CONTEOS, METODOS COMBINATORIOS Y CONJUNTOS ANALISIS COMBINATORIO
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones. Para aplicar la Regla
de Laplace, el clculo de los sucesos favorables y de los sucesos
posibles a veces no plantea ningn problema, ya que son un nmero
reducido y se pueden calcular con facilidad: a) Combinaciones,
determina el nmero de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se
pueden formar con los n elementos de una muestra. Cada subgrupo se
diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que
influya el orden. Para calcular el nmero de combinaciones se aplica
m! Cm,n = n!(m n)! El termino n! se denomina factorial de n y es la
multiplicacin de todos los nmeros que van desde n hasta 1. Ejemplo,
4! = 4*3*2*1 = 24 La expresin Cm,n representa las combinaciones de
m elementos, formando subgrupos de n elementos. Ejemplo, C10,4 son
las combinaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de 4
elementos,C10,4 = 10! = 210 4!(10 4)!
Es decir, podramos formar 210 subgrupos diferentes de 4
elementos, a partir de los 10 elementos. b) Variaciones, calcula el
nmero de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden
establecer con los n elementos de una muestra. Cada subgrupo se
diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden
de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones).
Para calcular el nmero de variaciones se aplica, m! Vm,n = (m n)!
La expresin Vm,n representa las variaciones de m elementos,
formando subgrupos de n elementos. En este caso, como vimos en la
anterior, un subgrupo se diferenciar del resto, bien por los
elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos.
Ejemplo V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupndolos en
subgrupos de 4 elementos,
1
Vm,n =
10! = 5.040 (10 4)!
Es decir, podramos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4
elementos, a partir de los 10 elementos. c) Permutaciones, calcula
las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los
elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada
subgrupo del resto es el orden de los elementos. Para calcular el
nmero de permutaciones se aplica,Pm = n!
La expresin Pm representa las permutaciones de m elementos,
tomando todos los elementos. Los subgrupos se diferenciaran
nicamente por el orden de los elementos. Ejemplo, P10 son las
permutaciones de 10 elementos,Pm = 10! = 3.628.800
Es decir, tendramos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10
elementos. Vamos a analizar ahora que ocurrira con el clculo de las
combinaciones, de las variaciones o de las permutaciones en el
supuesto de que al formar los subgrupos los elementos pudieran
repetirse. Por ejemplo, tenemos bolas de 6 colores diferentes y
queremos formar subgrupos en los que pudiera darse el caso de que
2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. En
este caso no podramos utilizar las frmulas que vimos en la
anterior. a) Combinaciones con repeticin. Para calcular el nmero de
combinaciones con repeticin se aplica,C ,n = m (m + n 1)! n!(m
1)!
Ejemplo, C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con
repeticin, agrupndolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4
elementos podran estar repetidos,C ,4 `= 10 13! = 715 4!9!
Es decir, podramos formar 715 subgrupos diferentes de 4
elementos. b) Variaciones con repeticin. Para calcular el nmero de
variaciones con repeticin se aplica, Vm,n = m n
2
Ejemplo, V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con
repeticin, agrupndolos en subgrupos de 4 elementos, V10,4 = 10 4 =
10.000
Es decir, podramos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4
elementos. c) Permutaciones con repeticin. Para calcular el nmero
de permutaciones con repeticin se aplica, Pm,x1,,xk = m! x 1! x k
!
Son permutaciones de m elementos, en los que uno de ellos se
repite x1 veces, otro x2 veces y as sucesivamente hasta uno que se
repite xk veces. Ejemplo, Calcular las permutaciones de 10
elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro
se repite en 3 ocasiones, P10,2,3 = 10! = 302 .400 2!3!
Es decir, tendramos 302,400 formas diferentes de agrupar estos
10 elementos. Resumen. En resumen y usando otra nomenclatura para
que el lector se habitu a los dems libros que circulan en el medio.
Combinaciones, variaciones y permutaciones. Se llaman variaciones
de n elementos tomados de m en m a los grupos de m elementos
escogidos de los n elementos de un conjunto, teniendo en cuenta que
dos grupos son distintos si difieren en algn elemento o en el orden
de colocacin de ellos. Si los elementos se pueden repetir se llaman
variaciones con repeticin. Si m = n se llaman permutaciones de n
elementos. Si el orden no importa se llaman combinaciones.
Variaciones: Vnm = n (n 1) (n m + 1) son los distintos grupos de m
elementos distintos que se pueden formar con n elementos, teniendo
en cuenta el orden. Variaciones con repeticin: VR m = nm son los
distintos grupos de m n elementos, repetidos o no, que se pueden
formar con n elementos, teniendo en cuenta el orden. Combinaciones
con repeticin: n n! m Combinaciones: Cn = = m m!(n m)! CR m = C m
son los distintos n n+m1 son los distintos subconjuntos de m
subconjuntos de m elementos, repetidos o elementos distintos que se
pueden formar no, que se pueden formar con n elementos. con n
elementos.
3
Permutaciones: Pn = Vnn = n! son todas Permutaciones con
repeticin: n! las distintas ordenaciones que se pueden Pnx ,,x =
son las distintas x 1! x k ! formar con n elementos, todos
distintos. ordenaciones que se pueden formar con n elementos,
teniendo en cuenta que un elemento se repite x1 veces, otro x2
veces, ...., etc., siendo x1+x2+......+xk=n.1 k
4
Muestra A de N elementos
A = { y 1, y 2 ,, y N }
Existen en A elementos repetidos?No n
