Universidad Técnica de AmbatoFacultad de ingeniería en

Sistemas, Electrónica e Industrial

Tema: Estructuras Algebraicas y espacios vectoriales

Integrantes:

• Acevedo Jhon

• Almachi Evelin

• Corrales Kevin

• Coyago Bryan

• Julio Duran

• Ortiz Gabriela

LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA(LCI):

Definición. Sea G un conjunto no vacío. Cualquier función     del producto cartesiano de G por G en el mismo conjunto G se denomina ley de composición interna definida en el conjunto G. Así pues cada par ordenado (x,y)de elementos de G se le asigna un único elemento de G

 por 

.

Propiedad asociativa:• Sea * una operación binaria definida sobre un

conjunto G. se dice que la operación *tiene la propiedad asociativa, o que * es una operación asociativa, si para cualesquiera elementos a,b,c, de G se cumple la igualdad:

• a*(b*c)=(a*b)*c

• DISTRUBITIVIDAD (A,*, ∇)• Sean ∗,∇ dos leyes de composición interna en el conjunto E,

• Se dice que ∗ distribuye por la izquierda sobre ∇ si y solo sí

a ∗ (b∇c) = (a ∗ b)∇(a ∗ c), ∀a,b,c ∈ E.

• Se dice que ∗ distribuye por la derecha sobre ∇ si y solo sí

(b∇c) ∗ a = (b ∗ a)∇(c ∗ a), ∀a,b,c ∈ E.

• Se dice que ∗ es distributiva sobre ∇ si y solo si cumple a) y b).

• ELEMENTO NEUTRO (A,*)Sea ∗ ley de composición interna en E, e ∈ E se llama elemento neutro para ∗ si y solo si e ∗ a = a ∗ e = a, ∀a ∈ E.

• CONMUTATIVIDADSea ∗ ley de composición interna en E, ∗ es conmutativa en E si y sólo si

a ∗ b = b ∗ a, ∀a,b ∈ E.

ELEMETO INVERSO

En matemáticas, el inverso (o simétrico para la suma, o inverso aditivo), de un número   es el número que, sumado con  , da 

cero. El inverso aditivo de   se denota .

LEY DE COMPOSICION EXTERNA

• Ley que hace corresponder a cada elemento de un cierto conjunto K y a cada elemento de un conjunto A, otro elemento de A que resulta de efectuar una determinada operación entre ellos, habitualmente la multiplicación.

• Propiedades

• Ley de composición externa por la derecha

• Ley de composición externa por la izquierda

•

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición

interna definida en él.Según las propiedades que deban satisfacer

estas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras ó sistemas

axiomáticos:Monoide

Semigrupo Grupo

Monoide

• El par (A,*) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición interna se denomina monoide.

• Ejemplos de monoides

• ( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides.

• (N, -) no es un monoide porque la sustracción no es ley de composición interna en N.

• (N, *) donde está definido como a b = máx.{a , b} es un monoide

Semigrupo• Un monoide asociativo se denomina semigrupo.

• Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.

• Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad.

• El elemento neutro de llama identidad

Grupo(A,*) es un grupo o se define sobre A una estructura de grupo sí:1. * es asociativa. a, b, c 2. * posee elemento neutro en A. Es decir si 3. Todo elemento de A es invertible en A respecto de * Es decir Al cumplirse todas estas propiedades se puede afirmar que la estructura algebraica es un grupo. Pero si además de ser Grupo también es conmutativo se lo conoce como: Grupo Abeliano o

Grupo conmutativo y esto cumple la siguiente propiedad

a e e a a

a b b a

ANILLODados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna * y , (A ,*, ) tiene estructura de Anillo si y solo si:

a) es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c A a b c a b c

b) posee elemento neutro en A. Es decir e A / a , si a A a e e a a

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de . Es decir a A , a A / a a a a e

d) es conmutativa. Es decir a , b : a, b A a b b a Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.

e) es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c A (a b) c = a ( b c) Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.

f) distribuye doblemente sobre . Es decir, a , b , c : a, b, c A a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )

(A , , ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.

Si además : 

g) conmutativa. Es decir a , b : a, b A a b = b a entonces tenemos un Anillo conmutativo.

h) posee elemento neutro en A. Es decir e A / a , si a A a e e a a entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad. i) Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de . Es decir a A , a 0 , a A / a a´ = a´ a = e entonces se llama Anillo de división.

Ejemplos:

• 1.- ( N , + , ) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no

existe neutro para la adición.

• 2.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, es un anillo conmutativo con

unidad.

Anillo de integridad

(A , * , ) es un Anillo de integridad si y solo sí (A , * , ) es un anillo y 0 es su único divisores de cero

Dominio de integridad La terna (A ,* , ) se llama Dominio de integridad si y solo sí (A , *, ) es un Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.

Ejemplos

 

1.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas es un dominio de integridad.

2.- ( Q , + , ) ; ( R , + , ) y ( C , + , ) con las operaciones conocidas

son dominio de integridad.

 

3.- Los polinomios en una indeterminada ( o más ) con coeficientes en Q , R ó

C forman dominio de integridad con las operaciones conocidas.

CUERPO

Un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar

PROPIEDADES

Asociatividad de la adición y la multiplicaciónPara toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c.Conmutatividad de la adición y la multiplicaciónPara toda a, b en K, a + b = b + a y a · b = b · a. Elemento neutro para la adición y la multiplicaciónExiste un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a.Existe un elemento 1 en K, diferente de 0, tal que para todo a en K, a · 1 = a. Elemento opuesto y de inversos:Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0.Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a · a-

1 = 1.Distributividad de la multiplicación respecto de la adiciónPara toda a, b, c, en K, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa