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MATEMÁTICA APLICADA A LA MEDICINA
1
MATEMATICA APLICADO A LA MEDICINA
TEMA TEORIA DE CONJUNTOS
2014
2
CONJUNTO:
Idea Intuitiva:
La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:
Grupo
Colección
Selección
Asociación
Agregado , etc.
NOTACION
Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas, tales como A , B , C .......
LA TEORIA DE CONJUNTOS
3
ELEMENTO :Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un elemento es la pertenencia ; que se simboliza así
: Se lee : “ pertenece a ”
A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , zetc.
Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento
pertenece a ese conjunto A así denotamos :
x A : Se lee: “ x pertenece a A”
Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese
elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos :
x A : Se lee: “ x no pertenece a A”
Ejemplo: Sea A = { x , y , z }
x A y A z A m A
LA TEORIA DE CONJUNTOS
4
Diagrama de Veen - Euler :Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas
planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos.
Ejemplo: A = {m , n , p }
.m
.n
.p
A
LA TEORIA DE CONJUNTOS
5
Determinación de un conjunto :
Un conjunto se puede determinar:
por extensión y por comprensión
Por extensión :Nombrando uno a uno los elementos del conjunto Ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10 } B = { a, e, i, o, u }
Por Comprensión :Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del
conjunto. Ejemplo: A = {x x es un número par } B = { x / x son las vocales }
LA TEORIA DE CONJUNTOS
6
El Conjunto de Números Naturales ( N)
N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. }
En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y
multiplicación sin restricciones.
CONJUNTOS NUMERICOS
El Conjunto de Números Enteros ( Z )Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo
el cero.
Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. }
Donde N Z
N
Z
7
El Conjunto de Números Racionales ( Q)
Q = { x / x = ; a , b Z ; b 0 }
Es decir el conjunto Q resulta de dividir 2 números enteros , con el
divisor diferente de cero . Y puede obtenerse.
CONJUNTOS NUMERICOS
ba
mixto Periódico
puro Periódicoinexacto Decimal
exacto Decimal
decimal Número
Q
Z
N
8
Conjunto de Números Irracionales( Q )Son aquellos números que no pueden expresarse en la forma ; b 0
a , b Z , es decir que no presentan periodicidad en sus cifras decimales.
CONJUNTOS NUMERICOS
ba
..........2 , e , , 2 , 3..,.......... 3Q=
Conjunto de Números Reales ( R )
R = Q Q
Nota:Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto
de números reales y el conjunto de puntos de la recta .
PiP2P1
(x1) (x2) (xi)- +
GRAFICA CONJUNTISTA
9
R
Q
Z
NQ´
10
El Conjunto de Números Complejos ( C )Al resolver la ecuación :
CONJUNTOS NUMERICOS
1icon ; 1- si donde,
R1x01 x2
2
i
i se llama unidad imaginaria
Por lo tanto :
Un número Complejo podemos escribir en la forma a + bi ; a ,b RLuego :
C = { a + bi a , b R ; i2 = - 1 }
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Conjuntos Especiales :
Conjunto Unitario : Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: M = { x } ; N = { x N 1 < x < 3 }
Conjunto Nulo o Vacío : Es el conjunto que carece de elementos.
Denotado por
Ejemplo: P = { x N 1 < x < 2 } = Conjunto Finito: Es el conjunto formado por un numero determinado de
elementos.
Ejemplo: M = { x x es número dígito par menor que 40 }
Conjunto Infinito: Es el conjunto formado por un numero indeterminado
de elementos.
Ejemplo: N = { x R 1 < x 5 }
Conjunto Universal : Constituido por todos los elementos de una
determinada materia.
El conjunto Universal no está definida en forma única, podemos elegir a
nuestra conveniencia. Se denota por la letra U
Ejemplo: Sea el universo U = { a , e , i , o , u }
LA TEORIA DE CONJUNTOS
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Relaciones entre Conjuntos :LA INCLUSION
Denotado por se lee: está incluido o contenido .Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí , todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :
Ejemplo: Sea A = {2 , 3 , 5} y B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
.1.4
.6
La inclusión denotado por da la posibilidad de que A y B tengan los mismos elementos
.2 .3.5
A
B
LA TEORIA DE CONJUNTOS
𝐀⊂𝐁↔ {∀𝐗𝛜𝐀 ,𝐗𝛜𝐀→𝐗𝛜𝐁 }
B.2
.3 .5
.1
.4 B
.6A
13
Subconjunto Propio o Parte Propia:
Se dice que un conjunto A es subconjunto propio de o parte propia de B ; sí y
solo si, todos los elementos de A pertenecen a B , existiendo elementos de B
que no pertenecen a A ; se denota así:
A B se lee: A es subconjunto propio de B
Nota: El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto .
A ; A
LA TEORIA DE CONJUNTOS
.1 .
2 .3
B
.a .b
A
14
Propiedades de la Inclusión:
1. Reflexiva :
A A ; A
2. Antisimétrica :
Si A B B A A = B
3. Transitiva :
Para los conjuntos A , B y C
Si A B B C A C
LA TEORIA DE CONJUNTOS
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Igualdad de Conjuntos :
A y B son iguales , cuando están formados por los mismos elementos.
Y definimos así:
Ejemplo:
A = { x , y } y B = { y , x }
A = B
LA TEORIA DE CONJUNTOS
A = B
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Relaciones entre Conjuntos :
Conjuntos Comparables
.b
.d .f
Tienen algunos elementos en común.
A = { a , b , c , d } y B = { a , c , e , f }
A B
AB BA B a comparable esA Conjuntos no comparables
AB BA BA B a comparable es noA
.e
Conjuntos Disjuntos:
BA disjuntosson By A
Números pares
Números imparesA B
No tienen ningún elemento en común
LA TEORIA DE CONJUNTOS
.a
.c
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Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos :
Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos.
Ejemplo: A= { {1 , 2 } , { 0 } , { 3 } }
LA TEORIA DE CONJUNTOS
Conjunto PotenciaEs el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese
conjunto , incluyendo el mismo y el nulo.
Dado un conjunto A ; el conjunto potencia de A, se denota por P(A)
Luego :
Ejemplo: Sea A = {a , b}
P(A) = { {a } , { b } , { a , b } , }
𝐏 (𝐀 )= {𝐗 /𝐗⊂𝐀 }
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Nota :
1. Si A tiene “ n” elementos, el número de elementos de la P(A) es igual
a 2n elementos.
P(B)P(A)BA Si 4.
P(B)P(A)BA Si 3.
}{ )P( A Si 2.
LA TEORIA DE CONJUNTOS
El conjunto potencia de A es una familia de conjuntos
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión o Reunión de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }
A B Si A y B son no comparables , entonces:
A B gráficamente es:
Si A y B son comparables , entonces:
A B es:
Si A y B son Disjuntos
A B es:
B
B
A
A
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedades de la Reunión de Conjuntos
n21i
n
1iA...........AAA 12.
DBCA DC BA Si 11.
BBABA Si .10
B A BA Si 9.
B)(AB B)(AA 8.
UUA 7.
C)(BC)(ABA Si 6.
C ; C)A(B)A(C)B(A 5.
AA 4.
C)B(ACB)(A 3.
ABBA 2.
A ;A AA .1
21
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Intersección de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }
A B Si A y B son no comparables , entonces:
A B gráficamente es:
Si A y B son comparables , entonces:
A B es: A
Si A y B son Disjuntos
A B es:
B
B
A
A
BA
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Intersección de Conjuntos
A...........AAA 13.
AB)(AA ;A B)(AA 12.
C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA 11.
P(B) P(A) B)P(A 10.
CBA DB CA Si 9.
BB)(A A B)(A 8.
CBCABA Si 7.
ABABA Si 6.
A 5.
AUA 4.
C)B(ACB)(A 3.
ABBA 2.
A ;A AA .1
n21i
n
1
i
D
23
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDiferencia de Conjuntos
Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x A x B }
Gráficamente , mediante el diagrama
de Veen se tiene:A B
Si A y B son no comparables , entonces:
A - B es:
Si A y B son comparables , entonces:
A - B = (No hay gráfico)
Si A y B son Disjuntos
A - B es:
BA
BA
B – A es:
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Diferencia de Conjuntos
B-C)-A(C-B)-(A 12.
Disjuntosson A -B ; BA ; B-A 11.
C)(AB)(AC)(B-A
C)-(AB)-(AC)(B-A 10.
