MUH1F3 Probabilitas dan Statistika ADosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si[IFIK-41-03] Senin 11.30-13.30 KU3.02.22, Jumat 13.30-15.30 KU3.04.18[IFX-42-02] Rabu 07.30-09.30 KU3.03.15, Jumat 06.30-08.30 KU3.04.18

[Materi Statistika]

• Minggu 1 Statistika deskriptif

• Minggu 2 Tipe kejadian dan Peluang

• Minggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes)

• Ujian CLO 1 Materi Minggu 1-3

• Minggu 4-5 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi

• Ujian CLO 2 Materi Minggu 4-5

• Minggu 6 Peubah Acak Bivariat

• Minggu 7-8 Fungsi Peluang dan Distribusi Gabungan, Kovariansi danKorelasi

• Ujian CLO 3 Materi Minggu 6-8

• Minggu 9-10 Penaksiran parameter, estimasi titik dan selang

• Minggu 11-12 Model Regresi linear sederhana

• Minggu 13 Review

• Ujian CLO 4 Materi Minggu 9-12

1

1 Statistika Deskriptif

[Definisi] Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan,mengorganisasi, melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara luas,statistika adalah ilmu yang mempelajari dan menginterpretasikan data agarmempunyai makna.Lalu, bagaimana dengan Statistik?

[Statistika Deskriptif]Statistika deskriptif membahas cara atau metode mengumpulkan, menyeder-hanakan dan menyajikan data sehingga bisa memberikan informasi. Kesim-pulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif. Meskipundemikian, kesimpulan yang salah akan terlihat.Bagaimana dengan Statistika Inferesia?

DataData adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara lang-sung ataupun tidak langsung. Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkandapat dikelompokkan menjadi data kategorik atau data numerik. Berdasarkanskala pengukuran data dapat dibedakan menjadi:

1. Nominal, misalkan: jenis kelamin, golongan darah

2. Ordinal, misalkan: tingkat kecelakaan, tingkat kelulusan

3. Rasio/Interval, misalkan: nilai, tekanan darah, denyut nadi

[Latihan] Tentukan tipe data (nominal, ordinal atau rasio/interval) berikut:

1. Syahrina mempunyai warna bola mata coklat bukan hitam.

2. Kartono lahir pada bulan April.

3. Harga rumah di Bhojhongshoang relatif mahal.

4. Beberapa tradisi menempatkan seseorang berdasarkan kasta

5. Profesi sebagai dosen memerlukan keahlian berkomunikasi

Penyajian Data[Parameter] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggam-barkan sifat POPULASI. Misalkan: mean (µ); simpangan baku (σ)

2

[Statistik] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggam-barkan sifat SAMPEL. Misalkan: mean (X); simpangan baku (s).

Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsir-an sederhana melalui ukuran atau statistik. Ukuran atau statistik yangmelekat pada data dibagi menjadi:

• Ukuran pusat/lokasi: mean, median, modus[Mean] Misalkan terdapat data sampel y1, y2, ..., yn, dimana yi meny-atakan titik sampel ke-i. Mean didefinisikan sebagai,

Y =Σni=1yin

Bagaimana sifat-sifat mean?

[Median] Median atau nilai tengah dilakukan pada data yang sudahdiurutkan. Median didefinisikan sebagai data (observasi) ke-n+1

2

[Modus] Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakannilai observasi yang sering muncul.

[Latihan] Data nilai UTS Bahasa Soenda dari 20 siswa:

Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai

Siswa 1 61 Siswa 6 77 Siswa 11 59 Siswa 16 33Siswa 2 54 Siswa 7 40 Siswa 12 42 Siswa 17 70Siswa 3 58 Siswa 8 47 Siswa 13 42 Siswa 18 54Siswa 4 25 Siswa 9 67 Siswa 14 44 Siswa 19 17Siswa 5 46 Siswa 10 63 Siswa 15 46 Siswa 20 46

Tentukan ukuran pusat/lokasi data diatas! Apabila setiap nilai dataditambah 5 maka nilai mean menjadi? Buat diagram batang-daun daridata tersebut?

• Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi, simpangan baku(a) Jangkauan (Range):

R = ymax − ymin

3

(b) Variansi Sampel:

s2 =Σni=1 (yi − y)2

(n− 1)

Bagaimana sifat variansi?(c) Simpangan baku: akar kuadrat dari variansi(d) Koefisien Variasi untuk membandingkan keragama dua atau lebihdata,

CV =( sx

)× 100%

• Ukuran letak: kuartil, desil, persentil. Untuk menentukan nilai kuartil,data diurutkan terlabih dahulu.(a) Lokasi kuartil pertama (Q1): data ke (n+1)

4

(b) Lokasi kuartil kedua (Q2)/median: data ke (n+1)2

(c) Lokasi kuartil ketiga (Q3): data ke 3(n+1)4

Bagaimana dengan Interquartile Range?

