Teoría Intuitiva de Conjuntos

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Teora intuitiva de conjuntos/Versin para imprimir

Teora de conjuntospor es.wikibooks.org

ContenidoTeora intuitiva de conjuntos.

Conjuntos.1.Notacin de conjuntos y el conjunto vaco2.Unin e interseccin de conjuntos3.Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios4.Conjuntos potencia5.Producto cartesiano6.Funciones7.Relaciones8.Ejercicios.9.

1.

Teora intuitiva de conjuntosEn la introduccin, o en algn lugar especial, de los libros de la teora axiomtica de conjuntos suele darse una explicacin depor qu es necesario fundamentar la teora de conjuntos y dejarla construida a partir de unos cuantos axiomas. Estos axiomasson, en su mayora, principios evidentes de por s una vez que se ha comprendido previamente como deben comportarse losconjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto. Por esa razn, es ms que justificable la revisin de unaexposicin intuitiva de la teora de conjuntos, como el que incluimos aqu, en donde se expongan unas cuantas cosas, de formarpida e intuitiva, que familiaricen al lector con los conjuntos, sus relaciones y operaciones; de esta manera el lector noencontrar (esperamos) dificultades mayores a la hora de enfrentarse a la teora axiomtica de conjuntos, donde los principiosde los que se parte son formalizaciones y restricciones ad hoc de las propiedades que uno ya le supona a los conjuntos.

Captulo siguiente: Conjuntos

ConjuntosLo principal para nuestro desarrollo de la teora (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible comprimir o

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substancializar una coleccin o conjunto (que para este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos y, as, poder considerarlacomo un todo o, mejor dicho, como una nica cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman elementos de dichoconjunto.1.1.1. Desde luego, la relacin ms bsica de la teora de conjuntos es la que existe entre los elementos y su conjunto: larelacin de pertenencia. Como es la regla hoy en da, escribiremos

para indicar que el objeto es uno de los elementos del conjunto . Es decir, el smbolo " ", una versin de la letra griega (psilon), lo usaremos para representar la relacin de pertenencia. Los argumentos de una relacin son los objetos queacompaan a esa relacin. En el ejemplo , los argumentos de la relacin son (primer argumento) y (segundoargumento). As, puede decirse que los primeros argumentos de la relacin pertenecen al universo de los elementos, mientrasque los segundos argumentos de esta misma relacin pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es unconjunto (algo que, por ciertas razones que se vern en su momento, haremos cuando se desarrolle la teora axiomtica deconjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de pertenecen al mismo universo.La negacin de la escribiremos

.Ejemplo: Consideremos el conjunto . Con esto lo que estamos haciendo es denominar por al conjunto

. Pues bien, podemos decir entonces que y que .

1.1.2. Diremos que dos conjuntos e son iguales, lo que se representa por , si y solo si e consisten de los mismoselementos. As pues, siempre que

si y solo si para todo elemento (i.e. si todo elemento de es elemento de y, recprocamente, si todo elemento de es elemento de ).Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, segn nuestro criterio vemos que

. En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de laizquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y,como hicimos antes, podemos identificar entonces como a cualquiera de ambos.1.1.3. Por otra parte, como un hecho ms general que la igualdad, un conjunto es subconjunto de otro , lo que se representapor

,siempre que

implica para cualquiera que sea el elemento (i.e., si todo elemento de es elemento de ). Claramente

para todo conjunto , por lo que se dice que la relacin es reflexiva. Tambin tenemos que y si y solo si ,

y que y implica

para cualesquiera conjuntos , y . Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relacin es antisimtrica ytransitiva (vase ms adelante relaciones).


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1.1.4. Si y (i.e. si tiene por lo menos un elemento ms que ) se dice que es subconjunto propio de , locual se representa por

.

^ Peano fue el primero en representar la relacin de pertenencia por la letra en sus Arithmetices Principia (1889), por ser laprimera letra de la palabra griega , que significa "est".

