Teora elemental de conjuntos

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Lgica proposicional Una proposicin es cualquier enunciado lgico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0). Dada una proposicin p, se define la negacin de p como la proposicin p' que es verdadera cuando p es falsay que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales sepueden efectuar diversas operaciones lgicas para construirnuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en funcin de los valores delas proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a travs de las tablas de verdad de dichas operaciones.Por ejemplo, la tabla de verdad de la negacin es la siguiente:

pp' 10 01 A continuacin se describen las principales operaciones lgicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad: Conjuncin: es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q".

pqp q 111 100 010 000 Disyuncin: es aquella proposicinque es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q".

pqp v q 111 101 011 000 Disyuncin exclusiva: es aquella proposicin que es verdadera cuando una y slo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p v q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

pqp v q 110 101 011 000 Condicional: es aquella proposicin que es falsa nicamente cuando la condicin suficiente p es verdadera y la condicin necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q".

pqp q 111 100 011 001 Bicondicional: es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y slo si p entonces q".

pqp q 111 100 010 001 Una proposicin se dice que es una tautologa si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valoresde las proposiciones que lo componen; por ejemplo: pv p'. Una proposicin se dice que es una contradiccin si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valoresde las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'. Una paradoja es una proposicin a la que no se le puede asignar ningn valor de verdad; suelen estar relacionadas conincorrecciones enel lenguaje lgico. Por ejemplo: p="la proposicin p es falsa".

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en funcin de las proposiciones elementales que lo componen; esta definicin equivale a decir que la propos icin p q es una tautologa. Por ejemplo, las proposicionesp q y q' p' son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecproco", y se usa en los razonamientos por reduccin al absurdo.Se pueden obtener fcilmente ms "resultados lgicos" a travs de su relacin con la teora de conjuntos.

Nmeros naturales : principio de induccin Admitivos como intuitivo el concepto de nmero natural; as, podemos enumerar los nmeros naturales en orden creciente: N = { 1,2,3,4,5, ... } Cuando se quiere demostrar que una proposicin relativa a nmeros naturales es cierta, se necesita el Principio de Induccin: "Sea S el conjunto de nmeros naturales para los que la proposicin p(n) es cierta; supongamos que mS y que n S n+1S Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }" (es decir, la propiedad se verifica para todo nmero natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).

Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposicin es cierta para n+1, es necesario usar que la proposicinse verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Induccin completa: "Sea S el conjunto de nmeros naturales para los que la proposicin p(n) es cierta; supongamos que mS y que m,m+1, ... ,n S n+1S Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"

Ejercicio: prubese por induccin la frmula delbinomio de Newton

(Indicacin: utilcense las propiedades de los nmeros combinatorios).

Teora de Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO Un conjunto es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia aA.En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota az A.

Ejemplos de conjuntos:

o : el conjunto vaco, que carece de elementos. oN: el conjunto de los nmeros naturales. oZ: el conjunto de los nmeros enteros. oQ : el conjunto de los nmeros racionales. oR: el conjunto de los nmeros reales. oC: el conjunto de los nmeros complejos. Se puede definir un conjunto: opor extensin, enumerando todos y cada uno de sus elementos.opor comprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensin,o su propiedad caracterstica, si se define por comprensin. Por ejemplo: oA := {1,2,3, ... ,n} oB := {p Z | p es par} Se dice que A est contenido en B (tambin que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),y se denota A _ B, si todo elemento de A lo es tambin de B, es decir, aA aB. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultneamente A _ B y B _ A;esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o tambin la misma propiedad caracterstica). Para cualquier conjunto A se verifica que _ A y A _ A;B _ A es un subconjunto propio de A si A = y B = A. El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota (A).Entonces, la relacin B _ A es equivalente a decir B (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces (A) = { ,{a},{b},A}. Si aA entonces {a} (A). Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto AB := {aA | a Z B}.Asimismo, se llama diferencia simtrica entre A y B al conjunto A A B := (AB)BA) Si A (U), a la diferencia UA se le llama complementario de A respecto de U,y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).Es fcil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: o ' = U . oU ' = . o(A')' = A . oA _ B B' _ A' . oSi A = { xU | p(x) es una proposicin verdadera} entonces A' = { xU | p(x) es una proposicin falsa}. Se llama unin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,es decir: AB := { x | xA v xB}. Se llama interseccin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,es decir: A B := {x | xA xB}. Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fcil ver que A B = A B'.En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unin e interseccin) verifican las siguientes propiedades : PROPIEDADESUNIONINTERSECCION 1.- IdempotenciaAA = AA A = A 2.- ConmutativaAB = BAA B = B A 3.- AsociativaA( BC ) = ( AB )CA ( B C ) = ( A B ) C 4.- AbsorcinA( A B ) = AA ( AB ) = A 5.- DistributivaA( B C ) = ( AB ) ( AC )A ( BC ) = ( A B )( A C 6.- ComplementariedadAA' = UA A' =

