8 Variabili Casuali e Distribuzioni Di Probabilita

5/16/2018 8 Variabili Casuali e Distribuzioni Di Probabilita - slidepdf.com

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1

VARIABILI CASUALI

E

DISTRIBUZIONE DI

PROBABILITA’

2

VARIABILI CASUALI

Una variabile casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario

S che associa ad ogni evento E S uno ed un solo numero reale.!

S

N.B: - sinonimi di variabile casuale sono variabile aleatoria e variabile stocastica.

- Borra e Di Ciaccio usano il simbolo ! al posto di S per indicare lo spazio

campionario.

3

VARIABILI CASUALI

In pratica la Variabile Casuale trasforma lo spazio campionario

originale (formato da eventi di natura qualsiasi) in un nuovo spazio

campionario formato da numeri reali, che vengono detti determinazione

o realizzazione della Variabile Casuale stessa.

EVENTI

ELEMENTARI

(di natura

qualsiasi)

VALORI

O

DETERMINAZIONI

O

REALIZZAZIONI

di X

S S’

Numeri

realiX

4

ESEMPI

In alcuni casi il risultato di un esperimento casuale è già di per sé (o

può essere considerato) un numero reale, come nel lancio di un dado:

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

In altri casi, come il lancio di una moneta, gli eventi elementari non

sono numeri reali, ma possono diventarlo utilizzando una variabile

casuale che trasformi lo spazio campionario originale.

ESEMPIO: LANCIO DI UNA MONETA

S = T, C ; X(S) = S’ = 0,1

X(T) = 0 ; X(C) = 1



5

ESEMPIO

S S’

La v.c. X “somma dei punteggi di due dadi ” trasforma lo

spazio campionario S relativo al lancio di due dadi in S’

formato da 11 numeri interi.

6

VARIABILI CASUALI DISCRETE E CONTINUE

• Una variabile casuale discreta può assumere un insieme

discreto (finito o numerabile) di numeri reali.

• Una variabile casuale continua può assumere tutti i

valori compresi in un intervallo reale.

S

S

7

FUNZIONE DI PROBABILITA’

(VARIABILI CASUALI DISCRETE)

Data una v.c discreta X che assume i valori:

x1, x2, … , xn, … con x1 " x2 " … " xn " ..

Si definisce funzione di probabilità (f.p.) di X la funzione che associa

ai possibili valori di X le rispettive probabilità di verificarsi.

P(xi) = P(X=xi) Probabilità che la v.c.X assuma il valore xi

8

FUNZIONE DI PROBABILITA’

(V.C. DISCRETE)

• La funzione di probabilità (f.p.) si indica anche con il

simbolo f(x) in alternativa a P(x).

• La f.p. si può definire anche su tutto l’insieme dei numeri

reali (non solo sull’insieme dei possibili valori della V.C.)

nel seguente modo:

f ( x ) = P( X=x ) , x R

In tal caso valgono le seguenti proprietà:

• f ( x ) > 0 per x = x 1, x 2, … x n, …

• f ( x ) = 0 altrimenti

! !

!+"

#"=

=

x

x f 1)(



9

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE(VARIABILI CASUALI DISCRETE)

La cumulata della funzione di probabilità di una variabile

discreta X viene definita funzione di ripartizione (f.r.):

F(X) =

Come sarà chiaro dai seguenti esempi, la f.r. rappresenta la

probabilità che la X assuma un valore nell’intervallo :

F(x) = P(X " x)

],( x !"

10

Esempio 1: Variabile Casuale binaria con eventi equiprobabili (lancio di

una moneta).

1#F(x)

##P(x)

10XP(X " x) = 0 per x < 0

F(x) = # per 0 " x < 1

1 per x $ 1

Possiamo allora rispondere alla eseguenti domande:

P(x " -3) = ? Risposta: F(-3) = 0

P(x " 0,7) = ? Risposta: F(0,7) = #

P(x " 2,5) = ? Risposta: F(2,5) = 1

11

Esempio 2: Lancio di un dado.

15/64/63/62/61/6F(x)

1/61/61/61/61/61/6P(x)

654321X

Rispondiamo alle seguenti domande:

P(x " 4) = ? Risposta F(4) = 4/6

P(2 < x " 4) = ? Risposta P(3) + P(4) = F(4) – F(2) = 2/6

P(2 " x " 4) = ? Risposta P(2) + P(3) + P(4) = 3/6

P(x = 7) = ? Risposta P(7) = 0 perché 7 è un evento impossibile.12

Esempio 3: Somma del punteggio di due dadi.