Captulo anterior: Introduccin Captulo siguiente: Notacin de conjuntos y el conjunto vaco

Notacin de conjuntos y el conjunto vaco1.2.1. Si es un conjunto cuyos elementos son y solo ellos, es comn representar a este conjunto por

,si no es un nmero muy grande.

1.2.2. Ntese que, de acuerdo con esa notacin, es equivalente a .

1.2.3. Existe otra forma comn de representar conjuntos. Si es el conjunto de todos aquellos elementos que verifican unapropiedad , entonces se representa tambin por

.

1.2.4. As, si es la propiedad , entonces el conjunto

claramente contiene cualquier cosa.

1.2.5. Mientras tanto, si es la propiedad , entonces el conjunto

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vaco, y lo representaremos por . Tenemos que para cualquiera que sea el conjunto (pues esto sera falso slo si existiera algn elemento en que no estuviera en el

conjunto , lo cual es absurdo pues no contiene nada).Por otro lado,

implica


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para cualquier conjunto . Efectivamente, pues si fuera y , entonces tendra por lo menos un elemento queno est en , lo que es imposible.

Captulo anterior: Conjuntos Captulo siguiente: Unin e interseccin de conjuntos

Unin e interseccin de conjuntos1.3.1. Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellosnuevos conjuntos. As, por ejemplo, si e son dos conjuntos, la unin de e es el conjunto

o .

Esto es, consiste de todos los elementos que estn ya sea en , ya sea en , ya sea en ambos e . La unin serepresenta por el rea sombreada en el diagrama siguiente:

Sean , y conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:( U-1 ) (idempotencia)( U-2 ) (identidad)( U-3 ) (conmutatividad)( U-4 ) (asociatividad)( U-5 )( U-6 ) si y solo si

Estas propiedades son fcilmente demostrables. Veamos la demostracin de ( U-2 ) y ( U-6 ):

( U-2 ) Hay que demostrar que todo elemento de es elemento de (demostrar que ) y que,recprocamente, todo elemento de es elemento de (demostrar que ). Si , entonces o

, de lo que solo puede ser . Recprocamente, si , entonces . Por tanto .


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( U-6 ) Supngase que pero que . Entonces, en particular, existe tal que , pero si esto escierto, , lo que contradice el hecho de que . Recprocamente, si , entonces de ( U-5 ) se sigue elresultado deseado.

1.3.2. La interseccin de dos conjuntos e se define como el conjunto

.

Es decir, es el conjunto formado por todos los elementos que estn tanto en como en . La interseccin se representapor el rea sombreada en el diagrama siguiente :

Sean , y conjuntos cualesquiera( I-1 ) (idempotencia)( I-2 )( I-3 ) (conmutatividad)( I-4 ) (asociatividad)( I-5 )( I-6 ) si y solo si

Adems, se cumplen las siguientes leyes distributivas:( UI-1 )( UI-2 )

1.3.3. Si e son dos conjuntos tales que (i.e. si e no tienen elementos en comn) se dice que e sonconjuntos disjuntos.

1.3.4. Las operaciones de unin e interseccin pueden generalizarse. Si es una coleccin (conjunto) de conjuntos, la unin delos conjuntos de puede definirse como el conjunto


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.As, si y solo si existe por lo menos un conjunto en que contenga al elemento . Como caso particular,tenemos

.

1.3.5. De manera similar, la interseccin de los conjuntos de una coleccin se define por

.

Por tanto, si para todo conjunto de (i.e. consiste de los elementos que estn en todo conjunto de). Como caso particular, tenemos

.

1.3.6. Ntese que, de acuerdo a la definicin anterior, si , entonces, puesto que en ese caso implica para cualquiera que sea el conjunto y el elemento , el conjunto lo contiene todo.

Captulo anterior: Notacin de conjuntos y el conjunto vaco Captulo siguiente: Diferencia de conjuntos y conjuntoscomplementarios

Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios1.4.1 Si e son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de e es el conjunto (tambin simbolizado por )definido por

y .

Es decir, consiste de todos los elementos que estn en pero no en . Este conjunto se representa por el reasombreada en el siguiente diagrama:


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Diferencia de e , o entre A yB en este caso

Ejercicio: Probar que e son conjuntos disjuntos si y solo si .

