View
48
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
primjenjena matematika i statistika pitanja,
Citation preview
1. Šta je prim(i)jenjena matematika, a šta numerička matematika? Šta je numerička analiza a šta numerička algebra? Šta je predmet, a šta su zadaci izučavanja
prim(i)jenjene matematike, a šta numeričke matematike?
2. Opišite značaj numeričke matematike i pojam numeričke metode.
3. Šta je operator, a šta funkcional? Navedite primjere operatora i funkcionala.
Definicija D.1.1. Neka su (X, d ) i (Y, ) metrički prostori i neka je D podskup skupa X.
Preslikavanje A : D Y često se naziva i operatrom i piše Ax = y umjesto A(x) = y za xD, yY.
Operator definiran na nekom skupu metričkog prostora, čije su vrijednosti realni
ili kompleksni brojevi, naziva se funkcional.
4. Objasnite pojam fiksne (nepokretne) tačke operatora i opišite opšti metod
uzastopnih aproksimacija.
Definicija D.2.1. Ako je A operator koji preslikava metrički prostor X u taj isti prostor, onda se tačka xX u jednačini A x = x naziva nepokretna (fiksna) tačka operatora A.
5. Formulišite Banachov teorem o fiksnoj tački, a zatim objasnite njegov značaj i primjenu u numeričkoj matematici.
(Banachov stav o nepokretnoj tački). Ako je A operator stegnutog preslikavanja koji preslikava poptun metrički prostor (X, d ) u samog sebe, onda on ima jedinstvenu nepokretnu tačku i tu tačku možemo dobiti metodom uzastopnih aproksimacija pri proizvoljnoj (početnoj) tački x0X .
6. Na konkretnom (po vlastitom izboru) primjeru objasnite postupak (koji se piše
u obliku y = A(x) ( = Ax) , gdje je A operator) približnog određivanja neke
veličine y na osnovu zadane veličine x
7. Računanje sa približnim veličinama. Greške. Kako se prema porijeklu dijele greške ?
-neotklonjive greske;- greške metode ili odsijecanja;- računske greške li greške zaokruživanja;
8. Definirajte (ili objasnite na konkretnim primjerima) sljedeće pojmove: približan
broj, greška približnog broja, apsolutna greška, granica apsolutne greške,
relativna greška, granica relativne greške, procentualna greška, promilna greška.
9. Značajna cifra i sigurna (pouzdana) cifra (u užem i širem smislu) približnog broja. Objasnite kako se vrši zaokruživanje brojeva (odbacivanje cifara koje nisu sigurne). Ilustrujte to na primjerima.
11. Definirajte pojmove stabilnog i nestabilnog algoritma u numeričkoj matematici,
a zatim navedite, uz detaljno obrazloženje, konktrene primjere takvih algoritama.
12. Definirajte sljedeće pojmove o greškama približnih vrijednosti realnih funkcija
f od n realnih promjenljivih: apsolutna greška funkcije, linearna ocjena
apsolutne greške funkcije f, te (u obrnutom problemu iz teorije grešaka funkcija,
u kojem je pored zadane greške funkcije zadana i neka veza između argumenata
posmatrane funkcije) princip jednakih uticaja, princip jednakih apsolutnih grešaka
i princip jednakih relativnih grešaka.
13. Opišite uobičajene etape u približnom određivanju korijena algebarskih I
trancendentnih jednačina, a zatim formulišite i dokažite teoremu o
ocjeni greške približnog korijena jednačine (primjenom prvog izvoda funkcije).
U postupku rješavanja nelinearnih jednacina možemo razlikovati dvije faze, ito: ² lokalizacija nula,
² poboljšanje rješenja
Lokalizacija nula predstavlja grubo (približno) pronalaženje rješenja koje može
poslužiti kao pocetna aproksimacija u nekoj sistematskoj proceduri pronalaženja,koja poboljšava rješenje do odre.ene tacnosti.
Poboljšanje rješenja predstavlja odre.ivanje rješenja do željene tacnosti pomocuneke od sistematskih procedura. U tu svrhu mogu se koristiti:² Metode na zatvorenom intervalu² Metode na otvorenom intervalu.