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unin e interseccin tenga una estructura de lgebra de Boole. Adems de stas, se verifican tambin las siguientes propiedades:oA = A , A = ( elemento nulo ). oAU = U , A U = A ( elemento universal ). o( AB )' = A' B' , ( A B )' = A'B' ( leyes de Morgan ). Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:

A v B := { (a,b) : aA bB} Dos pares (a,b) y (c,d) de A v B son iguales si a = c y b = d; anlogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A v B = C v D ( A = C B = D ) Se llama grafo relativo a A v B a todo subconjunto G _ A v B.Dado un grafo G relativo a A v B, se llama proyeccin de G sobre A al conjunto

ProyAG := { aA : (a,b)G, n bB} Anlogamente se define la proyeccin ProyBG de G sobre B. Por ltimo, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.Si para cada elemento i de un conjunto (de ndices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : iI }y se denomina familia de conjuntos indicada por I. Tambin se suele denotar por { Ai } iI .De forma anloga se define una familia de elementos ( ai ) iI . Dada una familia de conjuntos { Ai } iI se definen:

o i I Ai := { a : aAi , n iI } o iI Ai := { a : aAi , V iI } o iI Ai := { (ai) : aiAi , V iI } Las propiedades de la unin e interseccin siguen siendo vlidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :

(iI Ai )' = iI A'i ,(iI Ai )' = iI A'i DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de suelen representar grficamente mediante "diagramas de Venn", con una lnea que encierra a sus elementos. As, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar grficamente con el fin de obtener una idea msintuitiva. A _ B

AB

A B

AB

A A B RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL Existe una relacin muy estrecha entre la Teora de Conjuntos y la Lgica Proposicional. Para mostrar dicha relacin, denotemos por letras maysculas A,B ... los conjuntos ypor las correspondientes minsculas a,b ... sus propiedades caractersticas(es decir, la proposicin lgica que caracteriza a los elementos de cada conjunto);entonces se tiene la siguiente correspondencia:

conjuntosA _ BA = BABA BA'ABA A B proposicionesa ba ba v ba ba'a b'a v b Adems, el conjunto vaco se corresponde con una contradiccin y el conjunto universal con una tautologa.Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en trminos de lgicaproposicional y viceversa; a modo de ejemplo:

A( A B ) = Aa v ( b c ) a A( B C ) = ( AB ) ( AC ) a v ( b c ) ( a v b ) ( a v c ) ( AB )' = A' B'( a v b )' a' b' PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Los smbolos V (cuantificador universal) y n (cuantificador existencial) se utilizan en Matemticas paraenunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemticos.Sea A un conjunto y p(x) una proposicin o propiedad que hace referencia a un elemento x.(1) Cuantificador universal : La expresin V xA p(x) se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposicin { xA : p(x) } = A (2) Cuantificador existencial : La expresin n xA | p(x) se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposicin { xA : p(x) } =

La negacin de cualquiera de las dos proposiciones anteriores serealiza negando la proposicin p(x)y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa. As, la negacin de la proposicin "V xA p(x)" es "n xA | p(x)' ", mientras quela negacin de "n xA | p(x)" es "V xA p(x)' "

Conjuntos finitos : Combinatoria La Combinatoria es la parte de las Matemticas que se dedica al estudio de los conjuntos finitos.Puesto que la propiedad principal de estos conjuntos es que se puede representar su nmero de elementosmediante un nmero natural (llamado cardinal de dicho conjunto), la tarea bsica de la Combinatoria esprecisamente el clculo del cardinal de dichos conjuntos.Para dicho clculo se necesita definir los llamados nmeros combinatorios:

(1) Nmeros factoriales: se define n! mediante la ley de recurrencia n! = n (n-1)! y la condicin inicial 0! := 1. De forma iterativa, se tiene n! = n (n-1) (n-2) ... 3 2 1 n! es el nmero de permutaciones de n elementos, es decir, es el nmero total de formas de ordenar n elementos de todas las formas distintas posibles.