Sean , y conjuntos cualesquiera. Entonces( D-1 ) ( D-2 ) ( D-3 ) ( D-4 ) ( D-5 ) Ver diagrama( D-6 ) ( D-7 ) ( D-8 ) si y solo si

1.4.2. Si es un subconjunto de , entonces el subconjunto de ,

,

se dice conjunto complementario de en . En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:

Complemento de en , o deA en U en este caso

Sean e subconjuntos de un conjunto . Se cumplen


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( C-1 ) ( C-2 ) ( C-3 ) (conmutatividad)( C-4 ) ( C-5 ) ( C-6 ) ( C-7 ) ( C-8 ) ( C-9 )

Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.

1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos en lugar de cuando del contexto sesobreentienda cual es el conjunto .

Captulo anterior: Unin e interseccin de conjuntos Captulo siguiente: Conjuntos potencia

Conjuntos potencia1.5.1. Un conjunto muy importante en la teora de conjuntos es aquel que, dado un conjunto cualquiera, contiene todos lossubconjuntos de este conjunto . Un conjunto as se llama conjunto potencia. Ms exactamente, si es un conjunto, entoncesel conjunto potencia de es el conjunto dado por

.1.5.2. Puesto que , , y por tanto contiene un solo elemento, y por ello . Sea unconjunto con elementos. Entonces, existen subconjuntos de con un solo elemento, subconjuntos de con dos

elementos, subconjuntos de con 3 elementos, y as sucesivamente hasta llegar a los subconjuntos de con elementos. De este modo, tiene

elementos, siendo esta ltima ecuacin un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia de un conjunto contiene en general muchos ms elementos que el conjunto , razn por la cual es difcil dar ejemplos


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de conjuntos potencia.

1.5.3. Ntese que equivale a .

1.5.4. Algo ms interesante y conveniente de notar es que

para cualquier conjunto . En efecto, pues de , se sigue para algn , es decir, para algn, por lo que . Recprocamente, si , entonces para algn conjunto (e.g. el conjunto

), luego .

1.5.5. Como hecho ms general, si es una coleccin de subconjuntos de un conjunto , es decir si , entonces.

1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unin e interseccin de conjuntos. Primero, considrese unconjunto dado , y luego considrese una coleccin de subconjuntos de . Frmese la unin

,

un subconjunto de . El complemento

,

es un subconjunto de . Si , entonces , por lo que para todo , y puesto que ,

el complemento existe y para todo . As, . El conjunto anterior es en efecto una interseccinde los conjuntos de una coleccin, a saber

y .

Sea un conjunto y una coleccin de subconjuntos de . El resultado anterior, y otro cuya demostracin se deja como un


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sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuacin:

Las proposiciones anteriores son una generalizacin de las leyes de De Morgan.

Captulo anterior: Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios Captulo siguiente: Producto cartesiano

Producto cartesiano1.6.1. En matemticas, un par ordenado es un par de objetos y tal que si es otro par ordenado, y sern iguales si y solo si y . La idea de esta descripcin es garantizar que el orden de los componentes de un parordenado importe. Sin embargo, no es sino en la teora de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra unadefinicin al ser considerado como un tipo especial de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidadexisten varias definiciones de par ordenado dentro de la teora de conjuntos, aunque la ms comn, y la que usaremos aqu, esaquella donde el par ordenado se define por

para todo e Para ver que esta definicin de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que

si y solo si y .

para cualesquiera , , , . Sea pues . Entonces

y o y .

Si , todo se reduce fcilmente a considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen losmismos elementos. Si , entonces no puede ser y , pues si resulta

por definicin de la igualdad de conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de ser y, con lo que claramente , adems de que , pues suponer que nos lleva de nuevo a

cuando la hiptesis dice lo contrario.La definicin de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.

Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por


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para todo e mostrando que en ese caso tambin se cumple

si y solo si y .

para cualesquiera , , y . Esta definicin de par ordenado la dio Weiner en 1914.

