Embed Size (px)
DESCRIPTION
Introducción de triángulos
Citation preview
TRIÁNGULOS
CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN.
• Triángulo
• Elementos
• Ángulos del triángulo
• Construcción de triángulos
• Puntos y rectas notables del triángulo
– Mediatrices. Circuncentro
– Bisectrices. Incentro.
– Medianas. Baricentro.
– Alturas. Ortocentro.
Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras
TRIÁNGULO.
Llamamos triángulo a un conjunto de tres puntos no alineados. A estos
puntos se les llama vértices del triángulo.
Si unimos cada uno de los tres vértices mediante segmentos, a estos
segmentos se le llama lados del triángulo.
- Un triángulo se llama equilátero si tiene los tres lados iguales.
- Un triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales
-Un triángulo se llama escaleno si tiene los tres lados desiguales.
Además en cada vértice del triángulo se forma un ángulo. A estos
ángulos se les llama ángulos del triángulo
- Un triángulo con los tres ángulos agudos se llama acutángulo.
- Un triángulo con un ángulo obtuso se llama obtusángulo.
ELEMENTOS.
El triángulo que aparece en el dibujo es un triángulo acutángulo.
En él puedes observar:
• Los vértices
• Los lados y sus medidas
• Los ángulos y sus medidas
Vértice BVértice A
Vértice C
13,11 cm
6,24 cm10,02 cm Lado a= BC
Lado c = AB
Lado b= AC
Ángulo Â
Ángulo C
68,2 °54,7 °
43,0 °
Ángulo B
ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO.
Teorema:Teorema:
La suma de ángulos de un triángulo es igual a 180º
Luego la suma de ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO.
A continuación veremos cuándo es posible construir un triángulo
dados tres datos de él, es decir:
Dados tres lados.
Dados dos lados y un ángulo.
Dados un lado y dos ángulos.
DADOS TRES LADOS. La condición para poder construir un triángulo a partir de tres segmentos,
es: La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. Esto
supone tres condiciones, que se pueden resumir: La suma de dos lados es La suma de dos lados es
mayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-cmayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-c
Ejemplo:Ejemplo: a
bc
ca
b
Construcción paso a paso::1.Coloco uno de los segmentos como base
del triángulo
2. Con centro en cada uno de los
extremos del segmento dibujo dos arcos:
Uno con radio a Otro con radio c
3. Se unen los extremos del segmento que he tomado como base, con el punto
de corte de los arcos y ya se tiene construido el triángulo.
DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 1 (SIEMPRE ES POSIBLE):
Conocemos dos lados y el ángulo comprendido por ellos
Ejemplo:Ejemplo:
a
b
Ángulo comprendido = 30º
Construcción paso a paso:Construcción paso a paso:
1. Colocamos como base a uno de los lados2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º.3. Con esa inclinación trazamos una recta.4. Sobre la recta medimos el otro lado.
5. Unimos los extremos libres de los dos lados.
a30º
b
DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 2 (POSIBLE EN ALGUNOS CASOS):
Conocemos dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos
Ejemplo:Ejemplo:a
b
Ángulo adyacente a a = 30º
Construcción paso a paso:Construcción paso a paso:
1. Colocamos como base al lado a
2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º.
3. Con esa inclinación trazamos una recta.
4. En el otro extremo del lado trazo un arco con radio b.
5. El punto de corte de la recta con el arco, si es que este existe, da el tercer vértice del triángulo.
a
30º
COMO PUEDES OBSERVAR EN ESTE CASO EXISTEN DOS SOLUCIONES
bb
DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS.
Para poder construir el triángulo, la suma de los dos ángulos dados
debe de ser menor de 180º
Ejemplo:Ejemplo: a
Ángulos adyacentes 40º y 70º
Construcción paso a paso:Construcción paso a paso:
1. Colocamos como base al lado
2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos uno de los ángulos y trazamos una recta con esa inclinación.
3. Hacemos lo mismo con el otro ángulo en el otro extremo.
4. El punto de corte de esas rectas es el tercer vértice.
a
70º 40º
Puntos y rectas notables del triángulo
Estudiaremos la construcción y las Estudiaremos la construcción y las
propiedades de los siguientes puntos y propiedades de los siguientes puntos y
rectas notables de un triángulo:rectas notables de un triángulo:
Mediatrices. CircuncentroMediatrices. Circuncentro
Bisectrices. Incentro.Bisectrices. Incentro.
Medianas. Baricentro.Medianas. Baricentro.
Alturas. OrtocentroAlturas. Ortocentro
Mediatrices.Mediatriz de un segmento:Mediatriz de un segmento: Es la recta perpendicular al
segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento
Propiedad: Propiedad:
Los puntos de la mediatriz equidistan Los puntos de la mediatriz equidistan
de los extremos del segmento.de los extremos del segmento.
Aplicación: Construcción de la mediatriz
Con radio un poco mayor que la
mitad del segmento trazo dos arcos,
cada uno con centro en cado uno del
los extremos del segmento.
Mediatrices de un triángulo. Teorema: Teorema: Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que
equidista de los tres vértices del triángulo.equidista de los tres vértices del triángulo.
Demostración: Demostración:
Consideramos el punto de corte de dos de las Consideramos el punto de corte de dos de las
mediatrices, por ejemplo mmediatrices, por ejemplo ma y m y mbb, que existe puesto que , que existe puesto que
los lados los lados aa y y bb no son paralelos. Llamémosle P. no son paralelos. Llamémosle P.
a
bc
PComo P pertenece a la mediatriz de Como P pertenece a la mediatriz de a a su distancia a B su distancia a B
y a C es la misma:y a C es la misma: Dist (P, B) = Dist (P, C)Dist (P, B) = Dist (P, C)
A
BC Como P pertenece a la mediatriz de Como P pertenece a la mediatriz de b b su distancia a su distancia a
A y a C es la misma: A y a C es la misma: Dist (P, A) = Dist (P, C)Dist (P, A) = Dist (P, C)
Así pues se tiene que P pertenece a la mediatriz Así pues se tiene que P pertenece a la mediatriz mmc y se cumple: y se cumple:
Dist (P,B) = Dist (P,A) = Dist (P,C)Dist (P,B) = Dist (P,A) = Dist (P,C)Luego el punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de Luego el punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de
los tres vérticeslos tres vértices C.Q.D.C.Q.D.
Circuncentro de un triángulo. Al punto donde se cortan la mediatrices le llamaremos circuncentro
del triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla.
Teorema: Teorema:
El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices.El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices.
Demostración: Demostración:
a
bc
P
Como hemos visto en la anterior Como hemos visto en la anterior
demostración se tiene que P cumple las demostración se tiene que P cumple las
siguientes relaciones:siguientes relaciones:
Dist (P,A) = Dist (P,B) = Dist (P,C)Dist (P,A) = Dist (P,B) = Dist (P,C)
A
B C
Así pues se tiene que P equidista de los tres vértices Así pues se tiene que P equidista de los tres vértices
del triángulo. Y por tanto es el centro de la del triángulo. Y por tanto es el centro de la
circunferencia que pasa por los tres vérticescircunferencia que pasa por los tres vértices C. Q. D.C. Q. D.A la circunferencia que pasa por los tres vértices se le llama circunferencia circunscrita. circunferencia circunscrita.
Bisectriz de un ángulo. Definición:Definición: Bisectriz de un ángulo. Bisectriz de un ángulo. Es la recta que,
pasando por el vértice, divide al ángulo en dos partes iguales
Propiedad: Propiedad: Los puntos de Los puntos de
la bisectriz equidistan de los la bisectriz equidistan de los
lados del ángulo.lados del ángulo.
Aplicación: Construcción de la Aplicación: Construcción de la
mediatrizmediatriz
Con radio cualquiera trazo un arco, que
corta a cada lado del ángulo en un punto.
Con centro en cada uno de esos puntos e
igual radio trazo dos arcos, obteniendo un
punto de la bisectriz.
Uniendo el punto obtenido con el vértice se construye la bisectriz.
o
Bisectrices de un triángulo. Teorema: Teorema: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.