13

Osservazione: la funzione di ripartizione di una v.c. discreta è sempre

una funzione crescente a gradini.

In virtù di ciò riusciamo a calcolare probabilità del tipo (riferendoci

all’esempio precedente):

P(4,2 " X " 7,3) = 21/36 - 6/36 = 15/36

Dal momento che i due estremi dell’intervallo (4,2 e 7,3) sono eventi

impossibili e dunque hanno probabilità nulla, il fatto di includerli o meno

non altera il risultato:

P(4,2 < X < 7,3) = 15/36

14

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: PROPRIETA’

15

VARIANZA

MEDIA O VALORE ATTESO

Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo

identico alla media e alla varianza di un carattere statistico (la funzione di

probabilità (f.p.) della V.C. corrisponde alla distribuzione delle frequenze

relative di un carattere statistico).

Media (o Valore Atteso) e Varianza di una V.C.

x

i

i i x f x X E µ == ! )()(

22

x

i

i x i x f x X V ! µ ="= # )()()(

16

Proprietà del Valore Atteso e della Varianza di

una V.C.

Il Valore atteso e la varianza di una V.C. godono di proprietà analoghe

a quelle rispettivamente della media aritmetica e della varianza di un

carattere statistico. In particolare:

Valore atteso

E(aX + b) = a E(X) + b

con a e b costanti

E(a1X1 + a2X2 + … + anXn) =

= a1E(X1) + a2 E(X2) + … an E(Xn)

Con a1, a2,… , an costanti

Varianza

V(aX + b) = a2 V(X)

con a e b costanti

Se X1 , X2 , … , Xn sono V.C.

indipendenti,

V(X1 + X2 + … + Xn) =

= V (X1) + V (X2) + … + V(Xn)



17

Caratteri statistici e Variabili Casuali in

parallelo

VARIANZAVARIANZA

VALORE ATTESOMEDIA (ARITMETICA)

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE

DISTRIBUZIONE DELLEFREQUENZE RELATIVE

CUMULATE

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’

– funzione di probabilità

o funzione di densità

DISTRIBUZIONE DELLE

FREQUENZE (RELATIVE)

CONTINUECONTINUI

DISCRETEDISCRETI

VARIABILI CASUALI CARATTERI STATISTICI

18

Esercizi svolti

19

Esercizi svolti

svolgimento

Distrib. C)

20

Esercizi svolti



21

Esercizi svolti

22

Esercizi svolti

SUCCESSIVA

23

Esercizi svolti

24

Esercizi svolti

d) Costruiamo la funzione di ripartizione F(x), data dalla

cumulata della f.p. f(x) (v. ultima colonna della tabella precedente)

Oppure: P(X>4) = 1 – F(4) = 1 – 0,768 = 0,232

f(5) + f(6) + … + f(11)



25

La V.C. Uniforme (discreta)

Una V.C. uniforme discreta assume s valori compresi in un certo

intervallo [a, a + s-1] con la stessa probabilità 1/s.

f.p. : f(x) = 1/s per x = a, a + 1, ….., a + s-1

f(x) = 0 altrimenti Esempi di V.C.

Uniformi discrete:

Il risultato del lancio di

un dado (a=1; s=6);

Il risultato del lancio di

una moneta (posto

Testa=0, Croce=1)

Nel grafico a fianco,

a=1 e s=8

26

La V. C. di Bernoulli (o dicotomica o binaria)

Una variabile casuale suscettibile di assumere due soli valori viene

detta variabile casuale Dicotomica, o Binaria o di Bernoulli.

Per convenzione:

x1

= 0 (insuccesso) e x2

=1 (successo); P(X=1) = ! (0<!<1)

Funzione di probabilità:

f(x) = P(X=x) = !x(1-!)1-x , per x = 0,1

Che equivale a:

f(0) = P(X=0) = 1-! ; f(1) = P(X=1) = !

27

La V. C. di Bernoulli (o dicotomica o binaria)

MEDIA E VARIANZA

)()]([()(

)()(

)()()()(

)()(

! ! ! ! ! !

! ! ! !

! ! ! !

! ! !

"="+#"=

"+"=

"+""=

=#+"#=

111

11

110

110

22

22 X V

X E

1

28

La V.C. Binomiale

Sia dato un esperimento casuale descritto da una v.c. dicotomica Z

così definita:

Z = 0 insuccesso ; f(0) = 1-!