Ejercicio: Considrese la definicin de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si y , entonces. Probar que, ms generalmente, si y , entonces

1.6.2. La definicin de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier nmero de componentes, mediantela ecuacin

.

1.6.3. Sean e dos conjuntos. El producto cartesiano de e es el conjunto definido por

y .

Es decir, es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de y segundocomponente un elemento de .

Dados cualesquiera dos conjuntos , , , tenemos( P-1 ) ( P-2 ) ( P-3 ) ( P-4 ) si y solo si o ( P-5 ) y si y solo si

Captulo anterior: Conjuntos potencia Captulo siguiente: Funciones

Funciones1.7.1. Sean e dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto del producto cartesiano que cumpla

( F-1 ) para todo existe tal que y( F-2 ) y implica ,


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se dice funcin de en . Para indicar que es una funcin de un conjunto en otro , es comn escribir .

1.7.2. Sean dos conjuntos e , y sea una funcin de en . Si se dice que es antecedente de por medio de , y que es imagen de por medio de . Por definicin, un elemento no puede tener ni ms ni menosque una sola imagen , que representaremos por (de modo que si y solo si ). El conjunto se dice dominio de la funcin , y se representa comnmente por , mientras que el subconjunto tal que paratodo existe tal que (i.e. el subconjunto de que contiene solo las imgenes de los elementos de por medio de ) se dice rango de la funcin , y se representa por .

1.7.3. Claramente dos funciones y son iguales si y solo si

para todo .

1.7.4. Tenemos tambin que si e son dos conjuntos, y si es cualquier funcin de en , entonces, y as . Luego, si es el conjunto de todas las funciones , , de

modo que .

1.7.5. Sea un conjunto cualquiera, y sea . Claramente .

1.7.6. Sea un conjunto. La funcin

,

que enva un elemento de con un subconjunto de , se denomina familia de subconjuntos de indicada por . El conjunto se denomina en este caso conjunto de ndices (por lo que cada se dice un ndice), y la imagen de cualquier por

medio de esta funcin se representa por .

Por ejemplo, considrese el conjunto

,

y el conjunto de ndices . Existen varias familias de subconjuntos de indicadas por . Una de estas puedeser la funcin

,


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dada por

.

Otra puede ser la que viene dada por

.

1.7.7. Sea la funcin de un conjunto en otro ; Si(F-3) para cualesquiera y implica ,

es decir, si cualesquiera distintos elementos de tienen distintas imgenes en , se dice que es una funcin inyectiva o que esuna inyeccin.Si

(F-4) para todo existe tal que ,es decir, si (i.e. si todo es imagen), se dice que es una funcin sobreyectiva (o suprayectiva), que es unafuncin de sobre , o que es una sobreyeccin.

(F-5) Una funcin que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice funcin biyectiva o biyeccin.

1.7.8. Sea , y sea un subconjunto de (i.e. un elemento de ). El conjunto dado por

existe tal que ,

se dice imagen del subconjunto por . Es decir, es el conjunto de todos los que son imagen de algn elementode . As pues,

y, en particular,

.

Ntese que, si , entonces


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es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de por .

1.7.9. Por otra parte, si , entonces se define el conjunto por

,

y se llama a este conjunto imagen recproca de por . As pues,

.

Puesto que todo elemento de tiene una imagen en , tenemos que, como caso particular,

.

Sin embargo, debemos tener presente que, si bien , donde , siempre es un conjunto con un solo elemento, elconjunto con puede ser vaco, ya que la definicin de funcin no garantiza que todo elemento de tenga unantecedente en . Sin embargo esto si esta garantizado cuando es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto

contiene cualquier elemento de cuya imagen sea . Si es adems inyectiva, entonces es biyectiva, de modo que es laimagen de solo un elemento de , y as contiene solo a tal elemento .

1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una funcin y dosfamilias e de subconjuntos de e respectivamente. Convenimos tambin en que , e , representan, respectivamente, subconjuntos de y subconjuntos de .Tenemos que

(a) implica .Demostracin: Sea pues . Si , entonces, por definicin (vase ?), existe tal que , peroen tal caso , pues , de modo que . QED

(b) implica .Demosracn: Si , entonces , puesto que , se tiene , luego , y as

. QED(c) .