• Ukuran bentuk: skewness, kurtosis(a) Skewness (kemiringan) distribusi data

(b) Kurtosis (kecuraman) distribusi data

4

Box-Whisker PlotGrafik data yang terdiri lima informasi ringkasan data:Minimum – Q1 – Median – Q3 – Maximum

Bentuk Distribusi Data dilihat dari Box-Whisker Plot

[Latihan]

1. Sebuah riset dilakukan oleh Virginia Tech adalah membandingkan batangbaja dari perusahaan A dan B. Sebanyak 10 sampel kelenturan batangbaja diambil dari kedua perusahaan tersebut (Walpole et al, 2007).

Perusahaan A: 9.3; 8.8; 6.8; 8.7; 8.5; 6.7; 8.0; 6.5; 9.2; 7.0Perusahaan B: 11.0; 9.8; 9.9; 10.2; 10.1; 9.7; 11.0; 11.1; 10.2; 9.6

(a) Hitunglah mean, Q1, Q2 (median), Q3?

(b) Hitunglah jangkauan (range), variansi dan Interquartile Range(IR)? Note: IR = Q3−Q1

(c) Gambarkan diagram Box Plot dan jelaskan?

5

2. Berikut ini merupakan diagram Batang-Daun data waktu pengeringan(dalam menit) kain pada sebuah perusahaan kain latex.

Batang Daun

0 2341 02231 667792 013442 56893 133 8999445 789

Identifikasi ada atau tidaknya pencilan dan gambarkan diagram BoxPlot! Note: Nilai pencilan (outlier) adalah nilai data yang letaknya:

Q3 +(1.5× IR) < outlier atas ≤ Q3 + (3× IR)Q1 −(1.5× IR) > outlier bawah ≥ Q1− (3× IR)

6

2 Peluang dan Aturan Bayes

Statistics may be defined as ’a body of methods for making wise decisions inthe face of uncertainty’ - Wallis

Terdapat dua kategori kejadian atau event yaitu kejadian deterministik danstokastik. Kejadian stokastik berkaitan erat dengan peluang, sehingga kejadi-an stokastik sering disebut sebagai kejadian probabilistik. Berikut beberapadefinisi yang berkaitan dengan peluang,

1. Ruang Sampel: himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari su-atu percobaan. Ruang sampel terdiri dari ruang sampel diskrit (pelem-paran dadu, jumlah anak) dan kontinu (curah hujan (mm), berat badan(kg))

2. Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel. Tipe kejadian,

• Gabungan dua peristiwa A dan B ditulis A∪B adalah himpunansemua kejadian yang ada didalam A atau B termasuk didalamkeduanya.

• Irisan dua peristiwa A dan B ditulis A∩B adalah himpunan semuakejadian yang ada didalam A dan B.

• Komplemen kejadian A ditulis Ac adalah himpunan semua keja-dian yang tidak didalam A

3. Dua kejadian dikatakan saling bebas (independent) jika terjadinya ke-jadian yang satu tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain.Contoh: ...

4. Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidakdapat terjadi secara bersamaan. Contoh: ...

[Ilustrasi]

1. Seorang mahasiswa ingin menyusun 6 komik dan 3 novel dalam saturak berjajar. Setiap jenis buku harus berdekatan. Berapa banyak caramahasiswa tersebut menyusun buku ...

2. Ani melempar koin dua kali, peluang mendapat ’Angka’ (A) pada lem-paran pertama lalu mendapat ’Gambar’ (G) pada lemparan keduaadalah ...

3. Ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru,2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merahadalah ...

7

[Peluang] Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian,maka peluang kejadian A,

P (A) = limn→∞

n(A)

n=n(A)

n(S)

Aksioma Peluang,

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A

2. P (S) = 1

3. Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P (A ∪ B) = P (A) + P (B)−P (A ∩B)

4. Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A ∩ B = 0 sehinggaP (A ∪B) = P (A) + P (B)

5. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P (A ∩ B) = P (A) ×P (B)

[Coba] Dalam rangka memperingati Dies Natalis ’Ketjap ABC’, perusahaanmemberikan hadiah bagi 4 karyawan berprestrasi, dari 20 karyawan yang ter-diri dari 13 laki-laki dan 7 wanita. Berapa peluang terpilih 1 laki-laki dan 3wanita? Berapa peluang terpilih paling tidak 1 laki-laki?

[Peluang Bersyarat] Jika A dan B dua kejadian, dengan P (A) > 0,peluang bersyarat B jika diketahui A, didefinisikan

P (B|A) =P (A ∩B)

P (A)

[Ilustasi]

1. ’Pak Mad’ mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya laki-laki, diberikan bahwa ’Pak Mad’ tersebut memiliki setidaknya 1 anaklaki-laki?

2. Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Ji-ka Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat’A’ adalah 1

3. Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia

mendapat ’A’ adalah 12. Ayu memutuskan untuk melemparkan koin

dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat ’A’ di kur-sus Matematika?

