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Le distribuzioni di probabilitI modelli discreti:

Distribuzione bernoullianaI modelli continui:

Distribuzione normale o di GaussIn natura si osservano delle distribuzioni empiriche; per studiarle necessario avere delle distribuzioni teoriche di riferimento. Se si considera un fenomeno discreto, come il lancio dei dadi, la distribuzione teorica pu essere assimilata alla distribuzione empirica e questo permette di calcolare le frequenze relative, la media e la deviazione standard.Se invece il fenomeno continuo si considera la funzione di densit e da questa, per integrazione, si ricavano le frequenze teoriche.Le distribuzioni teoriche1Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: Le distribuzioni di probabilit1

La distribuzione binomialeLa distribuzione binomiale si utilizza quando si considerano eventi che si possono presentare con due sole modalit, ad esempio nascita di un bambino: maschio o femmina, oppure rispondere ad una proposta: accetto o rifiuto.Es.: Nel lancio di una moneta possono verificarsi due soli eventi, evento testa ed evento croce. Il lancio di una moneta considerato un esperimento bernoulliano perch sono possibili due soli eventi, tra loro indipendenti.

Se siamo interessati allevento testa, ogni volta che, lanciando una moneta, esce testa un successo e ogni volta che esce croce un insuccesso.

Sia p la probabilit dellevento successo e q (q=1-p) la probabilit dellevento insuccesso.

Lanciando n volte la moneta levento successo pu apparire 0, 1, 2, , n volte.

Lanciando una moneta 10 volte levento testa (successo) pu verificarsi 0, 1, 2, , 9, 10 volte.2Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: La distribuzione binomiale2

Sia X la Variabile Casuale numero di successi e sia p(x) = P(X=x) la relativa funzione di probabilit.Per trovare la p(x) bisogna determinare la probabilit di ottenere in n prove, x successi consecutivi, seguiti da n-x insuccessi.Indicando con A il successo e con linsuccesso si ottiene la sequenza:

La distribuzione binomiale

Dato che gli n eventi sono indipendenti, per la legge del prodotto, la probabilit di tale sequenza di risultati :Non essendo interessati allordine in cui si presentano i successi e gli insuccessi, ma solamente al numero di successi verificatisi nel totale delle prove, la sequenza si ottiene permutando in tutti i modi possibili le n lettere A e .

3Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: La distribuzione binomiale3

Sapendo che di questi n elementi x sono uguali ad A e n-x sono uguali a si desume che il numero di sequenze :

La distribuzione binomialeCiascuna di queste sequenze ha la stessa probabilit di verificarsi. Considerato che le sequenze sono eventi disgiunti la probabilit della loro unione si ottiene sommando volte la quantit costante . In definitiva:

4Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: La distribuzione binomiale4

EsempioIn unurna ci sono N biglie di cui:biglie bianche (in proporzione p)biglie rosse (in proporzione q= 1-p)

Calcoliamo la probabilit di estrarre 2 biglie bianche in 3 estrazioni.

Descriviamo innanzitutto lo spazio campionario (spazio degli eventi = al numero delle disposizioni con ripetizione di 2 elementi presi 3 alla volta):

La probabilit di estrarre 2 biglie bianche in 3 estrazioni pu essere calcolata utilizzando la definizione di probabilit a priori, questo vero, per, solo nel caso di eventi equiprobabili. In questo caso, in cui p diverso da q, si deve invece conoscere la distribuzione di probabilit, necessario, cio definire la Variabile Casuale numero di biglie bianche ed associarci una funzione di densit. 5Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Esempio di distribuzione binomiale5

EsempioeventoP(e)RRR1/8RRB1/8RBR1/8BRR1/8RBB1/8BRB1/8BBR1/8BBB1/8

xP(x)01/813/823/831/8

Distribuzione di probabilitFunzione di densit0 biglie bianche1 biglia bianca2 biglie bianche3 biglie bianche

Leggendo nella funzione di densit e la probabilit associata a 2, vediamo 3/8 (=0.375) che non altro che la probabilit di estrarre 2 biglie bianche in 3 estrazioni.

6Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Schermata due6

EsempioSe invece utilizziamo le formule, considerando p=q=0.5, otteniamo:

Abbiamo ottenuto lo stesso risultato di prima.

Nel caso in cui invece le probabilit degli eventi non siano uguali il risultato cambia, infatti, se p=0.4 e q=0.6 si avr:7Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Schermata tre7

La forma della distribuzione binomialexP(x)01/813/823/831/8

Funzione di densitRappresentiamo graficamente la funzione di densit della Binomiale con n=3 e p=0.5

Quando le probabilit sono uguali (p=q=0.5) la distribuzione simmetrica.Quando le probabilit sono diverse, allora la distribuzione asimmetrica, tuttavia al crescere di n (per n che tende ad infinito) la distribuzione tende a diventare simmetrica.

8Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Gli indicatori di sintesi della distribuzione binomiale

Valore atteso della binomialeVarianza della binomialeCon una semplice trasformazione della Binomiale si ottiene la V.C. Binomiale relativa, che descrive la proporzione di successi in n prove bernoulliane indipendentiValore atteso della proporzione campionariaVarianza della proporzione campionaria9Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

EsercizioUnurna contiene 127 palline rosse, verdi e blu, in questa proporzione:39 rosse34 verdi54 bluEstraendo 6 palline, qual la probabilit che escano almeno 4 palline blu?Per risolvere lesercizio necessario calcolare innanzitutto le probabilit degli eventi: esce la pallina blu e non esce la pallina blu.La probabilit che esca la pallina blu si calcola rapportando il numero di eventi favorevoli al numero di eventi possibili:

Anche la probabilit che non esca la pallina blu si calcola rapportando il numero di eventi favorevoli al numero di eventi possibili:p=0.425q=0.575

Calcoliamo ora la probabilit richiesta:

10Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Esercizio10

EsercizioLa probabilit di estrarre almeno 4 palline blu in 6 estrazioni il 21,58%.

11Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Seconda schermata11

La distribuzione normaleLa curva normale, anche nota come curva di Gauss una distribuzione limite verso cui tendono molte distribuzioni teoriche, come ad esempio la binomiale al crescere del numero di prove.Questa curva approssima in modo soddisfacente molte distribuzioni empiriche, come la distribuzione degli errori di misura.

Si dice che una Variabile Casuale normalmente distribuita se la sua funzione di densit data da:

dove

uguale alla deviazione standard di X uguale alla media di X= 3.14159= 2.71828

12Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: La distribuzione normale12

Limportanza della normale nella teoria della probabilit dovuta in gran parte ai cosiddetti teoremi del limite centrale. Tali teoremi stabiliscono le condizioni sotto le quali la somma di variabili casuali tende alla normale allaumentare del numero delle variabili (convergenza in distribuzione alla normale).Rappresentiamo graficamente la curva normaleed enunciamo le sue caratteristiche.

x varia tra

La massima densit si ha per

Quindi moda, media e mediana coincidono. La curva dipende solo da x mentre la media e la deviazione standard sono costanti come anche

ed

una distribuzione simmetrica intorno alla media. A due valori di x, uguali ma di segno opposto, corrisponde la stessa f(x). Questa simmetria implica la simmetria delle due aree opposte rispetto alla media e ci dice anche che la media coincide con la mediana. Al crescere del valore assoluto di

la densit decresce e tende a 0 molto rapidamenteLa forma della distribuzione dipende dai valori di e

La distribuzione normale13Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: La distribuzione normale: rappresentazione grafica e teoremi13

La standardizzazione della curva normale consiste nel:centrare la distribuzione intorno alla media

dividere questa differenza per la deviazione standardLa V.C. generata da tale operazione la variabile standardizzata z

La z una trasformata lineare della x.

La media e la varianza di una generica V.C. distribuita come una normale possono assumere qualsiasi valore, la V.C. standardizzata Z unica con media nulla e varianza unitaria.La nuova variabile avr la seguente funzione di densit:

La distribuzione normale standardizzataIl coefficiente consente di normalizzare larea compresa tra la funzione di densit e lasse delle x. Dopo tale operazione larea vale 1 e pu essere utilizzata come spazio di probabilit. La comodit di questa nuova distribuzione, z, consiste nel fatto che stato calcolato lintegrale ed stato tabulato.

14Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

La curva normale standardizzata14

Rappresentazione della normale standardizzata. Per la variabile normale standardizzata lo scarto quadratico medio uguale a 1. Una variabile casuale aleatoria ha probabilit del 68.3% di discostarsi dalla media per meno di

15Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Probabilit di Z compreso tra -1 e 1.15

Rappresentazione della normale standardizzata.

Una variabile casuale aleatoria ha probabilit del 95.4% di discostarsi dalla media per meno di

16Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Probabilit di Z compreso tra -2 e 2.16

Rappresentazione della normale standardizzata.

Una variabile casuale aleatoria ha probabilit del 99.7% di discostarsi dalla media per meno di

17Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Probabilit di Z compreso tra -3 e 3.17

Uso delle tavole di zLe tavole, riportate nellappendice D del libro (pag.236), sono tabulate da 0 a z. I valori di Z si leggono nei marginali della tabella, mentre i valori delle probabilit si leggonoallinterno della tabella.

Trovare larea compresa tra 0 e 1

Significa trovare la probabilit che Z sia compreso tra 0 e 1Basta, quindi cercare il valore che corrisponde a Z = 1. Tale valore corrisponde a 0.3413.18Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: Uso delle tavole della Z18

EsercizioTrovare larea compresa tra 0 e 2

Significa trovare la probabilit che Z sia compreso tra 0 e 2

In questo caso, al valore di Z = 2 corrisponde unarea pari allo 0, 4772.19Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Esercizio.19

EsercizioTrovare

Ossia trovare la probabilit che Z sia compreso tra -2 e +1

+Larea tra -2 e 0 identica allarea tra 0 e 2, per cui basta sommare le due probabilit ottenendo unarea pari a 0.818520Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Seconda schermata20

Approssimazione della binomiale alla normale

See se n grande allora

* Si legge: la Binomiale si distribuisce approssimativamente come una Normale con media np e varianza npq *Estraete un campione di numerosit n=40 da una popolazione in cui il 40% delle persone ha una certa caratteristica A. Calcolate la probabilit di avere nel campione un certo numero di individui con questo carattere. Trovate ad esempio:

In questo caso:

21Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Titolo: Approssimazione della binomiale alla normale21

Per calcolare questa probabilit si utilizzano le tavole della distribuzione normale. Si standardizzano i limiti dellintervallo:

La probabilit che la caratteristica considerata appartenga a pi di 16 individui, ma a meno di 19 il 33,4%. 22Cos' la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Seconda schermata22