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Demostracin: Sea . La imagen de por , , est en el conjunto , y as . QED

Si, en particular, la funcin es inyectiva, entonces(d) .

(e) .

Demostracin: Si , entonces es la imagen de algn , y as . QED

Si, en particular, es sobreyectiva, entonces

(f) .

(g) implica .

Demostracin: En vista de (d), solo queda demostrar que, si , entonces . Esto es fcilconsiderando que solo contiene elementos que son imgenes, y por tanto esto tambin es cierto para , de modo que si

, , luego , con lo que la prueba termina. QED

(h)] .Demostracin: Sea . As, existe tal que , pero en ese caso , de modo que

, y con esto . Solo falta demostrar que , lo que consiste de seguirlos pasos anteriores en el sentido opuesto. QED

Si, en particular, es inyectiva, se cumple(i) .

Demostracin: Sea . Entonces, puesto que es inyectiva, existe un nico tal que . Luego,, de modo que , y as . QED

Debemos hacer nfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier funcin a menos que esta sea inyectiva. Porejemplo, si no es inyectiva, puede ser , pero esto no es suficiente para garantizar que , por que al noser inyectiva, podra existir un tal que , caso en el cual la imagen de est en por que es lamisma imagen de un elemento que si esta en .

Si, en particular, la funcin es sobreyectiva, tenemos(j) .

Demostracin: Si , tenemos que , por lo que no tiene ningn antecedente en . Notemos que, porser una sobreyeccin, tiene por lo menos un antecedente en . Sea cualquiera de estos antecedentes de , es decir, sea

. Tenemos que , por lo que , lo que demuestra lo que se quera. QED


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Si la funcin es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente(k) .

1.7.11. Sea una familia de subconjuntos de un conjunto . Es comn llamar simplemente unin de a la uninde los conjuntos del rango de , que se representa por y que se define (vase 1.3.4) naturalmente por

.

1.7.12. Sea una funcin . Se cumplen:

(a) .

Demostracin: Si , entonces existe al menos un tal que , y de esta manera , y

con ello , para almenos un . As, , lo que demuestra . Invertir todos

los pasos de esta prueba para demostrar que se deja como ejercicio para el lector. QED

(b) .

La demostracin se deja como ejercicio para el lector.

1.7.13. Por otra parte, la interseccin de los conjuntos del rango de la familia , que se representa por , se dicesimplemente interseccin de . As pues (vase 1.3.5),

.

1.7.14. Sea una funcin . Se cumplen

(a) .

Demostracin: Sea . Entonces existe tal que , con para todo ndice . Por

esta razn, para todo , con lo que . QED


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(b) .

Demostracin: Si , es el antecedente de un nico , es decir, . Pero si ,

entonces para todo ndice . As para todo , luego . Esto demuestra que

. Demostrar que se deja como ejercicio al lector. QED

Si la funcin es adems inyectiva, se cumple

(c) .

Demostracin: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que sea inyectiva, . Para esto,

sea , de manera que para todo ndice . Puesto que es inyectiva, no es imagen ms que deun nico elemento a, y que, al ser para todo ndice , cumple con para todo , con lo que

. As , lo que demuestra lo que se quera. QED

Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la funcin sea inyectiva. La razn es que un elemento puede no estar en para todo , y sin embargo, puede que su imagen si est en todos los conjuntos debido a que es la imagen de algn otro elemento contenido en los conjuntos que no tienen a . Por ejemplo, supngase ,cuya imagen es , no est en para algn , pero que este conjunto contiene otro elemento cuya imagen es tambin

, de tal manera que para cualquiera que sea el ndice sin necesidad de que para todo . En esecaso (cuando es no inyectiva) tenemos

.

1.7.15. La funcin dada por

para todo , y que por tanto enva cada elemento de consigo mismo, se llama funcin identidad.

Es claro que, siendo ,


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y .

Si , esto se reduce a

.

