Espacio Vectorial

Espacio Vectorial R3

En algebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura creada a partir de un conjunto

no vacio, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y

una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y

otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

1.1 Ubicación de puntos en el espacio R3

Puntos en el espacio R2

El punto P(3,2) esta ubicado en el plano de coordenadas (x,y).

R2 es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x,y) de números reales:

Por x= 3 se traza una paralela al eje y.

Por y= 2 se traza una paralela al eje x.

Estas dos paralelas se cortan en el punto P de coordenadas (3,2).

Puntos en el espacio R

3

El punto P(2,3,4) esta ubicado en un sistema de coordenadas en el espacio.

Para hacer la representación de dicho punto procedemos asi:

Por x= 2 se traza una paralela al eje y.

Por y= 3 se traza una paralela al eje x.

Estas dos paralelas se cortan en el punto Q. Este punto es la proyección de P sobre el plano

XY.

Levantamos desde Q, y a 4 unidades, una paralela al eje Z.

En general decimos: para representar puntos en el espacio es utilizado un sistema de 3 ejes

coordenados que poseen un origen común. Cada uno de ellos es perpendicular a los otros

dos.

1.2 Vectores Libres

Dados los puntos A y B, en el espacio, se llama vector geométrico AB al segmento

orientado cuyo origen es A y extremo B. El punto inicial A y el punto final B pueden estar

ubicados en cualquier parte del espacio tridimensional.

Observación: Los vectores los denotaremos con letra negrilla. AB se lee vector de origen A

y extremo B.

El modulo o magnitud de un vector no es más que su longitud.

La dirección de un vector está representada por la dirección de la recta que lo contiene.

El sentido de un vector está dado por la orientación que se le dé a la recta que lo contiene,

orientación que vendrá dada por la punta de la flecha.

Si CD es otro vector geométrico, paralelo al anterior, del mismo modulo y sentido, decimos

que AB y CD son equivalentes o equipolentes AB=CD, es decir, que AB es equivalente a

CD es idéntico a afirmar que sus componentes coinciden.

Al conjunto constituido por todos los vectores geométricos equivalentes los llamaremos

vectores libres.

Un vector libre es una única terna de números V3 = (X1 , X2 , X3), pero con infinitos

representantes geométricos. Cualquiera de ellos puede identificarse con el vector V3.

De todos los representantes de V3, tomaremos aquel cuyo origen coincide con el origen de

coordenadas, el cual llamaremos representante canónico.

AB=CD (X2 – X1 , Y2 – Y1 , Z2 – Z1) = (X4 – X3 , Y4 – Y3 , Z4 - Z3)

1.3 Biyecciòn entre el conjunto V3 de los vectores libres y R3

Recordemos que una función es biyectiva si se cumple la condición de ser inyectiva y

sobreyectiva simultáneamente.

Si establecemos una correspondencia entre el espacio R3 y el conjunto de los vectores libres

V3 encontramos las siguientes características:

La correspondencia f de R3 en V3 es una función, ya que para cada terna de R

3 es posible

asociarle un único vector libre

Como a dos ternas distintas de números reales (X1 , Y1 , Z1) y (X2 , Y2 , Z2) le

corresponden vectores libres diferentes, decimos que la función es inyectiva.

Todo vector libre es imagen de, al menos una terna de números reales. Esta condición nos

indica que la función es sobreyectiva.

Estas tres características cumplidas nos permiten decir que la función definida f :

R3 V3, es biyectiva.

Concluimos, que existe una biyeccion entre el conjunto V3de los vectores libres y R3 de los

números reales.

f (X1 , Y1 , Z1) = vector libre

1.4 Longitud o norma de un vector

La norma o modulo de un vector es la medida de la longitud de cualquiera de sus

representantes.

Si A = (X1 , Y1 , Z1), la expresión que define la norma o el modulo viene dado por la

expresión:

1.5 Suma de vectores. Definición

Sean A= (X1, Y1,Z1) y B= (X2, Y2,Z2) dos vectores. La suma de estos vectores queda

definida de la siguiente manera:

A+B= (X1, Y1,Z1) + (X2, Y2,Z2) = = (X1 + X2, Y1+ Y2, Z1+ Z2)

Propiedades de la suma de vectores

Si a, b y c son vectores en R3 se verifican las siguientes propiedades:

La suma de dos vectores en R3 es otro vector.

A+B= (X1, Y1,Z1) + (X2, Y2,Z2) = (X1 + X2, Y1+ Y2, Z1+ Z2)

Propiedad asociativa: (A+B) + C = A+(B+C)

Propiedad conmutativa: A+B= B+A

Existencia del elemento neutro: para cada A existe (0) tal que 0+A= A

Existencia del elemento opuesto: para cada A existe (-A), tal que: A+ (-A) = 0

Vectores Opuestos Los vectores A = (X1, Y1,Z1) y –A (-X1, -Y1-,Z1), se dice que son opuestos, ya que los

valores de los componentes de A y de –A son opuestos.

Se debe verificar que:

A+ (-A)= 0

En efecto:

(X1, Y1,Z1) + (-X1, -Y1-,Z1) = (X1 – X1, Y1 – Y1, Z1 – Z1) = (0,0,0)

Esta definición nos permite estudiar la resta de dos vectores como un caso particular de la

suma, diciendo que:

La diferencia de dos vectores AyB no es mas que la suma de A con el opuesto de B.

A-B= A+(-B)

1.6 Producto de un numero real por un vector:

Sea A = ( X,Y,Z) un vector en R3 y α un numero real. El producto de un numero real α por,

el vector A es otro vector definido así:

α A= α (X,Y,Z) = (α X, α Y, α Z)

EJEMPLO:

Dado el vector A= (-2, 1, 3) y α = calcular el producto α . A

α . A = 3 (-2, 1, 3)= (-6, 3, 9)

α . A = (-6, 3, 9)

Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector Si A y B son vectores y α es un escalar, se verifica que:

Ley externa: si α Ɛ R3

, se realiza un producto α . A que pertenece a R3. es el produco de un

numero real que no esta en R3

y un vector que esta en R3. Esta ultima es la razón por la cual

la operación es llamada ley externa

Propiedad distributiva del producto de un escalar respecto a la suma de vectores:

α (A+B) = α . A + α . B

Propiedad distributiva del producto de un vector con respecto a la adicion de escalares:

(α + β) A = α . A + β . A

Propiedad asociativa respecto al producto de números reales:

Α . (β . A) = (α . β) . A

Elemento neutro: para todo A Ɛ R3 existe Ɛ R, tal que 1 . A= A

1.7 Definicion de espacio vectorial

Hemos estudiado el conjunto B de todos los vectores libres del espacio, definiendo, en ese

entonces, dos operaciones:

Una de ellas interna, llamadas suma de vectores con sus respectivas propiedades.

Otra, el producto de un escalar por un vector, llamada externa. Este también dotada de sus

respectivas propiedades.

Con estas condiciones se dice que B es un espacio vectorial.

Definición

1.8 Producto escalar de dos vectores

Definición

1.9 Vectores perpendiculares u ortogonales

1.10 Los vectores unitarios

1.11 Producto vectorial de dos vectores

Definición algebraica del producto vectorial

Definición geométrica del producto vectorial

1.12 Propiedades del producto vectorial

1.13 Aplicaciones del producto vectorial

- Area de un paralelograma

- Volumen de un paralelepípedo