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Compensadores - Bode
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Compensación utilizando Boode
Métodos de respuesta en frecuencia
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
1.- Compensación en adelanto
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Se utiliza el compensador en adelanto siguiente
101
1
11)(
s
sK
ssKsG ccc
11)(
jjKjG cc m
0
m
1)1(
21
)1(21
1. Compensación en adelanto
donde es el factor de atenuación y es la ganancia del compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es
cK
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
100
10
20
º90
º01.0 1 10 100
dB
10
El ángulo de fase máximo se observa por la recta tangente a la gráfica polar y que pasa por el origen. Este ángulo máximo dependerá del valor de , aumentando si disminuye. La relación -ángulo máximo es
11
msen
El diagrama de Bode del compensador, para es1.0,1
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
1log1log
21log m
1m
De la gráfica de Bode se observa que el ángulo máximo del compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero
Técnicas de compensación en adelanto1. Suponga el compensador en adelanto
11ssKsG cc
defina cKK
El compensador y la planta en lazo abierto quedan
sKGsssGsGc 11
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constante estática de error propuesta
K
2.- Dibuje el diagrama de Bode , que es el sistema con la ganancia ajustada sin compensar.
)(sKG
3.- Determine el ángulo de fase que se necesita agregar al sistema. A ese valor, agréguele de 5º a 12º más (por el desplazamiento de la magnitud).
4.- Con el ángulo deseado, determine el factor de atenuación
11
msen
después determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado sea
1log20
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Utilizando esta frecuencia la ecuación
1m
se obtiene el valor del cero y del polo1
1
5.- Con y , calcule la constante del compensadorK
KKc
6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en adelanto
Ejemplo: Diseñe un compensador en adelanto que haga que el error en estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante de error estático de velocidad sea de . Al mismo tiempo, el margen de fase sea mayor a 45°. En el siguiente sistema:
vK120 seg
)3(5.7)(
ss
sG
Solución:1) Se supone un compensador en adelanto de la forma
11)(
jjKsG cc
nota: La forma normalizada del compensador, permite ver la aportación de ganancia del compensador .)( cK
se define cKK
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Se encuentra la ganancia que junto con el sistema cumplan con la constante de error estático de velocidad.
205.2)3(
5.7lim)(11lim)()(lim
000
K
ssKssKG
sssGssGK
sscsv
8K
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K
K
)3(60)(
ss
sKG
)131(
20)(
jj
jKG
Diagrama de Bode
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el adelanto de fase que se requiere agregar:
9.21fM 45deseadoM f
5ffm MdeseadoM
281.28m
5) De se obtienem
11
msen
361.0
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar el compensador. Se utiliza )/1log(20
4249.4)361.0/1log(20 se observa en el diagrama de Bode en qué frecuencia se tiene una magnitud de y se define como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es
)/1log(20
./77.9 segradc
Después se hace que a esta frecuencia ocurra el máximo aumento de fase . En otras palabra es la frecuencia media entre frecuencia de corte del cero y del polo.
cm
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
cm
1
7.- Se obtiene el cero y el polo del compensador
8701.51 c
2607.161
ccero polo
8.- Con y se obtiene la ganancia del compensador K
16.22KKc
y el compensador es
2607.168701.516.22)(
sssGc
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
segrada
M f
/77.9
1.45 GGc
GGc
G
G
cG
cG
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2.- Compensación en atraso
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2. Compensación en atraso
Se utiliza el compensador en atraso
11
1
11)(
s
sK
ssKsG ccc
el valor del polo es más positivo que el del cero .1
1
El diagrama polar del compensador en retraso es
0cKcK
Re
Im
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Mientras el diagrama de Bode es el siguiente:
0
10
20
º90
º0
01.0 1.0 1 10
dB
1011cK
Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor más negativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero. Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que se busca una atenuación en altas frecuencia para aportar un margen de fase adecuado al sistema.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Técnicas de compensación en atraso
1. Suponga el compensador en atraso
11
1
11)(
s
sK
ssKsG ccc
se define cKK
y el sistema compensado es
)(11)()( sKG
sssGsGc
2.- Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constante estática de error propuesta
K
3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la ganancia .K
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados. Entonces encuentre la frecuencia donde el ángulo de la fase es -180º más el margen de fase requerido, más unos 5 o 12 grados.
5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la ganancia.
