Download pdf - priručnik iz statistike.pdf

7/28/2019 prirunik iz statistike.pdf

1/67

Sveuilite u RijeciFakultet za menadment u turizmu i ugostiteljstvuSTRUNI PREDDIPLOMSKI STUDIJMalo i srednje poduzetnitvo u turizmu i hotelijerstvu

Prirunik iz predmeta

POSLOVNA STATISTIKA

ifra kolegija: SST0103ECTS bodovi: 6,5

Nositelj predmeta:Dr. sc. SUZANA MARKOVI, docent


2/67

2

GRAFIKO PRIKAZIVANJE STATISTIKIH NIZOVA

PRIMJER 1.

Uvoz u Primorsko goranskoj upanijiGodina Uvoz (u mil. USD)2000. 449

2001. 532

2002. 478

2003. 638

2004. 739

Izvor: Statistiki ljetopis Primorsko-goranske upanije 2005, str.249.

Podatke iz tabele prikaite grafikilinijskim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake.to se zakljuuje na temelju grafikog prikaza?

RJEENJE:

Grafikon:Uvoz u Primorsko goranskoj upaniji

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2000. 2001. 2002. 2003. 2004.

Godina

Uvoz(umil.USD)

Uvoz (u mil. USD)

Izvor: Statistiki ljetopis Primorsko-goranske upanije 2005, str.249.


3/67

3

PRIMJER 2.

Broj registriranih domena pri Carnetu od sijenja do lipnja 2006. godineMjesec Broj domenaSijeanj 717

Veljaa 731

Oujak 1 061

Travanj 777Svibanj 812

Lipanj 596

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.

Podatke iz tabele prikaite grafikijednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebneoznake. to se zakljuuje na temelju grafikog prikaza?

RJEENJE:

Grafikon: Broj registriranih domena pri Carnetu od sijenja do lipnja 2006. godine

0

200

400

600

800

1000

1200

Sijea

nj

Velja

a

Ou

jak

Travanj

Sviba

nj

Lip

anj

Mjesec

Brojdomena

Broj domena

Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.

PRIMJER 3.

Robna razmjena Republike Hrvatske od sijenja do lipnja 2006. godine:Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)Austrija 1 865 3 253

Italija 7 100 9 932Njemaka 3 066 8 935

Slovenija 2 335 3 915

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006

Podatke iz tabele prikaite grafikidvostrukimirazdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite svepotrebne oznake. to se zakljuuje na temelju grafikog prikaza?


4/67

4

RJEENJE:

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od sijenja do svibnja 2006. godine

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Aust rija Italija Njemaka Slovenija

Zemlja

Izvoz/Uvo

z

Izvoz

Uvoz

Izvor: www.dzs.hr

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od sijenja do svibnja 2006. godine

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

Austrija Italija Njemaka S lovenija

Zemlja

Izvoz/Uvoz

Uvoz

Izvoz

Izvor: www.dzs.hr

PRIMJER 4.

Dani krediti stanovnitvu u 2005. godini (u mil. kn)Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit

Erste Bank 3 191 365 -Slavonka banka 1 417 78 387

Meimurska 117 43 46

Volksbank 250 1 089 320

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str. 50.

Podatke iz tabele prikaite grafiki viestrukim i razdijeljenim stupcima (s apsolutnimfrekvencijama). Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. to se zakljuuje na temelju grafikog

prikaza?


5/67

5

RJEENJE:

Grafikon: Dani krediti stanovnitvu u 2005. godini (u mil. kn)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Erste bank Slavonska

banka

Meimurska

banka

Volksbank

Banka

Iznosk

redita

Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit


Grafikon: Dani krediti stanovnitvu u 2005. godini (u mil. kn)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Erste bank Slavonska

banka

Meimurska

banka

Volksbank

Banka

Iznoskredita

Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit


PRIMJER 5.

Robna razmjena Republike Hrvatske od sijenja do lipnja 2006. godine:Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)

Austrija 1 865 3 253Italija 7 100 9 932

Njemaka 3 066 8 935

Slovenija 2 335 3 915

Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006.

Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnimkrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. to se zakljuuje na temelju grafikog

prikaza?


6/67

6

RJEENJE:

Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn) Isjeak - izvoz Isjeak - uvozAustrija 1 865 3 253 46,74o 44,96o

Italija 7 100 9 932 177,92o 137,28o

Njemaka 3 066 8 935 76,83o 123,50o

Slovenija 2 335 3 915 58,51o 54,25o

Ukupno 14 366 26 045 360,00o

360,00o

x0

= 0360cjelina

dio

Grafikon: Robna razmjena Republike Hrvatske od sijenja do lipnja 2006. godine

Izvoz Uvoz

Aus trija

Italija

Njemaka

Slovenija


PRIMJER 6.

Dolasci turista u RHBr. turista (u tis.)Turisti

2004. godina 2005. godinaDomai turisti 1 500 1 528

Strani turisti 7 912 8 467

Ukupno 9 412 9 995

Izvor: Priopenje DZS, Zagreb, veljaa 2006., str.1.

Podatke iz tabele prikaite grafiki strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnimpolukrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. to se zakljuuje na temelju grafikogprikaza?


7/67

7

RJEENJE:

Br. turista (u tis.)Turisti2004. godina 2005. godina

Isjeak 2004.g. Isjeak 2005.g.

Domai turisti 1 500 1 528 28,69o 27,52o

Strani turisti 7 912 8 467 151,31o 152,48o

Ukupno 9 412 9 995 180,00o 180,00o

00 180=cjelina

diox

Grafikon:Dolasci turista u RH


8/67

8

RELATIVNI BROJEVI

PRIMJER 1.

Fiziki obujam telekomunikacijskih usluga od sijenja do lipnja 2006. godine

Broj usluga (u mil.)Vrsta usluge 2005. godina 2006. godinaUtroene minute u

nepokretnoj mrei

5 162 4 463

Utroene minute u

pokretnoj mrei

1 215 1 831

SMS poruke 1 153 1 235


Izraunajtestrukturubroja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini.Strukturu prikaite grafikistrukturnim stupcima.to se moe zakljuiti na temelju grafikog prikaza?

RJEENJE:

Br. usluga (u mil.)Vrsta usluge2005. 2006.

Struktura za2005. g. (%)

Strukturaza 2006. g.

(%)Utroene minute u

nepokretnoj

mrei

5 162 4 463 68,55 59,28

Utroene minute u

pokretnoj mrei

1 215 1 831 16,14 24,32

SMS poruke 1 153 1 235 15,31 16,40

Ukupno 7 530 7 529 100,00 100,00

100=cjelina

dioP

Grafikon: Fiziki obujam telekomunikacijskih usluga od sijenja do lipnja 2006. godine

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

2005. 2006.

Godina

Struktura

sms poruke

utro.min. u pokret.

mrei

utro.min. u nepokret.

mrei


9/67

9

PRIMJER 2.

Stanovnitvo i povrina odabranih europskih zemalja:Zemlja Broj stanovnika u 000 Povrina u km 2

Austrija 8 148 83 871

Hrvatska 4 743 56 594

Maarska 10 083 93 032Slovenija 1 933 20 273

Izvor: SLJRH 2004., str. 783.

Pomou navedenih podataka izraunajte broj stanovnika na km2, tj. izraunajte relativne brojevekoordinacije. Dobivene veliine prikaite grafikiVarzarovim znakom. to se zakljuuje na temelju

grafikog prikaza?

RJEENJE:Zemlja Broj stanovnika u 000 Povrina u km 2 RBK

Austrija 8 148 83 871 97,15

Hrvatska 4 743 56 594 83,81Maarska 10 083 93 032 108,38

Slovenija 1 933 20 273 95,35

Povrina

ovnikasBr

f

fRBK

tan.

2

1 ==

Grafiki prikaz relativnih brojeva koordinacijejednostavnim stupcima:

0

20

40

60

80

100

120

Austrija Hrvatska Maarska Slovenija

Zemlja

RBK


10/67

10

Grafiki prikaz relativnih brojeva koordinacije Varzarovim znakom:

Mjerilo (baza): 1cm=30 000km

PRIMJER 3.

Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.)Banka Odobreni krediti (u mil.kn)Zagrebaka banka 38 126

Privredna banka 29 801

Raiffeisenbank 16 587Hypo Alpe-Adria Bank 13 739

Erste und Steiermrkische Bank 19 365

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.

Izraunajteindekseodobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenihkredita u Hypo Alpe-Adria banci. Indekse prikaite grafiki odgovarajuim grafikonom.to se moe zakljuiti na temelju izraunatih indeksa?

RJEENJE:

Banka Odobreni krediti (u mil.kn) IndeksiZagrebaka banka 38 126 277,50

Privredna banka 29 801 216,91

Raiffeisenbank 16 587 120,73

Hypo Alpe-Adria Bank 13 739 100

Erste und Steiermrkische Bank 19 365 140,95

1002

1 =f

fI

RBK

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

azaAustrija Hrvatska Maarska Slovenija


11/67

11

Grafikon: Indeksi odobrenih kredita po bankama u Hrvatskoj

277,5

216,91

120,73100

140,95

0

50

100

150

200

250

300

Zagrebaka

banka

Privredna

banka

Raiffeisen

Hypo

banka

Erste

banka

Banka

Indeks

Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.


12/67

12

NUMERIKI NIZ: Srednje vrijednosti (potpune i poloajne)

PRIMJER 1.

Zadan je slijedei numeriki niz:

Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100

Izraunajte: izraunajte potpune i poloajne srednje vrijednosti.

RJEENJE:

Xi 1/xi log xi rx

110 0,009 2,0414 100

110 0,009 2,0414 105

114 0,009 2,0569 106

110 0,009 2,0414 110

115 0,009 2,0607 110

115 0,009 2,0607 110105 0,010 2,0212 114

114 0,009 2,0569 114

106 0,009 2,0253 115

100 0,010 2,0000 115

1 099 0,092 20,4059

90,10910

1099===

N

XiX

70,108092,0

10

1===

ix

NH

= ixN

G log1

log

4059,2010

1log =G

04059,2log =G

80,109=G

110=Mo

2

21 rr xxMe+

= , 52

10

21 ===

Nr , 615112 =+=+= rr

1102

110110=

+=Me


13/67

13

PRIMJER 2.

Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedee rezultate:

Ocjena 1 2 3 4 5Brojstudenata

3 4 9 10 4

Izraunajte: aritmetiku sredinu, harmonijsku sredinu, geometrijsku sredinu, mod i medijan.

RJEENJE:

xi fi xi fi fi/ xi log xi fi log xi Kum. niz

1 3 3 3,00 0 0 3

2 4 8 2,00 0,3010 1,2040 7

3 9 27 3,00 0,4771 4,2939 16

4 10 40 2,50 0,6021 6,0210 26

5 4 20 0,80 0,6989 2,7956 30

30 98 11,30 2,0791 14,3145

27,330

98==

=

i

ii

f

fxX

65,230,11

30===

i

i

i

x

f

fH

ii

i

xff

G log1

log

=

3145,1430

1log =G

47715,0log =G 00,3=G

4=Mo

152

30

2 ===N

Me , 3=Me


14/67

14

PRIMJER 3.

Zaposleni prema godinama u poduzeu X:Starost u godinama Broj zaposlenih

21 30 32

31 40 162

41 50 404

51 (65) 142

Ukupno 740

Izraunajte: aritmetiku sredinu, harmonijsku sredinu, geometrijsku sredinu, mod i medijan.

RJEENJE:

Starost

u

godinama

Broj

zaposlenih

fi

Precizne

granice

xi i fc xi fi fi/ xi log xi filog xi Kum.niz

21-30 32 21-31 26 10 3,2 832 1,23 1,4149 45,2768 32

31-40 162 31-41 36 10 16,2 5832 4,50 1,5563 252,1206 19441-50 404 41-51 46 10 40,4 18584 8,78 1,6627 671,7712 598

51-(65) 142 51-65 58 14 10,1 8236 2,45 1,7634 250,4028 740

740 33484 16,96 1219,5714

2

21 LLxi+

= , 12 LLi = ,i

ff ic =

25,45740

33484==

=

i

ii

f

fxX

63,4396,16

740===

i

i

i

x

f

fH

ii

i

xff

G log1

log

=

5714,1219

740

1log =G

6481,1log =G

47,44=G

( ) ( )44,4510

)1,104,40()2,164,40(

2,164,40411 =

+

+=

+

+= i

cbab

abLMo


15/67

15

if

fN

LMemed

+= 1

12 , 370

2

740

2==

N

36,4510404

19437041 =

+=Me


16/67

16

NUMERIKI NIZ: Mjere disperzije

PRIMJER 1.


Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100

Izraunajte: (a) interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu, standardnu devijaciju ikoeficijent varijacije.

RJEENJE:

Xi rx (xi x)2

110 100 0,01110 105 0,01114 106 16,81110 110 0,01

115 110 26,01115 110 26,01105 114 24,01114 114 16,81106 115 15,21100 115 98,01

1 099 222,90

810611413 === QQIQ

50,24

104

1 === Nr , 31 =r , 1061 =Q

50,74

30

4

31 ===

Nr , 81 =r , 1143 =Q

04,0220

8

106114

106114

13

13 ==+

=

+

=

QQ

QQVQ

29,2210

91,222)(2

2==

=

N

xxi

72,429,222 ===

%29,410090,109

72,4100 ===

xV


17/67

17

PRIMJER 2.



3 4 9 10 4

Izraunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu,

standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

xi fi Kum. niz fi(xi-x)2

1 3 3 15,462 4 7 6,453 9 16 0,664 10 26 5,335 4 30 11,97 30 39,87

415minmax === XXR

13413 === QQIQ

5,74

30

41 ===

NQ , 31 =Q

5,224

90

4

33 ===

NQ 43 =Q

14,0

7

1

34

34

13

13 ==

+

=

+

=

QQ

QQVQ

33,130

87,39)(2

2 ==

=

i

ii

f

xxf

15,133,12 ===

%25,3510027,3

15,1100 ===

xV


18/67

18

PRIMJER 3.

Zaposleni prema godinama u poduzeu X:Starost u godinama Broj zaposlenih

21 30 32

31 40 162

41 50 404

51 (65) 142

Ukupno 740

Izraunajte: (a) raspon varijacije, interkvartil, koeficijent kvartilne devijacije, (b) varijancu,standardnu devijaciju i koeficijent varijacije.

Starost ugodinama

Brojzaposlenih

fi

Precizne

granice

xi i Kum.niz fi(xi-x)2

21-30 32 21-31 26 10 32 11 85831-40 162 31-41 36 10 194 13 861,1341-50 404 41-51 46 10 598 227,25

51-(65) 142 51-65 58 14 740 23 083,88 740 49 030,26

442165minmax === XXR

50,944,409,4913 === QQIQ

if

fN

LQQ

+=

1

1

114 185

4

740

4==

N

44,4010162

32185311 =

+=Q

if

fN

LQQ

+=

3

1

134

3

5554

2220

4

3==

N

94,4910404

194555413 =

+=Q

11,044,4094,49

44,4094,49

13

13 =+

=

+

=

QQ

QQVQ

26,66740

26,49030)(2

2 ==

=

i

ii

f

xxf


19/67

19

14,826,662 ===

99,1710025,45

14,8100 ===

xV


20/67

20

NUMERIKI NIZ: Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

PRIMJER 1.


Xi 110 110 114 110 115 115 105 114 106 100

Izraunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije;(b) koeficijent zaobljenosti.

RJEENJE:Xi (xi x)3 (xi x)4110 0,001 0,0001110 0,001 0,0001114 68,92 282,58110 0,001 0,0001

115 132,65 676,52115 132,65 676,52105 -117,65 576,48114 68,92 282,58106 -59,32 231,34100 -970,30 9 605,96

1 099 -744,12 12 331,98

71,024,105

41,74

)72,4(

41,7433

33 =

=

==

41,7410

12,774)(3

3 =

=

=

N

xxi

02,072,4

11090,1091 =

=

=

MoxSk

06,072,4

)11090,109(3)(32 =

=

=

MexSk

080

10611411021141062

13

31==

+=

+=QQ

MeQQSkQ

48,233,496

20,1233

)72,4(

20,123344

44 ====

20,123310

98,12331)(4

4 ==

=

N

xxi


21/67

21

PRIMJER 2.



3 4 9 10 4

Izraunajte: (a) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu mjeru asimetrije;

(b) koeficijent zaobljenosti.

RJEENJE:

xi fi fi(xi-x)3 fi(xi-x)41 3 -35,09 79,662 4 -8,19 10,413 9 -0,18 0,054 10 3,89 2,845 4 20,71 35,83

30 -18,86 128,79

41,052,1

63,0

)15,1(

63,033

33 =

=

==

63,030

86,18)(3

3 =

=

=

i

ii

f

xxf

63,015,1

427,31

=

=

=

Mox

Sk

70,015,1

)327,3(3)(32 =

=

=

MexSk

11

1

34

32432

13

31 ==

+=

+=

QQ

MeQQSkQ

45,275,1

29,4

)15,1(

29,444

44 ====

29,430

79,128)(4

4 ==

=

i

ii

f

xxf


22/67

22

NUMERIKI NIZ: srednje vrijednosti, mjere disperzije,mjere asimetrije, mjere zaobljenosti

PRIMJER 1.

Prodaja eera u trgovini X tijekom radnog tjedna bila je sljedea:202 206 190 196 198 208

Izraunajte:a) aritmetiku sredinu i harmonijsku sredinub) medijan, donji i gornji kvartilc) varijancu, standardnu devijacijud) koeficijent asimetrije i koeficijent zaobljenosti.

RJEENJE:

Xi 1/xi rx (xi x)2

(xi x)3

(xi x)4

202 0,0050 190 4 8 16206 0,0049 196 36 216 1 296190 0,0053 198 100 -1 000 10 000196 0,0051 202 16 -64 256198 0,0051 206 4 -8 16208 0,0048 208 64 512 4 096

1 200 0,03 224 -336 15 680

2006

1200 === NXiX

20003,0

6

1===

ix

NH

2

21 rr xxMe+

= 32

6

21 ===

Nr 413112 =+=+= rr

2002

202198 =+=Me

5,14

6

41 ===

Nr 21 =r 1961 =Q

5,44

18

4

31 ===

Nr 51 =r 2063 =Q


23/67

23

33,376

224)(2

2 ==

=

N

xxi

11,633,372 ===

25,009,228

56

)11,6(

5633

3

3=

=

==

566

336)(3

3 =

=

=

N

xxi

88,168,1393

33,2613

)11,6(

33,261344

44 ====

33,26136

15680)(4

4==

=

N

xxi

PRIMJER 2.

Zadan je numeriki niz:

Broj odsutnih

uenika

0 1 2 3 4

Broj razreda 2 4 7 5 3

Na temelju distribucije frekvencija u tablici izraunajte:

a) aritmetiku sredinu, harmonijsku sredinu, mod, medijanb) kvartile, intrkvartil, raspon varijacije, koeficijent kvartilne devijacijec) varijancu, standardnu devijaciju,d) koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrijee) koeficijent zaobljenostif) nacrtajte histogram i poligon frekvencija.

RJEENJE:

xi fi xi fi fi/ xi Kum. niz fi(xi-x)2 fi(xi-x)3 fi(xi-x)4

0 2 0 0 2 9,16 -19,60 41,941 4 4 4 6 5,20 -5,93 8,302 7 14 3,50 13 0,14 -0,02 0,0023 5 15 1,67 18 3,70 3,18 2,734 3 12 0,75 21 10,38 19,30 35,90 21 45 9,92 28,58 -3,08 88,88


24/67

24

14,221

45==

=

i

ii

f

fxX

12,292,9

21===

i

i

i

x

f

fH

2=Mo

5,102

21

2===

NMe 2=eM

25,54

21

41 ===

NQ 11 =Q

75,154

213

4

33 =

=

=

NQ 33 =Q

21313 === QQIQ

404minmax === XXR

50,013

13

13

13 =+

=

+

=

QQ

QQVQ

36,121

58,28)(2

2 ==

=

i

ii

f

xxf

16,136,12 ===

09,056,1

15,0

)16,1(

15,033

33 =

=

==

( ) 15,021

08,33

3 ===

i

ii

f

xxf

12,016,1

214,21 =

=

=

o

k

MxS


25/67

25

( ) ( )36,0

16,1

214,2332 =

=

=

e

k

MxS

34,281,1

23,4

)16,1(

23,444

44 ====

( ) 23,42188,88

4

4 === i

ii

fxxf

Histogram:

Poligon frekvencija:

0

1

23

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4

xi

fi

0

1

2

3

45

6

7

8

0 1 2 3 4

xi

fi


26/67

26

PRIMJER 3.