8

[Teorema Bayes] Jika kejadian - kejadian A1, A2, A3, ..., Ak adalah partisidari ruang sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P (B) > 0,berlaku,

P (Ai|B) =P (Ai ∩B)

P (B)

=P (B|Ai)P (Ai)∑ki=1 P (B|Ai)P (Ai)

Aksioma Peluang Bersyarat,

1. P (B|A) ≥ 0, untuk setiap A ∈ A

2. P (S|A) = 1

3. Untuk setiap kejadian A1 dan A2 bersyarat B berlaku, P (A1∪A2|B) =P (A1|B) + P (A2|B)− P (A1 ∩ A2|B)

4. Kejadian A1 dan A2 dikatakan saling lepas jika P (A1 ∩ A2|B) = 0sehingga P (A1 ∪ A2|B) = P (A1|B) + P (A2|B)

5. Hukum Komplemen P (Bc|A) = 1− P (B|A)

6. Hukum Perkalian P (A∩B) = P (B∩A) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B)

7. Jika A dan B saling bebas P (B|A) = P (B), sehingga P (A ∩ B) =P (B ∩ A) = P (A)P (B)

[Coba] Perusahaan ’Maju Mundur’ mengadakan wisata dan menggunakantiga hotel sebagai tempat menginap karyawannya. Berdasarkan pengalaman:20% karyawannya di tempatkan di Hotel A, 50% di Hotel B dan 30% di Ho-tel C. Jika 5% kamar mandi Hotel A tidak berfungsi dengan baik (rusak),4% di Hotel B, dan 8% di Hotel C. Berapa peluang (a) Seorang karyawanmendapat kamar dengan kamar mandi rusak? (b) Karyawan yang mendapatkamar mandi rusak ditempatkan di Hotel C?

Latihan

1. Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali akan meng-hasilkan angka yang kurang dari 4 jika (a) Tidak diberikan informasilain (b) Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka ganjil.

2. Bagi keluarga yang tinggal disuatu kota, peluang bahwa istri ikutkegiatan olah raga 0.21, peluang suami ikut kegiatan olah raga 0.28

9

dan peluang suami dan istri ikut olah raga 0.15. Berapa peluang,(a)Paling sedikit salah seorang ikut kegiatan olah raga (b) Seorang istriikut olah raga, bila diketahui suaminya olah raga (c) Seorang suamiikut olah raga,diketahui istrinya olah raga.

3. Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nyadilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CDplayer (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut (a) Berapa pelu-ang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil tersebutjuga dilengkapi AC (b) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi AC,jika diketahui mobil tersebut tidak dilengkapi CD.

4. Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluangpengeboran itu sukses adalah 40%. Pengalaman perusahaan dike-tahui bahwa 60% keberhasilan pengeboran itu karena dikerjakan den-gan prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20% pengeborannyagagal walaupun dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat.Jika perusahaan pengeboran sudah melaksanakan prosedur yang be-nar dan tepat berapa peluang perusahaan berhasil dalam pengeboranminyaknya?

5. Seorang mahasiswa mengambil dua mata kuliah kalkulus (I,II). MisalA adalah event bahwa dia lulus kalkulus I dan B adalah event bahwadia lulus kalkulus II. Jika dia menduga bahwa P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9; dan P (A∩B) = 0, 75. Tentukan sample space untuk kasus tersebut?Tentukan probabilitas: A ∪B;A ∪B;A ∩B;A ∩B?

6. Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis ke-lamin dan status pekerjaan. Akan diambil seorang dari mereka untukditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalahdalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia (a) Laki-laki (b) Wanita

7. Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusa-haan yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari erusahaan X,

10

20% dari perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pen-galaman, 3% microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusa-haan Y cacat, dan 4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat mi-crochips tersebut sampai di pabrik, mereka langsung menempatkannyadalam kotak tanpa inspeksi atau mengidentifikasi asal microchip ter-lebih dahulu. Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acakdan ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasaldari perusahaan Y?

8. Seseorang melamar pekerjaan pada 2 perusahaan, A dan B. Dia men-duga bahwa peluang akan diterima di perusahaan A adalah 0.4, dandi perusahaan B 0.3. Diasumsikan penerimaan karyawan pada keduaperusahaan tersebut adalah independen, hitung peluang: (a) Dia akanditerima di kedua perusahaan (b) Dia akan diterima paling sedikit disatu perusahaan (c) Dia diterima di perusahaan A tetapi tidak di pe-rusahaan B.

9. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C den-gan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan 50%.Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-masing1% (A), 5% (B), dan 2% (C). (a) Apabila sebuah TV diambil secaraacak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluangbahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat? (b) Apabi-la sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada,berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalamkeadaan cacat?

11

[Materi Ujian II]

1. p.a Diskrit: fungsi massa peluang, fungsi distribusi, nilai variansi

2. p.a Kontinu: fungsi kepadatan peluang, nilai ekpektasi/variansi

3. p.a Bivariat (Diskrit dan Kontinu): fungsi peluang gabungan, indepen-den, nilai kovariansi

[Latihan]

1.

p(x) =

1028

x = 0,1528

x = 1,328

x = 2

Tentukan F (1.5)?

2.

F (x) =

0 x < 0,1028

0 ≤ x < 1,2528

1 ≤ x < 2,1 x ≥ 2

Tentukan p(1)?

3. Tentukan fungsi distribusi berdasarkan fungsi peluang berikut,

f(x) =

0.1 x = 1,0.3 x = 2,0.4 x = 3,0.2 x = 4,0 lainnya

f(x) =

x 0 ≤ x < 1,2− x 1 ≤ x < 2,0 lainnya

4.

f(x) =

{x2

3−1 < x < 2,

0 lainnya

(a) Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat prob-abilitas?(b) Berapakah probabilitas antara 0 dan 1?

