porblemas integrales multiples

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INTEGRAL MULTIPLE

CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO II

DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA

ESTUDIANTES:

CHUQUIRUNA CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ ANTONY SOLANO VARGAS DIEGO RENATO

CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 1: Resolver:

∫−1

0

∫0

1

(x3 y3+3 x y2)dydx

Solución:

1) IID=∫−1

0

∫0

1

(x3 y3+3 x y2)dydx

2) Región de integración:

3) IID=

∫−1

0

∫0

1

(x3 y3+3 x y2)dydx=−9/16

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 1

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 2: Resolver

∫0

1

∫0

1xy

√ x2+ y2+1dydx

Solucion

1) IID =∫0

1

∫0

1xy

√ x2+ y2+1dydx

2) Región de integración:

3) IID =∫0

1

∫0

1xy

√ x2+ y2+1dydx

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 2

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 3: Resolver

∫0

1

∫−√1− x2

√1−x2

3 ydydx

Solución

1) IID =∫0

1

∫−√1− x2

√1−x2

3 ydydx

2) Región de integración:

3) IID =∫0

1

∫−√1− x2

√1−x2

3 ydydx

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 3

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 4:

A: Resolver

∬R

❑

1/ xdA

Solución

1) IID=∬R

❑

1/ xdA

2) Región de integración: R={(x , y) / y2≤x ≤ y4∧1< y<℮ }

3) IID=∬R

❑

1/ xdA ,dA=dxdy

II D=∫1

ϵ

∫y2

y4

1/ x dxdy

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 4

integraL multiple Ing. Civil

B: Resolver

∬R

❑

x2 y √1−x3− y3dA

Solución

1) IID=∬R

❑

x2 y √1−x3− y3dA2) Región de integración:R={(x , y) /x ≥0 , y ≥0∧ x3+ y3≤1 }

3) IID=∬R

❑

x2 y √1−x3− y3dA ,dA=dxdy

II D=∫0

1

∫0

3√1− y3

x2y √1−x3− y3dxdy

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 5

integraL multiple Ing. Civil

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 6

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 5. Hallar el volumen del solido que esta debajo de la superficie f ( x , y )=x2+ y2 y sobre el rectangulo R=[-2,2] x [-3,3]

SOLUCION

I. Gráfico del Sólido:

S: f ( x , y )=x2+ y2

Sea z=f (x , y )→z=x2+ y2 Paraboloide de revolución o circular

Si: x=0→z= y2 Si: y=0→z=x2 Si: z=0→x=0∧ y=0Si: z=k→ x2+ y2=k

II. Volumen: V

dV=z dydx→dV=∬R

❑

zdydx

R={( x , y )/−2≤x ≤2∧−3≤ y≤3 }

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 7

integraL multiple Ing. Civil

V=∫−3

3

∫−2

2

x2+ y2dxdy V=∫−3

323

3+2 y2+ 2

3

3+2 y2dy

V=∫−3

3

¿¿

V=¿ ¿

V=104 unid3

PROBLEMA 6. Calcular el volumen delimitado por las superficies:

z=1− x2∧ Cilindro parabolico

y=z∧ Plano

x=0∧ Plano YZ

z=0∧ Plano XY

y=5 Plano paralelo a XZ

SOLUCION

I. GRAFICO DEL SÓLIDO:

dV=(5− y )dz dx

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 8

integraL multiple Ing. Civil

II. Volumen del sólido: V

dV=(5− y )dz dx→V=∬R

❑

(5− y )dz dx

V=∫0

1

∫0

1− x2

(5−z )dzdx

V=∫0

1

[5 z− z22 ]0

z

dx

V=5 [x− x33 ]0

1

−12∫01

(1+x4−2x2 )dx

V=5 ( 23 )−12 [1+ 15−23 ]V= 46

15unid3

PROBLEMA 7: Hallar el área de la región plana limitada por la recta y=x−1 y la parábola y2=2 x+6.

SOLUCIÓN

1) Gráfica de la región R

L : y=x−1C : y2=2x−6

x=12y2−3 (Parábola de eje horizontal y vértice v=(−3,0) )

L∩C : y+1= y2

2−3

y=−2∧ y=4

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 9

integraL multiple Ing. Civil

R={(x , y)/ y2

2−3≤x ≤ y+1∧−2≤ y≤4 }

2) Área de la región R.

A(R)=∬R

❑

dA=∫−2

4

∫y2

2−3

y+1

dx .dy

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 10

integraL multiple Ing. Civil

3)

∬R

❑

dA=18und2

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 11

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 8: Hallar el área de la región plana limitada por las gráficas de las funciones y=x3−2x y=6x−x3

SOLUCIÓN

1) Gráfica de la región R.

C1 : y=x3−2 x=x (x2−2 )=x (x−√2)(x+√2)

y '=3 x2−2=0

3(x2−23)=0

3(x−√ 23 )(x+√ 23 )=0

+ _ +

−√ 23 √ 23 (Existe máximo) (Existe mínimo)

C2 : y=6 x−x3=−x (x2−6 )=−x (x−√6)(x+√6)

y '=6−3 x2=0 - 3(x2−2)=0

−3(x−√2)(x+√2)=0

_ + _

−√2 √2 (Existe máximo) (Existe mínimo)

C1∩C2 : x3−2 x=6 x−x3

2 x3−8 x=0

x=−2,0,2

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 12

integraL multiple Ing. Civil

R={(x , y) /≤ x≤2∧ x3−2 x≤ y ≤6 x−x3 }

2) Área de la región R: A(R)

A(R)=2.∬R

❑

dA=2.∫−2

4

∫x3−2 x

6x− x3

dy .dx

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 13

integraL multiple Ing. Civil

3)

2.∬R

❑

dA=16und2

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 14

integraL multiple Ing. Civil

PROBLEMA 9: Evaluar la integral ∬ xydA en la región R descrita a continuación.

SOLUCIÓN

1)

IID=∬R1

❑

xydA+∬R2

❑

xydA+∬R3

❑

xydA

IID=∫−1

0

∫−1

1+ x2

xydydx+∫0

1

∫√ x

1+ x2

xydydx+∫−1

0

∫0

y2

xydxdy

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 15

integraL multiple Ing. Civil

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 16

integraL multiple Ing. Civil

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 17

integraL multiple Ing. Civil

2)

∬R1

❑

xydA+∬R 2

❑

xydA+∬R3

❑

xydA=0

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 18