale

Distribuzioni di probabilità

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Esponenziale

More information on Wikipedia (Exponential distribution)

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

GammaLa distribuzione Gamma può essere considerata una generalizzazione della distribuzione esponenziale e ha forma:

Il suo integrale, cioè la probabilità è una funzione trascendente, che si trova tabulata (o si può calcolare con appropriati metodi numerici) e si chiama funzione gamma uncompleta

f(x; k, �) :=xk�1 e�x/�

�k �(k)0 � x � ⇥ k, � > 0

�(�) ⇥ (�� 1)!

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Gamma

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Gamma

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Gamma

V ar(x; k, �) = k�2

Mode(x; k, �) = (k � 1)� k > 1

E[x; k, �] = k �

More information on Wikipedia (Gamma distribution)

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Lognormale

Distribuzioni di probabilità

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Lognormale

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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Lognormale

Distribuzioni di probabilità

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Lognormale

E[x;µ, ⇥] = eµ+⇥2/2

Median[x;µ] = eµ

Mode[x;µ, ⇥] = emu��2

V ar[x;µ, ⇥] = (e⇥2� 1)e2µ+⇥2

More information on Wikipedia (Lognormal distribution)

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

χ2

Le distribuzione della somma dei quadrati di n variabili random standardizzate ha una distribuzione χ2 con n gradi di libertà.

La funzione densità e la funzione di ripartizione sono rispettivamente:

f(x; k) =� 1

2k/2�(k/2)x(k/2�1)e�x/2 x > 0

0 x � 0

F [x; k] =�(k/2, x/2)

�k/2

Distribuzioni di probabilità

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χ2

Distribuzioni di probabilità

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χ2

Distribuzioni di probabilità

R. Rigon

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E[x; k] = k

V ar[x; k] = 2k

χ2

More information on Wikipedia (Chi square distribution)

Mode[x; k] = k � 2 k ⇥ 2

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χ2

Distribuzioni di probabilità