Control Analógico IIdep.fie.umich.mx/~fornelas/data/uploads/pres_03_dc.pdfIntroducción Compensadores Diseño de compensadores: LGR Compensador de adelanto de fase Compensador de

IntroducciónCompensadores

Diseño de compensadores: LGR

Control Analógico II

Diseño y Compensación de Sistemas en el Dominio de laFrecuencia

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolás de HidalgoFacultad de Ingeniería Eléctrica

Morelia, Michoacan

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/61



Contenido del curso

1 Diseño y Compensación de Sistemas en el Dominio de laFrecuencia (16Hrs)

Evaluación: 1 Examen (2 Hrs)




Bibliografía básica

1 K. Ogata. Ingeniería de Control Moderno. Prentice Hall.2 Benjamín C. Kuo. Sistemas de Control Automático, Prentice

Hall.3 Jesús E. Rodríguez Ávila, Introducción a la Ingeniería en

Control Automático, McGraw-Hill4 Isidro I. Lázaro C. Ingeniería de Sistemas de Control Continuo,

1ra Edición 2008, Editorial Universitaria




Contenido

1 Introducción

2 Compensadores

Compensador de adelanto de fase

Compensador de atraso

Compensador de adelanto-atraso

3 Diseño de compensadores: LGR




Introducción

El diseño de un sistema de control comienza por el cálculo delos elementos de potencia en cadena directa tomando encuenta consideraciones como: potencia necesaria, par máximo,aceleraciones posibles, pesos, dimensiones, costos defabricación y por el comportamiento transitorio exigido.Generalmente los valores calculados del error en régimenestacionario son superiores a los errores permisibles o deseadospor lo que surge la necesidad de incluir un elemento quecompense tales errores, justamente por medio de uncompensador.El objetivo principal de este capítulo es presentar losprocedimientos que se siguen en el diseño y la compensaciónde sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo, deuna entrada y una salida, mediante el enfoque de la respuestaen frecuencia.




Introducción

En el enfoque de la respuesta en frecuencia, se especifica eldesempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta.Es decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especificaen términos del margen de fase, el margen de ganancia y lamagnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación agrandes rasgos del amortiguamiento del sistema, la frecuenciade cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho debanda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos de lavelocidad de la respuesta transitoria y las constantes de errorestático.Después de diseñar el lazo abierto, se determinan los polos ylos ceros en lazo cerrado. Deben verificarse las característicasde la respuesta transitoria para saber si el sistema diseñadosatisface los requerimientos en el dominio del tiempo. De noser así, debe modificarse el compensador y luego repetirse elanálisis hasta obtener un resultado satisfactorio.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 6/61



Introducción

Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de lafrecuencia. Uno es el enfoque de la traza polar y el otro es elenfoque de las trazas de Bode. Cuando se añade uncompensador, la traza polar no conserva su forma original, porlo que es necesario dibujar una nueva traza polar, esto tomatiempo y, por tanto, no es conveniente.En cambio, agregar las trazas de Bode del compensador a lastrazas de Bode originales es muy simple y, por tanto, graficarlas trazas de Bode completas es un asunto sencillo, por lo queeste último es preferible para fines de diseño.




Introducción

Se puede decir que, en muchos casos prácticos, la compensación es,en esencia, un compromiso entre la precisión en estado estable y laestabilidad relativa.

La ganancia en la región de frecuencia baja debe ser suficientementegrande y, cerca de la frecuencia de cruce de ganancia, la pendientede la curva de magnitud logarítmica en las trazas de Bode debe serde−20dB/decada. Esta pendiente debe extenderse sobre una bandade frecuencia suficientemente amplia para asegurar un margen defase adecuado. Para la región de frecuencia alta, la ganancia debeatenuarse lo más rápido posible a fin de reducir los efectos del ruido.




Compensador de adelanto de faseCompensador de atrasoCompensador de adelanto-atraso

Outline

1 Introducción

2 Compensadores









Introducción

La compensación de adelanto produce, en esencia, un mejoramien-to razonable en el tiempo de la respuesta transitoria y un cambiopequeño en la precisión en estado estable. Un inconveniente de esteesquema es que puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuen-cia.

Por su parte, la compensación de atraso produce un mejoramientonotable en la precisión en estado estable a costa de aumentar eltiempo de respuesta transitoria. Suprime los efectos de las señales deruido a altas frecuencias.

La compensación de atraso-adelanto combina las características dela compensación de adelanto con las de la compensación de atraso.El uso de un compensador de atraso o de adelanto aumenta el ordendel sistema en 1. El uso de un compensador de atraso-adelanto elevael orden del sistema en 2, lo que complica más el análisis y diseño.





Introducción

Previo al diseño de compensadores, definamos una clasificación usualque se hace a sistemas LIT en función del valor N ∈ {0,1,2,3, ...} delexponente del polo simple para la siguiente función de transferenciasiguiente:

G (s) = K(s + z1)(s + z2) · · ·(s + zm)

sN (s +p1)(s +p2) · · ·(s +pn)

Por ejemplo, se dice que el sistema es de tipo cero si N = 0. Será detipo 1 si N = 1 y así sucesivamente.





Compensador de Adelanto de Fase

Considere un compensador que tiene la FT siguiente:

Gc(s) = KcαTs +1

αTs +1

= Kc

s +1T

s +1

αT

, 0< α < 1

Definiendo K = Kcα

Gc(s) = KTs +1

αTs +1

Note que tal FT tiene ubicado el cero siempre a la derecha del poloen el plano complejo, o a la izquierda en el diagrama de Bode.





Compensador de Adelanto de FaseLa figura siguiente muestra las trazas de Bode de un compensador de adelanto cuandodonde Kc = 1 y α = 0.1. Las frecuencias de esquina para el compensador de adelantoson ω = 1/T y ω = 1/(αT ) = 10/T .

sinφm =

1−α

21+α

2

=1−α

1+α.

Mientras que ωm es la media geométrica de las dos frecuencias de esquina

ωm =1√α T

.





Diseño de Compensador de Adelanto de Fase

La función principal del compensador de adelanto es volver a darforma a la curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un án-gulo de adelanto de fase suficiente para compensar el atraso de faseexcesivo asociado con los componentes del sistema fijo.

Considere el sistema de la siguiente figura

Suponga que las especificaciones del desempeño se dan en términosdel margen de fase, del margen de ganancia, de las constantes deerror estático de velocidad, etc.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 14/61





El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto medianteel enfoque de la respuesta en frecuencia se plantea del modo siguien-te:

1.- Suponga la función de transferencia en lazo abierto del compensador-sistema con FT G (s) queda determinado por

Gc(s)G (s) = KTs +1

αTs +1G (s)

=Ts +1

αTs +1KG (s)

=Ts +1

αTs +1G1(s), G1(s) = KG (s)

Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre el errormáximo permitido, identificando primeramente el tipo de sistemaque corresponde (tipo 0, tipo 1, etc.).





Diseño de Compensador de Adelanto de FaseLa ganancia se calcula de la función de transferencia del error del sistema en lazo cerrado

E(s) =R(s)

1+G1(s)y haciendo uso del teorema del valor final, apoyándose en el siguiente

procedimiento:

Si el sistema es de tipo 0, use una R(s) =1s

para determinar K a partir del error enestado estable deseado.

Si el sistema es de tipo 1, se determina el valor de K considerando una entrada tipo

rampa como R(s) =1s2

, tal que se satisfaga el error en estado estable deseado.

Si el sistema es de tipo N, se determina el valor de K considerando una entrada dada

como R(s) =N!

sN+1 tal que se satisfaga el error en estado estable deseado.






2.- Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode de G1(w), el sistemacon la ganancia ajustada (pero sin compensar). Calcule el valor del margen de fase.

3.- Determine el ángulo de adelanto de fase φm necesario que se agregará al sistema(+5◦ ∼+12◦).

