1. Universidad Nacional de Misiones Ingeniera Electrnica Control Clsico y Moderno Informe de Trabajo Prctico N 3 Controladores Autores: HOFF Romina A. KRUJOSKI Matas G. VIERA Juan R. Grupo N 4 Profesores Responsables: Dr. Ing. Fernando Bottern Ing. Guillermo Fernndez Ober, Misiones, 24/05/2014

2. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 3 de 44 Ejercicio 1) En la Figura 1.1se muestra el diagrama de bloques de un control de posicin de un motor de CC. Este sistema tiene un coeficiente de amortiguamiento = 0,158 y una frecuencia natural = 3,16 . Para aumentar el margen de estabilidad de este sistema se introduce el lazo de realimentacin de velocidad, como se muestra en la Figura 1.2. Figura 1.1: Diagrama de bloques del control de velocidad Determinar el valor de la constante Kh del tacmetro para que el factor de amortiguamiento relativo resulte = 0,75. a) En un mismo grfico, trazar las salidas () = (t) de los sistemas de la Figura 1.1y Figura 1.2 para una entrada de escaln y verificar s se satisfacen las especificaciones. Comentar los resultados. b) Graficar la seal de velocidad (t) del sistema dado en la Figura 1.2, para una entrada en escaln. Comentar los resultados. Figura 1.2: Diagrama de bloques del control en Lazo Cerrado Resolucin En primera instancia se computa la ecuacin de transferencia del sistema a lazo cerrado presentado en la Figura 1.2. En la ecuacin(1.1) se exhibe la funcin transferencia del sistema dado en laFigura 1.1. () = () () = () () = 10 (+1) 1 + 10 (+1) = 10 ( + 1) + 10 (1.1) En la Figura 1.3 se presenta el sub-sistema formado por la planta ms el lazo interno. 3. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 4 de 44 R 10 s+1 Kh - + 1 (s) (s)E(s) . Figura 1.3: Sub-sistema de Lazo Interno Para el sub-sistema aislado se puede escribir la ecuacin transferencia presentadaen la ecuacin (1.2). ( ) 1() = 10 + 1 + 10 (1.2) Contemplando el integrador incorporado que lleva la velocidad a posicin angular, la ecuacin transferencia de (1.2) se convierte en la expresin presentada en (1.3). () = () 1() = 10 2 + (1 + 10) (1.3) Retomando el diagrama presentado en la Figura 1.2 se puede obtener la ecuacin transferencia a lazo cerrado del sistema como en la expresin (1.4). () = () () = () 1 + () = 10 2 + (1 + 10) + 10 (1.4) En la expresin dada en (1.4) se evidencia que el sistema en lazo cerrado se comporta como un sistema de segundo orden. La ecuacin transferencia estndar para un sistema de segundo orden en lazo cerrado es la presentada en (1.5). () = 2 2 + 2 + 2 (1.5) En consecuencia, se igualan los trminos en s de los denominadores de las expresiones (1.4) y (1.5) para modelar el sistema segn la forma estndar dada; dicha igualacin se exhibe en la ecuacin (1.6). 2 = 1 + 10 (1.6) 4. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 5 de 44 Despejando la constante del tacmetro se obtiene lo consignado en la expresin (1.7). = 2 1 10 (1.7) Evaluando la expresin (1.7) para llevar el sistema al amortiguamiento relativo especificado = 0,75, se obtiene el valor de la constante del tacmetro, como muestra la ecuacin (1.8). = 0,374 (1.8) a) En la Figura 1.4: Respuesta al escaln se presenta la grfica de las respuestas al escaln para los sistemas en lazo cerrado sin compensar -funcin transferencia (1.4)-, y para el sistema compensado con la constante Kh de la expresin (1.8). Respuesta al Escaln t [seg] (t) 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Sistema: Compensado Amplitud del pico: 1,03 Sobrepaso (%): 2,85 Ocurrencia Pico (seg): 1,51 Tiempo establecimiento (seg): 1,82 Glc Sin Compensar Glc Compensado Sistema: Sin Compensar Amplitud del pico: 1,6 Sobrepaso (%): 60,4 Ocurrencia Pico (seg): 0,993 Tiempo establecimiento (seg): 7,31 Figura 1.4: Respuesta al escaln En las respuestas al escaln presentadas puede apreciarse que la plantaposee en su naturaleza un polo en el origen que lo hace reaccionar con un error de rgimen permanente nulo, inclusive cuando no est compensado. 5. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 6 de 44 Con la compensacin proporcional de la velocidad incorporada, se reduce considerablemente el tiempo de establecimiento; aunque el tiempo de subida se ve incrementado. b) En la Figura 1.5se presenta la velocidad del sistema compensado, tomado de la ecuacin transferencia exhibida en (1.2). Respuesta al Escaln 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Sistema: Velocidad Compensada Amplitud del Pico: 1,39 Tiempo de Pico [seg]: 0,354 Velocidad Compensada (t) . t [seg] Figura 1.5: Respuesta al escaln para la velocidad compensada Conclusiones: El desarrollo del ejercicio presentado sirvi como introduccin a la metodologa de proyecto de controladores mediante la tcnica de reubicacin de polos. Resuelto por: Krujoski Matas G. Ejercicio 2) Sea la planta de primer orden dada por la funcin de transferencia (2.1). Se requiere que la salida de la planta siga a una referencia constante () = 5 y que presente un sobrepaso aproximado del 2% y un tiempo de asentamiento aproximado de 0,8seg. Cuando se aplica la seal de referencia en escaln en t=0. Para tal fin, proyectar por la tcnica de reubicacin de polos, un compensador proporcional-integral cuya funcin de transferencia est dada por la expresin(2.2). Calcular el error de estado estacionario 6. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 7 de 44 de posicin y justificar su valor. Calcular el error de estado estacionario de velocidad y justificar su valor. = 1 + 5 (2.1) = + (2.2) a) Simular el sistema utilizando MATLAB. En un mismo grfico representar la seal de referencia y las seales de salida del sistema sin compensar y compensado. En otro grfico, presentar las seales de error y accin de control: uno para el sistema sin compensar y otro para el sistema compensado. b) Disear el circuito electrnico utilizando amplificadores operacionales para poder implementar el compensador en la prctica. 1) Estructura P+I, o sea, la seal de error es la entrada a cada bloque de compensacin, utilizando dos AMP-OP. 2) Estructura PI con un solo AMP-OP. Calcular los componentes electrnicos pasivos en funcin de los parmetros del compensador antes proyectado. En cada uno de los casos anteriores, implementar el detector de error y el cambio de fase de la seal de la accin de control resultante para ser aplicada a la planta, cuando el caso lo requiera. c) Realizar la simulacin del sistema resultante en cada caso, utilizando PSIM(o Schmatics) y presentar en un grfico la seal de salida y de referencia, en otro grfico las seales de error y accin de control total y en un grfico diferente las acciones individuales (caso b.1). Analizar y obtener conclusiones sobre el efecto de tales acciones durante la etapa transitoria y la etapa de rgimen estacionario. Comentar las diferencias que existen en el desempeo entre los casos b.1 y b.2. Nota: para realizar las simulaciones en cada caso, producir una variacin de la referencia en forma de escaln en la mitad del tiempo de simulacin, del 50% al 100% del valor. Para provocar este cambio de referencia, debe esperarse a que el sistema haya llegado al valor de rgimen, esto significa que la seal de error debe ser igual a cero. Resolucin El sistema indicado, con el controlador a aplicar se esquematiza en laFigura 2.1. 7. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 8 de 44 - + R(s) E(s) Gc (s) Gp (s) Glc (s) Y(s) Figura 2.1: Diagrama de bloques de la planta ms el compensador La funcin de transferencia de lazo cerrado para la topologa propuesta resulta de la expresin (2.3). () = () () = 1 + = + 2 + ( + 5) + (2.3) En la expresin (2.3) se observa que la funcin de transferencia a lazo cerrado de la planta ms compensador responde a la forma tpica de un sistema de segundo orden; por lo tanto como estrategia de clculo para el compensador se igualan los polinomios caractersticos de sta con el modelo dado en la ecuacin (2.4). () = 2 2 + 2 + 2 (2.4) Por simple inspeccin se pueden definir las ecuaciones (2.5) y (2.6) que permiten calcular los parmetros del compensador en funcin de las especificaciones del diseo. 2 = (2.5) ( + 5) = 2 (2.6) Recordando queel tiempo de establecimiento puede calcularse como lo indica la expresin (2.7). = 4 (2.7) Adems, recordando la relacin entre coeficiente de amortiguacin, la posicin del polo sobre el eje real y la frecuencia natural del sistema; dada en la ecuacin (2.8). 8. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 9 de 44 = (2.8) Por su parte, el coeficiente de amortiguacin cuyas caractersticas de respuesta al escaln se presentan en la Figura 2.2, se obtiene a travs de la ecuacin (2.9). Figura 2.2: Respuesta tpica de un sistema de segundo orden subamortiguado = ln( ) ln( ) 2 + 2 (2.9) Evaluando la expresin con los valores correspondientes a las especificaciones de diseo, se calcula el valor del coeficiente de amortiguamiento necesario para el compensador a proyectar en la expresin (2.10). = ln(0,02) ln(0,02)2 + 2 = 0,78 (2.10) De este modo, la frecuencia natural del sistema planta ms compensador- puede obtenerse operando las expresiones (2.7) y (2.8) con la especificacin de tiempo de establecimiento; como se exhibe en (2.11). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 fy pM ( )py t sse stptrt t Entrada en escaln, ( )u t Respuesta del sistema, ( )y t 9. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 10 de 44 = = 4 = 6,41 (2.11) Finalmente, operando con las ecuaciones (2.5) y (2.6) se obtienen los coeficientes para el compensador integrador y el proporcional, como se muestra en la expresin (2.12) y (2.13) respectivamente. = 2 = 41,12 (2.12) = 2 5 = 5 (2.13) De esta forma, la ecuacin transferencia a lazo cerrado del sistema compensado est dada por la expresin(2.14). () = 5 + 41,12 2 + 10 + 41,12 (2.14) En tanto que la funcin transferencia del compensador, resulta como en la expresin (2.15). = 5 + 41,12 (2.15) En consecuencia, la seal de error segn el esquema de la Figura 1.2 toma la forma dada por la ecuacin (2.16). () = () 1 + () () = 5 1 + ( 1 +5 ) ( + ) (2.16) As, el error en estado estacionario para la posicin se puede determinar fcilmente mediante la aplicacin del teorema del valor final; como se observa en laecuacin (2.17). = lim 0 () 1 + () () = lim 0 5 1 + ( 1 +5 ) ( + ) = 0 (2.17) Al tratarse de un sistema de primer orden, el error de posicin en estado estacionario debe ser nulo; por lo que el resultado obtenido es satisfactorio. 10. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 11 de 44 Por su parte, el error en estado permanente de velocidad se obtiene como lo muestra la expresin (2.18). = 1 lim 0 () () = 1 lim 0 ( 1 +5 ) ( + ) = 1 (2.18) Como Gp corresponde a un sistema de primer orden, es correcto que se obtenga un error constante de velocidad en estado permanente. a) En la Figura 2.3 se presentan las grficas de la referencia, y como responde la planta sin compensar y el sistema planta + compensador-. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo [seg] Amplitud Gp G lc R Figura 2.3: Respuesta al escaln para el sistema sin compensar y compensado Del diagrama de la Figura 2.1 se desprende que el error para el sistema sin compensar queda definido por la ecuacin (2.19). () = () 1 1 + () () (2.19) 11. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 12 de 44 En tanto que el error para la planta no compensada, resulta simplemente la diferencia entre la referencia y la salida; como se muestra en la ecuacin (2.20). () = () (1 ()) (2.20) Por su parte la accin de control para la planta sin compensar, resulta simplemente la referencia. - + R(s) E(s) Gc (s) Gp (s) Alc (s) Figura 2.4: Diagrama para la accin de control del sistema compensado De la Figura 2.4 se puede deducir la ecuacin (2.21) que presenta la expresin de la accin de control para el sistema compensado. () = () () 1 + () () (2.21) De esta forma se puede producir la comparacin presentada en la Figura 2.5. 12. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 13 de 44 Tiempo [seg] Amplitud 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -5 0 5 10 15 20 25 30 E (s) Sin Compensar E (s) Compensado A(s) Sin Compensar A(s) Compensado Figura 2.5: Comparacin de Error y Accin de Control para sistema compensado y sin compensar b) Tomando como punto de partida el esquema de control propuesto en la Figura 2.1 y la ecuacin del compensador dada en la expresin (2.15), se puede disear con componentes electrnicos el circuito que permitir implementar en la prctica la compensacin para la planta dada. As, se adoptan diversas estructuras para la implementacin, como se presenta en las secciones sucesivas. 1) Esquema P+I, dnde la entrada a cada bloque compensador es la seal de error. Este esquema, en forma genrica se presenta en la Figura 2.6. G G C:P C:I + + GP E(s) Figura 2.6: Esquema del Compensador P+I 13. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 14 de 44 El circuito elctrico que permite implementar este compensador, esquematizado con el simulador PSIM se da en la Figura 2.7. Figura 2.7: Circuito del Compensador P+I Los elementos que componen el circuito presentado, se dimensionan segn las relaciones dadas en las expresiones (2.22) y (2.23). 5 11 = (2.22) Apuntando a construir el circuito con elementos comerciales; adems de buscar que la impedancia de entrada en cada una de las etapas sea alta, se adoptaron los valores presentados en el esquema. Dnde, R5 puede implementarse fcilmente con un resistor de 33k en serie con un resistor de 1k. = 1 3 1 (2.23) Por su parte, para la etapa integradora se estableci que el capacitor a utilizar sea de 1uF para garantizar que se puede implementar con un capacitor comercial no polarizado-; as el resistor que lo acompaa fue obtenido mediante la expresin (2.24); resultando en un valor que puede aproximarse suficientemente bien mediante dos resistores comerciales puestos en serie. 3 = 1 1 (2.24) 14. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 15 de 44 Los resistores restantes del esquema propuesto en la Figura 2.7 slo fueron adoptados de modo que las etapas donde se incorporan cumplan con una determinada funcin elctrica sin aplicar ganancia a las seales implicadas. 2) Esquema PI, donde la estrategia de control se implementa en un nico AO cuyos elementos pasivos auxiliares estn debidamente seleccionados para lograr la accin que le corresponde. En forma general, esta estrategia de control se rige por el esquema presentado en laFigura 2.8. GC:PI GP E(s) Y(s) Figura 2.8: Esquema del Compensador PI El circuito propuesto para esta implementacin es el presentado en la Figura 2.9, esquematizado mediante el software PSIM. Figura 2.9: Circuito del Compensador PI Para el circuito propuesto, los resistores R5 y R6 se obtuvieron mediante la igualdad dada en la ecuacin (2.25). 6 5 + 1 6 1 = + (2.25) Definiendo que el capacitor C1 tome el mismo valor que en el circuito previo por las mismas razones; los resistores resultan de las expresiones (2.26) y (2.27). 15. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 16 de 44 6 = 1 1 = 24,2 (2.26) 5 = 6 = 4,8 (2.27) De igual modo que en el esquema previo, los dems resistores incluidos en el circuito como componentes auxiliares fueron escogidos con valores elevados para garantizar que las respectivas etapas ofrezcan altas impedancias y no apliquen ganancia sobre las seales que manejan. c) De la ejecucin de la simulacin en el PSIM para el esquema de la Figura 2.7 se obtienen las grficas presentadas en la Figura 2.10 y Figura 2.11 respectivamente. Figura 2.10: Salida y Referencia del P+I Figura 2.11: Error y Accin de Control del P+I 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) 0 1 2 3 4 5 6 Vref Vy 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) 0 -5 5 10 15 20 25 30 Vacc Verr 16. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 17 de 44 Adems, para el esquema P+I se puede analizar por separado cmo evolucionan las acciones de control independientes que internamente incorpora el circuito; como se muestra en la Figura 2.12. Figura 2.12: Accin Proporcional e Integral del caso b.1 En la salida del sistema compensado con el esquema P+I, grfica presentada en la Figura 2.10 se aprecia que ste alcanza a estabilizarse en el valor de consigna. Sin embargo, durante la simulacin se tuvo que modificar la alimentacin de energa de los AO implicados para llevarlo hasta una fuente de poder simtrica de 30V; esto queda evidenciado en la magnitud de la accin de control que el compensador debe aplicar, como se exhibe en la Figura 2.11. S bien dicho comportamiento se condice con la simulacin matemtica (terica) mostrada en laFigura 2.5, es menester mencionar que en la prctica ser imposible de implementar el compensador para que acte bajo las condiciones observadas. Esto indica que deber reducirse el nivel de exigencia de los parmetros de diseo, para lograr un circuito robusto y construible. Valindose del esquema elctrico dado en la Figura 2.9se ejecuta la simulacin para el sistema ms el compensador de la estructura PI propuesta y de sta forma se obtienen las grficas presentadas en la Figura 2.13 y Figura 2.14. 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 5 Ai Ap 17. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 18 de 44 Figura 2.13: Salida y Referencia del PI Figura 2.14: Error y Accin de control del PI Durante la ejecucin de simulacin de ste esquema de compensador tambin fue necesario modificar el nivel de alimentacin simtrica aplicado a los AO; esto queda evidenciado en la grfica de la accin de control presentada en la Figura 2.14, dnde es claramente visible que la salida del AO implicado se ve saturada hasta el nivel de alimentacin en el instante en que el compensador debe aplicar el mximo impulso para llevar rpidamente el sistema al valor de consigna. Esto no es ms que otra evidencia de que las exigencias sobre el compensador son muy elevadas y lo llevan ms all del lmite fsico realizable; sugiriendo claramente que deben replantearse los parmetros de diseo dados. 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) 0 1 2 3 4 5 6 R Y 0 0.5 1 1.5 2 Time (s) 0 -10 10 20 30 40 Ac E 18. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 19 de 44 Conclusiones Con el desarrollo del ejercicio hasta aqu presentado se logr afianzar los conceptos relacionados con el diseo, simulacin y evaluacin de desempeo para controladores proyectados mediante la tcnica de reubicacin de polos. Adems, se comprob mediante la simulacin que los circuitos propuestos no lograrn cumplir con las exigencias del diseo debido a restricciones de ndole fsica. Resuelto por: Krujoski Matas G. 19. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 20 de 44 Ejercicio 3) Considere una planta cuya funcin de transferencia es: 2 ( 1,5)( 8) pG s s . Se debe proyectar un compensador PID de tal forma a disminuir el tiempo de subida de la respuesta al escaln unitario y llevar a cero el error en rgimen permanente. Las especificaciones de desempeo transitorio son las siguientes: 1segpt 5%pM A Proyectar el compensador PID por reubicacin de polos; B Simular el sistema en lazo cerrado utilizando Matlab o PSIM. En un mismo grfico representar la seal de referencia y las seales de salida del sistema sin compensar y del sistema compensado. En otro grfico, presentar tambin las seales de error y accin de control: uno para el sistema sin compensar y otro para el sistema compensado. C Disear el circuito electrnico utilizando amplificadores operacionales para poder implementar el compensador en la prctica. C.1) Estructura P + I + D, o sea, la seal de error es la entrada a cada bloque de compensacin, utilizando 3 AMP-OP; C.2) Estructura PI + D, tomando la seal de salida como entrada del bloque derivativo y C.3) Estructura P + I + D utilizando un solo AMP-OP. En cada uno de los casos anteriores, implementar el detector de error y el cambio de fase de la seal de la accin de control resultante para ser aplicada a la planta. Disear los componentes electrnicos pasivos en funcin de los parmetros obtenidos para el compensador en el punto A. D Realizar la simulacin del sistema resultante utilizando PSIM (o Schematics) y presentar en un grfico, la seal de salida y la de referencia, en otro grfico las seales de error y accin de control total y en un grfico diferente, presentar las acciones de control individuales (casos C.1 y C.2) y efectuar un anlisis del efecto de las mismas durante la etapa transitoria y en el rgimen estacionario. Nota para realizar las simulaciones: dem ejercicio N2. Nota: Para el que utilice Pspice (Schematics) para simular los ejercicios 2 y 3 puedeutilizar un amplificador operacional TL082 o TL084.. Resolucin a) En primer lugar vamos a representar el diagrama de bloques para ver donde se intercala el compensador PID (figura 3.0) 20. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 21 de 44 Figura 3.0: Diagrama de bloques del compensador La funcin de transferencia de lazo cerrado que representa al sistema compensado es: = 1 + (3.1) Siendo = () () (3.2) Como es un coeficiente de polinomios podemos escribirla como tal y reemplazada en queda: () = () () + () (3.3) Podemos escribir la ecuacin del PID como sigue: () = 2( + + 2 ) ( + 8)( + 1,5) (3.4) Reemplazando en 3.3 y trabajando algebraicamente podemos obtener: () = 2( + + 2 ) 3 + (9,5 + 2 )2 + (2 + 12) + 2 (3.5) Segn 3.4 vamos a tener que calcular un polinomio caracterstico de orden tres Tomando las especificaciones del problema podemos calcular los parmetros necesarios. Con un mximo sobreimpulso de 5% podemos asegurarnos y realizar los clculos para Mp=0,04. Para hallar el factor de amortiguamiento : 21. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 22 de 44 = 12 = 0,715 (3.6) Con estos datos al implementar el PID el polinomio caracterstico deseado para el sistema compensado de lazo cerrado ser de la siguiente forma: ( + 3)(2 + 2 + 2 ) (3.7) Donde 3es un polo no dominante. Los polos dominantes son: 1 = + = + 1 + 2 = 3,2 + 3,136 (3.8) 2 = = 1 + 2 = 3,2 3,136 (3.9) Plantemos al polo no dominante para que este a unas diez veces a la izquierda de los polos dominantes. 3 = 102 = 30 (3.10) Reemplazando estos valores en la ecuacin 3.7 y trabajando algebraicamente: 3 + 36,422 + 212,9 + 605,6 (3.11) Igualando el polinomio encontrado en la ecuacin 3.11 con el de la ecuacin 3.5 podemos despejar los componentes del compensador. 9,5 + 2 = 36,42 = 13,46 12 + 2 = 212,9 = 100,45 2 = 605,6 = 302,8 (3.12) La funcin transferencia del compensador queda: = + + = 100 + 303 + 13,5 (3.13) b) Mediante el software MATLAB se simula el sistema, y se obtienen un grfico de las respuestas y otro de la seal de error para los casos de sistema no compensado y sistema compensado. El cdigo de MATLAB es el que se muestra en la tabla 3.1 22. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 23 de 44 Tabla 3.1: Cdigo para la simulacin con el programa matlab clear all close all clc format long %PARMETROS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIAS: s=tf('s'); t=0:0.001:3.5; Gp=2/((s+1.5)*(s+8)); % FT planta a lazo abierto Gplc=feedback(Gp,1); % FT lazo cerrado sin compensar Kp=100; % Ganancia proporcional Ki=303; % Ganancia integral Kd=13.5; % Ganancia derivativa Gc=(Kp*s + Kd*s^2 + Ki)/s; % Compensador PID Gla=Gc*Gp; % FT lazo abierto compensado Glc=feedback(Gla,1); % FT lazo cerrado compensada %GRAFICO 1:Seales error, sist compensado, no compensado plot(t,1) hold on step(Gplc,Glc) legend ('salida no compensada','salida compensada','referencia') %GRAFICO 2:Referencia,salida no compensada,salida compensada figure Y=step(Gplc,t); %valores de FTLC sin compensar E=1-Y; % ERROR sin compensar (para un escalon unitario) plot(t,E) grid on hold on Y=step(Glc,t); %valores de FTLC compensado E=1-Y; % ERROR compensado (para un escalon unitario) plot(t,E,'r') legend ('error del sistema sin compensado','error del sistema compensado') a) Para implementar la ecuacin 3.12, que corresponde al compensador, se implementa el control PID por un compensador P, luego a esta salida se le suma la seal proveniente de un compensador I y del compensador D, resultando as el compensado PID buscado con tres amplificadores operacionales. El planteo de los parmetros es el siguiente: Compensador P: Para un compensador P, las ecuaciones que rigen su ganancia son a partir de 3.14 23. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 24 de 44 Figura 3.1 Respuestas del sistema: compensado (2), no compensado (1), y entrada de referencia (3). Figura 3.2 Seal de error(r(t)-y(t)): sistema compensado y sistema no compensado = 1 (3.14) 24. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 25 de 44 Fijamos Rf=10k, de la ecuacin 3.14 despejamos el valor de R1 = 1 1 = = 10000 100 = 100 (3.15) Compensador I: Para un compensador I, la ganancia esta dada por: = 1 1 (3.16) Luego fijando Ci=0,33uF, de la ecuacin 3.18 teniendo el valor de Ki despejamos R1 = 1 1 1 = 1 = 1 302 .0,33.106 = 10000 = 10 (3.17) Compensador D: Para un compensador D, la ganancia esta dada por: = 1 (3.18) Luego fijando R1=100k, de la ecuacin 3.18 teniendo el valor de Kd despejamos C = 1 = 13,46 100 = 130 (3.19) Teniendo los parmetros calculados se simula el circuito utilizando el software PSIM, donde se implementan los controles por medio de amplificadores operacionales, el circuito se puede ver en la figura 3.3 En la figura 3.4 se muestra la respuesta del compensador PID con tres AO, se observa que se cumplen los parmetros requeridos en la consigna, en la figura 3.5 se muestran las seales de error y control en los puntos sealados del circuito. Ahora se proceder a implementar el controlador PID con un solo AO, para ello procederemos a trabajar con los datos de la ecuacin 3.12, que corresponde al compensador 25. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 26 de 44 Figura 3.3 Circuito simulado en PSIM del sistema compensado por un compensador PID con tres amplificadores operacionales. Las grficas obtenidas son: Figura 3.4 Respuestas del sistema compensado (rojo) y entrada de referencia (azul). 26. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 27 de 44 Figura 3.5 Seal de control del sistema compensado figura superior y seal de error figura inferior . El planteo de los parmetros para el compensador con un solo AO es el siguiente: = 1 1 1 (3.20) = 1 (3.21) = 1 (3.22) Tomando R1=100 procedemos al calculo de los restantes elementos, los que resultan ser: 1 = 100 (3.23) = 12162 (3.24) 1 = 0,0011 (3.25) = 0.000033 (3.26) El circuito a implementar es el que puede observarse en la figura 3.6 27. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 28 de 44 Figura 3.6 Circuito para la implementacin del controlador PID con un solo amplificador operacional. Los resultados de aplicar el escaln al sistema se ve en la siguiente figura: Figura 3.7 Seal de entrada en escaln y la respuesta del sistema Mientras que las seales de error y de accin de control son mostradas en la figura3.8 El siguiente paso es implementar el PID tomando la salida como entrada del compensador proporcional, el diagrama de bloques se muestra en la figura 3.9 28. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 29 de 44 Figura 3.8 Seales de control del sistema compensado y de error Figura 3.8 Diagrama de bloques del compensador a implementar. Para el compensador derivativo los valores de resistencia se calculan a continuacin: = 1 = 130, 1 = 100 (3.27) Los valores del PI se muestran en la frmula 3.28, 3.29 1 = 100 (3.28) 29. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 30 de 44 = 1 1 = 0,33, (3.29) = 1 = 1 (3.30) El circuito a implementar es el de la figura 3.9 Figura 3.9 Circuito a implementar para un PID con el proporcional tomado de la salida. Con este circuito se realizaron las simulaciones correspondientes y se obtuvieron los resultados que se muestran en la figura 3.10 Puede observarse que se elimina el sobreimpulso quedando este compensador como el que mejores resultados posee. 30. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 31 de 44 Figura 3.10 resultados de la simulacin del PID con la entrada del P tomada de la salida. Conclusiones En este ejercicio podemos observar las diferentes configuraciones para conectar amplificadores operacionales para un mismo compensador y los diferentes resultados que pueden obtenerse. Resuelto por: Viera Juan R. 31. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 32 de 44 Ejercicio 4) La figura 4.1 muestra un convertidor CC-CC reductor de tensin. Se desea que la tensin de salida Vo se mantenga regulada en 9V, considerando que la corriente de carga puede variar entre 2 y 6 amperes. Para conseguir esto, es necesario que el convertidor opere en lazo cerrado. Para esto se propone proyectar un controlador ON- OFF utilizando un comparador de tensin con realimentacin positiva. La mxima ondulacin de la tensin debe ser de 1% , esto significa que / 2%o oV V . Para garantizar la ondulacin de tensin especificada, se elige la ventana de histresis como siendo el 50% de Vo. La tensin de alimentacin del comparador es Vcc = 15V y la resistencia R1 = 270. Una vez proyectado el controlador, simular el convertidor con Pspice o PSIM mostrando en una misma grfica, las formas de ondas de la tensin de salida del convertidor, de la tensin del punto A y de la tensin de referencia. En otro grfico presentar la tensin de salida del convertidor y la tensin de salida del comparador. En un tercer grfico mostrar el ciclo de histresis (Vcomp respecto de Vo). Obtener un grfico de la salida, la referencia y la accin de control, cuando la carga vara de 2 a 6 amperes. Proyectar los parmetros del filtro de salida del convertidor teniendo en cuenta una tensin de entrada Vi = 20V y la frecuencia de conmutacin fs = 100kHz. Para los que simulen el convertidor con Pspice (Schematics) el comparador que pueden usar es el LM339. La llave de potencia S, es un transistor MOSFET de potencia IRF540 y el diodo de potencia es un MBR1045. 32. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 33 de 44 Figura 4.1 Convertidor reductor te tensin de CC a CC El valor del ripple mximo admitido es del 1% entonces, decimos que: 2% 0,02.9 0,18o o o V V V V (4.1) Como la zona muerta es del 50%: 0,5. 0,5.0,18 0,09oH V (4.2) De la ecuacin de la ventana de histresis se tiene que: 1 1 15 1 1 270 1 44730 47 0,09 comp CC f V V V R R R K H H (4.3) Para el caso en que la tensin en la entrada inversora sea menor que la entrada no inversora, la tensin de salida es Vcomp= Vcc. Por lo que se reemplaza en la ecuacin (4.3) Vcomp= Vcc = 15V. Los valores mximos y mnimo de resistencias de carga son: min mx mx min 9 1,5 6 9 4,5 2 o out o out V R I V R I (4.4) iV L C ( )Li t R oV ( )oi t ( )ci t S fR A ccV refV 1R compV 33. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 34 de 44 El inductor tiene que limitar la variacinde corriente cuando se d la mxima carga, esta variacin ser: 10% 0,1.6 0,6Lmx L outmx I I A A I (4.5) Dado que la variacin de tensin en el capacitor se considera del 10%, se tiene: 10% 0,1.0,18 0,018C C O V V V V V (4.6) Dada la frecuencia de conmutacin fs = 100kHz, se calcula el valor del inductor, y del capacitor mediante las siguientes ecuaciones: 9 20 9 82,5 20 .100 .0,6 O i O i s Lmx V V V V V V L Hy V f I V KHz A (4.7) 0,6 41,66 47 8. . 8.100 .0,018 Lmx s C I A C F F f V KHz V (4.8) La mxima variacin de corriente que se puede dar es: min 0,18 0,12 1,5 O Omx V V I A R (4.9) El resistor mnimo en serie al capacitor se calcula como: min 0,18 0,375 0,6 0,12 O CSE Lmx Omx V V R I I A A (4.10) Con los valores hallados de los distintos elementos, se procede a simular el circuito mediante el programa PSIM. El circuito simulado se aprecia en la siguiente figura. 34. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 35 de 44 Figura 4.2 Convertidor reductor te tensin de CC a CC simulado en PSIM La siguiente grfica, se aprecian las tensiones de salida del convertidor (V3), del punto A (V2) y de la referencia (V1), obtenidas con el programa de simulacin PSIM Figura 4.3respuesta obtenida en PSIM, tensin de salida (V3), de referencia (V1) y del punto A (V2). Para una resistencia de carga mnima R1=1.5 En la figura 4.3 se aprecia la accin de control del sistema comandada por el MOSFET. Donde la salida de tensin del convertidor posee una ondulacin del 1% requerido. Adems se aprecia que la frecuencia de conmutacin es de 100kHz, como se requiere 35. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 36 de 44 en la consigna. Esto quiere decir que con la frecuencia de 100kHz, se logran las especificaciones de ondulacin mxima. Figura 4.4respuesta obtenida en PSIM, tensin de salida (V3) y del punto A (V2). Para una resistencia de carga mnima R1=1.5 La Figura 4.4 se aprecia la seal de referencia la cual es de 9V (V2) y la accin de control ON-OFF (V3), la cual posee un sobrepaso y luego sigue la referencia con una ondulacin del 1%. La fluctuacin de la tensin se da entre un valor mximo y uno mnimo, estos se determinan a continuacin. inferior 1 8,973f ref f R V V V R R (4.11) 1 superior 1 1 9,018f CC ref f f RR V V V V R R R R (4.12) Entonces podemos definir el ciclo de histresis como la diferencia entre las ecuaciones anteriores. superior inferior 0,045H V V V (4.13) 36. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 37 de 44 Este resultado concuerda con lo especificado inicialmente. A continuacin se grafica la ventana de histresis dada entre la tensin de referencia y la de salida del convertidor. Figura 4.5respuesta obtenida en PSIM, siclo de histresis (Vreferencia respecto de Vconvertidor) con R1=1.5 y f=10kHz Se puede ver en la figura 4.5 que el ciclo de histresis est centrado alrededor de los 9V, donde los lmites de ancho de ventana inferior y superior se corresponden con los valores calculados en las ecuaciones (4.11) y (4.12), respectivamente. (Resuelto por: Hoff Romina) Ejercicio 5) Proyectar un controlador ON-OFF con realimentacin positiva, utilizando la configuracin que se muestra en la figura 5.0. La funcin de transferencia del proceso a controlar est dada por 100 80 )( s sGp . 1 caso. La tensin de alimentacin del comparador es Vcc = 18V. Los lmites inferior y superior de la banda de histresis son, respectivamente, VA2 = 9,5V y VA1 = 10V. La resistencia R3 = 470k. 2 caso. La tensin de alimentacin del comparador es Vcc = 15V. Los lmites inferior y superior de la banda de histresis son, respectivamente, VA2 = 10V y VA1 = 10,05V. La resistencia R3 = 500k. Una vez proyectado el controlador, simular en cada caso, el sistema en lazo cerrado con Pspice o PSIM mostrando en una misma grfica, las formas de ondas de la salida de la planta, y de la tensin de referencia, o sea, potencial del punto A respecto a tierra. 37. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 38 de 44 En otro grfico presentar la tensin de salida del comparador junto a la salida de la planta. En un tercer grfico mostrar el ciclo de histresis. Nota: Para el que utilice Pspice (Schematics) para simular, puede usar un comparador LM339. Figura 5.1Esquema de control propuesto Dada la funcin de trasferencia en la ecuacin 5.1, se presenta luego, el esquema circuital a implementar en Pspice 100 80 )( s sGp (5.1) Figura 5.2Esquema del controlador implementado en Pspice En la figura 5.2 observarse el esquema elctrico del controlador, donde se utiliza un LM339 como comparador de ventana inversor, con alimentacin no simtrica. La implementacin del sistema de control mediante un comparador con histresis tiene la A ccV 1R compV 1R 3R pull upR inv 38. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 39 de 44 ventaja de que no presenta oscilaciones en el voltaje de salida cuando la tensin de entrada esta prxima a la de referencia. Este comparador, conmuta de la tensin de salida del AO en funcin de la tensin diferencial vista entre sus entradas. As para Vent> Vref la tensin de salida tiende a cero ( 0outV V ), y para Vent< Vref la seal de salida del comparador es out CCV V . Los dos casos a proyectar en este tem y sus respectivas condiciones son: 1 Caso: VCC=18V; VA2=9,5V; VA1=10V; R3=470k Donde VA2 y VA1 son los lmites inferior y superior de la banda de histresis. Para el dimensionar del circuito de la figura 5.2, se plantea la siguiente relacin entre R1 y R3: 1 3 1 0,5 0,053 9,5A R H V R V V (5.2) Por lo que R1 resulta: 1 30,053. 0,053 470 24,74 22 3,3R R k k k k (5.3) Como el valor calculado de R1 no se encuentra en la serie E12, se adoptan dos resistores en serie de 22k y 3,3k Para hallar R2 se presenta a continuacin en la ecuacin 5.4, de la cual se despeja R2 2 1 1 3 2 1 3 CC A V R V R R R R R (5.4) 1 3 1 2 1 2 1 A CC A R R V R R R V V (5.5) Reemplazando los valores dados como datos, en la ecuacin 5.5 se obtiene: 2 29,38 27 3,3R K K K (5.6) 39. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 40 de 44 Finalmente, se determina el valor de la Rpu. Observando la hoja de datos del AO LM339 que para configuraciones similares a la que hemos planteado, el fabricante recomienda un resistor entre 3k y 6,2k; por lo que se adopta 3,3puR K (5.7) A continuacin, se presenta el esquema circuital del controlador a implementar en conjunto con la funcin de transferencia del proceso: Figura 5.3Esquema de la planta en conjunto con el controlador implementado. A partir de circuito de la figura 5.3, se obtienen los grficos del sistema en lazo cerrado obtenidos mediante simulacin con Pspice (Schematics): Figura 5.4Grfica de la respuesta de la planta con la implementacin del controlador 40. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 41 de 44 ON-OFF. En la figura 5.4 puede observarse que la respuesta del sistema se estabiliza en torno al valor rgimen permanente en 12ms aproximadamente. Adems, en rgimen permanente el valor de tensin oscila entre los lmites de tensin inferior y superior que definen la ventana de histresis del controlador. Figura 5.5Grfica de la tensin de salida de la planta y accin de control En la figura anterior, puede apreciarse la variacin de la tensin de salida del controlador. Mediante la implementacin de controladores ON-OFF con histresis podemos controlar el valor final al que tiende la respuesta del sistema mediante la definicin del centro de la ventana, y las oscilaciones en rgimen permanente se pueden controlar regulando H. Finalmente se presenta la grfica de la ventana de histresis para el controlador proyectado: Figura 5.6Ciclo de Histresis. 41. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 42 de 44 2 Caso: VCC=15V; VA2=10V; VA1=10,05V; R3=500k Donde VA2 y VA1 son los lmites inferior y superior de la banda de histresis, respectivamente. Para el dimensionamiento del circuito de la figura 5.2 se utiliza la ecuacin 5.2 1 1 3 3 1 0,05 0,005 0,005. 10A R H V R R R V V (5.8) 1 2,5 2,2 390R K K (5.9) Para hallar R2 se utiliza la ecuacin 5.5 1 3 1 2 1 2 1 A CC A R R V R R R V V (5.10) Reemplazando los valores en la ecuacin (5.10) se obtiene: 2 5,05 4,7 390R K K (5.11) Rpu se adopta del mismo valor que en el caso 1. 3,3puR K (5.12) Implementando el circuito de la figura 5.3, pero reemplazando los nuevos valores, se presentan los grficos del sistema en lazo cerrado obtenidos mediante simulacin con Pspice: Figura 5.7Grfica de la respuesta de la planta con la implementacin del controlador 42. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 43 de 44 ON-OFF. Figura 5.8Grfica de la tensin de salida de la planta y del controlador En las figuras 5.7 y 5.8 se observa, que la respuesta del sistema en el 2do caso, posee un mayor tiempo de establecimiento y menor amplitud en las oscilaciones en rgimen permanente. Pero el tiempo de establecimiento es mayor, esto se debe al incremento en el valor de resistencia de realimentacin (R3), con lo cual se aument el factor de amortiguamiento del sistema; y la disminucin en las oscilaciones en rgimen permanente se debe a la disminucin del ancho de la ventana de histresis del AO. Finalmente se presenta en la figura 5.9 la grfica de la ventana de histresis para el controlador proyectado: Figura 5.9: Ciclo de Histresis. 43. Control Clsico y Moderno FI - UNaM TP N 3 HOFF KRUJOSKI VIERA Pgina 44 de 44 En conclusin, para seleccionar la resistencia Rpu se debe tener en cuenta de que la misma debe ser elevada, para evitar la elevada disipacin del transistor de salida del amplificador operacional y lo suficientemente baja para poder drenar la corriente necesaria de la fuente a la carga conectada a la salida del AO. Adems, cabe destacar que con componentes muy simples se puede implementar un sistema de control ON- OFF eficiente y con excelentes prestaciones. (Resuelto por: Hoff Romina)