Capitolo v Distribuzioni

7/23/2019 Capitolo v Distribuzioni

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Notazione

R Insieme dei numeri reali

C Insieme dei numeri complessi

C80pq Spazio delle funzioni a supporto compatto infinitamente differenziabiliDpq Spazio delle funzioni di provaD1pq Spazio delle distribuzioniSpq Spazio delle funzioni a decrescita rapidaS1pq Spazio delle distribuzioni temperate

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Capitolo 5

Distribuzioni

Le distribuzioni costituiscono una generalizzazione delle funzioni e la teoria

delle distribuzioni una generalizzazione del calcolo differenziale sulle funzio-

ni. Senza entrare nel dettaglio delle motivazioni storiche che hanno portato

allelaborazione della Teoria delle Distribuzioni, principalmente dovuta al

contributo di L. Schwartz, diamo una lista di applicazioni e risultati della

teoria, che ne ha fatto uno strumento insostituibile in Fisica fondamentale e

applicata:

generalizzazione del calcolo differenziale: una distribuzione sara sempre

infinite volte differenziabile. Poiche le funzioni continue sono immerse

nelle distribuzioni, sara possibile definire derivate di ordine qualunque

di funzioni anche solo continue.

Soluzioni deboli di equazioni differenziali: le soluzioni di equazioni dif-

ferenziali nel senso delle distribuzioni hanno un ruolo fondamentale

nellanalisi qualitativa e quantitativa dei problemi della Fisica Matema-tica che prendono a modello le equazioni stesse. In particolare la teoria

delle distribuzioni permette una trattazione unificata delle equazioni

di campo con sorgenti distribuite in maniera continua e con sorgenti

1


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2 CAPITOLO 5. DISTRIBUZIONI

distribuite in maniera singolare, che spesso si incontrano nella model-

lizzazione fisica (punti materiali, cariche puntiformi, fili percorsi dacorrente etc.).

Estensione da funzioni di punto a funzioni di regione: le distribuzio-

ni saranno definite come funzionali su spazi di funzioni molto regolari,

ma non come funzioni di punto. Sono pertanto piu adatte a descrive-

re sistemi fisici in cui, per qualche ragione pratica o fondamentale, le

quantita in studio non abbiano valori definibili nei singoli punti.

Scambio di operazione di limite: nel caso delle distribuzioni lo scambio

di operazioni di limite (derivata e somma infinita, limite e integrale,

limiti successivi etc.) e sempre permesso e non altera il risultato.

Esistono molte presentazioni di ottimo livello della teoria delle distribu-

zioni. Questi appunti seguiranno, principalmente, parti scelte dei testi ([Sc],

[BB], [St])

5.1 Spazi di funzioni test

Funzioni molto regolari sostituiranno il concetto di punto: intuitivamente il

valore di una grandezza fisica in una funzione va interpretato come una

media, pesata sulla funzione stessa, dei valori puntuali di quella grandezza.

I due spazi di funzioni test che utilizzeremo sono gi a stati introdotti nei

capitoli precedenti; la loro definizione verra qui riportata per completezza.

Se Rn e un aperto di Rn, consideriamo lo spazio vettoriale C80pqdelle funzioni reali infinitamente differenziabili a supporto com-

patto K . Diremo che una successione di funzionitju in C80pq


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5.1. SPAZI DI FUNZIONI TEST 3

tende a P C80pq se esiste un compattoK tale che supp j K,

@je supxPK |D

p jqpxq| j8 0 per ogni multi-indice 1, . . . , n i0, 1 . . .,

D B||

Bx11 . . . Bxnn|| 1 ` . . . ` n.

C80pq, con la topologia (di cui non analizzeremo i dettagli) indottadalla convergenza appena definita e completo, ovvero ogni successione

di Cauchy converge a un elemento dello spazio. Lo indicheremo con

Dpq, spesso omettendo se Rn

.

In Rn, aperto, consideriamo lo spazio vettoriale delle funzioni realiinfinitamente differenziabili tali che le norme

}}m,l supxP

||l

|Dpxq} p1 ` |x|qm

siano finite@ me l interi 0.

Lo spazioSpq con la topologia definita dal sistema di norme }}m,le uno spazio completo che definiremo delle funzioni infinitamente

differenziabili a decrescenza rapida.

Naturalmente

Dpq Spq

con inclusione continua: ogni funzione di Dpq appartiene a Spq eogni successione convergente di funzioni inDpq risulta convergente inSpq.

Linsieme dei funzionali lineari continui su Dpq (il duale topologico diDpq) e denominato insieme delle distribuzionie viene indicato conD 1pq:


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ogni TP D 1pq e quindi un funzionale lineare su Dpq (quindi un elemento

del suo duale algebrico), che risulta inoltre continuo rispetto alla topologiadi Dpq. Si ha cioe:

Tpq xT, y P C, @ P Dpq

xT , 1 ` 2y xT, 1y ` xT, 2y @ , P C, 1, 2P Dpq

Setju e una successione di funzioni in D che converge a P D,nella topologia specificata precedentemente, allora

xT, jy j8

xT, y in C

Il duale topologico dello spazioSpq e detto delle distribuzioni temperatee viene indicato con S1pq: TP S1pq sexT, y e un funzionale lineare suSpq e se

xT, jy j8

xT, y in Cogni volta che

supx rp1 ` |x|qm

|D

pj q|pxqs j8 0@ me l interi positivi o nulli e|| l (con la notazione precedente}j }m,l

j8

0,@ m, l P N).E facile convincersi che linclusione Dpq Spq, assieme alla continuitadellinclusione stessa, implicano che S1pq D1pq.

D1pq eS1pq hanno la struttura di spazi vettoriali, quando si definisconosomma e prodotto per uno scalare nella maniera che segue:

somma:

xT1 ` T2, y xT1, y ` xT2, y @ T1, T2P D1pq prisp. S1pqq@ P Dpq prisp. Spqq.


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5.2. LO SPAZIO DELLE DISTRIBUZIONID1 5

prodotto per uno scalare:

xT, y xT, y @ P C @ TP D1pq prisp. S1pqq@ P Dpq prisp. Spqq.

Osservazione 1 La differenza traD1pq e il duale algebrico diDpq e dif-ficile da verificare. E cioe difficile caratterizzare funzionali lineari che non

siano anche continui.

La linearita di un funzionaleT suDpq sembra, da sola, implicare una certadose di continuita: in particolare la continuita lungo direzioni assegnate

xT, ` thy xT, y ` txT, hy t0 xT, y @ , h P Dpqcioe: lungo la direzione h, il funzionale e continuo perche e lineare. Una

successionetjujPNpotrebbe pero tendere acambiando costantemente di-rezione, e la linearita non implicherebbe, in questo caso, la continuita.

Malgrado la convergenza inDpq sia molto forte, si puo dimostrare che esi-stono funzionali lineari suDpq che non sono continui. La dimostrazione sibasa su assiomi della teoria degli insiemi (assioma della scelta) e non e co-

struttiva: non permette, cioe, di esplicitare un esempio di funzionale lineare

non continuo suDpq.

5.2 Lo spazio delle distribuzioni D1

Una larga classe di funzioni e inclusa in maniera naturale nelle distribuzioni

giustificando lidea che le distribuzioni costituiscano una generalizzazione del

concetto di funzione.

Per semplicita consideriamo Rn, Dpq D. Una funzione f da Rn a Csi definisce localmente sommabile se

K

|f|pxqdx 8 @ K compatto di Rn


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Lo spazio vettoriale delle funzioni da Rn a C localmente sommabili si indichera

con L1locpRnq. Definiamo il funzionale lineare su DxTf, y

fpxqpxqdx

ben definito poiche

|xTf, y| |f|pxq||pxqdx sup

x||

supp |f|pxqdx 8 @ P D

La maggiorazione precedente mostra inoltre che Tf e continuo su D

(x

Tf, jy

0 quando j

0 in D). Quindi TfPD1.

Si noti inoltre che: fpxq pxqdx 0 @ P D

fpxq 0 q. o. in Rn (provarlo)

e quindi due funzioni localmente sommabili definiscono la stessa distribuzione

se e solo se sono uguali quasi ovunque.

Le funzioni localmente sommabili (meglio: le classi di equivalenza di funzioni

localmente sommabili uguali q.o.) sono quindi immerse nelle distribuzioni.

Esercizio 1 Verificare che 1

|x|n non e localmente sommabile inRn, mentre

e|x|2

lo e.

Le distribuzioni definite da funzioni localmente sommabili sono spesso deno-

minate distribuzioni regolari.

Si possono facilmente trovare distribuzioni in D1 che non sono definite da

funzioni localmente sommabili. Lesempio classico e costituito dalla distri-

buzione y (di Dirac) nel punto yP Rn:

xy, y pyq @ P D


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E immediato verificare che y e un funzionale lineare e che

|xy, jy xy, y| j8

0

se j in D

. Quindi yP D1 exy, y 0,@ P D, con supp pRnztyuq(compatto, essendo in D). Se una funzione f localmente sommabile

definisse la stessa distribuzione, si avrebbe dunqueRn

fpxqpxqdx 0 @ P D supp pRnztyuq

Come precedentemente notato, questo implicherebbe che fpxq 0 q.o. inRnztyu, ovvero q.o. in Rn.Le distribuzioni sono dunque unestensione propria delle funzioni localmente

sommabili.

Diamo alcuni esempi di distribuzioni non regolari

Parte principale di Cauchy o valore principale di Cauchy La funzio-

ne 1

xnon e integrabile su alcun compatto di R contenente lorigine e non e

quindi localmente integrabile. Verifichiamo lesistenza di una distribuzio-

ne p.p. 1x

(Parte principale di 1x

o valore principale di 1x

) che, fuori

dallorigine, coincide con la funzione 1

x. DefiniamoB

p.p.1

x,

F lim

0

|x|

pxqx

dx

per ogni P DpRq.Essendo

|x|L|x|

1

x 0 @ L 0 e tenuto conto del fatto che per ogni P

DpRqesiste un intervallorL, Ls che contiene il supporto di , se ne deduceche una versione alternativa della definizione precedente e la seguente

xp.p. 1x

, y lim0

|x|L|x|

pxq p0qx

dx (5.1)


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Per ogni funzione P DpRq, pxq p0q

x supxPsupp |1pxq| e la funzione

integranda, nel membro di destra della (5.1), risulta limitata e quindi inte-

grabile inr, s. Si ha quindi

xp.p. 1x

, y |x|L

pxq p0qx

dx

con supp rL, Ls.Il funzionale cos definito e evidentemente lineare.

Se 0 in D allora supx |1pxq| 0 exp.p. 1x , y 0 in C. Di conse-guenza se j e una successione di funzioni test che converge in D a allora

xp.p. 1x

, jy xp.p. 1x , y e il funzionale risulta quindi continuo.

Distribuzione superficiale di carica Data una funzione continuaSpyqdefinita su una (ipersuperficie) regolareSdi Rn si definisce

xS, y

S

Spyq pyqdSpyq @ P D

E un semplice esercizio verificare che S e una distribuzione e che non e una

distribuzione regolare.

Osservazione 2 Daremo nel seguito definizioni e proveremo proprieta del-

le distribuzioni che generalizzano analoghe definizioni e proprieta di funzioni

localmente sommabili. Ogni volta che le distribuzioni siano definite da funzio-

ni localmente sommabili, bisognera verificare che le proprieta e le operazioni

corrispondano a quelle classicamente definite sulle funzioni.

Definizione Una successione di distribuzioni intTju P D1, si dira di Cau-chy se le successionixTj , y sono di Cauchy in C per ogni P D. Si diraconvergerea TP D1 se

xTj, y j8

xT, y in C, @ P D


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Esercizio 2 Verificare che se Tj Tfj e T Tf, per fj effunzioni local-

mente sommabili, la convergenza Tfj j8 Tf coincide con la convergenzaq.o. delle funzioni su ogni compatto.

Gli esempi che seguono dimostrano che successioni di funzioni fi localmente

sommabili, che non convergono nel senso delle funzioni, definiscono succes-

sioni di distribuzioni che hanno sempre un limite in D1. Mostreremo anche

esempi di successioni di funzioni convergenti nel senso delle funzioni, ma tali

che la corrispondente successione di distribuzioni non converge alla distri-

buzione definita dalla funzione limite. Al lettore e richiesto di convincersi

che gli esempi di questultimo tipo non contraddicono laffermazione sulla

convergenza di distribuzioni regolari fatta alla fine del periodo precedente.

Esempio Si consideri la successione di funzioni localmente sommabili sulla

retta realefjpxq sinpjxq. Per quasi ogni x non esiste il limite limj8

sinpjxq.La successione non ammette quindi una funzione limite. Integrando per parti

e tenendo conto che le funzioni di DpRq hanno supporto compatto, si ha pero

xTfj , y 88

sinpjxq pxq dx 1j

88

cospjxq 1pxq dx

per ogni P DpRq. Se ne conclude che xTfj , y 0 quandoj 8, per ogni P DpRq, ovvero che la successione di distribuzioni Tfj tende a 0.

Esempio Si consideri la successione di funzioni localmente sommabili sulla

retta reale hjpxq sinpjxqx

. Come nel caso precedente la successione non

ammette limite nel senso della convergenza puntuale di funzioni. Nel senso

delle distribuzioni si ha invece limj8Thj 0. Infatti, per ogni P DpRq

xThj , y 88

sinpjxqx

pxq dx

supp

sinpjxqx

rpxqp0qs dx `

supp

sinpjxqx

p0q dx


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Il primo integrale tende a 0 per il lemma di Riemann-Lebesgue. Se L 0 e

tale che supp rL , Ls il secondo integrale diventasupp

sinpjxqx

p0q dx LL

sinpjxqx

p0q dx p0qj L

j L

sinpxqx

dx

che nel limite j 8 tende a p0q provando il risultato. (Per il calcolodellintegrale col metodo dei residui, si vedano gli esercizi alla fine del capitolo

1).

Unita approssimate Consideriamo in L1

pR

q la classe di unita approssi-

mate che si ottengono per riscalamento di funzioni integrabili non negative

(vedi lesempio nella sezione 3.6). Sia Jpxq P L1pRq con Jpxq 0 q.o. taleche

R

Jpxq dx 1. Abbiamo dimostrato nel capitolo 3 che la successioneJmpxq m Jpm xq e ununita approssimata e che quindi, in particolare,

limm8

88

Jmpxq fpxq dx fp0q

per ogni funzione complessa di variabile reale continua e limitata. Il risul-

tato e quindi certamente vero per ogni funzione P DpRq e si traduce, nel

linguaggio delle distribuzioni, nellaffermazione TJm m8 0.

In particolare scegliendo

Jpxq 1

1

1 ` x2 Jpxq 1

x2 ` 2 1

Im

1

x 1

2

1

x ` 1

x

(dove si e preso 1{m per unificare la notazione con quella tradizionale)si ottiene il risultato, noto come formula di Breit-Wigner

lim0 x2 ` 2 0

Un esempio in Rn si ottiene considerando lunita approssimata, gia definita

al capitolo 3, Jmpxq mnem2|x|2 che tende quindi alla 0 in D1pRnq.


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Si noti che in entrambi gli esempi precedenti le successioni di funzioni tendono

a zero per quasi ogni x mentre le corrispondenti successioni di distribuzioninon tendono alla distribuzione nulla.

Esempio Le funzioni 1

x ` e 1

x sono, per ogni 0, localmentesommabili e definiscono quindi distribuzioni in D1pRq. Per che tende a0 tendono alla funzione 1{x che non e localmente sommabile e non defini-sce quindi una distribuzione. In D1pRq vale pero il risultato (formula diSokhotskj-Plemelji)

lim0

1

x 0 `p.p.1

x

Infatti1

x Re 1

x ` Im 1

x x

x2 ` 2

x2 ` 2La parte immaginaria del limite e dunque0 per la formula di Breit-Wigner. E lasciato come esercizio di verificare che, nel senso delle distribu-

zioni,

lim0

x

x2 ` 2p.p.

1

x

La definizione di convergenza di successioni di distribuzioni in D1 suggerisce

e implica la nozione di convergenza di una serie di distribuzioni alla sua

somma. La serie8

i0Ti di distribuzioni TiP D1 si dira convergere alla somma

TP D1 se la serie di numeri complessi8

i0xTi, y converge axT, y per ogni

P D.

Ad esempio la distribuzione T8i0 ci i, ciP C e ben definita in D1pRqpoiche per ogni P D

xT , y

i:iPsupp ci piq


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che esiste per ogni scelta dei coefficienti ci essendo gli i P supp in numero

finito.

Concludiamo questa sezione con la definizione di supporto di una distri-

buzione inD 1pq. La definizione di supporto di una funzione continua comela chiusura dei punti del dominio in cui la funzione e diversa da zero, data

allinizio della sezione (3.6), e ovviamente inadatta a definire dove sia loca-

lizzata una distribuzione, che non e una funzione di punto. Come nel caso

del supporto essenziale di una funzione definita quasi ovunque, si comincera

col definire la regione in cui una distribuzione e identicamente nulla.

Diremo che una distribuzione TP D1pq e identicamente nullanellaperto1 sexT , y 0@ P Dp1q , cioe sexT , y 0 per ogni funzione ,infinitamente differenziabile, a supporto compatto contenuto in 1.

Conseguentemente si dira che due distribuzioniT eT1 coincidono nellaperto

quando la loro differenza T T1 e identicamente nulla in .

Si dira supporto della distribuzione TP D1pq il complementare in delpiu grande sottoinsieme aperto di in cui la distribuzione T e identicamente

nulla. Alternativamente il supporto di T e caratterizzato come lintersezione

di tutti gli insieme chiusi Ctali che la distribuzione T e identicamente nulla

in zC.

Esercizio 3 Provare che

per ogni funzione f continua, localmente sommabile, si ha supp fsupp Tf;

il supporto della distribuzioneyP D1pq conyP e linsieme chiusotyu costituito dal solo punto y.


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5.3. CALCOLO DIFFERENZIALE IND1 13

Il sottoinsieme lineare E1pq di D 1pq delle distribuzioni a supporto com-

patto in e un sottospazio chiuso di D 1pq: si puo dimostrare che e il dualetopologico dello spazio vettoriale C8pq con la topologia indotta dalla con-vergenza uniforme di tutte le derivate su ogni comparto K , generalmenteindicato con Epq.

5.3 Calcolo differenziale in D1

Per semplicita di notazione in questa sezione considereremo solo distribuzioni

in D1pRn

q.Definizione Sepxq P C8pRnq, il prodotto diper una distribuzioneTP D1e definito dalla

x T , y xT , y @ P D

La relazione precedente definisce la distribuzione TP D1 poiche:

P D @ P C8pRnq, P D

j D

@ P C8pRnq se j D

Definizione Se TP D1, la sua derivata parziale D T, di ordine ||, i volterispetto alla variabile xi, i 1 . . . n, e definita dalla

xDT, y pq|| xT, Dy

La distribuzione e ben definita poiche

D P D @ P D loperazione di derivazione e lineare suD loperazione di derivazione e continua su D :Dj

D

D se j, D


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Se T Tf conf localmente sommabile e con derivate localmente sommabili

fino allordinel P N, alloraDTf TDfper || lpoiche, per integrazioneper parti,

xDTf, ypqRn

fpxqpDqpxqdx Rn

pDfqpxqpxqdx

Nel lemma che segue sono contenuti una serie di risultati che sono conse-

guenza diretta delle precedenti definizioni e della linearita e continuita delle

derivate in D

Lemma 3

Ogni distribuzione TP D1 e infinitamente differenziabile e le derivatesuccessive non dipendono dallordine in cui vengono calcolate

DpDTq DpDTq D` T

Per ogni multi-indice la derivataD e unapplicazione lineare e con-

tinua daD1 aD1. In particolare

seT limm8 Tm allora

D T D p limm8 Tmq limm8 D

Tm

se la serie8

m0Tm converge inD

1 alla distribuzioneT, allora

D T D 8

m0Tm

8m0

D Tm

Se pxq P C8pRn

q e TP D1 allora per la distribuzione prodotto T,definita precedentemente, vale la regola di Leibniz

BBxi p Tq

BBxi T `

BTBxi


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Sia y Ax`b la trasformazione affine di Rn in se stesso definita dalla

trasformazione lineare A, non singolarep| det A| 0q, e dalla traslazioneb P Rn.Per una distribuzione TP D1 definiremo la composizione di Tcon la trasfor-mazione affine y Ax ` btramite la:

xT pAx ` bq, y xT, pA1px bqq| det A| y

In particolare la traslazionebT della distribuzione T e definita:

xbT, p qyxT, p bqy

E facile verificare che luguaglianza definisce una distribuzione in D1. Se

T Tf con f localmente sommabile, luguaglianza e una conseguenza dellaformula per il cambio di variabili nellintegrale:

Rn

fpAx ` bqpxqdx 1| det A|Rn

fpxqpA1px bqqdx

Esercizio 4 Provare chexxT, y e una funzione infinitamente differenzia-bile inx (non necessariamente a supporto compatto)@ P D.