14. Šta je približno rješenje jednačine? Šta je interval izoliranosti rješennja?
Približno riješenje jednačine je rješenje dobiveno nekom sistemskom procedurom koje se od stvarnog /tačnog riješenja razlikuje za dozvoljenu grešku.
16. Sistemi linearnih jednačina: direktni i iterativni postupci. Navedite metode
za numeričko rješavanje sistema linearnih jednačina, te opišite Gaussov
algoritam.
17. Polinomi. Lokalizacija i određivanje korijena polinoma.
18. Navedite metode približnog rješavanja nelinearnih algebarskih i
transcendentnih jednačina, a zatim opišite grafičko rješavanje
jednačina, metodu polovljenja razmaka i metodu proste iteracije.
Metode na zatvorenom intervalu su:
-polovljenje intervala, metoda regula falsi
Metode na otvorenom intervalu su:
.prosta iteracija, metoda sječice/sekante, Njutn-rapsotonova metoda/metoda tangente
Metoda polovljenja intervala
Metoda regula falsi
U metodi regula falsi (što u prevodu znaci metoda netacnog položaja), nelinearnafunkcija f(x) se aproksimira linearnom funkcijom g(x) u intervalu (a; b),a korijen te linearne funkcije g(x), x = », se uzima kao sljedeca aproksimacijakorijena nelinearne jednacine f(x) = 0. S obzirom na linearnu interpolaciju nelinearne funkcije, ova metoda se još naziva i linearna interpolaciona metoda.),
Metoda proste interacije
19. Objasnite metodu sekante za numeričko rješavanje algebarskih i
trancendentnih jednačina.
20. Objasnite metodu tangente (Newtonov metoda, Newton-Raphsonova
metoda). Pripremite za tu metodu jednačinu e x – 3 x 1.
21. Objasnite izmijenjeni Newtonov metod i kombinovani metod za
numeričko rješavanje algebarskih i trancendentnih jednačina.
22. Opišite metodu iteracije za numeričko rješavanje jednačina. Pripremite
za tu metodu jednačinu e x – 3 x 1.
23. Šta je ocjena greške približne metode rješavanja jednačine, a šta je tačnost
rješenja jednačine? Objasnite na primjeru metoda tangente i iteracije.
24. Iterativne metode za sisteme nelinearnih jednačina.
25. Šta se u numeričkoj matematici podrazumijeva pod pojmom interpolacija,
a šta pod pojmom aproksimacija ? Koji se osnovni zahtjevi
postavljaju kod interpolacije? Objasnite te zahtjeve.
U mnogim inženjerskim problemima, podaci koji se posmatraju su poznatisamo za niz diskretnih tacaka, a ne kao kontinuirana funkcija. Na primjer,može se desiti da je (kontinuirana) funkcija y = f(x) (4.1) poznata samo u n diskretnih vrijednosti x, tj.:yi = y(xi) (i = 1; 2; : : : ; n) (4.2)Me.utim, velicine diskretnih podataka nisu uvijek ono što nama treba, negonam ponekad trebaju i vrijednosti funkcije u nekim drugim tackama (interpolacija,ekstrapolacija). Tako.er, mogu nam trebati izvodi takve zavisnosti(diferenciranje), ili integral (integriranje). Ovo i sljedece poglavlje su u uskojvezi sa interpolacijom, diferenciranjem i integriranjem diskretnih podataka.Svi ovi procesi se izvršavaju aproksimiranjem diskretnih podataka pomocuneke približne funkcije, i izvršenjem željenog procesa.Postoji veliki broj razlicitih funkcija koje se mogu koristiti kao približnefunkcije. U stvari, svaka algebarska funkcija se može koristiti u tu svrhu.Ipak, najcešce korištene funkcije su:1. polinomi, a narocito linearne aproksimacione funkcije,2. trigonometrijske funkcije,3. eksponencijalne funkcije.Pri tome, ove funkcije trebaju imati sljedece osobine:Interpolacija i aproksimacija funkcija1. lako odre.ivanje,2. lako izracunavanje,3. lako diferenciranje,4. lako integriranje.Postoje dva fundamentalno razlicita pristupa za odre.ivanje približnih funkcijakoje se koriste za opisivanje zavisnosti grupe podataka:1. interpolacija, ili tacno poklapanje2. aproksimacija, ili približno poklapanje.Interpolacija dovodi do funkcija koje tacno prolaze kroz sve zadate tacke, kaošto je to pokazano na slici 4.1a. Interpolacija se obicno koristi za mali brojpodataka. Nasuprot tome, aproksimacijom se dolazi do funkcija koje prolazekroz grupu podataka na najbolji moguci nacin, bez obaveze da tacno pro.ukroz zadate tacke (slika 4.1b). Aproksimacija je veoma pogodna za velikegrupe podataka, lijepo grupisane podatke, te male i velike grupe razbacanihpodataka.