Z = 1 successo ; f(1) = ! (0 < ! < 1)

Se effettuiamo n prove indipendenti di questo esperimento, il numero

dei successi ottenuti è a sua volta una v.c. che può assumere i valori:

0, 1, … , n

Tale v.c è detta Binomiale e la sua funzione di probabilità è data da:

n x x

n x f

x n x ,..........,,,)()( 210 ; 1 =!""##$

%&&'

(=

!) )

Questa espressione viene definita coefficiente binomiale e si legge “n su x”



29

Calcolo del coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale si calcola nel seguente modo:

)!(!

!

x n x

n

x

n

!=""

#

$%%&

'

L’espressione n! si legge “n fattoriale” e rappresenta il prodottodei primi n numeri naturali:

nnn !"!!!= )(...! 121Per definizione: 1! = 1

0! = 1

1032

345

312

12345

252

5

2

5=

/ !

/ !!=

!!

!!!!=

"=##

$

%&&'

(

!

!)(

!)()!(!

!

Esempio:

30

Calcolo del coefficiente binomiale

11000

= / !

/ =

"=##

$

%&&'

(

!

!

)!(!

!

n

n

n

nn

n )(n

nn

n

nn=

!"

!"=

!=##

$

%&&'

(

!

)!(

)!(!

!

11

1

111

10

111

= / !

/ =""

#

$%%&

'

=!(

=""#

$%%&

'

(

!!

!

!)!(

!

n

n

n

n

n

n

n

n

n

In generale:

Inoltre vale sempre la seguente uguaglianza:

!!"

#$$%

&

'=!!

"

#$$%

&

x n

n

x

n La dimostrazione è banale, fatela

come esercizio.

31

ALCUNI ESEMPI DI V.C. BINOMIALE

La v.c. Binomiale X rappresenta il numero di successi ottenuti in n

prove indipendenti di un esperimento casuale che può avere due soli

risultati (denominati successo e insuccesso).

• Numero di volte in cui si presenta “Testa” lanciando una

moneta n volte;

• Numero di volte in cui si presenta il 6 (o la faccia che preferite)

lanciando un dado per n volte;

• Numero di volte in cui si presenta una faccia pari / dispari

lanciando un dado per n volte;

• Numero di palline bianche estratte da un’urna contenente

palline bianche e nere, con n estrazioni (reimmettendo ogni

volta la pallina estratta nell’urna prima della nuova estrazione);

32

Esempio di Binomiale

4

3

2

1

0

X

…

…

11/16

15/164/16

11/166/16

5/164/16

1/161/16

F(x) = cumulata

di f(x)

=!

"

#$

%

&'!

"

#$

%

&'!!

"

#$$

%

&40

2

1

2

1

0

4

=!"

#$%

&'!

"

#$%

&'!!

"

#$$%

&31

2

1

2

1

1

4

Sia X il numero di volte in cui si presenta Testa lanciando una

moneta per 4 volte. X è chiaramente una v.c Binomiale (!=1/2; n=4).

=!"

#$%

&'!

"

#$%

&'!!

"

#$$%

&22

2

1

2

1

2

4

x x

x x f

!

"#

$%&

'("

#

$%&

'(""

#

$%%&

'=

4

2

1

2

14)(



33

Media e Varianza della V.C. Binomiale

La v.c Binomiale può essere pensata come la somma di n v.c di

Bernoulli, indipendenti e identicamente distribuite.

Infatti la v.c Binomiale x rappresenta il numero di successi (v.c di

Bernoulli = 1) ottenuti in n prove indipenti.

Pertanto il valore atteso e la varianza della binomiale si ottengono nel

seguente modo:

MEDIA o VALORE ATTESO

E(X) = E(Z1 + Z2 + …+Zn) = ! + ! + …+ ! = n!

Nota: abbiamo applicato la Proprietà associativa della media aritmetica.

V.C. di Bernoulli

34

Media e Varianza della V.C Binomiale

VARIANZA

V(X) = V(Z1 + Z2 + … + Zn) = !(1"!) + !(1"!) + …+ !(1"!) = n ! (1"!)

Nota: abbiamo applicato la proprietà per cui la varianza della somma di

n variabili indipendenti è uguale alla somma delle rispettive varianze.