12

5.

p(x) =

0.1 x = 0,kx x = 1, 2,k(6− x) x = 3, 4,0 lainnya

Tentukan nilai k dan fungsi distribusinya?

6. Misalkan variabel acak X memiliki pdf:

f(x) =

{cx 3 < x < 6,0 lainnya

(a) Tentukan nilai c? (b) Jika terdapat variabel baru Y = 4X − 3.Tentukan pdf dari Y ?Solusi ∫ 6

3

cxdx = 1

c =2

27

f(x) =

{227x 3 < x < 6,

0 lainnya

Misalkan g(y) = 4x− 3,

y = 4x− 3

x =y + 3

4= g−1(y)

Selanjutnya, menentukan |J |

|J | =∣∣∣∣dg−1(y)

dy

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣d(y+3

4

)dy

∣∣∣∣∣=

1

4

13

diperoleh,

f(y) = f(g−1(y))× |J |

=2

27× y + 3

4× 1

4

=y + 3

216

pdf untuk Y adalah

f(y) =

{y+3216

9 < x < 21,0 lainnya

Fungsi Peluang GabunganMisalkan p.a X menyatakan kekuatan bangunan dan p.a Y menyatakan ting-gi bangunan. Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua p.a tersebutdinyatakan oleh f(x, y) yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan Xdan Y

Fungsi Peluang Gabungan Diskrit

1. P (X = x, Y = y) ≥ 0 untuk semua (x, y)

2. ΣxΣyP ((X = x, Y = y) = 1

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,P [(X, Y ) ∈ A] = ΣΣAp(x, y)

Fungsi Peluang Gabungan Kontinu

1. f(x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y)

2.∫x

∫yf(x, y)dxdy = 1

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,P [(X, Y ) ∈ A] =

∫ ∫Af(x, y)dxdy

Fungsi MarjinalMisalkan p.a X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f(x, y). Misalkanfungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinaluntuk Y adalah h(y)

14

1. Untuk X dan Y diskrit

g(x) = Σyf(x, y) = ΣyP (X = x, Y = y)

h(y) = Σxf(x, y) = ΣxP (X = x, Y = y)

2. Untuk X dan Y kontinu

g(x) =

∫y

f(x, y)dy

h(y) =

∫x

f(x, y)dx

3. p.a X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,

f(x, y) = g(x)h(y)

4. Kovariansi

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )

[Latihan]

1. Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang,diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk danY adalah banyaknya buah apel. Tentukan,(a) Fungsi peluang gabungan f(x, y)(b) P (X + Y ≤ 2)

2. Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawapulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secaraacak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan peme-sanan (dalam satuan waktu pelayanan) masing-masing untuk drivein dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acakX dan Y . Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari keduapeubah acak tersebut adalah:

f(x, y) =

{23(x+ 2y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

0 lainnya

(a) Selidiki apakah f(x, y) adalah fungsi peluang? Ya,∫ 1

0

∫ 1

0

2

3(x+ 2y)dxdy = 1

15

(b) Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayananpada fasilitas drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah?

P (X < 0.5, Y < 0.5) =

∫ 12

0

∫ 12

0

2

3(x+ 2y)dxdy = ... =

1

8

(c) Hitung fungsi marjinal g(x) dan h(y)?

g(x) =

∫ 1

0

2

3(x+ 2y)dy = ... =

2

3(x+ 1), 0 ≤ x ≤ 1

h(y) =

∫ 1

0

2

3(x+ 2y)dx = ... =

1

3+

4

3(y), 0 ≤ y ≤ 1

(d) Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu ku-rang dari satu setengah satuan waktu pelayanan, P (X < 1.5)

P (X < 1.5) =

∫ 1.5

−∞g(x)dx

=

∫ 1

0

2

3(x+ 1)dx

= ...

= 1

16

3 Distribusi Peubah Acak Diskrit

Jika himpunan p.a mencirikan salah satu karakteristik jenis distribusi, anal-isis statistika akan dapat dilakukan dengan lebih efektif. Terdapat banyakjenis distribusi dalam statistika, secara khusus dibagi dalam distribusi p.adiskrit dan p.a kontinu. Berdasarkan hal tersebut, perlu diketahui karakter-istik jenis distribusi yang melekat pada p.a.

[Distribusi Bernoulli]JikaX menyatakan p.a berdistribusi Bernoulli, ditulis sebagaiX ∼ BIN(1, p).Karakteristik,

1. Percobaan dilakukan hanya satu kali dan independent

2. Percobaan menghasilkan sukses dan gagal, jika peluang sukses diny-atakan sebagai p, maka peluang gagal merupakan 1− p

3. Probability mass function (pmf),

P (X = x) = p(x) =

p untuk x = 1,1− p untuk x = 0,0 lainnya

4. Rata-rata (µ) = p dan variansi (σ2) = p(1− p)

Ex. Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakansebagai sukses. Tentukan fungsi peluang, rata-rata dan variansinya?

[Distribusi Binomial]JikaX menyatakan p.a berdistribusi Binomial, ditulis sebagaiX ∼ BIN(n, p).Karakteristik,

1. Merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali

2. Probability mass function (pmf),

P (X = x) = p(x) = Cnxp

x(1− p)n−x =n!

x!(n− x)!px(1− p)n−x

3. Rata-rata (µ) = np dan variansi (σ2) = np(1− p)

Ex. Sebuah sistem produksi dapat menghasilkan produk yang cacat atautidak cacat. Diambil 3 produk secara acak dari lantai produksi dan jika vari-abel random X didefinisikan sebagai jumlah produk yang dihasilkan cacat,

17

dengan peluang 0.2. Tentukan peluang dari 3 produk terdapat tepat ada duaproduk yang cacat? kurang dari 2 produk cacat?

[Distribusi Poisson]Jika X menyatakan p.a berdistribusi Poisson, ditulis sebagai X ∼ POI(λ).Karakteristik,

1. Banyaknya outcome/peristiwa/hasil percobaan dalam suatu selang wak-tu tertentu atau area daerah tertentu.

2. Probability mass function (pmf),

P (X = x) = p(x;λ) =e−λλx

x!

dengan x banyaknya outcome selama percobaan, λ menyatakan lajuoutcome per satuan waktu atau daerah, e bilangan eksponensial 2.718...

3. Rata-rata (µ) = λ dan variansi (σ2) = λ

Ex. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Pois-son dengan rata-rata kecelakaan 3 per hari. Berapa peluang tidak ada kece-lakaan pada hari ini?

[Proses Poisson]Proses menghitung (counting process) dengan laju (parameter) λ > 0, den-gan X(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi selama waktu t,X ∼ POI(λt). Karakteristik,

1. Tidak punya memori (memory less), yaitu banyaknya outcome dalamsatu interval waktu tidak bergantung pada banyaknya outcome padawaktu atau daerah lain.

2. Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu yang sangatpendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb.

3. Probability mass function (pmf),

P (X = x) = p(x;λt) =e−λt(λt)x

x!

dengan x banyaknya outcome selama percobaan, e bilangan eksponen-sial 2.718...

4. Rata-rata (µ) = λt dan variansi (σ2) = λt

18

Ex. Menurut perusahaan asuransi T ditentukan bahwa peluang pria beru-mur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah 0.0002. Jika perusahaanasuransi T tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun,berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis?

[Note] Jika X adalah p.a distribusi Binomial, maka jika jumlah percobaan-nya besar sekali n → ∞ dan peluang sukses p kecil sekali n → 0, denganrata-rata µ = np maka distribusi Binomial dapat diaproksimasi dengan dis-tribusi Poisson.

Ex. Probabilitas terjadinya kecelakaan di suatu hari di sebuah pabrik adalah0.005. Berapakah probabilitasnya selama 400 hari terjadi 1 kecelakaan?

[Distribusi Hipergeometrik]Misalkan suatu populasi yang berukuran N terdapat D item cacat dan N−Ditem tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyataX diantaranya merupakan item cacat. Jika X menyatakan p.a berdistribusiHipergeometrik, ditulis sebagai X ∼ HY P (n,N,D). Karakteristik,

1. Probability mass function (pmf),

P (X = x) = p(x) =CDx C

N−Dn−x

CNn

=

D!(D−x)x!

(N−D)!(N−D−n+x)!(n−x)!

N !(N−n)!n!

2. Rata-rata (µ) = nDN

dan variansi (σ2) =√

nD(N−D)N2

√N−nN−1

dengan√N−nN−1

disebut faktor koreksi populasi terbatas (finite population)

Ex. Tiga komputer diperiksa dari sepuluh komputer di sebuah departemen.Empat dari sepuluh komputer terdapat aplikasi software yang ilegal. Berapapeluang dua dari tiga komputer yang dipilih secara acak terdapat aplikasisoftware ilegal?

[Hipergeometrik vs Binomial]Jika ukuran sampel n jauh lebih kecil dari ukuran populasinya N maka dis-tribusi HYP sangat mirip dengan BIN, dimana peluang sukses (p = D

N) dan

19

peluang gagal (1− p), sehingga,

µ = np = nD

N

σ2 = np(1− p) = nD

N

(1− D

N

)seringkali diterapkan jika n

N< 5% maka digunakan distribusi Binomial seba-

gai pengganti distribusi Hipergeometrik.

Ex. Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distrib-utor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10ban dari distributor secara acak saja. Berapa peluang bahwa ada 3 buahban yang warnanya sedikit pudar?

[Latihan]

1. Berdasarkan data masa lalu, probabilitas mahasiswa lulus dari ma-ta kuliah statistik 0,45. Jika diambil sampel sebanyak 5 mahasiswa.Hitung peluang (a) Tepat 3 mahasiswa yang tidak lulus? (b) Palingsedikit 4 mahasiswa yang lulus? (c) Paling banyak ada 5 mhs yanglulus?