1.7.16. Sean e dos conjuntos y considrese una funcin . Sea un subconjunto de . La funcin dada por

,

se dice restriccin de a . Esto es,

,

por lo que la restriccin de a es una funcin que resulta de 'recortar' el dominio de . Es claro que .

1.7.17. Sea un conjunto y un subconjunto de . La aplicacin

dada por

,

e.i. la restriccin , se llama inyeccin cannica de en x.

1.7.18. Sea una aplicacin de un conjunto en otro , y sea una aplicacin de en un conjunto . La aplicacin

dada por


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se dice composicin de y . Esto es, resulta de aplicar seguida de , por lo que si enva un elemento conun elemento y enva a con un elemento , entonces enva directamente el elemento con elelemento (Refirase a la figura de abajo).

1.7.19. Sean las funciones , y . Tenemos que . Paraconvencernos de ello es suficiente ver que

y que

.

1.7.20 Si es una funcin biyectiva, puede definirse la funcin , llamada funcin inversa de , por

si y solo si .

Es decir,

si y solo si .1.7.21 Es inmediato que

.

1.7.22. Adems, se observa que


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y,

por lo que

y .

Si , esto se simplifica a

.

1.7.23. Ntese tambin que, siendo ,

.

1.7.24. Es claro que existe cuando es biyectiva. Adems la funcin inversa de una funcin es nica. Para probar esto,supngase que y son dos funciones inversas de una funcin . Entonces

,y

,y por tanto .1.7.25. Sean las funciones y . Entonces

.

En efecto, pues es funcin inversa de , y


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con lo que es tambin funcin inversa de , y as y han de ser la misma funcin (puesla inversa de cualquier funcin es nica). Otra forma de demostrar que es el argumento siguiente:Sea . Se sigue que , y de esto que para un tal que , o seaque y , de modo que y , y por tanto . Esto pruebaque , y probar que resulta de recorrer todos los pasos anteriores deforma invertida.

Captulo anterior: Producto cartesiano Captulo siguiente: Relaciones

Relaciones1.8.1. Sean los conjuntos e . Cualquier subconjunto se dice relacin de sobre . Por tanto, una relacin esun conjunto de pares ordenados, de modo que toda funcin es una relacin, si bien lo recproco no esnecesariamente cierto, pues puede una relacin no cumplir (f-1) o (f-2) (o ambas) de 1.7.1 . De sto, resulta convenienteadoptar una notacin diferente a la que se us con las funciones para expresar el hecho de que . As pues,escribiremos

,

y cuando . Para el caso particular en que es una relacin que es a su vez es funcin, tenemos

.

Sin embargo, emplearemos la notacin para representar cuando sepamos que es una funcin.

1.8.2. Las relaciones pueden definirse entre ms de dos conjuntos. As, una relacin entre los conjuntos , y , puede sercualquier subconjunto del producto cartesiano , y consistira por tanto de ternas ordenadas. Una relacin as sedice relacin ternaria, para distinguirse de las relaciones que se aplican solo entre dos conjuntos (que naturalmente se llamanrelaciones binarias). En trminos ms generales, una funcin -aria entre cuales quiera conjuntos , es unconjunto cualquiera .

1.8.3. En este libro solo trataremos las relaciones binarias, por lo que cuando se hable de relacin se entender que se trata deuna de stas.

1.8.4. En particular, una relacin sobre un conjunto es un subconjunto . Al igual que las funciones, lasrelaciones sobre un conjunto pueden tener, de forma particular, ciertas propiedades que permiten clasificarlas. Msexactamente: Sea una relacin sobre un conjunto .

La relacin es reflexiva siempre que( R-1 ) para toda .


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La relacin es irreflexiva si( R-2 ) para ningn .La relacin es simtrica siempre que(R-3) y a para cualesquiera .La relacin es antisimtrica siempre que(R-4) y implica para cualesquiera .La relacin es asimtrica siempre que(R-5) implica que a es falso para cualesquiera .La relacin es transitiva siempre que(R-6) y implica para cualesquiera .La relacin es conexa siempre que(R-7) o para cualesquiera .

