Distribuzioni discrete di Probabilitàprofs.sci.univr.it/~chignola/statistica3.pdfIl passaggio al continuo NON è indolore: distribuzioni discrete: la variabile aleatoria assume solo

Distribuzioni discrete di Probabilità

Ma la biologia di laboratorio che cosa ha a che fare con le distribuzioni discrete di probabilità?

Consideriamo questo gedankenexperiment*:

● in una fiasca per coltura cellulare abbiamo una popolazione eterogenea di cellule

● solo le cellule di un certo tipo (es. le cellule T) possono proliferare se stimolate

● tutte le altre cellule non proliferano affatto

● non ci sono modi per misurare direttamente le cellule T

Il problema è: come posso stimare quante cellule del tipo T ci sono nella popolazione cellulare?

es. reale: stimare quanti linfociti T attivi ci sono nella milza di un topo dopo una immunizzazione...

gedankenexperiment


cellule T

altre celluleseminare le cellule

aggiungere lo stimolo

Proliferazione: - - - -+

seminare le cellule

aggiungere lo stimolo

Proliferazione: - - - --

diluire il campione


Qual è la probabilità di ottenere pozzetti in cui le cellule proliferano?

Se distribuiamo a caso e indipendentemente c cellule in w pozzetti (da eng. wells) qual è la probabilità che un dato pozzetto contenga esattamente un certo numero di cellule?

NB assunzioni: siamo in grado di distribuire le cellule nei pozzetti in modo casuale e in modo tale che nessuna cellula influenzi il destino dell'altra (ad es. NON ci devono essere aggregati cellulari)

variabili:

(da: I.Lefkovits and H.Waldmann, Limiting dilution analysis of cells in the immune system, Cambridge University Press, 1979)


prendiamo a caso un pozzetto tra i w disponibili. Qual è la probabilità che una data cellula finisca esattamente in quel pozzetto?

poiché O una cellula finisce nel pozzetto O lo manca (tertium non datur), allora:

dunque la probabilità che la cellula manchi il dato pozzetto è:

ma questo vale anche per la seconda, la terza, la quarta,..., la c-esima cellula. Poiché ogni cellula si comporta in modo indipendente da tutte le altre:


Dunque, la probabilità P0 che tutte le cellule manchino un pozzetto è:

Qual è la probabilità che una data cellula entri nel pozzetto e che tutte le altre lo manchino?

Ma questo vale anche per la seconda cellula, la terza, la...., c-esima cellula. Dunque:


Qual è ora la probabilità che due cellule entrino nel pozzetto e che tutte le altre lo manchino?

Ma questo deve valere per tutte le possibili coppie di cellule:

e dunque:

1 2 3 ... c

1 - + + ... +

2 - - + ... +

3 - - - ... +

... - - - ... +

c - - - - -


Allo stesso modo calcoliamo la probabilità che tre cellule entrino in una dato pozzetto, che tutte le altre lo manchino, ed estendiamo questo conto a tutte le possibili terne di cellule (senza ripetizioni):

e infine calcoliamo la probabilità per un numero qualsiasi r di cellule:

Ancora un passo (trucchetto): moltiplico e divido per la quantità


Distribuzione BINOMIALE

probabilità di ottenere k successi in n prove indipendenti (del tipo vero o falso) e in cui la probabilità per ogni singolo successo è p


Distribuzione BINOMIALE in biologia?

es. suddivisione degli organelli cellulari alla mitosi!


es.


Distribuzione BINOMIALE

● distribuzione discreta di probabilità

● parametri p ed n

● media = np

● varianza = np(1-p)

probabilità di ottenere k successi in n prove indipendenti (del tipo vero o falso) e in cui la probabilità per ogni singolo successo è p


...il problema pratico con la distribuzione binomiale sta nel calcolo dei fattoriali


riprendiamo questa equazione:

e consideriamo valori di c e w molto grandi

ora, se

e dunque:

ma se: dove u = n. cell/pozzetto è un numero finito.

Dunque:


distribuzione di Poisson



es.: semino le cellule alla densità di 5 cellule/pozzetto.

6.7 pozzetti su 1000 conterranno r=0 cellule





caso particolare: semino le cellule alla densità di 1 cellula/pozzetto.

il 37% dei pozzetti NON conterrà cellule

notiamo che:

dunque:

1)semino le cellule a diversa densità u in tanti pozzetti2)conto quanti pozzetti non presentano cellule3)grafico in modo opportuno il risultato4)a livello del 37% SO che 1 su u cellule seminate prolifera!

Dunque ho risolto il problema iniziale!


(a real experiment from: I.Lefkovits and H.Waldmann, Limiting dilution analysis of cells in the immune system, Cambridge University Press, 1979)

...a P0=0.37 ci attendiamo che 1

sola cellula proliferi in un dato pozzetto. Ma per arrivare a questo risultato ho dovuto seminare ~38.000 cellule (della popolazione eterogenea di partenza. Dunque 1/38.000 cellule è la frequenza di cellule proliferanti (le cellule T) nella popolazione d'origine.



~1/6~1/153

(0.65/15.9=0.04)



es. a che densità cellulare conviene seminare le cellule per sperare di averne solo 1 in un pozzetto ed ottenere così un clone cellulare?

u=0.1 u=0.3 u=1

P0

0.90 0.74 0.37

P1

0.09 0.22 0.37

P2

0.0045 0.033 0.18

P3

0.00015 0.0033 0.06



● limite della distribuzione binomiale

● estremamente comune. Ad esempio permette di calcolare la probabilità che si verifichino n eventi (indipendenti) in un dato intervallo di spazio o di tempo, sapendo che in media se ne verificano λ nello stesso intervallo (es. telefonate ad un call center)

● legge degli eventi rari

Distribuzioni continue di Probabilità

calcoliamo per:

osserviamo che la distribuzione diventa sempre più “fitta”


La distribuzione di Poisson viene approssimata da una distribuzione continua detta normale (o di Gauss) con

linea rossa (x=r):

NB eventi NON più rari!!!


Distribuzione normale:

● distribuzione continua e simmetrica attorno alla media

● due parametri: media μ e varianza σ2

● eventi NON rari ma molteplici, casuali ed indipendenti

● somma di variabili aleatorie gaussiane è gaussiana

x1+x

2+x

3=x

tot


Il passaggio al continuo NON è indolore:

● distribuzioni discrete: la variabile aleatoria assume solo un dato valore di probabilità

● distribuzioni continue: la variabile aleatoria assume un continuum di valori di probabilità in un dato intervallo (bin). Dunque la probabilità di una variabile continua è definita solo come somma di tutti i valori di quell'intervallo

es. caso normale:


Dunque, per calcolare la probabilità di un evento nel caso continuo ho bisogno di:

● la PDF che descrive la distribuzione della variabile aleatoria in esame

● calcolare (correttamente) integrali

Distribuzione normale

es.:




dunque la probabilità di osservare un evento

è:

dunque un evento MOLTO raro e pertanto ragionevolmente NON dovuto al caso. Tale evento può dunque essere un segnale scientificamente interessante


dove:

Il problema, pertanto, è riuscire a calcolare l'integrale. Ci sono almeno (più di) 3 modi:

● metodo furbo: (imparare ad) usare un software in grado di farlo

● metodo più furbo: normalizzare la PDF gaussiana e fare riferimento a opportune tabelle

● metodo gnucco: usare il PC per quello che è (una volta tanto), ovvero un calcolatore

Calcolo aree: metodo gnucco

Calcolo aree: metodo gnucco

● da usare con attenzione● occhio all'intervallo!● preferire forza bruta

dove Z è una variabile aleatoria con distribuzione normale standard

Calcolo aree: metodo più furbo

x = {32.9124, 29.8362, 28.0705, 21.1499, 22.9767, 20.5991, 29.3528,30.9007, 35.2792, 33.6456,.....}



es.: supponiamo che l'altezza degli italiani sia distribuita normalmente, e che i valori di media e deviazione standard siano rispettivamente

(o in alternativa che la statura media sia di ).

1. Qual è la probabilità di trovare italiani più alti di 189.6 cm?2. Qual è la probabilità di trovare italiani più bassi di 150.4 cm?3. Qual è la probabilità di trovare italiani più alti di 189.6 cm O bassi di 150.4 cm?

Caso 1.: una coda


Caso 2.: una coda

NB si usa la simmetria della distribuzione normale!


Caso 3.: due code


si noti che:

dunque, un generico valore

può essere interpretato come: il dato di partenza dista dalla media

Quindi, se vogliamo che un dato si discosti dalla media di, ad esempio,allora deve essere:

e questo dato viene ottenuto con probabilità

Verifica ipotesi

● calcolare la distribuzione (PDF) sotto l'ipotesi che la variabile che stiamo studiando sia soggetta solo al caso (variabile aleatoria)

● calcolare la probabilità di uscita della variabile

● falsificare o meno l'ipotesi: la variabile NON è o È soggetta al solo caso

Ma:

● non sempre (praticamente mai) possiamo calcolare la PDF

● ciò significa che non sempre (praticamente mai) abbiamo i valori di e

● dunque dobbiamo stimare in modo furbo questi valori a partire dalle osservazioni

inferenza statistica

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Roberto ChignolaUniversità di [email protected]

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