2. Sebuah percobaan dilakukan untuk mencari katalis yang sesuai untukproduksi ethylenediaine. Bila seorang insinyur kimia memilih 3 katalisdari 10 katalis yang terdiri dari 6 katalis yang mempunyai low adicitydan 4 high acidity. Hitung peluang: (a) Tidak ada katalis highly acidityyang dipilih? (b) Tepat satu katalis yang high acidity?

3. Jika X variabel random yang menyatakan jumlah retak yang terjadiper spesimen untuk campuran semen. Rata-rata retak per spesimen2,5. Hitung peluang: (a) Terjadi 5 retak dalam satu spesimen? (b)Ada 2 atau lebih retak yang terjadi?

4. Bagian Quality Control perusahaan laptop menemukan bahwa produk-si laptop yang cacat mencapai 1,5% dari total produksi yang ada. Biladari seluruh produksi tersebut diambil sebanyak 200 laptop secara ran-dom. Tentukan peluang: (a) Laptop yang cacat paling banyak 1%?(b) Laptop yang cacat antara 2% sampai 4%?

5. Jumlah pasien di suatu klinik diketahui mengikuti distribusi Poisson.Jika peluang tidak ada pasien di klinik tersebut adalah sebesar 0,1.Tentukan peluang terdapat paling banyak terdapat dua orang pasiendi klinik tersebut?

20

6. Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperolehdata bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525orang diambil sebagai sampel percobaan. Tentukanlah peluang: (a)Tidak ada yang albino (b) Ada Albino

7. Bagian pembelian dari suatu perusahaan melakukan pembelian bahanbaku sebanyak 1000 unit. Pemasok bahan baku tsb menjamin bahwaproduk yang cacat tidak lebih dari 1%. Sebagai langkah pengawasan,maka bagian pembelian melakukan inspeksi dengan mengambil sampelacak sebanyak 20 unit. (a) Tentukan peluang diperoleh 4 unit produkyang cacat? (b) Berapa rata-rata terdapat produk cacat?

8. Rata-rata jumlah kedatangan kereta di suatu stasiun XYZ dalam seten-gah hari kerja adalah 8 kereta. Berapakah peluangnya bahwa dalamsatu hari terdapat minimal dua kereta di stasiun XYZ tersebut?

4 Distribusi Peubah Acak Kontinu

Jika diingat kembali, p.a kontinu memiliki karakteristik nilai yang beradapada selang interval. Terdapat beberapa jenis distribusi p.a kontinu.

[Distribusi Uniform]Jika X menyatakan p.a berdistribusi Uniform pada interval (a, b), ditulissebagai X ∼ UNIF (a, b). Karakteristik,

1. p.a Uniform muncul dalam situasi dimana semua nilai dalam selang/in-terval tertentu mempunyai peluang sama untuk muncul.

2. Probability density function (pdf),

f(x) =

{1b−a a ≤ x ≤ b,

0 lainnya

3. Rata-rata (µ) = b+a2

dan variansi (σ2) = (b−a)2

12

Ex. Diketahui p.a X berdistribusi Uniform dalam interval (2,7). HitunglahP (X ≥ 4) dan P (3 ≤ X ≤ 5.5)?

[Distribusi Eksponensial]Jika X menyatakan p.a berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ yangterdefinisi pada selang (0,∞), ditulis sebagai X ∼ EXP (λ). Karakteristik,

21

1. Distribusi Eksponensial sering digunakan sebagai model distribusi wak-tu tunggu.

2. Distribusi Eksponensial sangat berkaitan dengan distribusi Poisson. Ji-ka X menyatakan jumlah kedatangan/kejadian dalam selang waktu t,maka X berdistribusi Poisson.

3. Probability density function (pdf),

f(x) =

{λe−λx x ≥ b,0 lainnya

dengan fungsi distribusi,

F (x) =

{1− e−λx x ≥ 0,0 lainnya

4. Rata-rata (µ) = 1λ

dan variansi (σ2) = 1(λ)2

Ex. Lamanya waktu untuk melayani konsumen di suatu kafetaria merupakansuatu p.a berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 4 menit. Berapakahpeluang seseorang akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit?

[Distribusi Beta]p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter α dan β denganα, β > 0, ditulis sebagai X ∼ B(α, β). Karakteristik,

1. Probability density function (pdf),

f(x) =

{xα−1(1−x)β−1

B(α,β)0 < x < 1,

0 lainnya

dengan B(α, β) = Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)

2. Rata-rata (µ) = αα+β

dan variansi (σ2) = αβ(α+β+1)(α+β)2

Ex. Diketahui variabel acak X berdistribusi beta dengan α = 3 dan β = 1.Hitung µ dan σ2?

[Latihan]

1. Diketahui p.aX berdistribusi Uniform dalam interval (a, b). Jika E(X) =10 dan V ar(X) = 12. Tentukan nilai a dan b?

22

2. Waktu kegagalan suatu komponen elektronik diketahui berdistribusiEksponensial dengan rata-rata 3 tahun. Perusahaan pembuat kompo-nen tersebut memberi jaminan untuk pemakaian satu tahun pertama.Apabila perusahaan tersebut berhasil menjual 50 buah komponen, be-rapa peluang perusahaan tersebut harus membayar lebih dari 40 klaimdari pembeli?