4.- Determine el factor de atenuación α a partir de la ecuación

sinφm =1−α

1+α

o bienα =

1− sinφm

1+ sinφm.

Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado G1(jw) esigual a −20log

(1/√

α). Seleccione ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Esta frecuencia debe corresponder a ωc = ωm =1√α T

, y el cambio máximo de fase φm

ocurrirá a tal frecuencia. Resuelva para T .






5.- Determine las frecuencias de esquina del compensador de ade-lanto del modo siguiente:

Cero del compensador de adelanto: ωc =1T

Polo del compensador de adelanto: ωc =1

αT.

6.- Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de α esta-blecido en el paso 4, calcule la constante Kc , a partir de

Kc =K

α

7.- Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es sa-tisfactorio. De no ser así, repita el proceso de diseño modificandola ubicación de los polos y ceros del compensador hasta obtener unresultado satisfactorio.






Diseño de la función de transferencia del compensador en adelantodados φc y Mc a una frecuencia ωc .

Ejemplo: Sea el sistema que se muestra en la figura siguiente

Considere especificaciones de diseño como:

Un error en estado estable menor al 5% , es decir, ess ≤ 0.05.Margen de fase de al menos 50 grados.Margen de ganancia de al menos de 10 dB.





Diseño de Compensador de Adelanto de Fase: Solución1.- El primer paso es determinar la ganancia K del compensador tal que se cumpla conla condición de error en estado estacionario, que en este caso es de 0.05.

ess = l«ımt→∞

e(t) = l«ıms→0

sE(s) = l«ıms→0

sR(s)

1+G1(s)≤ error deseado= 0.05.

l«ıms→0

sE(s) = l«ıms→0

s

(1s2

)1+K

4s (s+2)

= l«ıms→0

1s

s (s+2)+4Ks (s+2)

= l«ıms→0

s+2s (s+2)+4K

=24K

≤ 0.05

Por lo que K ≥ 10.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 20/61




Diseño de Compensador de Adelanto de Fase: Solución

2.- Determine el diagrama de Bode con de G1(s) = KG (s).

Se determina un margen de fase de 18 grados. Dada la especificaciónde mínimo 50 grados de margen de fase, deben agregarse 33 gradosmas (+5 a +12 debido a que debido el compensador agregará mag-nitud a la gráfica de magnitud), por lo tanto han de agregarse 38por medio del compensador de adelanto.





Diseño de Compensador de Adelanto de Fase: Solución

3.- φm = 38.

4.- Se determina α de

sinφm =1−α

1+ α

dando como resultado que α = 0.24.

5.- Determinar la frecuencia wm a la cual se tiene −20 log(1/√

α)

=

−20 log(1/√0.24

)=−6.19 dB. De Bode, la frecuencia es alrededor

de 9 rad/s. Esta frecuencia corresponde a ωc =1√α T

. De este se

obtienen los valores de:

Cero del compensador de adelanto:1T

= wc√

α = 4.41

Polo del compensador de adelanto:1

αT=

wc√α

= 18.4.






6.- Kc =K

α= 41.7.

El compensador resultante es:

Gc (s) = 41.7s+4.41s+18.40

= 100.227s+10.054s+1

La simulacion en el tiempo:

num=4; den=[1 2 4];

numc=[0 0 166.8 735.588]; denc=[1 20.4 203.6 735.588];

t=0:0.02:6;

[c1,x1,t]=step(num,den,t);

[c2,x3,t]=step(numc,denc,t);

plot(t,c1,’.’,t,c2,’-’)





Implementación del Compensador de Adelanto de Fase

eo(s)

ei (s)=

U(s)

E (s)=

R2R4

R1R3

R1C1s +1R2C2s +1





Outline

1 Introducción

2 Compensadores









Compensador de Atraso de FaseUn compensador de retardo de fase tiene la siguiente función de transferencia

Gc (s) = KcβT s+1

βT s+1= Kc

s+1T

s+1

βT

, β > 1

En el plano complejo, este compensador tiene un cero en s=− 1T

y un polo en s=− 1βT

.

El polo esta a la derecha del cero. La siguiente figura muestra el diagrama de Bode delcompensador, con Kc = 1 y β = 10, donde las frecuencias de esquina están en ω = 1/Ty ω = 1/(β T ):





Diseño del Compensador de Atraso de Fase

La función principal de un compensador de atraso es proporcionaruna atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportarun margen de fase suficiente al sistema.

El procedimiento para diseñar compensadores de atraso se planteaconsiderando que las especificaciones del desempeño se dan en tér-minos del margen de fase, del margen de ganancia, de las constantesde error estático de velocidad, etc.






1.- Suponga la función de transferencia en lazo abierto del compensador-sistema con FT G (s) queda determinado por

Gc(s)G (s) = KT s +1

βT s +1G (s), K = Kcβ

=T s +1

βT s +1KG (s)

=T s +1

βT s +1G1(s), G1(s) = KG (s)

Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre el errormáximo permitido, identificando primeramente el tipo de sistemaque corresponde (tipo 0, tipo 1, etc.). La ganancia se calcula de lafunción de transferencia del error del sistema en lazo cerrado E (s) =

R(s)

1+G1(s)y haciendo uso del teorema del valor final.





Diseño de Compensador de Atraso de FaseLa ganancia se calcula de la función de transferencia del error del sistema en lazo cerrado

E(s) =R(s)

1+G1(s)y haciendo uso del teorema del valor final, apoyándose en el siguiente

procedimiento:

Si el sistema es de tipo 0, use una R(s) =1s

para determinar K a partir del error enestado estable deseado.

Si el sistema es de tipo 1, se determina el valor de K considerando una entrada tipo

rampa como R(s) =1s2

, tal que se satisfaga el error en estado estable deseado.

Si el sistema es de tipo N, se determina el valor de K considerando una entrada dada

como R(s) =N!

sN+1 tal que se satisfaga el error en estado estable deseado.






2.- Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode delsistema con la ganancia ajustada pero sin compensar G1(w).

Si el sistema no compensado G1(jw) = KG (jw) no satisface las es-pecificaciones en los márgenes de fase y de ganancia, encuentre lafrecuencia wc en la cual el ángulo de fase de la función de transferen-cia en lazo abierto sea igual a −180◦ + el margen de fase requerido +5◦ a 12◦. (La adición de entre 5◦ y 12◦ compensa el atraso de fase delcompensador de atraso.) Seleccione ésta frecuencia como la nuevafrecuencia de cruce wc que debe tener la gráfica de la ganancia.






3.- Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase producido por elcompensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atrasodeben ubicarse mucho más abajo que la nueva frecuencia de crucede ganancia.

Por tanto, seleccione la frecuencia de esquina w = 1/T (que corres-ponde al cero del compensador de atraso) alrededor de una décadapor debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, pudiendo serun poco menos de una década (por ejemplo, wc/5). (Si las constan-tes de tiempo del compensador de atraso no se vuelven demasiadograndes, se selecciona la esquina de frecuencia w = 1/T una décadapor debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.)






4.- Determine la atenuación necesaria para disminuir la curva demagnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Con-

siderando que esta atenuación es de −20 logβ = 20 log1β, determi-

ne el valor de β . Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina(que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir dew = 1/(βT ).

5.- Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de β obtenidoen el paso 4, calcule la constante Kc a partir de

Kc =K

β.





Ejemplo: Diseño del Compensador de Atraso de Fase

Ejemplo: Sea el sistema descrito por la siguiente FT:

G (s) =1

s (s +1)(0.5s +1)

Considere especificaciones de diseño como:

Un error en estado estable menor al 20% , es decir, ess ≤ 0.2.Margen de fase de al menos 40 grados.Margen de ganancia de al menos de 10 dB.