C , C)-(BC)-(ABA Si 9.
BA BA Si 8.
C)(A-B)(AC)-B(A 7.
B)-(AB 6.
B)(A-AB-B)(A B)-(A 5.
A- 4.
AB-A 3.
AA 2.
A -A .1
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSComplemento de un Conjunto
Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A , denotado por
A O Ac se define asi :
Ac = { x/ x U x A } = U - A
Ac
Gráficamente:
A
Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, tal como B , donde
A B ; entonces el complemento de A con respecto a B , denotado
por CB (A) Será :
CB (A) = { x / x B x A } = B - A
U
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades del Complemento
B)(AU)B(A 12.
B)(A-U)B(A 11.
BA)B(A
BA)B(A 10.
ABBA Si 9.
B (A)C 8.
A-B (A)C 7.
6.
U 5.
U 4.
AA 3.
UAA 2.
A)A( .1
B
B
BABA
27
Diferencia Simétrica
Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A B se define así:
A B = (A – B ) U (B – A)
B
Gráficamente:
A
Ejemplo . Si A = { 2 , 3 , 5 } y B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } Hallar A B
Solución.
Como A B = (A – B ) (B – A) = { 5 } { 0 , 1 , 8 , 9 }
A B = { 0 , 1 , 5 , 8 , 9 }
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Propiedades de la Diferencia simétrica
CBC A B A Si 9.
) AB ()BA(B ΔA 8.
B)(A-B)A(B ΔA 7.
C)B(A-)BA(CBB) Δ(A 6.
C)B Δ( C)A(C B) Δ(A 5.
BA 4.
A BΔB ΔA 3.
A A 2.
A A .1
C
CBAC
29
TEORIA DE CONJUNTOS
Número de Elementos de un Conjunto
Al número de elementos de un conjunto se le llama :
Cardinal de un Conjunto y se denota así:
Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A)
Ejemplo . Si A = { a , e , i , o , u }
n(A ) = 5
ó
n [ P(A) ] = 25 = 32
30
TEORIA DE CONJUNTOS
Propiedades
C)Bn(A C)n(B-C)n(A - B)n(A - n(C) n(B) n(A) C)B n(A
:entonces , CBA
:que taless,comparable no conjuntosson Cy B ,A Si 4.
B)n(A - n(B) n(A) B) n(A
:entonces s,comparable no conjuntosson By A Si 3.
B)n(A - n(A) B) -n(A
: racualesquie conjuntosson By A Si 2.
n(B) n(A) B)n(A
:entonces , disjuntos conjuntosson By A Si .1
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EJERCICIOS DE CONJUNTOS
1. Para la gráfica de A , B y C se tiene:
Las operaciones que representan las regiones:
A B
C
R1
R4
R5
R7
R2
R6
R3
R8
U
)BCn(A]BC)n[(A n(B)C)n(AR
)BAn(C)B(An[C B)n(An(C)R
)CAn(B])C(AB n[C)n(An(B)R
)CBn(A])C(Bn[A C)n(Bn(A)R
4
3
2
1
32
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
Para la gráfica de A , B y C se tiene:
Las operaciones que representan las regiones:
A B
C
R1
R4
R5
R7
R2
R6
R3
R8
U
)CBn(AR
C)Bn(AR
)ACn(B] AC)(B n[n(A)C)n(BR
)CBn(A]C)n[(A n(C)B)n(AR
8
7
6
5
B
33
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
2. Sean los conjuntos:
A = { 1 , 2 , 3 , 4} ; B = { 0 , 2 , 5 , 6} y C = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }
con U ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Hallar :
Solución:
)B'A(CBA 3. BCA 2. CBA 1.