Zadana je distribucija broja zaposlenih prema godinama starosti:

Starost u godinama Broj zaposlenih20-26 9

27-31 15

32-41 27

42-50 1651-60 8

Ukupno 75

Izraunajte:

a) aritmetiku sredinu, modb) medijan, kvartile, koeficijent kvartilne devijacijec) varijancu, standardnu devijaciju, koeficijent varijacijed) koeficijent asimetrije, Bowleyevu mjeru asimetrijee) koeficijent zaobljenosti.

RJEENJE:

Starost ugodinama

Brojzaposlenih

fi

Precizne

granice

xsi

(xi)

i xi fi fc Kum. niz

20-26 9 20-27 23,50 7 211,50 1,29 927-31 15 27-32 29,50 5 442,50 3,00 2432-41 27 32-42 37,00 10 999,00 2,70 5142-50 16 42-51 46,50 9 744,00 1,78 6751-60 8 51-61 56,00 10 448,00 0,80 75 75 2 845,00

fi(xi-x)2 fi(xi-x)

3 fi(xi-x)4

1 874,02 -2 7042,17 392 384,85

1 065,97 -8 986,16 76 473,90

23,35 -21,72 21,97

1 175,12 10 070,76 85 502,67

2 612,20 47 202,44 849 176,07

6 750,67 21 223,16 1 403 559,46

2

21 LLxsi+

= , 12 LLi = ,i

ff ic =


27/67

27

93,3775

2845==

=

i

ii

f

fxx

( ) ( ) ( ) ( )25,315

70,2329,13

29,13271 =

+

+=

+

+= i

cbab

abLMo

if

fN

LMme

e

+= 1

12

50,372

75

2==

N

00,371027

2450,3732 =

+=eM

if

fN

LQQ

+=

1

1

11

4

75,184

75

4 ==

N

25,30515

975,18271 =

+=Q

if

fN

LQQ

+=

3

1

134

3

25,564

225

4

3==

N

95,44916

5125,56423 =

+=Q

20,025,3095,44

25,3095,44

13

13 =+

=

+

=

QQ

QQVQ

( )01,9075

67,67502

2==

=

i

ii

f

xxf

49,901,902 ===

01,2510093,37

49,9100 ===

xV


28/67

28

33,067,854

97,282

)49,9(

97,28233

33 ====

( )97,282

75

16,212233

3 ==

=

i

ii

f

xxf

08,025,3095,44

37295,4425,302

13

31 =

+=

+=

QQ

MQQS ekq

30,282,8110

13,18714

)49,9(

13,1871444

44 ====

( )13,18714

75

46,14035594

4 ==

=

i

ii

f

xxf


29/67

29

METODA UZORAKA: Procjena aritmetike sredine, totalai proporcije osnovnog skupa

PRIMJER 1.

Na otoku koji ima 1620 domainstava sluajno smo izabrali 100 domainstava i zabiljeili za svako od

njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izraunali smo aritmetiku sredinu tog uzorka koja jeiznosila 1,83 ha. Pomou standardne devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju

osnovnog skupa i dobili s = 1,36 ha.

Izraunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosjena povrina obradive zemlje svih domainstava natom otoku.

RJEENJE:

N=1 620

n=100

x =1,83s=1,36

99%

xxstxXstx +


30/67

30

RJEENJE:

N=186

n=20

x =2,5

=1,204

95%

xxstxXstx +


31/67

31

+


32/67

32

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA. KORELACIJA RANGA

PRIMJER 1.

Na prvom i drugom kolokviju iz kolegija Statistika est studenata dobilo je bodove prikazane utablici.

Odredite:a) pravce regresijeb) koeficijent korelacijec) koeficijent korelacije rangad) napiite zakljuake) nacrtajte dijagram rasipanja.

I. kolokvij 88 62 55 96 78 49

II. kolokvij 47 63 70 80 70 40

RJEENJE:

I.kolokvij

X

II.kolokvij

Y XY X2 Y2 rx ry di di2

88 47 4 136 7 744 2 209 5 2 3 962 63 3 906 3 844 3 969 3 3 0 055 70 3 850 3 025 4 900 2 4,5 -2,5 6,2596 80 7 680 9 216 6 400 6 6 0 078 70 5 460 6 084 4 900 4 4,5 -0,5 0,2549 40 1 960 2 401 1 600 1 1 0 0

428 370 26 992 32 314 23 978 - - - 15,50

Prvi pravac regresije

bxaYc +=

34,0

76,1784

90,599

42833,7132314

37033,71269922

==

=

=

xxx

yxyxb

33,716

428===

N

xx 67,61

6

370===

N

yy

42,3733,7134,067,61 === xbya

xYc += 34,042,37


33/67

33

Drugi pravac regresije

ybaXc ,, +=

51,010,160.1

24,597

37067,61978.23

42867,61992.262

, ==

=

=

yyy

xyyxb

88,3967,6151,033,71,, === ybxa

yXc += 51,088,39

Koeficijent korelacije

42,051,034,0, === bbr

Koeficijent korelacije ranga

56,044,01210

931

6216

50,1561

61

3

2

===

=

=

nn

dr

i

s

Korelacija (veza) izmeu bodova na prvom i drugom kolokviju iz kolegija Statistika je srednja i

pozitivna.

Dijagram rasipanja

0

1020

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120

X

Y


34/67

34

VREMENSKI NIZ: Individualni indeksi (verini i bazni),trend modeli (linearni trend)

PRIMJER 1.

Godina 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Broj noenja 54 43 53 83 67

Na temelju podataka iz tablice izraunajte:a) verine indekseb) bazne indekse (1997=100)c) jednadbu linearnog trenda s ishoditem na poetku nizad) jednadbu linearnog trenda s ishoditem u sredini nizae) izraunajte sve trend vrijednostif) grafiki prikaite podatke iz tablice i napiite zakljuak

g) grafiki prikaite verine i bazne indekse i napiite zakljuak.

RJEENJE:

Godina

Broj noenja

Y Vt It

1997. 54 - 100

1998. 43 79,63 79,63

1999. 53 123,26 98,15

2000. 83 156,60 153,70

2001. 67 80,72 124,07

Verini indeksi

1001

=t

tt

Y

YV

Bazni indeksi

100=b

tt

Y

YI


35/67

35

Ishodite na POETKU Ishodite u SREDINI

GodinaBroj

noenjaY X XY X

2 Yc X XY X2 Yc

1997. 54 0 0 0 46,80 -2 -108 4 46,801998. 43 1 43 1 53,40 -1 -43 1 53,401999. 53 2 106 4 60,00 0 0 0 60,002000. 83 3 249 9 66,60 1 83 1 66,602001. 67 4 268 16 73,20 2 134 4 73,20 300 10 666 30 300,00 - 66 10 300,00

Jednadba linearnog trenda s ishoditem na poetku niza

xbaYc +=

6,6

10

66

10230

30026662

==

=

=

xxx

yxyxb

25

10===

N

xx 60

5

300===

N

yy

8,4626,660 === xbya

xYc += 6,68,46

Jednadba linearnog trenda s ishoditem u sredini niza

bxaYc +=

6,610

662

==

=

x

yxb

605

300 === Ny

a

xYc += 6,660


36/67

36

Grafiki prikaz podataka iz tablice (linijski grafikon)

0

10

20

3040

50

60

70

80

90

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Brojnoenja

Grafiki prikaz verinih indeksa

Grafiki prikaz baznih indeksa

1. nain:

0

20

40

60

80

100120

140

160

180

1997 1998 1999 2000 2001

Godine

Indeks

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70

1997 1998 1999 2000 2001


37/67

37

2. nain:

160

150

140

130

120

110

100

90

80

70


38/67

38

S TA T I S T I K E T A B L I C E

TABLICA 1 Logaritmi faktorijela

TABLICA 2 Binomni koeficijenti

TABLICA 3 Ordinate jedinine normalne razdiobe

TABLICA 4 Povrine ispod normalne krivulje

TABLICA 5 Vrijednosti 2 i pripadne vrijednosti P(2) za stupnjeve slobodek = 1, 2, 3, , 30

TABLICA 6 Vrijednosti t za Studentovu razdiobu, uz vjerojatnosti Q(t) i

stupnjeve slobode k = 1, 2, 3, , 30

TABLICA 7 Vjerojatnosti pri binomnoj razdiobi

TABLICA 8 Vjerojatnosti pri Poissonovoj razdiobi

TABLICA 9 Kritine vrijednosti koeficijenta korelacije ranga


39/67

TABLICA 1: Logaritmi faktorijelan 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

00 0,0000 0,0000 0,3010 0,7782 1,3802 2,0792 2,8573 3,7024 4,6055 5,5598

10 6,5598 7,6012 8,6803 9,7943 10,9404 12,1165 13,3206 14,5511 15,8063 17,085120 18,3861 19,7083 21,0508 22,4125 23,7927 25,1906 26,6056 28,0370 29,4841 30,9465

30 32,4237 33,9150 35,4202 36,9387 38,4702 40,0142 41,5705 43,1387 44,7185 46,309640 47,9116 49,5244 51,1477 52,7811 54,4246 56,0778 57,7406 59,4127 61,0939 62,7841

50 64,4831 66,1906 67,9066 69,6309 71,3633 73,1037 74,8519 76,6077 78,3712 80,1420

