Prof: Toribio Córdova C.

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS Se llama triángulo a la figura geométrica plana formada por tres segmentos de recta que tienen dos a dos un punto común que se denomina vértice.

Notación: Triángulo ABC: ∆ABC. Elementos

:

Vértice : A, B, C

Lados : AB , BC , AC Ángulos internos : αº, βº, θº Ángulos externos: xº, yº, zº Perímetro : 2p = a + b + c

CLASIFICACIÓN

A. Según sus Ángulos: 1. Triángulo Oblicuángulo Triángulo Acutángulo Triángulo Obtusángulo

2. Triángulo Rectángulo

B. Según sus lados:

1. Triángulo Escaleno

2. Triángulo Isósceles

3. Triángulo Equilátero

LINEAS NOTABLES

1. Altura: es el segmento perpendicular que se traza por uno de los vértices hacia el lado opuesto.

2. Mediana: es el segmento que une el punto medio

de uno de los lados con el vértice opuesto. 3. Mediatriz: se llama mediatriz a la recta

perpendicular a uno de los lados que pasa por punto medio del lado.

α° ω°

θ°

A C

B

0° < α°, θ°, ω° < 90°

90° < α° < 180°

B C

A

α

a

B

A

c

C b

a ≠ b ≠ c

A C

B

L L

Base α° α°

A C

B

L L

L

60° 60°

60°

y°

x°

c

α° θ°

β°

z°

C A

B

Región Triangular

b

a

α° + θ° = 90°

A C

B

α

θ

B

M C A

N MN: Mediatriz

BM: Mediana

B

M C A

A

B

C H

BH: Altura

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4. Bisectriz interior: es la bisectriz de uno de los ángulos interiores que llega del lado opuesto.

5. Bisectriz exterior: es la bisectriz de uno de los

ángulos exteriores que llega a la prolongación del lado opuesto.

6. Ceviana interior: se llama así a cualquier

segmento que trazado de los vértices llega al lado opuesto.

7. Ceviana exterior: se llama así a cualquier

segmento que trazado por uno de los vértices llega a la prolongación del lado opuesto.

PROPIEDADES BASICAS

8. Suma de Ángulos Internos 9. Suma de Ángulos Externos

10. Cálculo de un ángulo externo 11. Desigualdad Triangular

Sea: a < b < c 1. b – a < c < b + a 2. c – a < b < c + a 3. c – b < a < c + b

1. Propiedad Cuadrilátero Cóncavo.

PROPIEDADES ADICIONALES

(La del Boumerang) 2. Propiedad Mariposa 3. Propiedad Pescadito

ω° α° C A

B

θ° α° + θ° + ω° = 180°

e1 + e2 + e3 = 360°

e2

e1

e3

α° ω°

θ°

y°

x°

x° = α° + θ°

y° = α° + ω°

a b

c

x + y = α° + θ°

α

θ

y

x

x + y = α + θ

x

y

θ

α

x = α° + θ° + β°

α°

β°

θ° x

D

B

C A

α α BD: Bisectriz interior

E

B

C A

θ

θ BE: Bisectriz exterior

BP: Ceviana interior B

P C A

BQ: Ceviana exterior B

Q C A

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4.

5.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular “x”. a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º

2. Calcular “x”.

a) 100º b) 80º c) 120º d) 140º e) 180º

3. Calcular “x”.

a) 50º b) 100º c) 180º d) 90º e) 120º

4. Calcular “x”.

a) 50º b) 40º c) 30º d) 20º e) 10º

5. Calcular “x”, si: α + θ = 60º

a) 150º b) 120º c) 100º d) 20º e) 10º

6. Calcular “x”; si es entero:

a) 180º b) 94º c) 86º d) 96º e) 84º

7. Hallar los valores pares de “x”.

a) 4 y 6 b) 4 y 8 c) 2 y 4 d) 6, 7 y 8 e) 6 y 8

8. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior

AE, sobre la cual se toma un punto D, luego se traza EF perpendicular al lado AC. Hallar m∢AEF, si m∢BAE = 15° y m∢ACB = 20°, AD = DB = BE a) 40º b) 60º c) 80º d) 20º e) 10º

9. Calcular “x”.

a) 120º b) 100º c) 90º d) 75º e) 60º

10. Calcular el mayor ángulo de un triángulo, sabiendo que uno de ellos es 40º y los otros son iguales. a) 30º b) 40º c) 80º d) 70º e) 50º

20° x°

30°

80° 120° x°

θ+3α

θ - α x°

y° m°

n° x°

x° + y° = m° + n°

x°

α° θ°

180° + x° = α° + θ°

x° 2x°

3x°

x°

40° 150°

140° x°

136°

60°

x° α°

α° α° α°

7 2

x

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11. Del gráfico: calcule “x + y”.

a) 100º b) 90º c) 110º d) 120º e) 130º

12. Del gráfico: calcule “x”.

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

13. Hallar “x” a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º

14. En un triángulo escaleno de lados enteros, 2 lados miden 2 y 3 respectivamente. Hallar el tercer lado. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15. Del gráfico: calcule ∅. a) 18º b) 36º c) 40º d) 50º e) 45º

16. Del gráfico: 21 L//L calcule la medida de “x”.

a) 100º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º

17. Hallar el mayor valor entero del perímetro del ∆

equilátero ABC. a) 32 b) 30 c) 31 d) 29 e) 28

18. Del gráfico, calcule “x”. a) 60º b) 70º c) 80º d) 45º e) 50º

19. Del gráfico, calcular “x + y”.

a) 170º

b) 160º

c) 180º

d) 190º

e) 200º

20. Determine: “xº + yº + zº”.

a) 100º

b) 120º

c) 150º

d) 180º

e) 360º

x

y 60°

40°

50° 30°

x

x

∅

∅ ∅

∅ ∅

α α

β β

x 60º

L2

L1

130°

θ θ

x

60°

x 100°

D A

C

B

6

5

45º

x y

αº αº αº

xº

yº

zº

θº θº θº