Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan...

P E N A K S I R A N T I T I K

P E N A K S I R A N S E L A N G S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K R A T A A N

S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K V A R I A N S I

M A 2 0 8 1 S T A T I S T I K A D A S A R 1 7 M A R E T 2 0 1 4

U T R I W E N I M U K H A I Y A R

PENAKSIRAN

METODE PENAKSIRAN

2

Penaksiran

Titik

1 Penaksiran

Selang

2

Nilai tunggal dari suatu parameter

melalui pendekatan metode tertentu.

Nilai sesungguhnya dari suatu

parameter berada di selang tertentu.

Contoh 1. Seorang mahasiswa

mengulang kuliah Statdas, ketika di

awal perkuliahan, memiliki target

nilai lulus matkul Statdas adalah A.

Contoh 2. Seiring berjalannya

waktu, mahasiswa tersebut

mengubah target nilai lulus matkul

Statdas adalah minimal AB

Nilai : A = 4 IP : AB = [3.5, 4]

ILUSTRASI

Parameter sampel menaksir parameter populasi

3

Parameter Populasi

σ2 µ

Parameter Sampel

menaksir

Populasi

Sampel

? ?

titik??

selang??

PENAKSIRAN TITIK

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan.

X

22 s

4

X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik

dan paling efisien bagi dan 2?

PENAKSIR TAKBIAS DAN PALING EFISIEN

Definisi

• Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,

]ˆ[ˆ E

5

Dari semua penaksir takbias yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien

2ˆ

2ˆ

21

PENAKSIR TAK BIAS UNTUK DAN 2

Misalkan peubah acak X ~ N(,2)

• penaksir tak bias untuk .

• penaksir takbias untuk 2.

6

n

i

iXn

X1

1

n

i

i XXn

s1

22

1

1

Bukti : dengan menunjukkan bahwa,

][XE

22][ sE

PENAKSIRAN SELANG

dan dicari sehingga memenuhi :

7

1 2

1ˆˆ21P

taraf/koefisien keberartian

2 21

21ˆˆ

1

Taksiran selang suatu parameter populasi :

dan : nilai dari peubah acak dan

21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang

berdasarkan sampel acak.

dengan 0 < < 1.

SKEMA PENAKSIRAN

8

POPULASI

µ σ2

1 POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI

σ2

diketahui σ2 tidak

diketahui

D

σ12 , σ2

2

diketahui σ1

2 = σ22

tidak diketahui σ1

2 ≠ σ22

tidak diketahui

1 POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI

D

Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t

Tabel 2

1n Tabel 1 2,v v

F

KURVA NORMAL BAKU (Z~N(0,1)) MENGHITUNG TABEL z

9

= 0

1 -

/2 /2

z1-/2 -z1-/2

(1-/2)

= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975

dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.

P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)

KURVA T-STUDENT (T~TV) MENGHITUNG TABEL t

10

/2 /2

= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025

dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262

= 0

1 -

/2 /2

t/2 -t/2

P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK

• Kasus 1 populasi, 2 diketahui

1

21

21

zZzP

nzX

nzX

21

21

11

TLP : )1,0(~/

NZn

X

1

21

21 n

zXn

zXP

SK (1-) untuk jika 2 diketahui :

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK

• Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui

1

22

tTtP

2 2

s sX t X t

n n

12

2 2

1s s

P X t X tn n

SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :

1~/

n

Xt

s n

CONTOH 1

• Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam, dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

13

CONTOH 2

• Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan contoh 2?

14

ANALISIS CONTOH

Contoh 1 Contoh 2 Diketahui : n = 50 , , σ = 10

n = 50 , , S = 10

Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)

Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2

diketahui, kasus menaksir dengan 2

tidak diketahui,

Jawab : z1-/2 = z0,99 = 2,33 t/2;n-1 = t0,01;49 = 2,326

15

55X 55X

nzX

nzX

21

21

n

StX

n

StX

22

SOLUSI CONTOH 1 DAN 2 SELANG KEPERCAYAAN UNTUK

10 1055 2,33 55 2,33

50 50

51,705 58,295

16

1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.

10 10

55 2,326 55 2,32650 50

51,711 58,290

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2

KASUS 2 POPULASI

1. SK (1-) untuk (1 - 2) jika 12 dan 2

2

diketahui

17

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 2

1 2 1 2

( ) ( )X X Z X X Zn n n n

2

X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2

2)

1

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2

KASUS 2 POPULASI 18

2. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2

2

2 2 2 2

1 2 1 21 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

( ) ( ) s s s s

X X t X X tn n n n

22 2

1 2

1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

dimana ( / ) ( / )

1 1

s s

n n

s n s n

n n

3. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 = 2

2

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2

KASUS 2 POPULASI 19

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s

n n n n

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)dimana

2

p

n S n SS

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 12

1 2

1 2

atau 2

2

n n n n

p

X X X X

X X n X X n

Sn n

JK JK

n n

dan v = n1 + n2 - 2

PENGAMATAN BERPASANGAN

Ciri-ciri:

• Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan

• Data berasal dari satu populasi yang sama

Contoh

• Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan 2000

• Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia

20

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK D

SK untuk selisih pengamatan berpasangan

dengan rataan dan simpangan baku Sd :

21

1; 1;

2 2

d dn D n

s sd t d t

n n

d

d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.

dimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.

KURVA KHI KUADRAT (X~ ) MENGHITUNG TABEL

22

0 2

2

2

21

2

v2

/2

/2

1 -

12

2

22

21

XP

023,192

9;025,0

2

1,2

n

= 5% dan n =10 maka,

7,22

9;975,0

2

1,2

1

n

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK σ2

• Kasus 1 populasi

23

2 22

2 2

/2 1 /2

( 1) ( 1)1

n s n sP

22 2

12

( 1)~ n

n sX

12

2

22

21

XP

2 22

2 2

( 1); ( 1);12 2

( 1) ( 1)

n n

n s n s

SK (1 - ) 100% untuk 2 :

KURVA FISHER (F~ ) MENGHITUNG TABEL F

24

0

2

f2

1

f

/2

/2

1 -

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

21 ,vvF

36,48,9;025,01,1;

221

ffnn

= 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan

24,01,4

111

9,8;975,01,1;

2

1,1;2

1

12

21

fff

nn

nn

1,1;2

1,1;2

1

12

21

1

nn

nn ff

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 12

/22

• Kasus 2 populasi 25

1 2

2 2

2 1

2 2, ,

1 2 2

~v v

sF f

s

SK (1 - ) 100% untuk 12 /2

2 :

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

2 1

1 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2; ,

2 2 2 2; ,

2

11

v v

v v

s sP f

s f s

2 1

1 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2; ,

2 2 2 2; ,

2

1

v v

v v

s sf

s f s

REFERENSI

• Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007.

26