1.8.5. Una relacin que es reflexiva, simtrica y transitiva se dice relacin de equivalencia. Si es una relacin deequivalencia sobre un conjunto y si , entonces el conjunto dado por

se dice clase de equivalencia de por . Si se sabe cual es la relacin y si no se presta a confusin, es comn escribirsimplemente en lugar de . As pues

.

1.8.6. La aplicacin identidad en un conjunto ,

,

es claramente una relacin de equivalencia sobre , y dentro del contexto de la teora de relaciones suele hacerse referencia aella mediante el trmino relacin trivial.1.8.7. Otra relacin de equivalencia sobre un conjunto es el mismo producto cartesiano , que en este caso se llamacomnmente relacin grosera.

1.8.8. Puesto que una relacin de equivalencia sobre un conjunto es reflexiva, tenemos


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para todo . Adems, es simtrica, de donde

.

Se tiene tambin que

.

Efectivamente, pues si , entonces y , y por simetra, , luego por transitividad . Otra cosa ms esque

.

La razn es que si , entonces existe un tal que y o sea que y , y conesto , que como ya vimos significa que .1.8.9. Otra forma de expresear este resultado es que

.

1.8.10. Sea una relacin de equivalencia sobre un conjunto . El conjunto cociente de por la relacin , que se representapor , se define por

.

Es decir, contiene todas las clases de equivalencia por la relacin .

1.8.11. Puesto que cada uno de los elementos de est en alguna clase de equivalencia (pues por ejemplo si se tiene), resulta que

,

o, para mayor claridad,


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,y como cualesquiera dos clases de equivalencia distintas de son disjuntas (vase 1.8.9), es una particin de (vase 1.5.6).

1.8.12. Sea una particin de un conjunto . Luego defnase la relacin mediante

para algn . Puesto que

,

cada uno de los elementos de est contenido en algn conjunto de , por lo que para todo , y as esreflexiva. Claramente implica para todo , por lo que es simtrica. Adems, si y , existen

tales que y , y estos han de cumplir (pues si , ha de ser , lo que es contradictorio en vista de que y ), y entonces concluimos que . Esto hace que sea tambintransitiva, y entonces termina siendo esta una relacin de equivalencia sobre inducida por la particin .

1.8.13. El resultado de 1.8.11 y el resultado de 1.8.12 se resumen en el enunciado siguiente:

Si es una relacin de equivalencia sobre un conjunto , entonces el conjunto cociente es una particin de y,recprocamente, si es una particin del conjunto , entonces existe una relacin tal que .

1.8.14. Una relacin sobre un conjunto reflexiva, antisimtrica y transitiva se dice relacin de orden parcial (osimplemente un orden) sobre el conjunto , y el par se dice entonces un conjunto parcialmente ordenado, osimplemente que es un conjunto ordenado.

1.8.15. Aqu usaremos el smbolo

para representar un orden parcial cualquiera (diferente segn el contexto) y no solo para el familiar orden sobre el conjunto denmeros reales.

En particular, la relacin de inclusin sobre el conjunto potencia de un conjunto es una relacin de orden parcial.1.8.16. Se dice que es una relacin de orden (parcial) estricto, o simplemente que es un orden estricto, sobre un conjunto ,


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si es irreflexiva, antisimtrica y transitiva. Para representar ordenes estrictos, cualesquiera que sean estos, usaremos elsmbolo

.

Un orden que no sea estricto ser llamado simplemente orden no estricto.

1.8.17. Si es una relacin de orden no estricto sobre un conjunto , entonces la relacin

es claramente un orden estricto sobre . Por otro lado, si es una relacin de orden estricto sobre , entonces

es una relacin de orden no estricto sobre .

1.8.18. Sea un conjunto ordenado. Un elemento tal que para todo se dice elemento mnimo (oprimer elemento) de . El elemento mnimo de un conjunto, si existe, es nico. En efecto, pues si y fueran dos elementosmnimos de , por definicin

,

y por antisimetra, .

