ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2


bin (x=2.2)

15-17.2

17.2-19.4

19.4-21.6

21.6-23.8

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2


bin (x=2.2) nk

15-17.2 1

17.2-19.4 3

19.4-21.6 5

21.6-23.8 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

n k

0

1

2

3

4

5

6n=10x=2.2

Numero di misure nell’intervallo


bin (x=2.2) nk Fk= nk/N

15-17.2 1 0.1

17.2-19.4 3 0.3

19.4-21.6 5 0.5

21.6-23.8 1 0.1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Fk

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6n=10x=2.2

FrequenzaNumero di misure nell’intervallo


10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Fk/ x

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30n=10

x=2.2

bin (x=2.2) nk Fk= nk/N Fk/x

15-17.2 1 0.1 0.045

17.2-19.4 3 0.3 0.136

19.4-21.6 5 0.5 0.227

21.6-23.8 1 0.1 0.045

FrequenzaDensità di frequenza

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20.1 18.5 23 20 19.5 17 19.8 21 18.6 18.2

Numero di misure nell’intervallo

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30n=1000x=0.5

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Fk/ x

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30n=10

x=2.2

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 300.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

n=100

x=1


LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA:

Funzione densità di probabilità:

2

2

2

2

1)(

x

exf

Funzione della varabile x caratterizzata da due parametri: e

gaussiana:

x

f(x)

1)(

2

1)(

0)(

dxxf

xfx

xfx

MAX


Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo l’asse x)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25 30

u=10; sigma=2


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25 30

u=10; sigma=2

u=15; sigma=2



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25 30

u=10; sigma=2

u=15; sigma=2

u=20; sigma=2



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20

u=10; sigma=2

Al variare di varia la larghezza della curva


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20

u=10; sigma=2

u=10; sigma=3

Al variare di varia la larghezza della curva


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20

u=10; sigma=2

u=10; sigma=3

u=10; sigma=5

Al variare di varia la larghezza della curvaN.B. L’area resta uguale


Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali:

corrisponde al valore vero che si vuole misurare

è legata alla precisione sulla misura: minore è la larghezza della curva, migliore è la precisione della misura

xN

N

x

N

xxxxx

N

iiN

1321 ... Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure il

valor medio risulta uguale al valore vero . Nel caso reale di un numero finito di misure, il valor medio è la miglior stima del valore vero.

x

N

ii

x

SN

N

xxS

)1(

)(1

2Nell’ipotetico caso di un numero infinito di misure la deviazione standard risulta uguale al parametro . Nel caso reale di un numero finito di misure, la deviazione standard è la miglior stima di .


Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità

L’area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di una deviazione standard.

Tale area è pari a circa 0.68. Quindi nel 68% deicasi, ci aspettiamo di trovare come risultato della misura un valore che dista meno di una deviazione standard dal valore vero

2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

=10 ; =2

x2=x



L’area tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di due deviazioni standard.

Tale area è pari a circa 0.95. La probabilità di trovare il risultato dellamisura nell’intervallo ±2σ dal valore vero è quindi pari a circa il 95%.

a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità

2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

=10 ; =2

x x2=



È possibile ricavare tale probabilità per qualsiasi intervallo, simmetricoo meno, utilizzando una tabella che fornisce le probabilità di trovare un valore in un generico intervallo simmetrico ±tσ centrato intorno al valore vero μ.

a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità

2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

=10 ; =2

t=

x1=t x2=t

LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:

2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

tt

x

xt )(

LA TABELLA DELLA GAUSSIANA:

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