Demostración: Demostración:
Consideramos el punto de corte de dos de las bisectrices, por ejemplo bConsideramos el punto de corte de dos de las bisectrices, por ejemplo bA y b y bBB, que existe , que existe
puesto que las bisectrices no pueden ser paralelas. Llamémosle P.puesto que las bisectrices no pueden ser paralelas. Llamémosle P.
Como P pertenece a la bisectriz de AComo P pertenece a la bisectriz de A su distancia al lado AB y al su distancia al lado AB y al
lado AC es la misma:lado AC es la misma: Dist (P,AB) = Dist (P,AC)Dist (P,AB) = Dist (P,AC)
Como P pertenece a la bisectriz de BComo P pertenece a la bisectriz de B su distancia al su distancia al
lado AB y a BC es la misma:lado AB y a BC es la misma:
Dist (P, AB) = Dist(P, BC)Dist (P, AB) = Dist(P, BC)
Así pues se tiene:Así pues se tiene:
Dist (P, AC) = Dist (P, AB)Dist (P, AC) = Dist (P, AB) = = Dist(P, BC) Dist(P, BC)
Luego el punto P está en la bisectriz del ángulo CLuego el punto P está en la bisectriz del ángulo C C. Q. D.C. Q. D.
AB
C
P
Incentro. Al punto donde se cortan la bisectrices le llamaremos incentro del
triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla.
Teorema: Teorema: El incentro es el centro de la circunferencia que es tangente a El incentro es el centro de la circunferencia que es tangente a
cada lado del triángulo.cada lado del triángulo.
Demostración: Demostración: Como hemos visto en la anterior demostración se Como hemos visto en la anterior demostración se
tiene que P cumple las siguientes relaciones:tiene que P cumple las siguientes relaciones:
Dist (P,AB) = Dist (P,AC) = Dist (P,BC)Dist (P,AB) = Dist (P,AC) = Dist (P,BC)
Así pues se tiene que P equidista de Así pues se tiene que P equidista de
los lados del triángulo.los lados del triángulo. C. Q. D.C. Q. D.B
C
P
A la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo se le llama
circunferencia inscrita.circunferencia inscrita.
A
Medianas. Baricentro. En esta sección vamos a ver que si trazamos las medianas de los tres
lados del triángulo, estas se cortan en un punto. A este punto le llamaremos
baricentrobaricentro del triángulo.
Teorema: Teorema: Las medianas de un triángulo Las medianas de un triángulo
se cortan en un punto ,G que dista del vértice se cortan en un punto ,G que dista del vértice
el doble que al lado.el doble que al lado.
La demostración se omite en este La demostración se omite en este
caso por necesitar semejanza de caso por necesitar semejanza de
triángulos (triángulos (no tratada en esta unidadno tratada en esta unidad).). a
bc
G
El baricentro del triángulo cumple las siguientes RELACIONESEl baricentro del triángulo cumple las siguientes RELACIONES::
A
B C
Dist(G,A) = 2.Dist(G,BC); Dist (G,B) = 2.Dist(G,AC); Dist(G,C) = 2.Dist (G,A)Dist(G,A) = 2.Dist(G,BC); Dist (G,B) = 2.Dist(G,AC); Dist(G,C) = 2.Dist (G,A)
Definición:Definición: Llamamos mediana a la recta que une el punto medio del lado Llamamos mediana a la recta que une el punto medio del lado
con el vértice opuesto.con el vértice opuesto.
Alturas. Ortocentro.
Definición:Definición: Altura sobre un lado. Es la recta perpendicular al lado que Altura sobre un lado. Es la recta perpendicular al lado que
pasa por el vértice opuesto.pasa por el vértice opuesto.
Teorema: Teorema: Las alturas del triángulo se cortan Las alturas del triángulo se cortan
en un punto llamado en un punto llamado ORTOCENTRO..
La demostración es fácil si La demostración es fácil si
construimos el triángulo asociadoconstruimos el triángulo asociado,,
cuyo circuncentro coincide con el cuyo circuncentro coincide con el
ortocentro de este.ortocentro de este.
Ejemplo:Ejemplo:
A B
C
B’ A’
C’
c
ab
hc
ha
hb
Dado el triángulo ABC, observamos empíricamente
que las alturas coinciden en un punto
Construimos ahora el triángulo asociadotriángulo asociado trazando
paralelas a cada lado por el vértice opuesto.