(2) Coeficientes binomiales: se definen por la frmula

El nmero "n sobre k" es el nmero de combinaciones de n elementos tomados de k en k, es decir, el nmero de subconjuntos distintos de k elementos que tiene un conjunto con n elementos.Los coeficientes binomiales tienen dos propiedades bsicas: (a)

(b)

Como aplicacin de los nmeros combinatorios y delBinomio de Newton, podemos contar el nmero total desubconjuntos que tiene un conjunto A con n elementos, es decir, el cardinal de partes de A; para ello, notemos que el nmero de tales subconjuntos se obtiene sumando el nmero de subconjuntos de 0 elementos ms los de 1 elemento, ms los de 2 elementos, y as hasta los de n elementos, es decir:

Pero esta cantidad corresponde a desarrollar mediante el binomio de Newton la expresin (1+1)n= 2n As pues se obtiene que # (A) = 2n si # A = n.

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MATEMTICAS En el siglo III a.C. una colonia griega alsurdeItalia,Thurii,sealicon Roma para defenderse de las tribus italianasvecinas.Alcabodeun tiempo, Tarento,otracolonia griega,considerinsultanteque suscompatriotasrecurrieranala ayudadeunosbrbarospara defenderse,asquecapturaronunanaveromana,mataronasucapitn, marcharonsobreThuriiyexpulsaronalosromanos.Romatenaentonces otrosproblemas,ydecidienviarunembajadoryarreglarpacficamenteel incidente.PerolosTarentinosencontraronalenviadoparticularmente "gracioso",especialmenteporsuformadehablargriego.Noselotomaron enserio,hastaelpuntodequealguienentrelagentequeobservabaal brbaro,tuvo a bien mearsobresutnica.El embajadorse marchojurando quelavaranlamanchaconsangre,yaselao 281a.C.elsenadoromano declarlaguerraconlaqueRomaseanexionelsurdeItalia.Nopodemos saber qu les pareci tan hilarante a los griegos del lenguaje del embajador, perono esdifcilhacer ciertasconjeturas: el griegotenasonidos de los que carecaellatn,porloqueesprobablequesonarabastantepalurdoor llamarthetasalaszetas,porejemplo,ochis(msprobablementekis)alas jis, mus a las mys y cosas parecidas. No pensemos ya lo que habra pasado si elpobreembajadorhubieraconfundidolasfisconlassigmas,comohacen hoy ms matemticosde losquepodra esperarse. No cuesta ms de media hora aprenderse esto: Tengamospresentequelosinglesessuelentratarbastantebienlas consonantes extranjeras,peroparecen incapaces deno retorcer lasvocales. Pensemosque ellos llaman pi a la pe y paia la pi, as que,cuando ellos leen Theta (y dicen zita)la zeta inicial est muy bien (no digamos, pues, teta) pero corrijamos el entuerto de la vocal y leamos zeta. No hablemos de la "f uncin zetadeRiemann",sinoque, puestoqueellosdicen"dsitafancson"(mso menos),nosconvendradecir"funcindseta",quetraducirnoeslomismo que repetir. O NO? Esconocidalafrase"Teayudara recordarlacantidad",quealcontarle lasletrasnosayudaarecordarla cantidade= 2,71828... Unafrasepara pi= 3,1415926535... es"SolyLunay CieloproclamanalDivinoautordel Mundo".Hayejemplosms sofisticados,comoestepoemade ManuelGolmayo: Soyyseratodosdefinible;minombretengoquedaros:cocientediametralsiempreinmedible soy,delosredondosaros. Nosdalaaproximacinpi= 3,1415926535897932384...con20decimales. Tengounaprueba(annima,norecuerdodedndelasaqu)relativamente simple(msalgebraicaqueanaltica)delatrascendenciadeeypi.Puedes bajrtela desde aqu. Aprovecho este rincn para plantear un problema muy simple: determinar el criterioqueordenacomosiguelasucesindelosprimerosnmeros naturales:0 5 4 2 9 8 6 7 3 1 La solucin cabe en dos palabras (cuatro si no queremos ser lacnicos). Todas las mujeres tienen los ojos azules Esta"demostracin"melacomunicOscarBlasco.Hemosdesuponerque existe al menos una mujer con los ojos azules, lo cual es bastante razonable. Bastaprobarquesiunconjuntodemujeres contieneaunaconlosojos azules,entoncestodossusmiembrostienenlosojosazules,yluegoaplicar esto al conjunto de todas las mujeres. Lo probaremos por induccin sobre el cardinalndelconjunto.Sin=1estrivial:unconjuntoconunanicamujer quecontengaalmenosunamujerconojosazules,tieneatodossus miembros con ojos azules. Supongmoslo cierto para conjuntos de n mujeres yconsideremosunconjuntoden+1mujeres,algunadelascualestienelos ojosazules.Quitemosunadeellas,perodejandodentrounaquetengalos ojosazules.Nosquedaunconjuntodenmujeresy,porhiptesisde induccin,todossusmiembrostienenlosojosazules.Ahoraaadamosla que hemos quitado y saquemos otracualquiera (quetendr losojos azules). Volvemosatenerunconjuntoconnmujeres,todaslascuales-salvoquiz una-tienen losojos azules, luego denuevopor hiptesis de induccin todas tienenlosojosazules.Esclaroentoncesquelasn+1mujeresdelconjunto tienen los ojos azules.QED UN SILOGISMO DE LEWIS CARROLL He aqu un encantadorsilogismosacado de "El juego de lalgica",deLewisCarroll.Suencantoradicaenlosutil de la falacia: yNadiequequieratomareltrenyquenopueda cogeruntaxiyquenotengatiemposuficiente parairdandounpaseohastalaestacin,puede tomarlo sin echar a correr. yEstegrupodeturistasquieretomareltrenynopuedecogeruntaxi, perolessobratiempoparairhastalaestacindandounpaseo.Por consiguiente: yEste grupo de turistas no necesita correr.Alosamigoscndidos-comodiceCarroll-quelocreanvlido,hayque preguntarles: Y si les persigue un toro demente? EL SILOGISMO FAVORITO DE RAYMOND SMULLYAN RaymondSmullyanesunlgicoautordevarioslibrosdeliciososcomo "Cmosellamaestelibro?", "Ladamaoeltigre?" o,mifavorito,"5.000 aosantesdeCristoyotrasfantasasfilosficas".steessusilogismo favorito: Algunoscochestraquetean, Micocheesalgncoche,Por lo tanto, no es de extraar que mi coche traquetee. Personalmente, lademostracinmssimpticaqueheencontradoensus libros es esta prueba cartesiana de la existencia de Dios:Diostienequeexistir,puesnoibaasertanmalocomoparaengaarme y hacerme creer que existe si en realidad no existiera. POLINOMIOS CICLOTMICOS Veamosunacuriosidadnumrica.Lospolinomiosciclotmicossonlos polinomiosirreduciblesconcoeficientesracionalesquetienenporracesa lasracesde la unidad, es decir, a losnmeroscomplejosque elevados a un nmeronaturaldan1.Puestoquelasracesdelaunidadsonracesdel polinomio xn-1,lospolinomiosciclotmicosseobtienenfactorizandostos. Por ejemplo, para n = 1,x-1 es ya el primer polinomio ciclotmico. Para n = 2, elpolinomio x2-1contienealprimerpolinomiociclotmico,yalquitrselo (dividiendo)queda x+1,queeselsegundopolinomiociclotmico.El polinomio x3-1 contienealprimerpolinomiociclotmico x-1,yalquitarlo queda x2+x+1, que es el tercer polinomio ciclotmico. A x4-1 hay que quitarle elprimero x-1 yelsegundox+1.Alhacerloobtenemos x2+1,queeselcuarto polinomiociclotmico.Engeneralsepruebaque xn-1 eselproductodelos polinomiosciclotmicosdeordend,dondedrecorrelosdivisoresden,por loquehayquedividirloentretodoslospolinomioscorrespondientesa divisoresestrictosdenparaobtenerelpolinomion-simo.Esfcilir calculndolos. Los primeros polinomios ciclotmicos, as obtenidos, son yp1(x) =x-1 yp2(x) = x+1 yp3(x) = x2+x+1 yp4(x) = x2+1 yp5(x) = x4+x3+x2+x+1 yp6(x) = x2-x+1 Puedeprobarsequelospolinomiosciclotmicostienensuscoeficientes enteros(enprincipio,aldividirpolinomiospodranaparecercoeficientes racionales),peroalavistadelospolinomiosquevansaliendounotiendea conjeturarqueloscoeficientessonsiempre-1,0,1.Quienpiensequela muestraquehemosdadoesdemasiadopequeaparaconjeturarnada puede calcular cuarenta o cincuenta ms, y se encontrar siempre con ceros, unosymenosunos.Sinembargo,laconjeturaesfalsa,peroparaencontrar elprimercontraejemplonoshemosdeirhastaelcentsimoquinto polinomio ciclotmico, que resulta ser p105(x) = x48 + x47 + x46 - x43 - x42 - 2x41 - x40 - x39 +x36 + x35+x34 + x33 + x32 + x31 - x28 - x26 - x24 - x22 - x20 +x17 + x16+ x15 + x14 + x13 + x12 - x9 - x8 -2x7 - x6 - x5 + x2 + x + 1, condosflamantesdoses(menosdoses,enrealidad).Dehechopuede probarsequehaypolinomiosciclotmicosconcoeficientesarbitrariamente grandesenmdulo.Tenemosasunodelosmuchosejemplosdelo arriesgadoqueeshacerunaconjeturaenteoradenmeros,aunque tengamos 104 evidencias empricas. Un ejemplo ms famoso de conjetura falsa es la de Fer mat, que crey que unnmero de la forma 2n+1 es primo si y slo si n es potenciade2.Lanecesidaddelacondicinesfcildeprobar. La conjetura consiste en la suficiencia, que se basa en los casos:21+1 = 3, 22+1 = 5,24+1= 17, 28+1 = 257, 216+1 = 65.537. Tambin es un hecho conocido que fue Euler quien descubri que232+1 = 641.6.700.417. Lo que no es tan sabido es cmo lleg a descubrir esto. Pensemos que232+1 = 4.294.967.297,yqueEulernotenacalculadora.Aunquelahubieratenido,noesplan ponerseadividirentretodoslosprimoshastallegaral641.Sitienes curiosidad por saber cmo puede encontrarse el factor 641, entra aqu. UN PROBLEMA GEOMTRICO Tenemosdosrectasrysquenosonparalelas,peroque secortan fuera de la hoja de papel.Tambin nos dan un punto P exterior a ambas. El problema es trazar la recta que pasa por P y por el punto de corte, sin ms ayuda que una regla no graduada y, por supuesto, sinquelaconstruccinsesalgadelpapel. Aunqueelproblemaensnodejadetenerinters,esmuchoms interesante su SOLUCIN. UN PROBLEMA ALGEBRAICO Encontrartodoslosnmerosnaturales(nonulos)quepuedenexpresarse simultneamente como producto de dos y tres nmeros consecutivos.Hayunasolucintrivial: 6=2.3=1.2.3,ypuededemostrarsequeslohay unasolucinms,apartedesta.Demostrarquenohayotrasesun problemamuydifcil,resueltoporMordellen1962.Sinembargo,encontrar dicha solucin est al alcance de cualquiera (no es muy grande). Cul es?Si te rindes, pincha aqu. UN PROBLEMA ALGEBRAICO (MS FCIL) Este problema puede resolverse por mtodos completamente elementales:Demostrar que las nicas potencias de 2 que son consecutivascon potencias de 3 son 2,3,4 y 8, 9.Si te rindes, pincha aqu. Soneto a la convergencia de 1/n La sucesin que viene definida por an igual, exactamente, al inverso de n, es convergente, lo cual demostraremos enseguida: Para toda distancia preelegida al conjunto R+ perteneciente (, por ejemplo), es evidente, por una propiedad muy conocida, que el inverso de se puede superar por un m natural y, para todo n mayor, sucede que excede a dicho inverso por igual, y esto hace, pues, que an quede cercano a 0 bajo el radio tal. Carlos Ivorra