Ejemplo: Diseño del Compensador de Atraso de Fase1.- El primer paso es determinar la ganancia K del compensador tal que se cumpla conla condición de error en estado estacionario, que en este caso es de 0.05.

ess = l«ımt→∞

e(t) = l«ıms→0

sE(s) =sR(s)

1+G1(s)≤ error deseado= 0.2.

l«ıms→0

sE(s) = l«ıms→0

s

(1s2

)1+K

1s (s+1)(0.5s+1)

= l«ıms→0

1s

s (s+1)(0.5s+1)+K

s (s+1)(0.5s+1)

= l«ıms→0

(s+1)(0.5s+1)s (s+1)(0.5s+1)+K

=1K

≤ 0.2

Por lo que K ≥ 5.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 34/61





Determine el diagrama de Bode con de G1(s) = KG (s).

MF=-13 grados (-20 grados en el libro) y MG=-4.44 dB

Dado que no es el margen de fase deseado (de hecho es negativo y portanto el sistema inestable), se debe seleccionar la nueva frecuenciade cruce donde se tenga la suma de −180+40+12 =−128 grados,que resulta en una frecuencia de 0.5 rad/s.






3.- La frecuencia que corresponde al cero del sistema debe estar abajo de la nuevafrecuencia de corte determinada en el punto 2, a fin de que no se afecte el atraso defase en la gráfica de Bode resultante, por lo que se elige w = 1/T = 0.1 rad/s comola frecuencia de corte del cero. Nótese que no se eligió una década de frecuencia abajode la nueva de cruce a fin de evitar constantes de tiempo grande en la respuesta delsistema, esto porque serán dominantes tales raíces en la respuesta del sistema, pues losceros serán los polos en lazo cerrado.

4.- La cantidad de ganancia a disminuir en la nueva frecuencia de corte es aproximada-

mente de −20 dB. Considerando que esta atenuación debe ser −20logβ = 20log1β

=

−20, por tanto

log(1β

)=−1

luego1β

= 10−1, por lo que β = 10.

La frecuencia de esquina que corresponde al polo del compensador de atraso se calculacomo w = 1/(βT ) = 0.01 rad/s.






5.- La ganancia

Kc =K

β=

510

= 0.5

Por lo que el compensador final es:

Gc(s) = KcβT s +1

βT s +1

= 510s +1100s +1

= 0.5s +

110

s +1100






La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es:

Gc (s)G(s) =5(10s+1)

s (100s+1)(s+1)(0.5s+1)

y la de lazo cerrado resulta en

Y (s)

R(s)=

50s+550s4 +150.5s3 +101.5s2 +15s+5

Si después del diseño del compensador no se tiene un comportamiento satisfactorio, sepuede realizar la compensación ya sea de atraso o adelanto en “tipo cascada” hastalograr un desempeño satisfactorio.

El circuito electrónico del compensador de atraso es el mismo que elde adelanto.





Outline

1 Introducción

2 Compensadores









Compensador de Atraso-Adelanto de FaseEl compensador de atraso-adelanto es una combinación de los dos previos.

La FT del compensador esta dada por

C(s) = Kc

s+1T1

s+γ

T1

s+

1T2

s+1

βT2

∣∣∣∣∣∣∣∣γ=β

= Kc(T1s+1)(T2s+1)(T1

βs+1

)(βT2s+1)

donde γ > 1 y β > 1. El término

s+1T1

s+γ

T1

=1γ

T1s+1T1

γs+1

, γ > 1

corresponde al adelanto, mientras que el atraso se da por el término

s+1T2

s+1

βT2

= βT2s+1

βT2s+1, β > 1.





Compensador de Atraso-Adelanto de FaseAunque no es una regla, es común elegir γ = β . La frecuencia a la cual la fase es ceroestá dada por

w1 =1√

T1T2.

El diagrama de Bode sería





Diseño de un Compensador de Atraso-Adelanto de Fase

Ejemplo: Diseño de un compensador de atraso-adelanto de fase. Considere el sistema

G(s) =K

s(s+1)(s+2)

Se desea tener un error en estado estable de ess =1Kv

= 0.1 ó 10%, donde Kv es la

constante de error estático de velocidad, que el MF sea de 50 grados y el MG de 10dB,o más.