26. Izvedite analitičke izraze za Lagrangeov interpolacioni polinom i za
ocjenu odgovarajuće greške interpolacije tim polinomom .
27. Opišite Hermiteov interpolacioni polinom i drugi Newtonov
interpolacioni polinom.
28. a) Izvedite formulu za prvi Newtonov interpolacioni polinom, a zatim
dokažite da je taj polinom opštiji od Taylorovog polinoma.
b) Razmotriti sljedeći primjer. Mjerenjem smo dobili sljedeće podatke
za funkciju y : = f (x):
x i || -1 0 1 2
yi || 4 6 2 16
(i) Odredite Lagrangeov ili prvi Newtonov ili drugi Newtonov interpolacioni
polinom kojemu graf (ik) prolazi zadanim tačkama u navedenoj tabeli.
(ii) Procijenite vrijednost veličine f (x), ako je vrijednost veličine x jednaka
0,5 odnosno 1.5 (to su interpolacije).
(iii) Procijenite vrijednost veličine y, ako je vrijednost veličine x jednaka 3
to je ekstrapolacija).
29. a) Linearni spline. b) Kubni spline.
b) Razmotriti sljedeći primjer. Mjerenjem smo dobili sljedeće podatke za
funkciju y : = f (x):
x i || -1 0 1 2
yi || 4 6 2 16
(i) Koristeći metod : 1) linearnog splinea, 2) kubnog splinea interpolirajte
zadanu funkciju.
(ii) Procijenite vrijednost veličine f (x), ako je vrijednost veličine x jednaka 0.5,
odnosno 1.5.
(iii) Procijenite vrijednost veličine f (x), ako je vrijednost veličine x jednaka 4.
30. Objasnite metodu najmanjih kvadrata i navedite tipične primjere u
inženjerstvu u kojima se primjenjuje ta metoda.
31. Definirajte/objasnite sve neophodne uvodne pojmove za numeričku
integraciju, a zatim navedite (i jednu od njih i opišite) osnovne metode za
numeričku integraciju. ,
32. Opišite metodu pravougaonika za približno izračunavanje određenih
integrala.
33. Opišite trapezno pravilo za numeričku integraciju.
34. Opišite Simpsonovo pravilo za numeričku integraciju, te tom metodom
približno izračunajte određeni integral neke konkretne funkcije za koju
ne možemo primijeniti Newton - Leibnizovu formulu (za izračunavanje
određenog integrala pomoću primitivne funkcije).
35. Newton-Cotesove integracione formule.
36. Objasnite približno diferenciranje (deriviranje) i navedite osnovne metode
numeričkog diferenciranja ( i jednu od njih opišite). Šta se može reći po
pitanju stabilnosti tih metoda i poznatih metoda za numeričku integraciju?
37. Numeričke metode za obične diferencijalne jednačine. Navedite osnovne metode za numeričko rješavanje diferencijalnih jednačina i sistema diferencijalnih jednačina, a zatim formulišite teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja diferencijalne jednačine prvog reda i opišite metod uzastopnih aproksimacija za numeričko rješavanje diferencijalnih jednačina.
38. Objasnite Eulerova metodu i njenu modifikaciju.
39. Metoda Runge - Kutta
40. Metoda diskretizacije
Recommended