Alcune proprietà della Binomiale:

1. Il valore atteso e la varianza crescono al crescere di n;

2. Per !=0.5 la distribuzione è simmetrica rispetto al valor medio (n/2);

3. Per n % + la distribuzione tende ad essere simmetrica rispetto al valor

medio.

!

35

Esempi di Binomiale

Entrambe le distribuzione

sono simmetriche inquanto ! = 0,5

36

Esercizi svolti - Binomiale

svolgimento

N.B. in questi esercizi si usa il simbolo pal posto di !.



37


38


39


40



41


42


43

Esercizi svolti – Binomiale (da Levine et al.)

44

Es. svolti -

Binomiale



45

V.C. CONTINUE - Funzione di densità

Data una V.C. continua X che assume valori in un intervallo (a,b) è ad

essa associata una funzione detta FUNZIONE DI DENSITA’ (f.d.) definita

in modo che:

1) f(x) > 0 se a<x<b

f(x) = 0 altrimenti

2) l’area totale sottesa dalla funzione è uguale a 1.

! ! +"

"#

==

b

a

dx x f dx x f 1)()(

Per chi ha nozioni di calcolo integrale:

46

V.C. CONTINUE - Funzione di densità

La f.d. (funzione di densità) corrisponde alla funzione di probabilità delle

V.C. discrete ma, a differenza di questa, non rappresenta una probabilità:

V.C discrete - f.p.: f(x) = P(X = x)

V.C continue - f.d.: f(x) & P(X = x)

La f.d. serve a calcolare la

probabilità che X assuma un

valore compreso in un certo

intervallo.

Tale probabilità è rappresentata

dall’area sottesa dalla curva in

quell’intervallo.

P(0,5<X<0,7)=0,229

47

Ciò è dovuto al fatto che lo spazio campionario (a,b) è talmente numeroso (denso)

che la sua probabilità unitaria si ripartisce tra un numero così infinitamente

grande di punti da diventare infinitesima.

V.C. CONTINUE

!"#== x x X P , 0)(

! =

b

a

dx x f 1)(Evento

impossibile= 00X = x ,

x (a,b)

Evento

possibile> 00X = x ,

x (a,b)

f(x)P(X=x)Evento

La probabilità che una V.C continua X assuma un particolare valore reale è

sempre 0:

!

!

Tuttavia la “somma” di tutte queste

probabilità infinitesime, risulta pari a 1:

48

Funzione di ripartizione – V.C. Continue

Data una v.c. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x

le probabilità cumulate P(X " x) viene detta funzione di ripartizione.

F(x) = P(X " x)

Per chi ha nozioni di calcolo integrale:

! ! "#

==

x x

a

dw w f dw w f x F )()()(



49


Esempi di funzioni di densità e corrispondenti funzioni di ripartizione.

12 12

P(X"12)

P(X"1,5)

50


F(x) = 0 se x < a

F(x) = 1 se x $ b

0<F(x)<1 se a<x<b

1;0

b e a se oppure,

==

!+=!"=

+!#!"#

)(lim)(lim x F x F X x

51


La funzione di ripartizione ci serve operativamente a calcolare la

probabilità che la V.C. X assuma un valore compreso in un qualsiasi

intervallo reale.

a x2x1 b

P(X " x1) = F(x1)

P(x1< X " x2) = F(x2) – F(x1)

P(X > x2) = 1 - F(x2)

N.B: tali probabilità si possono

calcolare anche utilizzando la f.d.,

ma ciò richiede il calcolo integrale.

52

Valore Atteso e Varianza

Il Valore atteso e la Varianza di una V.C. Continua sono definiti da

integrali.

22

x x

x

dX X f X X V

VARIANZA

dX X Xf X E

ATTESOLORE MEDIA o VA

! µ

µ

="=

==

#

#

$

$"

$

$"

)()()(

)()(

Notate l’analogia con la media

e la varianza definite per le

V.C. discrete.

L’integrale è l’equivalente

della sommatoria per le V.C.

continue.



53

Distribuzione uniforme continua

altrove

b x se aab

x f

!!

""#

""

$

%

&=

0

1

)(

Una v.c. uniforme continua è una v.c. che assume valori reali in un

intervallo limitato [a,b] con a e b numeri reali.

12

2

2)()(

)()(

ab X V

ba X E

!

=

+

=

Si dimosta che:P(0,50 < x < 0,75)

54

V.C. Normale (o Gaussiana)

Si dice che una V.C. X è Normale, oppure che X si distribuisce

Normalmente, se la sua f.d. è del tipo seguente:

!"#

>

$<<$%

$<<$%=

&'

()*

+ %%

0

2

1

2

2

1

,

µ

- ,

,

µ

x e x f

x

)(

Parametri: 7892

143

,

,

!

!

e

"

55

V.C. Normale

56

V.C. Normale

La curva rappresentata dalla f.d. Normale ha sempre forma

campanulare ed è simmetrica rispetto a µ.

µ = E(X) = Mediana = Moda Parametro di Posizione

# = Scarto quadratico medio Parametro di forma

Come varia la f.d

normale al variare

di µ, rimanendo #

costante.



57

V.C Normale

Come varia la f.d. Normale al variare di #, rimanendo µ costante.

58

V.C Normale

Proprietà della V.C. Normale:

• Ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale è ancora

una v.c. Normale.

• La somma di due v.c. Normali indipendenti è ancora una

v.c. Normale (con media e varianza pari, rispettivamente,

alla somma delle medie e delle varianze delle due v.c.

Normali).

59

Utilità della distribuzione Normale

Esempio 2:

Lunghezza dei petali

di un fiore

Lunghezza petali

La distribuzione Normale riveste enorme importanza in Statistica, per diversi motivi.

Ai fini del nostro corso di base ce ne interessano solo due, a) e b):

a) descrive molto bene la distribuzione di numerosi fenomeni e variabili, in

particolare di natura fisica, come il peso e la statura.

Esempio 1: Peso e statura di un individuo.

Gli studi empirici mostrano che, se la popolazione è omogenea (non sono presenti razze con

caratteristiche diverse), il peso e la statura si distribuiscono in modo approssimativamente

Normale.

60


Esempio da Levine et al. 2006

Spessore di 10.000 rondelle di ottone.



61


Segue Esempio da Levine et al. 2006

Istogramma e Poligono per gli spessori di 10.000 rondelle di ottone

62


Osservazione:

Una V.C che può assumere tutti i valori reali potrebbe sembrare inadeguata a

descrivere la maggior parte dei caratteri o variabili reali che assumono perlopiù

valori positivi e limitati ad un intervallo.

Ad esempio, la variabile “peso di un individuo” non può assumere valorinegativi o maggiori, diciamo, di 300 Kg.

Eppure, anche in tali casi, la distribuzione Normale permette spesso

un’eccellente, anche se approssimata, rappresentazione del fenomeno.

b) La distr. Normale è importante anche per il Teorema del Limite

Centrale e le sue implicazioni, ma di questo ci occuperemo in

seguito.

63

Calcolo delle Probabilità con la

distribuzione Normale

);( 21 x(x ; ),(x; x), !+"!

Quando si opera con la distribuzione Normale (e con le distribuzioni continue

in genere) siamo interessati a calcolare le probabilità corrispondenti a tre tipi di

intervallo:

Per la Normale, come per le altre V.C continue, si ha:

Il calcolo diretto della F(x) Normale richiede il calcolo di un integrale piuttosto

complesso. Per questo si preferisce ricorrere ad un metodo indiretto che sfrutta la

distribuzione della cosiddetta Normale standardizzata.

)()()(

)()()()(

1221

1

x F x F x X x P

x F X x P

x F x X P

!="<

!=+#<<

="<!#

64

La Standardizzazione

Definizione: Data una distribuzione statistica del carattere (odella V.C.) X con media µ e scarto quadratico medio #, la

standardizzazione consiste nel trasformare ogni osservazione

xi nel nuovo valore:

!

µ "

=i

i

x z

Si può dimostrare che la distribuzione del nuovo carattereZ (detto variabile standardizzata) ha media nulla e varianzaunitaria.

Quindi la standardizzazione è una particolaretrasformazione lineare che, applicata ai dati originali,produce dei nuovi dati che hanno la caratteristica di averesempre media=0 e varianza=1.



65

V.C. Normale standardizzata

Data la V.C. X ~ N(µ,#2) , sia:

Come tutte le variabili standardizzate, Z ha media=0 e varianza=1.

In più, derivando da una V.C. Normale, si può dimostrare che Z haanch’essa distribuzione Normale: Z ~ N(0,1)

La f.d. di Z risulta pertanto:

!

µ "

=

X z

!<<!"=

"

z ez f z

2

12

2

1

#

)(

66

In generale, ad ogni intervallo di valori di X corrisponde uno ed un solo

intervallo di valori di Z (e viceversa) e la probabilità associata ai due

intervalli è la stessa!

67

In generale, ad ogni intervallo di valori di X corrisponde uno ed un solo

intervallo di valori di Z (e viceversa) e la probabilità associata ai due

intervalli è la stessa!

N.B. Poiché X è continua, il fatto di includere o meno gli estremi

dell’intervallo non altera la probabilità dell’intervallo stesso.

Ad es.: P(x1 ! X ! x2) = P(x1 < X < x2).

Infatti ciascun punto ha probabilità = 0 68

Uso delle tavole della Normale standardizzata

$(0,68) = P(Z!0,68)

… … … … … … … … … …

$(0)=0,5=P(Z!0)

La tavola si ferma

a Z=4,09.

Per valori di Zmaggiori, $(Z)! 1



69


N.B.: le tavole si riferiscono solo a valori di Z positivi

L’area a sinistra diz% rappresenta

$(z%) = P(Z ! z

%)

L’area a destra di z%

rappresenta

P(Z >z%) = 1- $(z

%)

70


Esempi con valori di Z positivi.

Per Z = 0,7 troviamo $(0,7) = P(Z " 0,7) = 0,7580

Di conseguenza:

P(Z > 0,7) = 1 -$

(0,7) = 1 - 0,7580 = 0,2420

Per Z = 1,25 troviamo $(1,25) = P(Z " 1,25) = 0,8944

Di conseguenza:

P(Z > 1,25) = 1 - $(1,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056

P(0,7 < Z "1,25) = $(1,25) – $(0,7) = 0,8944 – 0,7580 = 0,1364

71


Come si opera per valori di Z negativi?

Si sfrutta della simmetria della curva Normale per cui:

)()(:

)

z z ovvero

z P( -z Z P

z

!"="!

#=$

>%

1

Z)(

:0

Esempi: per z = 2,31 sfrutto le seguenti uguaglianze:

P(z " -2,31) = P(z > 2,31)

P(z > -2,31) = P(z " 2,31)Questo è l’unico valore che mi

fornisce la tavola: 0,0104

$(-z)1 " $(z)

72


A questo punto siamo in grado di calcolare la probabilità che Z assuma

valore in un intervallo qualsiasi.

Esempio: calcoliamo P(-0,7 < Z < 1,25)

P(-0,7 < Z < 1,25) = $(1,25) – $(-0,7) = $(1,25) – [1 – $(0,7)] =

= 0,8944 – [1 – 0,7580] = 0,6524



73

Calcolo delle probabilità con una Normale qualsiasi

Esercizio: supponiamo che il contenuto della confezione di detersivo prodotto da

una certa fabbrica abbia un peso X così distribuito:

X ~ N ; µ = 500 gr ; # = 5 gr

Trovare:

P(X > 520) e P(490 < X " 510)

Soluzione:

09999701414

5

500520-X(520)1

!"=#"=>=

=

">=>

,)()(

))

Z P

P P(X $

µ

L’azienda è praticamente

sicura che il peso della

confezione non superi 520 gr.

954500227509772502222

5

500510

5

500490(510)4902

,,,)()()(

))

=!=!"!"=#<!=

=

!#<

!=#<

Z P

Z P x P(

1 " $(2) 74

Esercizio – distribuzione Normale

Data una V.C. X ~ N(µ = 15, #2 = 25) calcolare:

a) P(X " 16) b) P(X > 18,6)

c) P( 16 < X " 18,6)

d) Il valore di X che lascia alla sua destra una probabilità del 45%

d) il terzo decile

SOLUZIONE

579302020

5

151616

,),(),(

)()(

=!="=

=

#"="

Z P

Z P X P

15

16

a)

75

c) Per il calcolo di P(16<X"18,6) si può procedere in due modi:

1. P(16<X!18,6) = F(18,6) – F(16) = P(X!18,6) – P(X!16)=

= P(Z!0,72) – P(Z!0,2) = 0,7642 – 0,5793 = 0,1849

2. Si standardizzano direttamente i due estremi dell’intervallo:


235807201720

5

15618618

,),(),(

),

(),(

=!"=>=

=

">=>

Z P

Z P X P b)

