1.  Šta je prim(i)jenjena matematika, a šta numerička matematika?  Šta je  numerička         analiza a šta numerička algebra? Šta je predmet, a šta su zadaci izučavanja 

prim(i)jenjene matematike, a šta numeričke matematike?

            2.   Opišite značaj  numeričke matematike i pojam numeričke  metode.        

3. Šta je operator, a šta funkcional? Navedite primjere operatora i funkcionala.

Definicija D.1.1. Neka su (X, d ) i (Y, ) metrički prostori i neka je D podskup skupa X.

Preslikavanje A : D Y često se naziva i operatrom i piše Ax = y umjesto A(x) = y za xD, yY.

Operator definiran na nekom skupu metričkog prostora, čije su vrijednosti realni

ili kompleksni brojevi, naziva se funkcional.

 4.  Objasnite pojam fiksne (nepokretne) tačke operatora i opišite opšti metod

              uzastopnih aproksimacija. 

Definicija D.2.1. Ako je A operator koji preslikava metrički prostor X u taj isti prostor, onda se tačka xX u jednačini A x = x naziva nepokretna (fiksna) tačka operatora A.

  5.  Formulišite Banachov teorem o fiksnoj tački, a zatim objasnite njegov značaj  i primjenu u  numeričkoj matematici.

(Banachov stav o nepokretnoj tački). Ako je A operator stegnutog preslikavanja koji preslikava poptun metrički prostor (X, d ) u samog sebe, onda on ima jedinstvenu nepokretnu tačku i tu tačku možemo dobiti metodom uzastopnih aproksimacija pri proizvoljnoj (početnoj) tački x0X .

  6.  Na konkretnom (po vlastitom izboru) primjeru objasnite postupak (koji se piše

          u obliku  y =  A(x)  ( = Ax) , gdje je  A operator) približnog  određivanja neke

           veličine  y na osnovu zadane veličine  x

  7.  Računanje sa približnim veličinama. Greške. Kako se prema porijeklu dijele  greške ?

-neotklonjive greske;- greške metode ili odsijecanja;- računske greške li greške zaokruživanja;

8.  Definirajte (ili objasnite na konkretnim primjerima) sljedeće pojmove: približan

       broj, greška približnog broja, apsolutna greška, granica apsolutne greške,

       relativna greška, granica relativne greške, procentualna greška, promilna greška.

      

9.  Značajna cifra  i sigurna  (pouzdana) cifra  (u užem i širem smislu)  približnog broja. Objasnite kako se vrši zaokruživanje brojeva (odbacivanje cifara  koje nisu sigurne). Ilustrujte to na primjerima.

11.    Definirajte pojmove stabilnog i nestabilnog algoritma u numeričkoj matematici,

              a zatim navedite, uz detaljno obrazloženje, konktrene primjere takvih algoritama.

12.    Definirajte sljedeće pojmove o greškama približnih vrijednosti realnih funkcija

        f od  n  realnih promjenljivih: apsolutna greška funkcije, linearna ocjena

       apsolutne greške funkcije  f, te (u obrnutom problemu iz teorije grešaka funkcija,

       u kojem je pored zadane greške funkcije zadana i neka veza između  argumenata

       posmatrane funkcije) princip jednakih uticaja, princip jednakih  apsolutnih grešaka

       i princip jednakih relativnih grešaka.

13.    Opišite uobičajene etape u približnom određivanju korijena  algebarskih I

      trancendentnih jednačina, a zatim formulišite i dokažite teoremu  o

       ocjeni greške  približnog korijena  jednačine (primjenom prvog izvoda funkcije).

U postupku rješavanja nelinearnih jednacina možemo razlikovati dvije faze, ito: ² lokalizacija nula,

² poboljšanje rješenja

Lokalizacija nula predstavlja grubo (približno) pronalaženje rješenja koje može

poslužiti kao pocetna aproksimacija u nekoj sistematskoj proceduri pronalaženja,koja poboljšava rješenje do odre.ene tacnosti.

Poboljšanje rješenja predstavlja odre.ivanje rješenja do željene tacnosti pomocuneke od sistematskih procedura. U tu svrhu mogu se koristiti:² Metode na zatvorenom intervalu² Metode na otvorenom intervalu.