La parte correspondiente al retardo proporciona alta ganancia a bajas frecuencias, loque reduce el error en estado estable, mientras que la parte de adelanto de fase aumentael ancho de banda del sistema, lo que aumenta la velocidad de respuesta del sistema.

Puesto que la ganancia de la planta es ajustable, no es necesario agregarla de formaadicional mediante el compensador.

Para el cálculo de la ganancia, se puede utilizar el teorema del valor final. Entonces, laganancia resulta en K = 20.

El diagrama de Bode del sistema con la ganancia calculada (sin la compensación):











El MF es de −32, por lo que el sistema en lazo cerrado será inestable, no cumpliendotampoco con las especificaciones e desempeño planteadas.

El siguiente paso es seleccionar la nueva frecuencia de cruce como aquella donde la faseesté en -180 grados, en este caso en 1.5 rad/s.

Entonces se puede elegir la frecuencia de cruce de la red de atraso para el cero como

una decada abajo de wc , esto es1T2

=wc

10, esto es

1T2

= 0.15.

Posteriormente, de la red de adelanto se tiene que sinφm =β −1β +1

. En este casi, φm se

selecciona como el ángulo deseado + 5 a 12 grados adicionales, por lo tanto φm = 55,lo que produce que aprox. β = 10. Produciendo que el polo de la parte del retardo sea1

βT2= 0.015 rad/s. Finalmente el comp. de atraso es

s+0.15s+0.015

= 106.67s+166.7s+1






Para la parte del comp. de adelanto, se observa que a 1.5 rad/sse tiene una ganancia de +13 dB, por lo tanto se elige una rectacon una pendiente de +20 dB/dec las corrdenadas: frecuencia de1.5 rad/s y −13 dB. Esto provocara que la suma de ganancia seacero. Las intersecciones de esta línea con las lineas de 0 dB y −20dB determinan las frecuencias de cruce de la red de adelanto, quepara este ejemplo las frecuencias son w = 0.7 y 7 rad/s, siendo elcompensador de adelanto

s +0.7s +7

=110

(1.43s +10.143s +1

)

Teniendose la función de transferencia total del sistema compensado,se logra un MF de 50 grados y uno de ganancia de 16 dB. Lo queconcluye el diseño.






Tarea: Simular el sistema sin compensador y compensado para verla mejora del sistema de control. Elija la referencia como un escalón.






asfd






asfd





Introducción

asfd




Introducción

El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientospara el diseño y la compensación de sistemas de control de una en-trada y una salida e invariantes con el tiempo. La compensación es lamodificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer lasespecificaciones determinadas. El enfoque que se usa en este capítulopara el diseño y la compensación de un sistema de control es el lugargeométrico de las raíces.

El enfoque del lugar geométrico de las raíces es muy asertivo enel diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos delas cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor deamortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada delos polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempode levantamiento y el tiempo de asentamiento.




Diseño del compensador de adelanto usando el LGR

Los procedimientos para diseñar un compensador de adelanto mediante el método dellugar geométrico de las raíces se plantean del modo siguiente:

1.- A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada paralos polos dominantes en lazo cerrado. (Dar una gráfica que indique la respuesta delsistema en función de la ubicación de las raíces.)

2.- Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruebe si el ajustede la ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes.Si no, calcule la deficiencia de ángulo φ a partir de la relación φ = ±180(2k + 1)+∑SumatoriaAngulos. Este ángulo debe ser una contribución del compensador de ade-lanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las ubicaciones deseadaspara los polos dominantes en lazo cerrado.




Diseño del compensador de adelanto usando el LGR3.- Suponga que el compensador de adelanto Gc (s) es

Gc (s) = KcαTs+1

αTs+1

= Kc

s+1T

s+1

αT

, 0< α < 1

en donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina apartir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

4.- Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo ydel cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuyaal ángulo φ necesario. Si no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intenteaumentar lo más posible el valor de α. Un valor más grande de α por lo general produceun valor más grande de KV , lo cual es conveniente. (Si se especifica una constantede error estático, por lo general es más sencillo usar el enfoque de la respuesta enfrecuencia.)