60 81,9202 83,7055 85,4979 87,2972 89,1034 90,9163 92,7359 94,5619 96,3945 98,233370 100,0784 101,9297 103,7870 105,6503 107,5196 109,3946 111,2754 113,1619 115,0540 116,9516

80 118,8547 120,7632 122,6770 124,5961 126,5204 128,4498 130,3843 132,3238 134,2683 136,217790 138,1719 140,1310 142,0948 144,0632 146,0364 148,0141 149,9964 151,9831 153,9744 155,9700100 157,9700 159,9743 161,9829 163,9829 166,0128 168,0340 170,0593 172,0887 174,1221 176,1595

110 178,2009 180,2462 182,2955 184,3485 186,4054 188,4661 190,5306 192,5988 194,6707 196,7462

120 198,8254 200,9082 202,9945 205,0844 207,1779 209,2748 211,3751 213,4790 215,5862 217,6967130 219,8107 221,9280 224,0485 226,1724 228,2995 230,4298 232,5634 234,7001 236,8400 238,9830

140 241,1291 243,2783 245,4306 247,5860 249,7443 251,9057 254,0700 256,2374 258,4076 260,5808

150 262,7569 264,9359 267,1177 269,3024 271,4899 273,6803 275,8734 278,0693 280,2679 282,4693160 284,6735 286,8803 289,0898 291,3020 293,5168 295,7343 297,9544 300,1771 302,4024 304,6303

170 306,8608 309,0938 311,3293 313,5674 315,8079 318,0509 320,2965 322,5444 324,7948 327,0477180 329,3030 331,5606 333,8207 336,0832 338,3480 340,6152 342,8847 345,1565 347,4307 349,7071

190 351,9859 354,2669 356,5502 358,8358 361,1236 363,4136 365,7059 368,0003 370,2970 372,5959

200 374,8969 377,2001 379,5054 381,8129 384,1226 386,4343 388,7482 391,0642 393,3822 395,7024210 398,0246 400,3489 402,6752 405,0036 407,3340 409,6664 412,0009 414,3373 416,6758 419,0162

220 421,3587 423,7031 426,0494 428,3977 430,7480 433,1002 435,4543 437,8103 440,1682 442,5281230 444,8898 447,2533 449,6189 451,9862 454,3555 456,7265 459,0994 461,4742 463,8508 466,2292

240 468,6094 470,9914 473,3752 475,7608 478,1482 480,5374 482,9283 485,3210 487,7154 490,1116

250 492,5096 494,9093 497,3107 499,7138 502,1186 504,5252 506,9334 509,3433 511,7549 514,1682260 516,5832 518,9999 521,4182 523,8381 526,2597 528,6830 531,1078 533,5344 535,9625 538,3922

270 540,8236 543,2566 545,6912 548,1273 550,5651 553,0044 555,4453 557,8878 560,3318 562,7774

280 565,2246 567,6733 570,1235 572,5753 575,0287 577,4835 579,9399 582,3977 584,8571 587,3180290 589,7804 592,2443 594,7097 597,1766 599,6449 602,1147 604,5860 607,0588 609,5330 612,0087

300 614,4858 616,9644 919,4444 621,9258 624,4087 626,8930 629,3787 631,8659 634,3544 636,8444

310 639,3357 641,8285 644,3226 646,8182 649,3151 651,8134 654,3131 656,8142 659,3166 661,8204320 664,3255 666,8320 669,3399 671,8491 674,3596 676,8715 679,3847 681,8993 684,4152 686,9324

330 689,4509 691,9707 694,4918 697,0143 699,5380 702,0631 704,5894 707,1170 709,6460 712,1762340 714,7076 717,2404 719,7744 722,3097 724,8463 727,3841 729,9232 732,4635 735,0051 737,5479

350 740,0920 742,6373 745,1838 747,7316 750,2806 752,8303 755,3823 757,9349 760,4888 763,0439

360 765,6002 768,1577 770,7164 773,2764 775,8375 778,3997 780,9632 783,5279 786,0937 788,6608370 791,2290 793,7983 796,3689 798,9406 801,5135 804,0875 806,6627 809,2390 811,8165 814,3952

380 816,9749 819,5559 822,1379 824,7211 827,3055 829,8909 832,4775 835,0652 837,6540 840,2440

390 842,8351 845,4272 848,0205 850,6149 853,2104 855,8070 858,4047 861,0035 863,6034 866,2044400 868,8064 871,4096 874,0138 876,6191 879,2255 881,8329 884,4415 887,0510 889,6617 892,2734

410 894,8862 897,5001 900,1150 902,7309 905,3479 907,9660 910,5850 913,2052 915,8264 918,4486

420 921,0718 923,6961 926,3214 928,9478 931,5751 934,2035 936,8329 939,4633 942,0948 944,7272430 947,3607 949,9952 952,6307 955,2672 957,9047 960,5431 963,1826 965,8231 968,4646 971,1071

440 973,7505 976,3949 979,0404 981,6868 984,3342 986,9825 989,6318 992,2822 994,9334 997,5857450 1000,2389 1002,8931 1005,5482 1008,2043 1010,8614 1013,5194 1016,1783 1018,8383 1021,4991 1024,1609

460 1026,8227 1029,4874 1032,1520 1034,8176 1037,4841 1040,1516 1042,8200 1045,4893 1048,1595 1050,8307470 1053,5028 1056,1758 1058,8498 1061,5246 1064,2004 1068,8771 1069,5547 1072,2332 1074,9127 1077,5930

480 1080,2742 1082,9564 1085,6394 1088,3234 1091,0082 1093,6940 1096,3806 1099,0681 1101,7565 1104,4458

490 1107,1360 1109,8271 1112,5191 1115,2119 1117,9057 1120,6003 1123,2951 11125,9921 1128,6893 1131,3874500 1134,0864 1136,7862 1139,4869 1142,1885 1144,8909 1147,5942 1150,2984 1153,0034 1155,7093 1158,4160

510 1161,1236 1163,8320 1166,5412 1169,2514 1171,9623 1174,6741 1177,3868 1180,1003 1182,8146 1185,5298520 1188,2458 1190,9626 1193,6803 1196,3988 1199,1181 1201,8383 1024,5593 1207,2811 1210,0037 1212,7272530 1215,4514 1218,1765 1220,9023 1223,6292 1226,3567 1229,0851 1231,8142 1234,5442 1237,2750 1240,0066

540 1242,7390 1245,4722 1248,2062 1250,9410 1253,6766 1256,4130 1259,1501 1261,8881 1264,6269 1267,3665

550 1270,1069 1272,8480 1275,5899 1278,3327 1281,0762 1283,8205 1286,5655 1289,3114 1292,0580 1294,8054560 1297,5536 1300,3026 1303,0523 1305,8028 1308,5541 1311,3062 1314,0590 1316,8126 1319,5669 1322,3220

570 1325,0779 1327,8345 1330,5919 1333,3501 1336,1090 1338,8687 1341,6291 1344,3903 1347,1522 1349,9149

580 1352,6783 1355,4425 1358,2074 1360,9731 1363,7395 1366,5066 1369,2745 1372,0432 1374,8126 1377,5827590 1380,3535 1283,1251 1385,8974 1388,6705 1391,4443 1394,2188 1396,9940 1399,7700 1402,5467 1405,3241

600 1408,1023 1410,8812 1413,6608 1416,4411 1419,2221 1422,0039 1424,7863 1427,5695 1430,3534 1430,1380

610 1435,9234 1438,7094 1441,4962 1444,2836 1447,0718 1449,8607 1452,6503 1455,4405 1458,2315 1461,0232620 1463,8156 1466,6087 1469,4025 1472,1970 1474,9920 1477,7880 1480,5846 1483,3819 1486,1798 1488,9785

630 1491,7778 1494,5779 1497,3786 1500,1800 1502,9821 1505,7849 1508,5883 1511,3924 1514,1973 1517,0028

640 1519,8090 1522,6158 1525,4233 1528,2316 1531,0404 1533,8500 1536,6602 1539,4711 1542,2827 1545,0950650 1547,9079 1550,7215 1553,5357 1556,3506 1559,1662 1561,9824 1564,7993 1567,6169 1570,4351 1573,2540660 1576,0736 578,8938 1581,7146 1584,5361 1587,3583 1590,1811 1593,0046 1595,8287 1598,6535 1601,4789

670 1604,,3050 1607,1317 1609,9591 1612,7871 1615,6158 1618,4451 1621,2750 1624,1056 1626,9368 1629,7687

680 1632,6012 1635,4344 1638,2681 1641,1026 1643,9376 1646,7733 1649,6096 1652,4466 1655,2842 1658,1224


40/67

40

TABLICA 2: Binomni koeficijenti

n

0

n

1

n

2

n

3

n

4

n

5

n

6

n

7

n

8

n

9

n

10

n

0 11 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 14 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66

13 1 13 78 286 715 1 287 1 716 1 716 1 287 715 286

14 1 14 91 364 1 001 2 002 3 003 3 432 3003 2002 1001

15 1 15 105 455 1 365 3 003 5 005 6 435 6 435 5 005 3 003

16 1 16 120 560 1 820 4 368 8 008 11 440 12 870 11 440 8 008

17 1 17 136 680 2 380 6 188 12 376 19 448 24 310 24 310 19 448

18 1 18 153 816 3 060 8 568 18 564 31 824 43 758 48 620 43 758

19 1 19 171 969 3 876 11 628 27 132 50 388 75 582 92 378 92 378

20 1 20 190 1 140 4 845 15 504 38 760 77 520 125 970 167 960 184 756


41/67

41

TABLICA 3: Ordinate jedinine normalne razdiobe

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 ,39894 ,39892 ,39886 ,39876 ,39862 ,39844 ,39822 ,39797 ,39767 ,397330,1 ,39695 ,39654 ,39608 ,39559 ,39505 ,39448 ,39387 ,39322 ,39253 ,39181

0,2 ,39104 ,39024 ,38940 ,38853 ,38762 ,38667 ,38568 ,38466 ,38361 ,38251

0,3 ,38139 ,38023 ,37903 ,37780 ,37654 ,37524 ,37391 ,37255 ,37115 ,36973

0,4 ,36827 ,36678 ,36526 ,36371 ,36213 ,36053 ,35889 ,35723 ,35553 ,353810,5 ,35207 ,35029 ,34849 ,34667 ,34482 ,34294 ,34105 ,33912 ,33718 ,33521