3. Rata-rata banyaknya sambungan telpon yang diterima di suatu sentraltelepon dalam satu jam adalah 6. (a) Berapa peluang akan masukpaling banyak 10 sambungan telpon dalam selang waktu 2 jam? (b)Berapa peluang menunggu lebih dari 15 menit antara 2 sambunganyang berturutan?

[Distribusi Beta]p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter α dan β denganα, β > 0, ditulis sebagai X ∼ B(α, β). Karakteristik,

1. Probability density function (pdf),

f(x) =

{xα−1(1−x)β−1

B(α,β)0 < x < 1,

0 lainnya

dengan B(α, β) = Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)

2. Rata-rata (µ) = αα+β

dan variansi (σ2) = αβ(α+β+1)(α+β)2

Ex. Diketahui variabel acak X berdistribusi beta dengan α = 3 dan β = 1.Hitung µ dan σ2?

[Latihan]

1. Diketahui p.aX berdistribusi Uniform dalam interval (a, b). Jika E(X) =10 dan V ar(X) = 12. Tentukan nilai a dan b?

2. Waktu kegagalan suatu komponen elektronik diketahui berdistribusiEksponensial dengan rata-rata 3 tahun. Perusahaan pembuat kompo-nen tersebut memberi jaminan untuk pemakaian satu tahun pertama.Apabila perusahaan tersebut berhasil menjual 50 buah komponen, be-rapa peluang perusahaan tersebut harus membayar lebih dari 40 klaimdari pembeli?

3. Rata-rata banyaknya sambungan telpon yang diterima di suatu sentraltelepon dalam satu jam adalah 6. (a) Berapa peluang akan masuk

23

paling banyak 10 sambungan telpon dalam selang waktu 2 jam? (b)Berapa peluang menunggu lebih dari 15 menit antara 2 sambunganyang berturutan?

[Distribusi Normal]p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter µ dan σ2, ditulissebagai X ∼ N(µ, σ2) atau X ∼ NOR(µ, σ2). Karakteristik,

1. Probability density function (pdf), untuk −∞ < x <∞

f(x, µ, σ2) =1

σ√

2πe−

12(x−µσ )

2

2. Jika µ = 0 dan σ2 = 1, maka Z ∼ N(0, 1) atau Z berdistribusi Normalstandar (baku) dengan pdf,

f(x, µ, σ2) =1√2πe−

12( zσ )

2

Misalkan X ∼ N(µ, σ2), menentukan nilai peluang distribusi Normal denganTabel Z:

1. Transformasi nilai X ke Z, dengan Z = X−µσ

2. Ubah bentuk peluang kedalam P (Z ≤ z) atau P (Z < z)

3. Tentukan nilai peluang dengan melihat nilai Z pada Tabel Z

Ex. Misalkan X ∼ N(8, 25). Tentukan P (8 < X < 8.6)?Sol. µ = 8;σ =

√25 = 5. Transformasi X ke Z,

P (8 < X < 8.6) = P (8− 8

5<X − µσ

<8.6− 8

5) Transformasi X ke Z

= P (0 < Z < 0.12)

= P (Z < 0.12)− P (Z ≤ 0) Lihat Tabel Z

= 0.5478− 0.5000 = ...

Misalkan X ∼ N(µ, σ2), menentukan nilai X jika peluang diketahui:

1. Tentukan nilai Z berdasarkan nilai peluang (lihat Tabel Z)

2. Tentukan nilai X dengan X = µ+ Zσ

24

Ex. Misalkan X ∼ N(8, 25). Tentukan nilai X dimana 20% dibawah kurvaNormal?Sol. µ = 8; σ =

√25 = 5; P (X ≤ x) = 0.20.

(1) Tentukan nilai z,

diperoleh nilai Z = −0.84.(2) Tentukan nilai x dengan transformasi x = µ+ zσ,

x = µ+ zσ

= ...

= 3.80

diperoleh x = 3.80 sedemikian sehingga P (X ≤ 3.80) = 0.20.

[Normal vs Binomial]Jika p.a diskit diubah menjadi p.a kontinu, maka nilai p.a tersebut perlumendapat penyesuaian dengan memberikan koreksi kontinuitas,

Jika p mendekati 0.5, dan n cukup besar, maka pendekatan distribusi Nor-mal dapat diterapkan untuk distribusi Binomial, dengan µ = np dan σ =√np(1− p)

Ex. Diketahui n = 1000 dan p = 0.2. Tentukan P (X ≤ 180)?Sol. µ = np = 200;σ =

√1000× 0.2× 0.8 = .... Transformasi ke Normal

25

standar

P (X ≤ 180) = P (Z ≤ X − µσ

)

= ...

= P (Z ≤ −1.54) = 0.0618

5 Distribusi Sampling

Dalam melakukan observasi suatu percobaan atau kejadian, tidak memu-ngkinkan untuk mengamati keseluruhan populasi observasi. Sampling meru-pakan pengambilan data atau informasi terhadap suatu populasi, data sam-pel hasil sampling diharapkan dapat mewakili (dekat) dengan karakteristikpopulasi.