5.- Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condiciónde magnitud.





Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especi-ficaciones de desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño,repita el procedimiento de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hastacumplir con todas las especificaciones.

Ejemplo: Diseñe un compensador de adelanto de fase basado en el LGR para un sistemaque tiene una función de transferencia en lazo abierto de

G(s) =4

s (s+2)

Las especificaciones de diseño en lazo cerrado son:

Un tiempo de asentamiento menor o igual a 2 segundos. (bajo el criterio del 2%del valor final, esto es ts = 2s al 2% del valor final, lo que se cumple en 4constantes de tiempo).

Un sobre-pico de 0.05, es decir Mp = 0.05 o del 5%.





SOLUCIÓN. Paso 1. Trazar la gráfica del lugar geométrico de las raíces para elsistema original.

A partir de las siguientes relaciones determine si el sistema actual cumple conlos requerimientos.

El sistema en lazo cerrado esta dado por

Y (s)

R(s)=

4s2+2s+4

por lo que wn = 2 y ζ = 0.5. De estos valores se obtiene que ts = 4 y para elsobre pico Mp = 0.16, por lo que hay que agregar el compensador, dado que elsistema no cumple con los requerimientos.

Recordar que la constante de tiempo de un sistema de segundo orden esta dada

por τ =1

ξwn.





Paso 2. Para el diseño del compensador se procede de la siguientemanera.

Para calcular el tiempo de establecimiento se puede usar la formula

ts =4

ζ wn(correspondiente a 4 constantes de tiempo, o 98%) y para

el sobre tiro Mp = e−ζ π/√

1−ζ2 .

A partir del máximo sobre pico se calcula el valor de ζ y de éstejunto con la fórmula para ts se calcula el valor de wn. Así se obtieneζ = 0.69 y wn = 2.8965.





Para cumplir con las especificaciones de desempeño se debe proponerque el LGR pase por el siguiente punto determinado a partir de ζ ywn, tomando en cuenta la figura de ángulo y magnitud siguiente





De la figura de magnitud y ángulo, se tiene que el LGR debe cruzaren lazo cerrado por el punto P = s = −σ + jwd (polos dominantesen lazo cerrado), donde σ = ξwn y wd = wn

√1−ξ 2, lo que resulta

en σ = 2 y wd ≈ 2.

(Notar que deben ser complejos conjugados).

Del punto P encontrado, se tiene que el ángulo a compensar es

φ =±180(2k +1) +90+135 = 405

que al restar 360 grados, φ = 45. (con k = 0 y signo positivo).





Paso 3 y 4. Posteriormente, trace una línea horizontal que conectecon P , y otra de P al origen. Bisecte el ángulo entre las dos lineasanteriores para formar la línea PB (en este caso hay un ángulo de67.5 grados de P0 y PB), y trace dos lineas adicionales (PC y PDcon ángulos φ/2), que al intersectar con el eje real negativo definenla ubicación del cero y polo del compensador, como se muestras enla figura

Entonces φ/2 = 22.5 grados.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 58/61




Geométricamente se determina que el cero esta en -2 y el polo en -4.

Paso 5. Dadas las ubicaciones de todos los polos y ceros del sistemaen lazo cerrado, se determina la ganancia para que el sistema en lazocerrado ubique los polos en P , lo cual puede obtenerse a partir de lacondición de magnitud como

Kc =

∣∣∣∣ 1Gc(s)G (s)

∣∣∣∣s=P

≈ 4.

Esto concluye el diseño.





Tarea: Simular la respuesta del sistema con y sin el compensador.





Comentarios adicionales:

Note que el diseño está basado en polos dominantes, esto es, parasistemas de gran dimensión, se debe hacer el diseño sobre los polosmás lentos.


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Control Analógico IIdep.fie.umich.mx/~fornelas/data/uploads/pres_03_dc.pdfIntroducción Compensadores Diseño de compensadores: LGR Compensador de adelanto de fase Compensador de