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2.1 CONCEPTOS Y SIMBOLOGÍAS
II. TEORÍA DE LOS CONJUNTOS
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.
Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas como por ejemplo A, B, C.
A= {1, 2, 3, 4, 5}A= Nombre del conjunto y los elementos
del mismo van entre llaves
CONJUNTO
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
A= { x | P(x) }= { x1, x2, x3, . . . , xn}que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1, x2, x3, etc1.
_______________________________1 La notación P(x) no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un conjunto.
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos2.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.
____________________2 En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el número de elementos que posee el conjunto.
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
• Ejemplo.Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.Solución.• Por extensión: V = {a,e,i,o,u }• Por comprensión: V = {x | x es una vocal}• Por diagrama de Venn:
SIMBOLO
NOMBRE SE LEE COMO
{,} Delimitadores de Conjunto{a, b, c} el conjunto consiste en a, b y c.N= { 0, 1, 2, …}
El conjunto de…
{:}{|}
Notación constructora de conjuntos {x:P(x)} el conjunto de todos las x para los cuales P(x) es verdadera {x|P(x)}
El conjunto de los elementos…Tales que…
, { } Conjunto nulo o vacío{ } ó el conjunto no tiene elementos
Conjunto vacío
∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.a ∈ S a es elemento del conjunto S
En; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a
∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
No pertenece a…
n (C) Cardinalidad del conjunto C.El conjunto A={a, e, i, o, u} tiene cinco elementos. Por tanto, se tiene que n(A)=5 .
El conjunto..tienePor tanto…
⊆ SubconjuntoA ⊆ B Cada elemento de A es también elemento de B
Es subconjunto de…
⊂ Contenido, inclusión o Subconjunto propio Es subconjunto de…⊄ No es subconjunto propio o no contenido No es subconjunto de…
Simbología de Conjuntos
SIMBOLO
NOMBRE SE LEE COMO
∩ Intersección de conjuntos.A ∩ B El conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.
La intersección de…y…
∪ Unión de ConjuntosA ∪ B El conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ninguno otro.
La unión de….y…
A’ = Ac Complemento del conjunto A El complemento del conjunto…
\ , - Diferencia de conjuntosA \ B El conjunto de puntos que pertenece a A pero no pertenecen a B
Menos; sin
Δ Diferencia simétricaA Δ B es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos.
Menos; sin
Superconjunto propio Superconjunto de… Superconjunto Superconjunto de…U Conjunto Universo.… El conjunto continua
Simbología de Conjuntos
SIMBOLO NOMBRE SE LEE COMO
> Mayor que.< Menor que≥ Mayor o igual que.≤ Menor o igual que.= Símbolo de igualdad. Igual a.≠ No es igual a. Diferente a.⇔ Si y sólo si.¬ (en algunos ocasiones ∼)
No, negación lógica (es falso que).
∧ Y (conjunción)∨ O (Disyunción)
Simbología de Conjuntos
Tipos de Conjuntos• Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos
contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2.
• Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h.
• Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.
• Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.
• Conjunto referencial o universal: este conjunto se caracteriza por estar conformado por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Tipos de Conjuntos• Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros
que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.
• Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.
• Conjuntos equivalentes o cardinales: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.
• Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.
Tipos de Conjuntos• Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en
cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.
• Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.
• Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.
2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA2.2.1 DIAGRAMA DE VENN2.2.2 IDENTIFICACIÓN DE ÁREAS2.2.3 ELEMENTOS Y CONJUNTOS
II. TEORÍA DE LOS CONJUNTOS
DIAGRAMA DE VENN
Al trabajar con los conjuntos, sus relaciones y operaciones, es útil contar con un sistema de representación gráfica que permita visualizar lo que ocurre e interpretar con diagramas las relaciones lógicas correspondientes.
DIAGRAMA DE VENNEl procedimiento usual, que consiste en dibujar rectángulos y círculos, se conoce como Diagrama de Venn Euler. En este diagrama, el conjunto de puntos interiores al rectángulo es el conjunto universal. Los subconjuntos del conjunto universal se representan a partir de los puntos interiores a los círculos trazados dentro del rectángulo.
REGIONES EN LOS DIAGRAMASEn todo diagrama de Venn-Euler se pueden identificar regiones que son útiles para reconocer relaciones de pertenencia.En el caso de un subconjunto se aprecian dos regiones R1, que es la región de los untos en A; y R2, la región de los puntos fuera de A.
2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA2.2.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
II. TEORÍA DE LOS CONJUNTOS
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Así como pueden definirse diversas operaciones entre números, también existen operaciones entre conjuntos. El resultado de una operación entre conjuntos es a su vez un conjunto.
Fijemos un conjunto universal U y consideremos todos los subconjuntos de U. Entre estos conjuntos están definidas las operaciones de unión, intersección y diferencia. Además, para cada conjunto se define el complemento. El resultado de cada una de estas operaciones es un subconjunto de U.
BIBLIOGRAFÍA• Teoría elemental de la probabilidad y de los
procesos estadísticos. Autor: Kai Lai Chung. Editorial Reverté, S. A.
• Algebra Lineal. Autores: William Castillo E. y Jorge González V. Tercera Edición.
• Introducción al Algebra Lineal. Autor: Howar Anton. Tercera Edición. Editorial Limusa.
• Algebra Lineal. Autor: Stanley I. Grossman y José Job Flores Godoy. Editorial Mc Graw Hill. Séptima Edición