Esempio il dipolo unitario in y di Rn, nella direzione n e la distribuzione

Tdip

xTdip , y lim0x1

y`n, y x1

y, y

BBn pyqquindi il dipolo unitario e definitodalla distribuzioneBBn y.


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Il nome deriva dal fatto che la distribuzioneB

Bn

y applicata al potenziale

di carica puntiforme 1|x| fornisce il potenziale in del dipolo unitario

xBBn y, 1

|x | y B

Bnx1

|x |

pyq

n p yq|y |3

Esempio Sia Hpxq la funzione di Heaviside da Ra C

H

px

q 0 x

0

1 x 0

allora si dimostra che

H1pxq 0Infatti, per ogni P D, dalla definizione discende

xH1 ,

y xH , 1

y 8

0

1

pxq

dx r

p

xqs80

p0q x

0 , y

Piu in generale sia

fpxq f pxq x 0 f pxq x 0

conf ef funzioni derivabili m volte e tali che le funzioni e le loro derivate

abbiano limiti finiti per x che tende a zero rispettivamente da destra e da

sinistra. Utilizzeremo le notazioni

j salto della jsima derivata : j limx0`

fpjq` lim

x0fpjq


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tfpjqu j m la funzione

tfpjqupxq fpjqpxq x 0 fpjq`pxq x 0

Ttfpjqu la distribuzione definita dalla funzione localmente sommabile

tfpjqu.

Con le notazioni precedenti, per integrazioni per parti, partendo dalla defi-nizione, si ricava la formula

dm Tf

d xm Ttfpmqu ` 0pm1q0 ` 1pm2q0 . . . m10

dove con pjq0 abbiamo denotato la derivata jsima della distribuzione 0

xpjq0 , y p 1qj x0 , pjqy p 1qj pjqp0q @ P D

Infatti

xd Tfd x

, y xTf, 1y 08

f pxq1pxq dx 80

f pxq1pxq dx

che per integrazione per parti nei due integrali, tenuto conto che ha sup-

porto compatto, diventa

xd Tfd x

, y f p0qp0q `08

f1pxqpxq dx ` f p0`qp0q `80

f1`pxqpxq dx

0p0q ` 88tf1pxqupxq dx 0x0 , y ` xTtf1u , yche dimostra la formula per la derivata prima. La formula per ogni altra

derivata si ottiene per iterazione dello stesso risultato.


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Esempio Consideriamo la generalizzazione dei risultati dellesempio prece-

dente a Rn n 1.Sia Suna ipersuperficie regolare (le equazioni parametriche che la definisco-

no sono espresse come eguaglianza a zero di funzioni molto regolari), di

dimensionen 1, che divide Rn in due regioni connesse 1e 2. Spuo essereuna ipersuperficie aperta che divide Rn in due regioni infinite o una superficie

chiusa che divide Rn in una regione limitata, interna allipersuperficie, e in

una illimitata, esterna allipersuperficie.

Sia funa funzione da Rn a C

fpxq f1pxq x P 1 f2pxq x P 2

conf1e f2funzioni rispettivamente da 1e 2a C, con tutte le derivate par-

ziali continue fino allordine m e tali da avere limiti finiti sullipersuperficie.

Come nellesempio precedente useremo la notazionetD fu per la funzione(localmente sommabile) che vale D f1 in 1 e D

f2 in 2.

Per integrazione per parti, come nellesempio precedente si ottiene

BTfBxi Tt BfBxi u ` 0 ni S

dove 0pyq per yP S e il salto della funzione f nel punto y della superfi-cie, quindi la differenza dei limiti della funzione f1pxq quando x tende, da1, al punto y sulla superficie, e di quello della funzione f2pxq quando xtende, da 2, allo stesso punto. nipyq indica la componente isima del ver-

sore normale alla superficie in y, entrante nella regione 1 ovvero nipyq npyq i e la distribuzione S e la distribuzione di carica superficiale de-finita precedentemente. (Basta ricordare, o verificare, chepnpyq iq dSdx1 . . . d xi1 dxi`1 . . . d xn).


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Iterando il procedimento otteniamo

B2 TfBx2i

Tt B2fBx2i

u ` i1 niS ` BBxi p0 ni Sq

Tf Ttfu ` n1 S `BBnp0Sq (5.2)

dovei1denota il salto della derivata parzialeisima, n1 il salto della derivatanormale.

E interessante notare come la (5.2) permetta una dimostrazione indipenden-

te di formule classiche dellanalisi vettoriale, conseguenze dei teoremi delladivergenza e di Stokes.

Sia una regione aperta limitata di Rn che ha come bordo una ipersuperficie

S regolare di dimensione n 1 e consideriamo le normali alla superficie Sdirette verso linterno della regione . Sia

fpxq gpxq x P 0 x P Rnz

con g che ha derivate continue fino al secondo ordine (quindi un Laplaciano

localmente integrabile).

Tenuto conto che, in questo caso, tfu g per x P , 0pyq gpyq per yP S e n1

BgBnpyq per yP S, leguaglianza (5.2) tra distribu-

zioni, applicata a una qualunque funzione P D da

xTf,

y xf ,

y gpxq pxq dx xTtfu , y ` xn1 S, y ` x

BBnp0Sq , y

g pxq dx `

S

BgBnpyq pyq dSpyq

S

gpyq BBn pyq dSpyq


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che fornisce la Formula di Green

pgpxq pxq g pxqq dx S

BgBnpyq pyq gpyq

BBn pyq

dSpyq

Esercizio 5 Utilizzando la formula di Green proviamo che inD 1pRnqvale la

1

|x|n2 pn 2q Spnqp1q 0 per n 2 e log 1|x| 2 0 per n 2.

Ricordiamo che con Spnqp1q abbiamo indicato al Cap. 3 la superficie della

sfera unitaria inR

n Spnqp1q

2n2

`n2 .Con calcolo diretto si ricava (provarlo) che, in ogni dimensione n, il Lapla-

ciano di una funzione f : Rn C, che dipenda solamente dal|x|, e datoda

pfqp|x|q d2 f

d|x|2` n 1

|x|d f

d|x|Una funzionefche dipenda solo da|x| e quindi armonica inRnzt0u se

pfqp|x|q d2 f

d

|x

|2p|x|q ` n 1

|x

|

d f

d

|x

|p|x|q 0

ovvero se

d

d|x|

log d f

d|x|

n 1|x| d

d |x|

log 1

|x|n1

che ha soluzioni

$&%

fp|x|q A|x|n2` B n 2

f

p|x

|q Clog 1

|x|`

D n

2

per qualunque scelta di costanti complesse A, B,C,D.

Consideriamo il caso n2. Sia PDpRnq. La formula di Green applicataalla coppia di funzioni e

1

|x|n2 nel volume esterno alla sfera in Rn, di


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raggio r 0, centrata nellorigine, da

|x|r

1

|x|n2pxq dx 1

rn2|x|r

BB|x|pyq dSpyq

n 2rn1

|x|r

pyq dSpyq(5.3)

Poiche la funzione e limitata e ha derivate parziali limitate|x|r

BB|x| pyq dSpyq sup|x|r

BB|x|Spnqprq e

|x|r|pyq p0q| dSpyq sup

|x|r|pxq p0q| Spnqprq

conSnprq rn1 Snp1q (vedi Cap. 3) superficie della sfera di raggio r inRn.In particolare

limr0

1

rn2

|x|r

BB|x|pyq dSpyq 0

limr0

1

rn1

|x|r

ppyq p0qq dSpyq 0

poiche sup

|y

|r

|pyq p0q| tende a0 quando r 0.

Dalleguaglianza (5.3) si ricava quindi

limr0

|x|r

1

|x|n2 pxq dx pn 2qSnp1qp0q

La funzione 1

|x|n2 e localmente sommabile e definisce quindi una distribu-zioneT 1

|x|n2. Il risultato precedente implica che

xT 1|x|n2 , y x 1

|x|n2 , y Rn 1|x|n2 pxq dx pn 2qSnp1qp0qche e il risultato che volevamo dimostrare per n2. Il risultato per n2si dimostra in maniera identica.


23/60


5.4 La trasformata di Fourier in S1

Definizioni e proprieta delle distribuzioni temperate non risultano essere es-

senzialmente diverse da quelle che abbiamo visto per le distribuzioni. Una im-

portante differenza e costituita dal fatto che non tutte le funzioni localmente

sommabili definiscono una distribuzione temperata.

Infatti perche una funzione fdefinisca una distribuzione temperata e neces-

sario che il funzionale

Rn

fpxq pxq dxsia finito per ogni P Se sia continuoinS. Se e una funzione a decrescenza rapida il prodottof non necessaria-

mente decresce allinfinito per ogni f localmente sommabile e, in particolare,

non necessariamente e integrabile. Come esempio si puo considerare il caso

e|x|2 P Se f e|x|2 che e localmente sommabile; il loro prodotto f 1non risulta integrabile.

E facile convincersi che una funzione localmente sommabile definisce una di-

stribuzione temperata se cresce allinfinito al piu polinomialmente, se esiste

cioe unm tale che

|f

px

q| C

p1

`|x

|qm. In questo senso le distribuzioni tem-

perate TP S1 sono una generalizzazione delle funzioni da Rn a Clocalmentesommabili che crescono al piu polinomialmente.

Per motivi analoghi non e definito il prodotto di una distribuzione tempe-

rata per una qualunque funzione P C8pRnq. Infatti perche la definizionexT , y xT , y abbia un senso e necessario che lapplicazione che a P Sassocia la funzione trasformi in maniera continua lo spazio di funzioni te-

st S in se stesso. Per questo la infinita differenziabilita di e condizione

necessaria, ma non sufficiente. La funzione dovra anche crescere al piu

polinomialmente allinfinito perche appartenga a S.