0,6 ,33322 ,33121 ,32918 ,32713 ,32506 ,32297 ,32086 ,31874 ,31659 ,31443

0,7 ,31225 ,31006 ,30785 ,30563 ,30339 ,30114 ,29887 ,29659 ,29431 ,292000,8 ,28969 ,28737 ,28504 ,28269 ,28034 ,27798 ,27562 ,27324 ,27086 ,26848

0,9 ,26609 ,26369 ,26129 ,25888 ,25647 ,25406 ,25164 ,24923 ,24681 ,24439

1,0 ,24197 ,23955 ,23713 ,23471 ,23230 ,22988 ,22747 ,22506 ,22265 ,220251,1 ,21785 ,21546 ,21307 ,21069 ,20831 ,20594 ,20357 ,20121 ,19886 ,19652

1,2 ,19419 ,19186 ,18954 ,18724 ,18494 ,18265 ,18037 ,17810 ,17585 ,17360

1,3 ,17137 ,16915 ,16694 ,16474 ,16256 ,16038 ,15822 ,15608 ,15395 ,15183

1,4 ,14973 ,14764 ,14556 ,14350 ,14146 ,13943 ,13742 ,13542 ,13344 ,13147

1,5 ,12952 ,12758 ,12566 ,12376 ,12188 ,12001 ,11816 ,11632 ,11450 ,112701,6 ,11092 ,10915 ,10741 ,10567 ,10396 ,10226 ,10059 ,09893 ,09728 ,09566

1,7 ,09405 ,09246 ,09089 ,08933 ,08780 ,08628 ,08478 ,08329 ,08183 ,08038

1,8 ,07895 ,07754 ,07614 ,07477 ,07341 ,07206 ,07074 ,06943 ,06814 ,066871,9 ,06562 ,06439 ,06316 ,06195 ,06077 ,05959 ,05844 ,05730 ,05618 ,05508

2,0 ,05399 ,05292 ,05186 ,05082 ,04980 ,04879 ,04780 ,04682 ,04586 ,04491

2,1 ,04398 ,04307 ,04217 ,04128 ,04041 ,03955 ,03872 ,03788 ,03706 ,036262,2 ,03547 ,03470 ,03394 ,03319 ,03246 ,03174 ,03103 ,03034 ,02965 ,02898

2,3 ,02833 ,02768 ,02705 ,02643 ,02582 ,02522 ,02463 ,02406 ,02349 ,02294

2,4 02239 ,02186 ,02134 ,02083 ,02033 ,01984 ,01936 ,01889 ,01842 ,017972,5 ,01753 ,01709 ,01667 ,01625 ,01585 ,01545 ,01506 ,01468 ,01431 ,01394

2,6 ,01358 ,01323 ,01289 ,01256 ,01223 ,01191 ,01160 ,01130 ,01100 ,01071

2,7 ,01042 ,01014 ,00987 ,00961 ,00935 ,00909 ,00885 ,00861 ,00837 ,00814

2,8 ,00792 ,00770 ,00748 ,00727 ,00707 ,00687 ,00668 ,00649 ,00631 ,00613

2,9 ,00595 ,00578 ,00562 ,00545 ,00530 ,00514 ,00499 ,00485 ,00471 ,00457

3,0 ,00443 ,00430 ,00417 ,00405 ,00393 ,00381 ,00370 ,00358 ,00348 ,003373,1 ,00327 ,00317 ,00307 ,00298 ,00288 ,00279 ,00271 ,00262 ,00254 ,00246

3,2 ,00238 ,00231 ,00224 ,00216 ,00210 ,00203 ,00196 ,00190 ,00184 ,00178

3,3 ,00172 ,00167 ,00161 ,00156 ,00151 ,00146 ,00141 ,00136 ,00132 ,001273,4 ,00123 ,00119 ,00115 ,00111 ,00107 ,00104 ,00100 ,00097 ,00094 ,00090

3,5 ,00087 ,00084 ,00081 ,00079 ,00076 ,00073 ,00071 ,00068 ,00066 ,00063

3,6 ,00061 ,00059 ,00057 ,00055 ,00053 ,00051 ,00049 ,00047 ,00046 ,000443,7 ,00042 ,00041 ,00039 ,00038 ,00037 ,00035 ,00034 ,00033 ,00031 ,00030

3,8 ,00029 ,00028 ,00027 ,00026 ,00025 ,00024 ,00023 ,00022 ,00021 ,00021

3,9 ,00020 ,00019 ,00018 ,00018 ,00017 ,00016 ,00016 ,00015 ,00014 ,00014


42/67

42

TABLICA 4: Povrine ispod normalne krivulje

Druga decimalna znamenka u ZZ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 ,00000 ,00399 ,00798 ,01197 ,01595 ,01994 ,02392 ,02790 ,03188 ,03586

0,1 ,09383 ,04380 ,04776 ,05172 ,05567 ,05962 ,06356 ,06749 ,07142 ,075350,2 ,07926 ,08317 ,03706 ,09095 ,09483 ,09871 ,10257 ,10642 ,11026 ,11409

0,3 ,11791 ,12172 ,12552 ,12930 ,13307 ,13683 ,14058 ,14431 ,14803 ,15173

0,4 ,15542 ,15910 ,16276 ,16640 ,17003 ,17364 ,17724 ,18082 ,18439 ,187930,5 ,19146 ,19497 ,19847 ,20194 ,20540 ,20884 ,21226 ,21566 ,21904 ,22240

0,6 ,22575 ,22907 ,23237 ,23565 ,23891 ,24215 ,24537 ,24857 ,25175 ,25490

0,7 ,25804 ,26115 ,26424 ,26730 ,27035 ,27337 ,27637 ,27935 ,28230 ,285240,8 ,28814 ,29103 ,29389 ,29673 ,29955 ,30234 ,30511 ,30785 ,31057 ,31327

0,9 ,31594 ,31859 ,32121 ,32381 ,32639 ,32894 ,33147 ,33398 ,33646 ,33891

1,0 ,34134 ,34375 ,34614 ,34850 ,35083 ,35314 ,35543 ,35769 ,35993 ,362141,1 ,36433 ,36650 ,36864 ,37076 ,37286 ,37493 ,37698 ,37900 ,38100 ,38298

1,2 ,38293 ,38686 ,38877 ,39065 ,39251 ,39435 ,39617 ,39796 ,39973 ,40147

1,3 ,40320 ,40490 ,40658 ,40824 ,40988 ,41149 ,41309 ,41466 ,41621 ,41774

1,4 ,41924 ,42073 ,42220 ,42364 ,42507 ,42647 ,42786 ,42922 ,43056 ,43189

1,5 ,43319 ,43448 ,43574 ,43699 ,43822 ,43943 ,44062 ,44179 ,44295 ,44408

1,6 ,44520 ,44630 ,44738 ,44845 ,44950 ,45053 ,45154 ,45254 ,45352 ,454491,7 ,45543 ,45637 ,45728 ,45818 ,45907 ,45994 ,46080 ,46164 ,46246 ,46327

1,8 ,46407 ,46485 ,46562 ,46638 ,46712 ,46784 ,46856 ,46926 ,46995 ,470621,9 ,47128 ,47193 ,47257 ,47320 ,47381 ,47441 ,47500 ,47558 ,47615 ,476702,0 ,47725 ,47778 ,47831 ,47882 ,47932 ,47982 ,48030 ,48077 ,48124 ,48169

2,1 ,48214 ,48257 ,48300 ,48341 ,48382 ,48422 ,48461 ,48500 ,48537 ,48574

2,2 ,48610 ,48645 ,48679 ,48713 ,48745 ,48778 ,48809 ,48840 ,48870 ,488992,3 ,48928 ,48956 ,48983 ,49010 ,49036 ,49061 ,49086 ,49111 ,49134 ,49158

2,4 ,49180 ,49202 ,49224 ,49245 ,49266 ,49286 ,49305 ,49324 ,49343 ,49361

2,5 ,49379 ,49396 ,49413 ,49430 ,49446 ,49461 ,49477 ,49492 ,49506 ,495202,6 ,49534 ,49547 ,49560 ,49573 ,49585 ,49598 ,49609 ,49621 ,49632 ,49643

2,7 ,49653 ,49664 ,49674 ,49683 ,49693 ,49702 ,49711 ,49720 ,49728 ,49736

2,8 ,49744 ,49752 ,49760 ,49767 ,49774 ,49781 ,49788 ,49795 ,49801 ,49807

2,9 ,,49813 ,49819 ,49825 ,49831 ,49836 ,49841 ,49846 ,49851 ,49856 ,49861

3,0 ,49865 ,49869 ,49874 ,49878 ,49882 ,49886 ,49889 ,49893 ,49897 ,499003,1 ,49903 ,49906 ,49910 ,49913 ,49916 ,49918 ,49921 ,49924 ,49926 ,49929

3,2 ,49931 ,49934 ,49936 ,49938 ,49940 ,49942 ,49944 ,49946 ,49948 ,49950

3,3 ,49952 ,49953 ,49955 ,49957 ,49958 ,49960 ,49961 ,49962 ,49964 ,499653,4 ,49966 ,49968 ,49969 ,49970 ,49971 ,49972 ,49973 ,49974 ,49975 ,49976

3,5 ,4997674

4,0 ,4999683

4,5 ,49999665,0 ,499999713


43/67


44/67

TABLICA 6: Vrijednosti t za Studentovu razdiobu, uz vjerojatnosti Q(t) istupnjeve slobode k = 1, 2, 3, , 30

k 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001

1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,6192 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598

3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941

4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859

6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,9597 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405

8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,78110 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,22114 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,96518 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,85021 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,79223 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767

24 0,127 1,256 0,390 0,531 0,665 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,74525 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690

28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,267 2,763 3,67429 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659