• Populasi (X): banyaknya populasi (N), mean (µ), variansi (σ2)

• Sampel (X): banyaknya sampel (n), mean (µX), variansi (σ2X

)

[Teknik Sampling]

• Sampel yang diambil dengan pengembalian. Hubungan n sampeldan N populasi,

µX = µ

σ2X =

σ√n

• Sampel yang diambil tanpa pengembalian. Hubungan n sampel danN populasi,

µX = µ

σ2X =

σ√n

√N − nN − 1

dengan√

N−nN−1

merupakan faktor koreksi.

[Catatan] (1) Jika proporsi nN≤ 0.05 maka faktor koreksi dapat diabaikan.

(2) Apabila n ≥ 30, maka distribusi sampling mendekati distribusi Normal.

[Sifat Distribusi Sampling]

• Mean sampel unbiased, µX = µ

26

• Minimum variance, σX < σ

• Konsisten, semakin besar jumlah sampel yang diambil, penyimpanganvariansi sampel terhadap variansi populasi semakin menurun

[Teorema Limit Pusat] Distribusi sampel acak sederhana dengan ukurann dari N populasi yang berasal dari distribusi apapun (Binomial, Poisson,dll) dapat didekati dengan distribusi probabilitas Normal untuk ukuran sam-pel n yang besar, n ≥ 30.

Bagaimana menentukan ukuran sampel untuk mengestimasi suatu proporsipopulasi (p)? Dalam menentukan ukuran sampel, perlu diperhatikan hal-halberikut ini,

• Galat/eror (e)

• Proporsi populasi (p), jika proporsi populasi tidak diketahui, maka pdidekati dengan nilai 0.5

• Tentukan α berdasarkan informasi tingkat kepercayaan (1− α)

[Contoh]

• Rangga ingin mengetahui proporsi laboratorium yang dilengkapi den-gan komputer di seluruh kampus Bandung. Untuk mengetahui infor-masi tersebut dilakukan survei acak. Berapa ukuran sampel yang harusdia ambil apabila ingin yakin 95%. Galat pada selang kepercayaantidak dapat lebih dari 0.05? Anggap bahwa proporsi aktual tidak dike-tahui sebelumnya[Sol.] proporsi tidak diketahui (p) = 0.5; (1 − α) = 0.95 sehinggaα = 0.05; eror/galat (e) = 0.05Ukuran sampel (n),

n =Z2α2p(1− p)e2

=(1.96)2(0.5)(0.5)

(0.05)2= ...

• Sebanyak 25 sampel X diambil dengan pengembalian dari populasiX ∼ N(8, 4). Tentukan P (7.8 < X < 8.2)?

27

[Sol.]

P (7.8 < X < 8.2) = P

(7.8− µXσX

<X − µσX

<8.2− µXσX

)= P

(7.8− µ

σ√n

< Z <8.2− µ

σ√n

)= P (−0.5 < Z < 0.5) = ...

• Tinggi badan mahasiswa IK rata-rata mencapai 165 cm dengan sim-pangan baku 8,4 cm. Diambil sampel acak terdiri atas 45 mahasiswa.Tentukan peluang tinggi rata rata ke 45 mahasiswa tersebut palingsedikit 166?[Sol.] µ = 165; σ = 8.4; n = 45

P (X ≥ 166) = P

(Z ≥ 166− µX

σX

)= ...

= P (Z ≥ 0.80)

= 1− P (Z < 0.80) = ...

[Latihan]

1. Seorang peneliti menyatakan bahwa 60% penderita diabetes adalahkarena faktor keturunan.Tentukan bahwa dari 15 pasien yang berobatke rumah sakit, kurang dari sepertiganya adalah penderita diabeteskarena faktor lain?

2. Misalkan diketahui peluang kesembuhan suatu penyakit adalah 30 persen.Suatu perusahaan obat memproduksi suatu obat baru untuk penyakittersebut dan mengklaim bahwa obat baru tersebut dapat meningkatkanpeluang kesembuhan menjadi 50 persen. Dua ratus pasien penderitapenyakit tersebut diberikan obat baru tersebut. Tentukan peluang pal-ing sedikit 80 pasien sembuh, jika (a) obat baru tersebut tidak berguna(b) klaim perusahaan tersebut benar (Gunakan hampiran Normal un-tuk distribusi Binomial)

3. Sampel berukuran 36 diambil dari peubah acak X ∼ POI(4). Hi-tunglah P (X > 4.3)?

28

4. Suatu sampel acak berukuran n = 25 yang diambil dari populasiberhingga dengan p.a X. Fungsi padat peluang untuk X,

f(x) =

{1− x

20 < x < 2,

0 lainnya

(a) Hitung σX (b) P(

23≤ X ≤ 5

6

)5. Bila rata-rata IQ seluruh mahasiswa baru 110 dengan standar deviasi

10 (IQ berdistribusi Normal) (a) Hitunglah peluang mahasiswa memi-liki IQ ≥ 112 (b) Hitunglah peluang 36 mahasiswa, rata-rata memilikiIQ ≥ 112

6. Jika p.a Z ∼ NOR(0, 1). Tentukan nilai a dan b sehingga(a)P (Z ≤ a) = 0, 9147 (b)P (Z ≥ b) = 0, 0526?

29