Como se puede observar el punto obtenido
anteriormente es el circuncentrocircuncentro del triángulo A’B’C’.
La recta de Euler.
Propiedad: Sean G el baricentro, C el circuncentro y O Propiedad: Sean G el baricentro, C el circuncentro y O
el ortocentro del triángulo, entonces el ortocentro del triángulo, entonces
En esta sección vamos a ver que baricentro, circuncentro y ortocentro
siempre están alineados. Es más el baricentro siempre se encuentra entre
el ortocentro y el circuncentro y además cumple una curiosa propiedad.
2GO GC ����������������������������
A la recta que contiene a los tres A la recta que contiene a los tres
puntos notables se le llama puntos notables se le llama
RECTA DE EULER..
Además se puede probar que el incentro está alineado con Además se puede probar que el incentro está alineado con
estos tres cuando y sólo cuando el triángulo es estos tres cuando y sólo cuando el triángulo es isósceles.isósceles.
EL TEOREMA DE PITÁGORAS. Pitágoras de Samos (580-500 aC.)
Es un personaje aún más misterioso que Thales. Vivió unos 50 años después de éste y, en su juventud, viajó por Egipto, Babilonia y posiblemente la India, países en los que adquirió su formación matemática y filosófica. Contemporáneo de Buda, Confucio y Lao Tse, estuvo muy influido por el misticismo religioso. Se estableció en Crotona, al sudeste de Italia, entonces, parte de Grecia, donde fundó una secta secreta, los pitagóricoslos pitagóricos, que contribuyeron en el mundo heleno a la difusión y desarrollo de las matemáticas. La primera referencia escrita vuelve a aparecer en la obra de Proclo (410-485dC) "Comentario sobre el primer libro de los Elementos de Euclides". Inmediatamente después de escribir sobre Thales, Proclo escribe: "transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual. Así descubrió la teoría de las proporciones y la construcción de las figuras cósmicas". Fueron los pitagóricos los primeros que se dedicaron al estudio, movidos por el amor a la sabiduría y la belleza y no por cuestiones de tipo práctico. Parece que es difícil separar la historia y la leyenda en lo que se refiere a Pitágoras, pero sí está clara la influencia de su escuela en el desarrollo de la matemática griega. Parece ser que la estrella de cinco puntas construida a partir de un pentágono regular era el símbolo de los miembros de la secta. Estudiando las propiedades de los segmentos de esta estrella podemos encontrar la llamada sección áurea. Se les atribuye la demostración del teorema de Pitágoras, conocido también por los babilónicos, pero no existe una prueba clara de esto.
El Teorema de Pitágoras. En cualquier triángulo rectángulo, la
suma de los cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a
b
c
2 2 2a b c
Una demostración:Una demostración:
El recíproco del Teorema de Pitágoras.
Dado un triángulo cuyos lados a, b y c cumplen que
ab
c2 2 2a b c
2 2 2a b c Entonces, el triángulo es rectánguloes rectángulo en el vértice C.
b
ac
A
B
C
ˆ 90ºC
El Teorema de Pitágoras en el espacio.
Consideramos un ortoedro de lados a, b y c. Calculemos
la diagonal mayor de dicho ortoedro:En el triángulo rectángulo siguiente calculamos d
b
a
d
2 2 2d a b En el triángulo rectángulo siguiente calculamos D
d
cD
2 2 2 2D a b c
2 2 2D d c
2 2 2D a b c 2 2 2D a b c
Sustituyo d:
Aplicaciones del teorema de Aplicaciones del teorema de PitágorasPitágoras
• Cálculo de la altura en triángulos
isósceles
• Cálculo de la altura en triángulos
escalenos
• Cálculo de la altura de una pirámide
Cálculo de la altura de un Cálculo de la altura de un triángulo isóscelestriángulo isósceles
Consideramos un triángulo isósceles de lados a, a y b.
22 2
2
bh a
Calcularemos la altura de dicho triángulo de la siguiente forma:
a a
b
hah
2
b
Teorema de Pitágoras
Un ejemploUn ejemplo: Calcula la altura del
siguiente triángulo:
13 m. 13 m.