15 18,6

184905793076420

2072072020

5

15618

5

1516 61816

,,,

),(),(),,(

),

(

=!=

="!"=#<=

=

!#<

!=#<

Z P

Z P ), X P(

16 18,6 76

Si ha:

1-0.45=0.55 & cercando tale probabilità dentro la tavola si individuano i

valori 0.12 e 0.13 & (0.12+0.13)/2=0.125 & P(Z!0.125)=0.55

Adesso dobbiamo trovare il corrispondente valore x:

P(Z!0.125)=0.55 & P(Z*#+µ!0.125*#+µ)=0.55

&P(X!0.125*5+15)=0.55

Quindi il valore x richiesto t.c. P(X>x)=0.45 ovvero t.c. P(X!x)=0.55 è dato

da x= 0.125*5+15=15.625


d) Si tratta in questo caso di risolvere il problema inverso: data una

probabilità a, vogliamo determinare il valore za t.c. P(Z" za)=a.

15

45%55%



77

Calcolo di un quantile della distribuzione Normale

e) Il terzo decile è quel valore x3 tale che:

P(X " x3) = 0,3 e P(X > x3) = 0,7

Si tratta del problema inverso a quello affrontato fino ad ora: mentre

prima dovevamo ricavare una probabilità a partire da uno o due valori di

X dati, adesso ci viene fornita una probabilità (0,3) e da essa dobbiamo

ricavare un valore di X.

Per ricavare x3 si passa ancora alla Normale standard:

705

15

305

15

3

3

,)(

,)(

=

!

>

=

!

"

x Z P

e

x Z P

Z3

Z3

z3 0

0,3

78


Quindi per calcolare x3 dobbiamo prima trovare z3.

Sappiamo che z3<0, mentre le tavole si riferiscono solo a valori positivi.

Tuttavia ci aiutiamo con il fatto che z 3 è uguale a –z7 (settimo decile).

0,3

0,7

z3 z70

Poiché P(Z " z7) = $(z7) = 0,7 dobbiamo

cercare sulle tavole il valore di Z corrispondente

a 0,7 e prenderne l’opposto (per ottenere z3).

Tuttavia le tavole non riportano il

valore 0,7, quindi dobbiamo

considerare i due valori più

prosimi per difetto e per eccesso,

che sono:

0,6985 per Z=0,52

0,7019 per Z=0,53

79


Pertanto il valore di Z corrispondente a 0,7 sarà compreso tra 0,52 e

0,53, ovvero: 0,52 < z7 < 0,53

Possiamo allora approssimarlo nel seguente modo:

375125250515515cuida5

15

:auguaglianzseguentedallaricavasixdivaloreilInfine

5250ricavasicuiDa

52502

530520

333

3

3

73

7

,,

,

,

,,

=!"=!+=

"

=

"="=

=

+#

z x

x

z

z z

z

80


In fondo alla Tavola 1 sono riportati i valori di alcuni quantili z% per

valori selezionati di %.

Per valori di % o di $(z%) diversi da quelli

riportati in fondo alla tavola, per trovare il

quantile corrispondente z%

possiamo

comunque ricorrere al metodo generaleutilizzato per il punto d) dell’esercizio

precedente.



81

Esercizio (da Levine et al.)

82


83


84


= 1 – $(1,875)

Sulla tavola troviamo $(1,87) e $(1,88) per cui:

$(1,875) = [$(1,87) + $(1,88)]/2 = (0,9693 + 0,9699)/2 = 0,9696

Dunque: P(X>57,5) = 1 – $(1,875) = 1 - 0,9696 = 0,0304



85


b) Cerchiamo quel valore x* tale che P(X < x*) = 0,05

Questo valore lo possiamo trovare (in forma standardizzata) nel

rettangolo in fondo alla tavola:

Questo è il valore che lascia 0,05 sulla destra, per cui

z* è il suo opposto = -1,64485

40 55

55

55

86


b) Se la tavola non contenesse le informazioni aggiuntive

riportate nel rettangolo in basso, occorrerebbe trovare x*

seguendo lo stesso procedimento utilizzato per trovare il

3° decile (v. es. precedente). Fatelo per esercizio a casa.

Come si vede dalla figura, si tratta di trovare il 2° e l’8° decile di Z e poi di X.

Pertanto si procede come quando abbiamo ricavato X3.

87


Quindi, procedendo come già visto, si cerca il quantile diZ che lascia 0,15 alla sua sinistra:

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8 Variabili Casuali e Distribuzioni Di Probabilita