30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646


45/67

45

TABLICA 7: Vjerojatnosti pri binomnoj razdiobi

p

x 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n = 5

0 ,77378 ,73390 ,69569 ,65908 ,62403 ,5905 ,3277 ,1681 ,0778 ,0313

1 ,19363 ,23423 ,26182 ,28656 ,30859 ,3280 ,4096 ,3601 ,2592 ,15622 ,02143 ,02990 ,03941 ,04983 ,06104 ,0729 ,2048 ,3087 ,3456 ,3125

3 ,00113 ,00191 ,00297 ,00434 ,00604 ,0081 ,0512 ,1323 ,2304 ,31254 ,00003 ,00006 ,00011 ,00019 ,00029 ,0005 ,0064 ,0284 ,0768 ,1562

5 ,00000 ,00000 ,00000 ,00000 ,00001 ,0000 ,0003 ,0024 ,0102 ,0313

n = 10

0 ,59874 ,53862 ,48398 ,43439 ,38942 ,3487 ,1074 ,0282 ,0060 ,00101 ,31512 ,34379 ,36429 ,37773 ,38513 ,3874 ,2684 ,1211 ,0404 ,0097

2 ,07464 ,09875 ,12334 ,14780 ,17141 ,1937 ,3020 ,2335 ,1209 ,0440

3 ,01047 ,01681 ,02476 ,03428 ,04521 ,0574 ,2013 ,2668 ,2150 ,11724 ,00097 ,00188 ,00327 ,00521 ,00782 ,0112 ,0881 ,2001 ,2508 ,2051

5 ,00006 ,00014 ,00029 ,00055 ,00093 ,0015 ,0264 ,1030 ,2007 ,2460

6 ,00000 ,00001 ,00002 ,00004 ,00008 ,0001 ,0055 ,0367 ,1114 ,2051

7 ,00000 ,00000 ,00000 ,00000 ,0000 ,0008 ,0090 ,0425 ,11728 ,0001 ,0015 ,0106 ,0440

9 ,0000 ,0001 ,0016 ,009710 ,0000 ,0001 ,0010

n = 15

0 ,46329 ,39529 ,33670 ,28630 ,24301 ,2059 ,0352 ,0047 ,0005 ,0000

1 ,36576 ,37847 ,38015 ,37343 ,36050 ,3431 ,1319 ,0306 ,0047 ,0005

2 ,13475 ,16911 ,20029 ,22730 ,24959 ,2669 ,2309 ,0915 ,0219 ,00323 ,03073 ,04677 ,06533 ,08566 ,10696 ,1285 ,2502 ,1701 ,0634 ,0139

4 ,00486 ,00896 ,01475 ,02234 ,03174 ,0429 ,1876 ,2186 ,1268 ,0416

5 ,00056 ,00125 ,00244 ,00427 ,00690 ,0105 ,1031 ,2061 ,1859 ,09176 ,00005 ,00014 ,00031 ,00062 ,00114 ,0019 ,0430 ,1473 ,2066 ,1527

7 ,00000 ,00001 ,00003 ,00007 ,00014 ,0003 ,0139 ,0811 ,1771 ,1964

8 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,0000 ,0034 ,0348 ,1181 ,19649 ,00000 ,00000 ,0001 ,0115 ,0612 ,1527

10 ,0000 ,0030 ,0245 ,0917

11 ,0006 ,0074 ,0416

12 ,0001 ,0016 ,0139

13 ,0000 ,0003 ,003214 ,0000 ,0005

15 ,0000


46/67

46

TABLICA 7 (nastavak)

p

x 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

n = 20

0 ,35849 ,29011 ,23424 ,18869 ,15164 ,1216 ,0115 ,0008 ,0000 ,0000

1 ,37735 ,37034 ,35262 ,32817 ,29996 ,2701 ,0577 ,0068 ,0005 ,00002 ,18868 ,22458 ,25214 ,27109 ,28183 ,2852 ,1369 ,0279 ,0031 ,0002

3 ,05958 ,08600 ,11387 ,14143 ,16724 ,1901 ,2053 ,0716 ,0124 ,00114 ,01333 ,02334 ,03642 ,05228 ,07029 ,0898 ,2182 ,1307 ,0350 ,0046

5 ,00224 ,00476 ,00878 ,01454 ,02225 ,0319 ,1746 ,1789 ,0746 ,01486 ,00030 ,00076 ,00165 ,00316 ,00550 ,0089 ,1091 ,1916 ,1244 ,0370

7 ,00003 ,00010 ,00025 ,00055 ,00109 ,0020 ,0546 ,1643 ,1659 ,0739

8 ,00000 ,00001 ,00003 ,00008 ,00017 ,0003 ,0221 ,1144 ,1797 ,12019 ,00000 ,00000 ,00001 ,00003 ,0001 ,0074 ,0653 ,1597 ,1602

10 ,00000 ,00000 ,0000 ,0020 ,0309 ,1172 ,1762

11 ,0005 ,0120 ,0710 ,160212 ,0001 ,0038 ,0355 ,1201

13 ,0003 ,0049 ,0739

14 ,0000 ,0013 ,0370

15 ,0003 ,014816 ,0000 ,0046

17 ,001118 ,0002

19 ,0000

n = 30

0 ,21464 ,15626 ,11337 ,08197 ,05905 ,0424 ,0012 ,0000 ,0000 ,0000

1 ,33890 ,29921 ,25599 ,21382 ,17522 ,1413 ,0093 ,0003 ,0000 ,00002 ,25864 ,27693 ,27939 ,26961 ,25126 ,2277 ,0337 ,0018 ,0000 ,0000

3 ,12705 ,16498 ,19627 ,21881 ,23194 ,2360 ,0785 ,0072 ,0003 ,0000

4 ,04513 ,07108 ,09972 ,12843 ,15484 ,1771 ,1325 ,0209 ,0012 ,00005 ,01236 ,02359 ,03903 ,05807 ,07963 ,1023 ,1723 ,0464 ,0042 ,0002

6 ,00271 ,00628 ,01224 ,02104 ,03281 ,0474 ,1795 ,0829 ,0115 ,0005

7 ,00049 ,00137 ,00316 ,00628 ,01113 ,0180 ,1538 ,1219 ,0263 ,00198 ,00007 ,00025 ,00068 ,00156 ,00316 ,0058 ,1105 ,1501 ,0505 ,0055

9 ,00001 ,00004 ,00013 ,00034 ,00077 ,0015 ,0676 ,1573 ,0823 ,0133

10 ,00000 ,00001 ,00002 ,00006 ,00016 ,0004 ,0355 ,1416 ,1152 ,0280

11 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,0001 ,0161 ,1103 ,1396 ,0508

12 ,00000 ,00001 ,0000 ,0064 ,0748 ,1474 ,080613 ,00000 ,0022 ,0444 ,1360 ,1115

14 ,0007 ,0232 ,1101 ,1355

15 ,0002 ,0105 ,0783 ,144416 ,0000 ,0043 ,0490 ,1355

17 ,0015 ,0279 ,1115

18 ,0004 ,0119 ,0806

19 ,0002 ,0054 ,050820 ,0000 ,0020 ,0280

21 ,0007 ,013322 ,0002 ,005523 ,0000 ,0019

24 ,0005

25 ,0002

26 ,0000


47/67

47

TABLICA 8: Vjerojatnosti pri Poissonovoj razdiobi

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 ,90484 ,81873 ,74082 ,67032 ,60653 ,54881 ,49659 ,44933 ,40657 ,36788

1 ,09048 ,16374 ,22225 ,26813 ,30327 ,32929 ,34761 ,35946 ,36591 ,367882 ,00452 ,01638 ,03334 ,05363 ,07582 ,09879 ,12166 ,14379 ,16466 ,18394

3 ,00015 ,00109 ,00333 ,00715 ,01264 ,01976 ,02839 ,03834 ,04940 ,061314 ,00000 ,00006 ,00025 ,00072 ,00158 ,00296 ,00497 ,00767 ,01112 ,01533

5 ,00000 ,00002 ,00006 ,00016 ,00036 ,00070 ,00123 ,00200 ,00307

6 ,00000 ,00000 ,00001 ,00004 ,00008 ,00015 ,00030 ,000517 ,00000 ,00000 ,00001 ,00002 ,00004 ,00007

8 ,00000 ,00000 ,00000 ,00001

9 ,00000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 ,13534 ,04979 ,01832 ,00674 ,00248 ,00091 ,00034 ,00012 ,00005 ,00002

1 ,27067 ,14936 ,07326 ,03369 ,01287 ,00638 ,00268 ,00111 ,00045 ,000182 ,27067 ,22404 ,14653 ,08422 ,04462 ,02234 ,01074 ,00500 ,00227 ,00101

3 ,18045 ,22404 ,19537 ,14037 ,08924 ,05213 ,02863 ,01499 ,00757 ,00371

4 ,09022 ,16803 ,19537 ,17547 ,13385 ,09123 ,05725 ,03374 ,01892 ,010195 ,03609 ,10082 ,15629 ,17547 ,16062 ,12772 ,09160 ,06073 ,03783 ,02242

6 ,01203 ,05041 ,10420 ,14622 ,16062 ,14900 ,12214 ,09109 ,06306 ,04110

7 ,00344 ,02160 ,05954 ,10445 ,13768 ,14900 ,13959 ,11712 ,09008 ,06458

8 ,00086 ,00810 ,02977 ,06528 ,10328 ,13038 ,13959 ,13176 ,11260 ,088799 ,00019 ,00270 ,01323 ,03627 ,06884 ,10141 ,12408 ,13176 ,12511 ,10853

10 ,00004 ,00081 ,00529 ,01813 ,04130 ,07098 ,09926 ,11858 ,12511 ,11938

11 ,00001 ,00022 ,00193 ,00824 ,02253 ,04517 ,07219 ,09702 ,11374 ,1193812 ,00000 ,00006 ,00064 ,00343 ,01126 ,02635 ,04813 ,07277 ,09478 ,10943

13 ,00001 ,00020 ,00132 ,00520 ,01419 ,02962 ,05038 ,07291 ,09260

14 ,00000 ,00006 ,00047 ,00223 ,00709 ,01692 ,03238 ,05208 ,07275

15 ,00002 ,00016 ,00089 ,00331 ,00903 ,01943 ,03472 ,05335

16 ,00000 ,00005 ,00033 ,00145 ,00451 ,01093 ,02170 ,0366817 ,00001 ,00012 ,00060 ,00212 ,00579 ,01276 ,02373