1.8.19. Sea un conjunto ordenado. Un elemento tal que para todo se dice elemento mximo (oltimo elemento) de . Tambin el elemento mximo de un conjunto, si existe, es nico.

1.8.20. En un conjunto ordenado es posible que existan elementos que, pudiendo no ser un mximo o un mnimo de ,tienen cierta distincin sobre otros elementos de por medio de el orden . Nos referimos a los minimales y los maximales.Un elemento es un minimal en si no existe ningn elemento en estrictamente menor que . (por medio del ordenestricto dado por si y solo si y , por supuesto) ; un elemento se dice mximal de si no existeningn elemento en estrictamente mayor que . Es posible que los minimales de un conjunto, si existen, sean ms de uno. Lomismo aplica para los maximales de un conjunto.

Notemos pues que un conjunto puede no contener ni mnimos (mximos) ni minimales (maximales), o bien, contener uno oms minimales (maximales) y ningn mnimo (mximo). Si un conjunto tiene mnimo (mximo), ste es a su vez el nicominimal (maximal) del conjunto.


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1.8.21. Sea un conjunto ordenado, y sea . Un elemento tal que para todo se dice cotainferior (o minorante) de . Por otro lado, un elemento tal que para todo se dice cota superior (omayorante) de . Una cota inferior o superior de puede o no estar en . Adems, si es el conjunto de cotas inferioresde , entonces solo puede ser vaco o ser un conjunto con un solo elemento. Si , entonces el nicoelemento de es claramente un mnimo de . Si contiene un elemento mximo, entonces este se dice nfimo de ,y lo representaremos por . Anlogamente, si es el conjunto de todas las cotas superiores de , o

contiene a lo ms un elemento, el cual sera entonces un mximo de . Si tiene un mnimo, entonces este se dicesupremo de , y lo representaremos por .

1.8.22. Un conjunto que tiene cotas inferiores se dice inferiormente acotado, mientras que un conjunto que tiene cotassuperiores se dice superiormente acotado. Si un conjunto esta acotado inferior y superiormente, se dice simplemente que esacotado.

1.8.23. Sea un conjunto parcialmente ordenado. Si todo subconjunto de admite un minimal respecto de , se diceque es una relacin de orden bien fundada sobre , o que es un orden bien fundado sobre . Dado ese caso, se dice que elpar es bien fundado.

1.8.24. Un hecho apreciable a cerca de rdenes bien fundados es el siguiente:

Si es un conjunto parcialmente ordenado, entonces es bien fundado si y solo si no existe una secuencia infinita tal que .

En efecto, pues si no fuera un conjunto bien fundado, entonces, si , no es un minimal, y por lo tanto existeotro elemento tal que . Este argumento es claramente vlido para cualquiera que sea el nmero natural

, por lo que se concluye que si es no bien fundado, existe una secuencia infinita descendiente. Recprocamente, si es un conjunto ordenado tal que existe una secuencia

descendiente infinita , entonces, para cualquiera que sea el elemento , existe otro tal que , de modo que no es minimal de , y con ello es no bien fundado.

1.8.25. Una relacin de orden que es conexa en , se dice relacin de orden total, u orden total, sobre , y se dice que el par es un conjunto totalmente ordenado.

1.8.25. Un conjunto totalmente ordenado y bien fundado se dice conjunto bien ordenado, y su relacin de orden se dice portanto un buen orden. Supngase que es un conjunto bien ordenado. Entonces es, en particular, bien fundado,por lo que todo subconjunto tiene por lo menos un minimal. Supngase que y son dos minimales de . Puestoque es totalmente ordenado,

.

Cualquiera que sea el caso, debe de ser , pues si no, o , lo que no puede ser por que un minimal no tieneun elemento estrictamente menor que l (ni siquiera siendo este otro minimal). Vemos entonces que el elemento minimal esun mnimo de . Por conclusin, un conjunto ordenado es bien ordenado si todo subconjunto de tiene mnimo.


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Ejercicios1. Supngase dado el conjunto de los nmeros naturales, que representaremos por . Escribir el conjunto

en notacin de la forma .2. Probar que, siendo el conjunto de los nmeros enteros, .

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