      14.    Šta je približno rješenje jednačine? Šta je interval izoliranosti rješennja?

Približno riješenje jednačine je rješenje dobiveno nekom sistemskom procedurom koje se od stvarnog /tačnog riješenja razlikuje za dozvoljenu grešku.

16. Sistemi linearnih jednačina: direktni i iterativni postupci. Navedite metode

     za numeričko  rješavanje sistema linearnih jednačina, te opišite Gaussov

      algoritam.

  17.  Polinomi. Lokalizacija i određivanje korijena polinoma.

  18.  Navedite metode približnog  rješavanja  nelinearnih algebarskih i

         transcendentnih jednačina, a zatim opišite grafičko rješavanje 

         jednačina, metodu polovljenja razmaka i metodu proste iteracije.

Metode na zatvorenom intervalu su:

-polovljenje intervala, metoda regula falsi

Metode na otvorenom intervalu su:

.prosta iteracija, metoda sječice/sekante, Njutn-rapsotonova metoda/metoda tangente

Metoda polovljenja intervala

Metoda regula falsi

U metodi regula falsi (što u prevodu znaci metoda netacnog položaja), nelinearnafunkcija f(x) se aproksimira linearnom funkcijom g(x) u intervalu (a; b),a korijen te linearne funkcije g(x), x = », se uzima kao sljedeca aproksimacijakorijena nelinearne jednacine f(x) = 0. S obzirom na linearnu interpolaciju nelinearne funkcije, ova metoda se još naziva i linearna interpolaciona metoda.),

Metoda proste interacije

19. Objasnite metodu sekante za numeričko rješavanje algebarskih i

       trancendentnih jednačina.

    

 

  20. Objasnite metodu tangente (Newtonov metoda, Newton-Raphsonova

              metoda). Pripremite za  tu metodu jednačinu  e  x – 3 x 1.

       21.  Objasnite  izmijenjeni  Newtonov metod  i kombinovani metod  za

              numeričko rješavanje algebarskih i trancendentnih jednačina.

       22.  Opišite metodu  iteracije za numeričko rješavanje jednačina. Pripremite

              za tu  metodu jednačinu  e  x – 3 x 1.

       23.   Šta je ocjena greške približne metode rješavanja jednačine, a šta je tačnost

               rješenja jednačine? Objasnite na primjeru metoda tangente i iteracije.

       24.   Iterativne metode za sisteme nelinearnih jednačina.

  25.  Šta se u numeričkoj matematici podrazumijeva pod pojmom interpolacija,

          a šta  pod  pojmom aproksimacija ? Koji se osnovni zahtjevi 

          postavljaju kod interpolacije? Objasnite te zahtjeve.

U mnogim inženjerskim problemima, podaci koji se posmatraju su poznatisamo za niz diskretnih tacaka, a ne kao kontinuirana funkcija. Na primjer,može se desiti da je (kontinuirana) funkcija y = f(x) (4.1) poznata samo u n diskretnih vrijednosti x, tj.:yi = y(xi) (i = 1; 2; : : : ; n) (4.2)Me.utim, velicine diskretnih podataka nisu uvijek ono što nama treba, negonam ponekad trebaju i vrijednosti funkcije u nekim drugim tackama (interpolacija,ekstrapolacija). Tako.er, mogu nam trebati izvodi takve zavisnosti(diferenciranje), ili integral (integriranje). Ovo i sljedece poglavlje su u uskojvezi sa interpolacijom, diferenciranjem i integriranjem diskretnih podataka.Svi ovi procesi se izvršavaju aproksimiranjem diskretnih podataka pomocuneke približne funkcije, i izvršenjem željenog procesa.Postoji veliki broj razlicitih funkcija koje se mogu koristiti kao približnefunkcije. U stvari, svaka algebarska funkcija se može koristiti u tu svrhu.Ipak, najcešce korištene funkcije su:1. polinomi, a narocito linearne aproksimacione funkcije,2. trigonometrijske funkcije,3. eksponencijalne funkcije.Pri tome, ove funkcije trebaju imati sljedece osobine:Interpolacija i aproksimacija funkcija1. lako odre.ivanje,2. lako izracunavanje,3. lako diferenciranje,4. lako integriranje.Postoje dva fundamentalno razlicita pristupa za odre.ivanje približnih funkcijakoje se koriste za opisivanje zavisnosti grupe podataka:1. interpolacija, ili tacno poklapanje2. aproksimacija, ili približno poklapanje.Interpolacija dovodi do funkcija koje tacno prolaze kroz sve zadate tacke, kaošto je to pokazano na slici 4.1a. Interpolacija se obicno koristi za mali brojpodataka. Nasuprot tome, aproksimacijom se dolazi do funkcija koje prolazekroz grupu podataka na najbolji moguci nacin, bez obaveze da tacno pro.ukroz zadate tacke (slika 4.1b). Aproksimacija je veoma pogodna za velikegrupe podataka, lijepo grupisane podatke, te male i velike grupe razbacanihpodataka.

  26.  Izvedite analitičke izraze  za Lagrangeov interpolacioni polinom i  za

         ocjenu odgovarajuće greške interpolacije tim polinomom .

  27.  Opišite Hermiteov interpolacioni polinom  i  drugi Newtonov

         interpolacioni polinom.

   28.  a) Izvedite formulu za prvi Newtonov interpolacioni polinom, a zatim

                  dokažite da je taj polinom  opštiji od Taylorovog  polinoma.

         b) Razmotriti sljedeći primjer. Mjerenjem smo dobili sljedeće podatke

              za funkciju   y : =  f (x):

                                                   x i || -1   0     1     2

                                                   yi ||  4   6   2   16

              (i)  Odredite Lagrangeov ili  prvi Newtonov ili drugi Newtonov interpolacioni

                    polinom kojemu graf (ik) prolazi zadanim tačkama u navedenoj tabeli.

             (ii)  Procijenite vrijednost veličine f (x), ako je vrijednost veličine x jednaka

                    0,5 odnosno 1.5 (to su interpolacije).

             (iii)  Procijenite vrijednost veličine y, ako je vrijednost veličine  x jednaka 3

                     to je ekstrapolacija).

29.   a) Linearni spline.  b) Kubni spline.  

              b) Razmotriti sljedeći primjer. Mjerenjem smo dobili sljedeće podatke za

                   funkciju   y : =  f (x):  

                                                   x i || -1     0   1     2

                                                   yi ||  4    6   2  16

              (i)  Koristeći metod : 1) linearnog splinea,  2) kubnog  splinea interpolirajte

                    zadanu funkciju.

             (ii)  Procijenite vrijednost veličine f (x), ako je vrijednost veličine x jednaka 0.5,

                    odnosno 1.5.

             (iii)  Procijenite vrijednost veličine f (x), ako je vrijednost veličine x jednaka  4.

    

   30.  Objasnite metodu najmanjih kvadrata i navedite tipične primjere u

              inženjerstvu u kojima se primjenjuje ta metoda.

  31.  Definirajte/objasnite sve neophodne uvodne pojmove za numeričku

              integraciju, a zatim navedite (i jednu od njih i opišite) osnovne metode  za

              numeričku integraciju. ,

  32.  Opišite metodu pravougaonika za približno izračunavanje  određenih

         integrala.

33. Opišite  trapezno pravilo za numeričku integraciju.

  34. Opišite Simpsonovo pravilo za numeričku integraciju, te tom metodom

        približno izračunajte određeni integral neke konkretne funkcije za koju

        ne možemo primijeniti Newton - Leibnizovu formulu (za izračunavanje 

        određenog integrala pomoću primitivne funkcije).

      35. Newton-Cotesove integracione formule.

       36. Objasnite približno diferenciranje (deriviranje) i  navedite osnovne metode

        numeričkog diferenciranja ( i jednu od njih opišite). Šta se može reći po

        pitanju stabilnosti tih metoda i  poznatih metoda za numeričku  integraciju?

 37. Numeričke metode za obične diferencijalne jednačine. Navedite osnovne  metode   za numeričko rješavanje diferencijalnih jednačina i sistema diferencijalnih jednačina, a zatim formulišite teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja  diferencijalne jednačine prvog  reda i  opišite metod uzastopnih aproksimacija za numeričko rješavanje diferencijalnih jednačina.

  38. Objasnite Eulerova metodu i njenu modifikaciju.

        39. Metoda Runge - Kutta

  40. Metoda diskretizacije