18 ,00000 ,00004 ,00023 ,00094 ,00289 ,00709 ,0145019 ,00001 ,00009 ,00040 ,00137 ,00373 ,0084020 ,00000 ,00003 ,00016 ,00062 ,00187 ,00462

21 ,00001 ,00006 ,00026 ,00089 ,00243

22 ,00000 ,00002 ,00011 ,00040 ,00121

23 ,00001 ,00004 ,00017 ,0005824 ,00000 ,00002 ,00007 ,00027

25 ,00001 ,00003 ,0001226 ,00000 ,00001 ,00005

27 ,00000 ,00002

28 ,0000129 ,00000


48/67

48

TABLICA 9: Kritine vrijednosti koeficijenta korelacije ranga

Razina signifikantnostiVeliina

uzorka n 5% 1%

6 0,829 0,943

7 0,714 0,893

8 0,643 0,833

9 0,600 0,783

10 0,564 0,746

12 0,506 0,712

14 0,456 0,645

16 0,425 0,601

18 0,399 0,564

20 0,377 0,53422 0,359 0,508

24 0,343 0,485

26 0,329 0,465

28 0,327 0,448

30 0,306 0,432


49/67

49

P R E G L E D F O R M U L A

GRAFIKO PRIKAZIVANJE

Strukturni krugx

0= 0360

cjelina

dio

x0

dio

cjelina

isjeak (sektor kruga)

parcijalna frekvencija pojave

ukupna frekvencija

Pr=

r

P

polumjer kruga

ukupna frekvencija koja se prikazuje

grafiki

Ludolfov broj (3,14)

Strukturni polukrug00 180=

cjelina

diox

x0

dio

cjelina

isjeak (sektor kruga)

parcijalna frekvencija pojave

ukupna frekvencija

Pr

2=

r

P

polumjer kruga

ukupna frekvencija koja se prikazuje

grafiki

Ludolfov broj (3,14)

RELATIVNI BROJEVI

Postoci100=

cjelina

dioP

P

dio

cjelina

- postotak, relativna frekvencija

- parcijalna frekvencija pojve

- ukupna frekvencija

Relativni brojevi koordinacije (RBK)

2

1

f

fRBK=

1

2

f

fRBK=

f1f2

- frekvencija jedne statistike pojave (mase)

- frekvencija druge statistike pojave

(mase)


50/67

50

Indeksi

1001 =Bf

fI

I

f1fB

- indeks

- jedna frekvencija statistike pojave

- druga frekvencija iste statistike pojave

(baza usporedbe)

NUMERIKI NIZ

Srednje vrijednosti

Aritmetika sredina

Jednostavna (negrupirani podaci)

N

x

x

N

i

i== 1

Vagana (grupirani podaci)

=

=

=n

i

i

n

i

ii

f

fx

x

1

1

x

fiN

xi

- aritmetika sredina

- frekvencija numerikog niza, i=1,...,n

- ukupan broj jedinica u nizu

- vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n

Harmonijska sredinaJednostavna (negrupirani podaci)

=

=N

i ix

NH

1

1


=

==n

i i

i

n

i

i

x

f

f

H

1

1

H

fiN

xi

- harmonijska sredina

- frekvencija numerikog niza, i=1,...,n

- ukupan broj jedinica u nizu

- vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n


51/67

51

Geometrijska sredinaJednostava (negrupirani podaci)

=

=N

i

ixN

G1

log1

log

iliN

NxxxG = ...21


=

=

=n

i

iin

i

i

xf

f

G1

1

log1

log

ili

N f

k

ff kxxxG = ...21 21

G

fiN

xilog

- geometrijska sredina- frekvencija numerikog niza, i=1,...,n- ukupan broj jedinica u nizu- vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n- Logaritam

ModGrupirani podaci (distribucija frekvencijas razredima)

( ) ( )i

cbab

abLMo

+

+= 1

Mo

L1b

a

c

i

- mod- donja granica modalnog razreda- najvea frekvencija u nizu (najveakorigirana frekvencija kod nejednakihrazreda)- frekvencija iznad b- frekvencija ispod b

- veliina modalnog razreda

i

ff ic =

fcfii

- korigirana frekvencija- frekvencija numerikog niza, i=1,...,n

- veliina razreda ija se frekvencijakorigira

Medijan

Negrupirani podaci

2

1+=

Nr

21

Nr =

112 += rr

2

21 rr xxMe+

=

r

r1, r2

N

Me

xr1,xr2

- redni broj podatka, koji predoujemedijan u ureenom nizu s neparnimbrojem lanova (jedinica)- redni brojevi podataka u ureenom nizu sparnim brojem lanova (jedinica)- ukupan broj lanova (jedinica) u nizu- medijan- podatak s rednim brojem r1 tj. r2


52/67

52

Grupirani podaci (distribucija frekvencijas razredima)

if

fN

LMemed

+= 1

12

L1 f1fmed

i

- donja granica medijalnog razreda- zbroj frekvencija do medijalnog razreda- frekvencija medijalnog razreda- veliina medijlanog razreda

Mjere disperzije

Raspon varijacije

minmax xxR = R

xmaxxmin

- raspon varijacije- najvea vrijednost numerikog obiljeja- najmanja vrijednost numerikog obiljeja

KvartiliDonji kvartil

Negrupirani podaci

41

Nr =

112 += rr

2

211

rr xxQ+

=


if

fN

LQQ

+=

1

1

114

r1, r2

N

Q1xr1,xr2

L1 f1fQ1

i

- redni brojevi podataka u ureenom nizukojima se odreuje donji kvartil- ukupan broj lanova (jedinica) u nizu- donji kvartil- podatak s rednim brojem r1 tj. r2- donja granica kvartilnog razreda- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda- frekvencija kvartilnog razreda- veliina kvartilnog razreda

Gornji kvartil

Negrupirani podaci

4

31

Nr =

112 += rr


53/67

53

2

213

rr xxQ+

=


if

fN

LQQ

+=

3

1

13 4

3

r1, r2

N

Q3xr1,xr2

L1 f1fQ3

i

- redni brojevi podataka u ureenom nizukojima se odreuje gornji kvartil- ukupan broj lanova (jedinica) u nizu- gornji kvartil- podatak s rednim brojem r1 tj. r2- donja granica kvartilnog razreda- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda- frekvencija kvartilnog razreda- veliina kvartilnog razreda

Interkvartil

13 QQIQ = IQQ1Q3

- interkvartil- donji kvartil- gornji kvartil

Koeficijent kvartilne devijacije

13

13

QQ

QQVQ

+

=

VQQ1Q3

- koeficijent kvartilne devijacije- donji kvartil- gornji kvartil

Standardna devijacija2 =

2

- standardna devijacija- varijanca ili drugi moment oko sredine

Koeficijent varijacije100=

xV

V

x

- koeficijent varijacije- standardna devijacija- aritmetika sredina


54/67

54

Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

Momenti oko nuleNegrupirani podaci

N

xm

N

i

k

i

k== 1 ,

N

x

m

N

i

i== 11 ,

N

x

m

N

i

i== 1

2

2 ,

N

x

m

N

i

i== 1

3

3 ,N

x

m

N

i

i== 1

4

4

Grupirani podaci

=

==n

i

i

n

i

k

ii

k

f

xf

m

1

1 ,

=

==n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

11 ,

=

==n

i

i

n

i

k

ii

f

xf

m

1

1

2

2 ,

mkxiN

fi

- k-ti moment oko nule, k=0,1,...

- vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n- ukupan broj jedinica u nizu- frekvencija numerikog niza, i=1,...,n

=

==n

ii

n

i

ii

f

xf

m

1

1

3

3 ,

=

==n

ii

n

i

ii

f

xf

m

1

1

4

4

Momenti oko sredine

Negrupirani podaci

( )

N

xx

kN

i

i

k

=

=1 ,

( )

N

xxN

i

i

2

12

=

= ,

( )

N

xxN

i

i

3

13

=

= ,

( )

N

xxN

i

i

4

14

=

=

kmkxiN

x

fi

- k-ti moment oko sredine, k=0,1,...- k-ti moment oko nule, k=0,1,...- vrijednost numerikog obiljeja, i=1,...,n- ukupan broj jedinica u nizu- aritmetika sredina- frekvencija numerikog niza, i=1,...,n


55/67

55

Grupirani podaci

( )

=

=

=n

i

i

kn

i

ii

k

f

xxf

1

1 ,

( )

=

=

=n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

2

12 ,

( )

=

=

=n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

3

13 ,

( )

=

=

=n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

4

14

10 = , 01 =

Pomou momenata oko nule2

122 mm = 312133 23 mmmm +=

4

12

2

13144 364 mmmmmm +=

Koeficijent asimetrije

3

33

=

33

- koeficijent asimetrije- trei moment oko sredine- standardna devijacija

Pearsonove mjere asimetrije

MoxSk

=1

)(32

MexSk

=

Sk

x

Mo

Me

- Pearsonova mjera asimetrije- aritmetika sredina- mod- medijan- standardna devijacija

Bowleyjeva mjera asimetrije

13

31 2

QQ

MeQQSkQ

+=

SkQQ1Q3

Me

- Bowleyjeva mjera asimetrije- donji kvartil- gornji kvartil- medijan


56/67

56

Koeficijent zaobljenosti

4

44

=

44

- koeficijent zaobljenosti- etvrti moment oko sredine- standardna devijacija

KOMBINATORIKA

PermutacijeBez ponavljanja

!nP= PP

- permutacije bez ponavljanja- permutacije s ponavljanjem

S ponavljanjem

!!...!

!

21 krrr

nP=

n

r- broj elemenata- razred

Varijacije

Bez ponavljanja

)!(

!

rn

nV =

S ponavljanjemrnV =

V

V

n

r

- varijacije bez ponavljanja

- varijacije s ponavljanjem- broj elemenata- razred

KombinacijeBez ponavljanja

)!(!