Come avevamo gia notato S1pRnq D1pRnq. Le considerazioni precedenti


24/60

5.4. LA TRASFORMATA DI FOURIER INS1 23

confermano che linclusione e stretta, poiche, per esempio, le funzioni local-

mente sommabili, che crescono piu che polinomialmente, appartengono a D 1ma non a S1. Si dimostra pero che tutte le distribuzioni a supporto com-

patto (lo spazio E1 definito alla fine della sezione 5.2) appartengono a S1. In

effetti abbiamo asserito, senza dimostrarlo, che E1 e il duale topologico dello

spazio E delle funzioni infinitamente differenziabili, con la topologia indotta

dalla convergenza uniforme su ogni compatto. Poiche, come e immediato

verificare, S e incluso in maniera continua in Ene discende che E1 S1 1.Il risultato puo comunque essere provato in maniera diretta mostrando che

per ogni distribuzione T a supporto compatto e per ogni successione pnq

di funzioni in S, convergente in S, esiste una successione di funzioni pnq

convergente in D tale che pnq pnq in ogni punto del supporto di T.

Esercizio 6 Provare che ogni distribuzione a supporto compatto e una di-

stribuzione temperata

Vogliamo generalizzare alle distribuzioni temperate la definizione di tra-

sformata di Fourier per funzioni integrabili (che sono certamente incluse nelle

distribuzioni temperate). Come abbiamo fatto per le altre operazioni lineari

sulle funzioni la definizione delloperazione sulle distribuzioni verra data per

dualita.

Definiremo trasformata di Fourier della distribuzione temperata T

la distribuzione temperata T

xT ,

y xT ,

y (5.4)

La (5.4) definisce una distribuzione temperata poiche lapplicazione econtinua da Sin se stesso (in effetti su se stesso). Nel Cap.3 abbiamo dimo-

1In definitiva si ha la catena di inclusioni D S E e anche E1 S1 D1


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strato alcune proprieta delle trasformate di Fourier di funzioni infinitamente

differenziabili a decrescenza rapida che qui riportiamo:data una funzione P S

pkq Rn

pxqei2 kx dx P S

pxq

pkqei2 kx dkpDqpkq p i2q|| pyxq pkq

zD pkq pi2q|| kpkq

coni 0, 1, . . . , n, || i

i, x

n

i1x

ii , D

B||

Bx11 . . . BxnnDaltra parte, abbiamo mostrato che la trasformata di Fourier di una funzione

a supporto compatto non ha mai supporto compatto. In particolare quindi

ogni funzione di D ha una trasformata di Fourier che certamente non sta in

D. E quindi impossibile definire la trasformata di Fourier in D1. La principale

ragione dellintroduzione delle distribuzioni temperate e appunto quella che,

per tali distribuzioni, e possibile definire la trasformata di Fourier, fornendo

un strumento tecnico di grande importanza nelle studio delle soluzioni debolidi equazioni differenziali alle derivate parziali, come vedremo piu avanti.

Esempio La trasformata di Fourier della distribuzione 0 e la funzione co-

stante fpxq 1@xP Rn; piu in generale la trasformata di Fourier delladistribuzioney con yP Rn e la funzione gpxq e2xy. Infatti

xy, y xy, y pyq Rn

pxqe2xy dx xTg, y

Esempio La trasformata di Fourier della funzione costante fpxq 1 @xPRn e la distribuzione 0. Infatti

xTf, y xTf, y Rn

pkq dkRn

pkq e2kx x0 dk p0q x0 , y


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5.4. LA TRASFORMATA DI FOURIER INS1 25

Gaussiana con varianza immaginaria Sia fpxq eit|x|2 . Essendo f

limitata su tutto Rn definisce una distribuzione temperata Tf:

xTf, y Rn

fpxqpxqdx P S

Poiche sappiamo che per P R`

{e|x|2{ n{2 e|k|2possiamo prevedere che la trasformata di Fourier della distribuzione Tf sia

data da Tg, con g ottenuta ponendo nella relazione precedente 1it

.

In effetti, dalla formula di Parseval, per t 0Rn

et|x|2

pxqdx tn{2Rn

e|x|2{tpxqdx @ P S.

La funzioneFpzq Rn

e2z|x|2 pxqdxe la funzioneGpzq z n{2

Rn

e|x|2{2z pxqdx

sono analitiche per Re z 0 e coincidono sullasse reale (positivo). (Notareche gli integrali convergono per Re z 0 Re1

2z 0).

Fpzq e Gpzq coincidono quindi su tutto il dominio di analiticita Rez 0poiche in tale semipiano semipiano

pF

pz

qG

pz

qqe analitica, e nulla sullasse

reale ed e quindi nulla in tutto il dominio di analiticita.

Per il teorema di dominata convergenza esistono e sono uguali i limiti di Fpzqe Gpzq quando z it, con t reale 0.Per Re z 0 z n{2 1|z|n{2 e

i arg z n{2, con {2 arg z {2Prendendo il limite z itquindi

arg z {2 per t 0arg z

{2 per t

0

Tf Tg, con g 1

itn{2

ei|x|2{t

conpitqn{2 "|t|n{2 ei4 n t 0

|t|n{2 ei4 n t 0


27/60


Esercizio 7 La funzione di Heaviside Hpxq e limitata quindi definisce una

distribuzione temperata. Hpxq non e integrabile quindi la sua trasformata diFourier non e definita nel senso del le funzioni. Provare che

Hpxq 2

1

x

SuggerimentoxTH, y xTH, y lim0

80

ek pkqd k . . ..

Dalla definizione e dalle proprieta della trasformata di Fourier per le fun-

zioni inSdiscendono le proprieta della trasformata di Fourier inS1affermate

nel teorema

Teorema 4 La trasformata di Fourier e un isomorfismo inS1. Valgono le

proprieta

Per ogni funzionefP L1pRnq (quindi localmente sommabile e che noncresce piu che polinomialmente)

Tf

Tf

e la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate e quindi compa-

tibile con limmersione diL1pRnq inS1pRnq.

Esiste un inversa inS1pRnq della trasformazione di Fourier ed e il dualedellinversa inS

T T con xV , y xV , y @ P S VP S1

Valgono le proprieta

DT pi2q||yxTzDT pi2q||kT


28/60

5.5. LA CONVOLUZIONE TRA DISTRIBUZIONI 27

Dimostrazione Se fP L1pRnq e P SpRnq allora la funzione fpxqpq e

certamente integrabile in R2n e vale la successione di uguaglianze

xTf, y xTf, y Rn

fpxq

Rn

e2xpqd dx

Rn

pq

Rn

fpxqe2xdx

d xTf, y

dove si e utilizzato il teorema di Fubini per lo scambio dellordine di integra-

zione.

Le altre proprieta affermate nel teorema sono una semplice conseguenza

della definizione di trasformata di Fourier in S1 e delle equivalenti proprieta

della trasformata di Fourier di funzioni in S e la loro verifica e lasciata al

lettore.

5.5 La convoluzione tra distribuzioni

Se f e g sono funzioni in L1pRnq la loro convoluzione e ben definita e, comeabbiamo visto nel Cap. 3, appartiene a L1pRnq. Le funzionif , g , e f gdefiniscono dunque tre distribuzioni temperate e per ogni funzione test in

S( a maggior ragione per P D) vale la

xTf g, y Rn

pxq

Rn

fpx yq gpyq dy

dx R2n

fpq gpyqp yq d dy

(5.5)cioe appare come il valore che la distribuzione associata alla funzione local-

mente sommabile in R2n fpq gpyq assume sulla particolare funzione test inR2n che si ottiene prendendo una funzione test in Rn e calcolandola in` y.


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Leguaglianza appena scritta sara la guida per la definizione di convoluzione

per distribuzioni in D1 e in S1. Problemi verranno dalla circostanza che sePDpRnq (rispettivamente PSpRnq) non si verifica mai che px ` yq ap-partenga a DpR2nq (rispettivamente a SpR2nq) . La definizione sara quindiristretta a distribuzioni con particolari proprieta di supporto.

Con la notazione

x PRm yPRn px, yq P Rm`n

il prodotto tensoriale tra due funzioni f : Rm C eg : Rn C e definitocome la funzione

fb g : Rm`n C pfb gqpx, yq fpxq gpyqSef : Rm Ce g : Rn Csono localmente integrabili e P C80pRm`nq

px, yq x P Rm, yP Rn

allora supp |fpxq gpyq px, yq| supp px, yq e fpxqgpyqpx, yq e integrabilein Rm`n.

Per il teorema di FubiniRm`n

fpxqgpyqpx, yq dxdyRm

fpxq"

Rn

gpyqpx, yqdy*

dx

Rn

gpyq"

Rm

fpxqpx, yqdx*

dy

Il seguente teorema, che non dimostreremo, permette di generalizzare alle

distribuzioni la definizione di prodotto tensoriale

Teorema 5 seT e una distribuzione inD 1

pRm

q(risp. inS1

pRm

q) eV e una

distribuzione inD1pRnq (risp. inS1pRnq) allora esiste una sola distribuzioneW Tb V inD1pRm`nq tale che per ogni P DpRmq eP DpRnq si abbia

xTb V , b y xT , yxV , y


30/60


Esplicitando per ciascuna distribuzione la variabile su cui opera, per ogni

funzione test px, yq inRn`m si ha Il prodotto e commutativo

xW , y xTxxVy, y y xVyxTx , yy

il prodotto tensoriale e associativopTx b Vyq b Rz Tx b pVy b Rzq Tx b Vy b Rz

Dx

pT

bV

q Dx T

bV

pxqpTb Vq Tb V P C8pRmq (risp. P C8pRmq a crescita al piu polinomiale).

Se T P D1pRnq (risp. S1pRnq) e V P D1pRnq (risp. S1pRnq) l a (5.5)suggerisce la definizione

xT V, y xTx b Vy, px ` yqy @ P C80pRnq prisp. P Sq (5.6)

Come abbiamo gia fatto notare si verifica che entrambe le affermazioni

px ` yq ha supporto limitato in R2n , se ha supporto limitato in Rn

px ` yq P SpR2nq se P SpRnq

sono false. Se, ad esempio, P DpRnq ha supporto compatto KP Rn ilsupporto della funzione px ` yq in R2n e linsieme che si ottiene traslandoK lungo la diagonale secondaria x ` y 0, che non e mai compatto. In

altre parole x ` y puo rimanere in un insieme limitato, malgrado sia x chey vadano allinfinito. Daremo, nel seguito, solo condizioni sufficienti perche

la convoluzione esista in D1 (risp. inS1) individuando casi speciali in cui la

(5.6) definisce correttamente una distribuzione.