71,2,4,6,77,8,9 1,2,4,6,75,60,1,2,3,4, CBA .1
66,5,2,0)7,63(BA)(CC)(A BCA .2
9,8,7,6,5,3,2,1,09,8,7,6,5,3,1,0 2)BA(C)B(A .3
34
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
3. Si los conjuntos A y B tienen los siguientes datos:
n(AB) = 60 ; n(A – B) = 24 y n(B A ) = 20 Hallar: n(A) + n(B)
Solución:
......(1) 60B)n(A - n(B) n(A) : tieneSe
B)n(A - n(B) n(A) B)n(A :que Sabemos
......(2).......... 24B)n(A - n(A)
B)n(A - n(A) B)n(A :que Sabemos
......(3).......... 20B)n(A - n(B)
A)n(B - n(B) A)n(B A - B AB Como
Restando : (1) y (2) se tiene : n(B) = 36
Restando : (1) y (3) se tiene : n(A) = 40
Luego n(A) + n(B) = 40 + 36 = 76
35
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
4.Dado los conjuntos: A = { a , {a , b} } ; B = { a , b , { c } } ; C = A – B
Hallar : a) P(A C) b) P(A) P(B)
Solución:
, , C)P(A ba,CA a.
entonces , ba,BAC cb,a, B ; ba,a,A :Como
ba
, a P(B) P(A)
, ,, ,, ,, ,, , , ,a P(B)
,, , , , a P(A) b.
cbacbcabacb
baaba
EJERCICIOS DE CONJUNTOS5. De un grupo de 62 trabajadores de un centro de salud, 25 laboran en asistencia, 33 trabajan en bienestar y 40 trabajan en consultas externas y 7 trabajadores contratados trabajan en las tres áreas. ¿cuántas personas trabajan en dos de estas areas solamente, si todos trabajan al menos en una de estas tres?Solución
A=25 B=33n(A) = 25n(B) = 33n(C) = 40n(A
C=40 Rpta:22
7a
b
c
18-a-b 26-b-c
33-a-c
37
6. En una encuesta realizada en un centro hospitalario de Lima ,
conformado por 60 profesionales de la salud se tiene la siguiente
información : 40 profesionales hablan inglés ; 28 hablan el francés,
16 hablan alemán; 12 hablan el inglés y el francés 5 el inglés y el
alemán, los tres idiomas sólo 2. Si el número de profesionales que
hablan sólo el francés es igual al número de profesionales que hablan
el francés y el alemán. ¿Cuántos hablan únicamente el francés?
Solución:
x )IFn(A
2I)Fn(A 5A)n(I
12F)n(I 16n(A)
28n(F) 40n(I)
I F
A
25
32
10
x
16-(3+2+x)
28-(10+2+x)
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
38
EJERCICIOS DE CONJUNTOS 7. De una población de 50 ingresantes a la facultad de medicina de la UPSM se sabe que: * 5 mujeres tienen 17 años. * 16 mujeres no tienen 17 años. * 14 mujeres no tienen 18 años. * 10 hombres no tienen 17 ni 18 años. ¿Cuantos hombres tienen 17 o 18 años?
39
SOLUCIONARIO
Hombres Mujeres
17 años
A 5
p
18 años
10
B q
Mujeres que no tienen 18
años:
p + 5 = 14 p = 9
Mujeres que no tienen 17
años :
p + q = 16 q = 7
10 + ( A + B ) + 5 + 7 + 9
= 50
Luego:
A + B = 19
1. Se sabe que ¨U¨ es el conjunto universal donde se cumple:
n(B)=28; n(C)=19; n(AB)=14; n(A´= 5, n(AC´)= 12; n(A )=1; n(A B C)=
6; n(U) = 50. Calcular: n [(A C) B´ ]
a) 12 b) 31 c) 20 d) 18 e) 21
2. Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A ∩ B) = 8y n(A –B)=2;
n(B–A)= 3 .
Hallar: 6 [n(A B)] – 7[n(B)]∪
a) 11 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1
EJERCICIOS DE EXAMENES TEMA: CONJUNTOS
EJERCICIOS DE EXAMENES TEMA: CONJUNTOS
3. Hay tres centros de Salud “A”, “B” y “C” que pueden atender a una población
de 3000 familias Se obtuvo la siguiente información: 1 800 familias se atienden en
el centro de salud “A”, 1 700 familias se atienden en el centro de salud “B”, 1 200
familias se atienden en el centro de salud “C”, 1 250 familias se atienden en los
centros de salud “A y B”, 700familias en los centros de salud “A y C”, 600 familias
se atienden en los centros de salud “B y C” y 200 familias en los tres centros de
salud. ¿Cuál es el numero de familias que no se atienden en los centros de salud
“B o C” ?
A) 50 B) 650 C) 700 D) 200 E) 550