!

rnr

n

r

nK

=

=

S ponavljanjem

+=

r

rnK

1

K

Kn

r

- kombinacije bez ponavljanja- kombinacije s ponavljanjem

- broj elemenata- razred


57/67

57

VJEROJATNOST

Matematika vjerojatnost ili vjerojatnost a priori

n

mAP =)(

P(A)

m

n

- vjerojatnost dogaaja A- broj povoljnih mogunosti- broj svih mogunosti

Statistika vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori

n

AfAP

)()( =

P(A)

f(A)

n

- vjerojatnost dogaaja A- frekvencija dogaaja A- broj izvrenih pokusa

Suprotna vjerojatnost)(1)( APAQ = Q(A)

- suprotna vjerojatnost

1)()( =+ AQAP P(A) - vjerojatnost dogaaja A

Zbrajanje vjerojatnosti vjerojatnost ili-ili u ekskluzivnom smislu

)()()( BPAPBAP +=

P(A)

P(B)

- vjerojatnost dogaaja A

- vjerojatnost dogaaja B

Mnoenje vjerojatnosti vjerojatnost i-i

)()()( BPAPBAP = P(A)

P(B)

- vjerojatnost dogaaja A- vjerojatnost dogaaja B

Vjerojatnost barem jedan vjerojatnost ili u inkluzivnom smislu

)()(1 BQAQP =

)()()()()( BPAPBPAPBAP +=

P(A)

P(B)

Q(A)

Q(B)

- vjerojatnost dogaaja A- vjerojatnost dogaaja B- suprotna vjerojatnost dogaaja A- suprotna vjerojatnost dogaaja B


58/67

58

Vjerojatnost samo jedan

)()()()( BPAQBQAPP +=

P(A)

P(B)

Q(A)

Q(B)

- vjerojatnost dogaaja A- vjerojatnost dogaaja B- suprotna vjerojatnost dogaaja A

- suprotna vjerojatnost dogaaja B

Vjerojatnost dogaaja koji se ponavljaju

npP =1 npQ )1( =

npP )1(12 =

P1Q

P2

p

n

- vjerojatnost da dogaaj nastupi n-puta- vjerojatnost da dogaaj n-puta ne nastupi- vjerojatnost da dogaaj u n pokusa nastupibarem jedanput- vjerojatnost da e se dogoditi neki dogaaj

- broj ponavljanja (pokusa)

Uvjetna vjerojatnost

)(

)()/(

BP

BAPBAP

=

)(

)()/(

AP

BAPABP

=

P(A/B)

P(B/A)

P(A)

P(B)

- vjerojatnost dogaaja A uz uvjet dogaajaB- vjerojatnost dogaaja B uz uvjet dogaajaA- vjerojatnost dogaaja A

- vjerojatnost dogaaja B

Totalna vjerojatnost

)/()(...)/()()/()()( 2211 ii BAPBPBAPBPBAPBPAP +++=

P(A)

P(Bi)

- vjerojatnost dogaajaA- vjerojatnost dogaajaBi, i=1, 2,..

Bayesova formula

=)/()(

)/()()/(

ii

ii

iBAPBP

BAPBPABP

P(A)

P(Bi)

- vjerojatnost dogaaja A- vjerojatnost dogaaja Bi, i=1, 2,..


59/67

59

TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

Binomna distribucijaxnx qp

x

nxP

=)( P(x)

- vjerojatnost da sluajna varijabla imavrijednost x

pnXxE ==)(

qpnxV =)(

pn

qV

= 100

qpn =

qpn

pq

=3

qpn

qp

+=

6134

ppnMoqpn +

E(x)

x

n

p

q

V(x)

V

34Mo

- matematiko oekivanje

- broj nastupanja dogaaja A u n pokusa

- broj elemenata u uzorku ili broj pokusa

- vjerojatnost ostvarenja dogaaja A

- vjerojatnost nenastupanja dogaaja A

- varijanca

- koeficijent varijacije

- standardna devijacija

- koeficijent asimetrije- koeficijent zaobljenosti

- mod

Poissonova distribucija = e

xxP

x

!)(

= eP )0(

P(x)

e

- vjerojatnost da sluajna varijabla ima

vrijednost x

- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

== XxE )(

=)(xV

=

100V

=

13 =

134 +=

Mo1

E(x)

V(x)

V

34

Mo

- matematiko oekivanje

- lamda

- varijanca

- koeficijent varijacije


- koeficijent asimetrije

- koeficijent zaobljenosti

- mod


60/67

60

Normalna ili Gaussova distribucija2

2

2

)(

2

1)(

xx

exf

= f(x)

- funkcija vjerojatnosti tj. gustoa razdiobe

2

2

21)(

z

ezf =

;

xxz =

03 =

34 =

x

x

e

34

- tekua vrijednost sluajne varijable

- aritmetika sredina osnovnog skupa- standardna devijacija- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

- Ludolfov broj (3,14)- koeficijent asimetrije- koeficijent zaobljenosti

METODA UZORAKA

Frakcija izbora

N

nf =

f

n

N

- frakcija izbora- uzorak- populacija, osnovni skup

Metode procjene

Procjena aritmetike sredine osnovnog skupaInterval:

xxstxXstx +


61/67

61

Procjena totala osnovnog skupa

Interval:

+


62/67

62

Testiranje hipoteze (z-test)

Testiranje hipoteze o nepoznatoj sredini osnovnog skupa

00 : XXH =

01 : XXH

H0H1

X

0X

- nul-hipoteza- alternativna hipoteza- aritmetika sredina osnovnog skupa- pretpostavljena aritmetika sredinaosnovnog skupa

xs

xXz

=

0

z

x

xs

- z-vrijednost- aritmetika sredina uzorka- standardna greka procjene aritmetikesredine osnovnog skupa

Testiranje hipoteze o nepoznatoj proporciji osnovnog skupa

00 : PPH =

01 : PPH

H0H1P

P0

- nul-hipoteza- alternativna hipoteza- proporcija osnovnog skupa- pretpostavljena proporcija osnovnogskupa

ps

pPz

=

0

z

pps

- z-vrijednost

- proporcija uzorka- standardna greka procjene proporcijeonovnog skupa

Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetikih sredina dvaju osnovnih skupova210 : XXH =

211 : XXH

H0H1

1X

2X

- nul-hipoteza- alternativna hipoteza- aritmetika sredina prvog osnovnog skupa- aritmetika sredina drugog osnovnogskupa

21

21

xxs

xxz

=

z

1x

2x

21 xxs

- z-vrijednost- aritmetika sredina uzorka iz prvogosnovnog skupa- aritmetika sredina uzorka iz drugogosnovnog skupa- standardna greka razlike aritmetikihsredina


63/67

63

n>30

2

2

2

1

2

1

21 n

s

n

ss

xx+=

n


64/67

64

)('

xPNfi =

)(' zYiN

fi

=

N

P(x)

i

Y(z)

- ukupan broj jedinica

- vjerojatnost odabrane teorijske distribucije

- veliina razreda (interval izmeu dviju

vrijednosti numerikog obiljeja


- ordinate gustoe jedinine normalne

distribucije

1= nk - uniformna distribucija

2= nk - binomna i Poissonova

3= nk - normalna distribucija

k

n

- stupnjevi slobode

- broj teorijskih frekvencija

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA

Linearna korelacija

Jednadbe pravaca regresijeJednadba prvog pravca regresije

xbaYc +=

=

XXX

YXXYb

2

XbYa =

Yc

a, b

Xi

Yi

- vrijednost prvog pravca regresije

- parametri prvog pravca regresije

- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n

- frekvencije druge pojave, i=1,...,n

N

XX

i= ,

N

YY

i=

X

Y

N

- aritmetika sredina (prosjena vrijednost)

prve pojave

- aritmetika sredina (prosjena vrijednost)

druge pojave

- broj frekvencija u pojavi X ili Y

Jednadba drugog pravca regresije

ybaXc += ''

=YYY

XYXYb

2

'

YbXa '' =

Xca

', b

' - vrijednost drugog pravca regresije- parametri drugog pravca regresije


65/67

65

Pearsonov koeficijent korelacije

=

22)()(

)()(

YYXX

YYXXr

ii

ii r

Xi

Yi

- koeficijent korelacije

- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n

- frekvencije druge pojave, i=1,...,n

'bbr = b

b'

- parametar u prvoom pravcu regresije

- parametar u drugom pravcu regresije

Analiza varijanceJednadba analize varijance

N

YY

N

YY

N

YYcici

+

= 222 )()()(

222

npp +=

N

YYi =

2

2)(

N

YYXYbYap

+=2

N

XYbYaY

np

=

2

2

2

p2

np2

- ukupna varijanca

- protumaena varijanca

- neprotumaena varijanca

Korelacija ranga

Spearmanov koeficijent korelacije ranga

nn

d

r

n

i

i

s

=

=3

1

26

1 rsdin

- koeficijent korelacije ranga- razlika rangova

- broj frekvencija u pojavi X ili Y

yxi rrd = rxry

- rang od pojve X

- rang od pojave Y


66/67

66

VREMENSKI NIZ

Individualni indeksi

Verini indeksi

1001

=t

tt

Y

YV

VtYt

Yt-1

- verini indeks- vrijednost pojave (frekvencija) u tekuem

razdoblju, t=2,3,...,n

- vrijednost pojave (frekvencija) u

prethodnom razdoblju

Bazni indeksi

100=b

tt

Y

YI

ItYt

Yb

- bazni indeks

- vrijednost pojave (frekvencija) u tekuem

razdoblju, t=1,2,...,n

- vrijednost pojave (frekvencija) u baznom

razdoblju

Linearni trendIshodite na poetku razdoblja

xbaYc +=

=

XXX

YXXYb

2

XbYa =

Yc

a,b

- vrijednost trenda

- parametri trenda

N

XX

i= ,

N

YY

i= N

- broj vremenskih jedinica

Ishodite u sredini razdoblja

xbaYc +=

=2X

XYb

N

Ya =

Yc

a,b

- vrijednost trenda

- parametri trenda


67/67

Biljeke: