G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 1 Le distribuzioni di probabilità discrete Giovanni Filatrella ( [email protected]

G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali1

Le distribuzioni di Le distribuzioni di probabilità discreteprobabilità discrete

Giovanni Filatrella (Giovanni Filatrella ([email protected]@unisannio.it))

Elaborazione Statistica dei Dati Elaborazione Statistica dei Dati SperimentaliSperimentali Facoltà di Scienze MM FF e NN,

Università Sannio


Cos’è una distribuzione di probabilità discreta

Abbiamo definito una variabile casuale X una variabile che può assumere diversi valori:{x1, x2, …, xN}Ognuno di questi con probabilità:{p1, p2, …, pN}

La funzione che associa una probabilità pi al valore i-esimo della variabile casuale xi è la distribuzione di probabilità.


Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti:

1. X è il simbolo che denota la variabile casuale che può assumere i valori {xi}

2. L’indice i serve solo a numerare i possibili risultati

3. Le xi sono i valori numerici che si ottengono per l’i-esimo risultato

4. Le pi sono il rapporto fra i casi favorevoli all’i-esimo risultato e tutti i risultati possibili


Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti:

1. X è il simbolo che denota la variabile casuale che può assumere i valori {xi}

2. L’indice i serve solo a numerare i possibili risultati

3. Le xi sono i valori numerici che si ottengono per l’i-esimo risultato

4. Le pi sono il rapporto fra i casi favorevoli all’i-esimo risultato e tutti i risultati possibili


1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

Pro

babili

tà

0.15

xi

La funzione distribuzioneè la legge che regolale probabilità (le altezze dei rettangoli).

Rappresentazione grafica:

Variabile casuale0.10

0.05

0.20

0.25


Un’importante distinzione

• Il concetto di distribuzione discreta vuol dire che solo un numero intero di differenti valori è possibile, e si riferisce all’indice i;

• Il valore della variabile xi non è necessariamente un intero.


Esempio: la distribuzione di probabilità uniforme:

Se supponiamo che tutti valori della variabile casuale siano equiprobabili:

Nippi ,...,1

Allora la distribuzione è detta uniforme.

D.: Quanto vale p?


Valore aspettato e varianza

Per le variabili discrete è possibile definire un valore aspettato E[x] ed una varianza Var[x] che sono analoghe alle misure di posizione e dispersione valore medio e scarto quadratico medio:

max

1

][i

iii pxxE

max

1

22 )(][i

iii pxxVar


Valore aspettato e varianzanon coincidono con media e

scarto quadratico medio

max

1

][i

iii pxxE

max

1

22 )(][i

iii pxxVar

max

1

i

iii fxx

max

1

22 )(i

iii fxxS

Per un numero di tentativi molto elevato è ragionevole che si identifichino le fi e le pi.


Esercizio:

• *Quanto vale il valore aspettato per la distribuzione uniforme?

• ***Quanto vale la varianza per la distribuzione uniforme?

Si provi prima con un intervallo specifico (ex, 4) e poi con un N generico.


Definizione formale di processo binomiale o

bernoulliano1) Ciascuna prova ha solo due esiti, che

chiameremo successo e insuccesso2) La probabilità p di un successo in

ciascuna prova resta costante per tutte le prove e non è influenzata dagli esiti precedenti (le prove sono indipendenti). La probabilità di un insuccesso è q = 1 - p.


Diagramma ad albero per la distribuzione binomiale

Si può derivare la distribuzione binomiale immaginando che il processo avvenga in sequenza, e che ad ogni “scelta” sia associata una probabilità elementare


Calcolo esplicito delle probabilità per l’albero

binomialeLa probabilità degli

eventi può essere trovata osservando che ognuno dei risultati è la combinazione di eventi indipendenti non necessariamente equiprobabili, ovvero pq S: un cliente sceglie “soup”, F: sceglie “fish”.

Prob. diavere:

3S

2S2S

1S2S1S

1S

0S


Probabilità non identiche fra le più scelte

Notare: i diagrammi ad

albero possono essere utilizzati per il calcolo di probabilità di sequenze generiche, ma non sono distribuzioni binomiali!


Distribuzione binomiale in formule

Dato un esperimento che si può verificare solo in due modi (“successo” ed “insuccesso”) mutuamente esclusivi e complementari, quindi con probabilità p e 1-p. Qual è la probabilità di avere n successi su N misure?

)!(!

!

)1()(,

nNn

N

N

n

ppN

nnB nNn

Np


Definizione di fattoriale

Il fattoriale di un numero intero n si indica con n! ed è definito come:

1!0

1!1

,...,321!

nn


Esempi di distribuzione binomiale

1. Quante teste si ottengono lanciando 10 monete?2. Se il 23% della popolazione della provincia di

Benevento risiede nel capoluogo, su 4 persone quante risiederanno nel capoluogo?

3. Se una fabbrica produce l’1% di pezzi difettosi, in un lotto di 20 quanti sono difettosi?

D1.: Sono distribuzioni binomiali? Perché?D2.: Trovare per ognuno degli esempi i parametri

della distribuzione binomiale.


Proprietà della distribuzione binomiale: il valore aspettato

N

n

nNni

i

ii Nppp

N

nnpxxE

01

)1(][max

Coincide, come intuibile, con il prodotto del numero di tentativi per

la probabilità di successo.


Proprietà della distribuzione binomiale: la varianza

N

n

nNn

i

iii

pNpppN

nNpn

pxxVar

0

2

1

22

)1()1()(

)(][max

E’ proporzionale al numero di tentativi, moltiplicata per la

probabilità di successo e per la probabilità di insuccesso.


Esempi di distribuzioni binomiali

Ciò che conta e’ il prodotto Np

Infatti:0.5X160 = 80

0.3X270 = 80

p=0.5

p=0.3


Un esempio numerico

Se si lanciano dieci monete supposte perfettamente simmetriche (o non truccate), cosa si può dire dei possibili esiti?

1) La probabilità di successo p=1/2

2) Il numero di tentativi è N=10

3) Il valore aspettato è Np=5

4) La varianza è Np(1-p)=2.5

5) La deviazione standard è √(Np(1-p))=1.58


Risultati del calcolo della formula binomiale per N=10,

p=0.5Successi B0.5,10(n) n0 0.00101 0.00982 0.04393 0.11724 0.20515 0.24616 0.20517 0.11728 0.04399 0.009810 0.0010

Il valore aspettato (5) è il più probabile

Attorno al valore aspettatoin un intervallo di semiampiezzala deviazione standard (1.5) si trovano circa il 70% dei casi.


Un’applicazione

Le finali di alcuni tornei di calcio si decidono calciando 6 rigori.

D.: il pareggio dopo sei rigori succederà più spesso se:

a) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è alta (ex, p=0.8)

b) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è media (ex, p=0.5)

c) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è bassa (ex, p=0.2)


Distribuzione di PoissonSupponiamo di avere una variabile binomiale dove 1. Il numero molto elevato di tentativi (N)2. La probabilità è molto bassa (p0), ma in modo

tale che il valore aspettato sia finito: Np=.Qual è la distribuzione di probabilità?In principio si potrebbe sempre calcolare la

Binomiale, ma i fattoriali rendono il calcolo estremamente laborioso.

La distribuzione di Poisson è il limite della Binomiale nelle ipotesi 1) e 2).


Esempi di distribuzione di Poisson

1. Quanti studenti iscritti in questa Facoltà hanno un altezza superiore al 95mo percentile?

2. Una malattia rara colpisce l’1% della popolazione. Quante persone sono colpite in una città come Benevento?

3. Quanti dei residenti in Benevento sono nati il 29 febbraio?


Distribuzione di Poisson: formulazione matematica

La distribuzione di Poisson ha un solo parametro: . Ovviamente se il valore aspettato è: Np=.

D.: Trovare le distribuzioni di probabilità per gli esempi precedenti.

en

nPn

!)(


Distribuzione di Poisson: formulazione matematica

La distribuzione di Poisson ha un solo parametro: Ovviamente se il valore aspettato è: Np=:

en

nPn

!)(

01 !

][max

n

n

i

i

ii e

nnpxxE

0

2

1

22

!)()(][

max

n

ni

iii e

nnpxxVar

La varianza anche vale :


Confronto con la distribuzione di Bernoulli

Bernoulli• = Np si ricava da

due parametri indipendenti

• = Np(1-p) si potrebbe anche scrivere come:

= (1-p) • Per p molto piccola

Poisson• é l’unico

parametro che caratterizza la distribuzione

• si trova che la varianza dipende dal parametro e

=


Osservazioni (1)

Un processo per essere poissoniano dovrebbe ammettere un numero infinito di tentativi e quindi ammettere un numero infinito di successi.

In pratica si applica a casi in cui questo è solo approssimativamente vero.

D: negli esempi di distribuzione di Poisson precedente c’è un limite al numero di successi? Quale?


Osservazioni (2)

Anche se tutti i processi reali sono solo approssimativamente poissoniani è assai comodo utilizzare questa distribuzione perché è più semplice da valutare. Di fatto per N molto grande i fattoriale della distribuzione di Bernoulli sono enormi.

D: qual è l’intero più grande di cui potete calcolare il fattoriale con la calcolatrice da tasca?


Estensione della distribuzione di Poisson

Supponete che per un evento non si conosca davvero il numero di tentativi:

Es.: Supponiamo che una persona guardi mezz’ora di una qualsiasi partita di un turno di serie A. Se sono state segnate 22 reti nelle 9 partite, qual è la probabilità che questa persona assista a 2 reti?


Perché si può usare la distribuzione di Poisson

• Si può immaginare che nell’intervallo di tempo considerato vi siano N tentativi di fare goal.

• La probabilità p di fare goal per ogni tentativo è sconosciuta, ma è bassa perché in tutto si sono segnate solo 22 reti in 9 partite.

• Se supponiamo che i tentativi siano molti (al limite, infiniti) in principio possiamo usare la distribuzione di Poisson, e per farlo basterebbe conoscere il suo valore medio Np.

D.: Come si può stimare Np?


Soluzione• In tutte le 9 partite vi sono 27 periodi di

mezz’ora.• Se sono stati segnati 22 goal in tutto, in

media in ogni periodo sono stati segnati:

%1515.0

!2

815.0)2(815.0

27

22 815.02

815.0 eP

D.: ** Come verifichereste che il metodo funziona? Provare a casa con i risultati di un qualsiasi turno di serie A.


Descrizione formale dei processi di Poisson

Un processo di Poisson si può quindi definire come un processo caratterizzato da n eventi che in un intervallo di tempo t :

1. Si possono verificare nell’intervallo di tempo indipendentemente da quanto è avvenuto negli intervalli precedenti;

2. La probabilità che si verifichi un evento è proporzionale alla durata dell’intervallo t, con costante di proporzionalità ;

Allora si avrà un processo di Poisson con valore aspettato t:

tn

en

ttnP

!

)(),(


Esercizi

1. * Nell’esempio precedente dei goal segnati in mezz’ora, identificare le varie quantità n, t,

2. ** Supponiamo che in un lago artificiale senza altro cibo vengono immesse trote, una ogni 10 minuti. Se ci sono 10 pescatori:

a) Quante trote prenderanno ogni ora?b) Trovare i parametri del processo di Poisson.

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