10 m.
h
h 13
5
2 2 25 13h 2 2 213 5h
169 25 12 .h m
Cálculo de la altura de un triángulo escalenoCálculo de la altura de un triángulo escaleno
Consideramos un triángulo de lados a, b y c. Calcularemos la altura de dicho triángulo de la siguiente forma:
x
hb
a
b c
x a-x
hh
a-x
c
2 2 2h x b
2 2 2h b x
22 2h a x c
22 2h c a x
Igualo y obtengo la siguiente ecuación:Igualo y obtengo la siguiente ecuación:
22 2 2b x c a x
Desarrollo y simplifico:Desarrollo y simplifico:
2 2 2 2 2 2b x c a x ax Hallo Hallo xx:: 2 2 2
2
b c ax
a
Finalmente hallo Finalmente hallo hh de la relación: de la relación:
2 2 2h b x
Un ejemplo.Un ejemplo.
x
4 m 5 m
7 m
hx 7-x
h
h4
2 2 24h x 2 216h x
7-x
5 22 27 5h x
22 25 7h x
Planteo la ecuación y la resuelvo:2 216 25 49 14x x x
16 25 49 14x 16 25 49 40 20
14 14 7x
Por último hallo h:2
2 2 20 400 38416 16 16
7 49 49h x
3842,799
49h
La altura del triángulo es aproximadamente 2’8 m.
Cálculo de alturas de pirámides regularesCálculo de alturas de pirámides regulares
Para calcular la altura de una pirámide es posible basarse en dos posibles triángulos rectángulos. Veamos primero algunas definiciones:
La base de la pirámide es un polígono regular:
Lado de la base
Radio
Apotema de la base
Las caras laterales son triángulos isósceles:
Lado de la base
Lado
de
la c
ara
Apotema de la caraTriángulo I
Triángulo II
Lado de la cara
Pirámide cuadradaPirámide cuadradaEjemplo:Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide cuadrada, cuyos lados
de la base miden 10 cm y los lados de la cara miden 13 cm.
10 cm
13 c
m
Utilizaremos el triángulo II: Base:
10 cm
a
a
a = 5 cm.
Cara lateral:
x: apotema de la cara
a : Apotema de la base
x
10 cm
13 c
m
2 2 25 13x 2 2 213 5x
144x
12 .x cm
h : Altura de la
pirámide
En el triángulo II:
5 cm
12 cmh
2 2 25 12h 2 2 212 5h
119h 10.91h cm
Pirámide hexagonalPirámide hexagonal
Base:
10 cm
Ejemplo:Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide hexagonal, cuyo lado
de la base mide 10 cm y cuyo lado de la cara mide 13 cm.
10 cm
r: Radio
r r60º
r = 10 cm
10 cm
13 c
m
Utilizaremos el triángulo I:Utilizaremos el triángulo I:
En el triángulo I:
Lado de la cara
h: altura de la pirámide
10 cm
13 cmh
2 2 210 13h 2 2 213 10h
69h
8.31 .h cm
Pirámide triangular IPirámide triangular IEjemplo:Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide triangular, cuyo lado
de la base mide 10 cm y el lado de la cara mide 13 cm.
Utilizaremos el triángulo I:Base:
10 cm
13 c
m
10 cm
10 cm10 c
m
r2
3
ar
Calculamos a:
a 10
5
2 2 25 10a 75a
2 755.77
3r cm
h: altura de la pirámide
r: radio de la base
Lado de la cara
En el triángulo I:
h
5.77
13
2 2 25.77 13h 2 213 5.77h
11.65h cm
a
Pirámide triangular IIPirámide triangular IIEjemplo:Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide triangular, cuyo
lado de la base mide 10 cm y el lado de la cara mide 13 cm.
Utilicemos ahora el triángulo II: Base:
10 cm
13 c
m
10 cm
10 cm10 c
m
y: apotema de la cara
x: apotema de la base
h: altura de la pirámide
x3
ax
Igual que antes calculamos a:
75a 75
2.893
x cm y
10 cm13
cm
2 2 25 13y 12 .y cm
Cara:
En el triángulo II:
h
2.89
12
2 2 22.89 12h 2 212 2.89h
11.65h cm
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