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Definizione Due distribuzioni T eV inD 1 si definiscono soddisfare lacon-

dizione del supporto se per ogni compatto KP Rn linsieme (chiuso)KT,V tpx, yq P Rn Rn :x P supp T , yP supp V, x ` yP Ku

risulta compatto in R2n.

E chiaro che la condizione del supporto costituisce una condizione suf-

ficiente perche la (5.6) sia una definizione ben data in D1: siano infatti T

e Vdue distribuzioni che soddisfano la condizione del supporto, per ogni

P DpRnq sia KT,V linsieme compatto definito precedentemente e relativoa K supp . Sia px, yq P C80pR2nq una funzione infinitamente differen-ziabile a supporto compatto con px, yq 1@px, yq P KT,V (abbiamo vistonel Cap.3 che una tale funzione esiste e ne abbiamo dato una espressione

esplicita). Valgono allora le due proprieta

px, yq px ` yq P DpR2nq

xTx

bVy,

px, y

q

px

`y

qy non puo differire da

xTx

bVy,

px

`y

qypoiche ognipx, yq P R2nzKT,V e esterno apsupp T supp Vqtpx, yq :px ` yq P supp u

Intesa come applicata alla funzione px, yq px ` yqla (5.6) definisce quindiun funzionale lineare su D se T e V soddisfano la condizione del supporto.

E facile verificare che il funzionale e continuo.

Se una delle distribuzioni ha supporto compatto la condizione del sup-

porto e certamente valida: e vero infatti che se x(risp. y) appartiene ad uninsieme limitato di Rn e anchex ` y appartiene ad un insieme limitato di Rnallora y (risp. x) appartiene ad un insieme limitato di Rn e, di conseguenza

px, yq appartiene ad un insieme limitato di R2n. Limitandoci al caso in cui


32/60


una delle distribuzioni sia a supporto compatto, partendo dalla definizione

(5.6) si dimostrano facilmente i teoremi:

Teorema 6 : Sia TP D1 e sia V P D1 a supporto compatto. Sia P D,allora

xT V, y xTx b Vy, px ` yqy

( xTxb Vy, pyqpx ` yqy con P D, supp supp V, pyq 1, yPsupp V) definisce in maniera unica una distribuzione inD1.

Valgono le proprieta

a) T V V T

b) DpT Vq DT V T DV

c)@TP D1 si ha0 T T 0 T

Vale inoltre che

d) se P D eVP D1 alloraT V esiste ed e uguale aTV

e) se V P D1 ha supporto compatto e f e una funzione infinitamentedifferenziabile, allora la convoluzione V Tf esiste ed e una funzioneinfinitamente differenziabile. Si haV Tf TV f

Dimostrazione Essendo in tutti i casi una delle distribuzioni a supporto

compatto la proprieta del supporto e sempre soddisfatta, in qualunque ordinela convoluzione venga definita.

La commutativita del prodotto tensoriale nella definizione (5.6) implica la

commutativita della convoluzione (proprieta a)).


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La proprieta b) e una conseguenza della definizione di derivata D di una

distribuzione e del fatto che Dx px ` yq Dy px ` yq. InfattixDpT Vq , y p1q|| xpT Vq , D y

p1q|| xpTb Vq px, yq , D px ` yqy p1q|| xTxxVy, Dy px ` yqyy p1q|| xTx ,xpDVq pyq , px ` yqyy xpT DVq px, yq , px ` yq y y xT DV , y

La proprieta c) e una conseguenza immediata della definizione

x0 T , y x p0 b Tq px, yq , px ` yq y xTyx0pxq , px ` yq y yxT , y

La prova delle proprieta d) e e) e lasciata come esercizio.

Analoghi risultati per le distribuzioni temperate sono raccolti nel seguen-

te:

Teorema 7 :

a) Sia TP S1 e sia P S. AlloraxpT q , y xT , y @P S,con pxq pxq, definisce la distribuzione temperata T la cuitrasformata di Fourier soddisfa

zT Tb) Sia T P S1 e sia V P D1 a supporto compatto. Allora T V e una

distribuzione temperata che soddisfa le proprieta

DpT Vq DT V T DV

{T V T V


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5.6. APPLICAZIONI 33

Dimostrazione Sappiamo che la convoluzione di due funzioni in S appar-

tiene ancora a S. In piu lapplicazione che a P S associa e continuain S. La relazionexpT q , y xT , y @P Sdefinisce quindi unadistribuzione temperata e si ha

x{pT q , y x pT q , y xT , y xT ,- y xT ,| qy xT , y xT , y

che prova la a).

Non daremo qui la prova di b) che si basa sul fatto che la trasformata

di Fourier di una distribuzione a supporto compatto (quindi temperata) e

una funzione infinitamente differenziabile le cui derivate hanno crescita al

piu polinomiale.

5.6 Applicazioni

In questultimo paragrafo mostreremo alcuni esempi di applicazione della

teoria delle distribuzioni allanalisi qualitativa e quantitativa delle soluzioni di

equazioni differenziali a coefficienti costanti di interesse nella Fisica Teorica.

Trattandosi di un corso introduttivo rinunceremo a una trattazione rigorosa

e generale. Ci limiteremo a trattare casi specifici: lequazione di Poisson,

lequazione di Helmoltz, lequazione di Schrodinger e lequazione delle onde.

Inizialmente i problemi verranno solo analizzati in tutto Rn. Particolari pro-

blemi con condizioni al bordo su domini limitati diRn

saranno analizzatisinteticamente alla fine del paragrafo. Il caso n 1, cioe il caso di equazionidifferenziali ordinarie per funzioni della veriabile reale t0, con condizioniassegnate in t 0 , viene risolto sfruttando le proprieta della convoluzione


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per distribuzioni sulla retta reale positiva, dando luogo al cosiddetto calco-

lo simbolico. Non tratteremo il calcolo simbolico che verra sintetizzato inunappendice alla fine del capitolo.

Ancora ricorrendo alla notazione multiindice , sia Ppxq un polinomio digrado mnelle n variabilipx1, . . . xnq x P Rn a coefficienti complessi c

Ppxq

||mcx

.

SiaPpDq loperatore differenziale, a coefficienti costanti, che si ottiene sosti-tuendox nel polinomio con loperatore di derivazione D :

PpDq ||m

cD.

Come abbiamo gia notato (paragrafo (5.3)), PpDq trasforma in maniera con-tinua D (risp. S) in D (risp. S) e per dualita trasforma D1 (risp. S1) in D1

(risp. S1).

Sia VP D1 rispettivamente VP S1. Se esiste una distribuzione T (risp. unadistribuzione temperata) che soddisfa leguaglianza PpDq T V ovvero se

@

PD (rispettivamente

PS)

xPpDq T , y ||m

p1q||xT , D y xV , y (5.7)

allora T si dira una soluzione debole (risp. debole temperata) della

equazione differenziale.

Unimportante branca della teoria analizza il problema della regolarita delle

soluzioni deboli (5.7). Si tratta cioe di stabilire quali operatori differenziali

siano tali che ogni soluzione debole della (5.7), con V sufficientemente rego-

lare, sia anche una soluzione forte: con questo si intende che la soluzioneabbia derivate continue fino allordine m e che luguaglianza sia verificata co-

me uguaglianza puntuale di funzioni continue. Queste note non esploreranno

questo problema.


36/60


Una distribuzione (risp. una distribuzione temperata) F si dira una solu-

zione fondamentale relativa alloperatore differenziale PpDq se soddisfa,nel senso delleguaglianza di distribuzioni,

PpDq F 0

Dimostreremo solo la parte piu elementare del seguente teorema sulle solu-

zioni deboli (quindi in D1)

Teorema 8 Per ogni PpDq della forma indicata precedentemente esiste al-meno una soluzione fondamentale inD1.

L equazione differenzialePpDqT Vammette almeno una soluzione inD1per tutte le distribuzioniV che soddisfano la proprieta del supporto con una

soluzione fondamentale F relativa a PpDq. In tal caso la soluzione ha laforma

T F VIn particolare la soluzione esiste sempre se il supporto diV e limitato.

Dimostrazione Non dimostreremo la prima parte del teorema riguardante

lesistenza di almeno una soluzione fondamentale. SiaFuna tale soluzione.

Poiche la coppiapF , Vq soddisfa la proprieta del supporto, la convoluzionetra le due distribuzioni e ben definita e

PpDqpF Vq pPpDqFq V 0 V V

come asserito nella seconda parte del teorema.

Per quanto riguarda le soluzioni deboli temperate, la forma dellequazione

suggerisce luso della trasformata di Fourier. Formalmente

PpDqT 0 Pp2kqT 1 (5.8)


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La (5.8) sembra indicare che la soluzione fondamentale possa essere lanti-

trasformata dellinverso del polinomio Pp2kq. Lintuizione e certamentefruttuosa se il polinomio non ha zeri in Rn mentre deve essere ulteriormente

elaborata se lequazione Pp2kqT 0 ha soluzioni in S1 e/o se linverso delpolinomio non definisce una distribuzione temperata.

Riportiamo, senza prova, un teorema generale di esistenza, per poi procedere

a esempi specifici di utilizzo della trasformata di Fourier di distribuzioni per

il calcolo delle soluzioni fondamentali di alcune equazioni differenziali alle

derivate parziali a coefficienti costanti.

Teorema 9 SiaPun polinomio inn variabili a coefficienti complessi e sia

VP S1. Allora

esiste almeno una distribuzione temperata Tche soddisfa la relazione

P T V.

La soluzione e unica se il polinomio P non ha zeri reali.

Loperatore differenzialePpDq ha almeno una soluzione fondamentaleFP S1.

SePp2kq non ha zeri reali la soluzione fondamentale e unica.

SeVPS1 allora esiste almeno una distribuzione temperataT tale chePpDqT Ve ha la formaT F V

Negli esempi che seguono utilizzeremo la trasformata di Fourier e la con-voluzione di distribuzioni temperate per il calcolo delle soluzioni fondamentali

di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali rilevanti per la Fisica

teorica e applicata


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Equazione di Poisson Abbiamo gia mostrato (vedi lesercizio 5) che

1pn 2q Spnqp1q |x|n2

0

per n 2 e

1

2log

1

|x|

0

per n

2.

Conosciamo quindi soluzioni fondamentali del Laplaciano in ogni dimensione.

Altre soluzioni fondamentali in D1 si ottengono sommando, a quelle date

sopra, soluzioni della equazione omogenea f 0 (funzioni armoniche) chesono tutte localmente sommabili e quindi definiscono una distribuzione. Allo

stesso modo si possono trovare soluzioni fondamentali temperate aggiungendo

a quelle date sopra funzioni armoniche che siano a crescita al piu polinomiale.

La specificazione e necessaria perche esistono funzioni armoniche, localmente

sommabili, ma la cui crescita non e polinomiale: per n 2, ad esempio, lafunzioneex1 cos x2 e armonica ma cresce nella direzione 1 piu rapidamente di

qualunque polinomio.

Vediamo come ottenere il risultato utilizzando la trasformata di Fourier.

LequazioneFL 0 si legge, in trasformata di Fourier,

42|k|2FL 1

La funzione 142|k|2 e una funzione localmente sommabile solo in dimen-

sione n 3. Non e quindi immediato ritrovare le soluzioni fondamentali giacitate, servendosi della trasformata di Fourier, in dimensioni n 1e 2. Per


39/60


n 3 si ha per ogni P S

xFL , y xFL, qy R3

142|k|2

R3

e2kx pxq dx dk lim

R8

|k|R

1

42|k|2

R3

e2kx pxq dx

dk

limR8

R3

|k|R

e2kx

42|k|2 dk

pxq dx

limR8

R3

R0

2|k|2

0

e2|k||x| cos

42|k|2 sin d

d|k|

pxq dx

limR8 R3 R

0

1

2 sinp2|k| |x|q|k| |x| d|k|pxq dx

R3

pxq4|x| dx xT 14|x| , y

dove si e utilizzato il teorema di Fubini per lo scambio dellordine di integra-

zione e il fatto che

88

sin y

y dy . Abbiamo quindi ritrovato il risultato

ottenuto precedentemente per n 3.

Conoscendo la soluzione fondamentale siamo ora in grado di esplicitare

le soluzioni del problema con sorgenti (equazione di Poisson). Limitandocial caso di una distribuzione di sorgenti a supporto compatto (che certamente

soddisfa la proprieta del supporto assieme alla soluzione fondamentale) si ha:

Teorema 10 Se T P D1pRnq e a supporto compatto allora una soluzionedellequazione di Poisson

V T

e la distribuzioneFL T.

Il teorema generalizza lequazione di Poisson (e la formula per il potenziale

di una carica distribuita in maniera continua in una regione limitata) a sor-

genti di campo che sono definite solo come distribuzioni (cariche puntiformi,


40/60


distribuzioni di carica o di dipoli su una superficie etc.).

In particolare pern 3 e T T, condistribuzione continua di sorgenti inuna regione limitata, troviamo la formula classica del potenziale coulombiano

Vpxq R3

pyq4|x y| dy

Equazione di Helmholtz Lequazione di Helmoltz per la soluzione fonda-

mentale FH FH 0 in trasformata di Fourier risultap42|k|2

q FH 1. Per reale positivo il polinomio 42

ni1 k

2

i` non ha zeri rea-li. Lunica soluzione temperata si ottiene allora come antitrasformata della

funzione localmente sommabile (per ogni n) 142|k|2` . Il calcolo risulta

semplice per n 1 e per n 3. E lasciato come esercizio verificare che

FH e?

|x|

2?

n 1

FH 14

e?

|x|

|x

|

n 3

Equazione del calore La soluzione fondamentale dellequazione del calore

in n dimensioni spaziali e una temporale soddisfa lequazione

BFCBt FC 0

che, in trasformata di Fourier, si legge

p2k0 ` 42n

i1k2i qFC 1

Si tratta dunque di calcolare:

FCpt, xq 12

Rn

dk

88

e 2 k0t` 2 k x

k0 ` 2 |k|2dk0

. (5.9)


41/60


Per lintegrazione in k0 si utilizza il metodo dei residui su un semicerchio

di centro lorigine, contenuto nel semipiano Imk0 0. Il lemma del cerchiogrande e il teorema dei residui implicano che, per t 0 si abbia1

88

e 2 k0t

k0 2 |k|2 d k01

2Resk0 2 |k|2

e2 k0t

k0 2 |k|2

2 e42 t |k|2.

Da cui

FCpt, xq Rn

e42 t |k2|` 2 k x d k.

FCpt, xq risulta quindi lantitrasformata in Rn della gaussiana e42 t |k|2. Nel

terzo capitolo abbiamo provato chepGpkq n{2 e |k|2 e la trasformata diFourier di Gpxq e |x|2{.Prendendo 4 t si ottiene dunque

FCpt, xq 1p4 tqn{2 e |x|2

4 t t 0. (5.10)

Per t 0, lintegrale, calcolato con il metodo dei residui, utilizzando uncerchio nel semipiano Imk0 0, fornisce FCpt, xq 0. Si ha quindi indefinitiva

FCpt, xq Hptqp4 tqn{2 e|x|2

4t (5.11)

conHptq funzione di Heaviside. Lequazione del calore descrive vari fenomenidi evoluzione indagati dalla Fisica Classica. In particolare levoluzione del

campo di temperatura in un mezzo in cui il calore si propaga esclusivamente

per conduzione o la densita di un soluto che diffonde in un solvente.

Nella maggioranza dei casi pratici i problemi di evoluzione si presentano

nella maniera seguente: accertati i valori delle quantita fisiche rilevanti ad

un tempo t0, prevedere la loro evoluzione per tempi successivi a t0.Allinterno del modello teorico, che vuole descrivere il processo di evoluzione,

la possibilita predittiva si traduce della ricerca di soluzioni del problema di

Cauchy per le equazioni del modello.


42/60


Al quadro delineato precedentemente si aggiunge la necessita di formalizzare

nel modello leffetto dellambiente esterno al sistema in esame. Questo sitraduce nellaggiunta di termini di sorgente nellequazione e in piu o meno

complicate condizioni al bordo, sulla frontiera della regione che contiene

il sistema in esame, che le soluzioni delle equazioni devono soddisfare.

Analizziamo, nel caso dellequazione del calore, il problema di Cauchy in

tutto Rn:BBt TT V con Tp0, xq T0pxq. (5.12)

Per esemplificare, siaTpx, tq la temperatura in un punto x, al tempot, in unmezzo solido (assenza di moti convettivi). Lequazione del calore sintetizza

le due leggi:

il calore fluisce nella direzione e proporzionalmente al gradiente della

temperatura (dalle parti piu calde a quelle piu fredde);

la temperatura in un punto cresce proporzionalmente alla divpTq T, cioe al flusso di calore, per unita di volume attorno a quel punto.

I coefficienti di proporzionalita, conducibilita termica e calore specifico, sono

stati fissati ad un valore unitario.

LaVnella (5.12) indica leffetto di sorgenti esterne che immettono (o tolgono)

calore in qualche punto del mezzo. A V e richiesto di essere una distribuzione

di cui si possa fare la convoluzione con la soluzione fondamentale che abbiamo

trovato.

Con un ragionamento di cui non giustificheremo il dettaglio, le condizioniiniziali possono essere inglobate nelle sorgenti: siaTexpx, tq la funzione che siottiene estendendo ai tempi t 0 la soluzione Tpx, tq ponendo il suo valore,per tempi negativi, a 0:


43/60


Texpx, tq "Tpx, tq t 00 t 0La distribuzione Texpx, tq, definita dalle due funzioni regolari Tpx, tq e 0,rispettivamente in ` tpx, tq| t 0u e tpx, tq| t 0u, soddisfa

B2Bx2 Tex

"B2Bx2 Tex

* BBt Tex

" BBt Tex

*` T0 0 (5.13)

dove abbiamo scelto la normale allipersuperficie t 0 con il verso dei tcrescenti, da cui

BBn

BBt

.

Lequazione del calore per la distribuzione Tex diventa

BBt Tex

B2Bx2 Tex Vex ` T0

ptq0

(con Vex estensione della distribuzione delle sorgenti a t 0 con la distri-buzione nulla).

La conoscenza della soluzione fondamentale (unica in questo caso) ci permet-

te quindi di dare unespressione esplicita dellunica soluzione del problema di

Cauchy per lequazione del calore:

Tpx, tq FC

Vex ` T0ptq0

FC Vex ` ptq0 Rn

FCpt, x yqT0pyqdy

FC Vex `Rn

FCpt, x yqT0pyqdy.(5.14)

Nel caso in cui le sorgenti siano descritte da una funzione continua px, tq:

Tpx, tq 80Rn

FCpt s, x yqpy, sq dtdx

Esercizio 8 Dare lespressione della soluzione dellequazione del calore sen-

za sorgenti: sulla semiretta reale positiva, con le condizioni iniziali e al bordo


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seguenti

BBt Tpt, xq `Tpt, xq Tp0, xq T0pxq x P r0, 8q$&% Tpt, 0q 0 @toppureB

B x Tpt, 0q 0 @ t

Suggerimento: estendere le condizioni iniziali a tutta la retta reale come

funzioni pari o dispari a seconda delle condizioni in0. Risolvere il problema

su tutta la retta reale, verificando che le condizioni nellorigine rimangano

verificate a tutti i tempit.

Come ultimo caso affronteremo lo studio delle soluzioni del problema di Cau-

chy per lequazione del calore, in un intervallo della retta reale, per condizioni

al bordo omogenee.

Perx P r0, Ls consideriamo il problema di CauchyBBt T T Tp0, xq T0pxq x P r0, Ls

con $&% Tpt, 0q Tpt, Lq 0 @t

oppureBB x Tpt, 0q BB x Tpt, Lq 0 @t

tradizionalmente di utilizza, per la ricerca delle soluzioni, il metodo della

separazione delle variabili e la serie di Fourier. Commenteremo, alla fine, su

quanto la soluzione di questo problema abbia a che fare con la teoria spettrale

delloperatore Laplaciano in L2r0, Ls.

Cerchiamo soluzioni cosiddette stazionarie dellequazione del calore, soluzionicioe della forma

Tpt, xq UpxqVptq.


45/60


Se T e soluzione dellequazione del calore si deve avere che

U2pxqUpxq

V1ptqVptq

che non possono essere uguali per ogni x e per ogni t a meno che entrambe

le funzioni non siano uguali ad una costante reale, che indicheremo con.Le soluzioni di V1ptq Vptq, che non crescano esponenzialmente al cre-scere di t, sono del tipo Vptq C e t, con 0 e C costante.Consideriamo prima le condizioni al bordo omogenee di Dirichlet:

Tpt, 0q Tpt, Lq 0 Up0q UpLq 0.Le soluzioni dellequazione U2pxq Upxq, 0, che si annullano nello-rigine e in x L, sono

Unpxq sinn

Lx

@n 1, 2,...

con?

n L

.

Sono quindi soluzioni stazionarie dellequazione del calore le funzioni

TDnpt, xq C en22

L2 t sin

nL

x

n 1, 2, . . . .Nella famiglia di soluzioni:

Tpt, xq

n

cnTD

npt, xq 8

n1cne

n22L2

t sinn

L x

soddisferanno le condizioni iniziali Tp0, xq T0pxq le soluzioni per le quali

T0pxq 8

n1 cnsinn

Lx . (5.15)

Come sappiamo

#c2

Lsinn

Lx+8

n1e una base ortonormale in L2p0, Lq,

(vedi capitolo tre). Esiste quindi una, e una sola, scelta dei coefficienti


46/60


cn, data dai coefficienti di Fourier della funzione T0pxq rispetto alla base

(moltiplicati per aL{2), per cui la (5.15) risulta verificata.Consideriamo ora le condizioni al contorno omogenee di Neumann

BBx Tpt, 0q

BBx Tpt, Lq 0 @t

d U

d xp0q d U

d xpLq 0

Procedendo come precedentemente, si ottengono le soluzioni stazionarie

dellequazione del calore, con condizioni al bordo di Neumann

TNn

pt, x

q C e

n22

L2 t cos

n

L

x n 0, 1, 2 . . .Si noti che per n0 si ha la soluzione stazionaria TN0pt, xq Cche certa-mente soddisfa lequazione e le condizioni al bordo.

Ancora, essendo 1?

L,

#c2

Lcosn

Lx+8

n1una base inL2p0, Lq esiste una

sola scelta dei coefficienti cn che rende la funzione

Tpt, xq

ncnT

Dnpt, xq c0`

8

n1cne

n22L2

t cosn

L x

soluzione del problema di Cauchy, con condizioni al bordo omogenee di

Neumann, nellintervallor0 , Ls.

Vogliamo ora tradurre il risultato appena ottenuto in termini di propriet a

spettrali delloperatore Laplaciano, in L2p0 , Lq , con condizioni al bordoomogenee di tipo Dirichlet e Neumann.

Il sistema ortonormale

#wnpxq

c2

Lsinn

Lx+8

n1e completo inL2p0 , Lq

e ogni wn soddisfa le condizioni al bordo di Dirichlet wnp0q

wnp

Lq. Lope-

ratoreD con dominio

DD#

P L2p0 , Lq 8

n1

n44

L4 |pwn , q|2 8

+


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e azione

D 8

n1

n22

L2 pwn , q wn

e tale che ogni elemento wn della base e, per definizione, un suo autovettore,

relativo allautovaloren22L2

.

Loperatore e quindi autoaggiunto, ha spettro discreto e la sua decomposi-

zione spettrale e esplicita

D8

n1n

22

L2 Pn

con Pn proiettore sullelemento n-simo della base: Pn pwn , q wn.In termini delloperatore D il problema di Cauchy in L

2p0 , Lq e quello ditrovare la funzione t da t r0 ,8q in L2p0 , Lq che soddisfa

d t

d t Dt 0

(dove le condizioni al bordo sono gia contenute nella definizione del Lapla-

ciano di Dirichlet).

La conoscenza della decomposizione spettrale delloperatore permette di dare

una forma esplicita della soluzione

t eDt 8

n0e

n22

L2 t Pn

che coincide con quella trovata precedentemente con T0.

Loperatore N con condizioni di Neumann si costruisce in maniera analoga

utilizzando la base 1?L

, #c 2L

cos nL

x+8n1

tutta costituita da autovet-

tori di N relativi agli autovalori 0 ,

"n

22

L2

*8n1

.


48/60


Equazione di Schrodinger libera. Lequazione di Schrodinger (dove si e

posto m 1{2 e 1) per lampiezza di probabilita di una particellaquantistica in Rn, non soggetta a forze esterne e:

BBt . (5.16)

La soluzione fondamentale relativa alloperatore BBtpuo essere cercata

tra le distribuzioni temperate in Rn`1 che soddisfino:

`2 k0 ` 42|k|2pFS 1. (5.17)Contrariamente al caso dellequazione del calore il polinomio in pk0, k1,...,knqche moltiplicapFSha una infinita di zeri reali, perk0 2 |k|2. In particolare`2 k0 ` 42 |k|21 non e localmente integrabile e non definisce quindi unadistribuzione temperata.

Esercizio 9 Provare che 12

p.p.

1

k0

2

|k

|2

(dove p.p. indica la par-

te principale nella variabile k0) e una soluzione della (5.17) e, calcolandolanti-trasformata di Fourier in k0 prima e nelletkiuni1 dopo, calcolare lacorrispondente soluzione fondamentale.

Di seguito cercheremo la soluzione fondamentale analizzando lequazione che

si ottiene per trasformazione di Fourier nelle sole variabili spazialitxiuni1.SiarFSpt; k1, k2,...,knq la famiglia di distribuzioni (parametrizzata da t) chesoddisfa la

dd t

` 42 |k|2rFS 1pkqptq0 (5.18)che si ottiene dallequazione per la soluzione fondamentale per trasformazione

di Fourier nelle sole variabili spaziali.


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Verifichiamo cherFS Hptq e 42|k|2t

e una soluzione della (5.18). Infatti

d

d t

Hptq e 42|k|2t

Hptq p4

2|k|2q

e 42|k|2t ` ptq0

e 42|k|2t

p42|k|2q rFS ` ptq0(5.19)

(dove si e utilizzata leguaglianza pxq0 p0q 0).Una soluzione fondamentale e data dunque dallantitrasformata, nelle varia-

bili spaziali, della

rFS:

FS Hptq Rn

e 2kxe 42|k|2tdk. (5.20)

Come abbiamo visto in un esempio del paragrafo 5.4, la formula per la

trasformata di Fourier di Gaussiane con varianza in R`:{e

|x|2

n{2e |k|2

rimane vera per distribuzioni gaussiane con varianza puramente immaginaria.

Si ha quindi (con 4 t):

FS Hptqp4 tqn{2 e|x|

2

4 t

che e la soluzione fondamentale per lequazione di Schrodinger.

Come nel caso dellequazione del calore la soluzione del problema di Cauchy

in Rn

BBt p0, xq 0pxq

tradotta in soluzione dellequazione con sorgenti

BBt 0pxqptq0per t 0, ha la forma

px, tq FS

0 ptq0

1p4 tqn{2

Rn

e|xy|2

4 t 0pyqdy


50/60


E facile verificare che, anche nel caso in cui 0pyqsia diversa da 0 in una

regione limitata di Rn, px, tq e diversa da 0, per ogni t 0, in punti comun-que lontani dal supporto di 0

2. Come nel caso dellequazione del calore la

velocita di propagazione risulta infinita per le soluzioni dellequazione di

Schrodinger.

Le soluzioni dellequazione di Schrodinger in un intervallo limitato r0 , Lsdella retta reale, con condizioni omogenee di Dirichlet e di Neumann, si

trovano seguendo gli stessi passi fatti nel caso dellequazione del calore.

Siapx, tq la soluzione del problema di Cauchy per lequazione di Schrodinger

BBt p0, xq 0pxq x P r0, Ls

con $&%pt, 0q pt, Lq 0 @t

oppureBB xpt, 0q BB xpt, Lq 0 @t

Le soluzioni stazionarie dellequazione di Schrodinger sono

Dn pt, xq C en

22

L2 t

sinnLx n 1, 2, . . . .nel caso delle condizioni di Dirichlet e

Nn pt, xq C en22

L2 t cos

nL

x

n 0, 2, . . . .

nel caso delle condizioni di Neumann. La soluzione del problema di Cauchy

ha quindi la forma

pt, xq 8

n1ane

n22

L2 t sinn L xper le condizioni di Dirichlet e

2e|xy|

4t 0, @|x y| se t 0


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pt, xq c0`8

n1cne

n22

L2 t cosn L xper le condizioni di Neumann. Nelle formule precedenti i coefficienti an(risp.

cn) sono i coefficienti di Fourier, moltiplicati per L{2, della funzione 0 ri-spetto alla base di L2p0 , Lq

#c2

Lsinn

Lx+8

n1(risp. rispetto alla base

1?L

,

#c2

Lcosn

Lx+8

n1).

Ancora, come nel caso dellequazione del calore, la soluzione si puo sintetiz-zare in termini della schiera spettrale degli operatori Laplaciano di Dirichlet

e di Neumann D e N

t eDt 08

n1e

n22

L PpDqn 0 nel caso di condizioni di Dirichlet

t eNt 08

n0e

n22

L PpNqn 0 nel caso di condizioni di Neumann

dove PDn e PN

n sono i proiettori sugli autovettori delloperatore Laplaciano

rispettivamente di Dirichlet e di Neumann.

Equazione delle Onde Lequazione delle onde e presa a modello di equa-

zione di evoluzione in molti campi della Fisica Fondamentale e Applicata. I

campi elettrici e magnetici lontani dalle sorgenti, i potenziali elettrodinamici,

il campo di velocita delle onde acustiche in un gas, il campo di deformazione

in un mezzo elastico etc., soddisfano lequazione delle onde.

Lequazione delle onde, con sorgenti assegnate, per un campo scalare v ha

la forma1

c2B2vBt2 v


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dove la costante c ha le dimensioni di una velocita.

Per trovare soluzioni fondamentali temperate FOin S1dello spazio-tempo (didimensionen`1) possiamo scrivere lequazione per la soluzione fondamentalein trasformata di Fourier

42

k20

c2` |k|2

FO 1 con |k|

nj1

k2i . (5.21)

Il polinomio ink0, k1 . . . kn ha pero una ipersuperficie di zeri c| k| k0 e lafunzionepk

20

c2` |k|2q1 non e localmente integrabile.

`E possibile cercare soluzioni della (5.21) come combinazione lineare delledistribuzionip.p.

1

|k| k0c

e/o 1

|k| k0c .

Noi utilizzeremo invece lequazione che si ottiene prendendo la trasformata

di Fourier nelle sole coordinate spaziali, operando in modo analogo a quanto

fatto nel caso dellequazione di Schrodinger.

Lequazione di cui dobbiamo cercare soluzioni e dunque la1

c2d2

dt2` 42|k|2

F

pt,kqO ptq0 1pkq (5.22)

poichefkptq A sinp2c|k|tq` Bcosp2c|k|tq, conA e B costanti complesse,e la soluzione generale di

1

c2d2fk

dt2` 42|k|2 fk 0

cercheremo una soluzione della (5.22) nella forma Fpt,kq

O Hptqfkptq. Ilcalcolo esplicito delle derivate rispetto al tempo fornisce

ddt

pHptqfkq Hptq rA2c|k| cosp2c|k|tq B2c|k| sinp2c|k|tqs ``ptq0 rA sinp2c|k|tq ` Bcosp2c|k|tqs

Hptq rA2c|k| cosp2c|k|tq B2c|k| sinp2c|k|tqs ` Bptq0


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essendo sinptqptq0 0 @ P R. La derivata successiva fornisce

d2

dt2pHptqfkptqq ptq0 rA2c|k| cosp2c|k|tq B2c|k| sinp2c|k|tqs

42c2|k|2Hptqfkptq ` Bpptq0q1

ptq0 A2c|k| 42c2|k|2Hptqfkptq ` Bpptq0q1

Perche H fk sia soluzione della (5.22) bastera porre B 0 e A 12c|k| .

Una soluzione della (5.22) e quindi

Fpt,kqO,` Hptq sinp2c|k|tq2c|k|

E facile verificare che anche

Fpt,kq

O, Hptqsinp2c|k|tq

2c|k|

e una soluzione fondamentale, essendo d

dtpHptqq ptq0 . Si noti che en-

trambe le soluzioni sono funzioni limitate e definiscono quindi una distri-

buzione temperata. Lo stesso varra quindi per la soluzione fondamentale,

antitrasformata, nelle sole variabili k, della Fpt,kq

O,. Utilizzeremo nel seguito la

sola Fpt,kq

O,` che fornisce la soluzione del problema di Cauchy per tempi positivi,

date le condizioni iniziali a t 0. La Fpt,kqO, puo essere utilizzata in manierasimile per risolvere il problemi di Cauchy per tempi negativi e valori finali

assegnati a t 0. I dettagli di questo secondo caso non verranno riportatinel seguito.

Il problema di Cauchy per lequazione delle onde, in assenza di sorgenti, hala forma

1

c2B2vBt2 v 0 vp0, xq fpxq

BvBt p0, xq gpxq. (5.23)


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La conoscenza della velocita di variazione del campo v a tempo 0 e necessaria

perche lequazione delle onde fissa solamente laccelerazione del campo, aciascun tempo t, in termini della sua configurazione spaziale. Per semplicita

assumeremo che le funzioni f e g siano continue e a supporto compatto.

Prendendo la trasformata di Fourier rispetto alle sole coordinate spaziali si

ottiene

1

c2d2v

dt2` 42|k|2v 0 vp0, kq fpkq dv

dtp0, kq gpkq.

Se le condizioni iniziali vengono inglobate, come termine di sorgente nelle-

quazione (vedi (5.13)), si ottiene in questo caso

1

c2B2vBt2 v fpxqp

ptq0q1 ` gpxqptq0

ovvero, in trasformata di Fourier delle sole variabili spaziali

1c2

d2

vdt2

` 42|k|2v fpkqpptq0q1 ` gpkq ptq0 .

La soluzione si trova per convoluzione della soluzione fondamentale con il

termine di sorgente. Per le proprieta della trasformata di Fourier della con-

voluzione, la trasformata di Fourier nelle sole variabili spaziali della soluzione

sara

vpk, tq

Fpt,k

qO, fpkq

t

ppt

q0q1 ` Fp

t,k

qO,gpkq t

pt

q0

ddt

Fpt,kq

O, fpkq t

ptq0 ` Fpt,kqO,gpkq

tptq0

cosp2c|k|tq fpkq ` sinp2c|k|tq2c|k| gpkq t 0 (5.24)


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dove cont si e indicata la convoluzione nella sola variabile temporale e si eutilizzata leguaglianza valida per ogni P Re per ogni P S

xHptqsinptq

1 , y xHptqsinptq

b pptq0q1 , pt ` tqy

xHptq sinptq

, 1ptqy

80

sinptq

1ptq dt

80

cosptqptq xHptq cosp tq , y

Si noti che il risultato e immediatamente ottenibile dalleguaglianza Tp d

dtSq p d

dtTq S d

dtpT Sq, valida per ogni T, SP S1 con S a sup-

porto compatto, tenuto conto che d

dtHptq sinptq

Hptq cosptq essendo

0sinptq

0.

La (5.24) fornisce quindi una forma esplicita della soluzione del problema

di Cauchy in trasformata di Fourier (rispetto alle sole variabili spaziali).

Per ottenere unanaloga forma esplicita nelle variabili spaziali e necessario

ottenere la trasformata inversa della (5.24).

Caso n = 1Indichiamo conhla funzione limitatahpkq cosp|k|q k , PRe calcoliamo lantitrasformata di Fourier della distribuzione temperata Th

definita da tale funzione. Per ogni P Ssi ha

xTh, y xTh, y 88

cosp2|k|q pkq dk

8

8cos

p2k

q

pk

qdk

8

8

e2k ` e2k

2

pk

qdk

12

88

e2k pkq dk `12

88

e2k pkq dk

12

pq `12

pq x12

` 12

, y


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che dimostra che Th 12` 12 . Analogamente indicando con tpkq

sinp2

|k|tq2|k| e notando che

d

dttpkq htpkq, con t0pkq 0, si ottiene

xT, y 1

2

t0

rpsq ` psqs ds 12

tt

psq ds

Siamo ora in grado di scrivere la soluzione del problema di Cauchy (5.23)

in una dimensione spaziale. Prendendo nelle formule precedenti c t e c, nelle ipotesi fatte per le condizioni iniziali, dalla (5.24) si ha

vpt, xq pThc tfq pt, xq`pTcgq pt, xq 12fpxctq`12fpx`ctq`12c ctct gpx`sq ds(5.25)

Osservazione 11 Se f e g sono funzioni due volte differenziabili con de-

rivate continue, si puo verificare direttamente che le soluzioni trovate sono

soluzioni forti del problema di Cauchy per lequazione delle onde. Abbiamo

provato che anche per dati iniziali solo continui le (5.25) sono soluzioni deboli

del problema di Cauchy.

Osservazione 12 Si noti che il termine 12

fpx ctq ` 12

fpx ` ctq descriveun campo che evolve traslando con velocita c verso destra e verso sinistra

mantenendo il profilo 12

fpxq inalterato. Sefha supporto limitato, il supportodi fpxctq e di + fpx`ctq saranno gli insieme traslati di ct e dictdel supporto dellaf. In particolare prima di un tempo finito questo termine

risultera nullo fuori dal supporto dife dopo un tempo sufficientemente lungo

questo termine risultera nullo in ogni intervallo finito.Al contrario il termine

1

2c

ctct

gpx`sq ds, sebbene non abbia velocita dipropagazione superiore a c, puo rimanere non nullo dopo tempi comunque

lunghi, in qualunque intervallo finito della retta reale.


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Caso n=3 Il calcolo della antitrasformata della funzione limitata sinp2c|k|tq2c|k|

in tre dimensioni spaziali fa uso delluguaglianza

sinp2c|k|tq2c|k|

t

4

Sp3qp1q

e2ct kz dSpzq

dove ricordiamo che Sp3qp1q e la sfera di raggio unitario in tre dimensioni.Luguaglianza e verificata facilmente tenendo conto che k z |k| |z| cos |k| cos per zP Sp3qp1q e che dSpzq sin d d 0 , 0 2.Si ha quindi per ogni P S

R3

sinp2c|k|tq2c|k| pkq dk

t

4

R3

Sp3qp1q

e2ct kz dSpzqpkq dk t

4

Sp3qp1q

R3

e2ct kz pkq dk

dSpzq t4

Sp3qp1q

pc t zq dSpzq

14c2t

Sp3qpctq

pyq dSpyq 14c2t

xSp3qpctq , y

La antitrasformata della distribuzione in S1pR3q definita dalla funzione limi-tata sinp2c|k|tq2c|k| e quindi la distribuzione 14c2tSp3qpctq. La antitrasformatadi cosp2c|k|tq si trova semplicemente derivando rispetto al tempo il risultatoprecedente.

Siamo quindi in grado di scrivere la soluzione del problema di Cauchy (5.23)

in tre dimensioni spaziali

vpt, xq BBt

1

4c2tSp3qpctq

xf `

1

4c2tSp3qpctq

xg

ddt

1

4c2t

|z|ct

fpx ` zq dSpzq

` 14c2t

|z|ct

gpx ` zq dSpzq

dove conx si e indicato la convoluzione rispetto alle sole variabili spaziali.


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Esercizio 10 Analizzare la formula appena provata e mostrare che, nelle

ipotesi fatte su f e g, solo il primo temine ha un limite non nullo per tche tende a 0, pari a fpxq. Mostrare inoltre che, se f e g sono due vol-te differenziabili allora la soluzione e una soluzione forte del problema di

Cauchy.

Osservazione 13 Si noti che la soluzione e nulla in tutti i puntix P R3 talichex ` yR supp f ex ` yR supp g per nessuny : |y| c t. Contrariamenteal caso unidimensionale c non e solo la massima velocita di propagazione.

Nel caso tridimensionale la propagazione avviene con velocita c e, successi-vamente al passaggio della perturbazione (campo diverso da zero), il campo

torna a valori nulli.

Esercizio 11 Calcolare inn 2 la antitrasformata della distribuzione defi-nita dalla funzione limitata

sinp2c|k|tq2c|k| e provare che il problema di Cauchy

bidimensionale ha come soluzione

vp

t, xq

BBt t2 |z|1 fpx ` ctzqa1 |z|2 dz` t2 |z|1 gpx ` ctzqa1 |z|2 dz

Mostrare che, come nel caso unidimensionale e diversamente dal caso tridi-

mensionale, la velocita di propagazione non puo eccedere c, ma puo essere

inferiore ac.


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Bibliografia

[Sc] L. Schwartz, Methodes mathematiques pour les sciences physiques,

Hermann, 1965.

[BB] Ph. Blanchard and E. Bruning, Mathematical Methods in Physics,

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[St] R.S. Strichartz,A guide to Distribution Theory and Fourier Transforms

, World Scientific, 2003.

Documents

Capitolo v Distribuzioni