6.- Después seleccione la nueva frecuencia de corte del cero más o menos una década alejada del nueva frecuencia de cruce de la ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de la frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante es no hacer la constante de tiempo del polo muy grande.
1
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
7.- Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta atenuación se determina el valor de .
log20dB8.- Con el valor de y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del polo
1
9.- Por último se obtiene la ganancia del compensador:
KKc
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuenciaCompensadores en atrasoEjemplo: Compense el siguiente sistema:
de forma tal que la constante de error estático de velocidad sea de . , el margen de fase sea al menos de 40° y el margen de ganancia al menos de 10dB.
)2)(1(2)(
ssssG
vK15 seg
Solución:1) Se utiliza un compensador en atraso de la forma
11)(ssKsG cc
se definecKK
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Ajustar la ganancia para que junto al sistema cumpla con las especificaciones de error estático de velocidad.
K
5)2)(1(
2lim)(11lim
00
ssssKsKG
sssK
ssv
5K
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K
)2)(1(10)(
ssssKG
)15.0)(1(5)(
jjjjKG
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Diagrama de Bode
3)
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene un margen de fase de -13°, por lo que es inestable.Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ángulo de fase de -180°+ el margen de fase deseado + 12° de compensación por el cambio de fase.
º128º12º40º180
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de corte una década menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso correspondería a , pero por cuestiones de diseño, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se opta por asignar al cero una frecuencia de corte de
log2020
./.05.0 segrad
./.1.0 segrad
1.01
6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce seleccionada ( ) la magnitud pase por 0dB. De la gráfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce seleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que restar 20 dB.
./.469.0 segrad
10
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
7) Con el valor de y el valor del cero, se obtiene el polo
10011
8.- Por último se obtiene la ganancia del compensador:
105
KKc
01.01.05.0)(
sssGc
El compensador en atraso queda:
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
segrada
M f
/454.0
6.41
GGc
GGc
G
GcG
cG
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
3.- Compensación en atraso-adelanto
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
1,11
11
)(
2
2
1
1
s
s
s
sKsG cc
3. Suponga el compensador en atraso-.adelanto
1 0
1
Im
Re
•Es común seleccionar•Para el compensador es en atraso.•Para el compensador es en adelanto.•La frecuencia es aquella donde el ángulo de fase es cero.
10
1
Fig. 1Diagrama polar .,1 cK
1
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
010
20
º0
1
001.0
dB
º90
º90
10
1
01.0 1
1.0 1
1 1
10 1
100
Fig.2 Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto. .10,,1 12 cK
211
1
La frecuencia se obtiene de:1
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuenciaCompensadores en atraso-adelanto
Ejemplo: Compense el siguiente sistema cuya función de transferencia:
se desea que la constante de error estático de velocidad sea de . , , el margen de fase sea de 50° y el margen de ganancia al menos de 10dB. Utilice un compensador atraso adelanto.
)2)(1()(
sssKsG
vK110 seg
1) Como el sistema tiene ganancia ajustable , se considera .K cKDel requisito de error de error estático de velocidad, se obtiene
102)2)(1(
)(lim)()(lim00
Ksss
KssGsGssGK cscsv
20K
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no compensado con 20K
El margen de fase es de -32º. El sistema es inestable.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
3) Seleccionar la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Ésta será la frecuencia donde . El diagrama de Bode muestraº180)( jG
./5.1 segradc
4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador de la parte atraso, una década por debajo de la frecuencia de cruce:
./15.01
2segrad
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
5) Con el máximo adelanto de fase deseado, se obtiene
11
msen si º50m 548.7
pero se escoge que corresponde a 10 º9.54m
6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parte atraso es
./015.01
2segrad
Entonces la parte de atraso del compensador queda:
015.015.0
ss
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en la frecuencia de cruce de ganancia (ver Diagrama de Bode). En este caso es:
BjG d13)5.1( Se selecciona el punto (1.5 rad/seg. , -13 dB ), se traza una línea recta de pendiente 20 dB/década, donde intersecte la línea de -20 dB es la frecuencia de corte del cero de adelanto ( )y donde intersecte la línea de 0 dB, es la frecuencia de corte del polo de adelanto ( ). la parte de adelanto es
./7.0 segrad
./7 segrad
77.0
ss
El compensador atraso-adelanto queda
77.0
015.015.0)(
ss
sssGc
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
)(sGc
)(sGc
)()( sGsGc
)()( sGsGc
)(sG
)(sG